2.2直线与平面平行的判定与性质定理

2.2.1直线与平面 平行的判定
复习引入
直线与平面有几种位置关系？ 有三种位置关系：在平面内，相交、平行． 其中平行是一种非常重要的关系，不仅应用较多， 而且是学习平面和平面平行的基础．
引入新课
如何判定一条直线 和一个平面平行呢？
线面平行的定义是什么？用定 义好判断吗？
根据定义，判定直线与平面是否平行，只需判定 直线与平面有没有公共点．但是，直线无限延长， 平面无限延展，如何保证直线与平面没有公共点呢？
∴AB//OF,
AB 平面DCF
OF 平面DCF AB//平面DCF
AB//OF

A
D
O
F E
C
例2. 如图，四面体ABCD中，E，F，G，H分别 是AB，BC，CD，AD的中点.
(1)E、F、G、H四点是否共面？
(2)试判断AC与平面EFGH的位置关系；
(3)你能说出图中满足线面平行位置 A
D1 A1
M D
C1
B1
P N C
A
B
AC // MN MN 面ABCD AC 面ABCD
MN // 面ABCD
• 例5:如图所示,四边形EFGH为空间四边形 ABCD的一个截面,若截面为平行四边形.
直线与平面平行的判定
您做对了吗？
• 如果一条直线与一个平面没有公共点 我们称做直线与平面平行，表示式： a与α没有公共点 a∥α
• 如果平面外一条直线与此平面内的一 条直线平行，则该直线与此平面平行. 用符号表示为：α α ，b α且a∥b
a∥α
直线与平面平行的判定定理： 平面外的一条直线与此平面内的一条直线平
∴PQ∥EK.
又PQ 平面BCE, EK 平面BCE.
∴PQ∥平面BCE.
练习：如图，在三棱柱ABC——A1B1C1中， D是AC的中点。
求证：AB1//平面DBC1 A1
C1
B1
P
D
A
C
B
能力提升
1、如下图在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中,点E是 PD的中点,求证:PB∥平面AEC.
D' A'
F P
C'
BC//B'C' EF//B'C'
BC//EF D E
B' C
EF、BE、CF共面． A
B
则EF、BE、CF为应画的线．
例1 如图所示的一块木料中,棱BC平行于面A'C'． ⑴要经过面内的一点P和棱BC将木料锯开，应 怎样画线？
⑵所画的线与平面AC是什么位置关系？
解：⑵由⑴，得 EF//BC， EF//BC
(3).平行于同一平面的两条直线是否平行 ？
(不一定)
(4).过平面外一点与这平面平行的直线 有多少条？
(无数条)
判定定理的定理的应用 A
例1. 如图，空间四边形ABCD中， F
E、F分别是 AB，AD的中点. E
D
求证：EF∥平面BCD.
B
C
分析：要证明线面平行只需证明线线平行，
即在平面BCD内找一条直线 平行于EF，由已
3、注意定理中文字叙述、符号语言、图 形表示的相互转换。 4、判定线面平行的二种方法：
（1）定义法（ 2）判定定理
思考：
您现在判定线面平行的方法有几种？
方法一：根据定义判定
方法二 ：根据判定定理判定
直线和平面平行的判定定理：如果平面 外一条直线和这个平面内的一条直线平行， 那么这条直线和这个平面平行。
∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB,
∴AE=BD.
又∵AP=DQ,∴PE=QB.
又∵PM∥AB∥QN,
∴ PM PE , QN BQ .
AB AE DC BD
∴PM
QN.∴PQ∥MN.
又MN 平面BCE, PQ 平面BCE, PQ P平面BCE.
解法2:线面平行可以转化为线线平行,而线线平行可通过“线
行，则该直线与此平面平行.（用符号表示？）
a
线线平行线面平行
b

化归与转化的思想：
a
b




a
//

a // b
（1）化线面平行为线线平行 （2）化空间问题为平面问题
三个条件不能少？
定理说明
1、线面平行的判定定理的数学符号表示， 其中三个条件缺一不可.
2、线线平行
线面平行
线线平行是条件的核心.
且 c

例2.已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这
个平面，求证：另一条也平行于这个平面．
已知：直线a、b，平面，且a//b，a //, a，b ,
求证： b//
证明：过a作平面，且
a // 性质定理



c
a
b
a a // c b // c
c
c
a

请您动手体验一下
将一本书平放在桌面上，翻动书的硬皮封面，封 面边缘AB所在直线与桌面所在平面具有什么样的位 置关系？
A
A
B
B
直线与平面平行
如果平面 内有直线 b 与直线 a平行，那么直线 a 与平面 的位置关系如何？
是否可以保证直线 a 与平面 平行？
a

b
直线与平面平行的判定
• 请同学们预习课本 • P54--P56
线线平行 线面平行
直线和平面平行的 性质定理
1
新课引入：
线面平行的判定定理解决了判定线面 平行的问题（即所需条件）；反之，在直 线与平面平行的条件下，会得到什么结论？
问题讨论：
（1）如果一条直线和一个平面平行，那么这条
直线和这个平面内的直线有怎样的位置关系？
a
a
b
b
α
平行
α
异面
(2)什么条件下，平面内的直线与直线a平行呢？
段对应成比例”得到.连结AQ并延长交BC于K,连结EK,只
需证出
AP AQ 即可.
PE QK
证明:如图所示,由AD∥BC,AK∩BD=Q知,
△ADQ∽△KBQ,
∴
AQ DQ . QK BQ
另一方面,由题设知,AE=BD,且AP=DQ.
∴PE=QB,∴
AP DQ . AP AQ , PE BQ PE QK
点P BB（1 不与B、B1重合）, PA BA1 M,
PC BC1 N, 求证 : MN// 平面ABCD
D1
C1
提示 : 连结AC、 A1C1 A1
B1
M D
P N
C
A
B
解 : 连结AC、 A1C1 长方体中A1A//C1C A1C1//AC
AC 面A1C1B A1C1 面A1C1B
,求证:FO∥平面CDE.
证明:取CD的中点M,连结OM,EM,则
OM
1 BC, 又EF
1 BC,2ຫໍສະໝຸດ 2∴OMEF.
∴四边形OMEF为平行四边形,∴FO∥ME.
∵FO 平面CDE,ME 平面CDE,
∴FO∥平面CDE.
性质定理的应用：
例1 如图所示的一块木料中,棱BC平行于面A'C'．
⑴要经过面A'C'内的一点P和棱BC 将木料锯开， 应怎样画线？
a // b b b //
c
线面平行 线线平行 线面平判行定定理
例3. 求证：如果一条直线和两个相交平 面都平行，那么这条直线和它们的交线 平行.
已知:α∩β=l,a∥α,a∥β.
求证:a∥l.
bl
提示：过a作两个辅助平面 α
β
c
δ γa
例4 : 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，
D'
F
A'
P E
C'
EF//面AC D
B' C
BE、CF都与面相交． A
B
线面平行 线线平行 线面平行
例2.已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这
个平面，求证：另一条也平行于这个平面．
已知：直线a、b，平面，且a//b，a //, a，b ,
求证： b//
a
b
提示：过a作辅助平面，
(1)求证:PQ∥平面DCC1D1; (2)求PQ的长;
(3)求证:EF∥平面BB1D1D.
解:(1)证明:连结D1C,∵P､Q分别为AD1､AC的中点,
∴PQ
1 D1C. 2
PQ 面DCC1D1, D1C 面DCC1D1,
∴PQ∥面DCC1D1. (2)∵ D1C 2a,
PQ 1 D1C 2 a.
证明:连结BD与AC相交于O,连结EO, ∵ABCD为平行四边形, ∴O是BD的中点, 又E为PD的中点, ∴EO∥PB. ∵ PB 平面AEC, EO 平面AEC
PB P平面AEC.
2.如图所示,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E､F､P､ Q分别是BC､C1D1､AD1､BD的中点.
∴ AC ∥平面EFGH
（3）由EF ∥HG ∥AC，得 EF ∥平面ACD AC ∥平面EFGH HG ∥平面ABC
由BD ∥EH ∥FG，得 BD∥平面EFGH
EH ∥平面BCD
FG ∥平面ABD
A
EH
D
B
G
F
C
例2：已知：如图，四棱锥P-ABCD中, 底面 ABCD为矩形,M,N分别为AB,PC中点. 求证：MN//平面PAD
关系的所有情况吗？
H E
D
B