第2节 动能定理及其应用

第2节动能定理及其应用(1)一定质量的物体动能变化时，速度一定变化，但速度变化时，动能不一定变化。

(√)(2)动能不变的物体一定处于平衡状态。

(×)(3)如果物体所受的合外力为零，那么合外力对物体做功一定为零。

(√)(4)物体在合外力作用下做变速运动时，动能一定变化。

(×)(5)物体的动能不变，所受的合外力必定为零。

(×)(6)做自由落体运动的物体，动能与时间的二次方成正比。

(√)突破点(一)对动能定理的理解1．对“外力”的两点理解：(1)“外力”可以是重力、弹力、摩擦力、电场力、磁场力等，它们可以同时作用，也可以不同时作用。

(2)“外力”既可以是恒力，也可以是变力。

2．公式中“＝”体现的三个关系：[多角练通]1．关于运动物体所受的合外力、合外力做的功及动能变化的关系，下列说法正确的是( )A ．合外力为零，则合外力做功一定为零B ．合外力做功为零，则合外力一定为零C ．合外力做功越多，则动能一定越大D ．动能不变，则物体合外力一定为零解析：选A 由W ＝Fl cos α可知，物体所受合外力为零，合外力做功一定为零，但合外力做功为零，可能是α＝90°，故A 正确，B 错误；由动能定理W ＝ΔE k 可知，合外力做功越多，动能变化量越大，但动能不一定越大。

动能不变，合外力做功为零，但物体合外力不一定为零，C 、D 均错误。

2．(多选)如图所示，甲、乙两个质量相同的物体，用大小相等的力F 分别拉它们在水平面上从静止开始运动相同的距离s 。

甲在光滑水平面上，乙在粗糙水平面上，则下列关于力F对甲、乙做的功和甲、乙两物体获得的动能的说法中正确的是( )A ．力F 对甲做功多B ．力F 对甲、乙两个物体做的功一样多C ．甲物体获得的动能比乙大D ．甲、乙两个物体获得的动能相同解析：选BC 由功的公式W ＝Fl cos α＝Fs 可知，两种情况下力F 对甲、乙两个物体做的功一样多，A 错误，B 正确；根据动能定理，对甲有：Fs ＝E k1，对乙有：Fs －F f s ＝E k2，可知E k1＞E k2，C 正确，D 错误。

3.(多选)如图所示。

某人通过光滑滑轮将质量为m 的物体，沿光滑斜面由静止开始匀加速地由底端拉上斜面，物体上升的高度为h ，到达斜面顶端的速度为v ，则在此过程中( )A ．物体所受的合力做功为mgh ＋12m v 2B ．物体所受的合力做功为12m v 2C ．人对物体做的功为mghD ．人对物体做的功大于mgh解析：选BD 对物体应用动能定理可得W 合＝W 人－mgh ＝12m v 2，故W 人＝mgh ＋12m v 2，B 、D 选项正确。

突破点(二) 动能定理的应用1．应用动能定理的流程2．应用动能定理的注意事项(1)动能定理中的位移和速度必须是相对于同一个参考系的，一般以地面或相对地面静止的物体为参考系。

(2)应用动能定理的关键在于对研究对象进行准确的受力分析及运动过程分析，并画出运动过程的草图，借助草图理解物理过程之间的关系。

(3)当物体的运动包含多个不同过程时，可分段应用动能定理求解；当所求解的问题不涉及中间的速度时，也可以全过程应用动能定理求解，这样更简便。

(4)列动能定理方程时，必须明确各力做功的正、负，确实难以判断的先假定为正功，最后根据结果加以检验。

[典例] (多选)(2016·浙江高考)如图所示为一滑草场。

某条滑道由上下两段高均为h ， 与水平面倾角分别为45°和37°的滑道组成，滑草车与草地之间的动摩擦因数为μ。

质量为m 的载人滑草车从坡顶由静止开始自由下滑，经过上、下两段滑道后，最后恰好静止于滑道的底端(不计滑草车在两段滑道交接处的能量损失，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)。

则( )A ．动摩擦因数μ＝67B ．载人滑草车最大速度为2gh7C ．载人滑草车克服摩擦力做功为mghD ．载人滑草车在下段滑道上的加速度大小为35g[思路点拨](1)滑草车先匀加速下滑，再匀减速下滑。

(2)滑草车速度最大的位置在两条滑道的连接处。

(3)滑草车下滑的整个过程中下降的高度为2h 。

[解析] 由题意知，上、下两段斜坡的长分别为 s 1＝h sin 45°、s 2＝h sin 37°由动能定理知：2mgh －μmgs 1cos 45°－μmgs 2cos 37°＝0 解得动摩擦因数μ＝67，选项A 正确；载人滑草车在上下两段的加速度分别为 a 1＝g(sin 45°－μcos 45°)＝214g ， a 2＝g(sin 37°－μcos 37°)＝－335g ， 则在下落h 时的速度最大，由动能定理知： mgh －μmgs 1cos 45°＝12mv 2解得v ＝2gh7，选项B 正确，D 错误； 载人滑草车克服摩擦力做的功与重力做功相等，即W ＝2mgh ，选项C 错误。

[答案] AB [方法规律](1)运用动能定理解决问题时，选择合适的研究过程能使问题得以简化。

当物体的运动过程包含几个运动性质不同的子过程时，可以选择一个、几个或全部子过程作为研究过程。

(2)当选择全部子过程作为研究过程，涉及重力、大小恒定的阻力或摩擦力做功时，要注意运用它们的功能特点：①重力做的功取决于物体的初、末位置，与路径无关；②大小恒定的阻力或摩擦力做的功等于力的大小与路程的乘积。

[集训冲关]1.(多选)(2017·上海长宁区模拟)如图所示，从地面上A 处竖直向上抛一质量为m 的小球，小球上升到B 点时的动能与小球上升到最高点后返回至C 点时的动能相等，B 点离地面高度为h ，C 点离地面高度为h3。

空气阻力f ＝0.1mg ，大小不变，重力加速度为g ，则( )A ．小球上升的最大高度为2hB ．小球上升的最大高度为4hC ．小球下落过程中从B 点到C 点动能的增量为35mghD ．小球下落过程中从B 点到C 点动能的增量为45mgh解析：选BC 设小球由B 点再上升h ′到达最高点，对小球上升到B 点与返回至C点之间的过程由动能定理得，mg ·23h －0.1mg ·⎝⎛⎭⎫2h ′＋23h ＝0，解得h ′＝3h ，所以小球上升的最大高度H ＝h ＋h ′＝4h ，B 正确；下落过程中小球从B 点到C 点动能的增量12m v C 2－12m v B ′2＝mg ·23h －0.1mg ·23h ＝35mgh ，C 正确。

2．如图所示，小物块从倾角为θ的倾斜轨道上A 点由静止释放滑下，最终停在水平轨道上的B 点，小物块与水平轨道、倾斜轨道之间的动摩擦因数均相同，A 、B 两点的连线与水平方向的夹角为α，不计物块在轨道转折时的机械能损失，则动摩擦因数大小为( )A ．tan θB ．tan αC ．tan(θ＋α)D ．tan(θ－α)解析：选B 如图所示，设B 、O 间距为s 1，A 点离水平面的高度为h ，A 、O 间的水平距离为s 2，物块的质量为m ，在物块下滑的全过程中，应用动能定理可得：mgh －μmg cos θ·s 2cos θ－μmg ·s 1＝0，解得：μ＝hs 1＋s 2＝tan α，故B 正确。

3．(2017·淄博二模)如图所示，倾角θ＝37°的斜面AB 与水平面平滑连接于B 点，A 、B 两点之间的距离s 0＝3 m ，质量m ＝3 kg 的小物块与斜面及水平面间的动摩擦因数均为μ＝0.4。

当小物块从A 点由静止开始沿斜面下滑的同时，对小物块施加一个水平向左的恒力F (图中未画出)。

取g ＝10 m/s 2。

(1)若F ＝10 N ，小物块从A 点由静止开始沿斜面运动到B 点时撤去恒力F ，求小物块在水平面上滑行的距离s 。

(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)(2)为确保小物块不离开斜面，该恒力F 的最大值为多大？ 解析：(1)小物块在斜面上受力如图所示，从A 点开始沿ABC 路径运动到C 点停止过程中，由动能定理可得：Fs 0cos θ＋mgs 0sin θ－fs 0－μmgs ＝0 f ＝μF NF N ＋F sin θ＝mg cos θ代入数据解得：s＝4.7 m。

(2)若使小物块不离开斜面，可知小物块对斜面的压力大于或等于0，即F sin 37°≤mg cos 37°代入数据解得：F≤40 N即恒力F的最大值为40 N。

答案：(1)4.7 m(2)40 N突破点(三)动能定理的图像问题1．解决物理图像问题的基本步骤2．四类图像所围面积的含义[典例]某星球半径为R＝6×106 m，假设该星球表面上有一倾角为θ＝30°的固定斜面体，一质量为m＝1 kg的小物块在力F作用下从静止开始沿斜面向上运动，力F始终与斜面平行，如图甲所示。

已知小物块和斜面间的动摩擦因数μ＝33，力F随位移x变化的规律如图乙所示(取沿斜面向上为正方向)，如果小物块运动12 m时速度恰好为零，已知万有引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2。

试求：(计算结果保留一位有效数字)(1)该星球表面上的重力加速度g 的大小； (2)该星球的平均密度。

[思路点拨](1)F -x 图线与x 轴所围面积表示力F 对物块所做的功。

(2)物块向上运动过程中摩擦力始终不变。

(3)可利用g ＝GMR 2求出星球质量进而确定星球的平均密度。

[解析] (1)设该星球表面的重力加速度为g ，物块上滑过程中力F 所做的功W F ＝(15×6－3×6)J ＝72 J ， 由动能定理得：W F －mg sin θ·x －μmg cos θ·x ＝0， 解得：g ＝6 m/s 2。

(2)在星球表面重力与万有引力相等，mg ＝G Mm R 2可得星球的质量为：M ＝gR 2G 所以星球的密度 ρ＝M V ＝gR 2G 43πR 3＝3g4πGR＝3×64×3.14×6.67×10－11×6×106 kg/m 3≈4×103 kg/m 3。

[答案] (1)6 m /s 2 (2)4×103 kg/m 3[集训冲关]1.(2017·西安质检)静止在粗糙水平面上的物块在水平向右的拉力作用下做直线运动，t ＝4 s 时停下，其v -t 图像如图所示，已知物块与水平面间的动摩擦因数处处相同，则下列判断正确的是( )A ．整个过程中拉力做的功等于物块克服摩擦力做的功B ．整个过程中拉力做的功等于零C ．t ＝2 s 时刻拉力的瞬时功率在整个过程中最大D ．t ＝1 s 到t ＝3 s 这段时间内拉力不做功解析：选A 对物块运动全过程应用动能定理得：W F －W f ＝0，故A 正确，B 错误；物块在加速运动过程中受到的拉力最大，故t ＝1 s 时拉力的瞬时功率为整个过程中拉力功率的最大值，C 错误；t ＝1 s 到t ＝3 s 这段时间内，拉力与摩擦力平衡，拉力做正功，D 错误。