数据结构 第5章 数组

0 0 … an-1,n-2 an-1,n-1 an-1,n
0
0 …
…an,n-1
ann.
非零元素仅出现在主对角(aii,1≦i≦n）上，以及紧邻主对角线上面的那条 对角线上(aii+1,1≦i≦n-1)和紧邻主对角线下面的那条对角线上(ai+1 i,1≦i≦n-1)。显然，当∣i-j∣>1时，元素aij=0。
下面给出稀疏矩阵的三元组表存储表示的定义： # define maxsize 256 /* 最大非零元素个数 */ typedef struct /* 三元组类型 */ { int i，j； /* 该非零元素的行下标和列下标 */ datatype v； } triple； typedef struct /* 三元组表类型 */ { triple data[maxsize+1]； /* 三元组表存储空间 */ int mu，nu，tu； /* 矩阵的行数，列数和非零元素个数 */ } Tsmatrix； 其中data域中的非零元素的三元组是以行序为主序排列的。
5.3 矩阵的压缩存储
在科学与工程计算问题中，矩阵是一种常用的数学 对象，在高级语言编制程序时，简单而又自然的方法， 就是将一个矩阵描述为一个二维数组。矩阵在这种存储 表示之下，可以对其元素进行随机存取，各种矩阵运算 也非常简单，并且存储的密度为1。但是在矩阵中非零 元素呈某种规律分布或者矩阵中出现大量的零元素的情 况下，看起来存储密度仍为1，但实际上占用了许多单 元去存储重复的非零元素或零元素，这对高阶矩阵会造 成极大的浪费，为了节省存储空间，我们可以对这类矩 阵进行压缩存储：即为多个相同的非零元素只分配一个 存储空间；对零元素不分配空间。
i(i-1) Loc(aij)=Loc(a11)+[( +(j-1)]*l 2
二、三角矩阵
以主对角线划分，三角矩阵有上三角和下三角两种。上三角矩阵它的下 三角（不包括主对角线）中的元素均为常数。下三角矩阵正好相反，它的主 对角线上方均为常数。在大多数情况下，三角矩阵常数为零。
a11 0
a21 a22
第五章 数组
5.1 数组的定义 5.2 数组的顺序表示和实现 5.3 矩阵的压缩存储
5.3.1 5.3.2 特殊矩阵 稀疏矩阵
数组和广义表可看成是一种特殊的线性表，其特 殊在于，表中所在的元素本身也是一种线性表。
5.1 数组的定义
数组是我们最熟悉的数据类型，在早期的高级语 言中，数组是唯一可供使用的数据类型。由于数组中各 元素具有统一的类型，并且数组元素的下标一般具有固 定的上界和下界，因此，数组的处理比其它复杂的结构 更为简单。例如，二维数组： a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n Amn= … … …… am1 am2 … amn
同理，一个维数组类型可以定义为其数据元素为多 维数组类型的一维数组类型。 数组一旦被定义，它的维数和维界就不再改变。因 此，除了结构的初始化和销毁之外，数组只有存取元素 和修改元素值的操作。
5.2
数组的顺序表示和实现
由于计算机的内存结构是一维的，因此用 一维内存来表示多维数组，就必须按某种次序将 数组元素排成一列序列，然后将这个线性序列存 放在存储器中。 又由于对数组一般不做插入和删除操作， 也就是说，数组一旦建立，结构中的元素个数和 元素间的关系就不再发生变化。因此，一般都是 采用顺序存储的方法来表示数组。
行列下标
0 1 2 3 4 5 6 7 8 i 6 0 0 2 2 3 4 5 5 j 7 2 0
非零元值 v 8 9 -3 1 12
0 0 12 9 0 0 0 0 3 0 0 0 M 0 0 24 0 0 18 0 0 15 0 0 7
0 0 0 0 0 14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 67 0 0
三、对角矩阵 对角矩阵中，所有的非零元素集中在以主对角线为了中心的 带状区域中，即除了主对角线和主对角线相邻两侧的若干条对角 线上的元素之外，其余元素皆为零。
a11 a12 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
…………… . 0
0 0
a21 a22 a23 0 …………… 0 a32 a33 a34 0 ………
……………………………
ma[0].i,ma[0].j,ma[0].v分别存放 矩阵行列维数和非零元个数
5 14 2 24 1 18 0 3 ma 15 -7 三元组表所需存储单元个数为3(t+1) 其中t为非零元个数
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算法4.6 首先我们来建立一个三元组表： void creatsmatrix（datatype A1，Tsmatrix *A） /* A1为m行n列的稀疏矩阵，A为产生的相对的三元组表 */ { k=1； for（row=0；row＜m；row++） /* 按行优先顺序扫描A1中的元素，不为0者存入A中 */ for（col=0；col＜n；col++） if （A1[row][col]!=0） { A.data[k].i=row； A.data[k].j=col； A.data[k].v=A1[row][col]； k++；} A.mu=m；A.nu=n；A.tu=k-1； } /* 存入A中A1的行数，列数，非零元个数 */
通常有两种顺序存储方式：
⑴ 行优先顺序——将数组元素按行排列，第i+1个行向 量紧接在第i个行向量后面。以二维数组为例，按行优 先顺序存储的线性序列为： a11,a12,…,a1n,a21,a22,…a2n,……,am1,am2,…,amn 在PASCAL、C语言中，数组就是按行优先顺序存储的。 ⑵ 列优先顺序——将数组元素按列向量排列，第j+1个 列向量紧接在第j个列向量之后，A的m*n个元素按列优 先顺序存储的线性序列为： a11,a21,…,am1,a12,a22,…am2,……,an1,an2,…,anm 在FORTRAN语言中，数组就是按列优先顺序存储的。
0 ……..
0 ……..
0
0
………………….
an1 an2 an3……..
0
ann
按行序为主序：
a11 a21 a22 a31 a32 …... an1 …... k=1 2 3 4 5 n(n-1)/2+1
ann n(n+1)/2
i(i-1) Loc(aij)=Loc(a11)+[( +(j-1)]*l 2
5.3.2
稀疏矩阵
一、什么是稀疏矩阵？
简单说，设矩阵A中有s个非零元素，若s远远小于矩阵元素的 总数（即s≦m×n），则称A为稀疏矩阵。精确地说，设在的矩阵A 中，有s个非零元素。令 e=s/(m*n)，称e为矩阵的稀疏因子。通常 0 12 9 0 0 0 0 认为e≦0.05时称之为稀疏矩阵。在存储稀疏矩阵时，为了节省存 储单元，很自然地想到使用压缩存储方法。但由于非零元素的分布 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 14 0 一般是没有规律的，因此在存储非零元素的同时，还必须同时记下 M 它所在的行和列的位置（i,j)。，一个三元组 唯一确定了 0 0 24(i,j,a 0 0ij)0 0 矩阵A的一个非零元素。因此，稀疏矩阵可由表示非零元素的三元 0 18 0 0 0 0 0 组及其行列数唯一确定。 15 0 0 7 0 0 0 67
…………………. …………………. am1 a mn a am2 …….. …….. a a
m1 m2
mn
Loc(a )=Loc( a11 )+[(j-1)m+(i-1)]*l Loc( ij a )=Loc( a ij 11)+[(i-1)n+(j-1)]*l
m*n-1 m*n-1
a mn
按上述两种方式顺序存储的数组，只要知道开始结点的存放地址 （即基地址）、维数和每维的上、下界，以及每个数组元素所占用的 单元数，就可以将数组元素的存放地址表示为其下标的线性函数。因 此，数组中的任一元素可以在相同的时间内存取，即顺序存储的数组 是一个随机存取结构。 例如，二维数组Amn按“行优先顺序”存储在内存中，假设每个元 素占用d个存储单元。 元素aij的存储地址应是数组的基地址加上排在 aij前面的元素所占 用的单元数。因为aij位于第i行、第j列，前面i-1行一共有(i-1) ×n 个元素，第i行上aij前面又有j-1个元素，故它前面一共有(i-1) ×n+j-1个元素，因此，aij的地址计算函数为： LOC(aij)=LOC(a11)+[(i-1)*n+j-1]*d 上述讨论均是假设数组各维的下界是1，更一般的二维数组是 A[c1..d1,c2..d2]，这里c1,c2不一定是1。aij前一共有i-c1行，二维数 组一共有d2-c2+1列，故这i-c1行共有(i-c1)*(d2-c2+1)个元素，第i行 上aij前一共有j-c2个元素，因此，aij的地址计算函数为： LOC(aij)=LOC(ac1c2)+[(i-c1)*(d2-c2+1)+j-c2)]*d
按列序为主序存放 按行序为主序存放
0 1 1
a11 a 11 a21 a
21
a12 …….. …….. a a1n a 12 1n a22 …….. …….. a a2n a 22 2n
n-1 m-1 m n
a11 a21 12 ……. am1 1n a12 21 a22 …….. am2 2n ………. a1n m1 a2n m2 ……..
2.有关操作
矩阵的转置
一个m×n的矩阵A，它的转置B是一个n×m的矩阵，那么 a[i][j]=b[j][i]，0≦i≦m-1，0≦j≦n-1，即A的行是B的列，A 的列是B的行。 将A转置为B，就是将A的三元组表a.data置换为表B的三元组 表b.data，假设A是按行优先顺序存储，如果只是简单地交换 a.data中i和j的内容，那么得到的b.data将是一个按列优先顺序 存储的稀疏矩阵B，要得到按行优先顺序存储的b.data，就必须 重新排列三元组的顺序。 由于A的列是B的行，因此，按a.data的列序转置，所得到的 转置矩阵B的三元组表b.data必定是按行优先存放的。