空间角的计算
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精心整理
第五节空间角的计算
空间角，能比较集中反映空间想象能力的要求，历来为高考命题者垂青，几乎年年必考。空间角是异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角总称。
空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转化为空间向量的坐标运算来解。
空间角的求法一般是：一找、二证、三计算。
例1已知四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ABC ∠=o ，PA ⊥平面AC ，且2BC =，
1PA AD AB ===，求异面直线PC 与BD 所成角的余弦值。 图形的画法位置转换一下呢？
小结：求异面直线所成角的方法：
变式如图，点P 是边长为1的正方形ABED 所在平面外的一点，且PA ⊥平面ABED ，PA=1，又PB EM 2
1//，求异面直线PM
与BD 所成角的余弦值；
例2如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 平面
ABCD ，
CD AB //，090=∠DAB ，1===DC AD PA ，2=AB ，M 为PB
的中点．
求直线CM 与平面PAC 所成角的余弦值． 小结：求斜线与平面所成角的方法： 变式1如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝2BC ，∠ABC ＝120°，E 为线段AB 的中线，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A′DE ，使平面A′DE ⊥平面BCD ，F 为线段A′C 的中点. 求FM 与平面A′DE 所成角的大小。 变式2已知四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ABC ∠=o ，PA ⊥平面AC ，且2BC =，1PA AD AB ===，取PC 的中点M ，求直线DM 与平面PBD 所成角的正弦值。 例3如图，点P 是边长为1的正方形ABED
所在平面外的
一点，且PA ⊥平面ABED ，PA=1，PB EM 2
1//，
且∠
DME=90°，求平面PDM 与平面ABED 所成角的余弦值。
小结：求二面角的方法：
变式1如图4，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，∠DPC ＝030，AF ⊥PC 于点F ，FE ∥CD ，交PD 于点E.
（1）证明：CF ⊥平面ADF ；
（2）求二面角D －AF －E 的余弦值. 变式2如图，在四棱锥BCDE A -中，平面
⊥ABC 平面
2=AC .
BCDE,∠CDE=∠BED=90°,AB=CD=2，DE=BE=1，
4
6
8
1012
14
D
C
B
A
E
M
B
P
D
A
M
C
B
P
A
D
E
M
B
P
A
M
A /
F E
D C
B
A E
D A
F
精心整理
（1）证明：⊥DE 平面ACD ; （2）求二面角E AD B --的大小 课后练习：
1、如图所示，在直角梯形ABCP 中，AP//BC ，AP ⊥AB ，AB=BC=
22
1
=AP ，D 是AP 的中点，E ，F ，G 分别为PC 、PD 、CB 的中点，将PCD ∆沿CD 折起，使得⊥PD 平面ABCD ．
（Ⅰ）求证：AP //平面EFG ； (Ⅱ)求二面角D EF G --的大小．
（III （IV 2、AE ,M 是AB (1)(2)求(3)求3AC 所的中
点.
(1)(2)求(3)求90=o ，
4、在AB =1B B C -
5、CA =，
点P （1（2