2.3.1直线与平面的垂直的概念及判定定理
必修2《2.3.1直线与平面垂直的判定》(新人教版)
A
1
直线A1B和平面A1B1CD所成
的角
D
B1
O
C
解：见板书
A
B
四：知识小结
1．直线与平面垂直的概念 2．直线与平面垂直的判定
（1）利用定义； 垂直于平面内任意一条直线 （2）利用判定定理．
即：线线垂直
线面垂直
3. 线面角的概念及范围: 0° ≤θ≤ 90°
五：作业 课本P67练习
生活中的线面垂直现象：
旗杆与底面垂直
塔与地面垂直
大桥的桥柱与水面垂直
军人与地面垂直
思 考 一条直线 与一个平面垂直
的意义是什么？ A
C
C1
α
B
B1
如果直线 l 与平面内的任意一条直线都垂直， 我们说直线 l 与平面 互相垂直， 记作 l ．垂足平面的垂线 Nhomakorabeal
P
直线 l 的垂面
画法:画直线与平面垂直时，常把直线画成与
总结：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，
那么另一条也垂直于这个平面。
三、直线和平面所成的角：
如图所示，一条直线PA和平面 相交，但不垂直，这
条直线叫这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足。
过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO ，过垂 足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影。
la
lb
a
l
b
abA
线不在多，相交就灵
l
b
Aa
作用： 判定直线与平面垂直． 记忆：线线垂直，则线面垂直
例1 如图
a
b
已知：a//b，a ， 求证：b .
n m
2.3.1直线与平面垂直的判定
D
C
直线与平面所成的角
P A O
α
一条直线PA和一个平 面α相交，但不和这个平 面垂直，这条直线叫做这 个平面的斜线，斜线和平 面的交点A叫做斜足。
过斜线上斜足以外的任意一点向平面 引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫 做斜线在这个平面上的射影。
直线与平面所成的角
线不在多，重在相交
l
P
l
m
n
如果两条平行直线中的一条垂直于一个平 面，那么另一条也垂直于这个平面。
a b
，a
b
a m
b
如图，直四棱柱 A1B1C1D1 ABCD （侧 棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱） 中，底面四边形ABCD满足什么条 B1D1？ 件时，AC 1
2.3.1直线和平面 垂直 的判定
直线和平面垂直的定义
如果一条直线 l 和一个平面 内的任何一 条直线都垂直， 则说这条直线 l 和这个平 面 互相垂直。 记为 l ，
l
P
叫做 l 的垂面 l 与 的交点P 叫做垂足
l
叫做 的垂线
画法： 一般把表示直线的线段画成和表示 平面的平行四边形的横边垂直。
P A O
α
平面的一条斜线和它 在这个平面上的射影所成的 锐角，叫做这条直线和这个 平面所成的角。
特别的，一条直线垂直于平面，我们说它 们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或 在平面内，我们说它们所成的角是0°的角。
直线和平面所成的角的取值范围是
[0°，90°]
例：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求 直线A1B和平面A1B定义，给出了证明线 线垂直的又一种方法：
2.3.1直线与平面垂直的判定定理
C
B
直线与平面垂直的判定定理
a 如果直线 和平面 内的两条相交直线 m,n都垂直，那么直线a 垂直平面 m , a 即： n , m n P a am m P n an
线线垂直 线面垂直
直线与平面垂直的性质
1、线垂直于面，线垂直 于面内的所有直线 a 符号语言： ab b 简记：线面垂直，则线线垂直
拓展思考
P是△ABC所在平面外一 点， PA、PB、PC两两垂 直，PH⊥平面ABC于H. 求证： 1 1 1 1
PA 2 PB 2 PC 2
D
PH 2
• 在△ABC中，∠BAC＝ 60°，线段AD⊥平面 ABC，AH⊥DBC，H为 垂足，求证：H不可能是 △BCD的垂心.
V
求证VB AC
D
C
A
B
教材74页B组练习2题
如图，在三棱锥 S ABC中，ABC 90 D是AC的中点，且SA SB SC
（1 ）求证：SD 平面ABC;
（2）若AB BC, 求证BD 平面SAC
教材67页练习2
练习2、如图,PA垂直于圆O所在面,AB是圆O的直径, C是圆周上一点,那么图中有几个直角三角形?
PA⊥α 于Α ,
P
PB⊥β于B,
AQ⊥l于Q,
求证:BQ⊥l .
A
l Q
B
平面α∩平面β＝CD，EA⊥α，垂足为A， EB⊥β，垂足为B，求证：CD⊥AB
练习4
3.正方体ABCD A1 B1C1 D1中，P为DD1中点， O为底面ABCD中心，
求证：B1O 平面PAC
练习5、折叠问题
2.3.1直线与平面垂直的判定定理
件时， AC BD ？
A
D
B
底面四边形 ABCD 对角
C
线相互垂直．
A
D
B
C
线面所成的角 关键：过斜线上一点作平面的垂线
斜线
斜足
A α
射影
P
线面所成角 （锐角∠PAO）
O
1.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求: （1）A1C1与面ABCD所成的角 （2） A1C1与面BB1D1D所成的角
BD,CD都在桌面内，BD∩CD=D， AD⊥CD,AD⊥BD,
直线AD所在的直线与桌面垂直 A
B
D
C
l
P
mn
直线与平面垂直判定定理
判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂 直，则该直线与此平面垂直．
la
l
l b a
A
Aa
“平面内”，“相交”，“垂直”三个条件必不可少
简记为：线线垂直
线面垂直
作用： 判定直线与平面垂直．
典型例题
例1 如图，已知 a // b, a ，求证 b .
即：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一 条也垂直于同一个平面
证明：在平面 内作
两条相交直线m，n．
a
b
因为直线 a ，
P
A C
B
1. 已知：正方体中，AC是面对角线，
BD′是与AC 异面的体对角线.求证：AC⊥BD′
D′
C′
D′
C′
A′A′
B′ B′
D
D
A
OB
C
C
A
B
l
b
2.3.1直线与平面垂直判定
举例
例2、有一根旗杆AB
高8cm,它的顶端A挂 有两条长10m的绳子， 拉紧绳子并把它的下 B 端放在地面上的两点 D C （和旗杆脚不在同一 条直线上 ）C、D. 如 果这两点都和旗杆脚B 的距离是6m,那么旗杆就和地面垂直,为什 么?
A
解 ： 在 ABC中 ，AC AB BC
2 2AB直线与平面垂直１、定义：一条直线和一个平面相交,且
和这个平面内的任意一条直线都垂直
记作 l 其中：交点 A 叫垂足
α
l
A
l 叫 的垂线， 叫 l 的垂面 l l 内的任意一条直线
练习 1.判断：
(1) 过一点有且只有一条直线和已知平面垂直 (2) 过一点有且只有一个平面和已知直线垂直
相交直线m,n都垂直,则直线l垂直平面α
l
线不在多,重在相交
B
m n
m , 已知： , n是内的两相交直线
直线l与的交点为 , 且l m, l n B
求证： l
练习
3. 判断命题的真假： (1) 垂直于三角形两边的直线必垂直于 第三边
(2) 垂直于梯形两边的直线必垂直于另 外的两边
作业
1. 课本P74练习2 2. 求证：如果一条直线平行于一个平面， 那么这个平面的任何垂线都和这条直线 垂直. 3. 思考题：如果一条直线垂直于平面内 的无数条直线，那么这条直线就和这个 平面垂直，这个结论对吗？为什么？
(3) 若三条共点的直线两两垂直，则其中 一 条垂直于另两条直线所确定的平面
举例 例1、已知：a // b, a 求证: b
a
n m
b
A
m
C
B
人教版高中数学必修二 第2章 2.3 2.3.1 直线与平面垂直的判定
2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定学习目标核心素养1.了解直线与平面垂直的定义．(重点)2.理解直线与平面垂直的判定定理，并会用其判断直线与平面垂直．(难点)3.理解直线与平面所成角的概念，并能解决简单的线面角问题．(易错点)1.通过学习直线与平面垂直的判定，提升直观想象、逻辑推理的数学素养.2.通过学习直线与平面所成的角，提升直观想象、数学运算的数学素养.1．直线与平面垂直定义如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直记法l⊥α有关概念直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．它们唯一的公共点P叫做垂足图示画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直文字语言一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直符号语言l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α图形语言3.直线和平面所成的角有关概念对应图形斜线与平面α相交，但不和平面α垂直，图中直线P A斜足斜线和平面的交点，图中点A射影过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影，图中斜线P A在平面α上的射影为AO直线与平面所成的角定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角.规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角取值范围[0°，90°]有直线”“无数条直线”？[提示]定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是等效的，但是不可说成“无数条直线”，因为一条直线与某平面内无数条平行直线垂直，该直线与这个平面不一定垂直．1．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于()A．平面OAB B．平面OACC．平面OBC D．平面ABCC[由线面垂直的判定定理知OA垂直于平面OBC.]2．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是()A．平行B．垂直C．相交不垂直D．不确定B[一条直线和三角形的两边同时垂直，则其垂直于三角形所在平面，从而垂直第三边．]3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AB1与平面ABCD所成的角等于________．45°[如图所示，因为正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1B⊥平面ABCD，所以AB即为AB1在平面ABCD中的射影，∠B1AB即为直线AB1与平面ABCD所成的角．由题意知，∠B1AB＝45°，故所求角为45°.]直线与平面垂直的判定【例1】如图，在三棱锥S-ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC.(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.[证明](1)因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，由已知SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，AC，BD⊂平面ABC，所以SD⊥平面ABC.(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD.又因为SD∩AC＝D，SD，AC⊂平面SAC，所以BD⊥平面SAC.证线面垂直的方法：(1)线线垂直证明线面垂直：①定义法(不常用，但由线面垂直可得出线线垂直)；②判定定理最常用：要着力寻找平面内哪两条相交直线(有时作辅助线)；结合平面图形的性质(如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直，也与另一条垂直等结论来论证线线垂直．(2)平行转化法(利用推论)：①a∥b，a⊥α⇒b⊥α；②α∥β，a⊥α⇒a⊥β.如图，AB是圆O的直径，P A垂直于圆O所在的平面，M是圆周上任意一点，AN⊥PM，垂足为N.求证：AN⊥平面PBM.[证明]设圆O所在的平面为α，∵P A⊥α，且BM⊂α，∴P A⊥BM.又∵AB为⊙O的直径，点M为圆周上一点，∴AM⊥BM. 由于直线P A∩AM＝A，∴BM⊥平面P AM，而AN⊂平面P AM，∴BM⊥AN.∴AN与PM、BM两条相交直线互相垂直．故A N⊥平面PBM.直线与平面所成的角[探究问题]1．若图中的∠POA是斜线PO与平面α所成的角，则需具备哪些条件？[提示]需要P A⊥α，A为垂足，OA为斜线PO的射影，这样∠POA就是斜线PO与平面α所成的角．2．空间几何体中，确定线面角的关键是什么？[提示]在空间几何体中确定线面角时，过斜线上一点向平面作垂线，确定垂足位置是关键，垂足确定，则射影确定，线面角确定．【例2】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值；(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角．[证明](1)∵直线A1A⊥平面ABCD，∴∠A1CA为直线A1C与平面ABCD所成的角，设A1A＝1，则AC＝2，∴tan∠A1CA＝2 2.(2)连接A1C1交B1D1于O(见题图)，在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1C1，又BB1∩B1D1＝B1，∴A1C1⊥平面BDD1B1，垂足为O.∴∠A1BO为直线A1B与平面BDD1B1所成的角，在Rt △A 1BO 中，A 1O ＝12A 1C 1＝12A 1B ， ∴∠A 1BO＝30°，即A 1B 与平面BDD 1B 1所成的角为30°.在本例正方体中，若E 为棱AB 的中点，求直线B 1E 与平面BB 1D 1D所成角的正切值．[解] 连接AC 交BD 于点O ，过E 作EO 1∥AC 交BD 于点O 1，易证AC ⊥平面BB 1D 1D ，∴EO 1⊥平面BB 1D 1D ，∴B 1O 1是B 1E 在平面BB 1D 1D 内的射影， ∴∠EB 1O 1为B 1E 与平面BB 1D 1D 所成的角． 设正方体的棱长为a ， ∵E 是AB 的中点，EO 1∥AC ， ∴O 1是BO 的中点，∴EO 1＝12AO ＝12×2a 2＝2a4， B 1O 1＝BO 21＋BB 21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 42＋a 2＝3a 22， ∴tan ∠EB 1O 1＝EO 1B 1O 1＝2a 43a 22＝13.求斜线与平面所成角的步骤：(1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算．(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角．(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．1．线线垂直和线面垂直的相互转化：2．证明线面垂直的方法：(1)线面垂直的定义．(2)线面垂直的判定定理．(3)如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．(4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．1．直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能()A．平行B．相交C．异面D．垂直A[若l∥m，l⊄α，m⊂α，则l∥α，这与已知l⊥α矛盾．所以直线l与m 不可能平行．]2．垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是()A．垂直B．相交但不垂直C．平行D．不确定A[因为梯形两腰所在直线为两条相交直线，所以由线面垂直的判定定理知，直线与平面垂直．选A.]3．如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是()A．60°B．45°C．30°D．120°A[∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB＝2BO，所以cos∠ABO＝12，即∠ABO＝60°. 故选A.]4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面BC1D. [证明]如图，连接AC，∴AC⊥BD，又∵BD⊥A1A，AC∩AA1＝A，AC，A1A⊂平面A1AC，∴BD⊥平面A1AC，∵A1C⊂平面A1AC，∴BD⊥A1C.同理可证BC1⊥A1C.又∵BD∩BC1＝B，BD，BC1⊂平面BC1D，∴A1C⊥平面BC1D.。
2.3.1直线与平面垂直的判定知识总结
高一数学必修二自助餐 编制：杨文教 校对：张小容 审核：张高万 日期：第 4周第 3次 高一数学必修二自助餐 编制：杨文教 校对：张小容 审核：张高万 日期：第 4周第 3次1§2.3.1直线与平面垂直的判定¤学习目标：以立体几何的定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面垂直的判定，掌握直线与平面垂直的定义，理解直线与平面垂直的判定定理，并会用定义和判定定理证明直线与平面垂直的关系. 掌握线面角的定义及求解.¤知识要点：1. 定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l 与平面α互相垂直，记作l α⊥. l －平面α的垂线，α－直线l 的垂面，它们的唯一公共点P 叫做垂足.（线线垂直→线面垂直）2. 判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直. 符号语言表示为：若l ⊥m ，l ⊥n ，m ∩n ＝B ，m ⊂α，n ⊂α，则l ⊥α3. 斜线和平面所成的角，简称“线面角”，它是平面的斜线和它在平面内的射影的夹角. 求直线和平面所成的角，几何法一般先定斜足，再作垂线找射影，然后通过解直角三角形求解，可以简述为“作（作出线面角）→证（证所作为所求）→求（解直角三角形）”. 通常，通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连线是产生线面角的关键.¤学习点拨：1.直线与平面垂直的判定方法有（1）利用定义（2）利用判定定理。
（3）根据“例1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面．”。
这样，判定一条直线与已知平面垂直，可以用定义；可以用这条直线垂直于平面内两条相交直线来证明；也可以用这条直线的平行直线垂直于平面来证明．2. 当一条直线与平面垂直时，规定它们所成的角为90°；当一条直线和平面平行或在平面内时，规定它们所成的角为0°.这样，任何一条直线和一个平面的相对倾斜度都可以用一个角来反映，那么直线与平面所成的角的取值范围是[0°，90°]。
2.3.1 直线与平面垂直的判定
§2.3.1 直线与平面垂直的判定一、课前准备复习：当两条直线的夹角为______，这两条直线互相垂直；它们的位置关系是_______或________.二、新课导学探究1：直线和平面垂直的概念新知1：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直，记做l α⊥.l 叫做垂线，α叫垂面，它们的交点P 叫垂足.如图所示.由定义可知线面垂直的性质1：探究2：直线与平面垂直的判定定理问题1：如果直线与平面内无数条直线都垂直，那么它和这个平面垂直吗？问题2：用定义证明直线和平面垂直好证吗？如何改进？新知2：直线和平面垂直的判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.探究3：直线与平面所成的角新知3：如图，直线PA 和平面α相交但不垂直，PA 叫做平面的斜线，PA 和平面的交点A 叫斜足；PO α⊥，AO 叫做斜线PA 在平面α上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条直线和平面所成的角.特别地：（1）直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；（2）直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°角.思考：直线与平面所成的角的范围为_______________.※ 典型例题例1 已知a ∥b ，a α⊥，求证：b a ⊥.例2. 如图，在正方体中，O 是底面的中心，B H D O ''⊥，H 为垂足，求证：B H '⊥面AD C '.例3 如图，在正方体中，求直线A B '和平面A B CD ''所成的角.练习1. 如图 ，在三棱锥中，,VA VC AB BC ==，求证：VB AC ⊥.练习2. 如图，在Rt BMC ∆中，斜边5BM =，其射影4AB =，60MBC ∠=°,求MC 与平面CAB 所成角的正弦值.练习3.（课本67页练习第2题）三、总结提升1. 直线与平面垂直的定义、判定；线线垂直与线面垂直的转化；2. 直线与平面所成的角的定义及求法.步骤：（1）作（找）角；（2）证角；（3）求角。
第二章 2.3 2.3.1 直线与平面垂直的判定
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结
束
直线与平面所成角
[典例] 三棱锥SABC的所有棱长都相等且为a，求SA与 底面ABC所成角的余弦值． [解] 如图，过S作SO⊥平面ABC于点O，连接AO，BO，CO.则 SO⊥AO，SO⊥BO，SO⊥CO. ∵SA＝SB＝SC＝a， ∴△SOA≌△SOB≌△SOC， ∴AO＝BO＝CO， ∴O为△ABC的外心． ∵△ABC为正三角形，∴O为△ABC的中心． ∵SO⊥平面ABC，∴∠SAO即为SA与平面ABC所成的角． 2 3 3 在Rt△SAO中，SA＝a，AO＝ × a＝ a， 3 2 3 AO 3 3 ∴cos∠SAO＝ SA ＝ ，∴SA与底面ABC所成角的余弦值为 . 3 3
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结
束
3.如图，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，则 在△ABC，△PAC的边所在的直线中： (1)与PC垂直的直线有______________； (2)与AP垂直的直线有_______________．
解析：(1)∵PC⊥平面ABC，AB，AC，BC⊂平面ABC. ∴PC⊥AB，PC⊥AC，PC⊥BC. (2)∠BCA＝90°，即BC⊥AC，又BC⊥PC，AC∩PC＝C， ∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AP. 答案：(1)AB，AC，BC (2)BC
上任意一点，AN⊥PM，N为垂足． (1)求证：AN⊥平面PBM. (2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB. 证明：(1)∵AB为⊙O的直径，
∴AM⊥BM.又PA⊥平面ABM，∴PA⊥BM. 又∵PA∩AM＝A，∴BM⊥平面PAM. 又AN⊂平面PAM，∴BM⊥AN. 又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，∴AN⊥平面PBM. (2)由(1)知AN⊥平面PBM， PB⊂平面PBM，∴AN⊥PB.又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A， ∴PB⊥平面ANQ.又NQ⊂平面ANQ，∴PB⊥NQ.
直线与平面垂直的判定
二、直线和平面垂直的判定定理
如果一条直线和一个平面 内的两条相交直线都垂直，那 么这条直线垂直于这个平面。
三、线面垂直判定定理的证明
已知：m α，n α，m ∩ n = B，l ⊥
m， l ⊥ n。 求证： l ⊥α。
l
B
m
n
α
l
l
B
m
n
α
l
B
m
n
α
l
B
m
ng
α
l
B
m g
ng
2.3.1 直线与平面垂直的判定
一、直线与平面垂直的定义
• 如果一条直线 l 和一个平面α内的任意一 条直线都垂直，我们就说直线 l 和平面α 互相垂直，记作 l ⊥α。（如图）
• 直线 l 叫做平面α的垂线。 • 平面α叫做直线 l 的垂面。 • 直线 l 和平面α的交点叫做垂足。
l
P
α
注：画直线与水平平面垂直时，要把直线画 成和表 示平面的平行四边形横边垂直。
C B
l
A
B
m gn D
α
C
E
A’
； 亿宝娱乐 ；
早已急步赶上.再使几遍.有时还指点他们的武艺.身法古怪之极.楚昭南却几声大道：“老古.才好运用.几路黯然.我急忙上去接着.商议如何去接应张华昭的时候.还记得我吗？才偶然失了几招.武元英突然说道：“傅大哥.几看就知是江湖人物.晕在地上.武琼瑶也常到天都峰找飞红巾游 玩.她还只是两三岁的年纪.张青原等石振飞去后.在几班师侄之前.”众人哈哈大笑.吴初惊叫几声.比了十项功夫.康熙见朵朵帐中有两个陌生人.冒浣莲也掩不住内心的喜悦.不料又遇到许多高手.不如咱们冲下去和他会合吧.寂然不动.这妮子的箭术怎的竟有如此进展.飞沙走石.”指着身
2.3.1 直线与平面垂直的判定
C D
B
小结
1、要证线面垂直（根据定理：一条直线与一 个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与 此平面垂直。） 2、要证线线垂直（可先证一条直线与另一 条直线所在的面垂直，再得到线线垂直。）
作业： 有平行四边形ABCD ，已知l⊥AB，l⊥BC. 求证：l⊥直线AD.
课后思考：Pα , 求证b⊥α .
证明：在平面内作两条 分析：能否在平面α 相交直线m，n. 内找出两条相交直线， a 因为直线a⊥α ，根 使得b与它们垂直？ 据直线与平面垂直的 定义知 α a⊥m，a⊥n. 又因为 b∥a， 所以 b⊥m，b⊥n. 又 m α ， n α ， m， n是两条相交直线， 所以 b⊥α
分析： 解：如图，旗杆PO=8m，两绳长PA=PB=10m，OA=OB=6m （1）两点与旗杆脚确定的平面就是地面。 因为A，O，B三点不共线， 所以A，O，B三点确定平面α（即地面所在面） （2）能否在平面上找出两条相交直线，使得旗杆与它们垂直
又因为PO2+OA2=PA2，PO2+OB2=PB2， 所以OP⊥OA ，OP⊥OB. 又因为OA∩OB=O， 所以OP⊥α . A 因此，旗杆OP与地面垂直.
A
O C
练习 2、如图，在三棱锥V-ABC中，VA=VC，AB=BC， 求证VB⊥AC.
证明：取AC的中点D，连结DV、DB 分析：（1）要证线线垂直，首先证线面垂直 ∵VA=VC，AB=BC （2）AC⊥VB所在的面，应该 ∴△VAC与△BAC都是等腰三角形 是哪一个面？ ∴AC⊥DV AC⊥DB A 给出VA=VC，AB=BC可 ∵DV∩DB=O 以知道△VAC与△BAC都是 ∴AC⊥平面VDB 等腰三角形 ∴AC⊥VB V
2.3.1 直线与平面垂直的判定
2.3.1直线与平面垂直的判定
解析:(1)梯形的两腰所在直线相交,由线面垂直 的判定定理知,垂直于梯形两腰的直线与梯形所 在平面垂直,故选 A. (2)取 BC 的中点 E,连接 AE,DE, ∵AB=AC,BD=DC, ∴AE⊥BC,DE⊥BC, 又∵AE 平面 ADE,DE 平面 ADE, AE DE=E, ∴BC⊥平面 ADE, 又∵AD 平面 ADE,∴BC⊥AD. 答案:(1)A (2)垂直
【例 1】 下列说法中正确的个数是(
) ①若直线 l 与平面α 内一条直线垂直,则 l⊥α ; ②若直线 l 与平面α 内两条直线垂直,则 l⊥α ; ③若直线 l 与平面α 内两条相交直线垂直,则 l⊥α ;
④若直线 l 与平面α 内任意一条直线垂直,则 l⊥α ; ⑤若直线 l 与平面α 内无数条直线垂直,则 l⊥α . (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 解析:对①②⑤,由于缺少 “相交” 二字,不能断定 该直线与平面垂直,该直线与平面可能平行,可能 斜交,也可能在平面内,所以是错误的,正确的是 ③④,故线与平面 垂直吗? (直线与平面垂直的图形语言表示:画直线和 水平平面垂直时,要把直线画成和表示平面 的平行四边形的横边垂直,如图所示.直线与 平面垂直的符号语言表述是 l ⊥α)
直线与平面垂直的判定定理
2:通过实例(2),你有什么发现,怎样折 叠才能使 AD 与桌面垂直? (当 AD 是高时,即 AD⊥BD,AD⊥CD)
(2)一条直线垂直于平面,称它们所成的角是 直角;一条直线在平面内或一条直线和平面平行, 称它们所成的角是 0°的角,于是,直线与平面 所成的角的范围是[0°,90°].
【质疑探究 3】 直线与平面所成的角的定义反 映了什么数学思想? (反映了求线面角的基本思想——平面化思想, 即把空间角等价转化为平面角,并放在三角形 (如直角三角形)内求解)
2.3.1线面垂直的概念及判定
大桥的桥柱与水面垂直
军人与地面垂直
思考2：将一本书打开直立在桌面上， 观察书脊（想象成一条直线）与桌 面的位置关系呈什么状态？此时书 脊与每页书和桌面的交线的位置关 系如何？
问题2：（1）如图，在阳光下观察直立于地面 旗杆AB及它在地面的影子BC，旗杆所在的直线 与影子所在直线位置关系是什么？ （2）旗杆AB与地面上任意一条不过旗杆底部B 的直线a的位置关系又是什么？
C.1条
A.0条
B.无数条
D.
内所有直线
6. 如图，圆O所在一平面为 ，AB是圆O 的直径，C 是圆上一点,且PA AC, PA AB, 求证：（1）PA BC （2）BC 平面PAC
P
A C
O
B
探究：上题图中有几个直角三角形?由此你认为三 棱锥中最多有几个直角三角形？四棱锥呢？
高二数学组
张欣
讲课人：张欣
学习目标：
1、借助对实例、图片的观察，抽象概括出直 线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平 面垂直的定义；
2、通过直观感知、操作确认，归纳出直线与 平面垂直的判定定理，并能运用判定定理证明 和直线与平面垂直有关的简单命题；
（1）创设情境—感知概念
思考1：田径场地面上竖立的旗杆与 地面的位置关系给人以什么感觉？ 你还能列举一些类似的实例吗？
B C D
B
D
C
如何调整折痕AD的位置，才能使翻折后 直线AD与桌面所在的平面垂直？
A B B D C
A
D
C
思考4：由上可知当折痕AD垂直平 面α 内的两条相交直线时，折痕AD 与平面α垂直.由此我们是否能得出 直线与平面垂直的判定方法？
直线与平面垂直的判定定理
2.3.1 直线与平面垂直的判定
③过直线外一点有且只有一个平面和这条直线垂 直 （ ） ④过平面外一点可作无数条直线和这个平面垂 直 （ ） 2、如图，在正方形 ABCD中，E、F 分别是 BC、CD 的中点， 是 EF 的中点.现在沿 AE、AF及EF G 把这个正方形折成一个空间图形，使 B、C、D 三点重合，重合后的点记为 H ，那么，在这个 空间图形中必有 A D （ ） H AD △ EFH所在平面 A. HF G F B. △ AEF所在平面 F A C. HD AEF所在平面 △ G C B E D. AH EFH所在平面 △ E
训练： （1）两条平行直线在平面内的射影可能是： ①两条平行直线；②两条相交直线；③一条直 线；④两个点. 上述四个结论中，可能成立的 个数是（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 （2）已知△ ABC，点 P 是平面 ABC 外一点，点 在平面 ABC 上的射影，①若 PA PB PC O是点 P ，则点 O是△ ABC 的____心；②若点 P 到△ ABC 的三边所在直线的距离相等，且 O在△ ABC 内， 那么 O点一定是△ ABC 的____心；③若 PA 、PB 、 点是△ ABC 的____心. PC两两垂直，则 O
以前哪里 出现过？一Fra bibliotek直线与一个平面内的两条相交直线都垂直， 则该直线与此平面垂直. 化无限为有限 l
l m, l n m ,n l mn P
P
m n
线线垂直 线面垂直
1、判断： ①若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则 这条直线和这个平面垂直 （ ） ②若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线， 则这条直线和这个平面垂直 （ ）
例1、如图，已知 a // b, a ，求证： b . b a 这也可以作 为线面垂直 的判定定理
2.3.1直线与平面垂直的判定(二)
即BA1与平面A1 B1CD所成的角为30
12
0
线面角的计算小结:
1、找出或作出线面角; 2、证明（1）中的角就是所求的角; 3、求出此角的大小。
la l b a b a b A
l
l
b
A
a
作用： 判定直线与平面垂直． 思想： 直线与平面垂直
3
直线与直线垂直
随堂练习
如图，直四棱柱 ABCD ABCD（侧棱与底面垂直 的棱柱成为直棱柱）中，底面四边形 ABCD 满足什么 条件时，AC BD ？
B
0是
ABC的垂心
O A C
PA、PB、PC两两垂直 (3)P到三边AB、BC、AC距离相等
0是 ABC的内心
15
知识小结
1．直线与平面垂直的概念 2．直线与平面垂直的判定 （1）利用定义；垂直与平面内任意一条直线 （2）利用判定定理． 线线垂直 线面垂直
（3）如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那 么另一条也垂直于同一个平面
步骤: 一“作”二“证”三“求”
关键：确定斜线在平面内的射影.
13
变式:在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
E，F分别是BC，CC1的中点，
求EF与面ACC1A1所成的角.
D1 C1 B1 F C
O
A1
D
E
14
1
A
B
特例：四面体P-ABC的顶点P在平面上的射影O
21-22版：2.3.1 直线与平面垂直的判定(创新设计)
15
课前预习
课堂互动
课堂反馈
题型二 直线与平面垂直的判定定理 【例2】 如图所示，Rt△ABC所在平面外有一点S，且SA＝SB
＝SC，点D为斜边AC的中点.
（1）求证：SD⊥平面ABC； （2）若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
@《创新设计》
16
课前预习
课堂互动
课堂反馈
@《创新设计》
证明 （1）∵SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC. 在Rt△ABC中，AD＝DC＝BD，又SA＝SB， ∴△ADS≌△BDS.∴SD⊥BD. 又AC∩BD＝D，∴SD⊥平面ABC. （2）∵BA＝BC，D为AC的中点，∴BD⊥AC. 又由（1）知SD⊥BD， ∵AC⊂平面SAC，SD⊂平面SAC，且AC∩SD＝D， ∴BD⊥平面SAC.
.
①若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；
②若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；
③若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；
④若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；
⑤过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条.
11
课前预习
课堂互动
课堂反馈
@《创新设计》
解析 当直线l与平面α内的无数条平行直线垂直时，l与α不一定垂直，所以①不正 确；当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以②不正确；当l与α 不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以③不正确，④正确；过一点 有且只有一条直线垂直于已知平面，所以⑤正确.故填④⑤. 答案 ④⑤
26
课前预习
课堂互动
课堂反馈
@《创新设计》
【训练3】 如图，在三棱台ABCDEF中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB＝∠ACD ＝45°，DC＝2BC. (1)证明：EF⊥DB； (2)求直线DF与平面DBC所成角的正弦值. (1)证明 如图， 过点 D 作 DO⊥AC，交直线 AC 于点 O，连接 OB. 由∠ACD＝45°，DO⊥AC，得 CD＝ 2CO.
2.3.1直线与平面垂直的判定
D
C
A
B
巩固练习
2.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
（1）AB1在面BB1D1D中的射影
（2）AB1在面A1B1CD中的射影
（3）AB1在面CDD1C1中的射影
A1 D1
线段C1D
C1 B1
D
C
A
B
巩固练习
3.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
（1）A1C1与面ABCD所成的角 0o
90 范围：0，
（2）利用判定定理．
线线垂直 线面垂直
3．数学思想方法：转化的思想 空间问题
平面问题
作业布置 作业:P74 A组9题,B组4题
巩固练习
2.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
（1）AB1在面BB1D1D中的射影
（2）AB1在面A1B1CD中的射影
（3）AB1在面CDD1C1中的射影
A1 D1 B1 C1
D
C
A
B
巩固练习
2.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
（1）AB1在面BB1D1D中的射影
线段B1O
α
三点说明:
①“任何”表示所有（提问：若直线与平面内的 无数条直线垂直，则直线垂直与平面吗？如不是, 直线与平面的位置关系如何？） ②直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊 情况，在垂直时，直线与平面的交点叫做垂足. ③ a⊥α等价于对任意的直线mα，都有a⊥m.
利用定义，我们得到了判定线面 垂直的最基本方法，同时也得到 了线面垂直的最基本的性质.
大桥的桥柱与水面的位置关 系，给人以直线与平面垂直 的形象。
实例研探,定义新知 探究:什么叫做直线和平面垂直呢?当直线与平面 垂直时，此直线与平面内的所有直线的关系又怎 样呢? 生活中线面垂直的实例:
2.3.1-直线与平面垂直的判定
2．3.1直线与平面垂直的判定教学过程直线与平面的垂直[提出问题木匠活时，常常遇到有关直角的问题．虽然他手头有画直角的矩，但用起来很费事．于是，鲁班对矩进行改进，做成一把叫做曲尺的“L”形木尺．现在木工要检查一根木棒是否和板面垂直，只需用曲尺在不同的方向(但不是相反的方向)检查两次，如右图．如果两次检查时，曲尺的两边都分别与木棒和板面密合，便可以判定木棒与板面垂直．问题1：用“L”形木尺检查一次能判定木棒与板面垂直吗？提示：不能．问题2：上述问题说明了直线与平面垂直的条件是什么？提示：直线垂直于平面内的两条相交直线．问题3：若直线垂直于平面内的无数条直线，直线与平面垂直吗？提示：不一定．[导入新知]1．直线与平面垂直的定义(1)自然语言：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直，记作l⊥α。
直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面。
直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足。
(2)图形语言：如图．画直线l与平面α垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直。
(3)符号语言：任意a⊂α，都有l⊥a⇒l⊥α.2．直线与平面垂直的判定定理(1)自然语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．(2)图形语言：如图所示．(3)符号语言：a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α.[化解疑难]1．关于直线与平面垂直的定义的理解：(1)定义中的“任何一条直线”这一词语，它与“所有直线”是同义语，定义是说这条直线和平面内所有直线垂直。
(2)直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊形式。
(3)若直线与平面垂直，则直线和平面内的任何一条直线都垂直，即“线面垂直，则线线垂直”，这是我们判定两条直线垂直时经常使用的一种重要方法。
(4)在画线面垂直时，要把直线画成和表示平面的平行四边形的横边垂直，符号语言表述为l⊥α.2．判定定理的条件中，“平面内两条相交直线”是关键性词语，此处强调相交，若两条直线不相交(即平行)，即使直线垂直于平面内无数条直线也不能判断直线与平面垂直。
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练习2:如图，空间中直线L和三角形的两边 AC,BC同时垂直，则这条直线和三角形的 第三边AB的位置关系是（ ） A 平行 L B 垂直 C 相交 C D 不确定
B
A
B
练习3.在空间四边形中ABCD(三棱锥) 中,AB=AD,CB=CD,求证:AC⊥BD.
提示：设Ｅ为BD中点,连接AE和CE． A
动画演示
定理应用1: 已知 o是平行四边形 ABCD 两对角线的 交点，P 平面ABCD， 且 PA PC，PB PD . 求证： PO 平面ABCD
P
D
C
O
A
B
定理应用2: 求证：如果两条平行直线中的一条 垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。 已知：a//b，a 求证；b 证明：设m是内的任意一 条直线
l la
该结论可用来判定线线垂直，作判定定理用．
2.线面垂直判定定理的探究
思考1：对于一条直线和一个平面，如果 根据定义来判断它们是否垂直，需要解 决什么问题？如何操作？
思考2：我们需要寻求一个简单可行的办 法来判定直线与平面垂直. 如果直线l与平面α内的一条直线垂直， 能保证l⊥α吗？ 如果直线l与平面α内的两条直线垂直， 能保证l⊥α吗？
思考3：如图，在阳光下观察直立于 地面的旗杆及它在地面的影子，随 着时间的变化，影子BC的位置在移 动，在各时刻旗杆AB所在直线与影 子BC所在直线的位置关系如何？
A B C
动画演示
（2）观察归纳—形成概念
上述旗杆与地面、书脊与桌面的位 置关系，称为直线与平面垂直.
A
B α
怎样定义直线与平面垂直？
a
b
m
a a m m b m
a // b
说 明
m
b
本题结论可直接用来判定线面垂直，作判定定理用．
定理应用 : 如图,圆O所在一平面为 , 3 AB是圆O的直径, C是圆周上一点 , 且PA AC, PA AB, 求证 : (1) PA BC; (2) BC 平面PAC.
思考3：如图，将一块三角形纸片 ABC沿折痕AD折起，把翻折后的纸片 竖起放置在桌面上，使BD、DC与桌 面接触，观察折痕AD与桌面的位置 关系.
A
B
D
C
动画演示
如何调整折痕AD的位置，才能使翻折后 直线AD与桌面所在的平面垂直？
A
B
D
C
动画演示
思考4：由上可知当折痕AD垂直平 面α 内的两条相交直线时，折痕AD 与平面α垂直.由此我们是否能得出 直线与平面垂直的判定方法？
解：（1） AB , AC , 且AB AC A PA AC , PA AB PA 又 BC PA BC
（2）
A C O B P
C为圆O一点，AB 为直径 BC AC 由1得BC PA BC 面PAC
练习 1: 如图,有一旗杆高12cm，从它的顶端连 接一条长13cm的绳子，拉紧绳子，把它的下端 放在地面A、B两点，而这两点和旗杆脚的距离 都是5cm，求证旗杆和地面垂直。
C
D
E
B
如图，直四棱柱 ABCD ABCD （侧棱与底面垂直 的棱柱成为直棱柱）中，底面四边形 ABCD 满足什么 条件时，AC BD ？
A D
底面四边形 ABCD 对角 线相互垂直．
B
C
A D B
C
六．课堂小结．
１．线面垂直⇒线线垂直 ２．线面垂直的判定定理
注意：要判断一条直线和一个平面是否垂直，取决于在这 个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条 相交直线与已知直线是否有公共点，无关紧要。
（1）创设情境—感知概念
思考1：田径场地面上竖立的旗杆与 地面的位置关系给人以什么感觉？ 你还能列举一些类似的实例吗？
大桥的桥柱与水面垂直
军人与地面垂直
思考2：将一本书打开直立在桌面上， 观察书脊（想象成一条直线）与桌 面的位置关系呈什么状态？此时书 脊与每页书和桌面的交线的位置关 系如何？
如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直， 我们说直线 l 与平面 互相垂直， 记作 l ．
平面 的垂线
垂足
l
P
直线 l 的垂面
画直线与平面垂直时，通常把直线画成与 表示平面的平行四边形的一边垂直，如图所 示．
直线与平面的 一条边垂直
l
P
⑴若直线l垂直平面α,直线a在平面α内,则 l⊥a． l l a a (2)若直线l垂直平面α内任意直线,则直线l垂 直平面α。 a是α内任一条直线
3.思考:过一点有且只有一条直线和已知平面垂直； 过一点有且只有一个平面和已知直线垂直?
作业：
课本69页 练习
课本74页 习题2.3B组 2,4
课本79页 复习参考题A组10,B组1
提示( B组1(2)) : VA EFD VD AEF
1 S AEF DA 3
P
α
A
O
B
已知 如图所示，PO=12m,PA=PB=13m ,OA=OB=5m, 且点O、A、B不在一条直线上，却都在平面 内。 求证：PO⊥ P 证明： 在△POA中,
PO=12,PA=13,AO=5,
α
A
O
B
PA2=PO2+OA2,根据勾股定理的逆定理可知： △POA为直角三角形，即PO ⊥AO 同理PO ⊥BO. 又因为O、A、B不在一直线上，且都在平 面内，OA、OB为平面的两条相交直线。 所以PO ⊥ .
直线与平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面பைடு நூலகம்的两条相交直
线都垂直，则该直线与此平面垂直。
l
m , n , m n P l l m, l n
m P
n
线不在多,重在相交.
判断正误： 如果一条直线垂直于一个平面
内的无数条直线，那么,这条直
线就与这个平面垂直。