2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系2012.12.10
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
3）异面直线的画法 b
说明: 画异面直线时 , 为了体现 它们不共面的特点。常借 助一个或两个平面来衬托. 如图：
a b
a
(1)
A
a
b
(2)
(3)
2 、空间中直线与直线之间的位置关系
相交直线 同在一个平面内 按平面基本性质分 不同在任何一个平面内: 异面直线 平行直线
有一个公共点: 按公共点个数分 无 公 共 点
O
H E F
G
与HF的错开程度可以怎样来刻
画呢?
D A
B
C
解决问题
思想方法 : 平移转化成相交直线所成的角,即化空间图形问题为平面图形问题
异面直线所成角的定义: 如图,已知两条异面直线 a , b , 经过空间任
一点O作 直线 a′∥a , b ′∥b 则把 a ′与 b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线
证明：连结BD ∵ EH是△ABD的中位线 ∴EH ∥BD且EH = BD 同理，FG ∥BD且FG = BD ∴EH ∥FG且EH =FG ∴EFGH是一个平行四边形
A
H
E
D G B F C
如果再加上条件AC = BD,那么四边形EFGH是什么图形？
在平面内, 我们可以证明 “ 如果一个角的两边与另一个角的 两边分别平行，那么这两个角相等或互补 ”．空间中这一结 论是否仍然成立呢？
1
C1
B1
主要特征：既不平行，也不相交
讲授新课
2.为了表示异面直线 a，b不共面的特点， 作图时，通常用一个或两个平面衬托，如 下图。
b
b
b
a
a
a
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
注2：一般常把点O取在直线a或b上
b
注3：异面直线所成角的取值范围：
0 90
O
a’
a
α
异面直线
5、两条异面直线垂直 如果两条异面直线所成角是直角，则说 这两条异面直线垂直。记作：a⊥b
典型例题
例1、如图表示一个正方体
(1)图中哪些棱所在的直线与直线BA1 成异面直线
(2)求直线BA1与CC1的夹角 D1 的度数
A1
(3)哪些棱所在的直线与直
线AA1垂直
D
A
C1 B1
C B
例2、如图，在长方体中，已知AA1=AD=a, AB= 3 a，求AB1与BC1所成的角的余弦值
D1 A1
C1 B1
D
C
A
B
空间两条直线的位置关系： 相交、平行、异面
⑴空间两条直线的位置关系归纳为：
位置关系 是否共面 公共点情况 记 法
作业：
P56 习题2.1A组 3（4）（5） 4（1）（2）（3） 5， 6
平行
异面
公共点个数 是否共面
只有一个 共面
没有 没有
共面 不共面
空间线线位置关系
空间两条直线的位置关系：
⑴ 相交直线 —— 有且仅有一个公共点；
⑵ 平行直线 —— 在同一个平面内，没有 公共点；
⑶ 异面直线 —— 不同在任何一个平面内， 没有公共点
异面直线
1、异面直线的定义： 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异 面直线
(2) 公理法
例1：如图，空间四边行ABCD中，E，F，G， H分别是AB，BC，CD，DA的中点.求证：四 边形EFGH是平行四边形.
A
变式：如果再加上
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系一、教学目标：（1）知识与技能目标掌握空间直线的位置关系，理解异面直线的概念，并能判断各种位置关系；理解公理4并能应用它证明简单的几何题。
（2）过程与方法目标通过学习经历异面直线的概念的形成过程，借助平面的衬托，体会异面直线的直观画法，并指导学生画两异面直线的位置关系；通过观察事物，引出两直线的三种位置关系，又由观察导出公理4，遵循了由特殊到一般，由简单到复杂的认知规律。
（3）情感态度与价值观通过欣赏、运用空间直线各具特点的丰富多彩的不同位置关系，培养学生的空间想象能力。
感悟数学的奇异美、和谐美、简洁美，培养学生的美学意识。
让学生自主发现问题与解决问题，养成独立思考的习惯。
二、教学重点和难点1.教学重点:（1）异面直线的概念；（2）公理4及其运用。
2.教学难点：异面直线的概念、异面直线的画法，公理4及其运用。
三、学法与教学用具：1.学法：学生通过阅读教材、思考与教师交流、概括，从而较好地完成本节课的教学目标。
2.教学用具：自制教具，教学课件四、教学过程：接下来我们给异面直线下一个定义。
”关系。
1.异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
（强调不同在任何平面内）师：“定义跟既不相交也不平行这一说法有什么不一样呢？”判别一：两直线不同在任何一个平面内则叫做异面直线。
判别二：两直线既不相交、又不平行则叫做异面直线。
2.空间中两条直线的位置关系根据是否共面分为：根据是否有交点分为：小练习：下图长方形中（1）说出一下各对线段的位置关系①EC 和BH是相交直线②BD和FH是平行直线③BH和DC是异面直线（2）与棱AB所在直线异面的棱共有条3.异面直线的画法观察：如下图能否说直线l和m是异面直线？（展示图片，让学生自由发言。
）说明：画异面直线时，为了体现它们不共面的特点，常借助一个或两个平面来衬托。
展示三种异面直线的画法。
L M 理解异面直线的定义，注意是不同在任何平面内的直线。
2.1.2_空间中直线与直线之间的位置关系
求证：直线AB和a是异面直线。
证明:(反证法)
A
假设直线AB和a不是异面直线。
则直线AB和a一定共面，设为
B, a 又 B a,
a
B
a与B确定一平面（公理2的推论1）
与重合， A，这与已知A∉α矛盾，
所以直线AB和a是异面直线。
2 、空间中直线与直线之间的位置关系
按平面基本性质分
同在一个平面内
H E
D A
(2).与棱 A B 所在直线异面的棱共有 4 条?
分别是 ：CG、HD、GF、HE
课后思考: 这个长方体的棱中共有多少对异面直线?
G F
C B
巩固：
1. 画两个相交平面，在这两个平面内各画 一条直线，使它们成为： ⑴平行直线；⑵相交直线；⑶异面直线.
巩固： 1. 画两个相交平面，在这两个平面内各画 一条直线，使它们成为： ⑴平行直线；⑵相交直线；⑶异面直线.
面直线所成的角。 三求：在一恰当的三角形中求出角
D1
C1
（1）如图，观察长方体
A1
ABCD-A1B1C1D1，有没有两条棱
D
所在 的直线是相互垂直的异面直线？ A
B1 C
B
（2）如果两条平行线中的一条与某一条直线垂直， 另一条直线是否与这条直线垂直？
（3）垂直于同一条直线的两条直线是否平行？
例3
直线有 （C）
（A）2对 （B）3对
（C）6对 （D）12对
3、两条直线a,b分别和异面直线c,d都相交，则 直线a，b的位置关系是（D） （A）一定是异面直线（B）一定是相交直线 （C）可能是平行直线 （D）可能是异面直线，也可能是相交直线 4、一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它 和另一条的位置关系是( D)
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
B
G C
D F
填空： 平行 1、空间两条不重合的直线的位置关系有________、 ________、 相交 异面 ________三种。 平行 2、没有公共点的两条直线可能是________直线，也有可能是 异面 ________直线。 3、和两条异面直线中的一条平行的直线与另一条的位置关系 相交、异面 有______________。 无数 4 、过已知直线上一点可以作______条直线与已知直线垂直。 无数 5 、过已知直线外一点可以作______条直线与已知直线垂直。
二、空间直线的平行关系
1、平行关系的传递性
2、等角定理
定理：不在同一平面内的两个角，如果其中一 个角的两边与另一个角的两边分别平行并且方 向相同，那么这两个角相等。
三、两条异面直线所成的角
如图所示，a，b是两条异面直线， 在空间中任选一点O， 任选
过O点分别作 a，b的平行线 a′和 b′， 则这两条线所成 称为异面直线a，b所成的角。 的锐角θ （或直角），
思考题： 1、a与b是异面直线，且c∥a，则c与b一定（ D ）。 （A）异面 （B）相交 （C）平行 （D）不平行 2、正方体一条对角线与正方体的棱可组成的异面直线的对数 是（ A ）对。 （A）6 （B）3 （C）8 （D）12 3、一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定（B ） 平面。 （A）一个 （B）两个 （C）三个 （D）四个
若a∥b，b∥c， 则 a∥c。
c
a
a
b
c
α
二、空间直线的平行关系
1、平行关系的传递性 例1：在正方体ABCD—A1B1C1D1中，直线 AB与C1D1 ，AD1 与 BC1 是什么位置关系？为什么？ 解： 1）∵AB∥A1B1， C1D1 ∥A1B1， ∴ AB ∥ C1D1 2）∵AB ∥C1D1 ，且AB = C1D1 ∴ ABC1D1为平行四边形 故AD1 ∥ BC1
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
3．一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和 另一条的位置关系是( A．平行或异面 C．异面 ) B．相交或异面 D．相交
解析：如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，AA1 与 BC 是异面直线，又 AA1∥BB1，AA1∥DD1，显然 BB1∩BC ＝B，DD1 与 BC 是异面直线． 答案：B
2.1.2
空间中直线与直线之间 的位置关系
立交桥
六角螺母
D C A B
两条直 线既不 平行也 不相交
一、空间两直线的位置关系
m P l′ l m
m′
图1
图2
从图中可见，直线 l 与 m 既不相交，也不平行、空 间中两直线之间的这种关系称为异面直线.
1.异面直线 不同在任何一个平面内 的两条直线叫做异面直线.
类型 2 平行公理和等角定理的应用(互动探究)
[典例 2]
如图所示，在正方体 ABCDA′B′C′D′中，
E，F，E′，F′分别是 AB，BC，A′B′，B′C′的 中点，求证：EE′∥FF′.
[迁移探究 1]
(变换条件、改变问法)在典例 2 中，
若 M，N 分别是 A′D′，C′D′的中点，求证：四边形 ACNM 是梯形． 证明：如图所示，连接 A′C′，
异面直线
不同在任何一个平面内---------异面直线
相交直线
在同一平面内-------平行直线
2. 空间两平行直线
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质 都适用. 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据. 符号表示：设空间中的三条直线分别为a, b, c, 若 a∥b a∥c
（既不相交也不平行的两条直线）
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
α
β
方向相同或相反，结果如何？
β γ
α
一组边的方向相同，而另一组边的 方向相反，又如何？
β α
，互补
等角定理: 空间中如果两个角的两边分别对 应平行，那么这两个角相等或互补.
推论：如果两条相交直线和另两条 相交直线分别平行，那么这两组直 线所成的锐角(或直角)相等.
把两条异面直线所成的角，转化为两条相交直线所成的
角.
D1
C1
A1
B1
45
C
o
D
A
B
例2:(2)哪些棱所在直线与直线AA1垂直？
D1
C1
A1
B1
D
A
C
B
如图,已知长方体ABCD-EFGH中,AB = 2 3 , AD = 2 3 ,AE = 2 (1)求BC 和EG 所成的角是多少度? (2)求AE 和BG 所成的角是多少度? 解答：
AC∥ A’C’∥ EF, OG ∥B’D B’D 与EF所成的角 即为AC与OG所成的角, 即为∠AOG或其补角.
O
G
小结
异面直线的定义: 不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线. 相交直线 空间两直线的位置关系 平行直线
异面直线
异面直线的画法 异面直线所成的角 用平面来衬托 平移，转化为相交直线所成的角
l1
A
l2
记作： l1 l2 A
l1
l2
两直线平行 ②没有公共点
记作：l1 // l2
两直线为异面直线
(2)从平面的性质来讲，可分为：
两直线相交 ①在同一平面内 两直线平行 ②不在同一平面内——两直线为异面直线
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
bB
aA
异面直线的判定定理:平面外一直线与平面相交, 则此直线与平面内不经过这一交点的直线异面.
练:如图,a,b是异面直线，A, B a, C, D b
E,F分别是线段Ac,BD的中点.判断直线EF
与a的位置关系.
aA
B
E
F
b
C D
四、直线与直线的位置关系
例8.(1)一条直线与两条异面直线中的一条相交,那 么它与另一条之间的位置关系( )
A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 可能平行,可能相交,可能异面
(2)异面直线在同一平面的射影可能有几种情况？
5.异面直线的距离 思考:和两条异面直线都垂直的直线有多少条？
观察三棱柱各条棱所在直线的位置关系:
A1
C1
B1
A
C
B
定义：不同在任何一个平面内的两条直线为异面直线
空间两直线的位置关系
（1）从公共点的数目来看可分为： ①有且只有一个公共点,则两直线相交 两平行直线
②没有公共点则 两直线为异面直线
（2）从平面的性质 来讲，可分为： 两直线相交
①在同一平面内 两直线平行
别作直线a1∥a，b1∥b，我们把直线a1和b1所成的
锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。
b
a α
b
b1 a1
θ Oa
O
α
说明:①异面直线a和b所成的角的范围：0 90o
②异面直线a和b所成的角的大小与点O的位置无关； ③异面直线a和b所成的角的作法步骤.
例4. 如图，正方体中，求 D1
补充训练
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
2、空间中直线和直线之间的位置关系【主要知识】（一）空间两条直线的位置关系（1）相交直线——在同一平面内，有且仅有一个公共点； （2）平行直线——在同一平面内，没有公共点；（3）异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点。
若从有无公共点的角度看，可分两类： ①有且仅有一个公共点——相交直线②没有公共点——⎩⎨⎧异面直线平行直线若从是否共面的角度看，也可分两类：①在同一平面内——⎩⎨⎧平行直线相交直线②不在同一平面内——异面直线（三）异面直线1、异面直线的画法：aba bαα2、异面直线所成角（1）异面直线所成角的范围：____________（2）两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点→平移→定角→计算【习题讲解】1、异面直线是（ ）A 、同在某一个平面内的两条直线B 、某平面内一条直线和这个平面外的一条直线C 、分别位于两个不同平面内的两条直线D 、无交点且不共面的两条直线2、分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是（ ）. A 、异面 B 、平行 C 、相交 D 、以上都有可能3、下列说法中，正确的有（ ）①空间中，两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补。
②垂直于同一条直线的两条直线平行。
③分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线。
④若a 、b 是异面直线，b 、c 是异面直线，则a 、c 也是异面直线。
A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个4、把两条异面直线称作“一对”，在正方体的十二条棱中，异面直线的对数为（ ）. A 、12 B 、24 C 、36 D 、48【变式】若把两异面直线看成“一对”，则六棱锥的棱所在12条直线中，异面直线共有（ ） A 、12对 B 、24对 C 、36对 D 、48对5、如图，正方体1111D C B A ABCD -，E 、F 分别是AD 、AA 1的中点. （1）求直线AB 1和CC 1所成的角的大小；（2）求直线AB 1和EF 所成的角的大小.【变式】5-1、如图，正方体1111ABCD A B C D -中，直线1AB 与1BC 所成角为______度。
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
β
？
b
a c
2.1.2
空间直线与直线之间的位置关系
？问题：在同一平面内，平行于同一
条直线的两直线平行，在空间中此结 论仍成立吗？
2.1.2
公理4
空间直线与直线之间的位置关系
平行于同一条直线的两直线互相平行
（空间平行线的传递性）
理解：
（1）已知直线a、b、c，且 a∥b，b∥c，则a∥c （2）空间平行直线具有传递性 （3）互相平行的直线表示空间 里的一个确定的方向
3．一条直线与两条平行线中的一条是异面直线， 那么它与另一条的位置关系是（ D ） A．相交 B．异面 C．相交或异面或平行 D．相交或异面
4.在空间四边形S-ABC中，SA⊥BC且 SA=BC,
E, F分别为SC、AB 的中点，那么异面直线EF
与SA 所成的角等于（ B ）
(A)300
(B)450
(C)600
S
(D)900
E
A D
C
F
B
2. 空间四边形 顺次连结不共面的四点A、B、C、D, 所组成的四边形叫做空间四边形， 相对顶点A和C，B和D的连线AC、 BD是这个空间四边形的对角线.
例 1 如图所示， 空间四边形 ABCD 中，E、F、G、 H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点.求证：四 边形 EFGH 是平行四边形．
b′
b
O
a
a′
思考：异面直线所成角的范围是 .2
空间直线与直线之间的位置关系 异面直线所成角的范围是 (0, ] 2
若 2 ，则两异面直线 a , b互相垂直。
记为a b
例：A1 A B1C1
例1 在正方体ABCD-A’B’C’D’中 ①哪些棱所在直线与直线BA’是异面直线？ ②求直线BA’与CC’的夹角的度数； ③哪些棱所在直线与直线AA’垂直？
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
作业: 作业 作业本： 作业本： 1.P51习题 习题2.1 A组第 题 组第6题 习题 组第
2.补充：如图空间四边形ABCD中，P、R分别是 、 补充：如图空间四边形 分别是AB 补充 中 分别是 CD的中点，且PR= 的中点， 的中点 所成的角。 所成的角。
学评： 学评：P24-27
， 与 2 ，AC=BD=2，求AC与BD D R A P B C
公理4的符号表述为： 公理 的符号表述为： 的符号表述为 a//c，b//c ⇒ a//b. ， 公理4反映了两条直线的位置关系. 公理 反映了两条直线的位置关系 反映了两条直线的位置关系 公理4主要用来证明两条直线平行， 公理 主要用来证明两条直线平行，它是 主要用来证明两条直线平行 证明两直线平行的重要依据. 证明两直线平行的重要依据
A
nαΒιβλιοθήκη b abα
a
α
α
a
归纳: 空间中直线与直线之间的位置关系: 归纳 空间中直线与直线之间的位置关系 1:按公共点的数目分类： 按公共点的数目分类：
①只有一个公共点——相交直线 只有一个公共点——相交直线 —— 没有公共点：平行直线、 ②没有公共点：平行直线、异面直线 按平面的基本性质分类： 2:按平面的基本性质分类： ①在同一平面内：相交直线、平行直线 在同一平面内：相交直线、 不在同一平面内： ②不在同一平面内：异面直线
巩固、提高
例1、在正方体 、在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求： 所成的角； （1）A1B与CC1所成的角； ） 与 口答 所成的角； （2） A1B1与C1C所成的角； ） 所成的角 （3）A1C1与BC所成的角； ） 所成的角； 所成的角 所成的角。 （4）A1C1与D1C所成的角。 ） 所成的角 （2）∠A1B1B=90o ） （4）∠BA1C1=600 ）
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
P482(1) 45O;
(2) ∵BB’ ∥AA’且∠B’BC’ 为锐角， ∴∠B’BC’为异面直线AA’与BC’的夹角. ∵ B’C’=AD,BB’=AA’,且∠BB’C’ ＝90o ∴BC’=4,∠B’BC’＝60o， 所以直线AA’和BC’的夹角是60o。
D' A'
C' B'
D A
C B
P521(1) N
1、异面直线的概念：
我们把不同在任何一个平面内的两条直 线叫做异面直线. 空间两条直线的位置关系就有且只有三种：
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点.
共面直线
平行直线：同一平面内，没有公共点.
异面直线：不同在任何一个平面内.
2、画法：通常为了能直观形象地表 示异面直线，作图时，常用一个或两 个平面来衬托。
B
C
D
G
E
F
∠ABC= ∠DEF, ∠ABC+ ∠DEG=180O
P481;P513,6
（第二课时－异面直线所成角）
温故知新
1、异面直线的概念：
我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫 做异面直线.
空间两条直线的位置关系就有且只有三种：
相交直线：同一平面内，有且只有一个 公共点。
共面直线
平行直线：同一平面内，没有公共点
是平行的
C' B'
C B
联系其他事实，我们有如下规律：
公理4：平行于同一条直线的两条直 线互相平行。
设a、b、c 是三条直线，
空间四边形：不在同一平面上的四条线段 首尾相接，并且最后一条的尾端与最初一 条的首端重合，这样的图形叫做空间四边 形。
AC与BD叫做空间四边形的对角线。
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
直线AB和直线CD
12/14/2012
三、新知建构，交流展示
观察 如图，长方体ABCD-A'B'C'D'中，
BB'//AA',DD'//AA',那么BB'与DD'平行吗？
D
C
B
A
D
C
A
B
平行
12/14/2012
三、新知建构，交流展示
思 考 在同一平面内，如果两条直线都与第三条 直线平行，那么这两条直线相互平行．在空间 中，如果两条直线都与第三条直线平行，是否 也有类似的规律？
12/14/2012
一、导学提示，自主学习
2.本节主要题型 题型一 空间两条直线位置关系的判断 题型二 求两条异面直线所成的角 题型三 公理4的应用 题型四 等角定理的应用 3.自主学习教材P44-P47 2.1.2空间中直 线与直线之间的位置关系
12/14/2012
二、课堂设问，任务驱动
1.同一平面内的直线有哪些位置关系？ a o
12/14/2012
三、新知建构，交流展示
AC// A C , • B// A
C
A B
C
AБайду номын сангаас
C
B
A
B
C
B
A
B
A
CAB C A B
CAB C A B 180
12/14/2012
三、新知建构，交流展示
我们知道，在平面内两直线相交成四个角，不 大于90°的角成为夹角。 夹角 a
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
2.1.2 空间中直线与直线的位置关系
3: 1) ( 定义中体现了什么样的数学思想? (将两条异面直线所成的角转化为平面上的相交直线的夹 角, 实现了空间问题向平面问题的转化, 使平面几何与立体 几何建立了联系, 体现了转化与化归的思想)
(2) ”的选取有什么技巧吗? “O (a与 b所成角的大小与点 O 的位置无关, 为了简便, O 点 常取在两条异面直线中的一条上. 例如取在直线 b上, 然 后过点 O 作直线 a' ∥a, 与 b所成的锐角( a' 或直角) 即为异 面直线 a与 b所成的角)
公理 4及等角定理的应用
【例 2】 在正方体 AB C D A 1B 1C 1D 1中, 、Q 、M 、N 分别为 AD 、 P AB、 1D 1、 1C 1的中点, C B 求证: 1P ∥C N , 1Q ∥C M , A A 且∠P A 1Q =∠M C N .
证明: A 1B 1的中点 K , 取 连接 B K、K M . 易知四边形 M K BC 为平行 四边形. ∴C M ∥B K. 又∵A 1K∥B Q 且 A 1K =B Q , ∴四边形 A 1K B Q 为平行四边形, ∴A 1Q ∥B K , 由公理 4有 A 1Q ∥CM , 同理可证 A 1P ∥C N , 由于∠P A 1Q 与∠M CN 对应边分别平行, 且方向相反, ∴∠P A 1Q =∠M C N .
������ ������ 在 Rt △M H E 中, M =1, H = E F = , E E „„„„„„„„„„( 8分) ������ ������ ������ 则 si n∠E M H = , 于是∠E M H =60° , ������
则∠E M F =2∠E M H =120° . „„„„„„„„„„„„„„( 10分) 所以异面直线 AD 、 C 所成的角为∠E M F 的补角, B 即异面直线 AD 、 B C 所成的角为 60° . „„„„„„„„„„„„„„„„„( 12分)
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________． (2)直线A1B与直线B1C的位置关系________． (3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________． (4)直线AB与直线B1C的位置关系是________． [答案] (1)平行 (2)异面 (3)相交 (4)异面
5．两条异面直线所成的角(夹角) (1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任 一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的 直角 _____(或______) 叫做异面直线 a与b所成的角(或 锐角 夹角)． [名师点拨] 在定义中，空间一点O是任取的， 根据等角定理，可以断定异面直线所成的角与a′， b′所成的锐角(或直角)相等，而与点O的位置无 关．异面直线所成的角是刻画两条异面直线相 对位置的一个重要的量，是通过转化为相交直 线所成的角来解决的．
(2)图示：如图(1)(2)所示，为了表示异面直线不共面 的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托．
2．空间两条直线的位置关系 (1)相交直线——同一平面内，__________一个公共点． 有且只有 公共点． (2)平行直线——同一平面内，__________ (3)异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点． 没有
4．已知空间两个角α，β，且α与β的两边对 应平行，α＝60°，则β为( ) A．60° B．120° C．30° D．60°或120° [答案] D [解析] ∵α与β的两边对应平行，∴α与β相 等或互补，故β为60°或120°.
5．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，则：
[归纳总结] 等角定理是由平面图形推广到空间 图形而得到的，它是公理4的直接应用，并且当 这两个角的两边方向分别相同或相反时，它们 相等，否则它们互补． 初中的一些结论在空间中仍然成立：如果两条 平行线中的一条垂直于第三条直线，那么另一 条也垂直于第三条直线．但是，初中有的结论 在空间中不成立：如果两条直线都和第三条直 线垂直，那么这两条直线平行．初中的结论在 空间中成立的标准是已知条件能确定在同一个 平面内，在空间中就成立，否则不成立．
课件10：2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
题型二 公理 4 及等角定理的应用 多维探究型 【例 2】在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，P、Q、M、N 分别为 AD、 AB、C1D1、B1C1 的中点，求证：A1P∥CN，A1Q∥CM，且∠PA1Q ＝∠MCN.
证明： 取 A1B1 的中点 K，连接 BK、KM. 易知四边形 MKBC 为平行四边形，所以 CM∥BK. 又因为 A1K∥BQ 且 A1K＝BQ， 所以四边形 A1KBQ 为平行四边形，所以 A1Q∥BK， 由公理 4 有 A1Q∥CM，同理可证 A1P∥CN， 由于∠PA1Q 与∠MCN 对应边分别平行，且方向相反， 所以∠PA1Q＝∠MCN.
[化解疑难] 求异面直线所成的角需注意的问题 (1)a 与 b 所成角的大小与点 O 无关，为了简便，点 O 常取在两条异 面直线中的一条上，例如取在直线 b 上，然后过点 O 作直线 a′∥a， a′与 b 所成的角即为异面直线 a 与 b 所成的角. (2)将两条异面直线所成的角转化为平面上的相交直线的夹角，实现 了空间问题向平面问题的转化． (3)两条直线垂直，既包括相交垂直，也包括异面垂直.
取 EM 的中点 H，连 OH，则 OH⊥EM，
12
在
Rt△OEH
中，所以
cos∠OEM＝EOHE＝2×12
＝
2 4.
[归纳升华] 求异面直线所成角的一般步骤： (1)找(或作出)异面直线所成的角——用平移法，若题设中有中 点，常考虑中位线． (2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所 找的角． (3)结论——设(2)所求角大小为 θ.若 0°＜θ≤90°，则 θ 即为所求； 若 90°＜θ＜180°，则 180°－θ 即为所求.
[归纳升华] 判定两直线异面的常用方法 1．定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内； 2．排除法(反证法)：排除两直线共面(平行或相交)的情况．
(原创)2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
练习
若三个平面两两相交有三条交线，若其中 两条相交于一点，证明第三条交线也过这 一点。
已知： c， a，
b，a b O
求证：O c
c O
b
a
证明：
Ob，b ，O
O a，a ，O
O在与的交线上，
又 c，O c
异面直线的求法: 一作(找)二证三求
1、若两直线没有公共点，则这两条直线互相平行。
（ ×）
2、若两直线都和第三条直线相交，那么这两条直线
互相平行。
（×）
3、两条直线异面指的是某一平面内的一条直线和这
个平面外的一条直线。
（×）
4、若两直线都和第三条直线异面，则这两条直线互
相平行。
（×）
5、若两直线都和第三条直线平行，则这两条直线互
相平行。
b a'
O
如果两条异面直线所成的角为直角， 那么就称这两条异面直线垂直。
例 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求下列异面
直线所成的角:
（1）A1B与CC1（2）AB与B1C1（3）A1B与AC.
解:（1） BB1 // CC1
D1
C1
A1BB1就是A1B与CC1所成的角， A1
B1
等于45
课堂小结
异面直线的定义: 不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。
相交直线
空间两直线的位置关系
平行直线
异面直线
异面直线的画法 用平面来衬托
异面直线所成的角 平移，转化为相交直线所成的角
公理４： 在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行． 空间中，如果两个角的两边分别对应平行，
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
B
F
C
同理，FG // BD, FG 1 BD.因为EH // FG，EH FG
所以
2 四边行EFGH为平行四边行。
问题5： 在例2中，若把条件改为：E，F，G，H分别是AB， AE AH CF CG BC，CD，DA上的点， 1
那么四边形EFGH是什么图形？为什么？
EB HD FB GD
BB1 // AA1 , DD1 // AA1 BB1 // DD1
作用：判断空间两条直线平行的依据。 性质：平行线的传递性。
例2：如图，空间四边行ABCD中，E，F，G，H分别 是AB，BC，CD，DA的中点。求证：四边行EFGH是 A 平行四边行。 证明： 连接BD，
E D G H
因为 EH是三角形ABD的中位 线 1 所以 EH // BD, EH BD. 2
1:观察长方体ABCD-A1B1C1D1，有 没有两条棱所在的直线是互相垂直 的异面直线。
C B1
2：如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那 么，另一条直线是否也与这条直线垂直？ 3：垂直于一条直线的两条直线是否平行？
例3：如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1
A1
D1 C1 B1 D C
（1）哪些棱所在直线与直线 BA1 是异面直线？ （2）直线 BA1和CC1的夹角是多 少？ （3）哪些棱所在直线与直线 AA1 垂直？
A
B
思考题：1）两条直线同时垂直第三条直线，试判断这两条直 线的位置关系。
2）如图所示，正四面体P-ABC中，D、E是棱PC上不 p 重合的两点；F、H分别是棱PA、PB上的点，且与P点不重合。
C1 j D1 C D A1 B A B1
求证：EF和DH是异面直线。 3）如图所示,在正方体A1B1C1D1A
2.1.2 空间中直线与直线的位置关系
精讲点拨
6
7
达标检测
8
归纳延伸
1．求证两直线平行有两种常用的方法：一是应用公理4，证明时要充分应用 好平面几何知识，如平行线分线段成比例定理、三角形的中位线定理等； 二是证明在同一平面内，这两条直线无公共点．
2．求证角相等也有两种常用的方法：一是应用等角定理，在证明的过程中 常用到基本性质4，注意两角对应边方向的讨论；二是应用三角形全等或 相似．
课后作业：1.导学案第28页ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2、第29页4
2.预习《两异面直线所成的角》
2．1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
1. 会判断空间两直线的位置关系．(重点) 2．能用公理4和等角定理解决一些简单的相关问题．(重点)
预习检测
任何一个平面内
一个
没有
任何一个平面内
没有
2
3
平行线的传递性
平行
平行
相等 互补
C
4
探究展示 1.不同在一个平面内的两条直线是异面直线吗？ 2.直线a与直线b异面，直线b与直线c异面，那么a与c异面吗？
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
2．1.2 空间中直线与直线之间的位置关系1．空间中两条直线的位置关系2．异面直线(1)定义：把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线． (2)画法：(通常用平面衬托)3．平行公理(公理4)文字表述：平行于同一条直线的两条直线平行．这一性质叫做空间平行公理． 符号表述：⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b b ∥c ⇒a ∥c . 4．等角定理空间中如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补． 5．异面直线所成的角θ(1)定义：已知两条异面直线a ，b ，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，我们把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．(2)范围：(0°，90°]．(3)当θ＝90°时，a 与b 互相垂直，记作a ⊥b .1．异面直线是指()A．空间中两条不相交的直线B．分别位于两个不同平面内的两条直线C．平面内的一条直线与平面外的一条直线D．不同在任何一个平面内的两条直线答案：D2．如图所示，在三棱锥PABC的六条棱所在的直线中，异面直线共有()A．2对B．3对C．4对D．6对答案：B3．若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是()A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1与l4既不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定解析：选D.在长方体模型中进行推理论证，利用排除法求解．如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，记l1＝DD1，l2＝DC，l3＝DA，若l4＝AA1，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，此时l1∥l4，可以排除选项A和C.若l4＝DC1，也满足条件，可以排除选项B.故选D.4．空间两个角α、β且α与β的两边对应平行，若α＝60°，则β的大小为________．答案：60°或120°5．在图中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．解析：图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H ∉面GMN，因此GH与MN异面．所以在图②④中GH与MN异面．答案：②④类型一空间两条直线的位置关系例1►如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：①直线A1B与直线D1C的位置关系是________；②直线A1B与直线B1C的位置关系是________；③直线D1D与直线D1C的位置关系是________；④直线AB与直线B1C的位置关系是________．【解析】直线D1D与直线D1C相交于D1点，所以③应该填“相交”；直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线平行，所以①应该填“平行”；点A1，B，B1在平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C异面．同理，直线AB与直线B1C异面，所以②④应该填“异面”．【答案】①平行②异面③相交④异面【点评】判定两直线的位置关系时，若要判定直线平行或相交可用平面几何中的定义和方法来处理，判定异面直线的方法往往根据“连接平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过此点的直线是异面直线”来判断．1．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN是异面直线．以上四个命题中，正确命题的序号是()A．①②③B．②④C．③④D．②③④解析：选C.把平面图形还原为立体图形进行选择，如图，BM与ED是异面直线，CN与BE是平行直线．故①②不正确，排除A，B，D，故选C.类型二平行公理与等角定理的应用例2►如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．(1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形；(2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1.【证明】(1)在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点，∴MM1綊AA1，又∵AA1綊BB1，∴MM1∥BB1，且MM1＝BB1，∴四边形BB1M1M为平行四边形．(2)法一：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1∥BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1∥CM，由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角．∴∠BMC＝∠B1M1C1.法二：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形．∴B1M1＝BM，同理可得四边形CC1M1M为平行四边形．∴C1M1＝CM.又∵B1C1＝BC，∴△BCM≌△B1C1M1.∴∠BMC＝∠B1M1C1.【点评】(1)平行四边形是平面图形，若能证得四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形就是平行四边形．常运用公理4证明分别在两个不同平面的两条直线平行，往往通过“中间量”即第三条直线来实现．(2)证明角相等，利用空间等角定理是常用的思考方法；另外也可以通过证明两个三角形全等或相似来证明两角相等．在应用等角定理时应注意说明这两个角同为锐角、直角或钝角．2．(1)空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形；(2)如图，在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，∠ADC 与∠A ′D ′C ′，∠ADC 与∠A ′B ′C ′的两边分别对应平行．这两组角的大小关系如何？解：(1)证明：如图，连接BD ， 因为EH 是△ABD 的中位线， 所以EH ∥BD ，且EH ＝12BD .同理，FG ∥BD ，且FG ＝12BD .因为EH ∥FG ，且EH ＝FG . 所以四边形EFGH 为平行四边形．(2)由等角定理可知，∠ADC ＝∠A ′D ′C ′，∠ADC ＋∠A ′B ′C ′＝180°. 类型三 异面直线所成的角例3►在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，求异面直线AC 1与B 1D 1所成的角．【解】 法一：如图，连接A 1C 1交B 1D 1于O 点，则O 为A 1C 1的中点，取A 1A 的中点E ，连接EO ，则EO 綊12AC 1.∴∠EOB 1为异面直线AC 1与B 1D 1所成的角(或其补角)． 设该正方体的棱长为2a .在△B 1OE 中，B 1O ＝12B 1D 1＝2a ，B 1E ＝A 1E 2＋A 1B 21＝5a ，EO ＝12AC 1＝3a . ∵EO 2＋B 1O 2＝B 1E 2，∴△B 1OE 为直角三角形，∠EOB 1＝90°. ∴AC 1与B 1D 1所成的角为90°.法二：如图，在正方体的右侧补上一个同样大小的正方体BF1.连接C1E1，AE1，∵C1E1綊B1D1，∴∠AC1E1为异面直线AC1与B1D1所成的角(或其补角)．设正方体棱长为2a，易得C1E1＝22a，AC1＝23a，AE1＝25a.验证知：AE21＝AC21＋C1E21，∴∠AC1E1＝90°.∴AC1与B1D1所成的角为90°.【点评】(1)求两条异面直线所成的角的数学思想是化空间为平面，也就是通过平移直线至相交位置求角，它是立体几何问题的一个难点，找异面直线所成的角时可综合运用多种方法，总结起来有如下“口诀”：中点、端点定顶点，平移常用中位线；平行四边形柱中见，指出成角很关键；求角构造三角形，锐角、钝角要明辨；平行线若在外，补上原体在外边．(2)求两异面直线所成角的基本步骤是：3.如图所示，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，D、E分别是VB、VC的中点，求异面直线DE与AB所成的角．解：由已知得BC⊥AC，又BC＝AC，∴∠ABC＝45°.又在△VBC中，D、E分别为VB、VC中点，∴DE∥BC，∴DE与AB所成的角为∠ABC＝45°.1．下面三个说法：①若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面；②若a∥b，则a，b与c所成的角相等；③若a⊥b，b⊥c，则a∥c.其中正确的个数为()A．0B．3C．2 D．1解析：选 D.①中当a∥c，且a，b异面，b，c异面时，a与c共面，故①错，②正确；③中a与c还可能相交或异面，故③错．2．分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是()A．相交B．异面C．异面或相交D．平行解析：选C.如图有两种情况．3.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，过顶点A1与正方体其他顶点的连线与直线BC1成60°角的条数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：选B.有2条：A1B和A1C1.4．如图所示，在三棱锥SMNP中，E、F、G、H分别是棱SN、SP、MN、MP的中点，则EF与HG 的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．平行或异面解析：选A.∵E、F分别是SN和SP的中点，∴EF∥PN.同理可证HG∥PN，∴EF∥HG.5．如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB，CD在原正方体中的位置关系是()A．平行B．相交且垂直C．异面D．相交成60°解析：选D.还原成正方体后，B、D重合为一点，如图所示．连AC易知△ABC为等边三角形．6．如图所示，长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是________．解析：如图所示，连接B1G、B1F，显然B1G∥A1E.∴∠B1GF是异面直线A1E与GF所成角或其补角．又∵B1F＝5，B1G＝2，FG＝3，∴∠B1GF＝90°.答案：90°7.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，E、F分别是AB、AC上的点，且AE∶EB＝AF∶FC，则EF与B1C1的位置关系是________．解析：∵在△ABC中，AE∶EB＝AF∶FC，∴EF∥BC，又∵BC∥B1C1，∴EF∥B1C1.答案：平行8．直三棱柱ABCA1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于________．解析：由题意知：由题中的直三棱柱补成一个正方体ABDCA1B1D1C1，∵AC1∥BD1，∴∠A1BD1即为异面直线BA1与AC1所成的角．∵△A1BD1为正三角形，∴∠A 1BD 1＝60°. 答案：60° 9.如图，三棱锥A BCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点， (1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)若四边形EFGH 是矩形，求证：AC ⊥BD .证明：(1)如题图，在△ABD 中，E ，H 分别是AB ，AD 的中点， ∴EH ∥BD .同理FG ∥BD ，∴EH ∥FG . ∴E ，F ，G ，H 四点共面． (2)若四边形EFGH 是矩形． 则EH ⊥GH .由(1)知EH ∥BD ，同理AC ∥GH .∴AC ⊥BD .10．如图，等腰直角三角形ABC 中，∠A ＝90°，BC ＝2，DA ⊥AC ，DA ⊥AB ，若DA ＝1，且E 为DA 的中点，求异面直线BE 与CD 所成角的余弦值．解：取AC 的中点F ，连接EF 、BF ，在△ACD 中，E 、F 分别是AD 、AC 的中点，∴EF ∥CD ，∴∠BEF 即为所求的异面直线BE 与CD 所成的角或其补角． 在Rt △EAB 中， AB ＝1，AE ＝12AD ＝12，∴BE ＝52. 在Rt △AEF 中，AC ＝1，AF ＝12，AE ＝12，∴EF ＝22.在Rt △ABF 中，AB ＝1，AF ＝12，∴BF ＝52.在等腰三角形EBF 中，作BG ⊥EF 于G ，则G 为EF 中点． cos ∠FEB ＝12EF BE ＝2452＝1010，10 10.∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为。
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2、公理4所表述的性质，叫做空间平行线的传递性
3、证明空间两直线平行 的方法：
(1) 定义法：一要证两直线在同一平面内；二要证 两直线没有公共点(反证法) (2) 公理法
例2：如图，空间四边行ABCD中，E，F，G， H分别是AB，BC，CD，DA的中点.求证：四 边形EFGH是平行四边形.
本课小结
作业：
P51 习题2.1A组 3（4）（5）
4（1）（2）（3） 5， 6
作业：如图，单位正方 AC1中，E、F分别为AB、AD的中点， 体
) 求： 、BD1与EF所成角的余弦值大小；(中位线平移 (1) ) (2) BD1与A1E所成角的余弦值的大小 (平行四边形平移 、 ； ) (3) BD1与CE所成角的余弦值的大小 (补 形 平移 、 ；
b b b
a
a
a
如图所示：正方体的棱所在 的直线中，与直线A1B异面的 有哪些？ 答案： D1 C1
A1 B1 D A B C
D1C1、C1C、CD
D1D、 AD、 B1C1
平行公理 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行
a//b 即:a、b、c为直线，则 a // c c//b 注：
D1
A1 D B1 G C P C1
F
A
E
B
自我加压
1.课本习题 9.2 第 6、7 2.自助餐： 已知异面直线 a,b 所成的角为 50o， 为空间一点， P 则过 点P且 （1） a,b 所成角都是 25o 的直线有且只有＿ ＿ ＿条 。 与 （2） a,b 所成角都是 30o 的直线有且只有＿ ＿ ＿条 。 与 （3） a,b 所成角都是 65o 的直线有且只有＿ ＿ ＿条 。 与 （4） a,b 所成角都是 70o 的直线有且只有＿ ＿ ＿条 。 与
相交
公共点个数
是否共面
只有一个
共面
平行
异面
没有
没有
共面
不共面
空间线线位置关系 空间两条直线的位置关系： ⑴ 相交直线 —— ⑵ 平行直线 —— 有且仅有一个公共点； 在同一个平面内，没有 公共点； 不同在任何一个平面内， 没有公共点
⑶ 异面直线 ——
异面直线 1、异面直线的定义： 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异 面直线 2、异面直线的画法(利用平面作为衬托)
D1
A1 D B1
C1
C B
例2、如图，在长方体中，已知AA1=AD=a, AB= 3 a，求AB1与BC1所成的角的余弦值
D1
A1 C1 B1
D
A B
C
练习1
正方体ABCD- A1B1C1D1 中,AC、BD交于O,则 OB1与A1C1所成的角的度数为 900
B1
C1 D1
A1
D O
C
A
B
练习2 在正四面体S-ABC中，SA⊥BC, E, F分别为SC、AB 的 中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于（ B ）
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
观察实例
复习与准备：平面内两条直线的位置关系
相交直线
平行直线
a o b
平行直线 （无公共点）
a b
D
B C
立交桥
相交直线 （有一个公共点）
A
两路相交
立交桥中, 两条路线AB, CD 既不平行，又不相交
定义 不同在任何一个平面内的两 条直线叫做异面直线。
位置关系
b
0 90
α
O a
a’
异面直线 5、两条异面直线垂直 如果两条异面直线所成角是直角，则说 这两条异面直线垂直。记作：a⊥b
典型例题
例1、如图表示一个正方体
(1)图中哪些棱所在的直线与直线BA1 成异面直线 (2)求直线BA1与CC1的夹角 的度数
(3)哪些棱所在的直线与直 线AA1垂直 A
D
A
B
E
C
等角定理2:如果一个角的两边 和另一个角的两边分别平行且 方向相同，那么这两个角相等
A1
D1 E1 C1
B1
异面直线 3、判定方法： (1)、定义法：由定义判定两直线不可能 在同一平面内.(借助反证法) (2)、（补充）判定定理：过平面外一点 与平面内一点的直线，和平面内不经过该 点的直线是异面直线
·
A
已知：
a , A , B , B a
a
B
求证：直线AB和a是异面直线
异面直线 4、两条异面直线所成的角 定义：直线a、b为异面直线，经过空间任一点O， 分别引a′∥a，b′∥b，则相交直线a′，b′所成的 锐角（或直角）叫做两条异面直线a、b所成的角 (或夹角)
注1：异面直线a、b所成角，只与a、b的相互位置有 关，而与点O位置无关 注2：一般常把点O取在直线a或b上 注3：异面直线所成角的取值范围：
(A)300 (D)900
(B)450
(C)600
S
Hale Waihona Puke E A D CF B
练习2（解法 二）
S
E A D C
G
F B
练习2 （解法三） S S E C E A F F C B A B
空间两条直线的位置关系： 相交、平行、异面
⑴空间两条直线的位置关系归纳为：
位置关系 相交直线 是否共面 公共点情况 记 法 在同一个平面 有且只有一个 内 公共点
a∩b＝A
平行直线
异面直线 不同在任何一 个平面内
没有公共点
a∥b
• 1、空间直线的位置关系； • 2、异面直线的概念 • 3、异面直线画法及判定
• 4、平面图形适用的结论，对于立体图形不一 定适用，需要验证。 • 5、异面直线所成的角1、求异面直线所成的角 是把空间角转化为平面 角，体现了化归的数学 思想。化归的一般步骤是：定角求角定角一般 方法有：(1）平移法（常用方法）(2）补形法
A
H
变式：如果再加上 条件AC=BD，那 么四边形EFGH是 什么图形？
E
D
G B F C
平行公理 练习：四边形ABCD是空间四边形，E、H分 别是AB，AD的中点 ，F、G分别是CB， CD上的点，且
CF CG 2 CB CD 3
A
求证：四边形EFGH是梯形
H E D G B F C
等角定理 等角定理1:如果一个角的两边 和另一个角的两边分别对应平 行，那么这两个角相等或互补