03自动控制原理 课件 河北大学王霞

（2）模、相角
F s Fx2 F y2 Fy 相角 F s arctan Fx
模
（3）复数的共轭
（4）解析
F ( s ) Fx jFy
若F(s)在 s 点的各阶导数都存在，则F(s)在 s 点解析。
复习拉普拉斯变换有关内容（2）
2 拉氏变换的定义
L[ f ( t )] F ( s ) f ( t ) e dt




复习拉普拉斯变换有关内容（7）
（4）实位移定理 证明：左
L f ( t 0 ) e τ 0 s F ( s )


0
f ( t 0 ) e t s dt
t 0
令

例6

0
f ( ) e
s ( 0 )
消去中间变量 i, Mm , Eb 可得：
电枢回路： ur Ri E b 电枢反电势：E b c e m
m m K m ur Tm
Tm J m R /( R f m ce c m ) K m c m /( R f m ce c m )
K1 K 2 K xo 2 xo x i K1 f
o x
K1K 2 K1 i xo x f ( K1 K 2 ) K1 K 2
§2. 2. 1 例3
线性元部件及系统的微分方程（2）
电枢控制式直流电动机
— 克希霍夫 — 楞次定律 电磁力矩： M m c m i — 安培定律 m f m m M m — 牛顿定律 力矩平衡： J m m m
d 2 uc ( t ) R duc ( t ) 1 1 u ( t ) ur ( t ) c 2 dt L dt LC LC
§2. 2. 1 例2
线性元部件及系统的微分方程（1） 弹簧—阻尼器系统
A : Fi K 1 ( x i x m ) m x o ) Fm f ( x B : F K x
n
L f 0初始条件下有：
t s F s
n
复习拉普拉斯变换有关内容（5）
例2 求 解.
L ( t ) ?
1 s 1 0 1 0 1 s
t 1t
Lδt L1t
例3 求 解.
Lcos( t ) ? 1 cos t sin t s 1 1 2 Lcos t Lsin t s 2 2 2 s s
o 2 o
m x o ) K 2 xo K 1 ( xi xm ) f ( x
K2 ( 1 ) ~ ( 3 ) : K 1 xm K 1 xi K 2 xo xm xi xo K1 K ( 2 ) ~ ( 3 ) : f xm K 2 xo f xo x m 2 xo xo f
复习拉普拉斯变换有关内容（6）
1 1 -1 （3）积分定理 L f t dt s F s s f 0 1 零初始条件下有： L f t dt F s s 进一步有： 1 1 1 1 L f t dt n n F s n f 1 0 n1 f 2 0 f n 0 s s s s n 个
解. 在 h0处泰勒展开，取一次近似
代入原方程可得 在平衡点处系统满足
h h0
d h 1 |h0 h h0 h dt 2 h0
d ( h0 h) 1 1 ( h0 h) (Q r 0 Q r ) dt S S 2 h0 dh0 Q h0 r 0 dt S S
st 0
F ( s) 像 f ( t ) 原像
3 常见函数的拉氏变换
1 t 0 （1）阶跃函数 f ( t ) 0 t 0 1 st 1 1 st L 1 t 1 e dt e 0 01 s s s 0
§2.2
控制系统的数学模型—微分方程 线性元部件及系统的微分方程
§2. 2. 1
例1
R-L-C 串连电路
di ( t ) Ri ( t ) uc ( t ) dt du ( t ) i(t ) C c dt
ur ( t ) L
d 2 uc ( t ) duc ( t ) LC RC uc ( t ) 2 dt dt
线性定常微分方程求解
通解+特解
输出像函数 =+(分子多项式 )/系统极点+ (分子多项式 )/输入的极点
微分方程求解方法
复习拉普拉斯变换有关内容（1）
1 复数有关概念
（1）复数、复函数 复数
s j
复函数 F ( s ) Fx ( s ) jF y ( s )
例1 F ( s ) s 2 2 j
up K4 L
消去中间变量可得： 1 K1 K m K K1 K 2 K 3 K 4 K m K1 K 2 K 3 K m L L L ur Tm Tm Tm
§2. 2. 2
非线性系统微分方程的线性化（举例1）
例5 已知某装置的输入输出特性如下，求小扰动线性化方程。
y ( x ) E 0 cos[ x ( t )]
•数学模型
•建模方法
解析法（机理分析法）
根据系统工作所依据的物理定律列写运动方程
实验法（系统辨识法）
给系统施加某种测试信号，记录输出响应，并用 适当的数学模型去逼近系统的输入输出特性
§2.2
控制系统的数学模型—微分方程
线性定常系统微分方程的一般形式
d n c( t ) d n 1c ( t ) dc ( t ) an a n 1 ... a1 a0c( t ) n n 1 dt dt dt d m r (t ) d m 1 r ( t ) dr ( t ) bm bm 1 ... b1 b0 r ( t ) m m 1 dt dt dt
自动控制原理
（第 3 讲）
第二章 控制系统的数学模型
§2.1 §2.2 引言 控制系统的时域数学模型
复习： 拉普拉斯变换有关知识
自动控制原理课程的任务与体系结构
自动控制原理
§2 型
控制系统的数学模
时域模型 — 微分方程
复域模型 — 传递函数
§2.1
引言
描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系 的数学表达式
d e
0 s



f ( ) e s d 右
0
0 t 0 f t 1 0 t a , 求F(s) 0 t a
解.
1 1 e as as 1 L f ( t ) L1( t ) 1( t a ) e s s s



0
0
0
0 -f 0 s f t e st dt sF s f 0 右

f t s F s s
n n
0
n- 1
f 0 s n- 2 f 0 sf n- 2 0 f n 1 0
复习拉普拉斯变换有关内容（4）
4 拉氏变换的几个重要定理
（1）线性性质
La f1(t) b f 2(t) a F1(s) b F2(s)
L f t s F s f 0

（2）微分定理
-st st 左 f t e st dt e st df t e f t 0 f t de 证明：


（2）指数函数
f ( t ) e at
s a t
L[ f ( t )] e at e st dt e
0 0
dt
1 1 1 (s a)t e ( 0 1 ) 0 s a sa sa
复习拉普拉斯变换有关内容（3）




例4 求 L[t]=? 解.
t 1t dt 1 1 1 1 t Lt L 1t dt s s s t 0 s 2


t2 t2 t dt 例5 求 L ? 2 2 2 1 1 1 t 1 2 解. L t 2 L t dt s s 2 s 2 t 0 s 3
课程回顾（1)
自动控制
在无人直接参与的情况下，利 用控制装置，使工作机械、或生产过程 （被控对象）的某一个物理量（被控量） 按预定的规律（给定量）运行。
对控制系统的基本要求
稳定性、准确性、快速性
课程回顾（2)
基本控制方式
开环 / 闭环 / 复合控制
负反馈控制原理
将系统的输出信号引回输入端，与输 入信号相比较，利用所得的偏差信号进行控制， 达到减小偏差、消除偏差的目的。
解. 在工作点(x0, y0)处展开泰勒级数
1 y ( x ) y ( x 0 ) y ( x 0 )( x x 0 ) y ( x 0 )( x x 0 ) 2 2!
取一次近似，且令
y( x ) y( x ) y( x0 )
E 0 sin x 0 ( x x 0 )
单摆运动示意图
sin sin( 0 ) sin 0 cos 0
平衡状态为
0 0
sin

d 2 ( ) d ( ) Ml l Mg ( ) 0 2 dt dt

线性二阶微分方程
d 2 d Ml 2 l Mg 0 dt dt