第五章 波动

20 3
24
(2) 长度 OB
解： O B） OB （ 2
Y(cm)
10
-5

u
C
o
-5
B

20
x(cm)
(B)

t 0时：yB 0，vB 0
B

2
(o)
2 40 则： ） OB （ 3.33 cm ） （ 3 2 2
2 2 2
波动（体元）
（非孤立系统）
振动（系统） （孤立系统）
E振不随t变化，守恒 体元在不断接受或放出 能量 Ek振、E p振此消彼长 Wk波、W p波同步变化
（5）能量密度：单位体积内的能量
W / V A22 sin2 (t x / u)
uT
波动方程其它形式

x xo t y A cos[2 ( ) x0 ] T x xo y A cos[2 (t ) x0 ]

y A cos{
2

[ut ( x - xo） x 0 } ]
结论：确定波动方程的二个条件
1. 已知 u
第 波
五
章 动
1
波的分类：
机械波：机械振动在媒质中的传播过程。
电磁波：变化的电场和变化的磁场在空间
的传播过程。 波的共同特征： 1。具有一定的波速且拌有能量的传递。 2。具有相同的数学规律和物理特性——干涉、 衍射、 反射、折射、偏振。 3。具有周期性。
2
§5-1 机械波的产生与传播
一、产生机械波的条件
2. 波线上一点的振动方 程
20
x y A cos[ ( t ) 0 ] 三、波动方程物理意义(正向传播波为例) u
1. 在空间某位置 x = x1，有
它表示 x = x1 处的振动函数，其中 o 为初相。 u 2. 在某时刻 t = t1，有
x y Acos ω t1 o u
1.波源：作机械振动的物体 2.弹性媒质：能传播机械振动的媒质
二、弹性体的变形规律 1.弹性：外力撤去后，形变可以完全恢复的性质 2.弹性体：具有弹性的物体（理想模型） 各向同性均匀弹性体： 各点弹性相同，各点弹性与方向无关。 3.弹性形变遵循的规律 胡克定律：应力=模量应变
3
4。弹性形变常见类型：
x
2
25
*波动的特征：
(1)各质元只是在各自平衡位置附近振动. (2)同一时刻,沿波线各质元振动状态不同,各质元相位依次落后.
2 x
*u =

T

=
u由介质的性质决定.
T T振
振
由振源决定.
波线上一点的振动方程 yx0 A cos(t x0 ) : *由 波速u
x y A cos[ ( t ) 0 ] u
x
18
x
x
以波线上x0处点为参考点
则Q点处质点的振动方程为
y A
O
x0 x
Q
x x0 Q点的任一振动状态传到P点，需要时间 t u
x xo 其中： — 表示x处质元的振动落后或超前）xo处质元 ( u 振动的时间
y x0 A cos(t x0 )
b y P A cos[ (t )22 ] u
[例] 已知：T 4S
Y(cm)
0.2

u
t2

求：P点的振动方程 解：yP A cos t p） o （
2 方法一： T 2
p
p

t0
x(cm)
t p

2
p

2
x(cm)
2 （ ）T 2， 40，u 2 1 ０， A 10， T T

且t 0时：yo 5，vo 0
2 O 3

2 3
2 yo 10 cos[t （cm） ] 3 x 2 波动方程：y 10 cos[（t ） ]
y A
O
则O点处质点的振动方程为
u
x P
17
y0 A cos(t 0 )
-A
x
x O点的任一振动状态传到P点，需要时间 t u y x u y P ( x , t ) yO (0, t ) A u 正向波波函数（波动方程） O P -A x x y A cos[ ( t ) 0 ] u x P点比O点超前时间 t u x u y y P ( x , t ) yO (0, t ) u 反向波波函数 O P
x xo ) x0 ] 得波动方程: y A cos[ (t u
当x确定: y(t)——x处质元的振动方程
当t确定： y(x)——t时刻的波形
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§5-4 机械波的能量
波动过程又是能量的传播过程
y A cos (t x / u)
y x m
一、能量和能量密度 1 1 y 2 2 (1)动能 Wk mv ( V )( ) 2 2 t
地震波主要包含纵波和横波。
来自地下的纵波（P波）引起地面上下颠簸振动。来自 地下的横波（S波）能引起地面的水平晃动。横波是地 震时造成建筑物破坏的主要原因。 由于纵波在地球内部传播速度大于横波，所以地震时， 纵波总是先到达地表。这样，发生地震时，一般人们先 感到上下颠簸，过数秒到十几秒后才感到有很强的水平 晃动。这一点非常重要，因为纵波给我们一个警告，告 诉我们造成建筑物破坏的横波马上要到了，快点作出防 备。
按波面形状
平面波 球面波 柱面波 简谐波 复波
按波形是 否传播
按复杂程度
9
横波：质点的振动方向和波的传播方向垂直 传播媒质：具有剪切弹性或产生张力
机械横波只能在固体或柔软绳索中传播
纵波：质点的振动方向和波的传播方向平行
传播媒质：具有拉压弹性或容变弹性
机械纵波可在固体、液体或气体中传播
10
11
12
0
4
8
12
16
20
2 t=0 4
7
§5-2波的基本概念
一、波的几何描述 （1）波面：由振动相位相同的点所组成的面 （2）波前：最前面的波面 （3）波线：表示波传播方向的直线
各向同性介质中波线波面
平面波：波面为平面的波 球面波：波面为球面的波
波线 波线
波面
波面
8
二、机械波的分类 按波线与振 动方向关系 纵波 横波 按持续时间 连续波 脉冲波 行波 驻波
液气：u
B
14
2. 周期T： 一个完整的波通过波线上的某点所需的时间。 由波源决定（波源、观测者均不动时） 频率:
1 T
角频率: 2π
3. 波长 ：
T、、反映了波的"时间周期"
波线上相邻的振动状态相同的两质元间的距离。
u

x
uT
由波源和媒质共同决定。 15 波长反映波的“空间周期”。
(对固体的)拉压,(对固体的)剪切,(气液固体的)容变
拉压 应力=f/s
应变= Δl l
f
S
S
f
l
即=Y
Δl
胡克定律：应力=模量应变
Y： 杨氏弹性模量(度量材料抗拉压形变的能力)
剪切 应力=f/s f
q
应变q
胡克定律：应力=模量应变 即=Gq G： 切变弹性模量(度量材料抗剪切形变的能力)
13
三. 波的特征量
1.波速u 概念： 振动状态传播的速度 由媒质的性质决定与波源情况无关。 弹性媒质中u
模量 波速 密度 波速仅仅取 决于媒质的 弹性和惯性
模 量 密 度


纵波
G 固体：u 横波 T T : 绳张力 柔绳：u : 线密度 Y 固体：u
B O

b
P

P

b
x

B O
B
x
O
a

P
b

x
（1）
（2）
（3）
解：
x (1). y A cos[ (t ) ] u x (2). y A cos[ (t ) ] u xa (3). y A cos[ (t ) ] u
x b (1) （2）x b （3）x a b

2

2
方法二：由 t 0波形图可知： p
y P 0.2 cos t ）cm) （ ( 2 2
23


[例] 已知：波动T 2 S， t 0时刻波形如图示 求：（）波动方程， 1 （2） 长度。 OB
解：
Y(cm)
10
-5

u
C
o
-5
B

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x1 ω x1 y Acos ω t o Acos ω t o u u
x1
它表示 t = t1 时刻的波形。 y t1 t2 O
Δx = u(t2 - t1)
x
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[例] 已知波线上 点的振动规律为 A cos t ），就 B y （ 下面三种坐标取法，分 别列出波动表达式及 点的振动方程 P y y y u u u
因媒质各部分间的弹性联系， 会使振动传播开去， 这就形成了波动 — 机械波
6
“上游”的质元依次带动“下游”的质元振 动。 某时刻某质元的振动状态将在较晚的时刻于 “下游”某处出现。 波动是振动状态的传播，不是媒质的传播。