18.1线性规划问题的有关概念
18.1线性规划问题的有关概念
§18.1 线性规划问题的有关概念教学目标：1.了解二元线性规划问题的共同特征：（1）存在两个决策变量，通常实际情况中这些变量的取值是非负的（2）存在若干个约束条件，可以用一组等式或不等式来描述(3)存在一个线性目标函数，按实际问题求最大值和最小值;2.了解线性规划的分类：（1）如何利用有限的资源，使其产生最大的效益（2）如何制定最佳方案，以尽可能少的资源完成所要做的事情。
.3.通过对例题1与练习2的思考，渗透健康合理饮食。
教学重点：1.线性规划问题的相关概念；2.根据数学建模思想求出实际问题的线性规划问题模型。
教学难点：根据数学建模思想求出实际问题的线性规划问题模型。
新课讲授：一、探究某建筑公司建造居民小区，若建一栋普通的住宅需投入资金300万元，并占地2002m ，可获利润70万元；若建一栋别墅需投入资金200万元，并占地3002m ，可获得利润60万元。
该公司现有资金9000万元，拍得土地110002m ，问：应作怎样的投资组合，才能获利最多？二、例题讲解例1：某点心店要做甲、乙两种馒头，甲种馒头的主要原料是每3份面粉加2份玉米粉，乙种馒头的主要原料是每4份面粉加1份玉米粉。
这个点心店每天可买进面粉50kg 、玉米粉20kg,做1kg 甲种馒头的利润是5元，做1kg 乙种馒头的利润是4元，那么这个点心店每天各做多少甲、乙两种馒头才能获利最多？解：三、知识链接在上述式子中，我们称,x y 为 ，max =5+4z x y 为 ，3+42502+10000x y x y x y ≤⎧⎪≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩为 。
线性规划问题： ；“m ax ”表示取函数的 ；“m i n ”表示取函数的 ；练习1:某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1 t，需耗A种矿石10 t、B种矿石5 t；生产乙种产品需耗A种矿石4 t、B种矿石4 t.每1 t甲种产品的利润是600元，每1 t乙种产品的利润是1000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过360 t、B种矿石不超过200 t，甲、乙两种产品应各生产多少能使利润总额达到最大？例2某运输公司有8辆载重6t的A型卡车，4辆载重10t的B型卡车，并有9名驾驶员.在建造某段高速公路时，公司承包了每天至少运输沥青180t 的任务。
线性规划知识点
线性规划知识点线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它可以帮助我们在资源有限的情况下，找到最佳的解决方案。
本文将详细介绍线性规划的基本概念、模型构建、求解方法以及应用领域。
一、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，该函数被称为目标函数。
例如，最大化利润或最小化成本。
2. 约束条件：线性规划问题通常有一系列线性约束条件，用于限制变量的取值范围。
例如，生产数量不能超过资源限制。
3. 变量：线性规划问题中的变量是我们要优化的决策变量。
例如，生产的数量或分配的资源。
4. 非负约束：线性规划的变量通常需要满足非负约束，即变量的取值必须大于等于零。
二、模型构建线性规划问题的模型构建包括确定目标函数、约束条件和变量的定义。
下面以一个简单的生产问题为例进行说明。
假设某工厂生产两种产品A和B，每单位产品A的利润为10元，产品B的利润为15元。
工厂拥有两台机器，每台机器每天的工作时间为8小时。
生产一单位产品A需要2小时，生产一单位产品B需要3小时。
工厂希望确定每种产品的生产数量，以最大化总利润。
目标函数：最大化总利润，即10A + 15B。
约束条件：工作时间约束，即2A + 3B ≤ 16。
非负约束：A ≥ 0，B ≥ 0。
三、求解方法线性规划问题可以使用多种方法求解，其中最常用的方法是单纯形法。
单纯形法通过迭代的方式逐步接近最优解，直到找到最优解为止。
单纯形法的基本步骤如下：1. 将线性规划问题转化为标准形式，即将不等式约束转化为等式约束。
2. 选择一个初始可行解，通常为原点（0,0）。
3. 计算目标函数的值，并确定是否达到最优解。
4. 如果未达到最优解，则选择一个进入变量和一个离开变量，通过调整这两个变量的值来改善目标函数的值。
5. 重复步骤3和步骤4，直到达到最优解。
四、应用领域线性规划在各个领域都有广泛的应用，以下是一些常见的应用领域：1. 生产计划：线性规划可以帮助企业确定最佳的生产计划，以最大化利润或最小化成本。
高中数学中的线性规划问题解析
高中数学中的线性规划问题解析在高中数学学习中，线性规划是一个重要的概念和工具。
它是一种数学建模方法，用于解决在给定约束条件下的最优化问题。
线性规划通常涉及到一组线性方程和不等式，以及一个目标函数，我们的目标是找到满足约束条件的最优解。
一、线性规划的基本概念线性规划的基本概念包括目标函数、约束条件和可行域。
目标函数是需要最大化或最小化的函数，通常表示为一个线性方程。
在线性规划中，我们的目标是找到使目标函数取得最大或最小值的变量值。
约束条件是限制变量取值的条件，通常表示为一组线性不等式。
这些约束条件可以是资源的限制、技术条件或其他限制。
可行域是满足所有约束条件的变量取值集合。
可行域通常是一个多边形或多维空间中的区域，它表示了问题的可行解的范围。
二、线性规划的求解方法线性规划可以使用图像法、代数法或单纯形法等方法进行求解。
图像法是一种直观的方法，通过绘制约束条件和目标函数的图像来找到最优解。
在二维平面上，可行域是一个多边形，最优解是目标函数与可行域的交点。
在三维空间中，可行域是一个多面体，最优解是目标函数与可行域的交点。
代数法是一种代数计算的方法，通过解线性方程组来找到最优解。
我们可以将约束条件转化为等式，然后求解线性方程组。
通过代数方法，我们可以得到最优解的具体数值。
单纯形法是一种高效的算法，通过迭代计算来找到最优解。
单纯形法将线性规划问题转化为一个线性规划表格，并通过一系列的操作来逐步逼近最优解。
单纯形法是一种通用的求解线性规划问题的方法，可以处理任意维度的问题。
三、线性规划的应用线性规划在实际生活中有广泛的应用。
例如，在生产计划中，我们可以使用线性规划来确定最优的生产数量和资源分配方案，以最大化利润或最小化成本。
在物流管理中，我们可以使用线性规划来确定最优的运输路径和货物分配方案，以最小化运输成本或最大化运输效率。
线性规划还可以应用于金融领域、市场营销、资源管理等各个领域。
通过合理地建立数学模型，我们可以利用线性规划的方法来解决实际问题，提高决策的科学性和有效性。
线性规划知识点总结
线性规划知识点总结一、引言线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它在各个领域中都有广泛的应用，如生产计划、资源分配、物流管理等。
本文将对线性规划的基本概念、模型建立、求解方法和应用进行总结。
二、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或者最小化一个线性函数，称为目标函数。
目标函数的系数称为目标系数，代表了各个决策变量对目标的影响程度。
2. 约束条件：线性规划的决策变量需要满足一系列线性约束条件，通常表示为等式或者不等式。
3. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。
4. 最优解：在所有可行解中，使目标函数取得最大（最小）值的解称为最优解。
三、模型建立1. 决策变量：线性规划中，需要确定一组决策变量，代表问题中的可调整参数。
决策变量通常用符号x1, x2, ..., xn表示。
2. 目标函数：根据问题的具体要求，建立目标函数。
例如，最大化利润、最小化成本等。
3. 约束条件：根据问题中的限制条件，建立线性约束条件。
约束条件通常表示为等式或者不等式。
4. 非负约束：决策变量通常需要满足非负约束条件，即x1, x2, ..., xn≥0。
四、求解方法1. 图解法：对于二维线性规划问题，可以使用图解法进行求解。
首先绘制约束条件的直线，然后确定可行解区域，最后在可行解区域中找到最优解。
2. 单纯形法：单纯形法是一种常用的求解线性规划问题的方法。
通过不断迭代，找到使目标函数取得最大（最小）值的最优解。
3. 整数规划：当决策变量需要取整数值时，可以使用整数规划方法进行求解。
整数规划通常比线性规划更复杂，求解时间更长。
4. 网络流算法：对于某些特殊的线性规划问题，可以使用网络流算法进行求解。
网络流算法利用图论的方法，将问题转化为网络流问题进行求解。
五、应用领域1. 生产计划：线性规划可以用于确定最佳生产计划，使得生产成本最小化或者利润最大化。
2. 资源分配：线性规划可以用于确定资源的最佳分配方案，如人力资源、物资资源等。
高一线性规划问题知识点
高一线性规划问题知识点在高中数学课程中，线性规划是一个非常重要的概念。
线性规划是运筹学的一个分支，旨在通过确定一组变量的取值，使得一个线性目标函数在一系列线性约束条件下达到最大或最小值。
它在实际生活中有很多应用，比如生产计划、资源分配等。
一、线性规划的基本概念线性规划的目标是找到使得目标函数取得最大或最小值的一组变量取值。
目标函数通常是一个线性函数，即它的各项之间不存在乘法关系。
约束条件也是一组线性不等式或等式，它们定义了变量取值的限制条件。
二、线性规划的解法方法解决线性规划问题的方法有很多，但其中最常用的是单纯形法。
单纯形法是通过逐步改进当前解，逐渐接近最优解的过程。
具体来说，单纯形法的基本思想是找到一个基础可行解，然后在基础可行解的基础上不断寻找更优解。
这个过程通过计算目标函数在可行解的基础上的变化量来完成。
三、线性规划的矩阵表示在线性规划中，我们可以用矩阵来表示目标函数和约束条件。
设目标函数为 f(x)，约束条件为 AX=b，其中 x 是一个 m 维列向量，A 是一个 m × n 的矩阵，b 是一个 m 维列向量。
这样，线性规划问题可以表示为：min/max f(x)subject to AX=bx≥0四、线性规划问题的求解步骤解决线性规划问题的一般步骤如下：1. 确定目标函数和约束条件；2. 将目标函数和约束条件转化为矩阵表示；3. 通过单纯形法求解线性规划问题；4. 分析最优解。
五、线性规划问题的实际应用线性规划问题在实际生活中有着广泛的应用。
比如，在生产计划中，我们可以通过线性规划来确定产量和资源的最优配置，从而实现生产成本的最小化或产品质量的最大化。
在运输领域，线性规划可以帮助我们确定货物的最优配送方案，以减少运输成本。
此外，线性规划还可以应用于金融、市场营销、决策分析等领域。
六、线性规划问题的拓展线性规划问题的应用不仅限于线性目标函数和约束条件。
有时候，目标函数和约束条件可能是非线性的。
线性规划知识点
线性规划知识点一、概述线性规划是一种数学优化方法，用于求解线性约束条件下的最优解。
它广泛应用于经济、工程、运输、资源分配等领域。
本文将介绍线性规划的基本概念、模型建立、求解方法以及应用案例。
二、基本概念1. 变量：线性规划中的决策变量表示问题中需要优化的量，可以是实数、整数或布尔值。
2. 目标函数：线性规划的目标函数是需要最小化或最大化的线性表达式，通常表示为求解最小值或最大值。
3. 约束条件：线性规划的约束条件是限制变量取值范围的线性等式或不等式。
4. 可行解：满足所有约束条件的变量取值组合称为可行解。
5. 最优解：在所有可行解中，使目标函数取得最小值或最大值的解称为最优解。
三、模型建立线性规划的建模过程包括确定决策变量、建立目标函数和约束条件。
1. 决策变量的确定：根据问题的实际情况，确定需要优化的变量及其取值范围。
2. 目标函数的建立：根据问题的要求，将需要最小化或最大化的目标转化为线性表达式。
3. 约束条件的建立：根据问题的限制条件，将约束条件转化为线性等式或不等式。
四、求解方法线性规划可以使用多种方法求解，常见的有单纯形法和内点法。
1. 单纯形法：单纯形法是一种迭代求解方法，通过不断移动顶点来逼近最优解。
它从一个可行解开始，通过交换变量的值来改进目标函数的值，直到找到最优解。
2. 内点法：内点法是一种基于迭代的方法，通过在可行域内寻找最优解。
它通过将可行域内的点逐渐移向最优解，直到找到最优解。
五、应用案例线性规划在实际应用中具有广泛的应用场景，以下是一个简单的应用案例：假设某公司生产两种产品A和B，每单位产品A的利润为10元，每单位产品B的利润为8元。
公司有两个车间可供生产，每个车间每天的工作时间为8小时。
产品A每单位需要1小时的生产时间，产品B每单位需要2小时的生产时间。
车间1每天最多可生产100单位产品A或80单位产品B，车间2每天最多可生产80单位产品A或60单位产品B。
公司希望确定每天的生产计划，以最大化利润。
线性规划知识点
线性规划知识点一、什么是线性规划线性规划是一种数学优化方法，用于解决在给定约束条件下的线性目标函数的最优化问题。
线性规划的目标函数和约束条件都是线性的，因此可以通过线性代数的方法进行求解。
线性规划在实际问题中有广泛的应用，如生产计划、资源分配、运输问题等。
二、线性规划的基本要素1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，通常表示为Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ，其中 Z 为目标函数值，c₁, c₂, ..., cₙ 为系数，x₁,x₂, ..., xₙ 为决策变量。
2. 决策变量：决策变量是问题中需要决策的变量，通常表示为x₁, x₂, ..., xₙ。
决策变量的取值决定了目标函数的值。
3. 约束条件：约束条件限制了决策变量的取值范围。
约束条件可以是等式约束或不等式约束，通常表示为 a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁，a₂₁x₁ +a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂，...，aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙ，其中 a₁₁, a₁₂, ..., aₙₙ 为系数，b₁, b₂, ..., bₙ 为常数。
4. 非负约束：线性规划中通常要求决策变量的取值非负，即 x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0, ...,xₙ ≥ 0。
三、线性规划的解法线性规划可以通过不同的方法进行求解，常见的方法包括图形法、单纯形法和内点法。
1. 图形法：图形法适用于二维或三维的线性规划问题。
首先将目标函数和约束条件转化为几何形式，然后在坐标系中绘制约束条件的图形，最后通过图形的分析找到最优解点。
2. 单纯形法：单纯形法是一种通过迭代寻找最优解的方法。
该方法从一个可行解开始，通过不断移动到相邻的可行解来逐步接近最优解。
单纯形法的核心是单纯形表，通过表格的变换和计算来确定下一个迭代点，直到找到最优解。
3. 内点法：内点法是一种通过迭代寻找最优解的方法。
线性规划知识点
线性规划知识点引言概述：线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它在工程、经济学、管理学等领域有着广泛的应用。
本文将详细介绍线性规划的相关知识点。
一、线性规划的定义与基本概念1.1 目标函数：线性规划的目标是通过最大化或最小化目标函数来达到最优解。
目标函数是一条线性方程，表示需要优化的目标。
1.2 约束条件：线性规划问题还需要满足一组线性约束条件，这些条件对决策变量的取值范围进行了限制。
1.3 决策变量：决策变量是指在线性规划问题中需要进行决策的变量，其取值将影响目标函数的值。
二、线性规划的基本模型2.1 标准型线性规划：标准型线性规划是指目标函数为最小化问题，约束条件为等式形式的线性规划问题。
2.2 松弛变量与人工变量：为了将约束条件转化为等式形式，我们引入松弛变量和人工变量。
2.3 基变量与非基变量：在标准型线性规划中，基变量和非基变量是用来描述决策变量的状态的。
三、线性规划的解法3.1 单纯形法：单纯形法是一种常用的线性规划解法，通过迭代计算基变量和非基变量的取值，直到找到最优解。
3.2 对偶性理论：线性规划问题与其对偶问题之间存在着对偶关系。
对偶性理论可以帮助我们求解原始问题的最优解。
3.3 整数线性规划：当决策变量需要取整数值时，我们可以使用整数线性规划方法来求解。
整数线性规划问题更加复杂，通常需要使用分支定界等方法求解。
四、线性规划的应用领域4.1 生产计划：线性规划可以用于优化生产计划，通过合理安排生产资源和生产量，实现最大化利润或最小化成本。
4.2 运输问题：线性规划可以用于解决运输问题，通过合理分配运输量和运输路径，实现最优的物流方案。
4.3 资源分配：线性规划可以用于资源分配问题，如人力资源、资金分配等，通过最优化决策，实现资源的合理利用。
五、线性规划的局限性与拓展5.1 非线性规划：线性规划只适用于目标函数和约束条件为线性关系的问题。
对于非线性问题，我们需要使用非线性规划方法进行求解。
. 线性规划的有关概念
线性规划的有关概念
重点分析:
本节课的重点理解线性规划问题的有关概念，能对简单的实际问题进行分析并建立线性规划模型.
学生只有首先正确理解理解线性规划问题的有关概念，才会正确而灵活的运用．在应用中印象会更深刻．
突破重点的方法:
（1）引导学生以表格的形式表示各种已知条件的含义的讲解，让学生逐步养成用表格来表示问题中各种量之间的关系，从而在建立约束条件和目标函数时能一目了然.
如：例1某工厂用钢与橡胶生产3种产品A、B、C,有关资料如表5.3所示.已知每天可获得100单位的钢和120单位的橡胶，问每天应按排生产A、B、C三种产品各多少，能使总利润最大？试写出问题的线性约束条件和目标函数.
表5.3
实用文档 1。
线性规划知识点总结
线性规划知识点总结一、引言线性规划是一种优化问题求解方法，用于在给定的约束条件下，寻觅一个线性目标函数的最优解。
它在运筹学、经济学、工程学等领域有着广泛的应用。
本文将对线性规划的基本概念、模型建立、解法以及应用进行详细总结。
二、基本概念1. 变量：线性规划中的变量是决策的对象，可以是实数或者非负实数。
2. 目标函数：线性规划的目标是最大化或者最小化一个线性函数，通常表示为Z=c₁x₁+c₂x₂+...+cₙxₙ，其中c₁、c₂、...、cₙ为系数，x₁、x₂、...、xₙ为变量。
3. 约束条件：线性规划的约束条件是限制变量取值的条件，通常表示为a₁x₁+a₂x₂+...+aₙxₙ≤b，其中a₁、a₂、...、aₙ为系数，b为常数。
4. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。
5. 最优解：在所有可行解中，使目标函数取得最大（或者最小）值的解称为最优解。
三、模型建立1. 确定决策变量：根据实际问题，确定需要优化的决策变量，例如生产数量、投资金额等。
2. 建立目标函数：根据问题要求，建立目标函数，明确是最大化还是最小化。
3. 建立约束条件：根据问题给出的限制条件，建立约束条件，包括线性不等式约束和非负约束。
4. 确定问题类型：根据目标函数和约束条件的形式，确定线性规划问题的类型，如标准型、非标准型、混合整数规划等。
5. 模型求解：使用线性规划的求解方法，求得最优解。
四、解法1. 图解法：对于二维线性规划问题，可以使用图解法进行求解。
首先绘制约束条件的直线，然后确定可行解区域，最后在可行解区域内寻觅目标函数的最优解。
2. 单纯形法：单纯形法是一种常用的求解线性规划问题的方法。
通过迭代计算，逐步改进解的质量，直到找到最优解。
3. 整数规划方法：当决策变量需要取整数值时，可以使用整数规划方法进行求解。
常见的方法包括分支定界法、割平面法等。
五、应用线性规划在实际问题中有着广泛的应用，以下是一些典型的应用领域：1. 生产计划：通过线性规划可以确定最佳的生产计划，以最大化利润或者最小化成本。
线性规划知识点
线性规划知识点线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它在各个领域中都有广泛的应用，例如生产计划、资源分配、运输问题等。
一、线性规划的基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，称为目标函数。
目标函数通常表示为Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cnxn，其中ci为系数，xi为变量。
2. 约束条件：线性规划的变量需要满足一系列线性约束条件，如等式约束或不等式约束。
约束条件通常表示为a₁x₁ + a₂x₂ + ... + anxn ≤ b，其中ai为系数，b为常数。
3. 变量的非负性：线性规划中的变量一般要求非负，即xi ≥ 0。
二、线性规划的解法1. 图形法：对于二维线性规划问题，可以通过绘制约束条件的直线和目标函数的等高线，找到最优解的图形位置。
2. 单纯形法：对于多维线性规划问题，单纯形法是一种常用的解法。
它通过迭代计算，不断优化目标函数值，直到找到最优解。
3. 整数规划：当变量需要取整数值时，可以使用整数规划方法求解。
整数规划问题相比线性规划问题更复杂，通常需要借助分支定界等算法进行求解。
三、线性规划的应用案例1. 生产计划：线性规划可以用于制定最优的生产计划，包括确定生产数量、资源分配等问题。
例如，某工厂需要制定最佳的生产计划，以最大化利润或最小化成本。
2. 运输问题：线性规划可以用于解决运输问题，包括货物从供应地到需求地的最佳运输方案。
例如，某物流公司需要确定最优的货物调度方案，以最小化运输成本。
3. 市场营销：线性规划可以用于市场营销策略的制定，包括广告投放、产品定价等问题。
例如，某公司需要确定最佳的广告投放策略，以最大化销售额或利润。
四、线性规划的局限性1. 线性假设：线性规划的前提是目标函数和约束条件都是线性的。
如果问题中存在非线性关系，线性规划可能无法准确求解。
2. 数据不确定性：线性规划的解依赖于输入的数据，如果数据存在误差或不确定性，解的可靠性可能会受到影响。
线性规划知识点
线性规划知识点一、什么是线性规划线性规划是一种优化问题的数学建模方法，它通过建立数学模型来描述问题，并通过求解模型的最优解来得到问题的最优解。
线性规划中的目标函数和约束条件都是线性的，因此可以使用线性代数和数学规划的方法来求解。
二、线性规划的基本要素1. 决策变量：线性规划中需要决策的变量，通常用x1、x2、...、xn表示。
2. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，通常表示为Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn。
3. 约束条件：线性规划的约束条件是一组线性不等式或等式，通常表示为:a1x1 + a2x2 + ... + anxn ≤ b1a1x1 + a2x2 + ... + anxn ≥ b2...a1x1 + a2x2 + ... + anxn = bn这些约束条件限制了决策变量的取值范围。
三、线性规划的解法线性规划的求解方法有多种，常见的有图形法、单纯形法和内点法。
1. 图形法：适用于二维线性规划问题，通过绘制目标函数和约束条件的图形，找到最优解的几何位置。
2. 单纯形法：适用于多维线性规划问题，通过迭代计算不断优化目标函数的值，直到找到最优解。
3. 内点法：适用于大规模线性规划问题，通过在可行域内搜索最优解的内部点，以加快计算速度。
四、线性规划的应用领域线性规划广泛应用于各个领域，包括生产计划、资源分配、运输问题、投资组合、营销策略等。
以下是一些典型的应用场景：1. 生产计划：通过线性规划可以确定最优的生产计划，以最大化产出或最小化成本。
2. 运输问题：线性规划可以帮助确定最优的运输方案，以最小化运输成本。
3. 资源分配：线性规划可以帮助确定最优的资源分配方案，以最大化资源利用率。
4. 投资组合：线性规划可以帮助确定最优的投资组合，以最大化收益或最小化风险。
5. 营销策略：线性规划可以帮助确定最优的营销策略，以最大化销售额或最小化成本。
五、线性规划的局限性尽管线性规划在许多问题中具有广泛的应用，但它也有一些局限性：1. 线性假设：线性规划要求目标函数和约束条件都是线性的，这限制了它在某些非线性问题上的应用。
线性规划问题的基本概念及求解方法
线性规划问题的基本概念及求解方法线性规划是一种优化方法，用于找到一个线性方程的最大或最小值，同时满足一组线性约束条件。
线性规划问题广泛应用于经济、工业、运输、物流等各个领域。
本文将讲述线性规划问题的基本概念和求解方法。
一、线性规划的基本概念线性规划问题可表示为：$\max_{x} z = c^Tx$$\text{s.t.} \qquad Ax \leq b$其中，x表示决策变量，z表示目标函数，c和b为常数系数，A为系数矩阵。
目标函数表示要最大化或最小化的数量，约束条件表示限制决策变量取值的条件。
二、线性规划的求解方法线性规划问题的求解方法有两种，即图形法和单纯形法。
1. 图形法图形法是一种用图形的方式来求解线性规划问题的方法。
它可以用于二元线性规划问题求解，但对于多元线性规划问题，它的应用受到了限制。
对于二元线性规划问题，我们可以将目标函数表示为直线，约束条件表示为线段，然后在可行域内寻找能让目标函数最大或最小的点。
2. 单纯形法单纯形法是一种通过交换决策变量的取值来寻找最优解的方法。
它通过构建初始单纯形表格，逐步利用高斯消元法将问题转化为标准型，然后不断交换基变量和非基变量，直到找到最优解。
单纯形法在求解多元线性规划问题时具有广泛的应用，因为它能够较快地寻找最优解。
但是，它也存在一些问题，例如当问题的维度较高时，算法的计算复杂度会相应增加，计算机的处理能力也会受到限制。
三、线性规划的应用线性规划在各个领域中都有着广泛的应用。
以下是一些典型的应用案例：1. 运输问题运输问题是一种线性规划问题，旨在确定一组产品从生产场所运往销售场所的最优方案。
这种问题通常涉及到对物流成本、物流时间等多种因素的优化。
2. 设备维护问题设备维护问题是一种线性规划问题，旨在通过优化设备的维护策略来最大化设备的使用寿命和效益。
这种问题通常涉及到对机器的使用寿命、维修成本、机器停机时间等多种因素的优化。
3. 生产计划问题生产计划问题是一种线性规划问题，旨在通过对原材料和生产线的安排来优化产品的生产过程。
线性规划知识点
线性规划知识点线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它在各个领域都有广泛的应用，包括经济学、管理学、工程学等。
本文将详细介绍线性规划的基本概念、模型建立、求解方法以及应用案例。
一、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最小化或者最大化一个线性函数，称为目标函数。
目标函数可以表示为Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn，其中ci为系数，xi为决策变量。
2. 约束条件：线性规划的决策变量需要满足一系列线性等式或者不等式，称为约束条件。
约束条件可以表示为a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn ≤ b1，a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn ≥ b2等。
3. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。
可行解集合称为可行域。
4. 最优解：在所有可行解中，使得目标函数取得最小值或者最大值的解称为最优解。
二、模型建立1. 决策变量的定义：根据问题的特点，定义适当的决策变量。
例如，假设要生产两种产品，可以定义x1为第一种产品的生产量，x2为第二种产品的生产量。
2. 目标函数的建立：根据问题的要求，建立目标函数。
例如，如果要最大化利润，可以将目标函数定义为Z = p1x1 + p2x2，其中p1和p2为单位产品的利润。
3. 约束条件的建立：根据问题的限制条件，建立约束条件。
例如，如果生产资源有限，可以建立生产资源约束条件，如a11x1 + a12x2 ≤ b1，a21x1 + a22x2 ≤ b2等。
4. 模型的完整表达：将决策变量、目标函数和约束条件整合起来，形成完整的线性规划模型。
三、求解方法1. 图解法：对于二维线性规划问题，可以通过绘制等式和不等式的图形，找到可行域和最优解。
最优解通常浮现在可行域的顶点处。
2. 单纯形法：对于多维线性规划问题，可以使用单纯形法进行求解。
单纯形法是一种迭代算法，通过不断优化目标函数的值，逐步接近最优解。
线性规划知识点
线性规划知识点一、概述线性规划是一种数学优化方法，用于求解线性约束条件下的最优解问题。
它在运筹学、管理科学、经济学等领域有着广泛的应用。
线性规划的目标是通过线性目标函数的最小化或者最大化，找到使得一系列线性约束条件得到满足的最优解。
二、基本概念1. 线性规划模型线性规划模型由目标函数和约束条件组成。
目标函数是需要最小化或者最大化的线性函数，约束条件是一系列线性不等式或者等式。
2. 可行解可行解是满足所有约束条件的解。
在线性规划中，可行解构成为了一个可行域，即满足所有约束条件的解的集合。
3. 最优解最优解是使得目标函数取得最小或者最大值的可行解。
在线性规划中，最优解可以是有限的，也可以是无穷的。
4. 线性规划的标准形式线性规划的标准形式包括以下特点：- 目标函数为最小化形式；- 所有约束条件为等式形式；- 变量的取值范围为非负数。
1. 图形法图形法是线性规划最直观的解法之一。
它通过绘制变量的可行域图形，找到目标函数的最优解。
2. 单纯形法单纯形法是一种迭代算法，通过不断地挪移解的位置来逐步逼近最优解。
它是线性规划中应用最广泛的解法之一。
3. 对偶理论对偶理论是线性规划中的重要概念之一。
它通过将原始问题转化为对偶问题，从而得到原始问题的最优解。
四、线性规划的应用线性规划在实际生活中有着广泛的应用，以下是一些常见的应用领域：1. 生产计划线性规划可以用于确定最佳的生产计划，以最小化生产成本或者最大化利润。
2. 运输问题线性规划可以用于解决运输问题，如货物的最佳配送方案、最短路径等。
3. 金融投资线性规划可以用于优化投资组合，以最大化投资收益或者最小化风险。
4. 资源分配线性规划可以用于确定最佳的资源分配方案，如人力资源、物资等。
尽管线性规划在许多问题中有着广泛的应用，但它也存在一些局限性：1. 线性假设线性规划的基本假设是目标函数和约束条件都是线性的，这限制了它在处理非线性问题上的应用。
2. 离散性问题线性规划通常适合于连续变量的问题，对于离散变量的问题，它的应用受到限制。
18章线性规划教案.doc
1、什么叫做二元线性规划问题
2、什么叫做可行解、可行域、最优解？
二、例题讲解
例6求函数 在平面区域 内的取值范围。
图18-6
解平面区域如图18-6所示，当直线 往右下方平移时，直线上的横坐标 随之增大，纵坐标 随之减小，但 却增大，故所对应的 值在不断地增大，反之， 值在不断地减小，因此函数 在点 处取得最小值-1，在点 处取得最大值2，所以 。
授课班级
授课课时
1
授课形式
启发引导式
授课章节
名称
18.2二元线性规划问题的图解法（1）
使用教具
多媒体
教学目的
理解二元线性规划问题的概念
用图解法解简单的二元线性规划问题
教学重点
用图解法解简单的二元线性规划问题
教学难点
用图解法解简单的二元线性规划问题
更新、补
充、删节
内容
课外作业
P99习题3
教学后记
授课主要内容或板书设计
C
Max z=200x1+700x2
D
Min z=3x2+2y2
问题解决：见课本108页。
练习
P109
课堂小结：
1、线性规划问题的数学模型的建立
2、线性规划问题数学模型的特征
课题序号
授课班级
授课课时
1
授课形式
启发引导式
授课章节
名称
18.2二元线性规划问题的图解法（1）
使用教具
多媒体
教学目的
1、理解二元线性规划问题的概念
解如图18-2，画直线 （画成实线）。
将坐标原点的坐标代入 ，得 ， 表示直线 右上方的平面区域（包括直线 ）。
线性规划知识点总结
线性规划知识点总结
1.线性规划的有关概念：
①线性约束条件：
在上述问题中，不等式组是一组变量x，y 的约束条件，这组约束条件都是关于x，y的一次不等式，故又称线性约束条件．
②线性目标函数：
关于x，y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x，y的解析式，叫线性目标函数．
③线性规划问题：
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
④可行解、可行域和最优解：
满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．
2.用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：
（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；
（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；
（3）在可行域内求目标函数的最优解
3.解线性规划实际问题的步骤：
（1）将数据列成表格；
（2）列出约束条件与目标函数；
（3）根据求最值方法：①画：画可行域；
②移：移与目标函数一致的平行直线；③求：求最值点坐标；④答；求最值；?
（4）验证.
4.两类主要的目标函数的几何意义:
（1）-----直线的截距；
（2）-----两点的距离或圆的半径；
（3）-----直线的斜率。
线性规划x
一．线性规划有关概念1. 称为x ，y 的约束条件; 称为x ，y 的线性约束条件。
2. 称为目标函数; 线性目标函数。
3. 称为可行域; 称为可行解;称为最优解。
4. 称为线性规划问题。
二．几个结论： 1、（1）、二元一次不等式Ax+By+C>0（≥0或<0、或≤0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域。
直线 （2）、由于对直线同一侧的所有点(x,y)，把它代入Ax+By+C ，所得实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x 0,y 0) ，从Ax 0+By 0+C 的正负可以判断出Ax+By+C>0（≥0或<0、或≤0）表示哪一侧的区域。
同样二元一次不等式组也表示平面区域。
确定步骤： “直线定界、特殊点定域”； 若C ≠0，则直线定界，原点定域(3)、若不等式中不含0，则边界应画成虚线，否则应画成实线。
2、线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得。
3、求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义 ——在y 轴上的截距或其相反数 4.解线性规划问题的步骤：（1）画：画出线性约束条件所表示的可行域；（2）移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线（3）求：通过解方程组求出最优解； （4）答：作出答案。
一、选择题：1.已知点1(00)P ，，231(11)03P P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，，则在3210x y +-≥表示的平面区域内的点是（ ）Ａ．1P ，2PＢ．1P ，3PＣ．2P ，3PＤ．2P2. 点(3)P a ，到直线4310x y -+=的距离等于4，且在不等式23x y +<表示的平面区域内，则P 点坐标是 ．3、已知点（3，1）和（－4，6）在直线3x －2y +a =0的两侧，则a 的取值范围是（ ）A ．a <－7或a >24B ．a =7或a =24C ．－7<a <24D ．－24<a <7 4、不等式2x +3y -4<0表示的平面区域在直线2x +3y -4=0的（ ） A 、右上方 B 、右下方 C 、左下方 D 、左上方 5、目标函数z =3x -y ,将其看成直线方程时，z 的意义是A 、该直线的截距B 、该直线的纵截距C 、该直线的纵截距的相反数D 、该直线的横截距6、目标函数y x z +=2，变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥<+≤+-12553034x y x y x ，则有 （ ）A ．3,12m in m ax ==z zB ．z z ,3m in =无最大值C ．,12m ax =z z 无最小值D ．z 既无最大值，也无最小值7、不等式组｛(x-y+5)(x+y)≥00≤x ≤3，表示的平面区域是一个（ ）（A ）三角形 （B ）直角梯形（C ）梯形 （D ）矩形。
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Z=5x+4y
综合起来，可以把这个问题的形式表达为：
max z 5 x 4 y
(1) (2)
3x 4 y 250 2 x y 100 (3) x 0 (4) y 0 (5)
(1) 上式中的x, y叫做决策变量，
决策变量也可用x1 , x2表示。
把实际问题抽象为数学形式的 方法叫做数学建模。(建立数学模型)
注：本节只建模，不求解。 (12) 从实际问题中建立线性规划模型 的三个步骤： 第一步：确定决策变量； 第二步：确定目标函数； 第三步：确定约束条件。
• 步骤： • 1、根据所求问题设变量x y z 即选取决 策变量 • 2、用变量表示出所求利润的函数表达式。 即确定目标函数 • 3、用变量表示出资源的有限性（不等式）。 即写出约束条件 • 在约束条件下求目标函数的最大值或最小 值的问题叫做线性规划问题。
矿物质 单价
1 0.4
3 0.5
解：设买A种饲料x千克，B种饲料y千克，则有：
min z 0.4 x 0.5 y
2 x 2 y 10 x 3y 9 x 0 y 0
D
)
B, max z 2 x1 5 x2 3 x3 3x1 x2 5 x3 30 2 x x 4 x 10 1 2 3 x1 x2 x3 40 x1 , x2 , x3 0 D, min z 3 x 2 2 y 2 x 2 y 2 6 x y 1 x 0 y 0
钢 铜 利润
甲 3 9 90
乙 5 5 100
库存原料 1500 2700
解：设该厂生产甲产品x件，乙产品y件，则有：
max z 90 x 100 y 3x 5 y 1500 9 x 5 y 2700 x 0 y 0
例2. 某运输公司有8辆载重6t的A型卡车，4辆载重10t的B型卡车， 并有9名驾驶员，在建造某段高速公路时，公司承包了每天至少运 输沥青180t的任务，已知每辆卡车每天往返次数为A型4次，B型6 次，派出每辆卡车每天的成本为A型120元，B型200元，每天应派 出A型和B型卡车各多少辆，能使公司总成本最低？
练习4，下面不是线性规划问题的是( A, z 200 x +210 y x +3 y 30 3x y 18 x, y 0 C , max z 3x 4 y y 0
A
)
B, max z x1 +6x2 x3 3 x1 x2 2 x3 5000 2 x1 5 x2 x3 3000 x , x , x 0 1 2 3 D, min z x 2 y x y 10 2 x 5 y 12 x 3 y 25 x 0 y 0
(2) 记号“max”表示取函数的最大值 (3) 式(1)称为目标函数，目标函数 可最大化或最小化。 (4) 式(2) ～(5)统称为目标函数的 约束条件。
在约束条件下求目标函数的最大值或最小值的 问题叫做线性规划问题。
练习1，建立下面线性规划问题的数学模型： 某厂计划生产甲、乙两种产品，其主要原材料有钢材1500kg,铜材 2700kg，每件产品耗材定额(kg)及所获利润(元)如下表，问：如何 安排生产能使该厂所获利润最大？
练习3，建立下面线性规划问题的数学模型： 某饲养场要同时用A、B两种饲料喂养动物，要求每头动物每天至 少应摄取10个单位的蛋白质和9个单位的矿物质。两种饲料每千克 中所含两种成分的数量(单位)及每千克的单价(元)如下表，该饲养 场每天要买两种饲料各多少千克，才能满足动物生长的需要，又 使费用最省？ A B 2 2 蛋白质
例4，下面不是线性规划问题的是( A, min z x y 2 x y 1 5 x y 3 x, y 0 C , max z 200 x1 700 x2 2 x1 7 x2 250 x 3x 100 1 2 x1 0 x2 0
二、探究
• 某建筑公司建造居民小区，若建一栋普通的住宅楼需投 2 m 入资金300万元，并占地200 ，可获利润70万元，若 2 建一栋别墅需投入资金200万元，并占地300 m ，可 获利润60万元，该公司现有资金9000万元，拍得土地 2 11000 m ， • 问：应作怎样的投资组合，才能获利最多？ •
max(min) z c1x1 c2 x2 cn xn
a11 x1 a12 x2 a1n xn (, )b1 a x a x a x (, )b 21 1 22 2 2n n 2 约束条件： a x a x a x (, )b mn n m m1 1 m 2 2 x1 , x2 , , xn 0
18.1 线性规划问题 的有关概念
• 生活中我们经常对哪些事情进 行 • 规划？
一、引入
思考：我们对事情进行规划的目的是什么？ 总结：在生产生活中我们常常要研究以下两类问题： 1、如何合理计划、安排有限的人、财、物等资源获取最大 的利润、产量等目标。 （即利用有限的资源获取最大的利润。） 2、任务确定后，如何计划、安排，使用最低限度的人、财、 物等资源，实现该任务。 （即用最少的资源完成任务） • 这两类问题就是线性规划要研究的主要问题。
• （1）每个问题都用一组决策变量表示，这些 变量取非负值；
• （2）存在一定的约束条件，用一组一次（线 性）不等式或等式表示； • （3）都有一个要达到的目标，用决策变量的 一次（线性）函数即目标函数来表示，按不同 问题实现最大化或最小化。
满足以上三个条件的线性规划数学模型的一般形式：
目标函数：
练习5，下面是线性规划问题的是( A, max z 10 x +5y 2 x +3 y 1 x y 2 x, y 0 C, z 2x 2 y x y 1 0.5 x y 2 x, y 0
B
)
B, min z 2 x1 +3x2 x3 x1 4 x2 2 x3 8 3 x1 2 x2 6 x , x , x 0 1 2 3 D, min z 4 x 2 y xy y 2 2 x 4 y 7 5 x 3 y 5 x 0 y 0
设计划做甲种馒头xkg，乙种馒头ykg，所获利润为z元. 生产这两种馒头所用面粉总量为（0.6x+0.8y)kg，现共 有面粉50kg，因此，应有 0.6x+0.8y≤50
即： 3x+4y≤250 类似地，有 0.4x+0.2y≤20 即： 2x+y≤100 x≥0, y≥0 由于产品的数量不能为负数，应有 总利润为
解：设每天应派出A型卡车x辆，B型卡车y辆，则有：
min z 120 x 200 y
24 x 60 y 180 x y 9 0 x 8 0 y 4
记号“min”表示取函数的最小值
• 思考：是不是所有求最值的问题都是线性规划 问题？ • 线性规划问题的数学模型有如下共同特征：
例1 某点心店要做甲、乙两种馒头，甲种馒头的主要原料是每3 份面粉加2份玉米粉，乙种馒头的主要原料是每4份面粉加一份 玉米粉。这个点心店每天可买进面粉50kg、玉米粉20kg，做1kg 甲种馒头的利润是5元，做1kg乙种馒头的利润是4元，那么这个 点心店每天各做多少甲、乙两种馒头才能获利最多？ 解: