第27讲空间角的计算(讲义)
空间角的求法精品(教案).doc
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空间角是异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角总称。
空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转化为空间向量的坐标运算来解。
空间角的求法一般是：一找、二证、三计算。
一、异面直线所成角的求法异面直线所成的角的范围：0 90（一）平移法【例1】已知四边形ABCD 为直角梯形，AD//BC，ABC 90 ，PA 平面 AC ，且 BC 2 ，PAADAB1 ，求异面直线PC 与 BD 所成角的余弦值的大小。
【解】过点 C 作 CE // BD 交 AD 的延长线于E ，连结 PE ，则 PC 与 BD 所成的角为PCE 或它的补角。
CE BD 2，且PE PA2 AE2 10P由余弦定理得 c o s PCE PC 2 CE 2 PE 2 32PC CE 6A 3PC 与 BD 所成角的余弦值为 DC6 B（二）补形法【变式练习】已知正三棱柱ABC A1 B1C1的底面边长为8，侧棱长为 6，D为AC中点。
求异面直线AB1与 BC1所成角的余弦值。
A 1 C1 【答案】125 B 1DCAB二、直线与平面所成角直线与平面所成角的范围：90方法：射影转化法（关键是作垂线，找射影）【例 2】如图，在三棱锥 P ABC 中，APB 90， PAB 60 ，AB BC CA ，点 P 在平面 ABC内的射影 O 在 AB 上，求直线 PC 与平面 ABC 所成的角的大小。
P【解】连接 OC ，由已知，OCP 为直线 PC 与平面 ABC 所成角C设 AB 的中点为 D ，连接 PD ,CD 。
AB BC CA ，所以 CDABABAPB 90 , PAB60 ，所以 PAD 为等边三角形。
不妨设 PA2 ，则 OD 1,OP3, AB4CD 2 3, OCOD 2 CD 213 在 RtOCP 中， tan OCP OP 3 39OC1313【变式练习 1】如图，四棱锥S ABCD 中， AB // CD ， BC CD ，侧面 SAB 为等边三角形。
用空间向量求空间角课件(共22张PPT)
向量的加法与数乘
向量的加法满足平行四边形法则或三 角形法则，即$vec{a} + vec{b} = vec{b} + vec{a}$。
数乘是指实数与向量的乘积，满足分 配律，即$k(vec{a} + vec{b}) = kvec{a} + kvec{b}$。
向量的数量积
向量的数量积定义为$vec{a} cdot vec{b} = left| vec{a} right| times left| vec{b} right| times cos theta$，其中$theta$为两 向量的夹角。
数量积满足交换律和分配律，即$vec{a} cdot vec{b} = vec{b} cdot vec{a}$和$(lambdavec{a}) cdot vec{b} = lambda(vec{a} cdot vec{b})$。
03 向量的向量积与混合积
向量的向量积
定义
两个向量a和b的向量积是一个向量，记作a×b，其模长为 |a×b|=|a||b|sinθ，其中θ为a与b之间的夹角。
适用范围
适用于直线与平面不垂直的情况。
利用向量的混合积求二面角
1 2 3
定义
二面角是指两个平面之间的夹角。
计算公式
cosθ=∣∣a×b×c∣∣∣∣a∣∣∣∣b∣∣∣∣c∣∣，其中a、 b和c分别是三个平面的法向量，θ是两个平面之 间的夹角。
适用范围
适用于两个平面不平行的情况。
06 案例分析
案例一：利用空间向量求线线角
定义
线线角是指两条直线之间的夹角。
计算公式
cosθ=∣∣a⋅b∣∣∣∣a∣∣∣∣b∣∣∣， 其中a和b是两条直线的方向向量，
空间角的计算PPT教学课件
1）求AC1和CB1的夹角，
2）求AC1和面ABB1A1所成角的正弦值
2）直线与平面所成的角
步骤： 1、求出平面的法向量
2、求出直线的方向向量
C1
3、求以上两个向量的夹角，
（锐角）其余角为所求角 A1
B1
设平面ABB1B的法向量：n (1, y, z)
AA1 (0,0, 2a) AB (0, a,0)
42 30
10
二、线面角 斜线与平面所成的角
平面的一条斜线 和它在这个平面内的射影 所成的锐角
A
O
B
当直线与平面垂直时，直
线与平面所成的角是90°
当直线在平面内或
与平面平行时， 直线与平面所成的角是0°
直线与平面所成的角
[ 0°, 90°]
斜线与平面所成的角
（ 0°, 90°） 异面直线所成的角
空间“角”问题
空间的角： 空间的角常见的有：线线角、线面角、面面角。
一、线线角：
异面直线所成角的范围：
0,
2
思考：
C
D
CD, AB 与的关系？
A D1
B
DC, AB 与的关系？
设直线CD的方向向量为a，AB的方向向量为b
a
b
a，b
|
a
a，b b
|
结论：
| cos a,b |
所以B1O是平面MAC的z 一个法向量
设平面B1MA的一个法向量为n (x，y，z) D1
由A(2，0，0)，M (0，0，1)，B1(2，2，2)得 MA (2，0，1)，MB1 (2，2，1)
A1 M
C1 B1
所以n MA 0，n MB1 0
空间角及其计算
建筑学中的应用
建筑设计
空间角在建筑设计中具有重要应用，如确定建筑物的朝向、布局和采光等。通 过合理利用空间角，可以优化建筑物的空间布局和采光效果，提高居住和使用 质量。
室内设计
在室内设计中，空间角的应用同样重要。通过合理调整室内家具和装饰品的摆 放角度，可以营造出更加舒适和美观的室内环境。
物理学中的应用
物理学
在物理学的力学、电磁学和光学等 领域，空间角也具有重要应用，如 描述带电粒子的运动轨迹、光的折 射和反射等。
02
空间角的计算方法
几何法
定义
几何法是利用空间几何知识，通 过作垂线、平行线、中线等手段， 将空间角转化为平面角或线线角，
然后进行计算的方法。
步骤
1. 作出相关垂线、平行线或中线； 2. 将空间角转化为平面角或线线 角；3. 利用平面几何知识计算角
空间角在其他领域的应用拓展
航天工程
利用空间角计算，优化航天器的轨道设计和姿态控制，提高航天 任务的可靠性和成功率。
机器人技术
通过空间角的计算，实现机器人的精准定位和自主导航，拓展机器 人在工业、医疗等领域的应用。
虚拟现实与游戏设计
利用空间角技术，提升虚拟环境的真实感和沉浸感，为游戏玩家和 设计师提供更加丰富的体验。
空间角及其计算
• 空间角的基本概念 • 空间角的计算方法 • 空间角的应用实例 • 空间角与空间几何的关系 • 空间角的未来发展与展望
01
空间角的基本概念
定义与性质
定义
空间角是指两个非平行直线或平 面在三维空间中形成的角度。
性质
空间角具有方向性，其大小和方 向可以通过几何学和三角函数来 描述。
光学研究
在光学研究中，空间角是描述光线传播方向和角度的重要参数。通过测量和计算 空间角，可以研究光线的反射、折射和散射等现象，进一步探索光与物质之间的 相互作用。
空间角的求法
空间角的求法一、异面直线所成角的求法平移法常见三种平移方式:直接平移；中位线平移（尤其是图中显现了中点）：补形平移法。
“补形法”是立体几何中一种常见的方式，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处置，利用"补形法”找两异面直线所成的角也是经常使用的方式之一。
（1）直接平移法4、伍例1如图，PA丄矩形ABCD,已知PA=AB=8,BCJ0，求AD与PC所成角的正切值。
（尊）（2）中位线平移法：构造三角形找中位线，然后利用中位线的性质，将异面宜线所成的角转化为平面问题，解三角形求之。
例2设S是正三角形ABC所在平面外的一点，SA=SB=SC,且Z ASB= Z BSC= Z CSA= y , M、N别离是AB和SC的中点，求异面直线SM与BN所成的角的余弦值。
（巧）（3）补形平移法：在已知图形外补作一个相同的几何体，以利于找出平行线。
例3在正方体ABCD -中，E是CC】的中点，求直线AC与EDi所成角的余弦值。
（竺）A ______ G ____二、线而角的兰种求法1 •直接法：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。
一般是解由斜线段，垂线段， 斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它能够起到联系各线段的作用。
例1四面体ABCS 中，SA, SB, SC 两两垂直，ZSBA=45°, ZSBC=60°, M 为AB 的中点，求：（1） BC 与 平面SAB 所成的角；（60。
） （2） SC 与平面ABC 所成的角。
（冷-）（“垂线”是相对的，SC 是面SAB 的垂线，又是面ABC 的斜线。
作面的垂线常依照面面垂直的性质定理，其 思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。
）2•利用公式sinO = *:其中&是斜线与平面所成的角，力是垂线段的长，/是斜线段的长，其中求出垂线段的 长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。
空间角及其计算ppt课件
二面角的平面角：在二面角的棱 AB 上任取一点 O，过 O
分别在二面角的两个面α，β 内作与棱垂直 的射线 OA，OB，我们把 ∠AOB 叫作
二面角 α-l-β 的平面角，用它来度量二面角
的大小．
二面角 θ 的取值范围为 θ∈ [0°，180°] .
平面角是直角的二面角叫作 直二面角
2×2×1×cos 60°＝3，所以 BD＝ 3，所以 B1D1＝ 3.
又 AB1 与 AD1 所成的角即为 AB1 与 BC1 所成的角 θ ，
所以
cos
θ＝AB221×＋AABD1×12－ABD11D21＝2×5＋25－×3
＝ 2
10 5.
答案:C
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
因此，BC⊥PC，
在 Rt△PCB 中，PB＝ PC2＋BC2＝ 13，
在
Rt△PEB
中，sin∠PBE＝PPEB＝
39 13 .
所以直线
PB
与平面
ABCD
所成的角的正弦值为
39 13 .
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
【变式探究】
1．(2017·新课标卷Ⅱ)已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 中， ∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为( )
C．120°
D．60°或 120°
解：∠FEG 为两异面直线 AD 与 BC 所成的角或其补角．
空间角的求法
PCDBA 空间角的求法空间角，能比较集中反映空间想象能力的要求，历来为高考命题者垂青，几乎年年必考。
空间角是异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角总称。
空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转化为空间向量的坐标运算来解。
空间角的求法一般是：一找、二证、三计算。
异面直线所成的角的范围：090θ<≤ （一）平移法【例1】已知四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ABC ∠=，PA ⊥平面AC ，且2BC =，1PA AD AB ===，求异面直线PC 与BD 所成角的余弦值的大小。
【解】过点C 作//CE BD 交AD 的延长线于E ，连结PE，则PC 与BD 所成的角为PCE ∠或它的补角。
CEBD ==PE=∴由余弦定理得 222cos 2PC CE PE PCE PC CE +-∠==⋅∴PC 与BD 所成角的余弦值为63 （二）补形法【变式练习】已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为8，侧棱长为6，D 为AC 中点。
求异面直线1AB与1BC 所成角的余弦值。
【答案】125A 1C 1CBAB 1 DCP二、直线与平面所成角直线与平面所成角的范围：090θ≤≤ 方法：射影转化法（关键是作垂线，找射影）【例2】如图，在三棱锥P ABC -中，90APB ∠=，60PAB ∠=，AB BC CA ==，点P 在平面ABC内的射影O 在AB 上，求直线PC 与平面ABC 所成的角的大小。
【解】连接OC ，由已知，OCP ∠为直线PC 与平面ABC 所成角设AB 的中点为D ，连接,PD CD 。
AB BC CA ==，所以CD AB ⊥90,60APB PAB ∠=∠=，所以PAD ∆为等边三角形。
不妨设2PA =，则1,3,4OD OP AB ===2223,13CD OC OD CD ∴==+=在Rt OCP ∆中，339tan 13OP OCP OC ∠===【变式练习1】如图，四棱锥S ABCD -中，//AB CD ，BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形。
《空间角的计算》课件
计算示例
通过具体的示例来理解空间角的计算方法。例如，在已知两个向量的情况下， 我们可以求解它们之间的夹角；又或者在已知三个点的坐标时，我们可以计 算它们围成的空间角。
总结
通过比较不同的计算方法，我们可以了解空间角的重要性和不同计算方法的优缺点。学习空间角对于提高相关 领域的数学能力具有重要意义。
《空间角的计算》PPT课 件
这是一份关于《空间角的计算》的PPT课件，旨在通过生动的图片和清晰的解 释，向大家介绍空间角的定义、计算方式、关系以及其在物理和工程中的应 用。
什么是空间角
空间角是三维空间中两个向量之间的夹角称为空间角。它可以通过向量的内积或两度和空间角之间存在着密切的关系。角度通常使用度数或弧度来表示，并且可以与空间角进行转换。此外， 定向角度和不定向角度也有着不同的概念和用途。
空间角的应用
空间角在物理学和工程中有着广泛的应用。在物理学中，它可以描述物体的 运动和力的方向。在工程中，它可以用于测量和设计三维结构。
空间角的计算方法
空间角的计算可以使用空间直角坐标系的方法、三点坐标法或两向量夹角法。每种方法都有其适用的场景和计 算方式。
高三数学二轮专题复习27 空间角与空间距离
立体几何—空间角与空间距离专题综述空间角度与空间距离的推理、比较与计算，是高考考查的重点.求解方法既可以选择几何法，又可以选择向量法，在解决空间背景下及建系困难的几何体中的角与距离时，几何法更具优势，在解决简单几何体中的角与距离及探究性问题时，向量法更具优势.因此,选择合适的方法，确保快速解决问题.另外，两种方法都要求熟练准确的运算，且具有较高的直观想象、逻辑推理及数学运算的核心素养.专题探究探究1：综合法解决立体图形中角度和距离问题的思路：立体几何平面化→平面几何三角化→三角问题定理化.即把空间立体几何的问题转化为平面几何的问题，再把平面几何的问题转化为解三角形问题.答题思路一：综合法求解空间角（1）求异面直线成角的方法①平移：平移已有的平行线，或选择适当的点（线段的中点或端点），做平线性平移，或补形平移；② 证明：证明所作的角是异面直线所成的角或是其补角；③ 寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，解三角形； ④ 取舍：因为异面直线所成角θ的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角．（2）求线面角的方法： （I ）定义法：① 先确定斜线与平面，找到线面的交点A 为斜足；找线在面外的一点B ，过点B 向平面α做垂线，确定垂足O ；② 连结斜足A 与垂足O ,OA 为斜线AB 在面α内的投影；投影OA 与斜线AB 之间的夹角为线面角；③ 把投影OA 与斜线AB 归到三角形中进行求解. （2）间接法：设斜线PA 与平面α所成角为θ，则sin Ph PAθ=（P h 为点P 到平面α的距离），转化为求点P 到平面α的距离，可利用等积转化或借助其他点求距离. （3）求二面角的方法：l αβ--① 点A 为平面α内一点，过点A 作AO l ⊥于点O ； ② 证明过点A 的直线AB ⊥平面β于点B ,连接OB ，AB l l ⇒⊥⇒⊥平面AOB ,OB l ⇒⊥，⇒AOB ∠即为二面角l αβ--的平面角；③ 解Rt AOB ∆.答题思路二：综合法求解空间距离空间中的距离：平行平面间的距离、平行平面的直线到平面的距离、点到平面的距离⇒转化为点到平面的距离求点A 到平面α距离的方法： （1）直接法：① 求证过点A 的直线AB ⊥平面α于点B ，则线段AB 的长即为点A 到平面α的距离； ② 利用求三棱锥体积的等积转化思想进行求解； （2）间接法：转化为其他点到平面的距离① 直线AB 平面α，转化为求点B 到平面的距离；② ,A B ∈平面β，平面β平面α，转化为求点B 到平面的距离.（2021.福建省福州市月考试卷）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，下列结论正确的有（ ） A.二面角11A CD D --的大小为045 B.异面直线11D B 与CD 所成的角为060 C. 直线11D B 与平面11A DCB 所成的角为030 D. 1D 到平面11A DCB 的距离为2【审题视点】以简单几何体或者空间位置背景下的多选题，选项中涉及求空间角、距离、体积的问题，若建系，运算量较大，可以优先选择综合法解题.【思维引导】将综合法求空间角和距离的方法，以“流程化”的形式，将需要寻找的点，或需要作出的辅助线呈现出来，即可锁定所求的角或线段长.综合法的关键是，“按步骤进行”.【规范解析】解：在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中， 连接1AD 交1A D 于点O ，则11A D AD ⊥CD ⊥平面11ADD A1CD AD ∴⊥11,,A D CD D A D CD =⊂平面11A DCB 1AD ∴⊥平面11A DCB确定过点1D 垂直于平面11A DCB 的垂线1DD CD⊥11A DD ∴∠是二面角11ACD D --的平面角，又1145A DD ∠=,∴二面角11A CD D --的大小为045故A 正确11CD C D111B D C ∴∠是异面直线11D B 与CD 所成角或其补角又011145B D C ∠=∴异面直线11D B 与CD 所成角为045故B 错误01130OB D ∴∠=∴直线11D B 与平面11A DCB 所成的角为030故C 正确 方法一：1OD ⊥平面11A DCB∴1OD 的长即为点1D 到平面11A DCB 的距离 ∴点1D 到平面11A DCB方法二：三棱锥111D A B D -中111111D A B D B A D D V V --=1111111133D A B D B A D D h S h S ∆∆∴⋅⋅=⋅⋅11111112222122B A D DDA B Dh ShS∆∆⋅⋅⋅⋅∴===⋅∴点1D到平面11A DCB方法三：111111,C D A B A B ⊂平面11A DCB，11C D⊄平面11A DCB三棱锥111C A B C-中111111C A B C A C B CV V--=11111112222122A CB CCA B Ch ShS∆∆⋅⋅⋅⋅∴===⋅∴点1C到平面11A DCB，即点1D到平面11A DCB故D正确.【探究总结】求空间角和距离，不能单一的只利用空间向量法求解，对于一些简单的几何体，或者建系定坐标需花费较多时间的题目，选择用综合法求解会缩短解题时间.空间三大角中，二面角的求解较为困难，记住一点出发，作两垂线，连接两垂足，解三角形即可.1111111133C A B C A C B Ch S h S∆∆∴⋅⋅=⋅⋅（2021年全国新高考Ⅰ卷）如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点. （1）证明：OA CD ⊥；（2）若OCD ∆是边长为1的等边三角形，点E 在棱AD 上，2DE EA =，且二面角E BC D --的大小为45︒，求三棱锥A BCD -的体积.探究2：向量法利用空间向量求空间角与距离的思路：寻找从同一点出发的三条两两相互垂直的直线（条件不足需证明垂直）⇒建立空间直角坐标系⇒确定点的坐标⇒求出向量（方向向量或法向量）坐标 ⇒带入空间向量求角或距离的公式，求解. 答题思路三：向量法求解空间角与空间距离（1）求空间角① 设异面直线,m n 的方向向量分别为,m n ，则异面直线,m n 所成角的余弦值为cos ,m n m n m n⋅=； ② 设直线m平面A α=，直线m 的方向向量为m ，平面α的法向量为a ，则直线m 与平面α所成角的正弦值为cos ,m a m a m a⋅=； ③ 设平面α平面l β=，平面α，平面β的法向量分别为,a b ，则法向量,a b 夹角的余弦值为cos ,a b a b a b⋅=.（2）求点到平面的距离点P ∉平面α，点A ∉平面α，平面α的法向量为n ，则点P 到平面α的距离为PA n n⋅.强调：方向向量所成角的余弦值的绝对值分清所求角是二面角还是平面与平面所成角，对结果进行转化注意是角的正弦值（1）利用空间向量求解空间角或者空间距离①通过建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算进行；②利用空间向量基本定理表示向量，结合空间向量数量积，求角或距离.（2）求解空间角或者距离范围、最值的问题依然利用上述的求解思路，只是点的坐标含有参数，导致最终的结果是一个含参表达式.结合题干条件明确参数范围，转化为函数求范围、最值问题.AB=，（2021广东省佛山市期中考试）如图，已知矩形ABCD中，21∆沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM，AD=，M为DC的中点，将ADM连接BM.（1）求证：BM⊥平面ADM；--的余弦值；（2）求二面角A DM C-的体积为（3）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，三棱锥M ADE212【审题视点】题干条件中边长关系较多，联想到利用勾股定理或等腰三角形的三线合一的结论得出垂直结论，平面ADM⊥平面ABCM转化为线面垂直，故图形中垂直结论较多，第一问不难证明，同样容易建系求解后续两问.【思维引导】这是一道立体几何部分的常规题型，图形中垂直条件较多，不难证明BM⊥平面ADM，第一问的结论又为建系提供条件.题中需要求二面角的余弦值，及探究点E位置，用空间向量解决问题的思路更清晰一些.【规范解析】（1）证明：∵矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，M 为DC 的中点2AM BM ∴==，222AM BM AB ∴+=AM BM ∴⊥平面ADM ⊥平面ABCM ,平面ADM平面ABCM AM =BM ⊂平面ABCM BM ∴⊥平面ADM（2）解：分别取,AM AB 的中点O 和N ，则ONBM ，ON ∴⊥平面ADM ,ON AM ON OD ∴⊥⊥ AD AM = OD AM ∴⊥建立如图所示空间直角坐标系 则2220,0,,,0,0,2,,0222D M C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 2222,0,,,,02222DM MC ⎛⎫⎛⎫∴=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设(),,m x y z =为平面CDM 的一个法向量， 则2202222022DM m x z MC m x y ⎧⋅=--=⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩令1x =，则1,1y z ==-，即()1,1,1m =- 又()0,1,0n =是平面ADM 的一个法向量，3cos ,3m n m n m n⋅==∴二面角A DM C --的余弦值为33建系：凑齐建系条件找点坐标，表示向量坐标，若直接表求向量的坐标难度大，可利用向量间的关系，间接表示求法向量，与坐标平面重合或者平行的平面可直接给出法向量结合图形，分析二面角的范围，对结果进行转化（3）由（2）得22,0,0,,2,022A B ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 22,2,22DB ⎛⎫∴=-- ⎪ ⎪⎝⎭设[],0,1DE DB λλ=∈22,2,22DE λλλ⎛⎫∴=-- ⎪ ⎪⎝⎭ 则222,2,222E λλλ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭2222,2,2222AE λλλ⎛⎫∴=--- ⎪ ⎪⎝⎭∴点E 到平面ADM 的距离2AE n d nλ⋅==则1223612M ADB ADM V S d λ-∆=⋅==解得12λ=，则E 为BD 的中点． 【探究总结】向量法解决问题的前提是合理建系（条件不足时，有必要的证明）,写出点的坐标，求解二面角、点面距的前提是准确求出法向量.向量法本质是几何问题代数化，准确计算是保障.（2021浙江省期中考试）如图,在四棱柱1111ABCD A B C D -中,底面ABCD是等腰梯形, AB CD ,14,2AB BC CD D C ====, 1D C ⊥底面ABCD ,则（ ） A.BC ⊥平面1ACDB.直线1DD 与底面ABCD 所成的角为4πC.平面11ABC D 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值为217过点E 的斜线的方向向量+平面的法向量，求点面距离专题升华对于空间角与空间距离的计算问题，综合法与向量法都需要掌握.综合法要求一作（作辅助线）、二证（证明作图的合理性，即平行垂直的依据）、三计算（利用平面几何的知识计算角或边长），注重考查空间想象能力（判别平行与垂直的位置关系），推理论证能力（平行与垂直关系的辅助线作图与论证），运算求解能力（利用余弦定理,计算三角形的内角与边长）.空间向量法要求建立坐标系、写出点坐标、计算角的三角函数值与距离或选择空间向量基底表示其他向量, 利用空间向量数量积运算计算各种角的三角函数值与距离.两种方法针对不同的题型，各具优势，做题时选择合适的方法，快速准确的解题.【答案详解】 变式训练1 【解析】 解：（1）AB AD =，O 为BD 中点OA BD ∴⊥平面ABD 平面BCD =BD ,平面ABD ⊥平面BCD ，AO ⊂平面ABD OA ∴⊥平面BCDOA CD ∴⊥（2）作EF BD ⊥于F , 作EM BC ⊥于M ,连FM ,则EF OA OA ⊥平面BCD ,EF OAEF ∴⊥平面BCDEF BC ∴⊥平面BCD,EM BC EM EF E ⊥=BC ∴⊥平面EFMBC FM ∴⊥EMF ∴∠为二面角E BC D --的平面角, 即4EMF π∠=BO OD =,OCD ∆为正三角形BCD ∴∆为直角三角形2DE EA =1223FM BF ∴== 33122OA EF FM ∴===11131133326A BCD BCD V OA S -∆∴=⋅=⨯⨯⨯⨯= 变式训练2【解析】解：如图，易知1D C ⊥平面.ABCD BC ⊂平面ABCD1.BC D C ∴⊥在等腰梯形ABCD 中，过点C 作CG AB ⊥于点.G 则3AG =，1BG =，22213CG =-=， 所以22223(3)2 3.AC AG CG =+=+= 因此满足22216AC BC AB +==，所以.BC AC ⊥ 又1D C ，AC ⊂平面1AD C ，1D C AC C =， BC ∴⊥平面1AD C1D C ⊥平面ABCD14D DC π∴∠=，即直线1DD 与底面ABCD 所成的角为.4π 建立如图所示空间直角坐标系则(0,0,0)C ，(23,0,0)A ，(0,2,0)B ，1(0,0,2)D ， (23,2,0)AB ∴=-，1(23,0,2).AD =-设平面11ABC D 的法向量(,,)n x y z =，由10,0,AB n AD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得2320,2320,x y x z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩ 取1x =，可得平面11ABC D 的一个法向量(1,3,3).n = 又1(0,0,2)CD =为平面ABCD 的一个法向量 设平面11ABC D 与平面ABCD 所成锐二面角为θ， 则11||2321cos ||||727CD n CD n θ⋅===，因此平面11ABC D 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值为7 故点C 到平面11ABC D 的距离为1||221||7CD n n ⋅= 故选.ABC。
空间角的范围
空间角的范围什么是空间角空间角是物体之间相对位置的一种度量，用于描述在三维空间中两个向量之间的夹角。
它是向量的方向性特征的量化表示。
在数学上，空间角可以通过向量的点积和模长来计算。
给定两个向量A和B，它们的空间角θ可以通过以下公式计算：θ = arccos(A·B / |A|·|B|)其中，A·B表示向量A和向量B的点积，|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模长。
空间角的范围空间角的范围是从0到π之间的实数。
这是因为点积的值范围是从-1到1之间，而空间角θ的取值范围是从0到π之间。
当两个向量的方向相同时，它们的空间角为0。
当两个向量的方向完全相反时，它们的空间角为π。
当两个向量的方向相互垂直时，它们的空间角为π/2。
在实际应用中，空间角的范围可以用于描述物体之间的相对位置关系。
例如，在机器人技术中，空间角可以用于判断机器人的朝向和目标位置之间的夹角，从而实现精确的导航和定位。
空间角的应用空间角在物理学、工程学和计算机图形学等领域中具有广泛的应用。
在物理学中，空间角被用于描述光线的传播方向和反射方向之间的夹角。
通过测量空间角，可以计算出光线的折射角和反射角，从而研究光的传播规律和光学器件的设计。
在工程学中，空间角被用于描述机械零件之间的相对位置关系。
通过测量空间角，可以确定机械零件的装配方式和运动轨迹，从而实现机械系统的设计和优化。
在计算机图形学中，空间角被用于描述三维模型之间的相对位置关系。
通过计算空间角，可以确定三维模型的旋转角度和投影方向，从而实现计算机图形的渲染和动画效果。
总结空间角是一种用于描述物体之间相对位置的度量，可以通过向量的点积和模长来计算。
空间角的范围是从0到π之间的实数，用于表示两个向量之间的夹角。
空间角在物理学、工程学和计算机图形学等领域中具有广泛的应用，可以用于研究光的传播规律、机械系统的设计和优化，以及计算机图形的渲染和动画效果等方面。
通过深入理解空间角的概念和应用，我们可以更好地理解和应用三维空间中的向量和位置关系。
空间角的计算PPT课件(高中数学)
2.已知直线l是平面 的斜线,直线l的方向向量
为e , 平面 的法向量为 n ,设直线l和平面
的所成角为1 , e与
关系如何? l
n 的夹角为 2 ,
n
则 1,2
的
e
e
(1)若 e, n 的夹角
1
2
2.
(2)若 e, n的夹角
1
2
2
.
是钝角,则两直线的所成角
2
2 [0,2 ],则两直线的所成角
3.二面角 l 的两个半平面, 法向量分
3.已知两个相交平面, 法向量分别为 n1, n2,
求两平面所成的锐二面角的大小.
(1)n1 (1,1, 0), n2 (0, 1, 1) (2)n1 (1, 1,1), n2 (2,1,1)
1.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形, AB∥CD,PA⊥面ABCD, PA=AD=DC=1,AB=2,M是 棱PB的中点. (1)求证:面PAD⊥面PCD;
(3)在直线PA上求一点M,使得EM⊥CBz . (4)求面PAD和面PBC所成二 P 面角的余弦值.
(5)求二面角A-PB-C的余弦值.
D
A
x
E C
y
B
3.已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱 形，且∠BCD=∠BCC1=∠DCC1=600.
(1)求证:CC1⊥BD;
(2)当 CD 的值是多少时,
空间角的计算
复习:
1.已知空间两异面直线l1,l2的方向向量分别为e1, e2,
设l1与l2的所成角为 , e1,e2的夹角为 , 则 ,
关系如何?
l1
e1
e2
e2
空间角的求法
展示 1 在四棱锥 P－ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC ＝60° ，PA＝AB＝BC，E 是 PC 的中点． （1）平面 PAD 所成的角的大小； (2)证明 AE⊥平面 PCD； (3)求二面角 A－PD－C 的正弦值．
返回
S是正△ABC所在平面外一点，SA=SB=SC且 ∠ASB=∠BSC=∠CSA=90°，M，N分别是AB和SC的中 点，求异面直线SM与BN所成的角的余弦值 . C
S a
2 a 2
N
a a P
N
2 a 4
A
C
6P a 2
2a
M B A M
6 a 4
2 a 2
14 a 4
B
2 a 4
14 a 4
平面的法向量 如果表示向量n的有向线段所在直线垂直 于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记 作n⊥α，此时向量n叫作平面α的法向量． 显然一个平面的法向量也有 个，且它 无数 们是 向量．
共线
三．利用向量求直线与平面所成的角 设直线 l 的方向向量为 a，平面 α 的法向量为 n， 直线 l 与平面 α 所成的角为 θ，
以二面角的棱上任意一点为端点， 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线， 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角
O
三垂线定理(逆)
如图，PA⊥平面，AO是平面的 斜线PO在平面内的射影， a (1)若a⊥PO，则a⊥AO； P
(2)若a⊥AO，则a⊥PO
作用：1 证明线线垂直；
O
a
A
2 作二面角的平面角。
空间角的求法方法归纳
空间角的求法方法归纳
空间角的求法方法归纳
在数学和物理学中，空间角是一种非常重要的概念。
物体在空间中的角度关系经常被用到各种计算和分析中。
因此，求解空间角的方法也变得尤为重要。
本文将按类划分，总结空间角的求法方法。
立体角的求法
立体角是三维空间中用来描述四面体的角度大小的量，并且与其各个顶点相对应。
求解四面体的立体角可以通过以下公式进行计算：
V5 = 1/3(arccos(A1) + arccos(A2) + arccos(A3) - π )
其中V5指四面体的立体角，A1、A2、A3为三个向量的夹角余弦，pi 为圆周率。
平面角的求法
平面角是在二维平面中两个射线之间的角度大小，于是端点重合，两条射线叫做角的顶点，并记为O。
平面角的计算公式如下：
cosθ = a·b / |a||b|
其中，a和b分别表示两个向量，|a|和|b|表示向量的模，lala和lblb都为0，则cosθ没有定义。
球面角的求法
球面角是指在球面上相互靠近的两条弧（或线）之间的角度大小。
求解球面角需要先计算其对应的球面扇形的面积，然后进行换算即可，具体公式如下：
S = R²θ
其中R表示球体半径，θ表示对应的球面角。
总结
空间角的求法方法主要包括立体角、平面角和球面角三种。
其中立体角的求解需要根据四面体的三个向量夹角余弦值计算，平面角的计算需要先计算两个向量的点积并除以其模，而球面角的求解则需要先计算出对应的球面扇形面积。
这些空间角的求法方法可以帮助我们更准确地分析并解决各类问题。
空间角的计算方法
空间角的计算方法当建立空间直角坐标系后，空间图形顶点的坐标容易得出且比较简单时，三类空间角的计算可利用空间向量来处理.但是，当用空间向量处理起来比较困难时，我们还要学会用其它方式来处理.三类空间角的计算有别于平面几何中计算，它要充分地“说理”.因为空间图形不可能像平面图形那样明确、直接，有时看起来是“锐角”或“钝角”的图形，实际上是直角.因此，在立体几何中实施角的计算时，要认真做好三步工作“作——证——算”.“作”——即作出符合要求的平面角；“证”——即证明所作平面角是所求的角；“算”——通过解三角形求出该平面角的大小.本单元我们重点讨论用常规方法，来处理三类空间角的计算问题.【异面直线所成的角】求两异面直线所成角的问题是立体几何中常见且重要的计算之一，其方法通常是在其中一条直线上取一个特殊点通过三角形中位线或平行四边形引另一条直线的平行线来实现平行移动，然后通过余弦定理或解直角三角形来求解；对不易平移的问题可通过补形的方式来求解，也可考虑利用三余弦公式求解.两异面直线所成角θ的取值范围为θ∈(0，π2]. 例1.在正四面体ABCD 中，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，求DE 和BF 所成角的余弦值. 解法1(平移).如图2.5—1.联结AE ，取AE 的中点M ，联结MF 、MB ， ∵ M 、F 分别为AE 、AD 的中点，∴ M F ∥DE ，故∠MFB 为DE 和BF 所成的角或补角. 设正四面体ABCD 的棱长为a ，则由平面几何知识易知BF=√3a 2，MF=√3a4. 在Rt ∆BEM 中，MB=.47)43()2(22a a a =+由余弦定理可得，.324323216716343cos 222=⋅⋅-+=∠aa aa a MFB 解法2(补形). 如图2.5—2.将原正四面体补形为三棱柱.取AC 1的中点M ，联结D 1M 、BM ，BD 1，易知F 是空间角的求法异面直线所成的角 ①利用中位线或平行四边形平移. ③三余弦公式. 直线与平面所成的角二面角①直接法. ②等积转换法. ③三余弦公式法.①直接法——利用三垂线定理或棱的垂面. ②利用等腰三角形底边上的中线. ③利用面积的射影定理.②补形.A BCDF E图2.5—1 M ABCDF E 图2.5—2C 1D 1MBD 1的中点，MD 1∥DE ，∴∠MD 1B 为DE 和BF 所成的角或补角. 设正四面体ABCD的棱长为a.易求得，MD 1=√3a 2，BD 1=√3a ，BM=√7a2(可由余弦定理求得).再由余弦定理可得 cos ∠MD 1B= 23.例2.如图2.5—3.在正方体ABCD—A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是BB 1与C 1C 的中点，设DM与A 1N 所成的角为θ，求cosθ的值. 解：在原正方体ABCD—A 1B 1C 1D 1的前面补一个相同的正方体，如图2.5—3.联结A 2M 、A 2D ，易知A 2M ∥A 1N ， ∴ ∠A 2MD 为DM 与A 1N 所成的角θ或补角. 设正方体棱长为a. ∵ DM=A 2M=√(√2a)2+(a2)2=3a 2，A 2D=a a a 5)2(22=+.由余弦定理可得cos ∠A 2MD = - 19. ∴ cosθ= 19.说明：①由于两异面直线所成角的取值范围为θ∈(0，π2]，所以cosθ不可能为负值，当计算得出角的余弦值为“—”时，应将最后结果改为“+”.这是因为在平移时，所得的平面角可能是两异面直线所成角的补角，而互为补角的两角的余弦值互为相反数.②当我们试图在原图形的表面或其中作“平移”较困难时，可考虑“补形”.一般补形方式为：①三棱锥补形为三棱柱；②三棱柱补形为四棱柱；③四棱柱可在某一个侧面或底面“拼”一个相同的四棱柱.三余弦公式：平面α的斜线a 与α内一直线b 相交成θ角，a 与α相交成ϕc 与b 相交成ϕ2角，则有θϕϕcos cos cos 21=证明：设点P 在平面α上的射影为O ，过点O 作O B ⊥b 于B ，连接PB ， 由三垂线定理知AB ⊥PB.如图2.5—4. ∴ θϕϕcos cos cos 21==⋅=APAB AOAB APAO .在此公式中，直线a 和b 可以是相交直线，也可以是异面直线. 我们不妨把ϕ1叫做线 面角，θ叫做线线角，ϕ2叫做线影角.很明显，线线角是这三个角中最大的一个角.例3.(1)如图2.5—5(1)，MA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，且MA=AB=a ，试求异面直线MB 与AC 所成的角.(2)如图2.5—5(2).在立体图形P -ABCD 中，底面ABCD 是一个直角梯形.∠BAD=900，AD//BC ，AB=BC=a ，AD=2a ，且PA ⊥底面ABCD ，PD 与底面成300角，AE ⊥PD 于D.求异面直线AE 与CD 所成角的余弦值.解:(1)由图2.5—5(1)可知，直线MB 在平面ABCD 内的射影为AB ，直线MB 与平面ABCD所成的角为450，直线AC 与直线MB 的射影AB 所成的角为450，所以直线AC 与直MB 所成的角为θ，满足cosθ=cos45°· cos45°= 12，∴ 直线AC 与MB 所成的角为600.ACDA 1B 1C 1D 1 NM BA 2 图2.5—3图2.5—4ϕ2ϕ1cba θP αO AB(2)如图2.5—5(2)，过E 作PA 的平行线EF 交AD 于F ，由PA ⊥底面ABCD 可知，直线AE 在平面ABCD 内的射影为AD ，直线AE 与平面ABCD 所成的角为∠DAE ，其大小为600，射影AD 与直线CD 所成的角为∠CDA ，其大小为450，∴ 直线AE 与直线CD 所成的角θ满足：cosθ=cos60°· cos45°= √24. 即AE 与CD 所成角的余弦值 √24.想一想①:1.正四面体SABC 的棱长为a ，E ，F 分别是SC 和AB 的中点． 求异面直线SA 和EF 所成角．2.如图2.5—6.A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱，∠BCA=900，点D 1、F 1 分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，若BC=CA=CC 1，求BD 1与AF 1所成 角的余弦值.【直线与平面所成的角】直线与平面所成的角也是立体几何中常见且重要的计算问题之一.它一般可通过解Rt △ 来求解.其解法通常有①直接法；②三棱锥体积等积变形法；③三余弦公式法——此法主要用于解选填题，若用于解答题，则要给出三余弦公式的简略证明.例4.如图2.5—7.在正方体AC 1中.(1)求BC 1与平面ACC 1A 1所成的角.(2)求A 1B 1与平面A 1BC 1所成的角的余弦值.解:(1)联结BD 交AC 于O ，∵ BO ⊥AC ，BO ⊥A 1A ，由线面垂直的判定定理可得BO ⊥平面ACC 1A 1， ∴ ∠OC 1B 为BC 1与平面ACC 1A 1所成的角. 在Rt ∆BOC 1中，∵ sin ∠OC 1B=OB BC 1=12，且∠OC 1B 为锐角，∴ BC 1与平面ACC 1A 1所成的角为300. (2)法1.如图1.6—7. 联结BC 1、B 1C 交于点E. 易知BC 1⊥平面A 1B 1C.又∵ BC 1⊂平面A 1BC 1，∴ 平面A 1BC 1⊥平面A 1B 1C. 过B 1作B 1H ⊥A 1E 于H ，联结A 1H ，∵ 平面A 1BC 1∩平面A 1B 1C=AE, ∴ B 1H ⊥平面A 1BC 1,因此，∠B 1A 1E 是A 1B 1与平面A 1C 1B 所成的角. ∵ tan ∠B 1A 1E= B 1EA 1B 1=√22，∴ cos ∠B 1A 1E=√63.法2.过B 1作B 1H ⊥平面A 1BC 1于H ，联结A 1H ，∴∠B 1A 1H 是A 1B 1与平面A 1C 1B 所成的角.∵ △A 1BC 1是正三角形，且A 1B 1=B 1C 1=BB 1. ∴ 棱锥B 1—A 1BC 1是正三棱锥. 可得点H 是△A 1B 1C 1的外心.设A 1B 1=a,则A 1B=√2a ,得A 1H= √63a. ∴ cos ∠B 1A 1H=A 1H A 1B 1=√63，即所求角的余弦值为√63.说明：F 1 A B D 1C 1A 1B 1图2.5—6C 图2.5—7 PE DFA B C图2.5—5(2)图2.5—5(1) A B C D M1.当题设条件中或由已知可推出两个平面互相垂直时，要作出线面角， 可利用两平面垂直的性质，在一个平面内作交线的垂线即可.2.在求线面角时，很多时候垂线位置的确定，是很费“周折”的.而利用三棱锥体积等积变形可简化此不必要的麻烦. 其思路和原理如下：如图2.5—8.设PA 是平面α的斜线，PB 为平面α的垂线段，其长为h ，则θ为PA 与平面α所成的角.由于sin θ= hPA .一般地PA 之长往往是已知的，因此要求出sin θ就只需要求出点P 到平面α的距离h 即可.这里的h 值可通过三棱锥体积等积变形得到.例5.如图2.5—9所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是一直角梯形，∠BAD=900.AD ∥BC ，PA=AB=BC=a ，AD=2a ，PA ⊥底面ABCD. (1)求证：CD ⊥平面PAC.(2)求直线AD 与平面PCD 所成角的正弦值. 解:(1)在直角梯形ABCD 中，∵ ∠BAD=900，AD ∥BC ，AB=BC ， 取AD 的中点E ，联结CE ，知四边形ABCE 是正方形，又∵ AD=2a ，∴ CE=ED ，即∠ECD=450，∴ AC ⊥CD. ∵ PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂底面ABCD ，∴ CD ⊥PA ，又∵ PA∩AC=C ， PA 、AC ⊂平面PAC ，∴ CD ⊥平面PAC. (2)法1.设点A 到平面PCD 的距离为h ，直线AD 与平面PCD 所成角为θ，则有ADh =θsin .∵ .36,21312131a h CD AC PA CD PC h V V ACD P PCD A =⇒⨯⋅⋅⋅=⨯⋅⋅⋅⇒=，——又∵ AD=2a ，∴66sin ==AD h θ.即直线AD 与平面PCD 所成角的正弦值为66.法2.由(1)知，平面PAC ⊥平面PDC ，平面PA C ∩平面PDC=PC ，过点A 作AH ⊥PC 于H ，则AH ⊥平面PDC ，联结DH ，知∠ADH 为直线AD 与平面PCD 所成角. 在Rt △PAC 中，AC=,2a PA=a ，PC=,3a 由Rt △PAC 的面积等积变形得， AH=36a . 又∵ AD=2a ，∴ 66sin ==AD h θ.即AD 与面PCD 所成角的正弦值为66.【一个结论的应用】结论：若平面α的一条斜线PA 与平面α内∠BAC 的两边BA 、BC 所成的角相等，则PA 在平面α上的射影为∠BAC 的角平分线 .例6.(1)有一东西方向的河流，离河岸若干米处有一探照灯，照着岸边的某点B ，探照灯在点B 的东北方向.灯光与地面成600角，求灯光与岸边所成角的余弦值.(2)在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB ，C 1D 1的中点，求直线A 1B 1与平面A 1ECF 所成角的余弦值.解:(1)如图2.5—10(1).由已知，∠DBA=ϕ1=600， ∠ABC=ϕ2=450，∠DBC=θ，由三余弦公式得，cosθ=cos450·cos600= √24， ∴ 灯光与岸边所成角的余弦值为 √24.图2.5—9B P ACD EHPA θB 图2.5—8αD BCA东图2.5—10(1)ABC DB 1C 1D 1A 1FE图2.5—10(2)(2) 如图2.5—10(2).∵ A 1B 1与A 1E 、A 1F 所成角∠B 1A 1E=∠B 1A 1F ，∴ 直线A 1B 1在平面A 1ECF 上的射影为∠FA 1E 的平分线. 又由已知可推得四边形A 1ECF 为菱形，∴∠FA 1E 的平分线为A 1C. ∵ cos ∠B 1A 1E=sin ∠AA 1E= AEA1E=√55，由余弦定理可得cos ∠CA 1E=√155. 设直线A 1B 1与平面A 1ECF 所成的角为ϕ1，由三余弦公式得cos ϕ1= √33. ∴ 直线A 1B 1与平面A 1ECF 所成的角的余弦值为 √33.注：(2)也可以联结B 1C ，由上述分析知，直线A 1B 1与平面A 1ECF 所成角为∠B 1A 1C ，在Rt △A 1B 1C 中，易求得cos ∠B 1A 1C = √33.想一想②:1.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为AA 1、AB 的中点，则EF 与平面AA 1C 1C 所成的角为( ). 2.如图2.5—11.空间四边形PABC 中，PA 、PB 、PC 两两相互垂直， ∠PBA=450,∠PBC=600.则cos ∠ABC=( ).3.正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，若E 为棱AB 的中点，则直线C 1E 与平面ACC 1A 1所成角的正弦值为( ).4.求例5中PB 与平面PCD 所成角的正弦值.【二面角】二面角的计算是三类空间角计算中的难点，解决它的关键在于合理、有效地找出二面角的平面角，常用的方法有如下几种：1.直接法——⎪⎩⎪⎨⎧.)(中线作出平面角利用等腰三角形底边的面角；利用作棱的垂面作出平定理作出平面角；或逆利用三垂线 2.间接法——利用面积的射影定理. 对于无棱的二面角(只给出了两个半平面的一个公共点)，则要先确定棱的位置. 二面角的取值范围为θ∈[0，π].例7.(1)如图2.5—12(1). PC ⊥平面ABC ，AB ＝BC=CA ＝PC=a ，求二面角B －PA －C 的平面角的正切值.(2)如图2.5—12(2).已知二面角α－AB －β为1200，AC ⊂α，BD ⊂β，且AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，AB ＝AC ＝BD ＝a ，求CD 的长为.解:(1)法1(三垂线定理法).∵ PC ⊥平面ABC, ∴ 平面PAC ⊥平面ABC ，交线为AC.作BD ⊥AC 于点D ，据面面垂直性质定理知BD ⊥平面PAC ，作DE ⊥PA 于E ，连BE ，由三垂线定理，得BE ⊥PA ，从而∠BED 是二面角B －PA －C 的平面角.设PC ＝a ，依题意知三角形ABC 是边长为aPA BC图2.5—11 图2.5—12(1)P ABCDE图2.5—12(2)的正三角形，∴ D 是AC 的中点且BD=√32a ，∵ PC =CA=a ，∠PCA=900， ∴ ∠PAC ＝450. 在Rt △DEA 中，ED=ADsin450= √24a ， ∴ tan ∠BED= BD ED =√6， 即二面角B －PA －C 的平面角的正切值为√6. 法2.(面积的射影定理法).同法1，作BD ⊥AC 于点D ，可知BD ⊥平面PAC ，∴ 三角形ABP 在平面PAC 上的射影为三角形PDA.设所求二面角为θ，则cos θ=S∆PAD S ∆PBA . 由已知易求得PB=PA=√2a ， AB=a ，PC=PA=a ，∴ S ∆PDC =12S ∆PAC =14a 2，S ∆PAB =√74a 2，因此cos θ=S ∆PAD S ∆PBA= √77，从而可得二面角B －PA －C 的平面角的正切值为√6.(2)在平面β内，作AD′∥BD ，连DD′，则DD′∥AB. ∵ AC ⊥AB ，D′A ⊥AB ，∴ ∠D′AC 为二面角α－AB －β的平面角， 即∠D′AC ＝120°.∵ AB ＝AC ＝BD ＝a ，∴ CD′＝3a ，又AB ⊥平面ACD′，DD′∥AB ， ∴ DD′⊥平面ACD′，∴ DD′⊥D′C ，又 DD′＝a ，∴ CD ＝DD′2＋D′C 2＝2a.例8.(1)如图2.5—13(1).在600二面角M －a －N 内有一点P ，P 到平面M 、N 的距离分别为1和2，求点P 到直线a 的距离.(2)如图2.5—13(2).正方体AC 1的棱长为a ，求二面角D —A1B —C 的余弦值.解:(1)设PA 、PB 分别为点P 到平面M 、N 的距离，过PA 、PB 作平面α，分别交M 、N于AQ 、BQ.(相当于作棱的垂面). ∵ PA ⊥M ，a ⊂M ，∴ PA ⊥a. 同理，有PB ⊥a ， ∵ PA∩PB=P ，PA 、PB ⊂平面PAQB ， ∴ a ⊥平面PAQB 于Q.又 AQ 、BQ ⊂平面PAQB ，∴ a ⊥AQ ，a ⊥BQ. 即 ∠AQB 是二面角M －a －N 的平面角. ∴ ∠AQB ＝60°.联结PQ ，则PQ 是P 到a 的距离，在平面图形PAQB 中，有∠PAQ ＝∠PBQ=90°，∴ P 、A 、Q 、B 四点共圆，且PQ 是四边形PAQB 的外接圆的直径2R. 在△PAB 中，∵ PA=1，PB=2，∠BPA ＝120°，由余弦定理得，AB=√7. 由正弦定理：PQ=2R=.3212237sin ==∠APBAB(2)取A 1B 的中点E ，过点E 作EF ∥BC 交A 1C 与F ，联结DF 、DE.在正方体AC 1中易知 BC ⊥A 1B ，∵ EF ∥BC ∴ EF ⊥A 1B ，又∵A 1D=DB ，E 为A 1B 的中点，∴ EF ⊥A 1B ，因此∠DEF 为二面角D —A 1B —C 的平面角. ∵ DE= √32A 1B = √6a2，EF= BC 2=a2，DF=A 1C 2=√32a.由余弦定理可得，cos ∠DEF=√63.即二面角D —A1B —C 的余弦值为√63.想一想③:1.在正四面体ABCD 中，求相邻两个平面所成二面角的平面角的余弦值PN ABQMa 图2.5—13(1)A BC DA 1B 1C 1D 1图2.5—13(2) EF2.自二面角内的一点到两个平面的距离都是6cm ，两个垂足间的距离也是6cm ，求此二面角的度数.3.在四面体ABCD 中，AC=AB=BC=1，CD=BD=√132，AD=3.求二面角A—BC—D 的余弦值.例9.长方体ADCD—A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是正方形，过对角线AC 1的一个截面是锐角为α的菱形，若底面与截面AEC 1F 成θ角，求证：cos θ=tan α2.证法1:如图2.5—14.联结AC 、BD. ∵ 过对角线AC 1的一个截面是菱形，由长方体的特性知， BD ∥EF ，且EF=BD. 由线面平行的判定定理知BD ∥截面AEC 1F ，再由线面 平行的性质定理知BD ∥过点A 的直线l . 其中l 为平面ABCD 与截面AEC 1F 的交线，即下底面与截面所成二面角的棱为直线l .∵ AC 1⊥EF ，AC ⊥BD ，∴ AC ⊥l ，AC 1⊥l ，即∠C 1AC 为底面与截面AEC 1F 所成角，即 ∠C 1AC=θ，∵ cos θ= ACA 1C ，tan α2=EF AC 1=BD AC 1=ACAC 1，∴ cos θ=tan α2.证法2.设底面与截面AEC 1F 成θ角，由面积射影定理知，cosθ=S ∆BCDS ∆EC 1E=BD×AC EF×AC 1=AC AC 1. 下同法1.略.例10.如图2.5—15.在△ABC 中，AB ⊥BC ，S 为平面ABC 外的一点，SA ⊥平面ABC ，∠ACB ＝600，SA ＝AC ＝a.求二面角A －SC －B 的余弦值. 解: ∵ SA ⊥平面ABC ，SA 平面SAC ，∴ 平面SAC ⊥平面ABC. 过点B 作BD ⊥AC 于D ，平面SAC 平面∩ABC=AC ， ∴ BD ⊥平面SAC ，联结SD. 设二面角A －SC －B=θ， ∵ SA ＝AC ＝a ，∠ACB ＝600，BC ⊥SB ，∴ BC=a2，CD =BC 2=a4，SB=√7a2，∴ cos θ=S ∆SDC S ∆SBC=SA×CD SB×BC=√77. 即二面角A －SC －B的余弦值为√77.想一想④:如图2.5—16所示.在四棱锥P—ABCD 中，底面ABCD 是一直角梯形，∠BAD=900，AD ∥BC ，PA=AB=BC=a ，AD=2a ，PA ⊥底面ABCD. 求:(1)二面角P—CD—A 的余弦值.(2)平面PCD 与平面PAB 所成二面角的余弦值.【线面角、二面角的一个统一求法】如图2.5—17，设平面α的斜线PA 与平面α所成的角为θ，点P 到平面α的距离为h ，则 有， sin θ=hPA . 其中h 可利用三棱锥体积等积变形求得.图2.5—16BPA C DABCS图2.5—15D 图2.5—14 A BC A 1B 1C 1D 1DFE l如图2.5—18.在平面β内取一点P ，过点P 作PA ⊥平面α于A ，过点A 作AB ⊥l 于B ，联结PB ，由三垂线定理易知∠PBA =θ为二面角α—l —β的平面角(或补角)，设点P 到平面α的距离为h ，则有，sin θ=hPB . 其中h 可利用三棱锥体积等积变形求得，PB 为点P 到棱l 的距离，可通过三角形面积等积变形求得.这样一来，求线面角和二面角的问题可统一为，先利用三棱锥的体积等积变形求出点面距h ，再由已知或利用三角形面积等积变形求出点线距，从而易得所成角的正弦值.例11.如图2.5—19.在四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，PA=4，AC=2√3，BD=2.又点E 在侧棱PC 上，且PC ⊥平面BDE. (1)求线段CE 的长.(2)且二面角A —PD —C 的余弦值.解:(1)设AC ∩BD =O ，联结OE ，由已知条件易得PC=2√7.∵ PC ⊥平面BDE ，∴ OE ⊥PC.在Rt ∆PAC 和Rt∆OEC 中， cos ∠OCE=ECOC =ACPC ，⇒EC =3√77.(2)由已知可求得菱形的边长为2，PD=2√5. 设点A 到平面PDC 的距离为h ，点A 到二面角A —PD —C 的棱PD 距离为d ，二面角A —PD —C 的平面角(或补角)为θ，则sin θ=hd . 在∆PDC 中，S ∆PDC =12DP ×DC ×sin∠PDC =12DP ×DC ×√1−cos 2∠PDC =√19，∵ V A—PDC = V P—ADC ，可求得h=4√5719，又在∆PAD 中利用面积等积变形可得d=4√55， ∴ sin θ=hd =√15√19，∵ 二面角A —PD —C 是钝二面角，故二面角A —PD —C 的余弦值为-2√1919.例12.如图2.5—20.四棱锥P —ABCD 的底面是一个边长为4的菱形，其中∠ADC=600，顶点在底面上的射影恰好为AD 的中点E ，若PA=√7. (1)求直线PB 与平面PAD 所成角的正弦值.(2)求平面PBC 与平面PAD 所成二面角的余弦值.解:(1)设点B 到平面PAD 的距离为h ，直线PB 与平面PAD 所成角为θ，则sin θ=hPB ..∵ PE ⊥平面ABCD ，且E 为AD 的中点，由PA=√7，AD=4，∴ PE=√3. 又∵ V B—PAD = V P—BAD ，得 h =PE×S ∆ABDS ∆APD=2√3，在∆AEB 中，由余弦定理得EB=2√7，再由勾股定理得PB=√31， ∴ sin θ=hPB =2√3√31=2√9331. 即直线PB 与平面PAD 所成角的正弦值为2√9331. (2)设平面PBC 与平面PAD 所成二面角为α，点C 到平面PAD 的距离为h ，点C 到二面角的棱l 的距离为h 1，则 ，sin α=hh 1. ∵ BC ∥AD ，由线面平行的判定和性质知，平面PBC 与平面PAD 的交线l ∥BC ，∴ h 1为∆P CB 的底边BC 边上的高.由AD ⊥平面PEC ，知AD ⊥PC ，又∵ AD ∥BC ，∴ BC ⊥PC ，即h 1=PC.联结CE 、AC 由已知易得∆ACD 为αP A Bθh图2.5—17αP A h 图2.5—18Bθ βlP AEBCD l图2.5—20.PDECBA 图2.5—19.O正三角形，∴ PC=√PE 2+EC 2=√15，由BC ∥平面PAD 和(1)知h=2√3， ∴ sin α=h h 1=2√55，故平面PBC 与平面PAD 所成二面角的余弦值为2√55.例13.如图2.5—21，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面PAD ⊥ 底面ABCD ，且PA=PD=√22AD ，在线段AB 上是否存在一点G ，使二面角C —PD —G 的正弦值为2√23，说明理由. 解：取AD 的中点E ，联结PE 、CE ，∵ 侧面PAD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，且PA=PD= √22AD ， ∴ PD ⊥AB ，DP ⊥平面PAB ，从而可得，DP ⊥P G ，EC=√5， PC=√6， PA =PD =√2，PE =1.设AG=a ，点G 到平面PDC 的距离为h ，二面角C —PD —G 的平面角(或补角)为θ，则sin θ=h PG.由V G—PDC = V P—DGC ，得 h =S ∆DGCS ∆PDC=√2，又∵ PG=√2+a 2，∴ sin θ=hPG =√2√2+a 2=2√23，⇒a =12. 故存在点G 满足题设条件，且AG= 12.想一想⑤:在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点M 、N 、O 分别在棱CD 、BC 、CC 1上，且CM=CN=OC 1， 当OM 与平面ABCD 所成角的余弦值为√22时，求二面角N —MO —C 的余弦值.(请用多种方法)习题2.51.四面体ABCD 中，AC ⊥BD ，且AC ＝4，BD ＝3，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，则MN 和BD 所成角的正切值为( ).2.在四面体ABCD 中，AB ⊥BC ，AB ⊥BD ，BC ⊥CD ，且AB ＝BC ＝6，BD ＝8，E 是AD 中点，则BE 与CD 所成角的余弦值是( ).3.正三棱柱的九条棱都相等，M 、N 分别是BC 和A 1C 1的中点. 则MN 与CC 1所成角的余弦值是( ).4.不共面的三条射线OA 、O1B 、OC 两两成600的角，则OC 与平面AOB 所成角的余弦值为( ).5.正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，对角线BD 1=8，BD 1与侧面BC 1所成的角为30°，则BD 1和底面ABCD 所成的角为( ). A.30°. B.60°. C.45°. D.90°.6.设P 是边长为1的正△ABC 所在平面外一点，且PA=PB=PC= 23，那么PC 与平面ABC 所成的角为( ). A.30°. B.45°. C.60° D.90°.7.长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB=AA 1=2cm ，AD=1cm ，求异面直线A 1C 1与BD 1所成角的余弦值.(要求用三种不同的方法).8.已知ABCD 是正方形，PB 平面ABCD ，PB=AB=1，求二面角A —PD —C 的大小.9.如图2.5—22.空间三条射线CA 、CP 、CB ，∠PCA=∠PCB=60o ， ∠ACB=90o，求二面角B -PC -A 的余弦值.10.在四棱锥P -ABCD 中，ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AB ＝a ，求平面PBA 与PBα CAE F D图2.5—22 图2.5—21PDAB ECG平面PDC 所成二面角的大小.11.设M 为正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱CC 1的中点，求平面BMD 1与底面ABCD 所成的二面角的余弦值. 12.AC ⊂α，BD ⊂β，α与β所成的角为600，AC ⊥l 于C ，BD ⊥l 于B ，AC ＝3，BD ＝4，CD ＝2，求A 、B 两点间的距离.【参考答案】想一想①:1. 45°.2.1015.提示，法1.联结D 1F 1，过F 1作F 1M ∥BD 1角BC 与M.法2.在左侧面“拼”一个相同的三棱柱. 3..2222222cb a b a b a ++⋅+-利用三余弦公式，联结AC 、BD 交于O ，其中AC C 11∠=ϕ，COB ∠=2ϕ. 想一想②:1.300.提示，相当于求A 1B 平面AA 1C 1C 所成的角.2.√24.换个角度画图.由已知知CP ⊥平面PBA.∠ABC=θ,∠PBA=450=φ1,∠PBC=600=φ2.由三余弦公式可得.3.√26.直接法或等积变形. V E—ACC 1= V C 1—ACE . 4. √26.等积变形. V B—PCD = V P—BCD .想一想③:1.13.法1.过一个顶点作对面的垂线，由三垂线定理得到二面角的平面角，再求之. 法2.利用等腰三角形的特性作出二面角的平面角. 法3.利用面积的射影定理亦可求解. 2.1200.仿例8(1)作棱的垂面求解. 3.−√74. 利用等腰三角形的特性作出二面角的平面角.想一想④:(1) √63.法1.联结AC ，先证CD ⊥平面PAC.可知∠PCA 为平面角，再计算. 法2.利用面积的射影定理求.(cos θ=S∆ACD S ∆PCD).(2) √66.法1.延长DC 交AB 于点E ，则PE 为二面角的棱.再用直接法求之.法2. 利用面积的射影定理求. (cos θ=S∆PAB S ∆PCD).想一想⑤: √33. 习题2.51. 43.. 2. √75. 3.2√55. 4. √33.利用三余弦公式. 5.C. 6.A. 7. √558.1200.注意到∆PCD ≌∆PAD ，过点C 作CE ⊥PD,联结AE,则AE ⊥PD ，∴ ∠AEC 为二面角 A —PD —C 的平面角，利用直角三角形PCD 面积等积变形可求得CE=AE=√63下略.9.13.提示：在射线CP上取点D，作平面DEF ⊥CP.即棱的垂面.10.450.法1.∵ CD∥AB,由线面平行的判断和性质可推得二面角的棱为过点P且平行于AB的直线，又∵ AB⊥平面PAD，可知∠APD为二面角的平面角.法2.利用面积的射影定理. cosθ=S∆PABS∆PCD11.√63.利用面面平行的性质可知过三点B、M、D1的截面如图D2.5—1所示.此二面角的棱l为过点B且MN∥l∥AC的直线.也可用面积的射影定理求.12.√17.仿例7(2)的方法求解.A BCDA1B1C1D1图D2.5—1NM11。
高二数学 空间角的计算课件 新人教版
AA1 4, M 为B1C1上的一点,且B1M 2,点N在线段A1D上，
A1D AN. (1)求证：A1D AM . 简解：
z
A1
N
A(0,0,0), A1 (0,0, 4), D(0,8,0), M (5, 2, 4) AM (5,2,4), A1D (0,8, 4), AM A1D＝0 A1D AM .
y x 0 2 yz0 2
y x 2 z y 2
S
任取n2 (1,2,1)
n1 n2 6 6 cos n1 , n2 即所求二面角得余弦值是 3 | n1 || n2 | 3
结论：sin
| cos n, AB |
n
例二：在长方体 ABCD A B C D 中， AB= 5，AD 8, 1 1 1 1
AA1 4, M 为B1C1上的一点,且B1M 2,点N在线段A1D上，
2求AD 与平面ANM 所成的角的正弦值.A1
D1 A1 C1 B1
M
D O A B
C
1.已知正方体 ABCD A1 B1C1 D1 的边长为2， z O为AC和BD的交点，M为DD1 的中点 （1）求证： 直线 B1O 面MAC; D1 （2）求二面角 B1 MA C 的余弦值.
A1 1. ①证明：以DA 、 DC、 DD1 为正交基底， 建立空间直角坐标系如图。则可得 所以MA (2， 0， 1)， MC (0， 2， 1)， B1O (1， 1， 2)
2
2
2
于是，得
2CA DB a 2 b2 c 2 d 2
第27讲空间角的计算(讲义)
第27讲 空间角的计算一、高考要求空间角的计算在高考中通常有一道解答题，题目为中等难度，这是作为立体几何中重点考查的内容之一，解题时要注意计算与证明相结合．二、两点解读重点：①求异面直线所成的角；②求直线与平面所成的角；③求二面角． 难点：二面角的作法与求法．三、课前训练1．正六棱柱ABCDEF —A 1B 1C 1D 1E 1F 1的底面边长为1，侧棱长为2，则这个棱柱的侧面对角线E 1D 与BC 1所成的角是（B ）（A ）90° （B ）60° （C ）45° （D ）30°2． A 1B 1C 1 ABC 是直三棱柱，∠BCA =90°，点D 1、F 1分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，若BC =CA =CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是（A ）（A ）1030 （B ）21（C ）1530（D ）1015 3． 已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都相等,则1AC 与平面C C BB 11所成角的余弦值为410 4． 已知正四棱锥的体积为12，底面的对角线长为62，则侧面与底面所成的二面角等于(π3) 四、典型例题例1PC PB PA ,,是从P 点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为060，那么直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值是（C ）（A ）21 （B ）22 （C ）33（D ）36例2如图，∠BAD ＝90°的等腰直角三角形ABD 与正三角形CBD 所在平面互相垂直，E 是BC 的中点，则AE 与平面BCD 所成角的大小为___45° ___例3若正三棱锥底面边长为4，体积为1，则侧面和底面所成二面角的大小等于83arctan （结果用反三角函数值表示）． 例4在三棱锥S —ABC 中，∠SAB =∠SAC =∠ACB =90°，AC =2，BC =13，SB =29（Ⅰ）证明：SC ⊥BC ；（Ⅱ）求侧面SBC 与底面ABC 所成二面角的大小；（Ⅲ）求异面直线SC 与AB 所成的角的大小（用反三角函数表示）． 解：（Ⅰ）略（Ⅱ）解：∵BC ⊥AC ，SC ⊥BC ，∴∠SCA 是侧面SCB 与底面ABC 所成二面角的平面角．在Rt △SCB 中，由BC =13，SB =29，得SC =SB 2 — BC 2 =29—13 = 4．在Rt △SAC 中，由AC =2，SC =4，得cos ∠SCA =2142==SC AC ． ∴∠SCA =60°，即侧面SBC 与底面ABC 所成二面角的大小为60°．（Ⅲ）解：过点C 作CD ∥BA ，过点A 作BC 的平行线交CD 于D ，连结SD ，则∠SCD 是异面直线SC 与AB所成的角．如图9—65．又四边形ABCD 是平行四边形，DC =AB =1722=+BC AC ，SA =3222=-AB SB ， SD =2222BC SA AD SA +=+=5．图9—65在△SCD 中，cosSCD =,171717425)17(42222222=⨯⨯-+=⋅⋅-+DC SC SD DC SC ∴SC 与AB 所成的角的大小为arccos 1717． 例5已知如图斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面A 1ACC 1与底面ABC 垂直，∠ABC ＝90°，BC ＝2，AC ＝23，且AA 1⊥A 1C ，AA 1＝A 1C ．（Ⅰ）求侧棱A 1A 与底面ABC 所成角的大小；（Ⅱ）求侧面A 1ABB 1与底面ABC 所成二面角的大小；（Ⅲ）求侧棱B 1B 和侧面A 1ACC 1的距离． 解：（Ⅰ）作A 1D ⊥AC ，垂足为D ，由面A 1ACC 1⊥面ABC ，得A 1D ⊥面ABC ∴∠A 1AD 为A 1A 与面ABC 所成的角．∵AA 1⊥A 1C ，AA 1＝A 1C ，∴∠A 1AD ＝45°为所求．（Ⅱ）作DE ⊥AB ，垂足为E ，连A 1E ，则由A 1D ⊥面ABC ，得A 1E ⊥AB ． ∴∠A 1ED 是面A 1ABB 1与面ABC 所成二面角的平面角．由已知，AB ⊥BC ，得ED ∥BC ．又D 是AC 的中点，BC ＝2，AC ＝23， ∴DE ＝1，AD ＝A 1D ＝3，tanA 1ED ＝DED A 1＝3． 故∠A 1ED ＝60°为所求．（Ⅲ）作BF ⊥AC ，F 为垂足，由面A 1ACC 1⊥面ABC ，知BF ⊥面A 1ACC 1． ∵B 1B ∥面A 1ACC 1，∴BF 的长是B 1B 和面A 1ACC 1的距离．在Rt △ABC 中，AB ＝2222=-BC AC ，∴BF ＝362=⋅AC BC AB 为所求． 评述：本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，棱柱的性质，空间的角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力．B C 1。
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第27讲 空间角的计算
一、高考要求
空间角的计算在高考中通常有一道解答题，题目为中等难度，这是作为立体几何中重点考查的内容之一，解题时要注意计算与证明相结合． 二、两点解读
重点：①求异面直线所成的角；②求直线与平面所成的角；③求二面角． 难点：二面角的作法与求法． 三、课前训练
1．正六棱柱ABCDEF —A 1B 1C 1D 1E 1F 1的底面边长为1，侧棱长为2，则这个棱柱的侧面对角线E 1D 与BC 1所成的角是 （ B ） （A ）90°
（B ）60° （C ）45° （D ）30°
2． A 1B 1C 1 ABC 是直三棱柱，∠BCA =90°，点D 1、F 1分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，若BC =CA =CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是 （ A ） （A ）
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3． 已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都相等,则1AC 与平面C C BB 11所成角的余弦值为
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4． 已知正四棱锥的体积为12，底面的对角线长为62，则侧面与底面所成的二面角等于(π3 )
四、典型例题
例1 PC PB PA ,, 是从P 点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为0
60，那么直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值是 （ C ）
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1 （B ）
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例2如图，∠BAD ＝90°的等腰直角三角形ABD 与正三角形CBD 所在平面互相垂直，E 是BC 的中点，则AE 与平面BCD
所成角的大小为___45° ___
例3若正三棱锥底面边长为4，体积为1，则侧面和底面所成
二面角的大小等于8
3arctan
（结果用反三角函数值表示）．
例4在三棱锥S —ABC 中，∠SAB =∠SAC =∠ACB =90°，AC =2，BC =13，SB =29 （Ⅰ）证明：SC ⊥BC ；
（Ⅱ）求侧面SBC 与底面ABC 所成二面角的大小；
（Ⅲ）求异面直线SC 与AB 所成的角的大小（用反三角函数表示）． 解：（Ⅰ）略 （Ⅱ）解：∵BC ⊥AC ，SC ⊥BC ，
∴∠SCA 是侧面SCB 与底面ABC 所成二面角的平面角． 在Rt △SCB 中，由BC =13，SB =29，得 SC =SB 2 — BC 2 =29—13 = 4．
在Rt △SAC 中，由AC =2，SC =4，得cos ∠SCA =
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SC
AC ．
∴∠SCA =60°，即侧面SBC 与底面ABC 所成二面角的大小为60°． （Ⅲ）解：过点C 作CD ∥BA ，过点A 作BC 的平行线交CD 于
D ，连结SD ，则∠SCD 是异面直线SC 与AB 所成的角．如图
9—65．
又四边形ABCD 是平行四边形， DC =AB =172
2=+BC
AC ，
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SA =322
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=-AB SB ，
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BC SA AD SA +=+=5．
在△SCD 中，cosSCD =
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⋅⋅-+DC
SC SD
DC
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∴SC 与AB 所成的角的大小为arccos 17
17．
例5已知如图斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面A 1ACC 1与底面ABC 垂直，∠ABC ＝90°，BC ＝2，AC ＝23，且AA 1⊥A 1C ，AA 1＝A 1C ． （Ⅰ）求侧棱A 1A 与底面ABC 所成角的大小； （Ⅱ）求侧面A 1ABB 1与底面ABC 所成二面角的大小；
（Ⅲ）求侧棱B 1B 和侧面A 1ACC 1的距离． 解：（Ⅰ）作A 1D ⊥AC ，垂足为D ，由面A 1ACC 1⊥面ABC ，得A 1D ⊥面ABC ∴∠A 1AD 为A 1A 与面ABC 所成的角． ∵AA 1⊥A 1C ，AA 1＝A 1C ，
∴∠A 1AD ＝45°为所求． （Ⅱ）作DE ⊥AB ，垂足为E ，连A 1E ，则由A 1D ⊥面ABC ，得A 1E ⊥AB ． ∴∠A 1ED 是面A 1ABB 1与面ABC 所成二面角的平面角． 由已知，AB ⊥BC ，得ED ∥BC ．又D 是AC 的中点，BC ＝2，AC ＝23，
∴DE ＝1，AD ＝A 1D ＝3，tanA 1ED ＝
DE
D A 1＝3．
故∠A 1ED ＝60°为所求． （Ⅲ）作BF ⊥AC ，F 为垂足，由面A 1ACC 1⊥面ABC ，知BF ⊥面A 1ACC 1． ∵B 1B ∥面A 1ACC 1，
∴BF 的长是B 1B 和面A 1ACC 1的距离．
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在Rt △ABC 中，AB ＝
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2=-BC
AC ，
∴BF ＝
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62=
⋅AC
BC AB 为所求．
评述：本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，棱柱的性质，空间的角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力．。