2018届北师大版(文) 导数 检测卷

1.【广东省佛山市2017届高三4月检测二】曲线()ln 23y x x =+-在点()1,3-处的切线方程为__________． 【答案】210x y +-= 【解析】11332212y k x =-∴=-=-+-+' ，切线方程为()321,y x -=-+ 即210x y +-=.2.【广东省佛山市2017届高三4月检测二】若直线y kx =与曲线x y x e -=+相切，则k =__________．【答案】1e -【解析】即求曲线过原点切线的斜率，设切点为()()00,x f x ，斜率()001xf x e -='-，切线方程为()()0001x x y x ee x x ----=--，将原点坐标代入化简得()0010,1x xe x -+==-，故()11e kf =-=-'.3．【安徽省黄山市2017届高三二模】对正整数n ，设曲线()2ny x x =-在3x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列2n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和等于__________．【答案】1332n +-4.【广东省佛山市2017届高三4月检测二】已知函数()e ln x af x a x x-=-，其中0a >，0x >， e 是自然对数的底数.（Ⅰ）讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）设函数()1ln exx xg x +=，证明： ()01g x <<. 【答案】（Ⅰ）()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增；（2）见解析. 【解析】（2）当1e a <<时，令e x a =，得()ln 0,1x a =∈，由()0f x '<得ln 1a x <<，由()0f x '>得0ln x a <<或ln x a >， 所以()f x 在()0,ln a ， ()1,+∞上单调递增，在()ln ,1a 上单调递减. （3）当e a =时，令e x a =， ()0f x '≥，故()f x 在()0,+∞上递增. （4）当e a >时，令e x a =，得()ln 1,x a =∈+∞，由()0f x '<得1ln x a <<，由()0f x '>得01x <<或ln x a >， 所以()f x 在()0,1， ()ln ,a +∞上单调递增，在()1,ln a 上单调递减. 综上，当01a <≤时， ()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增. 当1e a <<时， ()f x 在()0,ln a ， ()1,+∞上单调递增，在()ln ,1a 上单调递减. 当e a =时， ()f x 在()0,+∞上递增.当e a >时， ()f x 在()0,1， ()ln ,a +∞上单调递增，在()1,ln a 上单调递减.5．【辽宁省鞍山市2017届高三下学期第一次质量检测】已知函数()()2ln 1f x x ax =++，其中a R ∈（Ⅰ）若函数()f x 在1x =处的切线与直线10x y +-=垂直，求a 的值； （Ⅱ）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由； （Ⅲ）若0x ∀>， ()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）14a =；（2）当0a <时，函数()f x 有一个极值点；当02a ≤≤时，函数()f x 无极值点；当2a >时，函数()f x 有两个极值点;（3）[)0,+∞. 【解析】所以当()11,x x ∈时， ()0g x >， ()0f x '>，函数()f x 单调递增； 当()12,x x x ∈时， ()0g x <， ()0f x '>，函数()f x 单调递减；当()2,x x ∈+∞时， ()0g x >， ()0f x '>，函数()f x 单调递增.因此函数()f x 有两个极值点.（iii ）当0a <时， 0∆>，由()()1010g g -==>，可得11x <-， 20x > 当()21,x x ∈-时， ()0g x >， ()0f x '>，函数()f x 单调递增；当()2,x x ∈+∞时， ()0g x <， ()0f x '<,函数()f x 单调递减，所以函数有一个极值点.综上所述，当0a <时，函数()f x 有一个极值点； 当02a ≤≤时，函数()f x 无极值点； 当2a >时，函数()f x 有两个极值点.6．【河北省唐山市2017届高三二模】已知函数()()1ln 1f x a x x=-+的图象与x 轴相切， ()()211log 2b x g x b x -=--． （Ⅰ）求证： ()()21x f x x-≤；（Ⅱ）若1x << ()()2102b g x -<<【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）见解析. 【解析】 （Ⅰ） ()21'a f x x x =-， 设()f x 的图象与x 轴相交于点()0,0x ， 则()()000,{'0,f x f x ==即()00200110,{10,a lnx x a x x -+=-=（Ⅱ）设()1(1)ln x h x x x-=>，则()21ln 1'ln x x h x x+-=， 由（Ⅰ）可知，当1x >时， 1ln 10x x+->，从而有()'0h x >，所以()h x 单调递增，又1x <<21x b <<，从而有()()2h x h b <，即2211ln ln x b x b--<， 所以()()21ln 11log 2ln b b xx b x b--<=-，即()0g x >，()()211log 2b x g x b x -=-- ()21ln 1ln 2b x x b --=- ()22ln 112ln 2x x b b -=-⋅- ()221112ln 2x x b b --<-⋅- 21112ln x b b --⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭， 又1ln 1b b >-，所以1ln b b b-<， 又21x b <<，所以()()()()2211122x b b g x ---<<．综上可知， ()()2102b g x -<<．7．【湖南省长沙市2017届高三二模】设函数()1ln a f x x x-=+， ()3g x ax =-（0a >）. （1）求函数()()()x f x g x ϕ=+的单调增区间；（2）当1a =时，记()()()•h x f x g x =，是否存在整数λ，使得关于x 的不等式()2h x λ≥有解？若存在，请求出λ的最小值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）当01a <≤时， ()x ϕ的单调增区间为()0,+∞; 1a >时， ()x ϕ的单调增区间为1,a a -⎛⎫+∞⎪⎝⎭;（2）0.【解析】（2）当1a =时， ()ln f x x =， ()3g x x =-， ()()3ln h x x x =-，所以()3ln 1h x x x +'=-单调递增， 33ln 12022h ⎛⎫='+-< ⎪⎝⎭， ()32ln2102h =+->'， 所以存在唯一03,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()00h x '=，即003ln 10x x +-=，当()00,x x ∈时， ()0h x '<，当()0,x x ∈+∞时， ()0h x '>，所以存在整数λ满足题意，且λ的最小值为0.8．【天津市2017届高三联考一】设函数()2ln f x x a x =-， ()g x = ()2a x -.（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()()()F x f x g x =-有两个零点12,x x . (1)求满足条件的最小正整数a 的值； (2)求证： 1202x x F +⎛⎫>⎪⎝⎭'.【答案】（Ⅰ）()f x 的单调增区间为⎫+∞⎪⎪⎭，单调减区间为⎛ ⎝； （Ⅱ）（1）3；（2）见解析. 【解析】（Ⅰ）()22'2(0)a x af x x x x x-=-=>．当0a ≤时， ()'0f x >在()0,+∞上恒成立，所以函数()f x 单调递增区间为()0,+∞， 此时()f x 无单调减区间．当0a >时，由()'0f x >，得x >， ()'0f x <，得0x <<，所以函数()f x 的单调增区间为⎫+∞⎪⎪⎭，单调减区间为⎛ ⎝. （Ⅱ）（1）()()2222)(1'22(0)a x a x a x a x F x x a x x x x----+=---==>（）（）．因为函数()F x 有两个零点，所以0a >，此时函数()f x 在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在0,2a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减. 所以()F x 的最小值02a F ⎛⎫<⎪⎝⎭，即244ln 02a a a a -+-<. 因为0a >，所以4ln 402aa +->. 令()4ln42ah a a =+-，显然()h a 在()0,+∞上为增函数，且 ()()381220,34ln1ln 10216h h =-=-=-，所以存在()()002,3,0a h a ∈=. 当0a a >时， ()0h a >；当00a a <<时， ()0h a <，所以满足条件的最小正整数3a =. 又当3a =时， ()()()332ln30,10F F =->=，所以3a =时， ()f x 有两个零点． 综上所述，满足条件的最小正整数a 的值为3.设12(01)x t t x =<<． 令()22ln 1t m t t t =-－＋，则()()()22211411t m t t t t t -=-='++（）. 因为0t >，所以()0m t '≥， 当且仅当1t =时， ()0m t '=， 所以()m t 在()0,+∞上是增函数．又()10m =，所以当()()0,1,0m m t ∈<总成立,所以原题得证． 9．【陕西省汉中市2017届高三4月模拟】已知函数()ln y x mx m R =-∈ （1）若函数()y f x =过点()1,1P -，求曲线()y f x =在点P 处的切线方程； （2）求函数()f x 在区间[]1,e 上的最大值； 【答案】（1）1y =-（2）详见解析综上，当1m e ≤时， ()max 1f x me =-；当11m e<<时， ()max ln 1f x m =--；当1m ≥时， ()max f x m =-．10．【2017届淮北市高三二模】已知函数()24x x f x e x +=+. （I ）讨论函数的单调性,并证明当2x >-时， 240x xe x +++>; （Ⅱ）证明：当[)0,1a ∈时，函数()()223(2)2x e ax ag x x x +--=>-+有最小值，设()g x 最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.【答案】（1）见解析（2）21e ,24⎛⎤⎥⎝⎦【解析】（2）对()()2e 32xax a g x x --=+求导，得()()()()()22334e e 4422x x xx a x a x x g x x x ++⎡⎤++⎢⎥+++⎣⎦==++'， 2x >-．记()2e 4x x x a x ϕ+=++， 2x >-． 由（Ⅰ）知，函数()x ϕ区间()2,-+∞内单调递增，又()210a ϕ-=-+<， ()00a ϕ=>，所以存在唯一正实数0x ，使得()00002e 02x x x a x ϕ-=+=+． 于是，当()02,x x ∈-时， ()0x ϕ<， ()0g x '<，函数()g x 在区间()02,x -内单调递减； 当()0,x x ∈+∞时， ()0x ϕ>， ()0g x '>，函数()g x 在区间()0,x +∞内单调递增．所以()g x 在()2,-+∞内有最小值()()020020e 32x ax ag x x +--=+，由题设即()()02020e 32x ax ah a x +--=+．又因为0200e 4x x a x +-=+．所以()()02001e 4x h a g x x +==+． 根据（Ⅰ）知， ()f x 在()2,-+∞内单调递增，(]0200e 1,04x x a x +=-∈-+，所以020x -<≤．令()21e (20)4x u x x x +=-<≤+，则()23e 04x x u x x ++=>+'，函数()u x 在区间(]2,0-内单调递增，所以()()()20u u x u -<≤，即函数()h a 的值域为21e ,24⎛⎤⎥⎝⎦．11．在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD ，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒（如图）．设小正方形边长为x 厘米，矩形纸板的两边AB ，BC 的长分别为a 厘米和b 厘米，其中a≥b．（1）当a ＝90时，求纸盒侧面积的最大值；（2）试确定a ，b ，x 的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值． 【答案】（1）当x ＝时，纸盒的侧面积的最大值为平方厘米;（2）当a ＝b ＝60，x ＝10时纸盒的体积最大，最大值为16000立方厘米． 【解析】故当x ＝时，侧面积最大，最大值为 平方厘米． 答：当x ＝时，纸盒的侧面积的最大值为平方厘米．＝4x3－240x2＋3600x．当且仅当a＝b＝60时等号成立．设f (x)＝4x3－240x2＋3600x，x∈(0，30)．则f ′ (x)＝12(x－10)(x－30)．于是当0＜x＜10时，f ′ (x)＞0，所以f (x)在(0，10)上单调递增；当10＜x＜30时，f ′ (x)＜0，所以f (x)在(10，30)上单调递减．因此当x＝10时，f (x)有最大值f (10)＝16000，此时a＝b＝60，x＝10．答：当a＝b＝60，x＝10时纸盒的体积最大，最大值为16000立方厘米．。