高中数学第八章三角恒等变换8.2.2两角和与差的正弦、正切第2课时两角和与差的正切教案新人教B版
三角恒等变换两角和与差的正弦余弦正切公式
三角恒等式
两角和与差的正弦公式
sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny，sin(x-y)=sinxcosy-cosxsiny
两角和与差的正切公式
tan(x+y)=(tanx+tany)/(1-tanxtany)，tan(x-y)=(tanx-tany)/(1+tanxtany)
倍角公式
《三角恒等变换两角和与 差的正弦余弦正切公式》
xx年xx月xx日
目录
• 三角恒等变换 • 两角和与差的正弦余弦正切公式 • 应用举例 • 相关知识点链接
01
三角恒等变换
定义和性质
定义
三角恒等变换是利用三角函数的性质及公式，对不同的角进 行恒等变换的方法。
性质
三角恒等变换的实质是角的变换，通过已知角表达未知角， 常用公式包括和差角公式、倍角公式、半角公式等。
两角和与差的正弦
01
了解并熟悉$\sin(x+y)$和$\sin(x-y)$的计算公式。
两角和与差的正切
02
了解并熟悉$\tan(x+y)$和$\tan(x-y)$的计算公式。
特殊角的正弦余弦正切值
03
熟悉0度到90度之间的一些特殊角的正弦、余弦和正切值。
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两角差的正切公式
总结词
两角差的正切公式是三角恒等变换中的基础公式之一， 用于求解或化简三角函数值。
详细描述
设角度$\alpha$和$\beta$的差为$\varphi$，则两角 差的正切公式为$\tan\varphi = \frac{\sin\varphi}{\cos\varphi} = \frac{\sin\alpha\cos\beta \cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta}$
两角和与差的正弦余弦和正切公式
利用三角函数的倍角公式推导
总结词
通过三角函数的倍角公式，我们可以推导出 两角和与差的正弦、余弦和正切公式。
详细描述
三角函数的倍角公式指出，对于任意角度α， sin(2α)、cos(2α)和tan(2α)的值可以通过
sin(α)、cos(α)、tan(α)的函数关系来表达。 利用这个公式，我们可以推导出两角和与差
总结词
通过三角函数的减法定理，我们可以推导出 两角和与差的正弦、余弦和正切公式。
详细描述
三角函数的减法定理指出，对于任意角度α、 β，sin(α-β)、cos(α-β)和tan(α-β)的值可 以通过sin(α)、cos(α)、sin(β)、cos(β)、 tan(α)和tan(β)的函数关系来表达。利用这 个定理，我们可以推导出两角和与差的正弦、 余弦和正切公式。
地理学问题
在地理学中，很多问题涉及到地 球的自转、公转等角度计算，如 时差、太阳高度角等，利用三角 函数公式可以方便地计算。
经济学问题
在经济学中，很多问题涉及到利 率、汇率等与角度相关的问题， 利用三角函数公式可以方便地描 述这些变化规律。
04
三角函数公式的扩展
利用三角函数的和差化积公式扩展
总结词
利用三角函数的积化和差公式扩展
总结词
利用三角函数的积化和差公式，可以将两角和与差的 正弦、余弦和正切公式进行扩展，得到更一般化的公 式形式。
详细描述
三角函数的积化和差公式可以将两个角度的正弦或余 弦的乘积转化为其他角度的正弦、余弦和正切的和或 差的形式，从而扩展了原有的公式。例如，利用积化 和差公式，可以将两角和的余弦表示为单个角度余弦 的函数，进一步推导得到更一般化的公式。
VS
详细描述
人教B版高中数学必修第三册精品课件 第8章 向量的数量积与三角恒等变换 第1课时 两角和与差的正弦
π
xsin
3
3
x+ cos
2
2π
3cos cos
3
−
3
x- sin
2
x
x
探究二
给值求值问题
【例 2】
π
3π
12
3
已知 <β<α< ,cos(α-β)= ,sin(α+β)=- ,求
2
4
13
5
π
3π
解:因为 <β<α< ,所以
2
4
又
π
3π
0<α-β< ,π<α+β< .
4
2
12
3
cos(α-β)=13 ,sin(α+β)=-5,所以
【变式训练3】 已知函数f(x)=
(1)求f(x)的最小正周期与值域;
(2)求f(x)的单调递增区间.
3 cos 2x-sin 2x,x∈R.
解:(1)∵f(x)=-sin 2x+ 3cos 2x
=-2
1
sin
2
=-2 sin
=-2sin
2x- 3cos 2x
2
π
2xcos3 -cos
π
2x-3
π
2xsin3
,x∈R,
2π
∴最小正周期 T= =π,函数的值域为[-2,2].
2
π
π
3π
(2)由 2kπ+2 ≤2x-3 ≤2kπ+ 2 ,k∈Z,
5π
11π
得 kπ+12 ≤x≤kπ+ 12 ,k∈Z.
5π
11π
高中数学 弦与正切公式 第2课时 两角和与差的正弦、余弦与正切公式(一)课件 新人教A版必修第一册
[解析]
(1)因为
sin
α
＝
15 17
，
α
∈ π2，π
，
所以
cos
α＝－
1－sin2α＝－ 1－11572＝－187.
所以 sinπ3－α＝sinπ3cos α－cosπ3sin α
＝ 23×－187－12×1157＝－15＋348
3 .
(2)∵0<α<π2，∴π4<π4＋α<34π， ∴sinπ4＋α＝23 2， ∵－π2<β<0，∴π4<π4－2β<π2， ∴sinπ4－2β＝ 36.
α，β∈R
想一想：如何记忆公式S(α＋β)，S(α－β)? 提示：记忆口诀：正余余正，符号相同．正余余正表示展开后的两 项分别是两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦；符号相同表示展开后两项之 间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相同，即两角和时用 “＋”，两角差时用“－”．
练一练：
1．下列说法中正确的个数是
2
2
__2__，sin(α－β)的值为_1_0__．
[解析] (1)sin 20°cos 40°＋cos 20°·sin 40°＝sin(20°＋40°)＝sin 60°＝
3 2.
(2)sin 15°＋sin 75°＝sin(45°－30°)＋sin(45°＋30°)＝sin 45°cos 30°－
cos(α＋β)＝－ 1－sin2（α＋β） ＝－ 1－－352＝－45. 所以 sin 2α＝sin [(α－β)＋(α＋β)]
＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)
＝153×－45＋1123×－35＝－5665.
[归纳提升] 1．当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两 个“已知角”的和或差的形式．
高中数学第八章向量的数量积与三角恒等变换8..两角和与差的正弦正切课时素养检测含解析B版第三册
课时素养检测十八两角和与差的正弦、正切（30分钟60分）一、选择题（每小题4分，共24分，多选题全部选对得4分，选对但不全对的得2分,有选错的得0分）1.计算sin 8°cos 38°-sin 82°sin 38°等于(）A。
B. C.—D。
-【解析】选C.逆用两角差的正弦公式，得sin 8°cos 38°-sin 82°sin 38°=sin 8°cos 38°-cos 8°sin 38°=sin(8°—38°)=sin（-30°)=-sin 30°=-.2.sin cos+cos sin= (）A.B。
- C.D。
—【解析】选A。
逆用两角和的正弦公式，得sin cos+cos sin=sin=sin=sin=.3。
= （)A. B.C。
1 D.【解析】选A。
=tan（82°—22°）=tan 60°=.4.已知cos=2cos（π—α），则tan=()A。
—4 B.4 C.— D.【解析】选C.因为cos=2cos（π—α),所以—sin α=-2cos α,所以tan α==2，所以tan==-.5。
已知A，B，C是△ABC的三个内角，且tan A，tan B是方程3x2—5x+1=0的两个实数根,则△ABC是（）A.钝角三角形B.锐角三角形C。
直角三角形 D.无法确定【解析】选A.因为tan A，tan B是方程3x2—5x+1=0的两个实数根,则tan A+tan B=,tan Atan B=，所以tan(A+B)==,所以0〈A+B〈，得<C〈π，所以△ABC是钝角三角形。
【补偿训练】在△ABC中，∠C=120°,tan A+tan B=，则tan Atan B的值为（)A.B。
《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》教学设计
《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》教学设计一、教学分析1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式是在研究了两角差的余弦公式的基础上，进一步研究具有“两角和差”关系的正弦、余弦、正切公式的。
在这些公式的推导中,教科书都把对照、比较有关的三角函数式，认清其区别，寻找其联系和联系的途径作为思维的起点,如比较cos(α—β）与cos(α+β),它们都是角的余弦只是角形式不同,但不同角的形式从运算或换元的角度看都有内在联系，即α+β=α—（—β)的关系，从而由公式C（α—β）推得公式C(α+β）,又如比较sin（α-β）与cos(α—β），它们包含的角相同但函数名称不同，这就要求进行函数名的互化，利用诱导公式（5）（6）即可推得公式S(α-β）、S(α+β）等。
2。
通过对“两角和与差的正弦、余弦、正切公式”的推导，揭示了两角和、差的三角函数与这两角的三角函数的运算规律，还使学生加深了数学公式的推导、证明方法的理解.因此本节内容也是培养学生运算能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力,发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义。
3.本节的几个公式是相互联系的，其推导过程也充分说明了它们之间的内在联系，让学生深刻领会它们的这种联系，从而加深对公式的理解和记忆.本节几个例子主要目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯,教学中应当有意识地对学生的思维习惯进行引导，例如在面对问题时，要注意先认真分析条件，明确要求，再思考应该联系什么公式，使用公式时要具备什么条件等.另外,还要重视思维过程的表述，不能只看最后结果而不顾过程表述的正确性、简捷性等，这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的。
二、三维目标1.知识与技能:在学习两角差的余弦公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式,了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力。
三角恒等变换两角和与差的正弦余弦正切公式两角和与差的正切公式
xx年xx月xx日
contents
目录
• 引言 • 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 • 两角和与差的正切公式推导 • 两角和的正弦、余弦、正切公式 • 两角差的正弦、余弦、正切公式
01
引言
课程背景
数学是研究数量、 结构、变化和空间 等概念的学科
$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta\cos\alpha\sin\beta$
两角和与差的正弦公式证明
1. 证明 $\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\co s\alpha\sin\beta$
2. 证明$\sin(\alpha\beta)=\sin\alpha\cos\beta\cos\alpha\sin\beta$
又因为cos(π/2-x)=sinx，sin(π/2-x)=cosx，代入上式 得sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny。
两角和的正弦应用举例
举例1
已知一个直角三角形的两个锐角分别为 30度和45度，求两锐角和的正弦值。
VS
解
首先计算出这两个锐角的正弦值分别为 1/2和1/√2，然后利用两角和的正弦公式 计算两锐角和的正弦值为： sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin 45°=1/2×√2/2+√3/2×√2/2=(√2+√6)/ 4。
两角和的正切公式
两角和的正切公式为：tan(x+y)=(tanx+tany)/(1-tanxtany)。
该公式是三角恒等变换中的基本公式之一，可以用来将两角和的正切表示为两角 正切的和除以两角正切的积减1的形式。
新教材高中数学第八章 8.2三角恒等变换8.2.3倍角公式8.2.4三角恒等变换的应用教案新人教B版第三册
8.2.3 倍角公式 8.2.4 三角恒等变换的应用(教师独具内容)课程标准：1.能从两角差的余弦公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能运用相关三角公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式)．教学重点：1.二倍角的正弦、余弦、正切公式以及公式的变形，二倍角公式的简单应用.2.半角公式、积化和差、和差化积公式的推导训练.2.三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点．教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力.【知识导学】知识点一 二倍角公式S 2α：sin2α＝□012sin αcos α. C 2α：cos2α＝□02cos 2α－sin 2α＝□032cos 2α－1＝□041－2sin 2α. T 2α：tan2α＝□052tan α1－tan 2α. 知识点二 半角公式sin α2＝□01± 1－cos α2； cos α2＝□02± 1＋cos α2； tan α2＝□03± 1－cos α1＋cos α＝□04sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.知识点三 积化和差公式cos αcos β＝12[□01cos(α＋β)＋□02cos(α－β)]， sin αsin β＝－12[□03cos(α＋β)－□04cos(α－β)]． sin αcos β＝12[□05sin(α＋β)＋□06sin(α－β)]， cos αsin β＝12[□07sin(α＋β)－□08sin(α－β)]． 知识点四 和差化积公式cos x ＋cos y ＝□012cos x ＋y2cosx －y2，cos x －cos y ＝□02－2sin x ＋y2sinx －y2，sin x ＋sin y ＝□032sin x ＋y2cos x －y2， sin x －sin y ＝□042cos x ＋y 2sinx －y2.【新知拓展】1．倍角公式中的“倍角”的相对性：对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是3α2的2倍，这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．前提：所含各三角函数有意义．2．确定半角的正弦、余弦、正切无理表示式前符号的原则 (1)如果没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号．(2)若给出角α的具体范围(即某一区间)时，则先求α2所在范围，然后再根据α2所在范围选用符号．(3)如给出的角α是某一象限角时，则根据下表决定符号：αα2sin α2 cos α2tan α2第一象限 第一、三象限 ＋、－ ＋、－ ＋ 第二象限 第一、三象限 ＋、－ ＋、－ ＋ 第三象限 第二、四象限 ＋、－ －、＋ － 第四象限第二、四象限＋、－－、＋－(4)由于tan α2＝sin α1＋cos α及tan α2＝1－cos αsin α不含被开方数，且不涉及符号问题，所以求解关于tan α2的题目时，使用相对方便，但需要注意该公式成立的条件．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．( ) (2)存在角α，使得sin2α＝2sin α成立．( ) (3)对于任意的角α，cos2α＝2cos α都不成立．( )(4)若角α是第一象限角，则sin α2＝1－cos α2.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× 2．做一做(1)sin15°sin75°的值为( ) A.12 B.14 C.32D.34(2)若cos α＝13，α∈(0，π)，则cos α2的值为( )A.63 B ．－63 C ．±63D ．±33(3)已知cos α＝13，则cos2α等于________．(4)tan22.5°＝________.答案 (1)B (2)A (3)－79(4)2－1题型一 利用倍角公式化简求值 例1 (1)计算：①cos4α2－sin4α2＝________；②12－cos 2π8＝________； (2)化简：cos10°＋3sin10°1－cos80°＝________；(3)化简：2cos 2α－12tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝________.[解析] (1)①cos 4α2－sin4α2＝⎝⎛⎭⎪⎫cos2α2－sin2α2·⎝⎛⎭⎪⎫cos 2α2＋sin 2α2＝cos α.②原式＝1－2cos 2π82＝－2cos 2π8－12＝－12cos π4＝－24.(2)原式＝2cos 10°－60°2sin 240°＝2cos50°2sin40°＝ 2. (3)原式＝cos2α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos2αsin2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos2αcos2α＝1.[答案] (1)①cos α ②－24(2) 2 (3)1 金版点睛倍角公式转化的策略(1)探究角之间的“倍、半”关系，是恰好运用倍角公式的前提． (2)注意角之间的“互补、互余”关系，能有效地进行角之间的互化． (3)分析题设条件中所给式的结构特征，是有效进行三角变换的关键．提醒：在化简求值时要关注四个方向：分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异．[跟踪训练1] 求下列各式的值：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12－sin π12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12＋sin π12；(2)2tan15°1－tan 215°. 解 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12－sin π12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12＋sin π12＝cos2π12－sin 2π12＝cos π6＝32. (2)2tan15°1－tan 215°＝tan30°＝33. 题型二 半角公式的应用例2 已知sin φcos φ＝60169，且π4<φ<π2，求sin φ，cos φ的值．[解] ∵sin φcos φ＝60169，∴sin2φ＝120169，又∵π4<φ<π2，∴π2<2φ<π，sin φ>0，cos φ>0，∴cos2φ<0，∴cos2φ＝－1－sin 22φ＝－1－⎝⎛⎭⎪⎫1201692＝－119169，∴sin φ＝1－cos2φ2＝ 1＋1191692＝1213，cos φ＝ 1＋cos2φ2＝ 1－1191692＝513. 金版点睛利用半角公式化简的基本思路(1)降次．一般运用公式cos 2α2＝1＋cos α2，sin2α2＝1－cos α2化次数较高的三角函数为次数较低的三角函数．(2)统一函数名称．化多种三角函数为单一的三角函数． (3)统一角．化多角为单一角，减少角的种类．(4)弦切互化．一般地，若要化简的式子中含有正切，则需要将正切化为正余弦；有时候也需要将弦化为切，要视已知条件或式子结构而定．[跟踪训练2] 已知cos α＝－35，180°<α<270°，求sin α2，cos α2，tan α2.解 ∵180°<α<270°，∴90°<α2<135°，即角α2是第二象限的角．∴sin α2>0，cos α2<0，tan α2<0， ∴sin α2＝ 1－cos α2＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝255， cos α2＝－1＋cos α2＝－ 1－352＝－55， tan α2＝－1－cos α1＋cos α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－351－35＝－2. 题型三 证明三角恒等式 例3 证明下列等式：cos 2(A ＋B )－sin 2(A －B )＝cos2A cos2B .[证明] 左边＝1＋cos 2A ＋2B 2－1－cos 2A －2B2＝cos2A ＋2B ＋cos 2A －2B2＝12(cos2A cos2B －sin2A sin2B ＋cos2A cos2B ＋sin2A sin2B )＝cos2A cos2B ＝右边，所以原等式成立． 金版点睛证明的原则及一般步骤(1)化繁为简，观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想．(2)变异为同，证明的一般步骤是：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后本着“复角化单角”“异名化同名”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的．[跟踪训练3] 证明：sin x ＋cos x －1sin x －cos x ＋1sin2x ＝tan x2.证明 左边＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x ＋1－2sin 2x 2－1⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －1＋2sin 2x 2＋1sin2x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin x 2cos x 2＋2sin 2x 24sin x 2cos x2cos x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 2－sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 2＋sin x 2sin x 2cos x2cos x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2x 2－sin 2x 2·si n x 2cos x2·cos x＝cos x ·si nx2cos x2·cos x＝tan x2＝右边，所以原等式成立.题型四 运用公式研究函数性质例4 已知函数f (x )＝sin 2x ＋2sin x cos x ＋3cos 2x ，x ∈R .求： (1)函数f (x )的最大值及取得最大值时自变量x 的集合； (2)函数f (x )的单调递增区间．[解] (1)f (x )＝(sin 2x ＋cos 2x )＋2sin x cos x ＋2cos 2x ＝2sin x cos x ＋1＋2cos 2x ＝sin2x ＋cos2x ＋2＝2＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， ∴当2x ＋π4＝2k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋π8(k ∈Z )时，f (x )取得最大值2＋ 2.函数f (x )取得最大值时自变量x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π＋π8，k ∈Z. (2)由(1)，得f (x )＝2＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，由题意，得2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，即k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )时，函数f (x )单调递增，因此函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z )． 金版点睛利用公式研究三角函数性质的思路要研究三角函数的性质，需将所给函数式利用和(差)角公式和二倍角公式化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B 或f (x )＝A cos(ωx ＋φ)＋B 的形式，进而依据y ＝sin x 或y ＝cos x 的性质对所求函数进行性质研究．[跟踪训练4] 已知函数f (x )＝2sin x 2cos x 2－2sin 2x2.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π，0]上的最小值． 解 (1)因为f (x )＝22sin x －22(1－cos x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4－22，所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为－π≤x ≤0，所以－3π4≤x ＋π4≤π4. 所以当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π4时，f (x )取得最小值．所以f (x )在区间[－π，0]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＝－1－22.1．已知cos α＝－35，则cos2α等于( )A.725B．－725C.2425D．－2425答案 B解析cos2α＝2cos2α－1＝－725.2．若角α的终边经过点P(1，－2)，则tan2α的值为______．答案4 3解析由角α的终边经过点P(1，－2)，则tanα＝－2，由倍角公式得tan2α＝2tanα1－tan2α＝43.3．函数y＝sin2x的最小正周期为__________．答案π解析因为y＝sin2x＝1－cos2x2＝－12cos2x＋12，所以T＝2π2＝π.4．化简1＋sin98°＝__________.答案2cos4°解析1＋sin98°＝sin49°＋cos49°2＝|sin49°＋cos49°|＝sin49°＋cos49°＝2sin(49°＋45°)＝2sin94°＝2cos4°.5．已知cosα8＝－45，8π<α<12π，求sinα4，cosα4，tanα4.解∵8π<α<12π，∴π<α8<3π2，∴sinα8＝－1－cos2α8＝－1－⎝⎛⎭⎪⎫－452＝－35，∴sinα4＝2sinα8cosα8＝2×⎝⎛⎭⎪⎫－35×⎝⎛⎭⎪⎫－45＝2425，cosα4＝2cos2α8－1＝2×⎝⎛⎭⎪⎫－452－1＝725，∴tanα4＝sinα4cosα4＝247.。
高中数学第八章向量的数量积与三角恒等变换82三角恒等变换821两角和与差的余弦教案新人教B版
8.2.1 两角和与差的余弦(教师独具内容)课程标准：1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义.2.能从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式.3.能用两角和与差的余弦公式进行简单的恒等变换．教学重点：两角差的余弦公式的推导与运用．教学难点：两角差的余弦公式的推导过程.【知识导学】知识点一两角和与差的余弦公式cosαcosβ＋sinαsinβ；两角和的余弦公式：两角差的余弦公式：cos(α－β)＝□01cosαcosβ－sinαsinβ.两角α，cos(α＋β)＝□β的差(或和)的余弦公式右端是两角α，02和(或差)．β的余弦之积与正弦之积的□03α＋β＝－□α＋β)β)，知识点二角的变换：β＝(－＋α；2α＝(αβ)＋□(α02012βα????????β－－α.－□03????22【新知拓展】1．两角和与差的余弦公式的结构特征即公式的左边是和(差)角的余弦，右边的式子是含有同名函数之积的差(和)式，可用口诀“余余正正号相反”记忆公式．2．公式的适用条件公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，如α＋βα－βα＋βα－β????－”相当于公式中的αcos中的“”，“”相当于公式中的角“??2222角“β”．因此对公式的理解要注意结构形式，而不要局限于具体的角．3．“给角求值”“给值求值”问题使其角相同或具有某种关系，“给角求值”“给值求值”问题求解的关键在于“变角”，借助角之间的联系寻找转化方法．．解决“给值求角”问题的注意点4．“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角．遵照以下原则：已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角(1)已知正切函数值，选正切函数；(2)π????，0，选余弦较好；若角的范围为，π)的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0??2ππ????，－，选正弦较好．??22(正确的打“√”，错误的打“×”)1．判一判) ＝cosα＋cosβ都不成立．( ，(1)对于任意的实数α，βcos(α＋β)) .( sinαsinββ，β∈R，cos(α－β)＝cosαcos＋对任意的(2)αππππ????????????????α＋α＋－－αα)α.( －cos(3)cossinsin ＝cos2????????4444 (3)×答案(1)× (2)√2．做一做) ( (1)cos45°cos15°＋sin15°sin45°的值为33 A．－B. 2222 ．－DC. 22) (2)下列式子中，正确的个数为(π????α＋α；＝＝①cos(α－β)cosα－cosβ；②cossin??2. ββ－sinαsinα③cos(α－β)＝coscos1 ．A．0 B3．C2D． (3)①cos165°＝________；ππ3????????＋α，0________.＝＝α，sin2cos，则∈②若α????425126＋ (1)B 答案(2)A (3)①－②54．题型一给角求值例1 求下列各式的值：π43????－(1)cos；(2)cos45°cos15°＋sin45°sin15°；??12 (3)sin163°sin223°＋sin253°sin313°.πππ433ππππ5π2????????－＋(1)cos＝coscos解－sin＝coscos＝－sin＝[×]????1246262124642－216. ×＝4223. (2)cos45°cos15°＋sin45°sin15°＝cos(45°－15°)＝cos30°＝2 (3)sin163°sin223°＋sin253°sin313°＝sin(180°－17°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋73°)·sin(360°－47°) ＝－sin17°sin43°＋sin73°sin47°＝－sin17°sin43°＋cos17°cos43°1.＝cos(17°＋43°)＝cos60°＝ 2 金版点睛利用两角和与差的余弦公式求值的一般思路15°＝60°(如15°＝45°－30°或(1)非特殊角型：把非特殊角转化为特殊角的和或差－45°)，直接应用公式求值．逆用结构型：把两角的和与差的展开式中的角视为一个整体，借助诱导公式等工具，(2) 构造两角和与差的余弦公式的展开式，然后逆用公式求值．1]跟踪训练[ 求值：(1)cos105°＋sin195°；xxxx)－sin(＋27°)·sin(18°－(2)cos(．＋27°)·cos(18°－) (1)cos105°＋sin195°＝cos105°＋sin(90°＋105°)解＝2cos105°＝2cos(135°－30°) ＝2(cos135°·cos30°＋sin135°·sin30°)??6－21232??＝＝2×. ×＋－×2??2222xxxx)＋27°)·sin(18°－sin(－)＋27°)·cos(18°－(2)cos(xx)] cos[(＋27°)＋(18°－＝2. ＝cos45°＝2 给值求值题型二π33????π， 2 ＝－，α＋β)已知α，β∈，sin(例??45ππ12????????＋αβ－，求cossin的值．＝????4413π33πππ，<β－<，[解] 由条件，得<α＋β<2π4224π54????－β＝－∴cos(α＋β)＝，cos，??4135πππ????????????????－α＋β－β＋＝cos(αα－＋＝cosα＋βsin(＋∴cosβ)·cos????????44435π56124????????????－－β－. β)sin××＋＝－＝??????541365513 金版点睛给值求值的解题步骤找角的差异．已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，先注意观察已(1) 知角与所求表达式中角的差异．拆角与凑角．根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换，常见角的变换有：(2)1)＝[(α＋β，(2α－β)－(α－β)αα，＝α(α＋β)－βα＝β－(β－)，α＝21 等．－α)]α＝[(β＋α)－(β)]＋(α－β， 2 求解便可．求解．结合公式C(3)β±αππ35π????2]跟踪训练[α＋) α<，则cos 已知sinα的值是( ，＝<??66533－3－4334 B.A.1010323－323－C. D.55A答案ππππ5.π＋α<<∵α<，∴<解析6236ππ4????2????α＋α＋＝－∴cos.＝－－1sin????665．πππππ343π??????????????α＋??αα＋＋－＋×cos∴cosα＝cos＝cos＋sinsin＝－??????666??6526653413－. ＝×102 给值求角题型三3543的大，求cosββ例3 已知α，为锐角，的值及sinα＝，sin(α＋ββ)＝147 小．34 ，sinα＝为锐角，且[解] ∵α7??13422??. 1－＝cosα＝1－sinα＝∴7??7 ，π)．又∵α，β为锐角，∴α＋β∈(0π35????π，. ＝sin(α＋β)<sinα，∴α＋β∈∵??2142βcos(αα＋β)＝－1－sin＋即??11352??. ＝－1＝－－14??14]－α∴cosβ＝cos[(α＋β) α)·cosα＋sin(α＋β)·sin＝cos(α＋β11141353????－＋×＝×. ＝??1414727π.又∵β为锐角，∴β＝ 3 金版点睛解答给值求角问题的步骤 (1)求角的某一个三角函数值． (2)确定角所在的范围．根据角的范围写出所求的角．(3)1053]跟踪训练[BAABAB________的大小为已知，sin均为钝角且sin＝＝，则＋．，105π7 答案4105AABB＝，sin，＝sin 均为钝角且，∵解析105．522AA－sin∴cos＝－，＝－151032BB.sin＝－＝－1cos－10ππBAAB. ＋∵ππ<<<π，<<2<π，∴22BABABA∴cos(sin＋－)＝cossincos??251025103??. ＝－××＝－－55102??107πAB＝∴.＋4题型四证明三角恒等式例4 证明：cos(α＋β＋γ)＋cos(α＋β－γ)＋cos(γ＋α－β)＋cos(γ－α＋β)＝4cos αcosβcosγ.[证明] 原式左边＝cos[(α＋β)＋γ]＋cos[(α＋β)－γ]＋cos[γ＋(α－β)]＋cos[γ－(α－β)]＝cos(α＋β)cosγ－sin(α＋β)sinγ＋cos(α＋β)cosγ＋sin(α＋β)sinγ＋cosγcos(α－β)－sinγsin(α－β)＋cosγcos(α－β)＋sinγsin(α－β)＝2cos(α＋β)cosγ＋2cos(α－β)cosγ＝2cosγ[cos(α＋β)＋cos(α－β)]＝2cosγ·2cosαcosβ＝4cosαcosβcosγ＝右边，所以等式成立．金版点睛证明三角恒等式遵循的原则由繁到简，化异为同．常用的方法有：由一边到另一边(即由等式的一边开始逐步化简到与另一边相同为止)；左右归一(左右两边同时化简为一个相同的式子)等．跟踪训练[β. sinα－)cos(α－β)＝cos 证明：cos(α＋β证明原式左边＝(cosαcosβ224]－sinαsinβ)(cosαcosβ＋sinαsinβ)sinsin＝cosαcosβ－2222α)sinβcos)(1＝cosα－sinβ－(1－222222α＋sinβα－cos 2222βα＝αcossin－βcossinβ22αβ＝cossin－＝右边，所以等式成立．ππππ)( sinsin的值为1．coscos－61212621 A. B.2231C.D ．2B答案ππ2π????＋. cos＝解析原式＝cos＝??61224) 2．计算cos70°cos335°＋sin110°sin25°的结果是(2 B.A．1 213 D.C.22B答案2. 解析原式＝cos70°cos25°＋sin70°sin25°＝cos(70°－25°)＝cos45°＝2________. －40°)sin(－20°)＝cos(－40°)cos20°－sin(3．计算：1 答案21.解析原式＝cos40°cos20°－sin40°sin20°＝cos60°＝2ππ1????????，0α＋．，则cos＝，α∈α4．若cos的值为______????24324－答案6πππ221????????????＋α＋α0，＝cosα＝＝，∴，cossin，∴析解∵α∈??????42433ππππ2222＋2π4π1????????????＋α－α＋＋α.＝×cos＋sincos＋×＝sin＝cos??????44446344322ππ332????????，π，πβ)的值．∈＝，α，求cos(αβ，cos＝－，β∈－α5．已知sin ????2243π52????π，.αα∵sinα＝，∈，∴＝－cos解??233π373????，πsinβ＝－，∴＝－又∵cosβ，β∈.??244 βsinαsin＋βcosαcos＝)β－αcos(∴．3????275????????－·＝＋·－－??43????4335－27. ＝12。
2 第2课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(共41张PPT)
＝cos
17°sin 30° cos 17°
＝sin 30°＝12.
探究点 2 给值求值
已知π2＜β＜α＜34π，cos(α－β)＝1132，sin(α＋β)＝－35，求 cos 2α 与
cos 2β 的值． 【解】 因为π2＜β＜α＜34π， 所以 0＜α－β＜π4，π＜α＋β＜32π. 所以 sin(α－β)＝ 1－cos2（α－β） ＝ 1－11232＝153，
所以 cos (α＋β)＝cos π4＋β－π4－α
＝cos π4＋β·cos π4－α
＋sin π4＋βsin π4－α
＝－21× 23＋
23×－12＝－
3 2.
又因为π2<α＋β<π，
所以 α＋β＝56π.
1．化简：sin 21°cos 81°－cos 21°sin 81°等于
A．12
B．－12
若 sin π4－α＝－12，sin π4＋β＝ 23，其中π4<α<π2，π4<β<π2， 求 α＋β 的值． 解：因为π4<α<π2，π4<β<π2， 所以－π4<π4－α<0，π2<π4＋β<34π. 所以 cos π4－α＝ 1－sin2π4－α＝ 23， cos π4＋β＝－ 1－sin2π4＋β＝－12，
求下列各式的值．
(1)sin
105°；(2)tan
165°；(3)sin
47°－sin 17°cos sin 73°
30° .
解：(1)sin 105°＝sin(45°＋60°)＝sin 45°cos 60°＋cos 45°·sin 60°
＝ 22×12＋ 22× 23＝
6＋ 4
新教材高中数学第8章第2课时三角函数的积化和差与和差化积ppt课件新人教B版必修第三册
和差化积问题
【例2】 已知cos α－cos β＝12，sin α－sin β＝－13，求sin(α＋β) 的值．
[思路探究] 利用和差化积公式，对所求式子进行变形，利用 所给条件求解．
[解] 因为 cos α－cos β＝12，
所以－2sin
α＋β 2 sin
α－2 β＝12.
①
又因为 sin α－sin β＝－13，
A．12
B．14
C．－14
D．－12
B [sin 105°cos 75°＝12(sin 180°＋sin 30°)＝14.]
2．sinπ4＋αcosπ4＋β化成和差的形式为(
)
A．12sin(α＋β)＋12cos(α－β)
B．12cos(α＋β)＋12sin(α－β)
C．12sin(α＋β)＋12sin(α－β)
sin(2A＋2B)＝－sin 2C，cos(2A＋2B)＝cos 2C．
【例3】 在△ABC中，求证：sin A＋sin B－sin C＝4sinA2sinB2 cosC2 .
[思路探究] 利用和差化积进行转化，转化时要注意A＋B＋C ＝π.
[证明]
左边＝sin(B＋C)＋2sin
B－C 2 cos
＝
3 2 cos
10°cos
50°cos
70°＝
2312cos
60°＋cos
40°·cos
70°
＝
3 8 cos
70°＋
3 4 cos
Байду номын сангаас
40°cos
70°
＝
3 8 cos
70°＋
3 8 (cos
110°＋cos
30°)
三角恒等变换两角和与差的正弦余弦正切公式
三角恒等变换两角和与差的正弦余弦正切公式三角恒等变换是数学中用于简化三角函数之间关系的一组等式，其中最常见的是两角和与差的公式。
这些公式允许我们在求解复杂的三角函数问题时，将其转化为更简单的形式。
在本文中，我们将讨论三角恒等变换中的两角和与差的正弦、余弦和正切公式。
1.两角和与差的正弦公式:正弦是一个周期函数，其周期为2π。
两角和与差的正弦公式可以表示为：sin(a ± b) = sin(a)cos(b) ± cos(a)sin(b)这个公式可通过欧拉公式得到，欧拉公式为：e^(ix) = cos(x) + isin(x)当x=a和x=b时，有：e^(ia) = cos(a) + isin(a)e^(ib) = cos(b) + isin(b)将这两个方程相乘，则得到：e^(ia)e^(ib) = (cos(a) + isin(a))(cos(b) + isin(b))利用乘法展开，则有：e^(ia)e^(ib) = (cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)) + i(cos(a)sin(b) + sin(a)cos(b))将该方程的实部和虚部分别与常数i相乘，则得到：i(e^(ia)e^(ib)) = i((cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)) +i(cos(a)sin(b) + sin(a)cos(b)))移项后得到：e^(i(a+b)) = (cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)) + i(cos(a)sin(b)+ sin(a)cos(b))可以观察到，右侧的实部与虚部分别等于sin(a + b)和cos(a + b)，因此有：sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)sin(a - b) = sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b)这就是两角和与差的正弦公式。
2.两角和与差的余弦公式:余弦是一个周期函数，其周期也为2π。
高二数学上学期知识点
高二数学上学期知识点 第一部分：三角恒等变换 1.两角和与差正弦、余弦、正切公式：=±)sin(βαβαβαsin cos cos sin ±=±)cos(βαβαβαsin sin cos cos =±)(βαtg βαβαtg tg tg tg ⋅± 1 注意正用、逆用、变形用.例如：tanA+tanB=tan<A+B><1-tanAtanB>2.二倍角公式：sin2α=ααcos sin 2⋅,cos2α=αα22sin cos -=1cos 22-α=α2sin 21-tan 2α=αα2tan 1tan 2-.3.升幂公式是：2cos 2cos 12αα=+2sin2cos 12αα=-.4．降幂公式是：22cos 1sin 2αα-=22cos 1cos 2αα+=.5.万能公式：sin α=2tan 12tan22αα+cos α=2tan 12tan 122αα+-tan α=2tan 12tan22αα-6.三角函数恒等变形的基本策略：〔1〕常值代换：特别是用"1〞的代换,如1=cos2θ+sin2θ〔2〕项的分拆与角的配凑.如分拆项：sin2x+2cos2x=<sin2x+cos2x>+cos2x=1+cos2x ；配凑角：α=〔α+β〕－β,β=2βα+－2βα-等.〔3〕降次与升次.2sin2cos 12αα=-,22cos 2sin sin 1⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+ααα,sin α ,cos α可凑倍角公式；22cos 2sin sin 1⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-ααα等．〔4〕化弦〔切〕法.将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦〔切〕.注意函数关系,尽量异名化同名、异角化同角.〔5〕引入辅助角.asin θ+bcos θ=22b a +sin<θ+ϕ>,ϕ所在象限由a 、b 的符号确定,ϕ角的值由tan ϕ=a b确定.7．注意点：三角函数式化简的目标：项数尽可能少,三角函数名称尽可能少,角尽可能小和少,次数尽可能低,分母尽可能不含三角式,尽可能不带根号,能求出值的求出值． 第二部分：解三角形1.边角关系的转化：〔ⅰ〕正弦定理：A a sin =B b sin =C csin =2R<R 为外接圆的半径>;注：〔1〕a=2RsinA;b=2RsinB;c=2RsinC;〔2〕a:b:c=sinA:sinB:sinC;<3>三角形面积公式S=12absinC=12bcsinA=12acsinB;〔ⅱ〕余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos ,bc a c b A 2cos 222-+=2.应用：〔1〕判断三角形解的个数;〔2〕判断三角形的形状;<3>求三角形中的边或角；〔4〕求三角形面积S ；注：三角形中 ①a>b ⇔A>B ⇔sinA>sinB ；②内角和为180︒；③两边之和大于第三边；④在△ABC 中有-tanC B)+tan(A -cosC B)+cos(A sinC=B)+sin(A ==,2cos 2sinC B A =+,2sin 2cos CB A =+在解三角形中的应用.3.解斜三角形的常规思维方法是：〔1〕已知两角和一边〔如A 、B 、c 〕,由A+B+C = π求C,由正弦定理求a 、b ．〔2〕已知两边和夹角〔如a 、b 、C 〕,应用余弦定理求c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的角,然后利用A+B+C= π,求另一角．〔3〕已知两边和其中一边的对角〔如a 、b 、A 〕,应用正弦定理求B,由A+B+C = π求C,再由正弦定理或余弦定理求c 边,要注意解可能有多种情况．〔4〕已知三边a 、b 、c,应用余弦定理求A 、B,再由A+B+C = π,求角C ．〔5〕术语:坡度、仰角、俯角、方位角〔以特定基准方向为起点〔一般为北方〕,依顺时针方式旋转至指示方向所在位置,其间所夹的角度称之.方位角α的取值X 围是：0°≤α＜360. 第三部分：数列 证明数列{}n a 是等差〔比〕数列〔1〕等差数列：①定义法：对于数列{}n a ,若da a nn =-+1<常数>,则数列{}n a 是等差数列. ②等差中项法：对于数列{}n a ,若212+++=n n n a a a ,则数列{}n a 是等差数列.注：后两种方法仅适用于选择、填空：③n a pn q =+〔形如一次函数〕④2n S An Bn=+〔常数项为0的二次〕〔2〕等比数列：①定义法：对于数列{}n a ,若)0(1≠=+q q a a n n ,则数列{}n a 是等比数列.②等比中项法：对于数列{}n a ,若212++=n n n a a a )0(≠n a ,则数列{}n a 是等比数列2.求数列通项公式na 方法 <1>公式法：等差数列中an=a1+<n-1>d 等比数列中an= a1qn-1; (0)q ≠<2>⎩⎨⎧≥-==→-)2(,)1(,11n S S n a a S n n n n 〔 注意 ：验证a1是否包含在an 的公式中〕 〔3〕递推式为1n a ＋＝n a ＋f<n> <采用累加法>；1n a ＋＝n a ×f<n> <采用累积法>；例已知数列{}n a 满足11a =,n n a a n n ++=--111(2)n ≥,则n a =________〔答：1n a =〕〔4〕构造法；形如n n a pa q =+,1nn n a ka b -=+〔,k b p,q 为常数且p ≠q 〕的递推数列,可构造等比数列{}na x +,例 ①已知111,32n n a a a -==+,求na 〔答：1231n n a -=-〕； 〔5〕涉与递推公式的问题,常借助于"迭代法〞解决：an ＝〔an －an-1〕+<an-1－an-2>+……＋〔a2－a1〕＋a1 ； an ＝1122n 1n 1n n a a a a a a a －－－⋅〔6〕倒数法形如11n n n a a ka b --=+的递推数列如①已知1111,31n n n a a a a --==+,求n a 〔答：132n a n =-〕；3.求数列前n 项和n S .常见方法：公式、分组、裂项相消、错位相减、倒序相加.关键找通项结构.〔1〕公式法：等差数列中Sn=dn n na 2)1(1-+=2)(1n a a n + ；等比数列中 当q=1,Sn=na1 当q≠1,Sn=q q a n --1)1(1=q q a a n --11〔注：讨论q 是否等于1〕. 〔2〕分组法求数列的和：如an=2n+3n ； 〔3〕错位相减法：nn n c b a ⋅=,{}{}成等比数列成等差数列，n n c b ,如an=<2n-1>2n ；〔注1q ≠〕〔4〕倒序相加法求和：如①在等差数列{}n a 中,前4项的和为40,最后4项的和为80,所有各项的和为720,则这个数列的项数n=______；<答：48>;②已知22()1x f x x =+,则111(1)(2)(3)(4)((()234f f f f f f f ++++++＝___〔答：72〕〔5〕裂项法求和：)11(1))((1CAn B An B C C An B An a n +-+-=++=,如求和：1111122334(1)n n ++++⨯⨯⨯+=_________〔答： 1n n +〕〔6〕在求含绝对值的数列前n 项和nS 问题时,注意分类讨论与转化思想的应用,总结时写成分段数列.4.nS 的最值问题方法〔1〕在等差数列{}n a 中,有关Sn 的最值问题——从项的角度求解：①当01>a ,d<0时,满足⎩⎨⎧≤≥+001m m a a 的项数m 使得取最大值.②当01>a ,d>0时,满足⎩⎨⎧≥≤+001m m a a 的项数m 使得取最小值.〔2〕转化成二次函数配方求最值〔注：n 是正整数,若n 不是正整数,可观察其两侧的两个整数是否满足要求〕.如①等差数列{}n a 中,125a =,917S S =,问此数列前多少项和最大？并求此最大值.〔答：前13项和最大,最大值为169〕；②若{}n a 是等差数列,首项10,a >200320040a a +>,200320040a a ⋅<,则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是___ 〔答：4006〕5.求数列{an}的最大、最小项的方法〔函数思想〕：①an+1-an=……⎪⎩⎪⎨⎧<=>000如an= -2n2+29n-3②⎪⎩⎪⎨⎧<=>=+1111 n n a a <an>0> ,如an=n n n 10)1(9+③ an=f<n> 研究函数f<n>的增减性 如an=1562+n n6.常用性质：〔1〕等差数列的性质：对于等差数列{}n a ①．dm n a a m n)(-+=〔n m ≤〕②.若q p m n +=+,则q p m n a a a a +=+.③．若数列{}n a 是等差数列,n S 是其前n 项的和,*N k ∈,那么k S ,k k S S -2,kk S S 23-成等差数列.④．设数列{}n a 是等差数列,奇S 是奇数项的和,偶S 是偶数项项的和,n S 是前n 项的和,则有如下性质：<i>奇数项da a a 2,,,531成等差数列，公差为⋯<ii>偶数项da a a 2,,,642成等差数列，公差为⋯⑤．若等差数列{}n a 的前12-n 项的和为12-n S ,等差数列{}n b 的前12-n 项的和为21n T -,则2121n n n n a S b T --=.〔应用于选择、填空,要会推导,正用、逆用〕 〔2〕等比数列性质：在等比数列{}n a 中①．mn m n q a a -=〔n m ≤〕；②.若m+n=p+q,则aman=apaq ；如〔1〕在等比数列{}n a 中,3847124,512a a a a +==-,公比q 是整数,则10a =___〔答：512〕；〔2〕各项均为正数的等比数列{}n a 中,若569a a ⋅=,则3132310log log log a a a +++=〔答：10〕.③．若数列{}n a 是等比数列且q≠-1,n S 是其前n 项的和,*N k ∈,那么k S ,k k S S -2,k k S S 23-成等比数列.如：公比为-1时,4S 、8S -4S 、12S -8S、…不成等比数列7．常见结论：〔1〕三个数成等差的设法：a-d,a,a+d ；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d ；〔2〕三个数成等比的设法：a/q,a,aq ； 〔3〕若{an}、{bn}成等差,则{kan+tbn}成等差;〔4〕若{an}、{bn}成等比,则{kan}<k≠0>、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1、{anbn}、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n ba 成等比;〔5〕{an}成等差,则 <{}na c c>0>成等比. 〔6〕{bn}<bn>0>成等比,则{logcbn}<c>0且c ≠1>成等差.第四部分 不等式1．两个实数a 与b 之间的大小关系—作差法或作商法2.不等式的证明方法〔1〕比较法〔2〕综合法．〔3〕分析法注：一般地常用分析法探索证题途径,然后用综合法3. 解不等式〔1〕一元一次不等式)0(≠>a b ax 的解法①⎭⎬⎫⎩⎨⎧>>a b x x a ,0②⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<a b x x a ,0〔2〕一元二次不等式)0(,02>>++a c bx ax 的解法〔三个二次关系〕 判别式ac b 42-=∆0>∆0=∆0<∆二次函数c bx ax y ++=2的图象一元二次方程 相异实根相等实根没有实根21x x <a b x x 221-==02=++c bx ax 的根02>++c bx ax 解集{}12x x x x x <>或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2 R 02<++c bx ax 解集{}21x x x x <<φφ注：)(02≥>++c bx ax 解集为R,〔02>++c bx ax 对R x ∈恒成立〕 则〔Ⅰ〕⎪⎩⎪⎨⎧≤∆<∆>)0(00a 〔Ⅱ〕若二次函数系数含参数且未指明不为零时,需验证0=a若02<++c bx ax 解集为R 呢？如：关于x 的不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对R x ∈恒成立,则a 的取值X 围.略解〔Ⅰ〕成立时，042<-=a 〔Ⅱ〕 ⎩⎨⎧<=∆<-002a 〔3〕绝对值不等式 如果a ＞0,那么|x|a x a a x a 22＜＜－＜＜；⇔⇔ 〔4〕分式不等式若系数含参数时,须判断或讨论系数00<=>,化负为正,写出解集.主要应用：1.解一元二次不等式；2.解分式不等式；3.解含参的一元二次不等式〔先因式分解,分类讨论,比较两根的大小〕；4恒成立问题〔注：①讨论二次项系数是否为0；②开口方向与判别式〕；5.已知12x y -≤-≤,3235x y ≤-≤,求45x y -的取值X 围；〔①换元法；②线性规划法〕.4．简单的线性规划问题应用：〔1〕会画可行域,求目标函数的最值与取得最值时的最优解〔注：可行域边界的虚实〕；〔2〕求可行域内整数点的个数；〔3〕求可行域的面积；〔4〕根据目标函数取得最值时最优解〔个数〕求参数的值〔参数可在线性约束条件中,也可在目标函数中〕；〔5〕实际问题中注意调整最优解〔反代法〕.原命题若p 则q 逆命题若q 则p互逆互否5.常用的基本不等式和重要的不等式〔1〕ab b a R b a 2,,22≥+∈则〔2〕+∈R b a ,,则ab b a 2≥+；注：几何平均数算术平均数，----+ab ba 2〔3〕),()2(222R b a b a b a ∈+≥+〔4〕),(22222+∈+≤+≤≤+R b a b a b a ab b a ab ；6.均值不等式的应用——求最值〔可能出现在实际应用题〕设,0x y >,则2x y xy +≥〔1〕若积P y x P xy 2(有最小值定值），则和+=〔2〕若和22(）有最大值（定值），则积S xy S y x =+即：积定和最小,和定积最大. 注：运用均值定理求最值的三要素："一正、二定、三相等〞技巧：①凑项,例122y x x =+-〔x>2〕②凑系数 ,例 当时,求的最大值；〔答：8〕③添负号,例12(2)2(2)y x x x =-+>-；④拆项,例 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的最小值〔答：9 〕⑤构造法,例 求22()(0)1xf x x x =>+21x x =+的最大值〔答：1〕.⑥"1〞的灵活代换,若0,0x y >>且191x y +=,则x y +的最小值是________<答：16>〔3〕若用均值不等式求最值,等号取不到时,需用定义法先证明单调性,后根据单调性求最值,例 求2211y x x =++.第五部分 简易逻辑逻辑联结词,命题的形式：p 或q<记作"p ∨q 〞 >；p 且q<记作"p ∧q 〞 >；非p<记作"┑q 〞 > . 2、"或〞、 "且〞、 "非〞的真值判断〔1〕"非p 〞形式复合命题的真假与F 的真假相反；〔2〕"p 且q 〞形式复合命题当P 与q 同为真时为真,其他情况时为假；〔3〕"p 或q 〞形式复合命题当p 与q 同为假时为假,其他情况时为真．4常见结论的否定形式原结论 否定词 原结论 否定词 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于不大于至少有n 个至多有〔1n -〕个小于不小于至多有n 个至少有〔1n +〕个对所有x ,成立存在某x ,不成立p 或q p ⌝且q ⌝ 对任何x ,不成立 存在某x ,成立p 且qp ⌝或q ⌝5、四种命题：原命题：若P 则q ； 逆命题：若q 则p ；否命题：若┑P 则┑q ；逆否命题：若┑q 则┑p.6、四种命题之间的相互关系：一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下关系：<原命题⇔逆否命题> ①、原命题为真,它的逆命题不一定为真.②、原命题为真,它的否命题不一定为真.③、原命题为真,它的逆否命题一定为真.7、如果已知p ⇒q 那么我们说,p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件. 若p ⇒q 且q ⇒p,则称p 是q 的充要条件,记为p ⇔q. 8.命题的否定只否定结论；否命题是条件和结论都否定.9、反证法：从命题结论的反面出发〔假设〕,引出<与已知、公理、定理…>矛盾,从而否定假设证明原命题成立,这样的证明方法叫做反证法.第六部分 圆锥曲线定义、标准方程与性质 〔一〕椭圆 1.定义：若F1,F2是两定点,P 为动点,且21212F F a PF PF >=+ 〔a 为常数〕则P 点的轨迹是椭圆.注：〔1〕若2a 小于|1F 2F |,则这样的点不存在；〔2〕若2a 等于|1F 2F |,则动点的轨迹是线段1F 2F .<3>21F PF ∆中经常利用余弦定理、三角形面积公式将有关线段1PF 、2PF 、2c,有关角21PF F ∠结合起来,建立1PF +2PF 、1PF •2PF 等关系求出1PF 、2PF 的值.注意题目中椭圆的焦点在x 轴上还是在y 轴上.2.椭圆的标准方程：12222=+b y a x 〔a ＞b ＞0〕,12222=+b x a y 〔a ＞b ＞0〕<注：222a b c =+>.〔1〕.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果2x 项的分母大于2y 项的分母,则椭圆的焦点在x 轴上,反之,焦点在y 轴上.〔2〕.求椭圆的标准方程的方法：⑴ 定位——正确判断焦点的位置；⑵ 定量——设出标准方程后,运用待定系数法求解a 、b.3.椭圆的几何性质：线段1A 2A 、1B 2B 分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a 和2b,a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点,称为椭圆的顶点.离心率：椭圆的焦距与长轴长的比a ce =叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0＜e ＜1.e 越接近于1时,椭圆越扁；反之,e 越接近于0时,椭圆就越接近于圆.4.点与椭圆的位置关系〔1〕点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b ⇔+<. 〔2〕点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的外部2200221x y a b ⇔+>〔二〕双曲线 1.定义：若F1,F2是两定点,21212F F a PF PF <=-〔a 为非零常数〕,则动点P 的轨迹是双曲线.注：〔1〕若2a=|1F 2F |,则动点的轨迹是两条射线；〔2〕若2a ＞|1F 2F |,则无轨迹.〔3〕若去掉绝对值号,动点M 的轨迹仅为双曲线的一个分支.2.双曲线的标准方程：12222=-b y a x 和12222=-b x a y 〔a ＞0,b ＞0〕注：〔1〕222c a b =+〔与椭圆比较〕〔2〕双曲线的标准方程判别方法是：如果2x 项的系数是正数,则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数,则焦点在y 轴上.对于双曲线,a不一定大于b,因此不能像椭圆那样,通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.〔3〕求双曲线的标准方程,应注意两个问题：⑴ 定位——正确判断焦点的位置；⑵ 定量——设出标准方程后,运用待定系数法求解a,b.3.双曲线的简单几何性质双曲线12222=-b y a x 为例 实轴长为2a,虚轴长为2b,离心率a c e =＞1,离心率e 越大,双曲线的开口越大.双曲线的方程与渐近线方程的关系〔1〕若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程：⇒=-02222b y a x x a b y ±= 〔2〕若渐近线方程为x a by ±=⇒0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x 〔0λ≠〕〔3〕若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线,可设为λ=-2222b y a x 〔0λ≠,若0>λ,焦点在x 轴上,若0<λ,焦点在y轴上〕.特别地当⇔=时b a 离心率2=e ⇔两渐近线互相垂直,分别为y=x ±,此时双曲线为等轴双曲线,可设为λ=-22y x 〔0λ≠〕.〔4〕方程221x y m n -=(0,0)m n ≠≠表示双曲线的充要条件是0mn >.〔5〕注意21F PF ∆中结合定义aPF PF 221=-与余弦定理21cos PF F ∠,将有关线段1PF 、2PF 、21F F 和角结合起来.〔三〕抛物线 1.定义：到定点F 与定直线l 的距离相等的点的轨迹是抛物线.定点F 叫抛物线的焦点,定直线l 叫抛物线的准线.注：〔1〕点F 在直线l 外,〔2〕点F 在直线l 上,其轨迹是过点F 且与l 垂直的直线,而不是抛物线.2．抛物线的标准方程有四种类型：px y 22=、px y 22-=、py x 22=、py x 22-=.注：〔1〕方程中的一次项变元决定对称轴和焦点位置；〔2〕一次项前面的正负号决定曲线的开口方向；3.抛物线的几何性质,以标准方程22y px =(0)p >为例：p ：焦准距〔焦点到准线的距离〕；焦点： )0,2(p 准线： 2p x -=通径p AB 2= 焦半径：,2px CF += 过焦点弦长p x x p x p x CD ++=+++=212122 y1y2=－p2,x1x2=42p ;注：只适合求过焦点的弦长,对于其它的弦,只能用"弦长公式〞来求.4.直线与抛物线的关系：直线与抛物线方程联立之后得到一元二次方程：x 2+bx+c=0,当△≠0时,两者的位置关系的判定和椭圆、双曲线相同,用判别式法即可；但如果直线和抛物线只有一个公共点,除相切外,还有直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行,此时,不能仅考虑△=0. 注意：>抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2y p y 或或)2,2(2pt pt P P px y y x 2),(2=其中5.求轨迹的常用方法：〔1〕直接法：直接通过建立x 、y 之间的关系,构成F<x,y>＝0,是求轨迹的最基本的方法；〔2〕待定系数法：所求曲线是所学过的曲线：如直线,圆锥曲线等,可先根据条件列出所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,代回所列的方程即可；〔3〕代入法〔相关点法或转移法〕：若动点P<x,y>依赖于另一动点Q<x1,y1>的变化而变化,并且Q<x1,y1>又在某已知曲线上,则可先用x 、y 的代数式表示x1、y1,再将x1、y1带入已知曲线得要求的轨迹方程；〔4〕定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义,则可由曲线的定义直接写出方程； 〔5〕点差法,处理圆锥曲线弦中点问题常用代点相减法,主要用于求斜率.〔注意：验证判别式大于零.〕〔6〕参数法：当动点P 〔x,y 〕坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将x 、y 均用一中间变量〔参数〕表示,得参数方程,再消去参数得普通方程.注：①轨迹方程与轨迹的区别,②限制X 围,③根据曲线方程研究曲线类型时注意椭圆与圆的区别,注意次数和符号,④.涉与圆锥曲线的问题勿忘用定义解题. 〔四〕解析几何中的基本公式1.两点间距离：若)y ,x (B ),y ,x (A 2211,则212212)()(y y x x AB -+-=特别地：x //AB 轴, 则=AB |x2-x1| . y //AB 轴, 则=AB |y2-y1| .2.平行线间距离：若0C By Ax :l ,0C By Ax :l 2211=++=++则：2221B A C C d +-=注意点：①x,y 对应项系数应相等,②方程化成一般式.3.点到直线的距离：0C By Ax :l ),y ,x (P =++ 则P 到l 的距离为：22B A CBy Ax d +++=4.直线与圆锥曲线相交的弦长公式：⎩⎨⎧=+=0)y ,x (F b kx y 消y ：02=++c bx ax 〔务必注意0∆>,k 为直线的斜率.〕.若l 与曲线交于A ),(),,(2211y xB y x 则：2122))(1(x x k AB -+==或AB12||y y =-="设而不求〞的解题思想；〕特殊的直线方程: ①垂直于x 轴且截距为a 的直线方程是x=a,y 轴的方程是x=0．②垂直于y 轴且截距为b 的直线方程是y=b,x 轴的方程是y=0．注：判断直线与圆锥曲线的位置关系时,优先讨论二次项系数是否为零,然后再考虑判别式与韦达定理. 第七部分 能力要求能力主要指运算求解能力、数据处理能力、空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力,以与应用意识和创新意识． 1.运算求解能力：能够根据法则和公式进行正确运算、变形；能够根据问题的条件,寻找并设计合理、简捷的运算方法；能够根据要求对数据进行估计和近似计算．2.数据处理能力：能够收集、整理、分析数据,能抽取对研究问题有用的信息,并作出正确判断；能够根据所学知识对数据进行进一步的整理和分析,解决所给问题．3.空间想象能力：能够根据条件作出正确的图形,根据图形想象出直观形象；能够准确地理解和解释图形中的基本元素与其相互关系；能够对图形进行分解、组合；能够运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质和规律.4.抽象概括能力：能从具体、生动的实例中,发现研究对象的本质；能从给定的大量信息材料中,概括出一些结论,并能将其应用于解决问题或作出新的判断．5.推理论证能力：能够根据已知的事实和已获得的正确数学命题,论证某一数学命题的真实性．6.应用意识：能够综合运用所学知识对问题所提供的信息资料进行归纳、整理和分类,将实际问题抽象为数学问题；能应用相关的数学思想和方法解决问题,并能用数学语言正确地表述和解释．7.创新意识：能够独立思考,灵活和综合地运用所学的数学知识、思想和方法,创造性地提出问题、分析问题和解决问题．。
新教材高中数学第八章 8.2三角恒等变换8.2.2两角和与差的正弦正切第1课时两角和与差的正弦教案新人教B版
第1课时 两角和与差的正弦(教师独具内容)课程标准：1.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式.2.能运用两角和与差的正弦公式进行简单的恒等变换．教学重点：两角和与差的正弦公式的推导过程及运用． 教学难点：两角和与差的正弦公式的灵活运用.【知识导学】知识点一 两角和与差的正弦公式S α＋β：sin(α＋β)＝□01sin αcos β＋cos αsin β； S α－β：sin(α－β)＝□02sin αcos β－cos αsin β. 知识点二 有关点(向量)的一组旋转公式已知点P (x ，y )，与原点的距离保持不变，绕原点逆时针旋转θ角到点P ′(x ′，y ′)，则⎩⎨⎧x ′＝□01x cos θ－y sin θ，y ′＝□02x sin θ＋y cos θ.知识点三 函数y ＝a sin x ＋b cos x 的最值和周期函数y ＝a sin x ＋b cos x 可化为y ＝a 2＋b 2sin(x ＋θ)的形式，其中cos θ＝□01aa 2＋b 2，sin θ＝□02b a 2＋b2，最大值是□03 a 2＋b 2，最小值是□04－a 2＋b 2，周期是□052π. 【新知拓展】1．公式C α±β与S α±β的联系四个公式C α±β，S α±β虽然形式不同、结构不同，但它们的本质是相同的，其内在联系为cos(α－β)――→以－β换βcos(α＋β)sin(α＋β)――→以－β换βsin(α－β)，这样我们只要牢固掌握“中心”公式cos(α－β)的由来及表达方式，也就掌握了其他三个公式．2．注意公式的结构特征和符号规律(1)对于公式C α－β，C α＋β，可记为“同名相乘，符号反”． (2)对于公式S α－β，S α＋β，可记为“异名相乘，符号同”． 3．两角和与差的正弦公式中α，β的特征α，β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体．4．应用两角和与差的正弦公式求值的一般思路(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值．(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角和差的正弦公式的结构形式，然后逆用公式求值．5．求形如a sin α＋b cos α的最值公式公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)(或a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2cos(α－φ))将形如a sin α＋b cos α(a ，b 不同时为零)的三角函数式收缩为一个角的一种三角函数式．6．三角函数化简求值的注意点在三角函数化简求值时，要注意“三看”，即：(1)看角．把角尽量向特殊角或可计算的角转化，如果条件中的角不是单角．要把它看作一个整体，用它表达目标中的角；(2)看名称．把一道题中出现的三角函数名称尽量化成同一名称或相近的名称，例如把所有的切都转化为相应的弦；(3)看式子．看式子是否满足三角函数的公式，如果满足直接运用，如果不满足，用诱导公式转化一下角或转换一下名称，然后再运用．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)sin(α＋β)＝sin α＋sin β一定不成立．( )(2)对任意实数α，β，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β都成立．( ) (3)sin54°cos24°－sin36°sin24°＝sin30°.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ 2．做一做(1)sin47°cos43°＋cos47°sin43°等于( ) A ．0 B ．1 C ．－1D.12(2)已知θ为锐角，且sin θ＝35，则sin(θ＋45°)＝( )A.7210 B ．－7210C.210D ．－210(3)函数f (x )＝2sin x －cos x 的最大值为________． 答案 (1)B (2)A (3) 5题型一 给角求值 例1 计算：(1)cos285°cos15°－sin255°sin15°； (2)sin7°cos37°－sin83°cos307°；(3)sin(x ＋60°)＋2sin(x －60°)－3cos(120°－x )．[解] (1)原式＝cos(270°＋15°)cos15°－sin(270°－15°)sin15° ＝sin15°cos15°＋cos15°sin15°＝sin(15°＋15°) ＝sin30°＝12.(2)原式＝sin7°cos37°－cos7°cos(270°＋37°) ＝sin7°cos37°－cos7°sin37°＝sin(7°－37°) ＝sin(－30°)＝－12.(3)原式＝sin x cos60°＋cos x sin60°＋2sin x cos60°－2cos x sin60°－3cos120°cos x －3si n120°sin x＝3sin x cos60°－cos x sin60°＋3cos60°cos x －3sin60°sin x ＝32sin x －32cos x ＋32cos x －32sin x ＝0. 金版点睛解决给角求值问题的策略解决此类问题一般是先用诱导公式把角化小，化切为弦，统一函数名称，然后观察角的关系以及式子的结构特征，选择合适的公式进行求值．注意角之间的关系，特别是与特殊角之间的关系是解题的关键． [跟踪训练1] 求值：sin47°－sin17°cos30°cos17°.解 原式＝sin30°＋17°－sin17°cos30°cos17°＝sin30°cos17°＋cos30°sin17°－sin17°cos30°cos17°＝sin30°cos17°cos17°＝sin30°＝12.题型二 给值求值例2 (1)已知sin θ＝1213，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3； (2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝7210，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，求sin θ.[解] (1)∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin θ＝1213，∴cos θ＝－513，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝sin θcos π3＋cos θsin π3＝1213×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－513×32＝12－5326. (2)∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，∴θ－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝7210， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝210，∴sin θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4cos π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4sin π4＝7210×22＋210×22＝45. 金版点睛给式(值)求值的解题策略(1)当“已知角”有两个或多个时，“所求角”一般可以表示为其中两个“已知角”的和或差的形式．(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(3)角的拆分方法不唯一，可根据题目合理选择拆分方式．[跟踪训练2] 设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，若cos β＝－13，sin(α＋β)＝79，则sin α的值为( )A.127B.527C.13D.2327答案 C解析 由cos β＝－13，sin(α＋β)＝79可得sin β＝223，cos(α＋β)＝－429.所以sin α＝sin[(α＋β)－β]＝79×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫－429×223＝13.题型三 利用三角变换研究旋转变换例3 已知向量OP →＝(3,4)，绕原点逆时针旋转30°到OP ′→的位置．求点P ′(x ′，y ′)的坐标．[解] 设∠xOP ＝α，|OP |＝r ，则r ＝5，cos α＝x r ＝35，sin α＝y r ＝45.∴x ′＝r cos(α＋30°)＝r (cos αcos30°－sin αsin30°) ＝x cos30°－y sin30°＝3×32－4×12＝33－42； y ′＝r sin(α＋30°)＝r (sin αcos30°＋cos αsin30°)＝4×32＋3×12＝43＋32. ∴点P ′的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫33－42，43＋32.金版点睛对于旋转变换要结合任意角的三角函数的定义求解．[跟踪训练3] 已知向量OP →＝(5,2)，绕原点逆时针旋转30°，－60°到OP 1→，OP 2→的位置，求点P 1，P 2的坐标．解 设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，|OP →|＝r ，∠xOP ＝α，则cos α＝5r ，sin α＝2r.由任意角的三角函数的定义，得x 1＝r cos(α＋30°)＝r (cos αcos30°－sin αsin30°)＝5cos30°－2sin30°＝532－1.y 1＝r sin(α＋30°)＝r (sin αcos30°＋cos αsin30°)＝2cos30°＋5sin30°＝3＋52. 所以点P 1的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫532－1，3＋52.x 2＝r cos(α－60°)＝r (cos αcos60°＋sin αsin60°)＝5cos60°＋2sin60°＝52＋3；y 2＝r sin(α－60°)＝r (sin αcos60°－cos αsin60°)＝2cos60°－5sin60°＝1－532. 所以点P 2的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋3，1－532.题型四 “a sin α＋b cos α”型函数的最值问题例4 已知Rt △ACB 中，两垂直边AC ＝b ，BC ＝a ，斜边AB ＝c ，周长为定值l ，求斜边c 的最小值．[解] 在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，AB ＝c . 则a ＝c sin A ，b ＝c cos A ，∴l ＝a ＋b ＋c ＝c (1＋sin A ＋cos A )， ∴c ＝l 1＋sin A ＋cos A ＝l1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4.∵sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4≤1，∴c ＝l 1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4≥l1＋2＝l (2－1)，即当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝1，A ＝π4时，斜边c 最小，最小值为l (2－1)．金版点睛辅助角公式及其运用(1)应用三角函数解决实际应用题的最值问题，必须先写出函数关系式(三角形式)，再求最值．(2)型如f (x )＝a cos x ＋b sin x 的函数均可化为f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋θ)(θ为确定数值)，或化为f (x )＝a 2＋b 2cos(x －θ)(θ为确定数值)，再利用三角函数的值域求最值．[跟踪训练4] 求函数f (x )＝sin x ＋3cos x 的最值、周期． 解 f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x＝2(sin x cos60°＋cos x sin60°) ＝2sin(x ＋60°)．∴f (x )max ＝2，f (x )min ＝－2， 周期T ＝2π.题型五 证明三角恒等式例5 已知sin(2α＋β)＝5sin β， 求证：2tan(α＋β)＝3tan α.[证明] sin(2α＋β)＝5sin β⇒sin[(α＋β)＋α]＝5sin[(α＋β)－α]⇒sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α＝5sin(α＋β)cos α－5cos(α＋β)sin α⇒2sin(α＋β)cos α＝3cos(α＋β)sin α⇒2tan(α＋β)＝3tan α.金版点睛证明三角恒等式的常用方法(1)从复杂的一边入手，逐步化简，证得与另一边相等；在证明的过程中，时刻“盯”着目标，分析其特征，时刻向着目标“奔”；(2)从两边入手，证得等式两边都等于同一个式子； (3)把要证的等式进行等价变形； (4)作差法，证明其差为0. [跟踪训练5] 求证：sin2α＋βsin α－2cos(α＋β)＝sin βsin α.证明 ∵sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sin α ＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α－2cos(α＋β)sin α ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝sin[(α＋β)－α]＝sin β， ∴sin2α＋βsin α－2cos(α＋β)＝sin βsin α.1．计算sin43°cos13°－cos43°sin13°的结果等于( ) A.12 B.33 C.22D.32答案 A解析 sin43°cos13°－cos43°sin13°＝sin(43°－13°)＝sin30°＝12.2.2cos x －6sin x 等于( )A ．22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－xB ．22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－xC ．22sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3D ．22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 答案 D 解析2cos x －6sin x ＝22⎝⎛⎭⎪⎫222cos x －622sin x＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x －32sin x ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x .3．下面各式中，不正确的是( ) A ．sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋π3＝sin π4cos π3＋32cos π4B ．cos 5π12＝22sin π3－cos π4cos π3C ．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝cos π4cos π3＋64D ．cos π12＝cos π3－cos π4答案 D解析 ∵sin π3＝32，∴A 正确；∵cos 5π12＝－cos 7π12＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π4，∴B 正确；∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π3，∴C 正确；∵cos π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π4≠cos π3－cos π4，∴D 不正确．4．若cos α＝－45，α是第三象限角，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________.答案 －7210解析 由题意，知sin α＝－35，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin α·cos π4＋cos αsin π4＝－35×22－45×22＝－7210. 5．已知π2<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求sin2α的值．解 因为π2<β<α<3π4，所以0<α－β<π4，π<α＋β<3π2.又cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，所以sin(α－β)＝1－cos 2α－β＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝513， cos(α＋β)＝－1－sin2α＋β＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝－45.所以sin2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)＝513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－5665.。
高中数学章三角恒等变换两角和与差的正弦余弦和正切公式课时两角和与差的正切公式数学.doc
第2课时 两角和与差的正切公式思考：两角和与差的正切公式对任意角α，β均成立吗？ [提示] 不是对任意角α，β均成立，必须使正切有意义，两角和的正切公式使用条件为α，β，α＋β≠k π＋π2(k ∈Z )，两角差的正切公式使用条件为α，β，α－β≠k π＋π2(k ∈Z )．1．已知tan α＝4，tan β＝3，则tan(α＋β)＝( ) A.711 B ．－711 C.713 D ．－713B [tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝4＋31－4×3＝－711.]2．若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝3，则tan α的值为( )A ．－2B ．－12C.12D ．2B [由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝3，即tan π4－tan α1＋tan π4tan α＝3，可得：1－tan α1＋tan α＝3，解得：tan α＝－12.]3．已知tan α＝2，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝ .－3 [tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtanπ4＝2＋11－2×1＝－3.]4.tan 75°－tan 15°1＋tan 75°tan 15°＝ . 3 [原式＝tan(75°－15°)＝tan 60°＝ 3.]两角和与差的正切公式的应用【例1】 (1)已知tan α＝2，tan(α－β)＝－5，则tan(β－2α)＝( )A ．－34B ．－112C ．－98D.98(2)如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，D 为垂足，AD 在△ABC 的外部，且BD ∶CD ∶AD ＝2∶3∶6，则tan∠BAC ＝ .思路点拨：(1)构造角2α－β＝α＋(α－β)．(2)先求∠CAD ，∠BAD 的正切值，再依据tan∠BAC ＝tan(∠CAD －∠BAD )求值．(1)B (2)17 [(1)由已知可知tan(－α)＝－12，又β－2α＝(－α)－(α－β)，所以tan(β－2α)＝tan[(－α)－(α－β)]＝tan －α－tan α－β1＋tan －αtan α－β＝－12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－251＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－25＝－112.(2)∵AD ⊥BC 且BD ∶CD ∶AD ＝2∶3∶6，∴tan∠BAD ＝BD AD ＝13，tan∠CAD ＝CD AD ＝12，tan∠BAC ＝tan(∠CAD －∠BAD ) ＝tan∠CAD －tan∠BAD 1＋tan∠CAD tan∠BAD ＝12－131＋12×13＝17.] 1．公式T (α±β)的结构特征和符号规律：(1)结构特征：公式T (α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tanα与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和．(2)符号规律：分子同，分母反． 2．利用公式T (α＋β)求角的步骤： (1)计算待求角的正切值．(2)缩小待求角的范围，特别注意隐含的信息． (3)根据角的范围及三角函数值确定角． [跟进训练]1．(1)(2018·全国卷Ⅱ)已知tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－5π4＝15，则tan α＝ .(2)已知角α，β均为锐角，且cos α＝35，tan(α－β)＝－13，则tan β＝ . (1)32 (2)3 [(1)因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4＝15，所以tan α＝tan ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4＋5π4 ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4＋tan 5π41－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4tan5π4＝15＋11－15×1＝32.(2)因为cos α＝35，α为锐角，所以sin α＝45，tan α＝43，所以tan β＝tan[α－(α－β)]＝tan α－tanα－β1＋tan αtanα－β＝43－⎝⎛⎭⎪⎫－131＋43×⎝⎛⎭⎪⎫－13＝3.]两角和与差的正切公式的逆用【例2】(1)1－tan 15°＝ .(2)1－3tan 75°3＋tan 75°＝ .思路点拨：注意特殊角的正切值和公式T(α±β)的结构，适当变形后逆用公式求值．(1)3(2)－1[(1)原式＝tan 45°＋tan 15°1－tan 45°tan 15°＝tan(45°＋15°)＝tan 60°＝ 3.(2)原式＝33－tan 75°1＋33tan 75°＝tan 30°－tan 75°1＋tan 30°tan 75°＝tan(30°－75°)＝－tan 45°＝－1.] [跟进训练]2．求下列各式的值：(1)cos 75°－sin 75°cos 75°＋sin 75°；(2)1－tan 27°tan 33°tan 27°＋tan 33°.[解] (1)原式＝1－tan 75°1＋tan 75°＝tan 45°－tan 75°1＋tan 45°tan 75°＝tan(45°－75°)＝tan(－30°)＝－tan 30°＝－33.(2)原式＝1tan27°＋33°＝1tan 60°＝33.两角和与差的正切公式的变形运用[1．两角和与差的正切公式揭示了tan αtan β与哪些式子的关系？提示：揭示了tan αtan β与tan α＋tan β，tan αtan β与tan α－tan β之间的关系．2．若tan α，tan β是关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，b 2－4ac ≥0)的两个根，则如何用a ，b ，c 表示tan(α＋β)?提示：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－ba 1－c a＝－ba －c.【例3】 (1)tan 67°－tan 22°－tan 67°tan 22°＝ .(2)已知△ABC 中，tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，且3tan A ＋3tan B ＝tan A tan B －1，试判断△ABC 的形状．思路点拨：(1)看到tan 67°－tan 22°与tan 67°tan 22°想到将tan(67°－22°)展开变形，寻找解题思路．(2)先由关于角A ，B 的等式求出tan(A ＋B )得角A ＋B ，然后求角C 并代入关于角B ，C 的等式求角B ，最后求角A ，判断△ABC 的形状．(1)1 [∵tan 67°－tan 22°＝tan(67°－22°)(1＋tan 67°tan 22°) ＝tan 45°(1＋tan 67°tan 22°) ＝1＋tan 67°tan 22°，∴tan 67°－tan 22°－tan 67°tan 22°＝1＋tan 67°tan 22°－tan 67°tan 22°＝1.] (2)[解] ∵3tan A ＋3tan B ＝tan A tan B －1，∴3(tan A ＋tan B )＝tan A tan B －1， ∴tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－33， ∴tan(A ＋B )＝－33.又0＜A ＋B ＜π，∴A ＋B ＝5π6，∴C ＝π6.∵tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，tan C ＝33，∴tan B ＋33＋tan B ＝3，tan B ＝33，∴B ＝π6，∴A ＝2π3，∴△ABC 为顶角为2π3的等腰三角形．1．将本例(1)中的角同时增加1°，结果又如何？ [解]∵tan 45°＝tan(68°－23°)＝tan 68°－tan 23°1＋tan 68°tan 23°，∴1＋tan 68°tan 23°＝tan 68°－tan 23°， 即tan 68°－tan 23°－tan 68°tan 23°＝1.2．能否为本例(1)和探究1归纳出一个一般结论？若能，试证明．[解] 一般结论：若α－β＝45°(α，β≠k π＋π2，k ∈Z )，则tan α－tan β－tan αtan β＝1.证明：∵tan 45°＝tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β，∴1＋tan αtan β＝tan α－tan β， 即tan α－tan β－tan αtan β＝1.1．整体意识：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式．2．熟知变形：两角和的正切公式的常见四种变形： (1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)； (2)1－tan αtan β＝tan α＋tan βtan α＋β；(3)tan α＋tan β＋tan α·tan β·tan(α＋β)＝tan(α＋β)；(4)tan α·tan β＝1－tan α＋tan βtan α＋β.提醒：当一个式子中出现两角正切的和或差时，常考虑使用两角和或差的正切公式．1．应用公式T (α±β)时要注意的问题 (1)公式的适用范围由正切函数的定义可知，公式的适用条件是α，β，α＋β(或α－β)≠k π＋π2(k ∈Z )．(2)公式的变形应用只要用到tan α±tan β，tan αtan β时，有灵活应用公式T (α±β)的意识，就不难想到解题思路．特别提醒：tan α＋tan β，tan αtan β，容易与根与系数的关系联系，应注意此类题型．2．活用公式巧变换(1)“1”的代换：在T (α±β)中，如果分子中出现“1”常利用1＝tan π4来代换，以达到化简求值的目的．如3tan α＋31－tan α＝3tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4.(2)角的变换：看到两个角的正切值应想到T (α±β)公式看到α＋β，β，α－β应想到凑角，如α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝12[(α＋β)－(α－β)]等．(3)名的变换：常常用到同角关系，诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或把正切化为正、余弦求解．1．下列说法不正确的是( )A ．存在α，β∈R ，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立B ．对任意α，β∈R ，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β都成立．C ．tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β等价于tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)D ．△ABC 中，若tan A tan B ＜0，则三角形为钝角三角形B [A 对．当α＝0，β＝π3时，tan(α＋β)＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫0＋π3＝tan 0＋tan π3，但一般情况下不成立．B 错．两角和的正切公式的适用范围是α，β，α＋β≠k π＋π2(k ∈Z )．C 对．当α≠k π＋π2(k ∈Z )，β≠k π＋π2(k ∈Z )，α＋β≠k π＋π2(k ∈Z )时，由前一个式子两边同乘以1－tan αtan β可得后一个式子．D 对．tanA tanB ＜0，则A ，B 中必有一个为钝角，所以三角形必为钝角三角形．]2．已知tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，则tan αtan β等于( )A ．2B ．1 C.12 D ．4C [∵tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝4，且tan α＋tan β＝2，∴21－tan αtan β＝4，解得tan αtan β＝12.] 3．若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝3，则tan α的值为 ．6－5313 [tan α＝tan ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α ＝tan π3－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α1＋tan π3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝3－31＋3×3 ＝3－333－1332－1＝12－10326＝6－5313.] 4．已知cos α＝55，cos β＝35，其中α，β都是锐角，求tan(α＋β)的值．[解] 因为α，β都是锐角，所以sin α＝1－cos 2α＝255，sin β＝1－cos 2β＝45， tan α＝sin αcos α＝2，tan β＝sin βcos β＝43， 所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－2.。
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第2课时两角和与差的正切(教师独具内容)课程标准：1.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能运用两角和与差的正切公式进行简单的恒等变换．教学重点：两角和与差的正切公式的推导过程及运用．教学难点：两角和与差的正切公式的灵活运用.【知识导学】知识点一两角和的正切公式为tan(α＋β)＝□01tanα＋tanβ1－tanαtanβ，记作Tα＋β.它成立的条件是□02α＋β≠kπ＋π2，α≠kπ＋π2，β≠kπ＋π2(k∈Z)．知识点二两角差的正切公式为tan(α－β)＝□01tanα－tanβ1＋tanαtanβ，记作Tα－β.它成立的条件是□02α≠kπ＋π2，β≠kπ＋π2，α－β≠kπ＋π2(k∈Z)．知识点三公式的变形，由tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ可变形为tanα＋tanβ＝□01tan(α＋β)(1－tanαtanβ)．同理tanα－tanβ＝□02tan(α－β)(1＋tanαtanβ)．【新知拓展】1．公式Tα±β的结构特征和符号规律(1)公式Tα±β的右侧为分式形式，其中分子为tanα与tanβ的和或差，分母为1与tanαtanβ的差或和．(2)符号变化规律可简记为“分子同，分母反”．2．公式Tα±β的角的范围(1)公式中的α，β，α＋β，α－β都不能等于k π＋π2，k ∈Z .(2)当tan α，tan β，tan(α±β)的值不存在时，不能使用公式处理有关问题，但可以改用诱导公式或其他方法．3．公式灵活变形(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)． (2)tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan α＋β＝tan α－tan βtan α－β－1.(3)在T α±β中，如果分子中出现“1”常利用1＝tan45°来代换，以达到化简求值的目的， 如1－tan α1＋tan α＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α；3tan α＋31－tan α＝3tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不存在α，β∈R ，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β.( ) (2)对任意的α，β∈R ，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β.( )(3)tan16°＋tan44°1＋tan16°tan44°＝ 3.( ) 答案 (1)× (2)× (3)× 2．做一做(1)tan75°－tan15°1＋tan75°tan15°＝( ) A ．－ 2 B. 2 C ．－ 3D. 3(2)已知tan α＝1，tan β＝2，则tan(α＋β)＝________. (3)若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2，则tan α＝________. 答案 (1)D (2)－3 (3)－3题型一 给角化简求值例1 求值：(1)tan105°；(2)1－tan75°1＋tan75°.[解] (1)原式＝tan(60°＋45°)＝tan60°＋tan45°1－tan60°tan45°＝3＋11－3＝－(2＋3)．(2)原式＝tan45°－tan75°1＋tan45°tan75°＝tan(45°－75°)＝tan(－30°) ＝－tan30°＝－33. 金版点睛给角化简求值的策略(1)分析式子的结构，正确选用公式形式．T α±β是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一．因此在应用时先从所化简(求值)的式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换．(2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用．当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值时．要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换．[跟踪训练1] 求值：(1)tan2°＋tan43°＋tan2°·tan43°； (2)(1＋tan1°)·(1＋tan2°)·…·(1＋tan44°)·(1＋tan45°)．解 (1)原式＝tan (2°＋43°)·(1－tan2°·tan43°)＋tan2°·tan43°＝tan45°(1－tan2°·tan43°)＋tan2°·tan43°＝1.(2)∵(1＋tan1°)·(1＋tan44°)＝1＋(tan1°＋tan44°)＋tan1°·tan44°＝1＋tan45°(1－tan1°·tan44°)＋tan1°·tan44° ＝1＋1＝2，同理(1＋tan2°)(1＋tan43°)＝2，… 依次类推，得原式＝222·(1＋tan45°)＝223. 题型二 给值求值或求角例2 已知tan α＝13，tan β＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫0<α<π2，π2<β<π. 求：(1)tan(α－β)；(2)α＋β. [解] (1)∵tan α＝13，tan β＝－2，∴tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝13＋21－23＝7.(2)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝13－21＋23＝－1.∵0<α<π2，π2<β<π，∴π2<α＋β<3π2，∴α＋β＝3π4.金版点睛给值求值或求角问题的解题策略(1)式子的变换：分析已知式子的结构特点，结合两角和与差的三角函数公式，通过变形，建立与待求式间的联系以实现求值．(2)角的变换：首先从已知角间的关系入手，分析已知角和待求角间的关系，如用α＝β－(β－α)、2α＝(α＋β)＋(α－β)等关系，把待求的三角函数与已知角的三角函数巧妙地建立等量关系，从而求值．(3)在给值求角的过程中把握好两点： ①限定角的范围．②求角的某一个三角函数值．二者缺一不可．[跟踪训练2] 已知tan α，tan β是方程6x 2－5x ＋1＝0的两根，且0<α<π2，π<β<3π2，求α＋β的值．解 因为tan α，tan β是方程6x 2－5x ＋1＝0的两根， 所以tan α＋tan β＝56，tan αtan β＝16，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝561－16＝1，因为0<α<π2，π<β<3π2，所以π<α＋β<2π，所以α＋β＝5π4.题型三 公式的综合应用例3 已知在△ABC 中，满足tan A ＋tan B ＋3＝3tan A tan B ，且sin A cos A ＝34，判断△ABC 的形状．[解] 由tan A ＋tan B ＋3＝3tan A tan B ，得tan A ＋tan B1－tan A tan B＝－3，即tan(A ＋B )＝－ 3.∴tan C ＝－tan(A ＋B )＝3，从而C ＝60°. 由sin A cos A ＝34，得sin 2A cos 2A ＝316化为16cos 4A －16cos 2A ＋3＝0， 解得cos 2A ＝34或cos 2A ＝14，∴cos A ＝±32或cos A ＝±12. 又A ∈(0，π)，∴A ＝30°或150°或60°或120°. 当A ＝150°或120°时，A ＋C ≥180°，舍去． 当A ＝30°时，C ＝60°，∴B ＝90°，与tan B 有意义矛盾，舍去． ∴A ＝60°，B ＝60°，C ＝60°， 即△ABC 为正三角形． 金版点睛在三角形中，应用和、差角公式解题需注意以下几点： (1)三角形的内角和等于180°；(2)创造条件使之能运用两角和与差的三角函数公式；(3)记住常用结论：在△ABC 中，sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ，tan(A ＋B )＝－tan C ，sinA ＋B2＝cos C2等． [跟踪训练3] 证明：在△ABC 中，tan A 2tan B 2＋tan B 2·tan C 2＋tan C 2tan A2＝1.证明 在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π，得A 2＋B 2＝π2－C 2，且A 2，B 2，C 2，A 2＋B 2都不等于π2，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋B 2＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 2，∴tan A 2＋tan B21－tan A 2tan B 2＝1tanC 2， ∴tan C 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫tan A2＋tan B 2＝1－tan A 2tan B2，∴tan C 2tan A 2＋tan B 2tan C 2＝1－tan A 2tan B2，∴tan A2tan B2＋tan B2tan C2＋tan C 2tan A2＝1.1.1＋tan15°1－tan15°的值为( )A. 3 B ．1 C.33D.22答案 A解析 上式化为tan45°＋tan15°1－tan45°tan15°＝tan60°＝ 3.2．已知tan1°＝a ，则tan44°等于( ) A ．1－a B ．1＋a C.1＋a1－aD.1－a 1＋a答案 D解析 利用1°＋44°＝45°可得tan45°＝tan1°＋tan44°1－tan1°tan44°.将tan1°＝a 代入上式，解得tan44°＝1－a1＋a.故选D.3．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝12，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝________. 答案 2解析 tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α＝12，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α＝11－tan α1＋tan α＝2.4．计算tan20°＋tan40°＋3tan20°tan40°＝________. 答案3解析 利用tan20°＋tan40°＝tan60°(1－tan20°tan40°)进行计算可得． 5．求值：tan55°－tan385°1－tan －305°tan －25°.解 原式＝tan55°－tan 360°＋25°1＋tan －360°＋55°tan25°＝tan55°－tan25°1＋tan55°tan25°＝tan(55°－25°)＝tan30°＝33.。