(完整版)应力坐标变换
弹性力学第四章平面问题的极坐标解答
圆环或圆筒受均布压力（1）
q2 q1
边界条件：
圆环或圆筒受均布压力（2）
q2
q1
两个方程三个未知数，不能求解A，B，
C。因此，需引入位移单值条件：
该项必须为零，否则在环上同一点有两 个不同的位移，故B=0
圆环或圆筒受均布压力（3）
பைடு நூலகம்q2
q1 因此，得到圆筒受均匀压力的拉梅 （ me,1795—1870 ，法国）解答：
小孔口问题的特点：
1.集中性，孔附近的应力远大于较远处的应力。
2.局部性，孔口附近的应力扰动主要发生在距孔 边1.5倍孔口尺寸的范围内。在此区域外，由于开 孔引起的应力扰动一般小于5%，可以忽略不计。
注：圆孔的应力集中程度较低，有凹尖角的孔口 应力集中程度较高，因此，在设计结构时应尽量 避免有凹尖角的孔口。
o
x 在仅有径向位移的情况下，段
P P’ A
PA没有转动，因此：
A’
B
C
y
B’
极坐标中的几何方程（5）
— 纯环向位移下的线应变
o
x
很小，导致P’’A’’与PA
P P’’
的差别可以忽略，因此：
A
B B’’
D
D’
A’’
y
极坐标中的几何方程（6）
— 纯环向位移下的切应变
o
x
P
P’’
A
B B’’
D
D’
A’’
阶，因此假定：
半面体在边界上受集中力（2）
F
ao
c
ρ
代入极坐标中的相容方程：
b
得到：
半面体在边界上受集中力（3）
代入：
F
ao
应力变换公式范文
应力变换公式范文σ' = σcos^2θ + σsin^2θ其中，σ'表示转换后的应力，σ表示原始应力，θ表示两个坐标系之间的夹角。
在强度学中，应力是物体单位面积上所受的力，其大小表示了物体所承受的外部载荷的大小。
应力的大小和方向会影响物体的强度和变形情况。
通常情况下，物体会受到多个方向的力，这些力可以用一个张力矢量来表示。
而应力变换公式就是用来计算张力矢量在另一个坐标系中的变换情况。
在强度学中，应力变换公式有以下几种形式：1.平面应力:在一个平面内，物体受到的力作用在该平面内，且力沿着平面的法向或切向的情况下，应力只有一分量，即σn和σt，分别代表垂直和平行于平面的应力。
在转换应力时，应力沿这个方向的分量不发生改变，而与这个方向垂直的应力分量发生变换。
公式如下：σ'n = σn*cos^2θ + σt*sin^2θσ't = σn*sin^2θ + σt*cos^2θ其中，σ'n和σ't为转换后的应力。
2.平面应变:在一个平面内，物体受到的力作用在该平面内，且力沿着平面的法向或切向的情况下，应变只有一分量，即εn和εt，分别代表垂直和平行于平面的应变。
在转换应变时，应变沿这个方向的分量不发生改变，而与这个方向垂直的应变分量发生变换。
公式如下：ε'n = εn*cos^2θ + εt*sin^2θε't = εn*sin^2θ + εt*cos^2θ其中，ε'n和ε't为转换后的应变。
3.体应变和体应力:在三维空间内，物体受到的力作用在三个不同的面上，且力沿着这些面的法向的情况下，应变和应力都有三个分量，分别代表沿三个坐标轴方向的应变和应力。
在转换应变和应力时，需要考虑所有的分量。
公式如下：ε'x = εx*cos^2θ + εy*sin^2θ + εz*sin^2θε'y = εx*sin^2θ + εy*cos^2θ + εz*sin^2θε'z = εx*sin^2θ + εy*sin^2θ + εz*cos^2θσ'x = σx*cos^2θ + σy*sin^2θ + σz*sin^2θσ'y = σx*sin^2θ + σy*cos^2θ + σz*sin^2θσ'z = σx*sin^2θ + σy*sin^2θ + σz*cos^2θ其中，ε'x,ε'y,ε'z和σ'x,σ'y,σ'z分别为转换后的应变和应力。
5.1 Pi平面上的应力偏量描述(原创坐标变换法)
程可由变量 , , 表示成： 或：
+ + =0 + + =0
因为 ⃗必然在 π 平面内，对于二维的 π 平面，用两个变量（x，y）就可以描述 （⃗ 应
力偏量部分 S）。
1/ 4
Email: onexf@
使用教材：《材料固体力学》上册 周益春编著 科学出版社
π 平面上的应力偏量 S 描述：
纯剪时： 纯拉时： 纯压时：
= 0, = , = − = , = =0 = = 0, = −
= 0, = 0 = −1, = −30
= 1, = 30
(2) 新旧坐标逆变换( , , ) → ( , , )：
=
= =
+
+
=
√3 3
+
√2 2
1 −
√6
=
√2 2
1 −
√6
+
√3 √6 √6
+
+
=3 +3 =3 +
节）区别： 八面体正应力 ：应力状态已确定（即 , , 值已确定，它们不一定相等），来计算法向为等倾线的平面 上的正应力； Λ线上的应力：主应力空间中的三个分量 , , 是变量，由它来表示任意一点的应力状态 ，若落在等倾 线上（三个变量 = = 相等）即为静水应力。
定义 π 平面：过原点、法向为 ⃗的面。也是主应力空间的等倾面，它的数学方
根据坐标转换规律，新旧坐标中 分量（在主应力空间，可以认为应力是 一个矢量）之间的关系为：
=
(其中： = 1 , 2 , 3 ; = 1,2,3)
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Email: onexf@
使用教材：《材料固体力学》上册 周益春编著 科学出版社
应力和应变变换
MA 02139，剑桥 麻省理工学院
材料科学与工程系 David Roylance
2001 年 5 月 14 日
引言
坐标轴旋转时的变换是材料力学中最常见的问题之一。例如，我们已经知道作用在 x 和 y 平面上1的应力，但其实更感兴趣的是与 x 轴有某一夹角（比方说 30º，如图 1 所示）的
＝⎢⎢0.0 ⎢⎣0.0
1.0 0.0
0.0⎥⎥⎢⎢ 0.5 2.0⎥⎦⎢⎣− 0.5
0.5 0.5
−1.0⎥⎥⎢⎢0.0 0.0 ⎥⎦⎢⎣0.0
1.0 0.0
00..05⎥⎥⎥⎦⎪⎩⎪⎨−
0.01⎪⎬＝⎪⎨
0.00
⎪ ⎬
0 ⎪⎭ ⎪⎩− 0.02⎪⎭
4
显然，矩阵乘法是颇为冗长乏味的，但若利用矩阵处理软件，上述运算就变得非常方便了。
c2 s2
s2 c2
2 sc − 2sc
⎤ ⎥ ⎥
⎧σ ⎪⎨σ
x y
⎫ ⎪ ⎬
(4)
⎪⎩τ
x′y′
⎪ ⎭
⎢⎣− sc
sc
c2
−
s 2 ⎥⎦⎪⎩τ
xy
⎪ ⎭
式中， c = cosθ，s = sinθ 。进一步可简写为
σ ′ = Aσ
(5)
式中，A 是式（4）方括号中的变换矩阵。虽然式（4）给出的 A 的特定形式只适用于二维
3． 用 线 段 把 这 两 点 连 起 来 。 该 线 段 将 在 中 点 处 与 σ 轴 相 交 ， 交 点 的 横 坐 标 为
( ) σ x + σ y 2 ，在本例中即[5+(-3)]/2=1。
4． 将圆规的尖端放在该线段的中点，使圆规的铅笔端对准该线段的端点，以该线段为 直径画圆。对本例的应力状态，所作的圆如图 5(b)所示。
应力分析
设新坐标系的新坐 标轴的基矢e1' 、 e2' 、 e3'对原基矢e1、e2和e3 的过渡矩阵为[lij]= l， 矢量为一阶张量，矢量 分量的坐标变换公式为 [vi’] = #39; i
应力分量为二阶张量，应力分量的坐标变换 公式为 T
σ ' = lσl
一项中有相它符号的指标，通常有泛指 的意义，称为自由标。 记基矢的点积 e i ·e j = δij 其中
称为Kronecker符号。
记基矢的混合积 (e i ×e j ）·e k = e ijk 其中
当i, j, k为偶置换 当i, j, k为奇置换 当i，j，k有两个或三个相同
称为置换符号。利用置换符号，两个 矢量的矢积可记为 a i ×b j = e ijk ai bjek
第二章 应力分析
应力的概念是固体力学的最重要 的概念之一,应力分量具有张量的性质， 符合张量的坐标变换规律。考虑单元 体的平衡，得到平衡微分方程，在边 界上得到边界条件，边界条件在弹性 力学问题的求解中占有重要的地位。
第二章 应力分析
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 应力的概念 应力分量 坐标变换 平衡方程 边界条件
设边界上一点处A的外力沿轴向的分量为 px, py （沿正向为正）。 在边界A这部分可视外力分量为应力分量， 直接得到应力边界条件：
σx = px τyx = py
n
设斜面ACD为边界面， 其外法线n的方向为(l1,l2,l3)， 面积为∆S，边界外力分量为 (px，py，,pz)，则三角形ABC、 ABD 、 BCD的面积分别为 ∆S在各相应方向上的投影
平衡方程的矩阵形式是：Lσ+ F = 0 其中L是微分算子：
σ = { xσ yσ zτ xyτ yzτ zx } σ
应力应变
逆时针旋转为正
坐标变换后应力张量分量的另一表示方法
σ'x = σx cos2θ + τxy sin2θ + σy sin2θ σ'y = σx sin2θ - τxy sin2θ + σy cos2θ τ'xy = (σy - σx) /2 sin 2θ+ τxy cos2θ
利用 cos2θ = 1－2 sin2θ ＝ 2cos2θ－1
x’
Vy sin Vx cos
V’x x
Vx
参考 （不要求）
张量（三维）的坐标变换
矢量：
V’x = Vx cos+ Vy sin
坐标变换
T'x T'y cosθ sinθ -sinθ cosθ Tx Ty
V’y = -Vy sin + Vy cos 张量：
或 σ'x = σx cos2θ + τxy sin2θ + σy sin2θ σ'y = σx sin2θ - τxy sin2θ + σy cos2θ τ'xy = (σy - σx) /2 sin 2θ+ τxy cos2θ
标量、矢量和张量
标量 温度、质量、密度 等 矢量 速度、加速度、力 等 S Si
张量 应力张量、应变张量、热传导系数张量 Sij
其坐标在 n 维空间内，有 nr 个分量的一种量， 其中每个分量都是坐标的函数， 而在坐标变换 时，这些分量也依照某些规则作线性变换。r 称为该张量的阶。 r=0 0阶张量 （标量）1个分量
应力
在连续介质力学中， 应力是可变形物体内作 用着的内力的一个度量。 定量地讲，它是物体内 部内力在一个面上单位 面积内作用的大小。 这种内力是因物体 受到外力作用而产生。 应力在物体内连续分布， 造成物体变形。当应力 超过一定极限值时，可 能会造成结构破坏和永 久变形。
极坐标下应力坐标变换详解
为了更加简便 易懂，需要使 用三角公式进 行化简
思考：如何用直角坐标应力表示极
坐标应力呢？
只需将A和B两个三角形板变换一下位置
变换后的三角形板为C和D，斜边重合 和垂直于引线
同理，按照前面方法可得：
利用三角公式也可得：
谢谢 THANK U
极坐标下应力坐标变换
数学坐标系中直角坐标 和极坐标可以相互转换
弹性力学中也 可以按照此方 法进行变换
从薄板或长柱形体取出微分体
为了方便研究，在弹性体中取微小直角三角板 A和B，要求他们的斜边垂直于X轴和Y轴，厚度取 一个单位，如下图：
将直角坐标和极坐标联系起来就需要 采用平衡条件，现在有A和B两个微小体， 可以在X和Y方向列出四个平衡方程，设斜 面为ds，再联立求解。
应力和应变变换
方向的规定仅适用于画莫尔圆时：若切应力对正方形内任意点的矩为顺时针转向，
则规定为正；而逆时针方向时规定为负。所以作用在 x 和 y 面上的切应力必定符号
相反。正应力则按常规，即拉伸时为正、压缩时为负。
图 5 当σ x = +5 ，σ y = −3 ，τ xy = +4 时画出的应力正方形
情况（平面应力状态），而且是在直角坐标系内，但式（5）对二维和三维应力状态都适用。
用数学或几何方法（见习题 3 和 4）可证明，无限小应变分量可按几乎同样的关系式进
行变换：
3
⎧ ⎪ ⎨
ε x′ ε y′
⎫ ⎪ ⎬
=
⎧ A ⎪⎨
εx εy
⎫ ⎪ ⎬
(6)
⎪ ⎩
1 2
γ
x′y′
⎪ ⎭
⎪ ⎩
1 2
γ
xy
殊性。在直径线段水平时，正应力取最大值而切应力为零。这些正应力称为主应力，记作σ p1 和σ p2 ，主应力作用的平面称为主平面。如果材料易于因拉伸断裂而失效，则当σ p1 的值超
过拉伸强度极限时,将沿主平面断裂而失效。 例 3 先用莫尔圆图解法预测粉笔在扭转时将如何断裂，再用实践来检验，这将使我们
（图（a））、莫尔圆（图（b））和斜截面上的应力状态（图（c））
2． 在以σ 为横坐标（ x 轴）、τ 为纵坐标（ y 轴）的坐标系内作图，画出与应力正方 形 x 、 y 面上的应力相对应的点作为应力圆上的两个点。由于这两个面上的切应力 的符号彼此相反，其中一个点必在σ 轴上方、而另一点在σ 轴下方。此两点到σ 轴 的距离完全相等。为便于说明，把这两点分别标为 x 和 y 。
(完整版)应力坐标变换
应力坐标变换进行数值计算分析的时候经常会遇到要对应力的计算结果进行坐标变换，在此将其计算公式罗列如下：式中：l1,m1,n1为x’与x、y、z的夹角余弦；l2,m2,n2为y’与x、y、z的夹角余弦；l3,m3,n3为z’与x、y、z的夹角余弦；x’y’z’为新坐标系，xyz为旧坐标系。
计算最后得到的公式为：dx'=l1^2*dx+2*l1*m1*Txy+2*l1*n1*Txz+m1^2*dy+2*m1*n1*Tyz+dz*n1^2dy’=l2^2*dx+2*l2*m2*Txy+2*l2*n2*Txz+m2^2*dy+2*m2*n2*Tyz+n2^2*dzdz’=l3^2*dx+2*l3*m3*Txy+2*l3*n3*Txz+m3^2*dy+2*m3*n3*Tyz+n3^2*dzTx’y’=(l1*n2+n1*l2)*Txz+(n1*m2+m1*n2)*Tyz+(l1*m2+m1*l2)*Txy+l1*l2*dx+m1*m2*dy+n 1*n2*dzTy’z’=(l2*n3+n2*l3)*Txz+(n2*m3+m2*n3)*Tyz+(l2*m3+m2*l3)*Txy+l2*l3*dx+m2*m3*dy+n 2*n3*dzTx’z’=(l1*n3+n1*l3)*Txz+(n1*m3+m1*n3)*Tyz+(l1*m3+m1*l3)*Txy+l1*l3*dx+m1*§2.6 坐标变换的应力分量和应力张量学习思路:一点的应力不仅随着点的位置改变而变化，而且由于截面的法线方向不同，截面上的应力也不同。
因此必须探讨一点任意截面应力之间的变化关系。
应力分量能够描述一点的应力状态，因此确定不同截面应力分量的变化规律，就可以确定应力状态。
本节分析坐标系改变时应力分量的变化规律。
为了简化分析，首先假设斜截面的法线与新坐标轴方向相同，建立斜截面应力矢量表达式。
然后利用斜截面应力矢量与应力分量的关系，将应力矢量投影于各个坐标轴得到应力分量表达式。
§4-4 应力分量的坐标变换
§4－4 应力分量的坐标变换在一定的应力状态下，如果已知极坐标中的应力分量，就可以利用简单的关系式求得直角坐标中的应力分量。
反之，如果已知直角坐标中的应力分量，也可以利用简单的关系式求得极坐标中的应力分量。
由于应力分量不但具有方向性，而且与作用面有关，为了建立应力分量的坐标变换式，应取出包含两种坐标面的微分体，然后考虑微分体的静力平衡条件，可得出该变换式。
如图，当取厚度为1，包含x 面、y 面和径向坐标面的微小三角板A 时， 它的ab 为x 面，ac 为y 面，而bc 为ρ面。
各面上的应力如图所示。
命bc 边的长度为ds ，则ab 边及ac 边的长度分别为dscosφ及dssinφ。
图 4-3根据三角板A 的平衡条件∑F ρ=0，可以写出平衡方程cos cos sin sin cos sin sin cos 0x y xy yx ds ds ds ds ds ρσσϕϕσϕϕτϕϕτϕϕ-⨯--⨯-=。
用τxy 代替τyx ，进行简化，就得到22cos sin sin 2x y xy ρσσϕσϕτϕ=++。
同样可由三角板A 的平衡条件∑F φ=0，得到()cos sin cos 2y x xy ρϕτσσϕϕτϕ=-+220cos sin sin 20()cos sin cos 2x y xy y x xy F F ρρϕρϕσσϕσϕτϕτσσϕϕτϕ=⎧=++⎫⎪⎪→⎬⎨==-+⎪⎪⎭⎩∑∑ 同理，当取厚度为1，包含x 面、y 面和环向坐标面的微小三角板B 时，由微分体的沿径向和环向两个方向的静力平衡条件，可得如下变换式：220sin cos sin 20()cos sin cos 2x y xy y x xy F F ρϕϕϕρσσϕσϕτϕτσσϕϕτϕ=⎧=+-⎫⎪⎪→⎬⎨==-+⎪⎪⎭⎩∑∑ 综上，可得应力分量由直角坐标向极坐标的变换式为：2222cos sin sin 2sin cos sin 2()cos sin cos 2x y xy x y xy y x xy ρϕρϕσσϕσϕτϕσσϕσϕτϕτσσϕϕτϕ⎫=++⎪⎪=+-⎬⎪=-+⎪⎭ （4-7） 同理，如果考虑x 和y 方向的静力平衡条件，可导出应力分量由极坐标向直角坐标的的转换式：2222cos sin sin 2sin cos sin 2()cos sin cos 2x y xy ρϕρϕρϕρϕρϕρϕσσϕσϕτϕσσϕσϕτϕτσσϕϕτϕ⎫=+-⎪⎪=++⎬⎪=-+⎪⎭ （4-8）。
应力坐标变换
应力坐标变换进行数值计算分析的时候经常会遇到要对应力的计算结果进行坐标变换，在此将其计算公式罗列如下：式中：l1,m1,n1为x’与x、y、z的夹角余弦；l2,m2,n2为y’与x、y、z的夹角余弦；l3,m3,n3为z’与x、y、z的夹角余弦；x’y’z’为新坐标系，xyz为旧坐标系。
计算最后得到的公式为：dx'=l1^2*dx+2*l1*m1*Txy+2*l1*n1*Txz+m1^2*dy+2*m1*n1*Tyz+dz*n1^2dy’=l2^2*dx+2*l2*m2*Txy+2*l2*n2*Txz+m2^2*dy+2*m2*n2*Tyz+n2^2*dzdz’=l3^2*dx+2*l3*m3*Txy+2*l3*n3*Txz+m3^2*dy+2*m3*n3*Tyz+n3^2*dzTx’y’=(l1*n2+n1*l2)*Txz+(n1*m2+m1*n2)*Tyz+(l1*m2+m1*l2)*Txy+l1*l2*dx+m1*m2*dy+n 1*n2*dzTy’z’=(l2*n3+n2*l3)*Txz+(n2*m3+m2*n3)*Tyz+(l2*m3+m2*l3)*Txy+l2*l3*dx+m2*m3*dy+n 2*n3*dzTx’z’=(l1*n3+n1*l3)*Txz+(n1*m3+m1*n3)*Tyz+(l1*m3+m1*l3)*Txy+l1*l3*dx+m1*§2.6 坐标变换的应力分量和应力张量学习思路:一点的应力不仅随着点的位置改变而变化，而且由于截面的法线方向不同，截面上的应力也不同。
因此必须探讨一点任意截面应力之间的变化关系。
应力分量能够描述一点的应力状态，因此确定不同截面应力分量的变化规律，就可以确定应力状态。
本节分析坐标系改变时应力分量的变化规律。
为了简化分析，首先假设斜截面的法线与新坐标轴方向相同，建立斜截面应力矢量表达式。
然后利用斜截面应力矢量与应力分量的关系，将应力矢量投影于各个坐标轴得到应力分量表达式。
2-应力分析
z
3
3
2
1
33 ( z )
y
2
1 x
1. 八面体斜面上的正应力
2 2 8 1l12 2l2 3l3
1 ( x) 1
显然当为单向应力状态时 1
1 2 0
i 1
即表明复杂应力状态的 i 与单向拉伸应力状态的 i 在某种 意义上具有相同的强度效应。故称为正应力强度或等效正应力 同样，为和纯剪应力状态作对比，定义
i
1
2 2 2 ( x y )2 ( y z ) 2 ( z x ) 2 ( xy yz zx ) 6
仍视
为外法线的坐标面为
坐标系下的斜截面 分别向 方向
将该斜截面的全应力分量 投影即得 。
同理 所以 此系二阶张量的本质特征
数学上将满足上式的一组量称为二阶张量，即决定一点应力 状态的9个应力分量 是一个二阶张量，称为应力张量
§2-3 应力状态的主应力和主方向
一. 应力状态的主应力和主方向 定义：1. 当 P 点的某一斜截面上的切应力为零时，则该斜截面
i
1
2 2 2 ( x y )2 ( y z ) 2 ( z x ) 2 3( xy yz zx ) 2
1
3 2 ( 1 2 )2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 8 2 2
特例1：平面应力状态主应力及主方向
代入特征方程 解方程（若按大小排序其解为）
应力应变转换公式
应力应变转换公式
应力（Stress）和应变（Strain）是描述物体受力后产生的变形程度
的物理量。
应力是单位面积上的力，应变是物体长度或体积的相对变化。
应力和应变之间的关系可以通过应力-应变曲线来描述。
在弹性范围内，即物体受力后能完全恢复原状的范围内，应力和应变呈线性关系。
在
这种线性关系下，可以使用应力应变转换公式来表示应变和应力之间的关系。
σ=Eε
其中，σ表示应力，E表示弹性模量，ε表示应变。
需要注意的是，弹性模量E是物体特性，是一个常数。
它与物体的材
料有关，不同材料的弹性模量数值不同。
用于弹性模量的单位是帕斯卡（Pa）。
应变可以分为线性应变（拉伸或压缩应变）、切变应变以及体积应变。
对于线性应变，应力应变转换公式为：
ε=σ/E
对于切变应变，应力应变转换公式为：
γ=τ/G
其中，γ表示切变应变，τ表示切变应力，G表示剪切模量。
对于体积应变，应力应变转换公式为：
ε_v=-αΔT
其中，ε_v表示体积应变，α表示热膨胀系数，ΔT表示温度变化。
综上所述，应力应变转换公式描述了应力和应变之间的关系。
它们在
物体受力后的变形及其影响研究中起到了重要的作用，不同类型的应变有
不同的转换公式。
这些公式允许我们根据给定的应力值计算相应的应变值，或者根据给定的应变值计算应力值，从而更好地了解物体在受力下产生的
变形情况。
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应力坐标变换
进行数值计算分析的时候经常会遇到要对应力的计算结果进行坐标变换，在此将其计算公式罗列如下：
式中：l1,m1,n1为x’与x、y、z的夹角余弦；l2,m2,n2为y’与x、y、z的夹角余弦；l3,m3,n3为z’与x、y、z的夹角余弦；x’y’z’为新坐标系，xyz为旧坐标系。
计算最后得到的公式为：
dx'=l1^2*dx+2*l1*m1*Txy+2*l1*n1*Txz+m1^2*dy+2*m1*n1*Tyz+dz*n1^2
dy’=l2^2*dx+2*l2*m2*Txy+2*l2*n2*Txz+m2^2*dy+2*m2*n2*Tyz+n2^2*dz
dz’=l3^2*dx+2*l3*m3*Txy+2*l3*n3*Txz+m3^2*dy+2*m3*n3*Tyz+n3^2*dz
Tx’y’=(l1*n2+n1*l2)*Txz+(n1*m2+m1*n2)*Tyz+(l1*m2+m1*l2)*Txy+l1*l2*dx+m1*m2*dy+n 1*n2*dz
Ty’z’=(l2*n3+n2*l3)*Txz+(n2*m3+m2*n3)*Tyz+(l2*m3+m2*l3)*Txy+l2*l3*dx+m2*m3*dy+n 2*n3*dz
Tx’z’=(l1*n3+n1*l3)*Txz+(n1*m3+m1*n3)*Tyz+(l1*m3+m1*l3)*Txy+l1*l3*dx+m1*
§2.6 坐标变换的应力分量和应力张量
学习思路:
一点的应力不仅随着点的位置改变而变化，而且由于截面的法线方向不同，截面上的应力也不同。
因此必须探讨一点任意截面应力之间的变化关系。
应力分量能够描述一点的应力状态，因此确定不同截面应力分量的变化规律，就可以确定应力状态。
本节分析坐标系改变时应力分量的变化规律。
为了简化分析，首先假设斜截面的法线与新坐标轴方向相同，建立斜截面应力矢量表达式。
然后利用斜截面应力矢量与应力分量的关系，将应力矢量投影于各个坐标轴得到应力分量表达式。
应力分量的转轴公式说明：应力分量满足张量变换条件。
根据切应力互等定理，应力张量是二阶对称张量。
转轴公式说明了一点的应力状态，尽管截面方位的变化导致应力分量改变，但是一点的应力状态是不变的。
学习要点：
1. 坐标系的变换；
2. 坐标平面的应力矢量;
3. 应力分量的投影;
4. 应力分量转轴公式;
5. 平面问题的转轴公式。
一点的应力不仅是坐标的函数，随着弹性体中点的位置改变而变化，而且即使同一点，由于截面的法线方向不同，截面上的应力也不相同。
一点的应力随着截面的法线方向的改变而变化称为应力状态。
应力状态分析就是讨论一点不同截面的应力变化规律。
由于应力分量可以描述应力状态，因此讨论坐标系改变时，一点的各个应力分量的变化就可以确定应力状态。
当坐标系改变时，同一点的各个应力分量将作如何的改变。
容易证明，坐标系仅作平移变换时，同一点的应力分量是不会改变的，因此只须考虑坐标系旋转的情况。
假设在已知坐标系Oxyz中，弹性体中某点的应力分量为
如果让坐标系转过一个角度，得到一个新的坐标系Ox'y'z'。
设新坐标系与原坐标系之间有如下关系:
其中，l i，m i，n i表示新坐标轴Ox'y'z'与原坐标轴Oxyz之间的夹角方向余弦。
如果用
表示同一点在新坐标系下的应力分量。
作斜截面ABC与x' 轴垂
直，其应力矢量为p
n
，则
根据应力矢量与应力分量的表达式
设i'，j'，k' 为新坐标系Ox'y'z'的三个坐标轴方向的单位矢量，
如图所示。
将pn ，即px'向x' 轴投影就得到x'；向y' 轴投影就得到x'y'；向z' 轴投影就得到 x'z'；
所以
将应力矢量分量表达式代入上述各式，并分别考虑y，z方向，则可以得到转轴公式
注意到, x'y' =y'x' , y'z' =z'y' , x'z' =z'x' 。
用张量形式描述，则上述公式可以写作
应力变换公式表明：当坐标轴作转轴变换时，应力分量遵循张量的变换规律。
坐标轴旋转后，应量的九个分量均有改变，但是作为一个整体所描述的应力状态是不会发生变化的。
应力张量为二阶对称张量，仅有六个独立分量。
新坐标系下的六个应力分量可通过原坐标系的应量确定。
因此，应力张量的六个应力分量就确定了一点的应力状态。
对于平面问题，如Ox 轴与Ox' 成 角。
则新旧坐标系有如下关系：
根据转轴公式，可得
上述公式即材料力学中常用的应力变换公式。
应该注意的问题是：材料力学是根据变形效应定义应力分量的，而弹性力学是根据坐标轴定义应量的符号的。
因此对于正应力二者符号定义结果没有差别，但是对于切应力符号定义是不同的。
例如两个相互垂直的微分面上的切应力，根据弹性力学定义，符号是相同的，而根据材料力学定义，符号是反的。