分数及百分数应用题讲解

四十二分数及百分数应用题在解有关分数和百分数的问题时，首先要弄清以下几个基本问题：（1）如何求一个数的几分之几？（2）如何求一个数是另一个数的几分之几？（3）已知一个数的几分之几，如何求这个数？求一个数的几分之几，只需要将这个数乘以几分之几就得到．求一个数是另一个数的几分之几，只需要将前一个数除以后一个数就得到．已知一个数的几分之几，要求这个数，只需要将这个几分之几的数除以几分之几．分数应用题经常要涉及到两个或两个以上的量，我们往往把其中的一个量看作是标准量．例如a是b的几分之几，就把数b看作标准量．在几个量中，弄清哪一个是标准量很重要，否则容易出错误．问题42.1某工厂二月份比元月份增产10％，三月份比二月份减产10％．问三月份比元月份增产了还是减产了？分析一定会有同学认为三月份比元月份不增不减，这对吗？工厂二月份比元月份增产10％，我们就要将元月份产量看作1解将元月份产量看作1，则二月份产量为三月份比二月份减产10％，则三月份产量为所以三月份比元月份减产 1-99％＝1％．答：三月份比元月份减产1％．可能有的同学想不通，认为既然二月份比元月份增产10％，三月份又比二月份减产10％，那么三月份产量应该和元月份产量相等．错误的原因在于没有搞清标准量．二月份比元月份增产10％，是以元月份产量为标准量；三月份比二月份减产 10％，是以二月份产量为标准量．两次标准量不同，因此不能简单地认为三月份和元月份产量相同．体积减少几分之几？是这样的吗？解设原来铁球体积为1，则升温后体积为由以上两例，说明弄清标准量相当重要．遇到这样的问题切不可想当然，要动动脑筋，还要动手算一算．问题42.3一个最简分数，如果把它的分子扩大3倍，分母缩小为原来分析一个最简分数，分子扩大3倍，那么分数的值也扩大3倍；分母缩解这个分数为还剩油0.2千克，问原来瓶内有多少千克油．余下的油，从而可求出原来瓶中的油．所以原来瓶中的油为0.8千克+0.5千克=1.3千克．答：原来瓶中有油1.3千克．答：水渠全长245米．问题42.6有两筐鸡蛋，甲筐里的鸡蛋比乙筐少18个．如果从甲筐里拿出6个放入乙筐中，这时甲筐里的鸡蛋相当于乙筐里的分析甲筐中的鸡蛋比乙筐少18个，拿出6个放入乙筐后，请大家想一想这时甲筐里的鸡蛋比乙筐少多少个？是18+6=24（个）吗？蛋呢？解原来甲筐比乙筐少18个鸡蛋，拿出6个放入乙筐后，甲筐比乙筐就少了18+6×2=30（个）．所以乙筐原有鸡蛋为70-6=64（个）．甲筐原有鸡蛋为64-18=46（个）．综合算式：=70-6=64（个）．64-18=46（个）．答：甲筐原有鸡蛋46个，乙筐原有鸡蛋64个．问题42.7一桶柴油，第一次用了全桶的20％，第二次用去20千克，第三次用了前两次的和，这时桶里还剩8千克油．问这桶油有多少千克？分析由已知条件，第三次用了前两次的和，就是全桶的20％加上20千克，因此前三次共用了两个20％和两个20千克，桶内还剩8千克油，就意味着两个20％，两个20千克，再加一个8千克就是整桶油，因此可得到以下解法．解由题知三次共用柴油是两个全桶的20％再加两个20千克，桶内还剩8千克，因此20×2＋8＝48（千克），相当于全桶的1-40％＝60％．所以整桶柴油为综合算式为：（20×2＋8）÷（1-2×20％）=48÷60％=80（千克）．答：整桶柴油重80千克．乙耕了整块地的由于乙比甲少耕100公亩，因此100公亩相当于整块地的答：乙耕地500公亩．问题42.9植树节到了，八一小学的老师和同学共100人参加植树，老师每人栽3棵，学生3人栽一棵，共栽树恰好也是100棵．求老师和学生各多少人？分析这道题属“鸡兔同笼”的类型，前面我们已经遇到过，不过在学完分数运算后，再来解这道题就比较简单了．解假设100个全是老师，应栽树3×100=300（棵），比实际多了300-100=200（棵）．所以学生人数为老师人数为 100-75=25（人）．答：老师25人，学生75人．问题42.10山顶有棵桔子树，一只猴子偷吃桔子．分析倒过来推，从第十天的10个桔子向前推．由已知条件，这十个桔道原来树上有多少个桔子．=20（个）．如此下去，…，树上原有桔子为= 100（个）．答：原来树上有 100个桔子．练习42千克？中的鸭子和岸上鸭子的只数相同．问这群鸭子有多少只？还有42页没读完．这本书有多少页？邮票和的25％．问三人各有多少张邮票？千克，则两只桶内的油相等．原来每只桶内各装油多少千克？8．化肥厂全年计划生产化肥2184吨，第一季度就完成了全年任务的第三讲分数、百分数应用题（一）分数、百分数应用题是小学数学的重要内容，也是小学数学重点和难点之一．一方面它是在整数应用题基础上的继续和深化；另一方面，它有其本身的特点和解题规律．因此，在这类问题中，数量之间以及“量”、“率”之间的相依关系与整数应用题比较，就显得较为复杂，这就给正确地选择解题方法，正确解答带来一定困难．为了学好分数、百分数应用题的解法必须做好以下几方面工作．①具备整数应用题的解题能力．解答整数应用题的基础知识，如概念、性质、法则、公式等仍广泛用于分数、百分数应用题．②在理解、掌握分数的意义和性质的前提下灵活运用．③学会画线段示意图．线段示意图能直观地揭示“量”与“百分率”之间的对应关系，发现量与百分率之间的隐蔽条件．它可以帮助我们在复杂的条件与问题中理清思路，正确地进行分析、综合、判断和推理．④学会多角度、多侧面思考问题的方法．分数百分数应用题的条件与问题之间的关系变化多端，单靠统一的思路模式有时很难找到正确解题方法．因此，在解题过程中，要善于掌握对应、假设、转化等多种解题方法，在寻找正确的解题方法同时，不断地开拓解题思路．例1 （1）本月用水量比上月节约7％，可以联想到哪些关系？①上月用水量与单位“1”的关系．②本月节约用水量与上月用水量的7％的关系．③本月用水量与上月用水量的（1－7％）的关系．（2）蓝墨水比红墨水多20％，可以联想到哪些关系？①红墨水与单位“1”的关系．②蓝墨水比红墨水多出的量与红墨水的20％的关系．③蓝墨水与红墨水的（1＋ 20％）的关系．（3）已看的页数比未看的页数多15％，可以联想哪些关系？①未看的页数与单位“1”的关系．②已看的与未看的页数的差与未看页数的15％的关系．③已看的页数与未看的页数的（1＋15％）的关系．事书是多少页？分析每天看15页，4天看了15×4＝60页．解题的关键是要找出解：①看了多少页？15×4＝60（页）．②看了全书的几分之几？③这本书有多少页？答：这本故事书是 150页．分析要想求这本书共有多少页，需要找条件里的多21页，少6页，剩下 172页所对应的百分率．也就是说，要从这三个量里找出一个能明确占全书的几分之几的量．画线段图：答：这本故事书共有264页．例4 惠华百货商场运到一批春秋西服，按原（出厂）价加上运费、营知售价是123元，求出厂价多少元？相当于123元，如上图可以得出解答：答：春秋西服每套出厂价是108元．克，收完其余部分时，又刚好装满6筐，求共收西红柿多少千克？与百分率”的关系已经直接对应，求每筐的千克数的条件完全具备．解：其余部分是总千克数的几分之几：西红柿总数共装了多少筐：每筐是多少千克：共收西红柿多少千克：综合算式：答：共收西红柿384千克．解法2：（以下列式由学生自己理解）答：共收西红柿384千克．水泥没运走．这批水泥共是多少吨？分析上图中有3个相对各自讨论范围内的单位“1”（“全部”、“余下”、“又余下”）．依据逆向思路可以得出，最后剩下的15吨对应的是下”的吨数90吨（即“余下”含义中的1个单位是90吨）．这90吨恰是“全例7 某人在公共汽车上发现一个小偷向相反方向步行，10秒钟后他秒？分析与解答这是一个追及问题，因此求追上所花时间必须求出相距距离及它们速度差．相距距离是因为车上之人与小偷反向走了10秒钟产生的．而速度差是易求的．所以追上所花时间是答：追上小偷要110秒．例8 A有若干本书，B借走一半加一本，剩下的书，C借走一半加两本，再剩下的书，D 借走一半加3本，最后A还有2本书，问A原有多少本书．答：A原有50本书．解法2：用倒推法解．分析A剩下的2本应是C借走后剩下的一半差3本，所以 C借走后还综合算式：答：A原有50本书．习题三比苹果少1440千克，运来橘子多少千克？2．有两袋米，甲袋比乙袋少18千克．如果再从甲袋倒入乙袋6千克，3．一本书，已看了130页，剩下的准备8天看完．如果每天看的页数苹果？每天各吃了几个苹果？5．古希腊杰出的数学家丢番图的墓碑上有一段话：“他生命的六分之一是幸福的童年．再活十二分之一脸上长起了细细的胡须，他结了婚还没有孩子，又度过了七分之一．再过了五年，他幸福地得到了一个儿子．可这孩子光辉灿烂的寿命只有他父亲的一半．儿子死后，老人在悲痛中活了四年，也结束了尘世的生涯”．你能根据这段话推算出丢番图活了多少岁？多少岁结的婚吗？6．一瓶酒精，当用去酒精的一半后，连瓶共重700克；如只用去酒精多少台？第四讲分数、百分数应用题（二）在解题过程中，除了要利用上一讲中所说的一些技巧和方法（如画线段示意图等）之外，还要注意在解题过程中量的转化．例如，在解题过程的不同阶段，有时需把不同的量看成单位1，即要把单位1进行“转化”；有时，在解题过程中需把相等的量看成完全一样，即其中之一可“转化”为另一．通过这样的转化，往往能使解题思路清晰，计算简便．几？而问题“女工人数比男工人数少几分之几”是把男工人数看作单位“1”．解答这题必须转化单位“1”．说明：“1”倍量的转换引起了“百分率”的转化，其规律是，甲数是修路程的比是4∶3，还剩50O米没修，这条路全长多少米？分析此题条件中既有百分率又有比，可以把比转化成百分率，按分数应用题解答．第二天与第一天所修路程的比是4∶3．即第二天修的占4份，第一天米相对应的百分率，进而求出全长有多少米．＝1200（米）．答：全长是1200米．相等，求两个班各分到多少皮球？单位“1”不一致，因此一班与二班分到的皮球之间缺乏统一的倍数关系，率”转化，才能做此题．二班的球数相当于一班的几分之几．总球数120就和两个班的百分率之和相对应，求出一班分到多少皮球．二班分到的球占一班的几分之几：二班分到多少皮球：120－72＝48（个）．答：一班分到72个皮球，二班分到48个皮球．倍题，就可求出二班分到多少球．一班分到的占二班几分之几：二班分到多少球：一班分到多少球：120－48＝72（个）．一班与二班分到皮球数的比：问两班各多少人？画出线段图：由量、百分率的对应就不难求出甲班人数了．乙班人数：84－40＝44（人）．答：甲班有40人，乙班有44人．例5 加工一批零件，甲乙二人合作需12天完成；现由甲先工作3天，这批零件共有多少个？分析解答此题要用条件转化法，即把“甲工作3天，乙工作2天”，转化为“二人合作2天，再由甲独干一天”，问题便可以得到解决．件所对应的百分率，求出这批零件有多少个．解：甲每天完成这批零件的几分之几：乙每天完成这批零件的几分之几：这批零件共有多少个：答：这批零件共有240个．分析题目中除全厂外，还有两个单位“1”：一个是一车间，另一个是二车间．可以通过转化的思路，统一到一车间．找到三车间的156人相当于一车间的几分之几，从而先求出一车间的人数，由于一车间人数占全厂的25％，从而直接求出全厂的人数，这样可无需求出二车间的具体人数．解：二车间人数是一车间的几分之几：三车间的人数是一车间的几分之几：一车间有多少人：全厂共有多少人：150÷25％＝600（人）．综合算式：答：这个服装厂全厂共有600人．习题四2．修路队修一条1800米的路，前5天完成了全长的25％，照这样计算，把这条水渠还要多少天？3．甲、乙两车分别从A、B两地同时相对开出，经4小时相遇，相遇后各自继续前进，又经过3小时，甲车到达B地，乙车离A地还有70千米，求A、B两地相距多少千米？4．哥哥和弟弟共有人民币10．8元，哥哥用去自己钱数的75％，弟弟用去自己钱数的80％，两人所剩的钱正好相等，哥哥原来有多少钱？5．一项工程，甲、乙两队合作可30天完成，甲队独做24天后，甲、乙两队又合作了12天，然后甲调走，乙又做了15天才完成了全部的工程，甲队若单独做这项工程需几天完成？6．甲、乙两台抽水机共同工作10小时，可以把整池水抽完，如果甲台两台抽水机单独抽各需几小时？7．二年级两个班共有学生90人，其中少先队员有71人，又知一班少少人？四、分数、百分数应用题分数和百分数这部分内容是小学数学的重要组成部分，在我们的现实生活及生产实际中经常会遇到与分数、百分数有关的问题.因此学好这部分知识，会给我们解决好有关的实际问题，理清数量关系带来很多便利。