2012全国新课标理科数学试卷及答案
2012年新课标数学卷解析版(理科)
2012年新课标全国卷理科数学第Ⅰ卷一、选择题（每小题5分，共60分）1.已知复数z 的实部为1-，虚部为1，则zi2=（ ） A.i -1 B.i +1 C.i - D.i 1.【答案】A【解析】因为i z +-=1，则i i i i i i i z i -=--=--+---=1)1()1)(1)1(22（选A. 2. 双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2,则它的渐近线方程是（ ）A.y =B.y =C.3y x =±D.32y x =±2.【答案】A 【解析】∵2c a =，∴222222214c a b b a a a+==+=，所以b a =方程为y =.3.如果对于任意实数a,b(a<b),随机变量X 服从正态分布,记为),(2σμN ,若X ～（0，1）,1(1)3P x >=,则(10)P x -≤<=（ ）A.16B. 13C.12D. 563.【答案】 A 【解析】根据正态分布函数图像的对称性可知(10)P x -≤<=11111(12)23236-⨯=-=. 4.若32{|xx A x A -+=有意义且}x Z ∈，()(){}|210B x x x =+-<，则()RAB ð=（ ）A.{}0,1B.{}0C.{}1D.Φ 4.【答案】C 【解析】{}1|3,1,2,32A x x x Z ⎧⎫=≤≤∈=⎨⎬⎩⎭，{}|12B x x x =><-或，{}|21R B x x =-≤≤ð，所以(){}1RAB =ð.法二：特值验证0A ∉，A ，B 选项错误，1,1A B ∈∉中，所以1在()RA B ð中，答案为C.【易错提示】注意排列上下标所满足的条件.5.如图所示得程序框图若输入5n =，则输出的n 为（ ）A. 3-B. 1-C. 1D. 35.【答案】B 【解析】第一次循环之后：3n =；第二次循环之后：1n =；第三次循环之后：1n =-，这时对应函数1()f x x=在()0,+∞上为减函数，输出1n =-.答案为B. 【易错提示】具有循环结构的流程图问题，最有效的求解方法之一就是当循环次数比较少时，把每一次循环之后每个变量的取值都一一列出，当循环次数比较多时，利用数列通项把每次循环之后每个变量的取值一一列出，否则容易出现错误. 6.已知向量(1,2),(,4)a b x ==且a b ，则a b =（ ）A.10-B.10C. 6.【答案】B 【解析】因为a b ，所以420,2x x +==-，故10a b =-，10a b =.7.一组数据3，4，5，,s t 的平均数是4，这组数据的中位数是m,则过点P （4s t ⎛+ ⎝和Q （m,m ）的直线与直线4y x =-+的位置关系是（ ）A.平行B.相交但不垂直C.垂直D.重合 7.【答案】C 【解析】由3，4，5，,s t 的平均数是4可得4,42s tm +==，所以P （2,2），Q （4,4），过点PQ 的直线斜率为1，故直线PQ 与直线4y x =-+垂直. 【易错警示】没有注意整体求出s t +，一直想单独求出,s t ，钻进死胡同.8.===，，若=（,m n 为正整数），类比以上等式，可推测出则,m n 的值，则1831()nm x x+-展开式的常数项是（ ）A.28B.-28C.56D.-56 8.【答案】B 【解析】归纳可知38,81m n ==-，164n m +=，故二项式为831()x x-，所以常数项为()2238128T C =-=.【易错警示】不能很好地运用归纳法从已知的几个等式中归纳出38,81m n ==-，解题受阻..9.已知()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<，其导函数()f x '的图像如图所示，则()f x π-的解析式为（ ）A.12sin()24y x π=-B.14sin()24y x π=-C.132sin()24y x π=-D.14sin()24y x π=+9.【答案】B 【解析】()cos()f x A x ωωϕ'=+，由图可以知道()f x '的周期为4π，所以12ω=，又因为2A ω=，所以4A =，故1()4sin()2f x x ϕ=+，由第一零点法可知1322πϕπ⨯+=，4πϕ=，所以1()4sin()24f x x ππ-=-. 【易错警示】误以为所给是函数()f x 的图像，造成答非所问.10.如果点P 在平面区域22020210x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩内，点Q 在曲线22(2)1x y ++=上，则PQ 的最大值与最小值之差为（ ）10.【答案】C 【解析】22020210x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩对应的平面区域如图所示，PQ 的最小值为圆心到三条边界线的距离减去圆的半径，到直线220x y -+=的11=，到直线210y -=的距离减去圆的半径为32，到直线20x y +-=的距离减去圆的半径为1，所以最小值为32；最大值为圆心到B 点的距离加上圆的半径，即4+1=5，所以最大值与最小值之差为6-. 【易错警示】简单粗略的习惯性认为到圆上距离最小和最大的点是三角形都是ABC 的顶点，认识出现偏差，错误解题.11.已知正项等比数列{}n a 满足：2012201120102a a a =+，14a =，则116m n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值为（ ） A.23B.2C.4D.6 11.【答案】C 【解析】由题意知22010201020102a q a q a =+，化简得220q q --=，所以1q =-（舍）或2q =，14a =可得1122216m n a q a +-=，所以2422m n +-=，故6m n +=，所以()1111624n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当n m m n =，也就是3m n ==时取“=”.12.抛物线22(0)y px p =>焦点为F ，准线为l ，经过F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，交准线于C 点，点A 在x 轴上方，AK ⊥l ，垂足为K ，若|BC|=2|BF|，且|AF|=4，则△AKF的面积是 （ ）A.4B. C. D.812.C 【解析】如图，引BN l ⊥垂足为N ，设抛物线的准线与x 轴交与M 点，由抛物线定义可得|BF|=|NN|，因为|BC|=2|BF|，所以|BC|=2|BN|，故在RT NBC ∆中，030BCN ∠=，所以在RT CFM ∆中，|CF|=2|FM|，同理知|CA|=2|AK|，因为|AK|=|AF|=4，所以|CF|=4，所以P=|FM|=2，|NB|=43，故114222AKF ACK CKF S S S ∆∆∆=-=⨯⨯⨯⨯= C.【命题要点】本题以直线和抛物线相交为背景，把解析几何与平面几何结合，考查了抛物线定义，方程、简单几何性质等基本知识，考查了数形结合的数学思想和运算能力，属于难题.第Ⅱ卷二、填空题（每小题5分，共20分）13. 2011年8月12日—2011年8月23日第二十六届世界大学生运动会将在我国深圳举行，某一网站调查对比了年龄高于40岁和不高于40岁的人对大运会吉祥物“UU ”（如图所示）的喜爱程度，40岁以上调查的122人与不高于40岁调查的178人所得数据制成如下联表：若工作人员从所有统计结果中任取一个，取到很喜爱吉祥物“UU ”的人的概率为1925，则B A -=13.【答案】156 【解析】设从所有人中任意抽取一个取到很喜爱吉祥物“UU ”的人为事件A ，由已知14319()30025x p A +==，所以85,228,37,72x B y A ====，156B A -=.14.一个圆锥被过顶点的平面截去了较小的一部分几何体，余下的几何体的三视图如图，则该圆锥的体积为14.【答案】8π3【解析】该几何体的直观图如图所示，由正视图得PB =得。
2012年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标)
2012年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则B中所含元素的个数为（）A．3 B．6 C．8 D．102．（5分）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）A．12种B．10种C．9种 D．8种3．（5分）下面是关于复数z=的四个命题：其中的真命题为（），p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为1+i，p4：z的虚部为﹣1．A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p44．（5分）设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A．B．C．D．5．（5分）已知{a n}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（）A．7 B．5 C．﹣5 D．﹣76．（5分）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，a n，输出A，B，则（）A．A+B为a1，a2，…，a n的和B．为a1，a2，…，a n的算术平均数C．A和B分别是a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数D．A和B分别是a1，a2，…，a n中最小的数和最大的数7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．6 B．9 C．12 D．188．（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于点A和点B，|AB|=4，则C的实轴长为（）A．B．C．4 D．89．（5分）已知ω＞0，函数f（x）=sin（ωx+）在区间[，π]上单调递减，则实数ω的取值范围是（）A．B．C． D．（0，2]10．（5分）已知函数f（x）=，则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．11．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为（）A．B．C．D．12．（5分）设点P在曲线上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|最小值为（）A．1﹣ln2 B．C．1+ln2 D．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知向量夹角为45°，且，则=．14．（5分）设x，y满足约束条件：；则z=x﹣2y的取值范围为．15．（5分）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，502），且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为．16．（5分）数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前60项和为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC ﹣ccosA．（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．18．（12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列，数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD（1）证明：DC1⊥BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．20．（12分）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．21．（12分）已知函数f（x）满足f（x）=f′（1）e x﹣1﹣f（0）x+x2；（1）求f（x）的解析式及单调区间；（2）若，求（a+1）b的最大值．四、请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22．（10分）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：（1）CD=BC；（2）△BCD∽△GBD．23．选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．2012年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2012•新课标）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y ∈A，x﹣y∈A}，则B中所含元素的个数为（）A．3 B．6 C．8 D．10【分析】由题意，根据集合B中的元素属性对x，y进行赋值得出B中所有元素，即可得出B中所含有的元素个数，得出正确选项【解答】解：由题意，x=5时，y=1，2，3，4，x=4时，y=1，2，3，x=3时，y=1，2，x=2时，y=1综上知，B中的元素个数为10个故选D2．（5分）（2012•新课标）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）A．12种B．10种C．9种 D．8种【分析】将任务分三步完成，在每步中利用排列和组合的方法计数，最后利用分步计数原理，将各步结果相乘即可得结果【解答】解：第一步，为甲地选一名老师，有=2种选法；第二步，为甲地选两个学生，有=6种选法；第三步，为乙地选1名教师和2名学生，有1种选法故不同的安排方案共有2×6×1=12种故选A3．（5分）（2012•新课标）下面是关于复数z=的四个命题：其中的真命题为（），p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为1+i，p4：z的虚部为﹣1．A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p4【分析】由z===﹣1﹣i，知，，p3：z的共轭复数为﹣1+i，p4：z的虚部为﹣1，由此能求出结果．【解答】解：∵z===﹣1﹣i，∴，，p3：z的共轭复数为﹣1+i，p4：z的虚部为﹣1，故选C．4．（5分）（2012•新课标）设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A．B．C．D．【分析】利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P为直线x=上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．【解答】解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，∴|PF2|=|F2F1|∵P为直线x=上一点∴∴故选C．5．（5分）（2012•新课标）已知{a n}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（）A．7 B．5 C．﹣5 D．﹣7【分析】由a4+a7=2，及a5a6=a4a7=﹣8可求a4，a7，进而可求公比q，代入等比数列的通项可求a1，a10，即可【解答】解：∵a4+a7=2，由等比数列的性质可得，a5a6=a4a7=﹣8∴a4=4，a7=﹣2或a4=﹣2，a7=4当a4=4，a7=﹣2时，，∴a1=﹣8，a10=1，∴a1+a10=﹣7当a4=﹣2，a7=4时，q3=﹣2，则a10=﹣8，a1=1∴a1+a10=﹣7综上可得，a1+a10=﹣7故选D6．（5分）（2012•新课标）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，a n，输出A，B，则（）A．A+B为a1，a2，…，a n的和B．为a1，a2，…，a n的算术平均数C．A和B分别是a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数D．A和B分别是a1，a2，…，a n中最小的数和最大的数【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是求出a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知，该程序的作用是：求出a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数其中A为a1，a2，…，a n中最大的数，B为a1，a2，…，a n中最小的数故选：C．7．（5分）（2012•新课标）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．6 B．9 C．12 D．18【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据求出几何体的体积即可．【解答】解：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为3；底面三角形斜边长为6，高为3的等腰直角三角形，此几何体的体积为V=×6×3×3=9．故选B．8．（5分）（2012•新课标）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于点A和点B，|AB|=4，则C的实轴长为（）A．B．C．4 D．8【分析】设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x的准线l：x=﹣4，由C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，，能求出C的实轴长．【解答】解：设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x的准线l：x=﹣4，∵C与抛物线y2=16x的准线l：x=﹣4交于A，B两点，∴A（﹣4，2），B（﹣4，﹣2），将A点坐标代入双曲线方程得=4，∴a=2，2a=4．故选C．9．（5分）（2012•新课标）已知ω＞0，函数f（x）=sin（ωx+）在区间[，π]上单调递减，则实数ω的取值范围是（）A．B．C． D．（0，2]【分析】法一：通过特殊值ω=2、ω=1，验证三角函数的角的范围，排除选项，得到结果．法二：可以通过角的范围，直接推导ω的范围即可．【解答】解：法一：令：不合题意排除（D）合题意排除（B）（C）法二：，得：．故选A．10．（5分）（2012•新课标）已知函数f（x）=，则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】考虑函数f（x）的分母的函数值恒小于零，即可排除A，C，由f（x）的定义域能排除D，这一性质可利用导数加以证明【解答】解：设则g′（x）=∴g（x）在（﹣1，0）上为增函数，在（0，+∞）上为减函数∴g（x）＜g（0）=0∴f（x）=＜0得：x＞0或﹣1＜x＜0均有f（x）＜0排除A，C，又f（x）=中，，能排除D．故选B11．（5分）（2012•新课标）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为（）A．B．C．D．【分析】根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出OO1，进而求出底面ABC上的高SD，即可计算出三棱锥的体积．【解答】解：根据题意作出图形：设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．∵CO1==，∴OO1==，∴高SD=2OO1=，∵△ABC是边长为1的正三角形，=，∴S△ABC∴V==．三棱锥S﹣ABC故选：C．12．（5分）（2012•新课标）设点P在曲线上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|最小值为（）A．1﹣ln2 B．C．1+ln2 D．【分析】由于函数与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x对称，要求|PQ|的最小值，只要求出函数上的点到直线y=x的距离为的最小值，设g（x）=，利用导数可求函数g（x）的单调性，进而可求g（x）的最小值，即可求．【解答】解：∵函数与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x对称，函数上的点到直线y=x的距离为，设g（x）=（x＞0），则，由≥0可得x≥ln2，由＜0可得0＜x＜ln2，∴函数g（x）在（0，ln2）单调递减，在[ln2，+∞）单调递增，∴当x=ln2时，函数g（x）min=1﹣ln2，，由图象关于y=x对称得：|PQ|最小值为．故选B．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）（2012•新课标）已知向量夹角为45°，且，则=3．【分析】由已知可得，=，代入|2|====可求【解答】解：∵，=1∴=∴|2|====解得故答案为：314．（5分）（2012•新课标）设x，y满足约束条件：；则z=x﹣2y的取值范围为．【分析】先作出不等式组表示的平面区域，由z=x﹣2y可得，y=，则﹣表示直线x﹣2y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越小，结合函数的图形可求z的最大与最小值，从而可求z的范围【解答】解：作出不等式组表示的平面区域由z=x﹣2y可得，y=，则﹣表示直线x﹣2y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越小结合函数的图形可知，当直线x﹣2y﹣z=0平移到B时，截距最大，z最小；当直线x﹣2y﹣z=0平移到A时，截距最小，z最大由可得B（1，2），由可得A（3，0）∴Z max=3，Z min=﹣3则z=x﹣2y∈[﹣3，3]故答案为：[﹣3，3]15．（5分）（2012•新课标）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，502），且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为．【分析】先根据正态分布的意义，知三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为，而所求事件“该部件的使用寿命超过1000小时”当且仅当“超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常”和“超过1000小时时，元件3正常”同时发生，由于其为独立事件，故分别求其概率再相乘即可【解答】解：三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N（1000，502）得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为设A={超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常}，B={超过1000小时时，元件3正常}C={该部件的使用寿命超过1000小时}则P（A）=，P（B）=P（C）=P（AB）=P（A）P（B）=×=故答案为16．（5分）（2012•新课标）数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前60项和为1830．【分析】由题意可得a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97，变形可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a7=2，a12+a10=40，a13+a15=2，a16+a14=56，…利用数列的结构特征，求出{a n}的前60项和+（﹣1）n a n=2n﹣1，【解答】解：∵a n+1∴有a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97．从而可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a11=2，a12+a10=40，a13+a11=2，a16+a14=56，…从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．∴{a n}的前60项和为15×2+（15×8+）=1830，故答案为：1830．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）（2012•新课标）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC﹣ccosA．（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．【分析】（1）由正弦定理有：sinAsinC﹣sinCcosA﹣sinC=0，可以求出A；（2）有三角形面积以及余弦定理，可以求出b、c．【解答】解：（1）c=asinC﹣ccosA，由正弦定理有：sinAsinC﹣sinCcosA﹣sinC=0，即sinC•（sinA﹣cosA﹣1）=0，又，sinC≠0，所以sinA﹣cosA﹣1=0，即2sin（A﹣）=1，所以A=；（2）S=bcsinA=，所以bc=4，△ABCa=2，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即4=b2+c2﹣bc，即有，解得b=c=2．18．（12分）（2012•新课标）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列，数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．【分析】（1）根据卖出一枝可得利润5元，卖不出一枝可得赔本5元，即可建立分段函数；（2）（i）X可取60，70，80，计算相应的概率，即可得到X的分布列，数学期望及方差；（ii）求出进17枝时当天的利润，与购进16枝玫瑰花时当天的利润比较，即可得到结论．【解答】解：（1）当n≥16时，y=16×（10﹣5）=80；当n≤15时，y=5n﹣5（16﹣n）=10n﹣80，得：（2）（i）X可取60，70，80，当日需求量n=14时，X=60，n=15时，X=70，其他情况X=80，P（X=60）===0.1，P（X=70）=0.2，P（X=80）=1﹣0.1﹣0.2=0.7，X的分布列为X607080P0.10.20.7EX=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76DX=162×0.1+62×0.2+42×0.7=44（ii）购进17枝时，当天的利润的期望为y=（14×5﹣3×5）×0.1+（15×5﹣2×5）×0.2+（16×5﹣1×5）×0.16+17×5×0.54=76.4∵76.4＞76，∴应购进17枝19．（12分）（2012•新课标）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=AA1，D 是棱AA1的中点，DC1⊥BD（1）证明：DC1⊥BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．【分析】（1）证明DC1⊥BC，只需证明DC1⊥面BCD，即证明DC1⊥DC，DC1⊥BD；（2）证明BC⊥面ACC1A1，可得BC⊥AC取A1B1的中点O，过点O作OH⊥BD于点H，连接C1O，C1H，可得点H与点D重合且∠C1DO是二面角A1﹣BD﹣C1的平面角，由此可求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．【解答】（1）证明：在Rt△DAC中，AD=AC，∴∠ADC=45°同理：∠A1DC1=45°，∴∠CDC1=90°∴DC1⊥DC，DC1⊥BD∵DC∩BD=D∴DC1⊥面BCD∵BC⊂面BCD∴DC1⊥BC（2）解：∵DC1⊥BC，CC1⊥BC，DC1∩CC1=C1，∴BC⊥面ACC1A1，∵AC⊂面ACC1A1，∴BC⊥AC取A1B1的中点O，过点O作OH⊥BD于点H，连接C1O，OH∵A1C1=B1C1，∴C1O⊥A1B1，∵面A1B1C1⊥面A1BD，面A1B1C1∩面A1BD=A1B1，∴C1O⊥面A1BD而BD⊂面A1BD∴BD⊥C1O，∵OH⊥BD，C1O∩OH=O，∴BD⊥面C1OH∴C1H⊥BD，∴点H与点D重合且∠C1DO是二面角A1﹣BD﹣C1的平面角设AC=a，则，，∴sin∠C1DO=∴∠C1DO=30°即二面角A1﹣BD﹣C1的大小为30°20．（12分）（2012•新课标）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．【分析】（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p点A到准线l的=，知距离，由△ABD的面积S△ABD=，由此能求出圆F的方程．（2）由对称性设，则点A，B关于点F对称得：，得：，由此能求出坐标原点到m，n距离的比值．【解答】解：（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p点A到准线l的距离，=，∵△ABD的面积S△ABD∴=，解得p=2，所以F坐标为（0，1），∴圆F的方程为x2+（y﹣1）2=8．（2）由题设，则，∵A，B，F三点在同一直线m上，又AB为圆F的直径，故A，B关于点F对称．由点A，B关于点F对称得：得：，直线，切点直线坐标原点到m，n距离的比值为．21．（12分）（2012•新课标）已知函数f（x）满足f（x）=f′（1）e x﹣1﹣f（0）x+x2；（1）求f（x）的解析式及单调区间；（2）若，求（a+1）b的最大值．【分析】（1）对函数f（x）求导，再令自变量为1，求出f′（1）得到函数的解析式及导数，再由导数求函数的单调区间；（2）由题意，借助导数求出新函数的最小值，令其大于0即可得到参数a，b 所满足的关系式，再研究（a+1）b 的最大值【解答】解：（1）令x=1得：f（0）=1∴令x=0，得f（0）=f'（1）e﹣1=1解得f'（1）=e故函数的解析式为令g（x）=f'（x）=e x﹣1+x∴g'（x）=e x+1＞0，由此知y=g（x）在x∈R上单调递增当x＞0时，f'（x）＞f'（0）=0；当x＜0时，有f'（x）＜f'（0）=0得：函数的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（﹣∞，0）（2）得h′（x）=e x﹣（a+1）①当a+1≤0时，h′（x）＞0⇒y=h（x）在x∈R上单调递增，x→﹣∞时，h（x）→﹣∞与h（x）≥0矛盾②当a+1＞0时，h′（x）＞0⇔x＞ln（a+1），h'（x）＜0⇔x＜ln（a+1）得：当x=ln（a+1）时，h（x）min=（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）﹣b≥0，即（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）≥b∴（a+1）b≤（a+1）2﹣（a+1）2ln（a+1），（a+1＞0）令F（x）=x2﹣x2lnx（x＞0），则F'（x）=x（1﹣2lnx）∴当时，即当时，（a+1）b的最大值为四、请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22．（10分）（2012•新课标）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：（1）CD=BC；（2）△BCD∽△GBD．【分析】（1）根据D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，可得DE∥BC，证明四边形ADCF是平行四边形，即可得到结论；（2）证明两组对应角相等，即可证得△BCD～△GBD．【解答】证明：（1）∵D，E分别为△ABC边AB，AC的中点∴DF∥BC，AD=DB∵AB∥CF，∴四边形BDFC是平行四边形∴CF∥BD，CF=BD∴CF∥AD，CF=AD∴四边形ADCF是平行四边形∴AF=CD∵，∴BC=AF，∴CD=BC．（2）由（1）知，所以．所以∠BGD=∠DBC．因为GF∥BC，所以∠BDG=∠ADF=∠DBC=∠BDC．所以△BCD～△GBD．23．（2012•新课标）选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【分析】（1）确定点A，B，C，D的极坐标，即可得点A，B，C，D的直角坐标；（2）利用参数方程设出P的坐标，借助于三角函数，即可求得|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【解答】解：（1）点A，B，C，D的极坐标为点A，B，C，D的直角坐标为（2）设P（x0，y0），则为参数）t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ∵sin2φ∈[0，1]∴t∈[32，52]24．（2012•新课标）已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．【分析】（1）不等式等价于，或，或，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（2）原命题等价于﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即①，或②，或③．解①可得x≤1，解②可得x∈∅，解③可得x≥4．把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为{x|x≤1或x≥4}．（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．故当1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x的最小值为0，故a的取值范围为[﹣3，0]．。
2012年高考理科数学(全国卷)含答案及解析
2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修II ）一、 选择题（1）、复数131i i-++= A. 2 B. 2 C. 12 D. 12i i i i +-+- 【考点】复数的计算【难度】容易【答案】C 【解析】13(13)(1)24121(1)(1)2i i i i i i i i -+-+-+===+++-. 【点评】本题考查复数的计算。
在高二数学（理）强化提高班下学期，第四章《复数》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算。
在高考精品班数学（理）强化提高班中有对复数相关知识的总结讲解。
（2）、已知集合A ＝{1.3. m }，B ＝{1，m } ,A B ＝A , 则m =A. 0或3B. 0或3C. 1或3D. 1或3【考点】集合【难度】容易【答案】B【解析】(1,3,),(1,)30,1()3A B A B A A m B m m A m m m m m m ⋃=∴⊆==∴∈∴==∴===或舍去.【点评】本题考查集合之间的运算关系，及集合元素的性质。
在高一数学强化提高班下学期课程讲座1，第一章《集合》中有详细讲解，其中第02讲中有完全相同类型题目的计算。
在高考精品班数学（理）强化提高班中有对集合相关知识及综合题目的总结讲解。
（3） 椭圆的中心在原点，焦距为4， 一条准线为x =﹣4 ，则该椭圆的方程为 A. 216x +212y =1 B. 212x +28y =1 C. 28x +24y =1 D. 212x +24y =1 【考点】椭圆的基本方程【难度】容易【答案】C【解析】椭圆的一条准线为x =﹣4,∴2a =4c 且焦点在x 轴上，∵2c =4∴c =2，a =22∴椭圆的方程为22=184x y + 【点评】本题考查椭圆的基本方程，根据准线方程及焦距推出椭圆的方程。
在高二数学（理）强化提高班，第六章《圆锥曲线与方程》中有详细讲解，其中在第02讲有相似题目的详细讲解。
2012年全国统一考试理科数学(新课标)(word完整版)
2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，1. 已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x ，y ）|x ∈A ，y ∈A ，x-y ∈A}，则B 中所含元素的个数为（ ）A. 3B. 6C. 8D. 102. 将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组有1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ） A. 12种 B. 10种 C. 9种 D. 8种3．下面是关于复数z=21i-+的四个命题P1：z =2 p2: 2z =2i P3: z 的共轭复数为1+I P4：z 的虚部为-1 其中真命题为（ ）A . P2, P3B . P1, P2 C. P2, P4 D. P3, P44．设F1，F2是椭圆E ：22x a +22yb=1 (a ＞b ＞0)的左、右焦点 ，P 为直线x=23a 上的一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ ） A.12 B. 23 C. 34 D. 455. 已知{a n }为等比数列， a 4+a 1=2 a 5a 6＝-8 则a 1+a 10 =( ) A. 7 B. 5 C. -5 D. -76. 如果执行右边的程序图，输入正整数N （N ≥2）和实数a 1.a 2,…a n ，输入A,B,则( ) A . A+B 为a 1a 2,…，a n 的和 B.2A B+为a 1a 2.…，a n 的算式平均数 C. A 和B 分别是a 1a 2,…a n 中最大的数和最小的数 D. A 和B 分别是a 1a 2,…a n 中最小的数和最大的数 7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为()A. 6B. 9C. 12D. 188. 等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于A ，B 两点，34||=AB ，则C 的实轴长为( )B. C. 4 D . 8 9. 已知w ＞0，函数)4sin()(πω+=x x f 在),2(ππ单调递减，则w 的取值范围是( )A. ]45,21[B. ]43,21[ C. ]21,0( D. ]2,0(10. 已知函数x f =1)(，则)(x f y =的图像大致为()11. 已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为O 的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为( )12. 设点P 在曲线x ey 21=上，点Q 在曲线)2ln(x y =上，则|PQ|的最小值为( ) A. 2ln 1- B.)2ln 1(2- C. 2ln 1+ D.)2ln 1(2+第Ⅱ卷 二。
2012年高考理科数学全国卷1(含答案解析)
绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷1）数学（理科）适用地区：海南、宁夏、黑龙江、吉林、山西、河南、新疆、云南、河北、内蒙古 注息事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.2. 回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动.用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3. 回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,)|,,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈,则B 中所含元素的个数为（ ）A . 3B . 6C . 8D . 102. 将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有（ ）A . 12种B . 10种C . 9种D . 8种3. 下面是关于复数21iz =-+的四个命题： 1:||2p z =；22:2i p z =；3:p z 的共轭复数为1i +；4:p z 的虚部为1-.其中的真命题为（ ）A . 23,p pB . 12,p pC . 24,p pD . 34,p p4. 设1F ,2F 是椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点,P 为直线32ax =上一点,21F PF △是底角为30的等腰三角形,则E 的离心率为（ ）A . 12B . 23C . 34D . 455. 已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=（ ） A . 7 B . 5 C . 5-D . 7-6. 如果执行右边的程序框图,输入正整数(2)N N ≥和实数1a ,2a ,,N a ,输出A ,B ,则（ ）A . AB +为1a ,2a ,,N a 的和B .2A B+为1a ,2a ,,N a 的算术平均数C . A 和B 分别是1a ,2a ,,N a 中最大的数和最小的数D . A 和B 分别是1a ,2a ,,N a 中最小的数和最大的数7. 如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为（ ）A . 6B . 9C . 12D . 188. 等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上,C 与抛物线216y x =的准线交于A ,B 两点,||43AB =,则C 的实轴长为（ ）A .2B . 22C . 4D . 89. 已知0ω>,函数π()sin()4f x x ω=+在π(,π)2上单调递减,则ω的取值范围是 （ ） A . 15[,]24B . 13[,]24C . 1(0,]2D . (0,2] 10. 已知函数1()ln(1)f x x x=+-,则()y f x =的图象大致为（ ）ABCD11. 已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上,ABC △是边长为1的正三角形,SC 为球O 的直径,且2SC =,则此棱锥的体积为（ ）A . 26B . 36C . 23D . 2212. 设点P 在曲线1e 2x y =上,点Q 在曲线ln(2)y x =上,则||PQ 的最小值为（ ）A . 1ln2-B . 2(1ln 2)-C . 1ln2+D .2(1ln 2)+第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22～24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.13. 已知向量a ,b 夹角为45,且||1=a ,2|10-=|a b ,则|=|b _________.14. 设x ,y 满足约束条件1300x y x y x y --⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≥，≤，≥，≥，则2z x y =-的取值范围为_________.姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效--------15. 某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布2(1 000,50)N ,且各个元件能否正常工作相互独立,那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为_________.16. 数列{}n a 满足1(1)21nn n a a n ++-=-,则{}n a 的前60项和为_________.三、解答题：本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知a ,b ,c 分别为ABC △三个内角A ,B ,C 的对边,cos 3sin 0a C a C b c +--=. （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若2a =,ABC △的面积为3,求b ,c .18.（本小题满分12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的玫瑰花做垃圾处理.（Ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：枝,n ∈N ）的函数解析式；（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝）,整理得下表：日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量的概率.（ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花,X 表示当天的利润（单位：元）,求X 的分布列、数学期望及方差；（ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.19.（本小题满分12分）如图,直三棱柱111ABC A B C -中,112AC BC AA ==,D 是棱1AA 的中点,1DC BD ⊥. （Ⅰ）证明：1DC BC ⊥；（Ⅱ）求二面角11A BD C --的大小.20.（本小题满分12分）设抛物线C ：22(0)x py p =>的焦点为F ,准线为l ,A 为C 上一点,已知以F 为圆心,FA 为半径的圆F 交l 于B ,D 两点.（Ⅰ）若90BFD ∠=,ABD △的面积为42,求p 的值及圆F 的方程；（Ⅱ）若A ,B ,F 三点在同一直线m 上,直线n 与m 平行,且n 与C 只有一个公共点,求坐标原点到m ,n 距离的比值.21.（本小题满分12分）设函数121()(1)e(0)2x f x f f x x -'=-+.（Ⅰ）求()f x 的解析式及单调区间；（Ⅱ）若21()2f x x ax b ++≥,求(1)a b +的最大值.请考生在第22～24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图,D ,E 分别为ABC △边AB ,AC 的中点,直线DE 交ABC △的外接圆于F ,G 两点.若CF AB ∥,证明： （Ⅰ）CD BC =； （Ⅱ）BCD GBD △∽△.23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程是2cos ,3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程是2ρ=,正方形ABCD 的顶点都在2C 上,且A ,B ,C ,D 依逆时针次序排列,点A 的极坐标为π(2,)3. （Ⅰ）求点A ,B ,C ,D 的直角坐标；（Ⅱ）设P 为1C 上任意一点,求2222||||||||PA PB PC PD +++的取值范围.24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()|||2|f x x a x =++-.（Ⅰ）当3a =-时,求不等式()3f x ≥的解集；（Ⅱ）若()4|f x x -≤|的解集包含[1,2],求a 的取值范围.FGDE AB C2012年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷1）理科数学答案解析可知：该程序的作用是：求出12naa a，，，中最大的数和最小的数其中A为12naa a，，，中最大的数，B为12naa a，，，中最小的数【提示】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是求出12na a a，，中最大的数和最小的数．【考点】循环结构．7.【答案】B【解析】该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为3；，12ω>∴，验证三角函数的角的范围，排除选项，得到结的范围即可．的部分图象确定其解析式．22222(2)44|a b|a b a a b b-=-=-+224||4||||cos45||a ab b=-︒+24|||10b b=-+=，解得||32b=【提示】由已知可得，2||||cos45||2ba ab b=︒=，代入2222(2)44a b|ab a a b b-=-=-+242||||10b b=-+=可求【考点】平面向量数量积的运算，平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．14.【答案】[]3,3-【解析】画出可行域，易知当直线2z x y=-经过点(1,2)时，z取最小值z x=-经过点(3,0)时，60(a++-(1117++=315959(()a a a a=++++奇177********S S=+=+⨯=奇偶141n nb a++=142242n na a++++++--{}na的前60sin0C>，0πA<<，由余弦定理可得222a b caab+-，22a b+-cos1A=，0πA<<ππ66=A∴（2）ABCS=△，2a A=，222a b c∴=+-．解得b c=【提示】（Ⅰ）由正弦定理及两角和的正弦公式可得sin cos sin sin cosA C A C++整理可求AX 的数学期望()550.1650.2750.16850.5476.4E X =⨯+⨯+⨯+⨯=，因为76.4>76，所以，直三棱柱，又1DC BD ⊥1DC D =2AB a =BDC ，1DC ∴（Ⅱ）由（Ⅰ）知，12DC a =Rt ABD △3,90a AD =AB ∴2AC BC +AC BC ∴⊥1BDA ，连结30． 30．轴，CB 为建立空间直角坐标系1(,0,2,0)(,0,A a a D a ，(,,DB a a =--1(,0,DC a =-11(,n x y =111100n DB ax az n DC ax ⎧=--=⎪⎨=-=⎪⎩，不妨令，故可取1(1,2,1)n =同理，可求得平面1DBA 的一个法向量2(1,1,0)n =设1n 与2n 的夹角为θ，则1212cos ||||6n n n n =⨯30．由图可知，二面角的大小为锐角，故二面角1A -．【提示】（Ⅰ）证明只需证明1DC DC ⊥⊥，（Ⅱ）证明BC ⊥BC AC ⊥取A 重合且C DO ∠()e h x '=x →-∞时，（2）当a （3）当a ()0f x '>10a +>CF ABCF AD，=∴=CD AF∥CF AB（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BCD∴△∽△【提示】（Ⅰ）角，即可得到结论；（Ⅱ）证明两组对应角相等，即可证得。
2012年新课标 高考理科数学试题(真题+答案+解析)
2012年普通高等学校招生全国统一考试数 学第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1、已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x ，y ）|x ∈A ，y ∈A ，x-y ∈A}，则B 中所含元素的个数为（A ）3 （B ）6 （C ）8 （D ）102、将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组有1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（A ）12种 （B ）10种 （C ）9种 （D ）8种 3、下面是关于复数z=21i-+的四个命题 P1：z =2 P2: 2z =2i P3:z 的共轭复数为1+i P4 ：z 的虚部为-1 其中真命题为（A ）. P2 ,P3 （B ） P1 ,P2 （C ）P2,P4 （D ）P3,P44、设F1，F2是椭圆E:22x a+22yb =1 (a ＞b ＞0)的左、右焦点 ，P 为直线32a x =上的一点，12PF F △是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为 （A ）12 （B ）23 （C ） 34 （D ）455、已知{n a }为等比数列，214=+a a ，865-=⋅a a ，则=+101a a（A ）7 （B ）5 （C ）-5 （D ）-7 6、如果执行右边的程序图，输入正整数)2(≥N N 和实数n a a a ⋯,,21，输入A ，B ，则 （A ）A+B 为的n a a a ⋯,,21和 （B ）2A B+为n a a a ⋯,,21的算式平均数（C ）A 和B 分别是n a a a ⋯,,21中最大的数和最小的数 （D ）A 和B 分别是n a a a ⋯,,21中最小的数和最大的数 7、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（A ）6 （B ）9 （C ）12 （D ）18 8、等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于A ，B 两点，34=AB ，则C 的实轴长为（A ）2 （B ） 22 （C ） 4 （D ）89、已知w ＞0，函数)4sin()(πω+=x x f 在),2(ππ单调递减，则ω的取值范围是（A ）]45,21[ （B ）]43,21[ （C ）]21,0( （D ）(0,2]10、已知函数xx x f -+=)1ln(1)(，则)(x f y =的图像大致为11、已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为O 的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（A ）26 （B ）36 （C ）23 （D ）2212、设点P 在曲线xe y 21=上，点Q 在曲线)2ln(x y =上，则|PQ|的最小值为 （A ）2ln 1- （B ）)2ln 1(2- （C ）2ln 1+ （D ）)2ln 1(2+第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2012年新课标全国高考数学卷(理)-附详解
绝密*启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注息事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.问答第Ⅰ卷时。
选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时。
将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。
第一卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． 已知集合{1,2,3,4,5},{(,)|,,}A B x y x A Y A X Y A ==∈∈-∈，则B 中所含元素的个数为A ．3B ．6C ．8D ．10【答案】D【解析】{(5,4),(5,3),(5,2),(5,1),(4,3),(4,2),(4,1),(3,2),(3,1),(2,1)}B =，所含元素个数为10.2． 将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有A ．12种B ．10种C ．9种D ．8种【答案】A【解析】122412C C ⋅=种安排方案。
3． 下面是关于复数21z i=-+的四个命题： 1P ：||2z =； 2P ：22z i =；3P ：z 的共轭复数为1i +； 4P : z 的虚部为-1.其中的真命题为A ．2P ，3PB ．1P , 2PC ．2P ，4PD ．3P ，4P【答案】C【解析】211z i i==---+，则||z 1P 是假命题；22(1)2z i i =--=，2P 是真命题；1z i =-+，3P 是假命题；z 的虚部为-1，4P 是真命题。
故选C 。
4． 设12,F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，21F PF ∆是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为A ．12B ．23C ．34D ．45【答案】C【解析】设P 在x 轴上的射影为Q 。
2012年高考理科数学(新课标卷)试题及答案[1]
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2012年全国卷新课标——数学理科（适用地区：吉林 黑龙江 山西、河南、新疆、宁夏、河北、云南、内蒙古） 本试卷包括必考题和选考题两部分，第1-21题为必考题，每个考生都必须作答.第22题~第24题，考生根据要求作答.一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1.已知集合}5,4,3,2,1{=A ，},,|),{(A y x A y A x y x B ∈-∈∈=，则B 中所含元素的个数为 A. 3B. 6C. 8D. 10【解析】选D.法一：按x y -的值为1，2，3，4计数，共432110+++=个；法二：其实就是要在1，2，3，4，5中选出两个，大的是x ，小的是y ，共2510C =种选法.2. 将2名教师，4名学生分成两个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由一名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有 A. 12种 B. 10种 C. 9种 D. 8种 【解析】选A.只需选定安排到甲地的1名教师2名学生即可，共1224C C 种安排方案. 3. 下面是关于复数iz +-=12的四个命题： :1P 2||=z:2P i z 22= :3P z的共轭复数为i +1:4P z的虚部为1-其中的真命题为A. 2P ，3PB. 1P ，2PC. 2P ，4PD. 3P ，4P【解析】选C.经计算， 221,21 z i z i i ==--=-+.4. 设21,F F 是椭圆:E12222=+by ax )0(>>b a 的左右焦点，P 为直线23a x =上的一点，12PF F △是底角为︒30的等腰三角形，则E 的离心率为A.21 B.32 C.43 D.54【解析】选C.画图易得,21F PF △是底角为30 的等腰三角形可得212PF F F =，即3222a c c ⎛⎫-= ⎪⎝⎭, 所以34c e a==.5. 已知}{n a 为等比数列，274=+a a ，865-=a a ，则=+101a a A.7B. 5C.5-D. 7-【解析】选D.472a a +=,56478a a a a ==-,474,2a a ∴==-或472,4a a =-=,14710,,,a a a a 成等比数列，1107a a ∴+=-. 6. 如果执行右边的程序框图，输入正整数N )2(≥N 和实数N a a a ,,,21 ，输出A ，B ，则A. B A +为N a a a ,,,21 的和B.2B A +为N a a a ,,,21 的算术平均数C. A 和B 分别是N a a a ,,,21 中最大的数和最小的数D. A 和B 分别是N a a a ,,,21 中最小的数和最大的数 【解析】选C.7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的 是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 A. 6 B. 9 C. 12 D. 18【解析】选B.由三视图可知，此几何体是底面为俯视图三角形，高为3的三棱锥，113932V =⨯⨯=.8. 等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于A ，B ，两点，34||=AB ，则的实轴长为A.2B. 22C. 4D. 8【解析】选C.易知点(4,-在222x y a -=上，得24a =，24a =. 9. 已知0>ω，函数)4sin()(πω+=x x f 在),2(ππ单调递减，则ω的取值范围是A. ]45,21[B. ]43,21[C. ]21,0(D. ]2,0(【解析】选A. 由322,22442Zk k k ππππππωπωπ+≤+<+≤+∈得，1542,24Zk k k ω+≤≤+∈，15024ωω>∴≤≤.10. 已知函数xx x f -+=)1ln(1)(，则)(x f y =的图像大致为【解析】选B.易知ln(1)0y x x =+-≤对()1,x ∈-+∞恒成立，当且仅当0x =时，取等号. 11. 已知三棱锥ABC S -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC △是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2=SC ，则此棱锥的体积为A.62 B.63C.32 D.22【解析】选A.易知点S到平面ABC的距离是点O到平面ABC的距离的2倍.显然O A B C-是棱长为1的正四面体，其高为3，故1234312O A B CV-=⨯⨯=，26S ABC O ABCV V--==12. 设点P在曲线x ey21=上，点Q在曲线)2ln(xy=上，则||PQ的最小值为A. 2ln1- B. )2ln1(2- C. 2ln1+ D. )2ln1(2+【解析】选B.12xy e=与ln(2)y x=互为反函数，曲线12xy e=与曲线ln(2)y x=关于直线y x=对称，只需求曲线12xy e=上的点P到直线y x=距离的最小值的2倍即可.设点1,2xP x e⎛⎫⎪⎝⎭，点P到直线y x=距离d=令()12xf x e x=-，则()112xf x e'=-.由()0f x'>得ln2x>；由()0f x'<得ln2x<，故当l n2x=时，()f x取最小值1ln2-.所以d=1xe x-=，mind=所以)min min||21ln2PQ d==-.二、填空题.本大题共4小题，每小题5分.13.已知向量a，b夹角为︒45，且1=||a，102=-||ba，则=||b.【解析】由已知得，()22222244||-=-=-a b a b a a b+b2244cos45=-a a b+b2410=-=+b，解得=b14.设y x ,满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+-≥-0031y x y x y x 则y x Z 2-=的取值范围为 .【解析】[]3,3-.画出可行域，易知当直线2Z x y =-经过点()1,2时，Z 取最小值3-；当直线2Z x y =-经过点()3,0时，Z 取最大值3.故2Z x y =-的取值范围为[]3,3-.15. 某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作.使用寿命（单位：小时）服从正态分布)50,1000(2N 那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 . 【解析】38 .由已知可得，三个电子元件使用寿命超过1000小时的概率均为12，所以该部件的使用寿命超过1000小时的概率为211311228⎡⎤⎛⎫--⨯=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.16. 数列}{n a 满足12)1(1-=-++n a a n n n ，则}{n a 的前60项和为 . 【解析】1830.由1(1)21n n n a a n ++-=-得，22143k k a a k --=-……① 21241k k a a k +-=-……②,再由②-①得, 21212k k a a +-+=……③由①得, ()()()214365S S a a a a a a -=-+-+-+奇偶…()6059a a +-159=+++…117+()11173017702+⨯==由③得, ()()()3175119S a a a a a a =++++++奇…()5959a a ++21530=⨯=所以, ()217702301830S S S S S S =+=-+=+⨯=60奇奇奇偶偶.三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分） 已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，0s i n 3c o s =--+c b C a C a .(Ⅰ) 求A ；(Ⅱ) 若2=a ，ABC △的面积为3，求b ，c .解：(Ⅰ)法一:由cos sin 0a C C b c +--=及正弦定理可得sin cos sin sin sin 0A C A CBC +--=,()sin cos sin sin sin 0A C A C A C C +-+-=,sin cos sin sin 0A C A C C --=,sin 0C > ,cos 10A A ∴--=,2sin 106A π⎛⎫∴--= ⎪⎝⎭,1sin 62A π⎛⎫-=⎪⎝⎭,0A π<< ，5666A πππ∴-<-<，66A ππ∴-=3A π∴=法二:由正弦定理可得sin sin a Cc A=，由余弦定理可得 222cos 2a b cC ab+-=.再由cos sin 0a C C b c +--=可得，222sin 02a b ca Abc ab+-⋅+--=，即2222sin 220a b c A b bc +-+--=，2222sin 220a b c A b bc +-+--=22212b c aA bc+--+=cos 1A A -=，2sin 16A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，1sin 62A π⎛⎫-=⎪⎝⎭， 0A π<< ，5666A πππ∴-<-<，66A ππ∴-=3A π∴=(Ⅱ)ABC S = △，1sin 24bc A bc ∴==4bc ∴=，2,3a A π==， 222222cos 4a b c bc A b c bc ∴=+-=+-=， 228b c ∴+=.解得2b c ==. 18. （本小题满分12分） 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理.(Ⅰ) 若花店某天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：枝，N n ∈）的函数解析式；（ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列、数学期望及方差； （ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由. 解：(Ⅰ)()()1080,1580,16 n n y n -≤⎧⎪=⎨≥⎪⎩（n N∈）；(Ⅱ) （ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X 的分布列为X 的数学期望()E X =60×0.1+70×0.2+80×0.7=76，X的方差()D X =(60-762)×0.1+(70-762)×0.2+(80-762)×0.7=44.X X的数学期望()E X =55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4，因为76.4>76，所以应购进17枝玫瑰花.19. （本小题满分12分）如图，直三棱柱111C B A ABC -中，121AA BC AC ==，D 是棱1AA 的中点，BDDC ⊥1(Ⅰ) 证明：BC DC ⊥1(Ⅱ) 求二面角11C BD A --的大小.(Ⅰ) 证明：设112A CBC A A a ===， 直三棱柱111C B A A B C -，1DC DC ∴==， 12C C a=，22211D C D C C C ∴+=，1D C D C ∴⊥.又1D C BD ⊥ ，1D C D C D = ，1DC ∴⊥平面B D C .B C ⊂平面B D C ,1D C BC ∴⊥.(Ⅱ)由 (Ⅰ)知，1DC =，1BC =，又已知BD DC ⊥1，BD ∴=. 在R t A B D △中，,,90BD AD a D AB ==∠= ，AB ∴=. 222AC BC AB ∴+=，A C B C ∴⊥.法一：取11A B 的中点E ，则易证1C E ⊥平面1B D A ，连结D E ，则1C E ⊥B D ， 已知BD DC ⊥1，B D ∴⊥平面1D C E ，B D ∴⊥D E ，1C D E∴∠是二面角11C BD A --平面角.在1Rt C D E △中，1111sin 2C E C D E C D∠===，130C D E ∴∠= .即二面角11C BD A --的大小为30 .法二：以点C 为坐标原点，为x 轴，C B 为y 轴,1C C 为z 轴,建立空间直角坐标系C xyz -.则()()()()11,0,2,0,,0,,0,,0,0,2A a a B a D a a C a .()()1,,,,0,DB a a a DC a a =--=- ，设平面1D B C 的法向量为()1111,,n x y z =，则1111110n D B ax ay az n D C ax az ⎧=-+-=⎪⎨=-+=⎪⎩,不妨令11x =,得112,1y z ==,故可取()11,2,1n =. 同理,可求得平面1D B A 的一个法向量()21,1,0n =.设1n 与2n 的夹角为θ,则1212cos 2n n n n θ⋅===, 30θ∴= .由图可知, 二面角的大小为锐角,故二面角11C BD A --的大小为30 . 20. （本小题满分12分）设抛物线:C py x 22=)0(>p 的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B 、D 两点(Ⅰ) 若90B F D ∠=︒，ABD △面积为24，求p 的值及圆F 的方程；(Ⅱ)若A 、B 、F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 的距离的比值.解: (Ⅰ)由对称性可知,BFD △为等腰直角三角形,斜边上的高为p ,斜边长2BD p =.点A 到准线l的距离d FB FD ===.由ABD S =△, 11222B D d p ⨯⨯=⨯⨯=2p ∴=.圆F 的方程为()2218x y +-=.(Ⅱ)由对称性,不妨设点(),A A A x y 在第一象限,由已知得线段A B 是圆F 的在直径,90oADB ∠=,2BD p ∴=,32A y p∴=,代入抛物线:C py x 22=得A x =.直线m的斜率为3AF k ==直线m的方程为02x -+=.由py x 22= 得22xy p=,x y p'=.由3x y p'==, 3x p =.故直线n 与抛物线C的切点坐标为,36p ⎛⎫⎪⎪⎝⎭, 直线n的方程为06x --=.所以坐标原点到m ，n312=.21. （本小题满分12分）已知函数121()(1)(0)2x f x f e f x x-'=-+.(Ⅰ) 求)(x f 的解析式及单调区间；(Ⅱ) 若b ax x x f ++≥221)(，求b a )1(+的最大值解: (Ⅰ) 1()(1)(0)x f x f e f x -''=-+,令1x =得,(0)1f =, 再由121()(1)(0)2x f x f e f x x-'=-+,令0x =得()1f e '=.所以)(x f 的解析式为21()2x f x e x x=-+.()1xf x e x'=-+,易知()1x f x e x '=-+是R 上的增函数,且(0)0f '=.所以()00,()00,f x x f x x ''>⇔><⇔<所以函数)(x f 的增区间为()0,+∞,减区间为(),0-∞. (Ⅱ) 若b ax x x f ++≥221)(恒成立, 即()()21()102xh x f x x ax b e a x b =---=-+-≥恒成立，()()1xh x e a '=-+ ,(1)当10a +<时,()0h x '>恒成立, ()h x 为R 上的增函数,且当x →-∞时,()h x →-∞,不合题意;(2)当10a +=时,()0h x >恒成立, 则0b ≤,(1)0a b +=;(3)当10a +>时, ()()1x h x e a '=-+为增函数,由()0h x '=得()ln 1x a =+,故()()()0ln 1,()0ln 1,f x x a f x x a ''>⇔>+<⇔<+当()ln 1x a =+时, ()h x 取最小值()()()()ln 111ln 1h a a a a b +=+-++-. 依题意有()()()()ln 111ln 10h a a a a b +=+-++-≥, 即()()11ln 1b a a a ≤+-++,10a +> ,()()()()22111ln 1a b a a a ∴+≤+-++,令()()22ln 0 u x x x x x =->,则()()22ln 12ln u x x x x x x x '=--=-,()00()0u x x u x x ''>⇔<<<⇔>所以当x =, ()u x 取最大值2e u =.故当12a b +==, ()1a b +取最大值2e.综上, 若b ax x x f ++≥221)(，则 b a )1(+的最大值为2e .请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分，作答时请写清题号.22. （本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图，D ，E 分别为ABC △边AB ，AC 的中点，直线DE 交ABC △的 外接圆于F ，G 两点.若AB CF //，证明： (Ⅰ) BC CD =；(Ⅱ) GBD BCD ∽△△.证明：(Ⅰ) ∵D ，E 分别为ABC △边AB ，AC 的中点， ∴//D E B C .//C F A B ,//D F BC,∴且 =C F B D ，又∵D 为AB 的中点，∴且 =C F A D ，C D A F ∴=.//C F A B，B C A F ∴=.C D B C ∴=.(Ⅱ)由(Ⅰ)知，BC GF ，G B C F BD ∴==， B G D B D G D B C B D C ∠=∠=∠=∠B C D G B D∴△∽△.23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程是2cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ.正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为)3,2(π.(Ⅰ)点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(Ⅱ) 设P 为1C 上任意一点，求2222||||||||PD PC PB PA +++的取值范围.解：(Ⅰ)依题意，点A ，B ，C ，D 的极坐标分别为.所以点A ，B ，C ，D 的直角坐标分别为(1,、(、(1,-、1)-； (Ⅱ) 设()2cos ,3sin P ϕϕ，则 2222||||||||PD PC PB PA +++())2212cos 3sin ϕϕ=-+()()222cos 13sin ϕϕ++-()()2212cos 3sin ϕϕ+--+)()222cos 13sin ϕϕ++--2216cos 36sin 16ϕϕ=++[]23220sin 32,52ϕ=+∈.所以2222||||||||PD PC PB PA +++的取值范围为[]32,52. 24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数|2|||)(-++=x a x x f .(Ⅰ) 当3a =-时，求不等式3)(≥x f 的解集；(Ⅱ) |4|)(-≤x x f 的解集包含]2,1[，求a 的取值范围.解：(Ⅰ) 当3a =-时，不等式3)(≥x f ⇔ |3||2|3x x -+-≥⇔ ()()2323x x x ≤⎧⎪⎨----≥⎪⎩或()()23323x x x <<⎧⎪⎨-++-≥⎪⎩或()()3323x x x ≥⎧⎪⎨-+-≥⎪⎩⇔或4x ≥.所以当3a =-时，不等式3)(≥x f 的解集为{1x x ≤或}4x ≥. (Ⅱ) ()|4|f x x ≤-的解集包含]2,1[， 即|||2||4|x a x x ++-≤-对[]1,2x ∈恒成立， 即||2x a +≤对[]1,2x ∈恒成立， 即22a x a --≤≤-对[]1,2x ∈恒成立，所以2122aa--≤⎧⎨-≥⎩，即30a-≤≤.所以a的取值范围为[]3,0-.。
2012年高考理科数学全国卷1-答案
2012年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷1）理科数学答案解析【解析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序， 可知：该程序的作用是：求出12n a a a ，，，中最大的数和最小的数 其中A 为12n a a a ，，，中最大的数，B 为12n a a a ，，，中最小的数【提示】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是求出12n a a a ，，中最大的数和最小的数． 【考点】循环结构．7.【答案】B【解析】该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为3； 底面三角形斜边长为6，高为3的等腰直角三角形，，12ω>∴，验证三角函数的角的范围，排除选项，得到结果．的范围即可．【解析】由已知得22222(2)44|a b|a b a a b b -=-=-+224||4||||cos45||a a b b =-︒+24|||10b b =-+=，解得||32b =【提示】由已知可得，2||||cos45||2b a a b b =︒=，代入 2222(2)44a b|a b a a b b -=-=-+242||||10b b =-+=可求14.【答案】[]3,3-60(a ++-117++=59(a +++，sin 0C >，0πA <<π5π66A -<法二：由正弦定理可得sin a 222a b c a ab+-，0πA <<）ABC S =△，2a A =，，直又1DC BD ⊥1DC D =2AB a =，1DC ∴（Ⅱ）由（Ⅰ）知，12DC a =90AB ∴30． 30．x 轴，(,DB a =-，1(,0,DC a =-的法向量为11(,n x y =111n DB ax n DC ax ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，故可取1(1,2,1)n =的一个法向量2(1,1,0)n =设1n 与2n 的夹角为1212||||6n n n n =⨯30．由图可知，二面角的大小为锐角，故二面角1A -'=h x()eh x→-∞()（2）当aa+>，10，所以当x ∥CF AB∥CF AB（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴△∽△BCD。
2012年高考数学试题及答案(全国卷理数2套)
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．（5 分）（2012•新课标）已知集合 A＝{1，2，3，4，5}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}， 则 B 中所含元素的个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（5 分）（2012•新课标）设点 P 在曲线
上，点 Q 在曲线 y＝ln（2x）上，则|PQ|
最小值为（ ）
A．1﹣ln2
B．
C．1+ln2
二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13．（5 分）（2012•新课标）已知向量
夹角为 45°，且
＝
．
D． ，则
14．（5 分）（2012•新课标）设 x，y 满足约束条件：
A．A+B 为 a1，a2，…，an 的和 B． 为 a1，a2，…，an 的算术平均数
C．A 和 B 分别是 a1，a2，…，an 中最大的数和最小的数 D．A 和 B 分别是 a1，a2，…，an 中最小的数和最大的数 7．（5 分）（2012•新课标）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的 三视图，则此几何体的体积为（ ）
21．（12 分）（2012•新课标）已知函数 f（x）满足 f（x）＝f′（1）ex﹣1﹣f（0）x+ x2；
（1）求 f（x）的解析式及单调区间；
（2）若
，求（a+1）b 的最大值．
四、请考生在第 22，23，24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答 时请写清题号． 22．（10 分）（2012•新课标）如图，D，E 分别为△ABC 边 AB，AC 的中点，直线 DE 交△
2012年高考理科数学(全国卷)含答案及解析
2012年高考理科数学(全国卷)含答案及解析2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修II ）一、 选择题（1）、复数131i i-++= A. 2 B. 2 C. 12 D. 12i i i i+-+- 【考点】复数的计算 【难度】容易 【答案】C 【解析】13(13)(1)24121(1)(1)2i i i ii i i i -+-+-+===+++-.【点评】本题考查复数的计算。
在高二数学（理）强化提高班下学期，第四章《复数》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算。
在高考精品班数学（理）强化提高班中有对复数相关知识的总结讲解。
（2）、已知集合A ＝{1.3.}，B ＝{1，m } ,A B ＝A , 则m =A. 0或B. 0或 3C. 1或D. 1或3 【考点】集合【点评】本题考查椭圆的基本方程，根据准线方程及焦距推出椭圆的方程。
在高二数学（理）强化提高班，第六章《圆锥曲线与方程》中有详细讲解，其中在第02讲有相似题目的详细讲解。
在高考精品班数学（文）强化提高班中有对圆锥曲线相关知识的总结讲解。
（4）已知正四棱柱ABCD- A1B1C1D1中，AB=2，=E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的CC距离为C. D. 1A. 2B.【考点】立体几何【难度】容易【答案】CAC,BD, 得【解析】因为底面的边长为2，高为到了交点为O,连接EO,EO∥AC,则点1C到平面BDE的距离等于C到平面BDE的距离，过C作CH⊥OE,则：CH.即为所求在三角形OCE中，利用等面积法，可得CH（5）已知等差数列{}na 的前n 项和为nS ，555,15a S==，则数列11}n n a a +{的前100项和为 A.100101B. 99101C.99100D.101100【考点】数列 【难度】中等 【答案】A【解析】因为已知等差数列{ na }中，5a =5，515()5152a a S +⨯==∴1a =1 ∴d=111111=(1)(1)n n n a n a a n n n n +==-++∴∴100111111100=(1-)(-)...()1223100101101101S +++-=-=∴.【点评】本题考查数列的前n 项和求解方法。
2012年高考数学试题
2012年全国统一高考数学试卷（新课标版）（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则B中所含元素的个数为（）A．3B．6C．8D．10考点：元素与集合关系的判断．专题：计算题．分析：由题意，根据集合B中的元素属性对x，y进行赋值得出B中所有元素，即可得出B中所含有的元素个数，得出正确选项解答：解：由题意，x=5时，y=1，2，3，4，x=4时，y=1，2，3，x=3时，y=1，2，x=2时，y=1综上知，B中的元素个数为10个故选D点评：本题考查元素与集合的关系的判断，解题的关键是理解题意，领会集合B中元素的属性，用分类列举的方法得出集合B中的元素的个数2．（5分）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）A．12种B．10种C．9种D．8种考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题．分析：将任务分三步完成，在每步中利用排列和组合的方法计数，最后利用分步计数原理，将各步结果相乘即可得结果解答：解：第一步，为甲地选一名老师，有=2种选法；第二步，为甲地选两个学生，有=6种选法；第三步，为乙地选1名教师和2名学生，有1种选法故不同的安排方案共有2×6×1=12种故选A点评：本题主要考查了分步计数原理的应用，排列组合计数的方法，理解题意，恰当分步是解决本题的关键，属基础题3．（5分）下面是关于复数的四个命题：其中的真命题为（），p1：|z|=2，，p3：z的共轭复数为1+i，p4：z的虚部为﹣1．A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p4考点：复数的基本概念；命题的真假判断与应用．专题：计算题．分析：由z===﹣1﹣i，知，，p3：z的共轭复数为﹣1+i，p4：z的虚部为﹣1，由此能求出结果．解答：解：∵z===﹣1﹣i，∴，，p3：z的共轭复数为﹣1+i，p4：z的虚部为﹣1，故选C．点评：本题考查复数的基本概念，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．4．（5分）设F1、F2是椭圆的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P为直线x=上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．解答：解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形∴|PF2|=|F2F1|∵P为直线x=上一点∴∴故选C．点评：本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题5．（5分）已知{a n} 为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（）A．7B．5C．﹣5 D．﹣7考点：等比数列的性质；等比数列的通项公式．专题：计算题．分析：由a4+a7=2，及a5a6=a4a7=﹣8可求a4，a7，进而可求公比q，代入等比数列的通项可求a1，a10，即可解答：解：∵a4+a7=2，由等比数列的性质可得，a5a6=a4a7=﹣8∴a4=4，a7=﹣2或a4=﹣2，a7=4当a4=4，a7=﹣2时，，∴a1=﹣8，a10=1，∴a1+a10=﹣7当a4=﹣2，a7=4时，q3=﹣2，则a10=﹣8，a1=1∴a1+a10=﹣7综上可得，a1+a10=﹣7故选D点评：本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的应用，考查了基本运算的能力．6．（5分）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，a n，输出A，B，则（）A．A+B为a1，a2，…，a n的和B．为a1，a2，…，a n的算术平均数C．A和B分别是a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数D．A和B分别是a1，a2，…，a n中最小的数和最大的数考点：循环结构．专题：计算题．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是求出a1，a2，…，a n 中最大的数和最小的数．解答：解：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是：求出a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数其中A为a1，a2，…，a n中最大的数，B为a1，a2，…，a n中最小的数故选C．点评：本题主要考查了循环结构，解题的关键是建立数学模型，根据每一步分析的结果，选择恰当的数学模型，属于中档题．7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．6B．9C．12 D．18考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据求出几何体的体积即可．解答：解：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为3；底面三角形斜边长为6，高为3的等腰直角三角形，此几何体的体积为．故选B．点评：本题考查三视图与几何体的关系，考查几何体的体积的求法，考查计算能力．8．（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，，则C的实轴长为（）A．B．C．4D．8考点：圆锥曲线的综合．专题：计算题．分析：设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x的准线l：x=﹣4，由C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，，能求出C的实轴长．解答：解：设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x的准线l：x=﹣4，∵C与抛物线y2=16x的准线l：x=﹣4交于A，B两点，∴A（﹣4，2），B（﹣4，﹣2），将A点坐标代入双曲线方程得=4，∴a=2，2a=4．故选C．点评：本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．9．（5分）（2012•黑龙江）已知ω＞0，函数在上单调递减．则ω的取值范围是（）A．B．C．D．（0，2]考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题．分析：法一：通过特殊值ω=2、ω=1，验证三角函数的角的范围，排除选项，得到结果．法二：可以通过角的范围，直接推导ω的范围即可．解答：解：法一：令：不合题意排除（D）合题意排除（B）（C）法二：，得：．故选A．点评：本题考查三角函数的单调性的应用，函数的解析式的求法，考查计算能力．10．（5分）已知函数；则y=f（x ）的图象大致为（）A．B．C．D．考点：对数函数图象与性质的综合应用；对数函数的图像与性质．专题：计算题．分析：考虑函数f（x ）的分母的函数值恒小于零，即可排除A，C，D，这一性质可利用导数加以证明解答：解：设则g′（x）=∴g（x）在（﹣1，0）上为增函数，在（0，+∞）上为减函数∴g（x）＜g（0）=0∴f（x）=＜0得：x＞0或﹣1＜x＜0均有f（x）＜0排除A，C，D故选B点评：本题主要考查了函数解析式与函数图象间的关系，利用导数研究函数性质的应用，排除法解图象选择题，属基础题11．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（）A．B．C．D．考点：球内接多面体；棱柱、棱锥、棱台的体积．分析：先确定点S到面ABC的距离，再求棱锥的体积即可．解答：解：∵△ABC是边长为1的正三角形，∴△ABC的外接圆的半径，∵点O到面ABC的距离，SC为球O的直径∴点S到面ABC的距离为∴棱锥的体积为故选A．点评：本题考查棱锥的体积，考查球内角多面体，解题的关键是确定点S到面ABC的距离．12．（5分）设点P在曲线上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|最小值为（）A．1﹣ln2 B．C．1+ln2 D．考点：点到直线的距离公式；反函数．专题：计算题．分析：由于函数与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x对称，要求|PQ|的最小值，只要求出函数上的点到直线y=x的距离为的最小值，设g（x）=，利用导数可求函数g（x）的单调性，进而可求g（x）的最小值，即可求解答：解：∵函数与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x对称函数上的点到直线y=x的距离为设g（x）=，（x＞0）则由≥0可得x≥ln2，由＜0可得0＜x＜ln2∴函数g（x）在（0，ln2）单调递减，在[ln2，+∞）单调递增∴当x=ln2时，函数g（x）min=1﹣ln2由图象关于y=x对称得：|PQ|最小值为故选B点评：本题主要考查了点到直线的距离公式的应用，注意本题解法中的转化思想的应用，根据互为反函数的对称性把所求的点点距离转化为点线距离，构造很好二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）（2012•黑龙江）已知向量夹角为45°，且，则=3．考点：平面向量数量积的运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：计算题．分析：由已知可得，=，代入|2|====可求解答：解：∵，=1∴=∴|2|====解得故答案为：3点评：本题主要考查了向量的数量积定义的应用，向量的数量积性质||=是求解向量的模常用的方法14．（5分）设x，y满足约束条件：；则z=x﹣2y的取值范围为[﹣3，3]．考点：简单线性规划．专题：计算题．分析：先作出不等式组表示的平面区域，由z=x﹣2y可得，y=，则﹣表示直线x﹣2y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越小，结合函数的图形可求z的最大与最小值，从而可求z的范围解答：解：作出不等式组表示的平面区域由z=x﹣2y可得，y=，则﹣表示直线x﹣2y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越小结合函数的图形可知，当直线x﹣2y﹣z=0平移到B时，截距最大，z最小；当直线x﹣2y﹣z=0平移到A 时，截距最小，z最大由可得B（1，2），由可得A（3，0）∴Z max=3，Z min=﹣3则z=x﹣2y∈[﹣3，3]故答案为：[﹣3，3]点评：平面区域的范围问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．15．（5分）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，502），且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为．考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：计算题．分析：先根据正态分布的意义，知三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为，而所求事件“该部件的使用寿命超过1000小时”当且仅当“超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常”和“超过1000小时时，元件3正常”同时发生，由于其为独立事件，故分别求其概率再相乘即可解答：解：三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N（1000，502）得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为设A={超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常}，B={超过1000小时时，元件3正常}C={该部件的使用寿命超过1000小时}则P（A）=，P（B）=P（C）=P（AB）=P（A）P（B）=×=故答案为点评：本题主要考查了正态分布的意义，独立事件同时发生的概率运算，对立事件的概率运算等基础知识，属基础题16．（5分）数列{a n}满足，则{a n}的前60项和为1830．考点：数列递推式；数列的求和．专题：计算题．分析：令b n+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4，则b n+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4=a4n﹣3+a4n﹣2+a4n﹣2+a4n+16=b n+16可得数列{b n}是以16为公差的等差数列，而{a n}的前60项和为即为数列{b n}的前15项和，由等差数列的求和公式可求解答：解：∵，∴令b n+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4则b n+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4=a4n﹣3+a4n﹣2+a4n﹣2+a4n+16=b n+16∴数列{b n}是以16为公差的等差数列，{a n}的前60项和为即为数列{b n}的前15项和∵b1=a1+a2+a3+a4=10∴=1830点评：本题主要考查了由数列的递推公式求解数列的和，等差数列的求和公式的应用，解题的关键是通过构造等差数列三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为；求b，c．考点：解三角形．专题：计算题．分析：（1）由正弦定理及两角和的正弦公式可得sinAcosC+sinAsinC=sinB+sinC=sin（A+C）+sinC=sinAcosC+sinCcosA+sinC，整理可求A（2）由（1）所求A及S=可求bc，然后由余弦定理，a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA 可求b+c，进而可求b，c解答：解：（1）∵acosC+asinC﹣b﹣c=0∴sinAcosC+sinAsinC﹣sinB﹣sinC=0∴sinAcosC+sinAsinC=sinB+sinC=sin（A+C）+sinC=sinAcosC+sinCcosA+sinC∵sinC≠0∴sinA﹣cosA=1∴sin（A﹣30°）=∴A﹣30°=30°∴A=60°（2）由由余弦定理可得，a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA即4=（b+c）2﹣3bc=（b+c）2﹣12∴b+c=4解得：b=c=2点评：本题综合考查了三角公式中的正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式的综合应用，诱导公式与辅助角公式在三角函数化简中的应用是求解的基础，解题的关键是熟练掌握基本公式18．（12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：日需求量n 14 15 16 17 18 19 20频数10 20 16 16 15 13 10以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列，数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．考点：概率的应用；离散型随机变量的期望与方差．专题：综合题．分析：（1）根据卖出一枝可得利润5元，卖不出一枝可得赔本5元，即可建立分段函数；（2）（i）X可取60，70，80，计算相应的概率，即可得到X的分布列，数学期望及方差；（ii）求出进17枝时当天的利润，与购进16枝玫瑰花时当天的利润比较，即可得到结论．解答：解：（1）当n≥16时，y=16×（10﹣5）=80；当n≤15时，y=5n﹣5（16﹣n）=10n﹣80，得：（2）（i）X可取60，70，80P（X=60）=0.1，P（X=70）=0.2，P（X=80）=0.7X的分布列为X 60 70 80P 0.1 0.2 0.7EX=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76DX=162×0.1+62×0.2+42×0.7=44（ii）购进17枝时，当天的利润为y=（14×5﹣3×5）×0.1+（15×5﹣2×5）×0.2+（16×5﹣1×5）×0.16+17×5×0.54=76.4 ∵76.4＞76，∴应购进17枝点评：本题考查分段函数模型的建立，考查离散型随机变量的期望与方差，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD（1）证明：DC1⊥BC（2）求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．考点：二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：综合题．分析：（1）证明DC1⊥BC，只需证明DC1⊥面BCD，即证明DC1⊥DC，DC1⊥BD；（2）证明BC⊥面ACC1A1，可得BC⊥AC取A1B1的中点O，过点O作OH⊥BD于点H，连接C1O，C1H，可得点H与点D重合且∠C1DO是二面角A1﹣BD﹣C1的平面角，由此可求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．解答：（1）证明：在Rt△DAC中，AD=AC，∴∠ADC=45°同理：∠A1DC1=45°，∴∠CDC1=90°∴DC1⊥DC，DC1⊥BD∵DC∩BD=D∴DC1⊥面BCD∵BC⊂面BCD∴DC1⊥BC（2）解：∵DC1⊥BC，CC1⊥BC，DC1∩CC1=C1，∴BC⊥面ACC1A1，∵AC⊂面ACC1A1，∴BC⊥AC取A1B1的中点O，过点O作OH⊥BD于点H，连接C1O，OH∵A1C1=B1C1，∴C1O⊥A1B1，∵面A1B1C1⊥面A1BD，面A1B1C1∩面A1BD=A1B1，∴C1O⊥面A1BD∵OH⊥BD，∴C1H⊥BD，∴点H与点D重合且∠C1DO是二面角A1﹣BD﹣C1的平面角设AC=a，则，，∴sin∠C1DO=∴∠C1DO=30°即二面角A1﹣BD﹣C1的大小为30°点评：本题考查线面垂直，考查面面角，解题的关键是掌握线面垂直的判定，正确作出面面角，属于中档题．20．（12分）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l 于B，D两点；（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为；求p的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．考点：圆锥曲线的综合；圆的标准方程；抛物线的简单性质．专题：综合题．分析：（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p点A到准线l的距离，由△ABD 的面积S△ABD=，知=，由此能求出圆F的方程．（2）由对称性设，则点A，B关于点F对称得：，得：，由此能求出坐标原点到m，n距离的比值．解答：解：（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p点A到准线l的距离，∵△ABD的面积S△ABD=，∴=，解得p=2，∴圆F的方程为x2+（y﹣1）2=8．（2）由题设，则，∵A，B，F三点在同一直线m上，又AB为圆F的直径，故A，B关于点F对称．由点A，B关于点F对称得：得：，直线切点直线坐标原点到m，n距离的比值为．点评：本题考查抛物线与直线的位置关系的综合应用，具体涉及到抛物线的简单性质、圆的性质、导数的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．21．（12分）（2012•黑龙江）已知函数f（x）满足；（1）求f（x）的解析式及单调区间；（2）若，求（a+1）b的最大值．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题；探究型；转化思想．分析：（1）对函数f（x）求导，再令自变量为1，求出f′（1）得到函数的解析式及导数，再由导数求函数的单调区间；（2）由题意，借助导数求出新函数的最小值，令其大于0即可得到参数a，b 所满足的关系式，再研究（a+1）b的最大值解答：解：（1）令x=1得：f（0）=1∴令x=0，得f（0）=f'（1）e﹣1=1解得f'（1）=e故函数的解析式为令g（x）=f'（x）=e x﹣1+x∴g'（x）=e x+1＞0，由此知y=g（x）在x∈R上单调递增当x＞0时，f'（x）＞f'（0）=0；当x＜0时，有f'（x）＜f'（0）=0得：函数的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（﹣∞，0）（2）得h′（x）=e x﹣（a+1）①当a+1≤0时，h′（x）＞0⇒y=h（x）在x∈R上单调递增x→﹣∞时，h（x）→﹣∞与h（x）≥0矛盾②当a+1＞0时，h′（x）＞0⇔x＞ln（a+1），h'（x）＜0⇔x＜ln（a+1）得：当x=ln（a+1）时，h（x）min=（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）﹣b≥0，即（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）≥b ∴（a+1）b≤（a+1）2﹣（a+1）2ln（a+1），（a+1＞0）令F（x）=x2﹣x2lnx（x＞0），则F'（x）=x（1﹣2lnx）∴当时，即当时，（a+1）b的最大值为点评：本题考查导数在最值问题中的应用及利用导数研究函数的单调性，解题的关键是第一题中要赋值求出f′（1），易因为没有将f′（1）看作常数而出错，第二题中将不等式恒成立研究参数关系的问题转化为最小值问题，本题考查了转化的思想，考查判断推理能力，是高考中的热点题型，难度较大，计算量也大，易马虎出错四、请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22．（10分）（2012•黑龙江）选修4﹣1：几何证明选讲如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：（1）CD=BC；（2）△BCD～△GBD．考点：综合法与分析法(选修）．专题：证明题．分析：（1）根据D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，可得DE∥BC，根据等弧对等角，即可得到结论；（2）证明两组对应角相等，即可证得△BCD～△GBD．解答：证明：（1）∵AB∥CF，∴∠DAE=∠ECF．根据等弧对等角可知，，∴∠BDC=∠ADF．∵D，E分别为△ABC边AB，AC的中点∴DE∥BC∴∠ADF=∠DBC．∴∠BDC=∠DBC∴CD=BC．（2）由（1）知，所以．所以∠BGD=∠DBC．因为GF∥BC，所以∠BDG=∠ADF=∠DBC=∠BDC．所以△BCD～△GBD．点评：本题考查几何证明选讲，考查平行四边形的证明，考查三角形的相似，属于基础题．23．选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．考点：椭圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：综合题．分析：（1）确定点A，B，C，D的极坐标，即可得点A，B，C，D的直角坐标；（2）利用参数方程设出P的坐标，借助于三角函数，即可求得|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．解答：解：（1）点A，B，C，D的极坐标为点A，B，C，D的直角坐标为（2）设P（x0，y0），则为参数）t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ∵sin2φ∈[0，1]∴t∈[32，52]点评：本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查圆的参数方程的运用，属于中档题．24．选修4﹣5：不等式选讲已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法；带绝对值的函数．专题：计算题．分析：（1）不等式等价于，或，或，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（2）原命题等价于﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范围．解答：解：（1）当a=﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即①，或②，或③．解①可得x≤1，解②可得x∈∅，解③可得x≥4．把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为{x|x≤1或x≥4}．（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．故当1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x的最小值为0，故a的取值范围为[﹣3，0]．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．参与本试卷答题和审题的老师有：吕静；qiss；席泽林；邢新丽；刘长柏；xintrl；caoqz；minqi5；zlzhan（排名不分先后）菁优网2013年5月30日。
2012年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标)
2012年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则B中所含元素的个数为（）A．3 B．6 C．8 D．102．（5分）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）A．12种B．10种C．9种 D．8种3．（5分）下面是关于复数z=的四个命题：其中的真命题为（），p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为1+i，p4：z的虚部为﹣1．A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p44．（5分）设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A．B．C．D．5．（5分）已知{a n}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（）A．7 B．5 C．﹣5 D．﹣76．（5分）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，a n，输出A，B，则（）A．A+B为a1，a2，…，a n的和B．为a1，a2，…，a n的算术平均数C．A和B分别是a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数D．A和B分别是a1，a2，…，a n中最小的数和最大的数7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．6 B．9 C．12 D．188．（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于点A和点B，|AB|=4，则C的实轴长为（）A．B．C．4 D．89．（5分）已知ω＞0，函数f（x）=sin（ωx+）在区间[，π]上单调递减，则实数ω的取值范围是（）A．B．C． D．（0，2]10．（5分）已知函数f（x）=，则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．11．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为（）A．B．C．D．12．（5分）设点P在曲线上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|最小值为（）A．1﹣ln2 B．C．1+ln2 D．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知向量夹角为45°，且，则=．14．（5分）设x，y满足约束条件：；则z=x﹣2y的取值范围为．15．（5分）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，502），且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为．16．（5分）数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前60项和为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC ﹣ccosA．（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．18．（12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列，数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD（1）证明：DC1⊥BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．20．（12分）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．21．（12分）已知函数f（x）满足f（x）=f′（1）e x﹣1﹣f（0）x+x2；（1）求f（x）的解析式及单调区间；（2）若，求（a+1）b的最大值．四、请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22．（10分）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：（1）CD=BC；（2）△BCD∽△GBD．23．选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．2012年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2012•新课标）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y ∈A，x﹣y∈A}，则B中所含元素的个数为（）A．3 B．6 C．8 D．10【分析】由题意，根据集合B中的元素属性对x，y进行赋值得出B中所有元素，即可得出B中所含有的元素个数，得出正确选项【解答】解：由题意，x=5时，y=1，2，3，4，x=4时，y=1，2，3，x=3时，y=1，2，x=2时，y=1综上知，B中的元素个数为10个故选D2．（5分）（2012•新课标）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）A．12种B．10种C．9种 D．8种【分析】将任务分三步完成，在每步中利用排列和组合的方法计数，最后利用分步计数原理，将各步结果相乘即可得结果【解答】解：第一步，为甲地选一名老师，有=2种选法；第二步，为甲地选两个学生，有=6种选法；第三步，为乙地选1名教师和2名学生，有1种选法故不同的安排方案共有2×6×1=12种故选A3．（5分）（2012•新课标）下面是关于复数z=的四个命题：其中的真命题为（），p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为1+i，p4：z的虚部为﹣1．A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p4【分析】由z===﹣1﹣i，知，，p3：z的共轭复数为﹣1+i，p4：z的虚部为﹣1，由此能求出结果．【解答】解：∵z===﹣1﹣i，∴，，p3：z的共轭复数为﹣1+i，p4：z的虚部为﹣1，故选C．4．（5分）（2012•新课标）设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A．B．C．D．【分析】利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P为直线x=上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．【解答】解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，∴|PF2|=|F2F1|∵P为直线x=上一点∴∴故选C．5．（5分）（2012•新课标）已知{a n}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（）A．7 B．5 C．﹣5 D．﹣7【分析】由a4+a7=2，及a5a6=a4a7=﹣8可求a4，a7，进而可求公比q，代入等比数列的通项可求a1，a10，即可【解答】解：∵a4+a7=2，由等比数列的性质可得，a5a6=a4a7=﹣8∴a4=4，a7=﹣2或a4=﹣2，a7=4当a4=4，a7=﹣2时，，∴a1=﹣8，a10=1，∴a1+a10=﹣7当a4=﹣2，a7=4时，q3=﹣2，则a10=﹣8，a1=1∴a1+a10=﹣7综上可得，a1+a10=﹣7故选D6．（5分）（2012•新课标）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，a n，输出A，B，则（）A．A+B为a1，a2，…，a n的和B．为a1，a2，…，a n的算术平均数C．A和B分别是a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数D．A和B分别是a1，a2，…，a n中最小的数和最大的数【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是求出a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知，该程序的作用是：求出a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数其中A为a1，a2，…，a n中最大的数，B为a1，a2，…，a n中最小的数故选：C．7．（5分）（2012•新课标）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．6 B．9 C．12 D．18【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据求出几何体的体积即可．【解答】解：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为3；底面三角形斜边长为6，高为3的等腰直角三角形，此几何体的体积为V=×6×3×3=9．故选B．8．（5分）（2012•新课标）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于点A和点B，|AB|=4，则C的实轴长为（）A．B．C．4 D．8【分析】设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x的准线l：x=﹣4，由C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，，能求出C的实轴长．【解答】解：设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x的准线l：x=﹣4，∵C与抛物线y2=16x的准线l：x=﹣4交于A，B两点，∴A（﹣4，2），B（﹣4，﹣2），将A点坐标代入双曲线方程得=4，∴a=2，2a=4．故选C．9．（5分）（2012•新课标）已知ω＞0，函数f（x）=sin（ωx+）在区间[，π]上单调递减，则实数ω的取值范围是（）A．B．C． D．（0，2]【分析】法一：通过特殊值ω=2、ω=1，验证三角函数的角的范围，排除选项，得到结果．法二：可以通过角的范围，直接推导ω的范围即可．【解答】解：法一：令：不合题意排除（D）合题意排除（B）（C）法二：，得：．故选A．10．（5分）（2012•新课标）已知函数f（x）=，则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】考虑函数f（x）的分母的函数值恒小于零，即可排除A，C，由f（x）的定义域能排除D，这一性质可利用导数加以证明【解答】解：设则g′（x）=∴g（x）在（﹣1，0）上为增函数，在（0，+∞）上为减函数∴g（x）＜g（0）=0∴f（x）=＜0得：x＞0或﹣1＜x＜0均有f（x）＜0排除A，C，又f（x）=中，，能排除D．故选B11．（5分）（2012•新课标）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为（）A．B．C．D．【分析】根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出OO1，进而求出底面ABC上的高SD，即可计算出三棱锥的体积．【解答】解：根据题意作出图形：设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．∵CO1==，∴OO1==，∴高SD=2OO1=，∵△ABC是边长为1的正三角形，=，∴S△ABC∴V==．三棱锥S﹣ABC故选：C．12．（5分）（2012•新课标）设点P在曲线上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|最小值为（）A．1﹣ln2 B．C．1+ln2 D．【分析】由于函数与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x对称，要求|PQ|的最小值，只要求出函数上的点到直线y=x的距离为的最小值，设g（x）=，利用导数可求函数g（x）的单调性，进而可求g（x）的最小值，即可求．【解答】解：∵函数与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x对称，函数上的点到直线y=x的距离为，设g（x）=（x＞0），则，由≥0可得x≥ln2，由＜0可得0＜x＜ln2，∴函数g（x）在（0，ln2）单调递减，在[ln2，+∞）单调递增，∴当x=ln2时，函数g（x）min=1﹣ln2，，由图象关于y=x对称得：|PQ|最小值为．故选B．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）（2012•新课标）已知向量夹角为45°，且，则=3．【分析】由已知可得，=，代入|2|====可求【解答】解：∵，=1∴=∴|2|====解得故答案为：314．（5分）（2012•新课标）设x，y满足约束条件：；则z=x﹣2y的取值范围为．【分析】先作出不等式组表示的平面区域，由z=x﹣2y可得，y=，则﹣表示直线x﹣2y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越小，结合函数的图形可求z的最大与最小值，从而可求z的范围【解答】解：作出不等式组表示的平面区域由z=x﹣2y可得，y=，则﹣表示直线x﹣2y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越小结合函数的图形可知，当直线x﹣2y﹣z=0平移到B时，截距最大，z最小；当直线x﹣2y﹣z=0平移到A时，截距最小，z最大由可得B（1，2），由可得A（3，0）∴Z max=3，Z min=﹣3则z=x﹣2y∈[﹣3，3]故答案为：[﹣3，3]15．（5分）（2012•新课标）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，502），且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为．【分析】先根据正态分布的意义，知三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为，而所求事件“该部件的使用寿命超过1000小时”当且仅当“超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常”和“超过1000小时时，元件3正常”同时发生，由于其为独立事件，故分别求其概率再相乘即可【解答】解：三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N（1000，502）得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为设A={超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常}，B={超过1000小时时，元件3正常}C={该部件的使用寿命超过1000小时}则P（A）=，P（B）=P（C）=P（AB）=P（A）P（B）=×=故答案为16．（5分）（2012•新课标）数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前60项和为1830．【分析】由题意可得a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97，变形可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a7=2，a12+a10=40，a13+a15=2，a16+a14=56，…利用数列的结构特征，求出{a n}的前60项和+（﹣1）n a n=2n﹣1，【解答】解：∵a n+1∴有a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97．从而可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a11=2，a12+a10=40，a13+a11=2，a16+a14=56，…从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．∴{a n}的前60项和为15×2+（15×8+）=1830，故答案为：1830．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）（2012•新课标）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC﹣ccosA．（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．【分析】（1）由正弦定理有：sinAsinC﹣sinCcosA﹣sinC=0，可以求出A；（2）有三角形面积以及余弦定理，可以求出b、c．【解答】解：（1）c=asinC﹣ccosA，由正弦定理有：sinAsinC﹣sinCcosA﹣sinC=0，即sinC•（sinA﹣cosA﹣1）=0，又，sinC≠0，所以sinA﹣cosA﹣1=0，即2sin（A﹣）=1，所以A=；（2）S=bcsinA=，所以bc=4，△ABCa=2，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即4=b2+c2﹣bc，即有，解得b=c=2．18．（12分）（2012•新课标）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列，数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．【分析】（1）根据卖出一枝可得利润5元，卖不出一枝可得赔本5元，即可建立分段函数；（2）（i）X可取60，70，80，计算相应的概率，即可得到X的分布列，数学期望及方差；（ii）求出进17枝时当天的利润，与购进16枝玫瑰花时当天的利润比较，即可得到结论．【解答】解：（1）当n≥16时，y=16×（10﹣5）=80；当n≤15时，y=5n﹣5（16﹣n）=10n﹣80，得：（2）（i）X可取60，70，80，当日需求量n=14时，X=60，n=15时，X=70，其他情况X=80，P（X=60）===0.1，P（X=70）=0.2，P（X=80）=1﹣0.1﹣0.2=0.7，X的分布列为X607080P0.10.20.7EX=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76DX=162×0.1+62×0.2+42×0.7=44（ii）购进17枝时，当天的利润的期望为y=（14×5﹣3×5）×0.1+（15×5﹣2×5）×0.2+（16×5﹣1×5）×0.16+17×5×0.54=76.4∵76.4＞76，∴应购进17枝19．（12分）（2012•新课标）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=AA1，D 是棱AA1的中点，DC1⊥BD（1）证明：DC1⊥BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．【分析】（1）证明DC1⊥BC，只需证明DC1⊥面BCD，即证明DC1⊥DC，DC1⊥BD；（2）证明BC⊥面ACC1A1，可得BC⊥AC取A1B1的中点O，过点O作OH⊥BD于点H，连接C1O，C1H，可得点H与点D重合且∠C1DO是二面角A1﹣BD﹣C1的平面角，由此可求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．【解答】（1）证明：在Rt△DAC中，AD=AC，∴∠ADC=45°同理：∠A1DC1=45°，∴∠CDC1=90°∴DC1⊥DC，DC1⊥BD∵DC∩BD=D∴DC1⊥面BCD∵BC⊂面BCD∴DC1⊥BC（2）解：∵DC1⊥BC，CC1⊥BC，DC1∩CC1=C1，∴BC⊥面ACC1A1，∵AC⊂面ACC1A1，∴BC⊥AC取A1B1的中点O，过点O作OH⊥BD于点H，连接C1O，OH∵A1C1=B1C1，∴C1O⊥A1B1，∵面A1B1C1⊥面A1BD，面A1B1C1∩面A1BD=A1B1，∴C1O⊥面A1BD而BD⊂面A1BD∴BD⊥C1O，∵OH⊥BD，C1O∩OH=O，∴BD⊥面C1OH∴C1H⊥BD，∴点H与点D重合且∠C1DO是二面角A1﹣BD﹣C1的平面角设AC=a，则，，∴sin∠C1DO=∴∠C1DO=30°即二面角A1﹣BD﹣C1的大小为30°20．（12分）（2012•新课标）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．【分析】（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p点A到准线l的=，知距离，由△ABD的面积S△ABD=，由此能求出圆F的方程．（2）由对称性设，则点A，B关于点F对称得：，得：，由此能求出坐标原点到m，n距离的比值．【解答】解：（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p点A到准线l的距离，=，∵△ABD的面积S△ABD∴=，解得p=2，所以F坐标为（0，1），∴圆F的方程为x2+（y﹣1）2=8．（2）由题设，则，∵A，B，F三点在同一直线m上，又AB为圆F的直径，故A，B关于点F对称．由点A，B关于点F对称得：得：，直线，切点直线坐标原点到m，n距离的比值为．21．（12分）（2012•新课标）已知函数f（x）满足f（x）=f′（1）e x﹣1﹣f（0）x+x2；（1）求f（x）的解析式及单调区间；（2）若，求（a+1）b的最大值．【分析】（1）对函数f（x）求导，再令自变量为1，求出f′（1）得到函数的解析式及导数，再由导数求函数的单调区间；（2）由题意，借助导数求出新函数的最小值，令其大于0即可得到参数a，b 所满足的关系式，再研究（a+1）b 的最大值【解答】解：（1）令x=1得：f（0）=1∴令x=0，得f（0）=f'（1）e﹣1=1解得f'（1）=e故函数的解析式为令g（x）=f'（x）=e x﹣1+x∴g'（x）=e x+1＞0，由此知y=g（x）在x∈R上单调递增当x＞0时，f'（x）＞f'（0）=0；当x＜0时，有f'（x）＜f'（0）=0得：函数的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（﹣∞，0）（2）得h′（x）=e x﹣（a+1）①当a+1≤0时，h′（x）＞0⇒y=h（x）在x∈R上单调递增，x→﹣∞时，h（x）→﹣∞与h（x）≥0矛盾②当a+1＞0时，h′（x）＞0⇔x＞ln（a+1），h'（x）＜0⇔x＜ln（a+1）得：当x=ln（a+1）时，h（x）min=（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）﹣b≥0，即（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）≥b∴（a+1）b≤（a+1）2﹣（a+1）2ln（a+1），（a+1＞0）令F（x）=x2﹣x2lnx（x＞0），则F'（x）=x（1﹣2lnx）∴当时，即当时，（a+1）b的最大值为四、请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22．（10分）（2012•新课标）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：（1）CD=BC；（2）△BCD∽△GBD．【分析】（1）根据D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，可得DE∥BC，证明四边形ADCF是平行四边形，即可得到结论；（2）证明两组对应角相等，即可证得△BCD～△GBD．【解答】证明：（1）∵D，E分别为△ABC边AB，AC的中点∴DF∥BC，AD=DB∵AB∥CF，∴四边形BDFC是平行四边形∴CF∥BD，CF=BD∴CF∥AD，CF=AD∴四边形ADCF是平行四边形∴AF=CD∵，∴BC=AF，∴CD=BC．（2）由（1）知，所以．所以∠BGD=∠DBC．因为GF∥BC，所以∠BDG=∠ADF=∠DBC=∠BDC．所以△BCD～△GBD．23．（2012•新课标）选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【分析】（1）确定点A，B，C，D的极坐标，即可得点A，B，C，D的直角坐标；（2）利用参数方程设出P的坐标，借助于三角函数，即可求得|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【解答】解：（1）点A，B，C，D的极坐标为点A，B，C，D的直角坐标为（2）设P（x0，y0），则为参数）t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ∵sin2φ∈[0，1]∴t∈[32，52]24．（2012•新课标）已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．【分析】（1）不等式等价于，或，或，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（2）原命题等价于﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即①，或②，或③．解①可得x≤1，解②可得x∈∅，解③可得x≥4．把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为{x|x≤1或x≥4}．（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．故当1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x的最小值为0，故a的取值范围为[﹣3，0]．。
2012年高考新课标理科数学试题及答案详解
2012年高考新课标理科数学试题及答案详解绝密*启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（新课标）理科数学注息事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.问答第Ⅰ卷时。
选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时。
将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。
第一卷一． 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈；,则B中所含元素的个数为（ ）()A 3 ()B 6 ()C 8()D 10【解析】选D5,1,2,3,4x y ==，4,1,2,3x y ==，3,1,2x y ==，2,1x y ==共10个（2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动， 每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）()A 12种 ()B 10种 ()C 9种()D 8种【解析】选A甲地由1名教师和2名学生：122412C C=种（3）下面是关于复数21z i =-+的四个命题：其中的真命题为（ ） 1:2p z = 22:2pz i= 3:p z 的共轭复数为1i +4:p z的虚部为1-()A 23,p p ()B 12,p p ()C ,p p 24()D ,p p 34【解析】选C22(1)11(1)(1)i z i i i i --===---+-+-- 1:2p z =，22:2pz i=，3:p z 的共轭复数为1i -+，4:pz的虚部为1-（4）设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，∆21F PF 是底角为30o的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）()A 12 ()B 23()C 34()D 45【解析】选C∆21F PF 是底角为30o的等腰三角形221332()224c PF F F a c c e a ⇒==-=⇔== （5）已知{}na 为等比数列，472aa +=，568a a =-，则110a a +=（ ）()A 7()B 5()C -5()D -7 【解析】选D472a a +=，56474784,2a aa a a a ==-⇒==-或472,4a a =-=471101104,28,17a a a a a a ==-⇒=-=⇔+=-471011102,48,17a a a a a a =-=⇒=-=⇔+=-（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数(2)N N ≥和实数12,,...,na a a ，输出,A B ，则（ ）()A A B +为12,,...,na a a 的和()B 2A B+为12,,...,n a a a 的算术平均数()C A 和B 分别是12,,...,na a a 中最大的数和最小的数 ()D A和B 分别是12,,...,na a a 中最小的数和最大的数【解析】选C（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）()A 6 ()B 9 ()C 12()D 18【解析】选B该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3此几何体的体积为11633932V =⨯⨯⨯⨯=（8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线xy 162=的准线交于,A B两点，43AB =；则C 的实轴长为（ ）()A 2 ()B 22 ()C 4()D 8【解析】选C设222:(0)C xy a a -=>交xy162=的准线:4l x =-于(4,23)A -(4,23)B --得：222(4)4224aa a =--=⇔=⇔=（9）已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减。
2012年全国高考理科数学(新课标卷)解析版
绝密*启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注息事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.问答第Ⅰ卷时。
选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时。
将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。
第一卷一． 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈；,则B 中所含元素的个数为（ ）()A 3 ()B 6()C 8 ()D 10【解析】选D5,1,2,3,x y ==，4,1,2,3x y ==，3,1,2x y ==，2,1x y ==共10个 （2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）()A 12种 ()B 10种()C 9种 ()D 8种【解析】选A甲地由1名教师和2名学生：122412C C =种（3）下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为（ ）1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-()A 23,p p ()B 12,p p ()C ,p p 24 ()D ,p p 34【解析】选C 22(1)11(1)(1)iz i ii i --===---+-+--1:p z =22:2p z i =，3:p z 的共轭复数为1i -+，4:p z 的虚部为1-（4）设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b ab+=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，∆21F P F 是底角为30 的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）()A 12()B23()C 34()D 45【解析】选C∆21F P F 是底角为30 的等腰三角形221332()224cP F F F a c c e a ⇒==-=⇔==（5）已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（ ）()A 7 ()B 5()C -5 ()D -7【解析】选D472a a +=，56474784,2a a a a a a ==-⇒==-或472,4a a =-=471101104,28,17a a a a a a ==-⇒=-=⇔+=- 471011102,48,17a a a a a a =-=⇒=-=⇔+=-（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数(2)N N ≥和实数12,,...,n a a a ，输出,A B ，则（ ）()A A B +为12,,...,n a a a 的和 ()B 2A B +为12,,...,n a a a 的算术平均数()C A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最大的数和最小的数 ()D A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最小的数和最大的数【解析】选C（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）()A 6 ()B 9 ()C 12 ()D 18【解析】选B该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3 此几何体的体积为11633932V =⨯⨯⨯⨯=（8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B两点，AB =C 的实轴长为（ ）()A ()B ()C 4 ()D 8【解析】选C设222:(0)C x y a a -=>交x y 162=的准线:4l x =-于(4,A -(4,B --得：222(4)4224a a a =--=⇔=⇔=（9）已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减。
2012高考新课标卷(理科数学)带答案
2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合{1,2,3,4,5}A =，{(,)|,,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈，则B 中所含元素的个数为（A ）3 （B ）6 (C) 8 （D ）10（2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（A ）12种 （B ）10种 (C) 9种 （D ）8种 （3）下面是关于复数21z i=-+的四个命题： 1:||2p z =， 22:2p z i =，3:p z 的共轭复数为1i +， 4:p z 的虚部为1-。
其中的真命题为（A ）2p ，3p (B)1p ，2p (C)2p ，4p (D)3p ，4p（4）设12F F 、是椭圆2222:(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，21F PF ∆是底角为30 的等腰三角形，则E 的离心率为（A ）12 （B ）23 （C ）34 （D ）45（5）已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（） （A ）7 （B ）5 （C ）5- （D ）7-（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数(2)N N ≥和市属12,,...,N a a a ，输出,A B ，则 （A ）A B +为12,,...,N a a a 的和 （B ）2A B+为12,,...,N a a a 的算术平均数 （C ）A 和B 分别是12,,...,N a a a 中最大的数和最小的数 （D ）A 和B 分别是12,,...,N a a a 中最小的数和最大的数（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 （A ）6 （B ）9 （C ）12 （D ）18（8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线216y x =的准线交于,A B 两点，||AB =，则C 的实轴长为（A （B ） （C ）4 （D ）8（9）已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ单调递减，则ω的取值范围是（A ）15[,]24 （B ）13[,]24（C ）1(0,]2 （D ）(0,2](10) 已知函数1()ln(1)f x x x=+-，则()y f x =的图像大致为（11）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =，则此棱锥的体积为 （A）6 （B）6 （C）3 （D）2（12）设点P 在曲线12x y e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则||PQ 的最小值为 （A ）1ln 2- （Bln 2)- （C ）1ln 2+ （Dln 2)+第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2012年高考新课标理科数学试题及标准答案详解
绝密*启用前２012年普通高等学校招生全国统一考试(新课标)理科数学注息事项:1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题)两部分。
答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.问答第Ⅰ卷时。
选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动.用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效.３.回答第Ⅱ卷时。
将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·４.考试结束后．将本试卷和答且卡一并交回。
第一卷一． 选择题:本大题共１２小题,每小题５分,在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1)已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈;,则B 中所含元素的个数为（ ）ﻩ()A 3 ()B 6()C 8 ()D 10 【解析】选D5,1,2,3,4x y ==，4,1,2,3x y ==,3,1,2x y ==,2,1x y ==共10个(2)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( )()A 12种 ()B 10种 ﻩ ()C 9种 ()D 8种【解析】选A甲地由1名教师和2名学生：122412C C =种（3）下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为( ） 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-ﻩ()A 23,p p ()B 12,p p ()C ,p p 24()D ,p p 34 【解析】选C22(1)11(1)(1)i z i i i i --===---+-+--1:p z =22:2p z i =,3:p z 的共轭复数为1i -+,4:p z 的虚部为1-（4）设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点,P 为直线32a x =上一点， ∆21F PF 是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为( ）()A 12 ()B 23 ()C 34 45()D ﻩ 【解析】选C∆21F PF 是底角为30的等腰三角形221332()224c PF F F a c c e a ⇒==-=⇔== (５)已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=（ ）()A 7 ()B 5 ()C -5()D -7【解析】选D472a a +=,56474784,2a a a a a a ==-⇒==-或472,4a a =-=471101104,28,17a a a a a a ==-⇒=-=⇔+=-471011102,48,17a a a a a a =-=⇒=-=⇔+=-（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数(2)N N ≥和实数12,,...,n a a a ，输出,A B ，则（ )()A A B +为12,,...,n a a a 的和()B 2A B +为12,,...,n a a a 的算术平均数 ()C A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最大的数和最小的数()D A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最小的数和最大的数【解析】选C。
2012年全国高考理科数学试题及答案-新课标1
2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合{1,2,3,4,5}A =，{(,)|,,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈，则B 中所含元素的个数为 （A ） 3 （B ） 6 （C ） 8 （D ） 10（2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组有1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（A ） 12种 （B ） 10种 （C ） 9种 （D ）8种 （3）下面是关于复数21z i=-+的四个命题 1p ：||2z = 2p : 22z i = 3p :z 的共轭复数为1i + 4p ：z 的虚部为1-其中真命题为(A ) 2p , 3p （B ） 1p , 2p （C ） 2p ，4p （D ） 3p , 4p（4）设12,F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上的一点，21F PF ∆是底角为30的等腰三角形，则 E 的离心率为(A) 12 (B) 23 (C) 34 (D) 45（5）已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=(A) 7 (B) 5 (C) 5- (D) 7- （6）如果执行右边的程序图，输入正整数(2)N N ≥和实数12,,...,N a a a 输入,A B ,则 (A)A B +为12,,...,N a a a 的和 （B ）2A B+为12,,...,N a a a 的算式平均数 （C ）A 和B 分别是12,,...,N a a a 中最大的数和最小的数（D ）A 和B 分别是12,,...,N a a a 中最小的数和最大的数（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（A ）6 (B)9 （C ）12 （D ）18（8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线216y x =的准线交于,A B 两点，||43AB =，则C 的实轴长为（A ）2 （B ）22 （C ）4 （D ）8 （9）已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，则ω的取值范围 (A) 15[,]24 (B) 13[,]24 (C) 1(0,]2(D)(0,2]（10）已知函数1()ln(1)f x x x=+-，则()y f x =的图像大致为（11）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为O的直径，且2SC =，则此棱锥的体积为(A)26 (B)36 (C)23 (D)22（12）设点P 在曲线12xy e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则||PQ 的最小值为 (A)1ln 2- (B)2(1ln 2)- (C)1ln 2+ (D)2(1ln 2)+第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
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2012年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项：
1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
（1）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x-y∈A}，则B中所含元素的个数为
A.3
B.6
C.8
D.10
（2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组有1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有
A.12种
B.10种
C.9种
D.8种
（3）下面是关于复数z=
2
1i
-+
的四个命题
P1:z=2 P2:2z=2i
P3:z的共轭复数为1+I P4 :z的虚部为-1
其中真命题为
A P2 ,P3
B P1 ,P2
C P2，P4
D P3 P4
（4）设F1，F2是椭圆E：
2
2
x
a
+
2
2
y
b
=1 (a＞b＞0)的左、右焦点，P为直线x=
2
3
a
上的一
点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为
A 1
2
B
2
3
C
3
4
D
4
5
（5）已知{a n}为等比数列，a4+a1=2 a5a6＝-8 则a1+a10 =
A.7
B.5 C-5 D.-7
（6）如果执行右边的程序图，输入正整数N（N≥2）和实数a1.a2,…a n，输入A,B,则
(A)A+B 为a 1a 2,…，a n 的和 （B ）
2
A B
为a 1a 2.…，a n 的算式平均数 （C ）A 和B 分别是a 1a 2,…a n 中最大的数和最小的数 （D ）A 和B 分别是a 1a 2,…a n 中最小的数和最大的数
（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为
（A ）6 (B)9 (C)12 (D)18
（8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y ²=16x 的准线交于A ，
B 两点，，则
C 的实轴长为
（A ）B ）C ）4（D ）8
(9)已知w ＞0，函数
在2ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
，单调递减，则w 的取值范围是
（A ）（B ）（C ）（D ）（0,2]
(10)已知函数，则y=f （x ）的图像大致为
（11）已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为O 的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为
（A ）
B C （D （12）设点P 在曲线上，点Q 在曲线y=ln （2x ）上，则|PQ|的最小值为
（A ）1-ln2（B ）（C ）1+ln2（D ）
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。
第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22题~第24题为选考题，考试依据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
（13）已知向量a ，b 夹角为45°，且|a|=1,|2a-b|=
，则|b|=____________.
（14）设x，y满足约束条件则z=x-2y的取值范围为__________.
（15），某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作。
设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000,502），且各个元件能否正常工作互相独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为_________________.
(16)数列{a n}满足a n+1+（-1）n a n=2n-1，则{a n}的前60项和为________。
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）
已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，。
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a=2，△ABC b，c。
（18）（本小题满分12分）
某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售。
如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。
（Ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式。
（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。
（ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望及方差；
（ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由。
（19）（本小题满分12分）
如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=1
2
AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD。
（1）证明：DC1⊥BC；
（2）求二面角A1-BD-C1的大小。
（20）（本小题满分12分）
设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA 为半径的圆F交l于B，D两点。
（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为p的值及圆F的方程；
（2）若A，B,F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C之有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值。
（21）（本小题满分12分）
已知函数f（x）满足f（x）=f′（1）e x-1-f（0）x+1
2
x2.
（1）求f（x）的解析式及单调区间；
（2）若f（x）≥1
2
x2+ax+b，求（a+1）b的最大值。
请考生在第22、23、24题中任选一道作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
作答时请写清题号。
（22）（本小题满分10分）选修4—1；几何证明选讲
如图，D，E分别为△ＡＢＣ边ＡＢ，ＡＣ的中点，直线ＤＥ交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：
（Ⅰ）CD=BC ； （Ⅱ）△BCD △GBD 。
（23）（本小题满分10分）选修4—4；坐标系与参数方程
已知曲线C 1的参数方程式
（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴
为极轴建立坐标系，曲线Ｃ２的极坐标方程式ρ＝２.正方形ＡＢＣＤ的顶点都在Ｃ２上，且Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ依逆时针次序排列，点Ａ的极坐标为2,2π⎛
⎫
⎪⎝
⎭。
（Ⅰ）求点Ａ，Ｂ，C ，D 的直角坐标； （Ⅱ）设P 为C 1上任意一点，求
的取值范围。
（24）（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲 已知函数
（Ⅰ）当a=-3时，求不等式(x) ≥3的解集； （2）若f （x ）≤
的解集包含[1,2]，求a 的取值范围。
参考答案
第
11/11
整理 by toyuanyuan。