第章运筹学基础及应用-第六版
运筹学(第6章 图与网络分析)
(v2)钱
a2 a3 a4 a14 a15
a8 a9
a7 (v4) 李
(v3)孙
a5 (v5) 周 a6 a10 (v6)吴
图6-3
a12 a11 a13
(v7)陈
定义: 图中的点用v表示，边用e表示。对每条边可用它
所连接的点表示，记作：e1=[v1,v1]; e2=[v1,v2];
树是图论中结构最简单但又十分重要的图。在自然和社会领 域应用极为广泛。 例6.2 乒乓求单打比赛抽签后，可用图来表示相遇情况，如 下图所示。
运动员 A
B C
D
E
F G
H
例6.3 某企业的组织机构图也可用树图表示。
厂长
人事科
财务科
总工 程师
生产副 厂长
经营副 厂长
开发科
技术科
生产科
设备科
供应科
动力科
e2
(v1) 赵
e1
e3
e4 孙(v3) 李(v4)
周(v5)
图6-2
e5 吴(v6) 陈(v7)
(v2)钱
如果我们把上面例子中的“相互认识”关系改为“认识” 的关系，那么只用两点之间的联线就很难刻画他们之间的关 系了，这是我们引入一个带箭头的联线，称为弧。图6-3就是 一个反映这七人“认识”关系的图。相互认识用两条反向的 弧表示。
端点,关联边,相邻 若有边e可表示为e=[vi,vj]，称vi和
e2 v2 e6 e1 e4 v1 e3 v3 e8
vj是边e的端点，反之称边e为点vi
或vj的关联边。若点vi、vj与同一条 边关联，称点vi和vj相邻；若边ei和
e5
e7
运筹学基础OR6PPT课件
运筹学的发展历程
80%
起源
运筹学起源于二战时期的军事战 略和资源优化问题，当时称为“ 运作研究”。
100%
发展
随着数学方法和计算机技术的进 步，运筹学逐渐发展成为一个独 立的学科领域。
80%
应用
现代运筹学已经广泛应用于各个 领域，如物流、金融、医疗、交 通等，成为决策支持的重要工具 。
02
线性规划
模型
多目标规划的数学模型通常由决策变 量、目标函数和约束条件组成。目标 函数表示需要优化的多个目标，约束 条件包括等式约束和不等式约束。
多目标规划的求解方法
权重法
给定一组权重因子，将多目标问题转化为单目标问题，通 过求解单目标问题的最优解得到多目标问题的近似解。
层次分析法
将多目标问题分解为若干个子问题，分别求解子问题的最优解 ，然后根据子问题的最优解逐步逼近多目标问题的最优解。
在需要时进行查找。
02
自顶向下法
从原问题开始，逐步将问题分解为更小的子问题，并求解子问题直到达
到基本的最小单元。这种方法需要在递归过程中不断更新当前问题的最
优解。
03
迭代法
通过迭代的方式不断逼近最优解，每次迭代中根据当前最优解和状态转
移方程更新状态，直到达到终止条件。这种方法需要设计适当的迭代算
法和终止条件。
线性规划的求解方法
01
02
03
04
单纯形法
单纯形法是线性规划最常用的 求解方法，它通过不断迭代和 变换，寻找最优解。
初始解的确定
在求解线性规划问题时，需要 先确定一个初始解，然后在此 基础上进行迭代和优化。
迭代过程
在单纯形法中，迭代过程包括 检验、换基和迭代三个步骤。
运筹学基础及应用(全套课件296P) ppt课件
我国朴素的运筹学思想：田忌赛马、丁渭修皇宫
1938年英国最早出现了军事运筹学，命名为“Operational
Research”,1942年，美国从事这方面工作的科学家命其名为
“Operations Research”这个ppt课名件字一直延用至今。
2
§0.1 运筹学简述
美国运筹学的早期著名工作之一是研究深水炸弹起爆深度问 题。当飞机发现潜艇后，飞机何时投掷炸弹及炸弹的引爆引 度是多少？运筹学工作者对大量统计数字进行认真分析后， 提出如下决策：1.仅当潜艇浮出水面或刚下沉时，方投掷深 水炸弹。2.炸弹的起爆深度为离水面25英尺（这是当时深水 炸弹所容许的最浅起爆点）。空军采用上述决策后，所击沉 潜艇成倍增加，从而为反法西斯战争的胜利做出了贡献，为 运筹学增添了荣誉。
16 y3
4 X2 1Leabharlann y4X1 0 , X2 0
设第i种资源收购价格为yi,（ i=1, 2, 3, 4,） 则有 min w= 12y1 + 8y2 + 16y3 +12 y4
s.t 2y1 + y2 + 4y3 +0 y4 2
2y1 +2y2 + 0y3 +4 y4 3 yi 0, (i=1, 2, 3, 4 )
ppt课件
6
§0.2 运筹学的发展
2. 20世纪50年代初期到50年代末期——成长时期 电子计算机技术的迅速发展促进运筹学的推广； 美国的约半数的大公司经营管理中融入运筹学；
大批的国家成立运筹学会，各种运筹学刊物相继问世 ； 1957年，牛津大学，第一次国际运筹学会议 1959年，国际运筹学会 成立
ppt课件
11
第 2 章 线性规划的对偶 理论
运筹学基础及应用
运筹学基础及应用P43例13 、混合配料问题:某糖果厂用原料A、B、C加工成三种不同牌号的糖果甲、乙、丙。
已知各种牌号糖果中A、B、C含量，原料成本，各种原料的每月限制用量，三种牌号糖果的单位加工费及售价如表1-19所示。
问该厂每月生产这三种牌号糖果各多少千克，使该厂获利最大。
试建立这个问题的线性规划的数学模型。
表1-19甲乙丙原料成本(元/kg) 每月限制用量(kg) A 2.00 2000 ?60% ?30%B 1.50 2500C 1.00 1200 ?20% ?50% ?60%0.50 0.40 0.30 加工费(元/kg)3.40 2.85 2.25 售价(元/kg)P44例14、投资项目的组合问题:兴安公司有一笔30万元的资金，考虑今后三年内用于下列项目的投资:(1) 三年内的每年年初均可投资，每年获利为投资额的20%，其本利可一起用于下一年投资;(2) 只允许第一年初投入，于第二年末收回，本利合计为投资额的150%，但此类投资限额不超过15万元;(3) 允许于第二年初投入，于第三年末收回，本利合计为投资额的160%，但限额投资20万元;(4) 允许于第三年初投入，年末收回，可获利40%，但限额为10万元。
试为该公司确定一个使第三年末本利和为最大的投资组合方案。
P44例15、生产、库存与设备维修综合计划的安排:红光厂有2台车床，1台钻床，1台磨床，承担4中产品的生产任务(已知生产各种产品所需的设备台时及生产单位产品的售价如表,,20所示(对各种产品今后三个月的市场最大需求(小于最大需求量时即可全部销出)及各产品在今后三个月的生产成本分别如表1,21和表1,22所示(上述设备在1~3月内各需进行一次维修,具体安排为:2台车床于2月份、3月份各维修一台,钻床安排在2月份维修,磨床安排在3月份维修.各设备每月工作22天.每天2班,每班8h,每次维修占用半各月时间.又生产出来的产品当月销售不出去(超过最大需求量)时,可在以后各月销售,但需付每件每月储存费5元.但规定每月底各种产品储存量均不得超过100件.1月初各产品无库存,要求3月底各产品均库存50件.试安排该厂各月的生产计划,使总的利润为最大.表,,20 a值单位:h iji ? ? ? ? j车床 ,., ,., ,.,钻床 ,., ,., ,.,磨床 ,., ,., ,.,售价(元,件) ,, ,, ,, ,,表 1,21 最大需求量单位:件 K ? ? ? ? j1月 200 300 200 200 2月 300 200 0 300 3月 300 100 400 0表,,22 产品成本单位:元,件K ? ? ? ? j,月 ,, ,, ,, ,, ,月 ,, ,, ,, ,, ,月 ,, ,, ,, ,,P81例1、某食品公司经销的主要产品之一是糖果。
应用运筹学基础：线性规划（4）-对偶与对偶单纯形法
应⽤运筹学基础：线性规划（4）-对偶与对偶单纯形法这⼀节课讲解了线性规划的对偶问题及其性质。
引⼊对偶问题考虑⼀个线性规划问题：$$\begin{matrix}\max\limits_x & 4x_1 + 3x_2 \\ \text{s.t.} & 2x_1 + 3x_2 \le 24 \\ & 5x_1 + 2x_2 \le 26 \\ & x \ge0\end{matrix}$$ 我们可以把这个问题看作⼀个⽣产模型：⼀份产品 A 可以获利 4 单位价格，⽣产⼀份需要 2 单位原料 C 和 5 单位原料 D；⼀份产品 B 可以获利 3 单位价格，⽣产⼀份需要 3 单位原料 C 和 2 单位原料 D。
现有 24 单位原料 C，26 单位原料 D，问如何分配⽣产⽅式才能让获利最⼤。
但假如现在我们不⽣产产品，⽽是要把原料都卖掉。
设 1 单位原料 C 的价格为 $y_1$，1 单位原料 D 的价格为 $y_2$，每种原料制定怎样的价格才合理呢？⾸先，原料的价格应该不低于产出的产品价格（不然还不如⾃⼰⽣产...），所以我们有如下限制：$$2y_1 + 5y_2 \ge 4 \\ 3y_1 + 2y_2 \ge3$$ 当然也不能漫天要价（也要保护消费者利益嘛- -），所以我们制定如下⽬标函数：$$\min_y \quad 24y_1 + 26y_2$$ 合起来就是下⾯这个线性规划问题：$$\begin{matrix} \min\limits_y & 24y_1 + 26y_2 \\ \text{s.t.} & 2y_1 + 5y_2 \ge 4 \\ & 3y_1 + 2y_2 \ge 3 \\ & y \ge 0\end{matrix}$$ 这个问题就是原问题的对偶问题。
对偶问题对于⼀个线性规划问题（称为原问题，primal，记为 P） $$\begin{matrix} \max\limits_x & c^Tx \\ \text{s.t.} & Ax \le b \\ & x \ge 0\end{matrix}$$ 我们定义它的对偶问题（dual，记为 D）为 $$\begin{matrix} \min\limits_x & b^Ty \\ \text{s.t.} & A^Ty \ge c \\ & y \ge 0\end{matrix}$$ 这⾥的对偶变量 $y$，可以看作是对原问题的每个限制，都⽤⼀个变量来表⽰。
运筹学-OR6(共34张PPT)
CN- CBB-1N≤0
全体检验数有C- CBB-1A≤0，即 C≤CBB-1A
令Y（0）= CBB-1，则有 Y（0）A≥C
即是对偶问题的可行解(Y（0） ≥0,松驰变量的检验数)。 由于 z=C X（0）= CBXB（0）= CBB-1b= Y（0）b（目标值相等）
1?b?因为mmjmljpjlljpjjjmljpjlljpjjipbbpbbpbpbppppbbb???1???1????1?1?????111121112111????eyyppppppbbbkkjmljjkljjj??????????????????????000000121112111???eyymklk由于??????10?故有111b????be???????????????????????????????00100001b21111lkklkkyyyybe??????????10lkmklkyyy?3线性规划的对偶问题的提出每个线性规划都有另一个线性规划对偶问题与它密切相关对偶理论揭示了原问题与对偶问题的内在联系
5y1 7y2 6y3 4
yy11,,yy32 ,y03 0y2 0
2y1 3y2 y3 2 3y1 y2 4y3 3 5y1 7y2 6y3 4 y1,y2 ,y3 0
第十五页，共三十四页。
例3 试求下述线性规划问题的对偶问题
min z 2 x1 3 x2 5 x3 x4
§2 改进(gǎijìn)的单纯形算法
•问题 •原理和计算(jìsuàn)步骤(见书p50)
第一页，共三十四页。
主要是计算 B1的差别： 设当前基
B (Pj1, Pj 2 ,, Pj(l1) , Pjl , Pj(l1) ,, Pjm )
运筹学基础及应用_(第四章_整数规划与分配问题)
（d） 8
（e）1号、
4号、6号、9号开采时不能超过两个，试表示上
述约束条件。
Next
基础教研室
（a）当x8=1 当x8=0 ∴ x8 x6
x6=1，x6≠0 x6=1，x6=0
（b）当x5 =1 当x5 =0 ∴ x5 + x3 1
x3=0， x3 ≠1 x3=0， x3 =1
基础教研室
【例1】求下述整数规划的最优解
Max z= 3x1 + 2x2 st . 2x1 + 3x2 14 x1 + 0.5x2 4.5 x10，x20，且为整数
基础教研室
x2 x1+0.5x2=4.5
4
(3.25, 2.5) 2 2x1+3x2=14
2
4
6
x1
3x1+2x2=6
二、整数规划的求解方法
1 －选择电网供应 设 y1 0 －不选择电网供应
10 d j x j f (1 y1 ) M j 1 10 0.3d j x j p (1 y2 ) M j 1 y1 y2 1 y1 , y2 0或1
基础教研室
【例3】投资决策问题 某公司准备1000万元资金在10个地点中选择若干个建立 工厂（工厂名称用地点名来命名），有关数据如下：
由于各个工厂之间有配套和协作关系，因此必须满足条件： 1、 建工厂1就必须同时建工厂2； 2、 若建工厂2就不允许建工厂3； 3、 工厂4和工厂5至少建一个； 4、 工厂6，7，8恰好建2个； 5、 工厂8，9，10最多建2个； 6、 建工厂4或者建工厂6，就不能建工厂8，反过来也一样； 7、 条件2，3，5最多满足2个。 问选择哪几个地点建厂最有利？ Next
第章 运筹学基础及应用-第六版
2021/8/2
编辑版pppt
3
§1 一般线性规划问题的数学模型
1.1 引例
例1、生产计划问题 ⅠⅡ
设备A 2 2 设备B 4 0 设备C 0 5 利润（元） 2 3
设备能力（小时） 12 16 15
问：Ⅰ，Ⅱ两种产品各加工多少单位, 可获最大利润?
2021/8/2
编辑版pppt
4
解:设产品Ⅰ, Ⅱ产量分别为变量x1 ， x2 max Z= 2x1 +3x2
xj xj xj 其中： x0， x0
4. 变量 xj≤0
令 xj xj ，显然 xj 0
2021/8/2
编辑版pppt
23
例3(教材15页) 将下述LP模型化为标准型
min z x1 2x2 3x3
2x1 x2 x3 9
s.t.
3x1 x2 2x3 4
3x1 2x2 3x3 6
n
aij x j
bi
（ i 1， ， m ）
j1
x
j
0
（ j 1， ， n）
就是从满足约束方程组和约束不等式的决策变量取 值中，找出使得目标函数达到最大的值。
2021/8/2
编辑版pppt
33
可行解：满足所有约束条件的解称为可行解，所有可 行解的集合称为可行域。
最优解：使目标函数达到最大值的可行解。
a11 a1n
A
am1 amn
x1
X
x n
b1
b
b m
编辑版pppt
18
1.3 线性规划问题的标准形式
n
标准形式： max z c jx j j1
n
a ijx j bi
运筹学第6版参考答案
运筹学第6版参考答案运筹学是一门研究如何有效地利用有限资源来解决实际问题的学科。
它涵盖了数学、统计学、经济学等多个学科的知识，旨在通过建立数学模型和运筹方法来优化决策和规划。
本文将为读者提供《运筹学第6版》的参考答案，帮助他们更好地理解和应用这门学科。
第一章：引论本章主要介绍了运筹学的概念、发展历程以及应用领域。
运筹学的核心思想是通过数学模型和运筹方法来解决实际问题。
它广泛应用于生产、物流、供应链管理、金融等领域，可以帮助企业提高效益、降低成本。
第二章：线性规划线性规划是运筹学中最基础、最常用的方法之一。
它的目标是在给定的约束条件下，最大化或最小化一个线性目标函数。
本章介绍了线性规划的基本概念、模型建立方法以及常用的解法算法，如单纯形法、对偶理论等。
第三章：整数规划整数规划是线性规划的一种扩展形式，它要求决策变量取整数值。
由于整数规划的求解难度较大，本章介绍了常用的整数规划求解方法，如分支定界法、割平面法等，并给出了一些实际问题的案例分析。
第四章：网络优化网络优化是运筹学中的一个重要分支，它研究的是在网络结构中如何选择最优路径、分配资源等问题。
本章介绍了最小生成树、最短路径、最大流等基本概念和算法，并通过实例分析展示了网络优化在交通、通信等领域的应用。
第五章：动态规划动态规划是一种通过递推关系来求解最优化问题的方法。
本章介绍了动态规划的基本思想、模型建立方法以及常见的解法算法，如背包问题、最长公共子序列等。
通过实例分析，读者可以更好地理解动态规划的应用。
第六章：排队论排队论是运筹学中研究排队系统的理论和方法。
本章介绍了排队论的基本概念、模型建立方法以及常用的解法算法，如排队模型、排队规则等。
通过实例分析，读者可以了解如何通过排队论来优化服务质量、提高效率。
第七章：模拟模拟是一种通过构建系统模型进行实验和仿真的方法。
本章介绍了模拟的基本思想、模型建立方法以及常见的模拟技术，如蒙特卡洛方法、离散事件模拟等。
运筹学基础及应用-第7章-计划评审技术和关键路线法
2018/12/17
7
3、各项作业间的几种关系及图上表示方法
（1）作业 a 结束后可以开始 b, c ； （2）作业 c 在 a,b 结束后才可以开始； （3）作业 a,b 结束后可以开始 c,d ；
1
a b
3 4
2
c
(1)
（4）作业 c 在 a 结束后即可以开始， d 在 a,b 结束后才
可以开始。
J(7,8)的最早开始和最早结束时间：
t ES (7,8) max t EF (5,7) 35, t EF (6,7) 31 35 t EF (7,8) t ES (7,8) t (7,8) 35 15 50 t ES (6,8) max t EF (4,6) 29, t EF (5,6) 31 31 t EF (6,8) t ES (6,8) t (6,8) 31 20 51
C(1，4)的最迟结束,最迟开始时间：
A(1，2)的最迟结束,最迟开始时间：
t LF (1,2) min t LS (2,5) 6 t Ls (1,2) t LF (1,2) t (1,2) 1
2018/12/17 23
B(1，3)的最迟结束,最迟开始时间：
t LF (1,3) min t LS (3,5), t LS (3,4) 10
虚作业（3，5）的最早开始和最早结束时间：
t ES (3,5) t EF (1,3) 9 t EF (3,5) t ES (3,5) t (3,5) 10 0 10
F(4,6)的最早开始和最早结束时间：
t ES (4,6) max t EF (1,4), t EF (3,4) 14 t EF (4,6) t ES (4,6) t (4,6) 14 15 29
运筹学基础及应用运输问题胡运权
x12
…
c21
c22
A2
x21
x22
…
Bn c1n
x1n c2n
x2n
产量 a1 a2
┇
Am 销量
┇
┇
┇
cm
cm
1
2
…
xm1
xm2
b1
b1
…
┇
┇
cmn
xmn
am
bn
1.运输规划问题的典例和数学模型 运输问题的求解思路
基本可行解
是
是否最优解
结束
否
换基
2.表上作业法
计算步骤： (1) 找出初始调运方案。即在(m×n)产销平衡表上给出 m+n-1个数字格。(最小元素法、西北角法或伏格尔法）
运筹学基础及应用
Operations Research
运
第三章
决
筹
胜
帷
运输问题
千
幄
里
之
之
中
Transportation Problem
外
1 运输规划问题的典例和数学模型 2 表上作业法 3 运输问题的应用
CONTENTS
目
录
1.运输规划问题的典例和数学模型
例B33，.1各某产公地司的从产两量个、产各地销A地1、的A销2将量物和品各运产往地三运个往销各地销B地1每, B件2, 物品的运费如下表所示，问：应如何调运可使总运输费用最 小？
步骤
描述
方法
第一步 求初始基行可行解（初始调运方案）
最小元素法、西 北角法、 伏格尔法
第二步
求检验数并判断是否得到最优解当非基变量的检验
数σi j全都非负(求min)时得到最优解，若存在检 验数σi j <0，说明还没有达到最优，转第三步。
新版西华大学交通运输考研经验考研参考书考研真题
考研是一项小火慢炖的工程，切不可操之过急，得是一步一个脚印，像走长征那样走下来。
在过去的一年中，我几乎从来没有在12点之前睡去过。
也从来也没有过睡到自然醒的惬意生活，我总是想着可能就因为这一时的懒惰，一切都不同了。
所以，我非常谨小慎微，以至于有时会陷入自我纠结中，像是强迫症那样。
如今想来，这些都是不应该的，首先在心态上尽量保持一个轻松的状态，不要给自己过大的压力。
虽然考研是如此的重要，但它并不能给我们的人生下一个定论。
所以在看待这个问题上不可过于极端，把自己逼到一个退无可退的地步。
而在备考复习方面呢，好多学弟学妹们都在问我备考需要准备什么，在我看来考研大工程，里面的内容实在实在是太多了。
首先当你下定决心准备备考的时候，要根据自己的实际情况、知识准备、心理准备、学习习惯做好学习计划，学习计划要细致到每日、每周、每日都要规划好，这样就可以很好的掌握自己的学习进度，稳扎稳打步步为营。
另外，复试备考计划融合在初试复习中。
在进入复习之后，自己也可以根据自己学习情况灵活调整我们的计划。
总之，定好计划之后，一定要坚持下去。
最近我花费了一些时间，整理了我的一些考研经验供大家参考。
篇幅比较长，希望大家能够有耐心读完，文章结尾处会附上我的学习资料供大家下载。
西华大学交通运输的初试科目为：（101）思想政治理论（204）英语二（302）数学二（812）汽车运用工程或（814）运筹学或（815）交通工程学或（824）高级程序设计语言参考书目：1.《汽车运用工程(第五版)》，许洪国，人民交通出版社，2014年。
2.《运筹学基础及应用》（第六版），胡运权等，高等教育出版社。
3.《交通工程总论》，徐吉谦、陈学武，人民交通出版社；4.《交通规划》，王炜、陈学武，人民交通出版社；5.《交通管理与控制》，罗霞、刘澜，人民交通出版社。
6.《C++程序设计》，谭浩强，清华大学出版社。
关于英语复习的一些小方法英语就是平时一定要做真题，把真题阅读里面不会的单词查出来，总结到笔记上，背诵单词，在考试之前，可以不用大块的时间，但一定要每天都看最起码2小时英语，把英语当做日常的任务，真题一定要做，而且单词要背熟，我在考试之前背了3遍的考研单词，作文可以背诵一些好词好句，在考场灵活运用。
运筹学课后习题答案第六版
运筹学课后习题答案第六版运筹学是一门应用数学学科，旨在研究如何在有限资源和约束条件下做出最佳决策。
它涉及到决策分析、优化理论、线性规划、整数规划、动态规划等多个领域。
在学习运筹学的过程中，课后习题是巩固知识和提高能力的重要途径。
本文将为大家提供《运筹学课后习题答案第六版》的相关内容。
第一章：决策分析决策分析是运筹学的基础，它主要涉及到决策的目标、决策的环境、决策的准则等方面。
在第一章的习题中，我们需要运用决策树、决策表、决策矩阵等方法来解决实际问题。
比如，一个公司需要决策是否要进军某个新市场，我们可以通过绘制决策树来分析各种可能的结果和概率，从而选择最佳的决策。
第二章：线性规划线性规划是运筹学中的重要工具，它主要涉及到线性目标函数和线性约束条件的最优化问题。
在第二章的习题中，我们需要运用单纯形法、对偶理论等方法来求解线性规划问题。
比如，一个工厂需要决策如何分配有限的资源以最大化利润，我们可以建立一个线性规划模型，然后通过单纯形法来求解最优解。
第三章：整数规划整数规划是线性规划的扩展，它主要涉及到目标函数和约束条件都是整数的最优化问题。
在第三章的习题中，我们需要运用分支定界法、割平面法等方法来求解整数规划问题。
比如，一个物流公司需要决策如何安排货物的配送路线以最小化成本，我们可以建立一个整数规划模型，然后通过分支定界法来求解最优解。
第四章：动态规划动态规划是一种用来解决多阶段决策问题的方法，它主要涉及到状态转移方程和最优子结构的求解。
在第四章的习题中，我们需要运用贝尔曼方程、最短路径算法等方法来求解动态规划问题。
比如，一个投资者需要决策在不同时间点买入和卖出股票以最大化收益，我们可以建立一个动态规划模型，然后通过贝尔曼方程来求解最优解。
第五章：网络优化网络优化是一种用来解决网络流问题的方法，它主要涉及到网络的建模和最大流最小割定理的求解。
在第五章的习题中，我们需要运用最大流算法、最小割算法等方法来求解网络优化问题。
运筹学基础及应用
运筹学基础及应用P43例13 、混合配料问题：某糖果厂用原料A、B、C加工成三种不同牌号的糖果甲、乙、丙。
已知各种牌号糖果中A、B、C含量，原料成本，各种原料的每月限制用量，三种牌号糖果的单位加工费及售价如表1-19所示。
问该厂每月生产这三种牌号糖果各多少千克，使该厂获利最大。
试建立这个问题的线性规划的数学模型。
表1-19P44例14、投资项目的组合问题：兴安公司有一笔30万元的资金，考虑今后三年内用于下列项目的投资：（1）三年内的每年年初均可投资，每年获利为投资额的20%，其本利可一起用于下一年投资；（2）只允许第一年初投入，于第二年末收回，本利合计为投资额的150%，但此类投资限额不超过15万元；（3）允许于第二年初投入，于第三年末收回，本利合计为投资额的160%，但限额投资20万元；（4）允许于第三年初投入，年末收回，可获利40%，但限额为10万元。
试为该公司确定一个使第三年末本利和为最大的投资组合方案。
P44例15、生产、库存与设备维修综合计划的安排：红光厂有2台车床，1台钻床，1台磨床，承担4中产品的生产任务．已知生产各种产品所需的设备台时及生产单位产品的售价如表１－20所示．对各种产品今后三个月的市场最大需求（小于最大需求量时即可全部销出）及各产品在今后三个月的生产成本分别如表1－21和表1－22所示．上述设备在1~3月内各需进行一次维修,具体安排为:2台车床于2月份、3月份各维修一台,钻床安排在2月份维修,磨床安排在3月份维修.各设备每月工作22天.每天2班,每班8h,每次维修占用半各月时间.又生产出来的产品当月销售不出去(超过最大需求量)时,可在以后各月销售,但需付每件每月储存费5元.但规定每月底各种产品储存量均不得超过100件.1月初各产品无库存,要求3月底各产品均库存50件.试安排该厂各月的生产计划,使总的利润为最大.表１－20a值单位：h表1－21 最大需求量单位：件P81例1、某食品公司经销的主要产品之一是糖果。
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2x1+2x2 12
s.t.
4x1
16
5x2 15
x1，x2 0
注意模型特点
2020/7/6
防灾科技学院
5
附例 营养配餐问题
假定一个成年人每天需要从食物中获得 3000千卡的热量、55克蛋白质和800毫克的 钙。如果市场上只有四种食品可供选择， 它们每千克所含的热量和营养成分和市场 价格见下表。问如何选择才能在满足营养 的前提下使购买食品的费用最小？
管理运筹学
OPERATIONS RESEARCH FOR MANAGEMENT SCIENCE
2020/7/6
1
第一章 线性规划及单纯形法
(Linear Programming & Simplex Method)
§1 一般线性规划问题的数学模型 §2 图解法 §3 单纯形法原理 §4 单纯形法的计算步骤 §5 单纯形法的进一步讨论 §6 数据包络分析(DEA) §7 应用举例
一般线性规划问题的数学模型：
目标函数：max（或 min）z c1x1 c2x2 cnxn
约束条件：
a11x1 a12 x2 a1n xn （或 , ）b1
s.t.
a21x1 a22 x2
a2n xn （或 , ）b2
am1x1 am2 x2 amn xn （或 , ）bm
解：设xj为第j种食品每天的购入量，则配餐 问题的线性规划模型为：
min z 14x1 6x2 3x3 2x4
1000x1 800x2 900x3 200x4 3000
s.t.
50x1 60x2 20x3 10x4 55
400x1
200x2
300x3
500x4
800
防灾科技学院
12
1.2 线性规划问题的数学模型
三个组成要素：
1.决策变量:是决策者为实现规划目标采取的 方案、措施，是问题中要确定的未知量。
2.目标函数:指问题要达到的目的要求，表 示为决策变量的函数。
3.约束条件:指决策变量取值时受到的各种可 用资源的限制，表示为含决策变量的等式或 不等式。
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x1, x2 , , xn 0
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线性规划模型的简写形式(求和符号)
n
max (min) Z cj xj j 1
n
aij x j
( ) bi
j1
x
j
0
(i 1 2 m) (j 1 2 n)
一般线性规划(LP)问题模型向量形式
max (min) z CX
s.t.
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例2(教材第9页)生产计划问题
常山机器加工厂，利用A、B、C三种不同设备加 工生产Ⅰ、Ⅱ两种产品。按工艺要求，每生产一 个单位的Ⅰ产品，需要占用三种设备2、4、0小 时；每生产一个单位的Ⅱ产品，需要占用三种设 备2、0、5小时。已知三种设备加工能力分别为 12、16、15小时。且每生产一个单位的Ⅰ产品 可获取2单位的利润；每生产一个单位的Ⅱ产品 可获取2单位的利润。问应当如何安排加工，可 使获取的总利润最大？
各种食物的营养成分表
热 量 蛋 白 质 钙 价格
序号 食品名称 （千卡） （克） （毫克） (元/kg）
x1 1 猪肉 1000 50 400 14 x2 2 鸡蛋 800 60 200 6 x3 3 大米 900 20 300 3 x4 4 白菜 200 10 500 2
每天需要
3000
55
800
求Z极大或极小
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LP问题一般可整理为：
决策变量及各类系数之间的对应关系
决策变量
资源
x1 x2
xn
1
活
a11
a12
2 a21 a22
a1n b1 a2n b2
动
m am1 am2 价值系数 c1 c2
amn bm cn
防灾科技学院
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上述模型的共同特征：
每一个线性规划问题都用一组决策变量 x1 ,x2 , xn
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线性规划的数学模型由三个要素构成
决策变量 目标函数 约束条件
Decision variables Objective function Constraints
怎样别一个模型是线性规划模型？
其特征是： （1）问题的目标函数是多个决策变量的线性函数，通 常是求最大值或最小值； （2）问题的约束条件是一组多个决策变量的线性不等 式或等式。
p j x j ( ) b
X 0
其中： C (c1 c2 cn )
x1
X
xn
Pj
a1
j
amj
b1
b
bm
一般线性规划(LP)问题模型矩阵形式
max (min) Z CX
AX ( ) b
X
0
其中：
C (c1 c2 cn )
a11 a1n
A
am1 amn
x1
X
xn
b1
b
bm
1.3 线性规划问题的标准形式
n
标准形式： max z cjx j j1
n
a ijx j bi
（i 1，，m）
j1
x j 0
（j 1，，n）
标准形式特点：
表示某一方案，这组决策变量的值代表一个具体方案。一般 这些变量的取值是非负且连续的；
都有关于各种资源和资源使用情况的技术数据，创造新价值 的数据；
aij ; c j ;bi (i 1, m; j 1, n)
存在可以量化的约束条件，这些约束条件可以用一组线性等 式或线性不等式来表示;
都有一个达到某一目标的要求，可用决策变量的线性函数 (称为目标函数)来表示。按问题的要求不同，要求目标函数 实现最大化或最小化。
x j 0 (j 1,..., 4)
max z 2x1 3x2
2x1 2x2 12
例2
s.
t
.
54xx12
16 15
x1, x2 0
线性规划模型的特点
决策变量：向量X=(x1… xn)T 决策人要考虑 和控制的因素，非负
约束条件：关于X的线性等式或不等式 目标函数：Z=ƒ(x1 … xn) 为关于X 的线性函数，
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§1 一般线性规划问题的数学模型
1.1 引例
例1、生产计划问题 ⅠⅡ
设备A 2 2 设备B 4 0 设备C 0 5 利润（元） 2 3
设备能力（小时） 12 16 15
问：Ⅰ，Ⅱ两种产品各加工多少单位, 可获最大利润?
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解:设产品Ⅰ, Ⅱ产量分别为变量x1 ， x2 max Z= 2x1 +3x2