运筹学基础及应用课后习题答案(第一二章习题解答)

运筹学基础及应用 习题解答
习题一 P46 (a)
该问题有无穷多最优解，即满足2
1
0664221≤≤=+x x x 且的所有()21,x x ，此时目标函数值3=z 。

(b)
用图解法找不到满足所有约束条件的公共范围，所以该问题无可行解。

(a) (1) 图解法
4
最优解即为⎩⎨
⎧=+=+82594321
21x x x x 的解⎪⎭⎫
⎝⎛=23,1x ，最大值235=z
(2)单纯形法
首先在各约束条件上添加松弛变量，将问题转化为标准形式 ⎩⎨⎧=++=+++++=8
259
43 ..00510 max 421321
4321x x x x x x t s x x x x z
则43,P P 组成一个基。

令021==x x
得基可行解()8,9,0,0=x ，由此列出初始单纯形表 21σσ>。

5
839,58min =⎪⎭
⎫ ⎝⎛=θ
02>σ，2
3
28,1421min =⎪⎭⎫ ⎝⎛=θ 新的单纯形表为
0,21<σσ，表明已找到问题最优解0 , 0 , 2
3
1,4321====x x x x 。

最大值 2
35*=z (b) (1) 图解法 \\
21=+x x 2621+x x
最优解即为⎩⎨
⎧=+=+5
24262121x x x x 的解⎪⎭⎫
⎝⎛=23,27x ，最大值217=z
(2) 单纯形法
首先在各约束条件上添加松弛变量，将问题转化为标准形式
1234523124125
max 2000515
.. 6224
5z x x x x x x x s t x x x x x x =+++++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩
则3P ，4P ，5P 组成一个基。

令021==x x
得基可行解()0,0,15,24,5x =，由此列出初始单纯形表
21σσ>。

245min ,,461θ⎛
⎫=-= ⎪⎝
⎭
02>σ，15
33min ,24,5
22θ⎛⎫== ⎪⎝⎭
新的单纯形表为
0,21<σσ，表明已找到问题最优解11x =，2 2x =，315
2
x =
，40x =，50x =。

最大值
*
17
2
z =
表1-23
表1-24
最后一个表为所求。

习题二 P76
(a)错误。

原问题存在可行解，对偶问题可能存在可行解，也可能无可行解。

(b)错误。

线性规划的对偶问题无可行解，则原问题可能无可行解，也可能为无界解。

(c)错误。

(d)正确。

将该问题化为标准形式：
()⎪⎩⎪
⎨⎧=≥=++-=++++++-=5,104
26 ..002 max 521432154321Λi x x x x x x x x t s x x x x x z i
用单纯形表求解
由于0<j σ，所以已找到最优解()10,0,0,0,6*=X ，目标函数值12*=z (a) 令目标函数
112233max 2z x x x λλλ=+++（）（-1+）（1+）
(1)令230λλ==，将1λ反映到最终单纯形表中
表中解为最优的条件：0-3-1≤λ，0- 1 -1≤λ，0-21≤-λ，从而11-≥λ (2)令031==λλ，将2λ反映到最终单纯形表中
表中解为最优的条件：0 3-2≤λ， 从而32≤λ (3) 令021==λλ，将3λ反映到最终单纯形表中
表中解为最优的条件：01-3≤λ， 从而13≤λ (b) 令线性规划问题为
()⎪⎩⎪
⎨⎧=≥+≤+-+≤+++-=3,10426 ..2 max 5
214
321321Λi x x x x x x t s x x x z i
λλ (1)先分析的变化
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆=∆-*
1111
01101λλλb B b
使问题最优基不变的条件是010611≥⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛++=∆+*
*λλb b ，从而61-≥λ
(2)同理有0106
2≥⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛
+λ，从而102-≥λ (c) 由于)10,0,0,0,6(=*
x 代入26231<-=+-x x ，所以将约束条件减去剩余变量后的方程22631=-+-x x x 直接反映到最终单纯形表中
对表中系数矩阵进行初等变换，得
因此增加约束条件后，新的最优解为
110 3
x=，
38 3
x=，
522 3
x=，最优值为28 3。