河北省唐山市2018届高三第一次模拟考试数学(文)试卷(扫描版)

唐山市2017—2018学年度高三年级第一次模拟考试
文科数学参考答案
一．选择题：
A 卷：DACCD BDBCA CD
B 卷：AACCD DBBCA CD 二．填空题： （13）－4
（14）－5
（15）(1，2)
（16）22
三．解答题： （17）解：
（Ⅰ）设{a n }的公差为d ，{b n }的首项为b 1，则a n ＝1＋(n －1)d ，b n ＝b 1q n －
1．
依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧1＋d ＝b 1，2d ＝b 1(q －1)，(1＋d )b 1q ＝b 1q 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝1，
b 1＝2，q ＝2，
所以a n ＝n ，b n ＝2n ．
…6分
（Ⅱ）S n ＝1×2n ＋2×2n －
1＋…＋n ×21， ①
所以2S n ＝1×2n ＋
1＋2×2n ＋…＋n ×22， ②
②－①可得，S n ＝2n ＋1＋(2n ＋2n －
1＋…＋22)－n ×21
＝2n ＋1
－2n ＋4(2n －
1－1)2－1
＝2n ＋
2－2n －4．
…12分
（18）解：
（Ⅰ）-x ＝50×0.0010×100＋150×0.0020×100＋250×0.0030×100
＋350×0.0025×100＋450×0.0015×100＝265． …4分
（Ⅱ）当日需求量不低于300公斤时，利润Y ＝(20－15)×300＝1500元； 当日需求量不足300公斤时，利润Y ＝(20－15)x －(300－x )×3＝8x －900元；
故Y ＝⎩⎨⎧8x －900，0≤x ＜300，1500，300≤x ≤500．
…8分
由Y ≥700得，200≤x ≤500， 所以P (Y ≥700)＝P (200≤x ≤500)
＝0.0030×100＋0.0025×100＋0.0015×100 ＝0.7．
…12分
（19）解：
（Ⅰ）过点B 1作A 1C 的垂线，垂足为O ，
由平面A 1B 1C ⊥平面AA 1C 1C ，平面A 1B 1C ∩平面AA 1C 1C ＝A 1C ， 得B 1O ⊥平面AA 1C 1C ，
又AC ⊂平面AA 1C 1C ，得B 1O ⊥AC ．
由∠BAC ＝90°，AB ∥A 1B 1，得A 1B 1⊥AC ． 又B 1O ∩A 1B 1＝B 1，得AC ⊥平面A 1B 1C ． 又CA 1⊂平面A 1B 1C ，得AC ⊥CA 1．
…6分
（Ⅱ）因为AB ∥A 1B 1，AB ⊂平面ABC ，A 1B 1⊄平面ABC ， 所以A 1B 1∥平面ABC ，
所以B 1到平面ABC 的距离等于A 1到平面ABC 的距离，设其为d ， 由V A 1-ABC ＝V B -AA 1C 得，
1
3×
1
2×AC ×AB ×d ＝
1
3×
1
2×AC ×A 1C ×B 1O ，
所以d ＝B 1O ＝3．
即点B 1到平面ABC 的距离为3． …12分
（20）解：
（Ⅰ）依题意得A (0，b )，F (－c ，0)，当AB ⊥l 时，B (－3，b )，
由AF ⊥BF 得k AF ·k BF ＝ b c · b
－3＋c
＝－1，又b 2＋c 2＝6.
解得c ＝2，b ＝2．
所以，椭圆Γ的方程为x 26＋y 2
2＝1．
…5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得A (0，2)，所以k AM ＝－2
m ， 又AM ⊥BM ，AC ∥BM ，所以k BM ＝k AC ＝m 2， 所以直线AC 的方程为y ＝
m
2
x ＋2，
…7分
y ＝m 2x ＋2与x 26＋y 2
2＝1联立得(2＋3m 2)x 2＋12mx ＝0，所以x C ＝－12m 2＋3m 2，
|AM |＝2＋m 2
，|AC |＝2＋m 22
·－12m
2＋3m 2（m ＜0），
…10分
在直角△AMC 中，由∠AMC ＝60°得，|AC |＝3|AM |，整理得：(3m ＋2)2＝0， 解得m ＝－6
3．
…12分
A
A 1
B
C
B 1
O
C 1
（21）解：
（Ⅰ）f '(x )＝1－x
e x ，
当x ＜1时，f '(x )＞0，f (x )单调递增； 当x ＞1时，f '(x )＜0，f (x )单调递减，
故x ＝1时，f (x )取得最大值f (1)＝ 1
e ．
…4分
（Ⅱ）因为g '(x )＝e x －
1＋1x 2－ 1 x －1，
设切点为(t ，0)，则g '(t )＝0，且g (t )＝0， 即e t －1＋1t 2－ 1 t －1＝0，e t －
1－ 1 t －ln t －t ＋a ＝0，
所以a ＝ 1 t ＋ln t ＋t －e t －
1．
…7分
令h (x )＝e x －
1＋1x 2－ 1 x －1，
由（Ⅰ）得f (x )≤ 1 e ，所以x e x ≤ 1 e ，即e x －
1≥x ，等号当且仅当x ＝1时成立，
所以h (x )≥x ＋1x 2－ 1
x －1＝(x －1)2(x ＋1)x 2
≥0，等号当且仅当x ＝1时成立， 所以当且仅当x ＝1时，h (x )＝0，所以t ＝1． …11分 故a ＝1． …12分
（22）解：
（Ⅰ）由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得，
C 1：ρ2cos 2θ＋ρ2sin 2θ－2ρcos θ＋1＝1，所以ρ＝2cos θ； C 2：ρ2cos 2θ＋ρ2sin 2θ－6ρcos θ＋9＝9，所以ρ＝6cos θ．
…4分
（Ⅱ）依题意得|AB |＝6cos α－2cos α＝4cos α，－
π
2＜α＜
π
2， C 2(3，0)到直线AB 的距离d ＝3|sin α|，
所以S △ABC 2＝
1
2×d ×|AB |＝3|sin 2α|，
故当α＝±
π
4时，S △ABC 2取得最大值3．
…10分
（23）解：
（Ⅰ）f (x )＝|x ＋1|－|x |＝⎩
⎪⎨⎪⎧－1，x ≤－1，
2x ＋1，－1＜x ＜1，1，x ≥1，
由f (x )的单调性可知，当x ≥1时，f (x )取得最大值1．
所以m ＝1．
…4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，a＋b＝1，
a2
b＋1＋
b2
a＋1＝
1
3
(a2
b＋1＋
b2
a＋1
)[(b＋1)＋(a＋1)] ＝
1
3
[a2＋b2＋a2(a＋1)
b＋1＋
b2(b＋1)
a＋1
] ≥
1
3
(a2＋b2＋2a2(a＋1)
b＋1·
b2(b＋1)
a＋1
)＝
1
3(a＋b)
2
＝
1
3．
当且仅当a＝b＝1
2时取等号．
即
a2
b＋1＋
b2
a＋1的最小值为
1
3．…10分。