线性代数 §2 全排列及其逆序数-PPT课件
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全排列及其逆序数
32514
1 逆序数为3
故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5.
排列的奇偶性
逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列.
计算排列逆序数的方法：
方法1 分别计算出排列中每个元素前面比它大的元数 的个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数， 这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆 序数.
二、全排列及其逆序数
问题 把 n 个不同的元素排成一列，共有几种不 同的排法？
定义 把 n个不同的元素排成一列，叫做这 n 个
元素的全排列（或排列）.
n 个不同的元素的所有排列的种数，通常
用 Pn表示. 由引例 P3 3 2 1 6. 同理 Pn n (n 1) (n 2) 3 2 1 n!.
证明 由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的
变化次数, 而标准排列是偶排列(逆序数为0),因此 知推论成立.
三、小结
1 n 个不同的元素的所有排列种数为 n!. 2 排列具有奇偶性. 3 计算排列逆序数常用的方法有2 种.
思考题
分别用两种方法求排列16352487的逆序数.
思考题解答
解 用方法1 由前向后求每个数的逆序数. 1 63 5 2 4 8 7 t 0 0 1 1 3 2 0 1 8.
第二节 全排列及其逆序数
• 一、概念的引入 • 二、全排列及其逆序数 • 三、逆序数的性质 • 四、小结、思考题
一、概念的引入
引例 用1、2、3三个数字，可以组成多少个没 有重复数字的三位数？
解
123
百位 1 十位 1 2 个位 1 2 3
2
3
3种放法
13
2种放法
1种放法
1 逆序数为3
故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5.
排列的奇偶性
逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列.
计算排列逆序数的方法：
方法1 分别计算出排列中每个元素前面比它大的元数 的个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数， 这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆 序数.
二、全排列及其逆序数
问题 把 n 个不同的元素排成一列，共有几种不 同的排法？
定义 把 n个不同的元素排成一列，叫做这 n 个
元素的全排列（或排列）.
n 个不同的元素的所有排列的种数，通常
用 Pn表示. 由引例 P3 3 2 1 6. 同理 Pn n (n 1) (n 2) 3 2 1 n!.
证明 由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的
变化次数, 而标准排列是偶排列(逆序数为0),因此 知推论成立.
三、小结
1 n 个不同的元素的所有排列种数为 n!. 2 排列具有奇偶性. 3 计算排列逆序数常用的方法有2 种.
思考题
分别用两种方法求排列16352487的逆序数.
思考题解答
解 用方法1 由前向后求每个数的逆序数. 1 63 5 2 4 8 7 t 0 0 1 1 3 2 0 1 8.
第二节 全排列及其逆序数
• 一、概念的引入 • 二、全排列及其逆序数 • 三、逆序数的性质 • 四、小结、思考题
一、概念的引入
引例 用1、2、3三个数字，可以组成多少个没 有重复数字的三位数？
解
123
百位 1 十位 1 2 个位 1 2 3
2
3
3种放法
13
2种放法
1种放法
全排列及其逆序数
全排列及其逆序数
全排列是指对给定的一组不同的元素，按照一定的顺序进行排列，形成所有可能的排列方式。
例如，对于3个元素a、b、c
来说，它们的全排列为6种：abc、acb、bac、bca、cab、cba。
在全排列中，逆序数是指排列中相邻两个元素逆序出现的次数。
例如，对于排列abc，其中包含两个逆序对，即bc和ac。
逆
序数越多，说明排列越混乱或越逆序。
逆序数在数学上有广泛的应用，例如在计算逆序对问题、计算排列的偏序关系等方面都有用到。
在计算逆序数时，常采用归并排序的思想，即将排列拆分成子序列，分别计算子序列的逆序数，再合并子序列的结果。
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x1
b1a22 a11a22
a12b2 a12a21
x2
a11b2 a11a22
b1a21 a12a21
x1
b1a22 a11a22
a12b2 a12a21
x2
a11b2 a11a22
b1a21 a12a21
5
第一章 行列式
我们用符号
aa1211表aa示1222代数和a11a22a12a21
解： 1 3 … （2n-1） 2 4 … 2k… （2n)
D3x24x189x2x212x25x6
即x25x60
x2或x3
值得注意的是：四阶及四阶以上行列式没有像二、三阶 行列式那样的对角线法则
13
第一章 行列式 §1-2 全排列及其逆序数
[引例]用1、2、3三个数字 可以组成多少个没有重复数字的 三位数？
[解依] 次选定百位数、十位数、个位数。 百位数有3种选法 十位数有2种选法 个位数有1种选法 所以可以组成6个没有重复数字的三位数 这6个三位数是 123 132 213 231 312 321
十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。 十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。
3
第一章 行列式
莱布尼茨：历史上少见的通才，被誉为 十七世纪的亚里士多德。在数学上，他 和牛顿先后独立发明了微积分。在哲学 上，莱布尼茨的“乐观主义”最为著名 。 他对物理学的发展也做出了重大贡献 。
并称它为三阶行列式。
10
第一章 行列式
2、行列式中的相关术语
行列式的元素、行、列、主对角线、副对角线 3、三阶行列式的计算 （对角线法则或沙路法则 ）
线性代数1-2全排列及其逆序数1-3n阶行列式的定义1-4对换
例3 用行列式的定义计算
0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 Dn n1 0 0 0 0 0 0 0 0 n
解 Dn 1 t a1,n1a2,n2 an1,1ann
1t 1 2 n 1 n 1t n!, tn 1n 2 21n
01 2L n 3 n 2 0
1234
例3 计算
0 D
4
2
1
0056
0008
解
1234Βιβλιοθήκη 0421D 00
5
6 a11a22a a 33 44 1 4 5 8 160.
0008
同理可得下三角行列式
a11
0 0 0
a21 a22 0 0
an1
an2
an3 ann
a11a22 ann .
例4 证明对角行列式
1 2
因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性 . 再证一般对换的情形 .
设排列为 a1 alab1 bmbc1 cn , 现来对换 a 与b.
a1 al a b1 bm b c1 cn
m 次相邻对换 a1 al ab b1 bmc1 cn
m 1 次相邻对换 a1 al b b1 bm a c1 cn
t 0 1 0 3 1 5.
例2 计算下列排列 nn 1n 2L 321
的逆序数，并讨论它的奇偶性.
解
t 1 2 L (n 2) n 1
nn 1
,
2
当 n 4k,4k 1 时为偶排列；
当 n 4k 2,4k 3 时为奇排列.
第一章 行列式
第三节 n 阶行列式的定义
一、概念的引入
1
a a t p1q1 p2q2
a pnqn
线性代数完整版ppt课件
a11x1 a12x2 b1 a21x1 a22x2 b2
求解公式为
x1
x
2
b1a 22 a11a 22 a11b2 a11a 22
a12b2 a12a 21 b1a 21 a12a 21
请观察，此公式有何特点？ Ø分母相同，由方程组的四个系数确定. Ø分子、分母都是四个数分成两对相乘再
主对角线 a 1 1 a 1 2 a 1 3
a 2 1 a 2 2 a 2 3
a11a22a33a12a23a31a13a21a32
副对角线 a 3 1 a 3 2 a 3 3
a13a22a31a12a21a33a11a23a32
称为三阶行列式.
二阶行列式的对角线法则
并不适用！
.
12
三阶行列式的计算 ——对角线法则
( a a a a ) x a b b a 12 12 12 21 2 12 11 21
当 a 1a 1 2 2a 1a 时2 2，1 该0 方程组有唯一解
x b1a22a12b2
1 a a a a
11 22
12 21
x2
a11b2 b1a21 a11a22a12a21
.
6
二元线性方程组
为列标，表明元素位于第j
列. 8
二阶行列式的计算 ——对角线法则
主对角线 a 1 1 副对角线 a 2 1
a 12 a 22
a11a22a12a21
即：主对角线上两元素之积－副对角线上两元素之积
.
9
二元线性方程组
a11x1 a12x2 a21x1 a22x2
b1 b2
若令
D a11 a12 a21 a22
显然 P n n ( n 1 ) ( n 2 )3 2 1 n !
求解公式为
x1
x
2
b1a 22 a11a 22 a11b2 a11a 22
a12b2 a12a 21 b1a 21 a12a 21
请观察，此公式有何特点？ Ø分母相同，由方程组的四个系数确定. Ø分子、分母都是四个数分成两对相乘再
主对角线 a 1 1 a 1 2 a 1 3
a 2 1 a 2 2 a 2 3
a11a22a33a12a23a31a13a21a32
副对角线 a 3 1 a 3 2 a 3 3
a13a22a31a12a21a33a11a23a32
称为三阶行列式.
二阶行列式的对角线法则
并不适用！
.
12
三阶行列式的计算 ——对角线法则
( a a a a ) x a b b a 12 12 12 21 2 12 11 21
当 a 1a 1 2 2a 1a 时2 2，1 该0 方程组有唯一解
x b1a22a12b2
1 a a a a
11 22
12 21
x2
a11b2 b1a21 a11a22a12a21
.
6
二元线性方程组
为列标，表明元素位于第j
列. 8
二阶行列式的计算 ——对角线法则
主对角线 a 1 1 副对角线 a 2 1
a 12 a 22
a11a22a12a21
即：主对角线上两元素之积－副对角线上两元素之积
.
9
二元线性方程组
a11x1 a12x2 a21x1 a22x2
b1 b2
若令
D a11 a12 a21 a22
显然 P n n ( n 1 ) ( n 2 )3 2 1 n !
同济版线性代数课件--§2 全排列及其逆序数
三、排列的逆序数
我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个 不同的自然数，规定由小到大为标准次序. 1. 定义 在一个排列 p 1 p 2 p t p s p t p s , 则称这两个数组成一个逆序.
p n 中,
若数
(即：大的数在小的数左边，则这两数构成一个逆序） 例如 排列32514 中， 逆序 3 2 5 1 4
t N(p514 的逆序数.
例2
计算下列排列的逆序数，并讨论它们的
奇偶性.
1 2
217986354 n n 1 n 2 321
逆序
逆序
2. 定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排
列的逆序数. 例如 排列 32514 中，
3. 排列的奇偶性
逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列.
4.计算排列逆序数的方法
设排列为 p 1 p 2 则其逆序数为 例1
pn , ti 为 pi
构成的逆序数
t1 t 2 t n 1
P3 3 2 1 6 .
P n n ( n 1 ) ( n 2 ) 3 2 1 n !.
1. 由1,2,…,n-1,n（n个数）组成的一个全排列称 为一个n级排列。 如：12345，54321，43512均为5级排列 2. 123…(n-1)n(具有自然顺序的排列为)标准排列。
§2 全排列及其逆序数
一、概念的引入
二、全排列
三、排列逆序数 四、小结
一、概念的引入
引例 用1、2、3三个数字，可以组成多少个没 有重复数字的三位数？
共有 3 2 1 6
种放法.
二、全排列
问题
全排列及其逆序数解读
定义 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素的全排列（简称排列）。
n 个不同元素的所有排列的种数，通常用 Pn表 示。
例如, 引例的结果是 P3=3×2×1=6。
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计算 Pn 的公式：
首先从 n 个元素中任取一个放在第一个位置上， 有 n 种取法；
又从剩下的 n－1 个元素中任取一个放在第二 个位置上，有 n－1 种取法；
§2 全排列及其逆序数
★全排列的概念 ★逆序的概念 ★计算排列逆序数的方法
由于对角线法则只适用于二、三
阶行列式，为研究四阶及更高阶的行
列式，必须用到逆序数的概念。本节
主要介绍全排列的概念以、3三个数字，可以组成多少个没有重 复数字的三位数？ 解 总共有3×2×1= 6种放法。
这6个不同的三位数是： 123， 132， 213， 231， 312， 321。
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全排列的概念
在数学中，把考察的对象叫做元素。 于是引例可抽象成：把 3 个不同的元素排成一列， 共有几种不同的排法？ 一般地，我们可以讨论“把 n 个元素排成一列，共 有几种不同的排法”的问题。
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排列分类
奇排列：逆序数为奇数的排列 偶排列：逆序数为偶数的排列
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计算排列的逆序数的方法
不妨设 n 个元素为 1 至 n 这 n 个自然数，并
规定由小到大为标准次序。
设
p1 p2 pn
为这 n 个自然数的一个排列。
方法一 在排列 p1 p2 pn 中，直接找出次序颠 倒了的元素对的个数，这也就是该排列的逆序数。
t 0 0 0 0 0 0 2 4 6 8 20
线性代数 课件
例5 写出四阶行列式中含有因子 a11a23 的项。
解： 1) (13 pq ) a11a23a3 p a4 q , pq为24的全排列 ( 所以： 1) (1324) a11a23a32 a44 a11a23a32 a44 ( ( 1) (1342) a11a23a34 a42 a11a23a34 a42 例6 若 a13a2i a32 a4 k , a11a22 a3i a4 k , ai 2 a31a43ak 4 为四阶行列式的项，试确定i与k，使前两项带正号， 后一项带负号。
n(n 1) ( p1 p2 ... pn ) ( pn pn1... p1 ) C 2 n(n 1) ( pn pn1... p1 ) k 2
2 n
例4 求排列(2k ) k 1)2(2k 2)...( k 1) k 1(2 的逆序数, 并讨论奇偶性。 解：2k 的逆序数为 2k 1 ； 的逆序数为 0 1 (2k 1) 的逆序数为 2k 3 ； 的逆序数为0 2 (2k 2) 的逆序数为 2k 5 ； 的逆序数为0 3 ............ (k 1) 的逆序数为 1 ；k的逆序数为0
( p1 p2 ... pn ) (n, n 1,..., 2,1)
1 2 ... ( n 2) ( n 1)
n
0 0 12 ...n ...
n (n 1) 2
1
0 (1) ... 0
n ( n 1) 2
12 ...n
2.三角行列式 1) 下三角行列式 a11 a21 ... an1 2) 上三角行列式 a11 0 ... 0
自然数的一个排列，考虑元素 pi(i=1,2,…n)，如 果比 pi大的且排在 pi 前面的元素有τi个，就说
§2 全排列及其逆序数
逆序
例如 排列32514 中， 排列
3 2 5 1 4
逆序 逆序
2. 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数. 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数 逆序数. 例如: 其逆序数为5. 例如 排列 32514 , 其逆序数为 其逆序数为4. 排列 31524 , 其逆序数为 3. 排列的奇偶性 逆序数为奇数的排列称为奇排列 逆序数为奇数的排列称为奇排列; 奇排列 逆序数为偶数的排列称为偶排列 逆序数为偶数的排列称为偶排列. 偶排列
4.计算排列逆序数的方法 计算排列逆序数的方法 设排列为 p1 p2 L pn , t i 为 pi 构成的逆序数 则其逆序数为 t = t ( p1 p2 L pn ) = t1 + t 2 + Lt n−1 计算下列排列的逆序数,并讨论它们的奇偶性 并讨论它们的奇偶性. 例 计算下列排列的逆序数,并讨论它们的奇偶性.
二、排列的逆序数
规定各元素之间有一个标准次序, 规定各元素之间有一个标准次序 n 个不同的自 然数, 规定由小到大为标准次序 标准次序. 然数 …pt…ps…pn中, 若数 pt >ps, 则称这两个数组成一个逆序 逆序. 则称这两个数组成一个逆序 (即：大的数在小的数左边, 则这两数构成一个逆序） 即 大的数在小的数左边 则这两数构成一个逆序）
(1) 217986354 ( 2) n( n − 1)( n − 2)L 321
四、小结
1. n个不同的元素的所有排列总数为 个不同的元素的所有排列总数为n!. 个不同的元素的所有排列总数为 2. 排列具有奇偶性 排列具有奇偶性. 3. 计算排列逆序数. 计算排列逆序数
§2 全排列及其逆序数
一、全排列 二、排列逆序数 三、小结
例如 排列32514 中， 排列
3 2 5 1 4
逆序 逆序
2. 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数. 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数 逆序数. 例如: 其逆序数为5. 例如 排列 32514 , 其逆序数为 其逆序数为4. 排列 31524 , 其逆序数为 3. 排列的奇偶性 逆序数为奇数的排列称为奇排列 逆序数为奇数的排列称为奇排列; 奇排列 逆序数为偶数的排列称为偶排列 逆序数为偶数的排列称为偶排列. 偶排列
4.计算排列逆序数的方法 计算排列逆序数的方法 设排列为 p1 p2 L pn , t i 为 pi 构成的逆序数 则其逆序数为 t = t ( p1 p2 L pn ) = t1 + t 2 + Lt n−1 计算下列排列的逆序数,并讨论它们的奇偶性 并讨论它们的奇偶性. 例 计算下列排列的逆序数,并讨论它们的奇偶性.
二、排列的逆序数
规定各元素之间有一个标准次序, 规定各元素之间有一个标准次序 n 个不同的自 然数, 规定由小到大为标准次序 标准次序. 然数 …pt…ps…pn中, 若数 pt >ps, 则称这两个数组成一个逆序 逆序. 则称这两个数组成一个逆序 (即：大的数在小的数左边, 则这两数构成一个逆序） 即 大的数在小的数左边 则这两数构成一个逆序）
(1) 217986354 ( 2) n( n − 1)( n − 2)L 321
四、小结
1. n个不同的元素的所有排列总数为 个不同的元素的所有排列总数为n!. 个不同的元素的所有排列总数为 2. 排列具有奇偶性 排列具有奇偶性. 3. 计算排列逆序数. 计算排列逆序数
§2 全排列及其逆序数
一、全排列 二、排列逆序数 三、小结
【VIP专享】1-2全排列及其逆序数
第二节 全排列及其逆序数
一、概念的引入
引例 用1、2、3三个数字，可以组成多少个没 有重复数字的三位数？
二、全排列及其逆序数
问题 把 n 个不同的元素排成一列，共有几种不 同的排法？
定义 把 n个不同的元素排成一列，叫做这 n 个
元素的全排列（或排列）.
n 个不同的元素的所有排列的种数，通常
用 Pn表示. 由引例 P3 3 2 1 6. 同理 Pn n (n 1) (n 2) 3 2 1 n!.
排列的奇偶性
逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列.
例2 计算下列排列的逆序数.
1 217986354
解
217986354
0 10 0 1 3 4 4 5
t 5 4 4310010
18
此排列为偶排列.
2 nn 1 2
t n 1 n 2 2 1 nn 1,
2
排列的逆序数
我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个 不同的自然数，规定由小到大为标准次序.
定义 在一个排列 i1i2 it is in 中，若数
it is 则称这两个数组成一个逆序.
例如 排列32514 中， 逆序
32514
逆序 逆序
定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的 逆序数.
例1 求排列32514的逆序数. 解 在排列32514中,
32514 01 031
于是排列32514的逆序数为
t 0 1 0 3 1 5.
计算排列逆序数的方法
分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码 个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数， 这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆 序数.
一、概念的引入
引例 用1、2、3三个数字，可以组成多少个没 有重复数字的三位数？
二、全排列及其逆序数
问题 把 n 个不同的元素排成一列，共有几种不 同的排法？
定义 把 n个不同的元素排成一列，叫做这 n 个
元素的全排列（或排列）.
n 个不同的元素的所有排列的种数，通常
用 Pn表示. 由引例 P3 3 2 1 6. 同理 Pn n (n 1) (n 2) 3 2 1 n!.
排列的奇偶性
逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列.
例2 计算下列排列的逆序数.
1 217986354
解
217986354
0 10 0 1 3 4 4 5
t 5 4 4310010
18
此排列为偶排列.
2 nn 1 2
t n 1 n 2 2 1 nn 1,
2
排列的逆序数
我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个 不同的自然数，规定由小到大为标准次序.
定义 在一个排列 i1i2 it is in 中，若数
it is 则称这两个数组成一个逆序.
例如 排列32514 中， 逆序
32514
逆序 逆序
定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的 逆序数.
例1 求排列32514的逆序数. 解 在排列32514中,
32514 01 031
于是排列32514的逆序数为
t 0 1 0 3 1 5.
计算排列逆序数的方法
分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码 个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数， 这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆 序数.
线性代数第一章行列式第二节全排列及其逆序数
在一个 n 阶排列中,任何一个数对不是构成 逆序就是构成顺序.如果我们把顺序的个数称为顺
序数, 则一个 n 阶排列的顺序数与逆序数的和为
n(n -1)/2. 逆序数为奇数的排列叫做奇排列,逆序数为偶 数的排列叫做偶排列.
2. 计算方法
下面来讨论计算排列的逆序数的方法. 不失一般性，不妨设 n 个元素为 1 至 次序. 设
二、全排列
对于 n 个不同的元素，也可以提出类似的问
题： 把 n 个不同的元素排成一列，共有几种不同
的排法？ 为此先给出全排列的定义.
定义 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这
n 个元素的全排列（也简称排列）.
n 个不同元素的所有排列的种数，通常用 Pn 表
的结果可知 P3 = 3 · · = 6. 2 1 示. 由 引例 用1，2，3三个数字可以组成多少个没
例 4 求排列
32541
的逆序数.
求逆序数模型
本模型最多只能处理9个元素 请在下列输入框中输入互不相等
5 2 8 7 1 4 9 6 3
计 算
清 空
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全排列与逆序数
定义对于n个不同的元素规定各元素之间有一个标准次序123是元素1的标准次序定义在这n个元素的任一排列中当某两个元素的先后次序与标准次序不同时就说有1个逆序逆序逆序132213定义
§2 全排列及其逆序数
主要内容： 一、全排列 二、排列的逆序数
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1
pn
§2 全排列及其逆序数
定义:把考察的对象称为元素.例如:数字1,2,3.
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4
§2 全排列及其逆序数
计算排列逆序数的方法
分别计算出排列中每个元素前面比它大的数 码个数之和,即算出排列中每个元素的逆序数,这 每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.
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5
§2 全排列及其逆序数
例 求排列3241的逆序数 解: 3排在首位,逆序数为0;
2的前面比2大的数有一个数3,故逆序为1; 4是最大数,逆序为0; 1的前面比1大的数有3个数3、2、4,故逆序数为3. 于是,这个排列的逆序数为t=0+1+0+3=4, 排列3241为偶排列.
定义:把n个不同的元素排成一列,叫做这n个元素的全排 列(简称排列).
n个元素的所有排列的种数用Pn表示.
例 123,321,132,312,213,231都是元素1,2,3的排列,
P3＝3×2 ×1 ＝ 6.
由上例可推知Pn＝ n！
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2
§2 全排列及其逆序数
定义:对于n个不同的元素,规定各元素之间有一个标准次 序(通常规定由小到大为标准次序).
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6
§2 全排列及其逆序数
总结
1.n个不同的元素的所有排列种数为n!.
2.排列具有奇偶性.
§2 全排列及其逆序数
主要内容： 一、全排列 二、排列的逆序数
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1
pn
§2 全排列及其逆序数
定义:把考察的对象称为元素.例如:数字1,2,3.
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4
§2 全排列及其逆序数
计算排列逆序数的方法
分别计算出排列中每个元素前面比它大的数 码个数之和,即算出排列中每个元素的逆序数,这 每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.
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5
§2 全排列及其逆序数
例 求排列3241的逆序数 解: 3排在首位,逆序数为0;
2的前面比2大的数有一个数3,故逆序为1; 4是最大数,逆序为0; 1的前面比1大的数有3个数3、2、4,故逆序数为3. 于是,这个排列的逆序数为t=0+1+0+3=4, 排列3241为偶排列.
定义:把n个不同的元素排成一列,叫做这n个元素的全排 列(简称排列).
n个元素的所有排列的种数用Pn表示.
例 123,321,132,312,213,231都是元素1,2,3的排列,
P3＝3×2 ×1 ＝ 6.
由上例可推知Pn＝ n！
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2
§2 全排列及其逆序数
定义:对于n个不同的元素,规定各元素之间有一个标准次 序(通常规定由小到大为标准次序).
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6
§2 全排列及其逆序数
总结
1.n个不同的元素的所有排列种数为n!.
2.排列具有奇偶性.
全排列及其逆序数共23页文档
全排列及其逆序数
41、实际上，我们想要的不是针对犯 罪的法 律，而 是针对 疯狂的 法律。 ——马 克·吐温 42、法律的力量应当跟随着公民，就 像影子 跟随着 身体一 样。— —贝卡 利亚 43、法律和制度必须跟上人类思想进 步。— —杰弗 逊 44、人类受制于法律，法律受制于情 理。— —托·富 勒
▪
28、知之者不如பைடு நூலகம்之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
23
45、法律的制定是为了保证每一个人 自由发 挥自己 的才能 ，而不 是为了 束缚他 的才能 。—— 罗伯斯 庇尔
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
41、实际上，我们想要的不是针对犯 罪的法 律，而 是针对 疯狂的 法律。 ——马 克·吐温 42、法律的力量应当跟随着公民，就 像影子 跟随着 身体一 样。— —贝卡 利亚 43、法律和制度必须跟上人类思想进 步。— —杰弗 逊 44、人类受制于法律，法律受制于情 理。— —托·富 勒
▪
28、知之者不如பைடு நூலகம்之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
23
45、法律的制定是为了保证每一个人 自由发 挥自己 的才能 ，而不 是为了 束缚他 的才能 。—— 罗伯斯 庇尔
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
线性代数1-2全排列及其逆序数1-3n阶行列式的定义1-4对换
（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同 列的三个元素的下标排列．
例如 a a a 13 21 32 列标排列的逆序数为
t312 1 1 2, 偶排列 正号
a a a 11 23 32
列标排列的逆序数为
t132 1 0 1, 奇排列 负号,
a11 a12 a13
a21 a22 a23 (1)t a1 p1a2 p2 a3 p3 .
2、 n 阶行列式是 n! 项的代数和;
3、n 阶行列式的每项都是位于不同行、不同 列 n个元素的乘积;
4、 一阶行列式 a a不要与绝对值记号混淆;
5、 a a 1 p1 2 p2 anpn 的符号为 1t .
例1 计算对角行列式
0001 0020 0300 4000
分析 展开式中项的一般形式是 a a a a 1 p1 2 p2 3 p3 4 p4
的逆序数决定.
6. 一个排列中的任意两个元素对换，排列改 变奇偶性．
7. 行列式的三种表示方法
D
1 a a L a t( p1p2L pn )
1 p1 2 p2
npn
D
1 a a L a t( p1p2L pn )
p11 p2 2
pnn
D 1 a a L a t( p1p2L pn )t(q1q2L qn )
因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性 . 再证一般对换的情形 .
设排列为 a1 alab1 bmbc1 cn , 现来对换 a 与b.
a1 al a b1 bm b c1 cn
m 次相邻对换 a1 al ab b1 bmc1 cn
m 1 次相邻对换 a1 al b b1 bm a c1 cn
分析 展开式中项的一般形式是 a1 p1a2 p2 anpn . pn n, pn1 n 1, pn3 n 3, p2 2, p1 1, 所以不为零的项只有 a11a22 ann .
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§2 全排列及其逆序数
一、概念的引入
二、全排列
三、排列逆序数 四、小结
一、概念的引入
引例 用1、2、3三个数字，可以组成多少个没 有重复数字的三位数？
共有 3 种放法. 2 1 6
二、全排列
同的排法？
问题 把 n个不同的元素排成一列 ，共有几种
定义 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个 元素的全排列（或排列）. n 个不同的元素的所有排列的种数，通常 用 P n 表示. 由引例 同理
. P 3 2 16 3 n !. 2 ) (n 1 )(n 3 2 1 P n n
1. 由1,2,…,n-1,n（n个数）组成的一个全排列称 为一个n级排列。 如：12345，54321，43512均为5级排列 2. 123…(n-1)n(具有自然顺序的排列为)标准排列。
例1 求排列 32514 的逆序数.
例2
计算下列排列的逆序数，并讨论它们的
奇偶性.
217986354 1
n 2 n 1 n 2 321
逆序
逆序
2. 定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排
列逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列.
4.计算排列逆序数的方法
p p ,t i 为 p i 构成的逆序数 设排列为 p 1 2 n
N t t t 则其逆序数为 t ( p p p ) 1 2 n 1 1 2 n
三、排列的逆序数
我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个 不同的自然数，规定由小到大为标准次序. p p p p 1. 定义 在一个排列 p 中, 若数 1 2 t s n p t p s , 则称这两个数组成一个逆序. (即：大的数在小的数左边，则这两数构成一个逆序） 例如 排列32514 中， 逆序 3 2 5 1 4
一、概念的引入
二、全排列
三、排列逆序数 四、小结
一、概念的引入
引例 用1、2、3三个数字，可以组成多少个没 有重复数字的三位数？
共有 3 种放法. 2 1 6
二、全排列
同的排法？
问题 把 n个不同的元素排成一列 ，共有几种
定义 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个 元素的全排列（或排列）. n 个不同的元素的所有排列的种数，通常 用 P n 表示. 由引例 同理
. P 3 2 16 3 n !. 2 ) (n 1 )(n 3 2 1 P n n
1. 由1,2,…,n-1,n（n个数）组成的一个全排列称 为一个n级排列。 如：12345，54321，43512均为5级排列 2. 123…(n-1)n(具有自然顺序的排列为)标准排列。
例1 求排列 32514 的逆序数.
例2
计算下列排列的逆序数，并讨论它们的
奇偶性.
217986354 1
n 2 n 1 n 2 321
逆序
逆序
2. 定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排
列逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列.
4.计算排列逆序数的方法
p p ,t i 为 p i 构成的逆序数 设排列为 p 1 2 n
N t t t 则其逆序数为 t ( p p p ) 1 2 n 1 1 2 n
三、排列的逆序数
我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个 不同的自然数，规定由小到大为标准次序. p p p p 1. 定义 在一个排列 p 中, 若数 1 2 t s n p t p s , 则称这两个数组成一个逆序. (即：大的数在小的数左边，则这两数构成一个逆序） 例如 排列32514 中， 逆序 3 2 5 1 4