高一数学立体几何初步检测考试题
高一数学几何初步练习题及答案
高一数学几何初步练习题及答案一、选择题1. 下列各组三角形中，其中的全等三角形有A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 锐角三角形答案：B. 等腰三角形2. 已知△ABC中，∠A=60°，AB=AC，则下面哪个等式成立？A. BC > ABB. BC < ABC. BC = ABD. BC = AC答案：C. BC = AB3. 以下哪个条件是三角形全等的定理？A. SSSB. SASC. AAAD. SSA答案：B. SAS4. 已知平行四边形ABCD，其中∠A=120°，AB=8cm，则四边形BCD的周长为A. 16cmB. 20cmC. 24cmD. 32cm答案：C. 24cm二、填空题1. 两个直角三角形的对应角相等，那么它们一定 ___________。
答案：全等2. 两个全等的三角形的周长 ___________，面积 ___________。
答案：相等，相等3. 在等腰三角形中，高和底边的关系是 ___________。
答案：高是底边的中线和垂直中线4. 正方形的对角线互相 ___________。
答案：平分三、解答题1. 已知△ABC和△DEF中，∠A=∠D=90°，AC=3cm，DF=4cm，AD=5cm。
求两个三角形的周长和面积。
解：周长△ABC = AB + BC + AC = AB + BC + 3cm周长△DEF = DE + EF + DF = DE + EF + 4cm因为∠A = ∠D = 90°，所以△ABC和△DEF是直角三角形，根据勾股定理可知：AB² + BC² = AC²（△ABC）DE² + EF² = DF²（△DEF）又已知AD = 5cm，所以有：AB = DE = 5cm将以上数据带入周长公式和勾股定理公式，可以得到：周长△ABC = 5cm + BC + 3cm = BC + 8cm周长△DEF = 5cm + EF + 4cm = EF + 9cm面积△ABC = 1/2 * AB * AC = 1/2 * 5cm * 3cm = 7.5cm²面积△DEF = 1/2 * DE * DF = 1/2 * 5cm * 4cm = 10cm²2. 如图，ABCD是一个平行四边形，E是BC的三等分点，F是CD 的三等分点。
高一数学(必修二)立体几何初步单元测试卷及答案
高一数学（必修二）立体几何初步单元测试卷及答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如图所示，己知正方形O A B C ''''的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则其原图形的周长为( )A.8B.22C.4D.223+2.下列说法正确的是( ) A.三点确定一个平面B.圆心和圆上两个点确定一个平面C.如果两个平面相交有一个交点，则必有无数个公共点D.如果两条直线没有交点，则这两条直线平行3.正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q ，R 分别是AB ，AD ，11B C 的中点，那么正方体中过P ，Q ，R 的截面图形是( ) A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形4.某圆柱的高为2，其正视图如图所示，圆柱上下底面圆周及侧面上的点A ，B ，D ，F ，C 在正视图中分别对应点A ，B ，E ，F ，C ，且3AE EF =，2BF BC =，异面直线AB ，CD 所成角的正弦值为45，则该圆柱的外接球的表面积为( )A.20πB.16πC.12πD.10π5.在《九章算术·商功》中将正四面形棱台体（棱台的上、下底面均为正方形）称为方亭.在方亭1111ABCD A B C D -中，1124AB A B ==，四个侧面均为全等的等腰梯形且面积之和为122( ) 282B.283142D.1436.异面直线是指( ) A.空间中两条不相交的直线B.分别位于两个不同平面内的两条直线C.平面内的一条直线与平面外的一条直线D.不同在任何一个平面内的两条直线7.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是11A D ，11B C 的中点，则与直线CF 互为异面直线的是( )A.1CCB.11B CC.DED.AE8.下列说法中正确的是( ) A.三点确定一个平面 B.四边形一定是平面图形 C.梯形一定是平面图形D.两个不同平面α和β有不在同一条直线上的三个公共点二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
高一数学(必修2)立体几何初步测试题
高一数学（必修2）立体几何初步测试题一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分) 1、以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是（ ）A 、球的三视图总为全等的圆B 、正方体的三个视图总是三个全等的正方形C 、水平放置的正四面体的三个视图都是正三角形D 、水平放置的圆台的俯视图是一个圆2、直线a 、b 、c 满足a ∥b ，b ⊥c,则a 与c 的关系是（ ） A 、异面直线 B 、平行直线 C 、垂直 D 、相交 3．下列说法正确的是（ ）A 、三点确定一个平面B 、四边形一定是平面图形C 、梯形一定是平面图形D 、平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点 4、一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 45，腰和上底边均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是 （ ）A 、2221+B 、 22+C 、 21+D 、 221+ 5、一个体积为38cm 的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是（ ）A 、28cm πB 、212cm πC 、216cm πD 、220cm π 6、垂直于同一条直线的两条直线一定（ ）A 、平行B 、相交C 、异面D 、以上都有可能 7、在正方体1111ABCD A B C D -中，下列几种说法正确的是（ ）A 、11AC AD ⊥B 、11DC AB ⊥ C 、1AC 与DC 成45角 D 、11A C 与1B C 成60角 8、将一个边长为a 的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了（ ） A 、26aB 、12a 2C 、18a 2D 、 24a 29、设γβα,,是三个不重合的平面，l 是直线，给出下列命题（ ） ①若γββα⊥⊥,，则γα⊥； ②若l 上两点到α的距离相等，则α//l ； ③若βαβα⊥⊥则,//,l l ④若.//,//,,//βαββαl l l 则且⊄其中正确的命题是 （ ）A 、①②B 、②③C 、②④D 、③④B 1C 1A 1D 1BACD 10、圆柱的一个底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是（ ）A 、S πB 、S π2C 、S π4D 、S π332 二、填空题: (本大题共4小题，每小题4分，共16分)11、等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是S 球_____S 正方体(填”大于、小于或等于”).12、正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AB D 和平面1BC D 的位置关系为 13、已知PA 垂直平行四边形ABCD 所在平面，若PC BD ⊥，平行则四边形ABCD 一定是 .14、如图，在直四棱柱A 1B 1C 1 D 1－ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件_________时，有A 1 B ⊥B 1 D 1．(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形.) 三、解答题:15、已知圆台的上下底面半径分别是2、5,且侧面面积等于两底面面积之和,求该圆台的母线长.16、已知ABC ∆中90ACB ∠=，SA ⊥面ABC ，AD SC ⊥，求证：AD ⊥面SBC ．SDCBA17、如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点。
第八章 立体几何初步单元检测(提升卷)高一数学新教材单元双测卷(人教A版2019必修第二册)
必修第二册第八章立体几何初步提升卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 本卷共22小题，其中单选8小题，多选4小题，填空4小题，解答题6小题，满分150分一、单选题1．一个棱柱是正四棱柱的条件是（）A．底面是正方形，有两个面是矩形的四棱柱B．底面是正方形，两个侧面垂直于底面的四棱柱C．底面是菱形，且有个顶点处的两条棱互相垂直的四棱柱D．底面是正方形，每个侧面都是全等的矩形的四棱柱【答案】D【分析】根据正四棱柱的概念，结合反例，即可得答案；【详解】选项A、B中，两个面为相对侧面时，四棱柱不一定是直四棱柱，C中底面不是正方形，故排除选项A、B、C，故选：D.2．如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中BM ED①//EF CD②//③CN与BM为异面直线④DM BN以上四个命题中，正确的序号是（）A．①②③B．②④C．③④D．②③④【答案】D【分析】作出直观图,根据正方体的结构特征进行判断.【详解】作出正方体得到直观图如图所示:由直观图可知,BM 与DE 为互相垂直的异面直线,故①不正确;////EF AB CD ,故②正确;CN 与BM 为异面直线,故③正确;由正方体性质可知BN ⊥平面DEM ,故BN DM ⊥,故④正确.故选:D【点睛】本题考查了正方体的结构特征,直线,平面的平行于垂直,属于基础题.3．设1l 、2l 、3l 是三条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题是真命题的是（ ） A ．若1//l α，2//l α，则12l l //B ．若1l α⊥，2l α⊥，则12l l ⊥C ．若12//l l ，1l α⊂，2l β⊂，3l αβ⋂=，则13//l lD ．若αβ⊥，1l αγ=，2l βγ⋂=，则12l l //【答案】C【分析】利用已知条件判断1l 与2l 的位置关系，可判断AD 选项的正误；利用线面垂直的性质定理可判断B 选项的正误；利用线面平行的性质定理可判断C 选项的正误.【详解】对于A 选项，若1//l α，2//l α，则1l 与2l 平行、相交或异面，A 选项错误；对于B 选项，若1l α⊥，2l α⊥，由线面垂直的性质定理可得12//l l ，B 选项错误；对于C 选项，12//l l ，1l α⊂，2l β⊂，α、β不重合，则1l β⊄，1//l β∴，1l α⊂，3l αβ⋂=，13//l l ∴，C 选项正确；对于D 选项，若αβ⊥，1l αγ=，2l βγ⋂=，则1l 与2l 相交或平行，D 选项错误.故选：C.【点睛】方法点睛：对于空间线面位置关系的组合判断题，解决的方法是“推理论证加反例推断”，即正确的结论需要根据空间线面位置关系的相关定理进行证明，错误的结论需要通过举出反例说明其错误，在解题中可以以常见的空间几何体（如正方体、正四面体等）为模型进行推理或者反驳． 4．在直三棱柱111ABC A B C -中，16AA AB ==，8BC =，10AC =，则该三棱柱内能放置的最大球的表面积是（ ）A ．16πB ．24πC ．36πD ．64π 【答案】A【分析】先由题意可得球的半径为底面三角形内切圆的半径r ，易得2r ，又1r AA <，可得该三棱柱内能放置的最大球半径为2，最后由球的表面积计算公式计算即可.【详解】由题意，球的半径为底面三角形内切圆的半径r ，∵底面三角形的边长分别为6、8、10，∴底面三角形为直角三角形， 6810222AB BC AC r +-+-===， 又∵16AA =，26<，∴该三棱柱内能放置的最大球半径为2，此时2244216S r πππ==⨯=表面积.故选：A .【点睛】关键点睛：解题关键是得出所求球的半径为直三棱柱底面三角形内切圆的半径r ，继而进行分析计算. 5．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O )，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面.在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40°，则晷针与点A 处的水平面所成角为（ ）A ．20°B ．40°C ．50°D ．90°【答案】B【分析】画出过球心和晷针所确定的平面截地球和晷面的截面图，根据面面平行的性质定理和线面垂直的定义判定有关截线的关系，根据点A 处的纬度，计算出晷针与点A 处的水平面所成角.【详解】画出截面图如下图所示，其中CD 是赤道所在平面的截线；l 是点A 处的水平面的截线，依题意可知OA l ⊥；AB 是晷针所在直线.m 是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，根据平面平行的性质定理可得可知//m CD 、根据线面垂直的定义可得AB m ⊥..由于40,//AOC m CD ∠=︒，所以40OAG AOC ∠=∠=︒，由于90OAG GAE BAE GAE ∠+∠=∠+∠=︒，所以40BAE OAG ∠=∠=︒，也即晷针与点A 处的水平面所成角为40BAE ∠=︒.故选：B【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查球体有关计算，涉及平面平行，线面垂直的性质，属于中档题. 6．《九章算术》卷五《商功》中描述几何体“阳马”为“底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥”.现有阳马P ABCD -(如图)，PA ⊥平面ABCD .1==PA AB ，3AD =，点E ，F 分别在AB ，BC 上，当空间四边形PEFD 的周长最小时，三棱锥P ADF -外接球的表面积为（ ）A ．9πB ．11πC ．12πD ．16π【答案】B【分析】 把平面PAB 展开到与平面ABCD 共面的P AB '的位置，根据图象可得当P '，E ，F ，D 四点共线时，空间四边形PEFD 的周长最小，进而可求得各个边长，根据正弦定理，可求得AFD 外接圆的半径r ，在三棱锥P ADF -中，可确定外接球球心的位置，根据勾股定理，可求得外接球半径，即可得答案.【详解】把平面PAB 展开到与平面ABCD 共面的P AB '的位置(如下图)，延长DC 到D ，使得1CD '=，则DF D F '=，因为PD 的长度为定值，故只需求PE EF FD P E EF FD ''++=++最小，只需P '，E ，F ，D 四点共线，因为4P D '=，2DD '=，CF CD P D DD '=''，所以2CF =，所以2AF =，5DF =，45DAF ∠=︒，由正弦定理得，AFD 外接圆的半径15102222r =⨯=. 设ADF 外接圆的圆心为O '，则三棱锥P ADF -外接球的球心O 一定在过O '且与平面ADF 垂直的直线上，因为O 到点P ，A 的距离相等，所以22101112442PA OA r ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭， 此即为三棱锥P ADF -外接球的半径， 所以该球的表面积为2114π11π2⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭. 故选：B.【点睛】难点在于，需将平面PAB 展开到与平面ABCD 共面的位置，当P '，E ，F ，D 四点共线时，空间四边形PEFD 的周长最小，求得各个边长，进而再结合正弦定理，勾股定理求解，考查数形结合，分析计算的能力，属中档题.7．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，AB ，AD 中点分别为E ，F ，若过EF 的平面截该正方体所得的截面是一个五边形，则该五边形周长的最大值为（ ）A ．2213+B ．213+C ．3225+D ．325+【答案】A【分析】 将面11BCC B 展开与面11ABB A 处于同一平面要使1l E QC C Q FH H +++最大,则沿面1C QEFH 切才能保证五点共面，展开图计算求解即可.【详解】将面11BCC B 展开与面11ABB A 处于同一平面要使1l E QC C Q FH H +++最大,则沿面1C QEFH 切才能保证五点共面，在1Rt ECC △中,112,12CC BC BE AB ====,此时()22122113EQ QC +=++=,又113FH HC EQ QC +=+=.∴周长()122213EF EQ QC =++=+故选:A8．（chuhong ），中国古代算术中的一种几何形体，《九章算术》中记载“刍甍者，下有褒有广，而上有褒无广．刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱，刍甍字面意思为茅草屋顶”，如图为一“刍甍”的五面体，其中ABCD 为矩形，ADE 和BCF △都是等腰三角形，2AE ED BF CF AD ====，//EF AB ，若3AB EF =，且2AD EF =，则异面直线AE 与CF 所成角的大小为（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π 【答案】C【分析】作平行四边形AGFE ，得到//AE GF ，异面直线AE 与CF 所成角为GFC ∠，求出GFC 的边长求角即可.【详解】设1EF =，在AB 上取点G 满足1AG EF ==，故//AG EF 且AG EF =，故四边形AGFE 是平行四边形，故//AE GF异面直线AE 与CF 所成角为GFC ∠，22GF CF == 22222222CG GB BC =+=+=故GFC 为等边三角形故3GFC π∠=故选：C【点睛】平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．二、多选题9．如图，在透明塑料制成的长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC 固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法中正确的是（ ）A ．水的部分始终呈棱柱状；B ．水面四边形EFGH 的面积不改变；C ．棱A 1D 1始终与水面EFGH 平行；D ．当E ∈AA 1时，AE ＋BF 是定值．【答案】ACD【分析】从棱柱的特征平面可判断A ；由水是四棱柱或者五棱柱时或者三棱柱时可判断B ；由11//B C 平面EFGH ，棱1111//B C A D 可判断C ；由体积是定值，高BC 为定值，则底面积EABF 为定值，可判断D.【详解】由于BC 固定，所以倾斜的过程中，始终有AD //EH //FG //BC ，且平面AEFB //平面DHGC ，故水的部分始终呈现棱柱状（三棱柱、四棱柱、五棱柱）；当水是四棱柱或者五棱柱时，水面面积与上下底面面积相等，当水是三棱柱时，则水面四边形EFGH 的面积可能变大，也可能变小，水面的面积改变；BC 为棱柱的一条侧棱，随着倾斜度的不同， 但水的部分始终呈棱柱状，且棱11//B C 平面EFGH ，棱1111//B C A D ，∴11//A D 平面EFGH ；∵体积是定值，高BC 为定值，则底面积EABF 为定值，即EA BF +为定值，综上ACD 正确．故选：ACD.【点睛】方法点睛：本题考查了线面平行的判定、棱柱的结构特征，对于证明线线关系，线面关系，面面关系等方面的问题，必须在熟练掌握有关的定理和性质的前提下，再利用已知来进行证明，对于棱柱的结构特征要非常熟悉.10．如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11A D 的中点，Q 为11A B 上任意一点，E 、F为CD 上两点，且EF 的长为定值，则下面四个值中是定值的是（ ）A ．点P 到平面QEF 的距离B ．直线PQ 与平面PEF 所成的角C ．三棱锥P QEF -的体积D ．QEF △的面积【答案】ACD【分析】 由Q 为11A B 上任意一点，知平面QEF 是确定，从而判断A ，而11//A B CD ，因此11A B 与平面PCD 平行，根据直线与平面所成的角的定义可判断B ，由棱锥体积公式和三角形面积公式可判断CD ．【详解】平面QEF 就是平面11A B CD ，是确定的平面，因此点P 到平面QEF 的距离为定值，A 正确； 平面PEF 即平面PCD ，而Q 在直线11A B 上，11//A B CD ，因此11A B 与平面PCD 平行，Q 到平面PEF 的距离为定值，但Q 运动时，PQ 的长度在变化，因此直线PQ 与平面PEF 所成的角也在变化，B 错误； P 点到直线CD 的距离是确定，而EF 的长度不变，因此PEF S △为定值，又Q 到平面PEF 的距离为定值，从而三棱锥P QEF -的体积为定值，C 正确；11//A B CD ，Q 到EF 的距离为定值，EF 的长度不变，∴QEF △的面积为定值，D 正确．故选：ACD ．【点睛】关键点点睛：本题考查点到平面的距离，直线与平面所成的角，棱锥的体积等知识，解题关键是抓住11//A B CD ，由此得平面QEF 是确定的平面，再结合定点和定长，从而确定各选项中的定值． 11．如图所示，有一正四面体形状的木块，其棱长为a ，点P 是ACD △的中心.劳动课上，需过点P 将该木块锯开，并使得截面平行于棱AB 和CD ，则下列关于截面的说法中正确的是（ ）A ．截面与侧面ABC 的交线平行于侧面ABDB ．截面是一个三角形C ．截面是一个四边形D ．截面的面积为24a【答案】AC 【分析】先作出符合题意的截面，分别取BC 、AC 、BD 、AD 的三等分点E 、M （靠近C 点），F 、N （靠近D 点），四边形EMNF 是平行四边形，即为所作截面，即可逐一判断四个选项的正误. 【详解】因为正四面体的四个面都是等边三角形， 点P 是ACD △的中心，所以P 位于CD 中线的23处， 分别取BC 、AC 、BD 、AD 的三等分点E 、M （靠近C 点），F 、N （靠近D 点）， 则//EM AB ，//EF CD ，且截面EMNF 经过点P ，满足题意， 因为//EM FN 且=EM FN ，所以四边形EMNF 是平行四边形， 平面EMNF ⋂平面ABC EM =，//EM FN ，NF ⊂平面ABD ， 所以//EM 平面ABD ，所以选项A 正确；截面是一个四边形，故选项B 不正确；选项C 正确；四边形EMNF 是边长为23a 的菱形，所以面积不是24a ，故选项D 不正确，故选：AC 【点睛】本题主要考查了线面平行判断的应用以及空间几何体的截面图形，属于中档题12．如图所示，在棱长为1的正方体1111—ABCD A B C D 中，M ，N 分别为棱11A D ，1DD 的中点，则以下四个结论正确的是（ ）A ．1//BC MN B ．1B C ⊥平面1MNC C ．A 到直线MN 的距离为324D ．过MN 作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为38π 【答案】ACD 【分析】由11//A D B C 可得判断AB ，利用11AD A D ⊥，1AD MN ⊥，求出距离可判断C ，由对称性得过MN 作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小的圆是以MN 所在弦为直径的圆，圆心为MN 中点F ，求出圆面积断D ． 【详解】正方体中，11//A D B C ，而M ，N 分别为棱11A D ，1DD 的中点，则1//MN A D ，所以1//B C MN ，A 正确，B 错误；设1AD 与1,A D MN 分别交于点,E F ，则11AD A D ⊥，1AD MN ⊥， 由M ，N 分别为棱11A D ，1DD 的中点，知F 是1ED 中点，133244AF AD ==，C 正确；正方体外接球球心是正方体对角线交点O ，由对称性知过MN 作该正方体外接球的截面，所得截面的面积最小的圆是以MN 所在的弦为直径的截面圆，即截面圆圆心为F ，13OD =，124DF =，11126cos 3AD OD F BD ∠===， 222111112cos OF D F D O D F D OFD O =+-⋅∠23236321648=+-⨯⨯⨯=， 截面圆半径为r ，则2221333488r OD OF =-=-=，面积为238S r ππ==，D 正确． 故选：ACD ．【点睛】关键点点睛：本题考查正方体中的平行与垂直，考查球的截面圆问题．特殊的几何图形如正方体、正四面体等几何体中有许多直线、平面间的平行与垂直关系，我们必须掌握，并能应用，在判断D 时，利用正方体的对称性是解题的关键．这样可得到面积最小的截面圆的直径是MN 所在的弦，从而求得半径长．三、填空题13．如图，矩形O A B C ''''水平放置的一个平面图形OABC 的直观图，其中6O A ''=，3O C ''=，//B C x '''轴，则原平面图形OABC 的面积为______.【答案】362 【分析】还原图形后可知原图形的高是直观图中矩形高的22底不变，由此可得面积比，利用直观图的面积求得原图形的面积.【详解】设B C ''与y '轴交于点D ，还原后BC 与y 轴交于点DO D ''在y '轴上 ∴OD 在y 轴上且2OD O D ''=，可还原图形如下：OD ∴为还原后的平行四边形OABC 的高 222OD O D O C ''''==，OA O A ''=∴原平面图形OABC 的面积S 为矩形O A B C ''''的面积S '的2222222263362S S O A O C '''''∴==⋅=⨯=故答案为：362【点睛】本题考查根据直观图计算原图形的面积的问题，关键是能够通过高的比例关系得到直观图面积与原图形面积的比例关系，进而求得结果.14．中国南北朝时期，祖冲之与他的儿子祖暅通过对几何体体积的研究，早于西方1100多年，得出一个原理：“幂势既同，则积不容异”，“幂”是面积，“势”是高.也就是说：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.上述原理被称为祖暅原理.现有水平放置的三棱锥和圆锥各一个，用任何一个平行于底面的平面去截它们时，所截得的两个截面面积都相等，若圆锥的侧面展开图是半径为4的半圆，根据祖暅原理可知这个三棱锥的体积为______. 83π【分析】根据圆锥侧面积展开图是半径为4的半圆，求得圆锥底面半径，进一步求圆锥的高，计算出圆锥的体积，由此求出三棱锥的体积. 【详解】设圆锥的底面半径为r ，则12242r ππ=⨯⨯，解得2r ，圆锥的高为224223h =-=，所以圆锥的体积即为三棱锥的体积为218322333V ππ=⨯⨯=. 故答案为：833π. 15．早期的毕达哥拉斯学派学者注意到：用等边三角形或正方形为表面可构成四种规则的立体图形，即正四面体、正六面体、正八面体和正二十面体，它们的各个面和多面角都全等．如图，正二十面体是由20个等边三角形组成的正多面体，共有12个顶点，30条棱，20个面，是五个柏拉图多面体之一．如果把sin36︒按35计算，则该正二十面体的表面积与该正二十面体的外接球表面积之比等于___________．【答案】336π【分析】可得正二十面体的外接球即为上方正五棱锥的外接球，设外接球半径为R ，正五边形的外接圆半径为r ，正二十面体的棱长为l ，可得56l r =，311R =，即可表示出外接球的表面积和正二十面体的表面积，得出答案. 【详解】由图知正二十面体的外接球即为上方正五棱锥的外接球，设外接球半径为R ，正五边形的外接圆半径为r ，正二十面体的棱长为l ，则3sin 3652lr =︒=，得56lr =， 所以正五棱锥的顶点到底面的距离是22225116l h l r l ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，所以222()R r R h =+-，即22251166l R R ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得311R =．所以该正二十面体的外接球表面积为222311364411S R l l πππ⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭球，而该正二十面体的表面积是2120sin 60532S l l l =⨯⨯⨯⨯︒=正二十面体， 所以该正二十面体的表面积与该正二十面体的外接球表面积之比等于55336π． 故答案为：553. 【点睛】本题考查几何体的外接球问题，解题的关键是将正二十面体的外接球等价于上方正五棱锥的外接球，表示出半径.16．如图，已知边长为1的正方形ABCD 与正方形BCFE 所在平面互相垂直，P 为EF 的中点，Q 为线段FC 上的动点，当三棱锥P ABQ -的体积最大时，三棱锥P ABQ -的外接球的表面积为______.【答案】4116π 【分析】由题意知三棱锥P ABQ -的体积最大时，点Q 与点C 重合，问题转化为求三棱锥P ABC -外接球的表面积，然后，利用勾股定理求出外接球半径R ，进而可求解 【详解】如图，由题意知三棱锥P ABQ -的体积最大时，点Q 与点C 重合，即求三棱锥P ABC -外接球的表面积，因为正方形ABCD 与正方形BCFE 的边长均为1，点P 为EF 的中点，所以1AB BC ==，2AC =，5BP PC ==过点P 作PG BC ⊥，垂足为G ，由正方形ABCD 与正方形BCFE 所在平面互相垂直，得PG ⊥平面ABC .设三棱锥P ABC -外接球的球心为O ，AC 的中点为1O ，连接1OO ，则1OO ⊥平面ABC .延长1OO 到点H ，使1O H PG =.连接,,PH OP OA ，设1OO x =，则1OH x =-，()222221122x x ⎛⎛⎫+=+- ⎪ ⎝⎭⎝⎭，解得38x =，设三棱锥P ABC -外接球的半径为R ，则2221314128264R x ⎛⎫=+=+=⎪⎝⎭.故所求表面积24141446416S R πππ==⨯= 故答案为：4116π 【点睛】关键点睛：三棱锥的体积与底面积和高有关，若底面面积不变，高增大时，体积增大；若高不变，底面面积增大时，体积增大，本题中，点A 到平面PBQ 的距离不变，当三角形PBQ 的面积最大时，三棱锥P ABQ -的体积取最大值，另外求球的半径，可以根据题意先确定出球心的位置，然后可在直角三角形中表示球的半径，此类问题考查空间想象能力和运算求解能力，难度比较大.四、解答题17．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面11A ABB ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，114===B B AB AB ，3BC =，D 为AC 的中点．（1）求证：1//AB 平面1BC D ； （2）求三棱锥11-B A CB 体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）3【分析】（1）设1B C 与1C B 交于点O ，连接OD ，得1//OD AB ，可证得线面平行；（2）设1B A 与1A B 交于点O '，证明1'B O 是三棱锥11-B A CB 的高，由体积公式可得． 【详解】（1）证明：设1B C 与1C B 交于点O ，连接OD ， 在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11B C CB 是平行四边形， 因为对角线1B C 与1C B 交于点O ，所以O 为1B C 的中点， 因为D 为AC 的中点，所以1//OD AB 因为OD ⊂平面1BC D ，1AB ⊄平面1BC D ， 所以1//AB 平面1BC D ；（2）设1B A 与1A B 交于点O '，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11A ABB 是平行四边形， 因为114===B B AB AB ，所以侧面11A ABB 是菱形，1322443A B BO '===， 因为1B A ，1A B 为菱形11A ABB 的对角线，所以11B A A B ⊥因为平面11A ABB ⊥平面ABC ，平面11A ABB ⋂平面ABC AB =，AB BC ⊥，BC ⊂平面ABC ，所以BC ⊥平面11A ABB ，因为11,⊂A B B A 平面11A ABB ，所以1⊥BC B A ，1BC A B ⊥ 因为1BC A B B ⋂=，1,⊂BC A B 平面ABC ，1B A ⊥平面1A CB 所以三棱锥11-B A CB 的高为1'B O ， 所以三棱锥11-B A CB 的体积11111143344332212V BA BC B A =⨯⨯⨯⨯=⨯⨯= 【点睛】思路点睛：本题考查证明线面平行，考查求三棱锥的体积．证明线面平行的方法是利用中位线定理得线线平行，然后根据线面平行的判定定理得出结论．求棱锥的体积的方法是棱锥体积公式，找到棱锥的高，求出底面积即可得体积．18．如图，在直角梯形ABCD 中，//AB DC ，90BAD ∠=︒，4AB =，2AD =，3DC =，点E 在CD 上，且2DE =，将ADE 沿AE 折起，使得平面ADE ⊥平面ABCE (如图)，G 为AE 中点.（1）求证：DG ⊥平面ABCE ； （2）求四棱锥D ABCE -的体积；（3）在线段BD 上是否存在点P ，使得//CP 平面ADE ？若存在，求BPBD的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）523；（3）存在，34BP BD = 【分析】（1）证明DG AE ⊥，再根据面面垂直的性质得出DG ⊥平面ABCE ； （2）分别计算DG 和梯形ABCE 的面积，即可得出棱锥的体积；（3）过点C 作//CF AE 交AB 于点F ，过点F 作//FP AD 交DB 于点P ，连接PC ，可证明//PCF 平面ADE ，故//CP 平面ADE ，根据//PF AD 计算BPBD的值. 【详解】（1）因为G 为AE 中点，2AD DE ==， 所以DG AE ⊥，因为平面ADE ⊥平面ABCE ， 平面ADE平面ABCE AE =，DG ⊂平面ADE ，所以DG ⊥平面ABCE ； （2）在直角三角形ADE 中，2AD DE ==，22AE ∴=，122DG AE ∴== 所以四棱锥D ABCE -的体积为()111521422332D ABCE ABCE V S DG -=⋅=⨯⨯+⨯=梯形； （3）如图，过点C 作//CF AE 交AB 于点F ，过点F 作//FP AD 交DB 于点P ，连接PC ， 因为//CF AE ，AE ⊂平面ADE ，CF ⊄平面ADE ， 所以//CF 平面ADE ， 同理//PF 平面ADE ， 又因为CF PF F ⋂=， 所以平面//PCF 平面ADE ， 因为CP ⊂平面CFP ， 所以//CP 平面ADE ，所以BD 上存在点P ，使得//CP 平面ADE ，//AE CF ，//AF CE∴四边形AECF 是平行四边形，1AF CE ∴==， 3FB ∴=，又//PF AD ，34BP BF BD AB ∴==. 19．在四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD ⊥ 底面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，//BC AD ，∠ADC =90°，BC =CD =12AD =1，PA =PD ，E ，F 分别为AD ，PC 的中点.（1）求证：//PA 平面BEF ；（2）若PC 与AB 所成角为45°，求二面角F -BE -A 的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）33-. 【分析】（1）连接AC 交BE 于O ，并连接FO ，根据条件可证//OF PA ，从而可证明结论.（2）由ABCE 为平行四边形可得//EC AB ，PCE ∠为PC 与AB 所成角，即45PCE ∠=︒，又由条件可得PE ABCD ⊥平面，可得2PE EC ==，取PD 中点M ，连,ME MA MF ，，可得MEA ∠为F BE A --的平面角，可得答案.【详解】（1）证明：连接AC 交BE 于O ，并连接FO ，1,2BC AD BC AD =∥，E 为AD 中点，∴//AE BC ，且AE =BC . ∴四边形ABCE 为平行四边形，∴O 为AC 中点， 又F 为AD 中点，//OF PA ∴，OF ⊂平面,BEF PA ⊄平面BEF ，//PA ∴平面BEF .（2）由BCDE 为正方形可得22EC BC ==由ABCE 为平行四边形可得//EC AB .PCE ∴∠为PC 与AB 所成角，即45PCE ∠=︒.PA PD =E 为AD 中点,所以PE AD ⊥.侧面PAD ⊥底面,ABCD 侧面PAD底面,ABCD AD PE =⊂平面PAD ，PE ∴⊥平面ABCD ，PE EC ∴⊥，2PE EC ∴==.取PD 中点M ，连,ME MA MF ，，由M F ，，分别为,PD PC 的中点，所以//,MF CD 又//CD BE ，所以//MF BE ,所以,,,B E M F 四点共面. 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD平面,ABCD AD BE AD =⊥，BE ∴⊥平面PAD ，,EM AE ⊂平面PAD所以,BE AE BE EM ⊥⊥,则MEA ∠为F BE A --的平面角.又311,1,EM AE AM ===，3cos MEA ∴∠=-. 所以二面角F BE A --的余弦值为3-. 【点睛】本题考查证明线面平行和求二面角的平面角，解答本题的关键是取PD 中点M ，连,ME MA MF ，，证明出,BE AE BE EM ⊥⊥,得到MEA ∠为F BE A --的平面角，属于中档题.20．如图所示，已知平行四边形ABCD 和矩形ACEF 所在平面互相垂直，1AB =，2AD =，ADC 60∠=，1AF =，M 是线段EF 的中点.（1）求证：AC BF ⊥；（2）求直线AD 与平面BDF 所成角的余弦值；（3）设点P 为一动点，若点P 从M 出发，沿棱按照→→M E C 的路线运动到点C ，求这一过程中形成的三棱锥P BFD -的体积的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2；（3.【分析】（1）利用余弦定理求出AC ，利用勾股定理可得出AB AC ⊥，由已知可得出AF AC ⊥，利用线面垂直的判定定理可得出AC ⊥平面ABF ，由此可得出AC BF ⊥；（2）设点A 在平面BDF 内的射影为点O ，连接DO ，可得出ADO ∠为直线AD 与平面BDF 所成角，利用等体积法计算出AO ，可求得sin ADO ∠，再利用同角三角函数的基本关系可求得直线AD 与平面BDF 所成角的余弦值；（3）设AC 与BD 相交于N ，连接FN 、CM ，推导出//FN CM ，可得出//CM 平面BDF ，结合图形可知，当点P 在M 或C 时，三棱锥P BFD -的体积最小，可得()min P BFD C BFD F BCD V V V ---==，利用锥体体积公式可求得结果. 【详解】（1）在平行四边形ABCD 中，ADC 60∠=，1CD AB ==，2AD =，由余弦定理可得2222cos 3AC AD CD AD CD ADC =+-⋅∠=，AC ∴=2BC AD ==，222AB AC BC ∴+=，90BAC ∴∠=，AB AC ∴⊥，因为四边形ACEF 为矩形，则AF AC ⊥，AB AF A =，AC ∴⊥平面ABF ，BF ⊂平面ABF ，所以AC BF ⊥；（2）在ABD △中，1AB =，2AD =，180120BAD ADC ∠=-∠=， 由余弦定理可得2222cos 7BD AB AD AB AD BAD =+-⋅∠=，AB AC ⊥，平面ABCD ⊥平面ACEF ，平面ABCD 平面ACEF AC =，AB 平面ABCD ，AB ∴⊥平面ACEF ，AF ⊂平面ACEF ，AB AF ∴⊥，则BF == AF AC ⊥，AB AC A ⋂=，AF ∴⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，AD AF ∴⊥，DF ∴=，222BF DF BD ∴+=，由勾股定理的逆定理知90BFD ∠=，11022BDF S BF DF ∴=⋅=△， 设点A 在平面BFD内的射影为O ，连接DO ，则ADO ∠为直线AD 与平面BDF 所成角，132ABD ABC S S AB AC ==⋅=△△， 由A BDF F ABD V V --=，可得1133BDF ABD AO S AF S ⋅=⋅△△，可得313021010ABD BDFAF S AO S ⨯⋅===△△，又2AD =，30130sin 2AO ADO AD ∠==⨯=，2370cos 1sin ADO ADO ∴∠=-∠=， 因此，直线AD 与平面BDF 所成角的余弦值为37020； （3）设AC 与BD 相交于N ，连接FN 、CM ，因为四边形ABCD 为平行四边形，且AC BD N ⋂=，则N 为AC 的中点，//AC EF 且AC EF =，M 为EF 的中点，//CN FM ∴且CN FM =，所以，四边形CMFN 为平行四边形，则//CM FN ，FN ⊂平面BDF ，CM ⊄平面BDF ，//CM ∴平面BDF ，由图可知，当点P 在M 或C 时，三棱锥P BFD -的体积最小，()min 11321sin120132P BFD C BFD F BCD V V V ---===⋅⋅⋅⋅⋅=. 【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度h ，从而不必作出线面角，则线面角θ满足sin hlθ=（l 为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a 为直线l 的方向向量，n 为平面的法向量，则线面角θ的正弦值为sin cos ,a n θ=<>.21．已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形，60,BCD PD AD ∠=︒⊥，点E 是BC 边的中点．（Ⅰ）求证：AD ⊥平面PDE ；（Ⅱ）若二面角P AD C --的大小等于60︒，且34,3AB PD == ①点P 到平面ABCD 的距离；②求直线PB 与平面ABCD 所成角的大小． 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）①4，②3π. 【分析】（Ⅰ）连接BD ，点E 是BC 边的中点，得出DE BC ⊥，DE AD ⊥再由DP AD ⊥，得出结果； （Ⅱ）DE AD ⊥，PD AD ⊥，PDE ∠为二面角P AD C --的平面角，60PDE ∠=︒，过P 在平面PDE 内做PK DE ⊥于K ，易证PK ⊥面ABCD ，PK 为点到面的距离，PBK ∠即为线面角. 【详解】（Ⅰ）连接BD ，底面ABCD 是菱形，∠BDC =60°， ∴△BCD 是正三角形．∵点E 是BC 边的中点，∴DE ⊥BC ，∵AD ∥BC ，∴DE ⊥AD ．∵DP ⊥AD ，DP ∩AD =D ， ∴AD ⊥平面PDE ；（Ⅱ）①∵DE ⊥AD ，PD ⊥AD ，∴PDE ∠为二面角P -AD -C 的平面角，∴60PDE ∠=︒， 过P 在平面PDE 内做PK DE ⊥于K ，由（Ⅰ）易AD PK ⊥． ∴PK ⊥面ABCD ． ∵83PD =∴43DK =，4PK =， 即点P 到平面ABCD 的距离是4． ②AB =4，∴23DE =∴23DK DE =，∴K 为BCD △重心． 连接BK ，∵BCD △为正三角形，所以BK 为BP 在面ABCD 内的射影． ∴PB ⊥AB ，PBK ∠为直线PB 与平面ABCD 所成角，RT PKB △中，tan 3PK PK PKB KB DK ∠===3PKB π∠=， 直线PB 与平面ABCD 所成角的大小为3π.【点睛】求直线与平面所成的角的一般步骤：①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成； ②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．22．北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是3π，所以正四面体在各顶点的曲率为233πππ-⨯=，故其总曲率为4π．。
高一数学 立体几何初步章节测试题
高一数学 立体几何初步章节测试题一、选择题（每小题5分，共60分）1、已知b a ,是直线，α，β，γ是平面，给出下列命题：①b a b a ⊥⊥⊥,,βα，则α⊥β；②,,γβγα⊥⊥则α//β；③αβα⊥⊥,b ，则β//b ；④b a ==γβγαβα ,,//，则β//a ，其中正确的命题序号是 （ ）A 、①④B 、①③C 、①②④D 、③④2、一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是6,3,2，则这个长方体的对角线的长为 （ ）A 、32B 、23C 、6D 、63、相交成60°角的两条直线与平面α所成的角是45°，则这两条直线在平面α内射影的夹角是 （ ）A 、90°B 、60°C 、45°D 、30°4、已知棱锥的顶点为P ，P 在底面上的射影为O ，PO=a ，现用平行于底面的平面去截这个棱锥，截面交PO 于M ，并使截得的两部分侧面积相等，设OM=b ，则b a ,的关系是 （ ）A 、a b )12(-=B 、a b )12(+=C 、a b 222-=D 、a b 222+= 5、一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面积为π，则球的表面积为 （ ） A 、π28 B 、8π C 、π24 D 、4π6、设三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，P 、Q 分别是侧棱AA 1，CC 1上的点，且PA=QC 1，则四棱锥B —APQC 的体积为 （ ）A 、V 61B 、V 41C 、V 31D 、V 217、如图，四棱锥S —ABCD 的底面是边长为1的正方形， SD ⊥底面ABCD ，SB=3，则平面ASD 与平面BSC 所成的二面 角大小为 （ ）A 、30°B 、45°C 、60°D 、90°8、下列图形中，不是三棱柱的展开图的是 （ ）ABCDSA B C D9、如图所示的直观图，其平面图形的面积为 ） A 、3 B 、C 、6D 、 10、如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一动点P 到直线A 1B 1与直线BC 的距离相等，则动点P 所在曲线的形状为图中的（）A B C D 11、四面体PABC 中，PA 、PB 、PC 两两垂直，则P 在平面ABC 的正投影是△ABC 的（ ） A 、内心 B 、外心 C 、重心 D 、垂心12、△ABC 的边AB=5，BC=3，AC=4，设分别以此三边为轴，把△ABC 旋转一周，所得旋转体的体积为V AB ，V BC ，V AC ，则它们的大小关系是 （ ）A 、V AB > V AC > V BC B 、V AB > V BC > V AC C 、V AB > V BC > V ACD 、V BC > V AC > V AB 二、填空（每小题5分，共20分）13、已知正四棱锥P —ABCD 的五个顶点都在同一球面上，若该正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为62，则此球的表面积为 。
高一数学立体几何初步测试题及答案必修2答案
高一立体几何初步测试题答案参考答案及评分标准一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B B A B C A C D B B 二、填空题11. 2215()(5)252x y -+-=或2215()(5)252x y +++= 12. 3090α︒︒<<13. 20x -= 14. 22(1)1x y +-= 15. 2或-2 16. 240x y -+=; 25270x y -+= 三、解答题17. 解：解方程组2222(1)(3)20,10,x y x y ⎧-+-=⎪⎨+=⎪⎩得交点坐标为(3,1)-，(3,1)-. …5分 设所求圆的圆心坐标为(2,)a a -，=解得37a =-，r =， …5分因此，圆的方程为222610077x y x y +++-=. …2分 18. 解：设点P 的坐标为(,0)a (0)a >，点P 到直线AB 的距离为d . 由已知，得2211(31)(42)1022ABP S AB d d ∆==-+-=. …4分 解得d =…6分由已知易得，直线AB 的方程为10x y -+=. 所以d == …10分解得9a =，或11a =-(舍去). …12分 所以点P 的坐标为(9,0). …14分 19. 解：由已知得圆C 的圆心为(0,7)C ，半径为5r =. …3分如图所示，(25,18)M 关于x 轴的对称点为(25,18)M '-， …6分 所求反射光线过点M '，C ，所以所求直线方程为70187250y x --=---， 即70x y +-=. …9分 20. 设圆C 的方程为222()()x a y b r -+-=(0)r >，则圆心是(,)C a b ，半径是r . 因为圆C 截得y 轴所得的弦长为4，所以224r a =+. …4分 因为圆C 被x 轴分成两段圆弧，其弧长之比为3：1，所以2r b =. …8分 因为圆心(,)C a b 在直线y x =，所以b a =。
高一数学立体几何初步检测考试卷
第1章 立体几何初步 综合检测(时间：120分钟；满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题中，正确的是( )A ．经过不同的三点有且只有一个平面B ．分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线C ．垂直于同一个平面的两条直线是平行直线D ．垂直于同一个平面的两个平面平行2．有一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm)，则该几何体的表面积及体积为( )A ．24π cm 2,12π cm 3B ．15π cm 2,12π cm 3C ．24π cm 2,36π cm 3D ．以上都不正确3．若正四棱锥的侧面是正三角形，则它的高与底面边长之比为( )A ．1∶2B ．2∶1C ．1∶ 2 D.2∶14．如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°5．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是( )A ．2πR 2B.94πR 2C.83πR 2D.52πR 2 6．在正四面体P －ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，下面四个结论中不成立的是( )A ．BC ∥面PDFB ．DF ⊥面P AEC ．面PDE ⊥面ABCD ．面P AE ⊥面ABC7．在纬度为α的纬线圈上有A ，B 两点，这两点间的纬线圈上的弧长为πR cos α，其中R 为地球半径，则这两点间的球面距离是( )A.⎝⎛⎭⎫π2－2αR B.⎝⎛⎭⎫π2－αR C ．(π－2α)R D ．(π－α)R8．正方体的外接球与内切球的球面面积分别为S 1和S 2则( )A ．S 1＝2S 2B ．S 1＝3S 2C ．S 1＝4S 2D ．S 1＝23S 29．棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时，相应的截面面积分别为S 1、S 2、S 3，则( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 3<S 2<S 1C ．S 2<S 1<S 3D ．S 1<S 3<S 210．平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等，且∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝∠BAD ＝60°，则对角面B 1BDD 1是( )A ．平行四边形B ．菱形C ．矩形D ．正方形11．一个正四棱台(上、下底面是正方形，各侧面均为全等的等腰梯形)的上、下底面的边长分别为a ，b ，高为h ，且侧面积等于两底面积之和，则下列关系正确的是( )A.1h ＝1a ＋1bB.1h ＝1a ＋bC.1a ＝1b ＋1hD.1b ＝1a ＋1h12. 如图所示，三棱锥P －ABC 的高PO ＝8，AC ＝BC ＝3，∠ACB ＝30°，M 、N 分别在BC 和PO 上，且CM ＝x ，PN ＝2x (x ∈[0,3])，下列四个图象大致描绘了三棱锥N －AMC 的体积V 与x 的变化关系，其中正确的是( )二、填空题(本大题共4小题，请把答案填在题中横线上)13．若一个底面边长为62，侧棱长为6的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，则此球的体积为________． 14．一根细金属丝下端挂着一个半径为1 cm 的金属球，将它浸没在底面半径为2 cm 的圆柱形容器内的水中，现将金属丝向上提升，当金属球全部被提出水面时，容器内的水面下降的高度是________cm.15．如果规定：x ＝y ，y ＝z ，则x ＝z 叫做x 、y 、z 关于等量关系具有传递性，那么空间三直线a 、b 、c 关于相交、垂直、平行、异面、共面这五种关系具有传递性的是________．16．点M 是线段AB 的中点，若点A 、B 到平面α的距离分别为4 cm 和6 cm ，则点M 到平面α的距离为________．三、解答题(本大题共6小题，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为D 1C 1，C 1B 1的中点，AC ∩BD＝P ，A 1C 1∩EF ＝Q .求证：(1)D ，B ，E ，F 四点共面；(2)若A 1C 交平面BDEF 于R 点，则P ，Q ，R 三点共线．18．一球内切于圆锥，已知球和圆锥的底面半径分别为r ，R ，求圆锥的体积．19．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、CD 的中点，设AA 1＝2，求三棱锥F －A 1ED 1的体积．20. 如图△ABC 中，AC ＝BC ＝22AB ，四边形ABED 是边长为a 的正方形，平面ABED ⊥平面ABC ，若G 、F 分别是EC 、BD 的中点．(1)求证：GF ∥平面ABC ；(2)求证：平面EBC ⊥平面ACD ；(3)求几何体ADEBC 的体积V .21．如图是一个直三棱柱(以A1B1C1为底面)被一平面所截得到的几何体，截面为ABC.已知A1B1＝B1C1＝1，∠A1B1C1＝90°，AA1＝4，BB1＝2，CC1＝3.设点O是AB的中点，求证：OC∥平面A1B1C1. 22．如图所示的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出(单位：cm)．(1)按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；(2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积；(3)在所给直观图中连接BC′，求证：BC′∥面EFG.。
高一立体几何试卷及答案
高一立体几何试卷及答案The document was prepared on January 2, 2021立体几何试题一．选择题每题4分,共40分1.已知AB 0300300150空间,下列命题正确的个数为1有两组对边相等的四边形是平行四边形,2四边相等的四边形是菱形3平行于同一条直线的两条直线平行 ;4有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等A 1B 2C 3D 43.如果一条直线与两个平行平面中的一个平行,那么这条直线与另一个平面的位置关系是A 平行B 相交C 在平面内D 平行或在平面内4.已知直线m αα过平面α外一点,作与α平行的平面,则这样的平面可作A 1个 或2个B 0个或1个C 1个D 0个6.如图,如果MC ⊥菱形ABCD 所在平面,那么MA 与BD 的位置关系是A 平行B 垂直相交C 异面D 相交但不垂直7.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有A 0个B 1个C 无数个D 1个或无数个8.下列条件中,能判断两个平面平行的是A 一个平面内的一条直线平行于另一个平面;B 一个平面内的两条直线平行于另一个平面C 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D 一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面9.对于直线m ,n 和平面,αβ,使αβ⊥成立的一个条件是A //,,m n n m βα⊥⊂B //,,m n n m βα⊥⊥C ,,m n m n αβα⊥=⊂D ,//,//m n m n αβ⊥10 .已知四棱锥,则中,直角三角形最多可以有A 1个B 2个C 3个D 4个二．填空题每题4分,共16分11.已知∆ABC 的两边AC,BC 分别交平面α于点M,N,设直线AB 与平面α交于点O,则点O 与直线MN 的位置关系为_________12.过直线外一点与该直线平行的平面有___________个,过平面外一点与该平面平行的直线有_____________条13.一块西瓜切3刀最多能切_________块14.将边长是a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起,使得折起后BD 得长为a,则三棱锥D-ABC 的体积为___________三、 解答题1510分如图,已知E,F 分别是正方形1111ABCD A B C D -的棱1AA 和棱1CC 上的点,且1AE C F =.求证：四边形1EBFD 是平行四边形1610分如图,P 为ABC ∆所在平面外一点,AP=AC,BP=BC,D 为PC 的中点, 证明：直线PC 与平面ABD 垂直CB1712分如图,正三棱锥A-BCD,底面边长为a,则侧棱长为2a,E,F分别为AC,AD 上的动点,求截面BEF∆周长的最小值和这时E,F的位置.DC1812分如图,长方形的三个面的对角线长分别是a,b,c,求长方体对角线AC'的长C1bC BA答案1三点共线2无数 无数3a 1证明: 1AE C F = 11AB C D =11EAB FC D ∠=∠∴ 11EAB FC D ∆≅∆1EB FD ∴=过1A 作11//A G D F又由1A E ∥BG 且1A E =BG可知1//EB AG 1//EB D F ∴∴四边形1EBFD 是平行四边形2 ∵AP AC =D 为PC 的中点∴AD PC ⊥∵BP BC =D 为PC 的中点∴BD PC ⊥∴PC ⊥平面ABD∴AB PC ⊥3 提示:沿AB 线剪开 ,则BB '为周长最小值.易求得EF 的值为34a ,则周长最小值为114a . 4解:()()()222AC AC CC ''=+ ()()222()AB BC CC '=++222a b c =++。
寒假作业11 第1章立体几何初步检测题基础篇-2020-2021学年北师大版高一数学(必修2)
参考答案
1．B
【分析】
根据棱柱的特点一一分析即可得解.
【详解】
对于A，棱柱的上下底面可以是三角形或者是梯形，故A不正确；
对于B，面最少的就是三棱柱，共有五个面，B正确；
对于C，长方体是棱柱，但是上下、左右、前后都是互相平行的，C不正确；
对于D，斜棱柱的侧面可以不是矩形，D错误.
2．C
【分析】
由已知条件将四个点的位置定下来，可得选项.
【详解】
因为空间四点A，B，C，D不共面，所以这四个点的位置如三棱锥的顶点和底面三角形的顶点，所以只有C选项正确，
若A，B，C，D四点中有三点共线，则空间四点A，B，C，D共面，与题设矛盾，故A错误；
若直线 与 相交，则空间四点A，B，C，D共面，故B不正确；
对于选项C：由平行公理知：平行于同一条直线的两条直线互相平行；故选项C正确；
选项D是直线与平面垂直的性质定理，不是公理.
故选：D.
5．D
【分析】
由圆柱、圆锥、圆台的三视图确定几何体形状．
【详解】
由三视图知原组合体上面是一个圆锥，下面是一个圆柱，只有D相符．
故选：D．
6．A
【分析】
由题意可知正四棱锥底面正方形边长为 ，高为 ，利用椎体体积公式即可求解.
对于②，若 ，则由面面平行的性质定理可得 ，故正确；
对于③，若 ，则由线面垂直的判定定理可得 ，故正确；
对于④，当 时，l可能在 内，可能与 平行，可能相交，所以不一定有 ，故错误，
故选：B
【点睛】
此题考查线线、线面、面面关系的判断，属于基础题
11．C
【分析】
连接 、 ，证明出 ，可得出异面直线 与直线 所成的角为 ，分析 的形状，进而可得出结果.
第八章 立体几何初步 单元测试-2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
2022-2023学年高一第二学期第八章《立体几何初步》单元测试（新人教A 版必修第二册）一、单项选择题（每小题5分，共40分）1、下列说法中正确的是 A ．若一个平面内有3个不共线的点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行B ．以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C ．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱D ．过直线外一点有且仅有一条直线与该直线平行2、已知正三角形的边长为2，那么的直观图△的面积为 ABCD3、已知S 为圆锥的顶点，O为底面圆心，圆锥的体积为 ABCD4、如图：已知正四面体中E 在棱上，，G 为的重心，则异面直线与所成角为（ ）A. B. C. D. 5．已知直线，与平面，，，则能使成立的充分条件是 A ．，B ．，C ．，D ．，，6、如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题错误的是 ()ABC ABC ∆A B C '''()SO =()ABCD CD 2EC DE =ABC V EG BD 30°45︒60︒90︒m n αβγαβ⊥()αγ⊥βγ⊥//m α//m β//m αm β⊥m n ⊥m αβ= n β⊂1111ABCD A B C D -()A ．直线与平面所成的角等于B ．点到面C ．两条异面直线和所成的角为D ．三棱柱7、端午佳节，人们有包粽子和吃粽子的习俗. 粽子主要分为南北两大派系，地方细分特色鲜明, 且形状各异. 裹蒸粽是广东肇庆地区最为出名的粽子, 是用当地特有的冬叶、水草包裹糯米、绿豆、猪肉、咸蛋黄等蒸制而成的金字塔形的粽子. 现将裹蒸粽看作一个正四面体, 其内部的咸蛋黄看作一个球体，那么，当咸蛋黄的体积为时，该裹蒸粽的高的最小值为A. B. C. D. 8、已知三棱锥中，，，三点在以为球心的球面上，若，，且三棱锥的半径为 A ．2B．5C ．13D 二、多项选择题（每小题5分，共20分，有多项符合要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分）9、高空走钢丝是杂技的一种，渊源于古代百戏的走索，演员手拿一根平衡杆，在一根两头拴住的钢丝上来回走动，并表演各种动作．在表演时，假定演员手中的平衡杆是笔直的，水平地面内一定存在直线与演员手中的平衡杆所在直线 A ．垂直B ．相交C ．异面D ．平行10、设，，表示不同的点，，表示不同的直线，，表示不同的平面，下列说法错误的是 A ．若，，，则B ．若，，，，则C ．若，，，，，，则D ．若，，，则11、如图，在菱形中，，，将沿折起，使到，点不落在底面内，若为线段的中点，则在翻折过程中，以下命题中正确的是 BC 11ABC D 4πC 11ABCD 1D C 1BC 4π1111AA D BB C -43π46810O ABC -A B C O 2AB BC ==120ABC ∠=︒O ABC -O ()()A B C n l αβ()l αβ= //n α//n β//n l A B l ∈A B α∉//l αA B α∈A B C β∈l αβ= C l ∈//αβl α⊂n β⊂//l n ABCD 2AB =3BAD π∠=ABD ∆BD A A 'A 'BCD M A C 'ABD ∆()A ．四面体的体积的最大值为1B ．存在某一位置，使得C ．异面直线，所成的角为定值D ．当二面角的余弦值为时，四面体12、四面体的四个顶点都在球的球面上，，，点，，分别为棱，，的中点，则下列说法正确的是 A ．过点，，做四面体的截面，则该截面的面积为2B ．四面体C ．与的公垂线段的长为D ．过作球的截面，则截面面积的最大值与最小值的比为二、填空题（每小题5分，共20分）13、将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为 ．14、在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为 ．15、某校高一级学生进行创客活动，利用3D 打印技术制作模型．如图，该模型为长方体挖去正四棱台后所得的几何体，其中，为增强其观赏性和耐用性，现对该模型表面镀上一层金属膜，每平方厘米需要金属，不考虑损耗，所需金属膜的质量为____________．A BCD '-BM CD ⊥BM A D 'A BD C '--13A BCD '-ABCD O 4AB BC CD DA ====AC BD ==EFG BC CD AD ()E F G ABCD ABCD AC BD E O 5:41111ABCD A B C D -P 11B D PB 1AD 1111ABCD A B C D -ABCD EFGH -122,6cm,4cm AB EF BF AB BC AA =====2mg mg16、如图，在长方体中，四边形是边长为4的正方形，，为棱的中点，为棱（包括端点）上的动点，则三棱锥外接球表面积的最小值是 ．三 解答题（共6小题，共计70分）17、（10分）如图，在三棱锥中，平面，是直角三角形，，．，分别是棱，的中点．（1）证明：平面平面．（2）求三棱锥的体积．18．（12分）如图，在三棱锥中，，底面．1111ABCD A B C D -ABCD 13AA =E CD F 11C D A DEF -P ABC -PA ⊥ABC ABC ∆AC BC =6PA AB ==D E PB PC PAC ⊥ADE P ADE -P ABC -90ACB ∠=︒PA ⊥ABC（1）求证：平面平面；（2）若，，求与平面所成角的正弦值．19．（12分）如图，在直四棱柱中，四边形是平行四边形，是的中点，点是线段上，且．（1）证明：直线平面．（2）若，，，求点到平面的距离．20、（12分）如图，在四棱锥中，，，，分别为，的中点底面四边形是边长为2的菱形，且，交于点．（1）求证：平面；（2）二面角的平面角为，若．①求与底面所成角的大小；②求点到平面的距离．21、（12分）如图在直三棱柱中，，，，是上的一点，且，、、分别是、、的中点，与相交于．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面平面；PAC ⊥PBC 2AC PA ==3BC =AB PBC 1111ABCD A B C D -ABCD F 1BD E 1CD 12D E CE =//AF BDE 13AA AB ==2AD =60BAD ∠=︒F BDE P ABCD -PB PD =PA PC ⊥M N PA BC ABCD 60DAB ∠=︒AC BD O //MN PCD B PC D --θ1cos 7θ=-PA ABCD N CDP 111ABC A B C -90ABC ∠=︒2BC =14CC =E 1BB 11EB =D F G 1CC 11B C 11A C EF 1B D H 1B D ⊥ABD //EFG ABD（Ⅲ）求平面与平面的距离．22、（12分）如图，在四棱锥，底面为梯形，且，，等边三角形所在的平面垂直于底面，．（1）求证：平面；（2）若直线与平面，求二面角的余弦值．参考答案1、D2、D3、B4、A5、C6、C7、A8、D 8、【解析】设的外接圆的圆心为，半径为,在中，，，由余弦定理可得，由正弦定理可得，解得，所以又三棱锥所以EGF ABD P ABCD -ABCD 12BC AD =//BC AD PCD ABCD BC PD ⊥BC ⊥PCD PB ABCD P AB D --ABC ∆1O r ABC ∆2AB BC ==120ABC ∠=︒222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠=24sin AC r ABC ===∠2r =11sin 2222ABC S AB BC ABC ∆=⋅⋅⋅∠=⨯⨯=O ABC -111133O ABC ABC V S OO OO -∆=⋅⋅==故三棱锥的高，所以球．9、AC10、BCD 11、ABD 12、ACD9、【解析】根据题意可得：对直线与平面的任何位置关系，平面内均存在直线与直线垂直，A 正确；平衡杆所在直线与水平地面的位置关系：平行或相交，根据线面关系可知：若直线与平面平行，则该直线与平面内的直线的位置关系：平行或异面，若直线与平面相交，则该直线与平面内的直线的位置关系：相交或异面，C 正确，B 、D 错误；【答案】AC11、【解析】连接交于，连接，取的中点，连接，，对于A ，当平面平面时，四面体的体积最大，点到平面的距离最大，此时在菱形中，，则，都是等边三角形，则，此时四面体的体积为，所以四面体的体积的最大值为1，故A 正确；对于B ，因为，分别为，的中点，所以，且，由题意，则，当时，，因为，O ABC -13OO =O =l l AC BD O OA 'CD N MN BN A BD '⊥BCD A BCD '-A 'BCD ABCD 2AB =3BAD π∠=ABD ∆BCD ∆OA OA OC '===A BCD '-112132⨯⨯=A BCD '-M N C 'CD BN CD ⊥//MN A D '112MN A D ='=2(0,)3A DC π∠'∈2(0,3MNC π∠∈2MNC π∠=MN CD ⊥MN BN N =所以当时，平面，又平面，所以，所以存在某一位置，使得，故B正确；对于C，因为，所以异面直线，所成的角即为或其补角，，因为不为定值，所以不为定值，即异面直线，，所成的角不为定值，故C错误；对于D，因为，，所以即为二面角的平面角，则，所以，所以四面体为正四面体，如图，补全正四面体，即四面体的D正确．【答案】ABD12、【解析】如图所示：取中点，连结、，则有：，且，同理可得，且所以，且为平行四边形，2MNCπ∠=CD⊥BMNBM⊂BMN CD BM⊥BM CD⊥//MN A D'BM A D'BMN∠2131cos22BM BMBMNBM BM+-∠==-BM cos BMN∠BM A D'OC BD⊥OA BD'⊥A OC∠'A BD C'--26163A CA OC-'∠'==2A C'=A BCD'-A BCD'-=A BCD'-AB H EH HG//HG BD12GH BD==//EF BD12EF BD== //HG EF HG EF==EFGH同理可得，且，所以平行四边形的菱形；取中点，连结、，因为，所以，同理，所以平面，所以，又因为，，所以，所以菱形的正方形，所以，故A 正确；因为，，，所以，同理可得，在中，，所以边上的高，又因为平面，为中点，所以，故B 错；因为平面，平面，所以，又因为，所以是与的公垂线，由选项可知，故C 正确；取中点，则为球心，理由如下：因为平面，，所以，同理，，所以，所以即为球心，所以，又因为，所以过所作的面积最小的截面是以为圆心，为半径的圆；面积最大的截面是过，的大圆，//HE GF HE GF ==EFGH BD Q AQ CQ AB AD =AQ BD ⊥CQ BD ⊥BD ⊥ACQ BD AC ⊥//HG BD //HE AC HG HE ⊥EFGH 2EFGH S =4AB AD ==BD =AQ BD ⊥BQ DQ ==AQ =CQ =ACQ ∆AQ CQ ==AC =AC QM ==12ACQ S AC QM ∆=⋅⋅=BD ⊥ACQ Q BD 1122233A BCD B ACQ ACQ V V S BQ --∆==⨯⨯=⨯⨯=BD ⊥ACQ QM ⊆ACQ BD QM ⊥QM AC ⊥QM AC BD B QM =QM S S O BD ⊥ACQ BQ DQ =12QS QM ==225SB SD ==12MS QM ==225SA SC ==SA SB SC SD ====S O R =OE BC ⊥E E 2BE =O E所以，故D 正确．13、 14、15、16、15、【详解】由题意，该几何体侧面4个面的面积和为，底面积，正方形面积.考虑梯形，高为，故正四棱台的侧面积为，故该模型表面积为，故所需金属膜的质量为16、【解析】如图，取的中点，过作平面的垂线，与平面交于点，过作的垂线，垂足为，则三棱锥外接球的球心在上，设，，则，设球的半径为，则，即，所以．因为，所以，则．()()22::5:4S S R BE ππ==大小2π6π282+2449π244696cm ⨯⨯=26636cm ⨯=EFGH 2339cm ⨯=ABFE =()214362⨯+=(296369141cm +++=+((2141282mg⨯+=+AE 1O 1O ABCD 1111A B C D M M 11C D N E ADF -O 1MO 1OO m =NF n =03n ……O R 222R OE OF ==22222225(3)4R m OM MN NF m n =+=++=-++286n m +=03n ......41736m (2261)59R m =+…故三棱锥外接球的表面积．17、（1）证明：因为是直角三角形，且，所以．因为平面，且平面，所以．因为平面，平面，且，所以平面．因为，分别是棱，的中点，所以，，因为平面，所以平面．因为平面，所以平面平面．（2）解：因为，所以因为平面，且，所以三棱锥的体积．连接，因为是棱的中点，所以三棱锥的体积．因为是棱的中点，所以三棱锥的体积．因为三棱锥与三棱锥是同一个三棱锥，所以的体积为．18．（1）证明：底面．，又，，又，平面，又平面，平面平面；（2）解：取的中点，连接、，，，又平面平面且交线为，平面，A DEF -224449S R ππ=…ABC ∆AC BC =AC BC ⊥PA ⊥ABC BC ⊂ABC PA BC ⊥PA ⊂PAC AC ⊂PAC PA AC A = BC ⊥PAC D E PB PC 12DE BC =//DE BC BC ⊥PAC DE ⊥PAC DE ⊂ADE PAC ⊥ADE 6AB =AC BC ==PA ⊥ABC 6PA =P ABC -1161832V =⨯⨯=CD D PB D PAC -11118922V ==⨯=E PC D PAE -211199222V V ==⨯=P ADE -D PAE -P ADE -92PA ⊥ ABC PA BC ∴⊥90ACB ∠=︒ AC BC ∴⊥PA AC A = BC ∴⊥PAC BC ⊂PBC ∴PBC ⊥PAC PC O AO BO PA AC = AO PC ∴⊥ PBC ⊥PAC PC AO ∴⊥PBC直线在平面中的射影为，为与平面所成的角，在直角中，，，．19．（1）证明：连接，记，连接．取线段的中点，连接，．因为四边形是平行四边形，所以是的中点．因为是的中点，且，所以是的中点，因为，分别是，的中点，所以．因为平面，平面，所以平面．因为，分别是，的中点，所以．因为平面，平面，所以平面．因为平面，平面，且，所以平面平面．因为平面，所以平面．（2）解：由（1）可知平面，则点到平面的距离等于点到平面的距离．因为，，，所以的面积为作，垂足为，连接，则平面．因为，所以，，则．因为，，，所以AB PBC OB ABO ∴∠AB PBC AOB ∆AB =AO =∴sin ABO ∠=AC AC BD O = OE 1D E H AH HF ABCD O AC H 1D E 12D E CE =E HC O E AC HC //OE AH OE ⊂BDE AH ⊂/BDE //AH BDE H F 1D E 1BD //HF BE BE ⊂BDE HF ⊂/BDE //HF BDE AH ⊂AHF HF ⊂AHF AH HF H = //AHF BDE AF ⊂AHF //AF BDE //AF BDE F BDE A BDE 2AD =3AB =60BAD ∠=︒ABD ∆1sin 2AD AB BAD ⋅∠=EG CD ⊥G BG EG ⊥ABCD 12D E CE =1113EG DD ==22DG GC ==DE =3AB =2AD =60BAD ∠=︒BD因为，，，所以，则．在中，由余弦定理可得．故的面积为．设点到平面的距离为，因为三棱锥的体积等于三棱锥的体积，所以，解得到平面20、（1）证明：取得中点，连接，，如图，为的中点，，为的中点且四边形为菱形，，，，四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面；（2）解：①连接，过作于，连接，，由，是的中点，，由菱形知，又，平面，平面，平面平面，且交线为，直线在平面上的射影为，即与底面所成角为，平面，，且在平面上的射影为，，又，，是的中点，是的中点，，由知，，，为二面角的平面角，，1CG =2BC =60BCG ∠=︒BG =2BE =BDE ∆cos BED ∠==sin BED ∠=BDE ∆11sin 222BE DE BED ⋅∠=⨯=F BDE h E ABD -A BDE -11133=h =F BDE PD E ME CE M PA ∴1,//2ME AD ME AD =N BC ABCD ∴1//,2NC AD NC AD =//NC ME ∴NC ME =∴MNCE //MN EC ∴MN ⊂/PCD CE ⊂PCD //MN ∴PCD PO B BF PC ⊥F DF OF PB PD =O BD PO BD ∴⊥ABCD AC BD ⊥PO AC O = BD ∴⊥PAC BD ⊂ ABCD ∴PAC ⊥ABCD AC ∴PA ABCD AC PA ABCD PAC ∠BD ⊥ PAC BF PC ⊥BF PAC OF OF PC ∴⊥PA PC ⊥//OF PA ∴O BD F ∴PC 2PB BC ∴==BPC DPC ∆≅∆DF PC ⊥BF DF =BFD ∴∠B PC D --∴2222222162cos 277BD BF DF BF DF BFD BF BF BF =+-⋅∠=+=即，解得，，，，，即与底面所成角的大小为；②连接，过作于，由，平面，平面，平面，点到平面的距离即点到平面的距离，，，，平面，平面平面，且是交线，，平面，在中，，由等积法可得，即，即点到平面．21、（12分）（Ⅰ）证明：由直三棱柱的性质，得平面平面，又，平面，又平面，，，在和△中，，，即，又，平面．（Ⅱ）证明：由题意知，在△中，，又，，平面，不包含于平面，平面，、分别为、的中点，，又，，，不包含平面，平面，平面，平面，，平面平面．（Ⅲ）解：平面，平面平面，平面，为平行平面与之间的距离，21647BF =274BF =∴23PC FC ===∴sin 2PC PC PAC AC AO ∠====090PAC ︒∠︒ ……60PAC ∴∠=︒PA ABCD 60︒ON O OG FD ⊥G //ON CD ON ⊂/PCD CD ⊂PCD //ON ∴PCD ∴N CDP O CDP BF PC ⊥ DF PC ⊥BF DF F = PC ∴⊥BFD ∴PCD ⊥BDF DF OG FD ⊥ OG ∴⊥PCD Rt OFD ∆1,OF OD DF ===OF OD FD OG ⋅=⋅OG =N CDP ABC ⊥11BB C C AB BC ⊥AB ∴⊥11BB C C 1B D ⊂11BB C C 1AB B D ∴⊥1112BC CD DC B C ==== ∴Rt BCD ∆Rt 11DC B 1145BDC B DC ∠=∠=︒190BDB ∴∠=︒1B D BD ⊥AB BD B = 1B D ∴⊥ABD 111EB B F ==∴Rt 1EB F 145FEB ∠=︒145DBB ∠=︒//EF BD ∴BD ⊂ ABD EF ABD //EF ∴ABD G F 11A C 11B C 11//GF A B ∴11//A B AB //GF AB ∴\AB ABD ⊂ 平面GF ABD //GF ∴ABD EF ⊂ EFG GF ⊂EFG EF GF F = ∴//EFG ABD 1B D ⊥ ABD //EGF ABD 1B D ∴⊥EGF HD ∴EFG ABD．22、证明：（1）如图所示，取中点，连接，是正三角形，又平面平面，且平面平面，平面，平面，，，且，平面；如图所示，连接，，过点，作，，分别与交于点，，过点作，交于点，连接，设，，，则，由（1）得平面，即为直线与平面所成角的平面角，平面，，则，解得：，故，，解得又，所以平面，，，，解得所以点为线段的中点，故点也为线段中点，11HD B D B H ∴=-==CD O PO PCD ∆ PO CD∴⊥PCD ⊥ABCD PCD ⋂ABCD CD =PO ∴⊥ABCD BC ⊂ABCD PO BC ∴⊥BC PD ⊥ PO PD P = BC ∴⊥PCD OB BD D P DM AB ⊥PN AB ⊥AB M N M //MQ NP AP Q DQ 22AD BC ==2CD a =0a >OP =OP ⊥ABCD OBP ∴∠PB ABCD BC ⊥PCD BC CP ∴⊥OP PB OBP BP =∠===1a =BD AB ====BM AM =DM //BC AD AD ⊥PCD AD PD ⊥PA ===BN AN PN ===M AN Q AP所以，所以即为二面角的平面角，．12QM PN DQ ===DMQ ∠P AB D --222cos 2DM QM DQ DMQ DM QM +-∠===⋅。
人教A版高一数学必修第二册第八章《立体几何初步》单元练习题卷含答案解析 (28)
高一数学必修第二册第八章《立体几何初步》单元练习题卷4（共22题）一、选择题（共10题）1.若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )A．l至少与l1，l2中的一条相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l与l1，l2都不相交2.空间四点A，B，C，D共面而不共线，那么这四点中( )A．必有三点共线B．必有三点不共线C．至少有三点共线D．不可能有三点共线3.下列几何体中是棱柱的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个4.下列三个命题中错误的个数是( )①经过球面上任意两点，可以作且只可以作一个球的大圆；②球面积是它大圆面积的四倍；③球面上两点的球面距离，是这两点所在截面圆上以这两点为端点的劣弧的长．A．0B．1C．2D．35.棱长为a的正四面体的表面积是( )A．√36a2B．√312a2C．√34a2D．√3a26.如图所示的几何体是( )A．五棱锥B．五棱台C．五棱柱D．五面体7.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=AD=2，AB=3，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，过BF的平面α与直线C1E平行，则平面α截该长方体所得截面的面积为( )A．3B．3√2C．3√3D．3√58.有以下结论：①平面是处处平直的面；②平面是无限延展的；③平面的形状是平行四边形；④一个平面的厚度可以是0.001cm．其中正确结论的个数为A．1B．2C．3D．49.若直线a，b与直线l所成的角相等，则a，b的位置关系是( )A．异面B．平行C．相交D．相交、平行、异面均有可能10.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )C．2+√2D．2√3+1 A．2B．52二、填空题（共6题），11.已知四面体ABCD内接于球O，且AB=BC=√2，AC=2，若四面体ABCD的体积为2√33球心O恰好在棱DA上，则球O的表面积是．12.在棱长为6的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P，Q是直线DD1上的两个动点．如果PQ=2，那么三棱锥P−BCQ的体积等于．13.表面积相等的球和正方体的体积比为．14.如图所示，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足时，平面MBD⊥平面PCD．（只要填写一个你认为是正确的条件即可）15.半径为3的球体表面积为．16.已知正六棱柱的侧面积为72cm2，高为6cm，那么它的体积为cm3．三、解答题（共6题）17.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1=AC=BC=2，∠ACB=90∘，D，E分别是A1B1，CC1的中点．(1) 求证：C1D∥平面A1BE；(2) 求直线BC1与平面A1BE所成角的正弦值；(3) 在棱CC1上是否存在一点P，使得平面PAB与平面A1BE所成二面角为60∘？若存在，求出线段CP的长；若不存在，请说明理由．18.如果两条直线和第三条直线成等角，那么这两条直线平行吗？19.如图：四棱锥P−ABCD底面为一直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，PA⊥平面ABCD，F是PC中点．(1) 求证：平面PDC⊥平面PAD；(2) 求证：BF∥平面PAD．20.若两个平面平行，那么两个平面内的所有直线都相互平行吗？21.如图所示是一个圆台形的纸篓（有底无盖），它的母线长为50cm，两底面直径分别为40cm和30cm．求纸篓（外侧部分）的表面积．22.如图所示，已知一条直线a分别与两条平行直线b，c相交．求证：a，b，c三线共面．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】A【解析】若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则l至少与l1，l2中的一条相交，故选A．【知识点】直线与直线的位置关系2. 【答案】B【解析】由图（1）（2）（3）知，A，C，D均不正确，只有B正确．【知识点】平面的概念与基本性质3. 【答案】C【解析】观察图形得：“有两个面互相平行，其余各面都是四边形，”的几何体有：①③⑤，只有它们是棱柱，共三个．【知识点】棱柱的结构特征4. 【答案】C【知识点】球面距离、球的结构特征5. 【答案】Da2=√3a2．【解析】棱长为a的正四面体的四个面都是正三角形，正四面体的表面积是4×√34【知识点】棱锥的表面积与体积6. 【答案】C【解析】由图知，该几何体底面是五边形，且为柱体，所以是五棱柱．【知识点】棱柱的结构特征7. 【答案】D【知识点】棱柱的结构特征8. 【答案】B【解析】平面处处平直，无限延展，但是没有大小、形状、厚薄等，因此①②两种说法是正确的，③④两种说法是错误的．【知识点】平面的概念与基本性质9. 【答案】D【知识点】直线与直线的位置关系10. 【答案】C【解析】由题意，几何体的直观图如图，是正方体的一部分，四棱锥P−ABCD，几何体的表面积为：1×1+2×12×1×1+2×12×1×√2=2+√2．故选：C．【知识点】棱锥的表面积与体积、三视图二、填空题（共6题）11. 【答案】16π【解析】如图：在三角形ABC中，因为AB2+BC2=AC2，所以△ABC为直角三角形，所以三角形ABC的外接圆的圆心为AC的中点O1．连OO1，根据垂径定理，可得OO1⊥平面ABC，因为O，O1为AD，AC的中点可知DC⊥平面ABC，所以DC为四面体ABCD的高．所以13DC×12×√2×√2=2√33，解得DC=2√3．所以AD=√(2√3)2+22=4．所以四面体ABCD的外接球的半径为2，表面积为4πR2=4π×22=16π．【知识点】棱锥的表面积与体积、球的表面积与体积12. 【答案】12【解析】因为在棱长为6的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P，Q是直线DD1上的两个动点，PQ=2，所以S△PQC=12×PQ×CD=12×2×6=6，所以三棱锥P−BCQ的体积：V P−BCQ=V B−PQC=13×S△PQC×BC=13×6×6=12．【知识点】棱锥的表面积与体积13. 【答案】√6π【知识点】表面积与体积、棱柱的表面积与体积14. 【答案】 DM ⊥PC （或 BM ⊥PC ）【知识点】平面与平面垂直关系的判定15. 【答案】 36π【知识点】球的表面积与体积16. 【答案】36√3【解析】设正六棱柱的底面边长为 x cm ， 由题意得 6x ⋅6=72，所以 x =2， 于是其体积 V =√34×22×6×6=36√3(cm 3)．【知识点】棱柱的表面积与体积三、解答题（共6题） 17. 【答案】(1) 取 AB 的中点 F ，连接 DF ，交 A 1B 于点 M ，可知 M 为 DF 的中点， 连接 EM ，易知四边形 C 1DME 为平行四边形， 所以 C 1D ∥EM ，又 C 1D ⊄平面A 1BE ，EM ⊂平面A 1BE ，所以 C 1D ∥平面A 1BE ．(2) 分别以 CA ，CB ，CC 1 所在的直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 可得 B (0,2,0)，C 1(0,0,2)，E (0,0,1)，A 1(2,0,2)， 则 BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2,2)，EA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,1)，EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−1)， 设平面 A 1BE 的法向量为 n ⃗ =(x,y,z )，则 {n ⃗ ⋅EA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ⃗ ⋅EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即 {2x +z =0,2y −z =0,令 x =1，可得 y =−1，z =−2，即 n ⃗ =(1,−1,−2)，所以 cos⟨BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ ⟩=BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅n ⃗ ∣BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣⋅∣n ⃗ ∣=−√36， 所以直线 BC 1 与平面 A 1BE 所成角的正弦值为√36． (3) 假设在棱 CC 1 是存在一点 P ，设 CP =a (0<a <2)，可得 P (0,0,a )，由 A (2,0,0)，B (0,2,0)，可得 PA⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,−a )，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−a )， 设平面 PAB 的法向量为 m ⃗⃗ =(x 1,y 1.z 1)， 则 {m ⃗⃗ ⋅PA⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即 {2x 1−az =0,2y 2−az =0,令 z =2，可得 x 1=a ，y 1=a ， 即 m ⃗⃗ =(a,a,2)，又由平面 A 1BE 的一个法向量为 n ⃗ =(1,−1,−2)， 所以 cos⟨m ⃗⃗ ,n ⃗ ⟩=m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ∣m ⃗⃗⃗ ∣⋅∣n ⃗ ∣=√a 2+a 2+4⋅√6，因为平面 PAB 与平面 A 1BE 所成二面角为 60∘，可得 √a 2+a 2+4⋅√6=cos60∘=12，解得 a 2=103，此时 a =√303，符合题意， 所以在棱 CC 1 上存在一点 P ，使得平面 PAB 上与平面 A 1BE 所成二面角为 60∘，且 CP =√303． 【知识点】二面角、利用向量的坐标运算解决立体几何问题、线面角、直线与平面平行关系的判定18. 【答案】不一定，这两条直线可能相交、平行或异面．【知识点】空间中直线与直线平行19. 【答案】(1) 因为 PA ⊥平面ABCD,CD ⊂平面ABCD ， 所以 PA ⊥CD ，又因为 CD ⊥AD ，PA ∩AD =A ，AD ⊂平面PAD ，PA ⊂平面PAD ， 所以 CD ⊥平面PAD ， 因为 CD ⊂平面PCD ，所以平面 PDC ⊥平面PAD ．(2) 取 PD 的中点为 E ，连接 EF,AE ， 因为 F 为 PC 的中点， 所以 EF 为 △PCD 的中位线， 所以 EF ∥CD ，CD =2EF ， 又因为 CD =2AB ，AB ∥CD ， 所以 EF =AB ，并且 EF ∥AB ， 所以四边形 ABEF 为平行四边形， 所以 BF ∥AE ，因为 AE ⊂平面PAD ，BF ⊄平面PAD所以 BF ∥平面PAD ．【知识点】平面与平面垂直关系的判定、直线与平面平行关系的判定20. 【答案】不是．【知识点】平面与平面平行关系的性质21. 【答案】根据题意可知，纸篓底面圆的半径 rʹ=15 cm ，上口的半径 r =20 cm ，母线长 l =50 cm ，则纸篓的表面积 S =π(rʹ2+rʹl +rl )=π(152+15×50+20×50)=1975π(cm 2)．【知识点】圆台的表面积与体积22. 【答案】因为b∥c，所以b，c确定一个平面，设为α，如图所示．令a∩b=A，a∩c=B，所以A∈α，B∈α，所以AB⊂α，即直线a⊂α．所以a，b，c三线共面．【知识点】平面的概念与基本性质。
高一数学立体几何测试
１高一立体几何单元检测一、填空题：1、下列命题中正确的是A 、如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合B 、空间四点不共面，则其中任三点不共线C 、过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直D 、已知直线//a 平面α，且直线//b 平面α，则//a b2、对于直线,,a b l 及平面M,N ，下列命题正确的是A 、若//,//a M b M 则//a bB 、若//,a M b a ⊥则b M ⊥C 、若,,,a M b M l a l b ⊂⊂⊥⊥则l M ⊥D 、若,//,a M a N ⊥则M N ⊥3、下列条件可判断平面//αβ的条件是A 、α，β都垂直于γB 、,l m 是两异面直线且//,//,//,//l l m m αβαβC 、,l m 是α内两条直线且//,//l m ββD 、α内不共线的三点到β距离相等4、两直线,a b 和平面α，其中下列正确的命题是A 、若//,a b a α⊂则//b αB 、若,a b 与α所成角相等则//a bC 、若,a b αα⊥⊥则//a bD 、若,a b a α⊥⊥则//b α5、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是面A 1B 1C 1D 1和面ADD 1A 1中心，则EF 和CD所成角为6、用符号语言表示线面垂直的判定定理：7、用符号语言表示面面平行的判定定理：8、用符号语言表示面面垂直的性质定理：9、二面角α-l -β为60º，A,B l ∈，AC ⊂α,BD ⊂β，AC ⊥l ，BD ⊥l ，若AB ＝AC ＝BD＝1，则CD ＝２10、正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ＝AA 1，则直线CB 1与面AA 1B 1B 所成角的正弦值为11、已知ABC ∆中AB=6，BC=8, 90=∠B 它所在的平面外一点P 到三个顶点的距离都是13，那么点P 到平面ABC 的距离是12、在正方体A 1B 1C 1D 1—ABCD 中，AC 与B 1D 所成的角的大小为13、直线a 是平面α的斜线，b ⊂α，当a 与b 成600的角，且b 与a 在α内的射影成450角时，a 与α所成的角是14、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，且总保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹为A 、线段B 1C B 、 BB 1中点与CC 1中点连成的线段C 、线段BC 1D 、 BC 中点与B 1C 1中点连成的线段二、解答题15、如图，三棱柱111ABC A B C -中，D 是BC 中点，1D 是11B C 的中点，求证：111||A BD AC D 平面平面A1C1 B1D1 ABC D３16、四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为正方形，侧面PDC 为正三角形，且面PDC ⊥面ABCD ，E 为PC 中点。
高一数学立体几何练习题及答案
高一数学立体几何练习题及答案一、选择题1. 下列哪个图形不是立体图形？A. 立方体B. 圆锥C. 圆柱D. 正方形答案：D2. 已知一个立方体的边长为5cm，求它的表面积和体积分别是多少？A. 表面积：150cm²，体积：125cm³B. 表面积：100cm²，体积：125cm³C. 表面积：150cm²，体积：100cm³D. 表面积：100cm²，体积：100cm³答案：A3. 以下哪个选项可以形成一个正方体？A. 六个相等的长方体B. 一个正方形和一个长方体C. 六个相等的正方形D. 一个正方形和一个正方体答案：C4. 以下哪个图形可以形成一个圆柱？A. 一个正方形和一个长方体B. 一个圆和一个长方体C. 一个长方形和一个长方体D. 一个正方形和一个正方体答案：C5. 以下哪个选项可以形成一个圆锥？A. 一个圆和一个长方体B. 一个圆和一个正方体C. 一个正方形和一个长方体D. 一个正方形和一个正方体答案：B二、填空题1. 已知一个正方体的表面积为96cm²，求它的边长是多少？答案：4cm2. 已知一个圆柱的半径为3cm，高为10cm，求它的表面积和体积分别是多少？答案：表面积：198cm²，体积：90π cm³3. 以下哪个选项可以形成一个长方体？A. 六个相等的正方形B. 一个圆和一个长方形C. 六个相等的长方形D. 一个正方形和一个正方体答案：C三、解答题1. 某长方体的长、宽、高分别为3cm、4cm、5cm，请回答以下问题：（1）它的表面积是多少？（2）它的体积是多少？答案：（1）表面积 = 2(长×宽 + 长×高 + 宽×高)= 2(3×4 + 3×5 + 4×5)= 2(12 + 15 + 20)= 2(47)= 94cm²（2）体积 = 长×宽×高= 3×4×5= 60cm³2. 某圆锥的半径是5cm，高是12cm，请回答以下问题：（1）它的表面积是多少？（2）它的体积是多少？答案：（1）斜面积= π×半径×斜高= π×5×13≈ 204.2cm²（2）体积= (1/3)π×半径²×高= (1/3)π×5²×12≈ 314.2cm³四、解析题某正方体的表面积是96cm²，它的边长是多少？解答：设正方体的边长为x，由表面积的计算公式可得：表面积 = 6x²96 = 6x²16 = x²x = 4所以，该正方体的边长为4cm。
高中数学 第一章 立体几何初步单元质量测评(含解析)新人教B版必修2-新人教B版高一必修2数学试题
第一章 单元质量测评对应学生用书P41 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法中正确的是( ) A ．棱柱的侧面可以是三角形B ．由6个大小一样的正方形所组成的图形是正方体的展开图C ．正方体各条棱长都相等D ．棱柱的各条棱都相等 答案 C解析 根据棱柱的定义可知，棱柱的侧面都是平行四边形，侧棱长相等，但是侧棱和底面内的棱长不一定相等，而正方体的所有棱长都相等．2．中心角为135°，面积为B 的扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为A ，则A∶B 等于( )A ．11∶8 B．3∶8 C．8∶3 D．13∶8 答案 A解析 设扇形的半径为R ，围成的圆锥的底面圆的半径为r ，则扇形弧长l ＝135πR 180＝34πR，又2πr＝34πR，∴r＝38R ，S 扇形＝135π360R 2＝38πR 2，S 圆锥全＝S 底＋S 侧＝πr 2＋S 扇形＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫38R 2＋38πR 2＝3364πR 2，∴S 扇形S 圆锥全＝38πR 23364πR 2＝811，∴A B ＝118， 故选A ．3．一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是( )答案 C解析由几何体的俯视图与左视图的宽度一样，可知C不可能是该锥体的俯视图，故选C．4．给出下列四个命题：①三点确定一个平面；②一条直线和一个点确定一个平面；③若四点不共面，则每三点一定不共线；④三条平行线确定三个平面．正确的结论个数有( )A．1 B．2 C．3 D．4答案 A解析①中不共线的三点确定一个平面；②中一条直线和直线外一点确定一个平面；③中若四点不共面，则每三点一定不共线，故③正确；④中不共面的三条平行线确定三个平面．5．设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若α∥β，l∥α，则l∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β答案 B解析若l∥α，l∥β，则α∥β或α∩β＝m，l∥m，故A错误．若α∥β，l∥α，则l∥β或l在β内，故C错误．若α⊥β，l∥α，则l∥β或l在β内或l⊥β或l与β相交，故D错误．6．体积为27，全面积为54的长方体( )A．必是正方体 B．不存在C．有无穷多个 D．最多只能有三个答案 A解析 设长、宽、高分别为a ，b ，c ，则abc ＝27． 2(ab ＋bc ＋ac)＝54，∴ab＋bc ＋ac ＝abc ． 易知a ＝b ＝c ，故应为棱长为3的正方体．7．如图，平行四边形ABCD 中，AB⊥BD，沿BD 将△ABD 折起，使面ABD⊥面BCD ，连接AC ，则在四面体ABCD 的四个面所在平面中，互相垂直的平面的对数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C解析 ①平面ABD⊥平面BCD ，②平面ABC⊥平面BCD ，③平面ACD⊥平面ABD ． 8．棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时，相应的截面面积分别为S 1，S 2，S 3，则( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 3<S 2<S 1C ．S 2<S 1<S 3D ．S 1<S 3<S 2 答案 A解析 由截面性质可知，设底面积为S ． S S 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫212⇒S 1＝14S ； S S 2＝21⇒S 2＝12S ； S S 3＝3212⇒S 3＝134S ．可知S 1<S 2<S 3，故选A ． 9．夹在两个平行平面间的圆柱、圆锥、球，若它们在平行平面上的正投影是等圆，那么它们的体积之比为( )A ．3∶1∶4 B．9∶3∶4 C ．3∶1∶2 D．1∶2∶3 答案 C解析 它们的高都等于两平行平面间的距离设为h ，圆柱体积V 1，圆锥体积V 2，球体积V 3，正投影的面积为S ，则V 1＝Sh ，V 2＝13Sh ，V 3＝43π⎝⎛⎭⎪⎫S π3＝43S Sπ．又因为h ＝2S π，所以S π＝h 2．所以V 3＝43S·h 2＝23Sh ，所以V 1∶V 2∶V 3＝1∶13∶23＝3∶1∶2．10．已知集合A ，B ，C ，A ＝{直线}；B ＝{平面}，C ＝A∪B，若a∈A，b∈B，c∈C，给出下列命题：①⎩⎪⎨⎪⎧a∥b，c∥b⇒a∥c；②⎩⎪⎨⎪⎧a⊥b，c⊥b⇒a∥c；③⎩⎪⎨⎪⎧a⊥b，c∥b⇒a⊥c．其中正确的命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 B解析 ①当c 为直线时，⎩⎪⎨⎪⎧a∥b，c∥b ⇒a∥c 或a ，c 异面或相交，故①错误．②当c 为平面时，⎩⎪⎨⎪⎧a⊥b，c⊥b⇒a∥c 或a ⊂c ，故②错误．经验证得③正确．11．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的面对角线A 1B 上存在一点P ，使得AP ＋D 1P 最短，则AP ＋D 1P 的最小值为( )A ．2＋ 2B ．2＋62C ．2＋ 2D ．2 答案 A解析 D 1－A 1B －A 展成平面，如图所示，则AD 1即为AP ＋D 1P 的最小值．过D 1作D 1M⊥AA 1的延长线于M ，由∠AA 1D 1＝∠AA 1B ＋∠BA 1D 1＝45°＋90°＝135°，可知∠MA 1D 1＝45°．所以A 1M ＝D 1M ＝22．在Rt△MD 1A 中，AD 1＝MA 2＋MD 21＝ 2＋2．12．三棱锥P －ABC 的高PO ＝8，AC ＝BC ＝3，∠ACB＝30°，M ，N 分别在BC 和PO 上，且CM ＝x ，PN ＝2x(x∈[0，3])，下列四个图象大致描绘了三棱锥N －AMC 的体积V 与x 的变化关系，其中正确的是( )答案 A解析 V ＝13S △AMC ·NO＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12×3x×sin30°· (8－2x)＝－12(x －2)2＋2，x∈[0，3]，故选A ．第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．直线a ，b 分别是长方体相邻两个面上的对角线所在直线，则a 与b 的位置关系为________．答案 相交或异面解析 画一个长方体，则有两直线交于一顶点或两直线异面．14．设A ，B ，C ，D 为球O 上四点，若AB ，AC ，AD 两两互相垂直，且AB ＝AC ＝6，AD ＝2，则A ，D 两点间的球面距离为________．答案2π3解析 由题意知，球O 的直径为以AB ，AC ，AD 为棱的长方体的体对角线，即2R ＝AB 2＋AC 2＋AD 2＝4，即R ＝2，则OA ＝OD ＝AD ＝2，∴△OAD 为正三角形，则∠AOD＝π3，∴A，D 球面距离为2π3．15．如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为________．答案 2 3解析由三视图可知该多面体的直观图如图所示，即图中的四棱锥P －ABCD ，所以最长的一条棱的长为PA ＝PC 2＋AC 2＝PC 2＋AB 2＋BC 2＝23．16．一个正六棱锥的底面边长为2、高为1，则过两条不相邻侧棱所作的截面中，面积最大值为________．答案6解析 如图先计算截面PAD 的面积，由题知h ＝PO ＝1，AD ＝4，∴S △PAD ＝12×1×4＝2，下面计算截面PAC 的面积，连接OB 交AC 于M 点，连接PM ，则PM⊥AC，AC ＝23，BM ＝1，∴OM＝1，∴PM＝PO 2＋OM 2＝12＋12＝2，∴S △PAC ＝12×AC×PM＝12×23×2＝6，6>2，∴S △PAC >S △PAD ，∴填6．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)定线段AB所在直线与定平面α相交，P为直线AB外任一点，且P∉α，直线AP，PB与α交于A′，B′．求证：不论P在什么位置，A′B′过一定点．证明设定线段AB所在直线与定平面α相交于定点O．∵AP，AB相交于点A，∴由AP，AB可确定平面β．∵AP∩α＝A′，PB∩α＝B′，AB∩α＝O，∴A′，B′，O为平面α与平面β的公共点．∴A′，B′，O三点共线，即A′B′过定点O．18．(本小题满分12分)如图，已知平面α∥β，O为α，β外一点，三条射线OA，OB，OC分别交β于A，B，C，交α于A1，B1，C1．(1)求证：△ABC∽△A1B1C1；(2)若OA＝a，AA1＝b，B1C1＝c，求BC的长．解(1)证明：因为α∥β，平面AOB∩α＝A1B1，平面AOB∩β＝AB，所以A1B1∥AB，所以OA1OA＝OB1OB＝A1B1AB，同理B1C1∥BC，所以OB1OB＝OC1OC＝B1C1BC．同理，A1C1∥AC，OA1OA＝OC1OC＝A1C1AC，所以A1B1AB＝B1C1BC＝C1A1CA．所以△ABC∽△A1B1C1．(2)由(1)知，OA1OA＝B1C1BC，又因为OA1＝OA－AA1＝a－b，∴a－ba＝cBC，∴BC＝aca－b．19．(本小题满分12分)如图所示的四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，E为PC的中点，求证：(1)PA∥平面BDE；(2)平面PAC⊥平面PBD．证明(1)连接AC交BD于点O，连接OE．∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO．∵E为PC的中点，∴EO∥PA．∵PA⊄平面BDE，EO⊂平面BDE，∴PA∥平面BDE．(2)∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD，∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC．∵AC∩PA＝A，∴BD⊥平面PAC，∵BD⊂平面PBD，∴平面PAC⊥平面PBD．20．(本小题满分12分)如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，∠C1CB＝∠C1CD ＝∠BCD＝60°．(1)求证：C1C⊥BD；(2)当CDCC1的值为多少时，可使A1C⊥平面C1BD?解(1)证明：连接A1C1，AC，设AC和BD交于点O，连接C1O．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BC＝CD．又∵∠BCC1＝∠DCC1，C1C是公共边，∴△C1BC≌△C1DC，∴C1B＝C1D．∵DO＝OB，∴C1O⊥BD．又∵AC∩C1O＝O，∴BD⊥平面ACC1A1．又∵C1C⊂平面ACC1A1，∴C1C⊥BD．(2)由(1)知BD⊥平面ACC1A1．∵A1C⊂平面ACC1A1，∴BD⊥A1C．当CDCC1＝1时，平行六面体的六个面是全等的菱形．同理可证BC1⊥A1C．又∵BD∩BC1＝B，∴A1C⊥平面C1BD．21．(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC ＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求证：C1F∥平面ABE；(3)求三棱锥E－ABC的体积．解(1)证明：在三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥底面ABC，所以BB1⊥AB．又因为AB⊥BC，BB1，BC为平面B1BCC1内两条相交直线，所以AB⊥平面B1BCC1，又AB⊂平面ABE，所以平面ABE⊥平面B1BCC1．(2)证明：取AB中点G，连接EG，FG，如图．因为E，F，G分别是A1C1，BC，AB的中点，所以FG∥AC，且FG ＝12AC ，EC 1＝12A 1C 1．因为AC∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1， 所以FG∥EC 1，且FG ＝EC 1． 所以四边形FGEC 1为平行四边形． 所以C 1F∥EG．又因为EG ⊂平面ABE ，C 1F ⊄平面ABE ， 所以C 1F∥平面ABE ．(3)因为AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，AB⊥BC， 所以AB ＝AC 2－BC 2＝3．所以三棱锥E －ABC 的体积V ＝13S △ABC ·AA 1＝13×12×3×1×2＝33．22．(本小题满分12分)已知某几何体的直观图(图1)与它的三视图(图2)，其中俯视图为正三角形，主视图及左视图是矩形．(1)求该几何体的体积；(2)D 是棱A 1C 1上的一点，若使直线BC 1∥平面AB 1D ，试确定点D 的位置，并证明你的结论； (3)在(2)成立的条件下，求证：平面AB 1D⊥平面AA 1D ．解 由三视图可知该几何为正三棱柱，底面是高为3的正三角形，三棱柱的高h ＝3，(1)底面是高为3的正三角形，易知底面边长为2，word- 11 - / 11 所以底面面积S ＝12×2×3＝3， 所求体积V ＝Sh ＝33．(2)连接A 1B ，且A 1B∩AB 1＝O ，因为正三棱柱侧面是矩形，所以点O 是A 1B 的中点， 解法一：若BC 1∥平面AB 1D ，连接DO ，BC 1⊂平面A 1BC 1，平面AB 1D∩平面A 1BC 1＝DO ，所以BC 1∥DO，所以DO 是△A 1BC 1的中位线，所以D 为A 1C 1的中点．即D 为A 1C 1的中点时，BC 1∥平面AB 1D ．解法二：若D 为棱A 1C 1的中点．连接DO ，所以DO 是△A 1BC 1的中位线．所以BC 1∥DO，又DO ⊂平面AB 1D ，BC 1⊄平面AB 1D ，所以BC 1∥平面AB 1D ．即D 为A 1C 1的中点时，BC 1∥平面AB 1D ．解法三：在△A 1BC 1中，过O 作OD∥BC 1，交A 1C 1于D ，所以OD 为△A 1BC 1的中位线，所以D 为A 1C 1的中点，又DO ⊂平面AB 1D ，BC 1⊄平面AB 1D ，所以C 1B∥平面AB 1D ．即D 为A 1C 1的中点时，BC 1∥平面AB 1D ．(3)证法一：在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，三角形A 1B 1C 1为正三角形，所以B 1D⊥A 1C 1， 又由三棱柱性质知平面A 1B 1C 1⊥平面ACC 1A 1，且平面A 1B 1C 1∩平面ACC 1A 1＝A 1C 1， B 1D ⊂平面A 1B 1C 1，所以B 1D⊥平面AA 1D ，又B 1D ⊂平面AB 1D ，所以平面AB 1D⊥平面AA 1D ．证法二：在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，三角形A 1B 1C 1为正三角形，所以B 1D⊥A 1C 1，又因为AA 1⊥平面A 1B 1C 1，所以AA 1⊥B 1D ．AA 1∩A 1C 1＝A 1，AA 1⊂平面AA 1D ，A 1C 1⊂平面AA 1D ，所以B 1D⊥平面AA 1D ，又B 1D ⊂平面AB 1D ，所以平面AB 1D⊥平面AA 1D ．。
第八章立体几何初步达标检测卷 (含答案)高一数学人教A版(2019)必修第二册
人教版(2019)必修第二册第八章达标检测卷立体几何初步注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下面关于空间几何体的定义或结构特征叙述错误的是（ ） A ．空间中把一个平行四边形按某一方向平移所形成的几何体是四棱柱B ．有两个侧面都是矩形的三棱柱，它的侧棱垂直于底面C ．以直角三角形一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体是圆锥D ．底面是正多边形的棱锥的顶点在底面的射影一定是底面正多边形的中心 2．正四面体的棱长为2，E ，F 分别为BC ，AD 中点，则EF 的长为（ ） A ．2B ．3C ．43-D ．43+3．直角三角形的三边满足a b c <<，分别以a ，b ，c 三边为轴，将三角形旋转一周所得旋转体的体积记为a V 、b V 、C V ，则（ ） A ．c b a V V V << B ．a b c V V V << C ．c a b V V V <<D ．b a c V V V <<4．设m 、n 是两条不同的直线，α是平面，m 、n 不在α内，下列结论中错误的是（ ）A ．m α⊥，n α∥，则m n ⊥B ．m α⊥，n α⊥，则m n ∥C ．m α⊥，m n ⊥，则n α∥D ．m n ⊥，n α∥，则m α⊥5．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CA CB CC ==，CA CB ⊥，1CC ⊥底面ABC ，则异面直线1AB 与BC 所成角的余弦值是（ ）A ．33B ．63C ．22D ．236．如图，圆锥的母线长为4，点M 为母线AB 的中点，从点M 处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周达到B 点，这条绳子的长度最短值为25，则此圆锥的表面积为（ ）A ．4πB ．5πC ．6πD ．8π7．已知一个圆柱的表面积等于侧面积的32，且其轴截面的周长为16，则该圆柱的体积为（ ）此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号A ．8πB ．16πC ．27πD ．36π 8．如图，在矩形ABCD 中，已知22AB AD a ==，E 是AB 的中点，将ADE △沿直线DE 翻折成1A DE △，连接1A C ．若当三棱锥1A CDE -的体积取得最大值时，三棱锥1A CDE -外接球的体积为82π3，则a =（ ）A ．2B ．2C ．22D ．4二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．如图，在棱长均相等的四棱锥P ABCD -中，O 为底面正方形的中心，M ，N 分别为侧棱PA ，PB 的中点，有下列结论正确的有（ ）A ．PD ∥平面OMNB ．平面PCD ∥平面OMNC ．直线PD 与直线MN 所成角的大小为90︒ D ．ON PB ⊥10．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =，截面BDE 与直线PC 平行，与PA 交于点E ，则下列判断正确的是（ ）A ．E 为PA 的中点B ．BD ⊥平面PACC ．PB 与CD 所成的角为π3D ．三棱锥C BDE -与四棱锥P ABCD -的体积之比等于1:4．11．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒，侧面PAD 为正三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，则下列说法正确的是（ ）A ．在棱AD 上存在点M ，使AD ⊥平面PMBB ．异面直线AD 与PB 所成的角为90°C ．二面角P BC A --的大小为45°D ．BD ⊥平面PAC12．如图，在菱形ABCD 中，2AB =，60BAD ∠=︒，将ABD △沿对角线BD 翻折到PBD △位置，连结PC ，则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）A ．PC 与平面BCD 所成的最大角为45︒B ．存在某个位置，使得PB CD ⊥C ．当二面角P BD C --的大小为90︒时，6PC =D ．存在某个位置，使得B 到平面PDC 的距离为3三、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．已知边长为1的菱形ABCD 中，π3A ∠=，则用斜二测画法画出这个菱形的直观图的面积为__________．14．某组合体如图所示，上半部分是正四棱锥P EFGH -，下半部分是长方体ABCD EFGH -．正四棱锥P EFGH -的高为3，2EF =，1AE =，则该组合体的表面积为____________．15．已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个半圆，设圆锥的顶点为V ，A 、B 是底面圆周上的两个不同的动点，给出下列四个判断，其中正确的是_________． ①圆锥的侧面积为4π；②母线与圆锥底面所成角的大小为60°；③VAB △可能为等腰直角三角形；④VAB △面积的最大值为3．16．如图，四棱锥P ABCD -的底面为矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且PA AD =，E ，F 分别是线段P A ，PD 的中点，H 在线段AB 上．若平面PBC ∥平面EFH ，则AH =__________AB ，若4AD =，2AB =，则点D 到平面P AC 的距离为__________．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，S 是11B D 的中点，E ，F ，G 分别是BC ，DC ，SC 的中点，求证：（1）直线EG ∥平面11BDD B ； （2）平面EFG ∥平面11BDD B ．18．（12分）如图，四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，2AB=，6 PD=，O为AC与BD的交点，E为棱PB上一点．（1）证明：平面EAC⊥平面PBD；（2）若PD∥平面EAC，求三棱锥P EAD-的体积．19．（12分）如图，等腰直角三角形ABC的直角边2AC BC==，沿其中位线DE将平面ADE折起，使平面ADE⊥平面BCDE，得到四棱锥A BCDE-，设CD，BE，AE，AD的中点分别为M N P Q，，，．（1）求证：M N P Q，，，四点共面；（2）求证：平面ABC⊥平面ACD；（3）求异面直线BE与MQ所成的角．20．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面是边长为a 的正方形，侧棱PD a =，2PA PC a ==．（1）求证：PD ⊥平面ABCD ； （2）求证：平面PAC ⊥平面PBD ； （3）求二面角P BC D --的平面角的大小．21．（12分）如图①，ABC △是以AC 为斜边的等腰直角三角形，BCD △是等边三角形，1AB =，如图②，将BCD △沿BC 折起使平面BCD ⊥平面,,ABC E M 分别为,BC BD 的中点，点F 在棱AC 上，且3AF FC =，点N 在棱AC 上，且38CN CA =．（1）在棱BC 上是否存在一点G ，使平面MNG ∥平面DEF ？若存在，求CGGB的值；若不存在，请说明理由； （2）求点F 到平面ABD 的距离．22．（12分）在正方体1AC 中，E ，F 分别为11D C ，11B C 的中点，ACBD P =，11A C EF Q =，如图．（1）若1A C 交平面EFBD 于点R ，证明：P ，Q ，R 三点共线；（2）线段AC 上是否存在点M ，使得平面11B D M ∥平面EFBD ，若存在，确定M 的位置；若不存在，请说明理由．人教版(2019)必修第二册第八章达标检测卷答 案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D【解析】对于A ，由四棱柱的定义：空间中把一个平行四边形按某一方向平移所形成的几何体是四棱柱，故A 正确；对于B ，根据直线与平面的判定定理，得到这两个侧面的交线垂直于底面，是真命题，故B 正确；对于C ，由圆锥的定义：以直角三角形一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体是圆锥，故C 正确；对于D ，底面是正多边形的棱锥的顶点在底面的射影不一定是底面正多边形的中心，故D 错误， 故选D ． 2．【答案】A【解析】如题所示：连接AE ，DE ， 因为DB DC =，E 为BC 的中点， 所以DE BC ⊥，所以2213DE =-=， 同理3AE =．又因为AE DE =，F 为AD 的中点，所以EF AD ⊥， 所以()2312EF =-=，故选A ．3．【答案】A 【解析】直角三角形的三边满足a b c <<，分别以a ，b ，c 三边为轴，将三角形旋转一周所得旋转体的体积记为a V 、b V 、c V ，22111πππ333a V b a ab b ab ∴=⨯⨯⨯==⨯，22111πππ333b V a b a b a ab =⨯⨯⨯==⨯，该直角三角形斜边上的高h 满足1122ab ch =，可得abh c=， 222111πππ333c ab a b ab V c ab c c c ⎛⎫=⨯⨯⨯=⋅=⨯ ⎪⎝⎭，0ab ab bc b c c --=<，ab a b c∴<<，c b a V V V ∴<<，故选A ． 4．【答案】D【解析】对于A ，n α∥，由线面平行的性质定理可知，过直线n 的平面β与平面α的交线l 平行于n ，m α⊥，l α⊂，m l ∴⊥，m n ∴⊥，故A 正确；对于B ，若m α⊥，n α⊥，由直线与平面垂直的性质，可得m n ∥，故B 正确； 对于C ，若m α⊥，m n ⊥，则n α∥或n α⊂， 又n α⊄，//n α∴，故C 正确；对于D ，若m n ⊥，n α∥，则m α∥或m 与α相交或m α⊂， 而m α⊄，则m α∥或m 与α相交，故D 错误， 故选D ． 5．【答案】A【解析】在三棱柱111ABC A B C -中，11BC B C ∥，∴异面直线1AB 与BC 所成的角为11AB C ∠或其补角，连接1AC ，1CC ⊥底面ABC ，CB ⊂平面ABC ，1CC CB ∴⊥，又CA CB ⊥，1CACC C =，CB ∴⊥平面11ACC A ，又1AC ⊂平面11ACC A ，1CB AC ∴⊥，由11CB B C ∥，可得111B C AC ⊥，CA CB ⊥，2AB ∴=，又111BB CC ==，13AB ∴=，∴在11AB C Rt △中，1111113cos 33B C AB C AB ∠===， 即异面直线1AB 与BC 所成角的余弦值为33，故选A ．6．【答案】B【解析】设底面圆半径为r ，由母线长4l =，可知侧面展开图扇形的圆心角为2ππ2r rl α==， 将圆锥侧面展开成一个扇形，从点M 拉一绳子围绕圆锥侧面转到点B ，最短距离为BM ； 如图，在ABM △中，25MB =2AM =，4AB =， 所以222AM AB MB +=，所以π2MAB ∠=， 故2ππ2r α==，解得1r =， 所以圆锥的表面积为2ππ5πS rl r =+=，故选B ． 7．【答案】B【解析】设圆柱的底面半径为R ，高为h ， ∵圆柱的侧面积等于表面积的23，且其轴截面的周长是16， ∴()22π2π32416Rh R h R h R ⎧=⨯+⎪⎨⎪+=⎩，解得24R h =⎧⎨=⎩， ∴圆柱的体积为2π16πV R h ==，故选B ．8．【答案】B【解析】在矩形ABCD 中，已知22AB AD a ==，E 是AB 的中点， 所以1A DE △为等腰直角三角形， 斜边DE 上的高为221112222A K DE a a a==+=， 要想三棱锥1A CDE -的体积最大，需高最大， 则平面1A DE ⊥面BCDE 时体积最大，此时1A K ⊥平面DEBC ，三棱锥1A CDE -的高等于122A K a =， 因为三棱锥1A CDE -外接球的体积为82π3，可得3482ππ33R =， 解得2R =，取DC 的中点H ，连接HE ，1HA ，HK ，由1A K ⊥平面DEBC ，得KH ⊂平面DEBC ，∴1A K HK ⊥， 由已知HDAE 是正方形，HA DE ⊥，且HA 与DE 平分于K ， ∴22222211A H A K KH AK KH DK KH HD HE HC =+=+=+===，H 即为1A DEC -外接球球心，∴2HD =，即2a =，故选B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．【答案】ABD【解析】选项A ，连接BD ，显然O 为BD 的中点， 又N 为PB 的中点，所以PD ON ∥，由线面平行的判定定理可得PD ∥平面OMN ；选项B ，由M ，N 分别为侧棱PA ，PB 的中点，得MN AB ∥，又底面为正方形，所以MN CD ∥，由线面平行的判定定理可得，CD ∥平面OMN ， 又选项A 得PD ∥平面OMN ，由面面平行的判定定理可得，平面PCD ∥平面OMN ；选项C ，因为MN CD ∥，所以PDC ∠为直线PD 与直线MN 所成的角， 又因为所有棱长都相等，所以60PDC ∠=︒，故直线PD 与直线MN 所成角的大小为60︒；选项D ，因底面为正方形，所以222AB AD BD +=，又所有棱长都相等，所以222PB PD BD +=，故PB PD ⊥， 又PD ON ∥，所以ON PB ⊥，故ABD 均正确． 10．【答案】ABD【解析】对于A ，连接AC 交BD 于点M ，连接EM ，如图所示，PC ∥面BDE ，PC ⊂面APC ，且面APC面BDE EM =，PC EM ∴∥，又四边形ABCD 是正方形，M ∴为AC 的中点，E ∴为PA 的中点，故A 正确；对于B ，PA ⊥面ABCD ，BD ⊂面ABCD ，PA BD ∴⊥，又AC BD ⊥，ACPA A =，AC ，PA ⊂面PAC ，BD ∴⊥面PAC ，故B 正确；对于C ，AB CD ∥，PBA ∴∠为PB 与CD 所成的角，PA ⊥面ABCD ，AB ⊂面ABCD ，PA AB ∴⊥，在PAB Rt △中，PA AB =，4πPBA ∴∠=，故C 错误； 对于D ，由等体积法可得13C BDE E BCDBCD V V S EA --==⋅⋅，13P ABCDABCD V S PA -=⋅⋅， 又12BCD ABCD S S =，2PA EA =，14C BDE P ABCD V V --∴=，故D 正确，故选ABD ． 11．【答案】ABC【解析】如图，对于A ，取AD 的中点M ，连接PM ，BM ， ∵侧面PAD 为正三角形，PM AD ∴⊥，又底面ABCD 是菱形，60DAB ∠=︒，ABD ∴△是等边三角形，AD BM ∴⊥，又PMBM M =，PM ，BM ⊂平面PMB ，AD ∴⊥平面PBM ，故A 正确；对于B ，AD ⊥平面PBM ，AD PB ∴⊥，即异面直线AD 与PB 所成的角为90°，故B 正确； 对于C ，∵平面PBC平面ABCD BC =，//BC AD ，BC ∴⊥平面PBM ，BC PB ∴⊥，BC BM ⊥，PBM ∴∠是二面角P BC A --的平面角，设1AB =，则32BM =，32PM =， 在PBM Rt △中，tan 1PMPBM BM∠==，即45PBM ∠=︒， 故二面角P BC A --的大小为45°，故C 正确；对于D ，因为BD 与PA 不垂直，所以BD 与平面PAC 不垂直，故D 错误， 故选ABC ． 12．【答案】BC 【解析】如图所示：A 项：取BD 的中点O ，连接OP 、OC ， 因为四边形ABCD 是菱形，O 是线段BD 的中点， 所以OP BD ⊥，OC BD ⊥，OPOC O =，BD ⊥平面POC ，BD ⊂平面BCD ，所以POC ⊥平面BCD ，所以POC 平面BCD OC =，所以PC 在平面BCD 的射影为OC ，PCO ∠即PC 与平面BCD 所成角，PO OC =，三角形POC 是等腰三角形，当60POC ∠=︒时，PC 与平面BCD 所成角为60︒，故A 错误； B 项：当PD PC =时，取CD 的中点N ，可得CD PN ⊥，CD BN ⊥，故CD ⊥平面PBN ，PB CD ⊥，故B 正确； C 项：因为四边形ABCD 是菱形，O 是线段BD 的中点， 所以PO BD ⊥，CO BD ⊥，因为BD 是平面PBD 与平面CBD 的交线， 所以POC ∠即平面PBD 与平面CBD 所成角，因为二面角P BD C --的大小为90︒，所以90POC ∠=︒， 因为3PO OC ==，所以6PC =，故C 正确；D 项：因为3BN =，所以如果B 到平面PDC 的距离为3， 则BN ⊥平面PCD ，2PB =，3BN =，1PN =，1DN =，则2PD =，显然不可能，故D 错误，故选BC ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】68【解析】菱形ABCD 中，1AB =，π3A ∠=， 则菱形的面积为π132211sin 23ABD ABCD S S ==⨯⨯⨯⨯=△菱形， 所以用斜二测画法画出这个菱形的直观图面积为3622222ABCD S S ===．14．【答案】20【解析】由题意，正四棱锥P EFGH -312+=， 该组合体的表面积为122421422202⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=． 15．【答案】②④【解析】如图，设O 为底面圆的圆心，则VO 为圆锥的高． 设圆锥的母线为l ，由底面半径为1，所以底面圆的周长为2π，其侧面展开图是一个半圆，则此半圆的半径为l ，此半圆的半圆弧长π2πl =， 所以2l =，所以侧面展开图的面积为21π2π2l =，所以①不正确；由圆锥的性质可知VA 与圆锥底面所成角为VAO ∠，则1cos 2OA VAO VA ∠==， 所以60VAO ∠=︒，所以②正确；在VAB △中，2VA VB ==，2AB ≤，VAB △不可能为直角三角形，所以③不正确；在VAB △中，22228cos 28AV VB AB ABAVB VA VB +--∠==⋅，由2AB ≤，所以1cos 2AVB ∠≥，所以03πAVB <∠≤， 所以1sin 32VAB S VA VB AVB =⋅∠≤△，所以④正确， 故正确的判断为②④．16．【答案】12，455【解析】平面//PBC 平面EFH ，面APB平面PBC PB =，面PBA平面EFH EH =， EH PB ∴∥．又E 是线段PA 的中点，H 在线段AB 上，H ∴是AB 的中点，故12AH AB =， 过D 作DM AC ⊥于M ，侧棱PA ⊥底面ABCD ，PA DM ∴⊥，且PAAC A =，DM ∴⊥面PAC ，∴线段DM 的长就是点D 到平面PAC 的距离．在直角三角形ACD 中，AC DM DA DC ⋅=⋅，45525DA DC DM AC ⋅∴===． 故答案为12，45．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】证明：（1）如图，连接SB ，因为E ，G 分别是BC ，SC 的中点， 所以EG SB ∥．又因为SB ⊂平面11BDD B ，EG ⊄平面11BDD B ，所以直线EG ∥平面11BDD B ．（2）连接SD ，因为F ，G 分别是DC ，SC 的中点，所以FG SD ∥． 又因为SD ⊂平面11BDD B ，FG ⊄平面11BDD B ，所以FG ∥平面11BDD B ， 由（1）有直线EG ∥平面11BDD B ， 又EG ⊂平面EFG ，FG ⊂平面EFG ，EG FG G =，所以平面EFG ∥平面11BDD B ．18．【答案】（1）证明见解析；（2）6． 【解析】（1）PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面 ABCD ，AC PD ∴⊥， ∵四边形ABCD 是正方形，AC BD ∴⊥， PD BD D =，AC ∴⊥平面PBD ，AC ⊂平面EAC ，∴平面E AC ⊥平面PBD ． （2）//PD 平面EAC ，平面EAC 平面PBD OE =，//PD OE ∴，O 是BD 中点，E ∴是PB 中点，111166222232P EAD E ABD P BAD V V V ---∴===⨯⨯⨯⨯⨯=．19．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）60︒．【解析】（1）由题意易知：PQ DE ∥，MN DE ∥，所以PQ MN ∥， 所以M N P Q ，，，四点共面．（2）因为平面ADE ⊥平面BCDE ，平面ADE平面BCDE DE =，而AD DE ⊥，所以AD ⊥平面BCDE ，即AD BC ⊥， 又AD BC ⊥，所以BC ⊥平面ACD ，而BC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面ACD ．（3）由条件知1AD =，1DC =，2BC =，延长ED 至R ，使DR ED =，延长ED 至R ，使DR ED =，则ER BC =，ER BC ∥，故ERCB 为平行四边形，所以RC EB ∥，又AC QM ∥，所以ACR ∠为异面直线BE 与QM 所成的角（或补角）． 因为DA DC DR ==，且三线两两互相垂直，由勾股定理得 2AC AR RC ===因为三角形ACR 为正三角形，所以60ACR ∠=︒． 所以异面直线BE 与MQ 所成的角为60︒．20．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）45︒． 【解析】（1）PD a =，DC a =，2PC a =，222PC PD DC ∴=+，PD DC ∴⊥．同理可证PD AD ⊥，AD DC D =，PD ∴⊥平面ABCD ．（2）由（1）知PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，PD AC ∴⊥，∵四边形ABCD 是正方形，AC BD ∴⊥． 又BD PD D =，AC ∴⊥平面PBD ．又AC ⊂平面PAC ，∴平面PAC ⊥平面PBD ．（3）由（1）知PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，PD BC ∴⊥． 又BC DC ⊥，PD DC D =，BC ∴⊥平面PDC ，PC ⊂平面PDC ，BC PC ∴⊥， PCD ∴∠为二面角P BC D --的平面角．在PDC Rt △中，PD DC a ==，45PCD ∴∠=︒， ∴二面角P BC D --的平面角的大小为45︒． 21．【答案】（1）存在点G 满足题意，3GG GB=；（2）33．【解析】（1）存在点G 满足题意，3CGGB=， 证明如下：如图，取BE 的中点G ，连接,MG NG ， 因为BG GE =，DM MB =，所以MG DE ∥． 又MG ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ， 所以MG ∥平面DEF ．因为3AF FC =，所以14FC CA =，所以124338CA FC CN CA ==，又23CE CG =，所以CE FCCG CN=，所以EF GN ∥． 又EF ⊂平面DEF ，GN ⊄平面DEF ，所以GN ∥平面DEF ． 因为MGGN G =，所以平面MNG ∥平面DEF ，所以3CGGB=． （2）如图，连接BF ，因为平面BCD ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，平面ABC 平面BCD BC =，所以AB ⊥平面BCD ． 又BD ⊂平面BCD ，所以AB BD ⊥． 同理，DE ⊥平面ABC ，所以 1122ABD S AB BD =⨯=△，33134428ABF ABC S S AB BC ==⨯⨯=△△． 由题得32DE =，设点F 到平面ABD 的距离为d ， 由F ABD D ABF V V --=，得1133ABD ABF S d S DE ⋅=⋅△△， 所以33338212ABF ABD S DE d S ⋅⋅===△△，即点F 到平面ABD 的距离为33．22．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，M 为AP 中点．【解析】（1）证明：∵在正方体1AC 中，E ，F 分别为11D C ，11B C 的中点，ACBD P =，11A C EF Q =，1A C 交平面EFBD 于点R ，∴P ，Q ，R 是平面BDEF 和平面11BDD B 的公共点， ∴P ，Q ，R 三点共线．（2）存在点M 为AP 中点，使平面11B D M ∥平面EFBD ．证明如下：取AD 中点G ，AB 中点H ，连接GH ，交AC 于点M ， 连接1D G ，1B H ，如图：由题意得，GH EF ∥，因为GH ⊂平面11GHB D ，EF ⊄平面11GHB D ， 所以EF ∥平面11GHB D ，因为1B H DE ∥，同理可证，DE ∥平面11GHB D ， 又因为EFDE E =，由面面平行的判定定理可得，∴平面11GHB D ∥平面BDEF ，∴线段AC 上存在点M ，使得平面11B D M ∥平面EFBD ，且M 为AP 中点．。
高一数学立体几何初步试题答案及解析
高一数学立体几何初步试题答案及解析1.下面四个说法中，正确的个数为（）（1）如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合（2）两条直线可以确定一个平面（3）若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l（4）空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合或者是相交，故（1）不正确；两条异面直线不能确定一个平面，故（2）不正确；若M∈α，M∈β，α∩β=l，则M∈l，故（3）正确；空间中，相交于同一点的三直线不一定在同一平面内，故（4）不正确，综上所述只有一个说法是正确的，故选A．【考点】本题主要考查平面的基本性质及推论。
点评：理解并记忆，能结合身边的点线面关系加以说明。
2.两等角的一组对应边平行，则（）A．另一组对应边平行B．另一组对应边不平行C．另一组对应边也不可能垂直D．以上都不对【答案】D【解析】两等角的一组对应边平行，另一组对应边由多种情况，如平行、相交、异面等，关系D。
【考点】本题主要考查直线的位置关系。
点评：视野要开阔，考虑多种可能情况。
3.若三个平面把空间分成6个部分，那么这三个平面的位置关系是（）A．三个平面共线；B．有两个平面平行且都与第三个平面相交；C．三个平面共线，或两个平面平行且都与第三个平面相交；D．三个平面两两相交。
【答案】C【解析】考虑三个平面的多种位置关系，对选项一一考查，三个平面共线，或两个平面平行且都与第三个平面相交时，三个平面把空间分成6个部分，关系C。
【考点】本题主要考查点、线、面间的关系。
点评：考虑三个平面的多种位置关系，借助于身边的面面关系。
4.圆锥的侧面展开图是直径为a的半圆面，那么此圆锥的轴截面是（）A．等边三角形B．等腰直角三角形C．顶角为30°的等腰三角形D．其他等腰三角形【答案】A【解析】因为圆锥的侧面展开图是直径为a的半圆面，所以圆锥母线长为，圆锥底半径，所以此圆锥的轴截面是等边三角形，故选A。
立体几何测试题(共10篇)
立体几何测试题(共10篇)立体几何测试题（一）: 立体几何问题立体几何试题已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为D1C1、C1B1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求证：（1）D、B、F、E四点共面；（2）若A1C交平面DBFE于R点,则P、Q、R三点共线.1.EF平行于B1D1,B1D1平行于BD,所以EF平行于BD,EFBD四点共面2.F,D,A,C1属于平面A1ACC1,且AC1与PQ不平行,所以AC1与PQ相交A1C交平面DBFE于R点,又因为PQ属于平面DBFE,所以AC1与PQ相交于R 所以R属于PQ,PQR共线立体几何测试题（二）: 几个书后练习题立体几何1.如果a、b是两条直线,且a‖b,那么a平行于经过b的任何平面.是否正确2.如果a、b是两条直线,且a‖b,那么a平行于经过b的任何平面.为什么不对谢不对,因为a有可能在经过b的面上,不是平行关系立体几何测试题（三）: 一道数学基本的立体几何的题目~在正方形ABCD-A"B"C"D"中,P、Q分别为A"B"、BB"的中点.（1）求直线AP与CQ所成的角的大小（2）求直线AP与BD所成的角的大小我还没学过空间向量,1.取DC中点E,连EC,证明EC平行AP,用余弦定理算2.取AB中点F,连接FB,用余弦定理算【立体几何测试题】立体几何测试题（四）: 求大量立体几何难题!立体几何综合试题（自己画图）1、已知正三棱柱ABC—A1B1C1中,各棱长都相等,D、E分别为AC1,BB1的中点.（1）求证：DE‖平面A1B1C1；（2）求二面角A1—DE—B1的大小.2、已知直三棱柱ABC—A1B1C1,AB＝AC,F为棱BB1上一点,BF∶FB1＝2∶1,BF ＝BC＝2a.（I）若D为BC的中点,E为AD上不同于A、D的任意一点,证明EF⊥FC1；（II）试问：若AB＝2a,在线段AD上的E点能否使EF与平面BB1C1C成60°角,为什么证明你的结论3、在底面是直角梯形的四棱锥中,AD‖BC,∠ABC＝90°,且 ,又PA⊥平面ABCD,AD＝3AB＝3PA＝3a.（I）求二面角P—CD—A的正切值；（II）求点A到平面PBC的距离.4、在直三棱柱ABC—A1B1C1中,CA=CB=CC1=2,∠ACB=90°,E、F分别是BA、BC的中点,G是AA1上一点,且AC1⊥EG.（Ⅰ）确定点G的位置；（Ⅱ）求直线AC1与平面EFG所成角θ的大小.5、已知四棱锥P—ABCD,底面ABCD是菱形,平面ABCD,PD=AD,点E为AB中点,点F为PD中点.（1）证明平面PED⊥平面PAB；（2）求二面角P—AB—F的平面角的余弦值6.在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是正方形A1B1C1D1的中心,点P 在棱CC1上,且CC1=4CP.(Ⅰ)求直线AP与平面BCC1B1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；(Ⅱ)设O点在平面D1AP上的射影是H,求证：D1H⊥AP；(Ⅲ)求点P到平面ABD1的距离.7、在四棱锥中,底面ABCD是正方形,侧棱底面ABCD,,E是PC的中点,作交PB于点F.(I)证明平面；(II)证明平面EFD；(III)求二面角的大小.8、已知在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中,点E是棱BC的中点,点F是棱CD上的动点.（I）试确定点F的位置,使得D1E⊥平面AB1F；（II）当D 1E⊥平面AB1F时,求二面角C1—EF—A的大小（结果用反三角函数值表示）.9、直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是梯形,AB‖CD,AD⊥DC,CD=2,DD1=AB=1,P、Q分别是CC1、C1D1的中点.点P到直线AD1的距离为⑴求证：AC‖平面BPQ⑵求二面角B-PQ-D的大小10、已知长方体ABCD—A1B1C1D1中,AB=BC=4,AA1=8,E、F分别为AD和CC1的中点,O1为下底面正方形的中心.（Ⅰ）证明：AF⊥平面FD1B1；（Ⅱ）求异面直线EB与O1F所成角的余弦值；这些题应该还可以!你来试试吧!题不要求多就精就可以了!不懂的或不会做的,我来帮你解答!立体几何测试题（五）: 立体几何初步练习题已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M,N分别是棱B1C1,C1D1,A1B1,D1A1的中点,求证（1）MN平行于DEF,(2)平面AMN平行于平面CEF(1)连接B1D1因为MN、EF为三角形A1B1D1、B1C1D1的中位线,所以MN平行于EF因为MN不属于面DEF,EF属于面DEF所以MN平行于面DEF(2)这题题目错了吧,应该是DEF吧立体几何测试题（六）: 解析几何基础知识练习题靠!一楼的那么多废话那么多选择题：集合,函数（图像）,立体几何,圆锥一、数学命题原则 1．普通高等学校招生数学科的考试,按照“考查基础知识的【立体几何测试题】立体几何测试题（七）: 高一必修二立体几何习题1-7的题仓库的房顶呈正四棱锥形,量的地面的边长为2.6m,侧棱长2.1m,先要在房顶上铺一层油毡纸,问：需要油毡纸的面积多少运用海伦公式房顶为4个相同的三角形海伦公式a=2.6 b=2.1 c=2.1 p=a+b+c/2=3.4S=根号下p*(p-a)*(p-b)*(p-c)=2.1444S=2.144*4=8.576平方米立体几何测试题（八）: 怎么根据题目画数学的立体几何图形搞懂了题目的要求,就照那意思去画,立体几何记住透视很重要.立体几何测试题（九）: 求立体几何判断题的解题方法.①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直②过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行③过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直④过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直⑤……等等,诸如此类.见到很多这样的题目,但是却总找不到解题的方法,概念定理也经常记混.本人感激不尽!记一些模型,例如墙角模型什么的这个很重要.遇见不熟悉的题,用书本和笔（手指也可以）比划一下.这种题目主要是找反例!想象力也很重要啦……立体几何测试题（十）: 一道高中立体几何的题目.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=4,O1是底面A1B1C1D1的中心.E 是CO1上的点,设CE等于X,四棱锥E-ABCD的体积为y,求y关于X的函数关系式..图只有自己画一下了,做EF垂直于平面ABCD 垂足为F易得出CEF相似于O1CC1因为C1O1=根号2 CC1=4 得CO1=3根号2CE/CO1=EF/CC1 得出EF=4X/3根号2Y=底面积*EF/3=4*4X/9根号2Y=8根号2*X/9职高立体几何测试题空间立体几何测试题。
高一立体几何初步测试题及答案
高一立体几何初步测试题及答案1.在空间四点中，无三点共线是四点共面的（充分不必要条件）。
2.若a∥b，b∩c=A，则a,c的位置关系是（相交直线或异面直线）。
3.圆锥的侧面展开图是直径为a的半圆面，那么此圆锥的轴截面是（等腰直角三角形）。
4.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，左视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形，则该几何体的体积为（64）。
5.长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（50π）。
6.已知正方体外接球的体积是π，那么正方体的棱长等于（3）。
7.若l、m、n是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（若α⊥β,l∈α,n∈β，则l⊥n）。
8.如图，在正方体ABCD-A' B' C' D'中，E，F，G，H分别为AA'，AB，BB'，B'C'的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于（90°）。
9.已知两个平面垂直，其中正确的命题数量是（2）。
10.平面α与平面β平行的条件可以是（直线a//α,a//β）。
三、简答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分）1.如何确定一个圆锥的侧面展开图？答：将圆锥展开，使其侧面展开为一段扇形，然后将扇形展开成一个直角三角形，即可得到圆锥的侧面展开图。
2.如何确定一个几何体的三视图？答：俯视图是从正上方看几何体，可以看到几何体的顶面和底面；正视图是从正前方看几何体，可以看到几何体的前面和后面；左视图是从正左方看几何体，可以看到几何体的左面和右面。
通过这三个视图，可以确定一个几何体的形状和尺寸。
3.如何判断两个平面是否平行？答：如果两个平面的法向量平行，则这两个平面平行。
也可以通过判断它们的交线是否平行来确定两个平面是否平行。
4.如何判断两条直线是否相交？答：如果两条直线的方向向量不平行，则它们相交；如果两条直线的方向向量平行但不重合，则它们异面直线；如果两条直线的方向向量重合，则它们可能重合也可能平行。
高一数学(必修2)立体几何初步测试题
高一数学（必修2）立体几何初步测试题一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分) 1、以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是（ ）A 、球的三视图总为全等的圆B 、正方体的三个视图总是三个全等的正方形C 、水平放置的正四面体的三个视图都是正三角形D 、水平放置的圆台的俯视图是一个圆2、直线a 、b 、c 满足a ∥b ，b ⊥c,则a 与c 的关系是（ ） A 、异面直线 B 、平行直线 C 、垂直 D 、相交 3．下列说法正确的是A 、三点确定一个平面B 、四边形一定是平面图形C 、梯形一定是平面图形D 、平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点4、一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 45，腰和上底边均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是 （ ）A 、2221+ B 、 22+ C 、 21+ D 、 221+5、一个体积为38cm 的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是A 、28cm πB 、212cm πC 、216cm πD 、220cm π 6、垂直于同一条直线的两条直线一定A 、平行B 、相交C 、异面D 、以上都有可能 7、在正方体1111ABCD A BC D -中，下列几种说法正确的是A 、11AC AD ⊥B 、11DC AB ⊥ C 、1AC 与DC 成45角 D 、11AC 与1BC成60 角8、将一个边长为a 的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了 A 、26aB 、12a 2C 、18a 2D 、 24a 29、设γβα,,是三个不重合的平面，l 是直线，给出下列命题①若γββα⊥⊥,，则γα⊥；②若l 上两点到α的距离相等，则α//l ；B 1C 1A 1D 1BACD ③若βαβα⊥⊥则,//,l l ④若.//,//,,//βαββαl l l 则且⊄其中正确的命题是 （ ）A 、①②B 、②③C 、②④D 、③④10、圆柱的一个底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是（ ）A 、S πB 、S π2C 、S π4D 、S π332 二、填空题: (本大题共4小题，每小题4分，共16分)11、等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是S 球_____S 正方体(填”大于、小于或等于”).12、正方体1111ABCD A BC D -中，平面11AB D 和平面1BC D 的位置关系为 13、已知PA 垂直平行四边形ABCD 所在平面，若PC BD ⊥，平行则四边形ABCD 一定是 .14、如图，在直四棱柱A 1B 1C 1 D 1－ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件_________时，有A 1 B ⊥B 1 D 1．(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形.) 三、解答题:15、已知圆台的上下底面半径分别是2、5,且侧面面积等于两底面面积之和,求该圆台的母线长.16、已知ABC ∆中90ACB ∠=，SA ⊥面ABC ，AD SC ⊥，求证：AD ⊥面SBC ．SDB A17、如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点。
高一立体几何初步测试题及答案必修2
《立体几何初步》测试题一、选择题（本大题共10小题；每小题6分；共60分）1. 在空间四点中；无三点共线是四点共面的是（ ）2. 若a ∥b ；A c b =⋂；则c a ,的位置关系是（ ）A.异面直线B.相交直线C.平行直线3．圆锥的侧面展开图是直径为a 的半圆面；那么此圆锥的轴截面是 （ ）A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．顶角为30°的等腰三角形D ．其他等腰三角形4. 已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形；正视图是 一个底边长为8、高为4的等腰三角形；左视图是一个底边 长为6、高为4的等腰三角形．则该几何体的体积为（ ）A 48B 64C 96D 1925. 长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5；且它的8个顶点都在同一球面上；则这个球的表面积是（ ）A ．25πB ．50πC ．125πD ．都不对6. 已知正方体外接球的体积是323π；那么正方体的棱长等于 （ ）A 22 B233 C 423D 4337. 若l 、m 、n 是互不相同的空间直线；α、β是不重合的平面；则下列命题中为真命题的是（ ）A ．若//,,l n αβαβ⊂⊂；则//l nB ．若,l αβα⊥⊂；则l β⊥ C. 若,//l l αβ⊥；则αβ⊥ D ．若,l n m n ⊥⊥；则//l m8. 如图；在正方体1111ABCD A B C D -中；E F G H ，，， 分别为1AA ；AB ；1BB ；11B C 的中点；则异面直线EF 与 GH 所成的角等于（ ） Ａ．45° Ｂ．60° Ｃ．90° Ｄ．120°9. 已知两个平面垂直；下列命题①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线； ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线； ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线；则垂线必垂直于另一个平面. 其中正确的个数是（ ） A.3 B.2 C.110. 平面α与平面β平行的条件可以是（ ）A.α内有无穷多条直线与β平行；B.直线a//α；a//βC.直线a α⊂；直线b β⊂；且a//β；b//αD.α内的任何直线都与β平行二、填空题（本大题共6小题；每小题5分；共30分）11. 直观图（如右图）中；四边形O ′A ′B ′C ′为 菱形且边长为2cm ；则在xoy 坐标中四边形ABCD 为 _ ____；面积为______cm 2．12. 长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中；AB=2；BC=3；AA 1=5；则一只小虫从A 点沿长方体的表面爬到C 1点的最短距离是 ．13. 已知直线b//平面α；平面α//平面β；则直线b 与β的位置关系为 .14. 正方体的内切球和外接球的半径之比为＿＿＿＿＿15. 如图；△ABC 是直角三角形；∠ACB=︒90；PA ⊥平面ABC ；此图形中有 个直角三角形16. 将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A －BD －C ；有如下四个结论：（1）AC ⊥BD ； （2）△ACD 是等边三角形（3）AB 与平面BCD 所成的角为60°；（4）AB 与CD 所成的角为60°。
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第1章 立体几何初步 综合检测
(时间：120分钟；满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列命题中，正确的是( )
A ．经过不同的三点有且只有一个平面
B ．分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线
C ．垂直于同一个平面的两条直线是平行直线
D ．垂直于同一个平面的两个平面平行
2．有一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm)，则该几何体的表面积及体积
为( )
A ．24π cm 2,12π cm 3
B ．15π cm 2,12π cm 3
C ．24π cm 2,36π cm 3
D ．以上都不正确
3．若正四棱锥的侧面是正三角形，则它的高与底面边长之比为( )
A ．1∶2
B ．2∶1
C ．1∶ 2 D.2∶1
4．如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
5．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是( )
A ．2πR 2
B.94πR 2
C.83πR 2
D.52
πR 2 6．在正四面体P －ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，下面四个结论中不成立的是
( )
A ．BC ∥面PDF
B ．DF ⊥面P AE
C ．面PDE ⊥面ABC
D ．面P A
E ⊥面ABC
7．在纬度为α的纬线圈上有A ，B 两点，这两点间的纬线圈上的弧长为πR cos α，其中R 为地球半径，则这两点间的球面距离是( )
A.⎝⎛⎭⎫π2－2αR
B.⎝⎛⎭⎫π2－αR C ．(π－2α)R D ．(π－α)R
8．正方体的外接球与内切球的球面面积分别为S 1和S 2则( )
A ．S 1＝2S 2
B ．S 1＝3S 2
C ．S 1＝4S 2
D ．S 1＝23S 2
9．棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时，相应的截面面积分别为S 1、S 2、S 3，则( )
A ．S 1<S 2<S 3
B ．S 3<S 2<S 1
C ．S 2<S 1<S 3
D ．S 1<S 3<S 2
10．平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等，且∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝∠BAD ＝60°，则对角面B 1BDD 1是
( )
A ．平行四边形
B ．菱形
C ．矩形
D ．正方形
11．一个正四棱台(上、下底面是正方形，各侧面均为全等的等腰梯形)的上、下底面的边长分别为a ，b ，高为h ，且侧面积等于两底面积之和，则下列关系正确的是( )
A.1h ＝1a ＋1b
B.1h ＝1a ＋b
C.1a ＝1b ＋1h
D.1b ＝1a ＋1h
12. 如图所示，三棱锥P －ABC 的高PO ＝8，AC ＝BC ＝3，∠ACB ＝30°，M 、N 分别在BC 和PO 上，且CM ＝x ，PN ＝2x (x ∈[0,3])，下列四个图象大致描绘了三棱锥N －AMC 的体积V 与x 的变化关系，其中正确的是( )
二、填空题(本大题共4小题，请把答案填在题中横线上)
13．若一个底面边长为62
，侧棱长为6的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，则此球的体积为________． 14．一根细金属丝下端挂着一个半径为1 cm 的金属球，将它浸没在底面半径为2 cm 的圆柱形容器内的水中，现将金属丝向上提升，当金属球全部被提出水面时，容器内的水面下降的高度是________cm.
15．如果规定：x ＝y ，y ＝z ，则x ＝z 叫做x 、y 、z 关于等量关系具有传递性，那么空间三直线a 、b 、c 关于相交、垂直、平行、异面、共面这五种关系具有传递性的是________．
16．点M 是线段AB 的中点，若点A 、B 到平面α的距离分别为4 cm 和6 cm ，则点M 到平面α的距离为________．
三、解答题(本大题共6小题，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为D 1C 1，C 1B 1的中点，AC ∩BD ＝P ，A 1C 1∩EF
＝Q .求证：
(1)D ，B ，E ，F 四点共面；
(2)若A
1C 交平面BDEF 于R 点，则P ，Q ，R 三点共线．
18．一球内切于圆锥，已知球和圆锥的底面半径分别为r ，R ，求圆锥的体积．
19．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、CD 的中点，设AA 1＝2，求三棱锥F －A 1ED 1的体积．
20. 如图△ABC 中，AC ＝BC ＝22AB ，四边形ABED 是边长为a 的正方形，平面ABED ⊥平面ABC ，若G 、F 分别是EC 、BD 的中点．
(1)求证：GF ∥平面ABC ；
(2)求证：平面EBC ⊥平面ACD ；
(3)求几何体ADEBC 的体积V .
21．如图是一个直三棱柱(以A 1B 1C 1为底面)被一平面所截得到的几何体，截面为ABC .已知A 1B 1＝B 1C 1＝1，∠
A1B1C1＝90°，AA1＝4，BB1＝2，CC1＝3.设点O是AB的中点，求证：OC∥平面A1B1C1.
22．如图所示的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出(单位：cm)．
(1)按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；
(2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积；
(3)在所给直观图中连接BC′，求证：BC′∥面EFG.。