环流与旋度

亥姆霍兹定理说明：在无界空间区 亥姆霍兹定理说明： 域，矢量场可由其散度及旋度确定。 矢量场可由其散度及旋度确定。
r r r r r F (r ) = − ∇ u (r ) + ∇ × A(r )
如磁场沿任意闭合曲线的积分与通过闭合曲线所围曲面的电 流成正比，即： 流成正比，
∫
C
r r r r B ( x, y, z ) ⋅ dl = µ 0 I = µ 0 ∫ J ( x, y, z ) ⋅ dS
S
上式建立了磁场的环流与电流的关系。 上式建立了磁场的环流与电流的关系。
环流的概念 矢量场对于闭合曲线C 的环流定义为该矢量对闭合曲线C 矢量场对于闭合曲线 的环流定义为该矢量对闭合曲线 的线积分， 的线积分，即
无旋场部分 无散场部分
1.7 拉普拉斯运算与格林定理
1、拉普拉斯运算 、 • 标量拉普拉斯运算 ∇ 2 u 概念： 概念： ∇ ( ∇ u ) = ∇ 2 u 计算公式： 计算公式： 直角坐标系
∇2
—— 拉普拉斯算符
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∇ u= 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z
2
2
1 ∂ ∂u 1 ∂ 2u ∂ 2u 圆柱坐标系 ∇ u = (ρ )+ 2 + 2 2 ∂ρ ∂z ρ ∂ρ ρ ∂φ
圆柱面坐标系 r r e ρ ρ eφ r 1 ∂ ∂ ∇×F = ρ ∂ρ ∂φ F ρ ρ Fφ
∂F y r ∂Fx ∂Fz r ∂F y ∂Fx + ey − + ez ∂x − ∂y ∂z ∂x ∂z r ez ∂ ∂z Fz
以上两式称为标量第一格林定理。 以上两式称为标量第一格林定理。 标量第一格林定理
基于上式还可获得下列两式： 基于上式还可获得下列两式：
∫
V
(Ψ ∇ Φ − Φ ∇ Ψ )d V =
2 2
∫
S
r (Ψ ∇ Φ − Φ ∇ Ψ ) ⋅ d S
∫
V
(Ψ ∇ Φ − Φ ∇ Ψ )d V =
2 2
∫
∂Φ ∂Ψ (Ψ −Φ )d S S ∂n ∂n
1.5 矢量场的环流和旋度
1. 矢量场的环流与旋涡源 不是所有的矢量场都由通量源激发。 不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通量 源的矢量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的， 源的矢量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任何闭 合曲面的通量为零。 合曲面的通量为零。但在场所定义的空间中闭合路径的积分不为 零。 例如： 例如：流速场
r r ∇ F = ∇ (∇ × A ) ≡ 0
例如，恒定磁场 例如，
r r r ∇⋅B = 0 ⇒ B = ∇ × A
源在所讨论的区域之外） （3）无旋、无散场（源在所讨论的区域之外） 无旋、
r ∇×F =0 r ∇⋅F = 0
r F = −∇ u
∇ ⋅ (−∇ u ) = 0
∇ u=0
2
（4）有散、有旋场 有散、 这样的场可分解为两部分： 这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分 r r r r r r r r r F ( r ) = Fl ( r ) + FC ( r ) = −∇ u ( r ) + ∇ × A ( r )
1.8 亥姆霍兹定理
亥姆霍兹定理: 亥姆霍兹定理: 若矢量场在无限空间中处处单值，且其导数连续有界， 若矢量场在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，源分 布在有限区域中，则当矢量场的散度及旋度给定后， 布在有限区域中，则当矢量场的散度及旋度给定后，该矢量场可 表示为
r r r 1 ∇ ′ ⋅ F ( r ′) 式中： 式中： u ( r ) = ∫V rr − rr ′ d V ′ 4π r r r r 1 ∇ ′ × F ( r ′) A(r ) = ∫V rr − rr ′ d V ′ 4π
r r r ∇ × F = e n [rot n F ] M ax
物理意义：旋涡源密度矢量。 物理意义：旋涡源密度矢量。 性质： 性质：
r r r rot n F = n ⋅ ∇ × F
旋度的计算公式: 旋度的计算公式:
r r ∂Fz 直角坐标系 ∇ × F = e x ∂y − r r ex e y ∂ ∂ = ∂x ∂y Fx F y
n
Stokes定理是闭合曲线积 定理是闭合曲线积 分与曲面积分之间的一个变换 关系式，也在电磁理论中有广 关系式， 泛的应用。 泛的应用。
S
C
曲面的剖分 图 1.5.5 曲面的划分 曲面的剖分
4、散度和旋度的区别 、
v v ∇ ⋅ F = 0, ∇ × F = 0
v v ∇ ⋅ F ≠ 0.∇ × F = 0
r
r ro t n F = lim
∆S → 0
1 ∆S
∫
C
r r F ⋅ dl
r n
∆S
v F
M
称为矢量场在点 环流面密度。 称为矢量场在点M 处沿方向n的环流面密度。 矢量场在 特点：其值与 有关。 特点：其值与点M 处的方向n有关。
C
（2）矢量场的旋度 ） 概念：矢量场在 点处的旋度为一矢量 其数值为M点的环流面 点处的旋度为一矢量， 概念：矢量场在M点处的旋度为一矢量，其数值为 点的环流面 密度最大值， 密度最大值，其方向为取得环量密度最大值时面积元的法 线方向， 线方向，即
上两式称为标量第二格林定理。 上两式称为标量第二格林定理。 标量第二格林定理 格林定理说明了区域 V 中的场与边界 S 上的场之间的关系。 上的场之间的关系。 因此， 因此 ，利用格林定理可以将区域中场的求解问题转变为边界上 场的求解问题。 场的求解问题。 此外，格林定理反映了两种标量场之间满足的关系。因此， 此外，格林定理反映了两种标量场之间满足的关系。因此， 如果已知其中一种场的分布， 如果已知其中一种场的分布，即可利用格林定理求解另一种场 的分布。 的分布。 格林定理广泛地用于电磁理论。 格林定理广泛地用于电磁理论。
∂ 式中S 为包围V 的闭合曲面， 式中S 为包围V 的闭合曲面， Φ 为标
量场 Φ 在 S 表面的外法线 en 方向上 的偏导数。 的偏导数。
根据方向导数与梯度的关系， 根据方向导数与梯度的关系，上式又可写成
∫
V
( ∇ Ψ ⋅ ∇ Φ + Ψ ∇ Φ )d V =
2
∫
S
= 0, ∇ × F ≠ 0
v v ∇ ⋅ F ≠ 0, ∇ × F ≠ 0
1.6 无旋场与无散场
1、矢量场的源 、 散度源：是标量， 散度源：是标量，产生的矢量场在包围源的封闭面上的通量 等于（或正比于）该封闭面内所包围的源的总和， 等于（或正比于）该封闭面内所包围的源的总和， 源在一给定点的（ 源在一给定点的（体）密度等于（或正比于）矢量 密度等于（或正比于） 场在该点的散度； 场在该点的散度； 旋度源：是矢量，产生的矢量场具有涡旋性质， 旋度源：是矢量，产生的矢量场具有涡旋性质，穿过一曲面 的旋度源等于（或正比于） 的旋度源等于（或正比于）沿此曲面边界的闭合回 路的环量，在给定点上，这种源的（ 路的环量，在给定点上，这种源的（面）密度等于 （或正比于）矢量场在该点的旋度。 或正比于）矢量场在该点的旋度。
2、矢量场的旋度（ ∇ × F ） 、矢量场的旋度（ 矢量场的环流给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源的 宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系， 宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，引入矢 量场的旋度。 量场的旋度。 （1）环流面密度 ） 过点M 作一微小曲面∆ ，它的边界曲线记为C， 过点 作一微小曲面∆S，它的边界曲线记为 ，曲面的法线 方向n与曲线的绕向成右手螺旋法则。 方向 与曲线的绕向成右手螺旋法则。当∆S→0时，极限 与曲线的绕向成右手螺旋法则 → 时
1 ∂ 2 ∂u 1 ∂ ∂u 1 ∂ 2u 球坐标系 ∇ 2 u = 2 ( r )+ 2 (sin θ ) + 2 2 r ∂r ∂ r r sin θ ∂ θ ∂ θ r sin θ ∂ φ 2
r • 矢量拉普拉斯运算 ∇ F r r r 2 概念： 概念： ∇ F = ∇ ( ∇ F ) − ∇ × ( ∇ × F ) r r 2 r r 2 直角坐标系中： 直角坐标系中：∇ F = e x ∇ F x + e y ∇ 2 F y + e z ∇ 2 F z r 2 即 ( ∇ F ) i = ∇ 2 Fi (i = x , y , z ) r 2 注意：对于非直角分量， ( ∇ F ) i ≠ ∇ 2 Fi 注意：对于非直角分量，
2、矢量场按源的分类 、 （1）无旋场 ）
r 仅有散度源而无旋度源的矢量场， 仅有散度源而无旋度源的矢量场，∇ × F ≡ 0 r r 性质： 性质： F ⋅ d l = 0，线积分与路径无关，是保守场。 线积分与路径无关，是保守场。 ∫
C
无旋场可以用标量场的梯度表示为 无旋场可以用标量场的梯度表示为
球面坐标系
r ez ∂ ∂z Fz
r er r 1 ∂ ∇×F = 2 r s in θ ∂ r Fr
r r eθ ∂ ∂θ rFθ
r r s in θ eφ ∂ ∂φ r s in θ Fφ
旋度的有关公式： 旋度的有关公式： 矢量场的旋度 的散度恒为零
标量场的梯度 的旋度恒为零
r ∇ × C = 0 r r ∇ × (C f ) = ∇ f × C r r r ∇ × ( fF ) = f ∇ × F r+ ∇ f × F r r r ∇ × ( F ± G ) = ∇ × F ± ∇ × G r r r r r r ∇ ⋅ ( F × G ) = G ⋅ ∇ × F − F ⋅ ∇ × G r ∇ ⋅ (∇ × F ) ≡ 0 ∇ × (∇ u ) ≡ 0