2013数学竞赛题含答案

2013年全国高中数学联合竞赛一试试题
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分
1.设集合A =｛2，0，1，3｝，集合B =A x x ∈-|{，}22A x ∉-．则集合B 中所有元素的和为 ___________
2.在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 在抛物线x y 42=上，满足4-=∙，F 是抛物线的焦点．则
O FB O FA S S ∆∆∙=___________
3.在△ABC 中，已知C B A sin sin 10sin =，C B A cos cos 10cos =，则A tan 的值为____________
4.已知正三棱锥P —ABC 底面边长为1，高为2，则其内切球半径为___________
5.设a ，b 为实数，函数b ax x f +=)(满足：对任意∈x [0，1]，有1|)(|≤x f ．则ab 的最大值为___________
6.从1，2，…，20中任取5个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率为___________
7.若实数x y ，满足y x y x -=-24，则x 的取值范围是___________
8.已知数列}{n a 共有9项，其中191==a a ，且对每个∈i ｛1，2，…，8｝，均有}2
1
,1,2{1-∈+i i a a ，则这样的数列的个数为__________
二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
9. （本题满分16分）给定正数数列}{n x 满足12-≥n n S S ，n =2，3，…，这里+=1x S n …n x +．证明：存
在常数0>C ，使得n
n C x 2∙≥，n =1，2，…
10. （本题满分20分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的方程为)0(122
22>>=+b a b
y a x ，1A 、2A 分别
为椭圆的左、右焦点，1F 、2F 分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上不同于1A 和2A 的任意一点．若平面
中两个点Q 、R 满足11PA QA ⊥，22PA QA ⊥，11PF RF ⊥，22PF RF ⊥，试确定线段QR 的长度与b 的大小关系，并给出证明．
11.（本题满分20分）设函数b ax x f +=2)(，求所有的正实数对),(b a ，使得对任意实数x ，y ，有
)()()()(y f x f y x f xy f ≥++．
2013年全国高中数学联合竞赛加试试题
一、（本题满分40分）如图，AB 是圆ω的一条弦，P 为弧AB 内一点，E 、F 为线段AB 上两点，满足
AE =EF =FB .连接PE 、PF 并延长，与圆ω分别相交于点C 、D ．求证：EF ·CD =AC ·BD ．
（解题时请将图画在答卷纸上）
二、（本题满分40分）给定正整数u ，v ．数列}{n a 定义如下:v u a +=1,对整数1≥m ， ⎩⎨
⎧+=+=+v
a a u
a a m m m m 122
记++=21a a S m …,2,1(=+m a m …）．证明：数列}{n S 中有无穷多项是完全平方数．
B
三、（本题满分50分）一次考试共有m 道试题，n 个学生参加，其中m ，2≥n 为给定的整数．每道题的得分规则是：若该题恰有x 个学生没有答对，则每个答对该题的学生得x 分，未答对的学生得零分．每个学生的总分为其m 道题的得分总和．将所有学生总分从高到低排列为≥≥21p p …n p ≥，求n p p +1的最大可能值．
四、（本题满分50分）设n ，k 为大于1的整数，k n 2<．证明：存在k 2个不被n 整除的整数，若将它们任意分成两组，则总有若干个数的和被n 整除．。