怎样推导梁的应力公式、变形公式

z x y M
z M dφ x
dx
dx (b) 弯曲后平面图
y ε=ydφ
(a) 弯曲前平面图 z x y M
z M dφ dx (d) 弯曲后立体图
ε
dx
y ε=ydφ
(c) 弯曲前立体图
ε x (y) ≡
ydϕ (x ) 横截面上的各点 ======= c x y (1) dx
图 1-1 在平截面假设下， （ 1）同一横截面上各点（ z， y）应变ε沿 y 线性分布； （ 2） 应变ε与梁高方向的 y 值成正比， 比例常数 cx 仅与横截面位置有关； （ 3）中性轴 z 上各点（ y=0）的应变ε为零。 从橡胶棒的纯弯曲试验，我们观测到纯弯曲时，各横截面绕面内的某轴（中性轴 Z）转 过一个角度（如图 1-1、1-2 中的 dφ） ，横截面仍然保持为平面，
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将（1） （2）式回代到（ 4） ：
M = Ec x I z = E
(4 )
(1)
ε
y
Iz = E
(2 )
σ /E
y
Iz =
σ
y
I z (6 )
M y (7 ) Iz
将（6）式恒等变形，得教科书上梁的应力计算公式： σ = （ 7）式表明梁的正应力沿梁高方向 y 成线性分布。
注 1：推导（ 4）式的目的是把含有非几何量的积分式 M = 形为不显含积分的表达式 M = EkI z (4 ) ，积分
M = ∫ ydF = ∫ yσdA33 (3)
A A
1.1.4 由上述三个关系式可以推导出轴向拉压杆的横截面应力公式。 为了方便推导和阅读，把上面的几何学、物理学、静力学三个方面的公式汇集如下：
ε x ( y ) = c x y (1) ， σ = Eε (2) ， M = ∫ yσdA33 (3)
∫
A
yσdA33 (3)
1.3.2 推导应力公式 为了求得应力公式，推导如下;
M = ∫ yσdA = ∫ yEεdA = E ∫ yεdA = E ∫ yc x ydA = Ec x ∫ y 2 dA = Ec x I z 33 (4 )
A A A A A
(3 )
(2 )
(1)
定义 I z ≡
(4 )
下面就用统一的步骤，研究梁的应力公式和变形公式。
一般来说，多按静力、几何、物理的顺序分析和讲解这三个方面的问题。
力是看不见、摸不着的，只能够感知自身所受的力，或者理性思考、感悟、想象自身以 外的物体所承受的力（这是力学难学的根本之所在） 。 变形是可以观测的，或者借助易变形的橡胶模型观测到。由于物体运动可以观测到，速 度、加速度不难理解，而绝大部分物体的变形很难肉眼观测，研究平衡状态下的内力和变形 的难度进一步加深。 物理方面是指材料的力学性质，主要是应力应变关系，这必须试验确定。在材料力学中
∫
A
yσdA33 (3) ，恒等变
∫
A
y 2 dA ，则隐含在惯性矩的定义式中，
I z ≡ ∫ y 2 dA ，该积分仅仅是横截面形状、大小的函数，与内力（弯矩 M ）无关，即可以
A
对不同形式截面的惯性矩事先予以计算。 注 2：在梁的横截面上有线性分布的正应力，但是，它们的合力为零，即梁的横截面上 没有轴向力。现证明如下：
公式（1）表明：各纵向纤维（ x 方向）的单位长度伸长量εx（线应变、正应变）可表
M
z x
ydϕ ( x ) 横截面上的各点 ε x (y) ≡ ======= c x y (1) dx
dφ M x y
y
ε压,maxdx
y
z
εdx ε拉,maxdx
y α
ε
dx
yεdx
图 1-2 在平截面假设下同一横截面上各点（ z， y）应变ε沿 y 线性分布， y=0 各点为零 示为 ε x ( y ) =
05、基本知识 怎样推导梁的应力公式、变形公式（供参考） 同 学 们 学 习 下 面 内 容 后 ， 一 定 要 向 老 师 回 信 （849896803@qq.com） ， 说出你对本资料的看法 （收获、 不懂的地方、 资料有错的地方） ，以便考核你的平时成绩和改进我的工作。回信请 注明班级和学号的后面三位数。
（ 8）式中的
dϕ dϕ y ′′ 是曲率，由数学知： = = dx dx (1 + y ′ 2 )3 / 2 ±
[
(1 + y ′ )]
2
y ′′
3
≈ ± y ′′ ，考
虑到坐标轴 y 向下为正和对弯矩正负号的规定，故应取 （8）得
dϕ = - y ′′ (9 ) ，把（9）代入 dx
y ′′ = −
∫
A
y 2 dA (5) ，称为横截面对形心轴 z 的惯性矩，其单位为长度的 4 次方。
(1)
M = Ec x I z = E
ε
y
Iz = E
(2 )
σ /E
y
Iz =
σ
y
I z (6 )
M y (7 ) Iz
将（6）式恒等变形，得教科书上梁的应力计算公式： σ =
h/2
b
惯性矩定义式： I z ≡
dx
x
∫
A
ydF = ∫ yσdA33 (3) 成立。
A
h/2
b y
σ
y h/2 图 1-3 弯矩与正应力的一般表达式 y
z
dA=bdy
dy
在梁的横截面上的“广义合力”为作用在 xy 面内的力偶 M（弯矩） ，故横截面上各点 “正应力”向 z 轴取力矩的代数和，应该等于弯矩 M。 把该横截面划分为若干个微小的矩形截面 dA=bdy，设作用在 dA 截面的平均正应力为 σ，则一个矩形微截面上的轴向力为 dFN = σdA 。它对 z 轴的力矩为 dM = ydFN ，y 为微 截面 dA 形心到中性轴 z 的距离。 根据“合力偶等于分力偶之和” ，则
A
为了求得应力公式，推导如下;
M = ∫ yσdA = ∫ yEεdA = E ∫ yεdA = E ∫ yc x ydA = Ec x ∫ y 2 dA = Ec x I z 33 (4 )
A A A A A
(3 )
(2 )
(1)
式中， I z ≡ 次方。
∫
A
y 2 dA (5) ，称为横截面对形心轴 z 的惯性矩，显然，其单位为长度的 4
M (10 ) ，此即是梁的弯曲微分方程。对它积分一次得梁的转角方程（11） EI z
式，积分两次得梁的挠曲方程（ 12）式。
M y′ ≡ θ = ∫ dx + c1 (11) − EI z
M + y = ∫ ∫ dx c dx + c 2 (12 ) − 1 EI z
ydϕ ，同一截面各点（ y 坐标不同）对应的纵向纤维原长 dx 是一样的，但伸 dx
长量 ydφ不同，随 y 线性变化。对于对应的纵向纤维，故各条纵向纤维的单位长度伸长量 εx(y)是不一样大的。主题字母ε表示物理量为应变，下标 x 表示该量ε的方向，圆括号(y) 内的 y 表示ε x 的自变量是 y，即εx(y) 表示 x 方向的纵向纤维线应变，它随 y 值变化。
∫
A
y 2 dA (5) 和图 1-4 所示矩形截面，可导出矩形截面的惯性矩。
h/2
b y
z
dA=bdy
by 3 I z ≡ ∫ y dA = ∫ y bdy = A −h / 2 4
2 h/2 2
2h
=
−h / 2
bh 3 12
h/2 y
dy
图 1-4 矩形截面梁惯性矩的推导
4
1.2 梁弯曲的变形公式推导（仅研究纯弯曲）
σ = Eε (2)
1.1.3 静力学方面——合力定理：合力等于分力之和。
M
z ε压 x
,max
z
ε
y y ε拉,max 横截面上的各点 ( y ) ≡ ydϕ (x ) ======= c
ε
y (1)
y 虽然应变ε沿 y 线性分布，但不知材料性质时， ε x 应力σ不一定线性。沿 y 线性分布，由于ε(0)=0， 故应力σ（ y=0）=f(ε)=f(0)=0，假设σ分布如左下图 则只有 M =
弯曲强度条件： σ max
* FQ S z M max , max = ≤ [σ ] ；剪切强度条件： τ max = ⋅ ρ ≤ [τ ] Iρb W
刚度条件：挠度
y max y ≤ ；转角 ϕ max ≤ [ϕ ] l l
这里带方括号的，是材料的某种许用值。由材料实验确定出破坏值，再除以安全系数， 即得。 显然，不等式左侧的工作应力和工作变形计算公式，是十分重要的。如果把各种应力 公式和变形公式的来历搞明白，对于如何进行强度分析和刚度分析（这是材料力学的主要 内容）就会得心应手。 杆件的基本变形一共四种： 轴向拉压、 扭转、 剪切和弯曲变形。 它们分别在轴向拉压杆、 扭转轴、梁的各章讲授。 其对应的公式各异，但是，推导这些公式的方法却是一样的，都要从静力、几何、物 理三个方面考虑，从而导出相应的《应力公式》 ，在导出应力公式之后，就可以十分方便地 获得《变形公式》 。 2
(
)
3/ 2
=
[±
y ′′
(
1 + y′2
)]
3
≈ ± y ′′ ，考虑到坐标轴 y 向下为正
和对弯矩正负号的规定，故应取
dϕ = - y ′′ (10 ) ，把（10）代入（9）得 dx
主要用到线弹性材料胡克定律，基本上没有难度。 故，本文按先易后难的顺序（几何、物理、静力）展开分析和研究。 1 梁的弯曲 3
1.1 梁的纯弯曲（纯弯曲：横截面上无剪力的粱段）应力
公式推导
1.1.1 几何学方面——变形协调：连续介质在变形后仍然是连续介质。 考察一端固定，一端受弯矩 M 作用的梁（纯弯曲） 。根据“平截面假设” ，其变形图示 如下：
ε x (y) ≡
ydϕ ( x ) 横截面上的各点 ======= c x y (1) ，表示梁同一横截面上各点的应变εx 沿 dx
y
方向线性分布，沿 z 方向不变。在 y=0，即中性轴 z 轴上各点的应变为零。正弯曲作用的梁 段上，中性层（为 xz 坐标面）以下的纵向纤维伸长，中性层以上的纵向纤维缩短。 1.1.2 物理学方面——应力应变关系 （物质本构关系） ： 假设组成杆件的材料是线弹性的。
(7 )
h/2
M M FN = ∫ σdA = ∫ ydA = A A I Iz z
∫
A
ydA
设梁高为h宽b
=
M Iz
Mb y 2 ybdy = ∫−h / 2 Iz 2
h/2
=0
−h / 2
注 3：实验和进一步的理论研究都指出，纯弯曲的应力公式可以应用于横力弯曲，只要 梁长不小于梁高的 5 倍，即长梁，其计算精度满足土木工程要求。 注 4：由 I z ≡
1
* 问题的提出
在材料力学里，分析杆件的强度和刚度是十分重要的，它们是材料力学的核心内容。 强度条件就是工作应力不超过许用应力，即， 工作应力σ ≤ 许用应力[σ ] 、 τ ≤ [τ ] ； 刚度条件就是工作变形不超过许用变形，即， 工作变形y ≤ 许用变形[ y ] 、 θ ≤ [θ ] 。 如，梁
(y) ≡
ydϕ ( x ) 横截面上的各点 ======= c x y (1) ，便可得到梁的变形公式。 dx
dϕ M M (7 ) (2 ) (1) dϕ ，整理后，得 (9 ) = y = σ = Eε = Ey dx EI z dx Iz
由数学知曲率：
y ′′ dϕ = dx 1 + y′2
在获得应力公式 σ =
M y (7 ) 后，利用推导梁的应力公式过程中所使用过的线弹 Iz
性关系式 σ = Eε (2 ) 和几何关系式，即 ε x ( y ) ≡ 便可得到梁的变形公式。
ydϕ ( x ) 横截面上的各点 ======= c x y (1) ， dx
dϕ M M (7 ) (2 ) (1) dϕ ，整理后，得 (8) = y = σ = Eε = Ey dx EI z dx Iz
z
y dy
∫
A
y 2 dA (5)
h/2 y
I z ≡ ∫ y 2 dA = ∫
A
h/2
−h / 2
y 2 bdy =
bh 3 33 (8) 12
图 1-5 矩形截面的惯性矩计算公式的推导
1.3.3 推导变形公式 根据 σ =
M y (7 ) 、 σ = Eε (2 ) Iz
和εx
两式中的积分常数 c1 和 c2 由梁的转角和挠度边界条件确定。
5
1.3 弯曲应力公式和变形公式的简要推导
为了方便读者理清上述推导的思路，将其浓缩如下： 1.3.1 建立三个关系 几何关系： ε x
(y) ≡
ydϕ ( x ) 横截面上的各点 ======= c x y (1) dx
物理关系： σ = Eε (2 ) 静力关系： M =