北京市延庆区2020届高三3月模拟考试 数学(含答案)

2020北京延庆区高三一模数学 2020.3 本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将答题纸交回。

第一部分（选择题，共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知复数是正实数，则实数的值为A. B. C. D.2. 已知向量若与方向相同，则等于A. B. C. D.3. 下列函数中最小正周期为的函数是A. B. C. D.4. 下列函数中，是奇函数且在其定义域上是增函数的是A. B. C. D.5.某四棱锥的三视图所示，已知该四棱锥的体积为, ，则它的表面积为A. 8B. 12C. D. 206. 的展开式中，的系数是A. 160B. 80C. 50D. 107. 在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转到点，设直线与轴正半轴所成的最小正角为，则等于A. B.C. D.8. 已知直线，平面，那么“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9.某企业生产两种型号的产品，每年的产量分别为万支和万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的两种产品的年产量的增长率分别为和，那么至少经过多少年后，产品的年产量会超过产品的年产量（取）A. 6年B. 7年C. 8年D. 9年10. 已知双曲线的右焦点为，过原点的直线与双曲线交于两点，且则的面积为A. B. C. D.第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共5小题，每小题 5 分，共 25 分。

11. 已知集合,且则的取值范围是12. 经过点且与圆相切的直线的方程是13. 已知函数则14. 某网店统计连续三天出售商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4 种，则该网店第一天售出但第二天未售出的商品有种；这三天售出的商品至少有种.15. 在中，是边的中点.若，则的长等于；若，则的面积等于.三、解答题共6小题，共85分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16.（本小题14分）如图，四棱锥的底面是正方形，是的中点，平面，是棱上的一点，平面.（Ⅰ）求证：是的中点；（Ⅱ）求证：和所成角等于17.（本小题14分）已知数列是等差数列，是的前项和，，.（Ⅰ）判断是否是数列中的项，并说明理由；（Ⅱ）求的最值.从①，②，③中任选一个，补充在上面的问题中并作答. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。

18. （本小题14分）三个班共有名学生，为调查他们的上网情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的上网时长，数据如下表（单位：小时）：班班班（Ⅰ）试估计班的学生人数；（Ⅱ）从这120名学生中任选1名学生，估计这名学生一周上网时长超过15小时的概率；（Ⅲ）从A班抽出的6名学生中随机选取2人，从B班抽出的7名学生中随机选取1人，求这3人中恰有2人一周上网时长超过15小时的概率.19. （本小题14分）已知函数其中（Ⅰ）当时，求曲线在原点处的切线方程；（Ⅱ）若函数在上存在最大值和最小值，求a的取值范围.20.（本小题15分）已知椭圆的左焦点为且经过点分别是的右顶点和上顶点，过原点的直线与交于两点（点在第一象限），且与线段交于点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若，求直线的方程；（Ⅲ）若的面积是的面积的倍，求直线的方程.21.（本小题14分）在数列中，若且则称为“数列”。

设为“数列”，记的前项和为（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若，求的值；（Ⅲ）证明：中总有一项为或.2020北京延庆区高三一模数学参考答案一、选择题: （每小题4分，共10小题，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. C 2．D ． 3．D 4．C 5. B 6．B 7．A 8. C 9. B 10. A 二、填空题: （每小题5分，共5小题，共25分）11．(,3)-∞； 12. 3(2)3y x =±+； 13．132-；14．16,29； 15．7,42.10. 考察知识：双曲线的定义和性质（对称性、渐近线、离心率），平行四边形的定义和性质（相邻内角互补），三角形的性质（余弦定理、面积公式）.15. 在ACD ∆中，sin 2sin 45AC CD =∠︒，在ABD ∆中，sin 1sin 3AB BD=∠∠，相除得：3sin 35∠=， 所以72sin sin(453)A ∠=︒+∠=，所以1sin 422ABC S AB AC A ∆=⋅⋅=. 三、解答题：（共6小题，共85分. 解答应写出文字说明、演算步骤.）16.（Ⅰ）联结AC ，设AC 与BD 交于F ，联结EF ， …………1分因为 //PA 平面BDE ，平面PAC I 平面BDE =EF ,所以 //PA EF …………4分 因为 ABCD 是正方形，所以 F 是AC 的中点所以 E 是PC 的中点 …………6分 （Ⅱ）（法一）因为 PO ⊥平面ABCD ，所以PO BC ⊥ …………7分因为 ABCD 是正方形， 所以 BC CD ⊥因为 PO CD O =I所以 BC ⊥平面PDC …………10分 所以 BC PD ⊥ 因为 PD PC ⊥ 因为 BC PC C =I所以 PD ⊥平面PBC …………13分 因为 BE ⊂平面PBC 所以 PD BE ⊥所以 PD 与BE 成90︒角. …………14分 （法二）连接OF ，因为 PO ⊥平面ABCD ，所以 PO ⊥CD ， PO ⊥OF . ………7分因为 ABCD 是正方形，所以 OFCD ⊥.所以 ,,OF OC OP 两两垂直.以,,OF OC OP 分别为x 、y 、z 建立空间直角坐标系O xyz -.………8分 则(0,0,2)P ，(0,2,0)D -，(4,2,0)B ，(0,1,1)E ， ………9分(0,2,2)PD =--u u u v ，(3,1,1)BE =--u u u v, ………10分0(3)(2)(1)(2)1PD BE ⋅=⨯-+-⨯-+-⨯u u u v u u u v（………1分）0= ………13分所以所以 PD 与BE 成90︒角. ………14分17. 解：选① （Ⅰ）因为10816,10a a ==，所以3d = …………2分 所以 187102111a a d =-=-=- …………4分 所以1(1)11(1)3n a a n d n =+-=-+-⨯314n =- …………6分令 3142024n -=，则32038n = 此方程无正整数解所以2024不是数列{}n a 中的项. …………8分 不能只看结果；某一步骤出错，即使后面步骤都对，给分不能超过全部分数的一半； 只有结果，正确给1分.（Ⅱ）（法一）令0n a >， 即 3140n ->，解得：142433n >= ∴当5n ≥时，0,n a >当4n ≤时，0,n a < …………11分 ∴当4n =时，n S 的最小值为41185226S =----=-.…13分n S 无最大值 …………14分只给出最小值-26，未说明n=4扣1分.n S 无最大值 …1分（Ⅱ）（法二）21()325222n n n a a S n n +==-， 2514266b a -== …………11分 ∴当4n =时，n S 的最小值为43251642622S =⨯-⨯=-.…13分n S 无最大值 …………14分选② （Ⅰ）10816,8a a ==Q ，4d ∴= …………2分18782820a a d ∴=-=-=- …………4分 1(1)20(1)4n a a n d n ∴=+-=-+-⨯424n =- …………6分令 4242024n -=，则42048n = 解得512n =2024∴是数列{}n a 中的第512项. …………8分（Ⅱ）令0n a ≥， 即 4240n -≥，解得：6n ≥∴当6n =时，0,n a =∴当6n >时，0,n a >当6n <时，0,n a < …………11分 ∴当5n =或6n =时，n S 的最小值为562016128460S S ==-----=-. …………13分 n S 无最大值 …………14分选③ （Ⅰ）10816,20a a ==Q ，2d ∴=- …………2分187201434a a d ∴=-=+= …………4分 1(1)34(1)(2)n a a n d n ∴=+-=+-⨯-236n =-+ …………6分令 2362024n -+=，则994n =-（舍去）2024∴不是数列{}n a 中的项. …………8分（Ⅱ）令0n a ≥， 即 2360n -+≥，解得：18n ≤∴当18n =时，0,n a =∴当18n >时，0,n a <当18n <时，0,n a > …………11分 ∴当17n =或18n =时，n S 的最大值为171818(340)3062S S ⨯+===. …………13分n S 无最小值. …………14分18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意知，抽出的20名学生中，来自A 班的学生有6名．根据分层抽样 方法，A 班的学生人数估计为61203620⨯=． …………3分 只有结果36扣1分（Ⅱ）设从选出的20名学生中任选1人，共有20种选法，…………4分 设此人一周上网时长超过15小时为事件D,其中D 包含的选法有3+2+4=9种， …………6分9()20P D ∴=. …………7分 由此估计从120名学生中任选1名，该生一周上网时长超过15小时的 概率为920. ……………8分 只有结果920而无必要的文字说明和运算步骤，扣2分. （Ⅲ）设从A 班抽出的6名学生中随机选取2人，其中恰有(12)i i ≤≤人一周上网超过15小时为事件i E ,从B 班抽出的7名学生中随机选取1人，此人一周上网超过15小时为事件F 则所求事件的概率为：2111135332212167151811()15735C C C C C P E F E F C C ++===⨯U . ……………14分 （Ⅲ）另解：从A 班的6人中随机选2人，有26C 种选法，从B 班的7人中随机选1人，有17C 种选法，故选法总数为：2167157105C C ⋅=⨯=种 ……………10分 设事件“此3人中恰有2人一周上网时长超过15小时”为E ，则E 中包含以下情况：（1）从A 班选出的2人超15小时，而B 班选出的1人不超15小时， （2）从A 班选出的2人中恰有1人超15小时，而B 班选出的1人 超15小时， ……………11分所以21111353322167151811()15735C C C C C P E C C ++===⨯. ……………14分 只有21111353322167151811()15735C C C C C P E C C ++===⨯，而无文字说明，扣1分 有设或答，有11()35P E =，给3分 19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：222)1()1(2)(1+-='=x x x f a 时，当. ∴切线的斜率2)0(='=f k ； 0)0(=f∴曲线)(x f y =在原点处的切线方程为：x y 2=. ……………5分（Ⅱ）2222)1(2)12()1(2)(+-+-+='x xa ax x a x f 22222222221()(1)(1)ax a x a ax x a x x -+-+--+==++（）（）……………7分（1）当时，0>a 0100)(21>=<-=⇒='a x a x x f ；则的变化情况如下表：随、x x f x f )()('）上单调递减，）上单调递增，在（在（+∞∴,11,0)(a a x f……………9分x 0（0，a 1） a 1 （∞+，a1） )(x f ' + 0)(x f 12-a 递增 )1(af 递减法1：2)()(a af x f =∴的最大值为……………10分,1)0()(0)(2恒成立）时，，（存在最小值，则若-=≥∞+∈a f x f x x f1112222-≥+-+a x a ax 即：xa a x a ax 12112222≤-⇔-≥∴）（在),0(+∞∈x 恒成立，0212≤-∴a a .1001,02≤<∴≤-∴>a a a ，Θ ……………13分所以a 的取值范围为]1,0(. ……………14分 法2：2)1()(a af x f =∴的最大值为； ……………10分当1x a>时，22ax >，222110ax a a +->+>， 0)(,→+∞→∴x f x 时；即]1,0[ax ∈时，22()[1,]f x a a ∈-；)1[∞+∈，ax 时，2()0]f x a ∈（， 01)0()(2≤-=a f x f 存在最小值，则若，所以a的取值范围为]1,0(. ……………14分用趋近说：0)(,→+∞→∴x f x 时，论述不严谨，扣1分. （2）当时，0<a 0100)(21<=>-=⇒='ax a x x f ；. 则的变化情况如下表：随、x x f x f )()('x 0 （0，a -） a -（∞+-，a ） )(x f ' -+)(x f 12-a 递减 )(a f -递增）上单调递增，）上单调递减，在（在（+∞--∴,,0)(a a x f法1：1)()(-=-∴a f x f 的最小值为.2()[0()1,f x x f x a ∈+∞≤-若存在最大值，则，）时，恒成立2222111ax a a x +-≤-+即：xa a x a ax 12112222≤-⇔-≤∴）（在),0(+∞∈x 恒成立，12-ay101,0,02122-≤∴≥-∴<≤-∴a a a aa ，Θ.综上：a 的取值范围是]1,0(]1,Y -∞-（. 法2：1)()(-=-∴a f x f 的最小值为；当x a >-时，222ax a <-，222110ax a a +-<--<， 0)(,→+∞→∴x f x ；（论述不严谨，扣1分） 即[0,]x a ∈-时，]1,1[)(2--∈a x f ；[)x a ∈-+∞，时，)0,1[)(-∈x f01)0()(2≥-=a f x f 存在最大值，则若， 1.a ≤-综上：a 的取值范围是]1,0(]1,Y -∞-（.20．（本小题满分15分）解：（Ⅰ）法一：依题意可得222222,211,.c a b a b c ⎧=⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎩解得222.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，， （试根法）所以椭圆的标准方程为22142x y +=. …3分 法二：设椭圆的右焦点为1F ，则1||3CF =，24,2a a ∴==，2c =Q 2b ∴=，所以椭圆的标准方程为22142x y +=. …3分 （Ⅱ）因为点Q 在第一象限，所以直线l 的斜率存在， …4分设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y kx =，设直线 l 与该椭圆的交点为1122(,),(,)P x y Q x y 由2224y kx x y =⎧⎨+=⎩可得22(12)40k x +-=， …5分 易知0∆>，且1212240,12x x x x k -+==+， …6分则222212121212()()1()4PQ x x y y kx x x x =-+-=++-…7分222241104431212k kk k -+=+-==++，所以2714,2k k ==(负舍)，所以直线l 的方程为14y x =. …8分 用Q 到原点距离公式（未用弦长公式）按照相应步骤给分， 设点11(,)Q x y ，3,PQ =Q 3,2OQ ∴=29,4OQ ∴= 22119,4x y ∴+= 又221124,x y +=Q 解得：11272x y ∴== 所以直线l 的方程为11y y x x =，即142y x =. （Ⅲ）设(,)m m M x y ，()00,Q x y ，则()00,P x y --，易知002x <<，001y <<.由()2,0A ，2)B ，所以直线AB 的方程为220x -=. …9分 若使BOP ∆的面积是BMQ ∆的面积的4倍，只需使得4OQ MQ =， …10分法一：即34M Q x x = ① . …11分 设直线l 的方程为y kx =，由+220y kx x =⎧⎪⎨-=⎪⎩ 得，()1212M k k ++ …12分由2224y kx x y =⎧⎨+=⎩ 得，22(1212Q k k ++， …13分 代入①可得21418270k k -+=，即：2779202k k -+=（约分后求解）解得928k ±=，所以928y x ±=. …15分 法二：所以444(,)333m m OQ OM x y ==u u u v u u u u v ，即44(,)33m m Q x y . …11分设直线l 的方程为y kx =，由220y kx x y =⎧⎪⎨-=⎪⎩ 得，(1212M k k ++ …12分所以(332332Q k k++，因为点Q 在椭圆G 上，所以2200142x y +=， …13分 代入可得21418270k k -+=，即：2779202k k -+= 解得2814k =， 所以2814y x =. …15分 法三：所以00333(,)444OM OQ x y ==u u u u v u u u v ，即0033(,)44M x y . …11分点M 在线段AB 上，所以003322044x y +-=，整理得00823x =，① …12分因为点Q 在椭圆G 上，所以2200142x y +=，② 把①式代入②式可得200912270y -+=，解得02213y =. …13分 于是00842233x =-=m ，所以，0092814y k x ±==. 所以，所求直线l 的方程为2814y x =. …15分 21.解：（Ⅰ）当110a =时，{}n a 中的各项依次为10,5,8,4,2,1,4,2,1,L ，所以3716n S n =+. …………………………3分 （Ⅱ）① 若1a 是奇数，则213a a =+是偶数，213322a a a +==，由317S =，得1113(3)172a a a ++++=，解得15a =，适合题意. ② 若1a 是偶数，不妨设*12()a k k =∈N ，则122a a k ==. 若k 是偶数，则2322a k a ==，由317S =，得2172kk k ++=，此方程无整数解； 若k 是奇数，则33a k =+，由317S =，得2317k k k +++=，此方程无整数解. 综上，15a =. …………………………8分 （Ⅲ）首先证明：一定存在某个i a ，使得6ia ≤成立.否则，对每一个*i ∈N ，都有6i a >，则在i a 为奇数时，必有232i i i a a a ++=<； 在i a 为偶数时，有232i i i a a a +=+<，或24i i i aa a +=<. 因此，若对每一个*i ∈N ，都有6i a >，则135,,,a a a L 单调递减， 注意到*n a ∈N ，显然这一过程不可能无限进行下去， 所以必定存在某个i a ，使得6ia ≤成立.经检验，当2i a =，或4i a =，或5i a =时，{}n a 中出现1； 当6i a =时，{}n a 中出现3，综上，{}n a 中总有一项为1或3. …………………………14分。