高等数学下册试题及答案
高数下册试题及答案
高数下册试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，求f'(x)。
A. 3x^2 - 3B. x^2 - 3xC. 3x^2 + 3D. 3x^2 - 3x答案：A2. 设函数f(x) = sin(x) + cos(x)，则f'(x)等于：A. cos(x) - sin(x)B. cos(x) + sin(x)C. -sin(x) - cos(x)D. -sin(x) + cos(x)答案：B3. 求极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值。
A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B4. 若函数f(x) = e^x，则f'(x)等于：A. e^xB. e^(-x)C. x * e^xD. 1答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 已知曲线y = x^2 + 2x + 1，求该曲线在x = 1处的切线斜率。
答案：42. 设函数f(x) = ln(x)，则f'(x) = ________。
答案：1/x3. 求定积分∫(0,1) x^2 dx的值。
答案：1/34. 若函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 15，求f'(x)。
答案：3x^2 - 12x + 9三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的极值。
答案：首先求导数f'(x) = 3x^2 - 12x + 11。
令f'(x) = 0，解得x = 1 和 x = 11/3。
计算f''(x) = 6x - 12，可以判断x = 1处为极大值点，x = 11/3处为极小值点。
极大值为f(1) = 0，极小值为f(11/3) = -2/27。
2. 计算定积分∫(0,2) (3x^2 - 2x + 1) dx。
答案：首先求原函数F(x) = x^3 - x^2 + x。
高等数学下期末试题(七套附答案)
高等数学（下）试卷一一、 填空题（每空3分，共15分）（1）函数11z x y x y =++-的定义域为 （2）已知函数arctany z x =，则zx ∂=∂（3）交换积分次序，2220(,)y y dy f x y dx⎰⎰＝（4）已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则()Lx y ds +=⎰（5）已知微分方程230y y y '''+-=，则其通解为二、选择题（每空3分，共15分）（1）设直线L 为321021030x y z x y z +++=⎧⎨--+=⎩，平面π为4220x y z -+-=，则（ ） A. L 平行于π B. L 在π上 C. L 垂直于π D. L 与π斜交（2）设是由方程2222xyz x y z +++=确定，则在点(1,0,1)-处的dz =（ ）A.dx dy +B.2dx dy +C.22dx dy +D.2dx dy - （3）已知Ω是由曲面222425()z x y =+及平面5z =所围成的闭区域，将22()xy dvΩ+⎰⎰⎰在柱面坐标系下化成三次积分为（ ） A.2253d r dr dzπθ⎰⎰⎰ B.2453d r dr dzπθ⎰⎰⎰ C.2253502rd r dr dzπθ⎰⎰⎰ D. 2252d r dr dzπθ⎰⎰⎰（4）已知幂级数，则其收敛半径（ ）A. 2B. 1C. 12 D. 2（5）微分方程3232x y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y *=（ ）A.B.()x ax b xe +C.()xax b ce ++D.()xax b cxe ++三、计算题（每题8分，共48分） 1、 求过直线1L :123101x y z ---==-且平行于直线2L ：21211x y z+-==的平面方程 2、 已知22(,)z f xy x y =，求zx ∂∂， z y ∂∂得分阅卷人3、 设22{(,)4}D x y x y =+≤，利用极坐标求2Dx dxdy ⎰⎰4、 求函数22(,)(2)xf x y e x y y =++的极值5、计算曲线积分2(23sin )()y L xy x dx x e dy ++-⎰， 其中L 为摆线sin 1cos x t t y t =-⎧⎨=-⎩从点(0,0)O 到(,2)A π的一段弧6、求微分方程 xxy y xe '+=满足 11x y ==的特解四.解答题（共22分）1、利用高斯公式计算22xzdydz yzdzdx z dxdy ∑+-⎰⎰，其中∑由圆锥面22z x y =+与上半球面222z x y =--所围成的立体表面的外侧 (10)'2、（1）判别级数111(1)3n n n n ∞--=-∑的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；（6'）（2）在(1,1)x ∈-求幂级数1nn nx∞=∑的和函数（6'）高等数学（下）试卷二一．填空题（每空3分，共15分）（1）函数24x y z -=的定义域为 ； （2）已知函数xyz e =，则在(2,1)处的全微分dz = ；（3）交换积分次序，ln 1(,)e x dx f x y dy⎰⎰＝ ；（4）已知L 是抛物线2y x =上点(0,0)O 与点(1,1)B 之间的一段弧，则Lyds =⎰；（5）已知微分方程20y y y '''-+=，则其通解为 .二．选择题（每空3分，共15分）（1）设直线L 为300x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩，平面π为10x y z --+=，则L 与π的夹角为（ ）；A. 0B. 2πC. 3πD. 4π（2）设是由方程333z xyz a -=确定，则z x ∂=∂（ ）；A. 2yz xy z -B. 2yz z xy -C. 2xz xy z -D. 2xy z xy -（3）微分方程256x y y y xe '''-+=的特解y *的形式为y *=（ ）；A.2()x ax b e +B.2()xax b xe + C.2()x ax b ce ++ D.2()x ax b cxe ++（4）已知Ω是由球面2222x y z a ++=所围成的闭区域, 将dvΩ⎰⎰⎰在球面坐标系下化成三次积分为（ ）； A2220sin ad d r drππθϕϕ⎰⎰⎰ B.220ad d rdrππθϕ⎰⎰⎰C.200ad d rdrππθϕ⎰⎰⎰ D.220sin a d d r drππθϕϕ⎰⎰⎰（5）已知幂级数1212nnn n x ∞=-∑，则其收敛半径（ ）.A. 2B. 1C. 122三．计算题（每题8分，共48分）5、 求过(0,2,4)A 且与两平面1:21x z π+=和2:32y z π-=平行的直线方程 .6、 已知(sin cos ,)x yz f x y e +=，求zx ∂∂， z y ∂∂ .7、 设22{(,)1,0}D x y x y y x =+≤≤≤，利用极坐标计算arctanDydxdy x ⎰⎰ .8、 求函数22(,)56106f x y x y x y =+-++的极值. 9、 利用格林公式计算(sin 2)(cos 2)x x Le y y dx e y dy-+-⎰，其中L 为沿上半圆周222(),0x a y a y -+=≥、从(2,0)A a 到(0,0)O 的弧段. 6、求微分方程 32(1)1y y x x '-=++的通解.四．解答题（共22分）1、（1）（6'）判别级数11(1)2sin3n n n n π∞-=-∑的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；（2）（4'）在区间(1,1)-内求幂级数1n n x n ∞=∑的和函数 .2、(12)'利用高斯公式计算2xdydz ydzdx zdxdy∑++⎰⎰，∑为抛物面22z x y =+(01)z ≤≤的下侧得分阅卷人得分高等数学（下）模拟试卷三一． 填空题（每空3分，共15分）1、 函数arcsin(3)y x =-的定义域为 .2、22(2)lim 332n n n n →∞++-= .3、已知2ln(1)y x =+，在1x =处的微分dy = . 4、定积分1200621(sin )x x x dx -+=⎰ .5、求由方程57230y y x x +--=所确定的隐函数的导数dydx =.二．选择题（每空3分，共15分）1、2x =是函数22132x y x x -=-+的 间断点 （A ）可去 （B ）跳跃（C ）无穷 （D ）振荡2、积分1⎰= .(A) ∞ (B)-∞(C) 0 (D) 13、函数1xy e x =-+在(,0]-∞内的单调性是 。
大学高数下册试题及答案
大学高数下册试题及答案《高等数学》测试题一一、选择题1．设有直线及平面，则直线A．平行于平面；B．在平面上；C．垂直于平面；D．与平面斜交. 2．二元函数在点处A．连续、偏导数存在； B．连续、偏导数不存在；C．不连续、偏导数存在；D．不连续、偏导数不存在. 3．设为连续函数，，则＝A．； B．；C．D．. 4．设是平面由，，所确定的三角形区域，则曲面积分＝A．7；B．；C．；D．. 5．微分方程的一个特解应具有形式A．；B．；C．；D．. 二、填空题1．设一平面经过原点及点，且与平面垂直，则此平面方程为；2．设，则＝；3．设为正向一周，则0 ；4．设圆柱面，与曲面在点相交，且它们的交角为，则正数； 5．设一阶线性非齐次微分方程有两个线性无关的解，若也是该方程的解，则应有 1 . 三、设由方程组确定了，是，的函数，求及与. 解：方程两边取全微分，则解出从而四、已知点及点，求函数在点处沿方向的方向导数. 解：，从而五、计算累次积分）. 解：依据上下限知，即分区域为作图可知，该区域也可以表示为从而六、计算，其中是由柱面及平面围成的区域. 解：先二后一比较方便，七．计算，其中是抛物面被平面所截下的有限部分. 解：由对称性从而八、计算，是点到点在上半平面上的任意逐段光滑曲线. 解：在上半平面上且连续，从而在上半平面上该曲线积分与路径无关，取九、计算，其中为半球面上侧. 解：补取下侧，则构成封闭曲面的外侧十、设二阶连续可导函数，适合，求．解：由已知即十一、求方程的通解. 解：解：对应齐次方程特征方程为非齐次项，与标准式比较得,对比特征根，推得，从而特解形式可设为代入方程得十二、在球面的第一卦限上求一点，使以为一个顶点、各面平行于坐标面的球内接长方体的表面积最小. 解：设点的坐标为，则问题即在求最小值。
令，则由推出，的坐标为附加题：1．判别级数是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？解：由于，该级数不会绝对收敛，显然该级数为交错级数且一般项的单调减少趋于零，从而该级数条件收敛2．求幂级数的收敛区间及和函数. 解：从而收敛区间为，3．将展成以为周期的傅立叶级数. 解：已知该函数为奇函数，周期延拓后可展开为正弦级数。
高等数学下册试题及参考答案
高等数学下册试题一、选择题（每题4分，共20分）1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 AB 的模是：（ A ） A ）5 B ） 3 C ） 6 D ）9解 ={1-1，2-0，1-2}={0，2，-1}，||=5)1(20222=-++.2. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ B ）A ）{-1,1,5}.B ） {-1,-1,5}.C ） {1,-1,5}.D ）{-1,-1,6}.解 (1) c =3a -2b =3{1,-1,3}-2{2,-1,2}={3-4,-3+2,9-4}={-1,-1,5}.3. 设a ={1,-1,3}, b ={2, 1, -2}，求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b ; （ A ） A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）-2i -j +5k解c ={-1,-2,5}=-i -2j +5k .4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是：（C ）A ）2πB ）4πC ）3π D ）π 解 由公式（6-21）有21112)1(211)1(1221cos 2222222121=++⋅-++⨯-+⨯+⨯=⋅⋅=n n n n α，因此，所求夹角321arccos πα==．5. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程．是：（D ） A ）2x+3y=5=0 B ）x-y+1=0 C ）x+y+1=0 D ）01=-+y x ．解 由于平面平行于z 轴，因此可设这平面的方程为 0=++D By Ax 因为平面过1M 、2M 两点，所以有⎩⎨⎧=+-=+020D B A D A解得D B D A -=-=,，以此代入所设方程并约去)0(≠D D ，便得到所求的平面方程01=-+y x6．微分方程()043='-'+''y y y x y xy 的阶数是( D ).A ．3B ．4C ．5D ． 27．微分方程152=-''-'''x y x y 的通解中应含的独立常数的个数为(A ).A ．3B ．5C ．4D ． 28．下列函数中，哪个是微分方程02=-xdx dy 的解( B ). A ．x y 2= B ．2x y = C ．x y 2-= D ． x y -=9．微分方程323y y ='的一个特解是( B).A ．13+=x yB ．()32+=x yC ．()2C x y +=D ． ()31x C y +=10．函数x y cos =是下列哪个微分方程的解(C).A ．0=+'y yB ．02=+'y yC ．0=+y y nD ． x y y cos =+'' 11．x x e C e C y -+=21是方程0=-''y y 的(A)，其中1C ，2C 为任意常数. A ．通解 B ．特解 C ．是方程所有的解 D ． 上述都不对12．y y ='满足2|0==x y 的特解是( B).A ．1+=x e yB ．xe y 2= C ．22x e y ⋅= D ． x e y ⋅=3 13．微分方程x y y sin =+''的一个特解具有形式( C ). A ．x a y sin *= B ．x a y cos *⋅= C ．()x b x a x y cos sin *+= D ． x b x a y sin cos *+= 14．下列微分方程中，( A )是二阶常系数齐次线性微分方程. A ．02=-''y y B ．032=+'-''y y x y C ．045=-''x y D ． 012=+'-''y y15．微分方程0=-'y y 满足初始条件()10=y 的特解为( A ). A ．x e B ．1-x e C ．1+x e D ． x e -216．在下列函数中，能够是微分方程0=+''y y 的解的函数是( C ). A ．1=y B ．x y = C ．x y sin = D ． x e y =17．过点()3,1且切线斜率为x 2的曲线方程()x y y =应满足的关系是( C ). A ．x y 2=' B ．x y 2='' C ．x y 2='，()31=y D ． x y 2=''，()31=y 18．下列微分方程中，可分离变量的是( B ). A ．e x y dx dy =+ B ．()()y b a x k dx dy--=(k ,a ,b 是常数) C ．x y dxdy=-sin D ． x e y xy y ⋅=+'219．方程02=-'y y 的通解是( C ).A ．x y sin =B ．x e y 24⋅=C ．x e C y 2⋅=D ．x e y =20．微分方程0=+xdy y dx 满足4|3==x y 的特解是( A ). A ．2522=+y x B ．C y x =+43 C ．C y x =+22 D ． 722=-y x 21．微分方程01=⋅-y xdx dy 的通解是=y ( B ). A ．xC B ．Cx C ．C x +1D ． C x +22．微分方程0=+'y y 的解为( B ).A ．x eB ．x e -C ．x x e e -+D ． x e -23．下列函数中，为微分方程0=+ydy xdx 的通解是( B ).A ．C y x =+B ．C y x =+22 C ．0=+y CxD ． 02=+y Cx 24．微分方程02=-dx ydy 的通解为( A ).A ．C x y =-2B ．C x y =- C ．C x y +=D ．C x y +-= 25．微分方程xdx ydy sin cos =的通解是( D ). A ．C y x =+cos sin B ．C x y =-sin cos C ．C y x =-sin cos D ． C y x =+sin cos 26．x e y -=''的通解为=y ( C ).A ．x e --B ．x e -C ．21C x C e x ++-D ．21C x C e x ++-- 27．按照微分方程通解定义，x y sin =''的通解是( A ). A ．21sin C x C x ++- B ．21sin C C x ++- C ．21sin C x C x ++ D ． 21sin C C x ++一、单项选择题2．设函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可偏导的 （ D )(A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件.3．函数()y x f ,在点()00,y x 处偏导数存在是函数在该点可微分的 ( B ).(A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 4．对于二元函数(,)z f x y =, 下列结论正确的是 ( ). CA. 若0lim (,)x xy y f x y A →→=, 则必有0lim (,)x x f x y A →=且有0lim (,)y y f x y A →=; B. 若在00(,)x y 处z x ∂∂和zy ∂∂都存在, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; C. 若在00(,)x y 处z x ∂∂和zy∂∂存在且连续, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微;D. 若22z x ∂∂和22z y ∂∂都存在, 则. 22z x ∂∂=22z y ∂∂.6.向量()()3,1,2,1,2,1a b =--=-r r ，则a b =rr g （ A ） (A) 3 (B) 3- (C) 2- (D) 25．已知三点M （1，2，1），A （2，1，1），B （2，1，2） ，则→→•AB MA = （ C ） (A) -1； (B) 1； (C) 0 ； (D) 2；6．已知三点M （0，1，1），A （2，2，1），B （2，1，3） ，则||→→+AB MA =（ B ）(A);2-(B) ;(C)2; (D)-2;7．设D 为园域222x y ax +≤ (0)a >, 化积分(,)DF x y d σ⎰⎰为二次积分的正确方法是_________. DA. 20(,)aa adx f x y dy -⎰⎰B. 202(,)adx f x y dy ⎰C. 2cos 0(cos ,sin )a a ad f d θθρθρθρρ-⎰⎰D. 2cos 202(cos ,sin )a d f d πθπθρθρθρρ-⎰⎰8．设3ln 10(,)x I dx f x y dy =⎰⎰, 改变积分次序, 则______.I = BA. ln30(,)y e dy f x y dx ⎰⎰ B. ln330(,)y e dy f x y dx ⎰⎰C. ln330(,)dy f x y dx ⎰⎰D. 3ln 1(,)x dy f x y dx ⎰⎰9． 二次积分cos 20(cos ,sin )d f d πθθρθρθρρ⎰⎰可以写成___________. DA. 1(,)dy f x y dx ⎰⎰B. 100(,)dy f x y dx ⎰C. 11(,)dx f x y dy ⎰⎰ D. 1(,)dx f x y dy ⎰10． 设Ω是由曲面222x y z +=及2z =所围成的空间区域，在柱面坐标系下将三重积分(,,)I f x y z dx dy dz Ω=⎰⎰⎰表示为三次积分，________.I = CA ． 22120(cos ,sin ,)d d f z dz ρπθρρθρθ⎰⎰⎰B. 22220(cos ,sin ,)d d f z dz ρπθρρθρθρ⎰⎰⎰C ． 22222(cos ,sin ,)d d f z dz πρθρρθρθρ⎰⎰⎰D ． 222(cos ,sin ,)d d f z dz πθρρθρθρ⎰⎰⎰11．设L 为y x 0面内直线段，其方程为d y c a x L ≤≤=,:， 则()=⎰Ldx y x P ,（ C ）（A ） a （B ） c（C ） 0 （D ） d12．设L 为y x 0面内直线段，其方程为d x c a y L ≤≤=,:，则()=⎰Ldy y x P ,（ C ）（A ） a （B ） c （C ） 0 （D ） d13．设有级数∑∞=1n nu,则0lim =∞→n n u 是级数收敛的（ D ）(A) 充分条件； (B) 充分必要条件； (C) 既不充分也不必要条件； (D) 必要条件;14．幂级数∑∞=1n nnx的收径半径R =（ D ）(A) 3 (B) 0 (C) 2 (D) 115．幂级数∑∞=11n n x n的收敛半径=R（ A ）(A) 1 (B) 0 (C) 2 (D) 316．若幂级数∑∞=0n nnx a的收敛半径为R ，则∑∞=+02n n nx a的收敛半径为（ A ）(A) R (B) 2R(C) R (D) 无法求得17. 若lim 0n n u →∞=, 则级数1n n u ∞=∑( ) DA. 收敛且和为B. 收敛但和不一定为C. 发散D. 可能收敛也可能发散 18. 若1n n u ∞=∑为正项级数, 则( )A. 若lim 0n n u →∞=, 则1n n u ∞=∑收敛 B. 若1n n u ∞=∑收敛, 则21n n u ∞=∑收敛BC. 若21n n u ∞=∑, 则1n n u ∞=∑也收敛 D. 若1n n u ∞=∑发散, 则lim 0n n u →∞≠19. 设幂级数1n n n C x ∞=∑在点3x =处收敛, 则该级数在点1x =-处( )AA. 绝对收敛B. 条件收敛C. 发散D. 敛散性不定 20. 级数1sin (0)!n nx x n ∞=≠∑, 则该级数( ) BA. 是发散级数B. 是绝对收敛级数C. 是条件收敛级数D. 可能收敛也可能发散二、填空题（每题4分，共20分）1. a ∙b = （公式）答案∣a ∣∙∣b ∣cos(∧b a ,)2. a =(a x ，a y ，a z )，b=(b x ，b y ，z b z )则 a ·b = （计算） 答案a x b x +a y b y +a z b z3. .=⨯b a ρρ答案zy x z y xb b b a a a k j i ρρρ 4. ][c b a ρρρ= 答案xy z xy z xyza a ab b bc c c 5. 平面的点法式方程是 答案0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A6.设()xy y x z -+=22arcsin ，其定义域为 ((){}0,1,22≥>≤+x y y xy x )7.设()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=000sin ,2xy xy xyy x y x f ，则()=1,0x f (()11,0=x f )8.()y x f ,在点()y x ,处可微分是()y x f ,在该点连续的 的条件，()y x f ,在点()y x ,处连续是()y x f ,在该点可微分的 的条件. (充分，必要)9.()y x f z ,=在点()y x ,的偏导数x z ∂∂及yz ∂∂存在是()y x f ,在该点可微分的 条件.(必要)10.在横线上填上方程的名称①()0ln 3=-⋅-xdy xdx y 方程的名称是 答案 可分离变量微分方程；②()()022=-++dy y x y dx x xy 方程的名称是 答案 可分离变量微分方程； ③xyy dx dy xln ⋅=方程的名称是 答案 齐次方程；④x x y y x sin 2+='方程的名称是 答案 一阶线性微分方程；⑤02=-'+''y y y 方程的名称是 答案 二阶常系数齐次线性微分方程.11. 在空间直角坐标系{O ;k j i ρρρ,,}下，求P (2,－3,－1)，M (a , b , c )关于 (1) 坐标平面；(2) 坐标轴；(3) 坐标原点的各个对称点的坐标. [解]：M (a , b , c )关于xOy 平面的对称点坐标为(a , b , －c )，M (a , b , c )关于yOz 平面的对称点坐标为(－a , b , c )， M (a , b , c )关于xOz 平面的对称点坐标为(a ,－b , c )， M (a , b , c )关于x 轴平面的对称点坐标为(a ,－b ,－c )， M (a , b , c )关于y 轴的对称点的坐标为(－a , b ,－c )， M (a , b , c )关于z 轴的对称点的坐标为(－a ,－b , c ). 类似考虑P (2,－3，－1)即可.12.要使下列各式成立，矢量,应满足什么条件？（1-=+ （2+=+（3=+ （4+=-（5-=-[解]：（1）b a ,=+；（2）b a ,+=+（3≥且b a ,-=+（4）b a ,+=-（5）b a ,≥=-13.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？（1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点；（2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点； （3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点；（4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点. [解]：（1）单位球面； （2）单位圆（3）直线； （4）相距为2的两点二、填空题1．设22(,)sin (1)ln()f x y x y x y =+-+，则 =')1,0(x f ___1___.2．设()()()22ln 1cos ,y x y x y x f +-+=，则 )1,0('x f =____0______.3．二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的公式是()()⎰⎰⎰⎰=DDd d f dxdy y x f θρρθρθρsin ,cos ,4．三重积分的变量从直角坐标变换为柱面坐标的公式是 ()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=dz d d z f dxdydz z y x f ϕρρϕρϕρ,sin ,cos ,,5．柱面坐标下的体积元素 z d d d dv θρρ=6．设积分区域222:D x y a +≤, 且9Ddxdy π=⎰⎰, 则a = 3 .7． 设D 由曲线sin ,a a ρθρ==所围成, 则Ddxdy =⎰⎰234a π 8． 设积分区域D 为2214x y ≤+≤, 2Ddxdy =⎰⎰6π9．设()y x f ,在[0， 1]上连续，如果()31=⎰dx x f ，则()()⎰⎰11dy y f x f dx =_____9________.10．设L 为连接(1, 0)与(0, 1)两点的直线段，则()Lx y ds +=⎰11．设L 为连接(1, 0)与(0, 1)两点的直线段，则 ().___________=-⎰Lds y x 012．等比级数∑∞=1n naq )0(≠a 当 1q < 时，等比级数∑∞=1n n aq 收敛.13．当__1ρ>__时，-p 级数∑∞=11n p n是收敛的.14．当_________时,级数()∑∞=--1111n p n n是绝对收敛的. 1ρ>15．若(,)f x y =则(2,1)_________.x f = 12,16．若23(,)(1)arccos 2y f x y xy x x=+-, 则(1,)_________.y f y = 23y17．设x y u z =, 则_________.du = ln ln x y xy z y xdx x zdy dz z ⎛⎫++ ⎪⎝⎭18．设ln xz y=, 则22__________.z x ∂=∂ ln 2ln (ln 1)xy y y x -19. 积分2220y x dx e dy -⎰⎰的值等于_________. 41(1)2e --,20.设D 为园域222x y a +≤, 若()228Dx y dxdy π+=⎰⎰, 则_______.a = 221.设2I dxdydz Ω=⎰⎰⎰, 其中2222:,0x y z a z Ω++≤≥, 则_______.I =343a π三、是非题（每题4分，共20分）1. 初等函数的定义域是其自然定义域的真子集. ( ⅹ )2. sin lim1x xx→∞=. ( ⅹ )3. 22lim33x x x →∞-=-+. (ⅹ )4. 对于任意实数x , 恒有sin x x ≤成立. (ⅹ )5. 0xy =是指数函数. ( ⅹ )6. 函数()log 01a y x a = <<的定义域是()0, +∞. (ⅹ )7. 23log 3log 21⋅=. (√ )8. 如果对于任意实数x R ∈, 恒有()0f x '=, 那么()y f x =为常函数. (√ ) 9. 存在既为等差数列, 又为等比数列的数列. ( √ ) 10. 指数函数是基本初等函数. (√ )11.0x →=. ( √ ) 12. 函数3234y x x =++为基本初等函数. (√ )13.111a a x dx x C a +=++⎰. ( ⅹ ) 14. ()arcsin x π+是基本初等函数. ( ⅹ ) 15. sin x 与x 是等价无穷小量. (ⅹ ) 16. 1xe -与x 为等价无穷小量. ( ⅹ )17. 若函数()f x 在区间[],a b 上单调递增, 那么对于任意[],x a b ∈ , 恒有()0f x '>. ( ⅹ )18. 存在既为奇函数又为偶函数的函数. ( ⅹ )19. 当奇函数()f x 在原点处有定义时, 一定成立()00f =. (√ )20. 若偶函数()[]()1,1y f x x = ∈- 连续, 那么函数()()()1,1y f x x '= ∈- 为奇函数. (√ )21. 若奇函数()[]()1,1y f x x =∈- 连续, 那么函数()()()1,1y f x x '= ∈- 为偶函数. (√ )22. 偶函数与奇函数的乘积为奇函数. (√ ) 23. 奇函数与奇函数的乘积为偶函数. ( √ )24. 若函数()f x 为奇函数, 那么一定成立()00f =. (√ ) 25. 若函数()f x 为偶函数, 那么一定成立()00f '=. ( ⅹ )26. ()()sin cos x x π'+=. (ⅹ )27. sin cos sin 2x x x =. (ⅹ ) 28. ()xxa a '=. (ⅹ )29. ()sin sin x x x π+=. ( ⅹ )30. 单调函数一定存在最大值与最小值. ( ⅹ ) 31. 单调函数一定存在反函数. (√ )32. 互为反函数的两个函数的图像关于直线y x =对称. ( √ )33. 若定义域为[]0,1 的函数()f x 存在反函数, 那么()f x 在区间[]0,1 上单调. ( √ )34. 221lim 212n n x n →∞+=+. (√ )35. 对于任意的,a b R +∈, 恒有a b +≥ √ )36. 函数的三要素为: 定义域, 对应法则与值域. (√ )37. 若函数()f x 在其定义域内处处有切线, 那么该函数在其定义域内处处可导. (ⅹ ) 38. 空集是任意初等函数的定义域的真子集. (ⅹ )39.sinii x +∞=∑为初等函数. (ⅹ )40. 对于任意的x R ∈, 恒有1x +≥ ⅹ ) 41. 左右导数处处存在的函数, 一定处处可导. ( ⅹ )下列题（1．×；2．×；3． √；4．×；5．√）1．任意微分方程都有通解.( × )2．微分方程的通解中包含了它所有的解.(× )3．函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解.( √ ) 4．函数x e x y ⋅=2是微分方程02=+'-''y y y 的解.(×) 5．微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y +=2ln 21(C 为任意常数).(√ ) 下列是非题（1．×；2．√；3．√；4．×；5．×）1．可分离变量微分方程不都是全微分方程.( )2．若()x y 1，()x y 2都是()()x Q y x P y =+'的特解，且()x y 1与()x y 2线性无关，则通解可表为()()()()[]x y x y C x y x y 211-+=.( )3．函数x x e e y 21λλ+=是微分方程()02121=+'+-''y y y λλλλ的解.( ) 4．曲线在点()y x ,处的切线斜率等于该点横坐标的平方，则曲线所满足的微分方程是C x y +='2(C 是任意常数).( )5．微分方程y x e y -='2，满足初始条件0|0==x y 的特解为1212+=xy e e .( ) 是非题（1．×；2．√；）1．只要给出n 阶线性微分方程的n 个特解，就能写出其通解.2．已知二阶线性齐次方程()()0=⋅+'⋅+''y x Q y x P y 的一个非零解y ，即可 四、计算证明题（每题10分，共40分）1、判断积数收敛性∑∞=-1!2)1(2n n nn 解： 12lim )!1(2!2lim lim 12)1(122>∞==-=-∞→-∞→-∞→n n n u u n n n n n n n n由比值法，级数∑∞=-1!2)1(2n n nn 发散 2．ydy x xdy ydx 2=-解：两边同除以2x ，得：ydy x xdyydx =-2c y x y d+-=221即c y x y =+221 3．xyx ydx dy -=解：两边同除以x ，得xy x y dxdy -=1令u xy= 则dxduxu dx dy += 即dx duxu dx dy +=uu -=1 得到()2ln 211y c u -=，即2ln 21⎪⎭⎫ ⎝⎛-=y c y x另外0=y 也是方程的解.4．()01=-+xdy ydx xy解：0=+-xydx xdy ydxxdx yxdyydx -=-2得到c x y x d +-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛221 即c x y x =+221 另外0=y 也是方程的解.5．求方程052=+'+''y y y 的通解.解: 所给方程的特征方程为0522=++r ri r i r 21,2121--=+-=所求通解为 )2sin 2cos (21x C x C e y x+=-.6.求.解7．求方程032=-'+''y y y 的通解.解 所给方程的特征方程为 0322=-+r r其根为 1,321=-=r r所以原方程的通解为 x xe C eC y 231+=- 8.证明()()()222220,0,limy x y x y x y x -+→极限不存在8)因为()1lim222220=-+=→y x y x y x yx x ,()0lim2222220=-+=→y x y x y x xy x 所以极限不存在9.证明()()4220,0,lim y x xy y x +→极限不存在9)设y 2=kx ，1lim 242202+=+=→k ky x xy kyx y 不等于定值，极限不存在 10.计算σd xy D⎰⎰, 其中D 是由直线y =1、x =2及y =x 所围成的闭区域.解: 画出区域D .可把D 看成是X --型区域: 1≤x ≤2, 1≤y ≤x . 于是⎰⎰⎰⎰=211][x Ddx xydy d xy σ⎰⎰-=⋅=2132112)(21]2[dx x x dx y x x 89]24[212124=-=x x . 注: 积分还可以写成⎰⎰⎰⎰⎰⎰==211211xx Dydy xdx xydy dx d xy σ.11．dxdy=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：ydy=2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+cy=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2x .12. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：y 2dx=-(x+1)dy2ydydy=-11+x dx 两边积分: -y1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=|)1(|ln 1+x c13. 0)2()(2=-++dy y x dx y x 解：1=∂∂y M ，xN∂∂=1 . 则xN y M ∂∂=∂∂ 所以此方程是恰当方程.凑微分，0)(22=++-xdy ydx ydy dx x 得 ：C y xy x =-+233114． 0)4()3(2=---dy x y dx x y解：1=∂∂y M ，1=∂∂xN. 则xN y M ∂∂=∂∂ . 所以此方程为恰当方程. 凑微分，0432=--+ydy dx x xdy ydx 得 C y xy x =+-23215. 求xyxy y x 11lim)0 ,0(),(-+→. 解:)11()11)(11(lim11lim)0 ,0(),()0 ,0(),(++++-+=-+→→xy xy xy xy xy xy y x y x 21111lim )0 ,0(),(=++=→xy y x .16. 求z =x 2+3xy +y 2在点(1, 2)处的偏导数. 解 y x xz 32+=∂∂, y x y z 23+=∂∂. 8231221=⋅+⋅=∂∂==y x x z, 7221321=⋅+⋅=∂∂==y x yz . 17. 设z =x 3y 2-3xy 3-xy +1, 求22x z ∂∂、33xz ∂∂、x y z ∂∂∂2和y x z ∂∂∂2. 解 y y y x xz --=∂∂32233, x xy y x y z --=∂∂2392;2226xy xz =∂∂, 2336yx z =∂∂;196222--=∂∂∂y y x y x z , 196222--=∂∂∂y y x xy z .18. 验证函数22ln y x z +=满足方程02222=∂∂+∂∂y z x z. 证 因为)ln(21ln 2222y x y x z +=+=, 所以22yx x x z +=∂∂, 22y x yy z +=∂∂,222222222222)()(2)(y x x y y x x x y x x z +-=+⋅-+=∂∂, 222222222222)()(2)(y x y x y x y y y x y z +-=+⋅-+=∂∂. 因此 0)()(22222222222222=+-++-=∂∂+∂∂y x x y y x y x y z x z . 19. 计算函数z =x 2y +y 2的全微分. 解 因为xy x z 2=∂∂, y x y z 22+=∂∂,所以dz =2xydx +(x 2+2y )dy .20. 函数z =3x 2+4y 2在点(0, 0)处有极小值.当(x , y )=(0, 0)时, z =0, 而当(x , y )≠(0, 0)时, z >0. 因此z =0是函数的极小值. 21.函数22y x z +-=在点(0, 0)处有极大值.当(x , y )=(0, 0)时, z =0, 而当(x , y )≠(0, 0)时, z <0. 因此z =0是函数的极大值. 22. 已知三角形ABC 的顶点分别是A (1, 2, 3)、B (3, 4, 5)、C (2, 4, 7), 求三角形ABC 的面积.解 根据向量积的定义, 可知三角形ABC 的面积→→→→||21sin ||||21AC AB A AC AB S ABC ⨯=∠=∆.由于→AB =(2, 2, 2), →AC =(1, 2, 4), 因此→→421222kj i =⨯AC AB =4i -6j +2k .于是 142)6(421|264|21222=+-+=+-=∆k j i ABC S .23. 设有点A (1, 2, 3)和B (2, -1, 4), 求线段AB 的垂直平分面的方程.解 由题意知道, 所求的平面就是与A 和B 等距离的点的几何轨迹. 设M (x , y , z )为所求平面上的任一点, 则有|AM |=|BM |,即 222222)4()1()2()3()2()1(-+++-=-+-+-z y x z y x . 等式两边平方, 然后化简得2x -6y +2z -7=0.这就是所求平面上的点的坐标所满足的方程, 而不在此平面上的点的坐标都不满足这个方程, 所以这个方程就是所求平面的方程.24. 求过点(2, -3, 0)且以n =(1, -2, 3)为法线向量的平面的方程. 解 根据平面的点法式方程, 得所求平面的方程为 (x -2)-2(y +3)+3z =0, 即 x -2y +3z -8=0.25.求通过x 轴和点(4, -3, -1)的平面的方程.解 平面通过x 轴, 一方面表明它的法线向量垂直于x 轴, 即A =0; 另一方面表明 它必通过原点, 即D =0. 因此可设这平面的方程为 By +Cz =0.又因为这平面通过点(4, -3, -1), 所以有 -3B -C =0,或 C =-3B .将其代入所设方程并除以B (B ≠0), 便得所求的平面方程为 y -3z =0. 26.求直线L 1:13411+=-=-z y x 和L 2:1222-=-+=z y x 的夹角. 解 两直线的方向向量分别为s 1 = (1, -4, 1)和s 2 = (2, -2, -1). 设两直线的夹角为ϕ , 则2221)1()2(21)4(1|)1(1)2()4(21|cos 222222==-+-+⋅+-+-⨯+-⨯-+⨯=ϕ ,所以4πϕ=.例1 求幂级数)1( 32)1(13211⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅-+-=--∞=-∑n x x x x n x n n n nn 的收敛半径与收敛域.解 因为1111lim ||lim 1=+==∞→+∞→nn a an n n n ρ,所以收敛半径为11==ρR .当x =1时, 幂级数成为∑∞=--111)1(n n n, 是收敛的; 当x =-1时, 幂级数成为∑∞=-1)1(n n, 是发散的. 因此, 收敛域为(-1, 1].例2 求幂级数∑∞=0!1n n x n!1 !31!21132⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++++n x n x x x的收敛域.解 因为0)!1(!lim !1)!1(1lim||lim 1=+=+==∞→∞→+∞→n n n n a a n n n n n ρ, 所以收敛半径为R =+∞, 从而收敛域为(-∞, +∞).例3 求幂级数∑∞=0!n n x n 的收敛半径.解 因为+∞=+==∞→+∞→!)!1(lim ||lim 1n n a a n n n n ρ, 所以收敛半径为R =0, 即级数仅在x =0处收敛. 例5 计算⎰+L dy x xydx 22, 其中L 为抛物线y =x 2上从O (0, 0)到B (1, 1)的一段弧.解: 因为xxQ y P 2=∂∂=∂∂在整个xOy 面内都成立,所以在整个xOy 面内, 积分⎰+L dy x xydx 22与路径无关.⎰⎰⎰+++=+AB OA L dy x xydx dy x xydx dy x xydx 2222221112==⎰dy .讨论: 设L 为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线, L 的方向为逆时针方向, 问022=+-⎰L y x ydxxdy 是否一定成立？提示:这里22y x y P +-=和22y x x Q +=在点(0, 0)不连续.因为当x 2+y 2≠0时,yP y x x y x Q ∂∂=+-=∂∂22222)(, 所以如果(0, 0)不在L 所围成的区域内, 则结论成立, 而当(0, 0)在L 所围成的区域内时, 结论未必成立.例6 验证: 在整个xOy 面内, xy 2dx +x 2ydy 是某个函数的全微分, 并求出一个这样的函数. 解 这里P =xy 2, Q =x 2y .因为P 、Q 在整个xOy 面内具有一阶连续偏导数, 且有yP xy x Q∂∂==∂∂2, 所以在整个xOy 面内, xy 2dx +x 2ydy 是某个函数的全微分.取积分路线为从O (0, 0)到A (x , 0)再到B (x , y )的折线, 则所求函数为 ⎰+=),()0 ,0(22),(y x ydy xdx xy y x u 2022022y x ydy xydy x yy==+=⎰⎰.。
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精品文档n 02《高等数学》试卷1 （下）•选择题（3分10）n 1n A. p 1B. p 1C. p 1D. p 18.幕级数n x的收敛域为（).n 1nA. 1,1 B1,1C.1,1 D. 1,1A. a b 0B. a b 0C. a b 0D. a b 05屈数z 33x y3xy 的极小值是（）.A.2B. 2C.1D. 1z =( ).6.设zxsin y ，贝U —y1, 4昴A. 一B. ——C. <2D.42.2 2a 与b 垂直的充要条件是（ 4.两个向量 17.若p 级数—收敛，则（ ）1.点 M 1 2,3,1 到点 M 2 2,7,4 的距离M 1M 2A.3B.4C.5D.62.向量a i 2j k,b2ij ，则有（A. a // bB. a 丄 bC. a 4 -D. ： a,b3屈数y1 x2 y 2 1的定义域是A. x, y 1 x 2B. x,y 1 x 2C. x, y 1x 2D x, y 1x 29.幕级数x n在收敛域内的和函数是（)n 0 21 A.1 x2 2C ・-1 x1D.-2 xB・2 x10・微分方程xy yin y0的通解为（)•xB・ xxD. y eA. y cey e C. y cxe填空题（4分5）2•函数 z sin xy 的全微分是 ____________________________________1 4.^^的麦克劳林级数是 ___________________________________2 x5.微分方程y 4y 4y 0的通解为三.计算题（5分6）1.设 z e u sin v ,而 u xy, v xy ，求-^,x zy2.已知隐函数z z x, y由方程x C222y z4x 2z 50确定，求,x y/ 2 23.计算 sin 、x y d ，其中D2 2x 2 2y 4 .D 四•应用题（10分2）1•一平面过点A 0,0,3且垂直于直线 AB ，其中点B 2, 1,1，则此平面方程为 _________________________ 532^33•设 z x y 3xy2/ 小 zxy 1，贝U ------x y4•如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（ R 为半径）2x5•求微分方程y 3y e 在y xo 0条件下的特解1•要用铁板做一个体积为2 m3的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省?2..曲线y f x上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线斜率的求此曲线方程2倍，且曲线过点1,3一.选择题 CBCAD ACCBD 二填空题1.2x y2z 6 0.2. cos xy ydx xdy .3.6x 2y9y 2 1 .三.计算题Z xy, e xsin x y cos x y yz2.— X 2 X J 1 zy2y z 1 .z 2 23.dsind 6 216 34.- R 3 . 33x 2x5. y e e四.应用题1. 长、宽、高均为3 2m 时，用料最省1 2 2. y x .3《高数》试卷2 （下）一.选择题（3分10）1.点 M 1 4,3,1，M 2 7,1,2 的距离 M 1M 2 （ ）.2.设两平面方程分别为 x 2y 2z 1 0和 x y 5 0，则两平面的夹角为（试卷1参考答案4.1n2n5. yC i C 2X e2x.z xy .1. e ysin x xcos x y A. 12B. 13C. 14D. 15A. 6B.4C. 3D.?3.函数 z arcs in x 2 y 2的定义域为（ A. x, y 0B. x,y 0 y 2 1C. x, y 0 x 2D. x,y 0 x 2 4•点P 1, 2,1 到平面 x 2y 2z 0的距离为（ A.3 B.4 C.5 D.6 5屈数z 2xy 3x 2 2y 2的极大值为（ ） A.0 B.1 C. 1 1 D.- 26.设z2 小 x 3xy y 2，则—1 x 1,2 ( ）.A.6B.7C.8D.9 7.若几何级数 ar n 是收敛的，则（ ）.n 0A. r 1B. r 1C. ” 1D. r8.幕级数 n 1 x n 的收敛域为 ( )n 0A. 1,1B. 1,1C. 1,1D.1,1sin na 9.级数 4 疋（ ）. n 1 nA.条件收敛B.绝对收敛 c.发散 10.微分方程xy yl ny 0的通解为 （ A. y e cx B. x — y ceC. y x e 二填空题（4分 5) x 3 1.直线l 过点A 2,2, 1且与直线y t)•D. D.不能确定 xy cxe平行，则直线I 的方程为2t2.函数z e xy 的全微分为3•曲面z 2x2 4y2在点2,1,4 处的切平面方程为 _______________________________________________ 14. 12的麦克劳林级数是__________________________ •1 x25•微分方程xdy 3ydx 0在y x11条件下的特解为________________________________ •三•计算题（5分6）1. 设a i 2j k,b2j 3k ,求a b.四.应用题（10分2）2.设z u2v uv2，而u xcosy,v xsin y，求—z3.已知隐函数z z x,y3由x 3xyz 2确定，求5.求微分方程y 3y2ax（a 0）所围的几何体的体积4a2与圆柱面x2 2 y2y 0的通解.1.试用二重积分计算由y x,y 2 x和x 4所围图形的面积.2.如图，以初速度v。
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《高等数学》试卷6（下）一.选择题（3 分10）1.点M1 2,3,1 到点M 2 2, 7,4 的距离M1M 2 （）.A.3B.4C.5D.62.向量a i 2 j k,b 2i j ，则有（）.A. a ∥bB. a ⊥bC. a,bD.3 a, b4x 1 y 5 z 83. 设有直线 1L : 和 2L1 2 1 :x y 62y z 3，则L 与L2 的夹角为（）1（A）；（B）；（C）；（D）.6 4 3 24.两个向量 a 与b 垂直的充要条件是（）.A. a b 0B. a b 0C. a b 0D. a b 03 35.函数z x y 3xy的极小值是（）.A.2B. 2C.1D. 16.设z x s in y ，则zy 1,4＝（） .A.22B.22C. 2D. 27. 级数n( 1) (1 cos ) ( 0)n n1是（）（A）发散；（B）条件收敛；（C）绝对收敛；（D）敛散性与有关.8.幂级数n 1nxn的收敛域为（）.A. 1,1 B 1,1 C. 1,1 D. 1,19.幂级数nx0 2n在收敛域内的和函数是（）.1 2 2 1A. B. C. D.1 x2 x 1 x 2 x 二.填空题（4 分5）10.一平面过点 A 0, 0,3 且垂直于直线AB ，其中点 B 2, 1,1 ，则此平面方程为______________________.11.函数z sin xy 的全微分是______________________________.3 y xy3 xy212.设z x 3 1，则2zx y_____________________________.13. 设L 为取正向的圆周： 2 2 1x y ，则曲线积分2? (2 xy 2 y)dx (x 4 x)dy ____________.L14. . 级数n 1n( x 2)n的收敛区间为____________.三.计算题（5 分6）z z1.设z e vu sin ，而u xy, v x y ，求, .x yz z2 y z x z2 22.已知隐函数z z x,y 由方程x 2 4 2 5 0确定，求, .x y2 23.计算sin x y d ，其中D2 42 2 2D : x y .4. ．计算1y sin x dy dxyx.试卷6参考答案一.选择题CBCAD ACCBD二.填空题1. 2x y 2z 6 0.2.cos xy ydx xdy .3.6x 9 1 .2 y y 24.n 0n1n 12nx .5. y2 xC C x e1 .2三.计算题z xy z xy1. e y sin x y cos x y ， e x sin x y cos x y .x y15.z x2 z x 1 ,z y2 z y 1. 16.2 02d sin d26.17.16 33 R .18.y 3xe 2x .e四.应用题 5.长、宽、高均为m3 2 时，用料最省 .126. yx . 3《高数》试卷 7（下）一.选择题（ 3 分 10） 6.点 M 1 4, 3,1，M 2 7,1, 2 的距离 M 1M 2（ ） .A.12B.13C.14 D.157.设两平面方程分别为 x 2y 2z 1 0和 x y 5 0 ，则两平面的夹角为（）.A.B.C.D.64 3 28.点 P 1, 2,1 到平面 x 2y 2z 5 0的距离为（）.A.3B.4C.5D.6 9.若几何级数nar 是收敛的，则（）.n 0A. r 1B. r 1C. r 1D. r 12.幂级数n n1x 的收敛域为（）.n 0A.1,1B.1,1C.1,1D.1,13.级数sinna4n n1是（ ）.A. 条件收敛B.绝对收敛C.发散D.不能确定19. ．考虑二元函数 f (x, y) 的下列四条性质：（1） f (x, y) 在点(x , y ) 连续；（2）f x( x, y), f y (x, y) 在点(x0 ,y0 ) 连续0 0（3） f (x, y) 在点(x , y ) 可微分；（4）f x (x0, y0), f y (x0 , y0 ) 存在.0 0若用“P Q ”表示有性质P 推出性质Q，则有（）（A）(2) (3) (1)；（B）(3) (2) (1)（C）(3) (4) (1)；（D）(3) (1) (4)二.填空题（4 分5）7. 级数n 1n(x 3)n的收敛区间为____________.8.函数xyz e 的全微分为___________________________.9.曲面 2 4 2z 2x y 在点2,1, 4处的切平面方程为_____________________________________.10. 1 12x的麦克劳林级数是______________________.三.计算题（5 分6）10.设a i 2j k,b 2j3k ，求a b.11.设z z 2z u ，而u x cos y,v x sin y ，求, .2v uvx yz z3 xyz12.已知隐函数z z x,y 由x 3 2确定，求, .x y13. 设是锥面 2 2 (0 1)z x y z 下侧，计算xdy d z 2 ydzdx 3(z 1)dxd y 四.应用题（10 分2）试用二重积分计算由y x,y 2 x 和x 4 所围图形的面积.试卷7参考答案一.选择题CBABA CCDBA.二.填空题20.x 2 y 2 z 1121. xy. 2.eydx xdy11.8x 8y z 4 .12.1n 0nx .2n13.3y x .三.计算题 14.8i3j 2k .z2z 3 3 3 315.3x sin ycos y cosy sin y , 2x sin ycos y sin y cos y x sin y cos y .xy16.z xxy yz 2 , zz y xy xz 2 z. 17.32 3 2 a.32318.2 xxC ey C e21.四.应用题4. 16 3.125.0 0xgt v t x .2《高等数学》试卷 3（下）一、选择题（本题共 10 小题，每题 3 分，共 30 分） 1、二阶行列式 2-3 的值为（ ）45 A 、10B 、20C 、24D 、222、设 a=i+2j-k,b=2j+3k ，则 a 与 b 的向量积为（）A 、i-j+2kB 、8i-j+2kC 、8i-3j+2kD 、8i-3i+k3、点P（-1、-2、1）到平面x+2y-2z-5=0 的距离为（）A 、2 B、3 C、4 D、54、函数z=xsiny 在点（1，）处的两个偏导数分别为（）42 A 、,222,2B、,222C、2222D、2222,5、设x2+y2+z2=2Rx，则2+y2+z2=2Rx，则zxz, 分别为（）yA 、x Rzy x, B、zzR y, C、zx R y, D、z zxzR,yz6、设圆心在原点，半径为R，面密度为 2 y2x 的薄板的质量为（）（面积A=2 R ）1A 、R2A B、2R2A C、3R2A D、R A22nx n7、级数( 1)的收敛半径为（）n n 1A 、2 B、12C、1D、38、cosx 的麦克劳林级数为（）A 、( 1)n 0 n(2nx2n)!B、( 1)n 1n2nx(2n)!C、n 0( 1) n2nx(2n)!D、n 0( 1)n(2nx2n11)!9、微分方程(y``) 4+(y`) 5+y`+2=0 的阶数是（）A 、一阶B、二阶C、三阶D、四阶10、微分方程y``+3y`+2y=0 的特征根为（）A 、-2，-1 B、2，1 C、-2，1 D、1，-2二、填空题（本题共 5 小题，每题 4 分，共20 分）x 1 y 31、直线L1：x=y=z 与直线L 2：z的夹角为2 1___________。
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《高等数学》试卷1（下）一.选择题（3分⨯10）1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）..4 C2.向量j i b k j i a+=++-=2,2，则有（ ）.A.a ∥bB.a ⊥bC.3,π=b aD.4,π=b a3.函数1122222-++--=y x y x y 的定义域是（ ）.A.(){}21,22≤+≤y x y x B.(){}21,22<+<y x y xC.(){}21,22≤+<y xy x D (){}21,22<+≤y x y x【4.两个向量a 与b垂直的充要条件是（ ）.A.0=⋅b aB.0 =⨯b aC.0 =-b aD.0 =+b a5.函数xy y x z 333-+=的极小值是（ ）. B.2- D.1- 6.设y x z sin =，则⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂4,1πyz ＝（ ）.A.22B.22-C.2D.2-7.若p 级数∑∞=11n p n 收敛，则（ ）. A.p 1< B.1≤p C.1>p D.1≥p8.幂级数∑∞=1n nn x 的收敛域为（ ）.A.[]1,1- B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1-）9.幂级数nn x ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛02在收敛域内的和函数是（ ）.A.x -11 B.x -22 C.x -12 D.x-21 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）.A.xce y = B.xe y = C.xcxe y = D.cxe y =二.填空题（4分⨯5）1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________.2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________.3.设13323+--=xy xy y x z ，则=∂∂∂yx z2_____________________________. 4.x+21的麦克劳林级数是___________________________. 三.计算题（5分⨯6）.1.设v e z usin =，而y x v xy u +==,，求.,yz x z ∂∂∂∂ 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,yz x z ∂∂∂∂ 3.计算σd y x D⎰⎰+22sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）.四.应用题（10分⨯2）1.要用铁板做一个体积为23m 的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省 .试卷1参考答案一.选择题 CBCAD ACCBD | 二.填空题1.0622=+--z y x .2.()()xdy ydx xy +cos .3.19622--y y x .4.()n n n n x ∑∞=+-0121.5.()xe x C C y 221-+= .三.计算题 1.()()[]y x y x y e xzxy +++=∂∂cos sin ，()()[]y x y x x e y z xy +++=∂∂cos sin . 2.12,12+=∂∂+-=∂∂z yy z z x x z . 3.⎰⎰=⋅πππρρρϕ202sin d d 26π-."4.3316R . 5.x xe ey 23-=.四.应用题1.长、宽、高均为m 32时，用料最省.2..312x y =《高数》试卷2（下）一.选择题（3分⨯10）1.点()1,3,41M ，()2,1,72M 的距离=21M M （ ）.!A.12B.13C.14D.152.设两平面方程分别为0122=++-z y x 和05=++-y x ，则两平面的夹角为（ ）. A.6π B.4π C.3π D.2π 3.函数()22arcsin yx z +=的定义域为（ ）.A.(){}10,22≤+≤y x y x B.(){}10,22<+<y x y xC.()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+≤20,22πy x y x D.()⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+<20,22πy x y x 4.点()1,2,1--P 到平面0522=--+z y x 的距离为（ ）. .4 C5.函数22232y x xy z --=的极大值为（ ）. B.1 C.1- D.21】6.设223y xy x z ++=，则()=∂∂2,1xz （ ）..7 C 7.若几何级数∑∞=0n nar是收敛的，则（ ）.A.1≤rB. 1≥rC.1<rD.1≤r8.幂级数()nn xn ∑∞=+01的收敛域为（ ）.A.[]1,1-B.[)1,1-C.(]1,1-D. ()1,1- 9.级数∑∞=14sin n n na是（ ）. A.条件收敛 B.绝对收敛 C.发散 D.不能确定二.填空题（4分⨯5）1.直线l 过点()1,2,2-A 且与直线⎪⎩⎪⎨⎧-==+=t z t y t x 213平行，则直线l 的方程为__________________________.￥2.函数xye z =的全微分为___________________________.3.曲面2242y x z -=在点()4,1,2处的切平面方程为_____________________________________.三.计算题（5分⨯6）1.设k j b k j i a32,2+=-+=，求.b a ⨯2.设22uv v u z -=，而y x v y x u sin ,cos ==，求.,yz x z ∂∂∂∂3.已知隐函数()y x z z ,=由233=+xyz x 确定，求.,yz x z ∂∂∂∂ 4.如图，求球面22224a z y x =++与圆柱面ax y x 222=+（0>a ）所围的几何体的体积.四.应用题（10分⨯2） 1.试用二重积分计算由x y x y 2,==和4=x 所围图形的面积.%试卷2参考答案一.选择题 CBABA CCDBA. 二.填空题 1.211212+=-=-z y x . 2.()xdy ydx exy+.3.488=--z y x .4.()∑∞=-021n n nx .5.3x y =. 三.计算题1.k j i238+-.!2.()()()y y x y y y y x yz y y y y x x z 3333223cos sin cos sin cos sin ,sin cos cos sin +++-=∂∂-=∂∂ .3.22,z xy xz y z z xy yz x z +-=∂∂+-=∂∂.4.⎪⎭⎫ ⎝⎛-3223323πa . 5.x xe C eC y --+=221.四.应用题 1.316. 2. 00221x t v gt x ++-=.￥《高等数学》试卷3（下）一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分） 2、设a=i+2j-k,b=2j+3k ，则a 与b 的向量积为（ ） A 、i-j+2k B 、8i-j+2k C 、8i-3j+2k D 、8i-3i+k 3、点P （-1、-2、1）到平面x+2y-2z-5=0的距离为（ ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 4、函数z=xsiny 在点（1，4π）处的两个偏导数分别为（ ） A 、,22 ,22 B 、,2222- C 、22- 22- D 、22-,225、设x 2+y 2+z 2=2Rx ，则yzx z ∂∂∂∂,分别为（ ） A 、z y z R x --, B 、z y z R x ---, C 、z yz R x ,-- D 、zyz R x ,- 》6、设圆心在原点，半径为R ，面密度为22y x +=μ的薄板的质量为（ ）（面积A=2R π）A 、R 2AB 、2R 2AC 、3R 2AD 、A R 221 7、级数∑∞=-1)1(n nnn x 的收敛半径为（ ）A 、2B 、21C 、1D 、38、cosx 的麦克劳林级数为（ ）A 、∑∞=-0)1(n n)!2(2n x n B 、∑∞=-1)1(n n )!2(2n x n C 、∑∞=-0)1(n n )!2(2n x n D 、∑∞=-0)1(n n)!12(12--n x n二、填空题（本题共5小题，每题4分，共20分）1、直线L 1：x=y=z 与直线L 2：的夹角为z y x =-+=-1321___________。
大一高数下考试题及答案
大一高数下考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 极限的定义中，当x趋近于a时，f(x)的极限为L，是指对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，|f(x)-L|<ε。
这个定义描述的是（）。
A. 函数在某点的连续性B. 函数在某点的可导性C. 函数在某点的极限D. 函数在某点的间断性答案：C2. 以下哪个函数是偶函数？（）A. f(x) = x^2 + xB. f(x) = x^3 - xC. f(x) = cos(x)D. f(x) = sin(x)答案：C3. 以下哪个积分是收敛的？（）A. ∫(1/x)dx 从1到∞B. ∫(1/x^2)dx 从1到∞C. ∫(1/x^3)dx 从1到∞D. ∫(1/x)dx 从0到1答案：B4. 以下哪个级数是发散的？（）A. 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...B. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...C. 1 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + ...D. 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...答案：D5. 以下哪个是二阶导数？（）A. f''(x) = 2xB. f'(x) = 2xC. f(x) = x^2D. f'(x) = 2答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x) = x^3 - 3x在x=0处的导数是________。
答案：02. 函数f(x) = e^x的不定积分是________。
答案：e^x + C3. 函数f(x) = sin(x)的不定积分是________。
答案：-cos(x) + C4. 函数f(x) = x^2在区间[0,1]上的定积分是________。
答案：1/35. 函数f(x) = x^2 + 2x + 1的极值点是________。
答案：x = -1三、计算题（每题10分，共30分）1. 计算极限：lim(x→0) [(x^2 + 1) / (x^2 - 1)]。
高等数学试卷含答案下册
高等数学II 试题一、填空题每小题3分,共计15分1．设(,)z f x y =由方程xzxy yz e -+=确定,则 zx ∂=∂ ;2．函数232u xy z xyz =-+在点0(0,1,2)P --沿方向l = 的方向导数最大;3．L 为圆周224x y +=,计算对弧长的曲线积分⎰+L dsy x 22= ;4．已知曲线23,,x t y t z t ===上点P 处的切线平行于平面22x y z ++=,则点P 的坐标为 或 ;5．设()f x 是周期为2的周期函数,它在区间(1, 1]-的定义为210()01x f x x x -<≤⎧=⎨<≤⎩,则()f x 的傅里叶级数在1x =收敛于 ;二、解答下列各题每小题7分,共35分1．设) ,(y x f 连续,交换二次积分1201(,)x I dx f x y dy-=⎰⎰的积分顺序;2．计算二重积分D,其中D 是由y 轴及圆周22(1)1x y +-=所围成的在第一象限内的区域;3．设Ω是由球面z =与锥面z =围成的区域,试将三重积分222()I f x y z dxdydzΩ=++⎰⎰⎰化为球坐标系下的三次积分;4．设曲线积分[()]()xLf x e ydx f x dy--⎰与路径无关,其中()f x 具有一阶连续导数,且(0)1f =,求()f x ;5．求微分方程2xy y y e -'''-+=的通解;三、10分计算曲面积分2y dzdx zdxdy∑+⎰⎰,其中∑是球面2224(0)x y z z ++=≥的上侧;四、10分计算三重积分()x y z dxdydzΩ++⎰⎰⎰,其中Ω由22z x y =+与1z =围成的区域;五、10分求221z x y =++在1y x =-下的极值; 六、10分求有抛物面221z x y =--与平面0z =所围立体的表面积;七、10分求幂级数113n nn x n -∞=∑的收敛区间与和函数;高等数学II 试题解答一、填空题每小题3分,共计15分1．设(,)z f x y =由方程xzxy yz e -+=确定,则 z x∂=∂xz xzxe y zey --++-; 2．函数232u xy z xyz =-+在点0(0,1,2)P --沿方向l =4,0,-12 的方向导数最大; 3．L 为圆周224x y +=,计算对弧长的曲线积分⎰+L ds y x 22=8π;4．已知曲线23,,x t y t z t ===上点P 处的切线平行于平面22x y z ++=,则点P 的坐标为(1,1,1)--或111(,,)3927--;5．设()f x 是周期为2的周期函数,它在区间(1, 1]-的定义为210()01x f x x x -<≤⎧=⎨<≤⎩,则()f x 的傅里叶级数在1x =收敛于32;二、解答下列各题每小题7分,共35分6．设) ,(y x f 连续,交换二次积分1201(,)xI dx f x y dy-=⎰⎰的积分顺序;解：1201122010(,)(,)(,)x y I dx f x y dy dy f x y dx dy f x y dx--==+⎰⎰⎰⎰⎰7．计算二重积分D,其中D 是由y 轴及圆周22(1)1x y +-=所围成的在第一象限内的区域;解：2sin 220169Dd r dr πθθ==⎰⎰8．设Ω是由球面z =与锥面z =围成的区域,试将三重积分222()I f x y z dxdydzΩ=++⎰⎰⎰化为球坐标系下的三次积分;解：9．设曲线积分[()]()xLf x e ydx f x dy--⎰与路径无关,其中()f x 具有一阶连续导数,且(0)1f =,求()f x ;解：[()]x P f x e y =-,()Q f x =-;由[()]()x L f x e ydx f x dy --⎰与路径无关,得x y Q P ''=,即()()0xf x f x e '+-=;解微分方程xy y e '+=,得其通解12x xy ce e -=+;又(0)1f =,得21=c ;故xx e e x f 2121)(+=-10． 求微分方程2xy y y e -'''-+=的通解;解：20y y y '''-+=的通解为12()xy c c x e =+; 设原方程的一个特解*xy ce -=,代入原方程,得14c =;其通解为三、10分计算曲面积分2y dzdx zdxdy∑+⎰⎰,其中∑是球面2224(0)x y z z ++=≥的上侧;解：补上221:0 (4)z x y ∑=+≤下侧; 四、10分计算三重积分()x y z dxdydzΩ++⎰⎰⎰,其中Ω由22z x y =+与1z =围成的区域;解：五、10分求221z x y =++在1y x =-下的极值; 解：222(1)1222z x x x x =+-+=-+令420z x '=-=,得12x =;40z ''=>,12x =为极小值点;故221z x y =++在1y x =-下的极小值点为11(,)22,极小值为32;六、10分求有抛物面221z x y =--与平面0z =所围立体的表面积; 解：221 (0)z x y z =-->的面积为平面0z =部分的面积为π;故立体的表面积为π+;七、10分求幂级数113n nn x n -∞=∑的收敛区间与和函数;解：收敛区间为[3,3)-;设11()3n n n x s x n -∞==∑,1111(())()333n n n nn n x x xs x n x -∞∞==''===-∑∑;故⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=0310)3ln(13ln )(x x x x x x s ;。
高等数学下考试题库(附答案)
高等数学下考试题库(附答案) 高等数学》试卷1（下）一、选择题（3分×10）1.点M1(2,3,1)到点M2(2,7,4)的距离M1M2=（）.A.3B.4C.5D.62.向量a=-i+2j+k，b=2i+j，则有（）.A.a∥bB.a⊥bC.a,b=D.a,b=3.函数y=2-x^2-y^2+1/x+y-12/2+y^2的定义域是（）.A.{(x,y)|1<x<2,1≤x^2+y^2≤2}B.{(x,y)|x,y<0}C.{(x,y)|1<x≤2,2+y^2<2}D.{(x,y)|2+y^2<x}4.两个向量a与b垂直的充要条件是（）.A.a·b=0B.a×b=0C.a-b=0D.a+b=05.函数z=x+y-3xy的极小值是（）.A.2B.-2C.1D.-16.设z=xsiny，则∂z/∂y|(π/4,3/4)=（）.A.2/√2B.-2/√2C.2D.-27.若p级数∑n=1∞pn收敛，则（）.A.p1 D.p≥18.幂级数∑n=1∞xn/n的收敛域为（）.A.[-1,1]B.(-1,1)C.[-1,1)D.(-1,1]9.幂级数∑n=2∞x^n/(n-1)在收敛域内的和函数是（）.A.1/(1-x)B.2/(1-x)^2C.2/(1+x)D.1/(1+x)10.微分方程xy'-ylny=0的通解为（）.A.y=cxB.y=e^xC.y=cxe^xD.y=ex二、填空题（4分×5）1.一平面过点A(1,2,3)且垂直于直线AB，其中点B(2,-1,1)，则此平面方程为______________________.2.函数z=sin(xy)的全微分是______________________________.3.设z=xy-3xy^2+1，则(∂^2z)/(∂x∂y)|3/2=-___________________________.三、计算题（5分×6）4.1.设z=esinv，而u=xy,v=x+y，求u∂z/∂x-∂z/∂y.2.已知隐函数z=z(x,y)由方程x^2+y^2+z^2=1确定，求∂z/∂x.3.设f(x,y)=x^2y-xy^2，求f在点(1,1)处的方向导数沿向量i+j的值.4.设z=f(x^2+y^2)，其中f(u)在u=1处可导，求∂z/∂x|P，其中P为曲线x^2+y^2=1,z=1上的点.5.设z=ln(x+y)cos(x-y)，求∂^2z/∂x^2-2∂^2z/∂x∂y+∂^2z/∂y^2.6.设f(x,y)在点(0,0)处可微，且f(0,0)=0，证明：∂f/∂x和∂f/∂y在点(0,0)处连续.1.已知函数f(x)在区间[0,1]上连续，且f(0)=0，f(1)=1，则方程f(x)=0在区间(0,1)内至少有（）个实根。
高等数学下期末试题(七套附答案)
高等数学（下）试卷-、填空题（每空3分，共15分）1 1z 二-（1） ___________________________________________________________ 函数 .x yX - y的定义域为 _____________________________________________________z = arcta n 》—=（2） 已知函数x ，贝y 汉 _____________________22y、 [dW 2 f （x, y ）dx （3 ）交换积分次序， '0 ' y = ___________________（4） 已知L 是连接（0,1）＞（1,0）两点的直线段，则L（x y）ds 二 __________（5） __________________________________________________________________ 已知微分方程 y ： 2y • -3y = 0，则其通解为 ____________________________________二、选择题（每空3分，共15分）zSz(1)A. x 3y 2z 1 = 0设直线 L 为 2x-y "Oz ，3"，平面二为4x-2y • z -2=0L 平行于二 (2) ( 设 ) A . dxdy C. L 垂直于兀是由方程xyz• x yz =、2确定，则在点B. L 在二上B dx + 72dyC^dx + ddy，则（ ）D. L 与二斜交（1,0^1）处的 dz二（3）已知l ■■是由曲面4z^25（x 2 y 2）及平面 在柱面坐标系下化成三次积分为（）2二 2 3 5 [d 。
[ r dr 「dzA $0 』0 』0z = 5所围成的闭区域，将 D.dx-V2dy2 2(x y )dvQB. 2二4 35d 「0r dr .0dz… 2 3r drJ 0』0C.5 5 dz r2D.2 25d 「°rdr _dz（4）已知幕级数 -，则其收敛半径A. 2B. 1（5）微分方程y ；3y ' 2y =3x -2e x 的特解 C. 2y”的形式为y=D.B (ax+b)xe x(ax b) ce xA.D (ax +b) +cxe x三、计算题(每题8分，共48分) x -1 y _2 z _3 x 2 求过直线L 1:10 Ty-1 C.1、 且平行于直线L2:2z11的平面方程\ I x 2dxdyD2、已知z = f（xy2,x2y），求，：：y2 23、设D二｛（x，y）x y M｝，利用极坐标求4、求函数f(x,y)二e2x(x y2 2y)的极值"x = t —si nt5、计算曲线积分L (2xy 3sinX*彼-e)dy其中L为摆线yd cost从点0(°, 0)到A(二,2)的一段弧6、求微分方程xy * y = xe x满足yT的特解四•解答题(共22分)2xzdydz+ yzdzdx—z dxdy1、利用高斯公式计算住n J3的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛;O0n瓦nx(2)在X，(-11)求幕级数n4高等数学(下)试卷二- •填空题(每空3分，共15分)J4x_y2z = 2 ~(1) ______________________________________________ 函数In(1 - x -y )的定义域为_____________________________________________________________ ；(2) 已知函数z二e xy，则在(Z 1)处的全微分dz=___________________ ；e In x亠 1 dx「f (x, y)dy(3 )交换积分次序，'1 0= __________________ ;2(4 )已知L是抛物线y = X上点0( 0 , 0与点B( 1 , 1之间的一段弧，则L ： yds =-------------------- ?(5)已知微分方程y “ - 2y ' y = 0，则其通解为_____________________________ .二•选择题(每空3分，共15分)x y 3z = 0(1)设直线L为x-y-z^O ，平面二为x-y-zJ"，则L与二的夹角为( )；兀兀兀A. 0B. 2C. 3D. 43 小是由方程z_3xyz_a:z(2 ) 严X 1 3确定，则汶(设);yz yz xz xy2 2 2 2其中V由圆锥面z - X2y2与上半球面z二〔2 -x? - /所围成的立体表面的外侧(10 ) □0■- ( _1)2、( 1)判别级数心(&)的和函数(6)A. xy _ zB. z_xy C. xy-zD.z—xy(3)微分方程y -5/ 6^xe2x的特解y的形式为y ();2、°°ITn 」 n,"2sin 飞1、（ 1） （ 6 ）判别级数n生 3的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；inz —（2） （ 4 ）在区间（一1,1）内求幕级数n^ n的和函数.ii2xdydz ydzdx zdxdy（12 ）利用高斯公式计算二 ，'为抛物面z = X 2 • y 2 （ 8 z 乞的下侧A. (ax +b)e 2xB. (ax +b)xe 2xC. (ax +b) +ce 2x (4)已知丨■■是由球面 三次积分为(2-a 2dr 2sin d r drA 02：-；[d T 『d ®『rdr2 2 2 2xy z =a 所围成的闭区域，将 ）；D. (ax + b) + cxe 2x...dvQ在球面坐标系下化成B.2adr 2d 「 rdrD.a2r dr（5）已知幕级数Q0Zn 42n 1x n2n，则其收敛半径 B. 1二(C. 2D. 2（每题8分,共 48 分)6、7、 且与两平面二1 ：x 2z =1 和.z■:y:z已知 z 二 f(sin xc°sy,e x y)，求：:x ， 设 D 二{(x, y) X 2 y 2乞 1,0 乞 y 乞 X}, 8、求函数f (x, y)二 L 为沿上半圆周y6、求微分方程四.解答题（共22分）二2： y-3z =2平行的直线方程. y11arctan dxdy 利用极坐标计算 Dx.2 2 X5y-6x 10y 6的极值.c 知叭夂栽八于斗瞥 I (e x siny —2y)dx + (e x c°sy — 2)dy 其中9、利用格林公式计算 L ，其中2 2 2 (x-a) y =a,y _0、从 A(2a,0)到。
高等数学下册试题题库及参考答案
高等数学下册试题库一、选择题（每题4分，共20分）1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 的模是：（ A ） A ）5 B ） 3 C ） 6 D ）9解 AB ={1-1，2-0，1-2}={0，2，-1}，||=5)1(20222=-++. 2. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ B ）A ）{-1,1,5}.B ） {-1,-1,5}.C ） {1,-1,5}.D ）{-1,-1,6}.解 (1) c =3a -2b =3{1,-1,3}-2{2,-1,2}={3-4,-3+2,9-4}={-1,-1,5}.3. 设a ={1,-1,3}, b ={2, 1, -2}，求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b ; （ A ） A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）-2i -j +5k解c ={-1,-2,5}=-i -2j +5k .4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是：（C ）A ）2πB ）4πC ）3π D ）π 解 由公式（6-21）有21112)1(211)1(1221cos 2222222121=++⋅-++⨯-+⨯+⨯=⋅⋅=n n n n α，因此，所求夹角321arccos πα==．5. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程．是：（D ） A ）2x+3y=5=0 B ）x-y+1=0 C ）x+y+1=0 D ）01=-+y x ．解 由于平面平行于z 轴，因此可设这平面的方程为因为平面过1M 、2M 两点，所以有解得D B D A -=-=,，以此代入所设方程并约去)0(≠D D ，便得到所求的平面方程6．微分方程()043='-'+''y y y x y xy 的阶数是( D )。
高等数学下册试题及答案解析.doc
高等数学下册试题及答案解析一、填空题（每小题3 分，共计 24 分）1、 z=log a ( x 2y 2) (a0)的定义域为 D=.ln( x 2 y 2 )dxdy2、二重积分 |x| | y| 1的符号为.3、由曲线y ln x及直线xy e 1， y1所围图形的面积用二重积分表示为，其值为.x (t ) (x ),y(t)4、设曲线 L 的参数方程表示为则弧长元素 ds.5、设曲面∑为 x2y29介于 z0 及 z3间的部分的外侧，则（x 2 y 2 1)ds.dyyy6、微分方程 dxtanx 的通解为.x7、方程 y(4 )4 y 0的通解为.18、级数 n 1 n( n1)的和为.二、选择题（每小题2 分，共计 16 分）1、二元函数zf ( x, y) 在 (x 0 , y 0 ) 处可微的充分条件是（）（A ） f ( x, y) 在 ( x 0, y 0) 处连续；（ B） f x( x, y)， f y( x, y)在( x 0, y 0 )的某邻域内存在；zf x ( x 0 , y 0 ) x f y ( x 0 , y 0 ) y当( x)2（ C ）limz f x (x 0 , y 0 ) xf y ( x 0 , y 0 ) y 0x 0 ( x)2( y)2（ D ）y 0.u yf ( x)xf ( y),f2、设y x 其中 具有二阶连续导数，则（ A ）xy ； （ B ） x； (C) y；(D)0 .2 ( y)时，是无穷小；2u2ux2y2x y 等于（）： x2y2z2IzdV3、设1, z0,则三重积分等于（）2d 2d13sin cos dr（A ）4r0 0；2dd12sin dr（B ） 0 r；22d1r 3sin cosdrd（C ） 0；2d1r 3sin cos drd（D ） 0.4、球面 x2y 2z 24a 2 与柱面 x 2y 22ax所围成的立体体积 V= （）42d2a cos4a2r 2dr（ A ）；42 d2a cos 4a 2 r 2 drr （ B ）；82 d2 a cos 4a 2r2drr（ C ）；2d2 a cos4a 2 r 2 drr（ D ）2.5、设有界闭区域 D 由分段光滑曲线 L 所围成， L 取正向，函数 P( x, y), Q (x, y) 在 D 上具有一阶连续偏导数，则Pdx Qdy( )L( P Q) dxdy（A ） Dyx ；（ B ） ( P Q)dxdy（C ） Dxy ； （D ）6、下列说法中错误的是（）DDQ P()dxdyyx；(QP)dxdyxy.（ A ） 方程xy2 y x 2 y 0是三阶微分方程；y dy x dyy sin x（B ） 方程 dxdx是一阶微分方程；（ C ） 方程 ( x22xy 3 ) dx ( y 2 3x 2 y 2)dy 0 是全微分方程；dy 1 2y（ D ） 方程 dx xx2 是伯努利方程 .7、已知曲线 y y( x)经过原点，且在原点处的切线与直线2xy 6平行，而y(x)满足微分方程y 2 y 5y，则曲线的方程为y （）（ A ） e xsin 2x ；（ B ） e x(sin 2xcos 2x) ；（ C ） e x(cos 2 xsin 2 x) ；（ D ） e xsin 2x .lim nu n 0, 则 n 1 u n8、设 n （ ）（ A ）收敛； （ B ）发散； （ C ）不一定；（ D ）绝对收敛 .三、求解下列问题（共计 15 分）1、（ 7 分）设f , g均为连续可微函数 .uu , uf ( x , xy ), vg ( xxy ) ，求 xy .u( x,t )x tu ,ux f (z)dzt四、求解下列问题（共计 15分）.22y 2 dy1、计算Idx ex.（ 7 分）I(x 2 y 2 )dV是由x2y22z, z 1及 z2所围成的空间闭区域（ 8分）.2、计算，其中Ixdy ydxL22五、 （ 13 分）计算 xy，其中 L 是xoy面上的任一条无重点且分段光滑不经过原点O (0,0)的封闭曲线的逆时针方向 .f ( x) f ( y)x, y, f ( x) 满足方程f (x y)六、 （ 9 分）设对任意 1 f ( x) f ( y) ，且 f (0) 存在，求 f ( x) .( 1)n ( x2) 2n1七、（ 8 分）求级数 n 12n 1 的收敛区间 .高等数学（下册）试卷（二）一、填空题（每小题 3 分，共计 24 分）zz1、设 2sin( x2y 3z)x 2 y 3z ，则 xy.39 xylimxy x 02、y.I2 2 x f ( x, y)dydxxI3、设，交换积分次序后，.lim 1 3f ( x 2 y 2 )d4、设 f (u) 为可微函数，且f (0)tt.0, 则x 2 y 2 t 25、设 L 为取正向的圆周x 2y24，则曲线积分y( ye x1)dx (2 ye x x)dyL.6、设A( x2yz) i ( y2xz) j (z2xy) k，则 div A.7、通解为yc 1e xc 2e2 x的微分方程是.f ( x)1,x0 xa n8、设1, ，则它的 Fourier 展开式中的 .二、选择题（每小题 2 分，共计16分）.f ( x, y)xy 2 , x 2 y 2 0x 2 y 41、设函数0,x 2y 2）,则在点（ 0， 0）处（ （ A ）连续且偏导数存在；（ C ）不连续但偏导数存在；2、设u(x, y)在平面有界区域2u2ux y及 x2则（）（ B ）连续但偏导数不存在； （D ）不连续且偏导数不存在 .D 上具有二阶连续偏导数，且满足2uy 2，（ A ）最大值点和最小值点必定都在 D 的内部；（ B ）最大值点和最小值点必定都在 D 的边界上； （ C ）最大值点在 D 的内部，最小值点在 D 的边界上； （ D ）最小值点在 D 的内部，最大值点在 D 的边界上 .D ： ( x 2) 2 ( y 1) 21，若 I 1( x y) 2 dI 2( x y)3 d3、设平面区域D，D则有（ ）（A ）I 1I2； （B ） I 1 I 2 ；（C ） I 1I 2 ； （D ）不能比较 .是由曲面zxy, y x, x 1及 z所围成的空间区域，则xy 2 z 3 dxdydz4、设=（）1111（A ）361； （B ）362； （C ）363； （D ）364.x (t)5、设f ( x, y)在曲线弧 L 上有定义且连续， L 的参数方程为y(t) (t)，其中(t ), (t ) 在 [ ,]上具有一阶连续导数，且2(t )2(t )， 则曲线积分f ( x, y)dsL（）f ( (t), (t))dt(B)f ( (t ), (t))2(t )2(t) dt(A)；； (C)f ( (t ), (t ))2(t ) 2(t )dt； (D)f ( (t ), (t ))dt.6、设是取外侧的单位球面 x 2 y 2 z 21， 则曲面积分xdydz ydzdx zdxdy=（）(A)0 ； (B)2； (C)； (D)4.7、下列方程中，设y 1, y2是它的解，可以推知(A) y p(x) y q( x) 0 ；(B)y(C) yp(x) y q( x) y f (x) ； (D)a ny 1y2 也是它的解的方程是（ ）p(x) y q(x) y 0 ；yp( x) y q(x) 0 .8、设级数 n 1 为一交错级数，则（ ） (A) 该级数必收敛； (B) 该级数必发散；(C) 该级数可能收敛也可能发散；(D) 若a n0 ( n0)，则必收敛.三、求解下列问题（共计 15 分）1、（ 8 分）求函数uln( xy2z 2 )在点 A （ 0， 1，0）沿 A 指向点 B （ 3， -2， 2）的方向的方向导数 .2、（ 7 分）求函数f ( x, y)x 2 y(4 x y) 在由直线 x y6, y 0, x 0 所围成的闭区域D 上的最大值和最小值 .四、求解下列问题（共计15 分）dvI31、（ 7 分）计算(1 x y z)，其中是由x0, y 0, z 0 及 xy z 1所围成的立体域 .2、（ 8 分）设f (x)为连续函数，定义 F (t )[ z 2f ( x 2 y 2 )]dv，( x, y, z) | 0 z h, x2y2t2dF其中，求dt.五、求解下列问题（ 15 分） 1、（ 8 分）求I(e x sin y my)dx (e x cos y m)dy，其中 L 是从 A （ a ， 0）经yax x2L到O （0， 0）的弧 .Ix 2 dydz y 2 dzdx z 2 dxdy是 x2y2z 2 (0 z a) 的外侧 .2、（ 7 分）计算，其中六、（ 15 分）设函数( x)具有连续的二阶导数，并使曲线积分[ 3 (x) 2(x) xe 2x ] ydx( x)dyL与路径无关，求函数( x).高等数学（下册）试卷（三）一、填空题（每小题3 分，共计 24 分）uyz t2dtue1、设xz， 则z.2、函数 f (x, y)xy sin( x 2y) 在点（ 0， 0）处沿 l(1,2) 的方向导数f (0,0)l=.x2y 2, zIf ( x, y, z) dv3、设为曲面z1 0所围成的立体，如果将三重积分化为先对 z再对 y最后对 x三次积分，则 I=.lim1f (x, y)d22224、设f ( x, y)为连续函数，则It 0 tD，其中D : xyt .( x 2y 2 )dsL : x 2y 2a25、 L，其中.6、设是一空间有界区域，其边界曲面是由有限块分片光滑的曲面所组成，如果函数P(x, y, z) ， Q ( x, y, z) ， R(x, y, z) 在上具有一阶连续偏导数，则三重积分与第二型曲面积分之间有关系式：， 该关系式称为 公式 .7、微分方程y6 y 9 yx26x9 的特解可设为 y *.( 1) n 18、若级数 n 1np发散，则 p.二、选择题（每小题 2 分，共计 16 分）f ( x a, b)f (a x, b)lim1、设 f x (a, b) 存在，则 x 0x=（ ）1（A ） f x(a,b)；（ B ） 0；（ C ） 2 f x(a,b)；（ D ）2f x(a,b).2、设zx y 2 ，结论正确的是（）2z2z2z 2z（ A ）x yy x； （ B ）x yy x；2 z2 z（ C ）x yy x； （ D ）3、若f ( x, y)为关于 x的奇函数，积分域2z2zx y y x.D 关于 y轴对称，对称部分记为D 1, D2 ，f ( x, y)在D 上连f ( x, y)d续，则D（）f (x, y) df ( x, y)df ( x, y)d（A ）0；（ B ）2 D 1；（ C ）4 D 1； (D)2 D 2.： x2y2z2R 2 ，则( x 2 y 2 )dxdydz4、设=（ ）8 R 54 R5 8 R516 R 5（A ）3； （B ）3； （C ） 15 ； （D ） 15 .5、设在xoy面内有一分布着质量的曲线L ，在点( x, y)处的线密度为( x, y) ，则曲线弧 Ｌ 的重心的 x坐标 x为（）1 x ( x, y)ds1x ( x, y)dx（Ａ） x =M； （B ） x =MLL；x ( x, y)ds1xds（ C ） x= L；（ D ） x =ML, 其中 M 为曲线弧 Ｌ的质量 .６、设为柱面 x2y 21和 x0, y 0, z1在第一卦限所围成部分的外侧，则曲面积分y 2 zdxdy xzdydz x 2 ydxdz＝（ ）5（ A ） 0； （B ） 4； （C ）24； （D ） 4.７、方程y2 yf ( x)的特解可设为（ ）（ A ） A ，若 f ( x) 1； （ B ） Ae x，若f (x)e x ； （ C ） Ax4Bx3Cx 2DxE ，若 f ( x) x 22x ；（ D ） x( Asin 5x B cos5x) ，若 f (x)sin 5x .f (x)1,x 010 x，则它的 Fourier 展开式中的a n等于（８、设）2 [1 ( 1) n ]14（ A ）n； （ B ）0； （ C ） n ； （ D ） n.y f (x, t),t确定的 x, y的函数，其中f , F具有一阶连续偏三、 （１２分）设为由方程 F (x, y, t) 0 dydx .导数，求四、 （８分）在椭圆x 24y 24上求一点，使其到直线2x 3y 6 0的距离最短 .五、 （８分）求圆柱面x 2 y 22y被锥面zx 2y 2和平面z 0 割下部分的面积Ａ .Ixyzdxdy为球面 x2y 2 z 2 1 的 x 0, y部分六、（１２分）计算，其中的外侧 .df (cos x) 1 sin 2 x七、 （ 10 分）设d (cos x)，求 f (x) .八、（ 10 分）将函数f ( x) ln(1 xx 2x 3 )展开成x 的幂级数 .高等数学（下册）试卷（四）一、填空题（每小题 3 分，共计 24 分）1、由方程xyzx2y2z22所确定的隐函数z z(x, y)在点（ 1， 0，-1）处的全微分dz.2、椭球面 x22 y23z26在点（ 1，1， 1 ）处的切平面方程是.x 2, yI(1 x 2 )dxdy3、设 D 是由曲线 yx2所围成，则二重积分D.4、设是由 x2y24, z 0, z4所围成的立体域，则三重积分I( x 2y 2 )dv=.5、设是曲面zx 2 y 2 介于z 0, z 1之间的部分，则曲面积分I(x 2y 2 )ds.x 2 dsx2y 2z 2a 26、 xy z 0.7、已知曲线 yy( x) 上点 M(0,4) 处的切线垂直于直线 x 2 y 5 0 ，且 y( x)满足微分方程 y 2yy，则此曲线的方程是 .8、设f (x)是周期 T= 2的函数，则f ( x)的 Fourier 系数为.二、选择题（每小题 2 分，共计 16 分）zarcsinyxy1、函数x的定义域是（ ）（ A ） (x, y) | x y , x 0 ； （B ） ( x, y) | x y , x 0 ；（ C ）(x, y) | xy 0, x 0(x, y) | x y0, x 0 ；（ D ） (x, y) | x 0, y 0( x, y) | x 0, y 0 .2、已知曲面 z4 x 2y 2 在点 P 处的切平面平行于平面2x 2 y z 1 0，则点 P 的坐标是（ ）（ A ）（ 1，-1， 2）； （ B ）（ -1， 1， 2）；（ C ）（ 1， 1，2）； （D ）（ -1， -1， 2） .3、若积分域 D 是由曲线yx 2 及y2 x 2f (x, y)d所围成，则 D=（）12 x21x2（A ） 1dx x21yf ( x, y)dy（ B ） 1dx 2 x 2 ；2 x 21f (x, y)dy；（ C ）dy2 yf ( x, y) dx；（ D ） x 2dy1 f ( x, y)dx .4、设1: x2y 2z 2R 2, z 0;2: x2 y2z 2R 2, x 0, y 0, z 0，则有（）（ A ）xdv 4 xdv（ B ）ydv4ydv12；12；（ C ）xyzdv4 xyzdv（ D ）zdv4zdv12；12.5、设 为由曲面zx2y 2及平面 z 1所围成的立体的表面，则曲面积分( x2y 2 )ds =（ ）122（ A ）2； （B ） 2； （C ）2； （D ）0 .６、设是球面 x2y 2z 2a 2 表面外侧，则曲面积分x 3 dydz y 3 dzdx z 3 dxdy＝（ ）12a 312a 54 a 5（A ）5；（B ）5；（C ）5； （D ）k７、一曲线过点 (e,1)，且在此曲线上任一点 M ( x, y) 的法线斜率（）12a 55.x ln x xy ln x ，则此曲线方程为yx x ln(ln x)yx x ln xee（ A ）；（B ）；yx ln(ln x)（ C ）yex x ln(ln x) ；e（ D ）.( n 1) x n８、幂级数 n 1的收敛区间为（）（ A ）（ -1， 1）； （B ）(,)； （ C ）（ -1， 1）； （ D ） [-1 ， 1].uyf ( x) xg( y)三、（１０分）已知函数yx ，其中f , g具有二阶连续导数，求2u 2 ux yx 2x y的值 .四、（１０分）证明：曲面xyzc 3 (c0)上任意点处的切平面与三坐标面所围成立体的体积为一定值 .五、（１４分）求抛物面z 4 x 2y 2 的切平面，使得与该抛物面间并介于柱面( x 1)2y21内部的部分的体积为最小 .I(e x sin y y)dx (e x cos y x)dy2六、（１０分）计算 L，其中Ｌ为y4 x由Ａ（２，０）至Ｂ（－２，０）的那一弧段.y2 y y 2 七、（８分）求解微分方程1 =0 .x n八、（８分）求幂级数n 1n的和函数S( x).高等数学（下册）试卷（五）一、填空题（每小题 3 分，共计 24 分）1、设zf (x, y) 是由方程 zy x xez y x所确定的二元函数，则dz.x 2 y 2z 2 3x 0２、曲线2x 3y 5z 4 0在点（１，１，１）处的切线方程是 .是由 x2y2z21，则三重积分e z dv３、设＝.a y４、设f ( x)为连续函数，a, m是常数且 a 0 ，将二次积分dye m(a x)f ( x)dx化为定积分为.Pdx Qdy与积分路径L( AB)无关的充要条件为５、曲线积分 L(AB).６、设 为 za 2 x 2 y 2 ，则 ( x 2 y 2z 2 ) ds.７、方程y3y e 2 x 的通解为.a nb n(a n b n ).８、设级数 n 1 收敛， n 1 发散，则级数 n 1必是二、选择题（每小题 2 分，共计 16 分）x 2 y ,(x, y) (0,0)f ( x, y)x 2 y 2１、设0,( x, y)(0,0)，在点（０，０）处，下列结论（）成立 .（Ａ）有极限，且极限不为 0；（Ｂ）不连续； （Ｃ）f x(0,0)f y (0,0) 0 ；（Ｄ）可微 .２、设函数（Ａ）2f2zf ( x, y) 有 y 2，且 f ( x,0) 1， f y( x,0) x，则 f ( x, y) =（）1 xy y 2； （Ｂ）1xy y 2； （Ｃ） 1 x 2yy2 ；（Ｄ）1x 2 y y 2 .３、设Ｄ： 1 x2y 24， f在 D 上连续，则f ( x 2 y 2 ) dD在极坐标系中等于（）22rf (r )dr2 22)dr1rf (r（Ａ）；（Ｂ）1；2 [2r 2f (r )dr1r 2f ( r )dr ]2 [2rf (r 2 )dr1rf (r 2 )dr ]（Ｃ）； （Ｄ）.４、设是由x0, y 0, z 0 及 x 2y z1所围成，则三重积分xf ( x, y, z)dv ( )1 1 yx 2 ydx12 dz（Ａ）111 x2 yxf ( x, y, z)dy；dxdyxf ( x, y, z)dz（Ｂ）；11 x1 x2 ydx2dyxf ( x, y, z)dz（Ｃ）；11 dy1dx xf (x, y, z)dz（Ｄ） 0.５、设是由x0, y 0, z 0, x 1y1, z 1所围立体表面的外侧，则曲面积分xdydz ydzdxzdxdy ( )（Ａ） 0；（Ｂ） 1； （Ｃ） 3；（Ｄ） 2.６、以下四结论正确的是（）(x2 y2 z2 ) dv 4 a 5 （Ａ）x2 y 2 z2 a23 ；x2 y 2 z2 ds 4 a 4 ;（Ｂ） x2 y2 z2 a2( x2 y2 z2 )dxdy 4 a 4 （Ｃ）x2 y 2 z2 a2外侧；（Ｄ）以上三结论均错误 .７、设g ( x)具有一阶连续导数，g(0)1.并设曲线积分yg ( x) tan xdx g( x)dyL与积分路径( , )g( x) dy ( )4 4 yg( x) tan xdx无关，则(0,0 )2 2 2 2（Ａ） 2 ；（Ｂ） 2 ；（Ｃ）8 ；（Ｄ）8 .( 1) n 1８、级数n 1 2n 1 的和等于（）（Ａ） 2/3；（Ｂ） 1/3；（Ｃ） 1；（Ｄ） 3/2.三、求解下列问题（共计１５分）u u u１、（８分）设ux yz ,, 求x y z .u f ( x,y)（７分）设y z，f具有连续偏导数，求du.四、求解下列问题（共计１５分）I af (x) bf ( y) d2 y 2 R 2１、（８分）计算D f (x) f ( y)，其中D : x .I ( x y z 1) dv（７分）计算，其中 : x2 y 2 z2 R 2 .五、（１５分）确定常数，使得在右半平面x0 上，2 xy( x 4 y 2 ) dx x 2 ( x 4y 2 ) dyu( x, y) .L与积分路径无关，并求其一个原函数1 xf ( x)x)3六、 （８分）将函数(1 展开为 x的幂级数 .七、 （７分）求解方程y6y9y.高等数学（下册）试卷（六）一、单选题（共 15 分，每小题 3 分）1．设函数 f ( x, y) 在 P( x 0 , y 0 )的两个偏导 f x ( x 0 , y 0 ) ， f y( x 0, y 0)都存在，则( )A ．f ( x, y)在 P 连续B ．f (x, y)在 P 可微lim f ( x, y 0 ) lim f ( x 0 , y) C ． x x 0及 y y 02．若zy ln x ，则dz等于（ y ln x ln y y ln x ln yA. x yC . y ln x ln ydxy ln x ln y dyxlim f ( x, y)都存在D ． ( x, y ) ( x 0 , y 0 ) 存在）．B.y ln xln yxy ln x ln yy ln x ln xD.dxdyxy是圆柱面 x2y 22x 及平面 z 0, z1所围成的区域，则f (x, y, z) dxdydz (3．设）．A.2d2 cos1f (r cos , r sin , z)dzB.2d2cos rdr 1f (r cos , r sin , z)dz0 dr0 02d2 cos12cos x rdr1C.rdrf (r cos , r sin , z)dzD . df (r cos , r sin , z)dz2a n (x 1)n1 处收敛，则此级数在 x2 处（ 4． 4．若 n 1 在 x）．A ． 条件收敛B ． 绝对收敛C ． 发散D ． 敛散性不能确定x y z 25．曲线 z x 2y 2在点（ 1，1， 2）处的一个切线方向向量为（ ） .A. （ -1， 3， 4）B. （ 3， -1， 4）C. （ -1， 0， 3）D. （ 3， 0，-1）二、填空题（共 15 分，每小题 3 分）edxln xIf ( x, y)dyI2．交 换 1的积分次序后， _____________________ ．z23．设u2xy，则 u 在点M ( 2, 1,1)处的梯度为.e xx nn! ，则 xe x4. 已知 n 0. 5. 函数zx 3y 3 3x 2 3y 2 的极小值点是.三、解答题（共 54 分，每小题 6--7 分）z y arctanyzzy .1.（本小题满分 6 分）设x , 求 x,2.（本小题满分 6 分）求椭球面2x 23y2z29 的平行于平面 2x 3y 2z 1的切平面方程，并求切点处的法线方程r1 r 3 r3. （本小题满分 7 分）求函数z x 2y 2 在点 (1,2) 处沿向量l 2i2 j方向的方向导数 .1f ( x)3的幂级数，并求收敛域 .4. （本小题满分 7 分）将x展开成x5．（本小题满分 7 分）求由方程2x 2 2y 2 z 2 8yz z 8 0 所确定的隐函数 z z(x, y)的极值 .(x 2y 2 )d , D 由曲线 x1 y2 , y1, y 16．（本小题满分 7 分）计算二重积分 D及 x2 围成 .xy 2 dy x 2 ydx22 2Lxa向） .xydxdydz是由柱面 x2y21 及平面 z 1, x 0, y所围成8. （本小题满分 7 分）计算 ，其中且在第一卦限内的区域 ..四、综合题（共 16 分，每小题 8 分）u n ,v n(u n v n )21．（本小题满分 8 分）设级数 n 1n 1都收敛，证明级数 n 1收敛 .f2xf ( x, y) 在 R 2内具有一阶连续偏导数，且x2．（本小题满分 8 分）设函数，证明曲线积分2xydx f ( x, y)dyt 恒有L与路径无关．若对任意的( t ,1)f ( x, y) dy(1, t )f ( x, y)dy2xydx2xydx(0,0)(0,0)，求f ( x, y)的表达式．高等数学（下册）试卷（一）参考答案一、 1、当 0 a 1时，x 2y 21；当a 1 时， x 2 y 2 1 ；1 e 1 yddye ydx;3222、负号；3、 D24、(t )(t )dt ；y；Cxsin5、 180 ；6、 x；7、yC 1 cos 2x C 2 sin 2x C 3 e 2 x C 4 e2 x ；8、 1；二、 1、 D ； 2、 D ； 3、C ； 4、B ； 5、D ； 6、 B ； 7、 A ； 8、C ；uf 1 yf 2uxg (xxy )三、 1、xy；；uf (x t)f (x t )uf (xt) f (x t )2、xt；；22e y2dy 2 y y 2dx2y2dy 1 (1 e 4)dxdyeye2四、1、 0x； 柱面坐标22 23dz 22 dr 23dz 14I0 ddrrd 2 1 2 r1r32、2；五、令Py ,QxPy 2 x 2Qx 2y 2 x 2y 2 则 y ( x 2y 2 )2x ， ( x, y) (0,0) ；P , Q于是①当 L 所围成的区域 D 中不含 O （ 0， 0）时，yx在 D 内连续 .所以由 Green 公式得：P , QI=0 ；②当 L 所围成的区域 D 中含 O （ 0，0）时， yx在 D 内除 O （ 0，0）外都连续，此时作曲线l为 x2y22( 01)，逆时针方向，并假设D * 为 L 及 l 所围成区域，则ILl l L l Green 公式 (QP) dxdy 2lD *xy x 2 y 22六、由所给条件易得：f (0)2 f (0) f (0)1f 2( 0)f (x)lim f ( xx) f ( x) 又x 0xlim1 f2 ( x)f ( x)f ( x) f (x)x x 01f ( x) f (0)即1f 2 ( x)arctan f ( x) f ( 0) xc 即 又 f (0) 0 即 c k , k Zf (x) f ( x)f ( x)lim 1 f ( x) f ( x)= x 0 xf ( 0)f (0)[1 f 2 ( x)]f ( x) tan[ f (0) x c] f ( x) tan( f (0)x)( 1) nt 2n1七、令x 2 t，考虑级数n 12n 1t 2 n3lim 2n 3 t 2t 2 n 1n2n 1当 t 21即t1时，亦即 1x3时所给级数绝对收敛；当t 1即 x3 或 x 1 时，原级数发散；当t1即 x1时，级数n( 1) n 11 12n 1 收敛；(1) n 11收敛；当 t 1 即 x 3 时，级数 n 12n级数的半径为 R=1，收敛区间为 [1， 3].高等数学（下册）试卷（二）参考答案2y42dyf ( x, y)dxdy一、 1、 1； 2、-1/6 ； 3、y / 22 y / 2f ( x, y)dx2 f (0)；4、3；5、 8； 6、2(x y z)； 7、yy2 y；8、 0；二、 1、C ； 2、B ； 3、A ； 4、D ； 5、C ； 6、 D ； 7、B ； 8、C ；三、 1、函数uln( xux AxuAyxuz Ax而 l ABuul Axy 2 z 2 )在点 A （ 1，0， 1）处可微，且1 (1,0,1)y 2z 21/ 2；1y (1,0 ,1)y 2z 2y 2z 2；1z(1,0 ,1)1/ 2y 2z 2 y 2z 2l 2 2 1(2, 2,1), ( ,, ),故在 A 点沿 l AB方向导数为：所以33 3uA cosuAcosAcos + y+ z1 2 0 ( 2 1 1 1/ 2.2 3 ) 2 33 f x 2xy(4 x y) xy( 1) 0f y x 2 (4 x 2 y)得 D 内的驻点为M 0 (2,1),且 f (2,1)4，2、由又 f (0, y) 0, f (x,0) 0而当xy 6, x 0, y0 时， f ( x, y) 2x 312 x 2(0 x 6)令(2 x 312x 2 ) 0 得 x 10, x 2 4于是相应y 16, y 2 且 f (0,6) 0, f (4,2)64.17/180 x 1: 0y x 1四、 1、的联立不等式组为0 z 1 x ydz11 x1 x yIdxdy 0(1x yz)3所以11 1 x [112dxxy) 2]dy0 0(1 41 1 13 x )dx 1ln 252(4 216x 12、在柱面坐标系中2t ht21 32[hf ( r ) rr ] drF (t )ddr [ z 2f ( r 2)] rdzh3所以dF 2 [hf (t 2)t 1h 3t ] 2 ht[ f (t 2 ) 1 h 2 ]dt3 3五、 1、连接 OA ，由 Green 公式得：。
高等数学下考试题库(附答案)
《高等数学》试卷1（下）一。
选择题（3分10)1。
点到点的距离（）。
A。
3 B。
4 C.5 D。
62。
向量，则有( ）.A。
∥ B.⊥C。
D.3。
函数的定义域是（）。
A。
B。
C. D4.两个向量与垂直的充要条件是（）。
A. B。
C. D.5.函数的极小值是( ).A。
2 B。
C.1 D.6.设,则＝（）.A. B. C。
D。
7。
若级数收敛，则（）。
A。
B。
C。
D.8。
幂级数的收敛域为（）。
A。
B C. D.9.幂级数在收敛域内的和函数是( ）。
A。
B。
C。
D。
10.微分方程的通解为（）。
A. B。
C. D.二。
填空题（4分5)1.一平面过点且垂直于直线，其中点,则此平面方程为______________________。
2。
函数的全微分是______________________________.3。
设，则_____________________________.4。
的麦克劳林级数是___________________________。
三。
计算题(5分6)1。
设，而,求2。
已知隐函数由方程确定，求3。
计算,其中.4.求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积(为半径）。
四。
应用题（10分2）1。
要用铁板做一个体积为2的有盖长方体水箱,问长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省？。
试卷1参考答案一.选择题CBCAD ACCBD二.填空题1。
2. 。
3. .4。
5。
三。
计算题1。
，。
2。
.3。
.4。
5。
四。
应用题1。
长、宽、高均为时,用料最省.2.《高数》试卷2（下）一。
选择题（3分10）1.点，的距离（）.A. B。
C. D.2。
设两平面方程分别为和，则两平面的夹角为（)。
A。
B. C。
D。
3。
函数的定义域为（）。
A。
B。
C. D。
4。
点到平面的距离为( ）。
A.3 B。
4 C。
5 D.65。
函数的极大值为（）.A。
0 B。
1 C。
D。
6。
设，则（）.A。
6 B。
7 C。
高数下学期期末试题(含答案)3套
高等数学期末考试试卷1一、单项选择题（6×3分）1、设直线，平面，那么与之间的夹角为( )A.0B.C.D.2、二元函数在点处的两个偏导数都存在是在点处可微的（）A.充分条件B.充分必要条件C.必要条件D.既非充分又非必要条件3、设函数，则等于（）A. B.C． D.4、二次积分交换次序后为（）A. B.C. D.5、若幂级数在处收敛，则该级数在处（）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散 C.不能确定其敛散性6、设是方程的一个解，若，则在处（）A.某邻域内单调减少B.取极小值C.某邻域内单调增加D.取极大值二、填空题（7×3分）1、设＝（4，-3，4），＝（2，2，1），则向量在上的投影＝2、设，，那么3、D 为，时，4、设是球面，则＝5、函数展开为的幂级数为6、＝7、为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为三、计算题(4×7分)1、设，其中具有二阶导数，且其一阶导数不为 1，求。
2、求过曲线上一点（1，2，0）的切平面方程。
3、计算二重积分，其中4、求曲线积分，其中是沿曲线由点（0，1）到点（2，1）的弧段。
25、求级数的和。
四、综合题(10分)曲线上任一点的切线在轴上的截距与法线在轴上的截距之比为3，求此曲线方程。
五、证明题 (6分)设收敛，证明级数绝对收敛。
一、单项选择题（6×3分）1、 A2、 C3、 C4、 B5、 A6、 D二、填空题（7×3分）1、22、3、 4 、5、6、0 7、三、计算题(5×9分)1、解：令则，故2、解：令则所以切平面的法向量为：切平面方程为：3、解：＝＝＝4、解：令，则当，即在x 轴上方时，线积分与路径无关，选择由（0，1）到（2，1）则＝＝＝5、解：令则，即令，则有＝四、综合题(10分)4解：设曲线上任一点为，则过的切线方程为：在轴上的截距为过的法线方程为：在轴上的截距为依题意有由的任意性，即，得到这是一阶齐次微分方程，变形为： (1)令则，代入（1）得：分离变量得：解得：即为所求的曲线方程。
高等数学下册试卷及答案
高等数学下册试卷及答案高等数学（下册）考试试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分）1、z=loga(x+y)的定义域为D={(x,y)|x+y>0}。
2、二重积分∬|x|+|y|≤1 2ln(x+y)dxdy的符号为负。
3、由曲线y=lnx及直线x+y=e+1，y=1所围图形的面积用二重积分表示为∬(e+1-x)dx dy，其值为e-1.4、设曲线L的参数方程表示为{x=φ(t)。
y=ψ(t)} (α≤t≤β)，则弧长元素ds=√[φ'(t)²+ψ'(t)²]dt。
5、设曲面∑为x+y=9介于z=0及z=3间的部分的外侧，则∫∫∑(x²+y²+1)ds=18√2.6、微分方程y'=x/(y²+1)的通解为y=1/2ln(y²+1)+1/2x²+C。
7、方程y''-4y=tanx的通解为y=C1e^(2x)+C2e^(-2x)-1/2cosxsinx。
8、级数∑n=1∞1/(n(n+1))的和为1.二、选择题（每小题2分，共计16分）1、二元函数z=f(x,y)在(x,y)处可微的充分条件是（B）f_x'(x,y)，f_y'(x,y)在(x,y)的某邻域内存在。
2、设u=yf(x)+xf(y)，其中f具有二阶连续导数，则x²+y²等于（A）x+y。
3、设Ω：x+y+z≤1.z≥0，则三重积分I=∭ΩzdV等于（D）∫0^1∫0^(1-z)∫0^(1-x-y)zdxdydz。
4、球面x²+y²+z²=16a²与柱面x²+y²=2ax所围成的立体体积V=（C）8∫0^π/2∫0^(2acosθ)∫0^√(16a²-r²)rdzdrdθ。
注：原文章中第一题的符号“>”应该是“≥”，已进行更正。
高等数学下考试题库(附答案)
《高等数学》试卷1（下）一.选择题（3分10）1.点M12,3,1到点M22,7,4的距离M1M2（）.A.3B.4C.5D.62.向量ai2jk,b2ij，则有（）.A.a∥bB.a⊥bC. a,bD.3 a,b43.函数122y2xy的定义域是（）.22xy12y2y22A.x,y1x2B.x,y1x22y2y22C.x,y1x2Dx,y1x24.两个向量a与b垂直的充要条件是（）.A.ab0B.ab0C.ab0D.ab0335.函数zxy3xy 的极小值是（）.A.2B.2C.1D.16.设zxsiny，则zy 1, 4＝（）.A.22B.22C.2D.27.若p级数n1 1 pn收敛，则（）.A.p1B.p1C.p1D.p18.幂级数n1nxn的收敛域为（）.A.1,1B1,1C.1,1D.1,19.幂级数nx02n在收敛域内的和函数是（）.1221A.B.C.D.1x2x1x2x 10.微分方程xyylny0的通解为（）.A. xyceB.xyeC.xycxeD. ycxe二.填空题（4分5）1.一平面过点A0,0,3且垂直于直线AB，其中点B2,1,1，则此平面方程为______________________.2.函数zsinxy的全微分是______________________________.3yxy3xy2 3.设zx31，则2zxy_____________________________.1的麦克劳林级数是___________________________.4.2x三.计算题（5分6）zzu sin，而uxy,vxy，求,.1.设zevxyzz2yzxz222.已知隐函数zzx,y由方程x24250确定，求,.xy22 3.计算sinxyd，其中24222 D:xy.D4.求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R为半径）.四.应用题（10分2）1.要用铁板做一个体积为23m的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？.试卷1参考答案一.选择题CBCADACCBD二.填空题1.2xy2z60.2.cosxyydxxdy.2yy23.6x91.4.n0n1n12nx.11.y2x CCxe1.2三.计算题zxyzxy4.eysinxycosxy，exsinxycosxy.xy5.zx2zx1,zy2zy1.6.22dsind26.7.1633R.8.y3xe2ex.四.应用题5.长、宽、高均为m32时，用料最省.126.yx.3《高数》试卷2（下）一.选择题（3分10）2.点M14,3,1，M27,1,2的距离M1M2（）.A.12B.13C.14D.153.设两平面方程分别为x2y2z10和xy50，则两平面的夹角为（）.A.B.C.D.64324.函数22zarcsinxy的定义域为（）.2y2y22A.x,y0x1B.x,y0x1C. 2y2x,y0xD.2 x,y0x 2y225.点P1,2,1到平面x2y2z50的距离为（）.A.3B.4C.5D.66.函数222z2xy3xy的极大值为（）.A.0B.1C.1D. 1 212.设z 23xyy2zx，则1,2x（）.A.6B.7C.8D.913.若几何级数nar是收敛的，则（）. n0A.r1B.r1C.r1D.r114.幂级数nn1x的收敛域为（）.n0A.1,1B.1,1C.1,1D.1,115.级数sinnn1n a4 是（）.A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.不能确定二.填空题（4分5）x3t9.直线l过点A2,2,1且与直线yt 平行，则直线l的方程为__________________________.z12t10.函数xyze的全微分为___________________________.11.曲面242z2xy在点2,1,4处的切平面方程为_____________________________________.三.计算题（5分6）7.设ai2jk,b2j3k，求ab.8.设zz 2zu，而uxcosy,vxsiny，求,.2vuvxyzz3xyz9.已知隐函数zzx,y由x32确定，求,.xy10.如图，求球面2y2z24a22 2x与圆柱面xy2ax（a0）所围的几何体的体积.四.应用题（10分2）16.试用二重积分计算由yx ,y2x 和x4所围图形的面积.试卷2参考答案一.选择题CBABACCDBA. 二.填空题 12.x 2y2z 112 1 . xy13.eydxxdy.14.8x8y z4.15.1n0nx 2n. 16.3 yx. 三.计算题11.8i3j2k.z 2z 333312.3xsinycosycosysiny,2xsinycosysinycosyxsinycosy .xy zyzzxz 13.2,2xxyzyxyz. 14. 3232 a.323 15. 2xxCeyCe21.四.应用题17. 16 3.12xgtvtx.2.002《高等数学》试卷3（下）一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分） 2、设a=i+2j-k,b=2j+3k ，则a 与b 的向量积为（） A 、i-j+2k B 、8i-j+2k C 、8i-3j+2k D 、8i-3i+k3、点P （-1、-2、1）到平面x+2y-2z-5=0的距离为（） A 、2B 、3C 、4D 、54、函数z=xsiny 在点（1，）处的两个偏导数分别为（） 42A 、,22 2,2 B 、,22 2C 、2 22 2D 、2 22 2, 5、设x 2+y 2+z 2=2Rx ，则2+y 2+z 2=2Rx ，则z x z,分别为（）yA 、x R z yx ,B 、 z z R yxRy ,C 、,D 、 zzzx z R , y z 6、设圆心在原点，半径为R ，面密度为2y 2 x 的薄板的质量为（）（面积A= 2 R ）1A 、R2AB 、2R 2AC 、3R 2AD 、RA22n xn7、级数(1)的收敛半径为（）nn1A 、2B 、1 2C 、1D 、38、cosx 的麦克劳林级数为（）A 、 ( n0 n 1) ( 2n x 2n)!B 、 (1) n1n 2n x (2n)! C 、 n 0 ( 1) n 2n x (2n)!D 、 n 0 ( 1) n ( 2n x 2n 1 1)!二、填空题（本题共5小题，每题4分，共20分）___________。
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一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上）1、已知向量a 、b满足0a b += ，2a = ，2b = ，则a b ⋅= ．2、设ln()z x xy =，则32zx y∂=∂∂ ． 3、曲面229x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 ．4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于 ，在x π=处收敛于 ．5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则()Lx y ds +=⎰ ．※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分）1、求曲线2222222393x y z z x y⎧++=⎪⎨=+⎪⎩在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、求由曲面2222z x y =+及226z x y =--所围成的立体体积． 3、判定级数11(1)lnn n n n∞=+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z zx x y∂∂∂∂∂． 5、计算曲面积分,dSz ∑⎰⎰其中∑是球面2222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部． 三、（本题满分9分） 抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值．（本题满分10分）计算曲线积分(sin )(cos )x x Le y m dx e y mx dy -+-⎰，其中m 为常数，L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周22(0)x y ax a +=>．四、（本题满分10分）求幂级数13nn n x n∞=⋅∑的收敛域及和函数．五、（本题满分10分）计算曲面积分332223(1)I x dydz y dzdx zdxdy ∑=++-⎰⎰，其中∑为曲面221(0)z x y z =--≥的上侧．六、（本题满分6分）设()f x 为连续函数，(0)f a =，222()[()]tF t z f x y z dv Ω=+++⎰⎰⎰，其中t Ω是由曲面z =与z =所围成的闭区域，求 3()lim t F t t +→． 高等数学A(下册)期末考试试题【A 卷】参考解答与评分标准 2009年6月一、填空题【每小题4分，共20分】 1、4-； 2、21y-；3、2414x y z ++=； 4、3，0； 5二、试解下列各题【每小题7分，共35分】1、解：方程两边对x 求导，得323dydz y z x dx dx dy dz y z xdx dx ⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩， 从而54dy x dx y =-，74dz x dx z =…………..【4】 该曲线在()1,1,2-处的切向量为571(1,,)(8,10,7).488T == (5)故所求的切线方程为1128107x y z -+-==………………..【6】 法平面方程为()()()81101720x y z -+++-= 即 810712x y z ++= (7)２、解：2222226z x y z x y ⎧=+⇒⎨=--⎩222x y +=，该立体Ω在xOy 面上的投影区域为22:2xy D x y +≤． (2)故所求的体积为Vdv Ω=⎰⎰⎰222620202(63)6d d dz d πρρθρπρρπ-==-=⎰⎰ (7)３、解：由11lim lim ln(1)limln(1)10nn n n n n u n n n →∞→∞→∞=+=+=>，知级数1n n u ∞=∑发散 (3)又111||ln(1)ln(1)||1nn u u n n +=+>+=+,1lim ||limln(1)0n n n u n→∞→∞=+=.故所给级数收敛且条件收敛．【7】 ４、解：121211()0z f y f yf f x y y∂''''=⋅+⋅+=+∂， …………………………………【3】 2111122212222211[()][()]z x xf y f x f f f x f x y y y y y∂''''''''''=+⋅+⋅--+⋅+⋅-∂∂111222231.x f xyf f f y y ''''''=+--【7】 ５、解：∑的方程为z =∑在xOy 面上的投影区域为2222{(,)|}xy D x y x y a h =+≤-．=…..………【３】故22222200xyD dS adxdy d a d z a x y a πρρθρ∑==---⎰⎰⎰⎰⎰22012ln()2ln 2aa a a hπρπ⎡=--=⎢⎥⎣⎦..【7】三、【9分】解：设(,,)M x y z 为该椭圆上的任一点，则点M到原点的距离为d =【1】令22222(,,)()(1)L x y z xy z z x y x y z λμ=+++--+++-，则由22220220201x y z L x x L y y L z z x yx y z λμλμλμ=-+=⎧⎪=-+=⎪⎪=++=⎨⎪=+⎪++=⎪⎩，解得x y ==2z =121111(,2(2222M M -+----…………………【7】 又由题意知，距离的最大值和最小值一定存在，所以距离的最大值与最小值分别在这两点处取得．故max2min 1||||d OM d OM ==== (9)四、【10分】 解：记L 与直线段OA 所围成的闭区域为D ，则由格林公式，得22(sin )(cos )8x x D L I e y m dx e y mx dy m d ma πσ+=-+-=-=-⎰⎰⎰ ． (5)而1(sin )(cos )ax xI e y m dx e y mx dy m dx ma =-+-=-=-⎰⎰ (8)∴221(sin )(cos ).8x x L e y m dx e y mx dy I I ma ma π-+-=-=-⎰ (10)五、【10分】解：()1131limlim 3133n n n n n n a n R a n ρ++→∞→∞===⇒=+，收敛区间为 (3,3)-…………【2】 又当3x =时，级数成为11n n ∞=∑，发散；当3x =-时，级数成为()11nn n ∞=-∑，收敛． (4)故该幂级数的收敛域为[)3,3- (5)令()13nn n x s x n ∞==∑（33x -≤<），则11111111()()33331/33n n n n n x x s x x x -∞∞-=='====--∑∑, (||3x <) ……【8】 于是()()000()()ln 3ln3ln 33x xx dxs x s x dx x x x '===--=---⎰⎰，（33x -≤<） (10)六、【10分】解：取1∑为220(1)z x y =+≤的下侧，记∑与1∑所围成的空间闭区域为Ω，则由高斯公式，有()()133222222316I x dydz y dzdx z dxdy x y z dv ∑+∑Ω=++-=++⎰⎰⎰⎰⎰ (5)()2211262d d z dz πρθρρρπ-=+=⎰⎰⎰ (7)而()()221133221122313133x y I x dydz y dzdx z dxdy z dxdy dxdy π∑∑+≤=++-=-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (9)2123.I I I πππ∴=-=-=- (10)七、【6分】解：()()2224000sin cos tF t d d r f r r dr ππθϕϕϕ⎡⎤=+⎣⎦⎰⎰⎰….… 【2】 ()3224400002sin cos sin t t d r dr d f r r dr πππϕϕϕϕϕ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰(()422028tt r f r dr π⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦⎰….… 【4】 故()(3222320002()222lim lim lim ().333t t t t t f t F t f t a t t π+++→→→⎡⎤+-⎢⎥--⎣⎦=== 【6】。