三角形中位线定理解题举例

三角形中位线定理证明

三角形中位线定理证明性质1中位线平行于第三边性质2等于第三边的一半1定理2证明3逆定理1定理三角形的中位线平行于第三边（不与中位线接触），并且等于第三边的一半。

[1]三角形的中位线2证明如图，已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点。

求证DE平行于BC且等于BC/2方法一：过C作AB的平行线交DE的延长线于G点。

∵CG∥AD∴∠A=∠ACG∵∠AED=∠CEG、AE=CE、∠A=∠ACG（用大括号）∴△ADE≌△CGE （A.S.A)∴AD=CG(全等三角形对应边相等)∵D为AB中点∴AD=BD∴BD=CG又∵BD∥CG∴BCGD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）∴DG∥BC且DG=BC∴DE=DG/2=BC/2∴三角形的中位线定理成立.方法二：相似法：∵D是AB中点∴AD：AB=1：2∵E是AC中点∴AE：AC=1:2又∵∠A=∠A∴△ADE∽△ABC∴AD：AB=AE：AC=DE：BC=1：2∠ADE=∠B，∠AED=∠C∴BC=2DE,BC∥DE方法三：坐标法：设三角形三点分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）则一条边长为：根号（x2-x1）^2+(y2-y1）^2另两边中点为（（x1+x3）/2，（y1+y3）/2），和（(x2+x3）/2，（y2+y3）/2）这两中点距离为：根号（（x2+x3）/2-(x1+x3）/2）^2+((y2+y3）/2-(y1+y3）/2）^2最后化简时将x3，y3消掉正好中位线长为其对应边长的一半方法4：延长DE到点G，使EG=DE，连接CG∵点E是AC中点∴AE=CE∵AE=CE、∠AED=∠CEG、DE=GE∴△ADE≌△CGE (S.A.S)∴AD=CG、∠G=∠ADE∵D为AB中点∴AD=BD∴BD=CG∵点D在边AB上∴DB∥CG∴BCGD是平行四边形∴DE=DG/2=BC/2∴三角形的中位线定理成立[2]方法五：向量DE=DA+AE=(BA+AC)/2=BC/2[3]∴DE//BC且DE=BC/23逆定理逆定理一：在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。

专题11 三角形中位线定理(解析版)

专题11 三角形中位线定理【考点归纳】（1）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．（2）几何语言：【好题必练】一、选择题1．（2020秋•罗湖区期末）如图，已知△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，AE是∠BAC的外角平分线，ED∥AB交AC于点G，下列结论：①AD⊥BC；②AE∥BC；③AE＝AG；④AD2+AE2＝4AG2．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】C．【解析】解：连接EC，∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，故①正确；∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵AE平分∠F AC，∴∠F AC＝2∠F AE，∵∠F AC＝∠B+∠ACB，∴∠F AE＝∠B，∴AE∥BC，故②正确；∵AE∥BC，DE∥AB，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE＝BD，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴CD＝BD，∴AE＝CD，∵AE∥BC，∠ADC＝90°，∴四边形ADCE是矩形，∴AC＝DE，AG＝CG，DG＝EG，∴DG＝AG＝CG＝EG，在Rt△AED中，AD2+AE2＝DE2＝AC2＝(2AG)2＝4AG2，故④正确；∵AE＝BD＝BC，AG＝AC，∴AG＝AE错误（已知没有条件AC＝BC），故③错误；即正确的个数是3个，故选：C．2．（2020秋•安丘市期末）如图，面积为2的等边三角形ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则△DEF的面积是（）A．1B．C．D．【答案】B．【解析】解：∵D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，∴＝＝＝，∴△DEF∽△CAB，∴＝（）2＝，∵△ABC的面积＝2，∴△DEF的面积＝，故选：B．3．（2020秋•长春期末）如图，在边长为4的等边三角形ABC中，DE为△ABC的中位线，则四边形BCED 的面积为（）A．2B．3C．4D．6【答案】B．【解析】解：过点D作DF⊥BC于点F．∵△ABC是边长为4的等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝4，∠B＝60°，又∵DE为中位线，∴DE＝BC＝2，BD＝AB＝2，DE∥BC，∴DF＝BD•sin∠B＝2×，∴四边形BCED的面积为：DF×（DE+BC）＝××（2+4）＝3．故选：B．4．（2020秋•长春期末）△ABC中，AB＝7，BC＝6，AC＝5，点D、E、F分别是三边的中点，则△DEF 的周长为（）A．4.5B．9C．10D．12【答案】B．【解析】解：∵点D、E、F分别是三边的中点，∴DE、EF、DF为△ABC的中位线，∴DE＝AB＝×7＝，DF＝AC＝×5＝，EF＝BC＝×6＝3，∴△DEF的周长＝++3＝9，故选：B．5．（2020秋•绿园区期末）如图，为测量位于一水塘旁的两点A，B间的距离，在地面上确定点O，分别取OA，OB的中点C，D，量得CD＝10m，则A，B之间的距离是（）A．5m B．10m C．20m D．40m【答案】C．【解析】解：∵点C，D分别是OA，OB的中点，∴AB＝2CD＝20（m），故选：C．6．（2020秋•内江期末）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠EPF＝140°，则∠EFP的度数是（）A．50°B．40°C．30°D．20°【答案】D．【解析】解：∵P是BD的中点，E是AB的中点，∴PE是△ABD的中位线，∴PE＝AD，同理，PF＝BC，∵AD＝BC，∴PE＝PF，∴∠EFP＝×（180°﹣∠EPF）＝×（180°﹣140°）＝20°，故选：D．二、填空题7．（2020春•兴化市期中）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点．若BC＝6，则DE的长为．【答案】3【解析】解：∵D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC＝×6＝3，故答案为：3．8．（2020春•姜堰区期中）已知以三角形各边中点为顶点的三角形的周长为6cm，则原三角形的周长为cm．【答案】12【解析】解：∵△DEF的周长为6cm，∴DE+DF+EF＝6，∵D、E、F分别为AB、AC、BC的中点∴DE、DF、EF是△ABC的中位线，∴BC＝2DE，AB＝2EF，AC＝2DF，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝2（DE+DF+EF）＝12（cm），故答案为：12．9．（2020春•建湖县期中）如图，AB∥CD，AB＝7，CD＝3，M、N分别是AC和BD的中点，则MN的长度．【答案】2【解析】解：延长DM交AB于E，∵AB∥CD，∴∠C＝∠A，在△AME和△CMD中，，∴△AME≌△CMD（ASA）∴AE＝CD＝3，DM＝ME，∴BE＝AB﹣AE＝4，∵DM＝ME，DN＝NB，∴MN是△DEB的中位线，∴MN＝BE＝2，故答案为：2．10．（2020春•常熟市期中）如图，在△ABC中，BC＝14，D、E分别是AB、AC的中点，F是DE延长线上一点，连接AF、CF，若DF＝12，∠AFC＝90°，则AC＝．【答案】10【解析】解：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC＝7，∴EF＝DF﹣DE＝5，在Rt△AFC中，AE＝EC，∴AC＝2EF＝10，故答案为：10．11．（2020•凤山县一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，D，E，F分别为AB，AC，AD的中点．若BC＝2，则EF的长度为．【答案】1【解析】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴AB＝2BC＝4，∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴CD＝AB＝2，∵E，F分别为AC，AD的中点，∴EF为△ACD的中位线，∴EF＝CD＝1，故答案为：1．三、解答题12．（2020•房山区二模）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB交BC于点E，F是BD中点．求证：EF平分∠BED．【答案】证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵DE∥AB，∴∠ABD＝∠BDE，∴∠BDE＝∠CBD，∴EB＝ED，∵EB＝ED，F是BD中点，∴EF平分∠BED．【解析】根据角平分线的定义得到∠ABD＝∠CBD，根据平行线的性质得到∠ABD＝∠BDE，证明EB＝ED，根据等腰三角形的三线合一证明结论．13．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，对角线BD平分∠ABC，E，F分别是BD，CD的中点．求证：AD∥EF．【答案】证明：∵E，F分别是BD，CD的中点，∴EF∥BC，∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABD，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABD，∴∠ADB＝∠DBC，∴AD∥BC，∴AD∥EF．【解析】根据三角形中位线定理得到EF∥BC，根据等腰三角形的性质、平行线的判定定理得到AD∥BC，根据平行公理的推论证明结论．14．如图，在△ABC中，D为BC的中点，E为AC的中点，AB＝6，求DE的长．【答案】解：∵D为BC的中点，E为AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝AB＝3．【解析】根据三角形中位线定理解答．15．如图，在△Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、CD，求证：CD＝EF．【答案】证明：∵DE、DF是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DF∥AC，∴四边形DECF是平行四边形，∵∠ACB＝90°，∴平行四边形DECF是矩形，∴CD＝EF．【解析】根据三角形中位线定理得到DE∥BC，DF∥AC，证明四边形DECF是矩形，根据矩形的性质证明．16．如图，点D，E，F分别为△ABC三边的中点，若△DEF的周长为10，求△ABC的周长【答案】解：∵点D，E，F分别为△ABC三边的中点，∴AB＝2EF，AC＝2DE，BC＝2DF，∵△DEF的周长为10，即EF+DE+DF＝10，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝2（EF+DE+DF）＝20．【解析】根据三角形中位线定理得到AB＝2EF，AC＝2DE，BC＝2DF，根据三角形周长公式计算，得到答案．。

三角形中位线定理的几种证明方法及教学中需要说明的地方

三角形中位线定理的证明及其教学说明以下内容作者为:青岛第四中学杨瀚书老师一、三角形中位线定理的几种证明方法法1: 如图所示,延长中位线DE 至F,使 ,连结CF,则 ,有ADFC,所以FCBD,则四边形BCFD 就是平行四边形,DFBC 。

因为 ,所以DEBC 21.法2:如图所示,过C 作交DE 的延长线于F,则,有FCAD,那么FC BD,则四边形BCFD 为平行四边形,DFBC 。

因为,所以DEBC 21.法3:如图所示,延长DE 至F,使 ,连接CF 、DC 、AF,则四边形ADCF 为平行四边形,有ADCF,所以FCBD,那么四边形BCFD 为平行四边形,DF BC 。

因为 ,所以DEBC 21.法4:如图所示,过点E 作MN ∥AB,过点A 作AM ∥BC,则四边形ABNM 为平行四边形,易证CEN AEM ∆≅∆,从而点E 就是MN 的中点,易证四边形ADEM 与BDEN 都为平行四边形,所以DE=AM=NC=BN,DE ∥BC,即DEBC 21。

法5:如图所示,过三个顶点分别向中位线作垂线.二、教学说明1、三角形中位线定理的另外一种猜想过程:“二维”转化为“一维”在引导学生探索三角形中位线定理时,由于学生画出中位线后,就不难直观地发现平行关系,难的就是发现数量关系,我联想到在此之前认识线段中点时的一道典型例题,挖掘它与原有知识的内在联系,从而作如下探索引导。

⑴如图,A为线段BC(或线段BC的延长线)上的任意一点,D、E分别就是AB、AC 的中点,线段DE与BC有什么关系？AB C图⑴:⑵如果点A不在直线BC上,图形如何变化？上述结论仍然成立不?C图⑵:说明:学生观察(几何画板制作的)课件演示:当△ABC的顶点A运动到直线BC上时,中位线DE也运动到BC上,这样由“二维”转化为“一维”,学生就不难猜想性质的两方面,特别就是数量关系,而想到去度量、验证与猜想,水到渠成、如果教师直接叫学生去度量角度与长度,就是强扭的瓜不甜、2、教学重点:本课重点就是掌握与运用三角形中位线定理。

三角形中位线定理的几种证明方法及教学中需要说明的地方【最新】

三角形中位线定理的证明及其教学说明一、三角形中位线定理的几种证明方法法1：如图所示，延长中位线DE 至F ，使，连结CF ，则，有ADFC ，所以FCBD ，则四边形BCFD 是平行四边形，DF BC 。

因为，所以DEBC 21．法2：如图所示，过C 作交DE 的延长线于F ，则，有FCAD ，那么FCBD ，则四边形BCFD 为平行四边形，DFBC 。

因为，所以DEBC 21．法3：如图所示，延长DE 至F ，使，连接CF 、DC 、AF ，则四边形ADCF 为平行四边形，有ADCF ，所以FCBD ，那么四边形BCFD 为平行四边形，DF BC 。

因为，所以DEBC 21．法4：如图所示，过点E 作MN ∥AB ，过点A 作AM ∥BC ，则四边形ABNM 为平行四边形，易证CEN AEM ∆≅∆，从而点E 是MN 的中点，易证四边形ADEM 和BDEN 都为平行四边形，所以DE=AM=NC=BN ，DE ∥BC ，即DEBC 21。

法5：如图所示，过三个顶点分别向中位线作垂线．二、教学说明1、三角形中位线定理的另外一种猜想过程：“二维”转化为“一维”在引导学生探索三角形中位线定理时，由于学生画出中位线后，就不难直观地发现平行关系，难的是发现数量关系，我联想到在此之前认识线段中点时的一道典型例题，挖掘它与原有知识的内在联系，从而作如下探索引导。

⑴如图，A 为线段BC(或线段BC 的延长线)上的任意一点，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，线段DE 与BC 有什么关系？AC图⑴：⑵如果点A 不在直线BC 上，图形如何变化？上述结论仍然成立吗?图⑵：说明：学生观察（几何画板制作的）课件演示：当△ABC 的顶点A 运动到直线B C 上时,中位线DE 也运动到BC 上，这样由“二维”转化为“一维”，学生就不难猜想性质的两方面，特别是数量关系，而想到去度量、验证和猜想，水到渠成.如果教师直接叫学生去度量角度和长度，是强扭的瓜不甜. 2、教学重点：本课重点是掌握和运用三角形中位线定理。

三角形中位线定理的应用

三角形中位线定理的应用三角形中位线定理在初中教材体系中是一个很重要的定理，学好这部分内容将有助于梯形中位线定理乃至整个平面几何知识的学习．它具有两个方面的特性：（1）平行于第三边，这是位置关系；（2）等于第三边的一半，这是数量关系．就第一个特性而言，中位线定理与平行线等分线段定理中的推论(经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边）存在着互逆关系．我们利用这两个特性，能证明（求解）许多几何问题，以下举例说明它的具体应用．一、证明问题1、证明角相等关系例1、如图、四边ABCD 中，AB =CD ，M 、N 分别为AD 、BC 的中点，EF ⊥MN 交AB 于E ，交CD 于F ，求证：∠AEF =∠DFE分析：欲证：∠AEF =∠DFE ．由MN ⊥EF 想到延长BA ，CD 与MN 的延长线交于P 、Q 只需证明∠EPN =∠Q ，如何利用中点的条件？想到三角形的中位线，连线BD ，取BD 的中点G ，则有12GM AB∥，12GN CD ∥，由于AB =CD ，进而有GM =GN ，∠GMN =∠GNM 然后再转化∠EPN =∠Q ，从而证出结论．证明：延长BA ，CD 分别与NM 的延长线交于P 、Q 连结BD ，取BD 的中点G ，连结GM 、GN ．∵G 、M 分别为△ABD 的边BD 、AD 的中点∴12GM AB ∥．同理可证：12GN AB∥，又∵AB =CD ，∴GM =GN ，∴∠GMN =∠GNM ，∵GM //AB ，GN =CD ，∴∠GMN =∠EPN ，∠GNM =∠Q ，∴∠EPN =∠Q ，又 EF ⊥MN ，∴∠AEF =∠DFE （等角的余角相等）说明：添辅助线是证明几何题的难点．若要添多条辅助线，更为困难，掌握一般添辅助线的规律是必要的，更为重要的是分析中自由添加辅助线，添辅助线是分析问题过程的一个步骤，这是几何的证明的较高层次，要在实践中仔细体会，不断摸索，不断总结．2、证明线段的倍分以及相等关系例2.如图，已知平行四边形ABCD 中，BD 为对角线，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，连线EF ，交BD 于M 点．求证：（1）BM =14BD （2）ME =MF 分析：欲证问题（1）由E 、F 分别为AB 、BC 中点想到连结AC ，由平行线等分线段定理可证得BM =MO ．又因为平行四边形的对角线互相平分，可得BO =OD ，即BM =41BD ．欲证问题(2)，由问题(1)中的辅助线，即连结AC ，由三角形中位线定理可得EM =12AO ，MF =12OC ，又由平行四边形对角线互相平分即可得到问题（2）的结论．证明：（1）连结AC ，交BD 于O 点，∵E 、F 分别为AB 、BC 中点，∴EF ∥AC ，∴BM =MO =12BO （平行线等分线段定理）又∵四边形ABCD 是平行四边形∴BO =OD =12BD ，AO =OC =12AC ， ∴BM =1124BO BD ，即BM =14BD（2）∵M 是BO 的中点，E 、F 分别是AB 、BC 中的中点．∴12ME AD =，12MF OC =，又∵AO ＝OC ，∴ME ＝MF 小结：问题（1）看起来似乎与三角形中位线定理无关，其实这是从侧面的运用了三角形中位线的位置关系，即三角形的中位线平行于底边，而问题（2）直接运用了三角形中位线的数量关系．3、证明线段平行关系例3.如图，自△ABC 的顶点A ，向∠B 和∠C 的平分线作垂线，重足分别为D 、E ．求证：DE ∥BC 分析：欲证ED //BC 我们可想到有关平行的判定，但要找到有关角的关系很难，这时只要通过延长AD 、AE ，交BC 与CB 的延长线于G 与H ，通过证明△ABD 与△GBD 全等易证D 是AG 中点，同理E 为AH 的中点，故，ED 是△AEG 的中位线，当然有DE ∥BC ．证明：延长AD 、AE 交BC 、CB 的延长线于G 、H ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠1=∠2，又∵BD ⊥AD ，∴∠ADB =∠BDG =900．在△ABD 与△GBD 中12BD BDBDG BDA⎧⎪⎨⎪⎩=== ∠∠∠∠，∴△ABD ≌△GBD (A S A ) ∴AD =DG ，同理可证，AE =GE ，∴D ，E 分别为AG ，AH 的中点， ∴ED ∥BC小结：由此题我们可以知道证明直线或线段平行除了平行判定等，还可以用中位线定理来证明直线或线段平行．二、比较大小1、比较线段大小例4.如图，M 、N 是四边形ABCD 的边 BC 、AD 的中点，且AB 与CD 不平行．求证：MN ＜12(AB ＋CD ). 分析：欲证MN ＜12(AB ＋CD )，我们从表面上看这个问题比较复杂，但由M 、N 分别为BC 、AD 中点我们可以联想到如何构造三角形中位线来证明问题，通过连结BD ，并取BD 中点P ，连结NP 、MP 这时分别为△DAB 、△DCB 的中位线,这时三条线段NP 、MP 、MN 都在一个三角形里，问题就迎刃而解了．证明：连结BD 并取BD 中点P ，连结NP ，MP . ∵N 为AD 中点，P 为BD 中点.∴NP 为△DAB 的中位线，∴NP ＝12AB ，同理可得MP ＝12CD ．∵AB 与CD 不平行，∴P 点不在MN 上．在△PMN 中，由于两边之和大于第三边，∴MN ＜PM +PN ＝12(AB +CD )小结：此类题型通过转化,把有关的线段或与之有联系的线段集中在一个三角形中,再应用三角形的有关知识，如：三角形中位线及两边之和大于第三边，两边之差小于第三边等知识，即可得出证明．2、比较角的大小例5、如图：AD 是△ABC 的中线，如果AB >AC ，那么∠BAD <∠CAD ．分析：因为D 为BC 中点联想到，过点D 作中位线DE ，因为DE ∥AB 即△ABC 得到∠1=∠3，由AB >AC , 有12AB ＞12AC ，所以就有∠3＜∠2，即∠BAD <∠CAD证明：过点D 作DE ∥AB 交AC 于E ，∴DE ∥AB 且 DE =12AB ，E 为AC 中点．∴∠1=∠3，∵AB >AC ，∴12AB >12AC ，即在△AED 中，DE >AE ，∴∠3<∠2，∴∠1<∠2，即∠BAD <∠CAD小结：本题证角不相等，因为要证的两个角不在同一个三角形中，如果这两个角在同一个三角形中能应用：在同一个三角形中，大边对大角原理这时就考虑到如何将这两个角放在一个三角形中，通过观察只要过D 作DE ∥AB 就可解决求证问题．三、求值问题例6. 如图，正方形ABCD 两对角线相交于点E ，∠CAB 的平分线交BE 于G ，交BC 于F ，若GE ＝24 求FC 的长．分析：求FC 的长，因为E 为对角线交点，就是AC 中点所以作辅助线PE ∥BC 就有PE ∥FC 且有PE =21FC 所以只要能求出PE 的长即可，而PE 的长可由∠3＝∠4求出，因为∠3为△APE 的外角所以有∠3=∠2+∠5同理有∠4=∠1+∠7因为AF 为∠BAC 的平分线所以∠1=∠2又因为所以∠5=∠6,而∠6=∠7所以有∠3=∠4即PE =GE =12FC ,这样问题就解决了．解：过点E ，作EP ∥BC ，交AF 于点P ，则P 为AF 中点，∵∠3＝∠2＋∠5＝∠2＋∠6，∠4＝∠1＋∠7，又∵AF 平分∠BAC ，∴∠1＝∠2，又∵∠6＝∠7，∴∠3＝∠4，∴EP ＝EG ，∵PE 是△AFC 的中位线，∴PE ＝12FC =EG ，即FC =2EG =2PE =2×24=48小结：求值问题，主要是如何添加辅助线，将比较难的问题转为容易的问题．总之，三角形中位线定理及其应用，在初中数学中占有很重要的地位，如何正确添加辅助线构造三角形中位线对每个学生来说是一个重点也是一个难点．要求学生要善于觉察图形中的有关定理的基本图形，涉及到中点问题时要及时联想到有关定理．一条或一组合理地利用了题目条件的辅助线常见有一箭双雕甚至一箭多雕的效益，准确而理想的图形能有效地帮助我们迅速地捕捉到题意预定的目标．。

三角形中位线定理的几种证明方法及教学中需要说明的地方

三角形中位线定理的证明及其教学说明以下内容作者为：青岛第四中学杨瀚书老师一、三角形中位线定理的几种证明方法法1：如图所示，延长中位线DE 至F ，使，连结CF ，则，有ADFC ，所以FCBD ，则四边形BCFD 是平行四边形，DF BC 。

因为，所以DEBC 21．法2C 作交DE 的延长线于F ，则，有FCAD ，那么FCBD ，则四边形BCFD 为平行四边形，DFBC 。

因为，所以DEBC 21．法3：如图所示，延长DE 至F ，使，连接CF 、DC 、AF ，则四边形ADCF 为平行四边形，有ADCF ，所以FCBD ，那么四边形BCFD 为平行四边形，DF BC 。

因为，所以DEBC 21．法4：如图所示，过点E 作MN ∥AB ，过点A 作AM ∥BC ，则四边形ABNM 为平行四边形，易证CEN AEM ∆≅∆，从而点E 是MN 的中点，易证四边形ADEM 和BDEN 都为平行四边形，所以DE=AM=NC=BN ，DE ∥BC ，即DEBC 21。

法5：如图所示，过三个顶点分别向中位线作垂线．二、教学说明1、三角形中位线定理的另外一种猜想过程：“二维”转化为“一维”在引导学生探索三角形中位线定理时，由于学生画出中位线后，就不难直观地发现平行关系，难的是发现数量关系，我联想到在此之前认识线段中点时的一道典型例题，挖掘它与原有知识的内在联系，从而作如下探索引导。

⑴如图，A为线段BC(或线段BC的延长线)上的任意一点，D、E分别是AB、AC 的中点，线段DE与BC有什么关系？AB C图⑴：⑵如果点A不在直线BC上，图形如何变化？上述结论仍然成立吗?C图⑵：说明：学生观察（几何画板制作的）课件演示：当△ABC的顶点A运动到直线B C上时,中位线DE也运动到BC上，这样由“二维”转化为“一维”，学生就不难猜想性质的两方面，特别是数量关系，而想到去度量、验证和猜想，水到渠成.如果教师直接叫学生去度量角度和长度，是强扭的瓜不甜.2、教学重点：本课重点是掌握和运用三角形中位线定理。

三角形中位线定理

三角形中位线定理课创设情景尝试探索智海扬帆梳理回放巩固拓展画板画板画板定理证明例1及发散提高A 。

BC 。

D 。

E如图，在A 、B 外选一点C ，连结AC 和BC ，A 、B 两点被池塘隔开，现在要测量出A 、B 两点间的距离，但又无法直接去测量，怎么办？这堂课，我们将教大家一种测量的方法。

并分别找出AC 和BC的中点D 、E ，如果能测量出DE 的长度，也就能知道AB 的距离了。

今天这堂课我们就要来探究其中的学问。

三角形的中位线和三角形的中线不同C BA F ED 定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线注意演示AF 是△ABC 的中线我们把DE 叫△ABC 的中位线注意：三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段三角形的中线是连结一个顶点和它的对边中点的线段区分三角形的中位线和中线：理解三角形的中位线定义的两层含义:②∵ DE为△ABC 的中位线①∵D、E 分别为AB 、AC 的中点∴DE为△ABC 的中位线∴ D、E 分别为AB 、AC 的中点一个三角形共有三条中位线。

ABCD 。

E。

FE 点是线段AC 的中点∵AD=DB 且DE ∥BC∴AE=ECA B CD E 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.如图,已知，在△ABC 中，点D 为线段AB的中点，自D 作DE ∥BC ，交AC 于E ，那么点E在AC 的什么位置上？为什么？这时DE 是△ABC 的___________中位线进入几何画板观察变化中的三角形中位线有何特征三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半AB C D E F 已知：在△ABC 中，DE 是△ABC 的中位线求证：DE ∥BC ，且DE=1/2BC .证明：如图，延长DE 到F ，使EF=DE ，连结CF.∵DE=EF 、∠AED=∠CEF 、AE=EC∴△ADE ≌△CFE∴AD=FC 、∠A=∠CEF∴AB ∥FC又AD=DB ∴BD ∥=CF所以，四边形BCFD 是平行四边形∴DE ∥BC 且DE=1/2BC 同一法定理证法二：过点C 作AB 的平行线交DE 的延长线于F ∵CF ∥AB ，∴∠A=∠ECF 又AE=EC ，∠AED=∠CEF ∴AD=FC 又DB=AD ，∴DB ∥=FC 所以，四边形BCFD 是平行四边形证法三：如图，过点C 作AB 的平行线交DE 的延长线于F ，连结AF 、DC ∵AE=EC ∴DE=EF∴四边形ADCF 是平行四边形∴AD ∥=FC又D 为AB 中点，∴DB ∥=FC 所以，四边形BCFD 是平行四边形A B C E DF ABCE D F证法四：如图，过E 作AB 的平行线交BC 于F ，自A 作BC 的平行线交FE 于G∵AG ∥BC ∴∠EAG=∠ECF∴△AEG ≌△CEF ∴AG=FC ，GE=EF 又AB ∥GF ，AG ∥BF ∴四边形ABFG 是平行四边形∴BF=AG=FC ，AB=GF又D 为AB 中点，E 为GF 中点，∴DB ∥=EF∴四边形DBFE 是平行四边形∴DE ∥BF ，即DE ∥BC ，DE=BF=FC即DE=1/2BC ABCE DF G过D 作DE’∥BC ，交AC 于E’点∵D 为AB 边上的中点所以DE’与DE 重合，因此DE ∥BC同样过D 作DF ∥AC ，交BC 于F∴BF=FC= 1/2BC (经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边)∴四边形DECF 是平行四边形∴DE=FC ∴DE=1/2BC∴E’是AC 的中点（经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边）ABCDEE’F证明：如果DE 是△ABC 的中位线那么⑴DE ∥BC ，⑵DE=1/2BC①证明平行问题②证明一条线段是另一条线段的2倍或1/2用途ABCDE1.如图1：在△ABC 中，DE 是中位线（1）若∠ADE=60°，则∠B=度，为什么？（2）若BC=8cm ，则DE=cm ，为什么？2.如图2：在△ABC 中，D 、E 、F 分别是各边中点AB=6cm ，AC=8cm ，BC=10cm ，则△DEF 的周长= cm图1图260412A BCD 。

中位线直角三角形中线长定理的运用

Rt△斜边上中线的等于斜边的一半
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6.如图，△ABC中，BF,CE分别是高，M是EF的中点，D是BC的中点，证明：DM⊥EF
M
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7.如图，Rt△ABC中，∠B=90°， ∠C=30°，E是AC中点，F满足 B和△CDE都是等腰直角三角形，且B是DC中点，F是 AE中点，试判断△BDF的形状。
三角形的中位线定理
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1，如图，△ABC中，DE是中位线， F是BC中点，证明：DE、AF互相平分。
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2.如图，四边形ABCD中，E,F,G,H分别是各边中点，证明：EFGH是平行四边形。
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3.如图，△ABC中，BD,CE分别是中线，交于G点，F,H分别是 BG,CG的中点，证明：GB=2GD
F
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变1：如图，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，F是AE中点，试判断△BDF的形状。
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4.如图，△ABC中，AB=6，AC=10， AE平分∠BAC，BE垂直AE，D是BC 中点，求DE的长度。
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5.如图，四边形ABCD中，O为AC,BD 的交点，AC=BD，E,F分别是AB,CD 的中点，E,F交AC,BD于M,N点，判断 △MON的形状。
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三角形中位线定理：

三角形中位线定理：
三角形中位线定理是指一个三角形的三条中位线交于一点，且该点距离三个顶点的距离相等。

具体来说，若在三角形ABC中，D、E和F分别是AB、BC和CA 的中点，则它们交于一点G，且AG=BG=CG。

中位线定理是三角形中的基本定理之一，它可以用于解决许多与三角形有关的问题。

例如，可以利用中位线定理证明三角形内任意一条线段的中点与三角形的三个顶点连线的交点共线；也可以利用中位线定理证明三角形的面积公式S=（1/2）×底边×高。

中位线定理还有一些其他有趣的应用，例如可以用它来构造一个等面积的平行四边形，或者用它来解决一些几何推理问题。

总之，中位线定理是三角形中的一个重要工具，它能够帮助我们更好地理解和解决与三角形有关的各种问题。

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三角形中位线定理的几种证明方法及教学中需要说明的地方

三角形中位线定理的证明及其教学说明一、三角形中位线定理的几种证明方法法1：如图所示，延长中位线DE 至F ，使，连结CF ，则，有ADFC ，所以FCBD ，则四边形BCFD 是平行四边形，DFBC 。

因为，所以DEBC 21．法2：如图所示，过C 作交DE 的延长线于F ，则，有FCAD ，那么FC BD ，则四边形BCFD 为平行四边形，DFBC 。

因为，所以DEBC 21．法3：如图所示，延长DE 至F ，使，连接CF 、DC 、AF ，则四边形ADCF 为平行四边形，有ADCF ，所以FCBD ，那么四边形BCFD 为平行四边形，DF BC 。

因为，所以DEBC 21．法4：如图所示，过点E 作MN ∥AB ，过点A 作AM ∥BC ，则四边形ABNM 为平行四边形，易证CEN AEM ∆≅∆，从而点E 是MN 的中点，易证四边形ADEM 和BDEN 都为平行四边形，所以DE=AM=NC=BN ，DE ∥BC ，即DEBC 21。

法5：如图所示，过三个顶点分别向中位线作垂线．二、教学说明1、三角形中位线定理的另外一种猜想过程：“二维”转化为“一维”在引导学生探索三角形中位线定理时，由于学生画出中位线后，就不难直观地发现平行关系，难的是发现数量关系，我联想到在此之前认识线段中点时的一道典型例题，挖掘它与原有知识的内在联系，从而作如下探索引导。

⑴如图，A 为线段BC(或线段BC 的延长线)上的任意一点，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，线段DE 与BC 有什么关系？AC图⑴：⑵如果点A 不在直线BC 上，图形如何变化？上述结论仍然成立吗?图⑵：说明：学生观察（几何画板制作的）课件演示：当△ABC 的顶点A 运动到直线BC 上时,中位线DE 也运动到BC 上，这样由“二维”转化为“一维”，学生就不难猜想性质的两方面，特别是数量关系，而想到去度量、验证和猜想，水到渠成.如果教师直接叫学生去度量角度和长度，是强扭的瓜不甜.2、教学重点：本课重点是掌握和运用三角形中位线定理。

三角形的中线及中位线性质的运用举例

直角三角形斜边上中线性质的运用在直角三角形中有这样一个十分重要而又运用广泛的性质：直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.下面就这一性质的应用举例说明.例1 如图1，已知，△ABC 中，CE ⊥AD 于E ，BD ⊥AD 于D ，BM ＝CM .求证：ME ＝MD .分析要证明ME ＝MD 首先想到的要证明两个角相等，可没有足够的条件，但有中点和垂线，于是想到通过辅助线构造直角三角形，利用直角三角形斜边上的中线性质证明.证明延长DM 与CE 交于N .因为CE ⊥AD 于E ，BD ⊥AD 于D ，所以CE ∥BD ，即∠NCM ＝∠DBM ，又∠CMN ＝∠BMD ，BM ＝CM ，所以△CMN ≌△BMD ，所以NM ＝DM ，即M 为ND 中点.因为CE ⊥AD 于E ，所以△NED 为直角三角形，所以ME ＝12ND ，所以ME ＝MD .例2 如图2，BD 、CE 是高，G 、F 分别是BC 、DE 的中点，求证：FG ⊥DE .分析有三角形高就会想到直角三角形，有中点当然会联想到直角三角形斜边上的中点性质和等腰三角形的性质，于是，连结DG 、EG ，可得DG 、EG 分别是Rt △BDC 和Rt △BEC 的中线，可知△GDE 是等腰三角形，进而由F 是DE 的中点，即FG ⊥DE .证明因为BD 、CE 是高，所以∠BDC ＝∠BEC ＝90°，即△BDC 和△BEC 都是直角三角形. 又因为G 是BC 的中点，所以DG ＝EG ＝12BC ，即△GDE 是等腰三角形. 因为F 是DE 的中点，所以GF 是等腰三角形GDE 的底边DE 上的中线，所以由等腰三角形的“三线合一”，得GF 也是底边DE 上的高线，EDBCA FG图2N ED CBAM图1所以FG ⊥DE .例3 如图3所示，点E 、F 分别为正方形ABCD 边AB 、BC 的中点，DF 、CE 交于点M ，CE 的延长线交DA 的延长线于G ，试探索：（1）DF 与CE 的位置关系；（2）MA 与DG 的大小关系.分析（1）要探索DF 与CE 的位置关系，由图可以猜想到DF ⊥CE ，而由条件可以证明△EBC ≌△FCD ，则有∠ECB ＝∠FDC ，即可证明DF ⊥CE .（2）仍然通过观察分析图形，可以猜想MA ＝12DG ，而事实上，由（1）可知△DMG 是直角三角形，再由条件可得△GAE ≌△CBE ，即得GA ＝CB ，于是利用直角三角形斜边上的中线性质即可证明.解（1）DF ⊥CE .理由：因为点E 、F 分别为正方形ABCD 边AB 、BC 的中点，所以∠B ＝∠FCD ＝90°，BE ＝12AB ，CF ＝12BC ，而AB ＝BC ＝CD ，即BE ＝CF ，所以△EBC ≌△FCD ，所以∠ECB ＝∠FDC ，而∠DFC ＋∠FDC ＝90°，所以∠DFC ＋∠FCM ＝90°，即∠CMF ＝90°，所以DF ⊥CE . （2）MA ＝12DG .理由：因为F 是AB 的中点，所以AE ＝BE ，又∠GAE ＝∠B ，∠AEG ＝∠BEC ，所以△GAE ≌△CBE ，所以GA ＝CB . 而由（1）可知△DMG 是直角三角形，所以MA ＝12DG . 例4 已知：如图4，□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，EF ⊥AC ，O 是垂足，EF 分别交AB 、CD 于点E 、F ，且BE ＝OE ＝12AE .求证：□ABCD 是矩形.EDBCA FGM 图3图4ABCEGFOD分析要证□ABCD 是矩形，只要证AC ＝BD 或OA ＝OB 即可.由BE ＝OE ＝12AE ，可作出Rt △AOE 斜边上的中线OG ，这样可证得△AOG ≌△BOE ，于是证得OA ＝OB .证明取AE 的中点G ，连结OG ，所以Rt △AOE 中，OG ＝12AE ＝AG ，因为BE ＝OE ＝12AE ，所以OE ＝OG ，AG ＝BE ，即∠OGE ＝∠OEG ，所以∠AGO ＝∠OEB ，所以△AGO ≌△BEO ，所以OA ＝OB ，又四边形ABCD 是平行四边形，所以AC ＝2OA ，BD ＝2OB ，即AC ＝BD ，所以□ABCD 是矩形.综上所述，利用直角三角形斜边上中线的性质解题时，应依据条件，贯例图形，通过分析，把问题转化为证明线段相等，或通过辅助线，构造出直角三角形，利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，同时兼用全等三角形的知识，从而逐步逼近结论.在几何证明中，另外，熟练地识别图形、善于构造图形，并运用图形的性质进行推理论证是十分重要的.下面一道题目供同学们自己练习：如图6所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠C +∠D ＝90°，E 、F 为AB 、CD 的中点.求证：CD －AB ＝2EF .提示：作EM ∥AD 交CD 于M ，EN ∥BC 交CD 于N .利用直角三角形斜边上中线等斜边的一半.图6FEDCBA聚焦中位线定理的运用中位线定理是三角形一个重要定理.有一个特点，在同一个题设下有两个结论：一个结论是表明两条线段的位置关系（平行），另一个结论是表明两条线段的数量关系（一半）.在应用这个定理时，不一定同时需要两个结论，有时需要平行，有时需要倍分关系.可以根据具体情况，按需选用.现举例说明中位线定理的运用.一、用于证明平行例1 在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，A D ⊥BD,垂足为D ，AE=EC. 求证：DE ∥BC.图1CFEDBA证明：延长AD 交BC 于点F. 因为BD 平分∠ABC ，所以∠ABD =∠CBD. 因为A D ⊥BD,所以∠BDA =∠BDF=900. 又BD=BD,所以△BDA ≌△BDF(ASA). 所以AD=DF.又因为AE=EC,所以DE ∥FC, 即DE ∥BC （三角形的中位线定理）. 二、用于证明角相等例2 如图2，四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，已知AC=BD,M,N 分别是AD 、BC 的中点，MN 与AC 、BD 分别交于E 、F 点.求证：∠AEN=∠BFM.图24312FEBAP NMCD分析：可取CD 或AB 的中点构造中位线. 证明：可取AB 的中点P ，连接PM 、PN. 因为AM=MD,AP=BP,BN=NC, 所以MPBD 21,PN AC 21(三角形中位线定理). 所以∠1=∠3，∠2=∠4. 又因为AC=BD, 所以MP=NP, ∠3=∠4, 所以∠1=∠2.所以∠AEN=∠BFM （等角的补角相等）. 三、用于证明线段相等例3 如图3，△ABC 的AB 、AC 向形外作正三角形ABD 和ACE,分别取BD 、BC 、CE 的中点P 、M 、Q.求证：PM=QM.图3QPCAD分析：中点P 、M 所在线段DB 、CB 有公共端点B ，若连接它们的另一端D 、C ，则PM 使成为△BCD 的中位线，同理连接BE 之后MQ 也成为△BEC 的中位线，通过中位线定理的传递，问题转化为证明DC 与BE 相等.证明过程由同学们自己完成！四、用于证明线段的特殊关系例4 如图4，已知四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为AB 、CD 、AC 、BD 的中点，且E 、F 、G 、H 不在同一条直线上，求证：EF 和GH 互相平分.分析：要证明EF 和GH 互相平分，可证明四边形EGFH 是平行四边形；有中点，可考虑利用中位线定理.图4GHBE ACFD证明：连接EG 、GF 、FH 、HE. 因为AE=EB, BH=HD, 所以EH AD 21. 同理FG AD 21. 所以EHFG.所以四边形EGFH 是平行四边形. 所以EF 和GH 互相平分.巧用中线的性质解题我们知道三角形的一条中线将三角形分成的两个三角形等底同高，这样的两个三角形的面积相等.下面我们利用上述性质来巧解以下问题.一、巧算式子的值例1 在数学活动中，小明为了求23411112222++++ (1)2n +的值（结果用n 表示），设计了如图1所示的几何图形.请你利用这个几何图形求23411112222++++ (1)2n +的值.图1解析：从图中可以看出大三角形的面积为1，根据三角形的中线把它分成两个面积相等的三角形可知，23411112222++++…12n +12n +表示：组成面积为1的大三角形的所有小三角形的面积之和，于是23411112222++++ (12)n +112n =-.【点评】此题运用“数形结合思想”，借助三角形的面积来求数的运算. 二、求图形的面积例2 如图2，长方形ABCD 的长为a ，宽为b ，E 、F 分别是BC 和CD 的中点，DE 、BF 交于点G ，求四边形ABGD 的面积.图2 解析：连接CG ，不难得出BCFSDCE S=4ab=，从而BEGDFG S S=，由E 、F 分别是BC 和CD 的中点，可得△DGF、△CFG、△CEG、△BEG的面积相等，因此S四边形ABGDab=-4ab43⨯23=ab.【点评】本题的难度较大，通过连接CG，巧妙地把四边形ABGD以外的部分分成四个面积相等的三角形.像CG这样原题中没有，但我们在解题的过程中用它来“辅助”解决问题的线，称之为“辅助线”.三、巧等分土地例3.有一块三角形优良品种试验基地，如图3所示，•由于引进四个优良品种进行对比试验，需将这块土地分成面积相等的四块，请你制定出两种以上的划分方案供选择（画图说明）．图3解析：可根据中线的特征，先分为两个面积相等的三角形，然后再依次等分.方案1：如答图（1），在BC上取D、E、F，使BD=ED=EF=FC，连接AE、ED、•AF．(1) (2) (3)方案2：如答图2，分别取AB、BC、CA的中点D、E、F，连接DE、EF、DF．方案3：如答图3，分别取BC的中点D，CD的中点E，AB的中点F，连接AD、AE、DF．【点评】三角形面积计算公式为12×底×高，因此解题的关键是找出底、高分别相等的四个三角形．对于本题，同学们！你还有别的方法吗？试试看．。

三角形中位线定理的运用(绝对经典)

三角中位线定理的应用中位线的性质：平行与第三边，并且等于第三边的一半。

三角形有三条中位线，最终将三角形分成四个全等三角形。

能够造出三个平行四边形，其中平行四边形的周长恰好等于三角形长两边之和。

中位线与第三边上的中线互相平分。

利用的是平行四边形的对角线互相平分。

三角形的中位线围成的三角形跟原三角形形状一样，周长是原来的一半，面积是原来的1/4，中位线的应用测距，中位线的定义，经过三角形两边中点的连线。

中线指的是一顶点与对边中点的连线。

中线性质，中线将三角形分成面积相等的两部分（等底同高面积相等）知识要点：三角形的中位线平行于三角形第三边，并且等于第三边的一半.1.三角形三条中位线围成的三角形与原三角形在某些数量上的关系（形状一样/相似）⑴.周长关系三角形的三条中位线围成的三角形的周长是原三角形的周长的一半.⑵.三角形的三条中位线围成的三角形的面积是原三角形的面积的41.2.中点四边顺次连结四边形四边中点所构成的四边形，我们把它简称为中点四边形.中点四边形的特殊性主要是看原四边形的对角线的特征，分为下面几种情况：任意四边形的中点四边形是平行四边形。

对角线相等的四边形的中点四边形是菱形；对角线垂直的四边形的中点四边形的是矩形；对角线既相等又垂直的四边形的中点四边形是正方形。

中位线与第三边上的中线互相平分。

利用的是平行四边形的对角线互相平分。

1、已知△ABC 的周长为1，连结△ABC 的三边中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形的三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2010个三角形的周长是（）2、如图所示，已知四边形ABCD ，R ，P 分别是DC ，BC 上的点，E ，F 分别是AP ，RP 的中点，当点P 在BC 上从点B 向点C 移动而点R 不动时，那么下列结论成立的是（）A ．线段EF 的长逐渐增大B ．线段EF 的长逐渐减少C ．线段EF 的长不变D ．线段EF 的长不能确定3、如图ABC 中，EF 为三角形的中位线，AD 是BC 边上的中点，点O 为EF 和AD 的交点.求证：EF 和AD 互相平分.4、如图，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点．四边形EGFH 是平行四边形吗？请证明你的结论．5、如图，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、CD 、AC 、BD 的中点．四边形EGFH 是平行四边形吗？请证明你的结论．6、如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，（1）∠PEF＝35°，则∠PFE的度数．（2）∠CBD=20°，∠ADB=100°，则∠PFE的度数．7、已知：如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，且AC＝BD，E、F分别是AB、CD的中点，E、F分别交BD、AC于点G、H．求证：（1）OG＝OH．（2）∠ONM＝∠OMN.8、如图，在四边形ABCD中，已知AB＝CD，点E，F分别为AD，BC的中点，延长BA，CD，分别交射线FE于P，Q两点．求证：∠P＝∠CQF..９、点M为△ABC的边BC的中点，AB＝12，AC＝18，BD⊥AD于点D，连DM.(1)如图1，若AD为∠BAC的平分线，则MD＝；（1）DM∥AC；DM＝21（AC﹣AB）．(2)如图2，若AD为∠BAC的外角平分线，则MD＝．．【变式】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC外一点，使∠DAC＝∠BAC，E为BD的中点．若∠ABC＝60°，则∠ACE＝.１０、如图，△ABC的中线BD、CE相交于点O，F、G分别是OB、OC的中点，线段EF与DG之间有什么关系？为什么？１１、如图，点E F G H、、、分别是CD BC AB DA、、、的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形１２、如图，已知在□ABCD中，EF∥BC,分别交AB CD、于E F、两点，DE AF、交于M,CE BF、交于N．求证:1MN AB2=.１３、已知：E为ABCD的边DC的延长线上的一点，且CE DC=,连结AE分别交BC BD、于F G、，对角线AC BD、交于点O.求证：AB2OF=。

3角形中位线定理

3角形中位线定理三角形中位线定理，是在三角形中，与三条相邻边的中点相连的线段，它们构成的三个交点都在同一点上。

本文将从定理的证明、推广应用、例题等三个方面进行阐述。

一、定理的证明证明思路：设三角形ABC的三边分别为a、b、c，D为BC的中点，E为AC的中点，F 为AB的中点，则连接AD、BE、CF的交点为G。

则需证明AD、BE、CF三条线段的交点G是一个固定点。

证明：由于D、E、F都是各边中点，可得：∵ D是BC的中点，∴ BD = DC；又∵ G是AD与BE的交点，故可以得出：∵ D、E分别为BC和AC的中点，∴ DE // AC，同时AE = EC，∴ △AED与△CEB 相似。

$\frac{GA}{BD}=\frac{GC}{CE}$又 $\because BD=DC$ ， $\therefore GA=GC$同理可得：于是，我们得到了两个相等的值：GA=GC，GB=GC。

由此，可知三角形GAC是一个等腰三角形，且AG与CF之间的线段垂直于CF，同理可得：因为三角形GAC、GBA、CBG均拥有最长边CG，所以它们就构成了一个共同的圆，而这个圆的中心就是点G。

因此可以得知：三角形ABC的三边中位线的交点G是一个固定点。

二、推广应用利用中位线定理，我们可以推导容易证明的三条定理和一个相关问题：中位线长定值定理、七分线长定值定理、以及在四边形中应用中位线定理、解决中位线问题。

1. 中位线长定值定理在三角形中，如果其中一条中位线相等，那么这个三角形就是等边三角形。

设△ABC为等边三角形，则BD、AE、CF三条中位线的长度均为$\frac{1}{2}$边长，又 $\because BD=AE=CF$ ，所以可以得到：BD=AE=CF=$\frac{1}{2}$a=a，同理可得：b=c=a。

在三角形中，三条中位线可将它们所在线段的长分为1:2:3的比例。

首先，由于三角形的三角形内部对角线互不交于同一点，那么三角形内部的线段AB、AC、BC是不会共线的。

中位线定理不同证明方法

中位线定理不同证明方法中位线定理，又称中线定理，是几何中的一个基本定理。

它指出，在一个三角形中，三条中线交于一点，这个交点被称为三角形的质心。

中位线定理的证明有多种方法，下面我将介绍其中的一些方法。

一、初级证明方法在这个证明方法中，我们将使用简单的几何知识来证明中位线定理。

让我们回顾一下中位线的定义。

中位线是连接一个三角形的一个顶点和对边中点的线段。

根据中位线的定义，我们可以得出结论：三条中位线交于一点。

为了方便说明，我们设这个三角形的三个顶点为A、B、C，对边分别为BC、CA和AB。

设M是BC的中点，N是CA的中点，P是AB的中点。

根据中位线的定义，线段AM是连接顶点A和对边BC的中点M的线段。

现在我们来证明中位线AM和BN的交点在CP上。

设交点为D。

根据三角形中位线的性质，AD和BC互相平分。

我们可以得出以下结论：AM = MD 和 BN = ND。

然后我们来看三角形ADM和三角形BND。

根据两个三角形的边长比较，我们可以得出：AD = ND 和 AM = MD。

根据边边边相似的性质，我们可以得出结论：三角形ADM和三角形BND全等。

根据全等三角形的性质，我们可以得出：∠DMA = ∠DNB。

因为∠DMA是三角形ADC的外角，所以∠DMA = ∠ADC + ∠ACD =∠ANB + ∠ACD。

同样的道理，∠DNB = ∠ANB + ∠BCD。

我们可以得出结论：∠ANB + ∠ACD = ∠ANB + ∠BCD。

根据等式两边相等的性质，我们可以得出：∠ACD = ∠BCD。

我们可以得出结论：CD || AB。

根据平行线的性质，我们可以得出：∠BDC = ∠ACB。

因为∠BDC是三角形BDC的内角，所以∠BDC + ∠BCD = 180°。

代入之前的等式，我们可以得出：∠ACB + ∠BCD = 180°。

我们可以得出结论：∠ACB+ ∠BCD = 180°。

根据三角形内角和的性质，我们可以得出：∠ACB + ∠BCA + ∠ABC = 180°。

例析三角形中位线定理及其应用

２０２３年４月下半月㊀学法指导㊀㊀㊀㊀例析三角形中位线定理及其应用◉甘肃省白银市第六中学㊀苏东红㊀㊀摘要:与三角形有关的线非常多,如高线㊁中线㊁角平分线㊁垂直平分线等,它们都在解决三角形有关问题中扮演着不同的角色㊁发挥着不同的作用．本文中以北师大版初中数学教材为蓝本,结合例题分析三角形中位线定理及其应用,可以给一线教师带来帮助．关键词:三角形;中位线;作用㊀㊀在北师大版初中数学教材中,三角形的中位线及其定理被安排在了平行四边形这一章,属于比较基础且非常重要的知识点．基础是因为难度较小,重要是因为它在解决初中几何问题中往往发挥着重要的作用,是一线教师应着重讲解㊁分析的内容．基于此,本文中首先介绍了三角形的中位线及其定理,然后通过例题分析其具体应用．１三角形中位线及其定理１．１三角形中位线在教材中,三角形的中位线是这样定义的:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．由此不难得知,一个三角形有三条不同的中位线．另外,三角形的中位线与三角形的中线不同:三角形中位线的两个端点分别是三角形两边的中点(如图１Ｇ１),而三角形的中线的两个端点,分别是三角形的顶点和这个顶角对边的中点(如图１Ｇ２)[１]．图１Ｇ１㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图１Ｇ２１．２三角形中位线定理在教材中,通过研究得到了三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半 ,这就是三角形中位线定理．由此不难得到三角形的中位线与第三边的关系．(１)位置关系:三角形的中位线与第三边互相平行,如在图１Ｇ１中,有D EʊB C;(２)数量关系:三角形的中位线等于第三边的一半,如在图１Ｇ１中,有D E＝１２B C．２三角形中位线定理的应用三角形中位线定理是初中数学几何部分非常重要的理论知识,对解答几何问题的帮助非常大[２]．下面结合例题分析三角形中位线定理的具体应用．２．１证明两条直线平行图２例１㊀(２０２２钦州)如图２,D E是әA B C的中位线,则әA D E与әA B C的面积比是．分析:由中位线可知D EʊB C,D E＝１２B C,则әA D EʐәA B C,相似比为１ʒ２．根据相似三角形的面积比是相似比的平方,即得结果．解:ȵD E是әA B C的中位线,ʑD EʊB C,且D E＝１２B C．ʑәA D EʐәA B C,且相似比为１ʒ２．ȵ相似三角形的面积比是相似比的平方,ʑәA D E与әA B C的面积的比为１ʒ４．点评:本题要熟悉中位线定理及相似三角形的判定及性质,牢记相似三角形的面积比是相似比的平方．图３变式１㊀如图３,D,E分别是әA B C两边A B,A C的中点,将әA B C沿着线段D E所在直线折叠,使点A落在点F处．若øB＝５５ʎ,则øB D F＝ʎ．解析:因为D,E分别是әA B C两边A B,A C的中点,所以D E是әA B C的中位线．根据三角形中位线定理,可知D EʊB C,进一步利用平行线的性质得到øB＝øA D E＝５５ʎ．最后,根据折叠前后的两个图形全等这一特点,易得øF D E＝øA D E＝５５ʎ．所以øB D F＝１８０ʎ－øF D E－øA D E＝７０ʎ．答案:７０．点评:本题用到的知识点比较多,如三角形中位线定理㊁平行线的性质㊁图形折叠的性质等,其中判断D E是әA B C的中位线且根据三角形中位线定理得到D EʊB C最关键．由此可见,证明两边互相平行的１６Copyright©博看网. All Rights Reserved.学法指导２０２３年４月下半月㊀㊀㊀方法不只有平行线的判定定理,还有三角形中位线定理．２．２证明线段的相等或倍分关系图４例２㊀如图４,在әA B C中,A D 为B C 边上的中线,F 为A C 边上一点,A F ＝１３A C ,连接B F 交A D 于点E ,E F ＝５c m ,求B F 的长．分析:因为A D 为B C 边上的中线,所以D 为B C 的中点,取C F 的中点M ,连接DM ,则DM 为әB C F 的中位线,可得DM ʊB F ,DM ＝１２B F ．再通过证明可得E F 为әA DM 的中位线,则E F ＝１２DM ,从而得到B F ＝４E F ,最后求出B F 的长．解:如图５,取C F 的中点M ,连接DM ．ȵD 为B C 的中点,ʑDM 是әB C F 的中位线．ʑDM ʊB F ,DM ＝１２B F ,即B F ＝２DM ．图５ȵA F ＝１３A C ,ʑA F ＝１２F C ．又ȵF M ＝１２F C ,ʑA F ＝F M ,即F 是AM 的中点．ȵE F ʊDM ,ʑE 为A D 的中点．ʑE F 是әA DM 的中位线．ʑE F ＝１２DM ,即DM ＝２E F ．ʑB F ＝２DM ＝２ˑ２E F ＝４E F ．ȵE F ＝５c m ,ʑB F ＝２０c m ．图６变式２㊀如图６,在四边形A B C D 中,A B ＝C D ,E ,F 分别是B C ,A D 的中点,B A ,C D 的延长线分别与E F 的延长线交于点M ,N ．求证:øB M E ＝øC N E ．分析:受例２解题方法的启发,遇到中点就构造三角形的中位线,考虑E ,F 在不同的边上,所以在构造中位线时应连接B ,D ,使得E ,F 两个中点产生联系．解:如图７,连接B D ,取B D 的中点G ,连接G E ,G F ．ȵG ,F 分别是B D ,A D 的中点,图７ʑG F ＝１２A B ,G F ʊB M ．同理可证G E ＝１２C D ,G E ʊC N ．ȵA B ＝C D ,ʑG F ＝G E ．ʑøG F E ＝øG E F ．ȵG F ʊB M ,ʑøG F E ＝øB M E ．ȵG E ʊC N ,ʑøG E F ＝øC N E ．ʑøB M E ＝øC N E ．点评:已知三角形一边中点时,常取另一边的中点,或者连接某线段,构造出三角形的中位线．３总结通过以上几道题的分析和总结,不难发现三角形中位线定理在解决平行㊁线段数量关系中发挥着重要作用．教师在教学中要注意以下两个方面:首先, 遇中点,想中位线 ,让学生充分掌握作辅助线构造三角形中位线的方法．例２和变式２都采用了作辅助线的方法,但例２的方法比较简单,而变式２中的方法比较复杂．这就启示解题者遇中点,想中位线是解决这一类问题的通法[３]．当中点数量较多时,可连接某两个点形成一条线段并将之作为桥梁 ,把若干个中点联系起来,如变式２中的B D ．其次,注重知识网络的构建,利用变式激发学生思维．三角形中位线定理会出现在许多几何题中,与之相关的知识点也非常多[４]．所以,为了结合三角形中位线定理顺利㊁高效地解决问题,一定要及时构建和完善知识网络[５]．当然,利用变式训练学生的思维也非常重要．参考文献:[１]张培恳．不同的课题与学生,需要不同的教法谈三角形中位线定理一课的不同教法[J ]．数学教学通讯,２０１９(２３):３６Ｇ３７．[２]边锋．三角形中位线构造方法的探究与建议[J ]．中学数学,２０２０(２０):３８Ｇ４０．[３]赵蓉．基于问题解决能力提升的初中数学探究性教学策略研究以三角形中位线定理教学为例[J ]．数学教学通讯,２０２０(１４):３４Ｇ３５．[４]廖志东,林艳霞．简约而不简单剖析三角形中位线定理教学的重㊁难点突破[J ]．中国数学教育,２０２０(Z ３):７Ｇ１０．[５]王松．与三角形中位线相关的典型中考题[J ]．初中生学习指导,２０２１(１７):１４Ｇ１５．Z２６Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

10、三角形的中位线定理

三角形的中位线定理【知识要点】问题1、什么是三角形的中线？什么是三角形的中位线？三角形有几条中位线？问题2、A、B两点被池塘隔开，现在要测量出A、B两点间的距离，但又无法直接去测量，怎么办？例（1）：如图已知，在△ABC中，点D，E分别是△ABC的边AB、AC中点，求证：DE∥BC，且DE=1/2BC．三角形的中位线定理：．应用：已知：如图所示，在四边形ABCD中，E、F、H、M分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：（1）AC和HG的关系；（2）AC和EF的关系；（3）四边形EFHM是平行四边形．【例题讲解】考点1、中位线定理的概念例题1、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10，DE垂直平分AC交AB于点E，则DE的长是多少？训练1、如图, E、F分别是ABCD 的两边AB、CD的中点, AF交DE于P, BF交CE于Q,则PQ与AB 的关系是 .考点2、中位线定理解决周长相关的问题例题2、如图，点D、E、F分别为△ABC三边的中点，若△DEF的周长为10，则△ABC的周长为（）A．5 B．10 C．20 D．40训练1、如果一个三角形的周长为10，那么连接各边中点所成的三角形的周长为（）A．4B．5C．6D．12例题2-1、如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对下列各值：①线段MN的长；②∥PAB的周长；③∥PMN的面积；④直线MN，AB之间的距离；⑤∥APB 的大小．其中会随点P的移动而变化的是（）训练1、如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（）A．7 B．9 C．10 D．11训练2、如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，对角线AC、BD的长分别为7和9，则四边形EFGH的周长是______.训练3、如图，△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，AE平分∠BAC交BC于点E，点D为AB的中点，连接DE，则△BDE的周长是________.已知第一个三角形的周长为1，它的三条中位线组成第二个三角形，第二个三角形的三条中位线又组成第三个三角形，以此类推，则第50个三角形的周长为（）A．（）50B．（）51C．（）49D．（）48考点3、中点四边形问题例题3、证明：顺次连接四边形各边重点所得到的四边形一定是（）；思考：什么情况下得到的平行四边形可以成为矩形？原来四边形的两条对角线连接四边中点所得到的四边形矩形菱形正方形平行四边形练习1.△ABC中，AB=3，BC=5，CA=7，顺次连结三边中点得△DEF的周长为_________.2．若顺次连接四边形ABCD四边的中点，得到的图形是一个矩形，则四边形ABCD一定是（）A．矩形B．菱形C．对角线相等的四边形D．对角线互相垂直的四边形3.若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是（）A．矩形B．等腰梯形C．对角线相等的四边形D．对角线互相垂直的四边形4.顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形一定是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形【及时训练】1、如图，跷跷板AB的支柱OD经过它的中点O，且垂直于地面BC，垂足为D，OD=50cm，当它的一端B着地时，另一端A离地面的高度AC为（）3．在△ABC中，D、E分别是BC、AC中点，BF平分△ABC．交DE于点F．AB=8，BC=6，则EF的长为（）A．1B．2C．3D．44．平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC的中点．若OE=3cm，则AB的长为（）A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm5．如图所示，在△ABC中，△A=60°，BD、CE分别是AC、AB上的高，H是BD、CE的交点，求△BHC的度数．6.如图，△ABC中，AB＞AC，AD平分△BAC，CD△AD，点E是BC的中点，若AB=12，AC=10，求DE的长．7.如图，在△ABCD中，AB=3，AD=4，E是CD的中点，则EO等于（）A．3B．4C．1.5D．28.如图，在△ABC中，AD=DE=EF=FB，DG△EH△FI△BC，已知BC=a，则DG+EH+FI的长是（）A．B．C．2a D．9．（1）回顾定理：如图1，在△ABC中，DE是△ABC的中位线．那么DE与BC的关系有．（2）运用定理：如图2，在四边形ABCD中，△ABC=50°，△BCD=40°，点F为AC的中点，点E为BD的中点．若AB=4，CD=6，求EF的长．【课堂总结】1.2.3.4.【课上练习】1．如图，在∥ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∥A=50°，∥ADE=60°，则∥C的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．80°3．如图，∥ABC的中线BD、CE交于点O，连接OA，点G、F分别为OC、OB的中点，BC=4，AO=3，则四边形DEFG的周长为（）A．6B．7C．8D．125．如图，∥ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．若DE=2，则BC=（）A．2B．3C．4D．56．如图，等边∥ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则∥DEC的度数为（）A．30°B．60°C．120°D．150°7．如图∥ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，已知DE=5，则BC的长为（）A．8B．9C．10D．118．如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为12m，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是（）AB=24m B．MN△AB C．△CMN△△CAB D．CM：MA=1：25.如图，D是△ABC内一点，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形．【课后练习】【要点梳理】要点一、三角形的中位线1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的12，每个小三角形的面积为原三角形面积的14.（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.要点二、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.。

三角形的中位线定理

三角形的中位线定理（B)一、三角形的中位线连接三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位线．二、三角形中位线定理三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．三、由三角形中位线定理可以推出： 1、三角形三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长一半． 2、三角形三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形． 3、三角形三条中位线可以从原三角形中划分出面积相等的三个平行四边形．例1、如图，在四边形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点．求证：四边形 EFGH 是平行四边形．证明：连接 BD． ∵E、H 是 AB、AD 的中点，∴EHBD．∵F、G 是 BC、CD 的中点，∴FGBD，1∴EH FG， ∴四边形 EFGH 是平行四边形．例2、顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形一定是_____平行四边形_____．例3、在□ABCD 中，AB=2，BC=3，∠ABC 与∠BCD 的平分线分别交 AD 于 E、F，则 EF=_____1_____．例4、在□ABCD 中，E、F 分别是 AD、BC 上的点，且 DE=CF，BE 和 AF 的交点为 M， CE 和 DF 的交点为 N，求证：MN∥AD，．解、证四边形 ABFE 和四边形 DCFE 是平行四边形， ∴MA=MF， ND=NF，则 MN∥AD，．例5、如图，△ABC 中，D、E 分别在 AB、AC 上，且 BD=CE，F、G 分别为 BE、CD 的中点，过 F、G 的直线交 AB 于点 P，交 AC 于点 Q．求证：AP=AQ．解、取 BC 的中点 M，连结 FM、GM，在△EBC 中，BF=FE，BM=MC，∴FM∥EC，，同理： GM∥BD，， ∵BD=CE， ∴FM=GM， ∴∠MFG=∠MGF，∵FM∥EC ，∴∠MFG=∠AQP ，∵GM∥BD ，∴∠MGF=∠APQ ，∴∠APQ=∠AQP ， ∴AP=AQ．23。