找中点构造三角形中位线解题(教师)

找中点构造三角形中位线解题

三角形的中位线定理，是一个非常有价值的定理。它是一个在三角形中遇到中点，必须联想到的重要定理之一。但是，在解题时，往往只知道一个中点，而另一个中点就需要同学们，根据题目的特点，自己去寻找。现介绍几种在不同条件下寻找中点的方法，供同学们学习时参考。 一、三角形中位线定理：

三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。 二、应用时注意的几个细节： ①定理的使用前提：三角形。

②定理使用时，满足的具体条件：两条边的中点，且连接这两点，成一条线段。 ③定理的结论：

位置上：与第三边是平行的，利用此定理可证明线段平行，从而可证明两角相等； 大小上：等于第三边的一半。利用此定理可证明两条线段之间的倍分关系； 三、应用举例

1、如果已知三角形两边中点，就直接连接构成三角形的中位线

例1、如图，在四边形ABCD 中，AB=CD ，E 、F 、G 分别是AD 、BC 、BD 的中点，H 是EF 的中点，试说明线段GH 与线段EF 的位置关系；

简析：在△ABC 中，E 、G 分别是AD 、BD 的中点，可连接EG ，则

有AB EG 2

1

=；在△BCD 中，G 、F 分别是BD 、BC 的中点，可

连接GF ，则有CD FG 2

1

=, 而AB=CD ，所以EG FG =,即△

EFG 是等腰三角形，又H 是底边EF 的中点，由等腰三角形的三线合一定理可知GH ⊥EF. 2、如果已知三角形一边中点，则可以取另一边的中点连接起来构成三角形的中位线 例2、如图1所示，在三角形ABC 中，∠B=2∠C ，AD 是三角形的高，点M 是边BC 的中点，求证：DM=

2

1

AB 。 分析：看到结论的表达形式，我们就想到，三角形的中位线

定理，有这样的特点，因此，我们就可以构造AB 上的中位线，再证明这条中位线与DM 是相等的。

H

G

F

E

D

C

B A

3、利用等腰三角形的三线合一找中点，应用中位线定理

例3如图，自△ABC 的顶点A ，向∠B 和∠C 的平分线作垂线，重足分别为D 、E 。

求证：DE ∥BC

分析：欲证ED//BC 我们可想到有关平行的判定，但要找到有关角的关系很难，这时只要通过延长AD 、AE ，交BC 与CB 的延长线于G 与H ，通过证明△ABD 与△GBD 全等易证D 是AG 中点，同理E 为AH 的中点，故，ED 是△AEG 的中位线，当然有DE ∥BC 。

小结：由此题我们可以知道证明直线或线段平行除了平行判定等，还可以用中位线定理来证明直线或线段平行。

例4、如图3所示，在三角形ABC 中，AD 是三角形ABC ∠BAC 的角平分线，BD ⊥AD ，点D 是垂足，点E 是边BC 的中点，如果AB=6,AC=14，则DE 的长为 。

分析：因为，点E 是BC 的中点，如果点D 也是某一边的中点，

我们就可以利用三角形的中位线定理，来求得DE 的长度。循着这条思路，我们不妨延长BD ，交AC 于点F ，只要证明点D 是BF 的中点就可以了。 4、利用平行四边形对角线的交点找中点，应用中位线定理

例5、如图5所示，AB ∥CD ，BC ∥AD ，DE ⊥BE ，DF=EF ，甲从B 出发，沿着BA 、AD 、DF 的方向运动，乙B 出发，沿着BC 、CE 、EF 的方向运动，如果两人的速度是相同的，且同时从B 出发，则谁先到达？

分析：要想知道谁先到达，因为，他们的速度相等，所以，谁走的路程短，就是谁先到达，

所以，关键是比较BA+AD+DF 与BC+CE+EF 的大小。 四、训练题

1、如图1，△ABC 中，BM 平分∠ABC ，AM ⊥BM ，垂足为M ，点N 为AC 的中点，设AB ＝10，BC ＝6，求MN 的长度.

21G

H

D

E

C

B

A

2、如图，同底边BC 的△ABC 与△DBC 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、AC 、DB 、DC 的中点，求证：EH 与FG 互相平分。

3、如图，已知平行四边形ABCD 中，BD 为对角线，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，连线EF ，交BD 于M 点。

求证：（1）BM=1

4

BD （2）ME=MF ；

4、如图所示，在梯形ABCD 中， AD ∥BC ，AD+BC=8，且AD ：BC=3:7,E , F 分别是BD ，AC 的中点，求EF 的长。

5、 如图5，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AD=AB ，CM ⊥AD 于M . 求证：AB+AC=2AM

H

G

F E

D

C

B

A

M F

E

D

C

B

A

H

C

6、如图，四边形ABCD 中，G 、H 分别是AD 、BC 的中点，AB=CD.BA 、CD 的延长线交HG 的延长线于E 、F. 求证：∠BEH=∠CFH.

7．如图1，D 、E 、F 分别是等边△ABC 的边AB 、BC 、AC 的中点，P 为BC 上任意一点，△DPM 为等边三角形，求证：EP=FM

8. 如图，在△ABC 中，D 、E 是AB 、AC 上的点，且BD=CE ，M 、N 分别是BE 、CD 的中点，直线MN 分别交AB 、AC 于P 、Q . 求证：AP=AQ

E