大学物理4动量与角动量
第4章 动量和角动量
0
N
f
Mg
u
θ mg y x
∫ (Mg + mg + N + f )dt = Mv + m(v +u) −0 τ (1) x方向： ∫ fdt = −Mv + m(−v + u cosθ )— 方向： 方向 τ y方向： 方向： 方向 ∫ (N − Mg − mg)dt = musinθ —(2)
mv = ( M + m)u
m
m M
细绳张力始终垂直于其位移方向，不作功； 细绳张力始终垂直于其位移方向，不作功； 只有重力作功 机械能守恒！ 机械能守恒！ 1 ( m + M ) u 2 = ( m + M ) g l (1 − c o s α ) 2 入射物体的速度： 入射物体的速度：
N
dP F= dt
∑ F + ∑∑
i =1 i i =1 j ≠ i
N
N
dpi d N f ij = ∑ = ∑ pi dt i =1 iቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ=1 dt
N
质点系的动量定理： 质点系的动量定理：
∫ (∑ F )dt = ∑ p − ∑ p
tf ti i f i i i
i
或： I = ∑ I i = P f − P i
P = ∑ pi = 常矢量
i= i =1
N
注意
——质点系动量守恒定律 质点系动量守恒定律
1. 合外力沿某一方向为零；可得到该方向上的动量守恒。 合外力沿某一方向为零；可得到该方向上的动量守恒。 尽管总动量不守恒） （尽管总动量不守恒）
∑ p α = const.
i i
2. 在某些情况下，如碰撞、打击、爆炸等过程，外力 在某些情况下，如碰撞、打击、爆炸等过程， 与内力相比小很多。 与内力相比小很多。 在极短的时间内，外力的时间积累（冲量） 在极短的时间内，外力的时间积累（冲量）相比之 下可以忽略不计。 下可以忽略不计。 我们可以有近似的动量守恒。 我们可以有近似的动量守恒。 3. 动量定理只适用于惯性系 4. 在牛顿力学的理论体系中，动量守恒定律是牛顿定 在牛顿力学的理论体系中， 律的推论。 律的推论。 但动量守恒定律是更普遍、更基本的定律， 但动量守恒定律是更普遍、更基本的定律，它在宏观 和微观领域、低速和高速范围均适用。 和微观领域、低速和高速范围均适用。
大学物理第4章-动量和角动量
与地面碰撞的时间为t
由动量定理得：
F
，重tt12心F下dt移了ps2
。
p1
ห้องสมุดไป่ตู้
F Mv0
t2 t1
t
t
设人落地后作匀减速运动到静止，则：
讨论
v v0 at ,v2 v02 2as
F Mv02 2s
v02 2gh
t 2s v0 h
F Mg s
设人从 2m 处跳下，重心下移 1cm，则：
称质心：质点系的质量中心)的概念。 N个质点组成的系统∶
• • •• • m1, m2 ,, mi ,, mN
y
m1 m2
• • •• 位矢分别为 • • • •• • •
•C
m3
mi
x
• • r1 , r2 ,..., ri ,..., rN
mN
• 质点系的动量为∶
p m1v1 m2v2 ... mN vN
F1
m1
: F1
f1
dp1 dt
f1 f2 0
f1
f2
F2
m1
m2
m2
: F2
f2
dp2 dt
F1
F2
d(
p1
dt
p2
)
n 个质点组成的质点系：
即：
F
外
dp dt
n
Fi
i 1
d dt
n i 1
pi
— 质点系的动力学方程
即∶质点系所受合外力等于系统总动量的变化率。
说明
内力可以改变一个质点的动量，但对系统总动量 的改变无贡献。
四、质点系的动量定理： 1、微分形式： 由
F
大学物理动量与角动量
I F (t2 t1)
运动员在投掷标 枪时，伸直手臂，尽 可能的延长手对标枪 的作用时间，以提高 标枪出手时的速度。
变力的冲量：
I
t
2
F
(
t
)
dt
单位：N·s
t1
牛顿运动定律：
F
ma
F
d(mv)
dp
dt dt
动量定理的微分式：
dp
解：(1) 设沙袋抛到船上后，共同运动的初速度为V， 并设此运动方向为x轴正方向，忽略沙袋撞击船时受 水的阻力，则可认为沙袋+船在沙袋落到船上前后水 平方向动量守恒，因而有
(M m)V mv0
3分
V m v0
2分
Mm
(2) 由 k d x (M m) d v 得 d x M m d v
动量与角动量
研究： 力的时间积累作用
对平动——动量定理 对转动——角动量定理
基础：牛顿定律（牛顿力学）
1 动量
2 动量定理
3 动量守恒定律
*4 火箭飞行原理
*5 质心与质心运动定理 6 质点的角动量
7 力矩
8 角动量定理 角动量 守恒定律
2-2 动量守恒定律
动量
车辆超载容易 引发交通事故
车辆超速容易 引发交通事故
t
v2 x
mv 2
sin
Ft sin105
sin 0.7866 51.86 51.86 45 6.86
动量守恒定律
质点系的动量定理： t t0
Fidt P P0
当 Fi 0 时,
4动量与角动量
1 dS r dr sin( ) 2 1 1 r dr sin rvdt sin 2 2 dS 1 1 rv sin r v dt 2 2
v dr r dr m dS r
dr v dt
L r mv const.
m u
M ——水平方向上动量守恒 V v u 设炮弹出膛时相对于地面的速度为 v 则： v u V v u V u cos V x x
V
y x
考虑水平方向上系统的动量： 发射前： 发射后的瞬间：
p1x 0 p2 x mvx MV
得：
2 m1 (m1v12 m2v2 ) m1 m2 2 v1 v2 v2 2m1
v0
m1
v1
由： 得：
m1 m2 2 v1 v2 v2 2m1 v1 v2 v1v2 cos m1 m2 v2 cos 2m1 v1
1 r1 O
v1
r2
2
v2
角动量的方向总与质点到参考点O的连线相对于参考 点的转动方向成右手螺旋关系 ——角动量是描述物体转动趋势的物理量 动量是描述物体平动趋势的物理量 思考： 若质点m的速度不为0，其动量是否可能为0？
其动能是否可能为0？ 其角动量是否可能为0？
二、质点的角动量定理
m u
V
p2 x p1x
m(u cos V ) MV mu V cos M m
M V v u v x u cos V
例2、两个小球的质量分别为m1和m2，开始m2静止，此后 m1 以速度v0与m2发生弹性碰撞。试讨论：碰后两物体运动 方向间的夹角 与质量的关系 解： 对于质点的弹性碰撞，应满足：
大学物理学上册资料09 动量和角动量
冲量的方向就不能决定于某一瞬时外力的方向，然而总 决定于这段时间内动量增量的方向。 而冲量的量值，尽管在运动过程中外力随时改变， 质点的速度也逐点不同，冲量大小却完全决定于质点在 始末两点动量矢量差的绝对值，而与运动过程中物体在 各点处的动量无关。 ② 定理在碰撞、打击问题中的应用：求平均力 碰撞：力的作用时间很短 t 冲力：随时间变化很大又很复杂 t F d t 平均冲力：冲力对碰撞时间的平均值 F
例2 两个相互作用的物体A和B，无摩擦地在一条水平直 线上运动，A的动量是PA=P0-bt。在下列两种情况下，写 出B的动量：⑴开始时，若B静止,则PB1=＿＿＿＿＿＿; ⑵开始时，若B的动量为－P0 , 则PB2=＿＿＿＿。 易知 (A+B)系统动量守恒： 解：
P A PB P A 0 PB 0 P B P A 0 P B 0 P A
Px F x t Py F y t Pz F z t
p1 x t1
④ 当t 很小时，由于冲力很大，有时有的有限大小的 力（如重力）可忽略不计。 ⑤ 动量与参考系有关，但动量差值与参考系无关。因 此，动量定理适用于所有惯性系。
例1：质量为 2. 5g 的乒乓球以10 m/s v2 y 的速率飞来，被板推挡后，又以 20 m/s的速率飞出。设两速度在垂直于 板面的同一平面内，且它们与板面法 30o x ˆ O n 线的夹角分别为45o和30o，求： o 45 （1）乒乓球得到的冲量； （2）若撞击时间为0.01s，求板施于 v1 球的平均冲力的大小和方向。 解： （1）分量式法取挡板和球为研究对象，忽 略重力。 设挡板对球的冲力为F 则有： I m v 2 m v 1 取坐标系，将上式投影，有：
物理学概念知识：动量定理和动量角动量定理
物理学概念知识：动量定理和动量角动量定理动量定理和动量角动量定理是物理学中非常基本的两个概念。
它们的内容涉及到我们对物体运动规律的认识，不仅有助于我们更好地理解物理学知识，还可以应用于现实生活中的一些问题。
下面，我们将分别介绍这两个概念及其应用。
一、动量定理动量定理是描述物体运动过程中动量变化的一个基本定理。
它指出：在总外力作用下，物体的动量就会发生变化，这种变化的大小跟作用力和时间的乘积成正比。
这个定理的表达方式为：Δp=Ft其中，Δp表示物体动量的变化量，F表示物体所受的总外力，t 表示外力作用的时间。
式子的意义是：在总外力作用下，物体动量的变化量等于总外力作用时间的乘积。
重物移动时，如果外力越大，或者作用时间越长，那么物体的动量就会发生更大的变化。
从而可以更快地推动物体运动起来。
同样，如果要让运动中的物体停下来，也可以利用动量定理的知识。
通过对物体施加一个与它的运动方向相反的恒定力，也就是反向加速度，可以让物体的动量逐渐减小，直到物体停下来。
二、动量角动量定理动量角动量定理是物理学中另一个基本的概念。
它是通过描述物体绕某一点旋转的行为，来了解物体运动过程中动量变化的定理。
它指出：在物体绕某一点旋转时，物体的角动量就会发生变化，这种变化的大小跟作用力矩和时间的乘积成正比。
这个定理的表达方式为：ΔL=Mt其中，ΔL表示物体角动量的变化量，M表示作用力矩，t表示外力作用的时间。
式子的意义是：在物体绕某一点旋转时，物体角动量的变化量等于力矩作用时间的乘积。
个陀螺时，如果外力越大，或者作用时间越长，那么陀螺的角动量也会发生更大的变化。
从而可以更快地让陀螺旋转。
同样，如果要让旋转中的陀螺停下来，也可以利用动量角动量定理的知识。
通过对陀螺施加一个与它的旋转方向相反的外力矩，也就是反向加速度矩，可以让陀螺的角动量逐渐减小，直到陀螺停下来。
总之，动量定理和动量角动量定理是物理学中非常重要的两个概念。
它们既可以帮助我们更好地理解物理学知识，也可以用于实际生活中的问题解决。
角动量和动量的转化关系
角动量和动量的转化关系角动量和动量是物理学中两个重要的概念，它们之间存在着转化关系。
本文将详细解释角动量和动量的含义，并探讨它们之间的转化关系。
我们来了解一下角动量的概念。
角动量是描述物体旋转状态的物理量。
对于一个质点，其角动量可以通过其质量、速度和距离旋转轴的位置来确定。
角动量的大小与旋转物体的质量、速度和旋转半径有关。
当旋转物体的质量增加、速度增加或旋转半径增加时，角动量也会增加。
而动量是描述物体运动状态的物理量。
动量等于物体的质量乘以其速度。
动量是一个矢量量，具有大小和方向。
当物体的质量增加或速度增加时，动量也会增加。
在物理学中，角动量和动量之间存在着转化关系。
在旋转运动中，物体的角动量可以转化为动量，而动量也可以转化为角动量。
这种转化关系可以通过以下两种情况来解释：情况一：物体的角动量转化为动量。
当一个旋转物体突然停止旋转，其角动量会转化为线性动量。
这是因为旋转物体在旋转时具有角动量，当它停止旋转时，角动量会转化为物体的线性动量。
这就是我们常说的角动量守恒定律。
情况二：动量转化为角动量。
当一个物体在运动过程中受到外力的作用，其动量会转化为角动量。
这是因为外力的作用会改变物体的运动状态，使其发生旋转运动，从而产生角动量。
通过上述两种情况可以看出，角动量和动量之间存在着转化关系。
它们之间的转化是相互联系的，不可分割的。
这种转化关系在物理学中具有重要的意义，可以帮助我们更好地理解物体的运动规律。
在实际应用中，角动量和动量的转化关系被广泛应用于航天、机械工程、天文学等领域。
例如，火箭发射时，燃料的动量转化为火箭的角动量，从而使火箭得以旋转并产生推力。
再如，地球的自转使得地球具有角动量，而地球自转的角动量又转化为地球的动量，影响地球的运动轨迹。
角动量和动量是物理学中两个重要的概念，它们之间存在着转化关系。
角动量描述物体的旋转状态，而动量描述物体的运动状态。
角动量可以转化为动量，动量也可以转化为角动量。
4-4 角动量与角动量定理
设固定轴为 z 轴
z
F F⊥
r⊥sinα Mz
r ˆ Mz = M ⋅ z r r ˆ = (r × F ) ⋅ z r r = r⊥ × F⊥
r⊥
d Lz Mz = dt
α
平面 ⊥ z 轴
M
O
·
r
——质点对轴的转动定律 质点对轴的转动定律 若绕固定轴的力矩为 0，即 ，
力对轴的力矩:力对 力对轴的力矩 力对 某点的力矩在过此点 的某轴上的投影
r F = 0 , r r M = 0 F 过 O点 ： 有 心 力 （ 如 行 星 受 中心恒星的万有引力）
r r r L = r × (m v ) = 常 矢 量
第4章 动量和角动量
开普勒第 二定律
α （1） mv r sin =const ） （2）轨道在同一平面内 ）
4-4 角动量与角动量定理来自m2R o m 1
第4章 动量和角动量
4-4 角动量与角动量定理
解： 有心力场中， 有心力场中 ， 运 用角动量守恒和(m 用角动量守恒和 1 ，m2 m2 )系统机械能守恒 系统机械能守恒 定律： 定律：
R o m 1
3Gm1 1 2 1 ⇒ sin θ = (1 + ) 2 4 2 Rv0
3Gm1 1 2 ) v = v0 (1 + 2 2 Rv0
r L r L0
r v v dL = L − L0
质点的角动量定理：对同一参考点O，质点所受的 质点的角动量定理：对同一参考点 ， 冲量矩等于质点角动量的增量. 冲量矩等于质点角动量的增量
第4章 动量和角动量
4-4 角动量与角动量定理
四 角动量守恒定律 由角动量定理
r 当M =0
物理动量和角动量
02
角动量
定义
总结词
角动量是描述旋转运动的物理量，表示物体转动惯量和角速度的乘积。
详细描述
角动量是描述旋转运动的物理量，它等于物体转动惯量和角速度的乘积。转动惯量是描述物体转动惯 性的物理量，与物体的质量分布和旋转轴的位置有关。角速度是描述物体旋转快慢的物理量，等于物 体转过的角度与时间的比值。
乒乓球的旋转速度和方向决定了球的 轨迹和落点，对于比赛结果具有重要 影响。因此，乒乓球运动员需要熟练 掌握各种旋转球技术，以提高比赛水 平。
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THANKS
动量的计算公式
总结词
动量的计算公式是质量与速度的乘积 。
详细描述
动量的计算公式为 P=mv，其中 P 表示 动量，m 表示质量，v 表示速度。这个 公式用于计算物体的动量，是物理学中 常用的基本公式之一。
动量的矢量性
总结词
动量是一个矢量，具有方向和大小。
详细描述
动量具有矢量性，表示物体运动的方向和大小。在物理学中，动量的方向与速度 的方向一致，大小等于质量与速度的乘积。矢量性是动量最基本的性质之一，对 于描述物体的运动状态和变化趋势非常重要。
角动量的计算公式
总结词
角动量的计算公式为 L = Iω，其中 L 是角动 量，I 是转动惯量，ω 是角速度。
详细描述
角动量的计算公式为 L = Iω，其中 L 是角动 量，I 是转动惯量，ω 是角速度。转动惯量 I 是由物体的质量分布和旋转轴的位置决定的， 可以通过质心坐标系和刚体转动轴的垂直距 离计算得出。角速度 ω 是描述物体旋转快慢 的物理量，等于物体转过的角度与时间的比
动量的守恒定律
总结词
在没有外力作用的情况下，封闭系统中的总动量保持不变。
大学物理-角动量定理和角动量守恒定律
系统内物体之间的相互作用力矩不会改变系统的 总角动量。
角动量守恒的应用举例
天体运动
行星绕太阳公转、卫星绕地球运 行等天体运动中，角动量守恒定
律是重要的理论基础。
陀螺仪
陀螺仪利用角动量守恒原理，通过 高速旋转来保持方向稳定，广泛应 用于导航、制导和控制系统。
机械系统
在机械系统中，如旋转机械、齿轮 传动等，角动量守恒定律用于分析 系统的动态平衡和稳定性。
04 角动量定理与守恒定律的 实际意义
在天文学中的应用
描述行星和卫星的运动
角动量定理和守恒定律在天文学中用于描述行星和卫星围绕中心天体的运动。 这些定律帮助科学家理解天体的旋转和轨道运动，以及它们之间的相互作用。
预测天文现象
通过应用角动量定理和守恒定律，科学家可以预测天文现象，如行星的轨道变 化、卫星的旋转等。这些预测有助于更好地理解宇宙的演化。
在航天工程中的应用
航天器姿态控制
角动量定理和守恒定律在航天工程中用于控制航天器的姿态 。通过合理地布置航天器上的动量轮，可以调整航天器的角 动量，实现姿态的稳定和控制。
L = m × v × r，其中L是 角动量，m是质量，v是 速度，r是转动半径。
角动量单位
在国际单位制中，角动量 的单位是千克·米²/秒 (kg·m²/s)。
角动量定理表述
角动量定理
01
对于一个封闭系统，其总角动量保持不变，即系统内力的力矩
之和为零。
表述形式
02
dL/dt = ΣM = 0，其中dL/dt表示角动量的时间变化率，ΣM表
角动量守恒的应用
角动量守恒定律在许多物理现 象中都有应用，如行星运动、 陀螺仪等。
大学物理 动量与角动量解读
t2 t1
F外
dt
P2
P1
—质点系动量定 理（积分形式）
系统总动量由外力的冲量决定，与内力无关。
用质点系动量定理处理问题可避开内力。 8
§3.2动量守恒定律 （law of conservation of momentum）
质点系所受合外力为零时，质点系的总动量
不随时间改变。这就是质点系的动量守恒定律。
zC
mi zi m
质量为权重的平均值。 17
二.几种系统的质心
● 两质点系统
· · m1
C× m2
r1
r2
● 连续体
z
dm
r
×C
rc m
0
x
m1 r1 = m2 r2
rC
r dm
m
xC
xdm
……m
18
● 均匀杆、圆盘、圆环、球，质心为其几何中心。
● “小线度”物体的质心和重心是重合的。
[例]如图示，求挖掉小圆盘后系统的质心坐标。 解：由对称性分析，质心C应在x轴上。
2
3.1 冲量与动量定理
冲量：力和力作用时间的乘积 （单位：牛顿·秒 (N·s)）
恒力 变力
在 dt 时间内的元冲量： dI Fdt
在 t1至 t2 时间段内的冲量：
（力对时间的积累效应）
动量：质点质量 m 和速度 的乘积
P mv
单位：千克·米·秒-1 (kg·m·s-1) 3
一、质点的动量定理
经整理得： Mdv = -udM
d v u d M M
f
Mf dM
d v u
i
M Mi
速度公式：
vf
vi
大学物理-动量与角动量
因：v = rw
则小球的动能增量为：
例3.18 证明开普勒第二定律：对任一行星，它的位置矢量（以太阳中心为参考点）在相等的时间内扫过相等的面积。
太阳对行星的引力为有心力，故行星角动量守恒，即 L 为常矢量，因此有：
角动量守恒：r1mv1=r2mv2 v1=(r2/r1)v2=1.2857v2
机械能守恒：
代入数据计算时，注意长度单位要统一使用m或km。
空间累积效应
时间累积效应
瞬时效应
动量定理
角动量定理
动能定理
功能定理
质点的角动量守恒定律
力
力矩
动量
角动量
冲量
冲量矩
力与动量
力矩与角动量
动量定理(冲量与动量)
角动量定理(冲量矩与角动量)
动量守恒：某一时间间隔内，质点系所受外力矢量和始终为零，…
角动量守恒：对固定参考点而言，质点受到的合力矩始终为零，…
例2-17：将质量为m 的小球系于轻绳一端，绳的另一端穿过光滑水平面上的小孔O 用手拉住。先使小球以角速度 w1 在水平面上做半径为 r1 的圆周运动，然后慢慢将绳下拉，使半径缩小为 r2 ，求在此过程中小球的动能增量。
力矩
O
力矩的分量式:
对轴的力矩
力矩为零的情况: （1）力 F 等于零； （2）力 F 的作用线与矢径 r 共线（即 sinj = 0 ）
二、角动量定理
角动量 力矩
质点对某固定点的角动量随时间的变化率，等于质点所受的合力对该点的力矩。
表示成积分形式：
冲量矩（合力矩在Δt时间内对定点的冲量矩）
由对称性分析，质心C应在x轴上。
角动量和动量的转化关系
角动量和动量的转化关系一、引言角动量和动量是物理学中两个重要的概念，它们在描述物体运动时起着关键的作用。
本文将通过深入探讨角动量和动量之间的转化关系，以展示它们之间的联系和相互关系。
二、角动量和动量的定义2.1 角动量的定义角动量是描述物体旋转运动的物理量。
它是由物体的质量、角速度和旋转轴决定的。
根据刚体的定义，刚体是指其内部任意两点之间的距离保持不变的物体。
对于一个刚体，其角动量的表达式可表示为：L=I⋅ω其中，L表示角动量，I表示物体的转动惯量，ω表示物体的角速度。
转动惯量是刚体质量分布的一种度量，其大小与物体的形状和质量分布有关。
2.2 动量的定义动量是描述物体线性运动的物理量。
它是由物体的质量和速度决定的。
根据牛顿第二定律，物体的动量的表达式可表示为：p=m⋅v其中，p表示动量，m表示物体的质量，v表示物体的速度。
动量是一个矢量，它的方向与速度的方向一致。
三、角动量和动量的转化关系3.1 转动惯量与质量之间的关系在刚体的转动运动中，转动惯量是描述物体抵抗转动的性质。
对于一个质点的转动惯量，其定义可表示为：I=m⋅r2其中，I表示转动惯量，m表示质点的质量，r表示质点到转轴的距离。
可以看出，质量对转动惯量的大小有直接影响。
3.2 角速度和线速度之间的关系在刚体的转动运动中，角速度和线速度之间存在一定的关系。
对于一个刚体的线速度和角速度，其关系可以表示为：v=ω⋅r其中，v表示线速度，ω表示角速度，r表示质点到转轴的距离。
可以看出，角速度和线速度之间存在着一定的比例关系。
3.3 角动量和动量之间的转化关系在刚体的转动运动中，角动量和动量之间存在着转化关系。
根据定义可得到：L=I⋅ωp=m⋅v将角动量的定义式和动量的定义式相对比，可以发现它们之间的形式非常相似。
通过进一步分析可以得出：L=p⋅r也就是说，角动量等于动量乘以质点到转轴的距离。
这一关系表明，角动量和动量之间存在着直接的转化关系。
四、角动量和动量的实际应用角动量和动量的转化关系在物理学中具有广泛的应用。
大学物理_第四章__动量和角动量
d (mv ) dm d v dm dv 0 F m v dt m dt dt dt dt ma
物理意义：物体所受合外力的冲量等于物体动量的增量。
I mv2 mv1
——质点的动量定理
I x mvx 2 mvx1 I y mvy 2 mvy1 直角坐标分量式为 I z mvz 2 mvz1 注意： t2 １． I Fdt P2 P1 为矢量式，使用中
I x px mvBx mv Ax
mvB mv A cos45
vB
O
B
vA
x
0.683kg m s
1
A
I y p y mvBy mv Ay mv A sin45 0.283kg m s1
总冲量： 大小 I
2 0.739 N s Ix I2 y
球与棒脱离到飞至最高点过程机械能守恒
1 2 mv 2 mgh 2
v2 2 gh
２．据动量原理作矢量图：
３．解析式:
p2
2 2 I P P2 P 1
p I
7.3 (N S) 2 1 P 0 tan 1 34.99 P I 7.3 365N F 0.02 t
v1 0 P 1 0
l
２
T
m
１
mg
EP 0
v2 ?
1 2 机械能守恒 1 2 m 2gl(1 cos ) mv 2 mgl (1 cos ) 2
I合
P2 m v2
例2.一重锤从高度h=1.5m处自静止下落，锤与被加工的 工件碰撞后末速为０。若打击时间 t 为 10 1 s、 10 -2 s、 10 -3 s 和10 -4 s ，试计算这几种情形下平均冲击力与重力的比值.
大学物理教学资料——动量与角动量
0 t1 x
y
一个过程量等于始末两个状态量之差。
冲量是矢量, 冲量的方向一般不同于初、 末 动量的方向，而是动量 增量的方向。
冲量还可用平均冲力来表示
应用举例: Fx
Fx
0
t1
p1x
碰撞问题的平均打击力
F(t2t1)
t2 t1
Fd
t
平均冲力
F
1
t2
Fd
t
t2t1 t1 p
M2F101F22XM1 2mM2M 21 0 FM 分2内如外2 内别力图 力力受矩d 设d矩外F有(tL 1M 力1 2质M 1F点10L . 2.M M 2 1F m )1 221。0Fm4 22
O 两相M 式加1对 ：质M 点M 1 0 1 （ 1d M d ） L 1 1：t 0M 12 M 对M 2 质2内M 0 点力M d d 1 （2 矩( 0 L 2 0 t 1 ） M d ：d L L 2 2 2)t 0 3 20
v0
1 2 (m m 0 )u 2 1 2 (m m 0 )v 2 1 2 k (L L 0 )2
a
(m m 0 )L 0 u (m m 0 )Lsv in
v
m2v02 k(LL0)2 (mm0)2 mm0
sin
m0L v0
Lm 2v0 2k(LL0)2(mm 0)
例半地质 径 轴量为OO为R’的与m地的球小表球平v面A0行，水，以平小速切球度向A向的v0右轨沿飞道质出与量（轴为如OMO图’的相），
t1
L1
写成分量式: t2
Lx2
Mxdt dLx Lx2Lx1
t1
Lx1
t2
Ly2
Mydt dLy Ly2Ly1
动量和角动量
x20 - x10 = l
整理后得：
A
t
ΔX1
x
O
m1 (x20 x10 ) = 1 + v1dt 0 m2
l
ΔX2
B
x = x1 = x10 + v1dt
0
m1 t l = 1 + 0 v1dt m2
t
m 2l 0 v1dt = m1 + m2
F = 400 4 10 t/3 = 0
5
得：t=0.003s
0.003 0
2）由冲量定义： I=
0.003
0
Fdt =
(400 4 105 t/3)dt
0.003
= 400t 2 10 t /3 0
5 2
= 0.6N s
3）由动量定理：
I=
0.003
0
Fdt = ΔP = mv = 0.6N s
合外力 合内力
fij = f ji
F
+
0
=
d P dt
总动量
dP 质点系的动力学方程： F = dt
质点系的动量定理的微分形式： Fdt
= dP
ii
t1→t2 积分，得质点系的动量定理积分形式：
( F )dt = p p
t2 t1 i if i i i
总冲量
或：
末、始时刻的总动量
F1
t 1Δt 1Δt 2
F2
Δt i
Fi
t2
ΔIi = F(t i )Δti
F(t )Δt
i i
i
I
近似为 t1→t2 时间段的冲量
力学动量与角动量
力学动量与角动量在物理学中，力学动量和角动量是两个重要的概念。
它们描述了物体或系统的运动特性，并且在许多物理问题的分析中起着至关重要的作用。
本文将深入探讨力学动量和角动量的定义、性质以及在力学中的应用。
一、力学动量力学动量是描述物体线性运动状态的物理量。
它由物体的质量和速度决定，可以用数学公式p = mv来表示，其中p表示动量，m表示质量，v表示速度。
动量的单位是千克·米/秒（kg·m/s），在国际单位制中被广泛采用。
动量具有一些重要的性质。
首先，动量是矢量量，具有大小和方向。
其次，根据牛顿第一定律（惯性定律），一个物体的动量在不受外力作用的情况下保持恒定。
第三，根据牛顿第二定律（力学定律），物体所受外力等于动量的变化率，即F = dp/dt，其中F表示力，t表示时间。
力学动量在力学中具有重要的应用。
例如，在碰撞问题中，动量守恒定律指出，碰撞前后物体的总动量保持不变。
这个定律帮助我们理解物体碰撞时的运动情况。
此外，在运动过程中，动量变化率可以帮助我们分析物体所受的力和物体的运动轨迹。
二、角动量角动量是描述物体旋转运动状态的物理量。
它由物体的质量、速度和距离旋转轴的距离决定，可以用公式L = Iω表示，其中L表示角动量，I表示质量关于旋转轴的转动惯量，ω表示角速度。
角动量的单位是千克·米^2/秒（kg·m^2/s^2）。
角动量也具有一些重要的性质。
与动量类似，角动量也是矢量量，具有大小和方向。
在没有外力矩作用的情况下，角动量守恒，即角动量的大小和方向保持不变。
对于刚体的旋转运动，由于质量分布的不同，转动惯量会有所变化，从而影响角动量的大小。
角动量在力学中也有广泛的应用。
例如，在天体力学中，角动量守恒定律有助于我们研究行星和卫星的运动。
此外，在旋转体的稳定性分析、陀螺仪的原理以及核物理中的粒子自旋等问题中，角动量也发挥着重要的作用。
三、力学动量与角动量的关系力学动量和角动量之间存在一定的联系。
动量和角动量的名词解释
动量和角动量的名词解释在物理学中，动量和角动量是两个重要的概念，用来描述物体运动的性质和规律。
它们可以帮助我们理解物体在空间中的运动和相互作用，以及解释自然界中的种种现象。
本文将详细解释动量和角动量的含义和相关概念，探讨它们在物理学中的应用以及它们之间的相互关系。
一、动量的概念和性质动量是描述物体运动的物理量，从数学上可以定义为物体质量与物体速度的乘积。
动量的数学表达式为：动量 = 质量 ×速度。
动量的单位是千克·米/秒（kg·m/s），在国际单位制中常用此单位表示。
动量的性质有以下几个重要特点：1. 动量是矢量量，具有方向性。
矢量量表示物理量有大小和方向。
动量的方向与物体速度的方向一致。
2. 动量是守恒的。
在不受外力作用的系统中，总动量守恒。
也就是说，不论系统中个别物体之间如何互相碰撞，总动量的大小和方向都保持不变。
3. 动量定理。
动量定理表明，当一个物体受到外力作用时，其动量会发生变化。
外力作用时间越长，物体所受动量变化越大。
4. 动量和冲量的联系。
动量变化的大小与作用力及作用时间有关，通常用冲量来描述。
冲量是力对物体作用的效果，它的大小等于力乘以时间，与动量的变化量相等。
二、角动量的概念和性质角动量是描述旋转物体运动的物理量，从数学上可以定义为物体质量的转动惯量与物体角速度的乘积。
角动量的数学表达式为：角动量 = 转动惯量 ×角速度。
角动量的单位是千克·米²/秒（kg·m²/s），在国际单位制中常用此单位表示。
角动量的性质有以下几个重要特点：1. 角动量也是矢量量，具有方向性。
它的方向与物体旋转轴的方向一致。
2. 角动量同样是守恒的。
在没有外力矩作用的封闭系统中，总角动量守恒。
也就是说，不论系统中个别物体的旋转如何变化，总角动量的大小和方向都保持不变。
3. 角动量定理。
角动量定理表明，当一个物体受到外力矩作用时，其角动量会发生变化。
大学物理 动量和角动量
平均冲力
打击或碰撞时，冲力作用时间短，力的大小迅速变化， 用一平均的力代替该过程中的变力，用平均力表示：
F
F
t1
t
I F dt F t
F
1
t t0
t0
t
Fdt
I
t0
t t0
p
p0
t t0
t2
当PX 一定时，FX t 增大作用时间，缓冲
1 t
汽车气囊、拳击手套、运动护垫 etc.
两式求和：
F1 F2
t
(
t0
Fi外
fi内)dt
mi vi
mi vi0
f12与f21为一对作用力和反作用力,
f12 f21
令P fi内mivi0即系Pi 统为的系内统力的矢动量量合矢为量0合。，
t
(
t0
Fi外)dt P P0 P
质点系的动量定理：合外力的冲量等于质 点系动量的增量。
(1)头3秒内该力的冲量； (2)3秒末物体的速率
解: 建立一维坐标如图
(1)头3秒内该力的冲量;
o
X
由动量定理 (2)3秒末物体的速率;
回顾：
冲量
I
t2
Fdt
mv2
mv1
P
1、冲量是力的作用对时间的t1 积累；
2、质点的动量定理：质点所受冲量=其动量的增量；
3、质点所受平均冲力
Fx
mvx2 mvx1 t
+
冲量I在数值上等于F～ｔ曲线与 0 t1
t2
t
坐标轴所包围的面积。
三、用冲量表述质点的动量定理
i
Fi
dp dt
i
Fi dt
动量和角动量守恒原理
动量和角动量守恒原理一、动量守恒原理动量是描述物体运动状态的物理量，它等于物体的质量乘以速度，用数学公式表示为：动量= 质量× 速度。
动量守恒原理指的是，在一个孤立系统中，系统的总动量在相互作用过程中保持不变。
动量守恒原理可由牛顿第二定律推导得到。
根据牛顿第二定律，物体的加速度与施加在物体上的合外力成正比，与物体的质量成反比。
当物体的质量不变时，可以得到物体的加速度与物体受到的合力成正比。
根据牛顿第三定律，物体受到的合力等于其他物体对它施加的力的矢量和。
因此，在相互作用过程中，物体受到的合力等于其他物体对它施加的力的矢量和，根据物体的加速度与物体受到的合力成正比的关系，可以得到物体的加速度等于其他物体对它施加的力的矢量和除以物体的质量。
将物体的加速度代入动量的定义式中，可以得到物体的动量在相互作用过程中保持不变。
动量守恒原理在物理学中有广泛的应用。
例如，在碰撞过程中，根据动量守恒原理可以计算物体碰撞前后的速度和质量。
在火箭发射过程中，根据动量守恒原理可以计算火箭推进剂的质量和速度，以及火箭的推力。
在运动中的摩擦力、阻力等问题中，也可以利用动量守恒原理进行分析和计算。
二、角动量守恒原理角动量是描述物体旋转状态的物理量，它等于物体的惯性力矩乘以角速度，用数学公式表示为：角动量= 惯性力矩× 角速度。
角动量守恒原理指的是，在一个孤立系统中，系统的总角动量在相互作用过程中保持不变。
角动量守恒原理可由角动量定理推导得到。
根据角动量定理，物体的角动量的变化率等于物体所受的力矩。
当物体受到的合力矩为零时，物体的角动量保持不变。
在一个孤立系统中，由于没有外力矩的作用，因此系统的总角动量保持不变。
角动量守恒原理同样在物理学中有广泛的应用。
例如，在刚体的旋转运动中，根据角动量守恒原理可以计算刚体旋转的角速度和惯性力矩。
在天体运动中，根据角动量守恒原理可以计算行星的轨道半径和角速度。
在自行车、滑板等运动装置的稳定性问题中，也可以利用角动量守恒原理进行分析和计算。
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pi const.
i
4. 比牛顿定律更普遍的最基本的定律。
例：光滑轨道上有一长为 L，质量为 M的板车，车上有 一质量为 m的人，若人从车的一端走到另一端，则人和 车对地各走多远 ？ y 解：水平方向系统不受力， 该方向动量守恒。
2
1
v1 v12 v2 v1 v12 v2
mv 1y
结论：物体动量变化一定的情况下，作 用时间越长，物体受到的平均冲力越小； 反之则越大。
海绵垫子可 以延长运动员下 落时与其接触的 时间，这样就减 小了地面对人的 冲击力。
运动员在投掷标枪时，伸直手臂， 尽可能的延长手对标枪的作用时间，以 提高标枪出手时的速度。
例：逆风行舟
u
v
f f
M v1 v12 M m
mv1 M v2 0
x
x1 v1dt
x2 v2 dt L v12 dt
m v2 v12 M m
M x1 L M m
m x2 L M m
m R M
y
x
求m到底部时，M在水平面上移动的距离
例：如图，质量为Ｍ的滑块正沿着光滑水平地面向右滑 去，一质量为m的小球水平向右飞行，以速度 v（相对地 1 面）与滑块斜面相碰，碰后竖直向上弹起，速度为 v 2 ， 试计算此过程中，滑块对地面的平均作用力及滑块速度 的增量。 v N 解： 选m、Ｍ为系统，则系统受 的合外力为 Mg 和mg以及地面 的支持力 N 由动量定理得
§3.1 冲量（impulse）与动量（momentum）定理
一、动量
P mv
二、冲量
1. 常力的冲量
F2Δ t 2
FiΔ t i
I Ft
F1Δ t 1
FnΔ tn
I I = F1t1 F2 t2 Fn tn Fi ti
2. 变力的冲量
( N mg ) 0 (mv0 )
m
N
m
h
v
0
m 工件
mg
N mg
mv0
( N mg )t mv2 mv1
[ 例2 ] 一小球与地面碰撞m=2 ×10-3kg ，600 ， v=v’=5.0ms-1碰撞时间,t=0.05s求:平均冲力 。
dP d ( mv ) F dt dt
v2 v1
Fdt dP d (mv )
此式为动量原理的微分形式。两边积分后得到动量原理的 积分形式：
t2
Fdt
t1 t2
d ( mv ) mv 2 mv 1 = P 2 - P 1
Fx dt mv 2 x mv1 x = P2x - P 1x
t2 t1 2
v1
2
(mg Mg N )dt mv
0
m y
(mg Mg) t N t mv 2 mv 2 N mg Mg t 水平方向 动量守恒 mv 1 Mv0 M Mv M
Ｍ
x
mg
vM
Mg
mv 1 vM M
例：光滑水平铁轨上，一辆质量为m1=20kg 无动力检 修车正以Ｖ０＝３m/s的速度前进，车上站立一质量为 m2=50kｇ 的人，此人向着与铁轨成60度角的侧前方以 相对于车的速度u=5m/s 跳下，求跳下车后，检修车的 速度和跳车过程中铁轨受到的侧向冲量。 解：如图以人和车为研究系 统则水平方向的合外力为零， 因此水平方向动量守恒，设 人跳车后相对地面的 速度 为 v ，车相对地面的速度 人 为 v 则： v 人 u v
I Fdt
0.003 0
4 10 4 10 t 400 dt 400 t t 3 23
5
5 2 0.003
0 .6 N s
0
（3）
I mv 0
I 0.6 m 0.002 kg 2 g v 300
§3.2 质点系的动量、动量守恒定律
(T mg )t mv (mv0 )
v0 2 gh
M T
M
h T
v = mv 0 M +m
问题：由
M mg t M +m Δ
v0
m
M 、m 所组成的系 统动量是否守恒？
v
Mg mg
v
质量m = 1kg的质点从o点开始沿半径R = 2m的圆周运动。 以o点为自然坐标原点。质点的运动方程为 s 0.5 t 2 m。试求从 t1 力的冲量。
t1
t2
F dt mv
y t1
2y
mv1 y
= P2y - P 1y
平均冲力 ：
t2
Fx dt Fx (t 2 t1 )
t1
Fx Fx t
用平均冲力表示的动 量原理为：
0 t1
t2
F x ( t 2 t 1) = mv 2 x mv 1x
F y ( t 2 t 1) = mv2 y
I y I 0 , I y I y y
而铁轨受的侧向冲量为
I I 217kg.m / s y
例：一炮弹竖直向上发射，初速度为Ｖ０，在发射t秒后， 在空中自动爆炸，假定分成质量相同的Ａ、Ｂ、Ｃ三块片， 其中Ａ块的速度为零，Ｂ、Ｃ两块的速度大小相同，且Ｂ 块速度方向与水平方向成角，求Ｂ、Ｃ两块碎片的速度 大小。 解：设三碎片的质量为m,Ｂ、 Ｃ的速度 大小为ＶＢ＝ＶＣ＝ Ｖ１，炮弹爆炸过程中，由于 内力远远大于重力，因此，重 力可以忽略不计，系统的动量 守恒 。
N x t mv sin mv sin
( N y mg )t mv cos (mv cos )
Ny
mg y
N
Nx
Nx 0
2mv cos N y mg t
v
v
x
a a
= 2.2 ( N )
[ 例3 ] 已知 M，m，h。绳子拉紧瞬间绳子与m ,M 之间的相互作用时间为Δt。求：绳子拉紧后， M 与 m 的共同速度。 解： (T Mg )t MV2 MV1 (T ' mg )t mv2 mv1 (T Mg)t MV 0 m
一、质点系的动量
F1 F12
1
Fi Fij
外力 内力
F2
F 21
2
F13
F31
3
应用动量原理的微分形式：
( F1 + F 13+ F12 ) d t = d ( m 1v 1 ) F3 ( F2 + F 23+ F 21) d t = d ( m 2 v 2 ) + ) ( F 3 + F 31+ F32 ) d t = d ( m 3 v 3 ) ( F 1+ F 2 + F 3 ) d t = d (m 1v 1+ m 2 v2 + m 3 v 3 ) Σ F i dt = d (Σ m i v i )
例：煤车以 v
=3m/s从煤斗下通过，每秒落入车厢煤 m=5000kg ，若使车速不变，牵引力F为多大？
解：设煤车质量为M，t 时刻落入
煤车内煤的质量为 m(t)
F
Fdt [ M m(t dt )]v (t dt ) [ M m(t )]v (t )
[m(t dt ) m(t )]v(t ) dmv(t )
u
600
y u
v人
v
x
v 人x u cos 600 v v 人y u sin600
v 人x u cos 60 v v 人y u sin600
0
u
60
0
u
v人
( m 2 m1 )v 0 m1 v m 2 v 人x
v
(m2 m1 )v0 m1v m2 (v u cos 60 )
dm 4 F v(t ) 15 10 N . dt
问题：若 V(t)常 如何求 F ？
二、动量守恒定律
质点系所受合外力为零， 时间改变，即
Fi 0 总动量不随
i
P
i 1
N
p i 常矢量
1. 合外力为零，或外力与内力相比小很多；
2. 或外力的某一分力为零；
3. 只适用于惯性系；
v= 2.5103 m/s 解：
vr= 103 m/s
y
mvc
mv B
3mv t mv B mv c 3v t v B sin v c sin v c cos v B cos 0
又 v t v 0 gt
3m v t
x
3v t v B sin v c sin v c cos v B cos 0
0
m 2 u cos 600 v v0 2.5m / s m1 m 2
以人为研究对象，Ｙ方向上人受到车作用力的冲量为Ｉy 则
I y m 2 u sin600 217kg.m / s
以车为研究对象，Ｙ方向上受到人和铁轨作用力的 冲量为，其和为零，设铁轨作用力的冲量为 I
y
mv1 2
(kg m s )
1
1
mv1
mv2
mv2 2 (kg m s ) I mv2 mv1 (mv)
mv
(mv)
mv1 mv2
2
2
2 2 4 2 6 (kg m s 1 )