高三数学高效课堂资料导数应用二

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3.2 导数的应用(讲解部分)

得剩余部分经过折叠能糊成一个无盖的长方体纸盒,则这个纸盒的最大容
积是
cm3.
解析设剪下的四个小正方形的边长为x cm,则糊成的长方体纸盒长为(16 -2x)cm,宽为(10-2x)cm,高为x cm,其体积为V(x)=(16-2x)(10-2x)x=4x3-52x2+1
60x(0<x<5),所以V'(x)=12(x-2)
若a≤0,则x>0时, f '(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)上为增函数.又f(0)=1,∴f(x)在(0,+
∞)上没有零点,∴a>0.
当0<x< a 时, f '(x)<0, f(x)为减函数;当x> a 时, f '(x)>0, f(x)为增函数,
3
3
∴x>0时,
f(x)有极小值,为f
a 3
x
(0,2)
(2,3)
(3,+∞)
f '(x)
+
-
+
f(x)
↗
↘
↗
所以f(x)在(0,+∞)上的单调递增区间是(0,2),(3,+∞),单调递减区间是 (2,3).
考向二由函数的单调性求参数的取值范围例2 (2019北京海淀一模文,20改编)已知函数f(x)=ex- 1 x2-ax(a∈R)是R上的
2
增函数,求a的取值范围. 解析由题意得f '(x)=ex-x-a, 因为f(x)是R上的增函数, 所以f '(x)≥0恒成立,即f '(x)的最小值f '(x)min≥0. 令g(x)=f '(x)=ex-x-a(x∈R),则g'(x)=ex-1. 在(-∞,0)上,g'(x)<0, f '(x)单调递减; 在(0,+∞)上,g'(x)>0, f '(x)单调递增. 所以f '(x)min=f '(0)=1-a. 所以1-a≥0,即a≤1. 所以a的取值范围是(-∞,1].

高考数学导数及其应用知识点

高考数学导数及其应用知识点数学导数及其应用知识点一函数的单调性在a，b内可导函数fx，f′x在a，b任意子区间内都不恒等于0.f′x≥0?fx在a，b上为增函数.f′x≤0?fx在a，b上为减函数.1、f′x>0与fx为增函数的关系：f′x>0能推出fx为增函数，但反之不一定.如函数fx=x3在-∞，+∞上单调递增，但f′x≥0，所以f′x>0是fx为增函数的充分不必要条件.2、可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，即f′x0=0是可导函数fx在x=x0处取得极值的必要不充分条件.例如函数y=x3在x=0处有y′|x=0=0，但x=0不是极值点.此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点.3、可导函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较;函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较.数学导数及其应用知识点二函数的极值1、函数的极小值：函数y=fx在点x=a的函数值fa比它在点x=a附近其它点的函数值都小，f′a=0，而且在点x=a附近的左侧f′x<0，右侧f′x>0，则点a叫做函数y=fx的极小值点，fa叫做函数y=fx的极小值.2、函数的极大值：函数y=fx在点x=b的函数值fb比它在点x=b附近的其他点的函数值都大，f′b=0，而且在点x=b附近的左侧f′x>0，右侧f′x<0，则点b叫做函数y=fx的极大值点，fb叫做函数y=fx的极大值.极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.数学导数及其应用知识点三函数的最值1、在闭区间[a，b]上连续的函数fx在[a，b]上必有最大值与最小值.2、若函数fx在[a，b]上单调递增，则fa为函数的最小值，fb为函数的最大值;若函数fx在[a，b]上单调递减，则fa为函数的最大值，fb为函数的最小值.数学导数及其应用知识点四求可导函数单调区间的一般步骤和方法1、确定函数fx的定义域;2、求f′x，令f′x=0，求出它在定义域内的一切实数根;3、把函数fx的间断点即fx的无定义点的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数fx的定义区间分成若干个小区间;4、确定f′x在各个开区间内的符号，根据f′x的符号判定函数fx在每个相应小开区间内的增减性.数学导数及其应用知识点五函数极值的步骤1、确定函数的定义域;2、求方程f′x=0的根;3、用方程f′x=0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并形成表格;4、由f′x=0根的两侧导数的符号来判断f′x在这个根处取极值的情况.六、求函数fx在[a，b]上的最大值和最小值的步骤1、求函数在a，b内的极值;2、求函数在区间端点的函数值fa，fb;3、将函数fx的各极值与fa，fb比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.感谢您的阅读，祝您生活愉快。

高考数学专题2.4 导数的应用(二)同步单元双基双测(B卷)文-人教版高三全册数学试题

专题2.4 导数的应用（二）（测试时间：120分钟满分：150分）一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）1. 曲线x y ln =上一点P 和坐标原点O 的连线恰好是该曲线的切线，则点P 的横坐标为( ) A ．eB.e C ．e 2D ．2 【答案】A考点：导数的几何意义2. 已知函数y =2x 3＋ax 2＋36x －24在x =2处有极值，则该函数的一个递增区间是 A.(2，3)B.(3，＋∞)C.(2,＋∞)D.(－∞,3)【答案】B【解析】本题考查常见函数的导数，可导函数f ′(x )=0与极值点的关系，以及用导数求函数的单调区间.y ′=6x 2＋2ax ＋36.∵函数在x =2处有极值，∴y ′|x =2=24＋4a ＋36=0，即－4a =60.∴a =－15. ∴y ′=6x 2－30x ＋36=6(x 2－5x ＋6)=6(x －2)(x －3). 由y ′=6(x －2)(x －3)＞0，得x ＜2或x ＞3. 考点：导数与函数的单调性。

3.如图是函数()32f x x bx cx d =+++的大致图象,则2212x x +=（）A ．23 B ．43 C ．83 D ．123【来源】【百强校】2015-2016学年某某某某高级中学高二下期期末理数学试卷（带解析）【答案】C 【解析】考点：利用导数研究函数的极值；导数的几何意义.【方法点晴】本题主要考查了导数研究函数的单调性与极值、导数的几何意义的应用，充分体现导数在函数问题解答中的应用，本题的解答中根据函数的图象()0f x =的根为0,1,2，求出函数的解析式，再利用12,x x 是方程23620x x -+=的两根，结合一元二次方程的根与系数的关系是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用.4.已知关于x 的不等式ln mx x <有唯一整数解，则实数m 的最小值为（） A.1ln22 B. 1ln33 C. 1ln23 D. 1ln32【来源】【全国校级联考】某某省百校联盟2018届高三九月联考数学（文）试题【答案】A【解析】由ln mx x <，得：ln m x x <,令()ln g x x x =，∴()21ln g?xx x -=，()g?0,x <得到减区间为()e ∞+，；()g?0,x >得到增区间为()0e ，，∴()max 1g x e =，()1g 2ln22=，()1g 3ln33=，且()()g 2g 3<,∴要使不等式ln mx x <有唯一整数解，实数m 应满足11ln2m ln323≤<,∴实数m 的最小值为1ln22.故选：A点睛：不等式ln mx x <有唯一整数解问题可以转化为两个图像的位置关系问题，观察y m =与()ln g xx x=的图象的高低关系，只要保证y m =上方只有一个整数满足ln m xx<即可. 5.若函数()ln f x x x a =-有两个零点，则实数a 的取值X 围为（） A. 1,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭ B. 1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭ D. 1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【来源】【全国市级联考】2018黔东南州高考第一次模拟考试文科数学试题【答案】C【解析】函数的定义域为0+∞（，），由()ln 0f x x x a =-=，得ln x x a =，故选C.点睛：本题主要考查函数零点的应用，构造函数求函数的导数，利用函数极值和导数之间的关系是解决本题的关键；根据函数零点的定义，()ln 0f x x x a =-=，得ln x x a =，设函数()ln g x x x =，利用导数研究函数的极值即可得到结论.6.对任意x ∈R，函数f (x )的导数存在，若f′(x )＞f(x)且 a ＞0，则以下正确的是（ ▲） A ．)0()(f e a f a⋅> B ．)0()(f e a f a⋅< C ．)0()(f a f > D ．)0()(f a f < 【答案】A 【解析】试题分析：设()()x e x f x g =，那么()()()()02>-'='x xx ee xf e x f xg ，所以()x g 是单调递增函数，那么当0>a 时，()()0g a g >，即()()0f ea f a>，即)0()(f e a f a⋅< 考点：根据函数的单调性比较大小7. 设f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(2)=0,当x>0时，有2()()0xf x f x x '-<恒成立，则不等式2()0x f x >的解集是A. (-2,0) ∪(2,+∞) B . (-2,0) ∪(0,2) C . (-∞,-2)∪(2,+∞) D . (-∞,-2)∪(0,2) 【答案】D 【解析】故选D考点：利用导数求不等式的解集。

高三数学一轮总复习第二章函数、导数及其应用 2.12 导数的应用(二)课件.ppt

答案：C
8
2．函数 f(x)的定义域为 R，f(－1)＝2，对任意 x∈R，f′(x)＞2，则 f(x)＞2x
＋4 的解集为( )
A．(－1,1)
B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1)
D．(－∞，＋∞)
解析：令函数 g(x)＝f(x)－2x－4，则 g′(x)＝f′(x)－2＞0，因此，g(x)在 R 上是增函数，又 g(－1)＝f(－1)＋2－4＝2＋2－4＝0。所以，原不等式可化为 g(x)＞g(－1)，由 g(x)的单调性，可得 x＞－1。
5
1 个构造——构造函数解决问题把所求问题通过构造函数，转化为可用导数解决的问题，这是用导数解决问题时常用的方法。
2 个转化——不等式问题中的两个转化 (1)利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用。 (2)将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性、极值问题处理。
答案：(－∞，0)
11
5．设函数 f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对于任意 x∈[－1,1]，都有 f(x)≥0 成立，则实数 a 的值为__________。
解析：若 x＝0，则不论 a 取何值，f(x)≥0 显然成立。当 x＞0，即 x∈(0,1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0 可化为 a≥x32－x13。设 g(x)＝x32－x13，则 g′(x)＝31－x4 2x，所以 g(x)在区间0，12上单调递增，在区间12，1上单调递减，因此 g(x)max＝g12＝4，从而 a≥4。当 x＜0，即 x∈[－1,0]时，同理，a≤x32－x13。 g(x)在区间[－1,0)上单调递增，所以 g(x)min＝g(－1)＝4，从而 a≤4，综上，可知 a＝4。答案：4

高中数学人教版选修2-2导数及其应用知识点总结

数学选修2-2导数及其应用知识点必记1．函数的平均变化率是什么？答：平均变化率为=∆∆=∆∆xfx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 注1：其中x ∆是自变量的改变量，可正，可负，可零。

注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。

2、导函数的概念是什么？答：函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000. 3.平均变化率和导数的几何意义是什么？答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。

4导数的背景是什么？答：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。

5、常见的函数导数和积分公式有哪些？函数导函数不定积分y c ='y =0————————n y x =()*n N ∈1'n y nx -=11n nx x dx n +=+⎰xy a=()0,1a a >≠'ln xy a a = ln xxa a dx a =⎰x y e ='x y e =x xe dx e=⎰log a y x =()0,1,0a a x >≠> 1'ln y x a =————————ln y x =1'y x=1ln dx x x =⎰sin y x = 'cos y x =cos sin xdx x =⎰ cos y x ='sin y x =-sin cos xdx x =-⎰6、常见的导数和定积分运算公式有哪些？答：若()f x ，()g x 均可导（可积），则有：和差的导数运算[]'''()()()()f x g x f x g x ±=± 积的导数运算[]'''()()()()()()f x g x f x g x f x g x ⋅=±特别地：()()''Cf x Cf x =⎡⎤⎣⎦商的导数运算[]'''2()()()()()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦ 特别地：()()21'()'g x g x g x ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦复合函数的导数x u x y y u '''=⋅微积分基本定理()baf x dx =⎰ （其中()()'F x f x =）和差的积分运算1212[()()]()()b bbaaaf x f x dx f x dx f x dx±=±⎰⎰⎰ 特别地：()()()bb aakf x dx k f x dx k =⎰⎰为常数积分的区间可加性()()()()bcbaacf x dx f x dx f x dx a c b =+<<⎰⎰⎰其中6.用导数求函数单调区间的步骤是什么？答：①求函数f (x )的导数'()f x②令'()f x >0,解不等式，得x 的范围就是递增区间. ③令'()f x <0,解不等式，得x 的范围，就是递减区间；注：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。

高三数学二轮专题导数运用 2

上高中生公益平台：，找学长学姐聊天~第六讲导数的应用命题要点：（1）导数的实际背景与几何意义；（2）导数的基本运算；（3）利用导数研究函数的单调性；（4）利用导数研究函数的极值与最值。

命题趋势：（1）导数的几何意义是高考考查的重要内容，常与解析几何知识交汇命题，多以选择、填空题的形式出现，有时也出现在简答题中关键的一步，其中常求曲线在某点的切线问题——切线的斜率、倾斜角、切线方程等是考查的重点与热点；（2）导数的运算时导数的基本内容，虽然高考很少命题，但它在考查导数的应用中同时出现，多涉及三次函数、对数函数、指数函数、正余弦函数等以及由他们复合而成的函数的求导问题，主要考查对初等函数的导数熟练记忆与导数运算法则的正确运用；（3）导数在研究函数的单调性及最值等方面有着传统工具无法比拟的优越性，是研究函数、方程、不等式等知识的重要工具。

从今几年各个地区高考题看，利用导数求函数的单调区间及最值、极值的试题频率较高，多以选择和填空题的形式出现，难度不大，随着高考导数在函数知识中的应用逐步加深，导数的综合运用得到加强，其中利用导数讨论方程的根，恒成立问题等常在高考中多以简答题的形式出现。

题型分析：类型一利用导数研究切线问题导数的几何意义yfxxxfxyfxxfx))(＝(()在(＝，处的导数′())就是曲线(1)函数在点＝0000kfx) ＝′(处的切线的斜率，即0yfxxfxyfxfxxx)．′(－))处的切线方程为－) (((2)曲线＝)(＝)在点(， (00000yfx)在某处的切线还是求过某点曲线的切方法总结：首先要分清是求曲线(＝yfxxxfx)＝求曲线＝′((处的切线方程可先求)在，利用点斜式写出线．(1)00所求切线方程；(2)求过某点的曲线的切线方程要先设切点坐标，求出切点坐标后再写切线方程．1x baafxf(2))，在点＋(21] (2012年高考安徽卷改编)设函数(()＝>0)e．＋例[x a e3baxy，处的切线方程为的值．＝，求21x axf－)＝，e∵[解析]′(x a e132af2＝，∴′()＝e－2a2e122aa＝－(舍去或解得e＝2e)，2．上高中生公益平台：，找学长学姐聊天~21ab＝3＋，所以＝，代入原函数可得2＋22e1b＝，即221ab＝.＝，故22e跟踪训练3xxfx.已知函数＝(－)yfx)的过点(1，(0)的切线方程；(1)求曲线＝xayfxa的取值范围．＝)(2)若过(轴上的点(的三条切线，求，0)可以作曲线2yfxMxtftfx))处的切线方1.曲线(＝(解析：(1)由题意得(′(，)＝3)在点－23txxtytyftft，将点(12，0)(－)＝1)′(·) (代入切线－，即)－＝程为－(313223yxyttttt得曲线＝(3－32，解得＋1＝0－＝1或－，代入方程得21)－211fxyxyx＋或.＝2＝－＝－(0))的过点(1，的切线方程为24432atatayfx＋3，0)可作曲线2＝－()的三条切线，则方程(2)由(1)知若过点(32aattgt. －0有三个相异的实根，记3()＝2＋＝2atttgtta)．(－6 ＝则6′()＝6－3aaagaagtg，要使方程(当＋>0时，函数())的极大值是＝－(0)＝，极小值是32aaagtaa－1>0>0且－>0且＋<0，即(0)＝有三个相异的实数根，需使，即a>1；agtgt)＝0(不可能有三个相异的实数根；当＝0时，函数(单调递增，方程)3agaggataa，要使方程＝(0)，极小值是＋＝－)(的极大值是)(时，函数<0当．上高中生公益平台：，找学长学姐聊天~32aaaaagt－1>0<0＋且(>0)＝0有三个相异的实数根，需使，即<0且－，即a<－1.a的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．综上所述，点评：由导数几何意义先求斜率，再求方程，注意点是否在曲线上，是否为切点．类型二利用导数研究函数的单调性函数的单调性与导数的关系abfxfxab)(，那么函数上单调递增；如在区间((，，)内，如果)′(在区间)>0fxfxab)上单调递减．，( 果)′(在区间)<0，那么函数(方法总结：函数在指定区间上单调递增(减)，函数在这个区间上的导数大于或等于0(小于fx)求函数的单调区间解′(0)或等于，只要不在一段连续区间上恒等于0即可，fx)＜0)＞0(或即可．含参数的函数单调性求参数取值一般转化为恒成立问′(题。

【步步高】届高三数学人教b版【配套文档】第三章导数及其应用第二课

资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除§3.2导数与函数的单调性、极值、最值1．函数的单调性设函数 y ＝ f(x) 在区间 (a ， b) 内可导，如果在 (a ， b) 内， f ′ (x)>0 ，则 f(x) 在此区间是增函数；如果在(a ， b) 内， f ′ (x)<0 ，则 f(x) 在此区间是减函数．2．函数的极值已知函数 y ＝ f(x) ，设 x 0 是定义域 (a ，b) 内任一点，如果对 x 0 附近所有点 x ，都有 f(x)<f(x 0)，则称函数f(x) 在点 x 0 处取极大值，记作 y 极大＝ f(x 0 ，并把 0 称为函数f(x) 的一个极大值点；) x如果在 x 0 附近都有 f(x)>f (x 0，则称函数f(x) 在点x 0 处取极小值，记作y 极小＝ f(x 0 ，并把))x 0 称为函数f (x) 的一个极小值点．3．求可导函数极值的步骤(1) 求导数 f ′ (x) ；(2) 求方程 f ′ (x) ＝ 0 的所有实数根；(3) 考察在每个根 x 0 附近，从左到右，导函数 f ′ (x) 的符号如何变化．如果 f ′ ( x)的符号由正变负，则 f(x 0 是极大值；如果 f ′ (x) 的符号由负变正，则 0 ) 是极小值．) f(x如果在 f ′ (x) ＝ 0 的根 x ＝ x 0 的左、右侧，f ′ (x) 符号不变，则f(x 0 )不是极值．4．函数的最值(1) 在闭区间 [ a ， b] 上连续的函数f(x) 在 [ a ， b] 上必有最大值与最小值． (2) 若函数f(x) 在 [a ， b] 上单调递增，则f(a) 为函数的最小值，f( b)为函数的最大值；若函数 f(x) 在 [a ， b] 上单调递减，则f(a) 为函数的最大值，f(b) 为函数的最小值．(3)求可导函数 f(x) 在 [ a， b] 上的最大值和最小值的步骤如下：①求 f( x) 在 (a ， b) 内的极值；②将 f(x) 的各极值与 f(a) ， f(b) 进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f′ (x)>0 是 f(x) 为增函数的充要条件．(×)(2)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的．(×)(3)函数的极大值不一定比极小值大．(√)只供学习与交流资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除(4)对可导函数f(x)，′0＝是x0 点为极值点的充要条件．(×)f(x )(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．(√)(6)函数 f (x) ＝ xsin x 有无数个极值点．(√) 2．函数 f( x) ＝ x2－ 2ln x 的单调减区间是()A ． (0,1)B． (1，＋∞ )C ． (－∞， 1)D ． (－ 1,1)答案A∵ f′ (x) ＝ 2x －2 2 x＋ 1 x－ 1解析＝(x>0) ．x x∴当 x∈ (0,1) 时， f′ (x)<0 ， f(x) 为减函数；当 x∈ (1 ，＋∞ )时， f′ (x)>0 ， f(x) 为增函数．3． (2013·浙江 )已知 e 为自然对数的底数，设函数f(x) ＝ (e x－ 1)(x － 1) k(k＝ 1,2) ，则 ()A ．当 k＝ 1时， f(x) 在 x＝ 1处取到极小值B ．当 k＝ 1时， f(x) 在 x＝ 1处取到极大值C ．当 k＝ 2时， f(x) 在 x＝ 1处取到极小值D ．当 k＝ 2时， f(x) 在 x＝ 1处取到极大值答案C解析当 k＝ 1 时， f′ (x) ＝ e x·x－1，f′(1)≠0.∴ x＝ 1 不是f(x) 的极值点．当 k＝ 2 时， f′ (x) ＝ (x － 1)(xe x＋ e x－ 2)显然f′ (1) ＝ 0，且x 在 1 的左边附近f′ (x)<0 ，x 在 1 的右边附近f′ (x)>0 ，∴ f (x) 在 x＝ 1 处取到极小值．故选 C.4．函数f(x) 的定义域为R ，f( － 1) ＝ 2 ，对任意x∈ R ，f′ (x)>2 ，则 f( x)>2 x＋ 4 的解集为()A ． (－ 1,1)B． (－ 1，＋∞ )C ． (－∞，－1)D ． (－∞，＋∞)答案B解析设 m(x) ＝ f (x) － (2x ＋ 4) ，∵m ′ ( x) ＝ f′ (x) － 2>0 ，∴ m(x) 在 R 上是增函数．∵m( － 1) ＝ f( － 1) － (－ 2 ＋ 4) ＝ 0 ，只供学习与交流资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除∴ m(x)>0的解集为 { x|x>－ 1} ，即 f(x)>2x＋ 4 的解集为(－ 1，＋∞ )．5．函数 f( x) ＝ x3＋ ax－ 2在 (1 ，＋∞ ) 上是增函数，则实数 a 的取值范围是 ________ ．答案[－3，＋∞ )解析2f′ (x) ＝ 3x ＋ a， f′ (x) 在区间 (1 ，＋∞ )上是增函数，2在 (1 ，＋∞ ) 上恒成立，则 f′ ( x) ＝ 3x ＋ a≥ 02在 (1 ，＋∞ )上恒成立．∴ a≥ － 3.即 a≥ － 3x题型一利用导数研究函数的单调性例 1已知函数xf(x) ＝ e － ax － 1.(1)求 f(x) 的单调增区间；(2) 是否存在a，使 f(x) 在 (－ 2,3) 上为减函数，若存在，求出 a 的取值范围，若不存在，请说明理由．思维启迪函数的单调性和函数中的参数有关，要注意对参数的讨论．解f′ (x) ＝ e x－ a，x(1)若 a ≤ 0，则 f′ (x) ＝ e － a≥ 0，即 f(x) 在 R 上单调递增，若 a>0 ， e x－ a≥ 0 ，∴ e x≥ a， x≥ ln a.因此当 a ≤ 0 时， f(x) 的单调增区间为R ，当 a>0 时， f(x) 的单调增区间是[ln a，＋∞ ) ．x(2)∵ f′ (x) ＝ e － a≤ 0 在 ( － 2,3) 上恒成立．∴ a≥ e x在 x∈ (－ 2,3) 上恒成立．又∵ － 2<x<3 ，∴ e－2 <e x<e3，只需 a ≥ e3.3x3当 a＝ e 时， f′ ( x)＝ e － e 在 x∈ ( － 2,3) 上，3 f ′ (x)<0 ，即f(x) 在 (－ 2,3) 上为减函数，∴ a≥ e .故存在实数3a≥ e ，使 f(x) 在 ( － 2,3) 上为减函数．只供学习与交流资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除思维升华(1) 利用导数的符号来判断函数的单调性；(2)已知函数的单调性求函数范围可以转化为不等式恒成立问题；(3)f(x) 为增函数的充要条件是对任意的x∈ ( a， b) 都有 f′ (x) ≥ 0 且在 (a ， b) 内的任一非空子区间上f′ (x) ≠ 0. 应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．(1) 设函数f( x)＝1 323x－ (1 ＋ a)x ＋ 4ax＋ 24a ，其中常数a>1 ，则 f(x) 的单调减区间为 ________ ．答案(2,2a)解析f′ (x) ＝ x 2－ 2(1 ＋ a)x ＋ 4a ＝ ( x－ 2)( x－ 2a) ，由 a>1 知，当 x<2 时， f′ (x)>0 ，故 f(x) 在区间 (－∞， 2) 上是增函数；当 2<x<2 a 时， f′ ( x)<0 ，故 f(x) 在区间 (2,2a) 上是减函数；当 x>2a 时， f′ (x)>0 ，故 f(x) 在区间 (2a ，＋∞ )上是增函数．综上，当a>1 时，f (x) 在区间(－∞， 2) 和 (2a ，＋∞ ) 上是增函数，在区间(2,2a) 上是减函数．(2) 若 f(x) ＝－1x2＋ bln(x ＋ 2) 在 ( － 1，＋∞ )上是减函数，则 b 的取值范围是________ ．2答案(－∞，－ 1]解析转化为 f′ ( x)＝－ x＋bb ≤ x(x ＋ 2) 在 [－ 1，＋≤ 0 在 [－ 1，＋∞ ) 上恒成立，即x＋ 2∞ ) 上恒成立，令 g(x) ＝ x( x＋ 2) ＝ (x ＋ 1)2－ 1，所以 g(x) min＝－ 1，则 b 的取值范围是 (－∞，－ 1] ．题型二利用导数求函数的极值例 2设 a>0 ，函数 f(x) ＝12－ (a ＋ 1)x ＋ a(1 ＋ ln x)．2x只供学习与交流资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除(1) 求曲线y＝ f(x) 在 (2 ， f(2)) 处与直线y＝－ x＋ 1 垂直的切线方程；(2)求函数 f(x) 的极值．思维启迪(1) 通过f′ (2) 的值确定a；(2)解 f′ (x) ＝ 0，然后要讨论两个零点的大小确定函数的极值．a解 (1) 由已知，得 x>0 ， f′ (x) ＝ x－ (a ＋ 1)＋x，y＝ f(x) 在 (2 ， f(2)) 处切线的斜率为1，a所以 f′ (2) ＝ 1，即2－ (a ＋ 1) ＋2＝ 1，所以a＝ 0，此时f(2) ＝ 2－ 2 ＝ 0，故所求的切线方程为y＝ x－ 2.a(2) f′ (x) ＝ x－ (a ＋ 1) ＋x2x－ 1 x－ ax － a＋ 1 x＋ a ＝x ＝.x①当 0<a<1 时，若x∈ (0 ， a) ， f′ (x)>0 ，函数f( x) 单调递增；若 x∈ (a,1) ， f′ (x)<0 ，函数f(x) 单调递减；若 x∈ (1 ，＋∞ )， f ′ (x)>0 ，函数 f( x) 单调递增．此时 x＝ a 是 f(x) 的极大值点，x＝ 1 是 f(x) 的极小值点，函数 f( x) 的极大值是f(a) ＝－1a 2＋ aln a ，2极小值是 f(1) ＝－1.2x－ 12②当 a＝ 1 时， f′ (x) ＝>0 ，x所以函数f(x) 在定义域(0 ，＋∞ )内单调递增，此时f( x) 没有极值点，故无极值．③当 a>1 时，若x∈ (0,1) ， f ′ (x)>0 ，函数f(x) 单调递增；若 x∈ (1 ， a)， f′ (x)<0 ，函数 f (x) 单调递减；若 x∈ (a ，＋∞ )， f ′ (x)>0 ，函数f( x) 单调递增．只供学习与交流资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除此时 x ＝ 1 是 f(x) 的极大值点，x ＝ a 是 f(x) 的极小值点，1函数 f( x) 的极大值是f(1) ＝－ 2，极小值是f(a) ＝－ 122 a ＋ aln a.12综上，当0<a<1 时， f(x) 的极大值是－2 a ＋ aln a ，1极小值是－2；当 a ＝ 1 时， f(x) 没有极值；当 a>1 时， f(x) 的极大值是－1 1 2＋ aln a.，极小值是－2a2思维升华(1) 导函数的零点并不一定就是函数的极值点．所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是函数的极值点．(2) 若函数y ＝ f(x) 在区间 (a ， b) 内有极值，那么 y ＝ f (x) 在 (a ， b) 内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．x设 f (x) ＝ea 为正实数．2，其中1＋ ax4(1) 当 a ＝ 3时，求 f(x) 的极值点；(2) 若 f(x) 为 R 上的单调函数，求a 的取值范围．2对 f(x) 求导得x 1＋ ax － 2ax.①解f ′ (x) ＝ e ·2 21＋ ax42(1) 当 a ＝ 3时，若 f ′ (x) ＝ 0，则 4x － 8x ＋ 3＝ 0，解得 1 ＝31， 2＝.结合①，可知x2x2x－∞ ，111，333，＋∞222222f ′ (x)＋0－0＋f( x)极大值极小值31所以x1＝2是极小值点，x2＝2是极大值点．(2) 若 f( x) 为 R 上的单调函数，则f′ ( x) 在 R 上不变号，结合① 与条件2a>0 ，知 ax － 2ax只供学习与交流资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除＋ 1≥ 0 在 R 上恒成立，即2a>0 ，知 0<a ≤ 1.＝ 4a － 4a ＝ 4a(a － 1) ≤ 0 ，由此并结合所以 a 的取值范围为 { a|0<a ≤ 1} ．题型三利用导数求函数的最值例 3已知函数23f(x) ＝ ax ＋ 1(a>0) ， g(x) ＝ x ＋ bx.(1)若曲线 y＝ f(x) 与曲线 y＝ g(x) 在它们的交点 (1 ， c) 处具有公共切线，求a， b 的值；(2)当 a ＝ 3，b＝－ 9 时，若函数f( x) ＋ g(x) 在区间 [k,2] 上的最大值为28 ，求 k 的取值范围．思维启迪(1) 题目条件的转化：f(1) ＝ g(1) 且 f′ (1) ＝ g′ (1) ；(2) 可以列表观察h( x)在 (－∞， 2] 上的变化情况，然后确定k 的取值范围．2解 (1)f ′ (x) ＝ 2ax， g′ (x) ＝ 3x ＋ b.因为曲线y＝ f(x) 与曲线y＝ g(x) 在它们的交点(1 ， c) 处具有公共切线，所以f(1) ＝ g(1) 且 f′ (1) ＝ g′ (1) ，即a＋ 1 ＝ 1＋ b 且 2a＝ 3 ＋ b ，解得a＝ 3， b＝ 3.(2) 记 h(x) ＝ f(x) ＋ g(x) ，当 a＝ 3， b＝－ 9 时，322h(x) ＝ x ＋ 3x － 9x＋ 1 ，所以h′ (x) ＝ 3x ＋ 6x － 9.令 h′ (x) ＝ 0，得 x 1＝－ 3 ， x2＝ 1.h ′ (x) ， h(x) 在 (－∞， 2] 上的变化情况如下表所示：x(－∞，－ 3)－3(－3,1) h′ (x)＋0－h(x)28由表可知当k≤ － 3 时，函数h( x) 在区间[ k,2] 上的最大值为当－ 3<k<2 时，函数h( x)在区间 [k,2] 上的最大值小于因此k 的取值范围是(－∞，－ 3] ．1(1,2)2 0＋＋－ 43 28；思维升华(1) 求解函数的最值时，要先求函数y＝ f(x) 在 [a ， b] 内所有使f′ (x) ＝ 0 的点，再计算函数y＝ f(x) 在区间内所有使 f ′ (x) ＝ 0 的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．(2)可以利用列表法研究函数在一个区间上的变化情况．只供学习与交流资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除已知函数f(x) ＝ xln x.(1)求函数 f(x) 的极值点；(2) 设函数g(x) ＝ f(x) － a(x － 1) ，其中a∈ R ，求函数g(x) 在区间 [1 ， e] 上的最小值．( 其中e 为自然对数的底数)．解(1)f ′ (x) ＝ ln x ＋ 1， x>0 ，由 f′ ( x) ＝ 0 得 x＝1，e11所以f( x) 在区间 (0 ，e )上单调递减，在区间( e，＋∞ ) 上单调递增．1所以，x＝e是函数f(x) 的极小值点，极大值点不存在．(2) g(x) ＝ xln x － a(x － 1) ，则 g′ (x) ＝ ln x ＋ 1－ a ，由 g′ (x) ＝ 0，得 x＝ e a－1，所以，在区间a1(0 ， e －) 上， g(x) 为递减函数，在区间(e a－1，＋∞ )上， g(x) 为递增函数．a1，即 a≤ 1时，在区间[1 ， e] 上， g(x) 为递增函数，当 e－≤ 1所以g(x) 的最小值为g(1) ＝ 0.a1时， g(x) 的最小值为a1 a 1当 1<e－ <e ，即 1<a<2g(e－ ) ＝ a－ e － .a1≥ e，即 a ≥ 2时，在区间 [1 ， e] 上， g(x) 为递减函数，当 e－所以 g(x) 的最小值为g(e) ＝ a＋ e－ ae.综上，当a≤ 1 时， g(x) 的最小值为0；当 1<a<2时， g(x) 的最小值为a1 a － e－；当 a≥ 2 时， g(x) 的最小值为a＋ e－ ae.利用导数求函数的最值问题典例： (12 分 ) 已知函数f(x) ＝ (x－ k)e x.(1) 求 f(x) 的单调区间；只供学习与交流资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除(2)求 f(x) 在区间 [0,1] 上的最小值．思维启迪(1) 解方程f′ (x) ＝ 0 列表求单调区间；(2)根据 (1) 中表格，讨论 k－ 1 和区间 [0,1] 的关系求最值．规范解答解(1) 由题意知x f ′ (x) ＝ (x － k＋ 1)e .令 f′ ( x) ＝ 0，得 x＝ k－ 1.[2 分] f (x) 与 f′ (x) 的情况如下：x( －∞， k－ 1)k－ 1(k－ 1，＋∞ ) f′ (x)－0＋f(x)k1－ e－所以，f(x) 的单调递减区间是(－∞， k－ 1) ；单调递增区间是( k－ 1 ，＋∞ ) ． [6 分 ] (2)当 k－ 1≤ 0，即 k≤ 1 时， f (x) 在 [0,1] 上单调递增，所以f( x) 在区间 [0,1] 上的最小值为 f (0) ＝－ k；[8 分 ]当 0<k － 1<1 ，即1<k<2 时，f (x) 在 [0 ， k － 1) 上单调递减，在(k － 1,1] 上单调递增，所以f( x) 在区间 [0,1] 上的最小值为 f (k－ 1) ＝－ e k－1；当 k－ 1 ≥ 1，即 k≥ 2 时， f( x) 在 [0,1] 上单调递减，所以f( x) 在区间 [0,1] 上的最小值为 f (1) ＝ (1 － k)e.[10 分 ]综上，当k≤ 1 时， f(x) 在 [0,1] 上的最小值为f(0) ＝－ k；当 1<k<2时， f (x) 在 [0,1] 上的最小值为k1 f (k－ 1) ＝－ e－；当 k≥ 2 时， f(x) 在 [0,1] 上的最小值为f(1) ＝ (1 － k)e.[12 分 ]用导数法求给定区间上的函数的最值问题的一般步骤：第一步：求函数f(x) 的导数f′ (x) ；第二步：求 f (x) 在给定区间上的单调性和极值；第三步：求 f (x) 在给定区间上的端点值；第四步：将 f (x) 的各极值与f(x) 的端点值进行比较，只供学习与交流资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除确定f(x) 的最大值与最小值；第五步：反思回顾：查看关键点，易错点和解题规范．温馨提醒(1) 本题考查求函数的单调区间，求函数在给定区间[0,1] 上的最值，属常规题型．(2)本题的难点是分类讨论．考生在分类时易出现不全面，不准确的情况．(3) 思维不流畅，答题不规范，是解答中的突出问题.方法与技巧1．利用导数研究函数的单调性、极值、最值可列表观察函数的变化情况，直观而且条理，减少失分．2．求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小．3．在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．失误与防范1．注意定义域优先的原则，求函数的单调区间和极值点必须在函数的定义域内进行．2．求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论．3．解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，处理好 f ′ (x) ＝ 0 时的情况；区分极值点和导数为 0 的点．A 组专项基础训练(时间：40 分钟 )一、选择题1．若函数y＝ f(x) 的导函数y＝ f ′ (x) 的图象如图所示，则y＝ f(x) 的图象可能为()只供学习与交流资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除答案C解析根据f′ (x) 的符号，f( x)图象应该是先下降后上升，最后下降，排除 A ， D；从适合 f′ ( x) ＝ 0 的点可以排除 B.2．下面为函数y＝ xsin x ＋ cos x 的递增区间的是()A ．π 3 πB ． (π， 2 π) ( ，)223π 5πC．( 2，2)D ． (2 π， 3π)答案C解析y′＝ (xsin x ＋ cos x) ′＝ sin x ＋ xcos x － sin x ＝xcos x ，3 π 5 π当 x∈ ( 2，2 ) 时，恒有xcos x>0. 故选 C.3．设 a∈ R ，若函数x＋ ax， x∈ R 有大于零的极值点，则() y＝ eA ． a< － 1B ． a> － 111 C ． a>－e D ． a< －e 答案A解析x x∵ y＝ e ＋ ax ，∴ y′＝ e ＋ a.x∵函数y＝ e ＋ ax 有大于零的极值点，x则方程y′＝ e ＋ a＝ 0 有大于零的解，x x∵ x>0 时，－ e<－ 1，∴ a＝－ e < － 1.1 24．设函数f(x) ＝2x － 9ln x 在区间 [ a － 1， a ＋ 1] 上单调递减，则实数 a 的取值范围是()A ． 1< a≤ 2B ． a≥ 4C ． a≤ 2D ． 0<a ≤ 3答案A解析∵ f(x) ＝1x2－ 9ln x，∴ f′ (x) ＝ x－9(x>0) ，2x当 x－9≤0 时，有0<x≤ 3，即在(0,3] 上原函数是减函数，x只供学习与交流资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除∴ a － 1>0 且 a ＋ 1 ≤ 3，解得1<a ≤ 2.3 2()5．函数 f( x) ＝ x － 3x ＋ 2 在区间 [－ 1,1] 上的最大值是A ．－ 2B ．0C ．2D ．4答案C解析2或 x ＝ 2.∵ f ′ (x) ＝ 3x － 6x ，令 f ′ (x) ＝ 0，得 x ＝ 0∴ f (x) 在 [ － 1,0) 上是增函数， f (x) 在 (0,1] 上是减函数．∴ f (x) max ＝ f(x) 极大值＝ f(0) ＝ 2.二、填空题96．函数的单调减区间为 ________ ．f( x) ＝ x ＋ x答案(－ 3,0) ， (0,3)9x 2－ 9解析f ′ (x) ＝ 1－ x 2＝ x 2 ，令 f ′ ( x)<0 ，解得－ 3<x<0 或 0<x<3 ，故单调减区间为 ( － 3,0) 和 (0,3) ．3 2a 的取值范围是 ________ ．7．函数 f( x) ＝ x ＋ 3ax ＋ 3[( a ＋ 2)x ＋ 1] 有极大值又有极小值，则答案 a>2 或 a< － 1解析32＋ 3[(a ＋ 2)x ＋ 1] ，∵ f(x) ＝ x ＋ 3ax∴ f ′ (x) ＝ 3x 2＋ 6ax ＋ 3(a ＋ 2) ．2 2令 3x ＋ 6ax ＋ 3(a ＋ 2) ＝ 0 ，即 x ＋ 2ax ＋ a ＋ 2＝ 0.∵ 函数 f(x) 有极大值和极小值，∴ 方程 x 2＋ 2ax ＋ a ＋ 2＝ 0 有两个不相等的实根．即＝ 4a 2－ 4a － 8>0 ， ∴ a>2 或 a< － 1.28．设函数 f( x)＝ x 3－ x－ 2x ＋ 5，若对任意的x ∈ [ － 1,2] ，都有 f(x)>a ，则实数 a 的取值范围2是 ________ ．7答案(－∞， 2)解析f ′ (x) ＝ 3x 2－ x － 2 ，令 f ′ (x) ＝ 0，得 3x 2－ x － 2＝ 0 ，2解得 x ＝ 1 或 x ＝－ 3，只供学习与交流资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除7215711又 f(1) ＝2， f (－3 )＝27， f( － 1) ＝2， f (2) ＝ 7 ，77故 f(x) min＝2，∴ a<2.三、解答题9．已知函数f(x) ＝1＋ ln x ．求函数f(x) 的极值和单调区间．x11 x－ 1解因为 f′ (x) ＝－x2＋x＝x2，令 f′ ( x) ＝ 0，得x＝ 1 ，又f(x) 的定义域为(0 ，＋∞ )，f ′ (x) ， f(x) 随 x 的变化情况如下表：x(0,1)1(1，＋∞ )f′ (x)－0＋f(x)极小值所以 x＝ 1 时， f(x) 的极小值为 1.f (x) 的单调递增区间为(1 ，＋∞ )，单调递减区间为(0,1) ．10 ．已知函数 f( x) ＝ x2＋ bsin x － 2(b∈ R )， F(x) ＝ f(x) ＋ 2，且对于任意实数x，恒有 F(x) － F( －x) ＝ 0.(1)求函数 f(x) 的解析式；(2) 已知函数g(x) ＝ f(x) ＋ 2(x ＋ 1) ＋ aln x 在区间 (0,1) 上单调递减，求实数 a 的取值范围．22解 (1)F (x) ＝ f(x) ＋ 2＝ x ＋ bsin x － 2＋ 2 ＝ x ＋ bsin x ，依题意，对任意实数x，恒有 F (x) － F (－ x)＝ 0.22即 x ＋ bsin x － (－ x) － bsin( － x) ＝ 0，即 2bsin x ＝ 0，所以 b ＝ 0，所以2f(x) ＝ x － 2.(2) ∵ g(x) ＝ x 2－ 2＋ 2(x ＋ 1) ＋ aln x ，2∴ g(x) ＝ x ＋ 2x ＋ aln x ，ag ′ (x) ＝ 2x ＋ 2＋ x .∵ 函数 g(x) 在 (0,1) 上单调递减， ∴在区间(0,1) 内，a2′＝＋2x ＋ 2x ＋ ag (x) 2x 2 ＋＝ ≤ 0 恒成立， x x只供学习与交流资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除∴ a ≤ － (2x 2＋ 2x) 在 (0,1) 上恒成立．∵ － (2x 2＋ 2x) 在 (0,1) 上单调递减， ∴ a ≤ － 4 为所求．B 组专项能力提升(时间： 30分钟)1．已知 f( x) 是可导的函数，且f ′ (x)<f (x) 对于 x ∈ R 恒成立，则()A ． f(1)<ef(0) ， f(2 014)>e 2 014f(0)B ． f(1)>ef(0) ， f(2 014)>e 2 014f(0)C ． f(1)>ef(0) ， f(2 014)<e 2 014f(0)D ． f(1)<ef(0) ， f(2 014)<e 2 014f(0)答案D解析f x令 g(x) ＝ e ，xx x则 g ′ (x) ＝ (f xf ′ x e － f x e＝f ′ x － f x<0 ，x)′ ＝2xe xeef x所以函数g(x) ＝ e x 是单调减函数，所以 g(1)< g(0) ， g(2 014)< g(0) ，f 1 f 0f 2 014 f 0即 e 1 < 1，e2 014< 1 ，故 f(1)<ef(0) 2 014．， f (2 014)<ef(0)2．如图是函数32＋ cx＋ d 的大致图象，则22等于() f (x) ＝ x＋ bx x1＋ x28101628A. 9B. 9C. 9D. 9只供学习与交流资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除答案C解析由图象可得32f(x) ＝ x(x ＋ 1)(x － 2) ＝ x － x － 2x ，2又∵ x1、 x2是 f ′ (x) ＝ 3x － 2x － 2＝ 0 的两根，∴ x12＝2 1 22，＋ x3， x x ＝－3222 2 2216故 x1＋ x2＝ (x 1＋ x2) － 2x 1x2＝ (3 ) ＋ 2 ×3＝9 .3．已知函数 f(x) ＝－12x 在 [t ， t ＋ 1] 上不单调，则t 的取值范围是 ________ ．2x ＋ 4x － 3ln答案(0,1) ∪ (2,3)23－ x ＋ 4x－ 3解析由题意知f′ (x) ＝－ x＋ 4－x＝x＝－x－ 1 x－ 3，x由 f′ ( x) ＝ 0 得函数f(x) 的两个极值点为1,3 ，则只要这两个极值点有一个在区间(t ， t ＋ 1)内，函数 f( x) 在区间 [t ， t＋ 1] 上就不单调，由 t<1<t ＋ 1 或 t<3< t＋ 1，得 0<t<1 或 2< t<3.4． (2013课·标全国Ⅰ )已知函数x2y＝ f(x) 在点 (0 ， f(0)) 处的切线f (x) ＝ e (ax ＋ b) － x － 4x ，曲线方程为y＝ 4x ＋ 4.(1)求 a ， b 的值；(2) 讨论 f (x) 的单调性，并求f(x) 的极大值．x x解 (1)f ′ (x) ＝ e (ax ＋ b) ＋ ae － 2x－ 4x＝e (ax ＋ a＋ b) － 2x － 4 ，∵ y＝ f( x) 在 (0 ， f(0)) 处的切线方程为y＝ 4x ＋ 4，∴f ′ (0) ＝ a＋ b－ 4＝ 4， f(0) ＝ b＝ 4，∴a＝ 4， b＝ 4.x(2) 由 (1) 知 f′ (x) ＝ 4e (x＋ 2) － 2(x ＋ 2)只供学习与交流资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除x＝ 2(x ＋ 2)(2e － 1) ，1令 f′ ( x) ＝ 0 得 x1＝－ 2 ， x2＝ ln 2，列表：－ 2， ln 111x(－∞，－ 2)－ 22ln 2ln 2，＋∞f′ ( x)＋0－0＋f(x)极大值极小值1∴ y＝ f( x) 的单调增区间为(－∞，－ 2)，ln2，＋∞；1单调减区间为－ 2， ln 2 .2f (x) 极大值＝ f (－ 2) ＝ 4－ 4e－ .5．已知函数 f(x) ＝ (ax2＋ bx＋ c)e x在 [0,1] 上单调递减且满足f(0) ＝ 1， f (1) ＝ 0.(1)求 a 的取值范围．(2)设 g(x) ＝ f(x) － f ′ (x) ，求 g(x) 在 [0,1] 上的最大值和最小值．解(1) 由 f(0) ＝ 1， f(1) ＝ 0，得c＝ 1， a＋ b＝－ 1，2x则 f(x) ＝ [ax － (a ＋ 1)x ＋ 1]e ，2xf ′ (x) ＝ [ ax ＋ (a － 1)x － a]e ，依题意对于任意x∈ [0,1] ，有f′ (x) ≤ 0.当 a>0 时，2因为二次函数y＝ ax ＋ (a － 1)x － a 的图象开口向上，而 f′ (0) ＝－ a<0 ，所以需f′ (1) ＝ (a － 1)e<0 ，即0<a<1 ；2x 当 a＝ 1 时，对于任意 x∈ [0,1] ，有 f′ ( x) ＝ (x － 1)e ≤ 0 ，且只在 x＝ 1 时 f′ ( x) ＝ 0， f(x) 符合条件；当 a＝ 0 时，对于任意 x∈ [0,1] ， f′ (x) ＝－ xe x≤ 0 ，且只在 x＝ 0 时， f′ (x) ＝ 0， f(x) 符合条件；当 a<0 时，因 f′ (0) ＝－ a>0 ， f(x) 不符合条件．故 a 的取值范围为0≤ a≤ 1.只供学习与交流资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除x(2) 因 g(x) ＝ (－ 2ax＋ 1＋ a)e ，xg ′ (x) ＝ ( － 2ax ＋ 1－ a)e ，x①当 a＝ 0 时， g′ (x) ＝ e >0 ，g(x) 在 x＝ 0 处取得最小值g(0) ＝ 1，在 x＝ 1 处取得最大值g(1) ＝ e.②当 a＝ 1 时，对于任意x∈ [0,1] 有 g′ (x) ＝－ 2xe x≤ 0，g(x) 在 x＝ 0 处取得最大值g(0) ＝ 2，在 x＝ 1 处取得最小值g(1) ＝ 0.1 － a③当 0<a<1 时，由g′ (x) ＝ 0 得 x＝2a >0.1－ a1若2a≥ 1，即 0<a ≤3时，g(x) 在 [0,1] 上单调递增，g(x) 在 x＝ 0 处取得最小值g(0) ＝ 1＋ a ，在 x＝ 1 处取得最大值g(1) ＝ (1 － a)e.1－ a1若2a <1 ，即3<a<1 时，g(x) 在 x＝1－ a1－ a)＝ 2ae1－ a 2a 处取得最大值g( 2a2a，在 x＝ 0 或 x＝ 1 处取得最小值，而g(0) ＝ 1＋ a， g(1) ＝ (1 － a)e ，由 g(0) － g(1) ＝ 1＋ a － (1 － a)e ＝ (1 ＋ e)a ＋ 1－ e ＝ 0，e － 11e － 1得 a ＝ e ＋ 1.则当 3 <a ≤ e ＋ 1时，g(0) － g(1) ≤ 0 ， g(x) 在 x ＝ 0 处取得最小值g(0) ＝ 1 ＋ a ；e － 1当<a<1 时， g(0) － g(1)>0 ，e ＋ 1g(x) 在 x ＝ 1 处取得最小值g(1) ＝ (1 － a)e.只供学习与交流。

2023年高考数学总复习第三章导数及其应用第二节导数在研究函数中的应用

[提醒] 注意两种表述“函数f(x)在(a，b)上为减函数”与“函数f(x)
的减区间为(a，b)”的区别．若所求函数的单调区间不止一个，这些
区间之间不能用并集“∪”及“或”连接，只能用“，”或“和”字
隔开．
2．函数的极值与导数
(1)函数的极小值与极小值点
若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数
解析：∵f(x)＝2sin x＋sin 2x，
1
2
∴f′(x)＝2cos x＋2cos 2x＝4cos x＋2cosx－2＝4 cos x − (cos x＋1)．
2
∵cos x＋1≥0，
1
∴当cos x< 时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
12Leabharlann 2当cos x> 时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
(－∞，－1)
零的极值点，则实数a的取值范围是____________．
解析：∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.
∵函数 y＝ex＋ax有大于零的极值点，且函数y′＝ex＋a在R上单调递增．
∴只需方程ex＋a＝0有大于零的解．
∵当x>0时，－ex<－1.
∴a＝－ex<－1.
(四)走进高考

－
6．[全国卷Ⅰ]已知函数f(x)＝2sin x＋sin 2x，则f(x)的最小值是___ ．
第二节导数在研究函数中的应用
必备知识—基础落实
·最新考纲·
1．了解函数的单调性和导数的关系．
2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项
式函数一般不会超过三次)．
3．了解函数在某点取得的极值的必要条件和充分条件．

高中数学高考复习系列专题讲座导数的应用人教版选修II

高中数学高考复习系列专题讲座导数的应用人教版选修II苍南龙港高中吕存于【考点解读】1．导数（选修II ）高考考核要求为：①导数的概念及某些实际背景，导数的几何意义，几种常见函数的导数；②两个函数的和、差、积、商的导数，复合函数的导数，基本导数公式；③利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值等。

2．比例与题型：导数是高中新教材改革后新加进的知识之一，从近几年全国统考试卷及2004年浙江卷看，其分值比例逐年上升到现在基本稳定在一大（12分），一小（5分）的两题格局上（2004年浙江卷是如此），是新教材的一个主要得分点。

3．命题热点难点是：①利用导数求函数的极值；②利用导数求函数的单调区间；③利用导数求函数的最值；④利用导数证明函数的单调性；⑤数在实际中的应用；⑥导数与函数、不等式等知识相融合的问题；⑦导数与解析几何相综合的问题。

4．体系整合5．复习建议：①学会优先考虑利用导数求函数的极大（小）值、最大最小或解决应用问题，这些问题是函数内容的继续与延伸，这种方法使复杂问题简单化。

②导数与解析几何或函数图象的混合问题，尤其是抛物线与三次函数的切线问题，是高考中考查综合能力的一个方向，应引起注意。

热点一：导数的几何意义函数y=f (x) 在点x 0导数的几何意义，就是曲线y=f (x) 在点P(x 0, f(x 0))处的切线的斜率，也就是说，曲线y=f (x) 在P (x 0, f (x 0))处的切线的斜率是f ′(x 0)，于是相应的切线方导数导数的概念导数的运算导数的应用导数的几何意义两函数和、差、积、商的导数复合函数的导数基本导数公式导数的应用函数的单调性函数的极值函数的最值程为y －y 0=f ′(x 0) (x －x 0)，巧借导数几何意义“传接”的各类综合题频频出现。

【错题分析】[错例1] （2004天津卷20（2））曲线f(x)=x 3－3x ，过点A(0，16)作曲线f (x)的切线，求曲线的切线方程。

高考数学热点必会题型第7讲导数之二阶导数的应用(原卷及答案)

高考数学热点必会题型第5讲导数之二阶导数的应用——每天30分钟7天掌握一、重点题型目录【题型】一、利用二阶导数求函数的极值（极大值或极小值）【题型】二、利用二阶导数求函数的单调性【题型】三、利用二阶导数求参数的范围【题型】四、利用二阶导数证明不等式【题型】五、利用二阶导数与函数的对称性求值【题型】六、利用二阶导数与函数的凹凸性求值二、题型讲解总结第一天学习及训练【题型】一、利用二阶导数求函数的极值（极大值或极小值）例1．（2022·广西北海·一模（理））已知()12,,x x m ∈+∞()0m >，若12x x <，121112x x x x -->恒成立，则正数m 的最小值是（） A ．1eB ．1C ．11e+D ．e例2．（2022·湖南·高二期中）已知二次函数()2f x ax bx c =++的图象过点()0,1-，且当0x >时，()ln f x x ≥，则ba的最小值为（）A ．2-B ．12-C ．e -D ．1e-例3．（2021·江苏·高二专题练习）设函数()()(1)(3,4)x x kf x e e x k -=--=，则（）A ．3k =时，()f x 在0x =处取得极大值B ．3k =时，()f x 在1x =处取得极小值C ．4k =时，()f x 在0x =处取得极大值D ．4k =时，()f x 在1x =处取得极小值例4．（2022·重庆市育才中学模拟预测）已知函数()()32012x a f x ae x ax a =--->，若函数()y f x =与()()y f f x =有相同的最小值，则a 的最大值为（）． A ．1B ．2C ．3D ．4例5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()ln 2f x x x x =+，若k Z ∃∈，使得()21f x kk x+>+在()2,x ∈+∞恒成立，则k 的最大值为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【题型】二、利用二阶导数求函数的单调性例5．（2022·湖北·竹溪县第二高级中学高三阶段练习）若19ln sin a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，ln9b =-，ln(ln 0.9)c =-，则（）A ．c<a<bB ．c b a <<C ．a b c <<D ．a c b <<例6．（2022·河南·模拟预测（理））己知22e 2e e e a a b b a b -=-，则（） A ．0a b +≥B ．0a b +≤C ．0ab ≥D ．0ab ≤例7．（2022·黑龙江·嫩江市第一中学校高三期末（理））若22sin 4sin cos 41-=-+a a b b b b a ，则（） A ．2a b >B ．2a b <C ．|||2|>a bD ．|||2|<a b例8．（2022·浙江省春晖中学模拟预测）在关于x 的不等式()2222e e 4e e 4e 0x x x a x a -+++>（其中e=2.71828为自然对数的底数）的解集中，有且仅有两个大于2的整数，则实数a 的取值范围为（） A ．4161,5e 2e ⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．391,4e 2e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．42164,5e 3e ⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．3294,4e 3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭第二天学习及训练【题型】三、利用二阶导数求参数的范围例9．（2022·辽宁·东北育才双语学校模拟预测）设函数()2ln f x x x=+，()0,6x ∈，()f x 的图像上的两点()11,A x y ，()22,B x y 处的切线分别为1l ，2l ，且12x x <，1l ，2l 在y 轴上的截距分别为1b ，2b ，若12l l ∥，则12b b -的取值范围是（） A ．2ln 2,23⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．2ln 2,1ln 23⎛⎫-+ ⎪⎝⎭C ．2ln 2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()1ln 2,2+例10．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（文））若关于x 的不等式32ln 42x x x x ax +≤++恒成立，则实数a 的取值范围为（） A ．[)1,-+∞B ．[)1,+∞C ．1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．[),e +∞例11．（2022·全国·高二课时练习）已知函数()22e 1ln x f x x kx x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，若函数()f x 有唯一极值点，则实数k 的取值范围为（）A ．()(]{}2,00,4e 2e ∞-⋃⋃B ．(),4e ∞-C ．()4e,∞+D ．[)4e,∞+例12．（2021·江苏·高二单元测试）若关于x 的不等式2112ln 022x m x --≥在[]2,4上有解，则实数m 的取值范围是（）A ．15,4ln 2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B ．15,8ln 2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C ．15,4ln 2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．15,8ln 2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【题型】四、利用二阶导数证明不等式例13．（2022·辽宁朝阳·高二期末）已知函数()f x 为偶函数，且当0x ≥时，2()e cos x f x x x =+-，则不等式(3)(21)0f x f x ---<的解集为（） A ．42,3⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．(,2)-∞-C ．(2,)-+∞D ．4(,2),3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭例14．（2022·全国·高二专题练习）已知123a =，()11e b e =+，134c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）． A ．b a c >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ．a b c >>例15．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()ln 2f x x x x =+，若k Z ∃∈，使得()21f x kk x+>+在()2,x ∈+∞恒成立，则k 的最大值为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5例16．（2023·全国·高三专题练习）已知()f x 是R 上的偶函数，当[)0,x ∈+∞时，()2cos 12x f x x =-+，且()()21f x a f x +<+对x ∀∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是___________.第三天学习及训练【题型】五、利用二阶导数与函数的对称性求值例17．（2022·四川·成都七中模拟预测（理））对于三次函数()32f x ax bx cx d =+++（0a ≠），给出定义：设()f x '是函数()y f x =的导数，()f x ''是()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数()3211533212g x x x x =-+-，则122014201520152015g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（）A ．2014B ．2013C ．20155D ．1007例18．（2022·广东广州·高二期末）对于三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠，现给出定义：设()f x '是函数()f x 的导数，()f x ''是()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数()3232g x x x =-+，则1231910101010g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（） A ．0 B ．1C ．32-D ．32例19．（2022·全国·高三专题练习）设函数()y f x ''=是()y f x '=的导数，经过探究发现，任意一个三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠的图象都有对称中心()()00,x f x ，其中0x 满足()00f x ''=，已知函数()3272392f x x x x =-+-，则12320212022202220222022f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（） A ．2021 B ．20212C ．2022D ．40212例20．（2016·湖南衡阳·高三阶段练习（文））设函数()y f x ''=是()y f x '=的导数．某同学经过探究发现，任意一个三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠都有对称中心()()0,x f x ，其中0x 满足()00f x ''=．已知函数()3211533212f x x x x =-+-，则1232016...2017201720172017f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（） A ．2013 B ．2014 C ．2015 D ．2016【题型】六、利用二阶导数与函数的凹凸性求值例21．（2022·陕西渭南·高二期末（理））给出定义:若函数()f x 在D 上可导，即()f x '存在，且导函数()f x '在D 上也可导，则称()f x 在D 上存在二阶导函数.记()()()f x f x ''''=，若()0f x ''<在D 上恒成立，则称()f x 在D 上为凸函数.以下四个函数在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上是凸函数的有（）①()sin cos f x x x =+，②()e x f x x -=-，③()ln 2f x x x =-，④3()21f x x x =-+-. A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个例22．（2023·全国·高三专题练习）设函数f （x ）在区间I 上有定义，若对12,x x I ∀∈和()0,1λ∀∈，都有()()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-≤+-，那么称f （x ）为I 上的凹函数，若不等号严格成立，即“<”号成立，则称f （x ）在I 上为严格的凹函数.对于上述不等式的证明，19世纪丹麦数学家琴生给出了如下的判断方法：设定义在（a ，b ）上的函数f （x ），其一阶导数为()f x '，其二阶导数为()f x ''（即对函数()f x '再求导，记为()f x ''），若()0f x ''>，那么函数f （x ）是严格的凹函数（()f x '，()f x ''均可导）.试根据以上信息解决如下问题：函数()21ln f x m x x x=++在定义域内为严格的凹函数，则实数m 的取值范围为___________.例23．（2021·江苏扬州·高三阶段练习）函数()y g x =在区间[a ，]b 上连续，对[a ，]b 上任意二点1x 与2x ，有1212()()()22x x g x g x g ++<时，我们称函数()g x 在[a ，]b 上严格上凹，若用导数的知识可以简单地解释为原函数的导函数的导函数（二阶导函数）在给定区间内恒为正，即()0g x ''>.下列所列函数在所给定义域中“严格上凹”的有（） A ．2()log (0)f x x x => B ．()2x f x e x -=+C ．3()2(0)f x x x x =-+<D ．2()sin (0)f x x x x π=-<<高考数学热点必会题型第5讲导数之二阶导数的应用——每天30分钟7天掌握一、重点题型目录【题型】一、利用二阶导数求函数的极值（极大值或极小值）【题型】二、利用二阶导数求函数的单调性【题型】三、利用二阶导数求参数的范围【题型】四、利用二阶导数证明不等式【题型】五、利用二阶导数与函数的对称性求值【题型】六、利用二阶导数与函数的凹凸性求值二、题型讲解总结第一天学习及训练【题型】一、利用二阶导数求函数的极值（极大值或极小值）例1．（2022·广西北海·一模（理））已知()12,,x x m ∈+∞()0m >，若12x x <，121112x x x x -->恒成立，则正数m 的最小值是（） A ．1eB ．1C ．11e+D ．e【答案】B 【分析】不等式121112x x x x -->化简可得()()11221ln 1ln x x x x ->-，利用导数研究函数()()1ln f x x x =-的单调性，结合已知条件和函数的单调性可求m 的最小值.【详解】由121112x x x x -->，化简可得121112ln ln x x x x -->，即()()11221ln 1ln x x x x ->-．令()()1ln f x x x =-，则原不等式可化为()()12f x f x >，由已知()f x 在(),m +∞上为单调递减函数，又()11ln ln 1x f x x x x x -=-+=-+-'，令()1ln 1u x x x =-+-，则()2110u x x x-'=-≤在()0,∞+上恒成立，所以()u x 在()0,∞+上单调递减，又()10u =，所以当()0,1x ∈时，()0u x >，当()1,x ∈+∞时，()0u x <．故当()0,1x ∈时，0fx，当()1,x ∈+∞时，()0f x '<．即()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减．所以m 1≥．所以正数m 的最小值是1，故选：B ．例2．（2022·湖南·高二期中）已知二次函数()2f x ax bx c =++的图象过点()0,1-，且当0x >时，()ln f x x ≥，则ba的最小值为（）A ．2-B ．12-C ．e -D ．1e-【答案】D【分析】将元不等式变形为ln 1()x ax b g x x++≥=，利用导数研究()g x 的单调性可得当直线y ax b =+与()g x 相切时ba取得最小值，根据导数的几何意义和直线的点斜式方程求出切线方程，进而得出(2ln 1)()b x x h x a x+-==，利用二次求导研究()h x 的单调性，求出max ()h x 即可.【详解】由()1f x =-知1c =-，∴()21f x ax bx =+-，∴()ln 1ln x f x x ax b x +≥⇔+≥，令ln 1()(0)x g x x x +=>，则1()0eg =， 2ln ()xg x x-'=，令()01g x x '>⇒<，令()01g x x '<⇒>，所以函数()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，如图，若y ax b =+图象在()g x 图象上方，则01x <<，要使y ax b =+图象在()g x 图象上方，则ba表示x 轴截距的相反数，ba的最小值即为截距的最大值，而当截距最大时，直线y ax b =+与()g x 相切，记切点为00(,)x y ，则0020ln ()x g x a x -'==，又00ln 1()x g x x +=，所以00000220000ln ln 1ln 2ln 1()x x x x y x x x x x x x -+-+=-+=+，有()0002ln 1ln x x b a x +-=，设()()2ln 1(01)ln x x h x x x+=<<，则()()2222ln 1ln 12(ln )ln 1()(ln )(ln )x x x x h x x x -++-'==，故当1(0,)ex ∈时，函数()0h x '>，当1(,1)e x ∈时，()0h x '<，故当(0,1)x ∈时，函数()h x 在1(0,)e上单调递增，在1(,1)e 上单调递减，此时max 11()()e eh x h ==，综上，b a的最小值为1e -.故选：D.例3．（2021·江苏·高二专题练习）设函数()()(1)(3,4)x x kf x e e x k -=--=，则（）A ．3k =时，()f x 在0x =处取得极大值B ．3k =时，()f x 在1x =处取得极小值C ．4k =时，()f x 在0x =处取得极大值D ．4k =时，()f x 在1x =处取得极小值【答案】D【分析】先对()f x 求导并整理，当3k =时，令2()(2)4x g x x e x =++-，对()g x 二次求导判断其单调性，得()g x 在R 上单调递增，由函数零点存在定理确定零点所在区间，从而得()f x 的单调性即可判断；当4k =时，令2()(3)5x h x x e x =++-，同理求导，判断单调性即可判断.【详解】解：由()()(1)x x k f x e e x -=--，得 1()()(1)()(1)x x k x x k f x e e x k e e x ---'=+-+--12(1)(1)1k x x x x k e x k e--⎡⎤=-++--⎣⎦，当3k =时，22(1)()(2)4x x x f x x e x e-'⎡⎤=++-⎣⎦，令2()(2)4x g x x e x =++-，222()2(2)1(25)1x x x g x e x e x e '=+++=++， 222()22(25)(412)x x x g x e x e x e ''=++=+，所以当3x <-时，()0g x ''<，()g x '在(),3-∞-上单调递减；当3x >-时，()0g x ''>，()g x '在()3,-+∞上单调递增，所以6()(3)10g x g e -''≥-=->，所以()g x 在R 上单调递增，又2(0)240,(1)330g g e =-<=->，则()g x 在区间()0,1上存在唯一零点0x ，当0x x <时，()0g x <，即()0f x '<，()f x 在()0,x -∞单调递减；当0x x >时，()0g x >，即()0f x '>，()f x 在()0,x +∞单调递增；所以()f x 在0x x =处取得唯一极值，故选项A 、B 错误；当4k =时32(1)()(3)5x x x f x x e x e-'⎡⎤=++-⎣⎦，令2()(3)5x h x x e x =++-，则222()2(3)1(27)1x x x h x e x e x e '=+++=++， 222()22(27)(416)x x x h x e x e x e ''=++=+，所以当<4x -时，()0h x ''<，()h x '在(),4-∞-上单调递减；当4x >-时，()0h x ''>， ()h x '在()4,-+∞上单调递增；所以8()(4)10h x h e -''≥-=->，则()h x 在R 上单调递增，又(0)0,(1)0h h <>，则()h x 在区间()0,1上存在唯一零点t ，则令()0f x '=，得1x =或(0,1)x t =∈，当x t <或1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增，当1t x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以()f x 在x t =处取得极大值，在1x =处取得极小值，选项C 错误，选项D 正确. 故选：D.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是，利用二次求导判断导函数的单调性，然后再利用函数零点存在定理确定零点所在区间，从而得原函数的单调性.例4．（2022·重庆市育才中学模拟预测）已知函数()()32012xa f x ae x ax a =--->，若函数()y f x =与()()y f f x =有相同的最小值，则a 的最大值为（）．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】首先利用导数求解函数的单调性，再根据函数值域与定义域的关系即可得出结论.【详解】根据题意，求导可得，()()204x a f x ae x a a '=-->， ∴()1022xx a f x ae x a e x ⎛⎫''=-=-> ⎪⎝⎭（ x e x >），∴f x 在R 上单调递增，又∴当0x =时，()00f '= ∴当0x <时，0f x，即函数()f x 在,0上单调递减，当0x >时，0fx，即函数()f x 在0,上单调递增，故有()()min 02f x f a ==-，即得()[)2,f x a ∈-+∞，所以根据题意，若使()()min 2f f x a =-，需使()f x 的值域中包含[)0,+∞，即得202a a -≤⇒≤，故a 的最大值为2. 故选：B.【点睛】求函数最值和值域的常用方法：（1）单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；（2）图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；（3）基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；（4）导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；（5）换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值. 例5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()ln 2f x x x x =+，若k Z ∃∈，使得()21f x kk x+>+在()2,x ∈+∞恒成立，则k 的最大值为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】C【分析】首先参变分离得ln 2x x x k x +<-，再设函数()ln 2x x x h x x +=-，求导数()()242ln 2x x h x x --'=-，再设()42ln g x x x =--，再求导数，通过函数()g x '恒正，判断函数()g x 的单调性，并判断()h x 的极值点所在的区间，求得函数的最小值，同时求得k 的最大值.【详解】依题意，ln 2x x x k x +<-，令()ln 2x x x h x x +=-，则()()242ln 2x x h x x --'=-．令()42ln g x x x =--，()21g x x'=-，∴2x >时，()0g x '>，即()g x 单调递增，∴()4242ln8l n 8n l 80g e =-=-<，()52952ln9ln ln90g e =-=->，设42ln 0x x --=并记其零点为0x ，故089x <<．且004ln 2x x -=，所以当02x x <<时，()0g x <，即()0h x '<，()h x 单调递减；当0x x >时，()0g x >即()0h x '>，()h x 单调递增，所以()()0000000min 0004ln 2222x x x x x x x h x h x x x -⎛⎫+ ⎪+⎝⎭====--，因此02x k <，由于Z k ∈且089x <<，即09422x <<，所以max 4k =，故选:C【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的性质，考查考生逻辑推理、数学运算的核心素养，本题的关键是构造函数，并求两次导数，通过导数，逐级判断函数的单调性和最值.【题型】二、利用二阶导数求函数的单调性例5．（2022·湖北·竹溪县第二高级中学高三阶段练习）若19ln sin a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，ln9b =-，ln(ln 0.9)c =-，则（）A ．c<a<bB ．c b a <<C ．a b c <<D ．a c b <<【答案】A【分析】先由对数的运算法则把,,a b c 转化成同底的对数，再构造函数，利用导数判断单调性，进而,,a b c 的真数的大小关系，最后利用ln y x =的单调性判断,,a b c 的大小. 【详解】由对数的运算法则得1ln 9ln 9b =-=，10ln(ln 0.9)ln ln 9c ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.令函数()sin f x x x =-，则()cos 10f x x '=-≤，即函数()f x 在R 是单调递减.11sin 99∴<令函数()()sin ln 1,0,6g x x x x π⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭，则()1cos 1g x x x '=-+，令函数()1cos ,0,16h x x x x π⎛⎫=-∈ ⎪+⎝⎭，则()()21sin 1h x x x '=-++，()h x '在0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，且()211010,06216h h ππ⎛⎫''=>=-+< ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ()000,,06x h x π⎛⎫'∴∃∈= ⎪⎝⎭，所以()h x 在()00,x 上单调递增，在0,6x π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减.又()1600,06616h h πππ⎛⎫===-> ⎪+⎝⎭+ ()0h x ∴>在0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭恒成立 ()0g x '∴>，即()g x 在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 ()()0=0g x g ∴>，则()sin ln 1x x >+ 当19x =时，1110sinln 1ln 999⎛⎫>+= ⎪⎝⎭. 又ln y x =在()0,∞+上单调递增10ln19∴> 1011ln ln ln sin ln 999⎛⎫⎛⎫∴<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ c a b ∴<<故选：C【点睛】利用导数判断函数值大小应注意的问题：在构造函数时需要视具体情况而定在判断导函数的正负时，尽量不要求二阶导数，而是把原导函数令为一个新函数，再求导判断正负来得到原导函数的单调性.例6．（2022·河南·模拟预测（理））己知22e 2e e e a a b b a b -=-，则（） A ．0a b +≥ B ．0a b +≤C ．0ab ≥D ．0ab ≤【答案】C【分析】变形()()22e e 2e e 2e b a a b b b a b =---，构造函数()2e 2e x xf x x =-，通过二次求导可知函数单调性，然后利用单调性可得a 、b 符号.【详解】()()22e e 2e e 2e b a a b b b a b =---，设()2e 2e x xf x x =-，则()()()22e 21e 2e e 1x x x xf x x x =-+=--'，设()e 1xg x x =--，则()e 1x g x '=-，当0x <时，()0g x '<，()g x 单调递减，当0x >时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以()()00g x g ≥=，所以()()2e 0xf xg x '=≥，()f x 单调递增．当a b ≥时，()()e 0bb f a f b =-≥，故此时0a b ≥≥；当a b ≤时，()()e 0bb f a f b =-≤，故此时0a b ≤≤，所以0ab ≥.故选：C ．例7．（2022·黑龙江·嫩江市第一中学校高三期末（理））若22sin 4sin cos 41-=-+a a b b b b a ，则（） A ．2a b > B ．2a b < C ．|||2|>a b D ．|||2|<a b【答案】C【分析】构造函数2()sin f x x x x =+，利用导数判断单调性，结合奇偶性单调性来比较大小. 【详解】令2()sin f x x x x =+，∴22()sin()()sin ()-=--+-=+=f x x x x x x x f x ，∴()f x 是偶函数， ∴()sin cos 2(cos 1)(sin )=++=+++'f x x x x x x x x x ，令()sin g x x x =+，则()cos 10='+≥g x x ，∴()g x 在(0,)+∞上单调递增，当0x ≥时，()(0)0g x g ≥=，此时()0f x '>，∴()f x 在(0,)+∞上单调递增.由22sin 4sin cos 41-=-+a a b b b b a 可得22sin 2sin 2(2)1+=++a a a b b b ，即()(2)1=+f a f b ，∴()(2)>f a f b ，∴()f x 是偶函数，则(||)(|2|)>f a f b ，∴|||2|>a b . 故选：C.【点睛】本题求解的关键是把等量关系转化为不等关系，通过构造函数，研究函数的性质来求解，一次导数解决不了问题时，考虑二次导数.例8．（2022·浙江省春晖中学模拟预测）在关于x 的不等式()2222e e 4e e 4e 0x x x a x a -+++>（其中e=2.71828为自然对数的底数）的解集中，有且仅有两个大于2的整数，则实数a 的取值范围为（） A ．4161,5e 2e ⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．391,4e 2e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．42164,5e 3e ⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．3294,4e 3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【分析】将不等式转化为()()22e 21e x x a x ->-，分别研究两个函数的性质，确定a 的取值范围，构造函数，利用放缩法进一步缩小a 的取值范围，列出不等式组，求出结果.【详解】由()2222e e 4e e 4e 0x x x a x a -+++>，化简得：()()22e 21e x x a x ->-，设()()22e 2f x x =-，()()1e xg x a x =-，则原不等式即为()()f x g x >.若0a ≤，则当2x >时，()0f x >，()0g x <， ∴原不等式的解集中有无数个大于2的整数，∴0a >.∴()20f =，()22e 0g a =>，∴()()22f g <.当()()33f g ≤，即12ea ≥时，设()()()()4h x f x g x x =-≥，则()()()22e 2e 2e 2e 22exxx h x x ax x '=--≤--. 设()()()2e 2e 242e x x x x x ϕ=--≥，则()()21e 2e 2ex x x ϕ+'=-在[)3,+∞单调递减，所以()()()21e 2e302ex x x ϕϕ+''=-≤=，所以()()2e 2e 22ex x x x ϕ=--在[)4,+∞单调递减，∴()()()242e 2e 0x ϕϕ≤=-<，∴当4x ≥时，()0h x '<，∴()h x 在[]4,+∞上为减函数，即()()2423e 44e 3e e 402h x h a ⎛⎫≤=-≤-< ⎪⎝⎭，∴当4x ≥时，不等式()()f x g x <恒成立， ∴原不等式的解集中没有大于2的整数.∴要使原不等式的解集中有且仅有两个大于2的整数，则()()()()()()334455f g f g f g ⎧>⎪>⎨⎪≤⎩，即232425e 2e 4e 3e 9e 4e a a a ⎧>⎪>⎨⎪≤⎩，解得32944e 3e a ≤<. 则实数a 的取值范围为3294,4e 3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：D【点睛】已知整数零点个数，求参数的取值范围，要从特殊点，特殊值缩小参数的取值范围，再利用导函数及放缩法进行求解，最终得到关于参数的不等关系，进行求解.第二天学习及训练【题型】三、利用二阶导数求参数的范围例9．（2022·辽宁·东北育才双语学校模拟预测）设函数()2ln f x x x=+，()0,6x ∈，()f x 的图像上的两点()11,A x y ，()22,B x y 处的切线分别为1l ，2l ，且12x x <，1l ，2l 在y 轴上的截距分别为1b ，2b ，若12l l ∥，则12b b -的取值范围是（） A ．2ln 2,23⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．2ln 2,1ln 23⎛⎫-+ ⎪⎝⎭C ．2ln 2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()1ln 2,2+【答案】C【分析】利用导数求切线方程，结合两条切线平行，得到12x x ，的取值区间；再利用一阶导数求出相应点的切线方程，再求y 轴上的截距，然后确定12b b - 的单调性，然后就可以确定它的取值范围. 【详解】因为()2ln f x x x =+而()121206x x x x ∈<，，，，所以()22212x f x x x x-'=-+=，在点1112ln A x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，处的切线方程为：()112111221ln y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；在点2222ln B x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，处的切线方程为：()222222221ln y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；所以()1111211112124ln ln 1b x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-++=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；2224ln 1b x x =+-；令()4ln 1b x x x =+- ，则()22414x b x x x x-'=-+= 11212121224444ln 1ln 1ln xb b x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+--+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又因为12l l ∥ ，所以2211222121x x x x -+=-+，且124x x << 所以211112x x +=，112102x x x =-> ，12x > ，12246x x <<<< 所以112122224482ln 2ln 2x b b x x x x x ⎛⎫-=-+=-+ ⎪-⎝⎭，令()12822ln2g x b b x x =-=-+- ，()46x ∈，则()()()222481022x g x x x x x -'=-=-<-- 所以()12822ln 2g x b b x x =-=-+-在()46，单调递减. 所以()122ln 203b b ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，. 故选：C例10．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（文））若关于x 的不等式32ln 42x x x x ax +≤++恒成立，则实数a 的取值范围为（）A ．[)1,-+∞B ．[)1,+∞C ．1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．[),e +∞【答案】B 【分析】等价于2ln 42x a x x x x≥-+-，设函数()2ln 42x f x x x x x =-+-，利用导数求出函数()f x 的最大值即得解.【详解】解：依题意，2ln 42x a x x x x≥-+-，设函数()2ln 42x f x x x x x =-+-，则()224ln 3x x x f x x---+='，令()24ln 3h x x x x =---+，故()21420h x x x x'=---<，所以函数()h x 在()0,∞+上单调递减，而()10h =，故当()0,1x ∈时，()0f x '>，当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，故函数()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，故()max ()11==f x f ，则1a ≥. 故选：B ．例11．（2022·全国·高二课时练习）已知函数()22e 1ln x f x x kx x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，若函数()f x 有唯一极值点，则实数k 的取值范围为（）A ．()(]{}2,00,4e 2e ∞-⋃⋃B ．(),4e ∞-C ．()4e,∞+D ．[)4e,∞+【答案】A【分析】求出原函数的导函数并化简得到()2212e 1x x f x x kx ⎛⎫-'=-⎪⎝⎭，1x =为导函数的零点，进而设()()22e 10xg x x kx=->，然后再通过导数方法判断出函数()g x 的零点，进一步得到函数()f x 的单调区间，最终确定出极值点个数求出答案.【详解】由题意，()22e 10,ln x x f x x kx x ⎛⎫>=-+ ⎪⎝⎭，则()()223222e 1112e 1x x x x x f x kx x x kx -⎛⎫--'=-=- ⎪⎝⎭，设()()22e 10xg x x kx=->，()22221e x x g x k x -'=⋅⋅.当0k >时，10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0,g x g x '<单调递减，1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()()0,g x g x '>单调递增，()min 14e12g x g k⎛⎫==- ⎪⎝⎭ （1）若04e k <≤，则()()min 0g x g x ≥≥，则()0,1x ∈时，()()0,f x f x '<单调递减，()1,x ∈+∞时，()()0,f x f x '>单调递增，所以()f x 有唯一极值点1x =. （2）若24e<2e k <，则()min102g x g ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，()22e 110g k=->，22211212ee e 22212e 2e 112e 10112e 2e 2e g k k ⋅⎛⎫=-=->-> ⎪⎝⎭⋅⋅，结合函数()g x 的单调性可知，函数()g x 分别在110,,,122⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上存在唯一一个零点12,x x ，于是()10,x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，()12,x x x ∈时，0f x ，()f x 单调递增，()2,1x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减， ()1,x ∈+∞时，0fx，()f x 单调递增，所以()f x 有12,,1x x 三个极值点；（3）若22e k =，则()min102g x g ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，()22e 110g k=-=，221212e e 2212e 12e 1012e 2e g k ⋅⎛⎫=-=-> ⎪⎝⎭⋅，结合函数()g x 的单调性可知，函数()g x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一一个零点3x ，于是()30,x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，()3,1x x ∈时，0f x ，()f x 单调递增，()1,x ∈+∞时，0fx ，()f x 单调递增，所以()f x 有3x x =唯一一个极值点；（4）若22e k >，则()22e 110g k=-<，又102x <<时，()22e 211x g x kx kx =->-，所以102x <<且2x k<时，()0g x >.设()()e 1xh x x x =->，()e 1e 10x h x '=->->，所以函数()h x 在()1,+∞上单调递增，故()()221e 10e e xxh x h x x >=->⇒>⇒>，于是1x >时，()22211x xg x kx k>-=-，所以1x >且2kx >时，()0g x >. 结合函数()g x 的单调性可知，函数()g x 分别在()10,,1,+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭上存在唯一一个零点45,x x ，于是()40,x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，()4,1x x ∈时，0fx，()f x 单调递增，()51,x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减， ()5,x x ∈+∞时，0f x，()f x 单调递增，所以()f x 有45,1,x x 三个极值点.当0k <时，10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0,g x g x '>单调递增，1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()()0,g x g x '<单调递减，()max 14e102g x g k⎛⎫==-< ⎪⎝⎭，即()0g x <恒成立，于是()0,1x ∈时，()()0,f x f x '>单调递增，()1,x ∈+∞时，()()0,f x f x '<单调递减，所以()f x 有唯一极值点1x =.综上所述：k 的取值范围为(){}2,0(0,4e]2e -∞⋃⋃.故选：A.【点睛】本题非常复杂，注意以下两个方面：∴对函数求完导之后一定要因式分解，()2212e 1x x f x x kx ⎛⎫-'=- ⎪⎝⎭，现在只需要考虑()()22e 10xg x x kx =->的零点即可；∴因为导函数()f x '有一个零点1，所以在讨论函数()()22e 10xg x x kx=->的零点时一定要注意它的零点是否为1，方法是将x =1代入得到()222e 1102e g k k=-=⇒=，以此作为讨论的一个分界点. 例12．（2021·江苏·高二单元测试）若关于x 的不等式2112ln 022x m x --≥在[]2,4上有解，则实数m 的取值范围是（）A ．15,4ln 2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B ．15,8ln 2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C ．15,4ln 2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．15,8ln 2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】D【分析】把给定不等式转化为214ln x m x -≤在[]2,4上有解，构造函数()214ln x g x x-=，[]2,4x ∈，探讨该函数最大值即可得解.【详解】由[]2,4x ∈，得ln 0x >，又关于x 的不等式2112ln 022x m x --≥在[]2,4上有解，所以214ln x m x -≤在[]2,4上有解，即2max14ln x m x ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，令()214ln x g x x -=，[]2,4x ∈，则()()()()2224124ln 12ln 4ln 4ln x x x x x x x x g x x x ⋅--⋅-+'==，设()12ln h x x x x x=-+，[]2,4x ∈，则()22112ln 212ln 10h x x x x x '=+--=+->，即()h x 在[]2,4上单调递增，则()()13324ln 224ln 220222h x h ≥=-+=->->，于是有()0g x '>，从而得()g x 在[]2,4上单调递增，因此，()()max 161151544ln 44ln 48ln 2g x g -====，则158ln 2m ≤，所以m 的取值范围是15,8ln 2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 故选：D【点睛】思路点睛：涉及不等式在给定区间上有解求参数范围问题，常常采用分离参数，构造函数，再求函数最值的思路来解决问题. 【题型】四、利用二阶导数证明不等式例13．（2022·辽宁朝阳·高二期末）已知函数()f x 为偶函数，且当0x ≥时，2()e cos x f x x x =+-，则不等式(3)(21)0f x f x ---<的解集为（） A ．42,3⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．(,2)-∞-C ．(2,)-+∞D ．4(,2),3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】结合导数以及函数的奇偶性判断出()f x 的单调性，由此化简不等式(3)(21)0f x f x ---<来求得不等式的解集.【详解】当0x ≥时，()()()'''2sin s 2cos 0,2,in x x x e x f x f x e x x e x x =++>=++++单调递增，()'01f =，所以()()'0,f x f x >单调递增.因为()f x 是偶函数，所以当0x <时，()f x 单调递减.(3)(21)0,(3)(21)f x f x f x f x ---<-<-，()()22321,321x x x x -<--<-，22269441,3280x x x x x x -+<-++->，()()23402x x x +->⇒<-或43x >. 即不等式(3)(21)0f x f x ---<的解集为4(,2),3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭.故选：D例14．（2022·全国·高二专题练习）已知123a =，()11e b e =+，134c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）． A ．b a c >> B ．c b a >> C ．c a b >> D ．a b c >>【答案】D【分析】根据题中a ，b ，c 的形式构造函数()()()1ln 1,0f x x x x=⋅+>，利用二次求导的方法判断函数()f x 的单调性，根据单调性即可比较大小. 【详解】因为()1212a =+，()11e b e =+，()1313c =+，所以令()()()1ln 1,0f x x x x=⋅+>，则()()2ln 11xx x f x x -++'=，令()()()ln 1,01x g x x x x =-+>+，则()()201x g x x -'=<+， ∴()g x 在()0,∞+上单调递减，()()00g x g <=，∴()0f x '<恒成立，∴()f x 在()0,∞+上单调递减． ∴23e <<，∴()()()23f f e f >>，即()()()111ln 12ln 1ln 1323e e +>+>+，所以()()()11123ln 12ln 1ln 13e e +>+>+，所以()11132314e e >+>，即a b c >>，故选：D ．例15．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()ln 2f x x x x =+，若k Z ∃∈，使得()21f x kk x+>+在()2,x ∈+∞恒成立，则k 的最大值为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】C【分析】首先参变分离得ln 2x x x k x +<-，再设函数()ln 2x x x h x x +=-，求导数()()242ln 2x x h x x --'=-，再设()42ln g x x x =--，再求导数，通过函数()g x '恒正，判断函数()g x 的单调性，并判断()h x 的极值点所在的区间，求得函数的最小值，同时求得k 的最大值. 【详解】依题意，ln 2x x x k x +<-，令()ln 2x x x h x x +=-，则()()242ln 2x x h x x --'=-．令()42ln g x x x =--，()21g x x'=-，∴2x >时，()0g x '>，即()g x 单调递增，∴()4242ln8l n 8n l 80g e =-=-<，()52952ln9ln ln90g e =-=->，设42ln 0x x --=并记其零点为0x ，故089x <<．且004ln 2x x -=，所以当02x x <<时，()0g x <，即()0h x '<，()h x 单调递减；当0x x >时，()0g x >即()0h x '>，()h x 单调递增，所以()()0000000min 0004ln 2222x x x x x x x h x h x x x -⎛⎫+ ⎪+⎝⎭====--，因此02x k <，由于Z k ∈且089x <<，即09422x <<，所以max 4k =，故选:C【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的性质，考查考生逻辑推理、数学运算的核心素养，本题的关键是构造函数，并求两次导数，通过导数，逐级判断函数的单调性和最值.例16．（2023·全国·高三专题练习）已知()f x 是R 上的偶函数，当[)0,x ∈+∞时，()2cos 12x f x x =-+，且()()21f x a f x +<+对x ∀∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】33,44⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】利用二次求导法，结合偶函数的性质进行求解即可.【详解】()()()()2cos 1sin 1cos 02x f x x g x f x x x g x x ''=-+⇒==-+⇒=-≥，故()g x 为增函数，当0x ≥时，()()00g x g ≥=，可得()f x 为增函数. 又()f x 为偶函数，故()()f x a f x a +=+，()()22221111f x a f x x a x x x a x x +<+⇔+<+⇔---<<-+恒成立. 因为221331()244x x x -+=-+≥，221331()244x x x -+-=---≤-，所以有3344a -<<，故答案为：33,44⎛⎫- ⎪⎝⎭第三天学习及训练【题型】五、利用二阶导数与函数的对称性求值例17．（2022·四川·成都七中模拟预测（理））对于三次函数()32f x ax bx cx d =+++（0a ≠），给出定义：设()f x '是函数()y f x =的导数，()f x ''是()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数()3211533212g x x x x =-+-，则122014201520152015g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（）A ．2014B ．2013C ．20155D ．1007【答案】A【分析】根据对称中心的定义，由二阶求导可求出对称中心，进而根据对称中心的特征求解. 【详解】()3211533212g x x x x =-+-，所以()()23,21g x x x g x x '''=-+=-，令12102x x -=⇒=，112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()3211533212g x x x x =-+-的对称中心为1,12⎛⎫⎪⎝⎭ ，()()1220141201412,20152015201520152015g x g x g g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+-=∴++⋅⋅⋅+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22013100710081007220142015201520152015g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：A例18．（2022·广东广州·高二期末）对于三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠，现给出定义：设()f x '是函数()f x 的导数，()f x ''是()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数()3232g x x x =-+，则1231910101010g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（） A ．0 B ．1C ．32-D ．32【答案】A【分析】对函数()3232g x x x =-+求导，再求导()g x ''，然后令()0g x ''=，求得对称点即可.【详解】依题意得，()236g x x x '=-，()66g x x ''=-，令()0g x ''=，解得x ＝1，∴()10g =，∴函数()g x 的对称中心为()1,0，则()()20g x g x -+=， ∴11921831791121010101010101010+=+=+==+= ∴12319010101010g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：A.例19．（2022·全国·高三专题练习）设函数()y f x ''=是()y f x '=的导数，经过探究发现，任意一个三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠的图象都有对称中心()()00,x f x ，其中0x 满足()00f x ''=，已知函数()3272392f x x x x =-+-，则12320212022202220222022f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（） A ．2021 B ．20212C ．2022D ．40212【答案】B【分析】通过条件，先确定函数()f x 图象的对称中心点，进而根据对称性求出函数值的和. 【详解】由()3272392f x x x x =-+-，可得()2669f x x x '=-+，()126f x x ''=-，令()1260f x x ''=-=，得12x =，又32111171239222222f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以对称中心为11,22⎛⎫⎪⎝⎭，所以12021220201,12022202220222022f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，…，11010102022202122f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1201011222f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 所以12320211202110101202220222022202222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+=⨯+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：B.例20．（2016·湖南衡阳·高三阶段练习（文））设函数()y f x ''=是()y f x '=的导数．某同学经过探究发现，任意一个三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠都有对称中心()()00,x f x ，其中0x 满足()00f x ''=．已知函数()3211533212f x x x x =-+-，则1232016...2017201720172017f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（） A ．2013 B ．2014 C ．2015 D ．2016【答案】D【分析】先求出()f x ''，结合题意求得函数()f x 的对称中心，进而得到()()12f x f x +-=，进而求出1232016...2017201720172017f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即可. 【详解】由题意得，()()23,21f x x x f x x '''=-+=-，令()0f x ''=，解得12x =，又3211111153123222212f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 的对称中心为1,12M ⎛⎫⎪⎝⎭，则()()12f x f x +-=，1232016...2017201720172017f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1120162201520161...2201720172017201720172017f f f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()12201620162=⨯⨯=. 故选：D ．【题型】六、利用二阶导数与函数的凹凸性求值例21．（2022·陕西渭南·高二期末（理））给出定义:若函数()f x 在D 上可导，即()f x '存在，且导函数()f x '在D 上也可导，则称()f x 在D 上存在二阶导函数.记()()()f x f x ''''=，若()0f x ''<在D 上恒成立，则称()f x 在D 上为凸函数.以下四个函数在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上是凸函数的有。

高三数学高效课堂资料学案二十导数的应用(二)

高三数学高效课堂资料学案二十导数的应用（二）（函数学案十二，共十三个）一、考点与能力要求1．理解函数的单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性；2．理解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，会用导数求函数的极值和最值；3.掌握导数在函数零点、函数最值、不等式恒成立有解、证明不等式问题中的应用。

二、知识讲解（一）预备知识1.如何理解f(x) a 恒成立？如何转化？有解问题呢？2．如何求解函数的极值或最值？3.如何解决不等式恒成立有解、证明不等式问题？（二）基础知识析理有解有解恒成立恒成立)()()()()()(x g x f a x f x g x f a x f 1.基础解读：含“任意，存在”的不等式问题转化为函数的最值问题，体现转化与划归的思想。

做题时要分清题目是涉及到一个变量还是两个变量（要区分自变量与参数选择好数学模型），涉及到“任意、存在”中一组词还是两组词的问题,最终转化为求函数的最大值还是最小值的问题（也可分离参数求解）。

2.应用：（1）已知函数f(x)=x,g(x)=a+ln x若(0,),()()x f x g x 总有成立，求实数a 的取值范围________ 若1212,1,2,()()f g x x x x 总有成立，求实数a 的取值范围________ 12121,2,1,2,()()f g a x x x x 若使成立，则________12121,21,2()()f g a x x x x 若，，使成立，则________ 121,21,2x x 若，,12()()f g a x x 使成立，则________（2）10,,M x M x ，都有成立则的取值范围是：________0,,M x x M e ，都有成立则的取值范围是：________三、典题举例与解题指导知识能力考查点：1.利用导数解决实际应用问题；2.分类讨论数学思想的运用。

[思路分析]1.确定自变量与因变量，建立数学模型解决与导数有关的最优化问题；2.转化成求函数最值问题，注意定义域；3.还原到实际问题中。

高三数学高效课堂资料一轮复习24.导数的实际应用

高三数学高效课堂资料山东省昌乐一中2015级高三数学(理)翻转课堂课时学案课题导数的实际应用编制人荣丽萍审核人自学质疑学案学案内容班级小组姓名________ 使用时间______年______月______日编号一轮复习24学案内容学习指导一、基础自测：1.某集团为了获得更大的收益，每年要投入一不定期的资金用于广告促销，经调查，每年投入广告费t（百万元），可增加销售额约为-t 2+5t （百万元）(0≤t ≦5)(1)若公司将当年的广告费控制在三百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？(2)现该公司准备共投入300万元，分别用于广告促销和技术改造，经预测，每投入技术改造费x （百万元），可增加的销售额约为32133xxx （百万元），请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大？（注：收益=销售额—投入）.二、考点突破：考向一最优解问题例1.某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．(1)将V 表示成r 的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大．考向二最大利润问题例2．某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x （吨）与每吨产品的价格p （元/吨）之间的关系式为：21242005p x ,且生产x 吨的成本为50000200Rx （元）.问该厂每月生产多少吨产品才能使利润L 达到最大？最大利润是多少？（利润=收入─成本）四、合作与检测【微课助学】若对上述问题不理解，请观看一轮复习22微课；若已经掌握此类题目的解题方法，请跳转到下一环节。

训练展示学案要求：先自己做，再讨论，小组展示。

强化训练1.学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传，现让你设计一张竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2，上、下两边各空2dm，左右两边各空1dm，张贴的长与宽尺寸为( )才能使四周空白面积最小？A 20 dm，10 dm.B 12 dm ，9 dmC 10 dm，8 dmD 8 dm，5 dm2.某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝ax－3＋10(x－6)2，其中3＜x＜6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．学案内容3.统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y （升）关于行驶速度x （千米/小时）的函数解析式可以表示为：y=880312800012xx(0<x ≤120).已知甲、乙两地相距100千米。

高考数学 3-13《导数的应用(二)》课件理

2．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)； (2)求函数的导数f ′(x)，解方程f ′(x)＝0； (3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值； (4)回归实际问题作答．
在或不在区间[0，＋∞)内分两类情况讨论，求出函数最小值； (2)直接利用导数几何意义，找到关于参数a，b的方程组，解出 a，b.
1 【解】 (1)f′(x)＝ae － x. ae
x
当f′(x)>0，即x>－ln 增；当f′(x)<0，即x<－ln 减． ①当0<a<1时，－ln (－ln
a时，f(x)在(－ln
2
1 解得ae ＝2或ae ＝－ (舍去)． 2
2 2
2 1 1 所以a＝ 2，代入原函数可得2＋＋b＝3，即b＝ . e 2 2 2 1 故a＝ 2，b＝ . e 2
(1)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值，可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得． (2)当连续函数在开区间内的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点．
在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．
(2011年江苏)请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E、F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)．

课件12：3.2 导数的应用

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自
3.2 导数的应用
高
考
主
体
落
验
实
·
·
明
固
考
基
情
础
典
例
课
探
后
究
作
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业
提
知
能
菜单
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高
自
考
主
体
落
实
1．函数的导数与单调性的关系
验 ·
·
明
固基
函数y＝f(x)在某个区间内可导，则
考情
础
(1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内___单__调__递__增__；
· 明
固
基础
k<exx＋－11＋x(x>0)．
考
①
情
令
g(x)
＝
x＋1 ex－1
＋
x
，
则
g′(x)
＝
－xex－1 （ex－1）2
＋
1
＝
典
例探究 ·
ex（ex－x－2）（ex－1）2 .
课后作业
提
知能
菜单
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由 (1) 知，函数 h(x) ＝ ex － x － 2 在 (0 ，＋ ∞ ) 上单调递
典例
又由g′(α)＝0，可得eα＝α＋2，所以g(α)＝α＋1∈(2，课
探究
3)．
后作
·
业
提知
由于①式等价于k<g(α)，故整数k的最大值为2.
能
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(2)g(x) x sin x, g / (x) cos x
g ( x)在[-1,1]上是减函数 g / (x) 0在[-1,1]上恒成立
即 - cos x在[-1,1]上恒成立设（x) - cos x 当x 0时（x) min =-1 -1 即的取值范围是（-，-1]

t+1 0
（ t+1)(-1)+t2 1 sin1 0

t 1
t 2 t sin1 0恒成立
t 1
即t的取值范围是（-，-1]
(4)h(x)=
ln x x
h/
( x)

1 ln x2
x
当x变化时h/ ( x)，h(x)变化如表
x
(0, e)
a

1 时，f 2
/ (x)

-a( x
1)( x x2

1 a) a
0 a 1 1 2 1 11
2a
a
f / (x) 0得1 x 1 1令f / (x) 0得x> 1 1或0 x 1
a
a
f (x)在(0,1)和（ 1 1，+）单减，在（1，1 1）单增
216000k (2k 1)3
cm3
规律小结：
（1）当定义域中含有参数时，求最值时必须分类讨论，先讨论在给定区间里面的，再讨论区间外面的；（2）当x= 60k 时，代入（60-2x)2 x计算简单；
2k 1 （3）当定义域确定，解析式中含有参数时，也必须分类讨论。
例2.已知函数f (x) ln(e x a)(a为常数）实数集R上的奇函数，
奇函数g(x) f (x) sin x是区间-1,1上的减函数。
（1）求a的值；
（2）求的取值范围；
（3）若g(x) t 2 t 1在x -1,1上恒成立，求t的取值范围；
（4）讨论关于x的方程 ln x x2 2ex m的根的个数。 f (x)
解：（1） f (x)在R上是奇函数， f (x) f (x), 令x 0 则f (0) f (0) f (0) 0ln(e0 a) 0ln(a 1) 0 a 1 1a 0 f (x) x
e
e
（3）当 e2 m< 1 即m e2 1 时，有2个根。
e
e
规律小结：
（1）函数奇偶性，必须用定义证明；（2）在某个区间单调转化为f/(x) 0或f/(x) 0成立；（3）恒成立问题能分离参数的首选分离参数；（4）关于方程根问题，一般转化为函数图像交点问题处理；（5）综合题目要认真分析，要有自信心。

0 x 60
0 x 60

0 60 2x 60 0 x 30

x k
x
60k
60 2x
2k 1
定义域为 0，26k0k1 V/(x)=12x2 -480x+3600=12(x-10)(x-30)
令V/(x)=0，x 10或x 30(舍去）
e
(e, )
h/ (x)

0

h(x) 单增
1
e
x0
h(x) -
单减
x + h(x) 0
(x) (x e)2 e2 m
（1）当 e2 m 1 即m e2 1 时，有0个根；
e
e
（2）当 e2 m= 1 即m=e2 1 时，有1个根；
(1)当b

1时，g(x)min

g(1)

5

2b, 令

1 2

5

2b
b 11,(舍去） 4
（2）当1

b<2时，g(x)min

g
(b)

4-b2令

1 2

4-b2
b2 9 (舍去） 2
(3)当b

2时，g(x)min

g(2)

8-4b令

1 2

8-4b
b 17 8
k

1 3
x03

1 2
ax02
1
x0
x02
ax0

1 3
x03

1 2
ax02
x0
1

2 3
x03

1 2
ax0 2
1
0
g ( x) 2 x3 1 ax2 1
3
2
g / ( x) 2 x2 ax 2 x( x a ) 2
当x变化时g / ( x)，g ( x)变化如表
高效课堂精品课件
高三数学市实验中学数学组
导数应用二
一、考点与能力要求 1．掌握导数在解决不等式恒成立、不等式有解、不等式的证明等问题中的应用。 2.能利用导数解决实际应用问题。
二（、二）基础知识析理 f (x) a恒成立 f(x )min a
f (x) g(x)恒成立 (f(x ) g(x ))min 0
x

2 x2
(x

0)
设h( x)

4 3
x

2 x2
h/
(x)

4 3

4 x3
当x变化时h/ (x)，h(x)变化如表
x (, 0) (0, 3 3) 3 3 ( 3 3, )
h/ (x)

0

h( x)单增 x - x 0 x
单减 2 3 3 h(x) - h(x) + h(x)
取值范围．
1、
例 2.把边长为的 60cm 正方形铁片的四角切去边长为 xcm 的相等的正方形，然后折成一个高度为 xcm 的无盖的长方体的盒子，要求长方体的高度与底面边长的比值不超过常数 k(k>0),问 x 取何值时，盒子的容积最大，最大容积是多少？
例1解：由题意得：V(x)=(60-2x)(60-2x)x =4x3 -240x2 +3600x
解：f/(x)= 1 a 1 a ax2 x (1 a)
x
x2
x2

[ax2

x x2
(1
a)]

( x
1)[ax x2

(1
a)] 定义域（0，+）
（1）当a

0时，f
/ (x)

x 1 x2
f (x)在(0,1)单减，在（1，+）单增
（2）当0

（2） a 1 （0，1）由（1）知f(x)在（0,1）单减，在（1,2）单增 42
f(x)min

f
(1)

1 2
x1 (0,2),x2 1,2使得（f x1) g(x2)则
f (x)min g(x)min
g(x) x2 2bx 4 (x b)2 4 b2 x1,2
（1）当10 60k ，即k 1 时，
2k 1
4
当x变化时V /(x)，V(x)变化如表
x
(0,10) 10
(10, 60k )
60k
2k 1 2k 1
V/(x)
0

V(x) 单增 16000
单减
当x=10cm时V(x) max
16000cm3
(2)当0 60k 10即0 k 1 时
解：（1）f / (x) x2 ax b
f / (0) b 0 f (0) c
切线方程为y c 1
c 1
（2）f(x)= 1 x3 1 ax2 1 32
f / (x) x2 ax
设切点为（x0 , f (x0 ))则k f / (x0 ) x02 ax0
令f / (x) 0得0<x<1
f (x)在(0,1)单减，在（1，+）单增
综上所述：
（1）当a 0时，f (x)在(0,1)单减，在（1，+）单增；
（2）当0 a 1 时，f (x)在(0,1)和（1 1，+）单减，在（1，1 1）单增；
2
a
a
（3）当a= 1 时，f (x)在（0，+）单调递减。 2
(3)g(x) t 2 +t+1在-1,1上恒成立
即t 2 + t+1 g(x)max
g ( x)在[-1,1]上是减函数
当x 1时，g(x)max =g (1) sin1 t 2 + t+1 sin1对（-，-1]恒成立
（t+1) +t2 1 sin1 0对（-，-1]恒成立
a
a
（3）当a= 1 时，f
- 1（x 1)2 / (x)= 2
0
2
x2
（3）当a=
1 时，f 2
/ (x)=
- 1（x 1)2 2
x2

0
f (x)在（0，+）单调递减
-a(x 1)(x 1 a)
（4）当a<0时，f / (x)
a x2
1 1 1令f / (x) 0得x 1 a
单增
a的取值范围是（2 3 3，+）
例4.已知函数f (x) ln x ax 1 a 1(a R) x
(1)当a 1 时，讨论f (x)的单调性； 2