大学物理第8讲 机械波武汉理工大学

点间的距离。
横波：波长等于两相邻波峰之间或相邻波谷之间的距离。 纵波：波长等于两相邻密部之间或相邻疏部之间的距离。
3.周期T：一个完整的波(即一个波长的波)通过波线 上某点所需要的时间。 4.频率：单位时间内通过波线上某点完整波的数目。
1 关系： T
u

T
例：在波线上有相距2.5 cm的A、B两点，已知点B 的振动相位比点A落后30，振动周期为2.0 s ，求波 速和波长。 解：因在波线上相距两点的相位差为2p
波 面 波线 波 面 波 线
波的特征物理量
1.波速u：单位时间内振动传播的距离，也就是波 面向前推进的速率。 固体中横波的波速 u 固体中纵波的波速 u
G
(G为切变模量，为密度)

Y

B
(Y为杨氏模量) B为体变模 量，定义为
流体中纵波的波速 u

p B V V
2.波长：沿同一波线上相位差为2p的两个相邻质
y A cos[ (t ) o ] u
总结起来，波动方程的标准形式应为
y A cos[ (t
x ) o ] u
式中：“ ”号表示波沿x轴正方向传播； “ ”号表示波沿x轴负方向传播。 o是坐标原点的初相。 考虑到，=2p/T，=uT , 波动方程还可写为
t y A cos[ 2p ( T
l y A cos(t ) u
第三类：已知某时刻的波形曲线，求波动方程。
例3 波速为u=0.08m/s的一平面简谐波在t=0时的波 形如图所示，图中p点此时正向y轴正方向运动，求该 波的波动方程。 解 由p点此时正向y轴正方向运动， 可判定此波沿x轴正方向传播。 y(m) 由图可知, =0.4,又已知u=0.08， u 0.12 所以频率 =u/ =0.2, =2p =0.4p。 o x(m) 波动方程可写为 0.2
四
理解驻波及其形成，了解驻
波和行波的区别；
第8讲内容
机械波的形成 描述波动的物理量 波动方程的建立 波动方程的物理意义
波的形成
一. 机械波的形成条件
波源—产生机械振动； 弹性媒质—传播振动状态。 波源处质点的振动通过弹性介质中的弹性力将 振动传播开去，从而形成机械波。 二、横波(transverse wave)和纵波(longitudinal wave) 横波——参与波动的质点的振动方向与波的传 播方向相垂直的波，如电磁波。 纵波——参与波动的质点的振动方向与波的传 播方向相平行的波，如声波。
波沿x轴正方向传播；A=0.5m, T=2s, =1/2Hz, =4m, u= /T=2m/s, 原点的振动初相o=p/2。
x 1 y 0.5 cos p (t )( SI ) (2) 2 2 将x=2m代入波动方程就得该处质点的振动方程：
y 0.5 cos( pt
p
x ) o ] y A cos[ (t u x p y 0.12cos[0.4p (t ) ]m 0.08 2
所以
2π 2 2.5 10 m 0.30m π 6
u
波速为

T

30 10 2
2
m s 0.15m s
-1
-1
平面简谐波波动方程的建立
一. 平面简谐（行）波——机械波的理想模型
(1)行波：振动状态或振动能量沿恒定方向传播的波。 (2) 波源：作简谐振动 (3) 介质：无限大、 无吸收、 各向同性 (4) 波在介质中传播时，各介质质元也依次作简谐振动。 如果此简谐波的波面是平面，称为平面简谐（行）波。
P点的位相= [(t- x/u)+ o] 于是P点的振动方程(即波动方程)为
2 .沿x轴负方向传播
y
x y A cos[ (t ) o ] u
u
o
P
x
x
若波沿x轴负方向传播， 则P点的位相比o点超前 x/u，于是：P点的位相 - (t+o)= + x/u, 这时波 动方程应为 x
x

) o ] 2px )
y A cos(t o

三. 波动方程的物理意义
y 1. 当x 一定时，波函数表示了 距原点为x 处的质点在不同时 O 刻的位移。即x 处质点的振动 T 方程。
p
t
y
2. 当t 一定时，波函数表示了 给定时刻Ox轴上各质点的位 移分布情况。
u
p
O x
x
3. 当t 和x都变化时，波函数表示了所有质点的位移 随时间变化的整体情况。 4. x前的负号表示波沿x轴正方向传播，称为右行波； 若波沿x轴负方向传播，负号改为正号，即为左行波。
二. 平面简谐波的波动方程的推导
1.沿x轴正方向传播 如图所示，一平面余弦行波在均匀无耗介质 中沿x轴正方向传播，波速u，坐标原点的振动方 程为: y=Acos(t+o) 求：波动方程 (即坐标为x的P点的振动方程)。
y
o
u
x
P
x
注意： x表示各质元的平衡位置到坐标原点的距离； y表示各质元对平衡位置的位移。
振动曲线 图形
A o
y P
波形曲线
t
T
t0
A o t P 0
y
v
u x
v
研究 某质点位移随时间 对象 变化规律
由振动曲线可知
某时刻，波线上各质点 位移随位置变化规律
由波形曲线可知 该时刻各质点位移
物理 意义
周期T. 振幅A 初相 0
某时刻 v 方向参看下一时刻
波长 , 振幅A 只有t=0时刻波形才能提供初相
某质点 v 方向参看前一质点
特征 对确定质点曲线形状一定 曲线形状随t 向前平移
平面简谐波问题举例
第一类：已知波动方程，求振幅、周期、频率等物理量。 比较法
x ) o ] y A cos[ (t u t x ) o ] y A cos[ 2p ( T 2px ) y A cos(t o
任一波，例如：水波、地表波，都能分解为横波 与纵波来进行研究。
波的几何描述
1.波线： 由波源出发，沿波传 播方向的线， 其上任一点切线 方向为该点波传播方向。 2.波面： 某时刻介质中同相 点的集合。（球面波,柱面波, 平面波 ...） 3.波前：传在最前面的波面 4.在各向同性均匀介质中，波 线为直线，波线与波面垂直
中学所学机械波
第9章 机械波
一
教学基本要求
掌握描述简谐波的各物理量及各量间的关系；
二 理解机械波产生的条件. 掌握由已知质点 的简谐运动方程得出平面简谐波的波函数的方法. 理解波函数的物理意义. 了解波的能量传播特征 及能流、能流密度概念. 三 了解惠更斯原理和波的叠加原理. 理解波的 相干条件，能应用相位差和波程差分析、确定相 干波叠加后振幅加强和减弱的条件；
例2 一波动以速度u沿x轴正方向传播，p点的振 动方程为 yp=Acos(t+), 求: (1)坐标原点o的振动 方程； (2)波动方程。 解 (1)原点o比p点超前l /u,即 y u o点位相 - (t+)=l /u p o x o点位相= t++l /u l 坐标原点o的振动方程为: y=Acos(t++l /u) x ) o ] (2)波动方程: y A cos[ (t u x y A cos[ (t ) o ], o=(+ l /u) u
u

T


例1 已知波动方程：
x 1 y 0.5 cos p (t )( SI ), 2 2
求： (1)此波的传播方向，波的振幅、周期、 频率、 波长和波速，以及坐标原点的振动初相。 (2)x=2m处质点的振动方程，及t=1s时该质点的 速度和加速度。 x t ) o ] y A cos[ 2p ( 解 (1)比较法 T t x p y 0.5 cos[ 2p ( ) ] 2 4 2
p
2
)m
t=1s时该质点的速度和加速度为
dy p t=1 0.5p sin(pt ) -0.5p(m/s) dt 2
d p t=1 2 a 0.5p cos( pt ) 0 dt 2
第二类： 已知波线上一点的振动方程，求波动方程。 法一：标准方程法 根据已知点的振动方程，分别定出 A、、u、0 ， 再将其逐一“填”入标准波动方程。 法二： t t 法 在波线上任取一点P(距离原点为x)，判断P点与 已知点在振动上的超前与落后关系，并求出超前 或落后的时间 t ，然后用 ( t t ) 去代替已知 点振动方程中的 t ，P点超前用+ ；落后用-
x l y A cos[ (t ) ] u
另解： 用 t t 法 先求波动方程: 已知p点的振动方程为 yp=Acos(t+) M(x)点比已知点p时间落后：
y o
u
p M
xl t u
l
x
x
波动方程:
xl y A cos[ (t ) ] u
令x=0得坐标原点o的振动方程为:
y
u
o
P
x
x
原点o的振动方程为 y=Acos(t+o) 要找出P点的振动方程，只要找出P点的振幅和位 相就行了。 因为我们研究的是均匀无耗媒质中的平面行波，所 以P点的振幅与原点的振幅相同，故仍是A。 如前所述, P点的位相比o点落后x/u, 写为等式有 P点的位相 - o点位相= -x/u 即： P点的位相 - (t+o)= -x/u