05-06-1概率论与数理统计C
【2024版】概率论与数理统计(数理统计的基本概念)
X
2 n
)
D(
X
2 1
)
D(
X
2 2
)
D(
X
2 n
)
nD (
X
2 i
)
n{ E (
X
4 i
)
[E(
X
2 i
)]2
}
n
x4
1
2
e
x2 2
dx
12
n3
1
2n
23
若 2 ~ 2(n) 分布函数为F ( x)
,0 1 若F ( x) P{ 2 x}
则其解称为 2 分布 的 分位数(临界值)
0.15 00.1.155
000.1..11
N(0,1)
n=10 n=10 nn==33
n增大
000.0..00555
nnn===111
000
-5--55
-4--44
-3-3
-2-2
-1-1
00
11
22
33
444
555
t 分布的密度曲线关于y轴对称 随着n的增大, t 分布的密度曲线越陡
n 时，t 分布趋于标准正态分布N (0,1)
后,还要对数据进行加工和提炼,将样本的有关 信息,利用数学的工具进行加工.
引入统计量的概念
12
定义 设( X1, X 2 ,, X n )为来自总体X的一个样本,
若n元函数f ( X1, X 2 ,, X n )不含任何未知参数,
则
称f
(
X
1
,
X
2
,,
X
n
)为X
1
,
X
2
概率论与数理统计基础
概率论与数理统计基础概率论与数理统计是现代科学中的重要基础学科，它们研究的是随机现象的规律性和统计规律。
概率论研究的是随机现象的发生规律，而数理统计则研究的是通过观察样本来推断总体的规律。
本文将介绍概率论与数理统计的基本概念、方法和应用。
概率论基础随机试验与样本空间随机试验是指在相同条件下可以重复进行，但每次结果不确定的试验。
样本空间是随机试验所有可能结果的集合。
例如，掷一枚硬币的结果可以是正面或反面，样本空间为{正面，反面}。
事件与概率事件是样本空间的子集，表示某些结果的集合。
概率是事件发生的可能性大小的度量，用一个介于0和1之间的实数表示。
概率的性质包括非负性、规范性、可列可加性等。
随机变量与概率分布随机变量是对随机试验结果进行数值化描述的变量。
离散型随机变量取有限或可数个值，连续型随机变量取某个区间内的任意值。
概率分布描述了随机变量取各个值的概率。
期望与方差期望是随机变量的平均值，用于描述随机变量的中心位置。
方差是随机变量偏离其期望值的程度，用于描述随机变量的离散程度。
数理统计基础参数估计参数估计是利用样本数据对总体参数进行估计。
点估计是用一个具体的数值来估计参数，区间估计是用一个区间来估计参数。
假设检验假设检验是通过样本数据对总体参数的某个假设进行检验。
包括设置原假设和备择假设、选择显著性水平、计算检验统计量、确定拒绝域等步骤。
方差分析方差分析是一种用于比较两个或多个总体均值是否相等的统计方法。
通过分析组内变异和组间变异来判断总体均值是否有显著差异。
回归分析回归分析是研究自变量与因变量之间关系的统计方法。
通过建立回归模型来描述自变量对因变量的影响，并进行参数估计和显著性检验。
应用领域概率论与数理统计在各个学科和领域中都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：金融与风险管理概率论与数理统计在金融领域中被广泛应用于风险管理、投资组合优化、期权定价等方面。
通过对金融市场的随机性进行建模和分析，可以帮助投资者做出更明智的决策。
概率论与数理统计C复习提纲 清晰版
提纲第一部分 基本概念和基本定理【内容提要】（红色字体部分为复习重点）【释疑解惑】问题1：AB 与AB 是否相等？答：不一定相等．由对偶律可知，AB A B A B ==；而AB A B =．问题2：事件的相容性与独立性在逻辑上是否存在因果关系？ 答：如下表所示，事件的相容性与独立性在逻辑上不存在因果关系．问题3：设()()()P AB P A P B =，()()()P AC P A P C =，()()()P BC P B P C =同时成立，能否推出()()()()P ABC P A P B P C =成立？答：不能（例如第2章课件中的伯恩斯坦反例），由此可以看出“两两独立”和“相互独立”并不等价．问题4：下列式子中的等号何时成立？()()()()()()()(|)()()()()()()P A B P A P B P AB P A P B P A P B A P A P B P A P B P A P B =+-=+-=+-=+答：第一个等号总成立；当()0P A >时，第二个等号成立；当,A B 独立时，第三个等号成立；当,A B 不相容时，第四个等号成立．问题5：不可能事件与零概率事件是否相等？必然事件与概率为1的事件是否相等？ 答：不可能事件是零概率事件，但反之不然； 必然事件是概率为1的事件，但反之亦不然．第二部分 随机变量及其分布【内容提要】（红色字体部分为复习重点）【释疑解惑】问题1：离散型随机变量与连续型随机变量的联系与区别？ 答： 2,，1ii p∞=∑一定成立．连续型随机变量还具有一个特殊性质：0, ()0C P C ξ∀>==，即任一基本事件发生的概率为零．从而可以推出下列结论：①不可能事件是零概率的事件，但反之不然；必然事件是概率为1的事件，但反之亦不然．②()()()()()baP a b P a b P a b P a b f x dx ξξξξ≤≤=<≤=≤<=<<=⎰．问题2：连续型随机变量的密度函数是否一定是连续函数？ 答：不一定，均匀分布的密度函数并不连续．问题3：分布曲线（曲面）是分布函数的图像吗？ 答：不是，分布曲线（曲面）是密度函数的图像．问题4：密度函数是否由分布函数唯一确定？()()dF x f x dx=何时成立？ 答：不是，因为修改密度函数在个别点处的函数值对其积分的值（概率）没有影响． 对()f x 的连续点，有()()dF x f x dx=．问题5：联合分布、边缘分布、条件分布之间的联系与区别？ 答：从分布函数的定义来看，分布函数几何意义联合分布(,)(,)F x y P x y ξη=≤≤边缘分布()(,)(,)F x P x F x ξξη=≤<+∞=+∞条件分布对使得()0f y η>的点y （这个条件不能少），|(,)(|)(|)()P x y F x y P x y P y ξηξηξηη≤==≤===从分布律的定义来看，分布律几何意义联合分布(,)i j ijP x y pξη===•边缘分布律体现为同一行概率求和．•条件分布律体现为ijp在同一行概率中所占的比重．注意：条件分布中“.ip>”的条件不能少！边缘分布.1()i ij ijP x p p ξ∞====∑条件分布当.ip>时，. (|)ijj iip P y xp ηξ===从密度函数的定义来看，密度函数几何意义联合分布(,) f x y边缘分布()(,) f x f x y dy ξ+∞-∞=⎰条件分布对使得()0f yη>的点y，|(,)(|)()f xf xyyyfξηη=注意：条件分布中“()0f yη>”的条件不能少！三种概率分布之间的相互转化关系是ξη，何时可以由ξ和η的边缘分布完全确定联合分布？问题6：给定二维随机变量(,)答：当ξ和η相互独立时，可以由边缘分布完全确定联合分布．ξη的边缘分布是正态分布，能否由此确定联合分布是二维正问题7：已知二维随机变量(,)态分布？答：不能，反例请参考P.146例19．第三部分随机变量的数字特征【内容提要】复习重点：期望、方差、协方差、相关系数的性质．1．期望和方差的定义、性质1,2,Eξ（要求积分绝对收敛）Eg(2．协方差和相关系数的定义、性质【释疑解惑】问题1：是否所有随机变量都存在数学期望？答：不是，反例请参考P.74例22及P.98例7．因为方差本质上是随机变量的函数的期望，所以并非所有随机变量都存在方差．问题2：随机变量的不相关性与独立性是否等价？答：“不相关”是指两个随机变量之间不存在线性函数的关系，“独立”是指两个随机变量不存在任何关系。
《概率论与数理统计》教案
《概率论与数理统计》教案第一章：概率论的基本概念1.1 随机现象与样本空间1.2 事件及其运算1.3 概率的定义与性质1.4 条件概率与独立性第二章：随机变量及其分布2.1 随机变量的概念2.2 离散型随机变量的概率分布2.3 连续型随机变量的概率密度2.4 随机变量函数的分布第三章：多维随机变量及其分布3.1 二维随机变量的联合分布3.2 边缘分布与条件分布3.3 随机变量的独立性3.4 多维随机变量函数的分布第四章：大数定律与中心极限定理4.1 大数定律4.2 中心极限定理4.3 样本均值的分布4.4 样本方差的估计第五章：数理统计的基本概念5.1 统计量与抽样分布5.2 参数估计与点估计5.3 置信区间与置信水平5.4 假设检验与p值第六章：参数估计6.1 总体参数与样本参数6.2 估计量的性质6.3 最大似然估计6.4 点估计与区间估计第七章：假设检验7.1 假设检验的基本概念7.2 检验的错误与功效7.3 常用检验方法7.4 似然比检验与正态分布检验第八章：回归分析8.1 线性回归模型8.2 回归参数的估计8.3 回归模型的检验与诊断8.4 多元线性回归分析第九章：方差分析9.1 方差分析的基本概念9.2 单因素方差分析9.3 多因素方差分析9.4 协方差分析与重复测量方差分析第十章：时间序列分析10.1 时间序列的基本概念10.2 平稳性检验与时间序列模型10.3 自回归模型与移动平均模型10.4 指数平滑模型与状态空间模型第十一章：非参数统计11.1 非参数统计的基本概念11.2 非参数检验方法11.3 非参数回归分析11.4 非参数时间序列分析第十二章：生存分析12.1 生存分析的基本概念12.2 生存函数与生存曲线12.3 生存分析的统计方法12.4 生存分析的应用实例第十三章：贝叶斯统计13.1 贝叶斯统计的基本原理13.2 贝叶斯参数估计13.3 贝叶斯假设检验13.4 贝叶斯回归分析第十四章：多变量分析14.1 多变量数据分析的基本概念14.2 多元散点图与主成分分析14.3 因子分析与聚类分析14.4 判别分析与典型相关分析第十五章：统计软件与应用15.1 统计软件的基本使用方法15.2 R语言与Python在统计分析中的应用15.3 统计软件的实际操作案例15.4 统计分析在实际领域的应用重点和难点解析本《概率论与数理统计》教案涵盖了概率论的基本概念、随机变量及其分布、多维随机变量、大数定律与中心极限定理、数理统计的基本概念、参数估计、假设检验、回归分析、方差分析、时间序列分析、非参数统计、生存分析、贝叶斯统计、多变量分析以及统计软件与应用等多个方面。
概率论与数理统计课件：数理统计基础知识
数理统计基础知识
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6.1.1 总体
§6.1 总体和随机样本
总体:研究对象的全部可能观察值叫做总体. 个体:组成全体的每个观察值叫做个体.
如:考察某校学生的身高
总体:该校的所有学生的身高 个体:每个学生的身高
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实际问题中，要研究的是有关对象的各种数量指标. 总体可以用一个随机变量及其分布来描述.
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由于抽样的目的是为了对总体进行统计推断， 为了使抽取的样本能很好地反映总体的信息，必 须考虑抽样方法.
最常用的一种抽样方法叫作“简单随机抽样” 它要求抽取的样本满足下面两点: 1. 代表性： X1,X2,…,Xn中每一个与所考察 的总体有相同的分布.
2. 独立性： X1,X2,…,Xn是相互独立的随机变量.
从一批产品中抽5件,检验产品是否合格.
数理统计基础知识
样本容量为5
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样本是随机变量.
抽到哪5辆是随机的
容量为n的样本可以看作n维随机变量(X1,X2,…,Xn).
但是，一旦取定一组样本，得到的是n个具体的数 (x1,x2,…,xn)，称为样本的一次观察值，简称样本值 .
数理统计基础知识
总体的指标 如体重、身高、寿命等 是随机变量X 个体的指标 如体重、身高、寿命等 是随机变量X 的一个取值
常用随机变量的记号或用其分布函数表示总体.
如：总体X或总体F X
数理统计基础知识
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有限总体 总体
无限总体
1.考察某校大一新生（共2000人）的身高. 有限总体
2.观测某地每天最高气温. 无限总体 3.某厂生产的所有电视显像管的寿命. 无限总体
高校统计学专业概率论与数理统计知识点整理
高校统计学专业概率论与数理统计知识点整理概率论是统计学中的基础学科，它研究的是随机现象的数量规律性。
而数理统计则是应用概率论的数学统计方法来进行数据分析、推断和决策的学科。
在高校统计学专业中，概率论与数理统计是学生必须掌握的重要知识点。
本文将对这些知识点进行整理，以帮助学生更好地理解和掌握。
一、概率论1. 随机事件与样本空间随机事件是指在一次试验中可能发生的结果，样本空间是指所有可能结果的集合。
样本空间可以用集合论的概念表示，包括必然事件、不可能事件和其他事件。
2. 事件的概率事件的概率是指该事件发生的可能性大小，可以用频率或理论方法计算。
概率的性质包括非负性、规范性、可列可加性等。
3. 随机变量与概率分布随机变量是指根据随机事件取值而变动的变量，可以是离散型或连续型。
概率分布则是随机变量取值的可能性分布情况，分为离散型分布和连续型分布两种。
4. 期望值与方差期望值是随机变量取值的平均值，可以用来衡量随机事件的中心趋势。
方差是对随机变量取值的分散情况进行度量，方差越大表示随机变量的取值越分散。
5. 常见概率分布常见的离散型概率分布包括伯努利分布、二项分布和泊松分布；常见的连续型概率分布则包括均匀分布、正态分布和指数分布等。
二、数理统计1. 参数估计参数估计是利用样本数据推断总体参数的过程，包括点估计和区间估计两种方法。
点估计是用单个值来估计总体参数，区间估计则是用一个区间来估计总体参数。
2. 假设检验假设检验是通过对样本数据进行统计推断，判断总体参数是否满足某种假设。
其中包括提出原假设和备择假设、选择显著性水平、计算检验统计量和判断拒绝域等步骤。
3. 方差分析方差分析是通过对多个总体的均值进行比较，判断它们是否存在显著差异的统计方法。
方差分析可以用于比较不同处理组之间的平均差异。
4. 回归分析回归分析是建立反映变量间关系的数学模型，利用样本数据对总体模型进行推断和预测的方法。
常用的回归模型包括一元线性回归和多元线性回归。
概率论与数理统计知识点
概率论与数理统计知识点1.概率的定义与性质：概率是描述随机事件发生可能性的度量，它的取值范围在0到1之间。
事件发生的概率可以通过频率、几何概率和主观概率等方法进行估计。
2.随机变量与概率分布：随机变量是对随机现象进行量化的数学模型，可以是离散型的或连续型的。
它们的概率分布可以通过概率质量函数或概率密度函数来描述。
3.期望与方差：期望是随机变量的平均值，它衡量了随机变量的平均水平。
方差是随机变量离其期望值的平均偏离程度，它表征了随机变量的变异性。
4.大数定律与中心极限定理：大数定律指出，当样本容量足够大时，样本均值的频率分布趋近于总体均值。
中心极限定理则说明，样本均值的分布随着样本容量的增大趋向于正态分布。
5.参数估计与假设检验：参数估计是利用样本数据来估计总体参数的值，主要有点估计和区间估计两种方法。
假设检验则是利用样本数据来检验关于总体参数的其中一种假设。
6.回归分析与方差分析：回归分析研究一组自变量与因变量之间的函数关系，在线性回归中，回归方程是一个线性函数。
方差分析用于比较两个或多个总体均值之间的差异。
7.相关与回归分析：相关分析用于度量两个变量之间的关联程度，它可以通过皮尔逊相关系数或斯皮尔曼等级相关系数来衡量。
回归分析则用于预测或解释一个变量对另一个变量的影响。
8.参数检验与非参数检验：参数检验假设总体参数的一些值，然后利用样本数据判断是否接受该假设。
常见的参数检验有t检验、F检验、卡方检验等。
非参数检验不对总体分布进行假设，常用于样本容量较小、总体分布未知的情况。
以上只是概率论与数理统计的一些基本知识点，实际上，概率论与数理统计还包括二项分布、泊松分布、正态分布、贝叶斯统计、时间序列分析等更细分的内容。
掌握这些知识点，能够帮助我们对数据进行合理的分析和推断，以便作出正确的决策。
概率论与数理统计
设X1, X2, …, Xn是总体X的样本，则可定义以下统计量： （1）样本均值
1 n
X n i1 X i
它的观测值记为
x
1 n
n i 1
Xi
。
（6-3）
（2）样本方差
S 2
1 n 1
n i 1
(Xi
X
)2
1( n 1
n i 1
X
2 i
nX
2 ) （6-4）
它的观测值记为
s2
1 n 1
总体依其包含的个体总数可分为有限总体（个体的个数是有限 的）和无限总体（个体的个数是无限的）。但当有限总体所含有 个体的个数很大时，也可视其为无限总体。
例1 要考察某厂的产品质量，现将该厂的产品只分为合格品和不合格品两类， 并以0记为合格品，以1记为不合格品，则总体={该厂生产的全部合格品与不合 格品}={由0与1组成的一堆数}．若以p表示这堆数中的比例（不合格品率），则 该总体X可由一个两点分布来表示，如表所示。
1 n
n i 1
xik
(k
1，2 ，3，
)
。
（6-6）
（5）样本k阶中心矩
Bk
1 n
n i 1
(Xi
X )k
(k
1，2 ，3，
)
它的观测值记为
bk
1 n
n
( xi
i 1
x)k
(k
1，2 ，3 ，
)
。
（6-6）
二、样本分布函数
对于任何实数x，Fn(x)等于样本的n个观察值中不超过x的个数除以样 本容量n．由频率与概率的关系知道，Fn(x)可作为未知分布函数F(x)的 一个近似，n越大，Fn(x)越接近F(x)，称Fn(x)为样本分布函数（或经验 分布函数）。
概率论与数理统计C卷（共5篇）
概率论与数理统计C卷（共5篇）第一篇：概率论与数理统计C卷概率论与数理统计期末考试一、填空题（7*3’=21’）1、A 和B均为随机事件，P(A)+P(B)=0.7，P(AB)=0.2，则P(AB)P(AB)两者的和为（）。
2、10件产品中有4件次品，从中任意取2件，则第2件产品为次品的概率为（）。
3、设随机变量在区间上服从均匀分布，则的概率密度函数为（）。
4、设则期望方差5、设随机变量服从参数为的泊松分布，则应用切比雪夫不等式6、设随机变量的方差二、选择题（5*3’=15’）1、设为对立事件，则下列概率值为1的是（）2、设随机变量概率密度为分布函数，则下列正确的是（）、3、设是随机变量的概率密度，则一定成立的是（）A、定义域为B、非负C、D4、C、4/9D、1/35、设X1,X2,…Xn是正态总体X-N（µ,σ2）其中σ已知，µ未知，则下列不是统计量的是（）A、B、C、X-µD、∑（Xn/σ）三、计算题（6个题共64分）1、（10分）假设一厂家生产的仪器，以概率0.70可以直接出厂，以概率0.30需进一步调试，经调试后，以概率0.80可以出厂，并以概率0.20定为不合格品不能出厂，现该厂新生产了n(>=2)台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立）。
求（1）全部能出厂的概率；（2）其中恰有2台不能出厂的概率；（3）其中至少有两台不能出厂的概率。
2、设随机变量X的概率密度为：f（x）=Ae(-A)x, x∈R, /*A乘以e的负A次方再乘以x,大家都懂的，嘿嘿*/，求系数A及分布函数。
3、设二维随机变量（X,Y）的联合概率密度为：f(x,y)=(e(-y),0（1）（X,Y）分别关于X,Y的边缘概率密度；（2）判断X与Y是否相互独立并说明理由；（3）计算P(X+Y<=0).4、设随机变量X服从E(λ),其中λ未知，且λ>0，设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本，试求总体参数的矩估计和最大似然估计5、（10分）某车间生产硫磺，从长期实践中知道，直径X服从正态分布N(u,0.2*0.2),从某天生产的产品中随机抽取6个，量得直径如下（单位MM）：14.7,15.0,14.9,14.8,15.2,15.1，求u的0.9双侧置信区间。
概率论与数理统计知识点总结(免费超详细版)
概率论与数理统计知识点总结(免费超详细版) 题目：概率论与数理统计知识点总结摘要本文总结了概率论和数理统计方面的基础知识，涉及概率分布、参数估计、假设检验、卡方检验、多元分析等。
对这些知识点的理解和了解可以帮助人们更好地分析和利用数据，促进数据分析的发展。
关键词：概率论，数理统计，概率分布，参数估计，假设检验，卡方检验，多元分析正文1.概率论概率论是数理统计中一门重要科学，它是一门数学研究现实世界事件发生的规律性、可预测性及不确定性的学科。
在概率论中，我们引入了诸如概率、期望和方差等概念，用来描述和推断某种随机现象的发生。
2.概率分布概率分布是在给定的实际情况下随机变量取值的概率分布。
典型的概率分布包括正态分布、泊松分布和二项分布。
此外，也有一些联合分布，例如协方差、共轭先验、贝叶斯估计等。
3.参数估计参数估计是根据样本数据估计总体参数的统计方法。
它涉及到将总体参数估计为样本参数的过程，通常使用最大似然估计、贝叶斯估计和假定测试等方法。
4.假设检验假设检验是基于统计学原理，用来评估某一假设是否真实存在的方法。
其中包括t检验、F检验、Z检验等，它们之间的区别在于所使用的抽样分布不同。
5.卡方检验卡方检验是一种统计检验，用于直接检验某个抽样值是否遵循某种理论分布。
卡方检验可以根据观察到的抽样数据和理论分布之间的差异来衡量分布概率值的有效性。
6.多元分析多元分析是一种分析不同变量之间交互影响的统计方法。
它包括多元回归分析、多元判别分析、因子分析等，能够帮助我们了解多个变量之间的关系。
结论本文总结了概率论和数理统计方面的基础知识，包括概率分布、参数估计、假设检验、卡方检验和多元分析等。
了解这些知识点可以帮助人们更好地分析和利用数据，促进数据分析的发展。
概率论和数理统计方面的知识点在实际应用中有着重要作用。
概率论可以帮助研究人员对随机现象进行建模、分析和推断，其中包括使用概率分布建立统计模型和估计参数，并使用假设检验和卡方检验来检验假设，以及用多元分析来推断不同变量之间的关系。
概率论与数理统计的概述
概率论与数理统计的概述
概率论与数理统计是一门研究随机现象的数学分支，它研究的是概率分布、概
率模型、概率变量和概率函数等概念，以及它们之间的关系。
数理统计是概率论的一个重要分支，它研究的是从实际问题中收集的数据，并利用概率论的方法对数据进行分析和推断。
概率论是一门研究随机现象的数学分支，它研究的是概率分布、概率模型、概
率变量和概率函数等概念，以及它们之间的关系。
概率论的基本概念是概率，它是一种描述随机现象的数学概念，它可以用来衡量某一事件发生的可能性。
概率论的主要内容包括概率分布、概率模型、概率变量和概率函数等概念，以及它们之间的关系。
数理统计是概率论的一个重要分支，它研究的是从实际问题中收集的数据，并
利用概率论的方法对数据进行分析和推断。
数理统计的主要内容包括描述性统计、概率分布、抽样技术、统计推断、回归分析、分类分析等。
数理统计的目的是通过对数据的分析和推断，从而更好地了解实际问题，并为决策提供可靠的依据。
概率论与数理统计是一门重要的数学分支，它研究的是概率分布、概率模型、
概率变量和概率函数等概念，以及它们之间的关系，以及从实际问题中收集的数据，并利用概率论的方法对数据进行分析和推断。
它的应用非常广泛，在经济学、金融学、社会学、医学等领域都有重要的应用。
概率论与数理统计C 广工考纲
概率论与数理统计C考试大纲第一章1．掌握样本空间的定义和表示；2．学会随机事件的定义及如何用字母表示事件3．学会事件的运算；4．掌握概率的定义和基本性质。
第二章1．掌握加法定理和乘法定理；2．掌握条件概率公式；3．掌握相互独立的定义及相关定理；4．掌握全概率公式和贝叶斯公式。
注意：在这两章中要学会用字母表示事件，然后再求事件的概率。
第三章1．了解离散型随机变量的定义；2．学会求离散型随机变量的分布律；3．记住三种离散型随机变量的分布律，表示符号及它们的数学期望和方差。
（0-1分布，二项分布和泊松分布）；4．学会求离散型随机变量的函数的分布律；5．学会求离散型随机变量及随机变量的函数的数学期望。
第四章1．掌握连续型随机变量的定义；2．掌握分布函数的定义及性质；3．学会求离散型和连续型随机变量的分布函数；4．掌握概率密度的定义和性质并会利用这些性质求未知参数和概率；5．学会求连续型随机变量及它的函数的数学期望；6．记住三种连续型随机变量的概率密度及表示符号及它们数学期望和性质（均匀分布，正态分布和指数分布）；7．学会求随机变量的概率密度和随机变量的函数的概率密度；8．正态分布是最重要的分布，如果一个随机变量X服从正态分布，则它的线性函数Y=aX+b （a不等于0，a,b为任意常数）也服从正态分布；第五章1．了解二维离散型随机变量的定义；2．学会求二维离散型随机变量的分布律，掌握二维离散型分布律的性质；3．了解二维连续型随机变量的定义；4．掌握边缘分布律、条件分布律、边缘概率密度、条件概率密度、边缘分布函数、条件分布函数的定义及求法，注意弄清楚它们之间的关系；5．掌握两个随机变量相互独立的定义；6．掌握离散型随机变量和连续型随机变量相互独立的充分必要条件；7．学会二维随机变量中如何求一维随机变量的数学期望和方差及二维随机变量的函数的数学期望和方差；8．掌握协方差和相关系数的定义及性质并会计算；9．学会二维离散型随机变量的函数的分布律的计算（特别是和及最大和最小值的分布律）；10．学会求在相互独立的条件下二维连续型随机变量的和及最大最小值的概率密度和分布函数；11．掌握切比雪夫大数定义的特殊情况及它的证明；12．学会利用中心极限定理来进行近似计算。
概率论与数理统计c(40学时) 教学大纲
《概率论与数理统计C》课程教学大纲Probability & Statistics C课程代码：03100836 课程性质：专业基础理论课/必修适用专业：工科类各专业总学分数：2.5总学时数：40 修订年月：2016.1课程简介(中文)：概率论与数理统计是理、工、经管各专业重要的基础课之一。
其内容丰富，实用性强。
它是专门研究和探索客观世界中随机现象的统计规律性的一门学科，是数学的一个重要分支，其理论与方法已广泛应用于工业、农业、军事和科学技术中。
主要包括：随机事件和概率，一维和多维随机变量及其分布，随机变量的数字特征，大数定律与中心极限定理等内容。
课程简介(英文)：Probability & Statistics C is one of the important and basic courses for all kinds of majors in science, engineering and economic management. With rich content and strong practicability, it is the branch of mathematics concerned with analysis of random phenomena and statistical regularity in the objective world. The corresponding theory and methods have been widely used in industry, agriculture, military and scientific technology. The central objects of Probability & Statistics C are random events and their probability, one dimensional and multi-dimensional random variables and distributions, the figure features of random variables, law of large numbers and central limit theorem, etc.一、课程目的概率论与数理统计是研究随机现象客观规律并付诸应用的数学学科，是工科本科各专业的一门重要基础理论课，通过本课程教学，使学生掌握概率论与数理统计的基本概念和基本理论，初步学会处理随机现象的基本思想和方法，培养解决实际问题的能力。
概率论与数理统计知识点总结(超详细版)
《概率论与数理统计》第一章概率论的基本概念§2．样本空间、随机事件1．事件间的关系 B A ⊂则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生B }x x x { ∈∈=⋃或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ⋃发生B }x x x { ∈∈=⋂且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ⋂发生B }x x x { ∉∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生φ=⋂B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的且S =⋃B A φ=⋂B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件2．运算规则交换律A B B A A B B A ⋂=⋂⋃=⋃结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ⋂=⋂⋃⋃=⋃⋃ 分配律 )()B (C A A C B A ⋃⋂⋃=⋂⋃）（))(()( C A B A C B A ⋂⋂=⋃⋂徳摩根律B A B A A B A ⋃=⋂⋂=⋃ B —§3．频率与概率定义在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P（3）可列可加性：设n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，有∑===nk knk kA P A P 11)()( （n 可以取∞）2．概率的一些重要性质： （i ） 0)(=φP（ii ）若n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，则有∑===nk kn k kA P A P 11)()(（n 可以取∞）（iii ）设A ，B 是两个事件若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-，)A ()B (P P ≥ （iv ）对于任意事件A ，1)(≤A P （v ）)(1)(A P A P -=（逆事件的概率）（vi ）对于任意事件A ，B 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃§4等可能概型（古典概型）等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同 若事件A包含k个基本事件，即}{}{}{2]1k i i i e e e A =，里个不同的数，则有中某，是，，k k n 2,1i i i ,21 ()中基本事件的总数包含的基本事件数S }{)(1j A n k e P A P kj i ===∑= §5．条件概率（1） 定义：设A,B 是两个事件，且0)(>A P ，称)()()|(A P AB P A B P =为事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率（2） 条件概率符合概率定义中的三个条件1。
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-第 1页概率论与数理统计（C ）试题A 卷一、单项选择题(每小题2分，共14分)1．设A ，B 为两个事件，已知P （A ⋃B ）=21，P （A B ）=31，则P(A)=( )A ．61B ．31 C ．21D ．432．设随机变量X 的分布律为P{X=K}=15K ，K=1，2，3，4，5，则P{25X 21≤<}=( )A ．51B ．52 C ．53D ．543．设随机变量X~N （1，22），Φ（1）=0.8413,则事件“1≤X≤3”的概率为（ ）A ．0.1385B ．0.2413C ．0.2934D ．0.34134．设随机变量X 的概率密度为f(x)=)x 1(12+π,+∞<<-∞x ,则Y=2X 的概率密度为( )A ．)y 1(12+π B ．)y 4(22+π C ．)4y1(12+πD ．)y 41(12+π5．设二维随机向量（X ，Y ）的联合分布函数为F （x,y ）,则（X ，Y ）关于Y 的边缘分布函数F Y （y ）=（ ）A ．F(x,+∞)B ．F(x,-∞)C ．F(-∞,y)D ．F(+∞,y)6．设随机变量X ，Y 相互独立，E （X ）=5， E （Y ）=6,则E （XY ）=（ ）A ．1B ．11C ．30D ．357．设X 1,X 2,…, X n 是总体N(2,σμ)的样本，X ，S 2分别是样本均值和样本方差，则22S )1n (σ-服从的分布是（ ）A ．N （0，1）B ．2χ（n-1）C ．2χ(n)D ．t(n-1)二、填空题(每小题2分，共16分)1.设随机事件A ，B 为对立事件，P （A ）=0.4，则P （B ）= . 2．设随机变量X~P （λ），且P （X=0）=e -1,则P （X=k ）= . 3.已知随机变量X 的概率密度为f(x)=|x |e21-,+∞<<-∞x ,则P{0<X<1}= . 4.已知随机变量X 的概率分布为设Y=X 2-1，则P{Y≤3}= .5．已知随机变量X~B （n,p ）,E(X)=12,D(X)=8, 则有p= .X -2 0 2 4 P0.30.20.20.3-第 2页6．已知D （X ）=25， D （Y ）=36，4.0xy=ρ，则D （X-Y ）= .7. 设X 1,…,X n 为总体X~N （1,μ）的样本，X 为其样本均值，则有X ~ . 8．设随机变量X~N(1,n),y~2χ(n),X ，Y 相互独立，则Y1X -~ .三、综合题(共70分)1.(10分)某厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，各车间产量分别占全厂的30%，30%，40%，各车间产品的合格品率分别为95%，96%，98%. (1) 求全厂该种产品的合格品率；(2) 若任取一件产品发现为合格品，求它分别是由甲、乙、丙三车间生产的概率. 2．(16分)设离散型随机向量(X,Y)的联合分布律为：YX 1 2 30 0.2 0 0.1 1 0.1 0.1 0.2 2 0.1 0.2 0求：（1）X ，Y 的边缘分布列；（2）判断X 与Y 是否相互独立；（3）计算P{X≤2，Y<2}. 3(12分).设连续型随机变量X 的密度函数为f(x)=⎩⎨⎧<<+.,0;1x 0,)1x (c 其它(1) 求常数c; (2) 计算P{|X |≤0.5}. (3) E(X), E(2X 2+1);4．(8分)设X 1, X 2, …，X n 是来自正态总体N(μ, σ2) 的一个简单随机样本，其中μ, σ2均未知，求μ的置信度为1-α的置信区间的长度L 及E (L 2)。
5．(12分)某机床生产的某种零件的直径(单位：mm)正常状态下服从正态分布N （30，2σ），某日开工后测得6件该型号零件的直径为28，27，31，29，30，27（mm ）.检验零件直径有无显著变化？（α=0.05）. 6(12分)．设总体X 的概率密度为f(x)=⎩⎨⎧<<+θθ.,0;1x 0,x )1(其它 (θ>-1), X 1,X 2….X n 是来自X 的样本。
求参数θ的矩估计量与极大似然估计量.0.0250.050.0250.05(5) 2.5706,(5) 2.0150,(6) 2.4469,(6) 1.9432,t t t t ====-第 3页概率论与数理统计（C ）试题答案（A 卷）一、1.A2.A3.D4.B5.D6.C7.B二、1. 0.6 2.!1k e-; 3.211--e ； 4. 0.7； 5.31； 6. 37； 7.)1,(nN μ； 8.t(n)三、1．解：设{}任取一件产品为合格品=A ,{}，间任取一件产品来自甲车=1B {}，间任取一件产品来自乙车=2B {}，间任取一件产品来自丙车=3B(1) )()|()()|()()|()(332211B P B A P B P B A P B P B A P A P ++== 4.098.03.096.03.095.0⨯+⨯+⨯=0.965所以该种产品的合格率为0.965。
--------------------------------------------(4分)(2) =⨯==∑=965.03.095.0)()|()()|()|(31111i i i B P B A P B P B A P A B P 0.295同理，=⨯=965.03.096.0)|(2A B P 0.298 =⨯=965.04.098.0)|(3A B P 0.406----（10分）2.解：(1)---------（6分） (2) 否 因为：)1()0()1,0(==≠==Y P X P Y X P ---------（12分）(3) 4.0)2,2(=<≤Y X P ---------（16分）3.解: (1)⎰+∞∞-=1)(dx x f32c 1)1(1=∴=+∴⎰d x x c -----------（3分）(2){}125)1(32)(5.0||212121=+==≤⎰⎰-dx x dx x f X P ------------(6分)(3)⎰⎰+∞∞-=+==195)1(32)()(dx x x dx x xf X E⎰⎰=++=+=+∞+∞-1222916)1(32)12()()12()12(dx x x dx x f x X E ----(12分)X 2 1 0p 0.3 0.4 3.0 Y 3 2 1 p 0.3 0.3 4.0-第 4页4.解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-)1(),1(122n t n SX n t nS X αααμ－的置信区间为－的置信度为 )1(22-⋅∴n t nS L α＝其长度 -----------------------（4分）且2222222222)1(4)()1(4)1(4)(σααα⋅-=⋅-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅⋅=n t n S E n t n n t n S E L E --（8分）5．解：假设,30:0=μH 30:1≠μH ----------------------（2分）由已知计算99.167.23067.280=-=-nSX μ <,5706.2)5(025.0=t ----------（10分）所以，接受 ,30:0=μH认为零件直径没有显著变化。
--------------------（12分）6．解：矩估计量 2121)1()()(12111++=++=+===+++∞∞-⎰⎰θθθθθμθθxdx xdx x xf X E而XX nA ni i==∑=11)(1X=++∴21θθ 解得121ˆ--=X X θ -----------------（6分）极大似然估计量θ的极大似然函数为θθθθ)()1(),()(211n n i ni x x x x f L +=∏==取对数，)ln()1ln(ln 1i ni x n L =∏++⋅=θθ上式关于θ 的导数为0 ，得0)ln(11=∏++=in i x nθ1)ln(ˆ1-∏-=∴=in i x nθ ---------------(12分)。