2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系2012.12.10
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2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
3）异面直线的画法 b
说明: 画异面直线时 , 为了体现 它们不共面的特点。常借 助一个或两个平面来衬托. 如图：
a b
a
(1)
A
a
b
(2)
(3)
2 、空间中直线与直线之间的位置关系
相交直线 同在一个平面内 按平面基本性质分 不同在任何一个平面内: 异面直线 平行直线
有一个公共点: 按公共点个数分 无 公 共 点
O
H E F
G
与HF的错开程度可以怎样来刻
画呢?
D A
B
C
解决问题
思想方法 : 平移转化成相交直线所成的角,即化空间图形问题为平面图形问题
异面直线所成角的定义: 如图,已知两条异面直线 a , b , 经过空间任
一点O作 直线 a′∥a , b ′∥b 则把 a ′与 b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线
证明：连结BD ∵ EH是△ABD的中位线 ∴EH ∥BD且EH = BD 同理，FG ∥BD且FG = BD ∴EH ∥FG且EH =FG ∴EFGH是一个平行四边形
A
H
E
D G B F C
如果再加上条件AC = BD,那么四边形EFGH是什么图形？
在平面内, 我们可以证明 “ 如果一个角的两边与另一个角的 两边分别平行，那么这两个角相等或互补 ”．空间中这一结 论是否仍然成立呢？
1
C1
B1
主要特征：既不平行，也不相交
讲授新课
2.为了表示异面直线 a，b不共面的特点， 作图时，通常用一个或两个平面衬托，如 下图。
b
b
b
a
a
a
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
注2：一般常把点O取在直线a或b上
b
注3：异面直线所成角的取值范围：
0 90
O
a’
a
α
异面直线
5、两条异面直线垂直 如果两条异面直线所成角是直角，则说 这两条异面直线垂直。记作：a⊥b
典型例题
例1、如图表示一个正方体
(1)图中哪些棱所在的直线与直线BA1 成异面直线
(2)求直线BA1与CC1的夹角 D1 的度数
A1
(3)哪些棱所在的直线与直
线AA1垂直
D
A
C1 B1
C B
例2、如图，在长方体中，已知AA1=AD=a, AB= 3 a，求AB1与BC1所成的角的余弦值
D1 A1
C1 B1
D
C
A
B
空间两条直线的位置关系： 相交、平行、异面
⑴空间两条直线的位置关系归纳为：
位置关系 是否共面 公共点情况 记 法
作业：
P56 习题2.1A组 3（4）（5） 4（1）（2）（3） 5， 6
平行
异面
公共点个数 是否共面
只有一个 共面
没有 没有
共面 不共面
空间线线位置关系
空间两条直线的位置关系：
⑴ 相交直线 —— 有且仅有一个公共点；
⑵ 平行直线 —— 在同一个平面内，没有 公共点；
⑶ 异面直线 —— 不同在任何一个平面内， 没有公共点
异面直线
1、异面直线的定义： 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异 面直线
(2) 公理法
例1：如图，空间四边行ABCD中，E，F，G， H分别是AB，BC，CD，DA的中点.求证：四 边形EFGH是平行四边形.
A
变式：如果再加上
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系一、教学目标：（1）知识与技能目标掌握空间直线的位置关系，理解异面直线的概念，并能判断各种位置关系；理解公理4并能应用它证明简单的几何题。
（2）过程与方法目标通过学习经历异面直线的概念的形成过程，借助平面的衬托，体会异面直线的直观画法，并指导学生画两异面直线的位置关系；通过观察事物，引出两直线的三种位置关系，又由观察导出公理4，遵循了由特殊到一般，由简单到复杂的认知规律。
（3）情感态度与价值观通过欣赏、运用空间直线各具特点的丰富多彩的不同位置关系，培养学生的空间想象能力。
感悟数学的奇异美、和谐美、简洁美，培养学生的美学意识。
让学生自主发现问题与解决问题，养成独立思考的习惯。
二、教学重点和难点1.教学重点:（1）异面直线的概念；（2）公理4及其运用。
2.教学难点：异面直线的概念、异面直线的画法，公理4及其运用。
三、学法与教学用具：1.学法：学生通过阅读教材、思考与教师交流、概括，从而较好地完成本节课的教学目标。
2.教学用具：自制教具，教学课件四、教学过程：接下来我们给异面直线下一个定义。
”关系。
1.异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
（强调不同在任何平面内）师：“定义跟既不相交也不平行这一说法有什么不一样呢？”判别一：两直线不同在任何一个平面内则叫做异面直线。
判别二：两直线既不相交、又不平行则叫做异面直线。
2.空间中两条直线的位置关系根据是否共面分为：根据是否有交点分为：小练习：下图长方形中（1）说出一下各对线段的位置关系①EC 和BH是相交直线②BD和FH是平行直线③BH和DC是异面直线（2）与棱AB所在直线异面的棱共有条3.异面直线的画法观察：如下图能否说直线l和m是异面直线？（展示图片，让学生自由发言。
）说明：画异面直线时，为了体现它们不共面的特点，常借助一个或两个平面来衬托。
展示三种异面直线的画法。
L M 理解异面直线的定义，注意是不同在任何平面内的直线。
2.1.2_空间中直线与直线之间的位置关系
求证：直线AB和a是异面直线。
证明:(反证法)
A
假设直线AB和a不是异面直线。
则直线AB和a一定共面，设为
B, a 又 B a,
a
B
a与B确定一平面（公理2的推论1）
与重合， A，这与已知A∉α矛盾，
所以直线AB和a是异面直线。
2 、空间中直线与直线之间的位置关系
按平面基本性质分
同在一个平面内
H E
D A
(2).与棱 A B 所在直线异面的棱共有 4 条?
分别是 ：CG、HD、GF、HE
课后思考: 这个长方体的棱中共有多少对异面直线?
G F
C B
巩固：
1. 画两个相交平面，在这两个平面内各画 一条直线，使它们成为： ⑴平行直线；⑵相交直线；⑶异面直线.
巩固： 1. 画两个相交平面，在这两个平面内各画 一条直线，使它们成为： ⑴平行直线；⑵相交直线；⑶异面直线.
面直线所成的角。 三求：在一恰当的三角形中求出角
D1
C1
（1）如图，观察长方体
A1
ABCD-A1B1C1D1，有没有两条棱
D
所在 的直线是相互垂直的异面直线？ A
B1 C
B
（2）如果两条平行线中的一条与某一条直线垂直， 另一条直线是否与这条直线垂直？
（3）垂直于同一条直线的两条直线是否平行？
例3
直线有 （C）
（A）2对 （B）3对
（C）6对 （D）12对
3、两条直线a,b分别和异面直线c,d都相交，则 直线a，b的位置关系是（D） （A）一定是异面直线（B）一定是相交直线 （C）可能是平行直线 （D）可能是异面直线，也可能是相交直线 4、一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它 和另一条的位置关系是( D)
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
A E
B
G C
D F
填空： 平行 1、空间两条不重合的直线的位置关系有________、 ________、 相交 异面 ________三种。 平行 2、没有公共点的两条直线可能是________直线，也有可能是 异面 ________直线。 3、和两条异面直线中的一条平行的直线与另一条的位置关系 相交、异面 有______________。 无数 4 、过已知直线上一点可以作______条直线与已知直线垂直。 无数 5 、过已知直线外一点可以作______条直线与已知直线垂直。
二、空间直线的平行关系
1、平行关系的传递性
2、等角定理
定理：不在同一平面内的两个角，如果其中一 个角的两边与另一个角的两边分别平行并且方 向相同，那么这两个角相等。
三、两条异面直线所成的角
如图所示，a，b是两条异面直线， 在空间中任选一点O， 任选
过O点分别作 a，b的平行线 a′和 b′， 则这两条线所成 称为异面直线a，b所成的角。 的锐角θ （或直角），
思考题： 1、a与b是异面直线，且c∥a，则c与b一定（ D ）。 （A）异面 （B）相交 （C）平行 （D）不平行 2、正方体一条对角线与正方体的棱可组成的异面直线的对数 是（ A ）对。 （A）6 （B）3 （C）8 （D）12 3、一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定（B ） 平面。 （A）一个 （B）两个 （C）三个 （D）四个
若a∥b，b∥c， 则 a∥c。
c
a
a
b
c
α
二、空间直线的平行关系
1、平行关系的传递性 例1：在正方体ABCD—A1B1C1D1中，直线 AB与C1D1 ，AD1 与 BC1 是什么位置关系？为什么？ 解： 1）∵AB∥A1B1， C1D1 ∥A1B1， ∴ AB ∥ C1D1 2）∵AB ∥C1D1 ，且AB = C1D1 ∴ ABC1D1为平行四边形 故AD1 ∥ BC1
B
G C
D F
填空： 平行 1、空间两条不重合的直线的位置关系有________、 ________、 相交 异面 ________三种。 平行 2、没有公共点的两条直线可能是________直线，也有可能是 异面 ________直线。 3、和两条异面直线中的一条平行的直线与另一条的位置关系 相交、异面 有______________。 无数 4 、过已知直线上一点可以作______条直线与已知直线垂直。 无数 5 、过已知直线外一点可以作______条直线与已知直线垂直。
二、空间直线的平行关系
1、平行关系的传递性
2、等角定理
定理：不在同一平面内的两个角，如果其中一 个角的两边与另一个角的两边分别平行并且方 向相同，那么这两个角相等。
三、两条异面直线所成的角
如图所示，a，b是两条异面直线， 在空间中任选一点O， 任选
过O点分别作 a，b的平行线 a′和 b′， 则这两条线所成 称为异面直线a，b所成的角。 的锐角θ （或直角），
思考题： 1、a与b是异面直线，且c∥a，则c与b一定（ D ）。 （A）异面 （B）相交 （C）平行 （D）不平行 2、正方体一条对角线与正方体的棱可组成的异面直线的对数 是（ A ）对。 （A）6 （B）3 （C）8 （D）12 3、一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定（B ） 平面。 （A）一个 （B）两个 （C）三个 （D）四个
若a∥b，b∥c， 则 a∥c。
c
a
a
b
c
α
二、空间直线的平行关系
1、平行关系的传递性 例1：在正方体ABCD—A1B1C1D1中，直线 AB与C1D1 ，AD1 与 BC1 是什么位置关系？为什么？ 解： 1）∵AB∥A1B1， C1D1 ∥A1B1， ∴ AB ∥ C1D1 2）∵AB ∥C1D1 ，且AB = C1D1 ∴ ABC1D1为平行四边形 故AD1 ∥ BC1
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
3．一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和 另一条的位置关系是( A．平行或异面 C．异面 ) B．相交或异面 D．相交
解析：如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，AA1 与 BC 是异面直线，又 AA1∥BB1，AA1∥DD1，显然 BB1∩BC ＝B，DD1 与 BC 是异面直线． 答案：B
2.1.2
空间中直线与直线之间 的位置关系
立交桥
六角螺母
D C A B
两条直 线既不 平行也 不相交
一、空间两直线的位置关系
m P l′ l m
m′
图1
图2
从图中可见，直线 l 与 m 既不相交，也不平行、空 间中两直线之间的这种关系称为异面直线.
1.异面直线 不同在任何一个平面内 的两条直线叫做异面直线.
类型 2 平行公理和等角定理的应用(互动探究)
[典例 2]
如图所示，在正方体 ABCDA′B′C′D′中，
E，F，E′，F′分别是 AB，BC，A′B′，B′C′的 中点，求证：EE′∥FF′.
[迁移探究 1]
(变换条件、改变问法)在典例 2 中，
若 M，N 分别是 A′D′，C′D′的中点，求证：四边形 ACNM 是梯形． 证明：如图所示，连接 A′C′，
异面直线
不同在任何一个平面内---------异面直线
相交直线
在同一平面内-------平行直线
2. 空间两平行直线
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质 都适用. 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据. 符号表示：设空间中的三条直线分别为a, b, c, 若 a∥b a∥c
（既不相交也不平行的两条直线）
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
α
β
方向相同或相反，结果如何？
β γ
α
一组边的方向相同，而另一组边的 方向相反，又如何？
β α
，互补
等角定理: 空间中如果两个角的两边分别对 应平行，那么这两个角相等或互补.
推论：如果两条相交直线和另两条 相交直线分别平行，那么这两组直 线所成的锐角(或直角)相等.
把两条异面直线所成的角，转化为两条相交直线所成的
角.
D1
C1
A1
B1
45
C
o
D
A
B
例2:(2)哪些棱所在直线与直线AA1垂直？
D1
C1
A1
B1
D
A
C
B
如图,已知长方体ABCD-EFGH中,AB = 2 3 , AD = 2 3 ,AE = 2 (1)求BC 和EG 所成的角是多少度? (2)求AE 和BG 所成的角是多少度? 解答：
AC∥ A’C’∥ EF, OG ∥B’D B’D 与EF所成的角 即为AC与OG所成的角, 即为∠AOG或其补角.
O
G
小结
异面直线的定义: 不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线. 相交直线 空间两直线的位置关系 平行直线
异面直线
异面直线的画法 异面直线所成的角 用平面来衬托 平移，转化为相交直线所成的角
l1
A
l2
记作： l1 l2 A
l1
l2
两直线平行 ②没有公共点
记作：l1 // l2
两直线为异面直线
(2)从平面的性质来讲，可分为：
两直线相交 ①在同一平面内 两直线平行 ②不在同一平面内——两直线为异面直线
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
例6.求证:平面外一直线 与平面相交,则此直线与 平面内不经过这一交点 的直线异面.
bB
aA
异面直线的判定定理:平面外一直线与平面相交, 则此直线与平面内不经过这一交点的直线异面.
练:如图,a,b是异面直线，A, B a, C, D b
E,F分别是线段Ac,BD的中点.判断直线EF
与a的位置关系.
aA
B
E
F
b
C D
四、直线与直线的位置关系
例8.(1)一条直线与两条异面直线中的一条相交,那 么它与另一条之间的位置关系( )
A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 可能平行,可能相交,可能异面
(2)异面直线在同一平面的射影可能有几种情况？
5.异面直线的距离 思考:和两条异面直线都垂直的直线有多少条？
观察三棱柱各条棱所在直线的位置关系:
A1
C1
B1
A
C
B
定义：不同在任何一个平面内的两条直线为异面直线
空间两直线的位置关系
（1）从公共点的数目来看可分为： ①有且只有一个公共点,则两直线相交 两平行直线
②没有公共点则 两直线为异面直线
（2）从平面的性质 来讲，可分为： 两直线相交
①在同一平面内 两直线平行
别作直线a1∥a，b1∥b，我们把直线a1和b1所成的
锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。
b
a α
b
b1 a1
θ Oa
O
α
说明:①异面直线a和b所成的角的范围：0 90o
②异面直线a和b所成的角的大小与点O的位置无关； ③异面直线a和b所成的角的作法步骤.
例4. 如图，正方体中，求 D1
补充训练
bB
aA
异面直线的判定定理:平面外一直线与平面相交, 则此直线与平面内不经过这一交点的直线异面.
练:如图,a,b是异面直线，A, B a, C, D b
E,F分别是线段Ac,BD的中点.判断直线EF
与a的位置关系.
aA
B
E
F
b
C D
四、直线与直线的位置关系
例8.(1)一条直线与两条异面直线中的一条相交,那 么它与另一条之间的位置关系( )
A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 可能平行,可能相交,可能异面
(2)异面直线在同一平面的射影可能有几种情况？
5.异面直线的距离 思考:和两条异面直线都垂直的直线有多少条？
观察三棱柱各条棱所在直线的位置关系:
A1
C1
B1
A
C
B
定义：不同在任何一个平面内的两条直线为异面直线
空间两直线的位置关系
（1）从公共点的数目来看可分为： ①有且只有一个公共点,则两直线相交 两平行直线
②没有公共点则 两直线为异面直线
（2）从平面的性质 来讲，可分为： 两直线相交
①在同一平面内 两直线平行
别作直线a1∥a，b1∥b，我们把直线a1和b1所成的
锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。
b
a α
b
b1 a1
θ Oa
O
α
说明:①异面直线a和b所成的角的范围：0 90o
②异面直线a和b所成的角的大小与点O的位置无关； ③异面直线a和b所成的角的作法步骤.
例4. 如图，正方体中，求 D1
补充训练
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1、直线a，b，c 两两平行，可记为a // b // c
2、公理4所表述的性质，叫做空间平行线的传递性
3、证明空间两直线平行 的方法：
(1) 定义法：一要证两直线在同一平面内；二要证 两直线没有公共点(反证法) (2) 公理法
例2：如图，空间四边行ABCD中，E，F，G， H分别是AB，BC，CD，DA的中点.求证：四 边形EFGH是平行四边形.
本课小结
作业：
P51 习题2.1A组 3（4）（5）
4（1）（2）（3） 5， 6
作业：如图，单位正方 AC1中，E、F分别为AB、AD的中点， 体
) 求： 、BD1与EF所成角的余弦值大小；(中位线平移 (1) ) (2) BD1与A1E所成角的余弦值的大小 (平行四边形平移 、 ； ) (3) BD1与CE所成角的余弦值的大小 (补 形 平移 、 ；
b b b
a
a
a
如图所示：正方体的棱所在 的直线中，与直线A1B异面的 有哪些？ 答案： D1 C1
A1 B1 D A B C
D1C1、C1C、CD
D1D、 AD、 B1C1
平行公理 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行
a//b 即:a、b、c为直线，则 a // c c//b 注：
D1
A1 D B1 G C P C1
F
A
E
B
自我加压
1.课本习题 9.2 第 6、7 2.自助餐： 已知异面直线 a,b 所成的角为 50o， 为空间一点， P 则过 点P且 （1） a,b 所成角都是 25o 的直线有且只有＿ ＿ ＿条 。 与 （2） a,b 所成角都是 30o 的直线有且只有＿ ＿ ＿条 。 与 （3） a,b 所成角都是 65o 的直线有且只有＿ ＿ ＿条 。 与 （4） a,b 所成角都是 70o 的直线有且只有＿ ＿ ＿条 。 与
相交
公共点个数
是否共面
只有一个
共面
平行
异面
没有
没有
共面
不共面
空间线线位置关系 空间两条直线的位置关系： ⑴ 相交直线 —— ⑵ 平行直线 —— 有且仅有一个公共点； 在同一个平面内，没有 公共点； 不同在任何一个平面内， 没有公共点
⑶ 异面直线 ——
异面直线 1、异面直线的定义： 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异 面直线 2、异面直线的画法(利用平面作为衬托)
D1
A1 D B1
C1
C B
例2、如图，在长方体中，已知AA1=AD=a, AB= 3 a，求AB1与BC1所成的角的余弦值
D1
A1 C1 B1
D
A B
C
练习1
正方体ABCD- A1B1C1D1 中,AC、BD交于O,则 OB1与A1C1所成的角的度数为 900
B1
C1 D1
A1
D O
C
A
B
练习2 在正四面体S-ABC中，SA⊥BC, E, F分别为SC、AB 的 中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于（ B ）
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
观察实例
复习与准备：平面内两条直线的位置关系
相交直线
平行直线
a o b
平行直线 （无公共点）
a b
D
B C
立交桥
相交直线 （有一个公共点）
A
两路相交
立交桥中, 两条路线AB, CD 既不平行，又不相交
定义 不同在任何一个平面内的两 条直线叫做异面直线。
位置关系
b
0 90
α
O a
a’
异面直线 5、两条异面直线垂直 如果两条异面直线所成角是直角，则说 这两条异面直线垂直。记作：a⊥b
典型例题
例1、如图表示一个正方体
(1)图中哪些棱所在的直线与直线BA1 成异面直线 (2)求直线BA1与CC1的夹角 的度数
(3)哪些棱所在的直线与直 线AA1垂直 A
D
A
B
E
C
等角定理2:如果一个角的两边 和另一个角的两边分别平行且 方向相同，那么这两个角相等
A1
D1 E1 C1
B1
异面直线 3、判定方法： (1)、定义法：由定义判定两直线不可能 在同一平面内.(借助反证法) (2)、（补充）判定定理：过平面外一点 与平面内一点的直线，和平面内不经过该 点的直线是异面直线
·
A
已知：
a , A , B , B a
a
B
求证：直线AB和a是异面直线
异面直线 4、两条异面直线所成的角 定义：直线a、b为异面直线，经过空间任一点O， 分别引a′∥a，b′∥b，则相交直线a′，b′所成的 锐角（或直角）叫做两条异面直线a、b所成的角 (或夹角)
注1：异面直线a、b所成角，只与a、b的相互位置有 关，而与点O位置无关 注2：一般常把点O取在直线a或b上 注3：异面直线所成角的取值范围：
(A)300 (D)900
(B)450
(C)600
S
Hale Waihona Puke E A D CF B
练习2（解法 二）
S
E A D C
G
F B
练习2 （解法三） S S E C E A F F C B A B
空间两条直线的位置关系： 相交、平行、异面
⑴空间两条直线的位置关系归纳为：
位置关系 相交直线 是否共面 公共点情况 记 法 在同一个平面 有且只有一个 内 公共点
a∩b＝A
平行直线
异面直线 不同在任何一 个平面内
没有公共点
a∥b
• 1、空间直线的位置关系； • 2、异面直线的概念 • 3、异面直线画法及判定
• 4、平面图形适用的结论，对于立体图形不一 定适用，需要验证。 • 5、异面直线所成的角1、求异面直线所成的角 是把空间角转化为平面 角，体现了化归的数学 思想。化归的一般步骤是：定角求角定角一般 方法有：(1）平移法（常用方法）(2）补形法
A
H
变式：如果再加上 条件AC=BD，那 么四边形EFGH是 什么图形？
E
D
G B F C
平行公理 练习：四边形ABCD是空间四边形，E、H分 别是AB，AD的中点 ，F、G分别是CB， CD上的点，且
CF CG 2 CB CD 3
A
求证：四边形EFGH是梯形
H E D G B F C
等角定理 等角定理1:如果一个角的两边 和另一个角的两边分别对应平 行，那么这两个角相等或互补
2、公理4所表述的性质，叫做空间平行线的传递性
3、证明空间两直线平行 的方法：
(1) 定义法：一要证两直线在同一平面内；二要证 两直线没有公共点(反证法) (2) 公理法
例2：如图，空间四边行ABCD中，E，F，G， H分别是AB，BC，CD，DA的中点.求证：四 边形EFGH是平行四边形.
本课小结
作业：
P51 习题2.1A组 3（4）（5）
4（1）（2）（3） 5， 6
作业：如图，单位正方 AC1中，E、F分别为AB、AD的中点， 体
) 求： 、BD1与EF所成角的余弦值大小；(中位线平移 (1) ) (2) BD1与A1E所成角的余弦值的大小 (平行四边形平移 、 ； ) (3) BD1与CE所成角的余弦值的大小 (补 形 平移 、 ；
b b b
a
a
a
如图所示：正方体的棱所在 的直线中，与直线A1B异面的 有哪些？ 答案： D1 C1
A1 B1 D A B C
D1C1、C1C、CD
D1D、 AD、 B1C1
平行公理 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行
a//b 即:a、b、c为直线，则 a // c c//b 注：
D1
A1 D B1 G C P C1
F
A
E
B
自我加压
1.课本习题 9.2 第 6、7 2.自助餐： 已知异面直线 a,b 所成的角为 50o， 为空间一点， P 则过 点P且 （1） a,b 所成角都是 25o 的直线有且只有＿ ＿ ＿条 。 与 （2） a,b 所成角都是 30o 的直线有且只有＿ ＿ ＿条 。 与 （3） a,b 所成角都是 65o 的直线有且只有＿ ＿ ＿条 。 与 （4） a,b 所成角都是 70o 的直线有且只有＿ ＿ ＿条 。 与
相交
公共点个数
是否共面
只有一个
共面
平行
异面
没有
没有
共面
不共面
空间线线位置关系 空间两条直线的位置关系： ⑴ 相交直线 —— ⑵ 平行直线 —— 有且仅有一个公共点； 在同一个平面内，没有 公共点； 不同在任何一个平面内， 没有公共点
⑶ 异面直线 ——
异面直线 1、异面直线的定义： 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异 面直线 2、异面直线的画法(利用平面作为衬托)
D1
A1 D B1
C1
C B
例2、如图，在长方体中，已知AA1=AD=a, AB= 3 a，求AB1与BC1所成的角的余弦值
D1
A1 C1 B1
D
A B
C
练习1
正方体ABCD- A1B1C1D1 中,AC、BD交于O,则 OB1与A1C1所成的角的度数为 900
B1
C1 D1
A1
D O
C
A
B
练习2 在正四面体S-ABC中，SA⊥BC, E, F分别为SC、AB 的 中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于（ B ）
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
观察实例
复习与准备：平面内两条直线的位置关系
相交直线
平行直线
a o b
平行直线 （无公共点）
a b
D
B C
立交桥
相交直线 （有一个公共点）
A
两路相交
立交桥中, 两条路线AB, CD 既不平行，又不相交
定义 不同在任何一个平面内的两 条直线叫做异面直线。
位置关系
b
0 90
α
O a
a’
异面直线 5、两条异面直线垂直 如果两条异面直线所成角是直角，则说 这两条异面直线垂直。记作：a⊥b
典型例题
例1、如图表示一个正方体
(1)图中哪些棱所在的直线与直线BA1 成异面直线 (2)求直线BA1与CC1的夹角 的度数
(3)哪些棱所在的直线与直 线AA1垂直 A
D
A
B
E
C
等角定理2:如果一个角的两边 和另一个角的两边分别平行且 方向相同，那么这两个角相等
A1
D1 E1 C1
B1
异面直线 3、判定方法： (1)、定义法：由定义判定两直线不可能 在同一平面内.(借助反证法) (2)、（补充）判定定理：过平面外一点 与平面内一点的直线，和平面内不经过该 点的直线是异面直线
·
A
已知：
a , A , B , B a
a
B
求证：直线AB和a是异面直线
异面直线 4、两条异面直线所成的角 定义：直线a、b为异面直线，经过空间任一点O， 分别引a′∥a，b′∥b，则相交直线a′，b′所成的 锐角（或直角）叫做两条异面直线a、b所成的角 (或夹角)
注1：异面直线a、b所成角，只与a、b的相互位置有 关，而与点O位置无关 注2：一般常把点O取在直线a或b上 注3：异面直线所成角的取值范围：
(A)300 (D)900
(B)450
(C)600
S
Hale Waihona Puke E A D CF B
练习2（解法 二）
S
E A D C
G
F B
练习2 （解法三） S S E C E A F F C B A B
空间两条直线的位置关系： 相交、平行、异面
⑴空间两条直线的位置关系归纳为：
位置关系 相交直线 是否共面 公共点情况 记 法 在同一个平面 有且只有一个 内 公共点
a∩b＝A
平行直线
异面直线 不同在任何一 个平面内
没有公共点
a∥b
• 1、空间直线的位置关系； • 2、异面直线的概念 • 3、异面直线画法及判定
• 4、平面图形适用的结论，对于立体图形不一 定适用，需要验证。 • 5、异面直线所成的角1、求异面直线所成的角 是把空间角转化为平面 角，体现了化归的数学 思想。化归的一般步骤是：定角求角定角一般 方法有：(1）平移法（常用方法）(2）补形法
A
H
变式：如果再加上 条件AC=BD，那 么四边形EFGH是 什么图形？
E
D
G B F C
平行公理 练习：四边形ABCD是空间四边形，E、H分 别是AB，AD的中点 ，F、G分别是CB， CD上的点，且
CF CG 2 CB CD 3
A
求证：四边形EFGH是梯形
H E D G B F C
等角定理 等角定理1:如果一个角的两边 和另一个角的两边分别对应平 行，那么这两个角相等或互补