总体参数的估计
五种估计参数的方法
五种估计参数的方法在统计学和数据分析中，参数估计是一种用于估计总体的未知参数的方法。
参数估计的目标是通过样本数据来推断总体参数的值。
下面将介绍五种常用的参数估计方法。
一、点估计点估计是最常见的参数估计方法之一。
它通过使用样本数据计算出一个单一的数值作为总体参数的估计值。
点估计的核心思想是选择一个最佳的估计量，使得该估计量在某种准则下达到最优。
常见的点估计方法有最大似然估计和矩估计。
最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation，简称MLE）是一种常用的点估计方法。
它的核心思想是选择使得样本观测值出现的概率最大的参数值作为估计值。
最大似然估计通常基于对总体分布的假设，通过最大化似然函数来寻找最优参数估计。
矩估计（Method of Moments，简称MoM）是另一种常用的点估计方法。
它的核心思想是使用样本矩和总体矩之间的差异来估计参数值。
矩估计首先计算样本矩，然后通过解方程组来求解参数的估计值。
二、区间估计点估计只给出了一个参数的估计值，而没有给出该估计值的不确定性范围。
为了更全面地描述参数的估计结果，我们需要使用区间估计。
区间估计是指在一定的置信水平下，给出一个区间范围，该范围内包含了真实参数值的可能取值。
常见的区间估计方法有置信区间和预测区间。
置信区间是对总体参数的一个区间估计，表示我们对该参数的估计值的置信程度。
置信区间的计算依赖于样本数据的统计量和分布假设。
一般来说，置信区间的宽度与样本大小和置信水平有关，较大的样本和较高的置信水平可以得到更准确的估计。
预测区间是对未来观测值的一个区间估计，表示我们对未来观测值的可能取值范围的估计。
预测区间的计算依赖于样本数据的统计量、分布假设和预测误差的方差。
与置信区间类似，预测区间的宽度也与样本大小和置信水平有关。
三、贝叶斯估计贝叶斯估计是一种基于贝叶斯理论的参数估计方法。
它将参数看作是一个随机变量，并给出参数的后验分布。
贝叶斯估计的核心思想是根据样本数据和先验知识来更新参数的分布，从而得到参数的后验分布。
总体参数的区间估计
三、总体参数的区间估计
图5-10 “探索”对话框
图5-11 “探索:统计量”对话框
三、总体参数的区间估计
单击“统计量”按钮，弹出“探索：统计量”对话框，如图5-11所示。 该对话框中有如下四个复选框： （1）描述性：输出均值、中位数、众数、标准误、方差、标准差、极小值 、极大值、全距、四分位距、峰度系数和偏度系数的标准误差等。此处能够设 置置信区间，默认为90%(α=0.1),可根据需要进行调整。 （2）M 最大似然确定数。 （3）界外值：输出五个最大值和五个最小值。 （4）百分位数：输出第5%、10%、25%、50%、75%、90%、95%位数 。
三、总体参数的区间估计
【例5-17】 某餐馆随机抽查了50位顾客的消费额（单位：元）为 18 27 38 26 30 45 22 31 27 26 35 46 20 35 24 26 34 48 19 28 46 19 32 36 44 24 32 45 36 21 47 26 28 31 42 45 36 24 28 27 32 36 47 53 22 24 32 46 26 27 在90%的概率保证下，采用点估计和区间估计的方法推断餐馆顾客的平均消 费额。 解：执行“分析”→“描述统计”→“探索”命令，打开“探索”对话框。由于本例只 有消费额一个变量，且需要对消费额进行探索性分析，故选中左侧列表框中的“消 费额”选项，将其移入“因变量列表”框中，如图5-10所示。
解：已知n=31,α=0.01,=10.2;σ=2.4,z0.005=2.58，由于总 体方差已知，为大样本，可以利用式（5-23）来进行计算。
即（9.088，11.312 该学生每天的伙食费在显著性水平为99%时的置信区间为（ 9.088，11.312）。
统计学参数估计
统计学参数估计参数估计是统计学中的一个重要概念，它是指在推断统计问题中，通过样本数据对总体参数进行估计的过程。
这一过程是通过样本数据来推断总体参数的未知值，从而进行总体的描述和推断。
在统计学中，参数是指总体的其中一种特征的度量，比如总体均值、总体方差等。
而样本则是从总体中获取的一部分观测值。
参数估计的目标就是基于样本数据来估计总体参数，并给出估计的精确程度，即估计的可信区间或置信区间。
常见的参数估计方法包括点估计和区间估计。
点估计是一种通过单个数值来估计总体参数的方法。
点估计的核心是选择合适的统计量作为估计量，并使用样本数据计算出该统计量的具体值。
常见的点估计方法包括最大似然估计和矩估计。
最大似然估计是一种寻找参数值，使得样本数据出现的概率最大的方法。
矩估计则是通过样本矩的函数来估计总体矩的方法。
然而，点估计只能提供一个参数的具体值，无法提供该估计值的精确程度。
为了解决这个问题，区间估计被引入。
区间估计是指通过一个区间来估计总体参数的方法。
该区间被称为置信区间或可信区间。
置信区间是在一定置信水平下，总体参数的真值落在该区间内的概率。
置信区间的计算通常涉及到抽样分布、标准误差和分位数等概念。
在实际应用中，参数估计经常用于统计推断、统计检验和决策等环节。
例如，在医学研究中，研究人员可以通过对患者进行抽样调查来估计其中一种药物的有效性和不良反应的发生率。
在市场调研中，市场研究人员可以通过抽取部分样本来估计一些产品的市场份额或宣传效果。
参数估计的准确性和可靠性是统计分析的关键问题。
估计量的方差和偏倚是影响估计准确性的主要因素，通常被称为估计量的精确度和偏倚性。
经典的参数估计要求估计量是无偏且有效的，即估计量的期望值等于真值，并且方差最小。
总之，参数估计是统计学中的一个重要概念，它通过样本数据对总体参数进行估计，并给出估计值的精确程度。
参数估计在统计推断、统计检验和决策等领域具有广泛的应用。
估计量的准确性和可靠性是参数估计的关键问题，通常通过方差和偏倚的分析来评价估计量的性质。
第一节 总体参数估计
P( θ θ ≤ ) = 1 α , 即P( x X ≤ ) 1 - α =
P(
xX
≤
) = 1α
1 α称为置信度(或概率保证程度) 称为概率度
平均数的区间估计
对总体平均数或成数的区间估计时,使用下面的式子 (式中是极限误差) P( x X ≤ ) = 1 α
有两种模式: – 1,根据置信度1-α,求出极限误差,并指出总体平均 数的估计区间. – 2,给定极限误差,求置信度.
二,总体参数的点估计
点估计的含义:直接以样本统计量作为相 应总体参数的估计量.
x=X
P = p
σ =s
2
2
∑(x x) =
n 1
2
优良估计量标准
优良估计标准: 若θ是总体参数,θ是估计θ的样本统计量. – 无偏性:要求样本统计量的平均数等于被估计的总体参数本身.
E (θ ) = θ ,即满足无偏性.
假如:我们用95%的置信度得到某班学生考试 假如:我们用 的置信度得到某班学生考试 成绩的置信区间为60-80分,如何理解? 成绩的置信区间为 分 如何理解? 如果做了多次抽样( 大概有95次 如果做了多次抽样(如100次),大概有 次 次),大概有 找到的区间包含真值, 找到的区间包含真值,有5次找到的区间不包括真 次找到的区间不包括真 值. 真值只有一个,一个特定的区间"总是包含"或 真值只有一个,一个特定的区间"总是包含" 绝对不包含"该真值.但是, "绝对不包含"该真值.但是,用概率可以知道在 多次抽样得到的区间中大概有多少个区间包含了参 数的真值. 数的真值.
样本成数的单位数
22 ×0.9×0.1 n = z p(12 p) = = 144(棵) 2 x 0.05
参数估计的介绍
参数估计的介绍一、总体参数估计概述统计推断(Statistical inference)就是根据样本的实际数据，对总体的数量特征作出具有一定可靠程度的估计和判断。
统计推断的基本内容有参数估计和假设检验两方面。
概括地说，研究一个随机变量，推断它具有什么样的数量特征，按什么样的模式来变动，这属于估计理论的内容，而推测这些随机变量的数量特征和变动模式是否符合我们事先所作的假设，这属于检验理论的内容。
参数估计和假设检验的共同点是它们都对总体无知或不很了解，都是利用部分观察值所提供的信息，对总体的数量特征作出估计和判断，但两者所要解决问题的着重点的所有方法有所不同。
本节先研究总体参数估计的问题。
总体参数估计是以样本统计量（即样本数字特征）作为未知总体参数（即总体数字特征）的估计量，并通过对样本单位的实际观察取得样本数据，计算样本统计量的取值作为被估计参数的估计值。
不论社会经济活动还是科学试验，人们作出某种决策之前总是要对许多情况进行估计。
例如商品推销人员要估计新式时装可能为消费者所学好的程度，自选商场经理要估计附近居民的购买能力，民意调查机构要估计竞选者的得票率，医药生产部门要推广某种药品的新配方，必须估计新药疗效的提高程度等等。
这些估计通常是在信息不完全、结果不确定的情况下作出。
参数估计为我们提供一套在满足一定精确度要求下根据部分信息来估计总体参数的真值，并作出同这个估计相适应的误差说明的科学方法。
科学的抽样估计方法要具备三个基本条件。
首先是要有合适的统计量作为估计量。
我们知道统计量是样本随机变量的函数，根据样本随机变量可以构造许多统计量，但不是所有的统计量都能够充当良好的估计量。
例如，从一个样本可以计算平均数、中位数、众数等等，现在要用来估计总体平均数，究竟以哪个样本统计量作为估计量更合适，如果采用样本平均数作为估计量，这就需要回答样本平均数和总体平均数存在什么样的内在联系，以样本平均数作为良好估计量的标准是什么等等。
总体参数估计的方法与比较
总体参数估计的方法与比较统计学中的总体参数估计是为了根据样本数据来推断总体的一些特征或指标，以帮助我们了解和分析问题。
常见的参数包括总体均值、总体方差、总体比例等。
总体参数估计的方法有很多，每种方法有其优势和适用范围。
本文将介绍几种常见的总体参数估计方法，并进行比较。
一、点估计方法点估计是通过样本数据来估计总体参数的一种方法。
最常用的点估计方法是最大似然估计和矩估计。
1. 最大似然估计：最大似然估计是通过寻找使观测到的样本数据出现的概率达到最大的参数值来估计总体参数。
它利用样本数据的信息，选择出使样本数据出现的可能性最大的总体参数估计值。
最大似然估计方法的优点在于拟合性好，当样本容量大且满足一定条件时，估计结果通常具有较好的性质。
2. 矩估计：矩估计是通过对样本矩的观察来估计总体参数。
矩估计方法基于样本的矩与总体的矩之间的关系进行参数估计。
它不需要对总体分布做出具体的假设，适用范围较广。
矩估计方法的优点在于简单易懂，计算方便。
二、区间估计方法点估计只给出了一个具体的数值，而区间估计则给出一个范围，用来估计总体参数的可能取值区间。
常见的区间估计方法有置信区间估计和预测区间估计。
1. 置信区间估计：置信区间估计是在给定置信水平的情况下，通过样本数据得到总体参数的估计区间。
例如，我们可以通过样本数据得到一个总体均值的置信区间，表明有置信水平的概率下，总体均值落在估计的区间内。
置信区间估计方法的优点在于提供了对总体参数的估计不确定性的量化。
2. 预测区间估计：预测区间估计是在给定置信水平的情况下，通过样本数据得到未来观测的总体参数的估计区间。
与置信区间估计不同的是，预测区间估计对未来观测提供了一个对总体参数的估计范围。
预测区间估计方法的优点在于可以用于预测和决策。
三、方法比较与选择在实际应用中，我们需要根据具体问题选择适合的总体参数估计方法。
下面列举一些比较常见的情况，并给出对应的适用方法。
1. 总体分布已知的情况下，样本容量大：此时最大似然估计方法是一个很好的选择。
第6章 参数估计
较 的样本容量
θ
B A
较 的样本容量
θ
ˆ θ
一致性： 一致性：
随着样本容量增大， 随着样本容量增大，估计量会越来越接近被估计 的参数。 的参数。即对任意的
→∞→ n
ε >0
，有
ˆ lim P{| θ −θ |< ε} =1
则称 θ 是参数θ的一致估计量。 ˆ 是参数θ的一致估计量。
X
µ -1.96 σx
+1.96σ µ +1.96σx
90%的样本 90%的样本 95% 的样本 99% 的样本
置信水平
1. 将构造置信区间的步骤重复很多次，置信 将构造置信区间的步骤重复很多次， 区间包含总体参数真值的次数所占的比例 称为置信水平. 称为置信水平. 2. 表示为 1 - a 是总体参数未在区间内的比例 3. a是总体参数未在区间内的比例 是总体参数未在区间内的比例 常用的置信水平值有 99%,
• 如某班级平均分数在75～85之间，置信水平是95% 如某班级平均分数在75～85之间，置信水平是95% 75 之间 95
5.1.3. 评价估计量的标准
1.无偏性： 无偏性：
ˆ ˆ 如果 E(θ ) =θ ，即估计量 θ 的数学 期望等于被估计的总体参数， 期望等于被估计的总体参数，我们称估计量
（35）4 35） （45）4.5 45） （55）5 55）
无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于被 估计的总体参数. 估计的总体参数 .
ˆ P(θ)
偏 偏
A
B
ˆ θ
θ
样本平均数是总体平均数的无偏估 样本平均数是总体平均数的无偏估 计量。 计量。
以无偏性来评判估计量是很合理的。一 以无偏性来评判估计量是很合理的。 个好的估计量就某一个具体的估计值而言 可能不等于总体参数值， ，可能不等于总体参数值，但平均来看有 向估计的总体参数集中的趋势。 向估计的总体参数集中的趋势。
总体参数的区间估计公式
总体参数的区间估计公式在进行区间估计时，我们首先需要收集到一个样本，并根据样本对总体参数进行估计。
然后根据样本的统计量，结合分布的性质和抽样方法，建立置信区间。
设总体参数为θ，我们希望得到它的置信水平为1-α的置信区间。
置信水平表示我们对总体参数的估计的可信程度，一般常用的置信水平有90%、95%和99%等。
参数估计的方法有很多，具体的方法选择取决于总体参数的性质、样本的大小以及其他假设条件。
常见的参数估计方法有：1.总体均值的区间估计：假设总体呈正态分布，样本大小为n，则总体均值的区间估计公式为：[样本均值-Z值（α/2）*总体标准差/√(n),样本均值+Z值（α/2）*总体标准差/√(n)]其中Z值（α/2）为标准正态分布的分位数，可以从标准正态分布表中查得。
2.总体比例的区间估计：假设总体为二项分布，样本大小为n，成功的次数为x，则总体比例的区间估计公式为：[样本比例-Z值（α/2）*√(样本比例*(1-样本比例)/n),样本比例+Z值（α/2）*√(样本比例*(1-样本比例)/n)]其中Z值（α/2）为标准正态分布的分位数，可以从标准正态分布表中查得。
3.总体方差的区间估计：假设总体呈正态分布，样本大小为n，则总体方差的区间估计公式为：[(n-1)*样本方差/卡方分布（α/2）,(n-1)*样本方差/卡方分布（1-α/2])]其中卡方分布是用于描述自由度为n-1的卡方随机变量的概率分布，可以从卡方分布表中查得。
以上是常见的总体参数区间估计公式，这些公式是根据统计学理论推导而来的，适用于不同情况下的参数估计。
在实际应用中，我们根据具体问题和假设条件选择适当的参数估计方法，计算置信水平的区间估计，从而对总体参数进行估计和推断。
第5章 参数估计
猎物射击,结果该猎物身中一弹,你认为谁打中的可能
性最大? 根据经验而断:老猎人打中猎物的可能性最大. 极大似然估计法的思想就是对固定的样本值，选
择待估参数的估计值使“样本取样本值”[离散型]或 “样
本取值落在样本值附近”[连续型] 的概率最大。
(2、极大似然估计的求法
单参数情形
根据总体分 布律写出似 然函数：换x 为xi
来得到待估参数θ 的极大似然估计值(驻点);
③ 、必要时,参照极大似然估计值写出极大似然
估计量.
【例6】求服从二项分布B(m，p)的总体X未知参数 p的极大似然估计量。 〖解〗单参数，离散型。 因为总体 X
~ B(m, p),
x m x
其分布律为
m x
f ( x; p) C p (1 p)
下面分离散型与连续型总体来讨论. 设离散型总体X的分布律
P{X x} p( x; )
( )
形式已知,θ 为待估参数. X 1 , X 2 ,..., X n 为来自总体X的
样本, x1 , x2 ,..., xn 为其样本值,则 X 1 , X 2 ,..., X n 的联合分
布律为:
用其观察值
ˆ( X , X ,..., X ), 1 2 n
——θ 的估计量
ˆ( x , x ,..., x ) 1 2 n
——θ 的估计值
来估计未知参数θ .
今后,不再区分估计量和估计值而统称为θ 的估计,
ˆ . 均记为
二、构造估计量的两种方法
1、矩估计法 理论根据:样本矩(的连续函数)依概率收敛于总
因为X~N(μ ,σ 2),所以X总体的概率密度为
2 1 (x ) 2 f ( x; , ) exp ( R, 0) 2 2 2
社会统计学 第九章 参数估计
[例]研究者要调查某社区居民家庭收入分 布的差异情况，现随机抽查了10户，得到样本 方差为＝200(元2)。试以此资料估计总体家庭 收入分布的差异情况。
[解] 因为样本容量较小，宜用修正样本 方差作为总体方差点估计量。即
＝
＝ห้องสมุดไป่ตู้
＝222.2
第二节 区间估计（Interval estimation)
区间估计的任务是，在点估计值的两侧设置 一个区间，使得总体参数被估计到的概率大大增 加。可靠性和精确性(即信度和效度)在区间估计中 是相互矛盾的两个方面。
10元以内，问样本容量为多少？ （2）若置信水平为90%，平均收入的最大误差在
10元以内，问样本容量为多少？ （3）若置信水平为99%，平均收入的最大误差在
10元以内，问样本容量为多少？ （4）若置信水平为95%，平均收入的最大误差在
20元以内，问样本容量为多少？ （5）改变最大误差，对样本大小有什么影响？ （6）改变置信水平，对样本大小有什么影响？ （983，697，1704，246）
率度
＝
(24)＝2.064
代入公式得
＝52±2.064
＝52±5.06
因此，置信水平95％的总体均值的置信区 间是从46.94到57.06。
2. 大样本总体成数的估计 从总体的均值估计过渡到总体的成数估计，其方法和
思路完全相同，只要用 代替 ，用 代替
若总体成数未知，允许误差取 或
[例]假若从某社区抽取一个由200个家庭组成的样 本，发现其中有36%的家庭由丈夫在家庭开支上作决 定的次数超过半数。试问家庭开支的半数以上由丈夫 决定的家庭的置信区间是多少？（置信水平99%）
层内方差的平均（层间方差不进入）： 回置抽样：
医用统计学-总体参数估计
B.比较来自中国广东省与河北省的一年级男大学生身 高。以在武汉大学和华中科技大学的两省男生为样 本，得出样本均值分别为168.2cm与169.9cm，推 测总体均值是否相等。
7
一、均数的抽样误差与标准误 了解总体特征的最好方法是对总体的每一个体进行
观察、试验，但这在医学研究实际中往往不可行。
为n的样本，样本均数 x的总体也为，标准差 ，x 可以
按下公式计算。
x
n
25
一、均数的抽样误差和标准误
中心极限定理central limit theorem ①即使从非正态总体中抽取样本，如果样本含量较大 （n>30） ，所得均数的分布仍近似呈正态。 ②随着样本量的增大, 样本均数的变异范围也逐渐变窄。
M20 MIDPOINT
n 30; Sx 0.1492
一、均数的抽样误差和标准误
3. 标准误与标准差的区别与联系
区别： 标准误
标准差
定义 反映抽样误差 反映个体变异
公式
sx
s n
s x2 - ( x)2 / n n -1
用途 总体均数可信区间 医学参考值范围
进行统计学检验 计算标准误、CV
抽样
N (, )
总
体
x2，s2 抽 样
抽样
xi , si xj,Sj
x1
xi xj
x2
x1 xi xj
x1 xi
xj
16
一、均数的抽样误差与标准误
从同一总体中抽取若干个观察单位数相等的样本并
计算统计量均数，样本均数不等于总体均数 ，
样本xi 均 数之间也互不相等 的
；这种x由i 抽x样j 而造成
样本估计总体的两种计算方法
样本估计总体的两种计算方法在统计学中，样本是指从总体中选取的一部分数据，而总体是指所有数据的集合。
在实际应用中，我们往往需要通过样本来估计总体的某些特征，比如总体的均值、方差等。
本文将介绍两种常用的样本估计总体的计算方法：点估计和区间估计。
一、点估计点估计是指通过样本来估计总体某个参数的值。
点估计的核心是选择一个统计量作为总体参数的估计值。
常用的统计量有样本均值、样本方差、样本比例等。
以样本均值为例，假设我们从总体中随机抽取了n个样本，样本均值为x̄，则我们可以用x̄来估计总体均值μ。
这里的x̄就是总体均值的点估计量。
点估计的优点是简单易懂，计算方便。
但是，点估计也存在一些缺点。
首先，点估计只能给出一个具体的数值，无法反映估计值的不确定性。
其次，点估计的精度受到样本大小和样本的随机性的影响。
当样本大小较小时，点估计的精度较低，容易出现偏差。
因此，为了提高点估计的精度，我们需要增加样本的大小，或者采用更加精确的估计方法。
二、区间估计区间估计是指通过样本来估计总体某个参数的值，并给出一个置信区间。
置信区间是指总体参数真值落在该区间内的概率。
常用的置信区间有95%置信区间、99%置信区间等。
以样本均值为例，假设我们从总体中随机抽取了n个样本，样本均值为x̄，样本标准差为s，则我们可以用以下公式来计算95%置信区间：x̄±1.96s/√n其中，1.96是95%置信水平下的标准正态分布的分位数。
这个公式的意义是，如果我们重复进行抽样和计算，有95%的置信度可以保证总体均值落在这个区间内。
区间估计的优点是可以反映估计值的不确定性，给出一个置信区间，使得我们可以对总体参数的真值有一个大致的估计。
同时，区间估计的精度受到样本大小和置信水平的影响。
当样本大小较小时，置信区间较宽，精度较低。
当置信水平较高时，置信区间也会变宽，精度也会降低。
因此，在进行区间估计时，我们需要根据实际情况选择合适的置信水平和样本大小，以提高估计的精度。
第七章__参数估计
三、区间估计与标准误
㈠区间估计的定义 是根据样本统计量，利用抽样分布的原理，在一定的
可靠程度上，估计出总体参数所在的范围，即以数 轴上的一段距离表示未知参数可能落入的范围。 ㈡置信区间与显著性水平 ⑴置信区间：也称置信间距，指在一定可靠程度上，总体参
数所在的区域距离或区域长度。
⑵置信界限（临界值）：置信区间的上下两端点值。 ⑶显著性水平：指估计总体参数落在某一区间时，可能犯错
⑶区间估计的原理是样本分布理论。在计算区间估计值解释估 计的正确概率时，依据的是该样本统计量的分布规律及样本 分布的标准误。样本分布可提供概率解释，而标准误的大小 决定区间估计的长度。一般情况下，加大样本容量可使标准 误变小。
当总体方差已知时，样本平均数的分布为正态分布或
渐近正态分布，此时，样本平均数的平均数uX u， 平均数的离散程度即平均数分布的标准差（简称
例4
解:由题意知,其总体方差未知,但其总体分布为正态分布，
则此样本均数的分布服从t分布， 可以依t分布对总平 均身高μ进行估计。
SEX
S 4.8 0.81; df n 1 36 1 35 n 1 35
查t值表可知 : t0.05 230 2.042;t0.01 230 2.75
例2 已知某区15 岁男生立定跳远的方差 为 436.8cm ，现从该区抽取58名15岁男生， 测得该组男生立定跳远的平均数为198.4cm， 试求该区15岁男生立定跳远平均成绩的95%和 99%的置信区间。
例2
解：由题意知：由于样本容量（n=58）大于30 ，
该样本的抽样分布为渐进正态分布。
SEX
因此, 的95%的置信区间为 :
82 2.0211.12 82 2.0211.12
参数估计方法
参数估计方法参数估计方法是统计学中非常重要的一个概念，它用于根据样本数据来估计总体参数的数值。
在统计学中，参数通常是指总体的特征数值，比如总体均值、方差等。
而样本则是从总体中抽取的一部分数据。
参数估计方法的目的就是通过对样本数据的分析，来估计总体参数的数值。
本文将介绍几种常见的参数估计方法。
一、最大似然估计法。
最大似然估计法是一种常用的参数估计方法。
它的核心思想是，选择使得观察到的样本数据出现的概率最大的参数值作为总体参数的估计值。
具体来说，假设总体的概率分布函数为f(x|θ)，其中θ是待估计的参数，x是观察到的样本数据。
那么最大似然估计法就是要找到一个θ值，使得观察到的样本数据出现的概率f(x|θ)最大。
通过对数似然函数的求解，可以得到最大似然估计值。
二、贝叶斯估计法。
贝叶斯估计法是另一种常见的参数估计方法。
它的特点是将参数视为一个随机变量，而不是一个固定但未知的数值。
在贝叶斯估计中，参数的取值是有一定概率分布的，这个概率分布称为参数的先验分布。
当观察到样本数据后，可以通过贝叶斯定理来更新参数的概率分布，得到参数的后验分布。
而后验分布的均值或中位数可以作为参数的估计值。
三、矩估计法。
矩估计法是一种比较直观的参数估计方法。
它的思想是利用样本矩来估计总体矩，进而得到总体参数的估计值。
具体来说，对于总体的某个参数，可以通过样本的矩（如样本均值、样本方差等）来估计总体对应的矩，然后解出参数的估计值。
矩估计法的计算比较简单，但在某些情况下可能会产生不稳定的估计结果。
四、区间估计法。
除了点估计方法，还有一种常见的参数估计方法是区间估计法。
区间估计法不是直接给出参数的估计值，而是给出一个区间，称为置信区间，该区间内有一定的概率包含真实的参数值。
区间估计法的优势在于可以提供参数估计的不确定性信息，而不仅仅是一个点估计值。
总之，参数估计方法是统计学中的重要内容，不同的参数估计方法有各自的特点和适用范围。
在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的参数估计方法，并结合实际问题对参数进行准确估计。
总体参数估计
符号表示 样本统计量
x
P
p
2
s2
第15页/共85页
。
第六章 总体参数估计
一、总体均值的区间估计
（一）正态总体、方差已知，或非正态总体、大 样本
当总体服从正态分布且 已知，或总体不是
正态分布但大样本时，样本均值的抽样分布均
为正态分布，其数学期望为总体均值 ，方差
为 。而样本均值经过标准化后的随机变量则
n1 n2
（（22）1）-置1２信、水2平２下未的知置时信，区两间个为总体均值之差1-2在
(x1 x2 ) z 2
s12
s
2 2
n1 n2
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第六章 总体参数估计
【例】某地区教育委员会 想估计两所中学的学生高 考时的英语平均分数之差 ，为此在两所中学独立抽 取两个随机样本，有关数 据如右表 。建立两所中
t
( x1
x2 )
sp
1 n1
(1
1 n2
2 )
~
t (n1
n2
2)
两个总体均值之差1-2在1- 置信水平下的置信
区间为
x1 x2 t 2 n1 n2 2
s
2 p
1 n1
1 n2
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第六章 总体参数估计
【例】为估计两种方法组装产品所需时间的差异，分别对两种不同的组装方法各 随机安排12名工人，每个工人组装一件产品所需的时间（分钟）下如表。假定两 种方法组装产品的时间服从正态分布，且方差相等。试以95%的置信水平建立两 种方法组装产品所需平均时间差值的置信区间
2. 统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真 正的总体参数，所以给它取名为置信区间
总体参数估计
二、总体方差2已知，对总体平均数的估计
1．计算公式 如果一个随机变量 Z 服从标准正态分布 (=0，2=1的正态分布), 那么 P{-1.96<Z<1.96}=0.95 P{-2.58<Z<2.58}=0.99
如果一个随机变量X服从均值为，标 准差为 的正态分布，那么通过变量替 换: 令： Z=（X-）/（/n） 又因为： SEx=/n 所以： Z=（X-）/SEx
解决方法：
2种点估计方法： （1）求出被缴获的坦克编号的平均值，并 把它作为全部编号的中点。然后将样本 均值乘以2就是总数的一个估计值。 估计坦克总数N的公式： N=全部编号的均值×2
前提条件：是先要假设缴获的坦克代表 了所有坦克的一个随机样本 缺点：不能保证均值的2倍一定大于记录 中的最大编号，故常常低估真值。
由于F分布不是对称分布，若F分布右侧一 端的概率为： F=S2n1-1/S2n2-1，
则另一侧的概率可用： F’=1/F= S2n2-1/S2n1-1
1．1222
S S 1 2 F / 2 2 F / 2 S n2 1 S n2 1
2 1 2 2
2 n1 1
2 n1 1
2．12=22
S S 1 2 1 F / 2 2 F / 2 S n2 1 S n2 1
2 n1 1
2 n1 1
二、课堂练习
例：8名男女生在某项心理实验中所得测量 结果的方差分别为1.12和4.98。问男女生 测量值的总体方差是否相等。
1.点估计
公式：
（2）求出SEx=S/n-1； （ 3 ）确定显著性水平 ，查 t 值分布表，找出临 界值；
（4）由于 P{ t }=0.95， 将公式t=（X-)/SEx代入上式，得： P{ （X-)/SEx }=0.95 整理得： P{X-·SEx X+·SEx}=0.95 分别求出： X-·Sn-1/ n和X+· Sn-1/ n （5）求出总体平均值的置信区间： [X-·SEx ，X+·SEx]
样本统计量估计总体参数的方法
样本统计量估计总体参数的方法嘿，你知道不？样本统计量咋去估计总体参数呢？其实啊，就像从一小堆拼图碎片去猜整个拼图的样子。
先说说步骤呗。
得先有个靠谱的样本，就像在大海里捞珍珠，得捞到好的才行。
然后计算样本的统计量，比如平均数、方差啥的。
这就好比给捞到的珍珠称重量、量大小。
最后用这些样本统计量去估计总体参数，哇，这感觉就像用手里的珍珠去想象一整盒珍珠会是啥样。
那注意事项呢？样本得有代表性啊，不然就像拿着几个颜色奇怪的拼图碎片去猜整幅画，那肯定不靠谱嘛。
而且样本量也不能太小，太小了就跟只有几颗珍珠猜整盒珍珠似的，心里也没底呀。
再讲讲过程中的安全性和稳定性。
这就像走钢丝，得稳稳当当的。
如果样本不靠谱，那估计出来的总体参数就可能差之千里，这多吓人啊！所以得保证样本的质量和数量，这样才能让估计的过程更安全、更稳定。
那应用场景和优势呢？哎呀，那可多了去了。
比如在市场调研中，想知道消费者的喜好，不可能去问所有人吧，那就抽个样本呗。
这样又快又省钱，多好啊！优势就是可以用小部分去推测大部分，就像用一颗星星的光芒去想象整个星空的璀璨。
举个实际案例哈。
有个公司想知道自家产品在市场上的满意度，就抽取了一部分客户做调查。
通过对这些样本客户的反馈进行统计分析，估计出了总体客户的满意度。
结果发现满意度还挺高，这下公司就放心啦，可以继续加大投入生产。
你说这效果好不好？
样本统计量估计总体参数真的超棒。
它就像一把神奇的钥匙，可以打开了解总体的大门。
只要用得好，就能让我们在复杂的世界里找到方向。
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用计算机可以很容易地得到挂面重量的 样本均值、总体均值的置信区间等等。 下面是SPSS的输出：
Descriptives（ 描 述 统 计 量 ） 结 果 变 量 weight 统 计 量 Mean（ 样 本 均 数 ） 95% Confidence Interval for Mean （ 总 体 均 数 的 95%可 信 区 间 ） Median（ 中 位 数 ） Variance（ 方 差 ） Std. Deviation（ 标 准 差 ） Minimum（ 最 小 值 ） Range（ 极 差 ） Maximum（ 最 大 值 ） Lower Bound（ 下 限 ） Upper Bound（ 上 限 ） 统 计 量 值 449.0104 447.4124 450.6084 448.9500 30.287 5.50339 439.60 461.10 21.50 8.18 标 准 误 差 .79435
§2 点估计
• 由于一般仅仅抽取一个样本，并且用 该样本的这个估计量的实现来估计对 应的参数，人们并不知道这个估计值 和要估计的参数差多少。 • 因此，无偏性仅仅是非常多次重复抽 样时的一个渐近概念。 • 随机样本产生的样本均值、样本标准 差和 Bernoulli 试验的成功比例分别都 是相应的总体均值、总体标准差和总 体比例的无偏估计。
§2 点估计
• 用什么样的估计量来估计参数呢？ • 实际上没有硬性限制。任何统计量，只 要人们觉得合适就可以当成估计量。 • 当然，统计学家想出了许多标准来衡量 一个估计量的好坏。每个标准一般都仅 反映估计量的某个方面。 • 这样就出现了各种名目的估计量（如无 偏估计量等）。 • 另一些估计量则是由它们的计算方式来 命名的（如最大似然估计和矩估计等）。
§4 关于置信区间的注意点
• 一个描述性例子：有10000个人回答的调查 显示，同意某观点人的比例为70%（有7000 人同意），可算出总体中同意该观点的比 例的95%置信区间为（0.691，0.709）； • 另一个调查声称有 70%的比例反对该种观点， 还说总体中反对该观点的置信区间也是 （0.691，0.709）。 • 到底相信谁呢？实际上，第二个调查隐瞒 了置信度。如果第二个调查仅仅调查了 50 个人，有 35 个人反对该观点。则其置信区 间的置信度仅有11%。
§1 用估计量估计总体参数
• 点估计(point estimation)，即用估计 量的实现值来近似相应的总体参数。 • 区间估计(interval estimation)；它是 包括估计量在内（有时是以估计量为 中心）的一个区间；该区间被认为很 可能包含总体参数。 • 点估计给出一个数字，用起来很方便； 而区间估计给出一个区间，说起来留 有余地；不像点估计那么绝对。
§2 点估计
• 最常用的估计量就是我们熟悉的样本 均值、样本标准差 (s) 和 (Bernoulli 试验的)成功比例(x/n)；
• 人们用它们来分别估计总体均值 (m) 、 总体标准差 (s) 和成功概率 ( 或总体 中的比例)p。
§2 点估计
• 那么，什么是好估计量的标准呢？ • 一种统计量称为无偏估计量 (unbiased estimator)。 • 所谓的无偏性 (unbiasedness) 就是： 虽然每个样本产生的估计量的取值 不一定等于参数，但当抽取大量样 本时，那些样本产生的估计量的均 值会接近真正要估计的参数。
§3 区间估计
• 这样得到的区间被称为总体比例 p的 置信度 (confidence level) 为 95% 的 置信区间(confidence interval)。这 里的置信度又称置信水平或置信系 数。 • 显然置信度的概念又是大量重复抽 样时的一个渐近概念。
§3 区间估计
• 因此说“我们目前得到的区间 （ 比 如 上 面 的 90%±3% ） 以 概 率 0.95 覆盖真正的比例 p” 是个错误 的说法。 • 这里的区间 (93% ， 87%) 是固定的， 而总体比例 p 也是固定的值。因此 只有两种可能：或者该区间包含 总体比例，或者不包含； • 在固定数值之间没有任何概率可 言。
• 从数据得到关于现实世界的结论的过 程就叫做统计推断(statistical inference)。 • 上面调查例子是估计总体参数（某种 意见的比例）的一个过程。 • 估计(estimation)和假设检验 (hypothesis testing)是统计推断的 两个重要内容之一。
§1 用估计量估计总体参数
§3 区间估计
• 例 2 有两个地区大学生的高度数据 (height2.txt) • (a) 我们想要分别得到这两个总体 均值和标准差的点估计（即样本均 值和样本标准差）和各总体均值的 95%置信区间。 • (b) 求两个均值差 m1-m2 的点估计和 95% 置信区间。利用软件很容易得 到下面结果：
§4 关于置信区间的注意点
• 前面提到，不要认为由某一样本数 据得到总体参数的某一个95%置信区 间，就以为该区间以 0.95 的概率覆 盖总体参数。 • 置信度95%仅仅描述用来构造该区间 上下界的统计量 ( 是随机的 ) 覆盖总 体参数的概率； • 也就是说，无穷次重复抽样所得到 的所有区间中有95%包含参数。
§2 点估计
• 在无偏估计量的类中，人们还希望寻找 方差最小的估计量，称为最小方差无偏 估计量。 • 此因为方差小说明反复抽样产生的许多 估计量差别不大，因此更加精确。 • 评价一个统计量好坏的标准很多；而且 许多都涉及一些大样本的极限性质。我 们不想在这里涉及太多此方面的细节。
§3 区间估计
• 当描述一个人的体重时，你一般 可能不会说这个人是76.35公斤 • 你会说这个人是七八十公斤，或 者是在 70 公斤到 80 公斤之间。这 个范围就是区间估计的例子。
§1 用估计量估计总体参数
• 估计的根据为总体抽取的样本。 • 样本的（不含未知总体参数的）函数称 为统计量；而用于估计的统计量称为估 计量(estimator)。 • 由于一个统计量对于不同的样本取值不 同，所以，估计量也是随机变量，并有 其分布。 • 如果样本已经得到，把数据带入之后， 估计量就有了一个数值，称为该估计量 的一个实现 (realization) 或取值，也 称为一个估计值(estimate)。
§4 关于置信区间的注意点
• 但是把一个样本数据带入统计量 的公式所得到的一个区间，只是 这些区间中的一个。 • 这个非随机的区间是否包含那个 非随机的总体参数，谁也不可能 知道。非随机的数目之间没有概 率可言。
§4 关于置信区间的注意点
• 置信区间的论述是由区间和置信度两部 分组成。 • 有些新闻媒体报道一些调查结果只给出 百分比和误差（即置信区间），并不说 明置信度，也不给出被调查的人数，这 是不负责的表现。 • 因为降低置信度可以使置信区间变窄 （显得“精确”），有误导读者之嫌。 在公布调查结果时给出被调查人数是负 责任的表现。这样则可以由此推算出置 信度（由后面给出的公式），反之亦然。
总体参数的估计
• 估计就是根据你拥有的信息来对 现实世界进行某种判断。 • 你可以根据一个人的衣着、言谈 和举止判断其身份 • 你可以根据一个人的脸色，猜出 其心情和身体状况 • 统计中的估计也不例外，它是完 全根据数据做出的。
• 如果我们想知道贵阳人认可某饮料 的比例，人们只有在贵阳人中进行 抽样调查以得到样本，并用样本中 认可该饮料的比例来估计真实的比 例。 • 从不同的样本得到的结论也不会完 全一样。虽然真实的比例在这种抽 样过程中永远也不知道；但可以知 道估计出来的比例和真实的比例大 致差多少。
§3 区间估计
• 两个总体均值估计量的样本均值分别 为 170.56 和 165.60 ，样本标准差分别 为 6.97857 和 7.55659 ；还得到均值的 置 信 区 间 分 别 是 (168.5767, 172.5433),(163.4524, 167.7476)。 • 可以得到两个样本均值的差 (4.9600) ， 另外还给出了两总体均值差的 95%置信 区间(2.073，7.847)。
• 人们往往先假定某数据来自一个特 定的总体族（比如正态分布族）。 • 而要确定是总体族的哪个成员则需 要知道总体参数值（比如总体均值 和总体方差）。 • 人们于是可以用相应的样本统计量 （比如样本均值和样本方差）来估 计相应的总体参数
§1 用估计量估计总体参数
• 一些常见的涉及总体的参数包括总体均 值 (m) 、总体标准差 (s) 或方差 (s2) 和 (Bernoulli试验中)成功概率p等（总体 中含有某种特征的个体之比例）。 • 正态分布族中的成员被（总体）均值和 标准差完全确定； • Bernoulli 分布族的成员被概率（或比 例）p完全决定。 • 因此如果能够对这些参数进行估计，总 体分布也就估计出来了。
§3 区间估计
• 在抽样调查例子中也常用点估计加 区间估计的说法。 • 比如，为了估计某电视节目在观众 中的支持率（即总体比例 p ），某 调查结果会显示，该节目的“收视 率为 90% ，误差是±3% ，置信度为 95%”云云。这种说法意味着下面三 点
§3 区间估计
• 1. 样本中的支持率为 90% ，即用样本 比例作为对总体比例的点估计 • 2. 估计范围为 90%±3%(±3% 的误差 ) ， 即区间(93%，87%)。 • 3. 如用类似的方式，重复抽取大量 （样本量相同的）样本时，产生的大 量类似区间中有些会覆盖真正的 p ， 而有些不会；但其中大约有 95% 会覆 盖真正的总体比例。
§3 区间估计
• 例 1(noodle.txt) 某厂家生产的挂 面包装上写明“净含量 450 克”。 在用天平称量了商场中的 48包挂面 之后，得到样本量为48的关于挂面 重量（单位：克）的一个样本：
449.5 456.7 447.9 448.5 461.1 451.4 450.5 444.5 457.5 452.5 448.3 443.1 444.7 452.4 451.4 442.3 456.1 442.0 449.7 439.6 454.7 452.1 446.7 446.5 441.5 452.8 441.7 447.2 446.0 442.9 455.6 445.8 454.9 449.8 442.9 449.4 446.2 452.4 451.3 441.6 457.3 458.5 452.9 444.7 446.1 442.7 457.2 441.4