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数学-东北三省三校(哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2018届高三第一次模拟考试试题(文)

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【数学】东北三省三校(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2018届高三第三次模拟考试试题(文

【数学】东北三省三校(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2018届高三第三次模拟考试试题(文

东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）2018届高三第三次模拟考试数学试题（文）【参考答案】一、选择题1.C2.A3.B4.D5.C6.A7.B8.A9.D 10.C 11.D 12.A 二、填空题13. ()2015,2018 14.8 15. 1010100016. 5三、解答题17.解：（I ）22π()cos sin 3cos 14sin(2)6f x x x x x x =+-+=- 对称中心ππ+122k （,0）（k ∈Z ），最小正周期为π （Ⅱ）π2()2363f a a ==∴=2,2sin aR R A==，sin 3A ∴=, cos sin a B b B c +=，2sin cos sin sin A B B C ∴+=, 又πA B C ++=2sin cos sin sin()A B B A B ∴+=+即2sin cos sin sin cos cos sin A B B A B A B +=+即2sin cos sin B A B =，(0π)sin 0B B ∈∴≠，sin cos B A∴=sin 0,cos 0cos B A A >∴>∴=sin B ∴=18. 解:（I ）甲的成绩的中位数是119,乙的成绩的中位数是128，（II ）从茎叶图可以看出，乙的成绩的平均分比甲的成绩的平均分高，乙同学的成绩比甲同学的成绩更稳定集中 （III ）甲同学的不低于140分的成绩有2个设为a ,b ,乙同学的不低于140分的成绩有3个，设为c ,d ,e现从甲乙两位同学的不低于140分的成绩中任意选出2个成绩有：(a ,b ),(a ,c )(a ,d )(a ,e )(b ,c )(b ,d )(b ,e )(c ,d )(c ,e )(d ,e )共10种，其中2个成绩分属不同同学的情况有： (a ,c )(a ,d )(a ,e )(b ,c )(b ,d )(b ,e )共6种 因此事件A 发生的概率P (A )=63105=. 19. (Ⅰ)证明：取1A E 中点F ，连接,MF CFM 为棱1A D 的中点，//MF DE ∴且1=2MF DE ，而ABC ∆中，,D E 为边,AB AC 的中点，则//DE BC ,且1=2DE BC ，//,//MF BC MF NC ∴即且1==,4MF BC NC ∴四边形MFCN 为平行四边形//MN FC ∴, 11,MN A EC FC A EC ⊄⊂平面平面//MN ∴平面1A EC .(Ⅱ)取BD 中点H ，连PH1//,AB BC DE BC DE DA DE BD ⊥∴⊥⊥， 11,A D BD DB DE D A D BCED ⊥⋂=∴⊥面 1//PH A D PH BCED ∴⊥平面PH ∴为三棱锥P NCE -的高111==124PH A D AB ∴=,111122222NCE S NC BD ∆=⋅=⨯⨯= 1111=13326E PNC P NCE NCE V V PH S --∆∴=⋅=⨯⨯=20.解：设1122(,),(,)A x y B x y281x y y kx ⎧=⎨=+⎩消y 得2880x kx --=，方程的两个根为12,x x ， 222=440p k p ∆+>恒成立，12+=8x x k ，128x x ⋅=-,A B 在抛物线C 上，221212,88x x y y ∴==，()222121212=18864x x x x y y ∴⋅=⋅=(Ⅰ)证明：1122=(,),(,)OA x y OB x y =，1212=+817OA OB x x y y ∴⋅=-+=-为定值.(Ⅱ)解： 2:8C x y =即218y x =，14y x '=，114AP k x =，214BP k x = 21111()84x AP y x x x ∴-=-：即2111148y x x x =-，同理2221148BP y x x x =-： 由 21122211481148y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得1212122()()()x x x x x x x -=-+，而12x x ≠故有12=42x x x k +=，1218x xy ==-，即点(4,1)P k -，AB ===点(4,1)P k -到直线:1l y kx =+的距离d =322111)22ABPS AB d k ∆∴=⋅==+ 21k ≥20k ∴=即0k =时ABP S ∆有最小值为，此时直线方程l 为1y =.21.解：（Ⅰ）1k =-时，()ln g x x x =-的定义域为(0,)+∞，1'()1g x x=-. 令1'()10g x x =->，得01x <<，令1'()10g x x=-<，得1x >， 所以()g x 在(0,1)上是增函数，(1,)+∞上是减函数. （Ⅱ）当1k =时，()()f x g x ≥恒成立，即e ln 1x ax x x ≥++恒成立.因为0x >，所以ln 1xx x a xe ++≥.令ln 1()e x x x h x x ++=，2(1)(ln )'()e xx x x h x x +--=. 令()ln p x x x =--，1'()10p x x=--<，故()p x 在(0,)+∞上单调递减，且11()10e e p =->，(1)10p =-<，故存在01(,1)ex ∈使得000()ln 0p x x x =--=， 故00ln 0x x +=，即00ex x -=.当0(0,)x x ∈时，()0p x >，'()0h x >；当0(,)x x ∈+∞时，()0p x <，'()0h x <；()h x ∴在0(0,)x 单调递增 ，在0(,)x +∞单调递减00max 00ln 1()()1x x x h x h x x e ++∴===，故[)1+a ∈∞， 22. 解:（Ⅰ）22cos 2cos ρθρρθ=∴=222=,cos x y xρρθ+=又∴曲线1C 的直角坐标方程为：2220x y x +-=曲线2C 的普通方程为：()2221x y t+-=（Ⅱ）将2C 的参数方程：()cos ,1sin x t t y t αα=⎧⎨=+⎩为参数代入1C 的方程：2220x y x +-=得： ()22sin 2cos 1=0t t αα+-+()22sin 2cos 48sin 20ααα∆=--=->， ππ,π()2k k k α⎛⎫∴∈-+∈ ⎪⎝⎭Z此时方程有两不同实根12,t t 对应点,P Q()12122sin 2cos ,10t t t t αα+=--⋅=>121210,t t t t ⋅=>∴同号由t 的几何意义可得：12121212121111t t t t PA PB t t t t t t +++=+==⋅⋅ 12t t =+π4α⎛⎫=+ ⎪⎝⎭πππππ,π()+π,+π2444k k k k k αα⎛⎫⎛⎫∈-+∈∴∈-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Zπ4α⎛⎫∴+ ⎪⎝⎭(2,∈(112,PA PB∴+∈ 23. 解：（Ⅰ）()121214,b f x x x ==++->时，1111112222444424x x x x x x x x ⎧⎧⎧≥≤--<<⎪⎪⎪⇒>⇒<-⇒∈⎨⎨⎨⎪⎪⎪>->>⎩⎩⎩或或∅. 所以解集为：()(),11,-∞-+∞ ；（Ⅱ）()()()2222222f a a b a b a b b a a b b a b =++-=++-≥++-=()()()()min 2202a b b a f a b +⋅-≥=当且仅当时21b b ∴>+ ()()2221b b ∴>+()()3110b b ∴+->所以b 的取值范围为：()1,1,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭。

2018东北三省三校高三一模数学(word版,答案扫描)

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哈尔滨师大附中东北师大附中 2018年高三第一次联合模拟考试 辽宁省实验中学数 学 试 卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项:1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域 内2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效题4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.复数ii +12的模为（ ）（A ）21 （B ）22 （C ）2（D ）22.已知集合⎩⎨⎧-==29x y x A ，B={x|x≥a}，若A∩B=A，则实数a 的取值范围是( )（A ）(]3,--∞ （B ）（-∞，-3） (C)(]0,∞- （D ）[)+∞,33.从标有1、2、3、4、5的五张卡片中，依次抽出2张，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为( ) （A ）41 （B ）21 （C)31 （D ）32 4.已知sin 313=⎪⎭⎫⎝⎛-απ，则=⎪⎭⎫⎝⎛-απ65cos （ ） （A ）31 （B ）31- （C)322 （D ）32-5.中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线的一条渐近线经过点（-2，4），则它的离心率为（ ）（A ）25（B ）2 （C)3 （D ）5 6.()52112⎪⎭⎫⎝⎛-+x x 展开式中的常数项是（ ）（A ）12 （B ）-12 （C ）8 （D ）-87.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的 值是 （A ）23 （B ）29（C)1 （D ）38.已知函数()()0cos sin 3>+=ωωωx x x f 图象的相邻两条对称轴之间的距离是2π，则该函数的一个单调增区间为（ ） （A ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6,3ππ （B ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-12,125ππ （C)⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,6ππ （D ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-32,3ππ9.辗转相除法是欧几里德算法的核心思想，如图所示的程序框图所描述的算法就是辗转相除法，若输入m=8251，n=6105，则输出m 的值为（ ）（A ）148 （B ）37 （C)333 （D ）010.底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫做正棱锥， 如图，半球内有一接正四棱锥S-ABCD ，该四棱锥的侧面积为34，则该 半球的体积为（ ） （A ）34π （B ）32π（C)328π （D ）324π11.已知抛物线C:y 2=2x ，直线L:y=21-x+b 与抛物线C 交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆与x 轴相切，则b 的值是（ ）（A ）51- （B ）32- （C)54- （D ）58-12.在△ABC 中，∠C=90°，AB=2BC=4，M ，N 是边AB 上的两个动点，且|MN|=1，则CN CM ·的取值范围为( ) （A ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡9411， （B ）[]94，（C)⎥⎦⎤⎢⎣⎡9415， （D ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡9411，第Ⅱ卷(非选择题共 90分）本卷包括必考题和选考题两部分。

2018年东北三省三校(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)高考数学二模试卷(理科)

2018年东北三省三校(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)高考数学二模试卷(理科)

2018年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设i是虚数单位，则复数7+i3+4i在复平面内所对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【考点】复数的运算【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出在复平面内所对应的点的坐标得答案．【解答】∵7+i3+4i =(7+i)(3−4i)(3+4i)(3−4i)=25−25i25=1−i，∴复数7+i3+4i在复平面内所对应的点的坐标为(1, −1)，位于第四象限．2. 设集合A={x|x2−x−2<0}，集合B={x|1<x<4}，则A∪B=()A.{x|1<x<2}B.{x|−1<x<4}C.{x|−1<x<1}D.{x|2<x<4}【答案】B【考点】并集及其运算【解析】解不等式化简集合A，根据并集的定义写出A∪B．【解答】集合A={x|x2−x−2<0}={x|−1<x<2}，集合B={x|1<x<4}，则A∪B={x|−1<x<4}．3. 等比数列{a n}中，a3=−2，a11=−8，则a7=()A.−4B.4C.±4D.−5【答案】A【考点】等比数列的通项公式【解析】由等比数列的性质可得：奇数项的符号相同，a7=−√a3a11．【解答】由等比数列的性质可得：奇数项的符号相同，∴a7=−√a3a11=−√(−2)×(−8)=−4．4. 已知向量a→=(1,1)，b→=(−1,2)，若(a→−b→) // (2a→+tb→)，则t=()A.0B.12C.−2D.−3【答案】C【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示【解析】由已知向量的坐标求出a→−b→,2a→+tb→的坐标，代入共线向量得坐标运算公式求解．【解答】∵a→=(1,1)，b→=(−1,2)，∴a→−b→=(2,−1)，2a→+tb→=(2−t,2+2t)，由(a→−b→) // (2a→+tb→)，得2(2+2t)+(2−t)=0，即t=−2．5. 执行如图的程序框图，若输出T的值为2512，则“？”处可填（）A.n<6B.n<5C.n<4D.n<3【答案】C【考点】程序框图【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量T的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量T=1+∫1 0xdx+∫1x2dx+…的值，由题意，T=1+∫10xdx+∫1x2dx+...+∫1x n dx=2512，可得：1+12x2|1+13x3|1+...+1n+1x n+1|1=2512，可得：1+12+13+...+1n+1=2512，解得：n=3，即当n=3时满足条件，当n=4时不满足条件，退出循环，可得判断框内的条件为n< 4？6. 将7个座位连成一排，安排4个人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法有（）A.240B.480C.720D.960【答案】B【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】根据题意，分2步进行分析：①，将4人全排列，安排在4个位置，②，4人排好后有5个空位，在其中任选2个，一个空位安排2个空座位，另一个安排一个空座位，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】根据题意，分2步进行分析：①，将4人全排列，安排在4个位置，有A44=24种情况，②，4人排好后有5个空位，在其中任选2个，一个空位安排2个空座位，另一个安排一个空座位，有A52=20种情况，则恰有两个空位相邻的不同坐法有24×20=480种；7. 函数f(x)=e x+x−1x+1的部分图象大致是（）A.B.C.D.【答案】D【考点】函数的图象与图象的变换【解析】根据函数值的变化趋势即可判断．【解答】f(x)＝e x +x−1x+1=e x +1−2x+1，当x →−∞时，f(x)→1，故排除A ，B ，当x >0时，f′(x)＝e x +2(x+1)2，∵ f′(1)＝e +12，f(2)＝e 2+29，∴ f′(1)<f′(2)，当x >0时，函数的变化越来越越快，故排除C ，故选：D ．8. 《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的外接球的表面积为（ ）A.8√3π3B.8πC.6πD.4√3π3【答案】B【考点】由三视图求体积【解析】由三视图得出该几何体是一个以侧视图为底面的三棱柱，结合图中数据求出三棱柱的外接球的半径，然后求解表面积．【解答】由几何体的三视图可得：该几何体是一个以侧视图为底面的三棱柱，底面是等腰直角三角形，斜边长为2，高为1，棱柱的高为：2．四棱锥的外接球的直径是三棱柱面积比较大的侧面的对角线的长度，外接球的半径为：√2．所以三棱柱外接球的表面积为：4π⋅(√2)2=8π．9. F 1，F 2是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左右焦点，过F 1且斜率为1的直线与两条渐近线分别交于A ，B 两点，若AB →=2BF 1→，则双曲线的离心率为（ ）A.√52B.√5C.√103D.√10【答案】B【考点】双曲线的离心率【解析】设出过焦点的直线方程，与双曲线的渐近线方程联立把A ，B 表示出来，再由条件可得A 为FB 的中点，运用中点坐标公式，可得a ，b ，c 的关系，然后求双曲线的离心率．【解答】设F(−c, 0)，则过F 作斜率为1的直线为：y =x +c ，而渐近线的方程是：y =±b a x ，由{y =x +c y =b a x 得：A(−ac a−b , −bc a−b )， 由{y =x +c y =−b a x得，B(−ac a+b , bc a+b )， ∵ AB →=2BF 1→，则−ac a+b +ac a−b =2(−c +ac a+b )⇒b =2a ，则双曲线的离心率为e =√1+(b a)2=√5，10. 设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）A.若α⊥β，m ⊥α，则m // βB.若m // α，n ⊂α，则m // nC.若α∩β＝m ，n // α，n // β，则m // nD.若α⊥β，且α∩β＝m ，点A ∈α，直线AB ⊥m ，则AB ⊥β【答案】C【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【解析】从空间中的线、面间的位置关系及平行垂直的判定定理和性质定理入手，判断四个命题的真假，可以借助于图形，举反例解答．【解答】A 选项不正确，因为α⊥β，m ⊥β时，可能有m ⊂α；B 选项不正确，因m // α，n ⊂α，则m // n 或异面．C 选项正确，因为α∩β＝m ，n // α，n // β，则画图如下：必有m // n，D选项不正确，画图如下：11. 甲、乙、丙、丁四位同学参加比赛，只有其中三位获奖．甲说：“乙或丙未获奖”；乙说：“甲、丙都获奖”；丙说：“我未获奖”；丁说：“乙获奖”．四位同学的话恰有两句是对的，则（）A.甲和乙不可能同时获奖B.丙和丁不可能同时获奖C.乙和丁不可能同时获奖D.丁和甲不可能同时获奖【答案】C【考点】进行简单的合情推理【解析】这是一个简单的合情推理题，我们根据“四位同学的话中，恰有两句是对的”，假设某一个人说的是真话，如果与条件不符，说明假设不成立，如果与条件相符，则假设成立的方法解决问题．【解答】假设甲、乙、丙获奖，丁没获奖，则甲、丙说的是假话，乙、丁说的是真话，符合题意；假设甲、乙、丁获奖，丙没获奖，则甲、丙、丁说的是真话，乙说的是假话，不符合题意；假设甲、丙、丁获奖，乙没获奖，则甲、乙说的是真话，丙、丁说的是假话，符合题意；假设乙、丙、丁获奖，甲没获奖，则甲、乙、丙说的是假话，丁说的是真话，不符合题意．综上，乙和丁不可能同时获奖．12. 已知当x ∈(1, +∞)时，关于x 的方程xlnx+(2−k)x k =−1有唯一实数解，则k 值所在的范围是（ ）A.(3, 4)B.(4, 5)C.(5, 6)D.(6, 7) 【答案】B【考点】 函数的零点与方程根的关系利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的极值【解析】由方程xlnx+(2−k)x k =−1，得xlnx +(2−k)x =−k ，即xlnx =(k −2)x −k ，关于x 的方程xlnx+(2−k)x k =−1有唯一实数解，即函数y =xlnx 与y =(k −2)x −k 的图象有唯一交点，求导研究y =xlnx 的图象形状，画出函数y =xlnx 与y =(k −2)x −k 的图象，直线y =(k −2)x −k 过定点P(1, −2)，利用导数及函数的单调性求出过P 与y =xlnx 相切的切点范围，求得切线斜率范围，则答案可求．【解答】由方程xlnx+(2−k)x k =−1，得xlnx +(2−k)x =−k即xlnx =(k −2)x −k ，关于x 的方程xlnx+(2−k)x k =−1有唯一实数解，即函数y =xlnx 与y =(k −2)x −k 的图象有唯一交点，由y =xlnx ，得y′=lnx +1，由y′>0，得x >1e ，由y′<0，得0<x <1e ．∴ y =xlnx 在(0, 1e )上为减函数，在( 1e , +∞)上为增函数．画出函数y =xlnx 与y =(k −2)x −k 的图象如图：直线y =(k −2)x −k 过定点P(1, −2)，设过点P 的直线与y =xlnx 相切于(x 0, x 0lnx 0)， 则切线的斜率为lnx 0+1=k −2，∴ 切线方程为y −x 0lnx 0=(lnx 0+1)(x −x 0)，把(1, −2)代入，可得−2−x 0lnx 0=(lnx 0+1)(1−x 0)=lnx 0−x 0lnx 0+1−x 0， 即lnx 0+3−x 0=0．令g(x)=lnx +3−x ，则g′(x)=1x −1<0(x >1)，∴ g(x)=lnx +3−x 在(1, +∞)上为减函数，由g(4)>0，g(5)<0，∴ x 0∈(4, 5)，则k ∈(ln4+3, ln5+3)⊂(4, 5)，二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）设随机变量X ∼B(6, 12)，则P(X =3)=________．【答案】516【考点】二项分布的应用【解析】根据条件中所给的变量符合二项分布，写出变量取值不同时对应的概率公式，本题x =3，代入公式得到要求的概率．【解答】∵ 随机变量X 服从二项分布B(6, 12)，∴ P(X =3)=C 63(12)3×(1−12)3=516．已知递增的等差数列{a n }的前三项和为−6，前三项积为10，则前10项和S 10=________．【答案】115【考点】等差数列的前n 项和【解析】设此等差数列的公差为d >0，a 2=a ，由题意可得a −d +a +a +d =−6，(a −d)a(a +d)=10，联立解得即可得出．【解答】设此等差数列的公差为d >0，a 2=a ，则a −d +a +a +d =−6，(a −d)a(a +d)=10，联立解得：a =−2，d =3．∴ S 10=−2×10+10×92×3=115．函数f(x)=cosxsin(x +π3)−√3cos 2x +√34在闭区间[−π4,π4brack 上的最小值是________．【答案】−1 【考点】三角函数中的恒等变换应用三角函数的最值【解析】首先通过三角函数的关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的定义域求出函数的值域，最后求出函数的最值．【解答】f(x)=cosxsin(x +π3)−√3cos 2x +√34， =cosx(12sinx +√32cosx)−√3cos 2x +√34， =14sin2x −√34cos2x ，=12sin(2x −π6)， 由于：−π4≤x ≤π4，则：−2π3≤2x −π6≤π3， 则函数的取值范围为：−14≤f(x)≤√34， 则函数的最小值为：−14．设抛物线y 2=2x 的焦点为F ，过点M(√3,0)的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于C ，|BF|=2，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCF S △ACF =________．【答案】45【考点】抛物线的应用【解析】利用三角形面积公式，可把△BCF 与△ACF 的面积之比转化为BC 长与AC 长的比，再根据抛物线的焦半径公式转化为A ，B 到准线的距离之比，借助|BF|=2求出B 点坐标，得到AB 方程，代入抛物线方程，解出A 点坐标，就可求出BN 与AE 的长度之比，得到所需问题的解．【解答】解：∵ 抛物线方程为y 2=2x ，∴ 焦点F 的坐标为(12, 0)，准线方程为x =−12.设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，过A ，B 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为E ，N ，则，|BF|=x 2+p 2=x 2+12=2，∴ x 2=32，把x 2=32代入抛物线y 2=2x ，得，y 2=−√3，∴直线AB过点M(√3,0)与(32, −√3)，方程为√3x+(32−√3)y−3=0，代入抛物线方程，解得，x1=2.∴|AE|=2+12=52，∵在△AEC中，BN // AE，∴|BC||AC|=|BN||AE|=252=45，S△BCF S△ACF =12|BC|⋅ℎ12|AC|⋅ℎ=45.故答案为：45.三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）已知△ABC三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若(a−c)(sinA+sinC)=b(sinA−sinB)．（1）求角C；（2）若△ABC的外接圆半径为2，求△ABC周长的最大值．【答案】由正弦定理得(a−c)(a+c)=b(a−b)，∴a2−c2=ab−b2，∴a2+b2−c22ab =12，即cosC=12，∵0<C<π，∴则C=π3．由正弦定理2r=csinC =bsinB=asinA=4，∴a=4sinA，b=4sinB，c=4sinC=2√3，∴周长l=a+b+c=4sinA+4sinB+2√3=4sinA+4sin(2π3−A)+2√3=4sinA+4×√32cosA+4×12sinA+2√3=6sinA+2√3cosA+2√3 =4√3sin(A+π6)+2√3，∵A∈(0,2π3)，∴A+π6∈(π6,5π6)，∴当A+π6=π2，即A=π3时，l max=4√3+2√3=6√3，∴当A=B=π3时，△ABC周长的最大值为6√3．【考点】余弦定理【解析】（1）由正弦定理，余弦定理化简已知可求cosC=12，结合范围0<C<π，可求C的值．（2）由正弦定理可得a=4sinA，b=4sinB，c=4sinC=2√3，利用三角函数恒等变换的应用可求周长l=4√3sin(A+π6)+2√3，由范围A+π6∈(π6,5π6)，利用正弦函数的性质可求最大值．【解答】由正弦定理得(a−c)(a+c)=b(a−b)，∴a2−c2=ab−b2，∴a2+b2−c22ab =12，即cosC=12，∵0<C<π，∴则C=π3．由正弦定理2r=csinC =bsinB=asinA=4，∴a=4sinA，b=4sinB，c=4sinC=2√3，∴周长l=a+b+c=4sinA+4sinB+2√3=4sinA+4sin(2π3−A)+2√3=4sinA+4×√32cosA+4×12sinA+2√3=6sinA+2√3cosA+2√3 =4√3sin(A+π6)+2√3，∵A∈(0,2π3)，∴A+π6∈(π6,5π6)，∴当A+π6=π2，即A=π3时，l max=4√3+2√3=6√3，∴当A=B=π3时，△ABC周长的最大值为6√3．经调查，3个成年人中就有一个高血压，那么什么是高血压？血压多少是正常的？经国际卫生组织对大量不同年龄的人群进行血压调查，得出随年龄变化，收缩压的正常值变化情况如下表：其中：b ˆ=∑−i=1n xiyi n∗x∗y ∑−i=1n xi 2n∗x 2,aˆ=y −b ˆx ，∑=i=18xi 217232，∑=i=18xiyi 47384（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ˆ=b ˆx +a ˆ；(a ˆ,b ˆ的值精确到0.01)（3）若规定，一个人的收缩压为标准值的0.9∼1.06倍，则为血压正常人群；收缩压为标准值的1.06∼1.12倍，则为轻度高血压人群；收缩压为标准值的1.12∼1.20倍，则为中度高血压人群；收缩压为标准值的1.20倍及以上，则为高度高血压人群．一位收缩压为180mmHg 的70岁的老人，属于哪类人群？ 【答案】由表中数据，可得散点图：（如下）x =28+32+38+42+48+52+58+628=45y=114+118+122+127+129+135+140+147=129bˆ=∑−i=18xiyi n ∗x ∗y∑−i=18xi 28∗x 2=47384−8×45×12917232−8×452=118129≈0.91aˆ=y−bˆx=129−0.91×45=88.05∴回归直线方程为yˆ=0.91x+88.05．根据回归直线方程的预测，年龄为70岁的老人标准收缩压约为0.91×70+88.05= 151.75(mmHg)∵180151.75≈1.19∴收缩压为180mmHg的70岁老人为中度高血压人群．【考点】求解线性回归方程【解析】（1）根据表中数据即可得散点图．（2）由题意求出x，y，∑i=18xi2，∑i=18xiyi，代入公式求值，从而得到回归直线方程；（3）将x=70带入计算，根据题干已知规定即可判断70岁的老人，属于哪类人群．【解答】由表中数据，可得散点图：（如下）x=28+32+38+42+48+52+58+628=45y=114+118+122+127+129+135+140+1478=129bˆ=∑−i=18xiyin∗x∗y∑−i=18xi28∗x2=47384−8×45×12917232−8×452=118129≈0.91aˆ=y−bˆx=129−0.91×45=88.05∴回归直线方程为yˆ=0.91x+88.05．根据回归直线方程的预测，年龄为70岁的老人标准收缩压约为0.91×70+88.05= 151.75(mmHg)∵180151.75≈1.19∴ 收缩压为180mmHg 的70岁老人为中度高血压人群．如图，四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的底面为菱形，∠BAD =120∘，AB =2，E ，F 为CD ，AA 1中点．（1）求证：DF // 平面B 1AE ；（2）若AA 1⊥底面ABCD ，且直线AD 1与平面B 1AE 所成线面角的正弦值为34，求AA 1的长．【答案】设G 为AB 1的中点，连EG ，GF ，因为FG // =12A 1B 1，又DE // =12A 1B 1，所以FG // =DE ， 所以四边形DEGF 是平行四边形，所以DF // EG又DF 平面B 1AE ，EG ⊂平面B 1AE ， 所以DF // 平面B 1AE ．因为ABCD 是菱形，且∠ABD =60∘， 所以△ABC 是等边三角形 取BC 中点G ，则AG ⊥AD ， 因为AA 1⊥平面ABCD ， 所以AA 1⊥AG ，AA 1⊥AD建立如图的空间直角坐标系，令AA 1=t(t >0)， 则A(0, 0, 0)，E(√32,√32,0)，B(√3,−1,t)，D 1(0, 2, t)，AE →=(√32,32,0)，AB 1→=(√3,−1,t)，AD 1→=(0,2,t)， 设平面B 1AE 的一个法向量为n →=(x,y,z)，则n →∗AE →=√32(x +√3y)=0且n →∗AB 1→=√3x −y +tz =0， 取n →=(−√3t,t,4)，设直线AD 1与平面B 1AE 所成角为θ， 则sinθ=|n →∗AD 1→||n →|∗|AD 1→|=6t 2(t +4)=34，解得t =2，故线段AA 1的长为2．【考点】直线与平面平行 【解析】（1）设G 为AB 1的中点，连EG ，GF 推导出四边形DEGF 是平行四边形，则DF // EG ，由此能证明DF // 平面B 1AE ．（2）取BC 中点G ，则AG ⊥AD ，推导出AA 1⊥AG ，AA 1⊥AD ，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段AA 1的长． 【解答】设G 为AB 1的中点，连EG ，GF ，因为FG // =12A 1B 1，又DE // =12A 1B 1，所以FG // =DE ，所以四边形DEGF 是平行四边形， 所以DF // EG又DF 平面B 1AE ，EG ⊂平面B 1AE ， 所以DF // 平面B 1AE ．因为ABCD 是菱形，且∠ABD =60∘， 所以△ABC 是等边三角形 取BC 中点G ，则AG ⊥AD ， 因为AA 1⊥平面ABCD ， 所以AA 1⊥AG ，AA 1⊥AD建立如图的空间直角坐标系，令AA 1=t(t >0)， 则A(0, 0, 0)，E(√32,√32,0)，B(√3,−1,t)，D 1(0, 2, t)，AE →=(√32,32,0)，AB 1→=(√3,−1,t)，AD 1→=(0,2,t)， 设平面B 1AE 的一个法向量为n →=(x,y,z)，则n →∗AE →=√32(x +√3y)=0且n →∗AB 1→=√3x −y +tz =0， 取n →=(−√3t,t,4)，设直线AD 1与平面B 1AE 所成角为θ， 则sinθ=|n →∗AD 1→||n →|∗|AD 1→|=6t 2(t 2+4)=34，解得t =2，故线段AA 1的长为2．椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(−1, 0)、F 2(1, 0)，若椭圆过点(1,32)．（1）求椭圆C 的方程；（2）若A ，B 为椭圆的左、右顶点，P(x 0, y 0)(y 0≠0)为椭圆上一动点，设直线AP ，BP 分别交直线l:x =6于点M ，N ，判断线段MN 为直径的圆是否经过定点，若是，求出该定点坐标；若不恒过定点，说明理由． 【答案】由已知c =1， ∴ a 2=b 2+1① ∵ 椭圆过点(1,32)， ∴1a 2+94b 2=1②联立①②得a 2=4，b 2=3， ∴ 椭圆方程为x 24+y 23=1；设P(x 0, y 0)，已知A(−2, 0)，B(2, 0)， ∵ y 0≠0，∴ x 0≠±2 ∴ AP ，BP 都有斜率 ∴ k AP =y 0x0+2,k BP =y 0x 0−2，∴ k AP ⋅k BP =y 02x 02−4，③∵x 024+y 023=1，∴ y 02=3(1−x 024)，④将④代入③得k AP ⋅k BP =3(1−x 024)x 02−4=−34，设AP 方程y =k(x −2)，∴ BP 方程y =−34k (x −2)， ∴ M(6,8k),N(6,−3k )，由对称性可知，若存在定点，则该定点必在x 轴上，设该定点为T(t, 0)， 则TM →⊥TN →，∴ TM →⋅TN →=(6−t,8k)⋅(6−t,−3k)=(6−t)2+(−24)=0，∴ (6−t)2=24，∴ t =6±2√6，∴ 存在定点(6+2√6,0)或(6−2√6,0)以线段MN 为直径的圆恒过该定点．【考点】 椭圆的离心率 【解析】（1）由题意，椭圆C 的焦点为(−1, 0)，(1, 0)，且过点(1, 32)，由椭圆的定义，可得a 的值，从而可求椭圆C 的方程；（2）设P(x 0, y 0)，已知A(−2, 0)，B(2, 0)，根据斜率公式，可得k AP ⋅k BP =3(1−x 024)x 02−4=−34，求出直线AP ，BP 的方程，再根据向量的垂直即可求出． 【解答】由已知c =1， ∴ a 2=b 2+1① ∵ 椭圆过点(1,32)， ∴ 1a 2+94b 2=1②联立①②得a 2=4，b 2=3， ∴ 椭圆方程为x 24+y 23=1；设P(x 0, y 0)，已知A(−2, 0)，B(2, 0)， ∵ y 0≠0，∴ x 0≠±2 ∴ AP ，BP 都有斜率 ∴ k AP =y 0x+2,k BP =y 0x 0−2，∴ k AP ⋅k BP =y 02x 02−4，③∵x 024+y 023=1，∴ y 02=3(1−x 024)，④将④代入③得k AP ⋅k BP =3(1−x 024)x 02−4=−34，设AP 方程y =k(x −2)，∴ BP 方程y =−34k (x −2)， ∴ M(6,8k),N(6,−3k )，由对称性可知，若存在定点，则该定点必在x 轴上，设该定点为T(t, 0)， 则TM →⊥TN →，∴ TM →⋅TN →=(6−t,8k)⋅(6−t,−3k)=(6−t)2+(−24)=0，∴ (6−t)2=24，∴ t =6±2√6，∴ 存在定点(6+2√6,0)或(6−2√6,0)以线段MN 为直径的圆恒过该定点．已知函数f(x)=x−alnx−1，曲线y=f(x)在(1, 0)处的切线经过点(e, 0)．（1）证明：f(x)≥0；（2）若当x∈[1, +∞)时，f(1x )≥(lnx)2p+lnx，求p的取值范围．【答案】证明：函数f(x)=x−alnx−1的导数为f′(x)=1−ax，曲线y=f(x)在(1, 0)处的切线为y=f′(1)(x−1)，即y=(1−a)(x−1)由题意得0=(1−a)(e−1)，解得a=1，所以f(x)=x−lnx−1，从而f′(x)=1−1x =x−1x，因为当x∈(0, 1)时，f′(x)<0，当x∈(1, +∞)时，f′(x)>0．所以f(x)在区间(0, 1)上是减函数，区间(1, +∞)上是增函数，从而f(x)≥f(1)=0；由题意知，当x∈[1, +∞)时，p+lnx≠0，所以p>0，从而当x∈[1, +∞)时，p+lnx>0，由题意知1x +lnx−1≥(lnx)2p+lnx，即[(p−1)x+1]lnx−px+p≥0，其中x∈[1, +∞)，设g(x)=[(p−1)x+1]lnx−px+p，其中x∈[1, +∞)设ℎ(x)=g′(x)，即ℎ(x)=(p−1)lnx+1x−1，其中x∈[1, +∞)则ℎ(x)=(p−1)x−1x2，其中x∈[1, +∞)，①当p≥2时，因为x∈(1, +∞)时，ℎ′(x)>0，所以ℎ(x)是增函数；从而当x∈(1, +∞)时，ℎ(x)>ℎ(1)=0，所以g(x)是增函数，从而g(x)≥g(1)=0．故当p≥2时符合题意；②当1<p<2时，因为x∈(1,1p−1)时，ℎ′(x)<0，所以ℎ(x)在区间(1,1p−1)上是减函数，从而当x∈(1,1p−1)时，ℎ(x)<ℎ(1)=0，所以g(x)在(1,1p−1)上是减函数，从而g(1p−1)<g(1)=0，故当1<p<2时不符合题意．③当0<p≤1时，因为x∈(1, +∞)时，ℎ′(x)<0，所以ℎ(x)是减函数，从而当x∈(1, +∞)时，ℎ(x)<ℎ(1)=0，所以g(x)是减函数，从而g(2)<g(1)=0，故当0<p≤1时不符合题意．综上p的取值范围是[2, +∞)．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】（1）求得f(x)的导数，可得切线的斜率和方程，代入已知点可得a ，求得单调区间，可得f(x)的最值，即可得证；（2）由题意可得p >0，化简原不等式，设g(x)=[(p −1)x +1]lnx −px +p ，其中x ∈[1, +∞)，求得导数，讨论p 的范围，判断单调性，即可得到所求范围． 【解答】证明：函数f(x)=x −alnx −1的导数为f′(x)=1−ax ， 曲线y =f(x)在(1, 0)处的切线为y =f′(1)(x −1)， 即y =(1−a)(x −1)由题意得0=(1−a)(e −1)，解得a =1， 所以f(x)=x −lnx −1， 从而f ′(x)=1−1x =x−1x，因为当x ∈(0, 1)时，f′(x)<0，当x ∈(1, +∞)时，f′(x)>0． 所以f(x)在区间(0, 1)上是减函数，区间(1, +∞)上是增函数， 从而f(x)≥f(1)=0；由题意知，当x ∈[1, +∞)时，p +lnx ≠0，所以p >0， 从而当x ∈[1, +∞)时，p +lnx >0，由题意知1x +lnx −1≥(lnx)2p+lnx ，即[(p −1)x +1]lnx −px +p ≥0，其中x ∈[1, +∞)， 设g(x)=[(p −1)x +1]lnx −px +p ，其中x ∈[1, +∞) 设ℎ(x)=g ′(x)，即ℎ(x)=(p −1)lnx +1x −1，其中x ∈[1, +∞) 则ℎ(x)=(p−1)x−1x 2，其中x ∈[1, +∞)，①当p ≥2时，因为x ∈(1, +∞)时，ℎ′(x)>0，所以ℎ(x)是增函数； 从而当x ∈(1, +∞)时，ℎ(x)>ℎ(1)=0， 所以g(x)是增函数，从而g(x)≥g(1)=0． 故当p ≥2时符合题意；②当1<p <2时，因为x ∈(1,1p−1)时，ℎ′(x)<0， 所以ℎ(x)在区间(1,1p−1)上是减函数， 从而当x ∈(1,1p−1)时，ℎ(x)<ℎ(1)=0，所以g(x)在(1,1p−1)上是减函数，从而g(1p−1)<g(1)=0，故当1<p <2时不符合题意．③当0<p ≤1时，因为x ∈(1, +∞)时，ℎ′(x)<0，所以ℎ(x)是减函数， 从而当x ∈(1, +∞)时，ℎ(x)<ℎ(1)=0， 所以g(x)是减函数，从而g(2)<g(1)=0， 故当0<p ≤1时不符合题意． 综上p 的取值范围是[2, +∞)．请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =cosθy =1+sinθ（θ为参数），曲线C 2:x 2+y 22=1．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，建立极坐标系．（1）求曲线C 1，C 2的极坐标方程；（2）射线θ=π3(ρ>0)与曲线C 1的异于极点的交点为A ，与曲线C 2的交点为B ，求|AB|． 【答案】曲线C 1的参数方程{x =cosθy =1+sinθ （θ为参数） 可化为普通方程x 2+(y −1)2=1，由{y =ρsinθx =ρcosθ ，可得曲线C 1的极坐标方程为ρ=2sinθ， 曲线C 2的极坐标方程为ρ2(1+cos 2θ)=2．射线θ=π3(ρ>0)与曲线C 1的交点A 的极径为ρ1=2sin π3=√3，射线θ=π3(ρ>0)与曲线C 2的交点B 的极径满足ρ22(1+cos 2π3)=2，解得ρ2=2√105， 所以|AB|=|ρ1−ρ2|=√3−2√105． 【考点】圆的极坐标方程 【解析】（1）直接利用转换关系把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化． （2）利用极径建立方程组，求出结果． 【解答】曲线C 1的参数方程{x =cosθy =1+sinθ （θ为参数） 可化为普通方程x 2+(y −1)2=1，由{y =ρsinθx =ρcosθ ，可得曲线C 1的极坐标方程为ρ=2sinθ， 曲线C 2的极坐标方程为ρ2(1+cos 2θ)=2．射线θ=π3(ρ>0)与曲线C 1的交点A 的极径为ρ1=2sin π3=√3，射线θ=π3(ρ>0)与曲线C 2的交点B 的极径满足ρ22(1+cos 2π3)=2，解得ρ2=2√105， 所以|AB|=|ρ1−ρ2|=√3−2√105． [选修4-5：不等式选讲]设函数f(x)=|2x −1|．（1）设f(x)+f(x +1)<5的解集为集合A ，求集合A ；（2）已知m 为集合A 中的最大自然数，且a +b +c =m （其中a ，b ，c 为正实数），设M =1−a a⋅1−b b⋅1−c c．求证：M ≥8．【答案】f(x)+f(x +1)<5，即|2x −1|+|2x +1|<5；当x <−12时，不等式化为1−2x −2x −1<5，∴ −54<x <−12； 当−12≤x ≤12时，不等式化为1−2x +2x +1<5，不等式恒成立； 当x >12时，不等式化为2x −1+2x +1<5，∴ 12<x <54； 综上，集合A ={x|−54<x <54}；证明：由（1）知m =1，则a +b +c =1； 则1−a a=b+c a≥2√bca； 同理1−b b≥2√ac b ,1−cc≥2√abc； 则1−a a⋅1−b b⋅1−c c≥2√ab c⋅2√ac b⋅2√bc a=8；即M ≥8． 【考点】 不等式的证明 【解析】（1）根据f(x)=|2x −1|即可由f(x)+f(x +1)<5得到不等式，|2x −1|+|2x +1|<5，解该绝对值不等式便可得出A ={x|−54<x <54}； （2）据题意即可求得m =1，即得出a +b +c =1，从而得出1−a a=b+c a≥2√bca，而同理可得出1−b b≥2√ac b ，1−cc≥2√ab c，从而得出1−a a⋅1−b b⋅1−c c≥8，即得出M ≥8．【解答】f(x)+f(x +1)<5，即|2x −1|+|2x +1|<5；当x <−12时，不等式化为1−2x −2x −1<5，∴ −54<x <−12； 当−12≤x ≤12时，不等式化为1−2x +2x +1<5，不等式恒成立； 当x >12时，不等式化为2x −1+2x +1<5，∴ 12<x <54； 综上，集合A ={x|−54<x <54}；证明：由（1）知m =1，则a +b +c =1； 则1−a a=b+c a≥2√bca； 同理1−b b≥2√ac b,1−cc ≥2√abc； 则1−a a⋅1−b b⋅1−c c≥2√ab c⋅2√ac b⋅2√bc a=8；即M ≥8．。

东北三省三校(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2018届高三第二次模拟考试数学(文)试题

东北三省三校(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2018届高三第二次模拟考试数学(文)试题
2
21．已知定义域为 (0, ) 的函数 f ( x) ( x m)ex （常数 m R ） . （1）若 m 2 ，求函数 f ( x) 的单调区间； （2）若 f ( x) m 1 0 恒成立，求实数 m 的最大整数值 . 请考生在 22、 23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题 记分 .
2
D ．1
8．如图所示，一个三棱锥的的三视图是三个直角三角形，则该三棱锥
的体积为（
）
A． 3 B ． 4 C ．6 D ．8
9．三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图” ，用数形结
合的方法给出了勾股定理的详细证明 . 如图所示的“勾股圆方图”中，
四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为
二、填空题（每题 4 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
13．函数 f (x) log 3(8x 1) 的值域为
.
14．设实数 x, y 满足约束条件
3x 2 y 12
x 2 y 8 ，则 z 3x 4y 的最大值
x0 y0
为.
15．写出下列命题中所有真命题的序号
.
①两个随机变量线性相关性越强，相关系数 r 越接近 1；②回归直线一
22
A． ( 2, 1)
B
． ( 2,1)
C ． ( 1,0)
） D
． ( 1,2)
4．设 x R ，则使 lg( x 1) 1 成立的必要不充分条件是（
）
A． 1 x 9
B
．x 1
C
．x 1
D． 1 x 9
5．等比数列 { an} 中， a3 2 ， a11 8 ，则 a7 （
）
A． 4
B

2018年东北三省三校(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)高考数学二模试卷(文科)及答案

2018年东北三省三校(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)高考数学二模试卷(文科)及答案

2018年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）设集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，集合B={x|1＜x＜4}，则A∪B=（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|﹣1＜x＜4}C．{x|﹣1＜x＜1}D．{x|2＜x＜4} 3．（5分）已知平面向量，则向量=（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，2）C．（﹣1，0）D．（﹣2，1）4．（5分）设x∈R，则使lg（x+1）＜1成立的必要不充分条件是（）A．﹣1＜x＜9B．x＞﹣1C．x＞1D．1＜x＜9 5．（5分）等比数列{a n}中，a3=﹣2，a11=﹣8，则a7=（）A．﹣4B．4C．±4D．﹣56．（5分）过抛物线C：y2=4x的焦点F的直线交抛物线C于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，且，则弦AB的长为（）A．B．4C．D．7．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S=（）A．B．C．D．18．（5分）如图所示，一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，则该三棱锥的体积为（）A．3B．4C．6D．89．（5分）“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（）A．B．C．D．10．（5分）矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折起，使面BAC⊥面DAC，则四面体A﹣BCD的外接球的体积为（）A．πB．πC．πD．π11．（5分）双曲线C：的左顶点为A，右焦点为F，过点F作一条直线与双曲线C的右支交于点P，Q，连接PA，QA分别与直线l：交于点M，N，则∠MFN=（）A．B．C．D．12．（5分）已知定义域为R的函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f'（x）＞f （x）+1，则下列正确的是（）A．f（2018）﹣ef（2017）＞e﹣1B．f（2018）﹣ef（2017）＜e﹣1 C．f（2018）﹣ef（2017）＞e+1D．f（2018）﹣ef（2017）＜e+1二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）函数的值域为．14．（5分）设实数x，y满足约束条件，则z=3x+4y的最大值为．15．（5分）写出下列命题中所有真命题的序号．①两个随机变量线性相关性越强，相关系数r越接近1；②回归直线一定经过样本点的中心；③线性回归方程，则当样本数据中x=10时，必有相应的y=12；④回归分析中，相关指数R2的值越大说明残差平方和越小．16．（5分）数列{a n}中，，，设数列的前n项和为S n，则S n=．三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）△ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=2a﹣2ccosB．（1）求角C的大小；（2）求的最大值，并求出取得最大值时角A，B的值．18．（12分）某校从高一年级参加期末考试的学生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩，将数学成绩进行分组，并根据各组人数制成如下频率分布表：（1）写出a，b，c，d的值，并估计本次考试全年级学生的数学平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）现从成绩在[90，100]内的学生中任选出两名同学，从成绩在[40，50）内的学生中任选一名同学，共三名同学参加学习习惯问卷调查活动．若A1同学的数学成绩为43分，B1同学的数学成绩为95分，求A1，B1两同学恰好都被选出的概率．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，，D，E分别是棱CC1、BB1的中点．（1）证明：A1E⊥AD；（2）求点A到平面A1B1D的距离．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，动点M（x，y）总满足关系式．（1）点M的轨迹是什么曲线？并写出它的标准方程；（2）坐标原点O到直线l：y=kx+m的距离为1，直线l与M的轨迹交于不同的两点A，B，若，求△AOB的面积．21．（12分）已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）=（x﹣m）e x（常数m∈R）．（1）若m=2，求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）+m+1＞0恒成立，求实数m的最大整数值．请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（θ为参数），曲线C2：．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）射线（ρ＞0）与曲线C1的异于极点的交点为A，与曲线C2的交点为B，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|2x﹣1|．（1）设f（x）+f（x+1）＜5的解集为集合A，求集合A；（2）已知m为集合A中的最大自然数，且a+b+c=m（其中a，b，c为正实数），设．求证：M≥8．2018年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：复数==i在复平面内对应的点位于第四象限．故选：D．2．（5分）设集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，集合B={x|1＜x＜4}，则A∪B=（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|﹣1＜x＜4}C．{x|﹣1＜x＜1}D．{x|2＜x＜4}【解答】解：集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}={x|﹣1＜x＜2}，集合B={x|1＜x＜4}，则A∪B={x|﹣1＜x＜4}．故选：B．3．（5分）已知平面向量，则向量=（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，2）C．（﹣1，0）D．（﹣2，1）【解答】解：向量=（，）﹣（，﹣）=（﹣，+）=（﹣1，2）．故选：B．4．（5分）设x∈R，则使lg（x+1）＜1成立的必要不充分条件是（）A．﹣1＜x＜9B．x＞﹣1C．x＞1D．1＜x＜9【解答】解：由lg（x+1）＜1得0＜x+1＜10，得﹣1＜x＜9，即不等式的等价条件是﹣1＜x＜9，则使lg（x+1）＜1成立的必要不充分条件对应范围要真包含（﹣1，9），则对应的范围为x＞﹣1，故选：B．5．（5分）等比数列{a n}中，a3=﹣2，a11=﹣8，则a7=（）A．﹣4B．4C．±4D．﹣5=﹣=﹣【解答】解：由等比数列的性质可得：奇数项的符号相同，∴a=﹣4．故选：A．6．（5分）过抛物线C：y2=4x的焦点F的直线交抛物线C于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，且，则弦AB的长为（）A．B．4C．D．【解答】解：抛物线y2=4x，∴P=2，且经过点F的直线与抛物线相交于A、B两点，其横坐标分别为x1，x2，利用抛物线定义，则|FA|=x1﹣（﹣）=x1+1，|FB|=x2﹣（﹣）=x2+1，∴|AB|=|FA|+|FB|=（x1+x2）+2=+2=．故选：C．7．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S=（）A．B．C．D．1【解答】解：s=﹣1，i=2≤4，a=1+1=2，s=﹣1+2=1，i=3≤4，a=1﹣=，s=1+=，i=3+1≤4，a=1﹣2=﹣1，s=﹣1=，i=4+1＞4，输出s=，故选：C．8．（5分）如图所示，一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，则该三棱锥的体积为（）A．3B．4C．6D．8【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥，底面三角形ABC为直角三角形，侧棱PA⊥底面ABC，则该三棱锥的体积为．故选：B．9．（5分）“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：观察这个图可知：大正方形的边长为2，总面积为4，而阴影区域的边长为﹣1，面积为4﹣2故飞镖落在阴影区域的概率为=1﹣．故选：A．10．（5分）矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折起，使面BAC⊥面DAC，则四面体A﹣BCD的外接球的体积为（）A．πB．πC．πD．π【解答】解：矩形ABCD中，∵AB=4，BC=3，∴DB=AC=5，设DB交AC与O，则O是△ABC和△DAC的外心，球心一定在过O且垂直于△ABC的直线上，也在过O且垂直于△DAC的直线上，这两条直线只有一个交点O因此球半径R=2.5，四面体ABCD的外接球的体积：V=×π×（2.5）3=．故选：C．11．（5分）双曲线C：的左顶点为A，右焦点为F，过点F作一条直线与双曲线C的右支交于点P，Q，连接PA，QA分别与直线l：交于点M，N，则∠MFN=（）A．B．C．D．【解答】解：（一般方法）双曲线C：的左顶点为A（﹣1，0），右焦点为F（2，0），设直线PQ的方程为x=ky+2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）联立方程组可得，消x整理可得（3k2﹣1）y2+12ky+9=0，且k2≠，∴y1+y2=，y1•y2=，∴x1+x2=k（y1+y2）+4=，x1x2=k2y1y2+2k（y1+y2）+4=则直线PA的方程为y=•（x+1），直线QA的方程为y=•（x+1），分别令x=，可得y M=•，y N=•，∴=（，﹣•），=（，﹣•），∴•=+•=+=0，∴⊥，∴∠MFN=，（特殊方法），不妨令直线PQ为直线x=2，由，解得y=±3，∴P（2，3），Q（2，﹣3），∴直线PA的方程为y=3x+3，当x=时，y=，即M（，），同理可得N（，﹣），∴=（，﹣），=（，），∴•=﹣=0，∴⊥，∴∠MFN=，故选：C．12．（5分）已知定义域为R的函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f'（x）＞f （x）+1，则下列正确的是（）A．f（2018）﹣ef（2017）＞e﹣1B．f（2018）﹣ef（2017）＜e﹣1 C．f（2018）﹣ef（2017）＞e+1D．f（2018）﹣ef（2017）＜e+1【解答】解：令g（x）=+e﹣x，则g′（x）=﹣=＞0，故g（x）在R递增，故g（2018）＞g（2017），即+e﹣2018＞+e﹣2017，故f（2018）+1＞ef（2017）+e，即f（2018）﹣ef（2017）＞e﹣1，故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）函数的值域为（0，+∞）．【解答】解：8x＞0；∴8x+1＞1；∴；∴f（x）的值域为（0，+∞）．故答案为：（0，+∞）．14．（5分）设实数x，y满足约束条件，则z=3x+4y的最大值为18．【解答】解：作出约束条件，所示的平面区域，让如图：作直线3x+4y=0，然后把直线L向可行域平移，结合图形可知，平移到点A时z 最大由可得A（2，3），此时z=18．故答案为：18．15．（5分）写出下列命题中所有真命题的序号②④．①两个随机变量线性相关性越强，相关系数r越接近1；②回归直线一定经过样本点的中心；③线性回归方程，则当样本数据中x=10时，必有相应的y=12；④回归分析中，相关指数R2的值越大说明残差平方和越小．【解答】解：对于①，两个随机变量线性相关性越强，则相关系数r的绝对值越接近1，∴①错误；对于②，回归直线一定经过样本点的中心，②正确；对于③，线性回归方程，当样本数据中x=10时，则y=0.2×10+10=12，∴样本数据x=10时，预测y=12，∴③错误；对于④，回归分析中，相关指数R2的值越大，说明残差平方和越小，∴④正确．综上，正确的命题是②④．故答案为：②④．16．（5分）数列{a n}中，，，设数列的前n项和为S n，则S n=．【解答】解：∵，，∴﹣=1，∴数列是等差数列，首项为2，公差为1．∴=2+n﹣1=n+1，∴a n=，∴=﹣，∴数列的前n项和为S n=+……+﹣+……+=﹣=．三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）△ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=2a﹣2ccosB．（1）求角C的大小；（2）求的最大值，并求出取得最大值时角A，B的值．【解答】解：（1）△ABC中，b=2a﹣2ccosB=2a﹣2c•，整理得a2+b2﹣c2=ab，即cosC===，因为0＜C＜π，则C=；（2）由（1）知，则B=π﹣A﹣，于是=cosA+sin（π﹣A）=cosA+sinA=2sin（A+），由，则0＜A＜，∴＜A+＜π，∴当时，取得最大值为2，此时B=．18．（12分）某校从高一年级参加期末考试的学生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩，将数学成绩进行分组，并根据各组人数制成如下频率分布表：（1）写出a，b，c，d的值，并估计本次考试全年级学生的数学平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）现从成绩在[90，100]内的学生中任选出两名同学，从成绩在[40，50）内的学生中任选一名同学，共三名同学参加学习习惯问卷调查活动．若A1同学的数学成绩为43分，B1同学的数学成绩为95分，求A1，B1两同学恰好都被选出的概率．【解答】解：（1）由频率分布表，得：，解得a=2，b=0.06，c=12，d=0.24，估计本次考试全年级学生的数学平均分为：45×0.04+55×0.06+65×0.28+75×0.3+85×0.24+95×0.08=73.8．（2）设数学成绩在[90，100]内的四名同学分别为B1，B2，B3，B4，成绩在[40，50）内的两名同学为A1，A2，则选出的三名同学可以为：A1B1B2、A1B1B3、A1B1B4、A1B2B3、A1B2B4、A1B3B4、A2B1B2、A2B1B3、A2B1B4、A2B2B3、A2B2B4、A2B3B4，共有12种情况．A1，B1两名同学恰好都被选出的有A1B1B2、A1B1B3、A1B1B4，共有3种情况，所以A1，B1两名同学恰好都被选出的概率为．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，，D，E分别是棱CC1、BB1的中点．（1）证明：A1E⊥AD；（2）求点A到平面A1B1D的距离．【解答】证明：（1）连接DE，由直三棱柱ABC﹣A1B1C1，得CC1⊥BC，∵BC⊥AC又有CC1∩AC=C，∴BC⊥平面ACC1A1∵D，E分别为CC1，BB1的中点，则DE∥BC，∴DE⊥平面ACC1A1，∴DE⊥AD∵，∴AD⊥A1D，A1D∩DE=D，AD⊥平面A1DE，∴A1E⊥AD．解：（2）设点A到平面A1B1D的距离为d，∵B1C1⊥A1C1，B1C1⊥CC1，CC1∩A1C1=C1，∴B1C1⊥平面A1DA由知，，即，解得．点A到平面A1B1D的距离为．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，动点M（x，y）总满足关系式．（1）点M的轨迹是什么曲线？并写出它的标准方程；（2）坐标原点O到直线l：y=kx+m的距离为1，直线l与M的轨迹交于不同的两点A，B，若，求△AOB的面积．【解答】解：（1）根据题意，动点M（x，y）总满足关系式，整理变形可得：，所以点M的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，它的标准方程为．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由点O到直线l：y=kx+m的距离为1，得，即m2=1+k2，联立直线与椭圆的方程，可得消去y，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，△=（8km）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）=48（3+4k2﹣m2）=48（3k2+2）＞0，，==．∵，∴，解得，，∴，∴．21．（12分）已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）=（x﹣m）e x（常数m∈R）．（1）若m=2，求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）+m+1＞0恒成立，求实数m的最大整数值．【解答】解：（1）当m=2时，f（x）=（x﹣2）e x（x∈（0，+∞）），∴f'（x）=（x﹣1）e x，令f'（x）＞0，有x＞1，∴f（x）在（1，+∞）上为增函数，令f'（x）＜0，有0＜x＜1，∴f（x）在（0，1）上为减函数，综上，f（x）在（0，1）上为减函数，f（x）在（1，+∞）上为增函数．（2）∵f（x）+m+1＞0对于x∈（0，+∞）恒成立，即f（x）＞﹣m﹣1对于x∈（0，+∞）恒成立，由（1）知①当m≤1时，f（x）在（0，+∞）上为增函数，∴f（x）＞f（0）=﹣m，∴﹣m＞﹣m﹣1恒成立∴m≤1②当m＞1时，在（0，m﹣1）上为减函数，f（x）在（m﹣1，+∞）上为增函数．∴，∴﹣e m﹣1＞﹣m﹣1∴e m﹣1﹣m﹣1＜0设g（m）=e m﹣1﹣m﹣1（m＞1），∴g'（m）=e m﹣1﹣1＞0（m＞1），∴g（m）在（1，+∞）上递增，而m∈Zg（2）=e﹣3＜0，g（3）=e2﹣4＞0，∴在（1，+∞）上存在唯一m0使得g（m0）=0，且2＜m0＜3，∵m∈Z，∴m最大整数值为2，使e m﹣1﹣m﹣1＜0，即m最大整数值为2，有f（x）+m+1＞0对于x∈（0，+∞）恒成立．请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（θ为参数），曲线C2：．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）射线（ρ＞0）与曲线C1的异于极点的交点为A，与曲线C2的交点为B，求|AB|．【解答】（1）曲线C1的参数方程（θ为参数）可化为普通方程x2+（y﹣1）2=1，由，可得曲线C1的极坐标方程为ρ=2sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ2（1+cos2θ）=2．（2）射线（ρ＞0）与曲线C1的交点A的极径为，射线（ρ＞0）与曲线C2的交点B的极径满足，解得，所以．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|2x﹣1|．（1）设f（x）+f（x+1）＜5的解集为集合A，求集合A；（2）已知m为集合A中的最大自然数，且a+b+c=m（其中a，b，c为正实数），设．求证：M≥8．【解答】解：（1）f（x）+f（x+1）＜5，即|2x﹣1|+|2x+1|＜5；当时，不等式化为1﹣2x﹣2x﹣1＜5，∴；当时，不等式化为1﹣2x+2x+1＜5，不等式恒成立；当时，不等式化为2x﹣1+2x+1＜5，∴；综上，集合；（2）证明：由（1）知m=1，则a+b+c=1；则；同理；则；即M≥8．。

东北三省三校(哈师大附中、东北师大附中等)2018届高三第一次模拟考试数学(文)试题含答案

东北三省三校(哈师大附中、东北师大附中等)2018届高三第一次模拟考试数学(文)试题含答案

2018年三省三校一模考试文科数学答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.C2.A3.B4.C5.D6.B7.D8.B9.C 10.C 11.C 12.A二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13． //l α或l α⊂ 14． []5,2-- 15．丙 16．三、解答题（本大题共70分） 17.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）当2≥n 时，3+13232111(22)(22)277n n n n n n a S S ---=-=---= ………4分当1=n 时，112a S ==312=2⨯-，符合上式 ………5分 所以32(n n a n -=∈N . (6)分（Ⅱ）由（Ⅰ）得322log 2=32n n b n -=-, ………7分所以=+-++⨯+⨯=++++)13)(23(174141111113221n n b b b b b b n n 13)1311(31)]131231()7141()411[(31+=+-=+--++-+-n n n n n ． ………12分18.（本小题满分12分）解：(Ⅰ) 从使用手机支付的人群中随机抽取1人，抽到青年的概率为710∴使用手机支付的人群中的青年的人数为7604210⨯=人， ………2分则使用手机支付的人群中的中老年的人数为604218-=人，所以22⨯列联表为:………4分2K 的观测值2100(42241816)1800=8.86758426040203k ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ ………6分28.8677.879(7.879)0.005P K >≥= ，， ………7分故有99.5%的把握认为“市场购物用手机支付与年龄有关”. ………8分(Ⅱ) 这100名顾客中采用分层抽样从“使用手机支付”和“不使用手机支付”中抽取得到一个容量为5的样本中： 使用手机支付的人有6053100⨯=人，记编号为1,2,3 不使用手机支付的人有2人，记编号为a,b ， ………9分 则从这个样本中任选2人有(1,2)(1,3)(1,a)(1,b)(2,3)(2,a)(2,b)(3,a)(3,b)(a,b)共10种 其中至少有1人是不使用手机支付的(1,a)(1,b) (2,a)(2,b)(3,a)(3,b)(a,b)共7种， ………11分故7()10P A =. ………12分19.（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：∵SO ⊥平面ABC ，∴SO AC ⊥，又∵点M 是圆O 内弦AC 的中点，AC MO∴⊥，………3分又SO MO O = ………4分 AC ∴⊥平面S………5分（Ⅱ）∵SO ⊥平面ABC ，SO 为三棱锥S OCB -的高，111112323S OCB O SCB V V --∴==⨯⨯⨯⨯= ………7分而O EFBC V -与O SCB V -等高，1sin 2215sin 2ESFSCBSE SF ESFS S SC SB CSB ∆∆⨯⨯∠==⨯⨯∠， ∴35SCB EFBC S S ∆=四边形 (10)分因此，33115535O EFBC O SCB V V --==⨯= ………12分20.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）2c e a ==， 当M 为椭圆C 的短轴端点时，12MF F ∆的面积的最大值为112112c b bc ∴⨯⨯=∴=，而222a b c =+1a b ∴==故椭圆C 标准方程为：2212x y += ………3分（Ⅱ）设112211(,),,),(,)B x y E x y A x y -（，且12x x ≠，2=2a x c= ，(2,0)P ∴由题意知BP 的斜率必存在，设BP ：(2)y k x =-，代入2212x y +=得 2222(21)8820k x k x k +-+-=0∆>得212k <22121222882,2121k k x x x x k k -+=⋅=++ (6)分12x x ≠ ∴AE 斜率必存在，AE ：121121()y y y y x x x x ++=-- ………7分由对称性易知直线AE 过的定点必在x 轴上，则当0y =时，得121122112211121212()(2)(2)()4y x x y x y x k x x k x x x x y y y y k x x k-+-+-=+==+++-2222121221228282222()2121=184421k k x x x x k k k x x k -⋅-⋅-+++==+--+ ………11分 即在212k <的条件下，直线AE 过定点（1，0）. ………12分21. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）2()12f x x a '=-+.当0a =时，3()4f x x =-在R 上单调递减；当0a <时，2()120f x x a '=-+<，即3()4f x x ax =-+在R 上单调递减； ………2分当0a >时，2()12f x x a '=-+.(,x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 在(,-∞上递减；(x ∈时，()0f x '>，()f x 在(上递增；()6x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 在(,)6+∞上递减； ………4分综上，当0a ≤时，()f x 在R 上单调递减；当0a >时，()f x 在(,6-∞-上递减；在(66-上递增；,)+∞上递减. ………5分 （Ⅱ）∵函数()f x 在[1,1]-上的最大值为1. 即对任意[1,1]x ∈-，()1f x ≤恒成立。

2018年东北三省三校(辽宁省实验中学)高考数学二模试卷(文科)(解析版)

2018年东北三省三校(辽宁省实验中学)高考数学二模试卷(文科)(解析版)

2018年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）设集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，集合B＝{x|1＜x＜4}，则A∪B＝（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|﹣1＜x＜4}C．{x|﹣1＜x＜1}D．{x|2＜x＜4} 3．（5分）已知平面向量，则向量＝（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，2）C．（﹣1，0）D．（﹣2，1）4．（5分）设x∈R，则使lg（x+1）＜1成立的必要不充分条件是（）A．﹣1＜x＜9B．x＞﹣1C．x＞1D．1＜x＜95．（5分）等比数列{a n}中，a3＝﹣2，a11＝﹣8，则a7＝（）A．﹣4B．4C．±4D．﹣56．（5分）过抛物线C：y2＝4x的焦点F的直线交抛物线C于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，且，则弦AB的长为（）A．B．4C．D．7．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S＝（）A．B．C．D．18．（5分）如图所示，一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，则该三棱锥的体积为（）A．3B．4C．6D．89．（5分）“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（）A．B．C．D．10．（5分）矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿AC将矩形ABCD折起，使面BAC⊥面DAC，则四面体A﹣BCD的外接球的体积为（）A．πB．πC．πD．π11．（5分）双曲线C：的左顶点为A，右焦点为F，过点F作一条直线与双曲线C的右支交于点P，Q，连接P A，QA分别与直线l：交于点M，N，则∠MFN＝（）A．B．C．D．12．（5分）已知定义域为R的函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f'（x）＞f（x）+1，则下列正确的是（）A．f（2018）﹣ef（2017）＞e﹣1B．f（2018）﹣ef（2017）＜e﹣1C．f（2018）﹣ef（2017）＞e+1D．f（2018）﹣ef（2017）＜e+1二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）函数的值域为．14．（5分）设实数x，y满足约束条件，则z＝3x+4y的最大值为．15．（5分）写出下列命题中所有真命题的序号．①两个随机变量线性相关性越强，相关系数r越接近1；②回归直线一定经过样本点的中心；③线性回归方程，则当样本数据中x＝10时，必有相应的y＝12；④回归分析中，相关指数R2的值越大说明残差平方和越小．16．（5分）数列{a n}中，，，设数列的前n项和为S n，则S n＝．三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）△ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2a﹣2c cos B．（1）求角C的大小；（2）求的最大值，并求出取得最大值时角A，B的值．18．（12分）某校从高一年级参加期末考试的学生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩，将数学成绩进行分组，并根据各组人数制成如下频率分布表：（1）写出a，b，c，d的值，并估计本次考试全年级学生的数学平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）现从成绩在[90，100]内的学生中任选出两名同学，从成绩在[40，50）内的学生中任选一名同学，共三名同学参加学习习惯问卷调查活动．若A1同学的数学成绩为43分，B1同学的数学成绩为95分，求A1，B1两同学恰好都被选出的概率．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，，D，E分别是棱CC1、BB1的中点．（1）证明：A1E⊥AD；（2）求点A到平面A1B1D的距离．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，动点M（x，y）总满足关系式．（1）点M的轨迹是什么曲线？并写出它的标准方程；（2）坐标原点O到直线l：y＝kx+m的距离为1，直线l与M的轨迹交于不同的两点A，B，若，求△AOB的面积．21．（12分）已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）＝（x﹣m）e x（常数m∈R）．（1）若m＝2，求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）+m+1＞0恒成立，求实数m的最大整数值．请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（θ为参数），曲线C2：．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）射线（ρ＞0）与曲线C1的异于极点的交点为A，与曲线C2的交点为B，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|2x﹣1|．（1）设f（x）+f（x+1）＜5的解集为集合A，求集合A；（2）已知m为集合A中的最大自然数，且a+b+c＝m（其中a，b，c为正实数），设．求证：M≥8．2018年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：复数＝＝i在复平面内对应的点位于第四象限．故选：D．2．（5分）设集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，集合B＝{x|1＜x＜4}，则A∪B＝（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|﹣1＜x＜4}C．{x|﹣1＜x＜1}D．{x|2＜x＜4}【解答】解：集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}＝{x|﹣1＜x＜2}，集合B＝{x|1＜x＜4}，则A∪B＝{x|﹣1＜x＜4}．故选：B．3．（5分）已知平面向量，则向量＝（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，2）C．（﹣1，0）D．（﹣2，1）【解答】解：向量＝（，）﹣（，﹣）＝（﹣，+）＝（﹣1，2）．故选：B．4．（5分）设x∈R，则使lg（x+1）＜1成立的必要不充分条件是（）A．﹣1＜x＜9B．x＞﹣1C．x＞1D．1＜x＜9【解答】解：由lg（x+1）＜1得0＜x+1＜10，得﹣1＜x＜9，即不等式的等价条件是﹣1＜x＜9，则使lg（x+1）＜1成立的必要不充分条件对应范围要真包含（﹣1，9），则对应的范围为x＞﹣1，故选：B．5．（5分）等比数列{a n}中，a3＝﹣2，a11＝﹣8，则a7＝（）A．﹣4B．4C．±4D．﹣5【解答】解：由等比数列的性质可得：奇数项的符号相同，∴a7＝﹣＝﹣＝﹣4．故选：A．6．（5分）过抛物线C：y2＝4x的焦点F的直线交抛物线C于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，且，则弦AB的长为（）A．B．4C．D．【解答】解：抛物线y2＝4x，∴P＝2，且经过点F的直线与抛物线相交于A、B两点，其横坐标分别为x1，x2，利用抛物线定义，则|F A|＝x1﹣（﹣）＝x1+1，|FB|＝x2﹣（﹣）＝x2+1，∴|AB|＝|F A|+|FB|＝（x1+x2）+2＝+2＝．故选：C．7．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S＝（）A．B．C．D．1【解答】解：s＝﹣1，i＝2≤4，a＝1+1＝2，s＝﹣1+2＝1，i＝3≤4，a＝1﹣＝，s＝1+＝，i＝3+1≤4，a＝1﹣2＝﹣1，s＝﹣1＝，i＝4+1＞4，输出s＝，故选：C．8．（5分）如图所示，一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，则该三棱锥的体积为（）A．3B．4C．6D．8【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥，底面三角形ABC为直角三角形，侧棱P A⊥底面ABC，则该三棱锥的体积为．故选：B．9．（5分）“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：观察这个图可知：大正方形的边长为2，总面积为4，而阴影区域的边长为﹣1，面积为4﹣2故飞镖落在阴影区域的概率为＝1﹣．故选：A．10．（5分）矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿AC将矩形ABCD折起，使面BAC⊥面DAC，则四面体A﹣BCD的外接球的体积为（）A．πB．πC．πD．π【解答】解：矩形ABCD中，∵AB＝4，BC＝3，∴DB＝AC＝5，设DB交AC与O，则O是△ABC和△DAC的外心，球心一定在过O且垂直于△ABC的直线上，也在过O且垂直于△DAC的直线上，这两条直线只有一个交点O因此球半径R＝2.5，四面体ABCD的外接球的体积：V＝×π×（2.5）3＝．故选：C．11．（5分）双曲线C：的左顶点为A，右焦点为F，过点F作一条直线与双曲线C的右支交于点P，Q，连接P A，QA分别与直线l：交于点M，N，则∠MFN＝（）A．B．C．D．【解答】解：（一般方法）双曲线C：的左顶点为A（﹣1，0），右焦点为F（2，0），设直线PQ的方程为x＝ky+2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）联立方程组可得，消x整理可得（3k2﹣1）y2+12ky+9＝0，且k2≠，∴y1+y2＝，y1•y2＝，∴x1+x2＝k（y1+y2）+4＝，x1x2＝k2y1y2+2k（y1+y2）+4＝则直线P A的方程为y＝•（x+1），直线QA的方程为y＝•（x+1），分别令x＝，可得y M＝•，y N＝•，∴＝（，﹣•），＝（，﹣•），∴•＝+•＝+＝0，∴⊥，∴∠MFN＝，（特殊方法），不妨令直线PQ为直线x＝2，由，解得y＝±3，∴P（2，3），Q（2，﹣3），∴直线P A的方程为y＝3x+3，当x＝时，y＝，即M（，），同理可得N（，﹣），∴＝（，﹣），＝（，），∴•＝﹣＝0，∴⊥，∴∠MFN＝，故选：C．12．（5分）已知定义域为R的函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f'（x）＞f（x）+1，则下列正确的是（）A．f（2018）﹣ef（2017）＞e﹣1B．f（2018）﹣ef（2017）＜e﹣1C．f（2018）﹣ef（2017）＞e+1D．f（2018）﹣ef（2017）＜e+1【解答】解：令g（x）＝+e﹣x，则g′（x）＝﹣＝＞0，故g（x）在R递增，故g（2018）＞g（2017），即+e﹣2018＞+e﹣2017，故f（2018）+1＞ef（2017）+e，即f（2018）﹣ef（2017）＞e﹣1，故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）函数的值域为（0，+∞）．【解答】解：8x＞0；∴8x+1＞1；∴；∴f（x）的值域为（0，+∞）．故答案为：（0，+∞）．14．（5分）设实数x，y满足约束条件，则z＝3x+4y的最大值为18．【解答】解：作出约束条件，所示的平面区域，让如图：作直线3x+4y＝0，然后把直线L向可行域平移，结合图形可知，平移到点A时z最大由可得A（2，3），此时z＝18．故答案为：18．15．（5分）写出下列命题中所有真命题的序号②④．①两个随机变量线性相关性越强，相关系数r越接近1；②回归直线一定经过样本点的中心；③线性回归方程，则当样本数据中x＝10时，必有相应的y＝12；④回归分析中，相关指数R2的值越大说明残差平方和越小．【解答】解：对于①，两个随机变量线性相关性越强，则相关系数r的绝对值越接近1，∴①错误；对于②，回归直线一定经过样本点的中心，②正确；对于③，线性回归方程，当样本数据中x＝10时，则y＝0.2×10+10＝12，∴样本数据x＝10时，预测y＝12，∴③错误；对于④，回归分析中，相关指数R2的值越大，说明残差平方和越小，∴④正确．综上，正确的命题是②④．故答案为：②④．16．（5分）数列{a n}中，，，设数列的前n项和为S n，则S n＝．【解答】解：∵，，∴﹣＝1，∴数列是等差数列，首项为2，公差为1．∴＝2+n﹣1＝n+1，∴a n＝，∴＝﹣，∴数列的前n项和为S n＝+……+﹣+……+＝﹣＝．三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）△ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2a﹣2c cos B．（1）求角C的大小；（2）求的最大值，并求出取得最大值时角A，B的值．【解答】解：（1）△ABC中，b＝2a﹣2c cos B＝2a﹣2c•，整理得a2+b2﹣c2＝ab，即cos C＝＝＝，因为0＜C＜π，则C＝；（2）由（1）知，则B＝π﹣A﹣，于是＝cos A+sin（π﹣A）＝cos A+sin A＝2sin（A+），由，则0＜A＜，∴＜A+＜π，∴当时，取得最大值为2，此时B ＝．18．（12分）某校从高一年级参加期末考试的学生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩，将数学成绩进行分组，并根据各组人数制成如下频率分布表：（1）写出a，b，c，d的值，并估计本次考试全年级学生的数学平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）现从成绩在[90，100]内的学生中任选出两名同学，从成绩在[40，50）内的学生中任选一名同学，共三名同学参加学习习惯问卷调查活动．若A1同学的数学成绩为43分，B1同学的数学成绩为95分，求A1，B1两同学恰好都被选出的概率．【解答】解：（1）由频率分布表，得：，解得a＝2，b＝0.06，c＝12，d＝0.24，估计本次考试全年级学生的数学平均分为：45×0.04+55×0.06+65×0.28+75×0.3+85×0.24+95×0.08＝73.8．（2）设数学成绩在[90，100]内的四名同学分别为B1，B2，B3，B4，成绩在[40，50）内的两名同学为A1，A2，则选出的三名同学可以为：A1B1B2、A1B1B3、A1B1B4、A1B2B3、A1B2B4、A1B3B4、A2B1B2、A2B1B3、A2B1B4、A2B2B3、A2B2B4、A2B3B4，共有12种情况．A1，B1两名同学恰好都被选出的有A1B1B2、A1B1B3、A1B1B4，共有3种情况，所以A1，B1两名同学恰好都被选出的概率为．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，，D，E分别是棱CC1、BB1的中点．（1）证明：A1E⊥AD；（2）求点A到平面A1B1D的距离．【解答】证明：（1）连接DE，由直三棱柱ABC﹣A1B1C1，得CC1⊥BC，∵BC⊥AC又有CC1∩AC＝C，∴BC⊥平面ACC1A1∵D，E分别为CC1，BB1的中点，则DE∥BC，∴DE⊥平面ACC1A1，∴DE⊥AD∵，∴AD⊥A1D，A1D∩DE＝D，AD⊥平面A1DE，∴A1E⊥AD．解：（2）设点A到平面A1B1D的距离为d，∵B1C1⊥A1C1，B1C1⊥CC1，CC1∩A1C1＝C1，∴B1C1⊥平面A1DA由知，，即，解得．点A到平面A1B1D的距离为．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，动点M（x，y）总满足关系式．（1）点M的轨迹是什么曲线？并写出它的标准方程；（2）坐标原点O到直线l：y＝kx+m的距离为1，直线l与M的轨迹交于不同的两点A，B，若，求△AOB的面积．【解答】解：（1）根据题意，动点M（x，y）总满足关系式，整理变形可得：，所以点M的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，它的标准方程为．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由点O到直线l：y＝kx+m的距离为1，得，即m2＝1+k2，联立直线与椭圆的方程，可得消去y，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，△＝（8km）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＝48（3+4k2﹣m2）＝48（3k2+2）＞0，，＝＝．∵，∴，解得，，∴，∴．21．（12分）已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）＝（x﹣m）e x（常数m∈R）．（1）若m＝2，求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）+m+1＞0恒成立，求实数m的最大整数值．【解答】解：（1）当m＝2时，f（x）＝（x﹣2）e x（x∈（0，+∞）），∴f'（x）＝（x﹣1）e x，令f'（x）＞0，有x＞1，∴f（x）在（1，+∞）上为增函数，令f'（x）＜0，有0＜x＜1，∴f（x）在（0，1）上为减函数，综上，f（x）在（0，1）上为减函数，f（x）在（1，+∞）上为增函数．（2）∵f（x）+m+1＞0对于x∈（0，+∞）恒成立，即f（x）＞﹣m﹣1对于x∈（0，+∞）恒成立，由（1）知①当m≤1时，f（x）在（0，+∞）上为增函数，∴f（x）＞f（0）＝﹣m，∴﹣m＞﹣m﹣1恒成立∴m≤1②当m＞1时，在（0，m﹣1）上为减函数，f（x）在（m﹣1，+∞）上为增函数．∴，∴﹣e m﹣1＞﹣m﹣1∴e m﹣1﹣m﹣1＜0设g（m）＝e m﹣1﹣m﹣1（m＞1），∴g'（m）＝e m﹣1﹣1＞0（m＞1），∴g（m）在（1，+∞）上递增，而m∈Zg（2）＝e﹣3＜0，g（3）＝e2﹣4＞0，∴在（1，+∞）上存在唯一m0使得g（m0）＝0，且2＜m0＜3，∵m∈Z，∴m最大整数值为2，使e m﹣1﹣m﹣1＜0，即m最大整数值为2，有f（x）+m+1＞0对于x∈（0，+∞）恒成立．请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（θ为参数），曲线C2：．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）射线（ρ＞0）与曲线C1的异于极点的交点为A，与曲线C2的交点为B，求|AB|．【解答】（1）曲线C1的参数方程（θ为参数）可化为普通方程x2+（y﹣1）2＝1，由，可得曲线C1的极坐标方程为ρ＝2sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ2（1+cos2θ）＝2．（2）射线（ρ＞0）与曲线C1的交点A的极径为，射线（ρ＞0）与曲线C2的交点B的极径满足，解得，所以．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|2x﹣1|．（1）设f（x）+f（x+1）＜5的解集为集合A，求集合A；（2）已知m为集合A中的最大自然数，且a+b+c＝m（其中a，b，c为正实数），设．求证：M≥8．【解答】解：（1）f（x）+f（x+1）＜5，即|2x﹣1|+|2x+1|＜5；当时，不等式化为1﹣2x﹣2x﹣1＜5，∴；当时，不等式化为1﹣2x+2x+1＜5，不等式恒成立；当时，不等式化为2x﹣1+2x+1＜5，∴；综上，集合；（2）证明：由（1）知m＝1，则a+b+c＝1；则；同理；则；即M≥8．。

2018年东北三省三校（哈师大附中东北师大附中辽宁省实验中学）高考数学三模试卷（理科）

2018年东北三省三校（哈师大附中东北师大附中辽宁省实验中学）高考数学三模试卷（理科）

2018年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|≤0}，B={0，1，2，3}，那么A∩B=（）A．{﹣1，0，1}B．{0，1}C．{﹣1，0}D．{0}2．（5分）已知复数z=，那么复数z的模为（）A．5B．C．D．3．（5分）在2018年初的高中教师信息技术培训中，经统计，哈尔滨市高中教师的培训成绩X～N（85.9），假设已知P（80＜X≤85）=0.35，那么从哈市高中教师中任选位教师，他的培训成绩大于90分的概率为（）A．0.85B．0.65C．0.35D．0.154．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，假设a1=1，S10=3S5，那么a6=（）A．2B．C．4D．15．（5分）已知cos（）=，那么sin2α=（）A．B．C．D．6．（5分）非零向量，知足；||=||，，那么与夹角的大小为（）A．135°B．120°C．60°D．45°7．（5分）如图是某几何体的视图，那么该几何体的体积为（）A．B．C．D．8．（5分）已知实数a，b知足0≤a≤1，0≤b≤1，那么函数f（x）=x3﹣ax2+bx+1存在极值的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）执行下面的程序框图，假设输入S，a的值别离为1，2，输出的n值为4，那么m 的取值范围为（）A．3＜m≤7B．7＜m≤15C．15＜m≤31D．31＜m≤6310．（5分）已知点F1，F2别离是双曲线C：（a＞0，b＞0），的左、右核心，O为坐标原点，点P在双曲线C的右支上|F1F2|=2|OP|，△PF1F2的面积为4，且该双曲线的两条渐近线相互垂直，那么双曲线C的方程为（）A．B．C．=1D．11．（5分）棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱AD中点，过点B1，且与平面A1BE平行的正方体的截面面积为（）A．5B．2C．2D．612．（5分）已知函数f（x）=，函数y=f（x）﹣a有四个不同的零点，从小到大依次为x1，x2，x3，x4，那么x1x2+x3x4的取值范围为（）A．[4，5）B．（4，5]C．[4，+∞）D．（﹣∞，4]二、填空题（每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）过抛物线C：x2=4y的核心F的直线与抛物线C交于A、B两点，假设弦AB中点到x 轴的距离为5，那么|AB|=．14．（5分）设x，y知足约束条件，那么z=x﹣y的最小值为．15．（5分）已知数列{a n}知足a1=1，a n+1=，记C n=，那么数列{C n}的前n项和C1+C2+…+C n=．16．（5分）已知概念在R上的函数f（x）知足：①f（1+x）=f（1﹣x），②在[1，+∞）上为增函数；假设x∈[]时，f（ax）＜f（x﹣1）成立，那么实数a的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤.）17．（12分）已知=（2sinωx，sinωx+cosωx），=（cosωx，（sinωx﹣cosωx）），0＜ω＜1函数f（x）=，直线x=是函数f（x）图象的一条对称轴．（I）求函数f（x）的解析式及单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，已知f（A）=0，c=3，a=，求b边长18．（12分）哈师大附中高三学年统计甲、乙两个班级一模数学分数，每一个班级20名同窗，现有甲、乙两班本次考试数学分数如以下茎叶图所示：（I）依照茎叶图求甲、乙两班同窗数学分数的中位数，并将乙班同窗的分数的频率散布直方图填充完整；（Ⅱ）依照茎叶图比较在一模考试中，甲、乙两班同窗数学分数的平均水平和分数的分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）（Ⅲ）假设规定分数在[100，120）的成绩为良好，分数在[120，150）的成绩为优秀，现从甲、乙两班成绩为优秀的同窗中，依照各班成绩为优秀的同窗人数占两班总的优秀人数的比例分层抽样，共选出12位同窗参加数学提优培训，求这12位同窗中恰含甲、乙两班所有140分以上的同窗的概率．19．（12分）已知等腰直角△S′AB，S′A=AB=4，S′A⊥AB，C，D别离为S′B，S′A的中点，将△S′CD 沿CD折到△SCD的位置，SA=2，取线段SB的中点为E．（I）求证：CE∥平面SAD；（Ⅱ）求二面角A﹣EC﹣B的余弦值．20．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的右核心为F（c，0），点P为椭圆C上的动点，假设|PF|的最大值和最小值别离为2和2．（I）求椭圆C的方程（Ⅱ）设只是原点的直线l与椭圆C交于P，Q两点，假设直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的最大值21．（12分）已知函数f（x）=（1﹣ax）e x+b在点（1，f（1））处的切线方程是y=﹣ex+e﹣1．（1）求a，b的值及函数f（x）的最大值；（2）假设实数x，y知足xe y=e x﹣1（x＞0）．（i）证明：0＜y＜x；（ii）假设x＞2，证明：y＞1．请考生在2二、23两题中任选一题作答，若是多做，那么按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，以原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度成立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为：ρ=2cosθ．（I）假设曲线C2，参数方程为：（α为参数），求曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的一般方程（Ⅱ）假设曲线C2，参数方程为（t为参数），A（0，1），且曲线C1，与曲线C2交点别离为P，Q，求的取值范围，[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x+b|+|2x﹣b|．（I）假设b=1．解不等式f（x）＞4．（Ⅱ）假设不等式f（a）＞|b+1|对任意的实数a恒成立，求b的取值范围．2018年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|≤0}，B={0，1，2，3}，那么A∩B=（）A．{﹣1，0，1}B．{0，1}C．{﹣1，0}D．{0}【解答】解：∵集合A={x|≤0}={x|﹣1≤x＜1}，B={0，1，2，3}，∴A∩B={0}．应选：D．2．（5分）已知复数z=，那么复数z的模为（）A．5B．C．D．【解答】解：∵z==，∴|z|=||==．应选：B．3．（5分）在2018年初的高中教师信息技术培训中，经统计，哈尔滨市高中教师的培训成绩X～N（85.9），假设已知P（80＜X≤85）=0.35，那么从哈市高中教师中任选位教师，他的培训成绩大于90分的概率为（）A．0.85B．0.65C．0.35D．0.15【解答】解：∵学生成绩X服从正态散布N（85，9），∴其图象关于直线x=85对称，∵P（80＜X≤85）=0.35，∴P（85＜X≤90）=P（80＜X≤85）=0.35，∴P（X＞90）=0.5﹣P（85＜X≤90）=0.5﹣0.35=0.15．应选：D．4．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，假设a1=1，S10=3S5，那么a6=（）A．2B．C．4D．1【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q≠1，∵a1=1，S10=3S5，∴=3×，可得：q5+1=3，解得q5=2．那么a6=1×2=2．应选：A．5．（5分）已知cos（）=，那么sin2α=（）A．B．C．D．【解答】解：∵cos（）=，即cosα+sinα=，平方可得+sinαcosα=，∴sinαcosα=，那么sin2α=2sinαcosα=，应选：B．6．（5分）非零向量，知足；||=||，，那么与夹角的大小为（）A．135°B．120°C．60°D．45°【解答】解：依照题意，设=，=，那么﹣=﹣=，若||=||，，即||=||，且⊥，则△OAB为等腰直角三角形，则与的夹角为180°﹣45°=135°，应选：A．7．（5分）如图是某几何体的视图，那么该几何体的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：依照三视图取得几何体的恢复图为：因此：V=，应选：B．8．（5分）已知实数a，b知足0≤a≤1，0≤b≤1，那么函数f（x）=x3﹣ax2+bx+1存在极值的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：对f（x）=x3﹣ax2+bx+1求导数可得f′（x）=3x2﹣2ax+b，由函数有极值可得△=4a2﹣12b＞0，即b＜a2，∴知足0≤a≤1，0≤b≤1的点（a，b）的区域为边长为1正方形，∴知足0≤a≤1，0≤b≤1且b＜a2的点（a，b）的区域为正方形内曲线b=a2下方的部份，由定积分可得S==a3=，而正方形的面积为1，∴所求概率为P=，应选：A．9．（5分）执行下面的程序框图，假设输入S，a的值别离为1，2，输出的n值为4，那么m的取值范围为（）A．3＜m≤7B．7＜m≤15C．15＜m≤31D．31＜m≤63【解答】解：依照程序框图：S=1，a=2，n=1，当1＜m时，S=1+21=3，a=2，n=2，当3＜m时，S=3+22=7，a=2，n=3，当7＜m时，S=7+23=15，a=2，n=4，输出n=4，故：7＜m≤15，应选：B．10．（5分）已知点F1，F2别离是双曲线C：（a＞0，b＞0），的左、右核心，O为坐标原点，点P在双曲线C的右支上|F1F2|=2|OP|，△PF1F2的面积为4，且该双曲线的两条渐近线相互垂直，那么双曲线C的方程为（）A．B．C．=1D．【解答】解：由|F1F2|=2|OP|，可得|OP|=c，即有△PF1F2为直角三角形，且PF1⊥PF2，∵△PF1F2的面积为4，∴|PF1|•|PF2|=8，∵|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2，∴（|PF1|﹣|PF2|）2=|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|•|PF2|，由双曲线概念可得|PF1|﹣|PF2|=2a，∴4a2=4c2﹣16，∴b2=4，∵该双曲线的两条渐近线相互垂直，∴a=b，∴双曲线C的方程为﹣=1，应选：B．11．（5分）棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱AD中点，过点B1，且与平面A1BE平行的正方体的截面面积为（）A．5B．2C．2D．6【解答】解：取BC中点F，A1D1中点G，连结DF、B1F、DB1、DG、GB1，GF，∵棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱AD中点，∴BE∥DF，A1E∥GD，又A1E∩BE=E，DG∩DF=D，A1E、BE⊂平面A1BE，DG、DF⊂平面DFB1G，∴过点B1，且与平面A1BE平行的正方体的截面为四边形DFB1G，∵DF=FB1=B1G=DG=，DB1==2，GF=2=2，∴过点B1，且与平面A1BE平行的正方体的截面面积为：===2．应选：C．12．（5分）已知函数f（x）=，函数y=f（x）﹣a有四个不同的零点，从小到大依次为x1，x2，x3，x4，那么x1x2+x3x4的取值范围为（）A．[4，5）B．（4，5]C．[4，+∞）D．（﹣∞，4]【解答】解：当x＞0时，f（x）=x+﹣3≥2﹣3=1，可得f（x）在x＞2递增，在0＜x＜2处递减，由f（x）=e，x≤0，x＜﹣1时，f（x）递减；﹣1＜x＜0时，f（x）递增，可得x=﹣1处取得极小值1，作出f（x）的图象，和直线y=a，可得e=e=x3+﹣3=x4+﹣3，即有x1+1+x2+1=0，可得x1=﹣2﹣x2，﹣1＜x2≤0，x3﹣x4=﹣=，可得x3x4=4，x1x2+x3x4=4﹣2x2﹣x22=﹣（x2+1）2+5，在﹣1＜x2≤0递减，可得所求范围为[4，5）．应选：A．二、填空题（每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）过抛物线C：x2=4y的核心F的直线与抛物线C交于A、B两点，假设弦AB中点到x 轴的距离为5，那么|AB|=6．【解答】解法一：抛物线C：x2=4y的核心F（0，1），过核心的直线方程为y=kx+1，联立，得x2﹣4kx﹣4=0，△=16k2+16＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），那么x1+x2=4k，y1+y2=k（x1+x2）+2，∵弦AB中点到x轴的距离为5，∴y1+y2=k（x1+x2）+2=4k2+2=10，解得k2=2，设直线AB的倾斜角为θ，那么tan2θ=2，sin2θ=，cos2θ=，∴|AB|===12．解法二：抛物线C：x2=4y的核心F（0，1），设A（x1，y1），B（x2，y2），∵弦AB中点到x轴的距离为5，∴y1+y2=10，∴|AB|=y1+y2+p=12．故答案为：12．14．（5分）设x，y知足约束条件，那么z=x﹣y的最小值为﹣2．【解答】解：由x，y知足约束条件作出可行域如图，A（﹣1，1），化目标函数z=x﹣y为y=x﹣z，由图可知，当直线y=x﹣z过点A时，直线在y轴上的截距最大，z 有最小值为﹣2．故答案为：﹣2．15．（5分）已知数列{a n}知足a1=1，a n+1=，记C n=，那么数列{C n}的前n项和C1+C2+…+C n= n•2n．【解答】解：数列{a n}知足a1=1，a n+1=，可得：，因此{}是等差数列，首项为：1，公差为：，因此=1+（n﹣1）=，C n==（n+1）•2n﹣1．令T n=C1+C2+…+C n=2×21﹣1+3×22﹣1+4×23﹣1+…+（n+1）•2n﹣1，…①，2T n=2×22﹣1+3×23﹣1+4×24﹣1+…+n•2n﹣1+（n+1）•2n，…②，①﹣②可得：﹣T n=2+21+22+23+…+2n﹣1﹣（n+1）•2n=2+﹣（n+1）•2n=﹣n•2n．T n=n•2n．故答案为：n•2n．16．（5分）已知概念在R上的函数f（x）知足：①f（1+x）=f（1﹣x），②在[1，+∞）上为增函数；假设x∈[]时，f（ax）＜f（x﹣1）成立，那么实数a的取值范围为（0，2）．【解答】解：∵f（1+x）=f（1﹣x），∴f（x）的函数图象关于直线x=1对称，∵f（x）在[1，+∞）上为增函数，∴f（x）在（﹣∞，1）上为减函数，∵当x∈[]时，f（ax）＜f（x﹣1）成立，∴|ax﹣1|＜|1﹣（x﹣1）|在[，1]上恒成立，即x﹣2＜ax﹣1＜2﹣x在[，1]上恒成立，∴1﹣＜a＜﹣1在[，1]上恒成立．设m（x）=1﹣，n（x）=﹣1，x∈[，1]，m（x）的最大值为m（1）=0，n（x）的最小值为n（1）=2．∴0＜a＜2．故答案为：（0，2）．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤.）17．（12分）已知=（2sinωx，sinωx+cosωx），=（cosωx，（sinωx﹣cosωx）），0＜ω＜1函数f（x）=，直线x=是函数f（x）图象的一条对称轴．（I）求函数f（x）的解析式及单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，已知f（A）=0，c=3，a=，求b边长【解答】解：（Ⅰ）已知=（2sinωx，sinωx+cosωx），=（cosωx，（sinωx﹣cosωx）），0＜ω＜1函数f（x）==sin2ωx﹣cos2ωx=2sin（2ω﹣），由于直线x=是函数f（x）图象的一条对称轴．因此f（）=±2，因此•ω﹣=k，（k∈Z），因此．由于0＜ω＜1，因此：当k=0时，ω=因此f（x）=2sin（x﹣）．令：（k∈Z），解得：（k∈Z），因此函数的单调递增区间为[]（k∈Z），（Ⅱ）由于f（A）=，因此A﹣=kπ，解得A=k，由于A∈（0，π），那么A=．在△ABC中，由余弦定理：，因此：，即b2﹣3b﹣4=0，解得b=4或﹣1（舍去）．故：b=4．18．（12分）哈师大附中高三学年统计甲、乙两个班级一模数学分数，每一个班级20名同窗，现有甲、乙两班本次考试数学分数如以下茎叶图所示：（I）依照茎叶图求甲、乙两班同窗数学分数的中位数，并将乙班同窗的分数的频率散布直方图填充完整；（Ⅱ）依照茎叶图比较在一模考试中，甲、乙两班同窗数学分数的平均水平和分数的分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）（Ⅲ）假设规定分数在[100，120）的成绩为良好，分数在[120，150）的成绩为优秀，现从甲、乙两班成绩为优秀的同窗中，依照各班成绩为优秀的同窗人数占两班总的优秀人数的比例分层抽样，共选出12位同窗参加数学提优培训，求这12位同窗中恰含甲、乙两班所有140分以上的同窗的概率．【解答】解：（1）依照茎叶图得：甲班数学分数的中位数：=118，乙班数学分数的中位数：=128．（2）乙班学生数学考试分数的平均水平高于甲班学生数学考试分数的平均水平；甲班学生数学考试分数的分散程度高于乙班学生数学考试分数的分散程度．（3）有频率散布直方图可知：甲、乙两班数学成绩为优秀的人数别离为10、14，假设从中分层抽样选出12人，那么应从甲、乙两班各选出5人、7人，设“选出的12人中恰含有甲、乙两班的所有140分以上的同窗”为事件A那么P（A）=×=，因此选出的12人中恰含有甲、乙两班的所有140分以上的同窗的概率为．19．（12分）已知等腰直角△S′AB，S′A=AB=4，S′A⊥AB，C，D别离为S′B，S′A的中点，将△S′CD 沿CD折到△SCD的位置，SA=2，取线段SB的中点为E．（I）求证：CE∥平面SAD；（Ⅱ）求二面角A﹣EC﹣B的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：取SA中点F，连接DF，EF，∵SE=EB，SF=FA，∴EF∥AB，EF=，又∵CD∥AB，CD=，∴CD=EF，CD∥EF，∴四边形CDEF为平行四边形，那么CE∥FD．∵CE⊄平面SAD，FD⊂平面SAD，∴CE∥平面SAD；（Ⅱ）解：∵面SCD⊥面ABCD，面SCD∩面ABCD=CD，SD⊥CD，SD⊂面SCD，∴SD⊥面ABCD，∵AD，CD⊂面ABCD，∴SD⊥AD，SD⊥CD．又∵AD⊥DC，∴DA，DC，DS两两相互垂直，如下图，别离以DA，DC，DS为x，y，z轴成立空间直角坐标系D﹣xyz．那么A（2，0，0），C（0，2，0），S（0，0，2），B（2，4，0），E（1，2，1），，，，设平面ECA，平面ECB的法向量别离为，，则，取y1=1，可得；，取y2=﹣1，得．∴cos＜＞=．∴二面角A﹣EC﹣B的平面角的余弦值为﹣．20．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的右核心为F（c，0），点P为椭圆C上的动点，假设|PF|的最大值和最小值别离为2和2．（I）求椭圆C的方程（Ⅱ）设只是原点的直线l与椭圆C交于P，Q两点，假设直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的最大值【解答】解：（I）由已知得：，解得a=2，c=，∴b2=4﹣3=1椭圆方程为+y2=1（Ⅱ）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为y=kx+m（m≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2），由，消去y得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0，则△=64k2m2﹣16（1+4k2）（m2﹣1）=16（4k2﹣m2+1）＞0，即4k2﹣m2+1＞0，且x1+x2=，x1x2=，故y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2．∵直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，∴•==k2，即+m2=0，又m≠0，因此k2=，即k=±．由△＞0，及直线OP，OQ的斜率存在，得0＜m2＜2，∵|PQ|=•=，点O到直线的距离d==S△OPQ=|PQ|•d==≤1，当m2=1时取等号，的最大值为1．现在直线l的方程为y=±x±1时，S△OPQ21．（12分）已知函数f（x）=（1﹣ax）e x+b在点（1，f（1））处的切线方程是y=﹣ex+e﹣1．（1）求a，b的值及函数f（x）的最大值；（2）假设实数x，y知足xe y=e x﹣1（x＞0）．（i）证明：0＜y＜x；（ii）假设x＞2，证明：y＞1．【解答】（1）由点（1，f（1））在切线上可知，f（1）=﹣e+e﹣1=﹣1，即切点为（1，﹣1）又f'（x）=﹣ae x+（1﹣ax）e x=e x（1﹣ax﹣a），由题可知f'（1）=﹣e，那么f'（1）=e1（1﹣2a）=﹣e，那么1﹣2a=﹣1，解得a=1，即f（x）=（1﹣x）e x+b，又由f（1）=﹣1，可得b=﹣1，故a=1，b=﹣1；即f（x）=（1﹣x）e x﹣1；由上知f'（x）=e x（1﹣x﹣1）=﹣xe x，当x＜0时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，x＞0时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，故．（2）由实数x，y知足xe y=e x﹣1（x＞0）可得，，即，（i）先证y＜x，，由（1）知f（x）=（1﹣x）e x﹣1＜0=f（x）max，那么有，即证得y＜x；再证明y＞0，令g（x）=e x﹣x﹣1（x＞0），那么g'（x）=e x﹣1＞0（x＞0），故函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，故g（x）＞g（0）=0，故在（0，+∞）上恒有e x＞x+1，即，则，即y＞0，综上，0＜y＜x，证毕．（ii）由（1）可知，，令，那么，又由上可知，x＞0时，恒有（1﹣x）e x﹣1＜0，那么xe x﹣e x+1＞0恒成立，故恒成立，即h（x）在（0，+∞）上单调递增，那么有，又因为故h（2）＞e，那么h（x）＞e，即x＞2时，h（x）＞e，即e y＞e，即y＞1，故x＞2时，y＞1；请考生在2二、23两题中任选一题作答，若是多做，那么按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，以原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度成立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为：ρ=2cosθ．（I）假设曲线C2，参数方程为：（α为参数），求曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的一般方程（Ⅱ）假设曲线C2，参数方程为（t为参数），A（0，1），且曲线C1，与曲线C2交点别离为P，Q，求的取值范围，【解答】解：（I）∵曲线C 的极坐标方程为：ρ=2cosθ．∴ρ2=2ρcosθ，x2+y2=2x．曲线C2，参数方程为：（α为参数），∴曲线C2的一般方程：x2+（y﹣1）2=t2．（II）将C2的参数方程：（α为参数），代入C1的方程得：t2+（2sinα﹣2cosα）t+1=0，∵△=（2sinα﹣2cosα）2﹣4=8﹣4＞0，∴||∈，∴∈∪，∴t1+t2=﹣（2sinα﹣2cosα），t1t2=1，∴t1与t2同号，∴|t1|+|t2|=|t1+t2|，由的几何意义可得：=+===2||∈（2，2]，∴∈（2，2]．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x+b|+|2x﹣b|．（I）假设b=1．解不等式f（x）＞4．（Ⅱ）假设不等式f（a）＞|b+1|对任意的实数a恒成立，求b的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=|2x+b|+|2x﹣b|，b=1时，不等式f（x）＞4为|2x+b|+|2x﹣b|＞4，它等价于或或，解得x＞1或x＜﹣1或x∈∅；∴不等式f（x）＞4的解集为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．（Ⅱ）f（a）=|2a+b|+|2a﹣b|=|2a+b|+|b﹣2a|≥|（2a+b）+（b﹣2a）|=|2b|，当且仅当（2a+b）（b﹣2a）≥0时f（a）取得最小值为|2b|；令|2b|＞|b+1|，得（2b）2＞（b+1）2，解得b＜﹣或b＞1，∴b的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）．。

2018年高三最新 东北三校高三数学第二次联合考试试题 精品

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东北三校高三数学第二次联合考试哈师大附中 东北师大附中 辽宁省实验中学说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分.考试时间120分钟. 参考公式：sin α+sin β=2sin2cos2βαβα-+sin α-sin β=2cos 2sin 2βαβα-+ cos α+cos β=2cos 2cos 2βαβα-+ cos α－cos β=-2sin 2sin 2βαβα-+ 第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下面四个函数中，不存在反函数的函数的是 A.ｙ=-x 4 B.ｙ=x 4 C.ｙ=3xD.ｙ=x 21log 2.设α、β为钝角且sin α=55,cos β=-10103,则α+β的值为A.π43B. π45 C. π47D. π45或π47 3.对于直线a 、b 和平面α、β，a ∥b 的一个充分条件是A.a ∥α,b ∥αB.a ∥α,b ∥β,α∥βC.a ⊥α,b ⊥β,α∥βD.α⊥β,a ⊥α,b ∥β 4.函数f (x )=ctg wx (w ＞0)图象的相邻两支截ｙ=8π所得线段长为4π.则f (8π)的值是 A.0 B.-1 C.1 D. 4π5.今有一组实验数据如下t 1.993 3.018 4.001 5.182 6.121S 1.501 4.413 7.498 12.18 17.93现准备下列函数中的一个近似地表示数据满足的规律，其中接近的一个是 A.S -1=2t -3B.S =t 2log 23C.2S =t 2-1 D.S =-2t -2 6.已知A （0，0），B （a ，b ），P 1是AB 中点，P 2是BP 1中点，P 3是P 1P 2中点，…，P n +2是P n P n +1 中点，则P n 点的极限位置A.)2,2(b aB.)3,3(b aC.)32,32(b aD.)43,43(b a 7.函数f (x )=x 2+x 1 (x ≤-21)的值域是 A.]47,(--∞ B. ]223,(3--∞ C.),47[+∞- D. ),223[3+∞-8.已知|a |≠|b |,m =ba b a n ba b a ++=--,,则m 、n 之间的关系是A.m ＞nB.m ＜nC.m =nD.m ≤n9.如图在正三棱锥A —BCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，EF ⊥DE ,且BC =1，则正三棱锥A —BCD 的体积是 A.122 B. 242 C.123 D. 24310.在平面直角坐标系中，x 轴正半轴上有5个点，ｙ轴正半轴有3个点，将x 轴上这5个点和ｙ轴上这3个点连成15条线段，这15条线段在第一象限内的交点最多有 A.30个 B.35个 C.20个 D.15个 11.若直线ｙ=kx +1与曲线x =12+y 有两个不同的交点，则k 的取值范围是A.-22kB.-2＜k ＜-1C.1＜k ＜2D.k ＜2或k ＞212.某厂有一批长为2.5 m 的条形钢材，要截成60 cm 长的A 型和43 cm 长的B 型的两种规格的零件毛坯，则下列哪种方案最佳（所剩材料最少）A.A 型4个B.A 型2个，B 型3个C.A 型1个，B 型4个D.B 型5个第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上）13.椭圆12222=+by a x (a ＞b ＞0)的离心率为21，F 为左焦点，A 为左顶点，B 为上顶点，C 为下顶点，直线CF 与AB 交于D ，则tg BDC =__________.14.已知（x +1）6·(ax -1)2的展开式中，x 3的系数是56，则实数a 的值为______________.15.（理）已知直线l 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧--=+=1222t y t x (t 为参数)，若以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点P 的极坐标为（-2，π），则点P 到直线l 的距离为______________.（文）函数ｙ=sin x -|sin x |的最小值为______________. 16.在△ABC 中A ＞B ，下列不等式中正确的是①sin A ＞sin B ;②cos A ＜cos B ;③sin2A ＞sin2B ;④cos2A ＜cos2B 其中正确的序号为______________.三、解答题（本大题共6个小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分）已知集合A ={x |62)21(--x x ＜1},B ={x |l og 4(x +a )＜1},若A ∩B =∅，求实数a 的取值范围.18.（本小题满分12分）已知复数z 满足(z +1)(z +1)=|z 2|,且11+-z z 是纯虚数; (Ⅰ)求z ; (Ⅱ)求arg z .19.（本小题满分12分）在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，侧棱PA 垂直于底面，E 、F 分别是AB 、PC 的中点， （Ⅰ）求证：CD ⊥PD ；（Ⅱ）求证：EF ∥平面PAD ；（Ⅲ）当平面PCD 与平面ABCD 成多大角时，直线EF ⊥平面PCD .20.（本小题满分13分）已知抛物线C ：ｙ=-21x 2+6,点P （2，4），A 、B 在抛物线上，且直线PA 、PB 的倾斜角互补；（Ⅰ）证明：直线AB 的斜率为定值；（Ⅱ）当直线AB 在ｙ轴上的截距为正数时，求△PAB 的面积S 的最大值及此时直线AB 的方程.21.（本小题满分12分）（理）在东西方向直线延伸的湖岸上有一港口A ，一艘机艇以40 km/h 的速度从A 港出发，30分钟后因故障而停在湖里，已知机艇出发后，先按直线前进，以后又改成正北，但不知 最初的方向和何时改变的方向，如果去营救，用图示表示营救区域（提示：满足不等式ｙ≥ax +b 的点（x ,ｙ）不在ｙ=ax +b 的下方）.（文）国贸城有一个个体户，2001年一月初向银行贷款10万元作开店资金，每月底．获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底所缴的房租和所得税为该月所得金额（含利润）的10%，每月生活费和其他开支为3000元，余款作为资金全部投入再营业，如此继续，问到2001年年底．，这一个体户有现款多少元？（1.1812≈2.5） 22.（本小题满分13分）（理）若{a n }是正项递增的等差数列，n ∈N ,k ≥2,k ∈N ,求证：（Ⅰ）kk k k a a a a 112+++; (Ⅱ)k nk nk nk k k k k k k kk k n a aa a a a a a a a a a 2212132312221211)1(++++++++++++⋅⋅⋅⋅; （文）已知等比数列{x n }的各项为不等于1的正数，数列{ｙn }满足ｙn ·l og xn a =2(a ＞0且a ≠1)，设ｙ3=18,ｙ6=12.(Ⅰ)求数列{ｙn }的前多少项和最大，最大值为多少？（Ⅱ）试判断是否存在自然数M ，使当n ＞M 时，x n ＞1恒成立？若存在，求出相应的M ，若不存在，请说明理由；（Ⅲ）令a n =l og xn x n +1(n ＞13,n ∈N ),试判断数列{a n }的增减性？。

东北三省三校2018届高三第三次联合模拟考试数学(文)试卷(含答案)

东北三省三校2018届高三第三次联合模拟考试数学(文)试卷(含答案)

即 sin Acos B sin2 B sin Acos B cos Asin B
即 sin2 B cos Asin B ， B (0， )sin B 0
sin B cos A sin B 0,cos A 0cos A 6 3
sin B 6 3
（Ⅱ）
f
(
)

2Leabharlann 2aa3
6
3

a
2R, 2R 3 3 ，sin A
3
,
sin A
3
a cos B b sin B c ，sin Acos B sin2 B sin C , 又 A B C
sin Acos B sin2 B sin( A B)
x t cos (Ⅱ)若曲线 C2 ，参数方程为 y 1 t sin
( t 为参数)， A0,1,且曲线 C1 ,与曲线 C2 交点
分别为 P.Q ,求 1 1 的取值范围， AP AQ
23.选修 4-5：不等式选讲
已知函数 f x 2x b 2x b . (I)若 b 1.解不等式 f x 4 (Ⅱ)若不等式 f a b 1 对任意的实数 a 恒成立，求 b 的取值范围
(Ⅱ) ABC 的外接圆直径为 3 3 ,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c .
若
f

6


2 3
a
.且 acosB

bsinB

c
,求
sinB
的值
18.哈师大附中高三学年统计甲、乙两个班级一模数学分数(满分 150 分),每个班级 20 名同学,现 有甲、乙两位同学的 20 次成绩如下列茎叶图所示:

2018年东北三省三校(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)高考数学三模试卷(文科)

2018年东北三省三校(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)高考数学三模试卷(文科)

2018年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学三模试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）集合A={1，2，4}，B={x∈R|x2＞2}，则A∩B=（）A．{1}B．{4}C．{2，4}D．{1，2，4} 2．（5分）已知i为虚数单位，（|2i|+3i）i=（）A．﹣3+2i B．3+2i C．3﹣2i D．﹣3﹣2i 3．（5分）已知等差数列{a n}，a2=2，a3+a5+a7=15，则数列{a n}的公差d=（）A．0B．1C．﹣1D．24．（5分）与椭圆C：共焦点且渐近线方程为y=的双曲线的标准方程为（）A．x2B．C．y2D．5．（5分）已知互不相等的直线l，m，n和平面α，β，γ，则下列命题正确的是（）A．若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；B．若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；C．若α∩β=l，β∩γ=m，α∩γ=n，l∥γ，则m∥n；D．若α⊥β，β⊥γ，则α∥β．6．（5分）执行如图所示的程序框图，若p=0.9，则输出的n为（）A．6B．5C．4D．37．（5分）已知某几何体是一个平面将一正方体截去一部分后所得，该几何体三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．20B．18C．18D．20+8．（5分）设点（x，y）满足约束条件，且x∈Z，y∈Z，则这样的点共有（）个A．12B．11C．10D．99．（5分）动直线l：x+my+2m﹣2=0（m∈R）与圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4=0交于点A，B，则弦AB的最短为（）A．2B．2C．6D．410．（5分）分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科．其中，把部分与整体以某种方式相似的形体称为分形．分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程，标准的自相似分形是数学上的抽象，迭代生成无限精细的结构，也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已．谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形，是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的，按照如下规律依次在一个黑色三角形内去掉小三角形，则当n=6时，该黑色三角形内共去掉（）个小三角形．A．81B．121C．364D．109311．（5分）在正三角形ABC中，D是AC上的动点，且AB=3，则的最小值为（）A．9B．C．D．12．（5分）若函数f（x）=2x+sinx•cosx+acosx在（﹣∞，+∞）单调递增，则a 的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣1，3]C．[﹣3，3]D．[﹣3，﹣1]二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）函数f（x）=a x﹣2015+2017（a＞0且a≠1）所过的定点坐标为．14．（5分）在区间[2，a]上随机取一个数x，若x≥4的概率是，则实数a的值为．15．（5分）当前的计算机系统多数使用的是二进制系统，数据在计算机中主要以补码的形式存储，计算机中的二进制则是一个非常微小的开关，用“开”来．表示1，“关”来表示0．则将十进制下的数168转成二进制的数是（2）16．（5分）已知函数f（x）为定义域为R的偶函数，且满足f（+x）=f（﹣x），当x∈[﹣1，0]时f（x）=﹣x．若函数F（x）=f（x）+在区间[﹣9，10]上的所有零点之和为．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，第22、23题为选考题）17．（12分）已知函数f（x）=4sinxcosx+sin2x﹣3cos2x+1．（Ⅰ）求函数f（x）的对称中心及最小正周期；（Ⅱ）△ABC的外接圆直径为3，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f （）=，且acosB+bsinB=c，求sinB的值．18．（12分）哈师大附中高三学年统计学生的最近20次数学周测成绩（满分150分），现有甲乙两位同学的20次成绩如茎叶图所示；（Ⅰ）根据茎叶图求甲乙两位同学成绩的中位数，并将同学乙的成绩的频率分布直方图填充完整；（Ⅱ）根据茎叶图比较甲乙两位同学数学成绩的平均值及稳定程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（Ⅲ）现从甲乙两位同学的不低于140分的成绩中任意选出2个成绩，记事件A 为“其中2个成绩分别属于不同的同学”，求事件A发生的概率．19．（12分）已知△ABC中，AB⊥BC，BC=2，AB=4，分别取边AB，AC的中点D，E，将△ADE沿DE折起到△AD1E的位置，使A1D⊥BD，设点M为棱A1D的中点，点P为A1B的中点，棱BC上的点N满足BN=3NC．（Ⅰ）求证：MN∥平面A1EC；（Ⅱ）求三棱锥N﹣PCE的体积．20．（12分）已知抛物线C：x2=8y与直线l：y=kx+1交于A，B不同两点，分别过点A、点B作抛物线C的切线，所得的两条切线相交于点P．（Ⅰ）求证为定值；（Ⅱ）求△ABP的面积的最小值及此时的直线l的方程．21．（12分）已知函数f（x）=axe x（a∈R），g（x）=lnx+kx+1（k∈R）．（Ⅰ）若k=﹣1，求函数g（x）的单调区间；（Ⅱ）若k=1时有f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，以原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为：ρ=2cosθ．（I）若曲线C2，参数方程为：（α为参数），求曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程（Ⅱ）若曲线C2，参数方程为（t为参数），A（0，1），且曲线C1，与曲线C2交点分别为P，Q，求的取值范围，[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x+b|+|2x﹣b|．（I）若b=1．解不等式f（x）＞4．（Ⅱ）若不等式f（a）＞|b+1|对任意的实数a恒成立，求b的取值范围．2018年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）集合A={1，2，4}，B={x∈R|x2＞2}，则A∩B=（）A．{1}B．{4}C．{2，4}D．{1，2，4}【解答】解：∵集合A={1，2，4}，B={x∈R|x2＞2}={x|x＜﹣或x＞}，∴A∩B={2，4}．故选：C．2．（5分）已知i为虚数单位，（|2i|+3i）i=（）A．﹣3+2i B．3+2i C．3﹣2i D．﹣3﹣2i【解答】解：（|2i|+3i）i=（2+3i）i=﹣3+2i．故选：A．3．（5分）已知等差数列{a n}，a2=2，a3+a5+a7=15，则数列{a n}的公差d=（）A．0B．1C．﹣1D．2【解答】解：在等差数列{a n}中，由a3+a5+a7=15，即3a5=15，得a5=5．又a2=2，∴．故选：B．4．（5分）与椭圆C：共焦点且渐近线方程为y=的双曲线的标准方程为（）A．x2B．C．y2D．【解答】解：根据题意，椭圆C：的焦点为（0，±2），则要求双曲线的焦点在y轴上，且c=2，设其方程为﹣=1，则有a2+b2=4，又由双曲线的渐近线为y=，则有=，解可得a2=3，b2=1，则双曲线的标准方程为：﹣x2=1；故选：D．5．（5分）已知互不相等的直线l，m，n和平面α，β，γ，则下列命题正确的是（）A．若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；B．若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；C．若α∩β=l，β∩γ=m，α∩γ=n，l∥γ，则m∥n；D．若α⊥β，β⊥γ，则α∥β．【解答】解：在A中，若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α与β相交或平行，故A错误；在B中，若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l与m平行或异面，故B错误；在C中，若α∩β=l，β∩γ=m，α∩γ=n，l∥γ，则由线面平行的性质定理得m∥n，故C正确；在D中，若α⊥β，β⊥γ，则α与β相交或平行，故D错误．故选：C．6．（5分）执行如图所示的程序框图，若p=0.9，则输出的n为（）A．6B．5C．4D．3【解答】解：执行如图所示的程序框图，有P=0.9，n=1，S=0，满足条件S＜P，有S=，n=2；满足条件S＜P，有S=+，n=3；满足条件S＜P，有S=++，n=4；满足条件S＜P，有S=+++=，n=5；不满足条件S＜P，退出循环，输出n的值为5．故选：B．7．（5分）已知某几何体是一个平面将一正方体截去一部分后所得，该几何体三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．20B．18C．18D．20+【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为边长是2的正方体截去三棱锥F﹣BGE，则该几何体的表面积为=18+．故选：B．8．（5分）设点（x，y）满足约束条件，且x∈Z，y∈Z，则这样的点共有（）个A．12B．11C．10D．9【解答】解：点（x，y）满足约束条件的可行域如图：的三角形ABC区域，可知x∈Z，y∈Z，则这样的点共有12个．故选：A．9．（5分）动直线l：x+my+2m﹣2=0（m∈R）与圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4=0交于点A，B，则弦AB的最短为（）A．2B．2C．6D．4【解答】解：∵动直线l：x+my+2m﹣2=0（m∈R），∴（x﹣2）+（y+2）m=0，∴动直线l：x+my+2m﹣2=0（m∈R）过定点M（2，﹣2），∵圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4=0的圆心C（1，﹣2），半径r==3，d=|MC|==1，∵圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4=0交于点A，B，∴弦AB的最短距离为：2=2=4．故选：D．10．（5分）分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科．其中，把部分与整体以某种方式相似的形体称为分形．分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程，标准的自相似分形是数学上的抽象，迭代生成无限精细的结构，也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已．谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形，是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的，按照如下规律依次在一个黑色三角形内去掉小三角形，则当n=6时，该黑色三角形内共去掉（）个小三角形．A．81B．121C．364D．1093【解答】解：当n=1时，去掉1个白三角形，a1=1，当n=2时，去掉4个白三角形，a2=4，则a2﹣a1=3=31=32﹣1，当n=3时，去掉13个白三角形，a3=13，则a3﹣a2=9=32=33﹣1，当n=4时，去掉40个白三角形，a4=40，则a4﹣a3=27=33=34﹣1，当n=5时，去掉121个白三角形，a5=121，则a5﹣a4=81=34=35﹣1，由归纳法得当n=6时，去掉364个白三角形，a6=364=35=36﹣1．故选：C．11．（5分）在正三角形ABC中，D是AC上的动点，且AB=3，则的最小值为（）A．9B．C．D．【解答】解：根据题意，正三角形ABC中，AB=3，则AB=BC=3，D是AC上的动点，设=m+n，同时有m+n=1，且m＞0，n＞0，=（m+n）•=m2+n•=9m+，又由m+n=1，且m＞0，n＞0，则=9m+=9（1﹣n）+=9﹣，分析可得：当n=1时，取得最小值；故选：D．12．（5分）若函数f（x）=2x+sinx•cosx+acosx在（﹣∞，+∞）单调递增，则a 的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣1，3]C．[﹣3，3]D．[﹣3，﹣1]【解答】解：函数f（x）=2x+sinx•cosx+acosx，f′（x）=3﹣2sin2x﹣asinx，由题意可得f′（x）≥0恒成立，即为3﹣2sin2x﹣asinx≥0，设t=sinx（﹣1≤t≤1），即有2t2+at﹣3≤0，当t=0时，不等式显然成立；当0＜t≤1时，a≤﹣2t，由y=﹣2t在（0，1]递减，可得t=1时，取得最小值1，可得a≤1；当﹣1≤t＜0时，a≥﹣2t，由y=﹣2t在[﹣1，0）递减，可得t=﹣1时，取得最大值﹣1，可得a≥﹣1综上可得a的范围是[﹣1，1]，故选：A．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）函数f（x）=a x﹣2015+2017（a＞0且a≠1）所过的定点坐标为（2015，2018）．【解答】解：由题意，根据指数函数的性质，令x﹣2015=0，可得x=2015，带入求解y=2018，∴函数f（x）过的定点坐标为（2015，2018）故答案为：（2015，2018）．14．（5分）在区间[2，a]上随机取一个数x，若x≥4的概率是，则实数a的值为8．【解答】解：由题意得：=，解得：a=8，故答案为：8．15．（5分）当前的计算机系统多数使用的是二进制系统，数据在计算机中主要以补码的形式存储，计算机中的二进制则是一个非常微小的开关，用“开”来表示1，“关”来表示0．则将十进制下的数168转成二进制的数是（2）．【解答】解：168÷2=84 084÷2=42 042÷2=21...0 21÷2=10 (1)10÷2=5 05÷2=2 (1)2÷2=1…0 1÷2=0…1；∴168（10）=（2）．故答案为：（2）． 16．（5分）已知函数f （x ）为定义域为R 的偶函数，且满足f （+x ）=f （﹣x ），当x ∈[﹣1，0]时f （x ）=﹣x ．若函数F （x ）=f （x ）+在区间[﹣9，10]上的所有零点之和为 5 ．【解答】解：∵f （x ）是偶函数，∴f （）=f （﹣x ）=f （x ﹣）， ∴f （x ）的周期为T=2，作出f （x ）的函数图象如图所示：由图象可知f （x ）的图象关于点（，）对称．令F （x ）=0可得f （x ）==+， 令g （x ）=，显然g （x ）的函数图象关于点（，）对称．作出g （x ）在（，10]上的函数图象如图所示：由图象可知f （x ）与g （x ）在（，10]上有5个交点，根据对称性可知在[﹣9，]上也有5个交点，∴F （x ）在[﹣9，10]上的所有零点之和为5×1=5．故答案为：5．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，第22、23题为选考题）17．（12分）已知函数f（x）=4sinxcosx+sin2x﹣3cos2x+1．（Ⅰ）求函数f（x）的对称中心及最小正周期；（Ⅱ）△ABC的外接圆直径为3，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f （）=，且acosB+bsinB=c，求sinB的值．【解答】（本小题满分12分）解：（I）函数f（x）=4sinxcosx+sin2x﹣3cos2x+1=sin2x+cos2x﹣3（cos2x）+1=2sin2x﹣2cos2x=4sin（2x﹣）令2x﹣=kπ，k∈Z．可得：x=∴对称中心（，0）（k∈Z），最小正周期T=．（Ⅱ）由f（）=，即4sin（﹣）=可得：a=3．由正弦定理：，∴sinA=由：acosB+bsinB=c，可得sinAcosB+sinBsinB=sinC．∵A+B+C=π∴sinAcosB+sinBsinB=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB．即sinBsinB=cosAsinB．∵0＜B＜π，sinB≠0．那么：sinB=cosA＞0．∴sinB=cosA==．18．（12分）哈师大附中高三学年统计学生的最近20次数学周测成绩（满分150分），现有甲乙两位同学的20次成绩如茎叶图所示；（Ⅰ）根据茎叶图求甲乙两位同学成绩的中位数，并将同学乙的成绩的频率分布直方图填充完整；（Ⅱ）根据茎叶图比较甲乙两位同学数学成绩的平均值及稳定程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（Ⅲ）现从甲乙两位同学的不低于140分的成绩中任意选出2个成绩，记事件A 为“其中2个成绩分别属于不同的同学”，求事件A发生的概率．【解答】解：（I）甲的成绩的中位数是119，乙的成绩的中位数是128．……（4分）（II）从茎叶图可以看出，乙的成绩的平均分比甲的成绩的平均分高，乙同学的成绩比甲同学的成绩更稳定集中．……（8分）（III）甲同学的不低于140分的成绩有2个设为a，b，乙同学的不低于140分的成绩有3个，设为c，d，e现从甲乙两位同学的不低于14（0分）的成绩中任意选出2个成绩有：（a，b），（a，c）（a，d）（a，e）（b，c）（b，d）（b，e）（c，d）（c，e）（d，e）共10种，其中2个成绩分属不同同学的情况有：（a，c）（a，d）（a，e）（b，c）（b，d）（b，e）共6种因此事件A发生的概率P（A）=．……（12分）19．（12分）已知△ABC中，AB⊥BC，BC=2，AB=4，分别取边AB，AC的中点D，E，将△ADE沿DE折起到△AD1E的位置，使A1D⊥BD，设点M为棱A1D的中点，点P为A1B的中点，棱BC上的点N满足BN=3NC．（Ⅰ）求证：MN∥平面A1EC；（Ⅱ）求三棱锥N﹣PCE的体积．【解答】（Ⅰ）证明：取A1E中点F，连接MF，CF，∵M为棱A1D的中点，∴MF∥DE且MF=，而△ABC中，D，E为边AB，AC的中点，则DE∥BC，且DE=，∴MF∥BC，MF∥NC且MF=，∴四边形MFCN为平行四边形……（4分）∴MN∥FC，……（5分）∵MN⊄平面A1EC，FC⊂平面A1EC，∴MN∥平面A1EC．……（6分）（Ⅱ）取BD中点H，连PH．∵AB⊥BC，DE∥BC，∴DE⊥DA1，DE⊥BD，∵DB⊥DA1，DE∩BD=D，∴DA1⊥面BCDE，∵PH∥A1D，∴PH⊥面BCDE，∴PH为三棱锥P﹣NCE的高．……（9分）∴PH=，S．∴V N=V P﹣NCE==……（12分）﹣PEC20．（12分）已知抛物线C：x2=8y与直线l：y=kx+1交于A，B不同两点，分别过点A、点B作抛物线C的切线，所得的两条切线相交于点P．（Ⅰ）求证为定值；（Ⅱ）求△ABP的面积的最小值及此时的直线l的方程．【解答】证明：（Ⅰ）设A，B的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），由消y得x2﹣8kx﹣8=0，方程的两个根为x1，x2，∴△=4p2k2+4p2＞0恒成立，x1+x2=8k，x1x2=﹣8，∵A，B在抛物线C上，∴y1=，y2=，∴y1y2==1，∴=x1x2+y1y2=﹣8+1=﹣7为定值．解（Ⅱ）由x2=8y即y=x2，∴y′=x，∴k AP=x1，k BP=x2，∴直线AP的方程为：y﹣=x1（x﹣x1）即y=x1x﹣x12，①同理直线BP的方程为y=x2x﹣x22，②由①②得2x（x1﹣x2）=（x1﹣x2）（x1+x2），而x1≠x2，故有x==4k，y==﹣1，即点P（4k，﹣1），∴|AB|=•=•=4•，点P（4k，﹣1）到直线l：y=kx+1的距离d=，=|AB|•d=4（2k2+1），∴S△ABP∵k2＞1，∴当k2=0时，即k=0时S△ABP有最小值为4，此时直线方程l为y=1．21．（12分）已知函数f（x）=axe x（a∈R），g（x）=lnx+kx+1（k∈R）．（Ⅰ）若k=﹣1，求函数g（x）的单调区间；（Ⅱ）若k=1时有f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）k=1时，g（x）=lnx﹣x的定义域为（0，+∞），．……（1分）令＞0，得0＜x＜1，令，得x＞1，所以g（x）在（0，1）上是增函数，（1，+∞）上是减函数．……（4分）（Ⅱ）当k=1时，f（x）≥g（x）恒成立，即axe x≥lnx+x+1恒成立．因为x＞0，所以a≥．……（5分）令h（x）=，则．……（6分）令p（x）=﹣lnx﹣x，，故p（x）在（0，+∞）上单调递减，且p（）=1﹣，p（1）=﹣1＜0，故存在x0∈（，1），使得p（x0）=﹣lnx0﹣x0=0，故lnx0+x0=0，即．当x∈（0，x0）时，p（x）＞0，h′（x）＞0；当x∈（x0，+∞）时，p（x）＜0，h′（x）＜0；∴h（x）在（0，x0）单调递增，在（x0，+∞）单调递减，……（9分）∴h（x）max=h（x0）==1，……（11分）故a的取值范围是[1，+∞）．……（12分）请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，以原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为：ρ=2cosθ．（I）若曲线C2，参数方程为：（α为参数），求曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程（Ⅱ）若曲线C2，参数方程为（t为参数），A（0，1），且曲线C1，与曲线C2交点分别为P，Q，求的取值范围，【解答】解：（I）∵曲线C 的极坐标方程为：ρ=2cosθ．∴ρ2=2ρcosθ，x2+y2=2x．曲线C2，参数方程为：（α为参数），∴曲线C2的普通方程：x2+（y﹣1）2=t2．（II）将C2的参数方程：（α为参数），代入C1的方程得：t2+（2sinα﹣2cosα）t+1=0，∵△=（2sinα﹣2cosα）2﹣4=8﹣4＞0，∴||∈，∴∈∪，∴t1+t2=﹣（2sinα﹣2cosα），t1t2=1，∴t1与t2同号，∴|t1|+|t2|=|t1+t2|，由的几何意义可得：=+===2||∈（2，2]，∴∈（2，2]．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x+b|+|2x﹣b|．（I）若b=1．解不等式f（x）＞4．（Ⅱ）若不等式f（a）＞|b+1|对任意的实数a恒成立，求b的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=|2x+b|+|2x﹣b|，b=1时，不等式f（x）＞4为|2x+b|+|2x﹣b|＞4，它等价于或或，解得x＞1或x＜﹣1或x∈∅；∴不等式f（x）＞4的解集为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．（Ⅱ）f（a）=|2a+b|+|2a﹣b|=|2a+b|+|b﹣2a|≥|（2a+b）+（b﹣2a）|=|2b|，当且仅当（2a+b）（b﹣2a）≥0时f（a）取得最小值为|2b|；令|2b|＞|b+1|，得（2b）2＞（b+1）2，解得b＜﹣或b＞1，∴b的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）．。

2018年东北三省三校(哈师大附中东北师大附中辽宁省实验中学)高考数学三模试卷(理科)

2018年东北三省三校(哈师大附中东北师大附中辽宁省实验中学)高考数学三模试卷(理科)

2018年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|≤0}，B={0，1，2，3}，则A∩B=（）A．{﹣1，0，1}B．{0，1}C．{﹣1，0}D．{0}2．（5分）已知复数z=，则复数z的模为（）A．5B．C．D．3．（5分）在2018年初的高中教师信息技术培训中，经统计，哈尔滨市高中教师的培训成绩X～N（85.9），若已知P（80＜X≤85）=0.35，则从哈市高中教师中任选位教师，他的培训成绩大于90分的概率为（）A．0.85B．0.65C．0.35D．0.154．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，S10=3S5，则a6=（）A．2B．C．4D．15．（5分）已知cos（）=，则sin2α=（）A．B．C．D．6．（5分）非零向量，满足；||=||，，则与夹角的大小为（）A．135°B．120°C．60°D．45°7．（5分）如图是某几何体的视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．8．（5分）已知实数a，b满足0≤a≤1，0≤b≤1，则函数f（x）=x3﹣ax2+bx+1存在极值的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）执行下面的程序框图，若输入S，a的值分别为1，2，输出的n值为4，则m的取值范围为（）A．3＜m≤7B．7＜m≤15C．15＜m≤31D．31＜m≤63 10．（5分）已知点F1，F2分别是双曲线C：（a＞0，b＞0），的左、右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C的右支上|F1F2|=2|OP|，△PF1F2的面积为4，且该双曲线的两条渐近线互相垂直，则双曲线C的方程为（）A．B．C．=1D．11．（5分）棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱AD中点，过点B1，且与平面A1BE平行的正方体的截面面积为（）A．5B．2C．2D．612．（5分）已知函数f（x）=，函数y=f（x）﹣a有四个不同的零点，从小到大依次为x1，x2，x3，x4，则x1x2+x3x4的取值范围为（）A．[4，5）B．（4，5]C．[4，+∞）D．（﹣∞，4]二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）过抛物线C：x2=4y的焦点F的直线与抛物线C交于A、B两点，若弦AB中点到x轴的距离为5，则|AB|=．14．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最小值为．15．（5分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=，记C n=，则数列{C n}的前n项和C1+C2+…+C n=．16．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足：①f（1+x）=f（1﹣x），②在[1，+∞）上为增函数；若x∈[]时，f（ax）＜f（x﹣1）成立，则实数a的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知=（2sinωx，sinωx+cosωx），=（cosωx，（sinωx﹣cosωx）），0＜ω＜1函数f（x）=，直线x=是函数f（x）图象的一条对称轴．（I）求函数f（x）的解析式及单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，已知f（A）=0，c=3，a=，求b边长18．（12分）哈师大附中高三学年统计甲、乙两个班级一模数学分数，每个班级20名同学，现有甲、乙两班本次考试数学分数如下列茎叶图所示：（I）根据茎叶图求甲、乙两班同学数学分数的中位数，并将乙班同学的分数的频率分布直方图填充完整；（Ⅱ）根据茎叶图比较在一模考试中，甲、乙两班同学数学分数的平均水平和分数的分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）（Ⅲ）若规定分数在[100，120）的成绩为良好，分数在[120，150）的成绩为优秀，现从甲、乙两班成绩为优秀的同学中，按照各班成绩为优秀的同学人数占两班总的优秀人数的比例分层抽样，共选出12位同学参加数学提优培训，求这12位同学中恰含甲、乙两班所有140分以上的同学的概率．19．（12分）已知等腰直角△S′AB，S′A=AB=4，S′A⊥AB，C，D分别为S′B，S′A 的中点，将△S′CD沿CD折到△SCD的位置，SA=2，取线段SB的中点为E．（I）求证：CE∥平面SAD；（Ⅱ）求二面角A﹣EC﹣B的余弦值．20．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0），点P为椭圆C上的动点，若|PF|的最大值和最小值分别为2和2．（I）求椭圆C的方程（Ⅱ）设不过原点的直线l与椭圆C交于P，Q两点，若直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的最大值21．（12分）已知函数f（x）=（1﹣ax）e x+b在点（1，f（1））处的切线方程是y=﹣ex+e﹣1．（1）求a，b的值及函数f（x）的最大值；（2）若实数x，y满足xe y=e x﹣1（x＞0）．（i）证明：0＜y＜x；（ii）若x＞2，证明：y＞1．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，以原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为：ρ=2cosθ．（I）若曲线C2，参数方程为：（α为参数），求曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程（Ⅱ）若曲线C2，参数方程为（t为参数），A（0，1），且曲线C1，与曲线C2交点分别为P，Q，求的取值范围，[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x+b|+|2x﹣b|．（I）若b=1．解不等式f（x）＞4．（Ⅱ）若不等式f（a）＞|b+1|对任意的实数a恒成立，求b的取值范围．2018年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|≤0}，B={0，1，2，3}，则A∩B=（）A．{﹣1，0，1}B．{0，1}C．{﹣1，0}D．{0}【解答】解：∵集合A={x|≤0}={x|﹣1≤x＜1}，B={0，1，2，3}，∴A∩B={0}．故选：D．2．（5分）已知复数z=，则复数z的模为（）A．5B．C．D．【解答】解：∵z==，∴|z|=||==．故选：B．3．（5分）在2018年初的高中教师信息技术培训中，经统计，哈尔滨市高中教师的培训成绩X～N（85.9），若已知P（80＜X≤85）=0.35，则从哈市高中教师中任选位教师，他的培训成绩大于90分的概率为（）A．0.85B．0.65C．0.35D．0.15【解答】解：∵学生成绩X服从正态分布N（85，9），∴其图象关于直线x=85对称，∵P（80＜X≤85）=0.35，∴P（85＜X≤90）=P（80＜X≤85）=0.35，∴P（X＞90）=0.5﹣P（85＜X≤90）=0.5﹣0.35=0.15．故选：D．4．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，S10=3S5，则a6=（）A．2B．C．4D．1【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q≠1，∵a1=1，S10=3S5，∴=3×，可得：q5+1=3，解得q5=2．则a6=1×2=2．故选：A．5．（5分）已知cos（）=，则sin2α=（）A．B．C．D．【解答】解：∵cos（）=，即cosα+sinα=，平方可得+sinαcosα=，∴sinαcosα=，则sin2α=2sinαcosα=，故选：B．6．（5分）非零向量，满足；||=||，，则与夹角的大小为（）A．135°B．120°C．60°D．45°【解答】解：根据题意，设=，=，则﹣=﹣=，若||=||，，即||=||，且⊥，则△OAB为等腰直角三角形，则与的夹角为180°﹣45°=135°，故选：A．7．（5分）如图是某几何体的视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：根据三视图得到几何体的复原图为：所以：V=，故选：B．8．（5分）已知实数a，b满足0≤a≤1，0≤b≤1，则函数f（x）=x3﹣ax2+bx+1存在极值的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：对f（x）=x3﹣ax2+bx+1求导数可得f′（x）=3x2﹣2ax+b，由函数有极值可得△=4a2﹣12b＞0，即b＜a2，∴满足0≤a≤1，0≤b≤1的点（a，b）的区域为边长为1正方形，∴满足0≤a≤1，0≤b≤1且b＜a2的点（a，b）的区域为正方形内曲线b=a2下方的部分，由定积分可得S==a3=，而正方形的面积为1，∴所求概率为P=，故选：A．9．（5分）执行下面的程序框图，若输入S，a的值分别为1，2，输出的n值为4，则m的取值范围为（）A．3＜m≤7B．7＜m≤15C．15＜m≤31D．31＜m≤63【解答】解：根据程序框图：S=1，a=2，n=1，当1＜m时，S=1+21=3，a=2，n=2，当3＜m时，S=3+22=7，a=2，n=3，当7＜m时，S=7+23=15，a=2，n=4，输出n=4，故：7＜m≤15，故选：B．10．（5分）已知点F1，F2分别是双曲线C：（a＞0，b＞0），的左、右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C的右支上|F1F2|=2|OP|，△PF1F2的面积为4，且该双曲线的两条渐近线互相垂直，则双曲线C的方程为（）A．B．C．=1D．【解答】解：由|F1F2|=2|OP|，可得|OP|=c，即有△PF1F2为直角三角形，且PF1⊥PF2，∵△PF1F2的面积为4，∴|PF1|•|PF2|=8，∵|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2，∴（|PF1|﹣|PF2|）2=|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|•|PF2|，由双曲线定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，∴4a2=4c2﹣16，∴b2=4，∵该双曲线的两条渐近线互相垂直，∴a=b，∴双曲线C的方程为﹣=1，故选：B．11．（5分）棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱AD中点，过点B1，且与平面A1BE平行的正方体的截面面积为（）A．5B．2C．2D．6【解答】解：取BC中点F，A1D1中点G，连结DF、B1F、DB1、DG、GB1，GF，∵棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱AD中点，∴BE∥DF，A1E∥GD，又A1E∩BE=E，DG∩DF=D，A1E、BE⊂平面A1BE，DG、DF⊂平面DFB1G，∴过点B1，且与平面A1BE平行的正方体的截面为四边形DFB1G，∵DF=FB1=B1G=DG=，DB1==2，GF=2=2，∴过点B1，且与平面A1BE平行的正方体的截面面积为：===2．故选：C．12．（5分）已知函数f（x）=，函数y=f（x）﹣a有四个不同的零点，从小到大依次为x1，x2，x3，x4，则x1x2+x3x4的取值范围为（）A．[4，5）B．（4，5]C．[4，+∞）D．（﹣∞，4]【解答】解：当x＞0时，f（x）=x+﹣3≥2﹣3=1，可得f（x）在x＞2递增，在0＜x＜2处递减，由f（x）=e，x≤0，x＜﹣1时，f（x）递减；﹣1＜x＜0时，f（x）递增，可得x=﹣1处取得极小值1，作出f（x）的图象，以及直线y=a，可得e=e=x3+﹣3=x4+﹣3，即有x1+1+x2+1=0，可得x1=﹣2﹣x2，﹣1＜x2≤0，x3﹣x4=﹣=，可得x3x4=4，x1x2+x3x4=4﹣2x2﹣x22=﹣（x2+1）2+5，在﹣1＜x2≤0递减，可得所求范围为[4，5）．故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）过抛物线C：x2=4y的焦点F的直线与抛物线C交于A、B两点，若弦AB中点到x轴的距离为5，则|AB|=6．【解答】解法一：抛物线C：x2=4y的焦点F（0，1），过焦点的直线方程为y=kx+1，联立，得x2﹣4kx﹣4=0，△=16k2+16＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4k，y1+y2=k（x1+x2）+2，∵弦AB中点到x轴的距离为5，∴y1+y2=k（x1+x2）+2=4k2+2=10，解得k2=2，设直线AB的倾斜角为θ，则tan2θ=2，sin2θ=，cos2θ=，∴|AB|===12．解法二：抛物线C：x2=4y的焦点F（0，1），设A（x1，y1），B（x2，y2），∵弦AB中点到x轴的距离为5，∴y1+y2=10，∴|AB|=y1+y2+p=12．故答案为：12．14．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最小值为﹣2．【解答】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，A（﹣1，1），化目标函数z=x﹣y为y=x﹣z，由图可知，当直线y=x﹣z过点A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为﹣2．故答案为：﹣2．15．（5分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=，记C n=，则数列{C n}的前n 项和C1+C2+…+C n=n•2n．【解答】解：数列{a n}满足a1=1，a n+1=，可得：，所以{}是等差数列，首项为：1，公差为：，所以=1+（n﹣1）=，C n==（n+1）•2n﹣1．令T n=C1+C2+…+C n=2×21﹣1+3×22﹣1+4×23﹣1+…+（n+1）•2n﹣1，…①，2T n=2×22﹣1+3×23﹣1+4×24﹣1+…+n•2n﹣1+（n+1）•2n，…②，①﹣②可得：﹣T n=2+21+22+23+…+2n﹣1﹣（n+1）•2n=2+﹣（n+1）•2n=﹣n•2n．T n=n•2n．故答案为：n•2n．16．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足：①f（1+x）=f（1﹣x），②在[1，+∞）上为增函数；若x∈[]时，f（ax）＜f（x﹣1）成立，则实数a的取值范围为（0，2）．【解答】解：∵f（1+x）=f（1﹣x），∴f（x）的函数图象关于直线x=1对称，∵f（x）在[1，+∞）上为增函数，∴f（x）在（﹣∞，1）上为减函数，∵当x∈[]时，f（ax）＜f（x﹣1）成立，∴|ax﹣1|＜|1﹣（x﹣1）|在[，1]上恒成立，即x﹣2＜ax﹣1＜2﹣x在[，1]上恒成立，∴1﹣＜a＜﹣1在[，1]上恒成立．设m（x）=1﹣，n（x）=﹣1，x∈[，1]，m（x）的最大值为m（1）=0，n（x）的最小值为n（1）=2．∴0＜a＜2．故答案为：（0，2）．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知=（2sinωx，sinωx+cosωx），=（cosωx，（sinωx﹣cosωx）），0＜ω＜1函数f（x）=，直线x=是函数f（x）图象的一条对称轴．（I）求函数f（x）的解析式及单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，已知f（A）=0，c=3，a=，求b边长【解答】解：（Ⅰ）已知=（2sinωx，sinωx+cosωx），=（cosωx，（sinωx﹣cosωx）），0＜ω＜1函数f（x）==sin2ωx﹣cos2ωx=2sin（2ω﹣），由于直线x=是函数f（x）图象的一条对称轴．所以f（）=±2，所以•ω﹣=k，（k∈Z），所以．由于0＜ω＜1，所以：当k=0时，ω=所以f（x）=2sin（x﹣）．令：（k∈Z），解得：（k∈Z），所以函数的单调递增区间为[]（k∈Z），（Ⅱ）由于f（A）=，所以A﹣=kπ，解得A=k，由于A∈（0，π），则A=．在△ABC中，由余弦定理：，所以：，即b2﹣3b﹣4=0，解得b=4或﹣1（舍去）．故：b=4．18．（12分）哈师大附中高三学年统计甲、乙两个班级一模数学分数，每个班级20名同学，现有甲、乙两班本次考试数学分数如下列茎叶图所示：（I）根据茎叶图求甲、乙两班同学数学分数的中位数，并将乙班同学的分数的频率分布直方图填充完整；（Ⅱ）根据茎叶图比较在一模考试中，甲、乙两班同学数学分数的平均水平和分数的分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）（Ⅲ）若规定分数在[100，120）的成绩为良好，分数在[120，150）的成绩为优秀，现从甲、乙两班成绩为优秀的同学中，按照各班成绩为优秀的同学人数占两班总的优秀人数的比例分层抽样，共选出12位同学参加数学提优培训，求这12位同学中恰含甲、乙两班所有140分以上的同学的概率．【解答】解：（1）根据茎叶图得：甲班数学分数的中位数：=118，乙班数学分数的中位数：=128．（2）乙班学生数学考试分数的平均水平高于甲班学生数学考试分数的平均水平；甲班学生数学考试分数的分散程度高于乙班学生数学考试分数的分散程度．（3）有频率分布直方图可知：甲、乙两班数学成绩为优秀的人数分别为10、14，若从中分层抽样选出12人，则应从甲、乙两班各选出5人、7人，设“选出的12人中恰含有甲、乙两班的所有140分以上的同学”为事件A则P（A）=×=，所以选出的12人中恰含有甲、乙两班的所有140分以上的同学的概率为．19．（12分）已知等腰直角△S′AB，S′A=AB=4，S′A⊥AB，C，D分别为S′B，S′A 的中点，将△S′CD沿CD折到△SCD的位置，SA=2，取线段SB的中点为E．（I）求证：CE∥平面SAD；（Ⅱ）求二面角A﹣EC﹣B的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：取SA中点F，连接DF，EF，∵SE=EB，SF=FA，∴EF∥AB，EF=，又∵CD∥AB，CD=，∴CD=EF，CD∥EF，∴四边形CDEF为平行四边形，则CE∥FD．∵CE⊄平面SAD，FD⊂平面SAD，∴CE∥平面SAD；（Ⅱ）解：∵面SCD⊥面ABCD，面SCD∩面ABCD=CD，SD⊥CD，SD⊂面SCD，∴SD⊥面ABCD，∵AD，CD⊂面ABCD，∴SD⊥AD，SD⊥CD．又∵AD⊥DC，∴DA，DC，DS两两互相垂直，如图所示，分别以DA，DC，DS为x，y，z轴建立空间直角坐标系D﹣xyz．则A（2，0，0），C（0，2，0），S（0，0，2），B（2，4，0），E（1，2，1），，，，设平面ECA，平面ECB的法向量分别为，，则，取y1=1，可得；，取y2=﹣1，得．∴cos＜＞=．∴二面角A﹣EC﹣B的平面角的余弦值为﹣．20．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0），点P为椭圆C上的动点，若|PF|的最大值和最小值分别为2和2．（I）求椭圆C的方程（Ⅱ）设不过原点的直线l与椭圆C交于P，Q两点，若直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的最大值【解答】解：（I）由已知得：，解得a=2，c=，∴b2=4﹣3=1椭圆方程为+y2=1（Ⅱ）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为y=kx+m（m≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2），由，消去y得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0，则△=64k2m2﹣16（1+4k2）（m2﹣1）=16（4k2﹣m2+1）＞0，即4k2﹣m2+1＞0，且x1+x2=，x1x2=，故y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2．∵直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，∴•==k2，即+m2=0，又m≠0，所以k2=，即k=±．由△＞0，及直线OP，OQ的斜率存在，得0＜m2＜2，∵|PQ|=•=，点O到直线的距离d==S△OPQ=|PQ|•d==≤1，当m2=1时取等号，此时直线l的方程为y=±x±1时，S的最大值为1．△OPQ21．（12分）已知函数f（x）=（1﹣ax）e x+b在点（1，f（1））处的切线方程是y=﹣ex+e﹣1．（1）求a，b的值及函数f（x）的最大值；（2）若实数x，y满足xe y=e x﹣1（x＞0）．（i）证明：0＜y＜x；（ii）若x＞2，证明：y＞1．【解答】（1）由点（1，f（1））在切线上可知，f（1）=﹣e+e﹣1=﹣1，即切点为（1，﹣1）又f'（x）=﹣ae x+（1﹣ax）e x=e x（1﹣ax﹣a），由题可知f'（1）=﹣e，则f'（1）=e1（1﹣2a）=﹣e，则1﹣2a=﹣1，解得a=1，即f（x）=（1﹣x）e x+b，又由f（1）=﹣1，可得b=﹣1，故a=1，b=﹣1；即f（x）=（1﹣x）e x﹣1；由上知f'（x）=e x（1﹣x﹣1）=﹣xe x，当x＜0时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，x＞0时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，故．（2）由实数x，y满足xe y=e x﹣1（x＞0）可得，，即，（i）先证y＜x，，由（1）知f（x）=（1﹣x）e x﹣1＜0=f（x）max，则有，即证得y＜x；再证明y＞0，令g（x）=e x﹣x﹣1（x＞0），则g'（x）=e x﹣1＞0（x＞0），故函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，故g（x）＞g（0）=0，故在（0，+∞）上恒有e x＞x+1，即，则，即y＞0，综上，0＜y＜x，证毕．（ii）由（1）可知，，令，则，又由上可知，x＞0时，恒有（1﹣x）e x﹣1＜0，则xe x﹣e x+1＞0恒成立，故恒成立，即h（x）在（0，+∞）上单调递增，则有，又因为故h（2）＞e，则h（x）＞e，即x＞2时，h（x）＞e，即e y＞e，即y＞1，故x＞2时，y＞1；请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，以原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为：ρ=2cosθ．（I）若曲线C2，参数方程为：（α为参数），求曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程（Ⅱ）若曲线C2，参数方程为（t为参数），A（0，1），且曲线C1，与曲线C2交点分别为P，Q，求的取值范围，【解答】解：（I）∵曲线C 的极坐标方程为：ρ=2cosθ．∴ρ2=2ρcosθ，x2+y2=2x．曲线C2，参数方程为：（α为参数），∴曲线C2的普通方程：x2+（y﹣1）2=t2．（II）将C2的参数方程：（α为参数），代入C1的方程得：t2+（2sinα﹣2cosα）t+1=0，∵△=（2sinα﹣2cosα）2﹣4=8﹣4＞0，∴||∈，∴∈∪，∴t1+t2=﹣（2sinα﹣2cosα），t1t2=1，∴t1与t2同号，∴|t1|+|t2|=|t1+t2|，由的几何意义可得：=+===2||∈（2，2]，∴∈（2，2]．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x+b|+|2x﹣b|．（I）若b=1．解不等式f（x）＞4．（Ⅱ）若不等式f（a）＞|b+1|对任意的实数a恒成立，求b的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=|2x+b|+|2x﹣b|，b=1时，不等式f（x）＞4为|2x+b|+|2x﹣b|＞4，它等价于或或，解得x＞1或x＜﹣1或x∈∅；∴不等式f（x）＞4的解集为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．（Ⅱ）f（a）=|2a+b|+|2a﹣b|=|2a+b|+|b﹣2a|≥|（2a+b）+（b﹣2a）|=|2b|，当且仅当（2a+b）（b﹣2a）≥0时f（a）取得最小值为|2b|；令|2b|＞|b+1|，得（2b）2＞（b+1）2，解得b＜﹣或b＞1，∴b的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）．。

东北三省三校(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验)2018届高三年级第一次模拟考试数学(理)

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东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）2018届高三第一次联合模拟考试数学试题（理科）1. 复数的模为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得，所以.故选C.2. 已知集合，，若，则实数的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】由已知得，由，则，又，所以.故选A. 3. 从标有1、2、3、4、5的五张卡片中，依次抽出2张，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意，记“第一次抽到奇数”为事件A，记“第二次抽到偶数”为事件B，则，，所以.故选B.4. 已知，则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意知，.故选B.5. 中心在原点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线经过点，则它的离心率为( )A. B. 2 C. D.【答案】A【解析】由题意可知，此双曲线的渐近线方程为，则渐近线过点，即，，所以.故选A.6. 展开式中的常数项是( )A. B. C. 8 D.【答案】B【解析】由展开式的第项，得展开式的通项为或，则当或，即或时，为展开式的常数项，即.故选B.7. 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的的值是( )A. B. C. 1 D. 3【答案】D【解析】由三视图可知，原几何体是一个四棱锥，其中底面是一个上底，下底，高分别为1，2，2的直角梯形，一条长为的侧棱垂直于底面，其体积为，解得.故选C.8. 已知函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离是，则该函数的一个单调增区间为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】由已知函数，则，解得，所以，令（），解得，当时，有.故选A.9. 辗转相除法是欧几里德算法的核心思想，如图所示的程序框图所描述的算法就是辗转相除法，若输入，，则输出的值为( )A. 148B. 37C. 333D. 0【答案】B【解析】由题意得，，则；，则；，则；，则；，则；，则余数.故选B.10. 底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫做正棱锥.如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的侧面积为，则该半球的体积为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意知，设半球的半径为，正方形的边长为，顶点在底面的身影是半球的球心，取的中点，连接，如图所示，则，所以四棱锥的侧面积为，，所以该半球的体积为.故选D.点睛：此题主要考查立体几何中简单组体的表面积和体积的计算，这里涉及到正四棱锥的侧面积和半球的体积的计算等方面的知识与技能，属于中档题型，也是常考考点.解决此类问题的突破口在于把空间组合体问题转化为平面图形问题，由于四棱锥侧面积涉及到斜高，而半球的体积涉及到其半径，所以在选截面图时要能把斜高和半径联系起来的平面图，再根据平面图形的特点来解决问题.11. 已知抛物线，直线与抛物线交于，两点，若以为直径的圆与轴相切，则的值是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意，可设交点的坐标分别为，联立直线与抛物线方程消去得，则，，，由，即，解得.故选C.12. 在，，，是边上的两个动点，且，则的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意，可以点为原点，分别以为轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点的坐标分别为，直线的方程为，不妨设点的坐标分别为，，不妨设，由，所以，整理得，则，即，所以当时，有最小值，当时，有最大值.故选A.点睛：此题主要考查了向量数量积的坐标运算，以及直线方程和两点间距离的计算等方面的知识与技能，还有坐标法的运用等，属于中高档题，也是常考考点.根据题意，把运动（即的位置在变）中不变的因素（）找出来，通过坐标法建立合理的直角坐标系，把点的坐标表示出来，再通过向量的坐标运算，列出式子，讨论其最值，从而问题可得解.13. 在中，，，，则______________.【答案】1【解析】由题意，根据余弦定理得，即，解得，或（舍去）.故填1.14. 若满足约束条件，则的最大值为______________.【答案】【解析】试题分析：作出可行域，如图内部（含边界），，，表示可行域内点与的连线的斜率，，因此最大值为．考点：简单线性规划的非线性运用．15. 甲、乙、丙三位教师分别在哈尔滨、长春、沈阳的三所中学里教不同的学科、、，已知：①甲不在哈尔滨工作，乙不在长春工作；②在哈尔滨工作的教师不教学科；③在长春工作的教师教学科；④乙不教学科.可以判断乙教的学科是______________.【答案】C【解析】由乙不在长春工作，而在长春工作的教师教A学科，则乙不教A学科；又乙不教B 学科，所以乙教C学科，而在哈尔滨工作的教师不教C学科，故乙在沈阳教C学科.故填C.16. 已知函数，是函数的极值点，给出以下几个命题：①；②；③；④；其中正确的命题是______________.(填出所有正确命题的序号)【答案】①③【解析】由已知得，不妨令，由，当时，有总成立，所以在上单调递增，且，而是函数的极值点，所以，即，所以，即命题①成立，则命题②错；因为，所以，故③正确，而④错.所以填①③.点睛：此题主要考查了导数在研究函数的极值、最值、以及单调性等中的应用，主要涉及函数求导的计算公式、法则，还有函数极值点和最值的应用等方面的知识和技能，属于中高档题型，也是常考考点.首先利用导数判断函数的单调性，由函数值大小的比较，来确定其自变量的大小，从而解决问题①②.17. 已知正项数列满足：，其中为数列的前项和.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意，可根据数列通项与前项和的关系进行整理化简，可以发现数列是以首项为3，公差为2的等差数列，从而根据等差数列的通项公式即求得数列的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）可求得，根据其特点，利用裂项相消求和法进行即可.试题解析：（Ⅰ）令，得，且，解得.当时，，即，整理得，，，所以数列是首项为3，公差为2的等差数列，故.（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，.点睛：此题主要考查数列中求通项公式与前项和公式的运算，其中涉及到数列通项与前项和的关系式，还裂项相消求和法的应用，属于中档题型，也是常考考点.裂项相消求和法是数列求和问题中一种重要的方法，实质上是把一个数列的每一项分裂为两项的差，从而达到求和时相邻两项互相抵消而求出和的目的.18. 某商场按月订购一种家用电暖气，每销售一台获利润200元，未销售的产品返回厂家，每台亏损50元，根据往年的经验，每天的需求量与当天的最低气温有关，如果最低气温位于区间，需求量为100台；最低气温位于区间，需求量为200台；最低气温位于区间，需求量为300台。

东北三省三校(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2018届高三第一次模拟考试数学(理)试卷扫描版

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2018年三省三校一模考试（数学理科）答案一．选择题：CABBA BDABD CA 二．填空题：13.1 14.3215.C 16. ①③ 三．解答题：17. （本题满分12分）解：（Ⅰ）令1n =，得2111423a a a =+-，且0n a >，解得13a =. ……1分当2n ≥时，221114422n n n n n n S S a a a a ----=-+-，即2211422n n n n n a a a a a --=-+-，整理得11()(2)0n n n n a a a a --+--=，Q 0n a >，12n n a a -∴-=， ……4分所以数列{}n a 是首项为3，公差为2的等差数列， 故3(1)221n a n n =+-⨯=+. …….6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：22111111()1444(1)41n n b a n n n n n n ====--+++， ……9分12+n n T b b b ∴=++L 11111111(1)(1)422314144nn n n n =-+-++-=-=+++ . ……12分18．（本题满分12分）解：（1）由已知X 的可能取值为100,200,300…….4分（2） 由已知①当订购200台时，E()[20010050(200100)]0.22002000.835000Y =⨯-⨯-⨯+⨯⨯=(元) …….7分② 当订购250台时，E()[20010050(250100)]0.2[20020050(250200)]0.4Y =⨯-⨯-⨯+⨯-⨯-⨯+[200250]0.437500⨯⨯=（元）…….11分综上所求，当订购250台时，Y 的数学期望最大，11月每日应订购250台。

…….12分 19．（本题满分12分） .解：（Ⅰ）取AD 中点O ，连接OE ，交MN 于点Q ，连接FQ ，则OP AD ⊥. 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以OP ⊥平面ABCD ，4PEO π∠=，OP OE =.方法一：因为//MN BC ，//OE AB ，所以MN OE ⊥，所以MN PE ⊥.又14EF PE ==，12EQ OE =，所以EF EQ EO EP ==，所以EFQ ∆∽EOP ∆， 所以2EFQ EOP π∠=∠=，所以PE FQ ⊥.且MN FQ Q = ，所以PE ⊥平面MNF .方法二：取AD 中点O ，连接OE ，交MN 于点Q ,连接FQ ，则OP AD ⊥. 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以OP ⊥平面AC ，4PEO π∠=，OP OE =.又因为//MN BC ，//OE AB ，所以MN OE ⊥，所以MN PE ⊥.以O 点为原点，射线OA 、OE 、OP 方向为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -.设AB m =，AD n =，则()0,0,P m ，()0,,0E m ，,,022n m M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，30,,44m m F ⎛⎫⎪⎝⎭， 于是()0,,PE m m =-,,,244n m m MF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ .所以0P E M F ⋅= ，所以P E M F ⊥，且M N M F M = ，所以PE ⊥平面M N F ……6分.（Ⅱ）取AD 中点O ，连接OE ，交MN 于点Q ，连接FQ ，则OP AD ⊥. 因为平面PAD ⊥平面AC ，所以OP ⊥平面AC ，4PEO π∠=，OP OE =.以O 点为原点，射线OA 、OE 、OP 方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向， 建立空间直角坐标系O xyz -.设AB AD m ==，则()0,0,P m ，()0,,0E m ，,,02m B m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,,022m m M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，30,,44m m F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 于是()0,,PE m m =- ，0,,02m BM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，,,244m m m BF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. (8)分.设平面BMF 的一个法向量为=1n (),,x y z ，则0BM BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩11n n ， 从而020244my m m m x y z ⎧-=⎪⎪⎨⎪--+=⎪⎩，令1x =,得()1,0,2=1n .而平面N M 的一个法向量为=2n ()0,,PE m m =-. ……10分.所以co ⋅<>==121212=n n n n n n ……12分.20．（本题满分12分）.解: （Ⅰ）(0,1),1F b ∴= ，又1126F F F F ⋅=，226,c c ∴==又222,2a b c a -=∴=，∴ 椭圆C 的标准方程为2214x y +=. ……3分 （Ⅱ）设直线l 与抛物线相切于点00(,)P x y ，则2000:()42x x l y x x -=-，即20024x x y x =-，联立直线与椭圆200222414x x y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y ，整理得22340001(1)404x x x x x +-+-=.由240016(1)0x x ∆=+->，得2008x <<+. 设1122(,),(,)A x y B x y ，则：34001212220016,14(1)x x x x x x x x -+==++. ……6分则120|||AB x x =-==……8分原点O 到直线l的距离2d =……9分故OAB∆面积1||2S d AB =⋅=420200(1111x x +=≤=+， 当且仅当24400016(1)x x x +-=，即204x =+取等号， 故OAB ∆面积的最大值为1. ……12分21．（本题满分12分） 解（Ⅰ）:当0b =时：()h x kx =由()()()f x h x g x ≥≥知：ln xe kx x ≥≥依题意：ln x e xk x x≥≥对(0,)x ∈+∞恒成立 ……1分设/2(1)()(0),()x x e e x m x x m x x x-=>∴= 当(0,1)x ∈时/()0m x <；当(1+)x ∈∞，时/()0m x >，min [()](1)m x m e ∴== (3)分设/2ln 1ln ()(0),()x x n x x n x x x -=>∴= ……5分当(0,)x e ∈时/()0n x >；当(+)x e ∈∞，时/()0n x <，max 1[()]()n x n e e∴==故：实数k 的取值范围是1[]e e， ……6分（Ⅱ）由已知：()'x fx e =，()'1g x x =①：由()1111x xy e e x -=-得：()()1111xxh x e x e =+-⋅ 由()2221ln y x x x x -=-得：()221ln 1h x x x x =+- 故()11212111ln x x e x e x x⎧=⎪⎨⎪-=-⎩……8分Q 10x <，()1110x e x ∴-<，2ln 1x ∴>，故：2x e > ……9分②：由①知：12x x e -=，()11111xe x x -=+且21x e >>由()11ln 0a x x x x -+-≥得：()11ln a x x x x -≥-，()2x x ≥ 设()()2ln G x x x x x x =-≥ ()'1l n 1l n 0Gx x x =--=-<()G x ∴在)2,x +∞⎡⎣为减函数，()()2222max ln G x G x x x x ∴==-⎡⎤⎣⎦……11分由()12221ln a x x x x -≥-得：()()12211ln a x x x -≥- ∴ ()()1111a x x -≥-又10x < 1a ∴≤ ……12分22.解：（本小题满分10分） （Ⅰ）4cos ρθ=Qθρρcos 42=∴222cos ,sin x y x y ρρθρθ=+∴==Q x y x 422=+∴1C ∴的直角坐标方程为:x y x 422=+ ……3分13,23),x t y x y ⎧=-⎪⎪∴=-⎨⎪=⎪⎩Q 2C ∴的普通方程为)3(3--=x y ……5分（Ⅱ）将x y x t y t x 4,23,21322=+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=代入 得：)213(443)213(22t t t -=+-t t t 212932-=+-∴ 032=--∴t t3,12121-=⋅=+∴t t t t ……8分由t 的几何意义可得：32121===⋅⋅t t t t AQ AP ……10分23．（本小题满分10分）（Ⅰ）当1a =时：不等式为:25211x x x -++>-等价于：:11552222252112521125211x x x x x x x x x x x x ⎧⎧⎧<--≤≤>⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎪⎪⎪-+-->--+++>--++>-⎩⎩⎩或或 ……3分解得：:11552222x x x <--≤≤>或或 所以：不等式的解集为:∞∞（-,+) ……5分 （Ⅱ）设函数()2521f x x x =-++=1442156225442x x x x x ⎧-+<-⎪⎪⎪-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩设函数()1g x ax =-过定点（0，-1） ……7分画出),()f x g x （的图像， ……8分由数形结合得a的范围是14[4,)5- (10)分。

【名校模拟】2018年东北三省三校(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)高考数学一模试卷(理科)

【名校模拟】2018年东北三省三校(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)高考数学一模试卷(理科)

2018年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数的模为（）A．B．C．D．22．已知集合，B={x|x≥a}，若A∩B=A，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3]B．（﹣∞，﹣3）C．（﹣∞，0]D．[3，+∞）3．从标有1、2、3、4、5的五张卡片中，依次抽出2张，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为（）A．B．C．D．4．已知s，则=（）A．B．C．D．5．中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的一条渐近线经过点（﹣2，4），则它的离心率为（）A．B．2 C．D．6．展开式中的常数项是（）A．12 B．﹣12 C．8 D．﹣87．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值（）A．2 B．3 C．D．8．已知函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离是，则该函数的一个单调增区间为（）A．B．C．D．9．辗转相除法是欧几里德算法的核心思想，如图所示的程序框图所描述的算法就是辗转相除法，若输入m=8251，n=6105，则输出m的值为（）A．148 B．37 C．333 D．010．底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫做正棱锥．如图，半球内有一内接正四棱锥S﹣ABCD，该四棱锥的侧面积为，则该半球的体积为（）A． B． C．D．11．已知抛物线C：y2=2x，直线与抛物线C交于A，B两点，若以AB为直径的圆与x轴相切，则b的值是（）A．B．C．D．12．在△ABC，∠C=90°，AB=2BC=4，M，N是边AB上的两个动点，且|MN|=1，则的取值范围为（）A．B．[5，9]C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．在△ABC中，AB=2，，，则BC=．14．若x，y满足约束条件，则的最大值为．15．甲、乙、丙三位教师分别在哈尔滨、长春、沈阳的三所中学里教不同的学科A、B、C，已知：①甲不在哈尔滨工作，乙不在长春工作；②在哈尔滨工作的教师不教C学科；③在长春工作的教师教A学科；④乙不教B学科．可以判断乙教的学科是．16．已知函数，x0是函数f（x）的极值点，给出以下几个命题：①；②；③f（x0）+x0＜0；④f（x0）+x0＞0；其中正确的命题是．（填出所有正确命题的序号）三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12.00分）已知正项数列{a n}满足：，其中S n为数列{a n}的前n项和．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12.00分）某商场按月订购一种家用电暖气，每销售一台获利润200元，未销售的产品返回厂家，每台亏损50元，根据往年的经验，每天的需求量与当天的最低气温有关，如果最低气温位于区间[﹣20，﹣10]，需求量为100台；最低气温位于区间[﹣25，﹣20），需求量为200台；最低气温位于区间[﹣35，﹣25），需求量为300台．公司销售部为了确定11月份的订购计划，统计了前三年11月份各天的最低气温数据，得到下面的频数分布表：最低气温（℃）[﹣35，﹣30）[﹣30，﹣25）[﹣25，﹣20）[﹣20，﹣15）[﹣15，﹣10]天数112536162以最低气温位于各区间的频率代替最低气温位于该区间的概率．（1）求11月份这种电暖气每日需求量X（单位：台）的分布列；（2）若公司销售部以每日销售利润Y（单位：元）的数学期望为决策依据，计划11月份每日订购200台或250台，两者之中选其一，应选哪个？19．（12.00分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD，底面ABCD为矩形，点M、E、N分别为线段AB、BC、CD的中点，F是PE上的一点，PF=2FE．直线PE与平面ABCD所成的角为．（1）证明：PE⊥平面MNF；（2）设AB=AD，求二面角B﹣MF﹣N的余弦值．20．（12.00分）已知椭圆过抛物线M：x2=4y的焦点F，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，且．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l与抛物线M相切，且与椭圆C交于A，B两点，求△OAB面积的最大值．21．（12.00分）已知函数f（x）=e x，g（x）=lnx，h（x）=kx+b．（1）当b=0时，若对任意x∈（0，+∞）均有f（x）≥h（x）≥g（x）成立，求实数k的取值范围；（2）设直线h（x）与曲线f（x）和曲线g（x）相切，切点分别为A（x1，f（x1）），B（x2，g（x2）），其中x1＜0．①求证：x2＞e；②当x≥x2时，关于x的不等式a（x1﹣1）+xlnx﹣x≥0恒成立，求实数a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10.00分）已知在极坐标系中曲线C1的极坐标方程为：ρ=4cosθ，以极点为坐标原点，以极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，曲线C2的参数方程为：（t为参数），点A（3，0）．（1）求出曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程；（2）设曲线C1与曲线C2相交于P，Q两点，求|AP|?|AQ|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知不等式|2x﹣5|+|2x+1|＞ax﹣1．（1）当a=1时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为R，求a的范围．2018年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数的模为（）A．B．C．D．2【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【解答】解：∵=，∴||=|1+i|=．故选：C．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算化简，考查复数模的求法，是基础题．2．已知集合，B={x|x≥a}，若A∩B=A，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3]B．（﹣∞，﹣3）C．（﹣∞，0]D．[3，+∞）【分析】求定义域得集合A，根据A∩B=A知A?B，由此求出a的取值范围．【解答】解：集合={x|9﹣x2≥0}={x|﹣3≤x≤3}，B={x|x≥a}，若A∩B=A，则A?B；∴实数a的取值范围是a≤﹣3．故选：A．【点评】本题考查了求函数的定义域和集合的运算问题，是基础题．3．从标有1、2、3、4、5的五张卡片中，依次抽出2张，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为（）A．B．C．D．【分析】设事件A表示“第一张抽到奇数”，事件B表示“第二张抽取偶数”，则P （A）=，P（AB）==，利用条件概率计算公式能求出在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率．【解答】解：从标有1、2、3、4、5的五张卡片中，依次抽出2张，设事件A表示“第一张抽到奇数”，事件B表示“第二张抽取偶数”，则P（A）=，P（AB）==，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为：P（A|B）===．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，考查条件概率等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4．已知s，则=（）A．B．C．D．【分析】直接由已知结合同角三角函数基本关系式求得．【解答】解：∵s，∴=cos[+（）]=﹣sin（）=﹣．故选：B．【点评】本题考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．5．中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的一条渐近线经过点（﹣2，4），则它的离心率为（）【分析】先求渐近线带入点的坐标，再用c2=a2+b2求离心率．【解答】解：∵焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程是y=±x，∴4=﹣?（﹣2），∴=2，a=2b，a2=4b2=4c2﹣4a2，e=．故选：A．【点评】本题考查双曲线的几何性质，离心率的求法，考查计算能力．6．展开式中的常数项是（）A．12 B．﹣12 C．8 D．﹣8【分析】写出二项式的通项，由x的指数为﹣2、0分别求得r值，再由多项式乘多项式得答案．【解答】解：的展开式的通项为=．取r﹣5=﹣2，得r=3，取r﹣5=0，得r=5．∴展开式中的常数项是﹣﹣2=﹣12．故选：B．【点评】本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．7．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值（）【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以直角梯形为底面的四棱锥，该几何体为x，根据体积公式建立关系，可得答案【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以直角梯形为底面，梯形上下边长为1和2，高为2，如图：AD=1，BC=2，SB=x，AD∥BC，SB⊥平面ABCD，AD⊥AB．∴底面的面积S=×（1+2）×2=3．该几何体为x，几何体的体积V==1，可得x=3．故选：B．【点评】本题考查的知识点是三视图投影关系，体积公式的运用，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．8．已知函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离是，则该函数的一个单调增区间为（）A．B．C．D．【分析】化函数f（x）为正弦型函数，根据题意求出ω的值，写出f（x）的解析式，即可求出它的单调增区间．【解答】解：函数=2sin（ωｘ+）；由f（x）的图象相邻两条对称轴之间的距离是，∴T=2×=π，∴ω＝=2；∴f（x）=2sin（2x+），令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，解得﹣+kπ≤x≤+2kπ，k∈Z，∴函数f（x）的一个单调增区间为[﹣，]．故选：A．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．9．辗转相除法是欧几里德算法的核心思想，如图所示的程序框图所描述的算法就是辗转相除法，若输入m=8251，n=6105，则输出m的值为（）A．148 B．37 C．333 D．0【分析】程序的运行功能是求m=8521，n=6105的最大公约数，根据辗转相除法可得m的值．【解答】解：由程序框图知：程序的运行功能是求m=82511，n=6105的最大公约数，∵8251=6105+2146；6105=2×2146+1813；2146=1813+333；1813=5×333+148；333=2×148+37，148=4×37+0∴此时m=37．∴输出m的值是37，故选：B．【点评】本题考查了辗转相除法的程序框图，掌握辗转相除法的操作流程是关键．10．底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫做正棱锥．如图，半球内有一内接正四棱锥S﹣ABCD，该四棱锥的侧面积为，则该半球的体积为（）A． B． C．D．【分析】设出球的半径，利用棱锥的侧面积公式，求解半径，然后求解四棱锥的外接半球的体积．【解答】解：连结AC，BD交点为0，设球的半径为r，由题意可知SO=AO=OC=OD=OB=r．则AB=r，四棱锥的侧面积为：4×=，解得r=，四棱锥的外接半球的体积为：V==，故选：D．【点评】本题考查四棱锥SABCD的侧面积以及球的体积的计算，确定球的半径关系式是关键．11．已知抛物线C：y2=2x，直线与抛物线C交于A，B两点，若以AB为直径的圆与x轴相切，则b的值是（）A．B．C．D．【分析】联立得：y2+4y﹣4b=0．由此利用根的判别式、弦长公式，即可求出b的值【解答】解：联立得：y2+4y﹣4b=0．依题意应有△=16+16b＞0，解得b＞﹣1．设A（x1，y1），B（x2，y2），∴y1+y2=﹣4，y1y2=﹣4b，∴x1+x2=﹣2（y1+y2）+4b=8+4b设圆心Q（x0，y0），则应有x0=（x1+x2）=4+2b，y0=（y1+y2）=﹣2．∵以AB为直径的圆与x轴相切，得到圆半径为r=|y0|=2，又|AB|=?=?=4?，∴|AB|=2r，即4?=4，解得b=﹣．故选：C．【点评】本题主要考查圆的性质，考查直线与抛物线、圆等知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力．12．在△ABC，∠C=90°，AB=2BC=4，M，N是边AB上的两个动点，且|MN|=1，则的取值范围为（）A．B．[5，9]C．D．【分析】建立坐标系，设AN=a，用a表示出，得出关于a的函数，从而得出范围．【解答】解：以CA，CB为坐标轴建立坐标系如图所示：∵AB=2BC=4，∴∠BAC=30°，AC=2设AN=a，则N（2﹣，），M（2﹣，），∴=（2﹣）（2﹣）+=a2﹣5a+9．∵M，N在AB上，∴0≤a≤3．∴当a=0时，取得最大值9，当a=时，取得最小值．故选：A．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．在△ABC中，AB=2，，，则BC=1．【分析】根据题意，设BC=t，△ABC中，由余弦定理可得cos∠ABC==﹣，变形可得：t2+2t﹣3=0，解可得t的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，设BC=t，△ABC中，AB=2，，，则有cos∠ABC==﹣，变形可得：t2+2t﹣3=0，解可得：t=﹣3或t=1，又由t＞0，则t=1，即BC=1；故答案为：1【点评】本题考查余弦定理的应用，注意利用余弦定理构造关于BC的方程．14．若x，y满足约束条件，则的最大值为．【分析】由约束条件作出可行域，再由的几何意义，即可行域内的动点与定点P（﹣1，0）连线的斜率求得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，3），由的几何意义，即可行域内的动点与定点P（﹣1，0）连线的斜率可得，的最大值为．故答案为：．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15．甲、乙、丙三位教师分别在哈尔滨、长春、沈阳的三所中学里教不同的学科A、B、C，已知：①甲不在哈尔滨工作，乙不在长春工作；②在哈尔滨工作的教师不教C学科；③在长春工作的教师教A学科；④乙不教B学科．可以判断乙教的学科是C．【分析】分析判断每一名话，能推理出正确结果．【解答】解：由①得甲不在哈尔滨工作，乙不在长春工作；由②得在哈尔滨工作的教师不教C学科，甲不教C；由③得在长春工作的教师教A学科；由④得乙不教B学科和A学科．综上，乙教C学科．故答案为：C．【点评】本题考查简单的合理推理，考查推理论证能力等基础知识，考查运用求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．16．已知函数，x0是函数f（x）的极值点，给出以下几个命题：①；②；③f（x0）+x0＜0；④f（x0）+x0＞0；其中正确的命题是①③．（填出所有正确命题的序号）【分析】求导数，利用零点存在定理，可判断①②；f（x0）+x0=x0lnx0+x02+x0=x0（lnx0+x0+1）=﹣x0＜0，可判断③④．【解答】解：∵函数f（x）=xlnx+x2，（x＞0）∴f′（x）=lnx+1+x，易得f′（x）=lnx+1+x在（0，+∞）递增，∴f′（）=＞0，∵x→０，f′（x）→﹣∞，∴0＜x0＜，即①正确，②不正确；∵lnx0+1+x0=0∴f（x0）+x0=x0lnx0+x02+x0=x0（lnx0+x0+1）=﹣x02＜0，即③正确，④不正确．故答案为：①③．【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，考查学生的计算能力、转化思想，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12.00分）已知正项数列{a n}满足：，其中S n为数列{a n}的前n项和．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）利用数列的递推关系式推出数列{a n}是首项为3，公差为2的等差数列，然后求解通项公式．（2）化简通项公式利用裂项相消法求解数列的和即可．【解答】（本题满分12分）解：（1）令n=1，得，且a n＞0，解得a1=3．当n≥2时，，即，整理得（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0，∵a n＞0，∴a n﹣a n﹣1=2，所以数列{a n}是首项为3，公差为2的等差数列，故a n=3+（n﹣1）×2=2n+1．（2）由（1）知：，∴T n=b1+b2+…+b n=．【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力．18．（12.00分）某商场按月订购一种家用电暖气，每销售一台获利润200元，未销售的产品返回厂家，每台亏损50元，根据往年的经验，每天的需求量与当天的最低气温有关，如果最低气温位于区间[﹣20，﹣10]，需求量为100台；最低气温位于区间[﹣25，﹣20），需求量为200台；最低气温位于区间[﹣35，﹣25），需求量为300台．公司销售部为了确定11月份的订购计划，统计了前三年11月份各天的最低气温数据，得到下面的频数分布表：最低气温（℃）[﹣35，﹣30）[﹣30，﹣25）[﹣25，﹣20）[﹣20，﹣15）[﹣15，﹣10]天数112536162以最低气温位于各区间的频率代替最低气温位于该区间的概率．（1）求11月份这种电暖气每日需求量X（单位：台）的分布列；（2）若公司销售部以每日销售利润Y（单位：元）的数学期望为决策依据，计划11月份每日订购200台或250台，两者之中选其一，应选哪个？【分析】（1）由已知X的可能取值为100，200，300，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．（2）当订购200台时，求出E（Y）=35000元；当订购250台时，求出E（Y）=37500元，由此求出11月每日应订购250台．【解答】（本题满分12分）解：（1）由已知X的可能取值为100，200，300，P（X=100）==0.2，P（X=200）==0.4，P（X=300）==0.4，∴X的分布列为：X100200300P0.20.40.4（2）由已知：①当订购200台时，E（Y）=[200×100﹣50×（200﹣100）]×0.2+200×200×0.8=35000（元）②当订购250台时，E（Y）=[200×100﹣50×（250﹣100）]×0.2+[200×200﹣50×（250﹣200）]×0.4+[200×250]×0.4=37500（元）综上所求，当订购250台时，Y的数学期望最大，11月每日应订购250台．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查频率分布表、列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19．（12.00分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD，底面ABCD为矩形，点M、E、N分别为线段AB、BC、CD的中点，F是PE上的一点，PF=2FE．直线PE与平面ABCD所成的角为．（1）证明：PE⊥平面MNF；（2）设AB=AD，求二面角B﹣MF﹣N的余弦值．【分析】（1）法一：取AD中点O，连接OE，交MN于点Q，连接FQ，则OP⊥ADOP⊥平面ABCD，推导出MN⊥OE，MN⊥PE．△EFQ∽△EOP，从而PE=FQ．由此能证明PE⊥平面MNF．方法二：取AD中点O，连接OE，交MN于点Q，连接FQ，则OP⊥AD．以O 点为原点，射线OA、OE、OP方向为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz．利用向量法能证明PE⊥平面MNF（2）取AD中点O，连接OE，交MN于点Q，连接FQ，则OP⊥AD．以O点为原点，射线OA、OE、OP方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O﹣xyz．利用向量法能求出二面角B﹣MF﹣N的余弦值．【解答】证明：（1）方法一：取AD中点O，连接OE，交MN于点Q，连接FQ，则OP⊥AD．因为平面PAD⊥平面ABCD，所以OP⊥平面ABCD，∠PEO=，OP=OE．因为MN∥BC，OE∥AB，所以MN⊥OE，所以MN⊥PE．又EF=PE=OE，EQ=OE，所以，所以△EFQ∽△EOP，所以，所以PE=FQ．且MN∩FQ=Q，所以PE⊥平面MNF．方法二：取AD中点O，连接OE，交MN于点Q，连接FQ，则OP⊥AD．因为平面PAD⊥平面ABCD，所以OP⊥平面AC，，OP=OE．又因为MN∥BC，OE∥AB，所以MN⊥OE，所以MN⊥PE．以O点为原点，射线OA、OE、OP方向为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz．设AB=m，AD=n，则P（0，0，m），E（0，m，0），M（，0），F（0，），于是=（0，m，﹣m），=（﹣）．所以=0，所以PE⊥MF，且MN∩MF=M，所以PE⊥平面MNF解：（2）取AD中点O，连接OE，交MN于点Q，连接FQ，则OP⊥AD．因为平面PAD⊥平面AC，所以OP⊥平面AC，，OP=OE．以O点为原点，射线OA、OE、OP方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O﹣xyz．设AB=AD=m，则P（0，0，m），E（0，m，0），B（），M（，0），F（0，），于是=（0，m，﹣m），=（0，﹣，0），=（﹣）．设平面BMF的一个法向量为=（x，y，z），则，令x=1，得=（1，0，2）．而平面NMF的一个法向量为==（0，m，﹣m）．所以cos＜＞===﹣．由图形得二面角B﹣MF﹣N的平面角是钝角，故二面角B﹣MF﹣N的余弦值为﹣．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20．（12.00分）已知椭圆过抛物线M：x2=4y的焦点F，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，且．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l与抛物线M相切，且与椭圆C交于A，B两点，求△OAB面积的最大值．【分析】（1）通过焦点坐标以及转化求解椭圆方程．（2）设直线l与抛物线相切于点P（x0，y0），求出切线方程，联立直线与椭圆，消去y，整理利用判别式，以及弦长公式，求解由原点O到直线l的距离，表示△OAB面积，推出△OAB面积的最大值为1．【解答】（本题满分12分）解：（1）∵F（0，1），∴b=1，又，∴．又a2﹣b2=c2，∴a=2，∴椭圆C的标准方程为．（2）设直线l与抛物线相切于点P（x0，y0），则，即，联立直线与椭圆，消去y，整理得．由，得．设A（x1，y1），B（x2，y2），则：．则原点O到直线l的距离．故△OAB面积=，当且仅当，即取等号，故△OAB面积的最大值为1．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，三角形的面积的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．21．（12.00分）已知函数f（x）=e x，g（x）=lnx，h（x）=kx+b．（1）当b=0时，若对任意x∈（0，+∞）均有f（x）≥h（x）≥g（x）成立，求实数k的取值范围；（2）设直线h（x）与曲线f（x）和曲线g（x）相切，切点分别为A（x1，f（x1）），B（x2，g（x2）），其中x1＜0．①求证：x2＞e；②当x≥x2时，关于x的不等式a（x1﹣1）+xlnx﹣x≥0恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）依题意：对x∈（0，+∞）恒成立，根据函数的单调性求出k的范围即可；（2）①得到，∴，从而证明结论；②得到a（x1﹣1）≥x﹣xlnx，（x≥x2），设G（x）=x﹣xlnx（x≥x2）G′（x）=1﹣lnx﹣1=﹣lnx＜0，根据函数的单调性求出G（x）的最大值，从而求出a的范围即可．【解答】解：（1）当b=0时：h（x）=kx，由f（x）≥h（x）≥g（x）知：e x≥kx≥lnx，依题意：对x∈（0，+∞）恒成立，设，当x∈（0，1）时m′（x）＜0；当x∈（1，+∞）时m′（x）＞0，∴[m（x）]min=m（1）=e，设，当x∈（0，e）时n′（x）＞0；当x∈（e，+∞）时n′（x）＜0，∴，故：实数k的取值范围是（2）由已知：f′（x）=e x，①：由得：由得：故∵x1＜0，∴，∴lnx2＞1，故：x2＞e；②由①知：，且x2＞e＞1由a（x1﹣1）+xlnx﹣x≥0得：a（x1﹣1）≥x﹣xlnx，（x≥x2）设G（x）=x﹣xlnx（x≥x2）G′（x）=1﹣lnx﹣1=﹣lnx＜0，∴G（x）在[x2，+∞）为减函数，∴[G（x）]max=G（x2）=x2﹣x2lnx2由a（x1﹣1）≥x2﹣x2lnx2，得：a（x1﹣1）≥x2（1﹣lnx2），∴a（x1﹣1）≥（x1﹣1）又x1＜0，∴a≤1．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10.00分）已知在极坐标系中曲线C1的极坐标方程为：ρ=4cosθ，以极点为坐标原点，以极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，曲线C2的参数方程为：（t为参数），点A（3，0）．（1）求出曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程；（2）设曲线C1与曲线C2相交于P，Q两点，求|AP|?|AQ|的值．，y=ρsinθ即可求得曲线【分析】（1）把ρ=4cosθ两边同时乘以ρ，结合x=ρcosθC1的直角坐标方程，在中，直接消去参数t即可求得曲线C2的普通方程；（2）把曲线C2的参数方程代入x2+y2=4x，化为关于t的一元二次方程，利用根与系数的关系结合t的几何意义求得|AP|?|AQ|的值．【解答】解：（1）由ρ=4cosθ，得ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，故曲线C1的直角坐标方程为x2+y2=4x，即（x﹣2）2+y2=4．由，消去参数t，可得．∴曲线C2：；（2）将代入x2+y2=4x，得t2﹣t﹣3=0，∵△=1+4×3=13＞0，∴方程有两个不等实根t1，t2分别对应点P，Q，∴|AP|?|AQ|=|t1|?|t2|=|t1?t2|=|﹣3|=3，即|AP|?|AQ|=3．【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，关键是掌握直线参数方程中参数t的几何意义，是中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．已知不等式|2x﹣5|+|2x+1|＞ax﹣1．（1）当a=1时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为R，求a的范围．【分析】（1）当a=1时，化简不等式，去掉绝对值符号，转化求解不等式的解集；（2）化简函数为分段函数，画出函数的图象，然后求解即可．【解答】（本小题满分10分）解：（1）当a=1时：不等式为：|2x﹣5|+|2x+1|＞x﹣1，等价于：解得：，所以不等式的解集为：（﹣∞，+∞）；（2）设函数f（x）=|2x﹣5|+|2x+1|=，设函数g（x）=ax﹣1过定点A（0，﹣1），画出f（x），g（x）的图象，不等式|2x﹣5|+|2x+1|＞ax﹣1．不等式的解集为R，k AB==，由数形结合得a的范围是．【点评】本题考查不等式的解法，不等式恒成立，考查数形结合以及计算能力．。

东北三省三校(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2018届高三数学第一次模拟考试试题文

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东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）2018届高三数学第一次模拟考试试题 文第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{}*2,A x x x N =≤∈，{}2,B y y x x R ==∈，则A B =( )A.{}0x x ≥B.{}1x x ≥C.{}1,2D.{}0,1,22.已知复数z 满足()12i z i +=，i 为虚数单位，则z 等于( ) A.1i -B.1i +C.1122i - D.1122i + 3.在下列向量中，可以把向量()3,1a =-表示出来的是( ) A.()10,0e =，()23,2e =B.()11,2e =-，()23,2e =C.()13,5e =，()26,10e =D.()13,5e =-，()23,5e =-4.在区间()0,3上任取一个实数x ，则22x <的概率是( ) A.23B.12C.13D.145.抛物线24y x =的焦点到准线的距离为( ) A.2B.1C.14D.186.已知,a b 都是实数，p ：直线0x y +=与圆()()222x a y b -+-=相切；q ：2a b +=，则p 是q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》，执行该程序框图若输出的4a =，则输入的,a b 不可能为( )A.4，8B.4，4C.12，16D.15，188.已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列说法不正确的是( )A.()f x 的一个周期为2πB.()f x 向左平移3π个单位长度后图象关于原点对称C.()f x 在7,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D.()f x 的图象关于56x π=-对称 9.函数()af x x x=+(其中a R ∈)的图象不可能是( )ABCD10.如图所示是一个三棱锥的三视图，则此三棱锥的外接球的体积为( )A.43π11.设双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的两条渐近线与直线2a x c=分别交于,A B 两点，F 为该双曲线的右焦点，若6090AFB <<∠°°，则该双曲线离心率e 的取值范围是( )A.(B.⎫+∞⎪⎪⎝⎭C.)2D.⎝ 12.已知函数()()()21221221x x x x f x x --⎧-+-≤⎪=⎨->⎪⎩，()()1cos g x a x x R =-∈，若对任意的12,x x R ∈，都有()()12f x g x ≤，则实数a 的取值范围为( ) A.[]0,2B.RC.[]2,0-D.(][),20,-∞-+∞二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若直线l ⊥平面β，平面α⊥平面β，则直线l 与平面α的位置关系为_____________. 14.若实数,x y 满足不等式组01030x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，则32y x +-的取值范围是_____________.15.甲、乙、丙三人中只有一人做了好事，他们各自都说了一句话，而且其中只有一句真话。

东北三省三校哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中

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哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学2018年高三第一次联合模拟考试文科数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 集合，，则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】∵集合∴集合∵集合∴故选C.2. 已知复数满足，为虚数单位，则等于( )A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以应选答案A。

3. 在下列向量组中，可以把向量表示出来的是( )A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】根据，对于，，则，无解，故错误；对于，，则，解得，故正确；对于，，则，无解，故错误；对于，，则，无解，故错误. 故选B.4. 在区间上任取一个实数，则的概率是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】在区间上任取一个实数，若，则.∵的区间长度为，的区间长度为∴在区间上任取一个实数，则的概率是故选C.5. 抛物线的焦点到准线的距离为( )A. 2B. 1C.D.【答案】D【解析】试题分析：因为抛物线方程可化为，所以抛物线的焦点到准线的距离是，故选D.考点：1、抛物线的标准方程；2、抛物线的几何性质.6. 已知都是实数，：直线与圆相切；：，则是的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，即，化简得，即.充分性：若直线与圆相切，则，充分性不成立；必要性：若，则直线与圆相切，必要性成立.故是的必要不充分条件.故选B.7. 如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》，执行该程序框图若输出的，则输入的不可能为( )A. 4，8B. 4，4C. 12，16D. 15，18【答案】D【解析】根据题意，执行程序后输出，则执行该程序框图钱，输入的最大公约数为，分析选项中的四组数据，不满足条件的是选项.故选D.8. 已知函数，则下列说法不正确的是( )A. 的一个周期为B. 向左平移个单位长度后图象关于原点对称C. 在上单调递减D. 的图象关于对称【答案】B【解析】函数，对于，函数的最小正周期，故正确；对于，函数向左平移个单位后函数的关系式转化为，则函数的图像不关于原点对称，故错误；对于，当时，，故函数单调递减，故正确；对于，当时，，故正确............................故选B.9. 函数(其中)的图象不可能是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】对于，当时，，且，故可能；对于，当且时，，当且时，在为减函数，故可能；对于,当且时，，当且时，在上为增函数，故可能，且不可能.故选C.点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置，从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．10. 如图所示是一个三棱锥的三视图，则此三棱锥的外接球的体积为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】解：如图所示，该几何体为长宽高为的长方体中的三棱锥，结合三棱锥的几何特征可知，取的中点，则球心位置为的中点，半径为：，此三棱锥的外接球的体积为 .本题选择C选项.点睛：空间几何体的三视图是分别从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果．11. 设双曲线的两条渐近线与直线分别交于两点，为该双曲线的右焦点，若，则该双曲线离心率的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】∵双曲线的两条渐近线方程为∴与直线交于两点的坐标分别为，则两点关于轴对称.∵∴∴∴∴∴∴故选C.点睛：本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程，得到的关系式是解得的关键，对于双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得 (的取值范围)．12. 已知函数，，若对任意的，都有，则实数的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】对任意的，都有等价于.作出函数的图象如图所示：对于函数，当时，；当时，.∴∵函数∴∴∴故选A.点睛：关于恒成立的问题的解法：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为；（3）若恒成立，可转化为.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若直线平面，平面平面，则直线与平面的位置关系为_____________.【答案】或【解析】∵直线平面，平面平面∴直线∥平面，或者直线平面故答案为或.14. 若实数满足不等式组，则的取值范围是_____________.【答案】【解析】由不等式组画成的平面区域如下：其中，可以看作是过两点，直线的斜率，当经过点时，取最小值，当经过点时，取最大值.故答案为.点睛：本题主要考查简单线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义；求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．常见的目标函数有：（1）截距型：形如，求这类目标函数的最值常将函数转化为直线的斜截式：，通过求直线的截距的最值间接求出的最值；（2）距离型：形如；（3）斜率型：形如，而本题属于斜率型.15. 甲、乙、丙三人中只有一人做了好事，他们各自都说了一句话，而且其中只有一句真话。

东北三省三校(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2018届高三第二次模拟考试数学(文)试题

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第1页，总8页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）2018届高三第二次模拟考试数学（文）试题考试时间：**分钟 满分：**分姓名：____________班级：____________学号：___________题号 一 二 三 总分 核分人 得分注意事项：1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前 15 分钟收取答题卡第Ⅰ卷 客观题第Ⅰ卷的注释评卷人 得分一、单选题（共12题)1. “勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（）A ．B ．C ．D ．2. 设是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. 设集合，集合，则（ ） A ． B ． C ．D ．4. 已知平面向量，则向量（）答案第2页，总8页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………A ．B ．C ．D ．5. 设，则使成立的必要不充分条件是（ ）A ．B ．C ．D ．6. 等比数列中，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．7. 过抛物线：的焦点的直线交抛物线于、两点，且，则弦的长为（ ）A ．B ．4C ．D ．8.执行如图所示的程序框图，则输出的（）A ．B ．C ．D ．19. 如图所示，一个三棱锥的的三视图是三个直角三角形，则该三棱锥的体积为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．8。

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东北三省三校哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）2018届高三第一次模拟考试数学试题（文）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{}*2,N A x x x =≤∈，{}2,R B y y x x ==∈，则A B =( ) A.{}0x x ≥ B.{}1x x ≥C.{}1,2D.{}0,1,22.已知复数z 满足()1i 2i z +=，i 为虚数单位，则z 等于( ) A.1-iB.1+iC.11-i 22D.11+i 223.在下列向量中，可以把向量()3,1a =-表示出来的是( ) A.()10,0e =，()23,2e = B.()11,2e =-，()23,2e = C.()13,5e =，()26,10e =D.()13,5e =-，()23,5e =-4.在区间()0,3上任取一个实数x ，则22x <的概率是( ) A.23B.12C.13D.145.抛物线24y x =的焦点到准线的距离为( ) A.2 B.1C.14D.186.已知,a b 都是实数，p ：直线0x y +=与圆()()222x a y b -+-=相切；q ：2a b +=，则p 是q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》，执行该程序框图若输出的4a =，则输入的,a b 不可能为( )A.4，8B.4，4C.12，16D.15，188.已知函数()πsin 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列说法不正确的是( )A.()f x 的一个周期为2πB.()f x 向左平移π3个单位长度后图象关于原点对称 C.()f x 在π7π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D.()f x 的图象关于5π6x =-对称9.函数()af x x x=+(其中R a ∈)的图象不可能是( )10.如图所示是一个三棱锥的三视图，则此三棱锥的外接球的体积为( )A.4π311.设双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的两条渐近线与直线2a x c=分别交于,A B 两点，F 为该双曲线的右焦点，若6090AFB <<∠°°，则该双曲线离心率e 的取值范围是( )A.(B.⎫+∞⎪⎪⎝⎭C.)2D.⎝12.已知函数()()()21221221x x x x f x x --⎧-+-≤⎪=⎨->⎪⎩，()()1cos R g x a x x =-∈，若对任意的12,R x x ∈，都有()()12f x g x ≤，则实数a 的取值范围为( ) A.[]0,2B.RC.[]2,0-D.(][),20,-∞-+∞二、填空题：每题5分，满分20分.13.若直线l ⊥平面β，平面α⊥平面β，则直线l 与平面α的位置关系为_____________. 14.若实数,x y 满足不等式组01030x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，则32y x +-的取值范围是_____________.15.甲、乙、丙三人中只有一人做了好事，他们各自都说了一句话，而且其中只有一句真话. 甲说：是乙做的.乙说：不是我做的.丙说：不是我做的. 则做好事的是_____________.(填甲、乙、丙中的一个)16.ABC △中，2BC =，AB ，则ABC △面积的最大值为_____________. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知数列{}n a 的前n 项和为()()31*1227N n n S n +=-∈. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设2log n n b a =，求12231111n n b b b b b b ++++….18.中国政府实施“互联网+”战略以来，手机作为客户端越来越为人们所青睐，通过手机实现衣食住行消费已经成为一种主要的消费方式，“一机在手，走遍天下”的时代已经到来.在某著名的夜市，随机调查了100名顾客购物时使用手机支付的情况，得到如下的22⨯列联表，已知其中从使用手机支付的人群中随机抽取1人，抽到青年的概率为710. (1)根据已知条件完成22⨯列联表，并根据此资料判断是否有99.5%的把握认为“市场购物用手机支付与年龄有关”？(2)现采用分层抽样从这100名顾客中按照“使用手机支付”和“不使用手机支付”中抽取得到一个容量为5的样本，设事件A 为“从这个样本中任选2人，这2人中至少有1人是不使用手机支付的”，求事件A 发生的概率？22⨯列联表附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++19.已知圆锥SO ，2SO =，AB 为底面圆的直径，2AB =，点C 在底面圆周上，且OC AB ⊥，E 在母线SC 上，且4SE CE =，F 为SB 中点，M 为弦AC 中点.(1)求证：AC ⊥平面SOM ；(2)求四棱锥O EFBC -的体积.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，()1,0F c -，()2,0F c 为椭圆C 的左、右焦点，M 为椭圆C 上的任意一点，12MF F △的面积的最大值为1，A 、B 为椭圆C 上任意两个关于x 轴对称的点，直线2a x c=与x 轴的交点为P ，直线PB 交椭圆C 于另一点E .(1)求椭圆C 的标准方程；(2)求证：直线AE 过定点.21.已知函数()34f x x ax =-+，R x ∈. (1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若函数()f x 在[]1,1-上的最大值为1，求实数a 的取值集合.22.已知在极坐标系中曲线1C 的极坐标方程为：4cos ρθ=，以极点为坐标原点，以极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，曲线2C的参数方程为：132x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，点()3,0A .(1)求出曲线1C 的直角坐标方程和曲线2C 的普通方程； (2)设曲线1C 与曲线2C 相交于,P Q 两点，求AP AQ ⋅的值.23.已知函数()2521f x x x =-++. (1)求不等式()1f x x >-的解集；(2)若()1f x a >-对于R x ∈恒成立，求实数a 的范围.【参考答案】一、选择题1.C2.A3.B4.C5.D6.B7.D8.B9.C 10.C 11.C 12.A 二、填空题13． //l α或l α⊂ 14． []5,2-- 15．丙 16．三、解答题17.解：（Ⅰ）当时， 当时，312=2⨯-，符合上式所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）得,所以． 18.解：(Ⅰ)从使用手机支付的人群中随机抽取1人，抽到青年的概率为710∴使用手机支付的人群中的青年的人数为7604210⨯=人， 则使用手机支付的人群中的中老年的人数为604218-=人，所以22⨯列联表为:2K 的观测值2100(42241816)1800=8.86758426040203k ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯28.8677.879(7.879)0.005P K >≥=，，故有99.5%的把握认为“市场购物用手机支付与年龄有关”.2≥n 3+13232111(22)(22)277n n n n n n a S S ---=-=---=1=n 112a S ==32*2()n n a n -=∈N 322log 2=32n n b n -=-=+-++⨯+⨯=++++)13)(23(174141111113221n n b b b b b b n n 13)1311(31)]131231()7141()411[(31+=+-=+--++-+-n n n n n(Ⅱ) 这100名顾客中采用分层抽样从“使用手机支付”和“不使用手机支付”中抽取得到一个容量为5的样本中： 使用手机支付的人有6053100⨯=人，记编号为1,2,3 不使用手机支付的人有2人，记编号为a ,b ，则从这个样本中任选2人有(1,2)(1,3)(1,a )(1,b )(2,3)(2,a )(2,b )(3,a )(3,b )(a ,b )共10种 其中至少有1人是不使用手机支付的(1,a )(1,b )(2,a )(2,b )(3,a )(3,b )(a ,b )共7种， 故7()10P A =. 19.（Ⅰ）证明：∵SO ⊥平面ABC ，∴SO AC ⊥， 又∵点M 是圆O 内弦AC 的中点，AC MO ∴⊥， 又SO MO O =，AC ∴⊥平面SOM .（Ⅱ）∵SO ⊥平面ABC ，SO 为三棱锥S OCB -的高，111112323S OCB O SCB V V --∴==⨯⨯⨯⨯=而O EFBC V -与O SCB V -等高，1sin 2215sin 2ESF SCB SE SF ESF S S SC SB CSB ∆∆⨯⨯∠==⨯⨯∠， ∴35SCB EFBC S S ∆=四边形因此，33115535O EFBC O SCB V V --==⨯=20.解：（Ⅰ）c e a ==， 当M 为椭圆C 的短轴端点时，12MF F ∆的面积的最大值为112112c b bc ∴⨯⨯=∴=，而222a b c =+1ab ∴==故椭圆C 标准方程为：2212x y +=（Ⅱ）设112211(,),,),(,)B x y E x y A x y -（，且12x x ≠，2=2a x c=，(2,0)P ∴由题意知BP 的斜率必存在，设BP ：(2)y k x =-，代入2212x y +=得2222(21)8820k x k x k +-+-= 0∆>得212k <22121222882,2121k k x x x x k k -+=⋅=++ 12x x ≠∴AE 斜率必存在，AE ：121121()y y y y x x x x ++=--由对称性易知直线AE 过的定点必在x 轴上，则当0y =时，得121122112211121212()(2)(2)()4y x x y x y x k x x k x x x x y y y y k x x k-+-+-=+==+++-2222121221228282222()2121=184421k k x x x x k k k x x k -⋅-⋅-+++==+--+ 即在212k <的条件下，直线AE 过定点（1，0）.21.解：（Ⅰ）2()12f x x a '=-+. 当0a =时，3()4f x x =-在R 上单调递减；当0a <时，2()120f x x a '=-+<，即3()4f x x ax =-+在R 上单调递减；当0a >时，2()12f x x a '=-+.(,6x ∈-∞-时，()0f x '<，()f x 在(,)6-∞-上递减；()66x ∈-时，()0f x '>，()f x 在(66-上递增；)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 在)+∞上递减； 综上，当0a ≤时，()f x 在R 上单调递减；当0a >时，()f x 在(,-∞上递减；在(上递增；)+∞上递减. （Ⅱ）∵函数()f x 在[1,1]-上的最大值为1. 即对任意[1,1]x ∈-，()1f x ≤恒成立. 亦即341x ax -+≤对任意[1,1]x ∈-恒成立. 变形可得，314ax x ≤+.当0x =时，30140a ⋅≤+⋅即01≤，可得R a ∈； 当(0,1]x ∈时，214a x x ≤+.则2min 1(4)a x x≤+ 令21()4g x x x =+，则322181()8x g x x x x -'=-+=.当1(0,)2x ∈时，()0f x '<，当1(,1)2x ∈时，()0f x '>. 因此，min 1()()32g x g ==，∴3a ≤. 当[1,0)x ∈-时，214a x x ≥+.则2max 1(4)a x x≥+ 令21()4g x x x =+，则322181()8x g x x x x -'=-+=.当[1,0)x ∈-时，()0f x '<，因此，max ()(1)3g x g =-=，∴3a ≥. 综上，3a =∴a 的取值集合为{3}.11 22.解：（Ⅰ）=4cos ρθ，当0ρ>时，有222=4cos 4x y x ρρθ∴+=当0ρ=时，点π(0,)2在曲线1C 上，π(0,)2即是在直角坐标系中的原点（0,0）满足方程224x y x +=，故曲线1C 的直角坐标方程为224x y x +=即()2224x y -+=.曲线2C0y +-=.（Ⅱ）将13,2,x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入224x y x +=得230t t --=，143130∆=+⨯=>，故方程有两个不等实根12,t t 分别对应点,P Q ，1212=33AP AQ t t t t ∴⋅⋅=⋅=-=，即AP AQ ⋅=3.23.解：（Ⅰ）25211x x x -++>-等价于5225211x x x x ⎧≥⎪⎨⎪-++>-⎩或152252211x x x x ⎧-<<⎪⎨⎪-++>-⎩或1252211x x x x ⎧≤-⎪⎨⎪--->-⎩ 分别解得52x ≥ 或无解或12x ≤- 综上：不等式的解集为1522x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或. （Ⅱ）()2521(25)(21)6f x x x x x =-++≥--+=当且仅当(25)(21)0x x -+≤即1522x -≤≤时()f x 有最小值6，1661657a a a ∴-<∴-<-<∴-<<即()5,7a ∈-.。

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