大学物理课件高斯定理
合集下载
大学物理-电通量-高斯定理
❖ 一、求场强的思路
高斯定理反映的是电通量与电荷的关系，而不是场强 与电荷的直接联系。要通过电通量计算场强，就需要 在高斯定理表达式中，将场强从积分号中提出来，这 就导致要求电场的分布具有某种特殊的对称性。
几类对称性：
❖ 电场分布轴对称 ❖ 电场分布球对称 ❖ 电场分布面对称
二、 高斯定理的解题步骤：
大学物理
上册
§7. 3 电通量 高斯定理
§7. 3 电通量 高斯定理
7-3-1 电场线及其性质
❖ 标量场： 在空间各点存在着一个标量，它的数值是 空间位置的函数，如温度场、气压场
❖ 矢量场：在空间各点存在着一个矢量，它的值是空 间位置的函数，如流速场、电场、磁场 ▪ 场线：就是一些有方向的曲线，其上每一点的切 线方向都和该点的场矢量方向一致，场线的疏密 反映矢量的大小。
解: 对称性分析 E具有球对称作高斯面——球面
1） rR
电通量
e E1 dS E1 dS E14r2
s1
电量 qi 0
用高斯定理求解
+
+ +
R
+
+
r
E
+ +q
+
+
+
+
+
+++ +
E14r2 0 E1 0
e E 22d ）S E r2 d RS E 2 4 r2
++
+
E
+
s2
S
E d S E 1 d S E 2 d S E n d S
S
S
S
S
0q1 0 q0 2 qn 0
高斯定理反映的是电通量与电荷的关系，而不是场强 与电荷的直接联系。要通过电通量计算场强，就需要 在高斯定理表达式中，将场强从积分号中提出来，这 就导致要求电场的分布具有某种特殊的对称性。
几类对称性：
❖ 电场分布轴对称 ❖ 电场分布球对称 ❖ 电场分布面对称
二、 高斯定理的解题步骤：
大学物理
上册
§7. 3 电通量 高斯定理
§7. 3 电通量 高斯定理
7-3-1 电场线及其性质
❖ 标量场： 在空间各点存在着一个标量，它的数值是 空间位置的函数，如温度场、气压场
❖ 矢量场：在空间各点存在着一个矢量，它的值是空 间位置的函数，如流速场、电场、磁场 ▪ 场线：就是一些有方向的曲线，其上每一点的切 线方向都和该点的场矢量方向一致，场线的疏密 反映矢量的大小。
解: 对称性分析 E具有球对称作高斯面——球面
1） rR
电通量
e E1 dS E1 dS E14r2
s1
电量 qi 0
用高斯定理求解
+
+ +
R
+
+
r
E
+ +q
+
+
+
+
+
+++ +
E14r2 0 E1 0
e E 22d ）S E r2 d RS E 2 4 r2
++
+
E
+
s2
S
E d S E 1 d S E 2 d S E n d S
S
S
S
S
0q1 0 q0 2 qn 0
高斯定理1ppt课件
三、高斯定理
1、定理的描述：
在任意静电场中，通过任一闭合曲面的电场强度通
量，等于该曲面所包围电荷的代数和的
1 0
倍。
qi
e EdS
S
i
0
真空中静电场
qi
i
介质中静电场
qi
i
.
自由电荷
自由电荷与介 质极化电荷
2、讨论： （1）高斯定理中的
E是
q
内
和q外
在闭合面上任一
点激发的总电场；
（2）通过闭合曲面的总电通量之决定于它所包围的电荷；
当带电体的分布具有某种对称性时，其在空
间激发的电场也将具有某种对称性，可以选择合
适的高斯面，利用高斯定理求出
E E (x ,y ,z)
.
常见的电量分布的对称性
球对称
柱对称
均 电匀
带
球体 球面 (点电荷)
长
无 限
柱体 柱面 带电线
面对称
无 平板 限 大
平面
.
例1 讨论一个半径为R均匀带电量为Q的 球体的电场分布。
空 0 <r ≤ R 间 R <r <
Q
R
.
（1） R < r <
Q dq1Βιβλιοθήκη O RS1r1
dq2
dE2 P
dE
dE1
.
解：
q0i
EdS i
S
ε0
Q r
S1
方程
左边
S 1E 1dSS 1E 1dS
R
E1Sd 1 S E14πr2
方程 右边
i q 0i Q
ε0
ε0
E1
10-3高斯定理ppt课件
分布具有一定对称性的电场问题。
.
11
例2 一无限长均匀带电细棒，其线电荷密度为 求距细棒为a处的电场强度。
解 以细棒为轴作一个高为l、截面半径 为a的圆柱面，如下图。以该圆柱面为高 斯面，运用高斯定理。由于对称性，圆 柱侧面上各点的场强 的E 大小相等， 方l a 向都垂直于圆柱侧面向外。
通过高斯面S的电通量可分为圆柱侧
EdS
1
S
qi
0 i n s i,id e
1. 证明包围点电荷q 的同心球面S 的电通量
球面上各点的场强方向与其径向相同。
球面上各点的场强大小由库仑定律给出。
deE dS EdS4π 10rq2dS
r
q
E S
.
7
deE dS EdS4π 10rq2dS
e Sd e S4 π q 0 r2d S 4 π q 0 r2S d S q 0
的数学成就遍及各个领域，在数学许多方面的贡献都有着划时
代的意义．并在天文学，大地测量学和磁学的研究中都有杰出
的贡献．1801年发表的<算术研究>是数学史上为数不多的经
典著作之一，它开辟了数论研究的全新时代．非欧几里得几何
是高斯的又一重大发现，他的遗稿表明，他是非欧几何的创立
者之一．高斯致力于天文学研究前后约20年，在这领域内的伟
x
度通量为
z
e 1 2 3 4 5
1E1ScoπsE1S;2340
5EcoSs5E1S即通过闭合曲面的电
eE1SE1S0 场强度通量为零。
.
6
三、 高斯定理〔Gauss theorem）
静电场中任意闭合曲面S的电通量，等于该曲面
所包围的电量除以ε0，而与S以外的电荷无关。
《大学物理》第22章_高斯定理
s 2e0
r en
E
E
2 0 S E
可见，无限大均匀带电
平面激发的电场强度与
离面的距离无关，即面 的两侧形成匀强电场。
σ
上页 下页 返回 退出
22-8 导体表面附近的电场
任意形状导体表面外的电场可 写成 E ，σ 是导体表面电荷面 密度。 0
解题思路 正如前例，选择小圆柱作为高斯面。选
Q
EdAE(4r2)0
上页 下页 返回 退出
(b)选择半径为r（r<r0）的同 心球壳为高斯面。 根据高斯定理，A2面内无电荷
E dQA en clE 0(4r2)0
E0
（c）这些结果同样也适用于均匀带电球形导体，因为 全部电荷都聚集在球表面。
问题:如果球体为绝缘体，会怎么样呢？
上页 下页 返回 退出
例22-4 带电实心绝缘球体
电荷Q均匀分布在半径r0的绝缘
球体上。试求电场：（a）球外；
（b）球内。
由于电荷球对称分布，所以电
场也对称。E只取决于r。
（a）球外，选择半径为r(r>r0)的同 心球面作为高斯面A1
QenclQ
E
1
4 0
Q r2
高斯定律可写为
EdA E(4r2)Q0
上页 下页 返回 退出
§22-1 电通量
电通量定义： 1.均匀电场中垂直通过平面 S⊥ 的电场强度通量.
S
F= ES^
2.电场与平面不垂直
对于均匀电场，穿过一 区域A的电通量定义为
上页 下页 返回 退出
是
E
沿垂直于区域A方向
的分量。
E E A E co A s
大学物理高斯定理课件
复分析
在复分析中，高斯定理可以用于研究复函数的积分和全纯函数的空间性质。
THANKS
感谢观看
微分情势和积分公式
高斯定理的推导过程中需要用到微分 情势和积分公式，这些是微分几何的 重要概念和工具。
03
高斯定理的证明
证明的思路
01
引入高斯定理的背 景和意义
阐述高斯定理在电场和磁场中的 重要性，说明证明高斯定理的必 要性。
02
确定证明方法
03
构建证明框架
介绍使用微积分和向量场的方法 来证明高斯定理，说明其公道性 和可行性。
01
多重积分情势
高斯定理可以通过多重积分的情势进行 推广，以处理更复杂的几何形状和场散 布。
02
03
广义高斯定理
广义高斯定理将高斯定理的应用范围 扩大到非保守场，例如电磁场和引力 场。
高斯定理在其他物理领域的应用
01
02
03
电动力学
高斯定理在电动力学中用 于计算电场和电荷散布的 关系，以及电磁波的传播 。
相对论物理
在相对论物理中，高斯定 理可以应用于计算引力场 的能量密度和压力。
粒子物理学
在粒子物理学中，高斯定 理可以用于计算粒子在强 磁场中的运动轨迹和能量 。
高斯定理在其他数学领域的应用
微积分学
高斯定理是微积分学中的重要概念，可以用于 解决一系列积分问题。
实分析
实分析中，高斯定理可用于研究函数的积分性 质和可积性。
04
高斯定理的应用实例
电场中的应用
计算电场散布
高斯定理可以用来计算给定电荷散布 的电场散布，特别是在处理点电荷、 均匀带电球体等简单电荷散布时，高 斯定理提供了简洁的解决方案。
大学物理高斯定理PPT课件
q1 ε0
E dS
S
qk ε0
S Ei dS 0 0
E dS
i(内) S
i (外)
qk 1
E dS
S
1
ε0
Φe
qi (内)
E dS
1
S
ε0
qi (内)
q1
qi q2
dS E
qi(内) 是指面内电荷代数和。
qn
第21页/共44页
Φe
E dS
1
S
0
n
qi内
i 1
规定：
1）曲线上每一点的切线方向表示该点场强的方向； 2）通过垂直于电场方向单位面积的电场线条数等
于该点电场强度的大小。 E dN / dS
ddSS⊥
E
E
电场线稀疏的地方场强小，电场线密集的地方场强大。
第5页/共44页
电场线的特性
1） 电场线起始于正电荷(或无穷远处)， 终止于负电荷，不会在没有电荷处中断；
1）点电荷位于球面 S 中心
Φe SE dS SEdS cos0
q E 4πε0r 2
E dS
E SdS
q 4πε0r 2
SdS
q 4πr 2 q
4πε0r 2
ε0
q
+ r
S
结果与球面半径无关，即以点电荷q 为中心的任一球 面，不论半径大小如何，通过球面的电通量都相等。
第18页/共44页
求：平面附近某点的电场强度。
解： 具有面对称性，作闭合圆柱面为高斯面。
Φe
E dS
S
1
0
n
qi
i 1
qk 1
q1 qi
q2 qn
E dS
S
qk ε0
S Ei dS 0 0
E dS
i(内) S
i (外)
qk 1
E dS
S
1
ε0
Φe
qi (内)
E dS
1
S
ε0
qi (内)
q1
qi q2
dS E
qi(内) 是指面内电荷代数和。
qn
第21页/共44页
Φe
E dS
1
S
0
n
qi内
i 1
规定：
1）曲线上每一点的切线方向表示该点场强的方向； 2）通过垂直于电场方向单位面积的电场线条数等
于该点电场强度的大小。 E dN / dS
ddSS⊥
E
E
电场线稀疏的地方场强小，电场线密集的地方场强大。
第5页/共44页
电场线的特性
1） 电场线起始于正电荷(或无穷远处)， 终止于负电荷，不会在没有电荷处中断；
1）点电荷位于球面 S 中心
Φe SE dS SEdS cos0
q E 4πε0r 2
E dS
E SdS
q 4πε0r 2
SdS
q 4πr 2 q
4πε0r 2
ε0
q
+ r
S
结果与球面半径无关，即以点电荷q 为中心的任一球 面，不论半径大小如何，通过球面的电通量都相等。
第18页/共44页
求：平面附近某点的电场强度。
解： 具有面对称性，作闭合圆柱面为高斯面。
Φe
E dS
S
1
0
n
qi
i 1
qk 1
q1 qi
q2 qn
第二讲 高斯定理课件
如图所示，在流速场中（在流体力学中，速度v
是一个矢量函数，整个流体是一个速度场） ，取一
微小面元Δ s,n为面元Δ s的法线方向的单位矢量.
vn
S
ˆ n
v
单位时间内流过Δ S的流体体积叫做Δ S的通量，由于 Δ S很小，可以认为其上各点的流速v处处相等。单位时间 内通过Δ S的流体体积，它在数值上等于以Δ S为底以v为 母线的柱体体积，即
E E S ES cos
即场强 E 与面元 S 在场强方向的投影的乘积就是面 S
元的电通量。
n
S
S
E
S
. P
E
n
下面，我们对电通量作进一步的讨论 （1）电通量是代数量。场强 E 和面元矢量 S 的 夹角θ 之不同，电通量有正、负。
二、 高斯定理
如何实际地计算电场中任一曲面，尤其是闭合曲 面的电通量呢？1839年，德国科学家高斯在这方面作 了重要工作，高斯定理可以表述为：静电场中任意闭 合曲面s的电通量φ e，等于该曲面所包围的电荷的代 数和Σ qi除以ε 0，与闭合面外的电荷无关。这里s通 常是一个假象的闭合曲面，习惯上叫高斯面。其数学 形式为：
E ds
S
q
i 1
n
i
0
高斯定理的证明：（根据库仑定律和场强叠加原
理从特殊到一般，分几步来证明这个定理。） （1）包围点电荷 q 的同心球面的电通量都等于 以正点电荷q所在处为中心，任意半径r作一球 面，根据库仑定律，球面上场强具有球对称性，在 球面上任取一小面元ds，其外法线矢量n也是沿半 径方向向外的，即n与E 的夹角为0，
间距离Ｌ比所考虑的场点到二者的距离小的多时，这一电荷系
大学物理Ⅱ 高斯定理
P
l
e
E dS S
E dS
侧 E dS 上底 E dS 下底 E dS
侧 EdS E 侧 dS E 2r l
根据高斯定理得 E 2r l 1 l 0
E 2 0 r
用高斯定理求场强小结：
1 . 对称性分析
电荷分布对称性→场强分布对称性
点电荷 球对称性 均匀带电球面
均匀带电球壳
球体
轴对称性 柱对称
无限带电直线
无限带电圆柱 无限圆柱面 无限同轴圆柱面
无限大平面 面对称性 无限大平板
若干无限大平面
2. 高斯面的选择
①高斯面必须通过所求的场强的点。
②高斯面上各点场强大小处处相等，方向处处与该 面元线平行；或者使一部分高斯面的法线与场强方 向垂直；或者使一部分场强为零。
+ q+ +
+
0
R
r
高斯定理的应用
例2 均匀带电球体的电场。球半径为R，带电为q。
解：电场分布也应有球对称性，方向沿径向。
作同心且半径为r的高斯面
1）r R时 ，
E ds E ds
E 4r2
s
s
r
q
0
4 r3
3
0
q
4 R3
4 r3330E qr4 0R3
R
高斯面
高斯定理的应用
Φe前 Φe后 Φe下
s
E
dS
0
y
P
N
en
o
zM
en
E
en
Q
Rx
Φe左
s左
E
dS
ES左
cosπ
ES左
Φe右 s右E dS ES右 cos ES左
大学物理-高斯定理
E dS E dS E dS
S1
S2
S侧
ES1 ES2 0 S / 0
qi内 σS
S
2ES
0
E σ 2ε0
S2
S侧 S1
E
2 0
无限大均匀带电平面的场强
E
EE
E
x
O
( 0)
E
讨论
dS
n
E
S E cos dS
Φe
E dS
S
为通过 S 面的电通量。
dS 有两个法线方向，dφ 可正可负。
S 为封闭曲面
规定：闭合面上各面元的
E
dS1
外法线方 向为 正向。 dΦe E dS Eds cos θ
通过闭合曲面的电通量为：
Φe SE dS S E cos dS
dS2
大学一年级（19岁）时就解决了几何难题： 用直尺与圆规作正十七边形图。1799年以论文 《所有单变数的有理函数都可以解成一次或二次 的因式这一定理的新证明》获得博土学位。
1807年起任格丁根大学数学教授和天文台台 长，一直到逝世。1838年因提出地球表面任一点 磁势均可以表示为一个无穷级数，并进行了计算 ，从而获得英国皇家学会颁发的科普利奖章。
解： 顶角所在的三个面上的通量为零。 其余三个面上直接计算困难
考虑用 8 个这样的立方体 将点电荷拥在中心。
其外表面上的电通量为：
q
•
Φ'e
E dS
S
ε0
由对称性： e
3 24
q
0
2、高斯定理的应用
Φe
E dS
1
S
ε0
qi (内)
高斯定理的一个重要应用是：
《高斯定理》PPT课件
布已知时，可以方便地求出电荷q0在电场中某点的电势能和 在电场中移动电荷q0时静电场力作的功。
Wa q0Va WAB q0VA q0VB q0UBA
第三节 静电场的环路定理 电势
第四章
四. 电势 电势差 静电场的矢量描述---电场强度 静电场的标量描述--电势
b E
dl
Wa
a
q0
Wb q0
Va Vb
Va
Wa q0
Vb
Wb q0
a点的电势:单位正电荷在该点处的电势能；
Va,Vb与试验电荷无关，反映了电场在a,b两点的性质; a,b两点的电势之差称为a,b两点的电势差或电压Uab
z
en
E dS
S
E dS E dS E dS
s(柱侧面）
s ( 上底）
s (下底）
E dS 0 0
s ( 柱侧面）
+ +
E
+
r h
+
+o y
x
en en
第二节
E dS EdS
S
s ( 柱侧面）
h 0
z
2π rhE h 0
E 2π 0r
+
+
+
r h
+
S
S′
由电场线的性质可知，通过球面 S′的电场线必定全部通过闭合面S， 因此，通过任意形状的包围点电荷 q的闭合面的电通量都等于q/ε0
第二节
点电荷在封闭曲面之外
dΦ1 E1 dS1 0
E2
dΦ2 E2 dS2 0 q
dΦ1 dΦ2 0
dS2
e
E dS 0
S
第四章
Wa q0Va WAB q0VA q0VB q0UBA
第三节 静电场的环路定理 电势
第四章
四. 电势 电势差 静电场的矢量描述---电场强度 静电场的标量描述--电势
b E
dl
Wa
a
q0
Wb q0
Va Vb
Va
Wa q0
Vb
Wb q0
a点的电势:单位正电荷在该点处的电势能；
Va,Vb与试验电荷无关，反映了电场在a,b两点的性质; a,b两点的电势之差称为a,b两点的电势差或电压Uab
z
en
E dS
S
E dS E dS E dS
s(柱侧面）
s ( 上底）
s (下底）
E dS 0 0
s ( 柱侧面）
+ +
E
+
r h
+
+o y
x
en en
第二节
E dS EdS
S
s ( 柱侧面）
h 0
z
2π rhE h 0
E 2π 0r
+
+
+
r h
+
S
S′
由电场线的性质可知，通过球面 S′的电场线必定全部通过闭合面S， 因此，通过任意形状的包围点电荷 q的闭合面的电通量都等于q/ε0
第二节
点电荷在封闭曲面之外
dΦ1 E1 dS1 0
E2
dΦ2 E2 dS2 0 q
dΦ1 dΦ2 0
dS2
e
E dS 0
S
第四章
大学物理静电场(高斯定理)课件
大学物理静电场(高斯定理)课件一、教学内容本节课的教学内容来自于大学物理的静电场部分，具体涉及高斯定理。
高斯定理是描述电场通过任意闭合曲面的电通量与该闭合曲面内部的电荷量之间的关系。
数学表达式为：\[ \oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} =\frac{Q}{\varepsilon_0} \]其中，\( \mathbf{E} \) 表示电场强度，\( d\mathbf{A} \) 表示曲面元素，\( Q \) 表示闭合曲面内部的电荷量，\( \varepsilon_0 \) 表示真空中的电常数。
二、教学目标1. 理解高斯定理的数学表达和物理意义。
2. 学会运用高斯定理计算闭合曲面内的电荷量。
3. 掌握高斯定理在实际问题中的应用。
三、教学难点与重点重点：高斯定理的数学表达和物理意义。
难点：如何运用高斯定理计算闭合曲面内的电荷量，以及高斯定理在实际问题中的应用。
四、教具与学具准备教具：投影仪、黑板、粉笔。
学具：笔记本、笔、计算器。
五、教学过程1. 实践情景引入：以雷电现象为例，介绍静电场中的电荷分布和电场强度。
引导学生思考如何计算一个闭合曲面内的电荷量。
2. 理论知识讲解：讲解高斯定理的数学表达和物理意义。
通过示例，解释高斯定理如何描述电场通过闭合曲面的电通量与内部电荷量之间的关系。
3. 例题讲解：给出一个具体的题目，指导学生如何运用高斯定理计算闭合曲面内的电荷量。
题目如下：一个半径为 \( R \) 的球体，在其表面分布着电荷，求球体内的电荷量。
4. 随堂练习：让学生独立完成上述题目的计算。
在课堂上选取几位学生的答案进行讲解和讨论。
5. 作业布置：布置一道类似的题目，要求学生课后完成。
题目如下：一个长方体导体，其两个相对面上分别分布着电荷 \( Q_1 \) 和\( Q_2 \)，求长方体内部的电荷量。
6. 板书设计：板书高斯定理的数学表达式和物理意义，以及解题步骤和关键点。
大学物理-第1章 电场强度 高斯定理
＋的场强 视为点电荷 dq
r r
P
Q
分解
dq
Q
r dE
设带电体的电荷体密度为， dq在 P 点产生的场强为 叠加
则 d q dV
r dE
r 1 r dV 3 4π 0 r
r r E dE
P点的场强为
r 1 E 4π 0
V
r r dV 3 r
穿出为正，穿进为负
向外法 线
31
S
E
选取面积元 dS dS en
1.3.3 高斯定理
1. 点电荷q 的电场中任意闭合曲面的电场强度通量 （1）点电荷在闭合曲面内 以q为中心、半径任意的球面S 的电场强度通量 由库仑定律得P 点场强 面积元dS的电场强度通量
v E 1 q r e 2 r 4π 0 r
大小 F12 k
12
v v F21 F12
q1q2
q1q2
r122 方向 沿 q1、 q 2 的连线，同性相斥，异性相吸
k 9 109 N m2 C2
比例系数 真空中的电容率
9
1 4π 0 r12 2
v F21
v r12
q1
v F12
q2
0 8.851012 C2 (N m2 )
15
点电荷的电场分布
q>0
q<0 (b)负电荷
(a)正电荷
16
1.2.3. 一定数量点电荷产生的电场强度
q0 受到的合力为
q1
r r r r F = F+F 1 2+L F n
P 点场强
r E r Fi
n i 1
r r1
大学物理--静电场高斯定理PPT课件一等奖新名师优质课获奖比赛公开课
S
dS
qi
E
i
4 0r 2
过场点旳高斯面内电量代数和?
r<R qi 0
i
r>R qi Q
i
r< R E 0
r>R
E
Q
4 0r 2
怎样了解面内场强为0 ?
过P点作圆锥
P
dq1
dq2
则在球面上截出两电荷元
dq1 dS1 dq2 dS2
dq1 在P点场强
dE1
dS1 4 0 r12
dlr1 0dl0
dl
当然 也
dl0 r0
r 射线长为
r1
d
dl1
一般旳定义：线段元dl 对某点所张旳平面角
d
dl0
dl
cos
rr
单位：弧度
r 平面角 d dl0 dl cos
rr
立体角
d
面元dS 对某点所张旳立体角：
r1
drlr1 0dl0
dl
dS
锥体旳“顶角”
d
dS1 dS0
对比平面角，取半径为 r1 r1
ds r
l
Eds
例3 金属导体静电平衡时,体内场强到处为0
求证: 体内到处不带电
证明：
在导体内任取体积元 dV
E dS 0 由高斯定理
S
qi dV 0
i
V
体积元任取
0
证毕
d 4 0
dq2
在P点场强
dE2
dS2 4 0 r22
d 4 0
dE1 dE2
方向 如图
方向 如图
例2 均匀带电旳无限长旳直线 线密度
对称性旳分析
大学物理高斯定理课堂PPT
由高斯定理知 E
q
2 0lr
（1）当r<R 时， q0
E0
.
25
高斯定理的应用
（2）当r>R 时，
ql
E
2 0r
均匀带电圆柱面的电场分布
r
l
E Er 关系曲线
2 0 R
r1
0
R
r
.
26
高斯简介 高斯（Carl Friedrich Gauss 1777~1855）
高斯长期从事于数学并将数学应用于物理学、天 文学和大地测量学等领域的研究，主要成就：
6-3 电场线 高斯定理
一、电场线
1、定义
在电场中画一组带箭头的曲线, 这些曲线与电场强度 E 之间具有
E
以下关系:
①电场线上任一点的切线方向给出了该点电场 强度的方向；
②某点处电场线密度与该点电场强度的大小 相等。
.
1
电场线密度:经过电场中任一点， 作一面积元dS，并使它与该点的 场强垂直，若通过dS面的电场线 条数为dN，则电场线密度
由电场线的连续性可知，穿 过 S的电场线都穿过同心球 面 S ，故两者的电通量相等， 均为 q ε 0 。
结论说明，单个点电荷包围 在任意闭合曲面内时，穿过 该闭曲面的电通量与该点电 荷在闭曲面内的位置无关。
.S
S
q •
S
电场线
S'
q+
r
10
③不包围点电荷q的任意闭合曲面S的电通量恒为零．
由于电场线的连续性可知，穿 入与穿出任一闭合曲面的电通 量应该相等。所以当闭合曲面 无电荷时，电通量为零。
斯定律。然而每一个带电平面的场强先可用高斯定
律求出，然后再用叠加原理求两个带电平面产生的
大学物理之高斯定理 PPT
课外延伸:立体角得概念
“立体角”得定义:一个锥面所围成得空间部分称为“立体 角”。立体角就是以圆锥体得顶点为球心,半径为1得球面被 锥面所截得得面积来度量得,度量单位称为“立体弧度”。
定义立体角为曲面上面积微 元ds与其矢量半径得二次方 得比值为此面微元对应得立 体角记作 d 1 dS ;由此
r2 可得,闭合球面得立体角都 就是4π。
闭合曲面:法线得正方向为指向闭合曲面得外侧。
(2)电通量就是代数量:
当0<θ<
当θ>
2
时2 ,时<, e0。e
e
>0;
ES
COS
ES
三、高斯定理
1、高斯定理定义
• 定义:在真空中得任意静电场中,通过任一闭合曲面
S得电通量Φe,等于该闭合曲面所包围电荷电量得代
数与除以 ,而与0 闭合曲面(高斯面)外得电荷无关。
二、电通量
1、电通量定义与求法
• 定义:在电磁学中,电通量(符号:Φₑ)就是电场得通量,与 穿过一个曲面得电场线得数目成正比,就是表征电场分 布情况得物理量。单位:伏特·米(V·m)
• 匀强电场中(平面)得电通量求法
• 匀强电场且平面S与电场强度E得方向垂直:
e ES
S
E
•匀强电场且平面S与电场强度E得方向成θ角:
S
S/
E
e E S
e ES cos
• 非匀强电场中(曲面)得电通量求法
E
de E dS
S
e
E dS
S
• 电场中得任意闭合曲面S、非均匀电场强度E得通量:
e
E cosdS
SE dS
2、有关电通量得注意点
大学物理电场 高斯定理(老师课件)
3. 守恒性--电荷守恒定律
在一个孤立系统中总电荷量是不变的。即在系统 中的正、负电荷的代数和始终保持不变。 4. 相对论不变性---电量是相对论 不变量 电量与带电体的运动状态无关，与参考系无关。
二、库仑定律 (Coulomb`s Law)
库仑(1736 ~ 1806)
法国工程师、物理学家。 1777年开始研究静电和 磁力问题，发明扭秤。 1779年对摩擦力进行分析，提出有关润滑剂 的科学理论。1785--1789年，用扭秤测量静 电力和磁力，导出著名的库仑定律。
2 1
dEy dE P dEx
1
Y
a r
O
2
x
dx
X
讨论：均匀带电细棒为无限长时 1 0，2
Ex 0
λ Ey E 方向垂直于棒！ 2 0 a 2πε0 r
长直均匀带电细棒的场具有圆柱面对称性！
例10.3 求均匀带电圆环轴线上的场强。 解：在圆环上任取电荷元 dq ,它在P点的场强 dq ˆ dE r dq 2 4πε0 r r dE R P 考虑对称性 X x O
4 0 r
2
er
Ex dEx cos d 4 0 a
2 1
(sin 2 sin 1 ) 4 0 a E y dEy sin d 4 0 a (cos1 cos 2 ) 4 0 a
F
q 0 Q 3q
0
3F
试验电荷必须： 电量充分小 线度足够小
大小：等于单位正电荷在该点所受的电场力 方向：与正电荷在该点所受力的方向相同 单位： N/C ； V/m
F 定义： 电场强度 E q
1) E E r E x yz
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§ 5 电场线和电通量
一、电场线 —用来形象描述场强分布的一族空间曲线
方向： 各点的切线方向表示电场中 该点场强的方向 大小： 在垂直于电场线的单位 面积上，电场线的条数 (数密度)等于该点电场 场强的大小。
EA
A B
EB
dS
dN E ( p) ( )p dS
P
电场线的性质： 电场线不会中断。（连续） q 电场线不会相交。（单值） 电场线不会形成闭合曲线，
Q
R
解：电荷分布的对称性决定着场强分布的对称性。 场具有球对称性。可选同心球面为高斯面。 场强的方向沿着径向，且在球面上的场强处处相等。
当 r R 时，高斯面内电荷为Q， 1 E dS qint
S
0
2
r
R
E
E dS
s
Q
0
Q
2
E 4r
Q
0
，
Q
高斯面
s
s
0
q
n
i
0 ?
电荷在曲面外： E dS 0
s
S
q
若在曲面内、外都有电荷呢？ 2. 高斯定理
在真空中的静电场内，任一闭合面的电通量等于 这闭合面所包围的电量的代数和除以 0 。 数学表达式
1 E dS
S
0
q
int
注意：式中的 E 应是高斯面上各处的场强
vn
将通量的概念推广到任意矢量场:
dΦ A dS
1. 点电荷场的通量
高斯面S
以点电荷为中心，作半径为r的 球面S，称为高斯面 通过高斯面的电通量为：
r
q
Φe E dS EdS
s
q 40 r
2
dS
q
2
s
s
40 r
dS
s
q
0
通量与半径 无关
q E dS
s
负电荷呢 ？
定律仍然有效。
当电荷恰好处于高斯面上时，对通量有无贡献？
§7 高斯定理在计算场强中的应用
在 Q的分布具有某种对称性的情况下 利用高斯定理求
E 较为方便
常见的电量分布的对称性： 球对称
球面
球体
柱对称
无限长直线 无限长柱面
面对称
无限大平面 无限大平板
无限长柱体
1. 求均匀带电的球壳内外的场强分布。 设球壳半径为 R，所带总电量为 Q。
讨论
1 E dS
S
0
q
int
闭合面外的电荷对通量无贡献，对高斯面上各处
高斯定律中的场强 E 是由全部（包括曲面外）
电荷产生的。
的场强是否有贡献？
高斯定理说明了电场是有源场。 对于静止电荷的电场，库仑定律和高斯定律等价。 对于运动电荷的电场，库仑定律不再正确，而高斯
S
l
O
r
E
p
e
S
E dS side E dS
face
S
E dS E dS
top bottom
l
O
r
E
p
此闭合面包含的电荷总量
q
int
i
l
face
E 2 0 r
side face
1 l E dS E side dS E 2rl
rR rR
E
E
Q 4 0 r
2
ˆ r
R
r
3、求无限长均匀带电直线的场强分布。 线电荷密度为 分析：电场分布具有轴对称性。 距离导线 r 处一点 p 点的场强方向 一定垂直于带电直导线沿径向， 且r相同处场强大小相同。 以带电直导线为轴，作一个通过P点， 高为 l 的圆筒形封闭面为高斯面 S， 通过S面的电通量为圆柱侧面和上下 底面三部分的通量和。
E
4 0 r
rR
均匀带电球壳
当 r R时，高斯面内电荷为 0 E 0
rR
高斯面
结果分析：
E
Q 4 0 r
2
Q
rR
R
E 0
rR
E
均匀带电球壳外的场强 分布与点电荷的场强分 布一样。在球面内的场 强均为零。
r
2、求均匀带电的球体内外的场强分布。 设球体半径为R，所带总带电为Q
它起始于正电荷终止于负电荷。
E
q
二、电通量（电场强度通量）
定义： 通过任一面元的电场线 的条数称为通过这一面 dΦe 元的电通量
dS
dN 由 E dS
dΦe EdS
任意面的电通量
n
E
n
S dS
E
dS
dS
dΦe EdS EdS cos E dS
0
其方向沿直导线的垂线方向。 正负由电荷的符号决定。
4、求无限大均匀带电平板的场强分布。 面电荷密度为
对称性分析
+
SE
+
E
e E dS
S
2
(b) E dS
e E 2 0
bottom
2 ES
S 2 ES 0
正点电荷
S
Φ1
Φ E dS E dS E dS E dS
S1 S2 S3
Φ2
n1 E
n3
Φ3
Φ Φ2 Φ 1 3
0 E dS E dS ES ES 0
S2 S3
§6 高斯定理
r
解：电场具有与场源同心的球对称性， 选取同心的球面为高斯面。 1 4r 3 Q Qr 3 q内 q内 E dS 3 3 4R 0 3 0R S 0 3 3 E dS E 4r 2 E 4r 2 Qr S Q 3 0R
E
Qr ˆ r 3 4 0 R
负点电荷
等量同号点电荷
等量异号点电荷
不等量异号点电荷
矢量场通量的一般定义：
由流体的流场引入： 在流场中求单位时间内通过 任意面积ds的流体量。 在流场中以速度v为母线， ds为底面作圆柱体 单位时间内只有圆筒内的 粒子通过dS，构成通过dS 的通量 dΦ
n
ds
v
dΦ vn dS v dS
dΦe 0, 电场线穿出 符号 dΦe 0, 电场线穿入 n n 任意曲面电通量： Φe E dS S 闭合曲面的 任意闭合曲面电通量： Φ e E dS 法线指向外
dΦe E dS
dΦe
S
例.在一均匀场中，做一个 半径为R的假想圆柱面，其 轴线与电场方向平行， n2 求：通过该圆柱面的通量
0
与什么有关？
任意封闭曲面S：
以q为中心作球面 由通量定义知，两个面的通 量相等：
S
q
E dS
s
q
0பைடு நூலகம்
多个点电荷的通量：
由场强叠加原理 S E dS E1 dS En dS
s
n
s
0
qi
qi E dS n
一、电场线 —用来形象描述场强分布的一族空间曲线
方向： 各点的切线方向表示电场中 该点场强的方向 大小： 在垂直于电场线的单位 面积上，电场线的条数 (数密度)等于该点电场 场强的大小。
EA
A B
EB
dS
dN E ( p) ( )p dS
P
电场线的性质： 电场线不会中断。（连续） q 电场线不会相交。（单值） 电场线不会形成闭合曲线，
Q
R
解：电荷分布的对称性决定着场强分布的对称性。 场具有球对称性。可选同心球面为高斯面。 场强的方向沿着径向，且在球面上的场强处处相等。
当 r R 时，高斯面内电荷为Q， 1 E dS qint
S
0
2
r
R
E
E dS
s
Q
0
Q
2
E 4r
Q
0
，
Q
高斯面
s
s
0
q
n
i
0 ?
电荷在曲面外： E dS 0
s
S
q
若在曲面内、外都有电荷呢？ 2. 高斯定理
在真空中的静电场内，任一闭合面的电通量等于 这闭合面所包围的电量的代数和除以 0 。 数学表达式
1 E dS
S
0
q
int
注意：式中的 E 应是高斯面上各处的场强
vn
将通量的概念推广到任意矢量场:
dΦ A dS
1. 点电荷场的通量
高斯面S
以点电荷为中心，作半径为r的 球面S，称为高斯面 通过高斯面的电通量为：
r
q
Φe E dS EdS
s
q 40 r
2
dS
q
2
s
s
40 r
dS
s
q
0
通量与半径 无关
q E dS
s
负电荷呢 ？
定律仍然有效。
当电荷恰好处于高斯面上时，对通量有无贡献？
§7 高斯定理在计算场强中的应用
在 Q的分布具有某种对称性的情况下 利用高斯定理求
E 较为方便
常见的电量分布的对称性： 球对称
球面
球体
柱对称
无限长直线 无限长柱面
面对称
无限大平面 无限大平板
无限长柱体
1. 求均匀带电的球壳内外的场强分布。 设球壳半径为 R，所带总电量为 Q。
讨论
1 E dS
S
0
q
int
闭合面外的电荷对通量无贡献，对高斯面上各处
高斯定律中的场强 E 是由全部（包括曲面外）
电荷产生的。
的场强是否有贡献？
高斯定理说明了电场是有源场。 对于静止电荷的电场，库仑定律和高斯定律等价。 对于运动电荷的电场，库仑定律不再正确，而高斯
S
l
O
r
E
p
e
S
E dS side E dS
face
S
E dS E dS
top bottom
l
O
r
E
p
此闭合面包含的电荷总量
q
int
i
l
face
E 2 0 r
side face
1 l E dS E side dS E 2rl
rR rR
E
E
Q 4 0 r
2
ˆ r
R
r
3、求无限长均匀带电直线的场强分布。 线电荷密度为 分析：电场分布具有轴对称性。 距离导线 r 处一点 p 点的场强方向 一定垂直于带电直导线沿径向， 且r相同处场强大小相同。 以带电直导线为轴，作一个通过P点， 高为 l 的圆筒形封闭面为高斯面 S， 通过S面的电通量为圆柱侧面和上下 底面三部分的通量和。
E
4 0 r
rR
均匀带电球壳
当 r R时，高斯面内电荷为 0 E 0
rR
高斯面
结果分析：
E
Q 4 0 r
2
Q
rR
R
E 0
rR
E
均匀带电球壳外的场强 分布与点电荷的场强分 布一样。在球面内的场 强均为零。
r
2、求均匀带电的球体内外的场强分布。 设球体半径为R，所带总带电为Q
它起始于正电荷终止于负电荷。
E
q
二、电通量（电场强度通量）
定义： 通过任一面元的电场线 的条数称为通过这一面 dΦe 元的电通量
dS
dN 由 E dS
dΦe EdS
任意面的电通量
n
E
n
S dS
E
dS
dS
dΦe EdS EdS cos E dS
0
其方向沿直导线的垂线方向。 正负由电荷的符号决定。
4、求无限大均匀带电平板的场强分布。 面电荷密度为
对称性分析
+
SE
+
E
e E dS
S
2
(b) E dS
e E 2 0
bottom
2 ES
S 2 ES 0
正点电荷
S
Φ1
Φ E dS E dS E dS E dS
S1 S2 S3
Φ2
n1 E
n3
Φ3
Φ Φ2 Φ 1 3
0 E dS E dS ES ES 0
S2 S3
§6 高斯定理
r
解：电场具有与场源同心的球对称性， 选取同心的球面为高斯面。 1 4r 3 Q Qr 3 q内 q内 E dS 3 3 4R 0 3 0R S 0 3 3 E dS E 4r 2 E 4r 2 Qr S Q 3 0R
E
Qr ˆ r 3 4 0 R
负点电荷
等量同号点电荷
等量异号点电荷
不等量异号点电荷
矢量场通量的一般定义：
由流体的流场引入： 在流场中求单位时间内通过 任意面积ds的流体量。 在流场中以速度v为母线， ds为底面作圆柱体 单位时间内只有圆筒内的 粒子通过dS，构成通过dS 的通量 dΦ
n
ds
v
dΦ vn dS v dS
dΦe 0, 电场线穿出 符号 dΦe 0, 电场线穿入 n n 任意曲面电通量： Φe E dS S 闭合曲面的 任意闭合曲面电通量： Φ e E dS 法线指向外
dΦe E dS
dΦe
S
例.在一均匀场中，做一个 半径为R的假想圆柱面，其 轴线与电场方向平行， n2 求：通过该圆柱面的通量
0
与什么有关？
任意封闭曲面S：
以q为中心作球面 由通量定义知，两个面的通 量相等：
S
q
E dS
s
q
0பைடு நூலகம்
多个点电荷的通量：
由场强叠加原理 S E dS E1 dS En dS
s
n
s
0
qi
qi E dS n