函数与导数选择题题库含答案

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2024年高考数学真题分类汇编09：函数与导数(含详细答案解析)

函数与导数一、单选题1.(2024·全国)已知函数为f (x )=-x 2-2ax -a ,x <0e x+ln (x +1),x ≥0，在R 上单调递增，则a 取值的范围是()A.(-∞,0]B.[-1,0]C.[-1,1]D.[0,+∞)2.(2024·全国)已知函数为f (x )的定义域为R ，f (x )>f (x -1)+f (x -2)，且当x <3时f (x )=x ，则下列结论中一定正确的是()A.f (10)>100B.f (20)>1000C.f (10)<1000D.f (20)<100003.(2024·全国)设函数f (x )=a (x +1)2-1，g (x )=cos x +2ax ，当x ∈(-1,1)时，曲线y =f (x )与y =g (x )恰有一个交点，则a =()A.-1B.12C.1D.24.(2024·全国)设函数f (x )=(x +a )ln (x +b )，若f (x )≥0，则a 2+b 2的最小值为()A.18B.14C.12D.15.(2024·全国)曲线f x =x 6+3x -1在0,-1 处的切线与坐标轴围成的面积为()A.16B.32C.12D.-326.(2024·全国)函数f x =-x 2+e x -e -x sin x 在区间[-2.8,2.8]的大致图像为()A. B.C. D.7.(2024·全国)设函数f x =e x +2sin x1+x 2，则曲线y =f x 在0,1 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为()A.16B.13C.12D.238.(2024·北京)已知x 1,y 1 ，x 2,y 2 是函数y =2x图象上不同的两点，则下列正确的是()A.log 2y 1+y 22>x 1+x22 B.log 2y 1+y 22<x 1+x22C.log 2y 1+y 22>x 1+x 2D.log 2y 1+y 22<x 1+x 29.(2024·天津)下列函数是偶函数的是()A.y=e x-x2x2+1B.y=cos x+x2x2+1C.y=e x-xx+1D.y=sin x+4xe|x|10.(2024·天津)若a=4.2-0.3，b=4.20.3，c=log4.20.2，则a，b，c的大小关系为()A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a11.(2024·上海)下列函数f x 的最小正周期是2π的是()A.sin x+cos xB.sin x cos xC.sin2x+cos2xD.sin2x-cos2x12.(2024·上海)已知函数f(x)的定义域为R，定义集合M=x0x0∈R,x∈-∞,x0,f x <f x0，在使得M =-1,1的所有f x 中，下列成立的是()A.存在f x 是偶函数B.存在f x 在x=2处取最大值C.存在f x 是严格增函数D.存在f x 在x=-1处取到极小值二、多选题13.(2024·全国)设函数f(x)=(x-1)2(x-4)，则()A.x=3是f(x)的极小值点B.当0<x<1时，f(x)<f x2C.当1<x<2时，-4<f(2x-1)<0D.当-1<x<0时，f(2-x)>f(x)14.(2024·全国)设函数f(x)=2x3-3ax2+1，则()A.当a>1时，f(x)有三个零点B.当a<0时，x=0是f(x)的极大值点C.存在a，b，使得x=b为曲线y=f(x)的对称轴D.存在a，使得点1,f1为曲线y=f(x)的对称中心三、填空题15.(2024·全国)若曲线y=e x+x在点0,1处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线，则a=.16.(2024·全国)已知a>1，1log8a -1log a4=-52，则a=．17.(2024·全国)曲线y=x3-3x与y=-x-12+a在0,+∞上有两个不同的交点，则a的取值范围为．18.(2024·天津)若函数f x =2x2-ax-ax-2+1有唯一零点，则a的取值范围为．19.(2024·上海)已知f x =x,x>01,x≤0,则f3 =．四、解答题20.(2024·全国)已知函数f(x)=ln x2-x+ax+b(x-1)3(1)若b=0，且f (x)≥0，求a的最小值；(2)证明：曲线y=f(x)是中心对称图形；(3)若f (x )>-2当且仅当1<x <2，求b 的取值范围．21.(2024·全国)已知函数f (x )=e x -ax -a 3．(1)当a =1时，求曲线y =f (x )在点1,f (1) 处的切线方程；(2)若f (x )有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围．22.(2024·全国)已知函数f x =a x -1 -ln x +1．(1)求f x 的单调区间；(2)若a ≤2时，证明：当x >1时，f x <e x -1恒成立．23.(2024·全国)已知函数f x =1-ax ln 1+x -x ．(1)当a =-2时，求f x 的极值；(2)当x ≥0时，f x ≥0恒成立，求a 的取值范围．24.(2024·北京)已知f x =x +k ln 1+x 在t ,f t t >0 处切线为l ．(1)若切线l 的斜率k =-1，求f x 单调区间；(2)证明：切线l 不经过0,0 ；(3)已知k =1，A t ,f t ，C 0,f t ，O 0,0 ，其中t >0，切线l 与y 轴交于点B 时．当2S △ACO =15S △ABO ，符合条件的A 的个数为？(参考数据：1.09<ln3<1.10，1.60<ln5<1.61，1.94<ln7<1.95)25.(2024·天津)设函数f x =x ln x ．(1)求f x 图象上点1,f 1 处的切线方程；(2)若f x ≥a x -x 在x ∈0,+∞ 时恒成立，求a 的取值范围；(3)若x 1,x 2∈0,1 ，证明f x 1 -f x 2 ≤x 1-x 2 12．26.(2024·上海)若f x =log a x (a >0,a ≠1)．(1)y =f x 过4,2 ，求f 2x -2 <f x 的解集；(2)存在x 使得f x +1 、f ax 、f x +2 成等差数列，求a 的取值范围．27.(2024·上海)对于一个函数f x 和一个点M a ,b ，令s x =(x -a )2+f x -b 2，若P x 0,f x 0 是s x取到最小值的点，则称P 是M 在f x 的“最近点”．(1)对于f (x )=1x(x >0)，求证：对于点M 0,0 ，存在点P ，使得点P 是M 在f x 的“最近点”；(2)对于f x =e x ,M 1,0 ，请判断是否存在一个点P ，它是M 在f x 的“最近点”，且直线MP 与y =f (x )在点P 处的切线垂直；(3)已知y =f (x )在定义域R 上存在导函数f (x )，且函数g (x )在定义域R 上恒正，设点M 1t -1,f t -g t ，M 2t +1,f t +g t ．若对任意的t ∈R ，存在点P 同时是M 1,M 2在f x 的“最近点”，试判断f x 的单调性．参考答案：1.B【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.【解析】因为f x 在R上单调递增，且x≥0时，f x =e x+ln x+1单调递增，则需满足--2a2×-1≥0-a≤e0+ln1，解得-1≤a≤0，即a的范围是[-1,0].故选：B.2.B【分析】代入得到f(1)=1,f(2)=2，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.【解析】因为当x<3时f(x)=x，所以f(1)=1,f(2)=2，又因为f(x)>f(x-1)+f(x-2)，则f(3)>f(2)+f(1)=3,f(4)>f(3)+f(2)>5，f(5)>f(4)+f(3)>8,f(6)>f(5)+f(4)>13,f(7)>f(6)+f(5)>21，f(8)>f(7)+f(6)>34,f(9)>f(8)+f(7)>55,f(10)>f(9)+f(8)>89，f(11)>f(10)+f(9)>144,f(12)>f(11)+f(10)>233,f(13)>f(12)+f(11)>377f(14)>f(13)+f(12)>610,f(15)>f(14)+f(13)>987，f(16)>f(15)+f(14)>1597>1000，则依次下去可知f(20)>1000，则B正确；且无证据表明ACD一定正确.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用f(1)=1,f(2)=2，再利用题目所给的函数性质f(x)>f(x-1)+ f(x-2)，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.3.D【分析】解法一：令F x =ax2+a-1,G x =cos x，分析可知曲线y=F(x)与y=G(x)恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得a=2，并代入检验即可；解法二：令h x =f(x)-g x ,x∈-1,1，可知h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知h x 的零点只能为0，即可得a=2，并代入检验即可.【解析】解法一：令f(x)=g x ，即a(x+1)2-1=cos x+2ax，可得ax2+a-1=cos x，令F x =ax2+a-1,G x =cos x，原题意等价于当x∈(-1,1)时，曲线y=F(x)与y=G(x)恰有一个交点，注意到F x ,G x 均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，可得F0 =G0 ，即a-1=1，解得a=2，若a=2，令F x =G x ，可得2x2+1-cos x=0因为x∈-1,1，则2x2≥0,1-cos x≥0，当且仅当x=0时，等号成立，可得2x2+1-cos x≥0，当且仅当x=0时，等号成立，则方程2x2+1-cos x=0有且仅有一个实根0，即曲线y=F(x)与y=G(x)恰有一个交点，所以a=2符合题意；综上所述：a=2.解法二：令h x =f(x)-g x =ax2+a-1-cos x,x∈-1,1，原题意等价于h x 有且仅有一个零点，因为h -x =a -x 2+a -1-cos -x =ax 2+a -1-cos x =h x ，则h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知h x 的零点只能为0，即h 0 =a -2=0，解得a =2，若a =2，则h x =2x 2+1-cos x ,x ∈-1,1 ，又因为2x 2≥0,1-cos x ≥0当且仅当x =0时，等号成立，可得h x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，即h x 有且仅有一个零点0，所以a =2符合题意；故选：D .4.C【分析】解法一：由题意可知：f (x )的定义域为-b ,+∞ ，分类讨论-a 与-b ,1-b 的大小关系，结合符号分析判断，即可得b =a +1，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析ln (x +b )的符号，进而可得x +a 的符号，即可得b =a +1，代入可得最值.【解析】解法一：由题意可知：f (x )的定义域为-b ,+∞ ，令x +a =0解得x =-a ；令ln (x +b )=0解得x =1-b ；若-a ≤-b ，当x ∈-b ,1-b 时，可知x +a >0,ln x +b <0，此时f (x )<0，不合题意；若-b <-a <1-b ，当x ∈-a ,1-b 时，可知x +a >0,ln x +b <0，此时f (x )<0，不合题意；若-a =1-b ，当x ∈-b ,1-b 时，可知x +a <0,ln x +b <0，此时f (x )>0；当x ∈1-b ,+∞ 时，可知x +a ≥0,ln x +b ≥0，此时f (x )≥0；可知若-a =1-b ，符合题意；若-a >1-b ，当x ∈1-b ,-a 时，可知x +a 0,ln x +b 0，此时f (x )<0，不合题意；综上所述：-a =1-b ，即b =a +1，则a 2+b 2=a 2+a +1 2=2a +12 2+12≥12，当且仅当a =-12,b =12时，等号成立，所以a 2+b 2的最小值为12；解法二：由题意可知：f (x )的定义域为-b ,+∞ ，令x +a =0解得x =-a ；令ln (x +b )=0解得x =1-b ；则当x ∈-b ,1-b 时，ln x +b <0，故x +a ≤0，所以1-b +a ≤0；x ∈1-b ,+∞ 时，ln x +b >0，故x +a ≥0，所以1-b +a ≥0；故1-b +a =0，则a 2+b 2=a 2+a +1 2=2a +12 2+12≥12，当且仅当a =-12,b =12时，等号成立，所以a 2+b 2的最小值为12.故选：C .【点睛】关键点点睛：分别求x +a =0、ln (x +b )=0的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，结合符号性分析判断.5.A【分析】先求出切线方程，再求出切线的截距，从而可求面积.【解析】f x =6x 5+3，所以f 0 =3，故切线方程为y =3(x -0)-1=3x -1，故切线的横截距为13，纵截距为-1，故切线与坐标轴围成的面积为12×1×13=16故选：A .6.B【分析】利用函数的奇偶性可排除A 、C ，代入x =1可得f 1 >0，可排除D .【解析】f -x =-x 2+e -x -e x sin -x =-x 2+e x -e -x sin x =f x ，又函数定义域为-2.8,2.8 ，故该函数为偶函数，可排除A 、C ，又f 1 =-1+e -1e sin1>-1+e -1e sin π6=e 2-1-12e >14-12e>0，故可排除D .故选：B .7.A【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点0,1 处的切线方程，即可得其与坐标轴交点坐标，即可得其面积.【解析】fx =ex+2cos x 1+x 2 -e x +2sin x ⋅2x1+x 22，则f0 =e 0+2cos0 1+0 -e 0+2sin0 ×01+02=3，即该切线方程为y -1=3x ，即y =3x +1，令x =0，则y =1，令y =0，则x =-13，故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积S =12×1×-13 =16.故选：A .8.A【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB ；举例判断CD 即可.【解析】由题意不妨设x 1<x 2，因为函数y =2x 是增函数，所以0<2x 1<2x 2，即0<y 1<y 2，对于选项AB ：可得2x1+2x 22>2x 1·2x 2=2x 1+x 22，即y 1+y 22>2x 1+x 22>0，根据函数y =log 2x 是增函数，所以log 2y 1+y 22>log 22x 1+x22=x 1+x22，故A 正确，B 错误；对于选项C ：例如x 1=0,x 2=1，则y 1=1,y 2=2，可得log 2y 1+y 22=log 232∈0,1 ，即log 2y 1+y 22<1=x 1+x 2，故C 错误；对于选项D ：例如x 1=-1,x 2=-2，则y 1=12,y 2=14，可得log 2y 1+y 22=log 238=log 23-3∈-2,-1 ，即log 2y 1+y 22>-3=x 1+x 2，故D 错误，故选：A .9.B【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.【解析】对A ，设f x =e x -x 2x 2+1，函数定义域为R ，但f -1 =e -1-12，f 1 =e -12，则f -1 ≠f 1 ，故A 错误；对B ，设g x =cos x +x 2x 2+1，函数定义域为R ，且g -x =cos -x +-x 2-x 2+1=cos x +x 2x 2+1=g x ，则g x 为偶函数，故B 正确；对C ，设h x =e x -xx +1，函数定义域为x |x ≠-1 ，不关于原点对称，则h x 不是偶函数，故C 错误；对D ，设φx =sin x +4x e |x |，函数定义域为R ，因为φ1 =sin1+4e ，φ-1 =-sin1-4e ，则φ1 ≠φ-1 ，则φx 不是偶函数，故D 错误.故选：B .10.B【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可.【解析】因为y =4.2x 在R 上递增，且-0.3<0<0.3，所以0<4.2-0.3<4.20<4.20.3，所以0<4.2-0.3<1<4.20.3，即0<a <1a >c ，故选：B 11.A【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可 .【解析】对A ，sin x +cos x =2sin x +π4，周期T =2π，故A 正确；对B ，sin x cos x =12sin2x ，周期T =2π2=π，故B 错误；对于选项C ，sin 2x +cos 2x =1，是常值函数，不存在最小正周期，故C 错误；对于选项D ，sin 2x -cos 2x =-cos2x ，周期T =2π2=π，故D 错误，故选：A ．12.B【分析】对于ACD 利用反证法并结合函数奇偶性、单调性以及极小值的概念即可判断，对于B ，构造函数f x =-2,x <-1x ,-1≤x ≤11,x >1即可判断.【解析】对于A ，若存在y =f (x )是偶函数, 取x 0=1∈[-1,1],则对于任意x ∈(-∞,1),f (x )<f (1), 而f (-1)=f (1), 矛盾, 故A 错误；对于B ，可构造函数f x =-2,x <-1,x ,-1≤x ≤1,1,x >1,满足集合M =-1,1 ，当x <-1时，则f x =-2，当-1≤x ≤1时，f x ∈-1,1 ，当x >1时，f x =1，则该函数f x 的最大值是f 2 ，则B 正确；对C ，假设存在f x ，使得f x 严格递增，则M =R ，与已知M =-1,1 矛盾，则C 错误；对D ，假设存在f x ，使得f x 在x =-1处取极小值，则在-1的左侧附近存在n ，使得f n >f -1 ，这与已知集合M 的定义矛盾，故D 错误；故选：B .13.ACD【分析】求出函数f x 的导数，得到极值点，即可判断A ；利用函数的单调性可判断B ；根据函数f x 在1,3 上的值域即可判断C ；直接作差可判断D .【解析】对A ，因为函数f x 的定义域为R ，而f x =2x -1 x -4 +x -1 2=3x -1 x -3 ，易知当x ∈1,3 时，f x <0，当x ∈-∞,1 或x ∈3,+∞ 时，f x >0函数f x 在-∞,1 上单调递增，在1,3 上单调递减，在3,+∞ 上单调递增，故x =3是函数f x 的极小值点，正确；对B ，当0<x <1时，x -x 2=x 1-x >0，所以1>x >x 2>0，而由上可知，函数f x 在0,1 上单调递增，所以f x >f x 2 ，错误；对C ，当1<x <2时，1<2x -1<3，而由上可知，函数f x 在1,3 上单调递减，所以f 1 >f 2x -1 >f 3 ，即-4<f 2x -1 <0，正确；对D ，当-1<x <0时，f (2-x )-f (x )=1-x 2-2-x -x -1 2x -4 =x -1 22-2x >0，所以f (2-x )>f (x )，正确；故选：ACD .14.AD【分析】A 选项，先分析出函数的极值点为x =0,x =a ，根据零点存在定理和极值的符号判断出f (x )在(-1,0),(0,a ),(a ,2a )上各有一个零点；B 选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C 选项，假设存在这样的a ,b ，使得x =b 为f (x )的对称轴，则f (x )=f (2b -x )为恒等式，据此计算判断；D 选项，若存在这样的a ，使得(1,3-3a )为f (x )的对称中心，则f (x )+f (2-x )=6-6a ，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解.【解析】A 选项，f (x )=6x 2-6ax =6x (x -a )，由于a >1，故x ∈-∞,0 ∪a ,+∞ 时f (x )>0，故f (x )在-∞,0 ,a ,+∞ 上单调递增，x ∈(0,a )时，f (x )<0，f (x )单调递减，则f (x )在x =0处取到极大值，在x =a 处取到极小值，由f (0)=1>0，f (a )=1-a 3<0，则f (0)f (a )<0，根据零点存在定理f (x )在(0,a )上有一个零点，又f (-1)=-1-3a <0，f (2a )=4a 3+1>0，则f (-1)f (0)<0,f (a )f (2a )<0，则f (x )在(-1,0),(a ,2a )上各有一个零点，于是a >1时，f (x )有三个零点，A 选项正确；B 选项，f (x )=6x (x -a )，a <0时，x ∈(a ,0),f (x )<0，f (x )单调递减，x ∈(0,+∞)时f (x )>0，f (x )单调递增，此时f (x )在x =0处取到极小值，B 选项错误；C 选项，假设存在这样的a ,b ，使得x =b 为f (x )的对称轴，即存在这样的a ,b 使得f (x )=f (2b -x )，即2x 3-3ax 2+1=2(2b -x )3-3a (2b -x )2+1，根据二项式定理，等式右边(2b -x )3展开式含有x 3的项为2C 33(2b )0(-x )3=-2x 3，于是等式左右两边x 3的系数都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在这样的a ,b ，使得x =b 为f (x )的对称轴，C 选项错误；D 选项，方法一：利用对称中心的表达式化简f (1)=3-3a ，若存在这样的a ，使得(1,3-3a )为f (x )的对称中心，则f (x )+f (2-x )=6-6a ，事实上，f (x )+f (2-x )=2x 3-3ax 2+1+2(2-x )3-3a (2-x )2+1=(12-6a )x 2+(12a -24)x +18-12a ，于是6-6a =(12-6a )x 2+(12a -24)x +18-12a即12-6a =012a -24=018-12a =6-6a，解得a =2，即存在a =2使得(1,f (1))是f (x )的对称中心，D 选项正确.方法二：直接利用拐点结论任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，f (x )=2x 3-3ax 2+1，f (x )=6x 2-6ax ，f (x )=12x -6a ，由f (x )=0⇔x =a 2，于是该三次函数的对称中心为a 2,f a2，由题意(1,f (1))也是对称中心，故a2=1⇔a =2，即存在a =2使得(1,f (1))是f (x )的对称中心，D 选项正确.故选：AD【点睛】结论点睛：(1)f (x )的对称轴为x =b ⇔f (x )=f (2b -x )；(2)f (x )关于(a ,b )对称⇔f (x )+f (2a -x )=2b ；(3)任何三次函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是f (x )=0的解，即-b 3a ,f -b3a 是三次函数的对称中心15.ln2【分析】先求出曲线y =e x +x 在0,1 的切线方程，再设曲线y =ln x +1 +a 的切点为x 0,ln x 0+1 +a ，求出y ，利用公切线斜率相等求出x 0，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解.【解析】由y =e x +x 得y =e x +1，y |x =0=e 0+1=2，故曲线y =e x +x 在0,1 处的切线方程为y =2x +1；由y =ln x +1 +a 得y =1x +1，设切线与曲线y =ln x +1 +a 相切的切点为x 0,ln x 0+1 +a ，由两曲线有公切线得y =1x 0+1=2，解得x 0=-12，则切点为-12,a +ln 12 ，切线方程为y =2x +12 +a +ln 12=2x +1+a -ln2，根据两切线重合,所以a -ln2=0，解得a =ln2.故答案为：ln216.64【分析】将log 8a ,log a 4利用换底公式转化成log 2a 来表示即可求解.【解析】由题1log 8a -1log a 4=3log 2a -12log 2a =-52，整理得log 2a 2-5log 2a -6=0，⇒log 2a =-1或log 2a =6，又a >1，所以log 2a =6=log 226，故a =26=64故答案为：64.17.-2,1【分析】将函数转化为方程，令x 3-3x =-x -1 2+a ，分离参数a ，构造新函数g x =x 3+x 2-5x +1,结合导数求得g x 单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.【解析】令x 3-3x =-x -1 2+a ，即a =x 3+x 2-5x +1，令g x =x 3+x 2-5x +1x >0 ,则g x =3x 2+2x -5=3x +5 x -1 ，令g x =0x >0 得x =1，当x ∈0,1 时，g x <0，g x 单调递减，当x ∈1,+∞ 时，g x >0，g x 单调递增，g 0 =1,g 1 =-2，因为曲线y =x 3-3x 与y =-x -1 2+a 在0,+∞ 上有两个不同的交点，所以等价于y =a 与g x 有两个交点，所以a ∈-2,1.故答案为：-2,1 18.-3,-1 ∪1,3【分析】结合函数零点与两函数的交点的关系，构造函数g x =2x 2-ax 与h x =ax -3,x ≥2a1-ax ,x <2a，则两函数图象有唯一交点，分a =0、a >0与a <0进行讨论，当a >0时，计算函数定义域可得x ≥a 或x ≤0，计算可得a ∈0,2 时，两函数在y 轴左侧有一交点，则只需找到当a ∈0,2 时，在y 轴右侧无交点的情况即可得；当a <0时，按同一方式讨论即可得.【解析】令f x =0，即2x 2-ax =ax -2 -1，由题可得x 2-ax ≥0，当a =0时，x ∈R ，有2x 2=-2 -1=1，则x =±22，不符合要求，舍去；当a >0时，则2x 2-ax =ax -2 -1=ax -3,x ≥2a1-ax ,x <2a，即函数g x =2x 2-ax 与函数h x =ax -3,x ≥2a1-ax ,x <2a有唯一交点，由x 2-ax ≥0，可得x ≥a 或x ≤0，当x ≤0时，则ax -2<0，则2x 2-ax =ax -2 -1=1-ax ，即4x 2-4ax =1-ax 2，整理得4-a 2 x 2-2ax -1=2+a x +1 2-a x -1 =0，当a =2时，即4x +1=0，即x =-14，当a ∈0,2 ，x =-12+a 或x =12-a>0(正值舍去)，当a ∈2,+∞ 时，x =-12+a <0或x =12-a<0，有两解，舍去，即当a ∈0,2 时，2x 2-ax -ax -2 +1=0在x ≤0时有唯一解，则当a ∈0,2 时，2x 2-ax -ax -2 +1=0在x ≥a 时需无解，当a ∈0,2 ，且x ≥a 时，由函数h x =ax -3,x ≥2a1-ax ,x <2a关于x =2a 对称，令h x =0，可得x =1a 或x =3a ，且函数h x 在1a ,2a上单调递减，在2a ,3a上单调递增，令g x =y =2x 2-ax ，即x -a 2 2a 24-y 2a 2=1，故x ≥a 时，g x 图象为双曲线x2a 24-y 2a2=1右支的x 轴上方部分向右平移a2所得，由x2a 24-y 2a2=1的渐近线方程为y =±aa 2x =±2x ，即g x 部分的渐近线方程为y =2x -a 2，其斜率为2，又a ∈0,2 ，即h x =ax -3,x ≥2a1-ax ,x <2a在x ≥2a 时的斜率a ∈0,2 ，令g x =2x 2-ax =0，可得x =a 或x =0(舍去)，且函数g x 在a ,+∞ 上单调递增，故有1a <a 3a>a，解得1<a <3，故1<a <3符合要求；当a <0时，则2x 2-ax =ax -2 -1=ax -3,x ≤2a1-ax ,x >2a，即函数g x =2x 2-ax 与函数h x =ax -3,x ≤2a1-ax ,x >2a有唯一交点，由x 2-ax ≥0，可得x ≥0或x ≤a ，当x ≥0时，则ax -2<0，则2x 2-ax =ax -2 -1=1-ax ，即4x 2-4ax =1-ax 2，整理得4-a 2 x 2-2ax -1=2+a x +1 2-a x -1 =0，当a =-2时，即4x -1=0，即x =14，当a ∈-2,0 ，x =-12+a <0(负值舍去)或x =12-a0，当a ∈-∞,2 时，x =-12+a >0或x =12-a>0，有两解，舍去，即当a ∈-2,0 时，2x 2-ax -ax -2 +1=0在x ≥0时有唯一解，则当a ∈-2,0 时，2x 2-ax -ax -2 +1=0在x ≤a 时需无解，当a ∈-2,0 ，且x ≤a 时，由函数h x =ax -3,x ≤2a1-ax ,x >2a关于x =2a 对称，令h x =0，可得x =1a 或x =3a ，且函数h x 在2a ,1a上单调递减，在3a ,2a上单调递增，同理可得：x ≤a 时，g x 图象为双曲线x 2a 24-y 2a 2=1左支的x 轴上方部分向左平移a2所得，g x 部分的渐近线方程为y =-2x +a 2，其斜率为-2，又a ∈-2,0 ，即h x =ax -3,x ≥2a1-ax ,x <2a在x <2a 时的斜率a ∈-2,0 ，令g x =2x 2-ax =0，可得x =a 或x =0(舍去)，且函数g x 在-∞,a 上单调递减，故有1a >a 3a<a，解得-3<a <-1，故-3<a <-1符合要求；综上所述，a ∈-3,-1 ∪1,3 .故答案为：-3,-1 ∪1,3 .【点睛】关键点点睛：本题关键点在于将函数f x 的零点问题转化为函数g x =2x 2-ax 与函数h x =ax -3,x ≥2a1-ax ,x <2a的交点问题，从而可将其分成两个函数研究.19.3【分析】利用分段函数的形式可求f 3 .【解析】因为f x =x ,x >01,x ≤0, 故f 3 =3，故答案为：3.20.(1)-2(2)证明见解析(3)b ≥-23【分析】(1)求出f x min =2+a 后根据f (x )≥0可求a 的最小值；(2)设P m ,n 为y =f x 图象上任意一点，可证P m ,n 关于1,a 的对称点为Q 2-m ,2a -n 也在函数的图像上，从而可证对称性；(3)根据题设可判断f 1 =-2即a =-2，再根据f (x )>-2在1,2 上恒成立可求得b ≥-23.【解析】(1)b =0时，f x =ln x2-x+ax ，其中x ∈0,2 ，则f x =1x +12-x =2x 2-x+a ,x ∈0,2 ，因为x 2-x ≤2-x +x 2 2=1，当且仅当x =1时等号成立，故f x min =2+a ，而f x ≥0成立，故a +2≥0即a ≥-2，所以a 的最小值为-2.，(2)f x =ln x2-x+ax +b x -1 3的定义域为0,2 ，设P m ,n 为y =f x 图象上任意一点，P m ,n 关于1,a 的对称点为Q 2-m ,2a -n ，因为P m ,n 在y =f x 图象上，故n =ln m2-m+am +b m -1 3，而f 2-m =ln 2-m m +a 2-m +b 2-m -1 3=-ln m2-m +am +b m -1 3 +2a ，=-n +2a ，所以Q 2-m ,2a -n 也在y =f x 图象上，由P 的任意性可得y =f x 图象为中心对称图形，且对称中心为1,a .(3)因为f x >-2当且仅当1<x<2，故x=1为f x =-2的一个解，所以f1 =-2即a=-2，先考虑1<x<2时，f x >-2恒成立.此时f x >-2即为lnx2-x+21-x+b x-13>0在1,2上恒成立，设t=x-1∈0,1，则ln t+11-t-2t+bt3>0在0,1上恒成立，设g t =ln t+11-t-2t+bt3,t∈0,1，则g t =21-t2-2+3bt2=t2-3bt2+2+3b1-t2，当b≥0，-3bt2+2+3b≥-3b+2+3b=2>0，故g t >0恒成立，故g t 在0,1上为增函数，故g t >g0 =0即f x >-2在1,2上恒成立.当-23≤b<0时，-3bt2+2+3b≥2+3b≥0，故g t ≥0恒成立，故g t 在0,1上为增函数，故g t >g0 =0即f x >-2在1,2上恒成立.当b<-23，则当0<t<1+23b<1时，g t <0故在0,1+2 3b上g t 为减函数，故g t <g0 =0，不合题意，舍；综上，f x >-2在1,2上恒成立时b≥-2 3 .而当b≥-23时，而b≥-23时，由上述过程可得g t 在0,1递增，故g t >0的解为0,1，即f x >-2的解为1,2.综上，b≥-2 3 .【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解的端点为函数对一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围时，可先由恒成立得到参数的范围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况.21.(1)e-1x-y-1=0(2)1,+∞【分析】(1)求导，结合导数的几何意义求切线方程；(2)解法一：求导，分析a≤0和a>0两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得a2+ln a-1>0，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知f (x)=e x-a有零点，可得a>0，进而利用导数求f x 的单调性和极值，分析可得a2+ln a-1>0，构建函数解不等式即可.【解析】(1)当a=1时，则f(x)=e x-x-1，f (x)=e x-1，可得f(1)=e-2，f (1)=e-1，即切点坐标为1,e-2，切线斜率k=e-1，所以切线方程为y-e-2=e-1x-1，即e-1x-y-1=0.(2)解法一：因为f(x)的定义域为R，且f (x)=e x-a，若a≤0，则f (x)≥0对任意x∈R恒成立，可知f (x )在R 上单调递增，无极值，不合题意；若a >0，令f (x )>0，解得x >ln a ；令f (x )<0，解得x <ln a ；可知f (x )在-∞,ln a 内单调递减，在ln a ,+∞ 内单调递增，则f (x )有极小值f ln a =a -a ln a -a 3，无极大值，由题意可得：f ln a =a -a ln a -a 3<0，即a 2+ln a -1>0，构建g a =a 2+ln a -1,a >0，则g a =2a +1a>0，可知g a 在0,+∞ 内单调递增，且g 1 =0，不等式a 2+ln a -1>0等价于g a >g 1 ，解得a >1，所以a 的取值范围为1,+∞ ；解法二：因为f (x )的定义域为R ，且f (x )=e x -a ，若f (x )有极小值，则f (x )=e x -a 有零点，令f (x )=e x -a =0，可得e x =a ，可知y =e x 与y =a 有交点，则a >0，若a >0，令f (x )>0，解得x >ln a ；令f (x )<0，解得x <ln a ；可知f (x )在-∞,ln a 内单调递减，在ln a ,+∞ 内单调递增，则f (x )有极小值f ln a =a -a ln a -a 3，无极大值，符合题意，由题意可得：f ln a =a -a ln a -a 3<0，即a 2+ln a -1>0，构建g a =a 2+ln a -1,a >0，因为则y =a 2,y =ln a -1在0,+∞ 内单调递增，可知g a 在0,+∞ 内单调递增，且g 1 =0，不等式a 2+ln a -1>0等价于g a >g 1 ，解得a >1，所以a 的取值范围为1,+∞ .22.(1)见解析(2)见解析【分析】(1)求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性；(2)先根据题设条件将问题可转化成证明当x >1时，e x -1-2x +1+ln x >0即可.【解析】(1)f (x )定义域为(0,+∞)，f (x )=a -1x =ax -1x当a ≤0时，f (x )=ax -1x <0，故f (x )在(0,+∞)上单调递减；当a >0时，x ∈1a,+∞ 时，f (x )>0，f (x )单调递增，当x ∈0,1a时，f (x )<0，f (x )单调递减.综上所述，当a ≤0时，f (x )在(0,+∞)上单调递减；a >0时，f (x )在1a ,+∞ 上单调递增，在0,1a上单调递减.(2)a ≤2，且x >1时，e x -1-f (x )=e x -1-a (x -1)+ln x -1≥e x -1-2x +1+ln x ，令g (x )=e x -1-2x +1+ln x (x >1)，下证g (x )>0即可.g (x )=e x -1-2+1x ，再令h (x )=g (x )，则h (x )=e x -1-1x2，显然h (x )在(1,+∞)上递增，则h (x )>h (1)=e 0-1=0，即g (x )=h (x )在(1,+∞)上递增，故g (x)>g (1)=e0-2+1=0，即g(x)在(1,+∞)上单调递增，故g(x)>g(1)=e0-2+1+ln1=0，问题得证23.(1)极小值为0，无极大值.(2)a≤-12【分析】(1)求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值.(2)求出函数的二阶导数，就a≤-12、-12<a<0、a≥0分类讨论后可得参数的取值范围.【解析】(1)当a=-2时，f(x)=(1+2x)ln(1+x)-x，故f (x)=2ln(1+x)+1+2x1+x-1=2ln(1+x)-11+x+1，因为y=2ln(1+x),y=-11+x+1在-1,+∞上为增函数，故f (x)在-1,+∞上为增函数，而f (0)=0，故当-1<x<0时，f (x)<0，当x>0时，f (x)>0，故f x 在x=0处取极小值且极小值为f0 =0，无极大值.(2)f x =-a ln1+x+1-ax1+x-1=-a ln1+x-a+1x1+x,x>0，设s x =-a ln1+x-a+1x1+x,x>0，则s x =-ax+1-a+11+x2=-a x+1+a+11+x2=-ax+2a+11+x2，当a≤-12时，sx >0，故s x 在0,+∞上为增函数，故s x >s0 =0，即f x >0，所以f x 在0,+∞上为增函数，故f x ≥f0 =0.当-12<a<0时，当0<x<-2a+1a时，sx <0，故s x 在0,-2a+1 a上为减函数，故在0,-2a+1a上s x <s0 ，即在0,-2a+1 a上f x <0即f x 为减函数，故在0,-2a+1 a上f x <f0 =0，不合题意，舍.当a≥0，此时s x <0在0,+∞上恒成立，同理可得在0,+∞上f x <f0 =0恒成立，不合题意，舍；综上，a≤-1 2 .【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类.24.(1)单调递减区间为(-1,0)，单调递增区间为(0,+∞).(2)证明见解析(3)2【分析】(1)直接代入k=-1，再利用导数研究其单调性即可；(2)写出切线方程y-f(t)=1+k1+t(x-t)(t>0)，将(0,0)代入再设新函数F(t)=ln(1+t)-t1+t，利用导数研究其零点即可；(3)分别写出面积表达式，代入2S △ACO =15S ABO 得到13ln (1+t )-2t -15t1+t=0，再设新函数h (t )=13ln (1+t )-2t -15t1+t(t >0)研究其零点即可.【解析】(1)f (x )=x -ln (1+x ),f (x )=1-11+x =x1+x(x >-1)，当x ∈-1,0 时，f x <0；当x ∈0,+∞ ，f x >0；∴f (x )在(-1,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增.则f (x )的单调递减区间为(-1,0)，单调递增区间为(0,+∞).(2)f (x )=1+k 1+x ，切线l 的斜率为1+k1+t，则切线方程为y -f (t )=1+k1+t (x -t )(t >0)，将(0,0)代入则-f (t )=-t 1+k 1+t,f (t )=t 1+k1+t ，即t +k ln (1+t )=t +t k 1+t ，则ln (1+t )=t 1+t ，ln (1+t )-t1+t =0，令F (t )=ln (1+t )-t1+t，假设l 过(0,0)，则F (t )在t ∈(0,+∞)存在零点.F (t )=11+t -1+t -t (1+t )2=t(1+t )2>0，∴F (t )在(0,+∞)上单调递增，F (t )>F (0)=0，∴F (t )在(0,+∞)无零点，∴与假设矛盾，故直线l 不过(0,0).(3)k =1时，f (x )=x +ln (1+x ),f (x )=1+11+x =x +21+x>0.S △ACO =12tf (t )，设l 与y 轴交点B 为(0,q )，t >0时，若q <0，则此时l 与f (x )必有交点，与切线定义矛盾.由(2)知q ≠0.所以q >0，则切线l 的方程为y -t -ln t +1 =1+11+t x -t ，令x =0，则y =q =y =ln (1+t )-tt +1.∵2S △ACO =15S ABO ，则2tf (t )=15t ln (1+t )-t t +1，∴13ln (1+t )-2t -15t 1+t =0，记h (t )=13ln (1+t )-2t -15t1+t(t >0)，∴满足条件的A 有几个即h (t )有几个零点.h(t )=131+t -2-15(t +1)2=13t +13-2t 2+2t +1 -15(t +1)2=2t 2+9t -4(t +1)2=(-2t +1)(t -4)(t +1)2，当t ∈0,12 时，h t <0，此时h t 单调递减；当t ∈12,4 时，h t >0，此时h t 单调递增；当t ∈4,+∞ 时，h t <0，此时h t 单调递减；因为h (0)=0,h 120,h (4)=13ln5-20 13×1.6-20=0.8>0，h (24)=13ln25-48-15×2425=26ln5-48-725<26×1.61-48-725=-20.54<0，所以由零点存在性定理及h (t )的单调性，h (t )在12,4 上必有一个零点，在(4,24)上必有一个零点，综上所述，h (t )有两个零点，即满足2S ACO =15S ABO 的A 有两个.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用的是反证法，转化为研究函数零点问题.25.(1)y =x -1(2)2(3)证明过程见解析【分析】(1)直接使用导数的几何意义；(2)先由题设条件得到a =2，再证明a =2时条件满足；(3)先确定f x 的单调性，再对x 1,x 2分类讨论.【解析】(1)由于f x =x ln x ，故f x =ln x +1.所以f 1 =0，f 1 =1，所以所求的切线经过1,0 ，且斜率为1，故其方程为y =x -1.(2)设h t =t -1-ln t ，则h t =1-1t =t -1t，从而当0<t <1时h t <0，当t >1时h t >0.所以h t 在0,1 上递减，在1,+∞ 上递增，这就说明h t ≥h 1 ，即t -1≥ln t ，且等号成立当且仅当t =1.设g t =a t -1 -2ln t ，则f x -a x -x =x ln x -a x -x =x a 1x -1-2ln 1x=x ⋅g 1x.当x ∈0,+∞ 时，1x的取值范围是0,+∞ ，所以命题等价于对任意t ∈0,+∞ ，都有g t ≥0.一方面，若对任意t ∈0,+∞ ，都有g t ≥0，则对t ∈0,+∞ 有0≤g t =a t -1 -2ln t =a t -1 +2ln 1t ≤a t -1 +21t -1 =at +2t-a -2，取t =2，得0≤a -1，故a ≥1>0.再取t =2a ，得0≤a ⋅2a +2a 2-a -2=22a -a -2=-a -2 2，所以a =2.另一方面，若a =2，则对任意t ∈0,+∞ 都有g t =2t -1 -2ln t =2h t ≥0，满足条件.综合以上两个方面，知a 的取值范围是2 .(3)先证明一个结论：对0<a -ab-1 1-a b+ln a =1+ln a ，所以ln a +11e时f x >0.所以f x 在0,1e 上递减，在1e,+∞ 上递增.不妨设x 1≤x 2，下面分三种情况(其中有重合部分)证明本题结论.情况一：当1e≤x 1≤x 2<1时，有f x 1 -f x 2 =f x 2 -f x 1 <ln x 2+1 x 2-x 1 <x 2-x 1<x 2-x 1，结论成立；情况二：当0<x 1≤x 2≤1e时，有f x 1 -f x 2 =f x 1 -f x 2 =x 1ln x 1-x 2ln x 2.对任意的c ∈0,1e，设φx =x ln x -c ln c -c -x ，则φx =ln x +1+12c -x.由于φx 单调递增，且有φ c 2e1+12c=ln c2e1+12c+1+12c -c2e1+12c<ln1e1+12c+1+12c -c2=-1-12c +1+12c=0，且当x ≥c -14ln 2c-1 2，x >c 2时，由12c -x≥ln 2c -1可知φ x =ln x +1+12c -x >ln c 2+1+12c -x =12c -x-ln 2c -1 ≥0.所以φ x 在0,c 上存在零点x 0，再结合φ x 单调递增，即知0<x <x 0时φ x <0，x 0<x <c 时φ x >0.故φx 在0,x 0 上递减，在x 0,c 上递增.①当x 0≤x ≤c 时，有φx ≤φc =0；②当0<x <x 0时，由于c ln 1c =-2f c ≤-2f 1e =2e <1，故我们可以取q ∈c ln 1c,1 .从而当0<x <c1-q 2时，由c -x >q c ，可得φx =x ln x -c ln c -c -x <-c ln c -c -x <-c ln c -q c =c c ln 1c-q <0.再根据φx 在0,x 0 上递减，即知对0<x <x 0都有φx <0；综合①②可知对任意0<x ≤c ，都有φx ≤0，即φx =x ln x -c ln c -c -x ≤0.根据c ∈0,1e和0<x ≤c 的任意性，取c =x 2，x =x 1，就得到x 1ln x 1-x 2ln x 2-x 2-x 1≤0.所以f x 1 -f x 2 =f x 1 -f x 2 =x 1ln x 1-x 2ln x 2≤x 2-x 1.情况三：当0<x 1≤1e ≤x 2<1时，根据情况一和情况二的讨论，可得f x 1 -f 1e≤1e -x 1≤x 2-x 1，f 1e -f x 2 ≤x 2-1e ≤x 2-x 1.而根据f x 的单调性，知f x 1 -f x 2 ≤f x 1 -f 1e 或f x 1 -f x 2 ≤f 1e-f x 2 .故一定有f x 1 -f x 2 ≤x 2-x 1成立.综上，结论成立.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于第3小问中，需要结合f x 的单调性进行分类讨论.26.(1)x |1<x <2(2)a >1【分析】(1)求出底数a ，再根据对数函数的单调性可求不等式的解；(2)存在x 使得f x +1 、f ax 、f x +2 成等差数列等价于a 2=21x +342-18在0,+∞ 上有解，利用换元法结合二次函数的性质可求a 的取值范围．【解析】(1)因为y =f x 的图象过4,2 ，故log a 4=2，故a 2=4即a =2(负的舍去)，而f x =log 2x 在0,+∞ 上为增函数，故f 2x -2 <f x ，故0<2x -2<x 即1<x <2，故f 2x -2 <f x 的解集为x |1<x <2 .(2)因为存在x 使得f x +1 、f ax 、f x +2 成等差数列，故2f ax =f x +1 +f x +2 有解，故2log a ax =log a x +1 +log a x +2 ，因为a >0,a ≠1，故x >0，故a 2x 2=x +1 x +2 在0,+∞ 上有解，由a 2=x 2+3x +2x 2=1+3x +2x 2=21x +34 2-18在0,+∞ 上有解，令t =1x ∈0,+∞ ，而y =2t +34 2-18在0,+∞ 上的值域为1,+∞ ，故a 2>1即a >1.27.(1)证明见解析(2)存在，P 0,1 (3)严格单调递减【分析】(1)代入M (0,0)，利用基本不等式即可；(2)由题得s x =(x -1)2+e 2x ，利用导函数得到其最小值，则得到P ，再证明直线MP 与切线垂直即可；(3)根据题意得到s 1 x 0 =s 2 x 0 =0，对两等式化简得f x 0 =-1g (t )，再利用“最近点”的定义得到不等式组，即可证明x 0=t ，最后得到函数单调性.【解析】(1)当M (0,0)时，s x =(x -0)2+1x -0 2=x 2+1x2≥2x 2⋅1x 2=2，当且仅当x 2=1x 2即x =1时取等号，故对于点M 0,0 ，存在点P 1,1 ，使得该点是M 0,0 在f x 的“最近点”．(2)由题设可得s x =(x -1)2+e x -0 2=(x -1)2+e 2x ，则s x =2x -1 +2e 2x ，因为y =2x -1 ,y =2e 2x 均为R 上单调递增函数，则s x =2x -1 +2e 2x 在R 上为严格增函数，而s 0 =0，故当x <0时，s x <0，当x >0时，s x >0，故s x min =s 0 =2，此时P 0,1 ，而f x =e x ,k =f 0 =1，故f x 在点P 处的切线方程为y =x +1.而k MP =0-11-0=-1，故k MP ⋅k =-1，故直线MP 与y =f x 在点P 处的切线垂直．(3)设s 1x =(x -t +1)2+f x -f t +g t 2，s 2x =(x -t -1)2+f x -f t -g t 2，而s 1x =2(x -t +1)+2f x -f t +g t f x ，s 2x =2(x -t -1)+2f x -f t -g t f x ，若对任意的t ∈R ，存在点P 同时是M 1,M 2在f x 的“最近点”，设P x 0,y 0 ，则x 0既是s 1x 的最小值点，也是s 2x 的最小值点，因为两函数的定义域均为R ，则x 0也是两函数的极小值点，则存在x0,使得s 1 x 0 =s 2 x 0 =0，即s 1 x 0 =2x 0-t +1 +2f x 0 f x 0 -f (t )+g (t ) =0①s 2 x 0 =2x 0-t -1 +2f x 0 f x 0 -f (t )-g (t ) =0②由①②相等得4+4g (t )⋅f x 0 =0，即1+f x 0 g (t )=0，即f x 0 =-1g (t )，又因为函数g (x )在定义域R 上恒正，则f x 0 =-1g (t )<0恒成立，接下来证明x 0=t ，因为x 0既是s 1x 的最小值点，也是s 2x 的最小值点，则s 1x 0 ≤s (t ),s 2x 0 ≤s (t )，即x 0-t +1 2+f x 0 -f t +g t 2≤1+g t 2，③x 0-t -12+f x 0 -f t -g t 2≤1+g t 2，④③+④得2x 0-t 2+2+2f x 0 -f (t ) 2+2g 2(t )≤2+2g 2(t )即x 0-t 2+f x 0 -f t 2≤0，因为x 0-t 2≥0,f x 0 -f t 2≥0则x 0-t =0f x 0 -f t =0，解得x 0=t ，则f t =-1g (t )<0恒成立，因为t 的任意性，则f x 严格单调递减.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是结合最值点和极小值的定义得到f x 0 =-1g (t )，再利用最值点定义得到x 0=t 即可.。

导数练习题 (含答案)

导数练习题班级姓名一、选择题 1．当自变量从x 0变到x 1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A ．在区间[x 0，x 1]上的平均变化率 B ．在x 0处的变化率 C ．在x 1处的变化量 D ．在区间[x 0，x 1]上的导数 2．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43 D ．0.44 3．函数f (x )＝2x 2－1在区间(1,1＋Δx )上的平均变化率Δy Δx 等于( ) A ．4 B ．4＋2Δx C ．4＋2(Δx )2D ．4x 4．如果质点M 按照规律s ＝3t 2运动，则在t ＝3时的瞬时速度为( ) A ． 6 B ．18 C ．54 D ．81 5．已知f (x )＝－x 2＋10，则f (x )在x ＝32处的瞬时变化率是( ) A ．3 B ．－3 C ． 2 D ．－2 6．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合 C ．与x 轴垂直 D．与x 轴相交但不垂直7．曲线y ＝－1x在点(1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝x －2B ．y ＝xC ．y ＝x ＋ 2D ．y ＝－x －28．已知曲线y ＝2x 2上一点A (2,8)，则A 处的切线斜率为( )A ．4B ．16C ．8D ．2 9．下列点中，在曲线y ＝x 2上，且在该点处的切线倾斜角为π4的是( )A ．(0,0)B ．(2,4)C ．(14，116) D ．(12，14) 10．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝ 1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－ 1D ．a ＝－1，b ＝－1 11．已知f (x )＝x 2，则f ′(3)＝( )A ．0B ．2xC ． 6D ．9 12．已知函数f (x )＝1x，则f ′(－3)＝( ) A ． 4 B.19C ．－14D ．－1913．函数y ＝x 2x ＋3的导数是( )A.x 2＋6x ?x ＋3?2B.x 2＋6x x ＋3C.－2x ?x ＋3?2D.3x 2＋6x?x ＋3?2 14．若函数f (x )＝12f ′(－1)x 2－2x ＋3，则f ′(－1)的值为( )A ．0B ．－1C ． 1D．215．命题甲：对任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )>0；命题乙：f (x )在(a ，b )内是单调递增的．则甲是乙的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件16．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( )A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞)17．函数y ＝ax 3－x 在R 上是减函数，则( )A ．a ≥13B ．a ＝1C ．a ＝2D ．a ≤018．函数y ＝4x 2＋1x的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(12，＋∞) D ．(1，＋∞) 19．“函数y ＝f (x )在一点的导数值为0”是“函数y ＝f (x )在这点取极值”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件20．设x 0为可导函数f (x )的极值点，则下列说法正确的是( )A ．必有f ′(x 0)＝0B ．f ′(x 0)不存在C ．f ′(x 0)＝0或f ′(x 0)不存在D ．f ′(x 0)存在但可能不为0 22．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3时取得极值，则a ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5 23．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内的极小值点有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 24．函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2x 取极小值时，x 的值是( ) A ．2 B ．2，－ 1 C ．－1 D ．－3 25．函数f (x )＝－x 2＋4x ＋7，在x ∈[3,5]上的最大值和最小值分别是( ) A ．f (2)，f (3) B ．f (3)，f (5) C ．f (2)，f (5) D ．f (5)，f (3) 26．f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[－1,1]上的最大值是( ) A ．－2 B ．0 C ．2 D ．4 27．函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋k 在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为( ) A ．－10 B ．－71 C ．－15 D ．－22 28．(2010年高考山东卷)已知某生产厂家的年利润y (单元：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( ) A ．13万件 B ．11万件 C ．9万件 D ．7万件 29．一点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒运动的距离为s ＝14t 4－53t 3＋2t 2，那么速度为零的时刻是( )A．1秒末 B．0秒 C．4秒末D．0,1,4秒末二、填空题1．设函数y＝f(x)＝ax2＋2x，若f′(1)＝4，则a＝________.2．若曲线y＝2x2－4x＋a与直线y＝1相切，则a＝________.3．已知函数y＝ax2＋b在点(1,3)处的切线斜率为2，则ba＝________.4．令f(x)＝x2·e x，则f′(x)等于________．5．函数y＝x2＋4x在x＝x0处的切线斜率为2，则x0＝________.6．若y＝10x，则y′|x＝1＝________.7．一物体的运动方程是s(t)＝1t，当t＝3时的瞬时速度为________．8．设f(x)＝ax2－b sin x，且f′(0)＝1，f′(π3)＝12，则a＝________，b＝________.9．y＝x3－6x＋a的极大值为________．10．函数y＝x e x的最小值为________．11．做一个容积为256 dm3的方底无盖水箱，它的高为______dm时最省料．12．有一长为16 m的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2.三、解答题1．求下列函数的导数：(1)y＝3x2＋x cos x； (2)y＝x1＋x；(3)y＝lg x－e x.2．已知抛物线y＝x2＋4与直线y＝x ＋10，求：(1)它们的交点； (2)抛物线在交点处的切线方程．3．求下列函数的单调区间：(1)y＝x－ln x；(2)y＝12x .4．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，当x＝－1时，取得极大值7；当x＝3时，取得极小值，求这个极小值及a、b、c的值．5．已知函数f(x)＝13x3－4x＋4.(1)求函数的极值；(2)求函数在区间[－3,4]上的最大值和最小值．导数练习题答案班级姓名一、选择题1．当自变量从x0变到x1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( )A．在区间[x0，x1]上的平均变化率B．在x0处的变化率C．在x1处的变化量D．在区间[x0，x1]上的导数答案：A2．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x ＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为( ) A．0.40B ．0.41C．0.43D ．0.44解析：选 B.Δy＝f(2.1)－f(2)＝2.12－22＝0.41.3．函数f(x)＝2x2－1在区间(1,1＋Δx)上的平均变化率ΔyΔx等于( )A． 4B ．4＋2ΔxC．4＋2(Δx)2D ．4x解析：选B.因为Δy＝[2(1＋Δx)2－1]－(2×12－1)＝4Δx＋2(Δx)2，所以ΔyΔx＝4＋2Δx，故选B.4．如果质点M按照规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为( )A． 6B ．18C．54D ．81解析：选B.ΔsΔt＝3?3＋Δt?2－3×32Δt，s′＝li mΔt→0ΔsΔt＝li mΔt→0(18＋3Δt)＝18，故选B.5．已知f(x)＝－x2＋10，则f(x)在x＝32处的瞬时变化率是( )A． 3B ．－3C． 2D ．－2解析：选B.6．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( )A．不存在B ．与x轴平行或重合C．与x轴垂直D ．与x轴相交但不垂直解析：选B.函数在某点处的导数为零，说明相应曲线在该点处的切线的斜率为零．7．曲线y＝－1x在点(1，－1)处的切线方程为( )A．y＝x－ 2B ．y＝xC．y＝x＋ 2D．y＝－x－2解析：选 A.f′(1)＝li mΔx→0－11＋Δx＋11Δx＝li mΔx→011＋Δx＝1，则在(1，－1)处的切线方程为y＋1＝x－1，即y＝x－2.8．已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则A处的切线斜率为( )A． 4B．16C．8D．2解析：选C.9．下列点中，在曲线y＝x2上，且在该点处的切线倾斜角为π4的是( ) A．(0,0)B ．(2,4)C．(14，116)D．(12，14)故选D.10．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )A．a＝1，b＝ 1B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－ 1D．a＝－1，b＝－1解析：选A.11．已知f(x)＝x2，则f′(3)＝( ) A．0 B．2xC．6 D．9解析：选C.∵f ′(x )＝2x ，∴f ′(3)＝6.12．已知函数f (x )＝1x，则f ′(－3)＝( )A ．4 B.19 C ．－14 D ．－19解析：选 D.∵f ′(x )＝－1x2，∴f ′(－3)＝－19. 13．函数y ＝x 2x ＋3的导数是( ) A.x 2＋6x ?x ＋3?2 B.x 2＋6x x ＋3 C.－2x ?x ＋3?2 D.3x 2＋6x ?x ＋3?2 解析：选A14．若函数f (x )＝12f ′(－1)x 2－2x ＋3，则f ′(－1)的值为( )A ．0B ．－1C ．1D ．2解析：选 B.∵f (x )＝12f ′(－1)x 2－2x ＋3，∴f ′(x )＝f ′(－1)x －2.∴f ′(－1)＝f ′(－1)×(－1)－2.∴f ′(－1)＝－1. 15．命题甲：对任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )>0；命题乙：f (x )在(a ，b )内是单调递增的．则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.f (x )＝x 3在(－1,1)内是单调递增的，但f ′(x )＝3x 2≥0(－1<x <1)，故甲是乙的充分不必要条件，选A. 16．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞解析：选 D.f ′(x )＝(x －3)′e x＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x ，令f ′(x )>0，解得x >2，故选D.17．函数y ＝ax 3－x 在R 上是减函数，则( ) A ．a ≥13 B ．a ＝1 C ．a ＝2 D ．a ≤0解析：选D.因为y ′＝3ax 2－1，函数y ＝ax 3－x 在(－∞，＋∞)上是减函数，所以y ′＝3ax 2－1≤0恒成立，即3ax 2≤1恒成立．当x ＝0时，3ax 2≤1恒成立，此时a ∈R ；当x ≠0时，若a ≤13x2恒成立，则a ≤0.综上可得a ≤0.18．函数y ＝4x 2＋1x的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，C ．(12，＋∞)D ．(1，＋∞解析：选 C.∵y ′＝8x －1x 2＝8x 3－1x 2>0，∴x >12. 即函数的单调递增区间为(12，＋∞)． 19．“函数y ＝f (x )在一点的导数值为0”是“函数y ＝f (x )在这点取极值”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.对于f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，不能推出f(x)在x ＝0处取极值，反之成立．故选B. 20．设x0为可导函数f(x)的极值点，则下列说法正确的是( )A．必有f′(x0)＝0B．f′(x0)不存在C．f′(x0)＝0或f′(x0)不存在D．f′(x0)存在但可能不为0答案：A22．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a＝( )A．2 B．3C．4 D．5解析：选D.f′(x)＝3x2＋2ax＋3，∵f(x)在x＝－3处取得极值，∴f′(－3)＝0，即27－6a＋3＝0，∴a＝5.23．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极小值点有( )A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选A.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如题图所示，函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个．24．函数f(x)＝－13x3＋12x2＋2x取极小值时，x的值是( )A．2 B．2，－1C．－1 D．－3解析：选C.f′(x)＝－x2＋x＋2＝－(x－2)(x＋1)．∵在x＝－1的附近左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，如图所示：∴x＝－1时取极小值．25．函数f(x)＝－x2＋4x＋7，在x∈[3,5]上的最大值和最小值分别是( )A．f(2)，f(3)B．f(3)，f(5)C．f(2)，f(5) D．f(5)，f(3)解析：选B.∵f′(x)＝－2x＋4，∴当x∈[3,5]时，f′(x)<0，故f(x)在[3,5]上单调递减，故f(x)的最大值和最小值分别是f(3)，f(5)．26．f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是( )A．－2 B．0C．2 D．4解析：选 C.f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＝0可得x＝0或x ＝2(舍去)，当－1≤x<0时，f′(x)>0，当0<x≤1时，f′(x)<0.所以当x＝0时，f(x)取得最大值为2.27．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为( )A．－10 B．－71C．－15 D．－22解析：选B.f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)．由f′(x)＝0得x＝3，－1.又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，∴f(x)min＝k－76＝－71. 28．(2010年高考山东卷)已知某生产厂家的年利润y(单元：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－1 3x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件解析：选C29．一点沿直线运动，如果由始点起经过t秒运动的距离为s＝14t4－53t3＋2t2，那么速度为零的时刻是( )A．1秒末B．0秒C．4秒末D．0,1,4秒末解析：选D.∵s′＝t3－5t2＋4t，令s′＝0，得t1＝0，t2＝1，t3＝4，此时的函数值最大，故选D.二、填空题1．设函数y＝f(x)＝ax2＋2x，若f′(1)＝4，则a＝________.答案：12．若曲线y＝2x2－4x＋a与直线y＝1相切，则a＝________.答案：33．已知函数y＝ax2＋b在点(1,3)处的切线斜率为2，则ba＝________.答案：24．令f(x)＝x2·e x，则f′(x)等于________．解析：f′(x)＝(x2)′·e x＋x2·(e x)′＝2x·e x＋x2·e x＝e x(2x＋x2)．答案：e x(2x＋x2)5．函数y＝x2＋4x在x＝x0处的切线斜率为2，则x0＝________.解析：2＝li mΔx→0 ?x0＋Δx?2＋4?x0＋Δx?－x20－4x0Δx＝2x0＋4，∴x0＝－1.答案：－16．若y＝10x，则y′|x＝1＝________.解析：∵y′＝10x ln10，∴y′|x＝1＝10ln10.答案：10ln107．一物体的运动方程是s(t)＝1t，当t ＝3时的瞬时速度为________．解析：∵s′(t)＝－1t2，∴s′(3)＝－132＝－19.答案：－198．设f(x)＝ax2－b sin x，且f′(0)＝1，f′(π3)＝12，则a＝________，b＝________.解析：∵f′(x)＝2ax－b cos x，f′(0)＝－b＝1得b＝－1，f′(π3)＝23πa＋12＝12，得a＝0.答案：0 －19．y＝x3－6x＋a的极大值为________．解析：y′＝3x2－6＝0，得x＝± 2.当x<－2或x>2时，y′>0；当－2 <x<2时，y′<0.∴函数在x＝－2时，取得极大值a＋4 2.答案：a＋4 210．函数y＝x e x的最小值为________．解析：令y′＝(x＋1)e x＝0，得x ＝－1.当x<－1时，y′<0；当x>－1时，y′>0.∴y min＝f(－1)＝－1 e .答案：－1 e11．做一个容积为256 dm3的方底无盖水箱，它的高为______dm时最省料．解析：设底面边长为x，则高为h＝256x2，其表面积为S＝x2＋4×256x2×x＝x2＋256×4x，S′＝2x－256×4x2，令S′＝0，则x＝8，则高h＝25664＝4 (dm)．答案：412．有一长为16 m的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2.解析：设矩形的长为x m，则宽为16－2x2＝(8－x) m(0<x<8)，∴S(x)＝x(8－x)＝－x2＋8x∴S′(x)＝－2x＋8，令S′(x)＝0，则x＝4，又在(0,8)上只有一个极值点，且x∈(0,4)时，S(x)单调递增，x∈(4,8)时，S(x)单调递减，故S(x)max＝S(4)＝16.答案：16三、解答题1．求下列函数的导数：(1)y＝3x2＋x cos x；(2)y＝x1＋x；(3)y＝lg x－e x.解：(1)y′＝6x＋cos x－x sin x.(2)y′＝1＋x－x?1＋x?2＝1?1＋x?2.(3)y′＝(lg x)′－(e x)′＝1x ln10－e x.2．已知抛物线y＝x2＋4与直线y＝x＋10，求：(1)它们的交点；(2)抛物线在交点处的切线方程．解：(1)由⎩⎨⎧y＝x2＋4，y＝x＋10，得x2＋4＝10＋x，即x2－x－6＝0，∴x＝－2或x＝3.代入直线的方程得y＝8或13.∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8)或(3,13)．(2)∵y＝x2＋4，∴y′＝limΔx→0?x＋Δx?2＋4－?x2＋4?Δx＝limΔx→0?Δx?2＋2x·ΔxΔx＝limΔx→0(Δx＋2x)＝2x.∴y′|x＝－2＝－4，y′|x＝3＝6，即在点(－2,8)处的切线斜率为－4，在点(3,13)处的切线斜率为6.∴在点(－2,8)处的切线方程为4x＋y＝0；在点(3,13)处的切线方程为6x－y－5＝0.3．求下列函数的单调区间：(1)y＝x－ln x；(2)y＝12x.解：(1)函数的定义域为(0，＋∞)．其导数为y′＝1－1x.令1－1x>0，解得x>1；再令1－1x<0，解得0<x<1.因此，函数的单调增区间为(1，＋∞)，函数的单调减区间为(0,1)．4．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，当x ＝－1时，取得极大值7；当x ＝3时，取得极小值，求这个极小值及a 、b 、c的值．解：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，依题意可知－1,3是方程3x 2＋2ax ＋b ＝0的两个根，则有⎩⎨⎧－1＋3＝－23a ，－1×3＝b3，解得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝－9，∴f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋c .由f (－1)＝7，得－1－3＋9＋c ＝7，∴c ＝2.∴极小值为f (3)＝33－3×32－9×3＋2＝－25.5．已知函数f (x )＝13x 3－4x ＋4.(1)求函数的极值；(2)求函数在区间[－3,4]上的最大值和最小值．解：(1)f ′(x )＝x 2－4，解方程x 2－4＝0，得x 1＝－2，x 2＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化数有极大值，且极大值为283；而当x ＝2时，函数有极小值，且极小值为－43.(2)f (－3)＝13×(－3)3－4×(－3)＋4＝7，f (4)＝13×43－4×4＋4＝283，与极值比较，得函数在区间[－3,4]上的最大值是283，最小值是－43.。

导数应用精选50题(含有答案)

)
99
A. a b c
B. c > b > a
C. c > a > b
D. a > c > b
10. f (x)是函数f (x)的导函数, 将y f (x)和y f (x) 的图象画在同一直角坐标系中，不
可能正确的是
()
11.已知函数 y xf (x) 的图象如图 3 所示（其中 f (x) 是函数 f (x) 的导函数）．下面四个图象中， y f (x) 的图象大致是（）
30.(本大题满分 14 分) 设 x=3 是函数 f（x）=（x2+a+b）e3-x(x∈R)的一个极值点． (1)求 a 与 b 的关系式(用 a 表示 b)，并求 f（x）的单调区间；(2)a>0，g(x)=( a+ 25 ) ex．若
4 存在 x1、x2∈[0，4]使得| f（x1）- g(x2)|<1 成立，求 a 的取值范围．
（3）若函数 y=f(x)+g(x)有两个不同的极值点 x1，x2（xl <x2），且 x2 －xl >1n2，求实数 a 的取值范围．
28.（本题满分 14 分）
5
已知函数 f x a ln x 1 a x 1 x2, a R
2
（1）当 0 a 1时，求函数 f x 的单调区间；
（2）已知 f x 0 对定义域内的任意 x 恒成立，求实数 a 的范围.
（1）求 a, b 的值；（2）求函数 f (x) 的极小值.
26.（本小题满分 13 分）已知定义在正实数集上的函数 f (x) 1 x2 2ex , g(x) 3e2 ln x b （其中 e 为常数， e 2.71828 ）,若这两个函数

导数复习题(含答案)

所以函数在上是增函数，
因为，所以，即，
所以化为，
当时，不等式等价于，即，解得；
当时，不等式等价于，即，解得；
综上，不等式的解集为 .
点睛：本题考查了与函数有关的不等式的求解问题，其中解答中涉及到利用条件构造新函数和利用导数研究函数的单调性，以及根据单调性和奇偶性的关系对不等式进行转化，解答中一定要注意函数值为零是自变量的取值，这是题目的一个易错点，试题综合性强，属于中档试题.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得，令
，选A.
点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.
故答案为B。
11．已知函数有两个零点，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】函数的定义域为，因为，当时，，则函数在上单调递增，不满足条件；当时，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以为极小值点，要使有两个零点，即要，即，则的取值范围是，故选D.
6．函数的图象是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由函数，则，所以函数为奇函数，
图象关于原点对称，
又时，，
所以当时，单调递增，当时，单调递减，
综上，函数的图象大致为选项A，故选A.
7．已知函数是函数的导函数，，对任意实数都有，设则不等式的解集为（）

高中函数和导数试题及答案

高中函数和导数试题及答案一、选择题1. 函数f(x) = x^2 + 3x + 2的导数是：A. 2x + 3B. x^2 + 3C. 2x + 1D. 3x + 22. 若函数f(x) = sin(x) + cos(x)的导数是：A. cos(x) - sin(x)B. cos(x) + sin(x)C. -sin(x) + cos(x)D. -sin(x) - cos(x)3. 已知函数g(x) = 2x^3 - 5x^2 + 7x - 1，其在x = 1处的导数值是：A. -1B. 0C. 1D. 2二、填空题4. 若f(x) = 4x^3 - 5x^2 + 6x - 7，求f'(x) = __________。

5. 若f(x) = x^4 + 2x^3 - 3x^2 + 4x + 5，求f'(2) = __________。

三、解答题6. 已知函数h(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求h'(x)，并求h'(1)的值。

7. 已知函数k(x) = √x，求k'(x)，并讨论k(x)的单调性。

四、综合题8. 已知函数F(x) = ln(x) + x^2，求F'(x)，并讨论F(x)在x > 0时的增减性。

答案解析：一、选择题1. 正确答案：A. 2x + 3解析：f'(x) = 2x + 3，根据导数的幂规则和线性规则计算得出。

2. 正确答案：A. cos(x) - sin(x)解析：f'(x) = cos(x) - sin(x)，根据三角函数的导数规则计算得出。

3. 正确答案：B. 0解析：g'(x) = 6x^2 - 10x + 7，代入x = 1得g'(1) = 0。

二、填空题4. 答案：12x^2 - 10x + 6解析：根据导数的幂规则和线性规则计算。

5. 答案：44解析：f'(x) = 4x^3 + 6x^2 - 6x + 4，代入x = 2计算得出。

高二导数选择题专项训练100题有答案

导数专项训练100题姓名：一、选择题：1.函数221y x =+在闭区间[1,1]x+∆内的平均变化率为（） A.12x +∆ B.2x +∆ C.32x +∆ D.42x +∆2. 若函数2y x=，则当1x =-时，函数的瞬时变化率为（）A.1B.1-C.2D.2-3. 函数31y x x=-的导数'y =（）A.2213x x -B.1332x -C.2213x x +D.221x x + 4. 已知函数()ln f x x =，则'()ef e 的值等于（）A.1B.eC.1eD.2e 5. 已知函数2()22f x x x =-+在区间[1,1],[1,1](01)x x x -∆+∆<∆<的平均变化率分别为12,k k ，则下列关系成立的是（） A.120k k +=B.120k k +<C.120k k +<D.120k k ->6.()f x 在(,)a b 内可导，则'()0f x <是()f x 在(,)a b 内单调递减的（）A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件7.函数214yx x=+的单调增区间为（） A.(0,)+∞ B.1(,)2+∞C.(,1)-∞-D.1(,)2-∞-8.在下列结论中，正确的结论共有（）(1) 单调增函数的导数也是单调增函数；（3）单调减函数的导数也是单调减函数； (2) 单调函数的导数也是单调函数；（4）导函数是单调的，则原函数也是单调的。

A.0个 B.2个 C.3个 D.4个 9. 若在区间(,)a b 内有'()0f x >，且()0f a ≥，则在(,)a b 内有（）A.()0f x >B.()0f x <C.()0f x =D.不能确定10. 三次函数3()1yf x ax ==-在(,)-∞+∞内是减函数，则（）A.1a =B.2a =C.13a = D.0a <11.已知函数(),()f x g x 都是(,)a b 上的可导函数，在[,]a b 上连续且'()'(),()()f x g x f a g a >=，则当(,)x a b ∈时有（）A.()()f x g x >B.()()f x g x <C.()()f x g x =D.大小关系不能确定12.3()3f x x x =-为递增函数的区间是（） A.(,1)-∞- B.(1,)+∞ C.(1,1)-D.(,1)(1,)-∞-+∞13.设32()(0)f x ax bx cx d a =+++>，则()f x 为增函数的充要条件是（）A.240b ac ->B.0,0b c >>C.0,0b c =>D.230b ac -<14.下列说法正确的是（） A. 当0'()0f x =时，则0()f x 为()f x 的极大值 B. 当0'()0f x =时，则0()f x 为()f x 的极小值 C. 当0'()0f x =时，则0()f x 为()f x 的极值 D. 当0()f x 为()f x 的极值时，0'()0f x =.15.已知函数()1sin ,(0,2)f x x xx π=+-∈，则函数()f x （） A. 在(0,2)π上是增函数, B. 在(0,2)π上是减函数C. 在(0,2)π上是增函数，在(,2)ππ上是减函数D. 在(0,2)π上是减函数，在(,2)ππ上是增函数 16.若函数()f x 可导，则“'()0f x =有实根”是“()f x 有极值”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件17.已知函数()y f x =是定义在区间[,]a b 上的连续函数，在开区间(,)a b 内可导，且'()0f x >，则在(,)a b 上下列各结论中正确的是（） A.()f a 是极小值，()f b 是极大值 B. ()f a 是极大值，()f b 是极小值 C. ()f x 有极值，但不是(),()f a f b D. ()f x 没有极值18.函数3()33f x x bx b=-+在(0,1)内有极小值，则（）A.0b <B.1b <C.0b >D.12b <19.三次函数当1x=时有极大值4，当3x =时有极小值0，且函数过原点，则此函数是（） A.3269y x x x =++ B.3269y x x x =-+ C.3269y x x x =-- D.3269y x x x =+-20.函数3()3(||1)f x x x x =-<，那么（）A. 有最大值，无最小值B. 有最大值，也有最小值C. 无最大值，也无最小值D. 既有最大值，又有最小值 21.若(3)2,'(3)2f f ==-，则323()lim3x x f x x →--的值为（）A.4-B.8C.0D.322.若函数()f x 为可导函数，且满足0(1)(1)lim12x f f x x→--=，则过曲线()f x y =上的点(1,(1))f 处的切线的斜率为（）A.2B.1-C.1D.2-23.若曲线4()2f x x x =-+在点P 处的切线与直线310x y +-=垂直，则点P 的坐标为（） A.(1,0) B.(1,2) C.(1,4)- D.(1,0)- 24.已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的解析式可能为（）A.2()(1)3(1)f x x x =-+-B.()2(1)f x x =-C.2()2(1)f x x =-D.()1f x x =- 25.曲线cos y x =和tan y x =交点处两曲线的切线的交角为（）A.3π B.4π C.4π D.2π26.如果过曲线313yx =上点P 的切线l 的方程为12316x y -=，那么点P 的坐标为（） A.8(2,)3 B.4(1,)3- C.28(1,)3-- D.20(3,)327.如果一直线过原点且与曲线11y x =+相切与点P ，那么切点P 的坐标为（）A.1(,2)2-B.12(,)23-C.(2,1)--D.1(2,)328.若在曲线sin (0)y x x π=<<上取一点M ，使过M点的切线与直线y x =平行，则点M 的坐标为（）A.(3πB.(,3π±C.1(,)62πD.(6π 29.若函数()f x 既是周期函数又是偶函数，则其导函数'()f x 为（）A. 既是周期函数，又是偶函数B. 既是周期函数，又是奇函数C. 不是周期函数，但是偶函数D. 不是周期函数，但是奇函数30.已知抛物线2y ax bx c =++过点(1,1)，且在点(2,1)-处的切线方程为3y x =-，则a 、b 、c 的值分别是（） A.3,11,9- B.11,3,9- C.9,11,3- D.9,3,11-31.如果一个球的半径r 以0.2/cm s 的速度增加，那么当球的半径20r cm =时，它的体积增加的速度为（）3/cm s A.310π B.320π C.330π D.360π32.若函数()f x 在0x 处可导，则000()()lim h f x f x h h→--为（）A.(0)fB.'(0)fC.0'()f xD.0'()f x -33.若函数()f x 在0x 处可导，那么000()()lim x x f x f x x x →--为（）A.可能不存在B.0'()f x -C.0'()f xD.0()f x34.若函数()f x 在x a =处可导，且'()f a m =，则(2)(2)limx a f x a f a x x a →----为（） A.m B.2mC.3mD.m -35. 若f (x )=sin α－cos x ,则f ‘(α)等于（） A 、sin αB 、cos αC 、sin α+cos αD 、2sin α36.f (x )=ax 3+3x 2+2,若f ‘(－1)=4,则a 的值等于（）A 、319 B 、316 C 、313 D 、310 37．f (x )与g(x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x ),g(x )满足f ′(x )=g ′(x ),则f (x )与g (x )满足（）A 、f (x )=g (x )B 、f (x )－g (x )为常数函数C 、f (x )=g (x )=0D 、f (x )+g (x )为常数函数38. 曲线()nyx n N =∈在点P 2n）处切线斜率为20，那么n 为（）A ． 7B ．6C ．5D ．439.函数()f x = （）A ．0)x > B ．0)x > C 0)x > D ．0)x >40.函数f(x)=(x+1)(x 2-x+1)的导数是（）A ． x 2-x+1B ．(x+1) (2x-1)C ．3x 2D ．3x 2+141.函数yx =的导数为（）A ．'y x x = B ．'y x =C.'y x = D ．'y x = 42.函数y= （）A ．'2cos sin x x x y x += B.'2cos sin x x x y x -=． C.'2sin cos x x x y x -= D ．'2sin cos x x x y x +=43.函数21(31)y x =-的导数是（） A ．'36(31)y x =- B ．'26(31)y x =- C.'36(31)y x =-- D ．'26(31)y x =--44.函数3sin (3)4y x π=+的导数（）A.23sin (3)cos(3)44x x ππ++B.29sin (3)cos(3)44x x ππ++C.29sin (3)4x π+D.29sin (3)cos(3)44x x ππ-++ 45.下列导数数运算正确的是（）A ．'211()1x x x +=+ B ．'21(log )ln 2x x = C.'3(3)3log x xe = D ．2'(cos )2sin x x x x =-46.函数2ln(32)y x x =--的导数（）A ．23x + B ．2132x x -- C ．22223x x x ++- D ．22223x x x -+-47.函数22(0,1)x xy aa a -=>≠，那么'y 为（）A ． 22ln xxa a - B ．222ln xxa a - C.222(1)ln xxx a a -- D ．22(1)ln xxx a a --48.若000(2)()13limx f x x f x x∆→+∆-=∆，则'0()f x = （）A ．23B ．32C ．3D ．249. 已知函数y=f(x)在区间(a,b)内可导，且x0∈（a，b）则hhxfhxfn)()(lim--+→的值为（）A、f’(x0)B、2 f’(x0)C、-2 f’(x0)D、050.f(x)=ax3+3x2+2，若f’(-1)=4，则a的值为（）A．19/3 B.16/3 C.13/3 D.10/351.设y=8x2-lnx，则此函数在区间(0,1/4)和(1/2,1)内分别为（）A．单调递增，单调递减 B、单调递增，单调递增 C、单调递减，单调递增 D、单调递减，单调递减52.设y=tanx，则y’=( )A.sec2xB.secx·tanxC.1/(1+x2)D.-1/(1+x2)53.曲线y=x3+x-2 在点P0处的切线平行于直线y=4x-1，则点P0点的坐标是（）54．(0,1) B.(1,0) C.(-1,0) D.(1,4)54.给出下列命题：（1）若函数f(x)=|x|，则f’(0)=0；（2）若函数f(x)=2x2+1，图像上P(1,3)及邻近上点Q(1+Δx,3+Δy)，则xy∆∆=4+2Δx；（3）加速度是动点位移函数S(t)对时间t的导数；（4）y=2cosx+lgx，则y’=-2cosx·sinx+x1.其中正确的命题有（）A. 0个B.1个C.2个 D。

导数基础题训练文(含答案)

导数基础题训练文(含答案)本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March导数及其应用一、选择题1．若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000()()lim h f x h f x h h→+-- 的值为（）A ．'0()f xB ．'02()f xC ．'02()f x -D ．02．一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（）A ．7米/秒B ．6米/秒C ．5米/秒D ．8米/秒3．函数3y x x 的递增区间是（）A ．),0(+∞B ．)1,(-∞C ．),(+∞-∞D ．),1(+∞4．32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=,则a 的值等于（）A ．319 B ．316 C ．313 D ．310 5．函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的（）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．必要非充分条件6．函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为（）A ．72B ．36C ．12D ．0二、填空题1．若3'0(),()3f x x f x ==，则0x 的值为_________________；2．曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________；3．函数sin x y x=的导数为_________________； 4．曲线x y ln =在点(,1)M e 处的切线的斜率是_________，切线的方程为_______________；5．函数5523--+=x x x y 的单调递增区间是___________________________。

函数与导数练习题(含解析)

函数与导数一、单选题1．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））函数21()log f x x x=-的零点所在区间（） A ．(1,2)B ．(2,3)C ．1(0,)2D ．1(2，1)2．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））已知函数()f x 的图象关于原点对称，且满足()0(3)1f x f x ++-=，且当)4(2x ∈，时，12()log (1)f x x m =--+，若(2021)1(1)2f f -=-，则m =（）A ．43B ．34C ．43-D ．34-3．（2020·云南昆明一中高三月考（文））已知函数()f x 是奇函数，当0x >时()22xf x x =+，则()()12f f +-=（）A ．8-B ．4-C ．5-D ．114．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））下列函数中，既是奇函数又在()0,∞+单调递减的函数是（） A ．22x x y -=-B ．tan y x x =C ．sin y x x =-D ．12y x x=- 5．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））函数()sin ln f x x x x =-的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．6．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））函数()f x 的定义域为R ，对任意的[)()1212,1,x x x x ∈+∞≠，有()()21210f x f x x x -<-，且函数()1f x +为偶函数，则（）A ．()()()123f f f <-<B ．()()()321f f f <-<C ．()()()231f f f -<<D ．()()()213f f f -<<7．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））若函数2()ln 2f x x ax =+-在区间1,22⎛⎫⎪⎝⎭内存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是（）A ．(,2]-∞-B ．1,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．12,8⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．(2,)-+∞8．（2020·云南昆明一中高三月考（文））已知函数()ln f x x x =，若直线l 过点()0,e -，且与曲线()y f x =相切，则直线l 的斜率为（） A ．2- B ．2 C ．e -D ．e9．（2020·吉林高三其他（文））已知函数2()2f x x x =-，若8log 27a =，5log 11b =，0.25log 8c =-，则（）A ．f （b ）f <（c ）f <（a ）B ．f （b ）f <（a ）f <（c ）C ．f （c ）f <（a ）f <（b ）D ．f （c ）f <（b ）f <（a ）10．（2020·四川其他（文））已知函数()sin f x x x =-，则下列关系不正确的是（） A ．函数()f x 是奇函数B ．函数()f x 在R 上单调递减C ．0x =是函数()f x 的唯一零点D ．函数()f x 是周期函数11．（2020·四川其他（文））已知函数ln(1),0()0,0x x f x x +≥⎧=⎨<⎩，若(4)(23)f x f x -<-，则实数x 的取值范围是（）A ．[2,)+∞B ．[2,)+∞C ．3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．[4,)+∞12．（2020·黑龙江道里·哈尔滨三中高三月考（文））若定义域1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭的函数()f x 满足()()xef x f x x'-=且()1f e =-，若13f e m ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭恒成立，则m 的取值范围为（） A ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．20,5⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．21,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦13．（2020·安徽庐阳·合肥一中高三月考（文））已知()13,03,0x x e x f x x x x +⎧⋅≤=⎨->⎩，若关于x 的方程()()210f x a f x -⋅-=有5个不同的实根，则实数a 的取值范围为（）A ．30,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦14．（2020·广西南宁二中月考（文））已知定义在R 上的偶函数()f x 在[0,)+∞上递减，若不等式(ln 1)(ln 1)2(1)f ax x f ax x f -+++--≥对[]1,3x ∈恒成立，则实数a 的取值范围为（）A ．(2,)eB ．1[,)e+∞C ．1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．12ln 3,3e +⎡⎤⎢⎥⎣⎦15．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x x =+，且当11x -≤≤时，()2xf x =，函数()g x x =，实数a ，b 满足3b a >>.若[]1,x a b ∀∈，2x ⎡⎤∃∈⎣⎦，使得()()12f x g x =成立，则b a -的最大值为（）A ．12B ．1CD ．2二、填空题16．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））设曲线()ln 1y ax x =-+在点()0,0处的切线方程为20x y -=，则a =________.17．（2020·云南昆明一中高三月考（文））函数()[]()()sin ,0,212,2,2x x f x f x x π⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩.若关于x 的方程()()0f x m m =< 有且只有两个不相等的实根1x ，2x ，则12x x +的值是_________.18．（2020·河南洛阳·高三月考（文））已知函数(),0,ln ,0,x e x f x x x -⎧≤⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程()()102f x a f x a ⎡⎤-⋅--=⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦恰有5个不相等的实数根，则实a 的取值范围是______. 19．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））函数()212log 2y x x =-的单调递增区间是_________．20．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））已知()f x 是定义域为R 的奇函数，()'f x 是()f x 的导函数，(1)0f -=，当0x >时，()3()0xf x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是________．21．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））已知1240x x a ++⋅>对一切(],1x ∞∈-上恒成立，则实数a 的取值范围是______．三、解答题22．（2020·云南昆明一中高三月考（文））已知函数()xf x e ax =-，()1lng x x x =+.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若当0x >时，方程()()f x g x =有实数解，求实数a 的取值范围.23．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））已知函数()()ln f x x x a =-，()12x g x e =-（e为自然对数的底）.（1）讨论()f x 的极值；（2）当1a =时，若存在(]00,x m ∈，使得()()00f x g m -≤，求实数m 取值范围. 24．（2020·陕西西安·月考（文））已知函数()ln 1,f x x ax a R =-+∈. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若不等式()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围；（3）当*n N ∈时，求证：111111ln(1)123123+++<+<+++++n n n. 25．（2020·广西南宁二中月考（文））已知函数3211()(1)132f x ax a x x =-+++（1a ≥）. （I ）若3a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（II ）若()f x 在R 上无极值点，求a 的值；（III ）当(0,2)x ∈时，讨论函数()f x 的零点个数，并说明理由.26．（2020·四川其他（文））已知曲线()(3)(2ln )xf x x e a x x =-+-（其中e 为自然对数的底数）在1x =处切线方程为(1) y e x b =-+.（Ⅰ）求a ，b 值；（Ⅱ）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()0215e f x --<<-. 27．（2020·河南洛阳·高三月考（文））已知函数()()2122xf x x e x x =-+-. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若不等式()()21442a af x x a x ⎛⎫≥+-++⎪⎝⎭对任意()2,x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围. 28．（2020·广东天河·华南师大附中高三月考（文））设2()g x lnx x x =+-.（1）求()g x 的单调区间；（2）当0a >时，2()0xxe a x a g x --≥恒成立，求实数a 的取值范围.29．（2020·湖北宜昌·高三期末（文））已知函数22()ln f x x a x ax =--．（1）当1a =时，求()f x 的单调区间；（2）若对于定义域内任意的x ，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；（3）记()()g x f x a x =+，若()g x 在区间1[,]e e 内有两个零点，求a 的取值范围.30．（2020·吉林高三其他（文））已知函数()32ln f x ax bx x =--．（1）当0b =时，讨论()f x 的单调性；（2）若1a b ==，且()f x m ≥恒成立，求m 的取值范围．一、单选题1．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））函数21()log f x x x=-的零点所在区间（） A ．(1,2) B ．(2,3)C ．1(0,)2D ．1(2，1)【答案】A 【解析】函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且函数()f x 单调递增，f （1）2log 1110=-=-<，f （2）2111log 210222=-=-=>， ∴在(1,2)内函数()f x 存在零点，故选：A .2．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））已知函数()f x 的图象关于原点对称，且满足()0(3)1f x f x ++-=，且当)4(2x ∈，时，12()log (1)f x x m =--+，若(2021)1(1)2f f -=-，则m =（）A ．43B ．34C ．43-D ．34-【答案】C【解析】因为函数()f x 的图象关于原点对称，所以()f x 为奇函数，因为()()()133f x f x f x +=--=-，故函数()f x 的周期为4，则()()20211f f =；而()()11f f -=-，所以由(2021)1(1)2f f -=-可得1(1)3f =；而121(1)(3)log (31)3f f m =-=--=，解得43m =-. 故选：C .3．（2020·云南昆明一中高三月考（文））已知函数()f x 是奇函数，当0x >时()22xf x x =+，则()()12f f +-=（）A ．8-B ．4-C ．5-D ．11【答案】C【解析】：因为0x >时，()22x f x x =+，所以12(1)213f =+=；又因为()f x 是奇函数，所以()()()22448f f -=-=-+=-，即()()51238f f +-=-=-，故选：C.4．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））下列函数中，既是奇函数又在()0,∞+单调递减的函数是（） A ．22x x y -=-B ．tan y x x =C ．sin y x x =-D ．12y x x=- 【答案】D【解析】对A ，函数22xxy -=-在()0,∞+单调递增，故A 不符合；对B ，函数tan y x x =为偶函数，故B 不符合；对C ，函数'1cos 0y x =-≥在()0,∞+恒成立，所以在()0,∞+单调递增，故C 不符合；对D ，函数既是奇函数又在()0,∞+单调递减，故D 符合；故选：D5．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））函数()sin ln f x x x x =-的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】()sin()ln sin ln ()f x x x x x x x f x -=----=-=，()f x ∴为偶函数，排除A ，C 选项；当(0,1)x ∈时，sin 0,ln 0x x x ><，()0f x ∴>，排除D 选项，故选B ．故选B6．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））函数()f x 的定义域为R ，对任意的[)()1212,1,x x x x ∈+∞≠，有()()21210f x f x x x -<-，且函数()1f x +为偶函数，则（）A ．()()()123f f f <-<B ．()()()321f f f <-<C ．()()()231f f f -<<D ．()()()213f f f -<<【答案】C【解析】因为对任意的[)()1212,1,x x x x ∈+∞≠，有2121()()0f x f x x x -<-，所以对任意的[)()1212,1,x x x x ∈+∞≠，21x x -与21()()f x f x -均为异号，所以()f x 在[1,)+∞上单调递减，又函数()1f x +为偶函数，即(1)(1)f x f x +=-，所以(2)(4)f f -=，所以()()()2(4)31f f f f -=<<. 故选：C.7．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））若函数2()ln 2f x x ax =+-在区间1,22⎛⎫⎪⎝⎭内存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是（）A ．(,2]-∞-B ．1,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．12,8⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．(2,)-+∞【答案】D【解析】因为2()ln 2f x x ax =+-在区间1,22⎛⎫⎪⎝⎭内存在单调递增区间，所以1()20f x ax x '=+>在区间1,22⎛⎫⎪⎝⎭上成立，即212a x >-在区间1,22⎛⎫⎪⎝⎭上有解，因此，只需212412a >-=-⎛⎫ ⎪⎝⎭，解得2a >-.故选D8．（2020·云南昆明一中高三月考（文））已知函数()ln f x x x =，若直线l 过点()0,e -，且与曲线()y f x =相切，则直线l 的斜率为（） A ．2- B ．2 C ．e - D ．e【答案】B【解析】设切点坐标为(),ln t t t ，()ln f x x x =，()ln 1f x x '=+，直线l 的斜率为()ln 1f t t '=+，所以，直线l 的方程为()()ln ln 1y t t t x t -=+-，将点()0,e -的坐标代入直线l 的方程得()ln ln 1e t t t t --=-+，解得t e =，因此，直线l 的斜率为()2f e '=. 故选：B.9．（2020·吉林高三其他（文））已知函数2()2f x x x =-，若8log 27a =，5log 11b =，0.25log 8c =-，则（）A ．f （b ）f <（c ）f <（a ）B ．f （b ）f <（a ）f <（c ）C ．f （c ）f <（a ）f <（b ）D ．f （c ）f <（b ）f <（a ）【答案】A【解析】27982443log log 3log log 82a ===>=，5553log 11log log 2b ==<=，0.2543log 8log 82c =-==，又55log 11log 51b =>=，1b c a ∴<<<，又2()2f x x x =-在[1，)+∞上单调递增，f ∴（b ）f <（c ）f <（a ）．故选：A ．10．（2020·四川其他（文））已知函数()sin f x x x =-，则下列关系不正确的是（） A ．函数()f x 是奇函数B ．函数()f x 在R 上单调递减C ．0x =是函数()f x 的唯一零点D ．函数()f x 是周期函数【答案】D【解析】因为()sin f x x x =-的定义域为R ，()sin()()sin ()f x x x x x f x -=---=-+=-，所以函数为奇函数，故A 正确；因为()cos 10f x x '=-≤，所以()sin f x x x =-在R 上为减函数，故B 正确；因为(0)sin 000f =-=，且()sin f x x x =-在R 上为减函数，所以函数()f x 的唯一零点是0，故C 正确；因为()sin f x x x =-,不存在0T ≠,使得()sin()()f x T x T x T f x +=+--=，故D 错误. 故选：D11．（2020·四川其他（文））已知函数ln(1),0()0,0x x f x x +≥⎧=⎨<⎩，若(4)(23)f x f x -<-，则实数x 的取值范围是（）A ．[2,)+∞B ．[2,)+∞C ．3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．[4,)+∞【答案】C【解析】：因为ln(1),0()0,0x x f x x +≥⎧=⎨<⎩，当0x ≥时，()()ln 1f x x =+在定义域上单调递增，且()00f =，当0x <时()00f =，要使(4)(23)f x f x -<-，则423230x x x -<-⎧⎨->⎩解得32x >，即3,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭故选：C12．（2020·黑龙江道里·哈尔滨三中高三月考（文））若定义域1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭的函数()f x 满足()()xef x f x x'-=且()1f e =-，若13f e m ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭恒成立，则m 的取值范围为（） A ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．20,5⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．21,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】函数()f x 满足()()x e f x f x x '-=，()(1)x f x f x e x '-∴=，则()1x f x e x'⎛⎫= ⎪⎝⎭，可设()ln xf x x c e=+，c 为常数，故()()ln x f x x c e =+，()11f c e e ∴=⋅=-， 1c ∴=-，故()()ln 1xf x x e =-，1()ln 1x f x e x x ⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭，1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，令1()ln 1g x x x =+- ，1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，则22111()x g x x x x -'=-=， 1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0g x '<，故()g x 单调递减；()1,∈+∞x 时，()0g x '>，故()g x 单调递增，()g x ∴在1x =时取得最小值(1)0g =，()0g x ∴≥恒成立，1()ln 10x f x e x x ⎛⎫'=+-≥ ⎪⎝⎭在1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭成立，故()f x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上递增，又()1f e =-，所以不等式13f e m ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭即13(1)f f m ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，根据单调性得11312m ≤-≤，解得2152m ≤≤. 故选：D.13．（2020·安徽庐阳·合肥一中高三月考（文））已知()13,03,0x x e x f x x x x +⎧⋅≤=⎨->⎩，若关于x 的方程()()210f x a f x -⋅-=有5个不同的实根，则实数a 的取值范围为（）A ．30,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】B【解析】设()t f x =，则方程为210t at --=，解得t =，且10t =>，20t =<，当0x ≤时，()1x f x xe+=，则()()11x f x x e+'=+，当(),1x ∈-∞-时，()0f x '<，()f x 单调递减，当()1,0x ∈-时，()0f x '>，()f x 单调递增，可知()f x 在1x =-处取得极小值()11f -=-；当0x >时，()33=-f x x x ，则()()()233311f x x x x '=-=-+，当()0,1x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，可知()f x 在1x =处取得极大值()12f =，如图作出函数()f x 的图象，要使关于x 的方程()()210fx a f x -⋅-=有5个不同的实根，有1221t t <⎧⎨>-⎩，解得302a <<.故选：B.14．（2020·广西南宁二中月考（文））已知定义在R 上的偶函数()f x 在[0,)+∞上递减，若不等式(ln 1)(ln 1)2(1)f ax x f ax x f -+++--≥对[]1,3x ∈恒成立，则实数a 的取值范围为（）A ．(2,)eB ．1[,)e+∞C ．1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．12ln 3,3e +⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】由于定义在R 上的偶函数()f x 在[)0,+∞上递减，则()f x 在(,0)-∞上递增，又ln 1(ln 1)ax x ax x --=--++，则(ln 1)(ln 1)2(1)f ax x f ax x f -+++--≥ 可华化为： 2(ln 1)2(1)f ax x f --≥，即(ln 1)(1)f ax x f --≥对[]1,3x ∈恒成立，则1ln 11ax x -≤--≤，所以：ln x a x ≥且ln 2x a x+≤ 对[1,3]x ∈同时恒成立. 设ln ()xg x x =，21ln ()x g x x -'=，则()g x 在[1,e)上递增，在(,3]e 上递减，max1()()g x g e e ∴==. 设ln 2()x h x x+=，21ln ()0x h x x --'=< ，()h x 在[1,3] 上递减，min2ln 3()(3)3h x h +== . 综上得：a 的取值范围是12ln 3[,]3e +.15．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x x =+，且当11x -≤≤时，()2xf x =，函数()g x x =，实数a ，b 满足3b a >>.若[]1,x a b ∀∈，2x ⎡⎤∃∈⎣⎦，使得()()12f x g x =成立，则b a -的最大值为（）A ．12B ．1CD ．2【答案】B【解析】当)x ⎡∈⎣时，()(g x ∈，令2x =12x =±.∵()()2f x f x =+，∴()f x 的周期为2，所以()f x 在[－1，5]的图象所示：结合题意，当17422a =-+=，19422b =+=时，b a -取得最大值.最大值为1. 故选：B.二、填空题16．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））设曲线()ln 1y ax x =-+在点()0,0处的切线方程为20x y -=，则a =________. 【答案】3 【解析】()ln 1y ax x =-+，11y a x '∴=-+. 由题意可知，当0x =时，12y a '=-=，解得3a =. 故答案为：3.17．（2020·云南昆明一中高三月考（文））函数()[]()()sin ,0,212,2,2x x f x f x x π⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩.若关于x 的方程()()0f x m m =< 有且只有两个不相等的实根1x ，2x ，则12x x +的值是_________.【答案】3【解析】画出()[]()()sin ,0,212,2,2x x f x f x x π⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩的图像如下，因为()(0)f x m m =<有且只有两个不等实根，即函数()y f x =与y m =有两个不同交点，由图像可得，112m -<<-，所以1x ，2x ，关于直线32x =对称，则123232x x +=⨯=. 故答案为：3.18．（2020·河南洛阳·高三月考（文））已知函数(),0,ln ,0,x e x f x x x -⎧≤⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程()()102f x a f x a ⎡⎤-⋅--=⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦恰有5个不相等的实数根，则实a 的取值范围是______. 【答案】1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】作出函数()f x 的大致图象如图所示，由已知关于x 的方程()f x a =或()12f x a =+恰有5个不相等的实数根，则01,11,2a a <<⎧⎪⎨+≥⎪⎩解得1,12a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故答案为：1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭19．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））函数()212log 2y x x =-的单调递增区间是_________．【答案】(),0-∞【解析】由220x x ->，可得2x >或0x <，所以函数的定义域为()(),02,-∞+∞又()211t x =--在区间(),0-∞的单调递减，13log y t =单调递减,∴函数()212log 2y x x =-的单调递增区间是(),0-∞, 故答案为(),0-∞．20．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））已知()f x 是定义域为R 的奇函数，()'f x 是()f x 的导函数，(1)0f -=，当0x >时，()3()0xf x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是________．【答案】(,1)(0,1)-∞-【解析】令3()()f x g x x =，0x >，因为当0x >时，()3()0xf x f x '-<，则当0x >时，4()3()()0xf x f x g x x'-'=<，即()g x 在(0,)+∞上单调递减，又因为()f x 为奇函数，即()()f x f x -=-，则33()()()()()f x f x g x g x x x--===-，故()g x 为偶函数且在(,0)-∞上单调递增，因为()10f -=，故()()110g g -==，由()0f x >可得3()0x g x >，所以0()0x g x >⎧⎨>⎩或0()0x g x <⎧⎨<⎩，所以001x x >⎧⎨<<⎩或01x x <⎧⎨<-⎩. 解可得，1x <-或01x <<. 故答案为：()(),10,1-∞-⋃.21．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））已知1240x x a ++⋅>对一切(],1x ∞∈-上恒成立，则实数a 的取值范围是______．【答案】3,4∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭【解析】1240xxa ++⋅>可化为212224xx x xa --+>-=--，令2x t -=，由(],1x ∈-∞，得1,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，则2a t t >--，2213()24t t t --=-++在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上递减，当12t =时2t t --取得最大值为34-，所以34a >-．故答案为3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．三、解答题22．（2020·云南昆明一中高三月考（文））已知函数()xf x e ax =-，()1lng x x x =+.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若当0x >时，方程()()f x g x =有实数解，求实数a 的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）[e 1,)-+∞.【解析】【分析】（1）先对函数求导，分0a ≤和0a >两种情况讨论，可求解函数的单调性；（2）由已知得e 1ln x a x x x=--有实数解，构造函数，利用函数的单调性及函数的性质求得a 的范围.【详解】解：（1）函数()f x 的定义域为R ，()e '=-xf x a当0a ≤时，()0f x '>，则()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；当0a >时，令()xf x e a '=-，得ln x a =，则()f x 在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增.（2）由()()f x g x =，得e ln 1xax x x =--，因为0x >，所以e 1ln x a x x x=--.令e 1()ln x h x x x x=--，0x >，则()22e 1(1)e e 1()x x x x x x h x x x----+'==. 令()0h x '=，得1x =.当(0,1)x ∈时，()0h x '<，()h x 为减函数；当(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 为增函数.所以min ()(1)e 1h x h ==-.又因为e 1e 1()ln ln x x h x x x x x x -=--=-，因为0x >，e 1x>，所以e 10x x->，所以当0x →时，()h x →+∞. 所以函数()h x 的值域为[e 1,)-+∞，因此实数a 的取值范围为[e 1,)-+∞.23．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））已知函数()()ln f x x x a =-，()12x g x e =-（e为自然对数的底）.（1）讨论()f x 的极值；（2）当1a =时，若存在(]00,x m ∈，使得()()00f x g m -≤，求实数m 取值范围.【答案】（1）1a f e -=-极小值，()f x 无极大值；（2）0ln3m <≤.【解析】【分析】（1）对函数进行求导得()ln 1f x x a '=-+，令()10a f x x e -'=⇒=，再列表，从而求得函数的极值；（2）利用导数研究函数的最值，对m 分两种情况讨论，即01m <≤和1m ，即可得答案；【详解】（1）依题()ln 1f x x a '=-+，()10a f x x e-'=⇒=，x ，()f x '，()f x 的变化如下：列表分析可知，()11a a f f ee --==-极小值，()f x 无极大值. （2）对于()()ln 1f x x x =-，可得()ln f x x '=.因此，当()0,1x ∈时，()f x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()f x 单调递增. （1）当01m <≤时，()()()min ln 1ln f x f m m m m m m ==-=-. 依题意可知()()()02ln 210mf mg m m m e m -≤⇒+--≤.构造函数：()21mm e m ϕ=--（01m <≤），则有()2mm e ϕ'=-.由此可得；当()0,ln 2m ∈时，()0m ϕ'<；当()ln 2,1m ∈时，()0m ϕ'>，即()m ϕ在()0,ln 2m ∈时单调递减，()ln 2,1m ∈单调递增. 注意到：()00ϕ=，()13e ϕ=-，因此()0m ϕ<.同时注意到2ln 0m m ≤，故有()2ln 210mm m e m +--≤. （2）当1m 时，()()min 11f x f ==-.依据题意可知()()101031ln 322m me f m g m e m ⎛⎫-≤⇒---≤⇒≤⇒<≤ ⎪⎝⎭.综上（1）、（2）所述，所求实数m 取值范围为0ln3m <≤.24．（2020·陕西西安·月考（文））已知函数()ln 1,f x x ax a R =-+∈. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若不等式()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围；（3）当*n N ∈时，求证：111111ln(1)123123+++<+<+++++n n n. 【答案】（1）答案见解析；（2）1a ≥；（3）证明见解析. 【解析】【分析】（1）对函数求导，然后分0a ≤，0a >两种情况，由导函数的正负可求得其单调区；（2）利用导数求()f x 的最大值小于零即可，或()ln 10f x x ax =-+≤恒成立，等价于ln 1x a x+≥，0x >，然后构造函数ln 1()x g x x+=，利用导数求其最大值即可；（3）由(2)知，当1a =时，()0f x ≤恒成立，即ln 1≤-x x (仅当1x =时等号成立)．当*1,k x k N k+=∈时，有11lnk k k +<，然后利用累加法可得111ln(1)123n n +<+++…+，当*,1kx k N k =∈+时，有11ln 1k k k +>+，再利用累加法可得1111ln(1)2341n n +>+++…+，从而可证得结论【详解】（1）()ln 1,0f x x ax x =-+>，1()f x a x'=- ．当0a ≤时，()0f x '≥，所以()f x 在(0,)+∞上递增；．当0a >时，令()0f x '=，则1x a=，当10x a <<时，()0f x '>；当1x a>时，()0f x '<，所以()f x 在区间1(0,)a上递增，在1(,)a+∞上递减.（2）方法1：构造函数()ln 1,0f x x ax x =-+>，1()f x a x'=- ．当0a ≤时，由（1）()f x 在(0,)+∞上递增，又(1)10f a =->，不符合题意，舍；．当0a >时，由（1）知()f x 在区间1(0,)a 上递增，在1(,)a+∞上递减；所以max 11()()ln()0f x f a a==≤，解得：1a ≥. 综上：1a ≥ 方法2：分离参数()ln 10f x x ax =-+≤恒成立，等价于ln 1x a x+≥，0x >设ln 1()x g x x+=，0x >，2ln ()xg x x -'=，令()0g x '=，1x =，则当01x <<时，()0g x '>；当1x >时，()0g x '<，所以()g x 在区间(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减；所以max ()(1)1g x g ==，所以：1a ≥（3）由(2)知，当1a =时，()0f x ≤恒成立，即ln 1≤-x x (仅当1x =时等号成立)．当*1,k x k N k +=∈时，11ln 1k k k k ++<-，即11ln k k k +<；所以，2ln11<，31ln 22<，41ln 33<，……，11ln n n n +<；上述不等式相加可得：2341111lnln ln ln112323n n n+++++<+++…+，即：2341111ln112323n n n +⋅⋅<+++…+，即：111ln(1)123n n+<+++…+，*n N ∈；．当*,1k x k N k =∈+时，ln 111k k k k <-++，即111ln 1k k k -+⎛⎫<- ⎪+⎝⎭，即11ln 1k k k +>+ 所以，21ln12>，31ln 23>，41ln 34>，……，11ln 1n n n +>+；上述不等式相加可得：23411111lnln ln ln1232341n n n +++++>+++…+，即：23411111ln1232341n n n +⋅⋅>+++…+，即：1111ln(1)2341n n +>+++…+，*n N ∈；综上：当*n N ∈时，111111ln(1)123123+++<+<+++++n n n.25．（2020·广西南宁二中月考（文））已知函数3211()(1)132f x ax a x x =-+++（1a ≥）. （I ）若3a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（II ）若()f x 在R 上无极值点，求a 的值；（III ）当(0,2)x ∈时，讨论函数()f x 的零点个数，并说明理由.【答案】（1）1y =；（2）19a ≤<时函数()f x 在(0,2)上无零点；当9a =时，函数()f x 在(0,2)上有一个零点；当9a >时，函数()f x 在(0,2)上有两个零点. 【解析】（I ）当3a =时，()3221f x x x x =-++，()2'341f x x x =-+，()'10f =，()11f =，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为1y =.（II ）()()2'11f x ax a x =-++，1a >，依题意有()'0f x ≥，即0∆≤，()2140a a +-≤，解得1a =.(III)（1）1a =时，函数()f x 在R 上恒为增函数且()01f =，函数()f x 在()0,2上无零点. （2）1a >时：当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()'0f x >，函数()f x 为增函数；当1,1x a ⎛⎫∈⎪⎝⎭，()'0f x <，函数()f x 为减函数；当()1,2x ∈，()'0f x >，函数()f x 为增函数. 由于()22103f a =+>，此时只需判定()3162a f =-+的符号：当19a <<时，函数()f x 在()0,2上无零点；当9a =时，函数()f x 在()0,2上有一个零点；当9a >时，函数()f x 在()0,2上有两个零点. 综上，19a ≤<时函数()f x 在()0,2上无零点；当9a =时，函数()f x 在()0,2上有一个零点；当9a >时，函数()f x 在()0,2上有两个零点.26．（2020·四川其他（文））已知曲线()(3)(2ln )xf x x e a x x =-+-（其中e 为自然对数的底数）在1x =处切线方程为(1) y e x b =-+. （Ⅰ）求a ，b 值；（Ⅱ）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()0215e f x --<<-. 【答案】（1）1a =，2b e =--；（2）证明见详解【解析】(1) ()f x 在1x =处切线方程为(1)y e x b =-+，而2()(2)(1)xf x x e a x'=-+-∴(1)1f e a e '=-+=-，即1a =而(1)21f e =--，故切点为(1,21)e -- ∴121e b e -+=--，即2b e =-- 故有：1a =，2b e =--(2)由(1)知：()(3)2ln x f x x e x x =-+-且定义域(0,)x ∈+∞∴(2)2(1)(2)()x x x x e x xe x f x x x--+--'==，若()(2)(1)xg x x xe =-- 令()1x h x xe =-，即()(1)x h x x e '=+在(0,)x ∈+∞有()0h x '>恒成立∴()h x 单调增，又(0)10h =-<，(1)10h e =->：即()h x 的零点1x 在(0,1)内 ∴1(0,)x 上()0h x <，1(,)x +∞上()0h x > 故在()g x 中1(0,1)x ∈，(0,)x ∈+∞上有当10x x <<时，()0>g x ，即()0f x '>，()f x 单调增当12x x <<时，()0<g x ，即()0f x '<，()f x 单调减当2x >时，()0>g x ，即()0f x '>，()f x 单调增 ∴()f x 存在唯一的极大值点0x =1(0,1)x ∈又有01()()(1)21f x f x f e =>=--而001xx e =，000000003()32ln 13x x f x x e e x x x x =-+-=--且0(0,1)x ∈ ∴0()5f x <-(利用均值不等式，但等号不成立，因为0x 无法取1)综上，得证：021()5e f x --<<-27．（2020·河南洛阳·高三月考（文））已知函数()()2122xf x x e x x =-+-. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若不等式()()21442a af x x a x ⎛⎫≥+-++⎪⎝⎭对任意()2,x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）单调递减区间为(),1-∞，单调递增区间为()1,+∞；（2）31,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【解析】（1）依题意()()()()()1111xx f x ex x x e '=-+-=-+，当(),1x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以()f x 的单调递减区间为(),1-∞，单调递增区间为()1,+∞.（2）当2x >时，()()21442a af x x a x ⎛⎫≥+-++⎪⎝⎭恒成立，即()()222e 14422xa a a x x ax x a x ⎛⎫-+-≥+-++ ⎪⎝⎭，即()()222e 442x a x x x x --+=-≥，即2e xx a -≥恒成立，即max 2e x x a -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭.令()()22e x x h x x -=>，则()()123e exx x x h x ---'==，易知()h x 在区间()2,3内单调递增，在区间()3,+∞内单调递减，所以()()3max 13e h x h ==，所以31e a ≥. 所以实数a 的取值范围是31,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 28．（2020·广东天河·华南师大附中高三月考（文））设2()g x lnx x x =+-.（1）求()g x 的单调区间；（2）当0a >时，2()0x xe a x a g x --≥恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞；（2）(]0e ，. 【解析】（1）函数的定义域为()0,+∞，()()()211112x x g x x x x-+-=+-='，令()0g x '>即()()2110x x +-<，解得112x -<<，当()0,1x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，当()1,x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减，故()g x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞. （2）依题意得()222()ln ln x x x xe a x a g x xe a x a x ax ax xe a x ax --=--+-=--设()()ln 0xh x xe a x ax x =--∈∞，，+，则()()()()+111xx a x a h x x e x e x x ⎛⎫=+-=+- ⎝'⎪⎭， 0a >，∴设()0h x '=的根为0x ，即有00xae x =，可得00x lna lnx =-，当()00,x x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，∴()()()00000000min 0ln ln xah x h x x e a x ax x a x a ax x ==--=+--⋅ln 0a a a =-≥解得a e ≤，∴实数a 的取值范围是(]0e ，. 29．（2020·湖北宜昌·高三期末（文））已知函数22()ln f x x a x ax =--．（1）当1a =时，求()f x 的单调区间；（2）若对于定义域内任意的x ，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；（3）记()()g x f x a x =+，若()g x 在区间1[,]e e内有两个零点，求a 的取值范围.【答案】(1)在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递减；(2)342,1a e ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦；(3)[,]a e e ∈-⋃.【解析】(1)()f x 的定义域为(0,)+∞，1(21)(1)()21x x f x x x x+-'=--= 令()0f x '>，得1x >；令()0f x '<，得01x <<，所以()f x 的单调减区间(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞.(2) ()f x 的定义域为(0,)+∞，2222(2)()()2a x ax a x a x a f x x a x x x--+-'=--==, 当0a =时，2()0f x x =≥恒成立；当0a >时，(0,)x a ∈时，()0f x '<；(,)x a ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(0,)a 上单调递减，(,)a +∞上单调递增，所以2min ()()ln 0f x f a a a ==-≥，解得01a <≤；当0a <时，()f x 在(0,)2a -上单调递减，(,)2a-+∞上单调递增，所以222min()()ln()02422a a a af x f a =-=+--≥，解得3420-≤<e a ；综上，a 的取值范围34[2,1]e -. (3)法一：显然，1x =不是()g x 的零点，所以1x ≠由()0g x =，得22ln x a x =，令2()ln x h x x=，2(2ln 1)()(ln )x x h x x '-=，令()0h x '=得12x e =，当121[,1)(1,]x e e∈时，()0f x '<；当12(,]e x e ∈时，()0f x '>，所以()h x 在1[,1)e和12(1,]e 单调递减，12(,]e e 单调递增，又1[,1)x e ∈时，()0h x <，22ln x a x=不成立，所以只需12222()2()a h e e a h e e⎧⎪>=⎨⎪≤=⎩，故a 的取值范围[,]e e -⋃．法二：22222()ln ,()x a g x x a x g x x-'=-=，当0a =时，不合题意，舍去；当0a >时，()g x在上单调递减，)+∞上单调递增，要使()g x 在区间1[,]e e内有两个零点，则需满足1(,)01()0()0e e g g e g e ⎪<⎪⎨⎪⎪≥⎪⎪≥⎩，即222222ln 0211ln 0ln 0a e a a a e e e a e ⎧<<⎪⎪⎪-<⎪⎨⎪⎪-≥⎪⎪-≥⎩，解得]a e ∈；当0a <时，()g x在(0,上单调递减，()+∞上单调递增，要使()g x 在区间1[,]e e内有两个零点，则需满足1(,)(01()0()0e e g g e g e ⎧⎪⎪⎪<⎪⎨⎪⎪≥⎪⎪≥⎩，即222222ln(0211ln 0ln 0a a a a e e e a e ⎧<<⎪⎪⎪-<⎪⎨⎪⎪-≥⎪⎪-≥⎩，解得[,a e ∈-；综上，a的取值范围[,]e e -⋃.30．（2020·吉林高三其他（文））已知函数()32ln f x ax bx x =--．（1）当0b =时，讨论()f x 的单调性；（2）若1a b ==，且()f x m ≥恒成立，求m 的取值范围．【答案】（1）分类讨论，答案见解析；（2）(],0-∞．【解析】（1）当0b =时，函数()3ln f x ax x =-，可得()f x 的定义域为()0,∞+，则()321313ax f x ax x x-'=-=，①当0a ≤时，()0f x '<，()f x 在()0,∞+上单调递减．②当0a >时，由()0f x '>，得x >()f x 在⎫+∞⎪⎭上单调递增；由()0f x '<，得0x <<，则()f x 在⎛ ⎝上单调递减．（2）由1a b ==，知()32ln f x x x x =--，可得()322132132x x f x x x x x--'=--=，又由()()()()()32322223213313111131x x x x x xx x x x x x --=-+-=-+-+=-++，当01x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减；当1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以()()min 10f x f ==，则0m ≤，故m 的取值范围为(],0-∞．。

有关函数的极值与导数的测试题及答案

有关函数的极值与导数的测试题及答案一、选择题1．已知函数fx在点x0处连续，下列命题中，正确的是A．导数为零的点一定是极值点B．如果在点x0附近的左侧fx0，右侧fx0，那么fx0是极小值C．如果在点x0附近的左侧fx0，右侧fx0，那么fx0是极大值D．如果在点x0附近的左侧fx0，右侧fx0，那么fx0是极大值[答案] C[解析] 导数为0的点不一定是极值点，例如fx＝x3，fx＝3x2，f0＝0，但x＝0不是fx的极值点，故A错；由极值的定义可知C正确，故应选C.2．函数y＝1＋3x－x3有A．极小值－2，极大值2B．极小值－2，极大值3C．极小值－1，极大值1D．极小值－1，极大值3[答案] D[解析] y＝3－3x2＝31－x1＋x令y＝0，解得x1＝－1，x2＝1当x－1时，y0，函数y＝1＋3x－x3是减函数，当－11时，y0，函数y＝1＋3x－x3是增函数，当x1时，y0，函数y＝1＋3x－x3是减函数，当x＝－1时，函数有极小值，y极小＝－1.当x＝1时，函数有极大值，y极大＝3.3．设x0为fx的极值点，则下列说法正确的是A．必有fx0＝0B．fx0不存在C．fx0＝0或fx0不存在D．fx0存在但可能不为0[答案] C[解析] 如：y＝|x|，在x＝0时取得极小值，但f0不存在．4．对于可导函数，有一点两侧的导数值异号是这一点为极值的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 只有这一点导数值为0，且两侧导数值异号才是充要条件．5．对于函数fx＝x3－3x2，给出命题：①fx是增函数，无极值；②fx是减函数，无极值；③fx的’递增区间为－，0，2，＋，递减区间为0,2；④f0＝0是极大值，f2＝－4是极小值．其中正确的命题有A．1个 B．2个C．3个 D．4个[答案] B[解析] fx＝3x2－6x＝3xx－2，令fx0，得x2或x0，令fx0，得02，①②错误． 6．函数fx＝x＋1x的极值情况是A．当x＝1时，极小值为2，但无极大值B．当x＝－1时，极大值为－2，但无极小值C．当x＝－1时，极小值为－2；当x＝1时，极大值为2D．当x＝－1时，极大值为－2；当x＝1时，极小值为2[答案] D[解析] fx＝1－1x2，令fx＝0，得x＝1，函数fx在区间－，－1和1，＋上单调递增，在－1,0和0,1上单调递减，当x＝－1时，取极大值－2，当x＝1时，取极小值2.7．函数fx的定义域为开区间a，b，导函数fx在a，b内的图象如图所示，则函数fx在开区间a，b内有极小值点A．1个 B．2个C．3个 D．4个[答案] A[解析] 由fx的图象可知，函数fx在区间a，b内，先增，再减，再增，最后再减，故函数fx在区间a，b内只有一个极小值点．8．已知函数y＝x－ln1＋x2，则函数y的极值情况是A．有极小值B．有极大值C．既有极大值又有极小值D．无极值[答案] D[解析] ∵y＝1－11＋x2x2＋1＝1－2xx2＋1＝x－12x2＋1令y＝0得x＝1，当x1时，y0，当x1时，y0，函数无极值，故应选D.9．已知函数fx＝x3－px2－qx的图象与x轴切于1,0点，则函数fx的极值是 A．极大值为427，极小值为0B．极大值为0，极小值为427C．极大值为0，极小值为－427D．极大值为－427，极小值为0[答案] A[解析] 由题意得，f1＝0，p＋q＝1①f1＝0，2p＋q＝3②由①②得p＝2，q＝－1.fx＝x3－2x2＋x，fx＝3x2－4x＋1＝3x－1x－1，令fx＝0，得x＝13或x＝1，极大值f13＝427，极小值f1＝0.10．下列函数中，x＝0是极值点的是A．y＝－x3 B．y＝cos2xC．y＝tanx－x D．y＝1x[答案] B[解析] y＝cos2x＝1＋cos2x2，y＝－sin2x，x＝0是y＝0的根且在x＝0附近，y左正右负，x＝0是函数的极大值点．二、填空题11．函数y＝2xx2＋1的极大值为______，极小值为______．[答案] 1－1[解析] y＝21＋x1－xx2＋12，令y0得－11，令y0得x1或x－1，当x＝－1时，取极小值－1，当x＝1时，取极大值1.12．函数y＝x3－6x＋a的极大值为____________，极小值为____________．[答案] a＋42 a－42[解析] y＝3x2－6＝3x＋2x－2，令y0，得x2或x－2，令y0，得－22，当x＝－2时取极大值a＋42，当x＝2时取极小值a－42.13．已知函数y＝x3＋ax2＋bx＋27在x＝－1处有极大值，在x＝3处有极小值，则a ＝______，b＝________.[答案] －3－9[解析] y＝3x2＋2ax＋b，方程y＝0有根－1及3，由韦达定理应有14．已知函数fx＝x3－3x的图象与直线y＝a有相异三个公共点，则a的取值范围是________．[答案] －2,2[解析] 令fx＝3x2－3＝0得x＝1，可得极大值为f－1＝2，极小值为f1＝－2，y＝fx的大致图象如图观察图象得－22时恰有三个不同的公共点．三、解答题15．已知函数fx＝x3－3x2－9x＋11.1写出函数fx的递减区间；2讨论函数fx的极大值或极小值，如有试写出极值．[解析] fx＝3x2－6x－9＝3x＋1x－3，令fx＝0，得x1＝－1，x2＝3.x变化时，fx的符号变化情况及fx的增减性如下表所示：x －，－1 －1 －1,3 3 3，＋fx ＋ 0 － 0 ＋fx 增极大值f－1 减极小值f3 增1由表可得函数的递减区间为－1,3；2由表可得，当x＝－1时，函数有极大值为f－1＝16；当x＝3时，函数有极小值为f3＝－16.16．设函数fx＝ax3＋bx2＋cx，在x＝1和x＝－1处有极值，且f1＝－1，求a、b、c的值，并求出相应的极值．[解析] fx＝3ax2＋2bx＋c.∵x＝1是函数的极值点，－1、1是方程fx＝0的根，即有又f1＝－1，则有a＋b＋c＝－1，此时函数的表达式为fx＝12x3－32x.fx＝32x2－32.令fx＝0，得x＝1.当x变化时，fx，fx变化情况如下表：x －，－1 －1 －1,1 1 1，＋fx ＋ 0 － 0 ＋fx ? 极大值1 ? 极小值－1 ?由上表可以看出，当x＝－1时，函数有极大值1；当x＝1时，函数有极小值－1.17．已知函数fx＝ax3＋bx2－3x在x＝1处取得极值．1讨论f1和f－1是函数fx的极大值还是极小值；2过点A0,16作曲线y＝fx的切线，求此切线方程．[解析] 1fx＝3ax2＋2bx－3，依题意，f1＝f－1＝0，即解得a＝1，b＝0.fx＝x3－3x，fx＝3x2－3＝3x－1x＋1．令fx＝0，得x1＝－1，x2＝1.若x－，－11，＋，则fx＞0，故fx在－，－1上是增函数，fx在1，＋上是增函数．若x－1,1，则fx＜0，故fx在－1,1上是减函数．f－1＝2是极大值；f1＝－2是极小值．2曲线方程为y＝x3－3x.点A0,16不在曲线上．设切点为Mx0，y0，则点M的坐标满足y0＝x30－3x0.∵fx0＝3x20－1，故切线的方程为y－y0＝3x20－1x－x0．注意到点A0,16在切线上，有16－x30－3x0＝3x20－10－x0．化简得x30＝－8，解得x0＝－2.切点为M－2，－2，切线方程为9x－y＋16＝0.18．2021北京文，18设函数fx＝a3x3＋bx2＋cx＋da0，且方程fx－9x＝0的两个根分别为1,4.1当a＝3且曲线y＝fx过原点时，求fx的解析式；2若fx在－，＋内无极值点，求a的取值范围．[解析] 本题考查了函数与导函数的综合应用．由fx＝a3x3＋bx2＋cx＋d得fx＝ax2＋2bx＋c∵fx－9x＝ax2＋2bx＋c－9x＝0的两根为1,4.1当a＝3时，由*式得，解得b＝－3，c＝12.又∵曲线y＝fx过原点，d＝0.故fx＝x3－3x2＋12x.2由于a0，所以“fx＝a3x3＋bx2＋cx＋d在－，＋内无极值点”等价于“fx＝ax2＋2bx＋c0在－，＋内恒成立”由*式得2b＝9－5a，c＝4a.又∵＝2b2－4ac＝9a－1a－9解得a[1,9]，即a的取值范围[1,9]．感谢您的阅读，祝您生活愉快。

高考数学一诊复习-函数与导数-含答案

第 1 页共 12一诊复习（3）：函数与导数一、单选题1．已知函数()()2223ln 9f x f x x x '=-+(()f x '是()f x 的导函数)，则()1f =( )A ．209-B ．119- C ．79 D ．1692．已知()()2222cos 1ln 4f x x x =-⋅，则函数()f x 的部分图像大致为( )A ．B ．C ．D ．3．设函数()f x 的定义域为D ，若对任意的12,x x D ∈，且122x x a +=，恒有()()122f x f x b +=，则称函数()f x 具有对称性，其中点(),a b 为函数()f x 的对称中心，研究函数()()11tan 1)1f x x x x =+++--的对称中心，则13540432022202220222022f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭( )A ．2022B ．4043C ．4044D ．80864．设()f x '为函数()f x 的导函数，已知()()2ln x f x xf x x '+=，()112f =，则下列结论正确的是( ) A ．()xf x 在()0,+∞单调递增 B ．()xf x 在()1,+∞单调递减C ．()xf x 在()0,+∞上有极大值12D ．()xf x 在()0,+∞上有极小值125．已知函数22414ax x y -+⎛⎫=⎪⎝⎭的值域为10,16⎛⎤ ⎥⎝⎦，若不等式()()log 4log 2x xa a t t ⋅<-在[]1,2x ∈上恒成立，则t 的取值范围是( )A ．2,25⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2,5⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．(),2-∞D ．()0,26．已知定义域为()0,+∞的单调递增函数()f x 满足：()0,x ∀∈+∞，有()()ln 1ff x x -=，则方程()242f x x x =-+-的解的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．07．若仅存在一条直线与函数()()ln 0f x a x a =>和()2g x x =的图像均相切，则实数a =( )A ．eB C ．2eD ．8．已知不等式()21x kx k e x +<+恰有两个正整数解，则实数k 的取值范围( )A ．23243k e e≤ 10．定义在()(),00,-∞+∞上的函数()f x ，对于定义域内任意的x ，y 都有()()1x f f x f y y ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，()34f =，且当1x >时，()1f x >，则下列结论正确的是( )A ．()11f =B ．()f x 是奇函数C ．()()39f f >D ．()f x 在()0,+∞上单调递增11．已知函数()f x 与()g x 的定义域均为R ，且()()123f x g x ++-=，()()11f x g x ---=，若()21g x -为偶函数，则下列一定正确的是( )A ．函数()g x 的图像关于直线12x =-对称 B ．()01g =C ．函数()f x 的图像关于点()1,2对称D ．()202312023k g k ==∑12．已知函数()2ln f x x ax x =-+(a ∈R )有两个不同的极值点，则下列说法正确的是( )A ．若3a =，则曲线()y f x =的切线斜率不小于3B ．函数()f x的单调递减区间为44a a ⎛-+ ⎪⎝⎭C ．实数a的取值范围为((),22,-∞-+∞D ．若函数()f x 的所有极值之和小于1ln82-，则实数a 的取值范围为()+∞ 三、填空题13．定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=，当[)0,1x ∈时()42x f x =-，则()4log 80f -=___．14．已知函数()()343,1log ,1a x a x f x x x ⎧-+<=⎨≥⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是__________．15．函数()()1e e 1xxf x x k =+⋅--，当0x >时，()0f x >恒成立，则整数k 的最大值为__________．16．已知不等式11ln e 0ax a x x x -+-≥在3211,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，则实数a 的最小值为___________．第 3 页共 1217．已知函数()()2e 11xf x x a x ⎡⎤=-++⋅⎣⎦，a R ∈．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若1a =-，对任意()12,0,x x ∈+∞，当12x x >时，不等式()()()212212e e x x f x f x m -<-恒成立，求实数m 的取值范围．第 4 页共 12 18．已知函数()ln f x x x x =-． (1)设曲线()y f x =在x e =处的切线为()y g x =，求证：()()f x g x ≥；(2)若关于x 的方程()f x a =有两个实数根1x ，2x ，求证：2112x x a e e-<++．第 1 页共 12页高2023届高三一诊复习题—函数与导数参考答案一、单选题1．【答案】D 【解析】'()2(3)9f x f x x '∴=-+，∴(3)2(3)33f f ''=-+(3)1f '⇒=， 22()2ln 9f x x x x ∴=-+，216(1)299f ∴=-=．2．【答案】A 【解析】()()()()22222cos 1ln 4cos 2ln 2f x x x x x =-⋅=⋅，令()20t x t =≠，则()2cos ln f t t t =⋅()0t ≠，所以()2cos ln f x x x =⋅()0x ≠，定义域关于原点对称，()()()()22cos ln cos ln f x x x x x f x -=-⋅-=⋅=，所以()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，排除C 、D又0x +→时，因为2cos 0,ln 0x x ><，所以()2cos ln 0f x x x =⋅<，所以排除选项B ，选项A 正确．3．【答案】C 【详解】令函数1()tan g t t t t =++，则()()()11tan g tan g t t t t t g t t t ⎛⎫-=--+-=-++=- ⎪⎝⎭，所以函数()g t 为奇函数，其图象关于原点对称，可得1()1tan(1)21f x x x x =-++-+-的图象关于(1,2)点中心对称，即当122x x +=，可得()()124f x f x +=，设13540432022202220222022M f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，40434041403912022202220222022M f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1404334041404312202220222022202220222022M f f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦202248088=⨯= 所以135404340442022202220222022f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．4．【答案】D 【解析】由2()()ln x f x xf x x '+=得0x >，则ln ()()xxf x f x x'+= 即ln [()]x xf x x '=，设()()g x xf x =，ln ()01xg x x x'=>⇒>，()001g x x '<⇒<< 即()xf x 在(1,)+∞单调递增，在(0,1)单调递减，当1x =时，函数()()g x xf x =取得极小值()()1112g f == 5．【答案】A 【详解】由题意，函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为10,16⎛⎤⎥⎝⎦，可得函数y 的最大值为116，①当0a =时，函数2414x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭显然不存在最大值；②当0a >时，函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭在1,x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，当1x a =时，函数y 有最大值，即12411416a a-+⎛⎫=⎪⎝⎭，解得12a =；第 2 页共 12页③当0a <时，22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭在1,x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，此时函数y 无最大值，所以()()1122log 4log 2x x t t ⋅<-在[]1,2x ∈上恒成立，即402042x x x x t t t t⎧⋅>⎪->⎨⎪⋅>-⎩在[]1,2x ∈上恒成立，由40x t ⋅>在[]1,2x ∈上恒成立，可得0t >；由20x t ->在[]1,2x ∈上恒成立，即2x t <在[]1,2上恒成立，可得2t <；由42xxt t ⋅>-在[]1,2x ∈上恒成立，即2114122x x x xt >=++在[]1,2上恒成立，令()122x x f x =+，可得函数()f x 在[]1,2上单调递增，所以()()min512f x f ==，即25t >，综上可得225t <<，即实数t 的取值范围是2,25⎛⎫ ⎪⎝⎭． 6．【答案】A 【详解】因定义域为()0,∞+的单调递增函数()f x 满足：()0,x ∀∈+∞，有()()ln 1f f x x -=，则存在唯一正实数t 使得()1f t =，且()ln f x x t -=，即()ln f x t x =+，于是得()ln 1f t t t =+=，而函数ln t t +在(0,)+∞上单调递增，且当1t =时，ln 1t t +=，因此1t =，()1ln f x x =+，方程()222421ln 42ln 43f x x x x x x x x x =-+-⇔+=-+-⇔=-+-，于是得方程()242f x x x =-+-的解的个数是函数ln y x =与243y x x =-+-的图象公共点个数，在同一坐标系内作出函数ln y x =与243y x x =-+-的图象如图，观察图象知，函数ln y x =与243y x x =-+-的图象有3个公共点，所以方程()242f x x x =-+-的解的个数为3．7．【答案】C 【解析】设直线与2()g x x =的切点为()211,x x ，由()2g x x '=可知，该直线的斜率为12x ，即该直线的方程为()21112y x x x x -=-，即为2112y x x x =-．设直线与()ln f x a x =的切点为()22,ln x a x ，由()a f x x'=可知，该直线的斜率为2a x ，即该直线的方程为()222ln ay a x x x x -=-，。

函数与导数习题及答案

函数与导数一、选择题1．已知f(x)＝xln x ，若00',2)(x x f 则=等于( )A ．2eB ．eC.ln 22D ．ln 22、设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．33．若函数c bx ax x f ++=24)(满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于( )A ．－1B ．－2C ．2D ．04．设函数f (x )＝ax 3＋2，若f ′(－1)＝3，则a 等于( ) A ．－1 B.12 C ．1 D.135．设f (x )为可导函数，且lim h →∞ f (3)－f (3＋h )2h＝5，则f ′(3)等于( )A ．5B ．10C ．－5D ．－106．曲线y ＝4x －x 3在点(－1，－3)处的切线方程是( ) A ．y ＝7x ＋4 B ．y ＝7x ＋2 C ．y ＝x －4D ．y ＝x －2 7．在曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4的点是( ) A ．(0,0) B ．(2,4) C ．(14，116)D ．(12，14)8．设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点(π2，1)处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a 等于( ) A ．－1 B.12 C ．－2D ．29．已知f (x )＝12x 2－cos x ，]1,1[-∈x ，则导函数f ′(x )是( )A ．仅有最小值的奇函数B ．既有最大值，又有最小值的偶函数C ．仅有最大值的偶函数D ．既有最大值，又有最小值的奇函数10．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为－12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1 D.1211．设函数f (x )＝－2x1＋x2，则f (x )( ) A ．在(－∞，＋∞)内单调递增 B ．在(－∞，＋∞)内单调递减C ．在(－1,1)内单调递减，其余区间单调递增D ．在(－1,1)内单调递增，其余区间单调递减12.如图所示是函数f (x )的导函数f ′(x )的图象，则下列判断中正确的是( )A ．函数f(x)在区间(－3,0)上是减函数B ．函数f (x )在区间(－3,2)上是减函数C ．函数f (x )在区间(0,2)上是减函数D ．函数f (x )在区间(－3,2)上是单调函数13．已知函数f (x )＝mx 3＋3(m －1)x 2－m 2＋1(m >0)的单调递减区间是(0,4)，则m 等于( )A ．3 B.13 C ．2 D.1214．函数f (x )＝12x 2－ln x 的单调递减区间是( )A ．(－1,1]B ．(0,1]C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞) 15．若f (x )是定义在R 上的可导函数，且对任意x ∈R ，满足f (x )＋f ′(x )>0，则对任意实数a ，b ( )A ．a >b ⇔e a f (b )>e b f (a )B ．a >b ⇔e a f (b )<e b f (a )C ．a >b ⇔e a f (a )<e b f (b )D ．a >b ⇔e a f (a )>e b f (b )16．函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( ) A ．(－1,1) B ．(－1，＋∞) C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)17.已知函数f (x )的定义域为(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )上的图象如图所示，则函数f (x )在(a ，b )上的极大值点的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．418．若曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，则a ＋b 等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．219．已知定义在R 上的奇函数f (x )，设其导函数为f ′(x )，当x ∈(－∞，0]时，恒有xf ′(x )<f (－x )，令F (x )＝xf (x )，则满足F (3)>F (2x －1)的实数x 的取值范围是( )A ．(－1,2)B ．(－1，12)C ．(12，2)D ．(－2,1)20．函数f (x )＝e x cos x 的图象在点(0，f (0))处的切线的倾斜角α为( ) A.π4 B ．0 C.3π4D ．1 21．已知点A (1,2)在函数f (x )＝ax 3的图象上，则过点A 的曲线C ：y ＝f (x )的切线方程是( ) A ．6x －y －4＝0 B ．x －4y ＋7＝0C ．6x －y －4＝0或x －4y ＋7＝0D ．6x －y －4＝0或3x －2y ＋1＝022．若函数f (x )＝13x 3＋x 2－23在区间(a ，a ＋5)内存在最小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－5,0) B ．(－5,0) C ．[－3,0)D ．(－3,0)23．若函数y ＝x 3－3ax ＋a 在(1,2)内有极小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．1<a <2 B ．1<a <4 C ．2<a <4D ．a >4或a <124．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋x ＋2 (a >0)的极大值点和极小值点都在区间(－1,1)内，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,2] B ．(0,2) C ．[3，2)D ．(3，2)25．已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则a 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－1)26．当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－5，－3] B ．[－6，－98]C ．[－6，－2]D ．[－4，－3]27．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)等于( ) A ．0 B ．－4 C ．－2 D ．228．曲线y ＝ln x 在x ＝3处的切线的倾斜角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π229．曲线f (x )＝x 3＋x －2在点P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1，则P 0点的坐标为( )A ．(1，0)B ．(2，8)C ．(2，8)或(－1，－4)D ．(1，0)或(－1，－4)30．函数f (x )＝12x 2－ln x 的最小值为( )A.12B ．1C ．－2D ．3 31．若曲线y ＝ax 2－ln x 在点(1，a )处的切线平行于x 轴，则a ＝( )A ．1 B.12C ．0D ．－132．函数f (x )＝x cos x 的导函数f ′(x )在区间[－π，π]上的图像大致是( )A B C D33．定义域为R 的函数f (x )，满足f (0)＝1，f ′(x )＜f (x )＋1，则不等式f (x )＋1＜2e x 的解集为( )A ．{x ∈R |x >1}B ．{x ∈R |0＜x ＜1}C ．{x ∈R |x ＜0}D ．{x ∈R |x ＞0}34．已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x ，若f (x )在区间[－1，1]上是减函数，则a 的取值范围是( )A ．0＜a ＜34 B.12＜a ＜34 C ．a ≥34 D ．0＜a ＜1235．设1＜x ＜2，则 ln x x ，⎝⎛⎭⎪⎫ln x x 2，ln x 2x 2的大小关系是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x 2＜ln x x ＜ln x2x 2B.ln x x ＜⎝⎛⎭⎪⎫ln x x 2＜ln x2x 2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x 2＜ln x 2x 2＜ln xxD.ln x 2x 2＜⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x 2＜ln xx36．函数214y x x=+的单调增区间为（） A ．(0,)+∞B ．1(,)2+∞C ．(,1)-∞-D ．1(,)2-∞-37．如果函数()y f x =的图象如左下图，那么导函数'()y f x =的图象可能是（）38．已知直线y ＝kx 是y ＝ln x 的切线，则k 的值为（） A ．eB ．e -C ．1eD ．1e-39．函数f （x ）＝ax 3－x 在R 上为减函数，则（） A ．0a ≤B ．1a <C ．0a <D ．1a ≤40．函数()f x 的定义域为R ，(1)2f -=，对任意x R ∈，'()2f x >，则()24f x x >+的解集为（）A ．(1,1)-B ．(1,)-+∞C ．(,1)-∞-D ．(,)-∞+∞41．已知函数32()(6)1f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是（） A ．(1,2)- B ．(,3)(6,)-∞-+∞ C ．(3,6)-D ．(,1)(2,)-∞-+∞42．函数2ln xy x=的极小值为（）A ．24e B ．0 C ．2eD ．143．函数,[0,4]x y xe x -=∈的最小值为（） A ．0B ．1eC ．44e D ．22e 44．设直线x t =与函数2()f x x =，()ln g x x =的图象分别交于点,M N ，则当||MN 达到最小时t 的值为（）A ．1B ．12C D 45．设函数2()(,,)f x ax bx c a b c =++∈R ．若1x =-为函数()x f x e 的一个极值点，则下列图象不可能为()y f x =的图象是（）二、填空题1．曲线y ＝ln x －1在x ＝1处的切线方程为____________．2．已知函数3()3f x x ax a =--在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围是___________．3．若曲线5()l n f x a x x =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．4．已知直线1y x =+与曲线ln()y x a =+相切，则a 的值为________．5．已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为________．6．设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y＝2x，则a＝________．7．设函数f(x)＝(x2＋2x－2)e x(x∈R)，则f(x)的单调递减区间是________．) 8．已知曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________．9．设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是____________．10．设函数f(x)＝ax＋1x＋b(a，b∈Z)，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝3.则函数f(x)的解析式为____________．11．已知函数f(x)＝ln x－f′(－1)x2＋3x－4，则f′(1)＝________.12．已知曲线y＝13x3上一点P(2，83)，则过点P的切线方程为____________________________________．13．已知定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝x sin x＋cos x，则f(x)的单调递增区间是________________．14．已知函数f(x)＝x2＋3x－2ln x，则函数f(x)的单调递减区间为__________．15．已知函数f(x)＝12x2－2ax－a ln x在(1,2)上单调递减，则a的取值范围是________．16．设函数y＝f(x)，x∈R的导函数为f′(x)，且f(x)＝f(－x)，f′(x)<f(x)．则下列三个数：e f(2)，f(3)，e2f(－1)从小到大依次排列为________________．17．曲线y＝x(x＋1)(2－x)有两条平行于直线y＝x的切线，则两切线之间的距离是________．18．已知函数f(x)＝x ln k－k ln x(k>1)的图象不经过第四象限，则函数g(x)＝f(x)＋k的值域为________．19．若函数f(x)＝ln x＋ax存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是________________．20．函数f(x)＝ax－cos x，x∈[π4，π3]，若∀x1，x2∈[π4，π3]，x1≠x2，f(x2)－f(x1)x2－x1<0，则实数a的取值范围是________．21．若f (x )＝13x 3－ax 2＋x 在R 上不是单调函数，则a 的取值范围是________________．22．已知函数f (x )＝e x1＋ax 2(a >0)，若f (x )为R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是________．23．函数f (x )＝2ln x ＋x 2在点x ＝1处的切线方程是________．24．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，若f (1)＝0，f ′(1)＝0，但x ＝1不是函数f (x )的极值点，则abc 的值为________． 25．已知函数ln ln ()a xf x x+=在[1,)+∞上为减函数，则实数a 的取值范围为___________．三、解答题1．已知函数2()(2),(,)x f x x ax e x a R =++∈．（Ⅰ）当0a =时，求函数()f x 的图像在点(1,(1))A f 处的切线方程；（Ⅱ）若()f x 在R 上单调，求a 的取值范围；（Ⅲ）当52a =-时，求函数()f x 的极小值．2．已知函数f (x )＝ln 2x －kx 在定义域内单调递减，求实数k 的取值范围．3．已知函数f (x )＝(x ＋1)2(x －2)，当x ∈[a ，a ＋2]时，f (x )的最大值为0，求实数a 的取值．4．已知x＝0是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx的一个极值点，f(x)的图像经过点A(3，0)．设f(x)在其图像上不同两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)处的切线分别为l1，l2.当l1∥l2时，求证x1＋x2为定值．5．已知函数f(x)＝ax2－2x＋ln x(a∈R)．若函数f(x)有两个极值点，求a的取值范围，并说明f(x)的极小值小于－3 2.6．设三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a<b<c)，在x＝1处取得极值，其图像在x ＝m处的切线的斜率为－3a.(1)求证：0≤ba<1；(2)若函数f(x)在区间[s，t]上单调递增，求|s－t|的取值范围．7．已知函数f(x)＝e x2－1e x－ax(a∈R)．(1)当a＝32时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在[－1,1]上为单调函数，求实数a的取值范围．8．若x0是函数y＝f(x)的极值点，同时也是其导函数y＝f′(x)的极值点，则称x0是函数y＝f(x)的“致点”．(1)已知a>0，求函数f(x)＝(x2＋ax＋1)e x的极值和单调区间；(2)函数f(x)＝(x2＋ax＋1)e x是否有“致点”？若有，求出“致点”；若没有，试说明理由．9．设函数f(x)＝(x－1)e x－kx2.(1)当k＝1时，求函数f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x∈[0，＋∞)上是增函数，求实数k的取值范围．10．已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c在x＝2处取得极值c－16.(1)求a，b的值；(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3,3]上的最小值．11．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx的图象在点(1，f(1))处的切线方程为6x－2y－1＝0，f′(x)为f(x)的导函数，g(x)＝a e x(a，b，c∈R，e为自然对数的底数)．(1)求b，c的值；(2)若∃x0∈(0,2]，使g(x0)＝f′(x0)成立，求a的取值范围．12．(2015·南平质检)已知函数f (x )＝sin x ，g (x )＝mx －x 36(m 为实数)． (1)求曲线y ＝f (x )在点P (π4，f (π4))处的切线方程； (2)求函数g (x )的单调递减区间；(3)若m ＝1，证明：当x >0时，f (x )<g (x )＋x 36.13．(2015·北京)设函数f (x )＝x 22－k ln x ，k >0. (1)求f (x )的单调区间和极值；(2)证明：若f (x )存在零点，则f (x )在区间(1， e ]上仅有一个零点．14．已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，f ′(x )是f (x )的导函数． (1)求函数F (x )＝f (x )f ′(x )＋(f (x ))2的最大值和最小正周期； (2)若f (x )＝2f ′(x )，求1＋sin 2x cos 2x －sin x cos x 的值．15．已知函数f (x )＝ax －e x (a >0)． (1)若a ＝12，求函数f (x )的单调区间； (2)当1≤a ≤1＋e 时，求证：f (x )≤x .16．已知函数f (x )＝ax ＋ln x ，a ∈R ， (1)求f (x )的单调区间；(2)设g (x )＝x 2－2x ＋1，若对任意x 1∈(0，＋∞)，总存在x 2∈[0,1]，使得f (x 1)<g (x 2)，求实数a 的取值范围．17．(2015·陕西)设f n (x )＝x ＋x 2＋…＋x n －1，x ≥0，n ∈N ，n ≥2. (1)求f n ′(2)；(2)证明：f n (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23内有且仅有一个零点(记为a n )，且0＜a n －12＜13⎝ ⎛⎭⎪⎫23n .18．(2015·山东济宁育才中学上学期期中)已知a ∈R ，函数f (x )＝12ax 2－ln x . (1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率； (2)讨论f (x )的单调性；(3)是否存在实数a ，使得方程f (x )＝2有两个不等的实数根？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．19．已知函数f(x)＝ln x－ax2＋(a－2)x.(1)若f(x)在x＝1处取得极值，求a的值；(2)求函数y＝f(x)在[a2，a]上的最大值．20．已知函数f(x)＝e x－ax－1(a∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间．(2)函数F(x)＝f(x)－x ln x在定义域内是否存在零点？若存在，请指出有几个零点；若不存在，请说明理由．(3)若g(x)＝ln(e x－1)－ln x，当x∈(0，＋∞)时，不等式f(g(x))＜f(x)恒成立，求a的取值范围．21．已知函数f(x)＝e x－a2x2e|x|.(1)若f(x)在[0，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；(2)证明：当a≥1时，不等式f(x)≤x＋1对x∈R恒成立；(3)对于在(0，1)中的任一个常数a，试探究是否存在x0>0，使得f(x0)>x0＋1成立？如果存在，请求出符合条件的一个x0；如果不存在，请说明理由．22．已知函数f(x)＝x－ln x－1.(1)求曲线y＝f(x)在x＝2处的切线方程；(2)若x∈(0，＋∞)时，f(x)≥ax－2恒成立，求实数a的取值范围．23．已知函数f(x)＝x2－3x＋a ln x(a＞0)．(1)若a＝1，求函数f(x)的单调区间和极值；(2)设函数f(x)图像上任意一点处的切线l的斜率为k，当k的最小值为1时，求此时切线l的方程．24．设函数f (x )＝p ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x －2ln x ，g (x )＝2e x (p >1，e 是自然对数的底数)．(1)若对任意x ∈[2，e]，不等式f (x )>g (x )恒成立，求p 的取值范围；(2)若对任意x 1∈[2，e]，总存在x 2∈[2，e]，使不等式f (x 1)>g (x 2)成立，求p 的取值范围．25．已知函数f (x )＝1＋ln xx .(1)若函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －1，a ＋14内有极值，求实数a 的取值范围；(2)当x ≥1时，不等式f (x )≥kx ＋1恒成立，求实数k 的取值范围；(3)求证：[(n ＋1)！]2＞(n ＋1)e n －2＋2n ＋1.(n ∈N *，e 为自然对数的底数)26．已知函数f (x )＝(2－a )(x －1)－2ln x ，g (x )＝e x －x ＋1.(a 为常数，e 为自然对数的底数)(1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上无零点，求a 的最小值；(3)若对任意给定的x 0∈(0，1]，在(0，e]上总存在两个不同的x i (i ＝1，2)，使得f (x i )＝g (x 0)成立，求a 的取值范围．27．设a ∈R ，函数2()()e x f x x ax a =--．（1）若1a =，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）求函数()f x 在[2,2]-上的最小值．28．已知函数3()1f x x ax =--．（Ⅰ）若()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数a ，使()f x 在(1,1)-上单调递减？若存在，求出a 的取值范围；若不存在试说明理由．29．已知函数()ln 3()f x a x ax a =--∈R ．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()y f x =的图象在点(2,(2))f 处的切线的倾斜角为45，对于任意的[1,2]t ∈，函数32()['()]2mg x x x f x =++在区间(,3)t 上总不是单调函数，求m 的取值范围．30．已知函数()()x f x x k e =-．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）求()f x 在区间[0,1]上的最小值．31．已知函数2()ln(1)(1)f x a x x =+++在1x =处有极值．（Ⅰ）求实数a 值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）令()'()gx f x=，若曲线()g x 在(1,(1))g 处的切线与两坐标轴分别交于,A B 两点（O 为坐标原点），求AOB ∆的面积．32．已知函数()ln(21)1f x a x bx =+++．（Ⅰ）若函数()y f x =在1x =处取得极值，且曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线与直线230x y +-=平行，求a 的值；（Ⅱ）若12b =，试讨论函数()y f x =的单调性．33．已知函数2()1x af x x +=+（其中a R ∈）．（Ⅰ）若函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线为12y x b =+，求实数,a b 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间．34．已知函数()ln a f x x x=+．（Ⅰ）当0a <时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在[1,]e 上的最小值是32，求a 的值．35．已知函数()2ln pf x px x x=--．（Ⅰ）若2p =，求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）若函数()f x 在其定义域内为增函数，求正实数p 的取值范围．36．已知函数()32331f x ax x a=-+-(R a ∈，且0)a ≠，求()f x '及函数()f x 的极大值与极小值．37．已知函数1()ln f x a x x=-，a ∈R ．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y +=垂直，求a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）当1a =，且2x ≥时，证明：(1)25f x x -≤-．38．已知函数()ln a xf x x x-=+，其中a 为大于零的常数．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线1-2y x =平行，求a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[1,2]上的最小值．39．已知函数22()ln axf x x e=-(a ∈R ,e 为自然对数的底数)．（Ⅰ）求函数()f x 的递增区间；（Ⅱ）当1a =时，过点(0,)()P t t ∈R 作曲线()y f x =的两条切线，设两切点为111(,())P x f x 和22212(,())()P x f x x x ≠，求证：120x x +=．一、选择题1-5 BDBCD 6-10 DDADB 11-15 CABBD 16-20 BBCAA21-25 DCBDC 26-30 CBADA 31-35 BADCA 36-40 BACAB 41-45 BBADD 二、填空题1、x －y －2＝02、（0,1）3、（－∞，0）4、25、86、a ＝37、(－4，0) 8、a ＝8 9、(－∞，－1)∪(0，1) 10、f (x )＝x ＋1x －111、a ＝3. 12、[45，＋∞) 13、(－π，－π2]和[0，π2] 14、.⎝⎛⎭⎪⎫0，12 15、12x －3y －16＝0或3x －3y ＋2＝0 16、f (3)<e f (2)<e 2f (－1) 17、16227 18、[e ，＋∞) 19、(－∞，2－1e )∪(2－1e，2) 20、(－∞，－1)∪(1，＋∞) 21、(－∞，－32] 22、[e ，＋∞）23、4x －y －3＝0 24、9 25、(0,1] 三、解答题1、解:2()[(2)2]x f x e x a x a '=++++（Ⅰ）当a=0时，2()(2),x f x x e =+2()(22)x f x e x x '=++,(1)3f e =,(1)5f e '=,∴函数f （x ）的图像在点A （1,f （1））处的切线方程为y-3e=5e （x-1）,即5ex-y-2e=0（Ⅱ）2()[(2)2]x f x e x a x a '=++++,考虑到0x e >恒成立且2x 系数为正，∴f （x ）在R 上单调等价于 2(2)20x a x a ++++≥恒成立. ∴（a+2）2-4（a+2）≤0,∴-2≤a ≤2 ，即a 的取值范围是[-2，2]，（若得a 的取值范围是（-2，2），可扣1分）（Ⅲ）当52a =-时, 25()(2),2x f x x x e =-+211()()22x f x e x x '=--,令()0f x '=，得12x =-，或，令()0f x '>，得12x <-，或，令()0f x '<，得112x -<<x,()f x ',f （x ）的变化情况如下表所以，函数f （x ）的极小值为f （1）=2e2.．解：∵函数f (x )在定义域内单调递减，∴f ′(x )＝2ln xx －k ≤0在(0，＋∞)上恒成立．设φ(x )＝ln xx ，则φ′(x )＝1－ln x x 2，∴φ(x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，∴φ(x )max ＝φ(e)＝1e ，故实数k 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2e ，＋∞3．解：f ′(x )＝2(x ＋1)(x －2)＋(x ＋1)2＝3(x －1)(x ＋1)，所以f (x )在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减，所以极大值为f (－1)＝0.又f (2)＝0，所以a ＋2＝2或⎩⎨⎧a ≤－1，a ＋2≥－1，得a ＝0或－3≤a ≤－1.4．证明：由f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ，得f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .由x ＝0是函数f (x )的一个极值点知f ′(0)＝c ＝0.又由f (x )的图像经过点A (3，0)，得f (3)＝27＋9b ＋3c ＝0，所以b ＝－3，所以f (x )＝x 3－3x 2.由l 1∥l 2，得f ′(x 1)＝f ′(x 2)，即3x 21－6x 1＝3x 22－6x 2，即3(x 1－x 2)(x 1＋x 2－2)＝0.因为x 1－x 2≠0，所以x 1＋x 2＝2，所以当l 1∥l 2时，x 1＋x 2为定值．5．解：f ′(x )＝2ax 2－2x ＋1x，由题知2ax 2－2x ＋1＝0在(0，＋∞)上有两个不同的实根．设方程2ax 2－2x ＋1＝0的两根为x 1，x 2，且0<x 1<x 2，根据题意得0<a <12，所以f (x )在(0，x 1)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，在(x 2，＋∞)上单调递增，所以f (x )极小值＝f (x 2)．f (x 2)<－32的证明如下：由f ′(x 2)＝0，得2ax 22－2x 2＋1＝0，则a ＝2x 2－12x 22∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，解得x 2>12且x 2≠1.f (x 2)＝x 22·2x 2－12x 22－2x 2＋ln x 2＝－x 2－12＋ln x 2，令g (x )＝－x －12＋ln x ，g ′(x )＝－1＋1x ＝1－x x ，则g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以g (x )max <g (1)＝－32，所以f (x )的极小值小于－32.6．解：(1)证明：f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由题设，得f ′(1)＝3a ＋2b ＋c ＝0，① f ′(m )＝3am 2＋2bm ＋c ＝－3a .②∵a 0.将①代入②得3am 2＋2bm －2b ＝0，∴Δ＝4b 2＋24ab ≥0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＋6ba ≥0，∴b a ≤－6或b a ≥0③.将c ＝－3a －2b 代入a 0，∴方程f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ＝0有两个不等的实根，不妨设其为x 1，x 2，又f ′(1)＝3a ＋2b ＋c ＝0，∴不妨令x 1＝1，则x 2＝－2b3a －1， ∴x 2<0<x 1，∴当x <x 2或x >x 1时，f ′(x )<0；当x 2<x <x 1时，f ′(x )>0.∴函数f (x )的单调递增区间是[x 2，x 1]．∵|x 1－x 2|＝2＋2b3a ，0≤b a <1，∴2≤|x 1－x 2|<83.∵函数f (x )在区间[s ，t ]上单调递增，∴[s ，t ]⊆[x 2，x 1]，∴0<|s －t |<83，即|s －t |的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，83.7．解 (1)当a ＝32时，f (x )＝e x 2－1e x －32x ， f ′(x )＝12e x [(e x )2－3e x ＋2]＝12e x (e x －1)(e x －2)，令f ′(x )＝0，得e x ＝1或e x ＝2，即x ＝0或x ＝ln 2；令f ′(x )>0，得x <0或x >ln 2；令f ′(x )<0，得0<x <ln 2.∴f (x )的增区间是(－∞，0]，[ln 2，＋∞)，减区间是(0，ln 2)． (2)f ′(x )＝e x 2＋1e x －a ，令e x ＝t ，由于x ∈[－1,1]， ∴t ∈[1e ，e]．令h (t )＝t 2＋1t (t ∈[1e ，e])，h ′(t )＝12－1t 2＝t 2－22t 2，∴当t ∈[1e ，2)时，h ′(t )<0，函数h (t )为单调递减函数；当t ∈(2，e]时，h ′(t )>0，函数h (t )为单调递增函数．故h(t)在[1e，e]上的极小值点为t＝2，且h(2)＝ 2.又h(e)＝e2＋1e<h(1e)＝12e＋e，∴2≤h(t)≤e＋12e.∵函数f(x)在[－1,1]上为单调函数，①若函数在[－1,1]上单调递增，则a≤t2＋1t对t∈[1e，e]恒成立，所以a≤2；②若函数f(x)在[－1,1]上单调递减，则a≥t2＋1t对t∈[1e，e]恒成立，所以a≥e＋12e，综上可得a的取值范围是(－∞，2]∪[e＋12e，＋∞)．8．解(1)由已知得，f′(x)＝(x2＋ax＋1)e x＋e x(2x＋a)＝[x2＋(a＋2)x＋a＋1]e x＝(x ＋a＋1)(x＋1)e x.∵a>0，∴－a－1<－1.∴当x∈(－∞，－a－1)时，f′(x)>0；当x∈(－a－1，－1)时，f′(x)<0；当x∈(－1，＋∞)时，f′(x)>0.f(x)的单调递增区间为(－∞，－a－1)和(－1，＋∞)，单调递减区间为(－a－1，－1)．且当x＝－1时，f(x)有极小值(2－a)e－1，当x＝－a－1时，f(x)有极大值(a＋2)e－a－1.(2)由(1)知，f′(x)＝(x＋a＋1)(x＋1)e x，令g(x)＝f′(x)，则g′(x)＝[x2＋(a＋4)x＋2a＋3]e x.假设f(x)有“致点”x0，则x0首先应是f(x)的极值点，即f′(x0)＝0，∴x0＝－1或x0＝－a－1.当a＝0时，－a－1＝－1，此时f′(x)≥0恒成立，f(x)无极值．∴要使f(x)有极值，须a≠0.若x0＝－1，则由题意可知g′(－1)＝0，∴1－(a＋4)＋2a＋3＝0，解得a＝0，与a≠0矛盾，即－1不是f(x)的“致点”．若x0＝－a－1，则g′(－a－1)＝0，即(a＋1)2－(a＋4)·(a＋1)＋2a＋3＝0，解得a ＝0，与a≠0矛盾，即－a－1也不是f(x)的“致点”．∴函数f(x)无“致点”．9．解(1)当k＝1时，f(x)＝(x－1)e x－x2，∴f′(x)＝e x＋(x－1)e x－2x＝x(e x－2)．令f′(x)>0，即x(e x－2)>0，∴x>ln 2或x<0.令f′(x)<0，即x(e x－2)<0，∴0<x<ln 2.因此函数f(x)的单调递减区间是(0，ln 2)；单调递增区间是(－∞，0)和(ln 2，＋∞)．(2)易知f′(x)＝e x＋(x－1)e x－2kx＝x(e x－2k)．∵f(x)在[0，＋∞)上是增函数，∴当x≥0时，f′(x)＝x(e x－2k)≥0恒成立．∴e x－2k≥0，即2k≤e x在[0，＋∞)上恒成立．由于e x≥1，∴2k≤1，则k≤12.又当k ＝12时，f ′(x )＝x (e x －1)≥0，当且仅当x ＝0时取等号．因此，实数k 的取值范围是(－∞，12]． 10．解 (1)因为f (x )＝ax 3＋bx ＋c ，故f ′(x )＝3ax 2＋b .由于f (x )在x ＝2处取得极值c －16，故有⎩⎪⎨⎪⎧f ′(2)＝0，f (2)＝c －16，即⎩⎪⎨⎪⎧ 12a ＋b ＝0，8a ＋2b ＋c ＝c －16，化简得⎩⎪⎨⎪⎧ 12a ＋b ＝0，4a ＋b ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－12. (2)由(1)知f (x )＝x 3－12x ＋c ，f ′(x )＝3x 2－12＝3(x －2)(x ＋2)．令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝2. 当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )>0，故f (x )在(－∞，－2)上为增函数；当x ∈(－2,2)时，f ′(x )<0，故f (x )在(－2,2)上为减函数；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(2，＋∞)上为增函数．由此可知f (x )在x ＝－2处取得极大值f (－2)＝16＋c ， f (x )在x ＝2处取得极小值f (2)＝c －16. 由题设条件知16＋c ＝28，解得c ＝12. 此时f (－3)＝9＋c ＝21，f (3)＝－9＋c ＝3， f (2)＝－16＋c ＝－4，因此f (x )在[－3,3]上的最小值为f (2)＝－4.11．解(1)由题意得f′(x)＝3x2＋2bx＋c，∴f′(1)＝2b＋c＋3＝3.又f(1)＝b＋c＋1，点(1，f(1))在直线6x－2y－1＝0上，∴6－2(b＋c＋1)－1＝0，故b＝－32，c＝3.(2)∵g(x0)＝f′(x0)，∴a e x0＝3x20－3x0＋3，∴a＝3x20－3x0＋3e x0.令h(x)＝3x2－3x＋3e x，则h′(x)＝－3(x2－3x＋2)e x，令h′(x)＝0，得x＝1或x＝2.当x变化时，h(x)与h′(x)在x∈(0,2]上的变化情况如下表所示：∴h(x)在x∈(0,2]上有极小值h(1)＝3e ，又h(2)＝9e2，h(0)＝3>9e2，∴h(x)在x∈(0,2]上的取值范围为[3e，3)，∴a的取值范围为[3e，3)．12．(1)解由题意得所求切线的斜率k ＝f ′(π4)＝cos π4＝22. 切点P (π4，22)，则切线方程为y －22＝22(x －π4)，即x －2y ＋1－π4＝0. (2)解 g ′(x )＝m －12x 2.①当m ≤0时，g ′(x )≤0，则g (x )的单调递减区间是(－∞，＋∞)； ②当m >0时，令g ′(x )<0，解得x <－2m 或x >2m ，则g (x )的单调递减区间是(－∞，－2m )，(2m ，＋∞)． (3)证明当m ＝1时，g (x )＝x －x 36.令h (x )＝g (x )＋x 36－f (x )＝x －sin x ，x ∈(0，＋∞)， h ′(x )＝1－cos x ≥0，则h (x )是(0，＋∞)上的增函数，故当x >0时，h (x )>h (0)＝0，即sin x <x ，f (x )<g (x )＋x 36. 13．(1)解函数的定义域为(0，＋∞)．由f (x )＝x 22－k ln x (k >0)得f ′(x )＝x －k x ＝x 2－kx .由f ′(x )＝0解得x ＝k (负值舍去)．f (x )与f ′(x )在区间(0，＋∞)上的变化情况如下表：所以，f (x ，k (k f (x )在x ＝k 处取得极小值f (k )＝k (1－ln k )2，无极大值．(2)证明由(1)知，f (x )在区间(0，＋∞)上的最小值为f (k )＝k (1－ln k )2.因为f (x )存在零点，所以k (1－ln k )2≤0，从而k ≥e ，当k ＝e 时，f (x )在区间(1，e)上单调递减，且f (e)＝0，所以x ＝e 是f (x )在区间(1， e ]上的唯一零点．当k >e 时，f (x )在区间(0， e )上单调递减，且f (1)＝12>0，f (e)＝e －k 2<0，所以f (x )在区间(1， e ]上仅有一个零点．综上可知，若f (x )存在零点，则f (x )在区间(1， e ]上仅有一个零点14．解 (1)已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，则f ′(x )＝cos x －sin x ，代入F (x )＝f (x )f ′(x )＋(f (x ))2，可得F (x )＝cos 2x ＋sin 2x ＋1＝2sin(2x ＋π4)＋1，当2x ＋π4＝2k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋π8(k ∈Z )时，F (x )max ＝2＋1，其最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由f (x )＝2f ′(x )，易得sin x ＋cos x ＝2cos x －2sin x ，解得tan x ＝13.∴1＋sin2xcos2x－sin x cos x ＝2sin2x＋cos2xcos2x－sin x cos x＝2tan2x＋11－tan x＝116.15．(1)解当a＝12时，f(x)＝12x－ex.f′(x)＝12－e x，令f′(x)＝0，得x＝－ln 2.当x<－ln 2时，f′(x)>0；当x>－ln 2时，f′(x)<0，∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－ln 2)；单调递减区间为(－ln 2，＋∞)．(2)证明令F(x)＝x－f(x)＝e x－(a－1)x，①当a＝1时，F(x)＝e x>0，∴f(x)≤x成立．②当1<a≤1＋e时，F′(x)＝e x－(a－1)＝e x－e ln(a－1)，∴当x<ln(a－1)时，F′(x)<0；当x>ln(a－1)时，F′(x)>0，∴F(x)在(－∞，ln(a－1))上单调递减，在(ln(a－1)，＋∞)上单调递增，∴F(x)≥F(ln(a－1))＝e ln(a－1)－(a－1)·ln(a－1)＝(a－1)[1－ln(a－1)]，∵1<a≤1＋e，∴a－1>0,1－ln(a－1)≥1－ln[(1＋e)－1]＝0，∴F(x)≥0，即f(x)≤x成立．综上，当1≤a≤1＋e时，f(x)≤x.16．解(1)f′(x)＝a＋1x＝ax＋1x(x>0)．①当a≥0时，由于x>0，故ax＋1>0，f′(x)>0，所以f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．②当a <0时，由f ′(x )＝0，得x ＝－1a ，在区间(0，－1a )上，f ′(x )>0，f (x )单调递增．在区间(－1a ，＋∞)上，f ′(x )<0，f (x )单调递减．综上所述，当a ≥0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；当a <0时，f (x )的单调递增区间为(0，－1a )，f (x )的单调递减区间为(－1a ，＋∞)． (2)由已知，转化为f (x )max <g (x )max ，又g (x )max ＝g (0)＝1.由(1)知，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，值域为R ，故不符合题意．当a <0时，f (x )在(0，－1a )上单调递增，在(－1a ，＋∞)上单调递减，故f (x )的极大值即为最大值，即f (x )max ＝f (－1a )＝－1＋ln(－1a )＝－1－ln(－a )，所以1>－1－ln(－a )，解得a <－1e 2. 故实数a 的取值范围是(－∞，－1e 2)．17．(1)解方法一由题设f n ′(x )＝1＋2x ＋…＋nx n －1，所以f n ′(2)＝1＋2×2＋…＋(n －1)2n －2＋n 2n －1，① 则2f n ′(2)＝2＋2×22＋…＋(n －1)2n －1＋n 2n ，②①－②得，－f n ′(2)＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n 2n ＝1＋2－2n 1－2－n 2n ＝(1－n )2n －1，所以f n ′(2)＝(n －1)2n ＋1.方法二当x ≠1时，f n (x )＝x －x n ＋11－x－1，则f n ′(x )＝[1－(n ＋1)x n ](1－x )＋(x －x n ＋1)(1－x )2，可得f n ′(2)＝－[1－(n ＋1)2n ]＋2－2n ＋1(1－2)2＝(n －1)2n＋1. (2)证明因为f n (0)＝－1＜0，f n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n 1－23－1＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ≥1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＞0，所以f n (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23内至少存在一个零点，又f ′n (x )＝1＋2x ＋…＋nx n －1＞0，所以f n (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23内单调递增，因此f n (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23内有且仅有一个零点a n ，由于f n (x )＝x －x n ＋11－x－1，所以0＝f n (a n )＝a n －a n ＋1n1－a n－1，由此可得a n ＝12＋12a n ＋1n ＞12，故12＜a n ＜23，所以0＜a n －12＝12a n ＋1n ＜12×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋1＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫23n.18．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝12x 2－ln x (x >0)， f ′(x )＝x －1x ，x >0，∴k ＝f ′(1)＝0，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为0.(2)f ′(x )＝ax －1x ＝ax 2－1x ，x >0.当a ≤0时，f ′(x )<0，f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当a >0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝aa (负值舍去)．当x ∈(0，a a )时，f ′(x )<0，f (x )在(0，aa )上单调递减；当x ∈(a a ，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(aa ，＋∞)上单调递增． (3)存在a ∈(0，e 3)，使得方程f (x )＝2有两个不等的实数根．理由如下：由(2)可知当a ≤0时，f ′(x )<0，f (x )在(0，＋∞)上单调递减，方程f (x )＝2不可能有两个不等的实数根；当a >0时，函数f (x )在(0，a a )上单调递减，在(aa ，＋∞)上单调递增，使得方程f (x )＝2有两个不等的实数根，等价于函数f (x )的极小值f (a a )<2，即f (a a )＝12＋12ln a <2，解得0<a <e 3，所以a 的取值范围是(0，e 3)．19．解： (1)∵f (x )＝ln x －ax 2＋(a －2)x ，∴函数的定义域为(0，＋∞)．∴f ′(x )＝1x －2ax ＋(a －2)＝1－2ax 2＋（a －2）x x ＝－（2x －1）（ax ＋1）x.∵f (x )在x ＝1处取得极值，即f ′(1)＝－(2－1)(a ＋1)＝0，∴a ＝－1.当a ＝－1时，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1内f ′(x )＜0，在(1，＋∞)内f ′(x )＞0，∴x ＝1是函数y ＝f (x )的极小值点．∴a ＝－1.(2)∵a 2＜a ，∴0＜a ＜1.f ′(x )＝1x －2ax ＋(a －2)＝1－2ax 2＋（a －2）x x＝－（2x －1）（ax ＋1）x，∵x ∈(0，＋∞)，∴ax ＋1＞0，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上递增；在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上递减，①当0＜a ≤12时，f (x )在[a 2，a ]上单调递增，∴f (x )max ＝f (a )＝ln a －a 3＋a 2－2a ；②当⎩⎪⎨⎪⎧a ＞12，a 2＜12，即12＜a ＜22时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，12上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，a 上单调递减，∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－ln 2－a 4＋a －22＝a 4－1－ln 2；③当12≤a 2，即22≤a ＜1时，f (x )在[a 2，a ]上单调递减， ∴f (x )max ＝f (a 2)＝2ln a －a 5＋a 3－2a 2.20．解： (1)由f (x )＝e x －ax －1，得f ′(x )＝e x －a .当a ≤0时，对∀x ∈R ，有f ′(x )＞0，所以函数f (x )在区间(－∞，＋∞)上单调递增；当a ＞0时，由f ′(x )＞0，得x ＞ln a ；由f ′(x )＜0，得x ＜ln a ，此时函数f (x )的单调增区间为(ln a ，＋∞)，单调减区间为(－∞，ln a )．综上所述，当a ≤0时，函数f (x )的单调增区间为(－∞，＋∞)；当a ＞0时，函数f (x )的单调增区间为(ln a ，＋∞)，单调减区间为(－∞，ln a )．(2)函数F (x )＝f (x )－x ln x 的定义域为(0，＋∞)，由F (x )＝0，得a ＝e x－1x －ln x (x ＞0)，令h (x )＝e x －1x －ln x (x ＞0)，则h ′(x )＝（e x －1）（x －1）x 2，由于x ＞0，e x －1＞0，可知当x ＞1时，h ′(x )＞0；当0＜x ＜1时，h ′(x )＜0，故函数h (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故h (x )≥h (1)＝e －1.(随着x ＞0的增长，y ＝e x －1的增长速度越来越快，会超过并远远大于y ＝x 的增长速度，而y ＝ln x 的增长速度则会越来越慢．则当x ＞0且x 无限接近于0时，h (x )趋向于正无穷大．)故当a ＞e －1时，函数F (x )有两个不同的零点；当a ＝e －1时，函数F (x )有且仅有一个零点；当a ＜e －1时，函数F (x )没有零点.(3)由(1)知当a ＝1时，对∀x ＞0，有f (x )＞f (ln a )＝0，即e x －1＞x ，当x ＞0时，e x －1＞x ，故对∀x ＞0，g (x )＞0，先用分析法证明：∀x ＞0，g (x )＜x .要证对∀x ＞0，g (x )＜x ，只需证对∀x ＞0，e x －1x ＜e x，即证对∀x ＞0，x e x －e x ＋1＞0，构造函数H (x )＝x e x －e x ＋1(x ＞0)，则H ′(x )＝x e x ＞0，故函数H (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以H (x )＞H (0)＝0，则对∀x ＞0，x e x －e x ＋1＞0成立．当a ≤1时，由(1)知，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，则f (g (x ))＜f (x )在(0，＋∞)上恒成立；当a ＞1时，由(1)知，函数f (x )在(ln a ，＋∞)上单调递增，在(0，ln a )上单调递减，故当0＜x ＜ln a 时，0＜g (x )＜x ＜ln a ，所以f (g (x ))＞f (x )，则不满足题意．所以满足题意的a 的取值范围是(－∞，1]．21．解： (1)∵x ∈[0，＋∞)，∴f (x )＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2x 2， ∴f ′(x )＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2x 2－ax ＋1 .由题意，f ′(x )≥0在[0，＋∞)上恒成立，当a ＝0时，f ′(x )＝e x >0恒成立，即满足条件．当a ≠0时，要使f ′(x )≥0，而e x >0恒成立，故只需－a2x 2－ax ＋1≥0在[0，＋∞)上恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＞0，－a 2·02－a ·0＋1≥0，解得a <0. 综上，a 的取值范围为a ≤0.(2)证明：由题知f (x )≤x ＋1即为e x －a2x 2e |x |≤x ＋1.在x ≥0时，要证明e x－a 2x 2e |x |≤x ＋1成立，只需证e x ≤a 2x 2e x ＋x ＋1，即证1≤a2x 2＋x ＋1e x ，①令g (x )＝a 2x 2＋x ＋1e x ，得g ′(x )＝ax ＋1·e x －（x ＋1）e x （e x ）2＝ax －xe x ，整理得g ′(x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1e x ，∵x ≥0时，1e x ≤1，结合a ≥1，得g ′(x )≥0，∴g (x )在[0，＋∞)上是增函数，故g (x )≥g (0)＝1，从而①式得证．在x ≤0时，要使e x －a2x 2e |x |≤x ＋1成立，只需证e x ≤a 2x 2e －x ＋x ＋1，即证1≤a2x 2e －2x ＋(x ＋1)e －x ，②令m (x )＝ax 22e －2x＋(x ＋1)e －x ，得m ′(x )＝－x e －2x [e x ＋a (x －1)]，而φ(x )＝e x ＋a (x －1)在x ≤0时为增函数，故φ(x )≤φ(0)＝1－a ≤0，从而m ′(x )≤0，∴ m (x )在x ≤0时为减函数，则m (x )≥m (0)＝1，从而②式得证．综上所述，原不等式e x －a2x 2e |x |≤x ＋1，即f (x )≤x ＋1在a ≥1时恒成立．(3)要使f (x 0)>x 0＋1成立，即e x 0－a 2x 20e x 0＞x 0＋1，变形为ax 202＋x 0＋1e x 0－1<0，③要找一个x 0>0使③式成立，只需找到函数t (x )＝ax 22＋x ＋1e x －1的最小值，满足t (x )min ＜0即可．∵t ′(x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1e x ，令t ′(x )＝0得e x ＝1a ，则x ＝－ln a ，在0<x <－ln a 时，t ′(x )＜0，在x >－ln a 时，t ′(x )＞0，即t (x )在(0，－ln a )上是减函数，在(－ln a ，＋∞)上是增函数，∴ 当x ＝－ln a 时，t (x )取得最小值t (－ln a )＝a2(ln a )2＋a (－ln a ＋1)－1.下面只需证明：a2(ln a )2－a ln a ＋a －1＜0在0＜a ＜1时恒成立即可．令p (a )＝a2(ln a )2－a ln a ＋a －1,则p ′(a )＝12(ln a )2≥0，从而p (a )在(0，1)上是增函数，则p (a )＜p (1)＝0，从而a2(ln a )2－a ln a ＋a －1＜0，得证．于是t (x )的最小值t (－ln a )＜0，因此可找到一个常数x 0＝－ln a (0＜a ＜1)，使得③式成立．22．解： (1)由题意得，f ′(x )＝1－1x ，∴f ′(2)＝1－12＝12，f (2)＝1－ln 2，∴曲线y ＝f (x )在x ＝2处的切线方程为y －(1－ln 2)＝12(x －2)⇒x －2y －2ln 2＝0.(2)当x ∈(0，＋∞)时，f (x )≥ax －2恒成立，∴a ≤1＋1x －ln xx ，令g (x )＝1＋1x －ln xx ，则g ′(x )＝ln x －2x 2，令g ′(x )＝0⇒x ＝e 2，可得g (x )在(0，e 2)上单调递减，在(e 2，＋∞)上单调递增，∴g (x )min ＝g (e 2)＝1－1e 2，即a ≤1－1e 2，故实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，1－1e 223．解： (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，当a ＝1时，f ′(x )＝2x －3＋1x ＝2x 2－3x ＋1x，由f ′(x )＞0得x ＜12或x ＞1，由f ′(x )＜0得12＜x ＜1，∴f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，(1，＋∞)；单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.∴f (x )的极大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－54－ln 2；极小值为f (1)＝－2.(2)由题意知f ′(x )＝2x －3＋ax ≥22a －3＝1，∴a ＝2，此时2x ＝a x ，即2x ＝2x ，∴x ＝1，切点为(1，－2), ∴此时的切线l 的方程为x －y －3＝0.24．解： (1)由不等式f (x )－g (x )＝p ·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x －2ln x －2e x ＞0对x ∈[2，e]恒成立， ∴p ＞2x ln x ＋2e x 2－1对x ∈[2，e]恒成立．令h (x )＝2x ln x ＋2ex 2－1，x ∈[2，e]，则p ＞h (x )max .∵h ′(x )＝－2（1＋x 2）ln x －2x （2e －x ）－2（x 2－1）2＜0.∴h (x )在区间[2，e]上是减函数，∴h (x )max ＝h (2)＝4ln 2＋2e 3，故p ＞4ln 2＋2e3.(2)依题意f (x )min ＞g (x )min .∵f ′(x )＝p ＋p x 2－2x ＞0，∴f (x )在[2，e]上单调递增，故f (x )min ＝f (2)．又g (x )＝2ex 在[2，e]上单调递减，故g (x )min ＝g (e)，由f (2)>g (e)，解得p ＞4＋4ln 23. 25．解： (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－ln xx 2，由f ′(x )＝0得x ＝1，当0＜x ＜1时，f ′(x )＞0；当x ＞1时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，故函数f (x )在x ＝1处取得唯一的极值，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋14＞2a －1，2a －1＜1＜a ＋14⇒34＜a ＜1，故实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1.(2)x ≥1时，不等式f (x )≥k x ＋1化为1＋ln x x ≥kx ＋1⇒k ≤（x ＋1）（1＋ln x ）x ，令g (x )＝（x ＋1）（1＋ln x ）x，由题意知k ≥g (x )在[1，＋∞)上恒成立，g ′(x )＝x －ln x x 2，再令h (x )＝x －ln x (x ≥1)，则h ′(x )＝1－1x ≥0，当且仅当x ＝1时取等号，因此h (x )＝x －ln x 在[1，＋∞)上递增，所以h (x )≥h (1)＝1＞0，故g ′(x )＝x －ln xx 2＞0，所以g (x )在[1，＋∞)上递增，g (x )min ＝g (1)＝2，因此k ≤2，即k 的取值范围为(－∞，2]．(3)由(2)知，当x ≥1时，f (x )≥2x ＋1恒成立，即1＋ln x x ≥2x ＋1，∴ln x ≥1－2x ＋1＞1－2x .令x ＝k (k ＋1)，k ∈N *，则有ln[k (k ＋1)]＞1－2k （k ＋1）＝1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1k ＋1，分别令k ＝1，2，3，…，n ，。

导数与函数的单调性测试题(含答案)

导数与函数的单调性测试题一、单项选择题（本大题共10小题，共50分） 1. 函数y =12x 2−lnx 的单调递减区间为( )A. (−1,1]B. (0,1]C. [1,+∞)D. (0,+∞)2. 设函数f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能为( )A. B.C. D.3. 函数y =(x −3)e x 的单调增区间是( )A.B. (0,3)C. (1,4)D.4. 已知函数f(x)=32x 2−4x +lnx ，则函数f(x)的单调递减区间是( )A. (0,13),(1,+∞)B. (0,1),(3,+∞)C. (0,13),(3,+∞)D. (13,1)5. 已知函数f(x)的导数为f′(x)，且满足f(x)=x 2+3xf′(3)，则f′(3)=( )A. −1B. −2C. −3D. −46. 函数f(x)=xlnx( )A. 在(0,5)上单调递增B. 在(0,5)上单调递减C. 在(0,1e )上单调递减，在(1e ,5)上单调递增 D. 在(0,1e )上单调递增，在(1e ,5)上单调递减7. 若函数f(x)=x 3−ax 2−x +6在(0,1)内单调递减，则实数a 的取值范围是( )A. a ≥1B. a =1C. a ≤1D. 0<a <18. 函数f(x)=x 3+ax +b 在区间(−1,1)上是减函数，在(1,+∞)上是增函数，则( )A. a =1，b =1B. a =1，b ∈RC. a =−3，b =3D. a =−3，b ∈R9. 已知函数f(x)=x 3+mlnx 在区间[2 , 3]上不是单调函数，则m 的取值范围是( )A. (−∞,−81)B. (−24,+∞)C. (−81,−24)D. (−81,+∞)10.函数f(x)=x3+ax−2在区间(1,+∞)内是增函数，则实数a的取值范围是()A. [3,+∞)B. [−3,+∞)C. (−3,+∞)D. (−∞,−3)二、填空题（本大题共2小题，共10分）11.若函数f(x)=e x(x2+ax+3)在R上单调递增，则实数a的取值范围为______ ．12.函数f(x)=x的单调递减区间为_______________．lnx三、解答题（本大题共4小题，共40分）−1．13.已知函数f(x)=lnxx(1)求函数在点(1,f(1))处的切线方程．(2)试判断函数f(x)的单调性；14.已知函数f(x)=x2−ax+lnx+b(a,b∈R)，(1)若函数f(x)在x=1处的切线方程为x+y+2=0，求实数a，b的值;(2)若f(x)在其定义域内单调递增，求a的取值范围．15.已知函数f(x)=x3+ax2+(2a−3)x−1．(1)若f(x)的单调递减区间为(−1,1)，求实数a的值；(2)若f(x)在区间(−1,1)内单调递减，求实数a的取值范围．16.已知函数f(x)=x3+ax2−a2x+2．(1)若a=1，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)若a>0，求函数f(x)的单调区间．答案和解析1.解：令f(x)=12x2−ln x定义域为(0,+∞)，∴f′(x)=x−1x=(x+1)(x−1)x≤0，得0<x≤1，函数的单调递减区间为(0,1]，2.解：由f(x)的图象知当x∈(−∞,1)时，f(x)单调递减，f′(x)<0当x∈(1,4)时，f(x)单调递增，f′(x)>0当x∈(4,+∞)时，f(x)单调递减，f′(x)<03.解：∵y=(x−3)e x，∴y′=e x+(x−3)e x=(x−2)e x，由y′>0得x−2>0，解得x>2，∴函数y=(x−3)e x的单调增区间是(2,+∞)．4.解：函数的定义域为(0,+∞)，函数的导数f′(x)=3x−4+1x =3x2−4x+1x，由f′(x)<0得3x2−4x+1x<0，得3x2−4x+1<0，得(x−1)(3x−1)<0，得13<x<1，即函数的单调递减区间为(13,1)，5.解：∵f(x)=x2+3xf′(3)，∴f′(x)=2x+3f′(3)，令x=3，则f′(3)=2×3+3f′(3)，解得：f′(3)=−3，6.解：∵y=xlnx，∴y′=lnx+1，由y′=lnx+1=0，得极值点x=1e，∵x∈(0,5)，∴当x∈(0,1e)时，f′(x)<0，函数是单调递减函数．当x∈(1e,5)时，f′(x)>0，函数是单调递增函数．7.解：f′(x)=3x2−2ax−1，导函数为二次函数，∵f(x)在(0,1)内单调递减，∴结合导函数的性质可得不等式3x2−2ax−1<0在(0,1)内恒成立．∴f′(0)≤0，f′(1)≤0，∴a≥1．8.解：∵f(x)=x3+ax+b，∴f′(x)=3x2+a．∵f(x)在(−1,1)上为减函数，在(1,+∞)上为增函数，∴f′(1)=3+a=0．∴a=−3，b∈R．9.解：f′(x)=3x2+mx =3x3+mx，若f(x)在[2,3]不单调，则3x3+m=0在[2,3]有解，且在解的两边正负号不同，即y=m和y=−3x3在(2,3)有交点，而x∈(2,3)时，函数y=−3x3单调递减，y∈(−81,−24)，故m的取值范围为(−81,−24)．10.解：f′(x)=3x 2+a ，因为函数f(x)=x 3+ax −2在区间(1,+∞)内是增函数，所以f′(x)≥0在(1,+∞)上恒成立，即a ≥−3x 2在(1,+∞)上恒成立，易知函数y =−3x 2在(1,+∞)上单调递减，所以y <−3，所以a ≥−3．即实数a 的取值范围是[−3,+∞)．11.解：由题知f′(x)=e x [x 2+(a +2)x +a +3]≥0恒成立，即x 2+(a +2)x +a +3≥0恒成立，∴△=(a +2)2−4(a +3)≤0，即−2√2≤a ≤2√2，故答案为：[−2√2,2√2].12.解：因为函数，其定义域为(0,1)∪(1,+∞)．f ′(x )=lnx−x·1x(lnx )2=lnx−1(lnx )2，令f ′(x )<0，则lnx <1,解得0<x <1或1<x <e ．所以函数f(x)=xlnx 的单调减区间为(0,1)，(1,e)．故答案为(0,1)，(1,e)．13.解：(1)由题可知：f′(x)=1−lnx x 2；所以：f′(1)=1，f(1)=−1；∴函数在点(1,f(1))处的切线方程为：y −(−1)=x −1即：y =x −2． (2)因为函数的定义域(0,+∞)且f′(x)=1−lnx x 2；令f′(x)=1−lnx x >0得0<x <e ，f′(x)=1−lnx x <0得x >e ，因此函数单调增区间是(0,e)，单调减区间是(e,+∞)．14.解：∵f(x)=x 2−ax +lnx +b ，∴f ′(x)=2x −a +1x ，∴f(1)=1−a +b ，f′(1)=3−a ，(1)∵函数f(x)在x =1处的切线方程为x +y +2=0∴{k =f ′(1)=3−a =−11+f(1)+2=0,解得：a =4，b =0；(2)f(x)=x 2−ax +lnx +b 的定义域为{x|x >0}∵f(x)在其定义域内单调递增 ∴f ′(x)=2x −a +1x ≥0在x ∈(0,+∞)恒成立(允许个别点处取到等号) ∵2x −a +1x ≥0(x >0)即a ⩽2x +1x (x >0)(允许个别值处取到等号)令g(x)=2x +1x (x >0)，则a ≤g(x)min ，因为g(x)=2x +1x≥2√2x ⋅1x=2√2，当且仅当2x =1x 即x =√22时取到等号．所以 g(x)min =2√2，所以a ≤2√2．15.解：(1)∵f(x)=x 3+ax 2+(2a −3)x −1，∴f′(x)=3x 2+2ax +2a −3=3(x +1)(x +2a−33)由于f(x)的单调减区间为(−1,1)，∴−1和1是方程f′(x)=0的两根，∴2a−33=−1，解得a =0;(2)由(1)可知，f′(x)=3(x+1)(x+2a−33)，∵f(x)在区间(−1,1)内单调递减，∴f′(x)≤0在(−1,1)内恒成立，又函数y=f′(x)为二次函数，且图象开口向上，方程f′(x)=0的一个根为−1，又方程f′(x)=0的另一个根为3−2a3，∴3−2a3≥1，∴a≤0，∴实数a的取值范围为(−∞,0]．16.解(1)∵a=1，∴f(x)=x3+x2−x+2，∴f′(x)=3x2+2x−1，∴f′(1)=4.又f(1)=3，∴切点坐标为(1,3)，∴所求切线方程为y−3=4(x−1)，即4x−y−1=0．(2)f(x)的定义域为R，f′(x)=3x2+2ax−a2=(x+a)(3x−a)，由f′(x)=0得x=−a或x=a3.又a>0，由f′(x)<0，得−a<x<a3，由f′(x)>0，得x<−a或x>a3，故f(x)的单调递减区间为(−a,a3)，单调递增区间为(−∞,−a)和(a3,+∞)．。

高三数学一轮复习《函数与导数》练习题(含答案)

高三数学一轮复习《函数与导数》练习题（含答案）一、单选题1．已知()()12222x x a a a a -++>++，则x 的取值范围为（） A ．(),1-∞B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(0，2)D ．R 2．函数()()2108210x f x x x x +=≤≤++的值域为 A ．11,86⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．[]6,8 C ．11,106⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．[]6,103．已知函数()22,0,()2,0x x x f x g x x x e x >⎧==-+⎨≤⎩（其中e 是自然对数的底数），若关于x 的方程(())0g f x m -=恰有三个不等实根123,,x x x ，且123x x x <<，则21322x x x --的最小值为（）A ．ln33-B ．3ln 22-C ．ln 23-D ．1- 4．定义：若函数()F x 在区间[],a b 上的值域为[],a b ，则称区间[],a b 是函数()F x 的“完美区间”，另外，定义区间()F x 的“复区间长度”为()2b a -，已知函数()21f x x =-，则（）A ．[]1,1-是()f x 的一个“完美区间”B ．⎣⎦是()f x 的一个“完美区间”C ．()f x 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3D ．()f x 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3+5．函数()f x 对任意x ∈R ，都有()()()12,1f x f x y f x =+=-的图形关于()1,0对称，且()71f =- 则()2021f =（）A ．-1B ．1C ．0D ．26．已知函数()22,,x ax x a f x x a x a⎧-+≥⎪=⎨+<⎪⎩，若对于任意正数k ，关于x 的方程()f x k =都恰有两个不相等的实数根，则满足条件的实数a 的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．无数7．若函数()()ln 1x f x ke x =-+的值域为R ，则实数k 的最大值为（） A ．1e - B ．2e - C ．e D ．2-8．已知()f x 为偶函数，当0x ≤时，1()e x f x x --=-，则曲线()y f x =在点(1,2)处的切线斜率是（）A ．1B ．2C ．eD ．2e 1---二、多选题9．已知函数()21e x x x f x +-=，则下列结论正确的是（） A ．函数()f x 既存在极大值又存在极小值B ．函数()f x 存在3个不同的零点C ．函数()f x 的最小值是e -D ．若[),x t ∈+∞时，()2max 5e f x =，则t 的最大值为2 10．定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数为()f x '，且2()()(32)()x x f x x f x +'<+恒成立，则必有（）A ．()(3)181f f >B ．()()261f f <C ．()131162f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭D ．()()332f f <11．若曲线()20y ax a =≠与ln 1y x =+存在公共切线，则实数a 的可能取值是（）A ．－1B ．eC ．e 2D ．12 12．下列各式比较大小，正确的是（）A ．1.72.5＞1.73B ．24331()22->C ．1.70.3＞0.93.1D ．233423()()34> 三、填空题 13．已知函数23,0()21,0x x x f x x +≤⎧=⎨+>⎩，则()()1f f -的值为______． 14．函数()()2ln 3x x f x x +=-的零点是__________． 15．已知函数()()f x x R ∈满足()()2f x f x =-，若函数223y x x =--与()y f x =图象的交点为()()()1122,,,,m m x y x y x y ，则1ni i x ==∑___________.16．已知函数()f x ，给出下列四个结论：①函数2y x 是偶函数；②函数1y x x=-是增函数；③函数()f x 定义域为I ，区间D I ⊆，若任意12,x x D ∈，都有1212()()0f x f x x x ->-，则()f x 在区间D 上单调递增； ④()f x 定义域为I ， “对于任意x I ∈，总有()f x M ≥ (M 为常数)”是“函数()f x 在区间I 上的最小值为M ”的必要不充分条件.其中正确结论的序号是___________.四、解答题17．已知函数()sin x f x e x =⋅．（1）求函数在()()0,0f 处的切线方程；（2）求函数()f x 在区间π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值．18．近日，某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数()f x 与空气污染指数()p x 的关系为：()()()()10244f x p x p x k x =-+<≤，其中空气污染指数()p x 与时刻x （小时）和1x 的算术平均数成反比，且比例系数为12，k 是与气象有关的参数，10,2k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． (1)求空气污染指数()p x 的解析式和最大值；(2)若用每天环境综合污染指数()f x 的最大值作为当天的综合污染指数，该市规定：每天的综合污染指数最大值不得超过1．试问目前市中心的综合污染指数是否超标？请说明理由．19．某汽车租赁公司有200辆小汽车.若每辆车一天的租金为300元，可全部租出;若将出租收费标准每天提高10x 元(1≤x ≤50，x ∈N *)，则租出的车辆会相应减少4x 辆.（1）求该汽车租赁公司每天的收入y (元)关于x 的函数关系式；（2）若要使该汽车租赁公司每天的收入超过63840元，则每辆汽车的出租价格可定为多少元?20．已知幂函数()223m m f x x -++=，()m Z ∈为偶函数，且在区间()0,∞+上是增函数.函数()()224log log m g x x x =-，1,2x ⎡⎤∈⎣⎦（1）求m 的值；（2）求()g x 的最小值.21．做出()223,13,1x x x f x x ⎧+-≤=⎨>⎩的图象并求出其值域22．为了美化校园环境，学校打算在兰蕙广场上建造一个矩形花园，中间有三个完全一样的矩形花坛，每个花坛的面积均为294平方米，花坛四周的过道宽度均为2米，如图所示，设矩形花坛的长为x 米，宽为y 米，整个矩形花园的面积为S 平方米.（1）试用x 、y 表示S ；（2）为了节约用地，当矩形花坛的长为多少米时，新建矩形花园占地最少，占地最少为多少平方米?参考答案1．B2．C3．A4．C5．B6．B7．B8．B9．ACD10．BD11．ABC12．BC13．314．1.15．m16．①③④17．（1）0x y -=．（2）()max 0f x =．()π4min 22f x e -=- 18．(1)()21x p x x =+，(]0,24x ∈，()max 12p x =; (2)没有超标；19．（1）y=-40x 2+800x +60000(1≤x ≤50，x ∈N *)；（2）390元或400元或410元.20．（1）1m =；（2）116-. 21．[]4,-+∞.22．（1）312832S xy y x =+++；（2）矩形花坛的长为21米时，新建矩形花园占地最少，占地最少为1250平方米。

函数导数选择题精选练习(教师版完美答案解析版)

函数导数选择题精选练习第I 卷（选择题）一、选择题（本题共15道小题，每小题5分，共75分）已知函数sin()1,0()2log (01),0a x x f x xa a x π⎧-<⎪=⎨⎪>≠>⎩且的图象上关于y 轴对称的点至少有3对，则实数a的取值范围是（）A ．B ． C. D ．答案及解析：1.A原函数在y 轴左侧是一段正弦型函数图象，在y 轴右侧是一条对数函数的图象，要使得图象上关于y 轴对称的点至少有3对，可将左侧的图象对称到y 轴右侧，即sin()1(0)2y x x π=-->，应该与原来y 轴右侧的图象至少有3个公共点,如图，1a >不能满足条件，只有01a <<.此时，只需在5x =时，log a y x =的纵坐标大于-2，即log 52a >-，得0a <<．【考查方向】本题主要考查分段函数的应用，作出函数关于y 对称的图象，利用数形结合的思想是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．【易错点】分段函数的图像与性质，数形结合思想的应用【解题思路】求出函数f （x ）=sin （）﹣1，（x ＜0）关于y 轴对称的解析式，利用数形结合即可得到结论．2.已知函数y=f （x ）的图象为R 上的一条连续不断的曲线，当x≠0时，f′（x ）+x)x (f ＞0，则关于x 的函数g （x ）=f （x ）+x 1的零点的个数为（） A ．0 B ．1C ．2D ．0或2 答案及解析：2.A【考点】函数零点的判定定理．【分析】将求g （x ）的零点个数转化为求xg （x ）的最值问题，由已知求出h （x ）=xg （x ）＞0，得出g （x ）＞0恒成立．【解答】解：∵f′（x ）+＞0，令h （x ）=xf （x ）+1，∴h′（x ）=f （x ）+xf′（x ），∴x ＞0时，h （x ）单调递增，x ＜0时，h （x ）单调递减，∴h （x ）min =h （0）=1＞0，∴x≠0时，g （x ）＞0恒成立，故零点的个数是0个，故选：A ．3.函数f （x ）=sin （ln 1x 1x +-）的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．答案及解析：3.B【考点】函数的图象．【分析】利用函数的定义域以及函数的奇偶性，特殊值的位置，排除选项判断即可．【解答】解：函数f （x ）=sin （ln）的定义域为x ＞1或x ＜﹣1，排除A ，f （﹣x ）=sin （ln）=sin （﹣ln ）=﹣sin （ln ）=﹣f （x ），函数是奇函数排除C ，x=2时，函数f （x ）=sin （ln ）=﹣sin （ln3）＜0，对应点在第四象限，排除D ．故选：B ．4.定义在R 上的函数()f x 的图象关于y 轴对称，且()f x 在[)0,+∞上单调递减，若关于x 的不等式()()()2ln 3232ln 3f mx x f f mx x --≥--++在[]1,3x ∈上恒成立，则实数m 的取值范围为（） A. 1166,26n e +⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. 1166,3n e +⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 1136,3n e+⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. 1136,26n e+⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 答案及解析：4.D由于定义在R 上的函数()f x 的图象关于y 轴对称，则函数()f x 为偶函数.()()2ln 32ln 3f mx x f mx x -++=--，原不等式化为：()()2ln 33f mx x f --≥ 偶函数()f x 在[)0,+∞上单调增，则在(),0-∞上单调减，图象关于y 轴对称，则： 2ln 33mx x --≤ ， 32ln 33mx x -≤--≤ ， 02ln 6mx x ≤-≤ ,故ln 2ln 6x mx x ≤≤+ ， ln ln 62x x m x x +≤≤ ，设()ln x g x x = ， ()21ln x g x x-'= ，易知当x e = 时， ()max 1g x e =，则1122m m e e ≥⇒≥ ；令()ln 6x h x x += ， ()2ln 5x h x x'+=- ， []1,3x ∈ ， ()0h x '<， ()h x 在[]1,3 上是减函数， ()()min ln3633h x h +≤=，则ln36ln36236m m ++≤⇒≤ ，综上可得：1ln3626m e +≤≤ ，选D. 5.已知===,则A. B. C. D.答案及解析：5.A本题考查导数在研究函数中的应用.构造函数,而,解得;即当时,,函数单增;当时,,函数单减，而,所以,即.选A.6.已知函数f（x）=x3+2x﹣1（x＜0）与g（x）=x3﹣log2（x+a）+1的图象上存在关于原点对称的点，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，2）B．（0，）C．（，2）D．（0，2）答案及解析：6.D【考点】函数与方程的综合运用；函数的图象．【分析】设出对称点的坐标，代入两个函数的解析式，转化为方程有解，利用函数图象关系列出不等式求解即可．【解答】解：函数f（x）=x3+2x﹣1（x＜0）与g（x）=x3﹣log2（x+a）+1的图象上存在关于原点对称的点，设函数f（x）=x3+2x﹣1（x＜0）上的一点为（m，n），m＜0，可得n=m3+2m﹣1，则（﹣m，﹣n）在g（x）=x3﹣log2（x+a）+1的图象上，﹣n=﹣m3﹣log2（﹣m+a）+1，可得2m =log 2（﹣m+a），即（m ＜0）有解，即，t ＞0有解．作出y=，与y=log 2（t+a ），t ＞0的图象，如图：只需log 2a ＜1即可．解得a ∈（0，2）．故选：D ．7.已知函数()2,01,0x e x f x x ax x ⎧≤⎪=⎨++>⎪⎩， ()()1F x f x x =--，且函数()F x 有2个零点，则实数a 的取值范围是A. (],0-∞B. [)1,+∞C. ()0,+∞D.(),1-∞答案及解析：7.D8.（2016秋•天津期中）设函数f （x ）=，关于x 的方程[f （x ）]2+mf （x ）﹣1=0有三个不同的实数解，则实数m 的取值范围是（）A ．（﹣∞，e ﹣）B ．（e ﹣，+∞）C ．（0，e ）D ．（1，e ）答案及解析：8.B【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】求出f（x）的单调性和极值，判断方程f（x）=k的根的情况，令g（x）=x2+mx ﹣1，根据f（x）=k的根的情况得出g（x）的零点分布情况，利用零点的存在性定理列出不等式求出m的范围．【解答】解：f′（x）=，∴当x＞e时，f′（x）＜0，当0＜x＜e时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，e]上单调递增，在（e，+∞）上单调递减．∴f max（x）=f（e）=．作出f（x）的大致函数图象如下：由图象可知当0＜k时，f（x）=k有两解，当k≤0或k=时，f（x）=k有一解，当k时，f（x）=k无解．令g（x）=x2+mx﹣1，则g（f（x））有三个零点，∴g（x）在（0，）上有一个零点，在（﹣∞，0]∪{}上有一个零点．∵g（x）的图象开口向上，且g（0）=0，∴g（x）在（﹣∞，0）上必有一个零点，∴g（）＞0，即，解得m＞e﹣．故选B．【点评】本题考查了函数的单调性，零点的存在性定理，二次函数的性质，属于中档题．9.（2016秋•天津期中）定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x+2）=f （x ），且在[﹣3，﹣2]上是减函数，若α，β是锐角三角形的两个内角，则（）A ．f （sin α）＞f （sin β）B ．f （sin α）＜f （cos β）C ．f （cos α）＜f （cos β）D ．f （sin α）＞f （cos β）答案及解析： 9.D【考点】函数奇偶性的性质．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】根据f （x+2）=f （x ），所以函数的周期为2，在[﹣3，﹣2]上是减函数，可得f （x ）在[﹣1，0]上为减函数，因为f （x ）为偶函数，所以f （x ）在[0，1]上为单调增函数．在根据α，β是锐角三角形的两个内角，利用三角函数诱导公式化简可得答案．【解答】解：由题意：可知f （x+2）=f （x ），∴f （x ）是周期为2的函数，∵f （x ）在[﹣3，﹣2]上为减函数，∴f （x ）在[﹣1，0]上为减函数，又∵f （x ）为偶函数，根据偶函数对称区间的单调性相反，∴f （x ）在[0，1]上为单调增函数．∵在锐角三角形中，π﹣α﹣β＜∴π﹣α﹣β，即， ∴＞α＞﹣β＞0，∴sin α＞sin （）=cos β； ∵f （x ）在[0，1]上为单调增函数．所以f （sin α）＞f （cos β），故选：D ．【点评】本题主要考查了函数的奇偶性和周期性的应用，以及三角函数的图象和性质，综合性较强，涉及的知识点较多．属于中档题．10.函数()ln x y e x a =-+（e 为自然对数的底数）的值域是正实数集R +，则实数a 的取值范围为（）A ．(),1-∞-B ．(]0,1C ．(]1,0-D ．()1,-+∞答案及解析：10.C试题分析：函数()ln x y e x a =-+（e 为自然对数的底数）的值域是正实数集R +等价于函数()x h x e x a =-+的最小值可以为1，()1x h x e '=-，当0x <时，()0h x '<，函数()h x 在区间(,0)-∞上单调递减，当0x >时，()0h x '>，函数()h x 在区间(0,)+∞上单调递增，所以min ()(0)1h x h a ==+，所以011a <+≤，即10a -<≤，故选C. 考点：1.对数函数的性质；2.导数与函数的单调性.11.已知函数f （x ）=log（x 2+）﹣||，则使得f （x+1）＜f （2x ﹣1）的x 的范围是（）A ．（0，2）B ．（﹣∞，0）C ．（﹣∞，0）∪（2，+∞）D ．（2，+∞）答案及解析：11.A【考点】对数函数的图象与性质．【分析】根据函数的单调性和奇偶性将问题转化为|x+1|＞|2x ﹣1|，解出即可．【解答】解：x ＞0时，f （x ）=log（x 2+）﹣是减函数，x ＜0时，f （x ）=log （x 2+）+是增函数，且f （﹣x ）=f （x ）是偶函数，若f （x+1）＜f （2x ﹣1），则|x+1|＞|2x ﹣1|，解得：0＜x ＜2，故选：A ．12.已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且f （2﹣x ）=f （x ）当x ∈[0，1]时，f （x ）=e ﹣x ，若函数y=[f （x ）]2+（m+l ）f （x ）+n 在区间[﹣k ，k]（k ＞0）内有奇数个零点，则m+n=（）A ．﹣2B ．0C ．1D ．2 答案及解析：12.A【考点】函数奇偶性的性质；函数零点的判定定理．【分析】根据已知条件，f（x）为偶函数，再结合零点的定义可知，函数y=[f（x）]2+（m+1）f（x）+n在区间[﹣k，0）和区间（0，k]上的零点个数相同，所以便知k=0是该函数的一个零点，所以可得到0=1+m+1+n，所以m+n=﹣2．【解答】解：∵y=f（x）是偶函数；又∵函数y=[f（x）]2+（m+1）f（x）+n在区间[﹣k，k]内有奇数个零点；∴若该函数在[﹣k，0）有零点，则对应在（0，k]有相同的零点；∵零点个数为奇数，∴x=0时该函数有零点；∴0=1+m+1+n；∴m+n=﹣2．故选：A．【点评】考查偶函数的定义：f（﹣x）=f（x），零点的定义，以及对于零点定义的运用．13.已知函数f（x）=lnx﹣x3与g（x）=x3﹣ax的图象上存在关于x轴的对称点，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，e）B．（﹣∞，e] C．D．答案及解析：13.D【考点】57：函数与方程的综合运用．【分析】由题意可知f（x）=﹣g（x）有解，即y=lnx与y=ax有交点，根据导数的几何意义，求出切点，结合图象，可知a的范围．【解答】解：函数f（x）=lnx﹣x3与g（x）=x3﹣ax的图象上存在关于x轴的对称点，∴f（x）=﹣g（x）有解，∴lnx﹣x3=﹣x3+ax，∴lnx=ax，在（0，+∞）有解，分别设y=lnx，y=ax，若y=ax为y=lnx的切线，∴y′=，设切点为（x0，y0），∴a=，ax0=lnx0，∴x0=e，∴a=，结合图象可知，a≤故选：D．14.已知f（x）是偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，若f（ax+1）≤f（x﹣2）在上恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣2，1] B．[﹣2，0] C．[﹣1，1] D．[﹣1，0]答案及解析：14.B【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【分析】因为偶函数在对称区间上单调性相反，根据已知中f（x）是偶函数，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，易得f（x）在（﹣∞，0）上为减函数，又由若时，不等式f（ax+1）≤f（x﹣2）恒成立，结合函数恒成立的条件，求出时f（x﹣2）的最小值，从而可以构造一个关于a的不等式，解不等式即可得到实数a的取值范围．【解答】解：∵f（x）是偶函数，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，∴f（x）在（﹣∞，0）上为减函数，当时，x﹣2∈[﹣，﹣1]，故f（x﹣2）≥f（﹣1）=f（1），若时，不等式f（ax+1）≤f（x﹣2）恒成立，则当时，|ax+1|≤1恒成立，∴﹣1≤ax+1≤1，∴≤a≤0，∴﹣2≤a≤0，故选B．15.已知函数f（x）（0≤x≤1）的图象的一段圆弧（如图所示）若0＜x1＜x2＜1，则（）A．B．C．D．当时，当x≥时答案及解析：15.C【考点】35：函数的图象与图象变化．【分析】由题设条件及图象知，此函数是图象是先增后减，考查四个选项，研究的是比较的是两个数大小，由它们的形式知几何意义是（x，f（x））与原点（0，0）连线的斜率，由此规律即可选出正确选项．【解答】解：由函数的图象知，此函数的图象先增后减，其变化率先正后负，逐渐变小考察四个选项，要比较的是两个数大小，由其形式，其几何意义是（x，f（x））与原点（0，0）连线的斜率由此函数图象的变化特征知，随着自变量的增大，图象上的点与原点连线的斜率逐渐变小，当0＜x1＜x2＜1，一定有考察四个选项，应选C故选C【点评】本题考查函数的图象及图象变化，解题的关键是考查四个选项，找出问题探究的方向，再结合图象的变化得出答案，本题形式新颖，由图象给出题设，由形入数，考查了数形结合的思想及理解能力．第II 卷（非选择题）二、解答题（本题共1道小题,第1题0分,共0分）三、填空题（本题共7道小题，每小题0分，共0分）函数f （x ）=﹣x 2+2ax 与g （x ）= 1x ax1+-在区间（1，2）上都单调递减，则实数a 的取值范围是．答案及解析：16.（﹣1，1]【考点】函数单调性的性质．【分析】分别利用二次函数、反比例函数的单调性，确定a 的范围，即可得出结论．【解答】解：∵f （x ）=﹣x 2+2ax 的图象是开口朝下，以x=a 为对称轴的抛物线，f （x ）=﹣x 2+2ax 在区间[1，2]上是减函数，∴a≤1①；∵g （x ）==﹣a+在区间（1，2）上都单调递减，∴有a+1＞0，解得a ＞﹣1②；综①②，得﹣1＜a≤1，即实数a 的取值范围是（﹣1，1]．故答案为：（﹣1，1]． 17.已知动点P 在棱长为1的正方体的表面上运动,且线段,记点P 的轨迹长度为.给出以下四个命题:①; ②; ③;④函数在上是增函数,在上是减函数.其中为真命题的是(写出所有真命题的序号)答案及解析：17.①④本题考查空间几何体的结构特征,点的轨迹.如图所示,当时,,所以,即①正确;当时,如图,求得,,所以,所以,即②错误;,即③错误;而,所以函数在上是增函数,在上是减函数,即④正确;所以真命题的是①④.18.设a∈R，函数f（x）=x|x﹣a|﹣a，若对任意的x∈[2，3]，f（x）≥0恒成立，则a的取值范围是．答案及解析：18.（﹣∞，]∪[，+∞）【考点】函数恒成立问题．【分析】讨论a的取值：a＜2，2≤a≤3，a＞3，三种情况，求出每种情况下的f（x）的最小值，让最小值大于等于0从而求出a的取值范围．【解答】解：f（x）=x|x﹣a|﹣a；∴①若a＜2，则x=2时，f（x）在[2，3]上取得最小值f（2）=2（2﹣a）﹣a=4﹣3a；∴4﹣3a≥0，a≤；∴a≤；②若2≤a≤3，则x=a时，f（x）取得最小值f（a）=﹣a；﹣a＜0，不满足f（x）≥0；即这种情况不存在；③若a＞3，则x=3时，f（x）取得最小值f（3）=3（a﹣3）﹣a=2a﹣9；∴2a﹣9≥0，a≥；∴a≥；综上得a的取值范围为：（﹣∞，]∪[，+∞）．【点评】考查奇函数的定义，奇函数在原点有定义时f（0）=0，函数零点的定义，含绝对值函数求最值的方法：观察解析式的方法，以及画出分段函数的图象，以及根据图象求函数零点个数的方法．19.下列命题正确是，（写出所有正确命题的序号）①若奇函数f（x）的周期为4，则函数f（x）的图象关于（2，0）对称；②若a∈（0，1），则a1+a＜a；③函数f（x）=ln是奇函数；④存在唯一的实数a使f（x）=lg（ax+）为奇函数．答案及解析：19.①③【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①，若奇函数f（x）的周期为4，则f（﹣x）=f（﹣x+4）=﹣f（x），则函数f （x）的图象关于（2，0）对称；②，若a∈（0，1），1+a＜1+则a1+a＞a；③，函数f（x）=ln满足f（x）+f（﹣x）=0，且定义域为（﹣1，1），f（x）是奇函数；④，f（x）=lg（ax+）为奇函数时（ax+）（ax+）=1⇒a=±1．【解答】解：对于①，若奇函数f（x）的周期为4，则f（﹣x）=f（﹣x+4）=﹣f（x），则函数f（x）的图象关于（2，0）对称，故正确；对于②，若a∈（0，1），1+a＜1+则a1+a＞a，故错；对于③，函数f（x）=ln满足f（x）+f（﹣x）=0，且定义域为（﹣1，1），f（x）是奇函数，正确；对于④，f（x）=lg（ax+）为奇函数时，（ax+）（ax+）=1⇒a=±1，故错．故答案为：①③20.设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意x1，x2∈D，满足x1+x2=2a时，恒有f（x1）+f （x2）=2b，则称点Q为函数y（x）=f（x）图象的对称中心，研究并利用函数f（x）=x3﹣3x2﹣sin（πx）的对称中心，可得f（）+f（）+…+f（）= ．答案及解析：20.﹣8066【考点】3O：函数的图象．【分析】根据题意，将函数的解析式变形可得f（x）=x3﹣3x2﹣sin（πx）=（x﹣1）3﹣sin（πx）﹣3（x﹣1）﹣2，分析可得x1+x2=2，则f（x1）+f（x2）=﹣4，由此计算可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）=x3﹣3x2﹣sin（πx）=（x﹣1）3﹣sin（πx）﹣3（x﹣1）﹣2，分析可得：若x1+x2=2，则f（x1）+f（x2）=﹣4，=；故答案为：﹣8066．21.函数f（x）=，若方程f（x）=mx﹣恰有四个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是．答案及解析：21.（，）【考点】53：函数的零点与方程根的关系．【分析】方程f（x）=mx﹣恰有四个不相等的实数根可化为函数f（x）=与函数y=mx﹣有四个不同的交点，作函数f（x）=与函数y=mx﹣的图象，由数形结合求解．【解答】解：方程f（x）=mx﹣恰有四个不相等的实数根可化为函数f（x）=与函数y=mx﹣有四个不同的交点，作函数f（x）=与函数y=mx﹣的图象如下，由题意，C（0，﹣），B（1，0）；故k BC =，当x＞1时，f（x）=lnx，f′（x）=；设切点A的坐标为（x1，lnx1），则=；解得，x1=；故k AC =；结合图象可得，实数m的取值范围是（，）．故答案为：（，）．22.已知函数f（x）=|x﹣a|x+b，给出下列命题：①当a=0时，f（x）的图象关于点（0，b）成中心对称；②当x＞a时，f（x）是递增函数；③f（x）=0至多有两个实数根；④当0≤x≤a时，f（x）的最大值为．其中正确的序号是．答案及解析：22.①②④【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】根据函数的单调性和奇偶性，对各个选项加以判断．利用奇函数图象关于原点对称，可得①正确；利用二次函数图象及其单调性，得出②正确；举出一个反例，可得③不正确；利用二次函数图象与性质，求函数的最值可得出④正确．【解答】解：对各个选项分别加以判别：对于①，当a=0时，f（x）=|x|x+b，可得f（﹣x）=﹣|x|x+b∴f（x）+f（﹣x）=2b，可得f（x）的图象关于点（0，b）成中心对称；对于②，当x＞a时，f（x）=x（x﹣a）+b，图象的对称轴为，开口向上因此在对称轴的右侧为增函数，所以当x＞a时，f（x）是递增函数；对于③，可以取a=3，b=﹣2时，f（x）=0有三个实数根：，故③不正确；对于④，当0≤x≤a时，f（x）=﹣x2+ax+b当x=时，函数的最大值为f（）=．故答案为：①②④【点评】本题以函数的奇偶性和单调性为载体，考查了命题真假的判断，属于中档题，熟练掌握函数的基本性质是解决本题的关键所在．。

《函数与导数》测试题(含标准答案)

《函数与导数》测试题一、选择题1.函数的单调递增区间是（ )A. B.（0,3） C.（1,4) D 。

解析，令，解得,故选D2。

已知直线y=x+1与曲线相切，则α的值为（）A.1 B. 2 C 。

-1 D 。

-2 解:设切点，则,又。

故答案选B 3。

已知函数在R 上满足，则曲线在点处的切线方程是（ )A. B 。

C. D 。

解析由得几何,即，∴∴，∴切线方程，即选A4。

存在过点的直线与曲线和都相切，则等于（） A ．或 B ．或 C ．或 D ．或解析设过的直线与相切于点，所以切线方程为即，又在切线上，则或，x e x x f )3()(-=)2,(-∞),2(+∞()()(3)(3)(2)x x x f x x e x e x e '''=-+-=-()0f x '>2x >y ln()x a =+00(,)P x y 0000ln 1,()y x a y x =+=+0'01|1x x y x a===+00010,12x a y x a ∴+=∴==-∴=()f x 2()2(2)88f x f x x x =--+-()y f x =(1,(1))f 21y x =-y x =32y x =-23y x =-+2()2(2)88f x f x x x =--+-2(2)2()(2)8(2)8f x f x x x -=--+--22()(2)44f x f x x x --=+-2()f x x =/()2f x x =12(1)y x -=-210x y --=(1,0)3y x =21594y ax x =+-a 1-25-641-21474-25-6474-7(1,0)3y x =300(,)x x 320003()y x x x x -=-230032y x x x =-(1,0)00x =032x =-当时，由与相切可得，当时，由与相切可得,所以选. 5。

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A B C D
14、(河北省正定中学2008年高三第五次月考)定义在R上的函数y＝f（x）满足：f（－x）＝－f（x），f（1＋x）＝f（1－x），当x∈[－1,1]时，f（x）＝x3，则f（2 007）的值是（）
(A)－1(B)0(C)1(D)2
15、(河南省濮阳市2008年高三摸底考试)设函数f(x)＝ax2＋bx－c (a≠0)对任意实数t都有f(2＋t)＝f(2－t)成立，在函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中最小的一个不可能是( )
A．a>1B．1<a<12C．1<a≤12D．1<a≤4
6、(陕西长安二中2008届高三第一学期第二次月考)定义在R上的偶函数满足，且在[-1，0]上单调递增，设，，，则大小关系是
A． B． C． D．
7、(陕西长安二中2008届高三第一学期第二次月考)函数值域为
A．（-∞，1）B．（，1）C．[ ，1）D．[ ，+∞）
A．11 B．6 C． D．
7、(北京市宣武区2008年高三综合练习一)给出定义：若（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作 = m.在此基础上给出下列关于函数的四个命题：
①函数y= 的定义域为R，值域为；
②函数y= 的图像关于直线（）对称；
③函数y= 是周期函数，最小正周期为1；
A. B. C. D.
16、(甘肃省兰州一中2008届高三上期期末考试)如果函数对任意的实数x，都有，那么（）
A． B．
C． D．
17、(四川省乐山市2008届第一次调研考试)若函数在R上既是奇函数，又是减函数，则的图象是（）
18、(四川省成都市一诊)对任意的实数a、b，记．若，其中奇函数y=f(x)在x=l时有极小值-2，y=g(x)是正比例函数，函数与函数y=g(x)的图象如图所示．则下列关于函数的说法中，正确的是
A. B. C. D.
第三部分
1、(广东省惠州市2008届高三第三次调研考试)定义运算a b= ，则函数f(x)=1 2 的图象是（）.
2、(广东省惠州市2008届高三第三次调研考试)已知函数① ；② ；③ ；④ .其中对于定义域内的任意一个自变量都存在唯一个自变量 =3成立的函数是（）.
A．③B．②③C．①②④D．④
④函数y= 在上是增函数。
其中正确的命题的序号是(）
A①B②③C①②③D①④
8、(山东省博兴二中高三第三次月考)若奇函数满足，则的值是
A．0B．1C． D．5
9、(山东省博兴二中高三第三次月考)若函数的图象如右图所示，
则函数的图象大致为（）
A B C D
10、(山东省博兴二中高三第三次月考)定义在R上的偶函数的x的集合为A． B． C． D．
A． B． C． D．
5、(广东省深圳外国语学校2008届第三次质检)已知函数的图象如右图，则（）
A． B． C． D．
6、(广东省五校2008年高三上期末联考)已知，则的值等于
A． B．1 C．2 D．3
7 (贵州省贵阳六中、遵义四中2008年高三联考理)对于函数① ，② ，③ ，判断如下三个命题的真假：
20、(安徽省巢湖市2008届高三第二次教学质量检测)函数的定义域为R，对任意实数满足，且＝，当时，＝，则的单调减区间是（）
A.[2 ，2 +1]( )B.[2 -1，2 ]( )
C.[2 ，2 +2]( )D.[2 -2，2 ]( )
第二部分
1、(安徽省巢湖市2008届高三第二次教学质量检测)设若关于的方程有三个不同的实数解，则等于（）
8、(陕西长安二中2008届高三第一学期第二次月考)已知，则函数的最大值为
A．6 B．13 C．22 D．33
9、(陕西长安二中2008届高三第一学期第二次月考)函数是( )
A．奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数
10、(陕西长安二中2008届高三第一学期第二次月考)设f(x)是定义在R上的函数，且在(-∞，+∞)上是增函数，又F(x)=f(x)-f(-x)，那么F(x)一定是( )
3、(广东省韶关市2008届高三第一次调研考试)在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数的图象恰好通过个整点，则称函数为阶整点函数。有下列函数：
1 ；② ③ ④ ，
其中是一阶整点函数的是( )
A.①②③④B.①③④C.①④D.④
4(广东省深圳市2008年高三年级第一次调研考试)设是定义在上的奇函数，且当时，，则（）
A.奇函数，且在(-∞，+∞)上是增函数B.奇函数，且在(-∞，+∞)上是减函数
C.偶函数，且在(-∞，+∞)上是增函数D.偶函数，且在(-∞，+∞)上是减函数
11、(陕西长安二中2008届高三第一学期第二次月考)函数的单调递增区间是( )
A.［- ，+∞) B.［- ，2)C.(-∞，- ) D.(-3，- )
11、(四川省成都市高2008届毕业班摸底测试)已知函数 =（）
A．3B． C．1D．2
12、(东北区三省四市2008年第一次联合考试) 的值为
A．－4B．4C．2D．－2
13、(东北师大附中高2008届第四次摸底考试)已知定义域为R的函数在区间上为减函数，且函数为偶函数，则（）
A． B． C． D．
12、(陕西长安二中2008届高三第一学期第二次月考)已知恒为正数，那么实数的取值范围是( )
A. ＜ B. ＜ ≤ C. ＞1 D. ＜＜或＞1
13、(陕西长安二中2008届高三第一学期第二次月考)定义在R上的奇函数满足，若当x∈(0，3)时，，则当x∈(- 6，-3)时， =( )
18、(福建省师大附中2008年高三上期期末考试)定义在R上的函数满足，当时，单调递增，如果的值（）
A．恒小于0B．恒大于0C．可能为0D．可正可负
19、(福建省厦门市2008学年高三质量检查)函数的图象大致是（）
20、(福建省漳州一中2008年上期期末考试)函数的定义域为，若满足：① 在内是单调函数；②存在，使得在上的值域也是，则称为闭函数.若是闭函数，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
A.5 B. C.13 D.
2、(北京市崇文区2008年高三统一练习一)已知，则下列不等式成立的是（）
A． B． C． D．
3、(北京市东城区2008年高三综合练习一）“ ”是“函数上是充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4、(北京市东城区2008年高三综合练习二)若函数上为减函数，且对任意的，则（）
A． B．2C． D．4
12、(河北省正定中学高2008届一模)若一系列函数的解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为，值域为的“孪生函数”共有
A．4个B．8个C．9个D．12个
13、(河北省正定中学2008年高三第五次月考)设（）是奇函数，则使的的取值范围是（）
第一部分
1、(江苏省启东中学高三综合测试四)已知是定义在R上的函数，且恒成立，当时，，则当时，函数的解析式为（）
A． B． C． D．
2、(江西省五校2008届高三开学联考)若函数的图象如图所示，则m的范围为
A．（－∞，－1）B．（－1，2）
C．（1，2）D．（0，2）
3、(四川省巴蜀联盟2008届高三年级第二次联考)设偶函数f（x）对任意x∈R，都有f（x）+f（x+1）=4，当x∈[-3,-2]时，f（x）=4x+12，则f（112.5）的值为
A．2B．3C．4D．5
4、(四川省巴蜀联盟2008届高三年级第二次联考)函数f（x）=ax2+bx+6满足条件f（-1）=f（3），则f（2）的值为
A．5B．6C．8D．与a，b值有关
5、(四川省巴蜀联盟2008届高三年级第二次联考)函数f（x）=loga（x3–ax）（a>0且a≠1）在 2,+∞）上单调递增，则a的取值范围是
A．f(－1) B．f(1) C．f(2) D．f(5)
16、(河南省上蔡一中2008届高三月考)已知映射 ,其中 ,对应法则若对实数 ,在集合A中不存在原象,则的取值范围是
A． B． C． D．
17、(河南省上蔡一中2008届高三月考)函数则的所有可能值为
A．1B． C．1， D．1，
18、(河南省许昌市2008年上期末质量评估)函数y＝f(x)的定义域是(－∞，＋∞)，若对于任意的正数a，函数g(x)＝f(x＋a)－f(x)都是其定义域上的增函数，则函数y＝f(x)的图象可能是
A. B.- C. D.-
14、(四川省成都市新都一中高2008级一诊适应性测试)函数f(x) =logax(a>0,a≠1)，若f(x1)－f(x2) =1，则等于（）
A．2B．1C． D．loga2
15、(广东省2008届六校第二次联考)若函数的定义域为 ,则下列函数中可能是偶函数的是( ).
A． B． C． D．
第四部分
1、(湖北省八校高2008第二次联考)设函数，区间，集合 ,则使成立的实数对有（）
A．1个B．3个C．2个D．非以上答案的个数
2、(湖北省黄冈中学2008届高三第一次模拟考试)设奇函数f(x)在[-1，1]上是增函数，且，若函数对所有的都成立，则当时，t的取值范围是（）
14、(福建省南靖一中2008年第四次月考)若奇函数（）满足，则（）
A．0 B．1 C． D．
15、(福建省莆田一中2007～2008学年上学期期末考试卷)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若f(x)的最小正周期为3，且f(1)＜1，f(2)= (m2－m)，则m的取值范围是（）