备战2013高考6年高考数学文科母题精解精析专题07平面向量(word版)

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备战2013高考数学(文)6年高考母题精解精析专题04 数列.pdf

6 雪自主导学 1、给加点的字注音。

朔（）方灼灼（）凛（）冽眷（）念荷（）戟彷（）徨（）褪（）尽胭（）脂脂粉奁（）磬（）口 2、根据课文内容填空。

（1）他也就目光地嘴唇通红地坐在雪地里。

（2）晴天又来他的皮肤，寒夜又使他结一层冰，化作不透明的水晶模样。

（3）在晴天之下，旋风忽来，便蓬勃地奋飞，在日光中灿灿地生光，如包藏火焰的大雾，旋转而且升腾，太空。

3、结合上下文，揣摩下列句中加点词语的意思。

结合语境，解释下列加点的词语。

（1）博识的人们觉得他单调。

（2）连续的晴天又使他成为不知道算什么，而嘴上的胭脂也褪尽了。

（3）在晴天之下，旋风忽来，便蓬勃地奋飞。

（4）如包藏火焰的大雾，旋转而且升腾。

4、指出下列句子所用的修辞手法并说说它的作用。

（1）那是还在隐约着的青春的消息，是极壮健的处子的皮肤。

（2）朔方的雪花在纷飞之后，却永远如粉如沙。

5、请写出“咏雪”的两句名句。

当堂反馈阅读下列文字，回答文后问题。

暖国的雨，向来没有变过冰冷的坚硬的灿烂的雪花。

博识的人们觉得他单调，他自己也以为不幸否耶？江南的雪，可是滋润美艳之至了；那是还在隐约着的青春的消息，是极壮健的处子的皮肤。

雪野中有血红的宝珠山茶，白中隐青的单瓣梅花，深黄的磬口的蜡梅花；雪下面还有冷绿的杂草。

胡蝶确乎没有；蜜蜂是否来采山茶花和梅花的蜜，我可记不真切了。

但我的眼前仿佛看见冬花开在雪野中，有许多蜜蜂们忙碌地飞着，也听得他们嗡嗡地闹着。

（中、过）在描写完江南的雪之后，转入到对“朔方的雪”的描述中。

中间用了“但是”一词，起到了什么作用？（中、情）作者是怎样描写北方的雪的？作者对北方的雪是什么样的感情？（中、过）鲁迅从来写文章都惜墨如金，而这篇散文诗他却用较多的笔墨描写塑雪罗汉的形象，你是怎样理解的？（能、情）揣摩“是的，那是孤独的雪，是死掉的雨，是雨的精魂。

”的含义。

2013年高考试题分项版解析数学(文)专题05平面向量(Word精析版)

第五章平面向量一．基础题组1. 【 2013 年一般高等学校一致考试一试题纲领全国文科】已知向量 m ( 1,1) ， n ( 2, 2) ，若(m n) (m n)，则=（）A ．-4B ．-3C ．-2D ． -1【答案】 B【分析】∵ (m n) ( m n) ，∴ (m n) (m n) 0.∴ | m |2 | n |2 0 ，即 ( 1)21 [(2) 2 4] 0，∴3. 应选 B.【考点定位】向量的坐标运算2.【 2013 年一般高等学校招生全国一致考试 (陕西卷) 文科】已知向量 a (1,m), b (m,2), , 若 a ∥b 则实数m 等于（）(A) 2(B)2(C)2或 2(D)0【答案】 C【分析】由a (1,m), b ( m,2)，a / /b 1 2=m 2 , 故 m 2, 选择 C 。

【考点定位】本题主要考察向量共线定理的基本运用，属于简单题 .3. 【 2013 年一般高等学校招生全国一致考试（辽宁卷）文科】已知点A 1,3 ,B 4, 1 , 则与向量 AB 同方向的单位向量为（）（A ） 3，-4（B ） 4，-35555（ C ）3 4（ D ）4 35，5 ，55[答案]A[ 分析 ] e=AB = (3,-4) = 1 (3,-4)=( 3,-4) ，应选 AAB32 +(-4) 2 55 5[ 考点定位 ] 本题考察单位向量的定义和坐标运算.4.【 2013 年一般高等学校招生全国一致考试（湖北卷）文科】已知点 A( 1, 1) 、B(1, 2) 、C ( 2, 1) 、D (3, 4) ，则向量 AB在 CD 方向上的投影为（）A．32B．3 15C．32D ． 3 15 2222[答案]A[ 分析 ] | AB |cosAB CD(2,1)(5,5) 3 2,选 A. |AB|522| AB ||CD |[ 考点定位 ] 本题考察投影的定义及数目积的运算，考察观点的理解及基本运算能力.5.【 2013 年全国高考新课标（ I ）文科】已知两个单位向量 a ，b 的夹角为，，若b c 0，60 c ta (1 t) b则 t _____.【答案】 2；【分析】由于 b c ta b (1 t)b b0，故t(1 t)0 ，故t 2. 2【考点定位】本题考察向量的数目积运算，考察学生的基本运算能力.6.【2013 年高考新课标Ⅱ数学（文）卷】已知正方形 ABCD的边长为2，E 为 CD的中点，则AE BD =_______.【答案】 2【分析】以点 B 为原点，直线 BC 为 x 轴，成立平面直角坐标系，则 A （ 0， 2）， E（ 2， 1）， D（ 2， 2），B （ 0，0），因此AE (2,1), BD (2, 2)，因此 AE BD =2.【考点定位】本小题主要考察平面向量的数目积，难度不大，娴熟平面向量的数目积的定义以及平面向量的坐标运算是解答好本类题目的要点.7. 【 2013 年一般高等学校招生全国一致考试（四川卷）文科】如图，在平行D C四边形 ABCD 中，对角线AC 与BD交于点 O， AB AD AO ，则OB A____________.【答案】 2【分析】如图， AB AD AC 2 AO ，因此 2 ，故填 2.【易错点】对数乘向量的几何表示不理解！【考点定位】本题考察平面向量的线性运算以及运算的几何表示.8.【 2013 年一般高等学校招生全国一致考试（山东卷）文科】在平面直角坐标系xOy 中，已知 OA( 1,t ) ，OB (2, 2) ，若 ABO90o，则实数 t 的值为_____.【答案】【分析】5AB OB OA 3,2 t ,OB AB0, 因此2,2 3,2 t 0,t 5.【考点定位】本题考察平面向量的加减坐标运算和数目积坐标运算，考察转变思想和运算能力. 本题经过OB AB 0 进行运算极易想到，但求AB 时常常出现坐标的“倒减”，固然不影响运算的结果，被填空题型所掩饰，但在解答题中就会被发现.二．能力题组9.【2013 年一般高等学校招生全国一致考试（福建卷）文科】在四边形ABCD中，AC1,2 , BD4,2 ,则该四边形的面积为（）A ．5B．2 5C．5D．10[答案]C[ 分析 ] 注意到两向量的纵坐标都为2，因此借助坐标系如图，S 15 .或许注意到AC BD0 (1 4)*22分为四个小直角三角形算面积 .[ 考点定位 ] 本题的办理方法主假如向量的平移，因此向量只需能合理的转变仍是属于简单题.10. 【 2013年一般高等学校招生全国一致考试（湖南卷）】已知 a, b 是单位向量，a b 0.若向量c知足c a b1,则 c 的取值范围是（）A ．，B．2-1，, 2+2 2-1 , 2+1，2+1D ．1，, 2+2C．1,【答案】 A【分析】由于 c a b 1 ，c( a b)1，做出图形可知，当且仅当c与 (a b) 方向相反且 c a b1时， c 取到最大值；最大值为21；当且仅当 c 与(a b) 方向同样且 a b c 1 时， c 取到最小值；最小值为2 1 .【考点定位】本题考察向量的加法，考察学生数形联合的能力.11. 【 2013 年一般高等学校招生全国一致考试（辽宁卷）文科】已知点O 0,0 , A 0, b , B a, a3 .若ABC 为直角三角形,则必有A ． b a3B． b a 31aC ． b a3b a 31D ． b a3b a 31aa[答案]C[ 分析 ] 由点 B 的坐标可知 B 点在 y=x 3 的图象上，由此可知 A=90 或许 B=90若 A=90 ，则 b=a 3，若B=90 ，则 b= 1+ a 3 ，两者为或的关系，应选Ca[ 考点定位 ] 本题考察向量的应用和逻辑连结词的应用.12. 【 2013 年一般高等学校招生全国一致考试（安徽卷文科）】若非零向量 a, b 知足 a3 ba 2b ，则a, b 夹角的余弦值为 _______.【答案】1329 b 2224a b ,【分析】等式平方得：aa 4 b2224|a||b|cos ，即 0 24 3|b|2cos ,则 a a4 b4 b得 cos1.3【考点定位】考察向量模长，向量数目积的运算，向量最基本的化简 .13. 【 2013 年一般高等学校招生全国一致考试（北京卷文科）】已知点 A(1, 1) ， B(3,0) ， C (2,1) ，若平面地区 D 由全部知足 AP ABAC （12 ， 01）的点 P 构成，则 D 的面积为 __________.[答案]3[分析]AB2,1 , AC1,2 ，AP AB AC 2,11,2 2,2 ，设 P x y, ，x 1 2 ,2 y x3 ,则 APx 1, y13，因此1即 2x y 3y2 ,3.x2 y 30,由于 12 ， 01，因此 0 2 y x 31 且 1 2x y 3x 2 y 0,32 ，即y 6 0,32x2xy 90.画出平面地区，以下列图所示， | CD |5 ， E 到直线 x 2 y 3 0 的距离为3，故四边形BDCE 的面积5为 3.【考点定位】本题考察两条直线的地点关系、考察了点到直线的距离、平面向量的线性运算、坐标运算，线性规划问题 . 难度较大 .14. 【 2013 年全国高考一致考试天津数学（文）卷】在平行四边形ABCD 中, AD = 1,BAD 60 ,E 为CD的中点 . 若 AC ·BE 1 , 则AB 的长为.【答案】12【分析】设AB的长为 x ，由于 AC AB BC ， BEBCCE，因此 AC BE·( AB BC ) ( BC CE)= AB BC 2BC CE =1 x x x cos180 +1+ 1 xcos120 =1， AB CE BC22 2解得 x11，因此AB 的长为 .22【考点定位】本小题主要考察平面向量的数目积等基础知识，娴熟平面向量的基础知识是解答好本类题目的要点 .15. 【 2013 年一般高等学校一致考试江苏卷】设D 、E 分别是ABC 的边 AB ， BC 上的点， AD1AB ，2BE2BC . 若DE1 AB2AC （1, 2 为实数），则12的值是.3[答案]1212 1 21 2 [分析]依题意， DEDBAB( AC AB )BEBCABABAC ，23236 3∴1AB2AC1 AB2AC ，∴ 11 ， 22，故12121.636363 2[ 考点定位 ] 平面向量的加法、减法法例 . 剖析、计算能力 . 中等题 .16. 【 2013 年一般高等学校招生全国一致考试（上海卷）文】已知正方形 ABCD 的边长为1．记以 A 为起点，其他极点为终点的向量分别为a 1 、a 2 、a 3 ；以 C 为起点，其他极点为终点的向量分别为c 1 、c 2 、c 3 ．若i,j ,kl, 1,2,3且 ij , kl ，则 a ia jc k c l 的最小值是．【答案】-2【分析】绘图易得最小值为 -2【考点定位】考察向量的运算，要点考察思想能力，综合剖析及应用能力，属偏难题.17. 【 2013年一般高等学校招生全国一致考试（浙江卷）文科】设 e , e 为单位向量，非零向量12bxe 1 ye 2 , x 、y R,若 e 1 , e 2 的夹角为| x |，则的最大值等于 _______.6| b |【答案】 222【分析】本题考察了向量中最常用的一个结论，即| a | a ，好多问题中要求向量的模都是经过求向量的222，而后求出 (| x |)2的表达式，最后利用函数最值的求法即可平方来求解的 . 本题中利用 | a |a 求出 |b || b |b2( xe 1 ye 2 )2| b |2x2y23 求出答案. 由已知得到：|b |22xy222y1 x2| x |x1，设 t23t 1)的最大值为 4，因此答x 2 3xy(t min4b 2y 21y 2 3 yx| b|2x2x案是 2.【考点定位】本题考察向量的数目积的计算和性质，考察二次函数的性质和换元法的应用.三．拔高题组18. 【2013 年一般高等学校招生全国一致考试（广东卷）文科】设 a 是已知的平面向量且 a 0 ，对于向量 a的分解，有以下四个命题：①给定向量 b ，总存在向量 c ，使 ab c ；②给定向量 b 和 c ，总存在实数和，使 abc ；ks5u③给定单位向量b 和正数，总存在单位向量c 和实数，使 abc ；④给定正数和，总存在单位向量b 和单位向量c ，使 abc ；上述命题中的向量b ，c 和 a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】 B【分析】利用向量加法的三角形法例，易的①是对的；利用平面向量的基本定理，易的②是对的；以a 的终点作长度为的圆，这个圆一定和向量 b 有交点，这个不必定能知足， ③是错的；利用向量加法的三角形法例，联合三角形两边的和大于第三边，即一定bc = +a ，因此④是假命题 .综上，本题选B.【考点定位】平面向量的基本定理和向量加法的三角形法例.19. 【 2013 年一般高等学校一致考试江苏卷】已知 a ＝(cos ,sin)， b (cos ,sin ) ， 0 .（ 1）若 | a b |2 ，求证： ab ；（ 2）设 c(0,1) ，若 a b c ，求，的值 .[ 答案 ] （ 1）由题意， |a 22 ，即（a2222 ，又由于 | a|=|b | 1 ，∴ 2 2 ab= 2 ，b|b ） a2a b+ b即 ab 0 ，∴ ab .（ 2） ab(coscos ,sinsin )(0,1) ，∴cos cossinsin，由此得1coscos()，由 0 ，得 0，又 0，故，代入 sinsin1得 sinsin1，而，∴5.2，66[ 分析 ] （ 1）先由向量的加法法例求 a b ，再利用 | a b |2 求得 ab 0 . （2）利用两个向量相等，则对应坐标相等，得出对于sin 、 cos、 sin 、 cos的等式，联合求得结果 . 向量的坐标运算、数目积，向量的垂直与平行，是高考要点考察的；向量与三角函数的交汇是高考的热门，解题是要选准公式，特别注意角的取值范围.[ 考点定位 ] 本小题主要考察平面向量的加法、减法、数目积、三角函数的基本关系、引诱公式等基础知识，考察运算求解能力和推理论证能力.。

备战历届高考数学真题汇编专题7_平面向量最新模拟_理.pdf

的外接圆的圆心为 O，半径为
1，若
，且
，则向量在向量方向上的射影的数量为（）
(A). (B). 【答案】A
(C). 3 (D).
【解析】由已知可以知道，ABC 的外接圆的圆心在线段 BC 的中点 O 处，因此 ABC 是直角
A=
三角形。且
2 ，又因为
学海无涯
→
→
|OA|=|CA| C
=
, B
2
a = 2, a = 2 。
9、（2012 青岛二模）.已知向量 m = (sin x, 3 sin x), n = (sin x,− cos x) ，设函数 f (x) = m n , 若函数 g(x) 的图象与 f (x) 的图象关于坐标原点对称.
（Ⅰ）求函数
g
(
x)
在区间
−
4
,
6
上的最大值,并求出此时
C．钝角三角形
D．不能确定
r r rr
rrr
【2012 三明市普通高中高三模拟理】关于 x 的方程 ax2 + bx + c = 0 ，（其中 a 、b 、c 都是非
rr 零平面向量），且 a 、 b 不共线，则该方程的解的情况是
A.至多有一个解
B.至少有一个解
C.至多有两个解
D.可能有无数个解
【2012 厦门市高三模拟质检理】已知向量 a＝(1,2)，b＝(2,0)，若向量 λa＋b 与向量 c＝(1,
ABC
中，
uuur BD
=
1
uuur BA
，E
是
CA
的
3
uuur uuur 中点，则 CD BE = （）
A． − 2 3

2007年高考“平面向量”题--(文科)高考数学试题全解

2007年高考“平面向量”题1．(全国Ⅰ) 已知向量(5,6)a =- ，(6,5)b =，则a 与bA ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向解：已知向量(5,6)a =- ，(6,5)b =，30300a b ⋅=-+= ，则a 与b 垂直，选A 。

2．(全国II) 在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若123AD DB CD CA CB λ==+，，则λ=（）A ．23B ．13C ．13-D ．23-解：在∆ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD =2DB ，=CB CA λ+31，则22()33CD CA AD CA AB CA CB CA =+=+=+- =1233CA CB + ，4 λ=32，选A 。

把函数e xy =的图像按向量(20)=，a 平移，得到()y f x =的图像，则()f x =（）A ．e 2x+B ．e 2x-C ．2ex -D ．2ex +解：把函数y =e x的图象按向量a=(2,0)平移，即向右平移2个单位，平移后得到y =f (x )的图象，f (x )= 2x e -，选C 。

在ABC △中，已知内角A π=3，边BC =B x =，周长为y ．（1）求函数()y f x =的解析式和定义域；（2）求y 的最大值．解：（1）ABC △的内角和A B C ++=π，由00A B C π=>>3，，得20B π<<3．应用正弦定理，知sin 4sin sin sin BC AC B x x A ===3，2sin 4sin sin BC AB C x A π⎛⎫==- ⎪3⎝⎭．因为y AB BC AC =++，所以224sin 4sin 03y x x x ππ⎛⎫⎫=+-+<<⎪⎪3⎝⎭⎭，（2）因为14sin sin 2y x x x ⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭5s i n 3x x ππππ⎛⎫⎫=++<+< ⎪⎪6666⎝⎭⎭，所以，当x ππ+=62，即x π=3时，y取得最大值3．（北京卷）已知向量2411()()，，，a =b =．若向量()λ⊥b a +b ，则实数λ的值是．解：已知向量2411a b ()() ，，，==．向量(2,4)a b λλλ+=++ ，()b a b λ⊥+，则2+λ+4+λ=0，实数λ=－3．在ABC △中，若1tan 3A =，150C =，1BC =，则AB = ．解：在ABC △中，若1tan 3A =，150C =，∴ A为锐角，sin 10A =， 1BC =，则根据正弦定理AB =sin sin BC C A ⋅=2。

2013年高考数学试题集(7)平面向量

2013年高考数学试题集(7)平面向量将2013年的全国及各省市的高考试题按高考考查知识点分类，有利于广大教师备课和学生系统复习，如有不足和遗漏之处请各位同仁批评指证。

1.（安徽理科第13题、文科14题）已知向量,a b 满足()()a b a b +2⋅-=-6，且1a =，2b =，则a 与b 的夹角为 .解：由向量等式得：6222-=-⋅+b b a a ，又12=a ，42=b 代入可得1=⋅b a所以，21||||),cos(=⋅=b a b a b a ，故a 与b 的夹角为3π2.（北京理科第10题）已知向量)1,3(=a ，)1,0(-=b ，)3,(k c =.若b a 2-与c 共线，则=k ___________________。

解：)3,3(2=-b a ，又b a 2-与c 共线，从而求得1=k3.（北京文科11）已知向量(3,1),(01),(,3)a b c k ==-=。

若2a b -与c 共线，则k = .答案：14.（福建理科第10题）已知函数x e x f x+=)(，对于曲线)(x f y =上横坐标成等差数列的三个点A,B,C ，给出以下判断：①△ABC 一定是钝角三角形 ②△ABC 可能是直角三角形 ③△ABC 可能是等腰三角形 ④△ABC 不可能是等腰三角形其中，正确的判断是A.①③B.①④C. ②③D.②④ 解：设这三个点的坐标分别是))(,(),,(),,(321332211x x x y x C y x B y x A <<，2312x x x x -=-，),(),,(23232121y y x x BC y y x x BA --=--=，由于x e x f x+=)(为R上的增函数，所以，0<⋅BC BA ，故B ∠为钝角，所以①成立，②不成立，若为等腰三角形，只有可能是||||BC BA =，此时有2312y y y y -=-，即23131222x x x x x ee e e+>+=，与2312x x x x -=-矛盾，故④正确选B 。

备战2013年历届高考数学真题汇编专题7平面向量理20002006

【2006高考试题】一、选择题（共28题）1．（安徽卷）如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则A ．111ABC ∆和222A B C ∆都是锐角三角形B ．111A BC ∆和222A B C ∆都是钝角三角形C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形2．（北京卷）若a r 与b c -r r 都是非零向量，则“a b a c ⋅=⋅r r r r ”是“()a b c ⊥-r r r ”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件3．（福建卷）已知︱︱=1，︱︱=3,•=0,点C 在∠AOB 内，且∠AOC =30°，设=m +n (m 、n ∈R)，则nm 等于 A.31 B.3 C.33 D.34．（福建卷）已知向量a r 与b r 的夹角为120o ，3,13,a a b =+=r r r 则b r 等于（A ）5 （B ）4（C ）3 （D ）1 解析：向量a r 与b r 的夹角为120o ，3,13,a a b =+=r r r3||||cos120||2a b a b b ⋅=⋅⋅︒=-r r r r r ，222||||2||a b a a b b +=+⋅+r r r r r r ，∴ 21393||||b b =-+r r ，则b r =－1(舍去)或b r =4，选B.5．（广东卷）如图1所示，D 是ABC ∆的边AB 上的中点，则向量CD =u u u r A.12BC BA -+u u u r u u u r B. 12BC BA --u u u r u u u r C. 12BC BA -u u u r u u u r D. 12BC BA +u u u r u u u r 解析：BA BC BD CB CD 21+-=+=，故选A. 6．（湖北卷）已知向量(3,1)a =r ，b r 是不平行于x 轴的单位向量，且3a b =r r g，则b =r A ．（31,2） B ．（13,2） C ．（133,4） D ．（1,0） 7．（湖北卷）已知非零向量a 、b ，若a ＋2b 与a －2b 互相垂直，则=b aA. 41B. 4C. 21 D.2 解：由a ＋2b 与a －2b 互相垂直⇒（a ＋2b ）•（a －2b ）＝0⇒a 2－4b 2＝0 即|a |2＝4|b |2⇒|a |＝2|b |，故选D8．（湖南卷）已知||2||0a b =≠r r ,且关于x 的方程2||0x a x a b ++⋅=r r r 有实根,则a r 与b r 的夹角的取值范围是 ( )A DC B 图A.[0,6π]B.[,]3ππ C.2[,]33ππ D.[,]6ππ 9．（湖南卷）已知向量),2,1(),,2(==b t a ρρ若1t t =时，a ρ∥b ρ；2t t =时，b a ρρ⊥，则A ．1,421-=-=t t B. 1,421=-=t t C. 1,421-==t t D. 1,421==t t10．（湖南卷）如图1：OM ∥AB ，点P 由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且OB y OA x OP +=，则实数对（x ,y ）可以是A ．)43,41( B. )32,32(- C. )43,41(- D. )57,51(- 解析：如图，OM ∥AB ，点P 由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且y x +=，由图知，x<0，当x=－41时，即OC u u u r =－41OA u u u r ，P 点在线段DE 上，CD uuu r =41OB uuu r ，CE u u u r =45OB uuu r ，而41<43<45，∴ 选C. 11．（辽宁卷）ABC V 的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 设向量(,)p a c b =+u r ,(,)q b a c a =--r ,若//p q u r r ,则角C 的大小为(A)6π (B)3π (C) 2π (D) 23π ABO M 图112．（辽宁卷）设(0,0)O ,(1,0)A ,(0,1)B ,点P 是线段AB 上的一个动点,AP AB λ=u u u r u u u r ,若OP AB PA PB ⋅≥⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ,则实数λ的取值范围是 (A)112λ≤≤ (B) 211λ-≤≤ (C) 1212λ≤≤+ (D) 2211λ-≤≤+ 【点评】本题考查向量的表示方法,向量的基本运算,定比分点中定比的范围等等.13．（辽宁卷）已知等腰ABC △的腰为底的2倍，则顶角A 的正切值是（） 3 3 Ｃ．158 Ｄ．157解：依题意，结合图形可得15tan 2A =，故221522tan15152tan 7151tan 1()2A A A ===--，选D 14．（全国卷I ）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则cos B =A ．14B ．34C ．24D ．2315．（全国卷I ）设平面向量1a 、2a 、3a 的和1230a a a ++=。

2013高考文科数学(全国卷大纲版)解析版全word版

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、设集合{}{}1,2,3,4,5,1,2,u U A A ===集合则ð（A ）{}1,2 （B ）{}3,4,5 （C ）{}1,2,3,4,5 （D ）∅ 【答案】B【解析】由补集定义易得{}3,4,5U C A =,故选B. 【考点定位】补集的概念 2、已知a 是第二象限角，5sin ,cos 13a a ==则（A ）1213- （B ）513- （C ）513 （D ）1213 【答案】A【解析】因为α是第二象限角，∴12cos 13α===-，故选A. 【考点定位】考查同角三角函数基本关系式3、已知向量()()()()1,1,2,2,,=λλλ=+=++⊥-若则m n m n m n（A ）4- （B ）3- （C ）-2 （D ）-1 【答案】B【解析】∵()(),+⊥-m n m n ∴()()0+⋅-=m n m n ∴220-=m n即()()2211[24]0λλ++-++=∴3λ=-，故选B. 【考点定位】考查向量垂直，数量积坐标运算.4、不等式222x -<的解集是（A ）()-1,1 （B ）()-2,2 （C ）()()-1,00,1 （D ）()()-2,00,2【答案】D【解析】22|2|2222x x -<⇒-<-<2040||2x x ⇒<<⇒<<2002x x ⇒-<<<<或，故选D.（也可用排除法）【考点定位】绝对值不等式的解法，一元二次不等式的解法5、()862x x +的展开式中的系数是（A ）28 （B ）56 （C ）112 （D ）224 【答案】C【解析】26262+18=2112T C x x ⋅=，故选C【考点定位】二项式定理的通项公式 6、函数()()()-121log 10=f x x f x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的反函数（A ）()1021x x >- （B ）()1021xx ≠- （C ）()21x x R -∈ （D ）()210x x -> 【答案】A【解析】由()2111log 11221yy y f x x x x ⎛⎫==+⇒+=⇒= ⎪-⎝⎭， ∵0x >∴0y >∴()11(0)21xfx x -=>-，故选A. 【考点定位】考查求反函数，指数式和对数式的互化. 7、已知数列{}n a 满足12430,,3n n a a a ++==-则{}n a 的前10项和等于（A ）()-10-61-3 （B ）()-1011-39（C ）()-1031-3 （D ）()-1031+3 【答案】C【解析】∵130,n n a a ++=∴113n n a a +=-，∴数列{}n a 是以13-为公比的等比数列.∵24,3a =-∴14a = ∴10101014[1()]33(13)113S ---==-+，故选C.【考点定位】考查等比数列的通项与求和.8、已知()()1221,0,1,0,F F C F x -是椭圆的两个焦点过且垂直于轴的直线交于 A B 、两点，且3AB =，则C 的方程为（A ）2212x y += （B ）22132x y += （C ）22143x y += （D ）22154x y +=第 3 页共 10 页【答案】C【解析】如图，21213||||,||222AF AB F F ===,由椭圆定义得， 13||22AF a =-○1在Rt △12AF F 中， 2222212123||||||()22AF AF F F =+=+○2由○1○2得，2a =∴2223b a c =-=，∴椭圆C 的方程为22143x y +=，故选C. 【考点定位】椭圆方程的求解9、若函数()()sin 0=y x ωϕωω=+>的部分图像如图，则（A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）2 【答案】B【解析】由题中图象可知0042T x x π+-=,∴2T π= ∴22ππω=∴4ω=，故选B【考点定位】三角函数的图象与解析式10、已知曲线()421-128=y x ax a a =+++在点，处切线的斜率为，（A ）9 （B ）6 （C ）-9 （D ）-6 【答案】D【解析】由题意知311|(42)|428x x y x ax a =-=-'=+=--=，则6a =-.故选D 【考点定位】导数的几何意义11、已知正四棱锥1111ABCD A BC D -中，12,AA AB =则CD 与平面1BDC 所成的角的正弦值等于（A ）23 （B）3 （C）3（D ）13【答案】A【解析】如图，在正四棱锥1111ABCD A BC D -中，连结AC 、BD 记交点为O ,连结1OC ,过C 作CH ⊥1OC 于点H,∵BD ⊥AC ，BD ⊥1AA ，∴BD ⊥平面11ACC A ∵CH ⊂平面11ACC A∴CH ⊥BD,∴CH ⊥平面1C BD ∴∠CDH 为CD 与平面1BDC 所成的角.1OC=. 由等面积法得，1OC ·CH=OC ·1CC ，∴222CH ⋅= ∴23CH =∴223sin 13CH CDH CD ∠===，故选A【考点定位】线面角的定义求法12、已知抛物线2:8C y x =与点()2,2M -，C 的焦点，且斜率为k 的直线与C 交于A,B 两点，若0MA MB =，则k =(A)12 （B）2（C（D ）2 【答案】D【解析】设直线AB 方程为(2y k x =-），代入28y x =得2222(48)40k x k x k -++=设1122(,),(,)A x y B x y ，则212248k x x k++=，124x x =（*） ∵0MA MB ⋅=∴1122(2,2)(2,2)0x y x y +-⋅+-= 即1212(2,)(2)(2)(2)0x x y y +++--=即121212122()42()40x x x x y y y y ++++-++=○1 ∵1122(2)(2)y k x y k x =-⎧⎨=-⎩∴1212(4)y y k x x +=+-○22212121212(2)(2)[2()4]y y k x x k x x x x =--=-++○3 由（*）及○1○2○3得2k =，故选D 【考点定位】直线与抛物线相交问题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13、设()f x 是以2为周期的函数，且当[)1,3x ∈时，()=2f x x -，则()1f -= .第 5 页共 10 页【答案】1-【解析】∵()f x 是以2为周期的函数，且[)1,3x ∈时，()=2f x x -，则()1(12)(1)121f f f -=-+==-=- 【考点定位】函数的周期性，函数求值14、从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有种.（用数字作答）【答案】60【解析】分三步：第一步，一等奖有16C 种可能的结果；第二步，二等奖有25C 种可能的结果；第三步，三等奖有33C 种可能的结果,故共12365360C C C =有种可能的结果.【考点定位】组合问题15、若x y 、满足约束条件0,34,34,x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩则z x y =-+的最小值为 .【答案】0【解析】z x y =-+y x z ⇒=+，z 表示直线y x z =+在y 轴上的截距，截距越小，z 就越小.画出题中约束条件表示的可行域（如图中阴影部分所示），当直线过点A(1，1)时，min 0z =【考点定位】线性规划求最值16、已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，3602OK O K =，且圆与圆所在的平面所成角为，则球O 的表面积等于 .【答案】16π【解析】如图，设MN 为公共弦，长度为R,E 为MN 的中点，连结OE,则OE ⊥MN,KE ⊥MN.∠OEK 为圆O 与圆K 所在平面的二面角.∴∠OEK=60°. 又∵△OMN 为正三角形.∴OE=2R . ∵OK=32且OK ⊥EK ∴3sin 602OE ⋅︒=∴3222R ⋅=∴R=2.∴2416S R ππ==【考点定位】二面角与球的表面积三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）等差数列{}n a 中，71994,2,a a a ==（I ）求{}n a 的通项公式；（II ）设{}1,.n n n nb b n S na =求数列的前项和【解析】(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，则1(1)n a a n d =+-因为719942a a a ==⎧⎨⎩，所以11164182(8)a d a d a d +=+=+⎧⎨⎩解得11a =，12d =，所以{}n a 的通项公式为12n n a +=. （Ⅱ）2)1122(1n n a n n b n n n ==-++=所以2222222)()()122311(n n n S n n -+-++-=+=+ 【考点定位】等差数列通项公式和裂项求和方法18．（本小题满分12分）设△ABC 的内角A,B,C的对边分别为,,a b c ，()()a b c a b c ac ++-+= （Ⅰ）求;B （Ⅱ）若1sin sin ,4A C =求C. 【解析】(Ⅰ)因为()()a b c a b c ac ++-+=，所以222a cb ac +-=-由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==-，因此B=120°. （Ⅱ）由(Ⅰ)知A+C=120°，所以cos()cos cos sin sin A C A C A C -=+coscos sin sin 2sin sin AC A C A C =-+=cos()2sin sin A C A C ++=122+=第 7 页共 10 页故30A C -=︒或30A C -=-︒，因此C=15°或C=45°.【考点定位】考查余弦定理、两角和与差的公式以及求角问题，考查学生的转化能力和计算能力19．（本小题满分12分）如图，四棱锥902,P ABCD ABC BAD BC AD PAB PAD -∠=∠==∆∆中，，与都是边长为2的等边三角形.（I ）证明：;PB CD ⊥（II ）求点.A PCD 到平面的距离【解析】(Ⅰ)证明：取BC 的中点E ，连结DE ，则ABED 为正方形.过P 作PO ⊥平面ABCD,垂足为O.连结OA,OB,OD,OE.由△PAB 和△PAD 都是等边三角形知PA=PB=PD,所以OA=0B=OD,即点O 为正方形ABED 对角线的交点，故OE ⊥BD,从而PB ⊥OE.因为O 是BD 的中点，E 是BC 的中点，所以OE ∥CD,因此;PB CD ⊥（Ⅱ）解：取PD 的中点F ，连结OF,则OF ∥PB ，由(Ⅰ)知，;PB CD ⊥，故OF ⊥CD.又12OD BD ==OP == 故△POD 为为等腰三角形，因此OF ⊥PD.又PD ∩CD=D ，所以OF ⊥平面PCD. 因为AE ∥CD ，CD ⊂平面PCD 的，AE ⊄平面PCD,所以AE ∥PCD. 因此，O 到平面PCD 的距离OF 就是A 到平面PCD 的距离，而112OF PB ==. 所以A 到平面PCD 的距离为1.【考点定位】(1)解题的关键是辅助线的添加，取BC 的中点E 是入手点，然后借助三垂线定理进行证明；（2）求点面距离的求解方法比较多，在解题过程中，如何根据题设条件恰当选择相适应的方法是比较棘手的问题 20．（本小题满分12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为1,2各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判.（I ）求第4局甲当裁判的概率；（II ）求前4局中乙恰好当1次裁判概率.【解析】(Ⅰ)记1A 表示事件“第2局结果为甲胜”， 2A 表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，A 表示事件“第4局甲当裁判”，则12A A A =⋅,12()()P A P A A =⋅12()()P A P A ⋅14= （Ⅱ）记1B 表示事件“第1局结果为乙胜”2B 表示事件“第2局乙参加比赛时，结果为乙胜”3B 表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙胜”B 表示事件“前4局中乙恰好当1次裁判” 则1312312B B B B B B B B =⋅+⋅⋅+⋅，所以1312312()()()()P B P B B P B B B P B B =⋅+⋅⋅+⋅1312312()()()()()()()()P B P B P B P B P B P B P B P B =⋅+⋅⋅+⋅ 11154848=++= 【考点定位】考查独立事件和互斥事件的概率问题以及离散型数学期望，考查分析问题和计算能力21．（本小题满分12分）已知函数()32=33 1.f x x ax x +++（I ）求()f ;a x =的单调性；（II ）若[)()2,0,.x f x a ∈+∞≥时，求的取值范围【解析】(Ⅰ)当a =()32=3 1.f x x x -++ ()2=33f x x '-+.令()0f x '=，得121,1x x =.当(1)x ∈-∞时，()0f x '>，()f x 在(1)-∞上是增函数；当1)x ∈时，()0f x '<，()f x 在1)上是减函数；当1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在1,)+∞上是增函数；（Ⅱ）由(2)0f ≥得54a ≥-. 当54a ≥-，(2,)x ∈+∞时， ()22251=3633(21)3(1)3()(2)22f x x ax x ax x x x x '-+=-+≥-+=--所以()f x 在(2,)+∞是增函数，于是当[2,)x ∈+∞时，()f x (2)0f ≥≥.第 9 页共 10 页综上，a 的取值范围是5[,)4-+∞【考点定位】考查利用导数求解函数的单调性与参数范围问题 22．（本小题满分12分）已知双曲线()221222:10,0x y C a b F F a b-=>>的左、右焦点分别为，，离心率为3，直线2y C =与（I ）求,;a b ；（II ）2F l C A B 设过的直线与的左、右两支分别相交于、两点，且11,AF BF -证明：22.AF AB BF 、、成等比数列【解析】(Ⅰ)由题设知3c a =，即2229a b a+=，故228b a =. 所以C 的方程为22288x y a -=.将2y =代入上式，求得x =由题设知，=21a =. 所以1a =，b =（Ⅱ）由(Ⅰ)知，1(3,0)F -，2(3,0)F ,C 的方程为2288x y -=○1 由题意可设的l 方程为(3)y k x =-，||k <，代入○1并化简得，2222(8)6980k x k x k -+--=，设1122(,),(,)A x y B x y ，11x ≤-，21x ≥则212268k x x k +=-，2122988k x x k +=-于是11||(31)AF x ===-+12||31BF x ===+由11||||AF BF =得123(1)31x x -+=+，即1223x x +=-故226283k k =--解得245k =从而12199x x =-由于21||13AF x ===-22||31BF x ===-故2212||||||23()4AB AF BF x x =-=-+=，221212||||3()9116AF BF x x x x ⋅=+--= 因而222||||||AF BF AB ⋅=，所以22||,||,||AF AB BF 成等比数列.【考点定位】本题考查双曲线方程与直线与双曲线的位置关系，考查设而不求的思想及就是能力。

【备战2013年】历届高考数学真题汇编专题7_平面向量最新模拟_理

【备战2013 年】历届高考数学真题汇编专题7 平面向量最新模拟理BA BC ＝＿1、（2012滨州二模）在△ABC 中，若AB＝ 1， AC＝ 3 ， | AB AC | | BC |，则| BC |＿＿x y 502、（2012 德州一模）已知在平面直角坐标系xOy 上的区域D由不等式组y x确定，x 1若 M( x, y ) 为区域D上的动点，点 A 的坐标为 (2 ， 3) ，则z OA OM 的最大值为( )A.5 B．10 C．14 D． 2523、（ 2012 济南 3 月模拟）在△ABC中，E、F分别为AB，AC中点.P为EF上任一点 , 实数x，满足PA+x PB+y PC=0. 设△ABC PBC PCA PAB S S1， S2， S3，记，△，△，△的面积分别为，S1,S2S33 , 则 3 取最大值时，2x+y的值为S1S2,2S33 A. -1 B. 1 C. -2D.24、（ 2012 济南三模）已知非零向量 a 、b满足向量a b 与向量 a b的夹角为，那么下列2结论中一定成立的是A．a b B．|a| |b|C．a b D．a b答案： B解析：因为向量 a b 与向量 a b 的夹角为，所以 (a b) ( a b) ，即222(a b) (a b)0 ，所以 ab0 ，即 a b ，选B.5、（ 2012 莱芜 3 月模拟）已知向量a(1,2) ，b(0,1)，设u a kb, v2a b ，若u //v，则实数 k 的值是(A)7(B)1(C)4(D)8 2233【答案】 B【解析】 v2(1,2)(0,1)( 2,3) ， u (1,2)k(0,1)(1,2k) ，因为u //v，所以2(2k) 1 3 0，解得 k 1，选 B.2的函数 y f (x) 图像的两个端点为A、B， M（x, y）6、（ 2012莱芜 3 月模拟）定义域为[a,b]是 f (x)图象上任意一点，其中 x a(1)b [ a, b] ,已知向量ON OA (1)OB ，若不等式| MN |k 恒成立，则称函数 f (x)在[ a, b]上“k 阶线性近似”。

2013年高考文科数学全国大纲卷卷word解析版

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(大纲卷)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013大纲全国，文1)设全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{1,2}，则U A ＝()．A ．{1,2}B ．{3,4,5}C ．{1,2,3,4,5}D ．∅ 答案：B解析：由题意得U A ＝{3,4,5}．故选B ．2．(2013大纲全国，文2)已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α＝( )． A ．1213- B ．513- C ．513 D ．1213答案：A解析：∵α是第二象限角，∴cos α＝1213==-.故选A ．3．(2013大纲全国，文3)已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( )．A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1 答案：B解析：∵(m ＋n )⊥(m －n )，∴(m ＋n )·(m －n )＝0. ∴|m |2－|n |2＝0，即(λ＋1)2＋1－[(λ＋2)2＋4]＝0.∴λ＝－3.故选B ．4．(2013大纲全国，文4)不等式|x 2－2|＜2的解集是( )．A ．(－1,1)B ．(－2,2)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－2,0)∪(0,2) 答案：D解析：|x 2－2|＜2⇒－2＜x 2－2＜2⇒0＜x 2＜4⇒0＜|x |＜2⇒－2＜x ＜0或0＜x ＜2.故选D ． 5．(2013大纲全国，文5)(x ＋2)8的展开式中x 6的系数是( )．A ．28B ．56C ．112D ．224 答案：C解析：T 2＋1＝28C x 8－2·22＝112x 6.故选C ．6．(2013大纲全国，文6)函数f (x )＝21log 1x ⎛⎫+⎪⎝⎭(x ＞0)的反函数f －1(x )＝( )． A ．121x -(x ＞0) B ．121x-(x ≠0) C ．2x －1(x ∈R ) D ．2x －1(x ＞0) 答案：A解析：由y ＝f (x )＝21log 1x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⇒1＋1x ＝2y⇒x ＝121y -. ∵x ＞0，∴y ＞0. ∴f －1(x )＝121x -(x ＞0)．故选A ． 7．(2013大纲全国，文7)已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，243a =-，则{a n }的前10项和等于( )．A ．－6(1－3－10) B ．19(1－310) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)答案：C解析：∵3a n ＋1＋a n ＝0⇒a n ＋1＝13-a n ， ∴{a n }是以13-为公比的等比数列．又∵a 2＝43-，∴a 1＝4. ∴S 10＝101413113⎡⎤⎛⎫--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+＝3(1－3－10)．故选C ． 8．(2013大纲全国，文8)已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( )．A ．22x ＋y 2＝1 B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y += 答案：C解析：如图，|AF 2|＝12|AB |＝32，|F 1F 2|＝2，由椭圆定义得 |AF 1|＝2a －32.① 在Rt △AF 1F 2中，|AF 1|2＝|AF 2|2＋|F 1F 2|2＝232⎛⎫⎪⎝⎭＋22.②由①②得a ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3.∴椭圆C 的方程为22143x y +=，应选C ． 9．(2013大纲全国，文9)若函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的部分图像如图，则ω＝( )．A ．5B ．4C ．3D ．2答案：B解析：∵由题中图象可知x0＋π4－x0＝2T.∴π2T=.∴2ππ2ω=.∴ω＝4.故选B．10．(2013大纲全国，文10)已知曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1，a＋2)处切线的斜率为8，则a＝()．A．9 B．6 C．－9 D．－6答案：D解析：由题意知y′|x＝－1＝(4x3＋2ax)|x＝－1＝－4－2a＝8，则a＝－6.故选D．11．(2013大纲全国，文11)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于()．A．23B．3C．3D．13答案：A解析：如图，设AA1＝2AB＝2，AC交BD于点O，连结OC1，过C作CH⊥OC1于点H，连结DH.∵BD⊥AC，BD⊥AA1，∴BD⊥平面ACC1A1.∵CH⊂平面ACC1A1，∴CH⊥BD．∴CH⊥平面C1BD．∴∠CDH为CD与平面BDC1所成的角．OC1=由等面积法得OC1·CH＝OC·CC1，22CH=.∴CH＝23.∴sin∠CDH＝22313CHCD==.故选A．12．(2013大纲全国，文12)已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若MA·MB＝0，则k＝()．A．12B．2CD．2答案：D解析：设AB ：y ＝k (x －2)，代入y 2＝8x 得： k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则∴x 1＋x 2＝2248k k +，x 1x 2＝4.(*)∵MA ·MB ＝0， ∴(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)＝0，即(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0.∴x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4＝0.① ∵11222,2,y k x y k x =(-)⎧⎨=(-)⎩∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－4)，②y 1·y 2＝k 2(x 1－2)(x 2－2)＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]．③由(*)及①②③得k ＝2.故选D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．(2013大纲全国，文13)设f (x )是以2为周期的函数，且当x ∈[1,3)时，f (x )＝x －2，则f (－1)＝______.答案：－1解析：∵f (x )是以2为周期的函数，且x ∈[1,3)时，f (x )＝x －2，则f (－1)＝f (－1＋2)＝f (1)＝1－2＝－1.14．(2013大纲全国，文14)从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有__________种．(用数字作答)答案：60解析：分三步：第一步，一等奖有16C 种可能的结果；第二步，二等奖有25C 种可能的结果；第三步，三等奖有33C 种可能的结果．故共有123653C C C 60=(种)可能的结果．15．(2013大纲全国，文15)若x ，y 满足约束条件0,34,34,x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩则z ＝－x ＋y 的最小值为______．答案：0解析：z ＝－x ＋y ⇒y ＝x ＋z ，z 表示直线y ＝x ＋z 在y 轴上的截距，截距越小，z 就越小．画出题中约束条件表示的可行域(如图中阴影部分所示)，当直线过点A(1,1)时，zmin ＝0.16．(2013大纲全国，文16)已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，OK ＝32，且圆O 与圆K 所在的平面所成的一个二面角为60°，则球O 的表面积等于______．答案：16π解析：如图，设MN 为公共弦，长度为R ，E 为MN 中点，连结OE ，EK ，则OE ⊥MN ，KE ⊥MN . ∴∠OEK 为圆O 与圆K 所在平面的二面角． ∴∠OEK ＝60°.又△OMN 为正三角形，∴OE. ∵OK ＝32，且OK ⊥KE ， ∴OE ·sin 60°＝32.∴3222R ⋅=.∴R ＝2.∴S ＝4πR 2＝16π.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(2013大纲全国，文17)(本小题满分10分)等差数列{a n }中，a 7＝4，a 19＝2a 9.(1)求{a n }的通项公式；(2)设1n nb na =，求数列{b n }的前n 项和S n . 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则 a n ＝a 1＋(n －1)d . 因为71994,2,a a a =⎧⎨=⎩所以11164,1828.a d a d a d +=⎧⎨+=(+)⎩解得a 1＝1，12d =.所以{a n }的通项公式为12n n a +=.(2)因为22211n b n n n n ==-(+)+，所以2222222122311n n S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 18．(2013大纲全国，文18)(本小题满分12分)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac .(1)求B ；(2)若sin A sin C ，求C ．解：(1)因为(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac ，所以a 2＋c 2－b 2＝－ac .由余弦定理得cos B ＝222122a cb ac +-=-，因此B ＝120°.(2)由(1)知A ＋C ＝60°，所以cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ＝cos A cos C －sin A sin C ＋2sin A sin C ＝cos(A ＋C )＋2sin A sin C＝11+224⨯＝2，故A －C ＝30°或A －C ＝－30°，因此C ＝15°或C ＝45°.19．(2013大纲全国，文19)(本小题满分12分)如图，四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，BC ＝2AD ，△P AB 和△P AD 都是边长为2的等边三角形．(1)证明：PB ⊥CD ；(2)求点A 到平面PCD 的距离．(1)证明：取BC 的中点E ，连结DE ，则ABED 为正方形．过P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O . 连结OA ，OB ，OD ，OE .由△P AB 和△P AD 都是等边三角形知P A ＝PB ＝PD ，所以OA ＝OB ＝OD ，即点O 为正方形ABED 对角线的交点，故OE ⊥BD ，从而PB ⊥OE .因为O 是BD 的中点，E 是BC 的中点，所以OE ∥CD ．因此PB ⊥CD ．(2)解：取PD 的中点F ，连结OF ，则OF ∥PB ．由(1)知，PB ⊥CD ，故OF ⊥CD ．又OD ＝12BD OP = 故△POD 为等腰三角形，因此OF ⊥PD ．又PD ∩CD ＝D ，所以OF ⊥平面PCD ．因为AE ∥CD ，CD ⊂平面PCD ，AE ⊄平面PCD ，所以AE ∥平面PCD ．因此O 到平面PCD 的距离OF 就是A 到平面PCD 的距离，而OF ＝12PB ＝1，所以A 到平面PCD 的距离为1.20．(2013大纲全国，文20)(本小题满分12分)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．(1)求第4局甲当裁判的概率；(2)求前4局中乙恰好当1次裁判的概率．解：(1)记A 1表示事件“第2局结果为甲胜”， A 2表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”， A 表示事件“第4局甲当裁判”．则A ＝A 1·A 2.P (A )＝P (A 1·A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝14. (2)记B 1表示事件“第1局比赛结果为乙胜”， B 2表示事件“第2局乙参加比赛时，结果为乙胜”， B 3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙胜”， B 表示事件“前4局中乙恰好当1次裁判”．则B ＝1B ·B 3＋B 1·B 2·3B ＋B 1·2B . P (B )＝P (1B ·B 3＋B 1·B 2·3B ＋B 1·2B ) ＝P (1B ·B 3)＋P (B 1·B 2·3B )＋P (B 1·2B ) ＝P (1B )P (B 3)＋P (B 1)P (B 2)P (3B )＋P (B 1)P (2B )＝111484++ ＝58. 21．(2013大纲全国，文21)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3x ＋1.(1)当a =f (x )的单调性；(2)若x ∈[2，＋∞)时，f (x )≥0，求a 的取值范围．解：(1)当a =f (x )＝x 3－2＋3x ＋1，f ′(x )＝3x 2－＋3.令f ′(x )＝0，得11x =，21x =.当x ∈(－∞1)时，f ′(x )＞0，f (x )在(－∞1)是增函数；当x ∈11)时，f ′(x )＜0，f (x )在11)是减函数；当x ∈1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )在1，＋∞)是增函数． (2)由f (2)≥0得54a ≥-. 当54a ≥-，x ∈(2，＋∞)时， f ′(x )＝3(x 2＋2ax ＋1)≥25312x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＝312x ⎛⎫- ⎪⎝⎭(x －2)＞0，所以f (x )在(2，＋∞)是增函数，于是当x ∈[2，＋∞)时，f (x )≥f (2)≥0. 综上，a 的取值范围是5,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 22．(2013大纲全国，文22)(本小题满分12分)已知双曲线C ：22221x y b-=(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为3，直线y ＝2与C (1)求a ，b ；(2)设过F 2的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，且|AF 1|＝|BF 1|，证明：|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等比数列．(1)解：由题设知3c a =，即2229a b a+=，故b 2＝8a 2. 所以C 的方程为8x 2－y 2＝8a 2.将y ＝2代入上式，并求得x =由题设知，=a 2＝1.所以a ＝1，b =(2)证明：由(1)知，F 1(－3,0)，F 2(3,0)，C 的方程为8x 2－y 2＝8.①由题意可设l 的方程为y ＝k (x －3)，|k ，代入①并化简得(k 2－8)x 2－6k 2x ＋9k 2＋8＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1≤－1，x 2≥1，x 1＋x 2＝2268k k -，x 1·x 2＝22988k k +-.于是|AF 1|＝－(3x 1＋1)，|BF 1|＝＝3x 2＋1.由|AF 1|＝|BF 1|得－(3x 1＋1)＝3x 2＋1，即x 1＋x 2＝23-.故226283kk=--，解得24 5k=，从而x1·x2＝19 9 -.由于|AF2|＝1－3x1，|BF2|＝＝3x2－1，故|AB|＝|AF2|－|BF2|＝2－3(x1＋x2)＝4，|AF2|·|BF2|＝3(x1＋x2)－9x1x2－1＝16.因而|AF2|·|BF2|＝|AB|2，所以|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．。

2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(新课标Ⅰ卷)【word精析版】

二、填空题考点一览表：总体来说2013全国新课标（1）文科卷的难度相比2012年来说有所下降，并且更加注重基础知识与基本能力的考查，这就要求老师们在平日教学的过程中注重培养学生的能力.第Ⅰ卷一、选择题共8小题。

每小题5分，共40分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

（1）已知集合A=｛1，2，3，4｝，，则A∩B= ( )（A）｛1,4｝（B）｛2，3｝（C）{9，16} （D）｛1,2}（2）= ( )（A）（B）（C）（D）（3）从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（）（A）（B）（C）（D）（4）已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（）（A）（B）（C）（D）（5）已知命题，；命题，，则下列命题中为真命题的是（）（A）（B）（C）（D）（6）设首项为，公比为的等比数列的前项和为，则（）（A）（B）（C）（D）对减，得，故选D.【考点定位】本题考查等比数列的通项公式与前n项和公式，考查学生的基本运算能力以及转化与化归能力.（7）执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的属于（）（A）（B）（C）（D）（8）为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为（）（A）（B）（C）（D）（9）函数在的图像大致为（）（10）已知锐角的内角的对边分别为，，，，则（）（A）（B）（C）（D）【答案】D；【解析】因为，且锐角△ABC，故，故，解得.【考点定位】本题考查二倍角公式以及余弦定理的基本应用，考查学生的基本运算能力以及转化与化归的能力（11）某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为（）（A）（B）（C）（D）（12）已知函数，若，则的取值范围是（）（A）（B）(C) (D)【答案】D；【解析】作出函数图像，在点（0,0）处的切线为制定参数的标准；当时，第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。

第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。

备战2013高考理科数学6年高考母题精解精析专题7 平面向量01 Word版含答案.pdf

1.【2012高考真题重庆理6】设R，向量且，则（A）（B）（C）（D）10 2.【2012高考真题浙江理5】设a，b是两个非零向量。

A.若|a+b|=|a|-|b|，则a⊥b B.若a⊥b，则|a+b|=|a|-|b| C.若|a+b|=|a|-|b|，则存在实数λ，使得b=λa D.若存在实数λ，使得b=λa，则|a+b|=|a|-|b| 3.【2012高考真题四川理7】设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（） A、 B、 C、 D、且【答案】C 【解析】A.可以推得为既不充分也不必要条件；B.可以推得或为必要不充分条件；C．为充分不必要条件；D同B. 4.【2012高考真题辽宁理3】已知两个非零向量a，b满足|a+b|=|ab|，则下面结论正确的是 (A) a∥b (B) a⊥b (C){0,1,3} (D)a+b=ab 5.【2012高考真题江西理7】在直角三角形中，点是斜边的中点，点为线段的中点，则=A．2 B．4C．5 D．10 6.【2012高考真题湖南理7】在△ABC中，AB=2，AC=3，=1则. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由下图知. .又由余弦定理知，解得. 7.【2012高考真题广东理3】若向量=（2,3），=（4,7），则=A．（-2,-4） B． (3,4) C． (6,10) D． (-6,-10) 【答案】A 【解析】．故选A． 8.【2012高考真题广东理8】对任意两个非零的平面向量α和β，定义．若平面向量a，b满足|a|≥|b|＞0，a与b的夹角，且和都在集合中，则=A． B.1 C. D. 9.【2012高考真题安徽理8】在平面直角坐标系中，，将向量按逆时针旋转后，得向量，则点的坐标是（） 10.【2012高考真题天津理7】已知为等边三角形，AB=2，设点P，Q满足，，，若，则=（A）（B）（C）（D）【答案】A 【解析】如图，设，则，又，，由得，即，整理，即，解得选A. 11.【2012高考真题全国卷理6】△ABC中，AB边的高为CD，若a·b=0，|a|=1，|b|=2，则 (A) （B） (C) (D) 12.【2012高考真题新课标理13】已知向量夹角为，且；则 13.【2012高考真题浙江理15】在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则=________. 【答案】-16 【解析】法一此题最适合的方法是特例法．假设ABC是以AB＝AC的等腰三角形，如图， AM＝3，BC＝10，AB＝AC＝． cos∠BAC＝．＝法二：. 14.【2012高考真题上海理12】在平行四边形中，，边、的长分别为2、1，若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范围是。

备战2013高考理科数学6年高考母题精解精析专题7 平面向量03 Word版含答案.pdf

【2009年高考试题】 10.（2009·广东理6）一质点受到平面上的三个力（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知，成角，且，的大小分别为2和4，则的大小为A. 6B. 2C.D. 解析：，所以，选D. 11.（2009·浙江理7）设向量，满足：，，．以，，的模为边长构成三角形，则它的边与半径为的圆的公共点个数最多为 ( ) A． B． C． D． 12.（2009·浙江文5）已知向量，．若向量满足，，则（） A． B． C． D． 13.(2009·山东理7;文.8)设P是△ABC所在平面内的一点，，则（） A. B. C. D. 解析：:因为，所以点P为线段AC的中点，所以应该选B。

答案：B。

【命题立意】:本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则，可以借助图形解答。

14.（2009·宁夏海南理9）已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的（A）重心外心垂心（B）重心外心内心（C）外心重心垂心（D）外心重心内心（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心） 23.（2009·辽宁文理3）平面向量a与b的夹角为，a＝(2,0), | b |＝1，则 | a＋2b |＝（A）（B）2 （C）4 （D）12 16.（2009·福建理9，文12）设，，为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足与不共线， =,则 ?的值一定等于 A．以，为邻边的平行四边形的面积 B. 以，为两边的三角形面积 C．，为两边的三角形面积 D. 以，为邻边的平行四边形的面积解析：假设与的夹角为， ?=··cos=·?cos(90)=·?sin,即为以，为邻边的平行四边形的面积，故选A。

4.（2009·江苏）已知向量和向量的夹角为，，则向量和向量的数量积=。

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备战2013高考数学（文）6年高考母题精解精析专题07 平面向量一、选择题1.【2012高考全国文9】ABC ∆中，AB 边的高为CD ，若CB a =，CA b =，0a b ⋅=，||1a =，||2b =，则AD =（A ）1133a b - （B ）2233a b - （C ）3355a b - （D ）4455a b -2.【2012高考重庆文6】设x R ∈ ，向量(,1),(1,2),a x b ==-且a b ⊥ ，则||a b +=（A （B （C ）（D ）103.【2012高考浙江文7】设a ，b 是两个非零向量。

A.若|a+b|=|a|-|b|，则a ⊥b B.若a ⊥b ，则|a+b|=|a|-|b|C.若|a+b|=|a|-|b|，则存在实数λ，使得b=λ aD.若存在实数λ，使得b=λa ，则|a+b|=|a|-|b| 【答案】C4.【2012高考四川文7】设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使||||a ba b =成立的充分条件是（）A 、||||a b =且//a bB 、a b =-C 、//a bD 、2a b = 【答案】Ｄ【解析】A.可以推得||||a ba b =或==为既不充分也不必要条件；Ｃ同Ａ；Ｄ.为充分不必要条件．故选D.5.【2012高考陕西文7】设向量a =（1.cos θ）与b =（-1， 2cos θ）垂直，则cos 2θ等于（）AB 12C .0 D.-1 【答案】C.【解析】02cos 0cos 212=⇔=+-⇔⊥θθb a ，故选C.7.【2012高考广东文3】若向量(1,2)AB =，(3,4)BC =，则AC =A. (4,6)B. (4,6)--C. (2,2)--D. (2,2) 【答案】A【解析】(1,2)(3,4)(4,6)AC AB BC =+=+=.8.【2012高考广东文10】对任意两个非零的平面向量α和β，定义=⋅⋅αβαβββ. 若两个非零的平面向量a ，b 满足a 与b 的夹角,42ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭，且a b 和b a 都在集合2n n ⎧⎫∈⎨⎬⎭⎩Z 中，则=a bA.52 B. 32 C. 1 D. 129.【2102高考福建文3】已知向量a=（x-1,2），b=（2,1），则a ⊥b 的充要条件是 A.x=-12B.x-1C.x=5D.x=010.【2012高考天津文科8】在△ABC 中，∠ A=90°，AB=1，设点P ，Q 满足AP =AB λ，AQ =(1-λ)AC ，λ ∈R 。

若BQ∙CP=-2，则λ=（A ）13（B ）23C ）43（D ）2【答案】B二、填空题1.【2012高考新课标文15】已知向量,a b 夹角为45︒，且1,210a a b =-=；则_____b =2.【2012高考安徽文11】设向量)2,1(m a =，)1,1(+=m b ，),2(m c =，若b c a ⊥+)(，则=||a ______.[【解析】1(3,3),()3(1)3022a c m a cb m m m a +=+=++=⇔=-⇒=。

3.【2012高考湖南文15】如图4，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，3AP =且AP AC = .【答案】18【解析】设AC BD O =，则2()AC AB BO =+，AP AC = 2()AP AB BO +=22AP AB AP BO +222()2AP AB AP AP PB AP ==+=18=.4.【2012高考浙江文15】在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM=3，BC=10，则AB AC ⋅=________.5.【2012高考山东文16】如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P 的位置在(0，0)，圆在x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2，1)时，OP 的坐标为＿＿＿＿.6.【2012高考江西文12】设单位向量m =（x ，y ），b =（2，-1）。

若，则=_______________【答案】5【解析】因为),(y x =为单位向量，所以122=+y x 。

又⊥，所以02=-=∙y x b m ，即x y 2=，两式联立解得512=x 。

5254422222==++=+x y xy x y x ，所以52=+y x7.【2012高考江苏9】（5分）如图，在矩形ABCD 中，2AB BC ==，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2AB AF =，则AE BF 的值是 ▲ ．记AE BF 和之间的夹角为,AEB FBC θαβ∠=∠=，，则θαβ=+。

本题也可建立以, AB AD 为坐标轴的直角坐标系，求出各点坐标后求解。

8.【2012高考上海文12】在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足BM CN BCCD=，则AM AN ⋅的取值范围是9.【2012高考湖北文13】已知向量a=（1,0），b=（1,1），则（Ⅰ）与2a+b 同向的单位向量的坐标表示为____________；（Ⅱ）向量b-3a 与向量a 夹角的余弦值为____________。

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）由()()1,0,1,1a =b =，得()23,1+a b =.设与2+a b 同向的单位向量为(),x y c =，则221,30,x y y x ⎧+=⎨-=⎩且,0x y>，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故c =.即与2+a b 同向的单位向量的坐标为. （Ⅱ）由()()1,0,1,1a =b =，得()32,1--b a =.设向量3-b a 与向量a 的夹角为θ，则()325cos3θ-===--b a a b a a10【2102高考北.京文13】已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则CB DE ⋅的值为________，DC DE ⋅的最大值为______。

【2011年高考试题】一、选择题:1．(2011年高考广东卷文科3)已知向量(1,2),(1,0),(3,4)a b c ===，若λ为实数，()//a b c λ+，则λ= （）A ．14 B ．12C ．1D ．22.（2011年高考全国卷文科3)设向量a b、满足|a|=|b|=1, a b⋅1=2-,则2a b+=（A（B（C（D3.（2011年高考辽宁卷文科3)已知向量a=（2,1），b=（-1，k），a·（2a-b）=0，则k=（）（A）-12 （B）-6 （C）6 （D）12答案： D解析：由题意，得2a-b =（5，2-k），a·（2a-b）=2×5+2-k=0，所以k=12.二、填空题：5. （2011年高考海南卷文科13)已知a与b为两个不共线的单位向量,k为实数,若向量a b+与向量ka b-垂直,则k= .8. （2011年高考福建卷文科13)若向量a=（1,1），b（-1,2），则a·b等于_____________. 【答案】1【解析】因为向量a=（1,1），b（-1,2），所以a·b等于1.++=9.（2011年高考四川卷文科7)如图，正六边形ABCDEF中，BA CD EF(A)0 (B)BE (C)AD (D)CF 答案：D解析：BA CD EF DE CD EF CD DE EF CF ++=++=++=.11．（2011年高考湖北卷文科2)若向量{1,2},{1,1}a b ==-，则2a b +与a b -的夹角等于A.4π-B.6πC.4πD.34π答案：C解析：因为2(3,3),(0,3)a b a b +=-=,设其夹角为r ，故(2)()2cos |2|||a b a b r a b a b +⋅-==+⋅-，即4r π=，所以选C.12.（2011年高考浙江卷文科15)若平面向量α、β 满足1,1αβ=≤，且以向量α、β为邻边的平行四边形的面积为12，则α和β的夹角θ取值范围是___。

13. (2011年高考天津卷文科14)已知直角梯形ABCD 中,AD ∥BC,90ADC ∠=,AD=2,BC=1,P 是腰DC 上的动点,则|3|PA PB +的最小值为 . 【答案】5【解析】画出图形,容易得结果为5.14.(2011年高考江苏卷10)已知→→21,e e 是夹角为π32的两个单位向量，,,22121→→→→→→+=-=e e k b e e a 若0=⋅→→b a ，则k 的值为.（2010辽宁文数）（8）平面上,,O A B 三点不共线，设,OA a OB b ==,则OAB ∆的面积等于（2010全国卷2文数）（10）△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB ，若CB = a , CA = b , a= 1 ，b = 2, 则CD =（A ）13a + 23b （B ）23a +13b （C ）35a +45b （D ）45a +35b 【解析】B ：本题考查了平面向量的基础知识∵ CD 为角平分线，∴ 12BD BC AD AC ==，∵ AB CB CA a b =-=-，∴222333AD AB a b ==-，∴ 22213333CD CA AD b a b a b =+=+-=+（2010安徽文数）(3)设向量(1,0)a =,11(,)22b =,则下列结论中正确的是（2010重庆文数）（3）若向量(3,)a m =，(2,1)b =-，0a b =，则实数m 的值为（A ）32-（B ）32（C ）2 （D ）6 解析：60a b m =-=，所以m =6（2010山东文数）（12）定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的(,)a m n =，(,)b p q =，令a b mq np =-，下面说法错误的是(A)若a 与b 共线，则0a b =(B)ab b a =(C)对任意的R λ∈，有()()a b ab λλ=(D)2222()()||||ab a b a b +∙=答案：B||||cos ||cos ||sin AC AD AC AD DAC AC DAC AC BAC∙=∙=∙=∠∠∠sin B BC ==【温馨提示】近几年天津卷中总可以看到平面向量的身影，且均属于中等题或难题，应加强平面向量的基本运算的训练，尤其是与三角形综合的问题。

（2010广东文数）（2010福建文数）（2010全国卷1文数）（11）已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA PB ∙的最小值为(A) 4-+ (B)3- (C) 4-+3-+11.D 【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力.BC=，（2010四川文数）（6）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，216 +=-，则AM=AB AC AB AC（A）8 （B）4 （C）2 （D）1（2010湖北文数）8.已知ABC ∆和点M 满足0MA MB MC ++=.若存在实m 使得AM AC mAM +=成立，则m =A.2B.3C.4D.5（2010上海文数）13.在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标为，1(2,1)e =、2(2,1)e =-分别是两条渐近线的方向向量。