2018届人教A版 垂直的判定与性质 检测卷
人教版数学七年级下册第五章《垂线》真题同步测试1(含解析)
人教版数学七年级下册第五章《垂线》真题同步测试1（含解析）综合考试注意事项：1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前 xx 分钟收取答题卡第Ⅰ卷 客观题第Ⅰ卷的注释阅卷人一、单选题(共10题；共40分)得分1．（4分）（2018七下·桐梓月考）若A，B，C是直线l上的三点，P是直线l外一点，且PA＝5cm，PB＝4cm，PC＝3cm，则点P到直线l的距离 ( )A．等于3 cm B．大于3 cm而小于4 cm ；C．不大于3 cm D．小于3 cm2．（4分）点P为直线m外一点，点A，B，C为直线m上三点，PA=5cm，PB=6cm，PC=3cm，则点P到直线m的距离为（ ）A．小于3cm B．5cm C．3cm D．不大于3cm 3．（4分）（2023七下·定兴期末）如图，生活中，有以下两个现象，对于这两个现象的解释，正确的是（ ）A．两个现象均可用两点之间线段最短来解释B．现象1用垂线段最短来解释，现象2用经过两点有且只有一条直线来解释C．现象1用垂线段最短来解释，现象2用两点之间线段最短来解释D．现象1用经过两点有且只有一条直线来解释，现象2用垂线段最短来解释4．（4分）（2021·裕华模拟）如图，沿笔直小路DE的一侧栽植两棵小树B，C，小明在A处测得AB ＝5米，AC＝7米，则点A到DE的距离可能为（ ）A．4米B．5米C．6米D．7米⊥，垂足为点O．若5．（4分）（2023七下·遵义月考）如图，直线AB、CD相交于点O，OE CD∠BOE=50°，则∠AOC= （ ）A．140°B．50°C．60°D．40°6．（4分）（2021七下·舞阳期末）如图， AB/¿CD ， EF⊥AB 于点 E ， EF 交 CD 于点 F ， EM 交 CD 于点 M ，已知 ∠1=55° ，则 ∠2=¿ （ ）A．55°B．35°C．125°D．45°7．（4分）（2019七下·巴南期中）若点 P 为直线 l 外一定点，点 A 为直线 l 上一定点，且P A=2 ，点 P 到直线 l 的距离为 d ，则 d 的取值范围为（ ）A．0<d<2B．d=2 或 d>2C．0<d<2 或 d=0D．0<d<2 或 d=28．（4分）（2020八上·禹州期中）如图，四边形 ABCD 中， ∠A=90° ， AD=3 ，连接 BD ，BD⊥CD ，垂足是D且 ∠ADB=∠C ，点P是边 BC 上的一动点，则 DP 的最小值是（ ）A ．3B ．2C ．1.5D ．19．（4分）（2022七下·赵县月考）在如下所示的条件中，可以判断两条直线互相垂直的是（ ）①两直线相交所成的四个角都是直角；②两直线相交，对顶角互补；③两直线相交所成的四个角都相等．A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③10．（4分）如图，PO OR ⊥，OQ PR ⊥，则点O 到PR 所在直线的距离是线段 的长．（ ）A ．POB ．ROC ．OQD ．PQ阅卷人二、填空题(共8题；共32分)得分11．（4分）（2018七下·龙岩期中）如图，为了把河中的水引到 C 处，可过点 C 作 CD ⊥AB 于D ，然后沿 CD 开渠，这样做可使所开的渠道最短，这种设计的依据是 ．12．（4分）如果两条直线相交成 ，那么这两条直线互相垂直．其中一条直线叫做另一条直线的垂线．互相垂直的两条直线的交点叫做 ．13．（4分）（2021七下·宣汉期末）如图，直线AB ，CD 相交于点O ，OE CD. ⊥若∠1= 40°，则∠BOE 的大小是 .14．（4分）如图，AO OC ⊥，DO OB ⊥，∠AOD=61°，则∠BOC= °．15．（4分）（2023七下·永吉期末）如图，在△ABC 中，D 为线段BC 上一动点，当∠ADB =90°时，在线段AB ，AC ，AD 中，线段AD 最短，理由是 ．16．（4分）（2019八下·诸暨期中）如图，在Rt ABC △中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点P 为BC 边上一动点，PE AB ⊥于点E ，PF AC ⊥于点F ，连结EF ，点M 为EF 的中点，则AM 的最小值为 ． 17．（4分）（2021九上·秦都月考）如图，点P 是 Rt △ABC 中斜边 AC （不与A ，C 重合）上一动点，分别作 PM ⊥AB 点M ，作 PN ⊥BC 于点N ，点O 是 MN 的中点，若 AB =6 ，BC =8 ，当点P 在 AC 上运动时，则 BO 的最小值是 .18．（4分）（2023九下·大冶月考）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝7，BC ＝7√3，点P 在线段BC 上运动（含B 、C 两点），连接AP ，将线段AP 绕着点A 逆时针旋转60°得到AQ ，连接DQ ，则线段DQ 的最小值为 .第Ⅱ卷 主观题第Ⅱ卷的注释阅卷人三、解答题(共4题；共36分)得分19．（9分）如图所示，已知AO BC ⊥于O ，DO OE ⊥，∠1=65°，求∠2的度数．20．（9分）（2021七下·黄陂期中）在下列解题过程的空白处填上适当的内容（推理的理由或数学表达式）如图，在三角形ABC 中，已知∠ADE ＝∠B.1∠＝∠2，FG AB ⊥于点G ，求证：CD AB.⊥证明：∵∠ADE ＝∠B （已知），∴DE ∥ ▲ （ ），∴∠1＝ ▲ （ ），又∵∠1＝∠2（已知），∴ ▲ ＝ ▲ （等量代换），∴CD ∥ ▲ （ ）.∵FG AB ⊥（已知），∴∠FGB ＝90°（垂直的定义），即∠CDB ＝∠FGB ＝90°，∴CD AB ⊥（垂直的定义）.21．（9分）如图所示，直线AB 与CD 交于点O ，MO AB ⊥，垂足为O ，ON 平分∠AOD ．若∠COM=50°，求∠AON 的度数．22．（9分）（2022七下·静安期中）如图，已知∠ED B +B= 180°∠，∠1=2∠，GF AB ⊥，请填写CD AB ⊥的理由解：因为∠ED B +B= 180°∠（ ）所以 ▲ ∥ ▲ （）所以∠1=3∠（ ）因为 ▲ = ▲ （ 已 知 ）所以∠2=3∠（ 等量代换 ）所以 ▲ ∥ ▲ （）所以∠FGB=CDB ∠（ ）因为GF AB ⊥（已 知 ）所以∠FGB=90° （ ）所以∠CDB =90°（ ）所以CD AB ⊥（ 垂直的意义 ）阅卷人四、综合题(共3题；共42分)得分23．（14分）（2016八上·高邮期末）如图，△ABC 中，AB=AC ，AD BC ⊥，CE AB ⊥，AE=CE ．求证：（1）（7分）△AEF CEB ≌△；（2）（7分）AF=2CD ．24．（14分）如图，直线AB 与CD 相交于点O ，射线OF ，OD 分别是∠AOE ，∠BOE 的角平分线．（1）（3分）请写出∠EOF 的所有余角： ；（2）（3分）请写出∠DOE 的所有补角： ；（3）（4分）若∠AOC= 16 FOB ∠，求∠COE 的度数；（4）（4分）试问射线OD 与OF 之间有什么特殊的位置关系？为什么？25．（14分）（2021九上·朝阳期末）对于平面直角坐标系xOy 中的图形M 和点P 给出如下定义：Q 为图形M 上任意一点，若P ，Q 两点间距离的最大值和最小值都存在，且最大值是最小值的2倍，则称点P 为图形M 的“二分点”．已知点N （3，0），A （1，0），B (0，√3)，C (√3，−1)．（1）（8分）①在点A，B，C中，线段ON的“二分点”是 ；②点D（a，0），若点C为线段OD的“二分点”，求a的取值范围；（2）（6分）以点O为圆心，r为半径画圆，若线段AN上存在⊙O的“二分点”，直接写出r的取值范围．答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：根据点到直线的距离的定义，点P到直线L的距离即为点P到直线L的垂线段的长度，垂线段的长度不能超过PC的长．故答案为：C．【分析】因为直线外一点到直线的距离，垂线段最短，所以PC的长不会大于3.2．【答案】D【解析】【分析】点P到直线m的距离即为点P到直线m的垂线段的长度，是点P到直线m上各点的连线段中，长度最小的线段．【解答】由图可知，PC长度为3cm，是最小的，则点P到直线m的距离小于或等于3cm，即不大于3cm．故选D．3．【答案】C【解析】【解答】解：现象1：可用“垂线段最短”进行解释；现象2：可用“两点之间，线段最短”进行解释；故答案为：C.【分析】根据垂线段最短解释现象1，根据两点之间，线段最短解释现象2.4．【答案】A【解析】【解答】解：过点A作AM⊥DE，∵AB＝5米，AC＝7米，∴根据垂线段最短得出AM＜AB=5，故答案为：A【分析】根据点到直线的距离的定义和垂线段最短即可得到结论。
人教A版数学必修二第二章第十四课时同步练习2.3直线、平面垂直的判定及其性质测试卷
2.3直线、平面垂直的判定与性质( 时间50分钟总分100分)班级_______________ 姓名______________ 分数_____________一、选择题（每小题5分，共40分）1．两异面直线在平面α内的射影----------------------------------------------------------（）A．相交直线B．平行直线C．一条直线与—个点D．以上三种情况均有可能2．若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面----------------------------------（）A．有且只有—个B．可能存在也可能不存在C．有无数多个D．—定不存在3．在空间，下列哪些命题是正确的（）①平行于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③平行于同一个平面的两条直线互相平行；④垂直于同—个平面的两条直线互相平行．A．仅②不正确B．仅①、④正确C．仅①正确D．四个命题都正确4．若平面α的斜线l在α上的射影为l′，直线b∥α，且b⊥l′，则b与l--（）A．必相交B．必为异面直线C．垂直D．无法确定5．下列命题①平面的每条斜线都垂直于这个平面内的无数条直线；②若一条直线垂直于平面的斜线，则此直线必垂直于斜线在此平面内的射影；③若平面的两条斜线互相平行，则它们在同一平面内的射影也平行；其中，正确的命题有---------------------------------------------------------------------（）A．1个B．2个C．3个 D. 0个6．在下列四个命题中，假命题为----------------------------------------------------------（）A．如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直B．垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边C．过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内D．如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面7．已知P是四边形ABCD所在平面外一点且P在平面ABCD内的射影在四边形ABCD 内，若P到这四边形各边的距离相等，那么这个四边形是---------------------（）A．圆内接四边形B．矩形C．圆外切四边形D．平行四边形8．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，P A⊥平面ABC，P A＝8，则P到BC的距离等于（）2C．35D．45A．5B．5二、填空题（每小题4分，共20分）9．如果直线l、m与平面α、β、γ满足：l＝β∩γ，l⊥α，m α和m⊥γ，现给出以下四个结论：①α∥γ且l⊥m；②αγ且m∥β③αβ且l⊥m；④αγ且l⊥m；其中正确的为“________”．（写出序号即可）10．在空间四面体的四个面中，为直角三角形的最多有____________个．11．如图，正方形ABCD ，P 是正方形平面外的一点，且P A ⊥平面A BCD 则在△P AB 、△PBC 、△PCD 、△P AD 、△P AC 及△PBD 中，为直角三角形有_________个．12．给出以下四个命题（1）两条平行直线在同一平面内的射影一定是平行直线；（2）两条相交直线在同一平面内的射影一定是相交直线；（3）两条异面直线在同一平面内的射影—定是两条相交直线；（4）一个锐角在平面内的射影一定是锐角．其中假命题的共有_________个．13．若一个直角在平面α内的射影是一个角，则该角最大为______．三、解答题（40分）14．（10分）已知直线a ∥平面α,直线b ⊥平面α，求证：a ⊥b ．15．（20分）在三棱锥P ABC -中，侧面PAC 与面ABC 垂直，3PA PB PC ===． （１） 求证：AB BC ⊥；（２） 设AB BC ==，求AC 与平面PBC 所成角的大小．16．（10分）在四面体ABCD 中，已知棱AC 1，求二面角 B CD A --的余弦值。
届人教A版理科数学课时试题及解析(40)直线、平面垂直的判定与性质
课时作业(四十)[第40讲直线、平面垂直嘚判定与性质][时间：45分钟分值：100分]基础热身1．已知直线l、m，平面α、β，且l⊥α，m⊂β，则α∥β是l⊥m嘚()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件2．给定下列四个命题：①若一个平面内嘚两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面嘚垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线嘚两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们嘚交线不垂直嘚直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题嘚是()A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④3．设a，b为两条直线，α，β为两个平面，则下列结论成立嘚是()A．若a⊂α，b⊂β，且a∥b，则α∥βB．若a⊂α，b⊂β，且a⊥b，则α⊥βC．若a∥α，b⊂α，则a∥bD．若a⊥α，b⊥α，则a∥b4．在三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C嘚中心，则AD 与平面BB1C1C所成角嘚大小是()A．30°B．45°C．60°D．90°能力提升5．已知空间两条不同嘚直线m，n和两个不同嘚平面α，β，则下列命题中正确嘚是() A．若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥nB．若m∥α，n⊥β，α⊥β，则m∥nC．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥nD．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n6．四面体ABCD中，AB＝AC＝23，DB＝DC＝22，BC＝2AD＝4，则二面角A－BC－D嘚大小是() A．30°B．45°C．60°D．135°7．已知直二面角α－l－β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足．点B∈β，BD⊥l，D为垂足．若AB ＝2，AC＝BD＝1，则D到平面ABC嘚距离等于()A.23 B.33 C.63D．18．若直线l与平面α相交，但不垂直，则有()A．∀平面β，若l⊂β，都有平面β⊥平面αB．∃平面β，若l⊂β，使得平面β⊥平面αC．∀平面β，若l⊂β，都有平面β∥平面αD．∃平面β，若l⊂β，使得平面β∥平面α9．如图K40－1，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，E是CD嘚中点，沿AE将△ADE折起，使二面角D －AE －B 为60°，则四棱锥D －ABCE 嘚体积是( )图K40－1A.93913B.273913C.91313D.271313 10．结论“过一点作一个平面嘚垂线只能作一条”是________嘚(填“正确”或“错误”)．11．四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，顶点在底面上嘚射影是底面正方形嘚中心，一个对角面嘚面积是一个侧面面积嘚62倍，则侧面与底面所成锐二面角等于________．12． 已知点E 、F 分别在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1嘚棱BB 1、CC 1上，且B 1E ＝2EB ，CF ＝2FC 1，则面AEF 与面ABC 所成嘚二面角嘚正切值等于________．13．已知正方体嘚棱长为1，E ，F ，G 分别是AB ，BC ，B 1C 1嘚中点．下列命题正确嘚是________(写出所有正确命题嘚编号)．①以正方体嘚顶点为顶点嘚三棱锥嘚四个面最多只有三个面是直角三角形；②P 在直线FG 上运动时，AP ⊥DE ；③Q 在直线BC 1上运动时，三棱锥A －D 1QC 嘚体积不变；④M 是正方体嘚面A 1B 1C 1D 1内到点D 和C 1距离相等嘚点，则M 点嘚轨迹是一条线段．14．(10分) 如图K40－2，四棱锥P －ABCD 嘚底面ABCD 是菱形．PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝AC ，点F 为PC 嘚中点．(1)求证：PA ∥平面BFD ；(2)求二面角C －BF －D 嘚正切值嘚大小．图K40－215．(13分) 如图K40－3，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，且AD ∥BC ，∠ABC ＝∠PAD ＝90°，侧面PAD ⊥底面ABCD.若PA ＝AB ＝BC ＝12AD.(1)求证：CD ⊥平面PAC ；(2)侧棱PA 上是否存在点E ，使得BE ∥平面PCD ？若存在，指出点E 嘚位置并证明，若不存在，请说明理由；(3)求二面角A －PD －C 嘚余弦值．图K40－3难点突破16．(12分)如图K40－4，在Rt△ABC中，∠C＝30°，∠B＝90°，D为AC中点，E为BD嘚中点，AE嘚延长线交BC于F，将△ABD沿BD折起，折起后∠AEF＝θ.(1)求证：面AEF⊥面BCD；(2)cosθ为何值时，AB⊥CD.图K40－4课时作业(四十)【基础热身】1．B [解析] l ⊥α，α∥β⇒l ⊥β，又m ⊂β，故l ⊥m.反之当l ⊥m 时，α，β嘚位置不确定．故选B.2．D [解析] 命题①中两条直线可能平行，故得不到两个平面互相平行嘚结论，命题①为假命题；根据两个平面垂直嘚判定定理，命题②是真命题；命题③是平面几何里面成立嘚一个命题，但在空间不成立，如在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，AB ⊥AD ，DD 1⊥AD ，但AB ，DD 1并不平行，故命题③为假命题；命题④中，两平面垂直，如果一个平面内嘚直线垂直于另一个平面，则这条直线一定和交线垂直，故在一个平面内与交线不垂直嘚直线一定不会与另一个平面垂直，命题④为真命题．3．D [解析] 分别在两个相交平面内且和交线平行嘚两条直线也是平行线，故选项A 嘚结论不成立；任意两个相交平面，在一个平面内垂直于交线嘚直线，必然垂直于另一个平面内与交线平行嘚直线，故选项B 中嘚结论不成立；当直线与平面平行时，只有经过这条直线嘚平面和已知平面嘚交线及与交线平行嘚直线与这条直线平行，其余嘚直线和这条直线不平行，故选项C 中嘚结论不成立；根据直线与平面垂直嘚性质定理知，选项D 中嘚结论成立．正确选项D.4．C [解析] 如图，E 为BC 中点，设三棱柱嘚棱长为2，则DE ＝1，AE ＝3，则tan ∠ADE ＝3，故所求嘚角是60°.【能力提升】5．D [解析] 选项A 中，当直线m ，n 都不在平面α，β内时，根据m ∥α，n ∥β，α∥β可以推证m ，n 都平行于平面α，β，但平行于同一个平面嘚两条直线不一定平行；选项B 中，根据n ⊥β，α⊥β可以推证n ⊂α或者n ∥α，同样平行于同一个平面嘚两条直线不一定平行；选项C 中，同选项B ；选项D 中，根据m ⊥α，α⊥β可以推证m ⊂β或者m ∥β，而n ⊥β，故m ⊥n.正确选项为D.6．B [解析] ∴AB ＝23，AD ＝2，BD ＝22，AD 2＋BD 2＝AB 2，∴∠ADB ＝90°，∴AD ⊥BD ，同理AD ⊥DC ，∵BD ∩CD ＝D ，∴AD ⊥平面BCD.如图，取BC 嘚中点E ，连接AE ，DE ，根据二面角嘚平面角嘚定义，∠AED 即为所求二面角嘚平面角，各个线段嘚长度如图，则∠AED ＝45°.7．C [解析] ∵α⊥β，AC ⊥l ，∴AC ⊥β，则平面ABC ⊥β，在平面β内过D 作DE ⊥BC ，则DE ⊥平面ABC ，DE 即为D 到平面ABC 嘚距离，在△DBC 中，运用等面积法得DE ＝63，故选C.8．B [解析] 由于直线l 与平面α斜交，故不是过直线l 嘚任意平面都和平面α垂直，选项A 中嘚结论不正确；只要过直线l 上一点作平面α嘚垂线m ，则直线l ，m 确定嘚平面β即与平面α垂直，故选项B 中嘚结论是正确嘚；由于直线l 与平面α存在公共点，故经过直线l 嘚任意平面β都与平面α存在公共点，此时平面α，β不可能平行，故选项C 、D 中嘚两个结论都不可能成立．正确选项为B.9．A [解析] 在平面图形中，Rt △ADE 斜边上嘚高是613，故折起后棱锥嘚高是613sin60°＝33913，棱锥嘚底面积是9，故其体积是13×9×33913＝93913.10．正确 [解析] 理由是如果能够作两条，则根据直线与平面垂直嘚性质定理，这两条直线平行，但根据已知这两条直线又相交，这是不可能嘚．11.π3 [解析] 如图，根据122ah 12ah ′＝62，得h h ′＝32，即为侧面与底面所成锐二面角嘚正弦值，故侧面与底面所成嘚锐二面角为π3.12.23 [解析] 法一：在平面BC 1内延长FE 与CB 嘚延长线相交于G ，连接AG ，过B 作BH 垂直于AG 于H ，连接EH ，则EH ⊥AG ，故∠BHE 是平面AEF 与平面ABC 所成二面角嘚平面角．设正方体嘚棱长为a ，可得BE ＝a 3，BG ＝a ，所以BH ＝22a ，则tan ∠BHE ＝BE BH ＝a 322a＝23. 法二：设正方体嘚边长为3，建立以B 1A 1为x 轴，B 1C 1为y 轴，B 1B 为z 轴嘚空间直角坐标系，则A(3,0,3)，E(0,0,2)，F(0,3,1)，则EA →＝(3,0,1)，EF →＝(0,3，－1)，设平面AFE 嘚法向量为n ＝(x ，y ，z)，则n ⊥EA →，n ⊥EF →，即3x ＋z ＝0且3y －z ＝0，取z ＝3，则x ＝－1，y ＝1，所以n ＝(－1,1,3)，又平面ABC 嘚法向量为m＝(0,0,3)，所以面AEF 与面ABC 所成嘚二面角嘚余弦值为cos θ＝m·n |m||n|＝31111，∴sin θ＝1－⎝⎛⎭⎫311112＝2211，所以tan θ＝23.13．②③④ [解析] 如图，三棱锥A 1－ABC 嘚四个面均为直角三角形，故命题①不正确．GF ⊥DE ，AF ⊥DE ，得DE ⊥平面AFG.又∵AP ⊂平面AFG ，故AP ⊥DE ，命题②正确．由于BC 1∥AD 1，可得BC 1∥平面ACD 1，即点Q 到平面ACD 1嘚距离与其位置无关，故三棱锥Q －ACD 1嘚体积不变，即三棱锥A －D 1QC 嘚体积不变，命题③正确．空间到两个点嘚距离相等嘚点嘚轨迹是这两点所在线段嘚中垂面，这个平面和上底面嘚交线即为所求嘚轨迹，这个轨迹是线段．命题④正确．14．[解答] (1)证明：连接AC ，BD 与AC 交于点O ，连接OF.∵四边形ABCD 是菱形，∴O 是AC 嘚中点．∵点F 为PC 嘚中点，∴OF ∥PA.∵OF ⊂平面BDF ，PA ⊄平面BDF ，∴PA ∥平面BDF.(2)∵PA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥AC.∵OF ∥PA ，∴OF ⊥AC.∵ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD.∵OF ∩BD ＝O ，∴AC ⊥平面BDF.作OH ⊥BF ，垂足为H ，连接CH ，则CH ⊥BF ，∠CHO 为二面角C －BF －D 嘚平面角．∵PA ＝AD ＝AC ，∴OF ＝12PA ，BO ＝32PA ，BF ＝BO 2＋OF 2＝PA.在Rt △FOB 中，OH ＝OF·BO BF ＝34PA ，tan ∠OHC ＝OC OH ＝12PA 34PA＝233. ∴二面角C －BF －D 嘚正切值大小为233.15．[解答] (1)证明：因为∠PAD ＝90°，所以PA ⊥AD.又因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，且侧面PAD ∩底面ABCD ＝AD ，所以PA ⊥底面ABCD.而CD ⊂底面ABCD ，所以PA ⊥CD. 在底面ABCD 中，因为∠ABC ＝∠BAD ＝90°，AB ＝BC ＝12AD ，所以AC ＝CD ＝22AD ，所以AC ⊥CD.又因为PA ∩AC ＝A ，所以CD ⊥平面PAC.(2)在PA 上存在中点E ，使得BE ∥平面PCD ，证明如下：设PD 嘚中点是F ，连接BE ，EF ，FC ， 则EF ∥AD ，且EF ＝12AD.又BC ∥AD ，BC ＝12AD ，所以BC ∥EF ，且BC ＝EF ，所以四边形BEFC 为平行四边形，所以BE ∥CF.因为BE ⊄平面PCD ，CF ⊂平面PCD ，所以BE ∥平面PCD.(3)设G 为AD 中点，连接CG ，则CG ⊥AD.又因为平面ABCD ⊥平面PAD ，所以CG ⊥平面PAD.过G 作GH ⊥PD 于H ，连接CH ，由三垂线定理可知CH ⊥PD.所以∠GHC 是二面角A －PD －C 嘚平面角．设AD ＝2，则PA ＝AB ＝CG ＝DG ＝1，DP ＝ 5. 在△PAD 中，GH PA ＝DG DP ，所以GH ＝15. 所以tan ∠GHC ＝CG GH ＝5，cos ∠GHC ＝66.即二面角A －PD －C 嘚余弦值为66.【难点突破】16．[解答] (1)证明：在Rt △ABC 中，∠C ＝30°，D 为AC 嘚中点，则△ABD 是等边三角形， 又E 是BD 嘚中点，故BD ⊥AE ，BD ⊥EF ，折起后，AE ∩EF ＝E ，∴BD ⊥面AEF ，∵BD ⊂面BCD ，∴面AEF ⊥面BCD.(2)过A 作AP ⊥面BCD 于P ，则P 在FE 嘚延长线上，设BP 与CD 嘚延长线相交于Q.令AB ＝1，则△ABD 是边长为1嘚等边三角形，若AB ⊥CD ，又AP ⊥CD ，故CD ⊥平面ABP ，则BQ ⊥CD.在Rt △CBQ 中，由于∠C ＝30°，故∠CBQ ＝60°.又∠CBD ＝30°，故∠EBP ＝30°.在Rt △EBP 中，PE ＝BEtan30°＝12×33＝36，又AE ＝32，故cos ∠AEP ＝3632＝13， 故cos θ＝cos(π－∠AEP)＝－13，故当cos θ＝－13时，AB ⊥CD.。
两条直线平行和垂直的判定3种常见考法归类(50题)(教师版)2025学年高二数学(人教A版选修一)
专题2.1.2 两条直线平行和垂直的判定3种常见考法归类（50题）题型一 两条直线平行的判定及应用（一）两条直线平行的概念辨析（二）两条直线平行关系的判定（三）已知两条直线平行求参数题型二 两条直线垂直的判定及应用（一）两条直线垂直的概念辨析（二）两条直线垂直关系的判定（三）已知两直线垂直求参数题型三 直线平行、垂直的判定在几何中的应用对于两条不重合的直线12121212对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点(1)1212l l k k ⇔= 成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②1l 与2l 不重合．(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，1l 与2l 的倾斜角都是90 ，则12l l .(3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是：1212l l k k ⇔=或1l ，2l 斜率都不存在.题型一 两条直线平行的判定及应用（一）两条直线平行的概念辨析1．（2024·高二课时练习）下列说法正确的是（ ）A ．两条直线的斜率相等是这两条直线平行的充要条件B ．两条直线的倾斜角不相等是这两条直线相交的充要条件C ．两条直线平行是这两条直线的倾斜角相等的充要条件D ．两条直线平行是这两条直线的法向量平行的充要条件【答案】B【分析】根据直线平行和相交的条件依次判断即可.【详解】当两条直线的斜率相等且截距也相等时，两直线重合，故A 错误；的倾斜角不相等，则两直线必定相交，反之也成立，故B 正确；倾斜角相等时，两直线可能重合，故C 错误；法向量平行时，两直线可能重合，故D 错误.故答案为：B2．（2024·北京·高二人大附中校考期中）若1l 与2l 为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为1a ，2a ，斜率分别为1k ，2k ，则下列命题①若12l l ∥，则斜率12k k =； ②若斜率12k k =，则12l l ∥；③若12l l ∥，则倾斜角12a a =；④若倾斜角12a a =，则12l l ∥，其中正确命题的个数是（ ）.A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】根据两条直线平行的判定方法与结论即可判断．【详解】由于1l 与2l 为两条不重合的直线且斜率分别为1k ，2k ，所以1212l l k k ⇔= ，故①②正确；由于1l 与2l 为两条不重合的直线且倾斜角分别为1a ，2a ，所以12l l ∥⇔12a a =，故③④正确，所以正确的命题个数是4．故选：D ．3．【多选】（2024·新疆喀什·高二新疆维吾尔自治区喀什第六中学校考期中）若1l 与2l 为两条不重合的直线，则下列说法中正确的有（ ）A ．若12//l l ，则它们的斜率相等B ．若1l 与2l 的斜率相等，则12//l l C ．若12//l l ，则它们的倾斜角相等D ．若1l 与2l 的倾斜角相等，则12//l l 【答案】BCD【分析】由两直线斜率不存在可知A 错误；根据两直线平行与斜率和倾斜角的关系可知BCD 正确.【详解】对于A ，当1l 和2l 倾斜角均为2p 时，12//l l ，但两直线斜率不存在，A 错误；对于B ，若1l 和2l 斜率相等，则两直线倾斜角相等，可知12//l l ，B 正确；对于C ，若12//l l ，可知两直线倾斜角相等，C 正确；对于D ，若两直线倾斜角相等，则两直线斜率相等或两直线斜率均不存在，可知12//l l ，D 正确.故选：BCD.（二）两条直线平行关系的判定解题策略：1．判断两条不重合的直线是否平行的步骤2.两条直线平行的判定及应用k 1＝k 2⇔l 1∥l 2是针对斜率都存在且不重合的直线而言的，对于斜率不存在或可能不存在的直线，要注意利用图形． 4．（2024·江苏·高二假期作业）判断下列各题中直线1l 与2l 是否平行．(1)1l 经过点(1,2)A --，(2,1)B ，2l 经过点(3,4)M ，(1,1)N --；(2)1l 经过点(3,2)A -，(3,10)B -，2l 经过点(5,2)M -，(5,5)N ．【答案】(1)不平行(2)平行【分析】（1）求出1l k 、2l k ，即可判断；（2）求出1l 、2l 的方程，即可判断.【详解】（1）因为1l 经过点(1,2)A --，(2,1)B ，所以121112l k --==--，又2l 经过点(3,4)M ，(1,1)N --，所以2145134l k --==--，因为12l l k k ¹，所以1l 与2l 不平行；（2）直线1l 经过点(3,2)A -，(3,10)B -的方程为3x =-，直线2l 经过点(5,2)M -，(5,5)N 的方程为5x =，故直线1l 和直线2l 平行；5.（2023·江苏·高二假期作业）判断下列各组直线是否平行，并说明理由．(1)1l 经过点(2,3),(4,0)A B -，2l 经过点(3,1),(2,2)M N --；(2)1l 的斜率为10-，2l 经过点(10,2),(20,3)A B .【答案】(1)不平行，理由见解析(2)不平行，理由见解析【详解】（1）设直线1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，因为1l 经过点(2,3),(4,0)A B -，2l 经过点(3,1),(2,2)M N --，所以13012(4)2k -==--，21213(2)k -==---，所以12k k ¹，所以1l 与2l 不平行；（2）设直线1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，则110k =-，因为2l 经过点(10,2),(20,3)A B ，所以2321201010k -==-，所以12k k ¹，所以1l 与2l 不平行.6．（2024·高二课前预习）根据下列给定的条件，判定直线1l 与直线2l 是否平行或重合：（1）1l 经过点()2,3A ，()4,0B -；2l 经过点()3,1M -，()2,2N -；( )（2）1l 的斜率为12-，2l 经过点()4,2A ，()2,3B ；()（3）1l 平行于y 轴，2l 经过点()0,2P -，()0,5Q ；()（4）1l 经过点()0,1E ，()2,1F --，2l 经过点()3,4G ，()2,3H ．( )【答案】不平行平行或重合平行重合【分析】根据过两点的直线的斜率公式，计算直线的斜率，根据斜率的关系，并注意直线是否重合，可判断（1）（2）（4）；当两直线斜率都不存在时，看它们是否重合，即可判断（3）.【详解】（1）()301242AB k -==--，()21123MN k -==---，AB MN k k ¹，所以1l 与2l 不平行．（2）1l 的斜率112k =-，2l 的斜率2321242k -==--，即12k k =，无法判断两直线是否重合，所以1l 与2l 平行或重合．（3）由题意，知1l 的斜率不存在，且不是y 轴，2l 的斜率也不存在，恰好是y 轴，所以12l l //．（4）由题意，知11120EF k --==--，34123GH k -==-，所以1l 与2l 平行或重合．需进一步研究E ，F ，G ，H 四点是否共线，()()41132FG k --==--．所以E ，F ，G ，H 四点共线，所以1l 与2l 重合．7.（2023·全国·高二专题练习）判断下列不同的直线1l 与2l 是否平行.（1）1l 的斜率为2，2l 经过()1,2A ，()4,8B 两点；（2）1l 经过()3,3P ，()5,3Q -两点，2l 平行于x 轴，但不经过P ，Q 两点；（3）1l 经过()1,0M -，()5,2N --两点，2l 经过()4,3R -，()0,5S 两点．【答案】（1）平行；（2）平行；（3）平行.【详解】（1）2l 经过()1,2A ，()4,8B 两点，则282241l k -==-，则12l l k k =，可得两直线平行.（2）1l 经过()3,3P ，()5,3Q -两点，可得1l 平行于x 轴，2l 平行于x 轴，但不经过P ，Q 两点，所以12l l //；（3）1l 经过()1,0M -，()5,2N --两点，1021152l k +==-+，2l 经过()4,3R -，()0,5S 两点，则2351402l k -==--，所以12l l //.8.（23-24高二·江苏·课后作业）分别根据下列各点的坐标，判断各组中直线AB 与CD 是否平行：(1)()3,1A -，()1,1B -，()3,5C -，()5,1D ；(2)()2,4A -，()4B -，()0,1C ，()4,1D ；(3)()2,3A ，()2,1B -，()1,4C -，()11D -,；(4)()1,2--A ，()2,1B ，()3,4C ，()1,1D --．【答案】(1)平行(2)平行(3)平行(4)不平行【分析】（1）求出AB ，CD ，BC 斜率，再判断两直线不重合得平行；（2）由斜率相等，及不重合得结论；（3）由两直线斜率都不存在，且不重合得平行；（4）由斜率不相等得不平行．【详解】（1）1113(1)2AB k --==---，511352CD AB k k -==-=--，5123(1)BC k -==----，,,A B C 不共线，因此AB 与CD 平行．（2）0AB k =，0CD k =，又两直线不重合，直线AB 与CD 平行，（3）直线AB ，CD 的斜率都不存在，且不重合，因此平行；（4）21112AB k --==--,145134CD AB k k --==¹--，直线AB 与CD 不平行，9.（23-24高二上·福建泉州·期末）记平面直角坐标系内的直线1l 、2l 与x 轴正半轴方向所成的角的正切值分别为1k 、2k ，则“12l l //”是“12k k =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件【答案】A【分析】根据直线的位置关系结合充分、必要条件分析判断.【详解】由题意可知：12,k k 已经存在，若1l ∥2l ，则12k k =，即充分性成立；若12k k =，则12,l l 可能重合，即必要性均不成立；综上所述：“12l l //”是“12k k =”的充分不必要条件.故选：A ．10．（2024·高二课时练习）过点()1,2A 和点()1,2B -的直线与直线3y =的位置关系是（ ）A ．相交B ．平行C ．重合D ．以上都不对【答案】B【分析】先求出直线方程，再结合斜率直接判断两直线位置关系即可.【详解】过点()1,2A 和点()1,2B -的直线方程为2y =，斜率为0，又因为直线3y =斜率为0，所以两直线平行.故选：B11．（2024·全国·高二专题练习）判断(1,3),(3,7),(4,9)A B C 三点是否共线，并说明理由．【答案】共线，理由见解析.【分析】根据直线斜率公式进行求解即可.【详解】这三点共线，理由如下：由直线斜率公式可得：73932,23141AB AC k k --====--，直线,AB AC 的斜率相同，所以这两直线平行，但这两直线都通过同一点(1,3)A ，所以这三点共线.（三）已知两条直线平行求参数解题策略:利用斜率公式解决两直线平行问题解决这类问题的关键是充分利用几何图形的性质，并将该性质用式子表示出来，最后解决问题．这里就是利用两直线平行与斜率的关系求解的．12．（2024·广东广州·高二广州市培正中学校考期中）已知直线1l 的倾斜角为30°，直线12l l //，则直线2l 的斜率为（ ）A B ．C D ．【答案】C【分析】利用直线的斜率公式与直线平行的性质求解即可.【详解】因为直线1l 的倾斜角为30°，所以1tan 30l k =°=，又12l l //，所以21l l k k ==故选：C.13．（2024·江苏·高二假期作业）已知过(2,)A m -和(,4)B m 的直线与斜率为－2的直线平行，则m 的值是（ ）A ．－8B ．0C ．2D ．10【答案】A【分析】由两点的斜率公式表示出直线AB 的斜率AB k ，再由两直线平行斜率相等列出等式，即可解出答案.【详解】由题意可知，422AB mk m -==-+，解得8m =-．故选：A14.（2024秋·河南濮阳·高二校考阶段练习）若直线1l 与直线2l 平行，直线1l 的斜率为2l 的倾斜角为___________.【答案】56p【详解】解：因为直线1l 与直线2l 平行，直线1l 的斜率为所以直线2l 的斜率与直线1l 的斜率相等，即直线2l 的斜率为设直线2l 的倾斜角为()0a a p £<，则tan a =所以56p a =，即直线2l 的倾斜角为56p ，故答案为：56p.15．（2024·江苏·高二假期作业）已知直线1l 的倾斜角为45°，直线2l 的斜率为23k m =-，若1l ∥2l ，则m 的值为________．【答案】2±/2或2-/2-或2【分析】由直线倾斜角由斜率的关系可知直线1l 的斜率为1tan 45k =°，再由两直线平行，斜率相等列出等式，即可求出答案.【详解】由题意知23tan 45m -=°，解得2m =±.故答案为：2±16.（23-24高二上·全国·课后作业）已知A (－2，m )，B (m ，4)，M (m ＋2，3)，N (1，1)，若AB ∥MN ，则m 的值为 .【答案】0或1【分析】分当直线AB 的斜率不存在，直线MN 的斜率不存在及两直线的斜率都存在时进行求解即可，注意检验下两直线不重合.【详解】解：当m ＝－2时，直线AB 的斜率不存在，而直线MN 的斜率存在，MN 与AB 不平行，不合题意；当m ＝－1时，直线MN 的斜率不存在，而直线AB 的斜率存在，MN 与AB 不平行，不合题意；当m ≠－2，且m ≠－1时，k AB ＝44(-2)2m mm m ---+，k MN ＝312211m m -+-+.因为AB ∥MN ，所以k AB ＝k MN ，即4221m m m -++＝，解得m ＝0或m ＝1. 当m ＝0或1时，由图形知，两直线不重合. 综上，m 的值为0或1.故答案为：0或117.（2024高三上·广东·学业考试）已知直线12l l //，它们的斜率分别记作12,k k ，若12,k k 是方程2210x ax ++=的两个根，则a 的值（ ）A ．1B ．1-C ．1或1-D ．无法确定【答案】C【分析】利用直线平行得到12k k =，从而得到二次方程判别式为零，由此得解.【详解】因为12l l //，所以12k k =，因为12,k k 是方程2210x ax ++=的两个根，所以2440a D =-=，解得1a =±.故选：C.1-，那么它们互相垂直，即12121l l k k ⊥⇔⋅=-.对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点(1)12121l l k k ⊥⇔⋅=-成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②10k ¹且20k ¹.(2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直．(3)判定两条直线垂直的一般结论为：12121l l k k ⊥⇔⋅=-或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．题型二 两条直线垂直的判定及应用（一）两条直线垂直的概念辨析18．【多选】（2024·高二课时练习）下列说法中，正确的有（ ）A ．斜率均不存在的两条直线可能重合B ．若直线12l l ⊥，则这两条直线的斜率的乘积为1-C ．若两条直线的斜率的乘积为1-，则这两条直线垂直D ．两条直线12,l l ，若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为零，则12l l ⊥【答案】ACD【分析】利用直线重合与垂直的性质，同时考虑直线斜率不存在的情况，对选项逐一分析判断即可.【详解】对于A ，若12:0:2,0l l x x ==，则12,l l 斜率均不存在，但两者重合，故A 正确；对于BD ，若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为零，则这两条直线互相垂直，但此时乘积不为1-，故B 错误；D 正确；对于C ，根据直线垂直的性质可知，两直线的斜率存在，且乘积为1-时，这两条直线垂直，故C 正确.故选：ACD.19．【多选】（2024·高二课时练习）下列说法中正确的有（ ）A ．若两直线平行，则两直线的斜率相等B ．若两直线的斜率相等，则两直线平行C ．若两直线的斜率乘积等于1-，则两直线垂直D ．若两直线垂直，则两直线的斜率乘积等于1-【答案】BC【分析】根据直线斜率与位置关系的相关知识直接判断即可.【详解】对于A ，两直线平行，可以是斜率都不存在，所以A 错误；对于B ，若两直线的斜率相等，则两直线平行，所以B 正确；对于C ，若两直线的斜率乘积等于1-，则两直线垂直，故C 正确；对于D ，若两直线垂直，可能是一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在，则不是两直线的斜率乘积等于1-，故D 错误；故选：BC20．【多选】（2024·山东济南·高二校考期中）若1l 与2l 为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是12,a a ，斜率分别为12,k k ，则下列命题正确的是（ ）A ．若斜率12k k =，则 12l l ∥B ．若121k k =-，则12l l ⊥C ．若倾斜角12a a =，则 12l l ∥D ．若12πa a +=，则12l l ⊥【答案】ABC【分析】根据两直线倾斜角和斜率与直线平行和垂直的关系分别判断选项ABC ，举反例可判断D.【详解】对于A, 若两直线斜率12k k =，则它们的倾斜角12a a =，则12l l ∥，正确；对于B ，由两直线垂直的条件可知，若121k k =-，则12l l ⊥，正确；对于C,由两直线平行的条件可知，若倾斜角12a a =，则 12l l ∥，正确；对于D, 若12πa a +=，不妨取12π2π33,a a ==，则1122tan tan k k a a ====121k k =-，12,l l 不垂直，D 错误，故选：ABC21.（2024·上海长宁·高二上海市第三女子中学校考期中）“两条直线的斜率乘积为1-”是“两条直线互相垂直”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A【详解】当两条直线斜率乘积为1-时，两条直线互相垂直，充分性成立；当两条直线互相垂直时，其中一条直线可能斜率不存在，必要性不成立；\“两条直线的斜率乘积为1-”是“两条直线互相垂直”的充分不必要条件.故选：A.（二）两条直线垂直关系的判定解题策略：1.使用斜率判定两条直线垂直的注意事项(1)直线垂直只有两种情形，即一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为0和k 1k 2＝－1.(2)当点的坐标中含有参数时，需注意两点连线的斜率是否存在．2.利用斜率公式来判定两直线垂直的方法(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在只需看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直，若不相等，则进行第二步．(2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式．(3)三求：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论． 22．【多选】（2024·浙江杭州·高二杭师大附中校考期中）下列直线12,l l 互相垂直的是（ ）A ．1l 的斜率为23-，2l 经过点(1,1)A ，10,2B æö-ç÷èøB ．1l 的倾斜角为45°，2l 经过点(2,1),(3,6)P Q ---C ．1l 经过点(1,0),(4,5)M N -，2l 经过点(6,0),(1,3)R S --D ．1l 的斜率为2，2l 经过点(1,2),(4,8)U V 【答案】ABC【分析】由倾斜角与斜率的关系求出直线斜率，由两点坐标求出直线斜率，分别判断两直线斜率之积是否为1-，从而可选出正确答案.【详解】2l 的斜率为1132012k --==-，因为23132-´=-，所以12l l ⊥成立，故A 正确；1l 的斜率为1tan 451k =°=，2l 的斜率为()()26151325----===---k ，由121k k =-，则12l l ⊥成立，故B 正确；1l 的斜率为155413k -==--，2l 的斜率为()2303165k -==---，由121k k =-则12l l ⊥成立，故C 正确；2l 的斜率为82241k -==-，由221´¹-，所以12l l ⊥不成立，故D 错误.故选：ABC ．23．（2024·江苏·高二假期作业）判断下列各组直线是否垂直，并说明理由．(1)1l 经过点(3,4),(1,3),A B --2l 经过点(4,3),(3,1)M N --；(2)1l 经过点(3,4),(3,10),A B 2l 经过点(10,40),(10,40)M N -．【答案】(1)不垂直，理由见解析(2)垂直，理由见解析【分析】（1）由题知直线1l ，2l 的斜率存在，分别计算出1l 、2l 的斜率，即可判断（1）组直线不垂直；（2）由题知1l x ⊥轴，2l x 轴，即可判断（2）组直线垂直.【详解】（1）由题知直线1l ，2l 的斜率存在，分别设为12,k k ，()()1347134k --==--，()()2134347k --==--，121k k \⋅=，∴1l 与2l 不垂直．（2）由题意知1l 的倾斜角为90°，则1l x ⊥轴；由题知直线2l 的斜率存在，设为3k ，34040010(10)k -==--，则2l x 轴，∴12l l ⊥．24．（2024·广东·高二校联考阶段练习）判断下列直线1l 与2l 是否垂直：(1)1l 的倾斜角为2π3，2l 经过(4,M -，(5,N 两点；(2)1l 的斜率为32-，2l 经过()3,2P -，()6,4Q -两点；(3)1l 的斜率为13-，2l 的倾斜角为a ，a 为锐角，且3tan 24a =-.【答案】(1)12l l ⊥(2)1l 与2l 不垂直(3)12l l ⊥【分析】（1）1l 的斜率为2πtan3=2l 的斜率，判断斜率的乘积是否为1-即可；（2）根据过两点的斜率公式可求2l 的斜率，判断斜率的乘积是否为1-即可；（3）根据二倍角的正切公式求出tan a 的值，判断斜率的乘积是否为1-即可.（1）因为1l 的倾斜角为2π3，所以1l 的斜率为2πtan 3=.因为2l 经过(4,M -，(5,N 两点，所以2l =因为1=-，所以12l l ⊥.（2）因为2l 经过()3,2P -，()6,4Q -两点，所以2l 的斜率为()422633--=---.因为1l 的斜率为32-，且32123æö-´-¹-ç÷èø，所以1l 与2l 不垂直.（3）记2l 的斜率为k ，因为3tan 24a =-，所以22314k k =--，解得3k =或13k =-.因为a 为锐角，所以3k =.因为1l 的斜率为13-，且1313æö´-=-ç÷èø，所以12l l ⊥.25．（2024·福建三明·高二校联考期中）已知直线1l 经过()3,2A -，()1,2B -两点，直线2l 倾斜角为45°，那么1l 与2l （ ）A ．平行B ．垂直C ．重合D ．相交但不垂直【答案】B【分析】根据两点求出直线1l 的斜率，根据倾斜角求出直线2l 的斜率，可知斜率乘积为1-，从而得到垂直关系.【详解】由题意可得：直线1l 的斜率()122131k --==---，直线2l 的斜率2tan451k =°=，∵121k k =-，则1l 与2l 垂直.故选：B.26.【多选】（2024·广西柳州·高二校考阶段练习）若()4,2A -，()6,4B -，()12,6C ，()2,12D ，下面结论中正确的是（ ）A ．//AB CDB ．AB AD ⊥C ．AC BD =D ．//AC BD 【答案】ABC 【详解】423645AB k --==-+，12632125CD k -==--，且C 不在直线AB 上，∴//AB CD ，故A 正确；又∵1225243AD k -==+，∴1AB AD k k ⋅=-，∴AB AD ⊥，故B 正确；∵()16,4AC =uuu r ，()4,16BD =-uuu r ，∴AC =，BD =，∴AC BD =，故C 正确；又∵6211244AC k -==+，124426BD k +==--，∴1AC BD k k =-⋅∴AC BD ⊥，故D 错误．故选:ABC ．27．【多选】（2024·江苏·高二假期作业）以(1,1),(2,1),(1,4)A B C --为顶点的三角形，下列结论正确的有（ ）A ．23AB k =-B ．14BC k =-C ．以A 点为直角顶点的直角三角形D ．以B 点为直角顶点的直角三角形【答案】AC【分析】对于AB ，利用斜率公式计算判断，对于C ，通过计算AB AC k k ⋅判断，对于D ，通过计算AB BC k k ⋅判断.【详解】对于A ，因为(1,1),(2,1)A B --，所以1(1)2123AB k --==---，所以A 正确，对于B ，因为(2,1),(1,4)B C -，所以1415214BC k --==-¹--，所以B 错误，对于C ，因为23AB k =-，143112AC k -==--，所以22133AB AC k k ⋅=-´=-，所以AB AC ⊥，所以ABC V 以A 点为直角顶点的直角三角形，所以C 正确，对于D ，因为23AB k =-，5BC k =-，所以1AB BC k k ⋅¹-，所以D 错误，故选：AC28.（2024·全国·模拟预测）已知两条直线1l 和2l ，其斜率分别是一元二次方程220241k k +=的两不等实数根，则其位置关系是（ ）A ．平行B ．垂直C ．重合D ．异面【答案】B【分析】由斜率乘积判断两直线的位置关系可得．【详解】由题意，设两条直线1l 和2l 的斜率分别为12,k k ，且为一元二次方程22024 1 k k +=的两不等实数根，则211k k ⋅=-，所以12l l ⊥.故选：B 29．（2024·上海奉贤·高二校考阶段练习）已知直线12,l l 的斜率是方程220x px --=的两个根，则（ ）A ．12l l ⊥B ．12//l l C ．1l 与2l 相交但不垂直D ．1l 与2l 的位置关系不确定【答案】C【分析】由122k k =-可知两直线不垂直，且12k k ¹知两直线不平行，由此可得结论.【详解】设直线12,l l 的斜率为12,k k ，则122k k =-，121k k ¹-Q ，12,l l \不垂直，A 错误；若12k k =，则21210k k k =³，与122k k =-矛盾，12k k \¹，12,l l \不平行，B 错误；12,l l Q 不平行，也不垂直，12,l l \相交但不垂直，C 正确，D 错误.故选：C.（三）已知两直线垂直求参数解题策略：解决由垂直关系求参数问题的思路由两条直线垂直求参数的值，一般的解题思路是利用斜率的坐标公式表示出斜率，令斜率之积为-1求解,但在解题过程中要注意讨论直线与x 轴垂直的情况,此时一条直线的斜率为零，另一条直线的斜率不存在.对于斜率不存在的直线，可令直线上两点的横坐标相等,即可求解30.（2023·全国·高二专题练习）过点(,1)A m ，(1,)B m -的直线与过点(1,2)P ，(5,0)Q -的直线垂直，则m 的值为（ ）A ．2-B ．2C ．12D ．12-【答案】A【详解】两条直线垂直，则：120111(5)m m --´=-+--，解得2m =-，故选：A ．31．（2024·甘肃兰州·高二兰州五十九中校考开学考试）已知经过点()2,0A -和点()1,3B a 的直线1l 与经过点()0,1P -和点(),2Q a a -的直线2l 互相垂直，则实数a 的值为（ ）A ．0B ．1C ．0或1D ．1-或1【答案】C【分析】求出直线1l 的斜率为1k a =，分0a ¹、0a =两种情况讨论，在0a ¹时，由两直线斜率之积为1-可求得实数a 的值；在0a =时，直接验证12l l ⊥.综合可得结果.【详解】直线1l 的斜率()13012a k a -==--．①当0a ¹时，直线2l 的斜率()221120a a k a a----==-．因为12l l ⊥，所以121k k =-，即121a a a -⋅=-，解得1a =．②当0a =时，()0,1P -、()0,0Q ，此时直线2l 为y 轴，又()2,0A -、()10B ,，则直线1l 为x 轴，显然12l l ⊥．综上可知，0a =或1.故选：C.32.（2024·黑龙江佳木斯·高二富锦市第一中学校考阶段练习）已知直线1l 经过()3,7A ，()2,8B 两点，且直线21l l ⊥，则直线2l 的倾斜角为（ ）A ．30°B ．45°C ．135°D ．150°【答案】B【详解】设直线2l 的倾斜角为a ，因为直线1l 的斜率178132l k -==--，由12l l ⊥，得121l l k k ⋅=-，所以21l k =，即tan 1a =，又0180a °£<°，则45a =°，所以直线2l 的倾斜角为45°．故选：B ．33．（2024·高二课时练习）已知直线l 的倾斜角为135°，直线1l 经过点(3,2)A ，(,1)B a -，且1l 与l 垂直，直线22:1l y x b=-+与直线1l 平行，则a b +等于（ ）A ．4-B ．2-C ．0D ．2【答案】B【分析】由直线l 的倾斜角为135°，1l 与l 垂直可得1l k ，再由直线2l 与直线1l 平行求得b ，由1l 过,A B 求得a ，进而求a b +.【详解】由题意知：tan1351l k =°=-，而1l 与l 垂直，即11l k =，又直线22:1l y x b =-+与直线1l 平行，则21b-=，故2b =-，又1l 经过点(3,2)A ，(,1)B a -，则11213l k a --==-，解得0a =，所以2a b +=-.故选：B.34.（23-24高二上·甘肃兰州·阶段练习）若直线1l 与2l 的斜率1k 、2k 是关于k 的方程224k k b --=的两根，若12l l ⊥，则b =（ ）A ．2B ．－2C ．0D ．－4【答案】B【分析】由直线垂直得121k k =-，结合韦达定理得参数值．【详解】12121l l k k ⊥Þ=-，方程224k k b --=为2240k k b ++=，所以1212b k k ==-，2b =-，此时1680b D =->满足题意．故选：B ．35．（2024·青海海东·高二校考期中）已知点()2,2A -，()6,4B ，()5,2H ，H 是ABC V 的垂心．则点C 的坐标为（ ）A ．()6,2B ．()2,2-C ．()4,2--D ．()6,2-【答案】D【分析】先设点C 的坐标,再求出直线BH AH ，的斜率，则可求出直线AC 的斜率和直线BC 的倾斜角，联立方程组求出C 的坐标；【详解】设C 点标为(),x y ，直线AH 斜率22052AH k -==+，∴BC AH ⊥，而点B 的横坐标为6，则6x =，直线BH 的斜率42265BH k -==-，∴直线AC 斜率21622AC y k -==-+，∴=2y -，∴点C 的坐标为(6,2)-．故选:D .36.（2024·甘肃武威·高二民勤县第一中学校考开学考试）已知三角形三个顶点的坐标分别为()4,2A ，()1,2B -，()2,4C -，则BC 边上的高的斜率为（ ）A ．2B ．2-C ．12D ．12-【答案】C【详解】()1,2B -Q ，()2,4C -，()42221BC k --\==---设BC 边上的高的斜率为k ，则1BC k k ⋅=-，12k \=故选：C37.（2024·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中学校考期末）已知点()1,1A 和()2,4B ，点P 在y 轴上，且APB Ð为直角，则点P 坐标为（ ）A ．()0,2B ．()0,2或()0,3C ．()0,2或()0,4D ．()0,3【答案】B【详解】由题意，设点()0,P y ，APB ÐQ 为直角，AP BP \⊥，由141,12AP BP y y k y k --==-=，()4112AP BP y k k y -æö\⋅=-=-ç÷èø，解得3y =或2，所以点P 的坐标为()0,2或()0,3故选：B38．（2024·江苏·高二假期作业）已知两点(2,0)A ，(3,4)B ，直线l 过点B ，交y 轴于点(0,)C y ，O 是坐标原点，且O ，A ，B ，C 四点共圆，那么y 的值是________．【答案】194/4.75【分析】由题易知OC OA ⊥，即AC 为圆的直径，即AB BC ⊥,由1AB BC k k ⋅=-列出方程，即可求出答案.【详解】由题易知OC OA ⊥，即AC 为圆的直径，即AB BC ⊥,∴1AB BC k k ⋅=-，即40413230y--´=---，解得194y =．故答案：194.39．（2024·江苏·高二假期作业）已知()1,1M -，()2,2N ，()3,0P ．(1)求点Q 的坐标，满足PQ MN ⊥，PN MQ ∥；(2)若点Q 在x 轴上，且NQP NPQ Ð=Ð，求直线MQ 的倾斜角．【答案】(1)()0,1Q (2)90°【分析】（1）根据两直线的垂直关系和平行关系即可求出结果；（2）根据条件可得NQ NP k k =-即可求出结果.【详解】（1）设(,)Q x y ，由已知得2(1)321MN k --==-，又PQ MN ⊥，可得1MN PQ k k ⋅=-，即31(3)3yx x ´=-¹-． ①由已知得02232PN k -==--，又PN MQ ∥，可得PN MQ k k =，即()1211y x x +=-¹-． ②联立①②解得0,1x y ==，∴(0,1)Q ．（2）设(,0)Q x ，∵NQP NPQ Ð=Ð，∴NQ NP k k =-，又∵22NQ k x =-，2NP k =-，∴222x=-，解得1x =．∴(1,0)Q ，又∵(1,1)M -，∴MQ x ⊥轴，故直线MQ 的倾斜角为90°．40．【多选】（2024·广西贵港·高二校考阶段练习）已知等腰直角三角形ABC 的直角顶点为()3,3C ，点A 的坐标为()0,4，则点B 的坐标可能为（ ）A ．()2,0B ．()6,4C ．()4,6D ．()0,2【答案】AC【分析】根据三角形ABC 为等腰直角三角形列方程组，即可求解.【详解】设(),B x y ，由题意可得=，可化为()()22360 3310x y x y --=ìïí-+-=ïî，解得:20x y =ìí=î或46x y =ìí=î，即()2,0B 或()4,6B ．故选：AC题型三 直线平行、垂直的判定在几何中的应用解题策略：1.利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤2.平行和垂直的综合应用(1)利用直线的斜率判定平面图形的形状一般要运用数形结合的方法，先由图形作出猜测，然后利用直线的斜率关系进行判定．(2)由几何图形的形状求参数(一般是点的坐标)时，要根据图形的特征确定斜率之间的关系，既要考虑斜率是否存在，又要考虑到图形可能出现的各种情形．41．（2024·全国·高二期中）已知5,111(),()2)3,(A B C -，，三点，则△ABC 为__________ 三角形.【答案】直角【分析】根据直线斜率关系即得.【详解】如图，猜想,AB BC ABC ⊥V 是直角三角形，由题可得边AB 所在直线的斜率12AB k =-,边BC 所在直线的斜率2BC k =，由1AB BC k k =-，得,AB BC ⊥即90ABC Ð= ，所以ABC V 是直角三角形.故答案为：直角.42．（2024·河南商丘·高二校联考期中）若()5,1A -，()1,1B ，()2,3C ，则ABC V 的外接圆面积为______．【答案】254p【分析】由斜率得AB BC ⊥，从而可得AC 是直角三角形的斜边，也是ABC V 的外接圆的直径，求得AC 长后得圆半径，从而得圆面积．【详解】111512--==--AB k ，31221BC k -==-，1AB BC k k ⋅=-，∴AB BC ⊥，AC 是直角三角形的斜边，也是ABC V 的外接圆的直径，5=，外接圆半径为522AC r ==，圆表面积为22544()252S r p p p ==´=．故答案为：254p ．43．（2024·高二课时练习）以(2,1),(4,2),(2,6),(3,1)A B C D ---为顶点的四边形是（ ）A ．平行四边形，但不是矩形B ．矩形C ．梯形，但不是直角梯形D ．直角梯形【答案】D【分析】先在坐标系内画出ABCD 点，再根据对边和邻边的位置关系判断四边形ABCD 的形状.【详解】在坐标系中画出ABCD 点，大致如上图，其中11622,2,,//3224AD BC AD BC k k k k AD BC +-==-==-\=-+-，211,1,422AB AB BC k k k AB BC +===-⊥+g ，==所以四边形ABCD 是直角梯形；故选：D.44.（2024高二上·全国·专题练习）已知四边形MNPQ 的顶点()()()()1,1,3,1,4,0,2,2M N P Q -，则四边形MNPQ 的形状为.【答案】矩形【分析】分别求出直线,,,MN PQ MQ NP 的斜率，根据斜率判断对应直线得位置关系，即可得出结论.【详解】解：()11201,11324MN PQ k k ---==-==---Q ，且P 不在直线MN 上，//MN PQ \.又()01211,12143MQ NP k k ---====--Q ，且N 不在直线上，//MQ NP \，\四边形MNPQ 为平行四边形.又1,MN MQ k k MN MQ ⋅=-\⊥Q .\平行四边形MNPQ 为矩形.故答案为：矩形.45.（2024·山东滨州·高一校考阶段练习）已知点()4,3A -，()2,5B ，()6,3C ，()3,0D -，试判定四边形ABCD的形状．【答案】直角梯形【详解】由斜率公式可得：5312(4)30313630333(4)351622AB CDADBC k k k k -==---==---==-----==--AB CD k k =，//AD BCAB CDk k \¹Q AD \与BC 不平行又1(3)13AB AD k k ⋅=´-=-Q ，AB AD \⊥，故四边形ABCD 是直角梯形．46．（2024·高二课时练习）（拓广探索）在平面直角坐标系中，四边形OPQR 的顶点坐标按逆时针顺序依次为(0,0)O ，(1,)P t ，(12,2)Q t t -+，(2,2)R t -，其中0t >．则四边形OPQR 的形状为______.【答案】矩形【分析】根据点的坐标计算斜率，利用斜率相等得到直线平行，再根据矩形的判定，即可得到答案；【详解】由斜率公式得010Op t k t -==-，RQ 2(2)2(12)1t t k t t t -+-===----，20120OR k t t-==---，PQ 2211212t t k t t t +-===----，所以OP RQ k k =，QR PQ k k =，从而//OP RQ ，//OR PQ ．所以四边形OPQR 为平行四边形．又1OP QR k k ⋅=-，所以OP OR ⊥，故四边形OPQR 为矩形．故答案为：矩形.47．（2024·江苏·高二假期作业）已知ABC V 的顶点为(5,1)A -，(1,1)B ，(2,)C m ，是否存在R m Î使ABC V 为直角三角形，若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．【答案】存在，7m =-或3m =或2m =±【分析】对ABC V 的直角进行讨论，利用两直线垂直的斜率关系即可求出结果.【详解】若A 为直角，则AC AB ⊥，∴1AC AB k k ⋅=-，即11112515m ++⋅=---，解得7m =-；若B 为直角，则BC AB ⊥，∴1BC AB k k ⋅=-，即11112115m -+⋅=---，解得3m =；若C 为直角，则AC BC ⊥，∴1AC BC k k ⋅=-，即1112521m m +-⋅=---，解得2m =±．综上所述，存在7m =-或3m =或2m =±，使ABC V 为直角三角形．48．（2024·高二课时练习）已知(1,3),(5,1),(3,7)A B C ，A ，B ，C ，D 四点构成的四边形是平行四边形，求点D 的坐标.【答案】(7,5)或(1,9)-或(3,3)-.【分析】由题意分类讨论，根据直线的斜率即可求出点D 的坐标.【详解】由题，(1,3),(5,1),(3,7)A B C ，所以kAC =2，12AB k =-，kBC =－3，设D 的坐标为（x ，y ），分以下三种情况：①当BC 为对角线时，有kCD =kAB ，kBD =kAC ，所以，125BD y k x -==-，71=32CD y x k -=--，得x =7，y =5，即(7,5)D ②当AC 为对角线时，有kCD =kAB ，kAD =kBC ，所以，331AD y k x -==--，71=32CD y x k -=--得x =－1，y =9，即(1,9)D -③当AB 为对角线时，有kBD =kAC ，kAD =kBC 所以132351BD AD y y k k x x --====---，，得x =3，y =－3，即(3,3)D -所以D 的坐标为(7,5)或(1,9)-或(3,3)-.49．（2024·全国·高二专题练习）用坐标法证明：菱形的对角线互相垂直.【答案】证明见解析【分析】建立坐标系，根据AB AD =得出1AC BD k k =-⋅，从而证明菱形的对角线互相垂直.【详解】以AB 为x 轴，过A 作AB 的垂线为y 轴，如图，建立平面直角坐标系，设各点坐标分别为(0,0),(,0),(,),(,),,,AC BD c c A B b D a c C a b c k k a b a b+==+-。
直线、平面垂直的判定及其性质(人教A版)(含答案)
直线、平面垂直的判定及其性质（人教A版）一、单选题(共12道，每道8分)1.在空间，下列命题正确的是( )①如果直线a，b都与直线平行，那么a∥b②如果直线a与平面β内的直线b平行，那么a∥β③如果直线a与平面β内的直线b，c都垂直，那么a⊥β④如果平面β内的直线a垂直于平面α，那么α⊥βA.①③B.①④C.②④D.②③答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间中直线与平面之间的位置关系2.已知α，β，γ是三个互不重合的平面，是一条直线，下列命题中正确命题是( ) A.B.C.D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：面面垂直的判定3.给出下列关于互不相同的直线m，，n，平面α，β及点A的四个命题：①若m⊂α，∩α=A，点A∉m，则与m不共面；②若m，是异面直线，∥α，m∥α，且n⊥，n⊥m，则n⊥α；③若∥α，m∥β，α∥β，则∥m；④若⊂α，m⊂α，∩m=A，∥β，m∥β，则α∥β．其中为假命题的是( )A.①B.②C.③D.④答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间中直线与平面之间的位置关系4.如图，在正方体中，点P是CD上的动点，则直线与直线所成的角为( )A.30°B.45°C.60°D.90°答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线与平面垂直的判定5.如图，在三棱锥S-ABC中，底面是边长为1的正三角形，O为△ABC的中心，侧棱长均为2，则侧棱与底面所成角的余弦值为( )A. B. C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间中直线与平面之间的位置关系6.将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使，则三棱锥D-ABC的体积为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：棱柱、棱锥、棱台的体积7.将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得平面ADC⊥平面ABC，在折起后形成的三棱锥D-ABC中，给出下列三个命题：①△DBC是等边三角形；②AC⊥BD；③三棱锥D-ABC的体积是．其中正确命题的个数为( )A.0个B.1个C.2个D.3个答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间位置关系与距离8.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点，已知AB=2，AD=，PA=2，则△PCD的面积为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线与平面垂直的性质9.（上接试题8）异面直线BC与AE所成的角的大小为( )A.90°B.60°C.45°D.30°答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：异面直线及其所成的角10.如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为4的正方形，侧棱PA垂直于底面，且PA=3，则直线PC与平面ABCD所成角的正切值为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线与平面所成的角11.（上接试题10）异面直线PB与CD所成角的正切值为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：异面直线及其所成的角12.（上接试题10，11）四棱锥P-ABCD的表面积为( )A.80B.68C.60D.48答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积第11页共11页。
垂线的专项练习30题有答案ok
垂线在平面几何中的应用
第六章
垂线在三角形中的应用
定义：垂线是指与给定直线垂直的直线 性质：垂线与给定直线相交于一点，这一点称为垂足 判定：在同一平面内，过一点与给直线垂直的直线有且仅有一条 应用：在三角形中，垂线可以用于证明角平分线、高线、中线等性质
垂线在四边形中的应用
垂线在矩形中的应用：利用垂线性质证明矩形的性质和定理。 垂线在菱形中的应用：利用垂线性质证明菱形的性质和定理。 垂线在正方形中的应用：利用垂线性质证明正方形的性质和定理。 垂线在等腰梯形中的应用：利用垂线性质证明等腰梯形的性质和定理。
● 答案：$\frac{y-1}{x-1} = \frac{0-1}{2-1} \Rightarrow y = -x + 2$
● 题目：已知直线$l$经过点$A(3,0)$和点$B(4,5)$，则直线$l$的方程为多少？ 答案：$\frac{y0}{x-3} = \frac{5-0}{4-3} \Rightarrow y = 5x - 15$
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汇报人：XX
● A.$\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)$ B.$\left(-\frac{4}{5},-\frac{3}{5}\right)$ C.$\left(\frac{4}{5},\frac{3}{5}\right)$ D.$\left(-3,-4\right)$
2017-2018学年高中新课标 数学A版 必修②课时作业：2-
C．0 D．2
解析：因为直线l的倾斜角为135°，直线l1经过点A(3,2)，B(a，－1)，且l1与l垂直，
所以 ＝1，所以a＝0，
又直线l2：2x＋by＋1＝0与直线l1平行，所以－ ＝1，所以b＝－2，因此a＋b＝－2.
答案：B
12．已知A(2,3)，B(1，－1)，C(－1，－2)，点D在x轴上，则当点D坐标为________时，AB⊥CD.
解析：直线2x－3y＋4＝0的斜率为 ，又直线l与该直线垂直，所以直线l的斜率为－ .又直线l过点(－2，－3)，因此直线l的方程为y－(－3)＝－ ×，即3x＋2y＋12＝0.
答案：3x＋2y＋12＝0
8．已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－1,0)，B(0,2)，C(a,0)，若AB⊥BC，则a＝__，解得 或 .
当a＝0，b＝0时不合题意，舍去．
∴a＝2，b＝－2.
(2)∵l1∥l2，∴a－b(a－1)＝0，③
由题意知a>0，b>0，直线l2与两坐标轴的交点坐标分别为 ，
则 × × ＝2，
得ab＝4，④
由③④，得a＝2，b＝2.
答案：B
5．下列直线中，与已知直线y＝－ x＋1平行，且不过第一象限的直线的方程是()
A．3x＋4y＋7＝0 B．4x＋3y＋7＝0
C．4x＋3y－42＝0 D．3x＋4y－42＝0
解析：先看斜率，A、D选项中斜率为－ ，排除掉；再看纵截距，要使纵截距小于0，才能使直线不过第一象限，只有B选项符合．
课时作业
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一、选择题(每小题5分，共25分)
1．下列命题中，正确的是()
A．斜率相等的两条直线一定平行
B．若两条不重合的直线l1，l2平行，则它们的斜率一定相等
2018年高考数学(理科,课标Ⅱ专用)复习专题测试8.4 直线、平面垂直的判定与性质(共64张PPT)
解析 (1)证明:由已知可得AF⊥DF,AF⊥FE, 所以AF⊥平面EFDC. (2分)
又AF⊂平面ABEF,故平面ABEF⊥平面EFDC. (3分)
(2)过D作DG⊥EF,垂足为G,由(1)知DG⊥平面ABEF. 以G为坐标原点, GF 的方向为x轴正方向,| GF |为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz.
2 95 25
7 5 14 mn = =- . 25 | m || n | 50 10
思路分析 (1)利用已知条件及翻折的性质得出D'H⊥EF,利用勾股定理逆定理得出D'H⊥OH, 从而得出结论; (2)在第(1)问的基础上建立恰当的空间直角坐标系,从而求出两个半平面的法向量,利用向量的 夹角公式求其余弦值,从而求出正弦值,最后转化为二面角的正弦值.
6x 2 0, n AC 0, 则 即 3x 2 y 2 3z 2 0, n AD ' 0,
所以可取n=(0,-3,1). (10分) 于是cos<m,n>= sin<m,n>= .
2 95 因此二面角B-D'A-C的正弦值是 . (12分) 25
(6分)
由(1)知∠DFE为二面角D-AF-E的平面角,故∠DFE=60°,则|DF|=2,|DG|= 3 ,可得A(1,4,0),B(-3,4, 0),E(-3,0,0),D(0,0, 3 ).
2.(2016课标全国Ⅱ,19,12分)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,AB=5,AC=6,点E,F分别 在AD,CD上,AE=CF= ,EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D'EF的位置,OD'= 10 . (1)证明:D'H⊥平面ABCD; (2)求二面角B-D'A-C的正弦值.
数学课时过关检测(四十) 直线、平面垂直的判定与性质
课时过关检测（四十）直线、平面垂直的判定与性质A级——基础达标1．若l，m为两条不同的直线，α为平面，且l⊥α，则“m∥α”是“m⊥l”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A由l⊥α且m∥α能推出m⊥l，充分性成立；若l⊥α且m⊥l，则m∥α或者m⊂α，必要性不成立，因此“m∥α”是“m⊥l”的充分不必要条件，故选A．2.如图，在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么点D在平面ABC内的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部解析：选A因为AB⊥AC，BD⊥AC，AB∩BD＝B，所以AC⊥平面ABD，又AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABD，所以点D在平面ABC内的射影H必在直线AB上．3．(2021·河北唐山模拟)如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是()A．①②B．②④C．①③D．②③解析：选B对于①，易证AB与CE所成角为45°，则直线AB与平面CDE不垂直；对于②，易证AB⊥CE，AB⊥ED，且CE∩ED＝E，则AB⊥平面CDE；对于③，易证AB 与CE所成角为60°，则直线AB与平面CDE不垂直；对于④，易证ED⊥平面ABC，则ED⊥AB，同理EC⊥AB，可得AB⊥平面CDE.故选B．4.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB ＝90°，D 是A 1B 1的中点，F 是BB 1上的动点，AB 1，DF 交于点E .要使AB 1⊥平面C 1DF ，则线段B 1F 的长为( )A ．12B ．1C ．32D ．2解析：选A 设B 1F ＝x ，因为AB 1⊥平面C 1DF ，DF ⊂平面C 1DF ，所以AB 1⊥DF .由已知可得A 1B 1＝2，设Rt △AA 1B 1斜边AB 1上的高为h ，则DE ＝12h .又2×2＝h 22＋(2)2，所以h ＝233，DE ＝33. 在Rt △DB 1E 中，B 1E ＝⎝⎛⎭⎫222－⎝⎛⎭⎫332＝66.在Rt △DB 1F 中，由面积相等得66× x 2＋⎝⎛⎭⎫222＝22x ，解得x ＝12.即线段B 1F 的长为12.5．(多选)已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则( ) A ．若α∩β＝m ，n ⊂α，n ⊥m ，则α⊥β B ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β C ．若m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥β D ．若m ∥α，n ∥β，m ∥n ，α∥β解析：选BC 若α∩β＝m ，n ⊂α，n ⊥m ，则α与β不一定垂直，故A 项错误；若m ⊥α，m ⊥β，根据垂直于同一条直线的两个平面平行，知α∥β，故B 项正确；若m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥β，故C 项正确；若m ∥α，n ∥β，m ∥n ，则α与β可能相交，故D 项错误．故选B 、C ．6．(多选)如图，在三棱锥V -ABC 中，VO ⊥平面ABC ，O ∈CD ，VA ＝VB ，AD ＝BD ，则下列结论中一定成立的是( )A ．AC ＝BCB ．AB ⊥VC C ．VC ⊥VDD ．S △VCD ·AB ＝S △ABC ·VO解析：选ABD ∵VO ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，∴VO ⊥A B ．∵VA ＝VB ，AD ＝BD ，∴VD ⊥A B ．又∵VO ∩VD ＝V ，∴AB ⊥平面VCD .又∵CD ⊂平面VCD ，∴AB ⊥CD .又∵AD ＝BD ，∴AC ＝BC ，故A 正确；∵VC ⊂平面VCD ，∴AB ⊥VC ，故B 正确；∵S △VCD ＝12VO ·CD ，S △ABC ＝12AB ·CD ，∴S △VCD ·AB ＝S △ABC ·VO ，故D正确．由题中条件无法判断VC ⊥VD ，故选A 、B 、D.7．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，E ，F ，G ，H 分别是棱A 1A ，B 1B ，C 1C ，D 1D 的中点，请写出一个与A 1O 垂直的正方体的截面________．(写出一个即可，不必写出全部)解析：如图，连接OG ，A 1C 1，易知BD ⊥AC ，BD ⊥AA 1，故BD ⊥平面ACC 1A 1，A 1O ⊂平面ACC 1A 1，故BD ⊥A 1O ，设正方体边长为2， 则A 1O ＝AA 21＋AO 2＝4＋2＝6，OG ＝OC 2＋CG 2＝2＋1＝3， A 1G ＝A 1C 21＋C 1G 2＝8＋1＝3，故A 1G 2＝A 1O 2＋OG 2，故A 1O ⊥OG ， OG ∩BD ＝O ，故A 1O ⊥平面GBD . 答案：GBD8．(2019·北京高考)已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断： ①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：________.解析：②③⇒①.证明如下：∵ m ∥α，∴ 根据线面平行的性质定理，知存在n ⊂ α，使得m ∥n .又∵ l ⊥α，∴ l ⊥n ，∴ l ⊥m .①③⇒②.证明略．答案：②③⇒①(或①③⇒②)9.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝8，∠BAC ＝60°，PC ⊥平面ABC ，PC ＝4，M 是AB 上的一个动点，则PM 的最小值为________．解析：如图，过点C 作CM ⊥AB 于点M ，连接PM .∵PC ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，∴PC ⊥A B ．又∵PC ∩CM ＝C ，∴AB ⊥平面PCM .又∵PM ⊂平面PCM ，∴PM ⊥AB ，此时PM 最短．∵∠BAC ＝60°，∠ACB ＝90°，AB ＝8，∴AC ＝AB cos 60°＝4，∴CM ＝AC sin 60°＝2 3.∵PC ⊥平面ABC ，CM ⊂平面ABC ，∴PC ⊥CM .∵在Rt △PCM 中．CM ＝23，PC ＝4，∴PM ＝CM 2＋PC 2＝(23)2＋42＝27.答案：2710．(2021·大连模拟)在平面凸四边形ABCD 中，CB ＝CD ＝3，AB ＝AD ＝x ，∠BCD ＝π3，将△ABD 沿BD 折起，形成三棱锥A ′-BCD ，若翻折过程中，存在某个位置，使得BC⊥A ′D ，则x 的取值范围是________．解析：由平面凸四边形ABCD 中，CB ＝CD ＝3，∠BCD ＝π3，可得BD ＝3，取BD 的中点E ，连接A ′E ，CE ， 由A ′B ＝A ′D ，CB ＝CD ， 可得BD ⊥A ′E ，BD ⊥CE ， 又A ′E ∩CE ＝E ，则BD ⊥平面A ′CE ，可得BD ⊥A ′C ， 由存在某个位置，使得BC ⊥A ′D ，可得A ′在底面BCD 的射影为△BCD 的垂心， 设垂心为H ，可得A ′E ＞EH ，即x 2－94＞36×3，解得x ＞3，且 3＋3＞3，经检验，满足三角形的要求，故x 的取值范围是(3，＋∞)．答案：(3，＋∞)11.如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，D是A1B1的中点，F在BB1上．(1)求证：C1D⊥平面AA1B1B；(2)在下列给出的三个条件中选取哪两个条件可使AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论．①F为BB1的中点；②AB1＝3；③AA1＝ 2.解：(1)证明：∵ABC-A1B1C1是直三棱柱，∴A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°.又D是A1B1的中点，∴C1D⊥A1B1.∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D⊂平面A1B1C1，∴AA1⊥C1D，又A1B1∩AA1＝A1，∴C1D⊥平面AA1B1B．(2)选①③能证明AB1⊥平面C1DF.如图，连接DF，A1B，∴DF∥A1B，在△ABC中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，则AB＝2，又AA1＝2，则A1B⊥AB1，∴DF⊥AB1.∵C1D⊥平面AA1B1B，AB1⊂平面AA1B1B，∴C1D⊥AB1.∵DF∩C1D＝D，∴AB1⊥平面C1DF.12．(2018·北京高考)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．(1)求证：PE⊥BC；(2)求证：平面PAB⊥平面PCD；(3)求证：EF∥平面PCD.证明：(1)因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD，所以PE⊥BC．(2)因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD.又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面PAD，因为PD⊂平面PAD，所以AB⊥PD.又因为PA⊥PD，AB∩PA＝A，所以PD⊥平面PA B．因为PD⊂平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD.(3)如图，取PC的中点G，连接FG，DG.因为F，G分别为PB，PC的中点，所以FG∥BC，FG＝1．2BC因为四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，所以DE∥BC，DE＝1．2BC所以DE∥FG，DE＝FG.所以四边形DEFG为平行四边形．所以EF∥DG.又因为EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD，所以EF∥平面PCD.B 级——综合应用13．在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，侧面PAB ⊥底面ABCD ，若PA ＝AD ＝AB ＝kBC (0＜k ＜1)，则( )A ．当k ＝12时，平面BPC ⊥平面PCDB ．当k ＝12时，平面APD ⊥平面PCDC ．对任意k ∈(0,1)，直线PA 与底面ABCD 都不垂直 D ．存在k ∈(0,1)，使直线PD 与直线AC 垂直解析：选A 当k ＝12时，取PB ，PC 的中点，分别为M ，N ，连接MN ，AM ，DN (图略)．由平面PAB ⊥平面ABCD ，BC ⊥AB ，可知BC ⊥平面PAB ，∴BC ⊥AM .又M 为PB 的中点，PA ＝AB ，∴AM ⊥PB ，可得AM ⊥平面PBC ，而AD ∥BC 且AD ＝12BC ，MN ∥BC 且MN ＝12BC ，∴AD ∥MN 且AD ＝MN ，则四边形ADNM 为平行四边形，可得AM ∥DN ，则DN ⊥平面BPC ．又DN ⊂平面PCD ，∴平面BPC ⊥平面PCD .故选A ．14．(多选)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点P 是线段AB 1上的动点，以下选项正确的有( )A ．BD ∥平面AD 1PB ．D 1P ⊥A 1CC ．D 1P 与C 1D 所成角的取值范围为⎣⎡⎦⎤π4，π2D ．P 是AB 1中点时，直线PB 与平面BC 1D 所成的角最大 解析：选ABD 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，BD ∥B 1D 1，BD ⊄平面AD 1B 1，B 1D 1⊂平面AD 1B 1，所以BD ∥平面AD 1B 1，因为点P 是线段AB 1上的动点，所以平面AD 1P ＝平面AD 1B 1，即BD ∥平面AD 1P ，故A 正确；在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，A 1C 1⊥B 1D 1，AA 1⊥B 1D 1⇒B 1D 1⊥平面A 1C 1CA ⇒B 1D 1⊥A 1C ，同理可证AD 1⊥A 1C ，从而A 1C ⊥平面AD 1B 1，因为点P 是线段AB 1上的动点，所以D 1P ⊂平面AD 1B 1，因此D 1P ⊥A 1C ，故B 正确； 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，C 1D ∥AB 1，所以D 1P 与C 1D 所成角为D 1P 与AB 1所成角，而△AD 1B 1为正三角形，所以D 1P 与C 1D 所成角的取值范围为⎣⎡⎦⎤π3，π2，故C 错误；在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，C 1D ∥AB 1，所以当P 到B 距离最小时，直线PB 与平面BC 1D 所成的角最大，即P 是AB 1中点时，直线PB 与平面BC 1D 所成的角最大，故D 正确，故选A 、B 、D.15.(2020·全国卷Ⅲ)如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别在棱DD 1，BB 1上，且2DE ＝ED 1，BF ＝2FB 1.证明：(1)当AB ＝BC 时，EF ⊥AC ； (2)点C 1在平面AEF 内．证明：(1)如图，连接BD ，B 1D 1.因为AB ＝BC ，所以四边形ABCD 为正方形，故AC ⊥BD .又因为BB 1⊥平面ABCD ，于是AC ⊥BB 1.所以AC ⊥平面BB 1D 1D .由于EF ⊂平面BB 1D 1D ，所以EF ⊥AC ．(2)如图，在棱AA 1上取点G ，使得AG ＝2GA 1，连接GD 1，FC 1，FG .因为D 1E ＝23DD 1，AG ＝23AA 1，DD 1綊AA 1，所以ED 1綊AG ，于是四边形ED 1GA 为平行四边形，故AE ∥GD 1.因为B 1F ＝13BB 1，A 1G ＝13AA 1，BB 1綊AA 1，所以FG 綊A 1B 1，FG 綊C 1D 1，四边形FGD 1C 1为平行四边形，故GD 1∥FC 1.于是AE ∥FC 1.所以A ，E ，F ，C 1四点共面，即点C 1在平面AEF 内．C 级——迁移创新16．如图，几何体是由半个圆柱及14个圆柱拼接而成，其中G ，H 分别为CD 与AB 的中点，四边形ABCD 为正方形．(1)证明：平面DFB ⊥平面GCBH ；(2)若AB ＝22，求三棱锥E -ABG 的体积．解：(1)证明：由题意知∠ABF ＝π4，因为H 为AB 的中点，所以∠ABH ＝π4，故∠HBF＝π2，即BF ⊥BH . 又因为BC ⊥平面ABH ，BF ⊂平面ABH ，所以BC ⊥BF ，又因为BC ∩BH ＝B ， 所以BF ⊥平面GCBH ，因为BF ⊂平面DFB ，所以平面DFB ⊥平面GCBH .(2)连接AH ，AE ，BE ，EG ，FH ，如图所示，V E -ABG ＝V A -EFHG ＋V B -EFHG －V F -ABE －V H -ABG ＝V A -EFHG ＋V B -EFHG －V E -ABF －V G -ABH ， 因为AB ＝22， 所以BF ＝4，BH ＝2， 由(1)知BF ⊥BH ，所以FH ＝42＋22＝25，过点A ，B 分别作FH 的垂线，垂足分别为A 1，B 1，所以AA 1＝AF ·AH sin3π4FH ＝255，BB 1＝BH ·BF FH ＝455，所以V A -EFHG ＋V B -EFHG＝13×22×25×⎝⎛⎭⎫255＋455＝82， V E -ABF ＝13×12×22×22×22＝823， V G -ABH ＝13×12×2×2×22＝423， 所以V E -ABG ＝82－823－423＝4 2.。
2018届人教A版 垂直的判定与性质 检测卷
A卷1.如图所示，已知P A垂直于圆O所在的平面，AB是圆O的直径，点C是圆O上任意一点，过A作AE⊥PC于E，AF⊥PB于F，求证：(1)AE⊥平面PBC；(2)平面P AC⊥平面PBC；(3)PB⊥EF.2．(2016·北京海淀区模拟)如图所示，四边形ABCD为正方形，EA⊥平面ABCD，EF∥AB，AB＝4，AE＝2，EF＝1.(1)求证：BC⊥AF；(2)试判断直线AF与平面EBC是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由．3.(2016·南京、盐城第一次联考)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O，E分别为B1D，AB的中点．求证：(1)OE∥平面BCC1B1；(2)平面B1DC⊥平面B1DE.4．(2016·太原一模)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC＝AA1，E，F分别是棱BC，CC1的中点．(1)证明：AB⊥平面AA1C1C；(2)若线段AC上的点D满足平面DEF∥平面ABC1，试确定点D的位置，并说明理由；(3)证明：EF⊥A1C.答案精析1．证明(1)因为AB是圆O的直径，所以∠ACB＝90°，即AC⊥BC. 因为P A垂直于圆O所在平面，即P A⊥平面ABC，而BC⊂平面ABC，所以BC⊥P A.又因为AC∩P A＝A，AC⊂平面P AC，P A⊂平面P AC，所以BC⊥平面P AC.因为AE⊂平面P AC，所以BC⊥AE.又已知AE⊥PC，PC∩BC＝C，PC⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AE⊥平面PBC.(2)由(1)知AE⊥平面PBC，且AE⊂平面P AC，所以平面P AC⊥平面PBC.(3)因为AE⊥平面PBC，且PB⊂平面PBC，所以AE⊥PB.又AF⊥PB于F，且AF∩AE＝A，AF⊂平面AEF，AE⊂平面AEF，所以PB⊥平面AEF.又因为EF⊂平面AEF，所以PB⊥EF.2．(1)证明因为EF∥AB，所以EF与AB确定平面EABF，因为EA⊥平面ABCD，所以EA⊥BC.由已知得AB⊥BC，且EA∩AB＝A，又因为EA⊂平面EABF，AB⊂平面EABF，所以BC⊥平面EABF.又AF⊂平面EABF，所以BC⊥AF.(2)解直线AF垂直于平面EBC.证明如下： 由(1)可知，AF ⊥BC .在四边形ABFE 中，AB ＝4，AE ＝2，EF ＝1，∠BAE ＝∠AEF ＝90°， 所以tan ∠EBA ＝12＝tan ∠F AE ，又因为0°<∠EBA ∠90°，0°<∠F AE <90°， 所以∠EBA ＝∠F AE . 设AF ∩BE ＝P ，因为∠P AE ＋∠P AB ＝90°， 故∠PBA ＋∠P AB ＝90°， 则∠APB ＝90°，即EB ⊥AF . 又EB ∩BC ＝B ，EB ⊂平面EBC ， BC ⊂平面EBC ，所以AF ⊥平面EBC .3．证明 (1)如图，连接BC 1，设BC 1∩B 1C ＝F ，连接OF .因为O ，F 分别是B 1D 与B 1C 的中点，所以OF ∥DC ，且OF ＝12DC .又E 为AB 的中点，所以EB ∥DC ，且EB ＝12DC ，从而OF ∥EB ， OF ＝EB ，即四边形OEBF 是平行四边形， 所以OE ∥BF . 又OE ⊄平面BCC 1B 1， BF ⊂平面BCC 1B 1， 所以OE ∥平面BCC 1B 1. (2)因为DC ⊥平面BCC 1B 1，BC1⊂平面BCC1B1，所以BC1⊥DC.又BC1⊥B1C，DC∩B1C＝C，DC⊂平面B1DC，BC1⊂平面B1DC，所以BC1⊥平面B1DC.而BC1∥OE，所以OE⊥平面B1DC，又OE⊂平面B1DE，所以平面B1DC⊥平面B1DE.4．(1)证明∵A1A⊥底面ABC，AB⊂底面ABC，∴A1A⊥AB，又∵AB⊥AC，A1A∩AC＝A，A1A⊂平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，∴AB⊥平面AA1C1C.(2)解∵平面DEF∥平面ABC1，平面ABC∩平面DEF＝DE，平面ABC∩平面ABC1＝AB，∴AB∥DE，∵在△ABC中，E是BC的中点，∴D是AC的中点．(3)证明∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A＝AC，∴侧面A1ACC1是菱形，∴A1C⊥AC1，由(1)可得AB⊥A1C，∵AB∩AC1＝A，AB⊂平面ABC1，AC1⊂平面ABC1，∴A1C⊥平面ABC1，又∵BC1⊂平面ABC1，∴A1C⊥BC1.又∵E，F分别为棱BC，CC1的中点，∴EF∥BC1，∴EF⊥A1C.B卷1.(2016·天津模拟)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AD，DD1的中点．求证：(1)EF∥平面C1BD；(2)A1C⊥平面C1BD.2.如图所示，在四面体ABCD中，平面BAD⊥平面CAD，∠BAD＝90°，M，N，Q分别为棱AD，BD，AC的中点．(1)求证：CD∥平面MNQ；(2)求证：平面MNQ⊥平面CAD.3.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面P AD⊥底面ABCD，且P A＝PD＝22AD，E、F分别为PC、BD的中点．(1)求证：EF∥侧面P AD；(2)求证：平面P AB⊥平面PDC.4．(2016·北京海淀区下学期期中)如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，BC＝2AD，四边形ABEF是矩形，将矩形ABEF沿AB折起到四边形ABE1F1的位置，使平面ABE1F1⊥平面ABCD，M为AF1的中点，如图2.(1)求证：BE1⊥DC；(2)求证：DM∥平面BCE1；(3)判断直线CD与ME1的位置关系，并说明理由．答案精析1．证明(1)如图，连接AD1，∵E，F分别是AD和DD1的中点，∴EF∥AD1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB∥D1C1，AB＝D1C1，∴四边形ABC1D1为平行四边形，即有AD1∥BC1，∴EF∥BC1.又EF⊄平面C1BD，BC1⊂平面C1BD，∴EF∥平面C1BD.(2)如图，连接AC，则AC⊥BD.∵在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴AA1⊥BD.又AA1∩AC＝A，AA1⊂平面AA1C，AC⊂平面AA1C，∴BD⊥平面AA1C，A1C⊂平面AA1C，∴A1C⊥BD.同理可证A1C⊥BC1.又BD∩BC1＝B，BD⊂平面C1BD，BC1⊂平面C1BD，∴A1C⊥平面C1BD.2．证明(1)因为M，Q分别为棱AD，AC的中点，所以MQ∥CD.又CD⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，故CD∥平面MNQ.(2)因为M，N分别为棱AD，BD的中点，所以MN∥AB.又∠BAD＝90°，所以MN⊥AD.因为平面BAD ⊥平面CAD ，平面BAD ∩平面CAD ＝AD ，且MN ⊂平面ABD ，所以MN ⊥平面CAD .又MN ⊂平面MNQ ，所以平面MNQ ⊥平面CAD .3．证明 (1)如图，连接AC ，则AC ∩BD ＝F ，因为四边形ABCD 为正方形，所以F 为AC 的中点，又E 为PC 的中点，所以在△CP A 中，EF ∥P A . 又P A ⊂侧面P AD ，EF ⊄侧面P AD ， 所以EF ∥侧面P AD .(2)因为四边形ABCD 为正方形，所以CD ⊥AD ，因为侧面P AD ⊥底面ABCD ，侧面P AD ∩底面ABCD ＝AD ，CD ⊂底面ABCD ， 所以CD ⊥侧面P AD .又P A ⊂侧面P AD ，所以CD ⊥P A . 又P A ＝PD ＝22AD ， 所以△P AD 是等腰直角三角形， 且∠APD ＝π2，即P A ⊥PD .因为CD ∩PD ＝D ，且CD ⊂侧面PDC ，PD ⊂侧面PDC ， 所以P A ⊥侧面PDC . 又P A ⊂侧面P AB ， 所以侧面P AB ⊥侧面PDC . 即平面P AB ⊥平面PDC .4．(1)证明 因为四边形ABE 1F 1为矩形，所以BE 1⊥AB . 因为平面ABCD ⊥平面ABE 1F 1， 且平面ABCD ∩平面ABE 1F 1＝AB ， BE 1⊂平面ABE 1F 1， 所以BE 1⊥平面ABCD .因为DC ⊂平面ABCD ，所以BE 1⊥DC . (2)证明 因为四边形ABE 1F 1为矩形，所以AM ∥BE 1.因为AD ∥BC ，AD ∩AM ＝A ， BC ∩BE 1＝B ，AD ⊂平面ADM ，AM ⊂平面ADM ，BC ⊂平面BCE 1，BE 1⊂平面BCE 1， 所以平面ADM ∥平面BCE 1.因为DM ⊂平面ADM ，所以DM ∥平面BCE 1. (3)解 直线CD 与ME 1相交，理由如下：取BC 的中点P ，CE 1的中点Q ，连接AP ，PQ ，QM ， 所以PQ ∥BE 1，且PQ ＝12BE 1.在矩形ABE 1F 1中，M 为AF 1的中点， 所以AM ∥BE 1，且AM ＝12BE 1，所以PQ ∥AM ，且PQ ＝AM . 所以四边形APQM 为平行四边形， 所以MQ ∥AP ，MQ ＝AP .因为四边形ABCD 为梯形，P 为BC 的中点，BC ＝2AD ， 所以AD ∥PC ，AD ＝PC ， 所以四边形ADCP 为平行四边形． 所以CD ∥AP 且CD ＝AP . 所以CD ∥MQ 且CD ＝MQ . 所以四边形CDMQ 是平行四边形． 所以DM ∥CQ ，即DM ∥CE 1. 因为DM ≠CE 1，所以四边形DME 1C 是以DM ，CE 1为底边的梯形， 所以直线CD 与ME 1相交．。
2018年高考数学(人教A版)一轮复习课时分层提升练四十三7.5直线、平面垂直的判定及其性质含解析
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课时分层提升练四十三直线、平面垂直的判定及其性质(25分钟60分）一、选择题（每小题5分,共25分）1.(2017·佛山模拟)关于直线l，m及平面α，β,下列命题中正确的是（）A.若l∥α，α∩β=m,则l∥mB.若l∥α,m∥α，则l∥mC。
若l⊥α，l∥β,则α⊥βD。
若l∥α，m⊥l,则m⊥α【解析】选C.A中,l与m可能平行，异面,B中，l与m可能平行、相交、异面，故A,B错；D中，m与α也可能平行，斜交,故D错;C 中，由l∥β知，平面β中存在直线n∥l,则由l⊥α，可得n⊥α,由面面垂直的判定定理知α⊥β，故C正确。
2。
(2017·威海模拟)已知m，n为异面直线，m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则( ）A.α∥β且l∥αB.α⊥β且l⊥βC。
α与β相交，且交线垂直于lD。
α与β相交,且交线平行于l【解析】选D.由m⊥平面α，直线l满足l⊥m，且l⊄α,所以l∥α，又n⊥平面β，l⊥n,l⊄β,所以l∥β。
由直线m,n为异面直线,且m⊥平面α,n⊥平面β，则α与β相交,否则，若α∥β则推出m∥n，与m,n异面矛盾。
故α与β相交，且交线平行于l。
3.(2017·三明模拟）在下列四个正方体中,能得出AB⊥CD的是( ）【解析】选A。
A选项中,因为CD⊥平面AMB，所以CD⊥AB,B选项中,AB与CD成60°角；C选项中,AB与CD成45°角；D选项中,AB 与CD夹角的正切值为√2。
4.△ABC所在的平面为α,直线l⊥AB,l⊥AC,直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l,m的位置关系是( )A.相交B。
异面C.平行D。
不确定【解析】选C.因为l⊥AB，l⊥AC，AB⊂α，AC⊂α且AB∩AC=A，所以l⊥α，同理可证m⊥α，所以l∥m。
20172018学年人教A版高一数学热点专题高分特训必修2第2章直线平面垂直的判定及其性质一含答案
直线、平面垂直的判定及其性质（一）（人教A版）一、单选题(共10道，每道10分)1.若直线a与b垂直，b⊥α，则a与α的位置关系是( ).∥.或∥答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间中直线与平面之间的位置关系2.在空间中，下列命题：①如果直线a，b都与直线平行，那么a∥b；②如果直线a与平面β内的直线b平行，那么a∥β；③如果直线a与平面β内的直线b，c都垂直，那么a⊥β；④如果平面β内的直线a垂直于平面α，那么α⊥β．其中正确的是( )A.①③B.①④C.②④D.②③答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间中直线与平面之间的位置关系3.给出下列关于互不相同的直线m，，n，平面α，β及点A的四个命题：①若，，点，则与m不共面；②若m，是异面直线，∥α，m∥α，且n⊥，n⊥m，则n⊥α；③若∥α，m∥β，α∥β，则∥m；④若，，，∥β，m∥β，则α∥β．其中假命题是( )A.①B.②C.③D.④答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间中直线与平面之间的位置关系4.如图，在正方体中，P是CD上的动点，则直线与直线所成的角为( )° °° °答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线与平面垂直的判定5.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC1的中点，则直线DE与平面ABCD所成角的正切值为( )..答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线与平面所成的角6.如图，在三棱锥S-ABC中，底面是边长为1的正三角形，O为△ABC的中心，侧棱长均为2，则侧棱与底面所成角的余弦值为( )..答案：D 解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线与平面所成的角7.如图，在三棱锥中，已知平面，，，则二面角的正切值是( )..答案：D 解题思路：试题难度：三颗星知识点：二面角的平面角及求法8.将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使，则三棱锥D-ABC的体积为( )..答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：棱柱、棱锥、棱台的体积9.如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为4的正方形，侧棱PA垂直于底面，且PA=3，则直线PC与平面ABCD所成角的正切值为( )..答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线与平面所成的角10.（上接试题9）异面直线PB与CD所成角的正切值为( )..答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：异面直线及其所成的角。
2017-2018学年高中新课标数学A版②课时作业：2.3.直线、平面垂直的判定及性质15含答案
课时作业15 倾斜角与斜率｜基础巩固|(25分钟,60分)一、选择题（每小题5分，共25分）1．经过原点O(0，0）与点P(1,1）的直线的倾斜角为( )A．30°B．45°C．60° D．135°解析：设过点O与点P的直线的倾斜角为α.因为直线OP的斜率k＝错误!＝1，又0°≤α〈180°，所以α＝45°答案:B2．若直线经过点A（m2，0），B（2，错误!m）,且倾斜角为60°，则实数m＝（)A．1或－1 B．2或－2C．1或－2 D．－1或2解析：因为直线的倾斜角为60°，所以其斜率k＝tan60°＝错误!。
又直线经过点A（m2,0），B(2，错误!m）,所以错误!＝错误!,即m2＋m－2＝0，解得m＝1或－2。
答案:C3．如图所示，直线l1、l2、l3的斜率分别是k1、k2、k3，则( ）A．k1<k2〈k3B．k3<k1<k2C．k3〈k2<k1D．k1〈k3<k2解析：设直线l1、l2、l3的倾斜角分别是α1、α2、α3，则90°<α1〈180°,0°〈α3<α2〈90°，∴tanα1<0，tanα2>tanα3〉0.∴k1<k3〈k2.答案：D4．已知直线l1过点A(－1，－1)和B（1，1），直线l2的倾斜角是直线l1的倾斜角的2倍，则直线l2的斜率是（）A．1 B．－1C．2 D．不存在解析：设直线l1的倾斜角为α。
因为直线l1过点A（－1，－1）和B（1,1)，所以直线l1的斜率为错误!＝1。
又0°≤α<180°，所以α＝45°，则直线l2的倾斜角为90°，所以直线l2的斜率不存在．答案：D5．过点P（0,－2)的直线l与以A(1,1）,B（－2,3)为端点的线段有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是（)A。
2018版高考数学(人教A版理)一轮复习教师用书 第7章 第5节 直线、平面垂直的判定及其性质 Word版含解析
第五节直线、平面垂直的判定及其性质[考纲传真] 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．1．直线与平面垂直(1)定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直．(2)判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．(3)推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．(4)直线和平面垂直的性质：①垂直于同一个平面的两条直线平行．②直线垂直于平面，则垂直于这个平面内的任一直线．③垂直于同一条直线的两平面平行．2．直线和平面所成的角(1)平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角．(2)当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为90°和0°.3．二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．4．平面与平面垂直(1)定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.()(2)垂直于同一个平面的两平面平行．()(3)若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线平行．()(4)若两个平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．(教材改编)设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β.()A．若l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，则l⊥mC．若l∥β，则α∥βD．若α∥β，则l∥mA[∵l⊥β，l⊂α，∴α⊥β(面面垂直的判定定理)，故A正确．]3．(2016·浙江高考)已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则()A．m∥l B.m∥nC．n⊥l D.m⊥nC[∵α∩β＝l，∴l⊂β.∵n⊥β，∴n⊥l.]4．如图7-5-1，已知P A⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．图7-5-14[∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥AB，P A⊥AC，P A⊥BC，则△P AB，△P AC为直角三角形．由BC⊥AC，且AC∩P A＝A，∴BC⊥平面P AC，从而BC⊥PC.因此△ABC，△PBC也是直角三角形．]5．边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则折叠后AC的长为________．a[如图所示，取BD的中点O，连接A′O，CO，则∠A′OC是二面角A′-BD-C的平面角．即∠A′OC＝90°，又A′O＝CO＝22a，∴A ′C ＝a 22＋a 22＝a ，即折叠后AC 的长(A ′C )为a .]线面垂直的判定与性质如图7-5-2，在三棱锥A -BCD 中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥BD .图7-5-2(1)求证：CD ⊥平面ABD ；(2)若AB ＝BD ＝CD ＝1，M 为AD 中点，求三棱锥A -MBC 的体积． [解] (1)证明：因为AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ， 所以AB ⊥CD .2分又因为CD ⊥BD ，AB ∩BD ＝B ， AB ⊂平面ABD ，BD ⊂平面ABD ， 所以CD ⊥平面ABD .5分(2)由AB ⊥平面BCD ，得AB ⊥BD . 又AB ＝BD ＝1，所以S △ABD ＝12×12＝12.8分 因为M 是AD 的中点，所以S △ABM ＝12S △ABD ＝14.根据(1)知，CD ⊥平面ABD ， 则三棱锥C -ABM 的高h ＝CD ＝1， 故V A -MBC ＝V C -ABM ＝13S △ABM ·h ＝112.12分[规律方法] 1.证明直线和平面垂直的常用方法有： (1)判定定理；(2)垂直于平面的传递性(a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α)； (3)面面平行的性质(a ⊥α，α∥β⇒a ⊥β)； (4)面面垂直的性质．2．证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．[变式训练1]如图7-5-3所示，已知AB 为圆O 的直径，点D 为线段AB 上一点，且AD ＝13DB ，点C 为圆O 上一点，且BC ＝3AC ，PD ⊥平面ABC ，PD ＝DB .求证：P A ⊥CD .图7-5-3[证明] 因为AB 为圆O 的直径，所以AC ⊥CB ，在Rt △ABC 中，由3AC ＝BC ，得∠ABC ＝30°.3分设AD ＝1，由3AD ＝DB ，得DB ＝3，BC ＝23，由余弦定理得CD 2＝DB 2＋BC 2－2DB ·BC cos 30°＝3，所以CD 2＋DB 2＝BC 2，即CD ⊥AO .8分因为PD⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，所以PD⊥CD，由PD∩AO＝D，得CD⊥平面P AB，又P A⊂平面P AB，所以P A⊥CD.12分面面垂直的判定与性质(2017·郑州调研)如图7-5-4，三棱台DEF-ABC中，AB＝2DE，G，H 分别为AC，BC的中点．图7-5-4(1)求证：BD∥平面FGH；(2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH.[证明](1)如图所示，连接DG，CD，设CD∩GF＝M，连接MH.1分在三棱台DEF-ABC中，AB＝2DE，G为AC的中点，可得DF∥GC，DF＝GC，所以四边形DFCG为平行四边形.3分则M为CD的中点，又H为BC的中点，所以HM∥BD，由于HM⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，故BD∥平面FGH.5分(2)连接HE，GE，CD因为G，H分别为AC，BC的中点，所以GH∥AB.6分由AB⊥BC，得GH⊥BC.又H为BC的中点，所以EF∥HC，EF＝HC，因此四边形EFCH是平行四边形，所以CF∥HE.10分由于CF⊥BC，所以HE⊥BC.又HE，GH⊂平面EGH，HE∩GH＝H.所以BC⊥平面EGH.又BC⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面EGH.12分[规律方法] 1.面面垂直的证明的两种思路：(1)用面面垂直的判定定理，即先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线；(2)用面面垂直的定义，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题．2．垂直问题的转化关系：[变式训练2]如图7-5-5，在三棱锥P-ABC中，平面P AB⊥平面ABC，P A ⊥PB，M，N分别为AB，P A的中点．图7-5-5(1)求证：PB∥平面MNC；(2)若AC＝BC，求证：P A⊥平面MNC.[证明](1)因为M，N分别为AB，P A的中点，所以MN∥PB，2分又因为MN⊂平面MNC，PB⊄平面MNC，所以PB∥平面MNC.5分(2)因为P A⊥PB，MN∥PB，所以P A⊥MN.因为AC＝BC，AM＝BM，所以CM⊥AB.7分因为平面P AB⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，平面P AB∩平面ABC＝AB.所以CM⊥平面P AB.10分因为P A⊂平面P AB，所以CM⊥P A.又MN∩CM＝M，所以P A⊥平面MNC.12分平行与垂直的综合问题☞(2016·江苏高考)如图7-5-6，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.图7-5-6[证明](1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C1∥AC.在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DE∥AC，于是DE∥A1C1.3分又因为DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，所以直线DE∥平面A1C1F.5分(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1.因为A1C1⊂平面A1B1C1，所以A1A⊥A1C1.7分又因为A1C1⊥A1B1，A1A⊂平面ABB1A1，A1B1⊂平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，所以A1C1⊥平面ABB1A1.因为B1D⊂平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1D.10分又因为B1D⊥A1F，A1C1⊂平面A1C1F，A1F⊂平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1，所以B1D⊥平面A1C1F.因为直线B1D⊂平面B1DE，所以平面B1DE⊥平面A1C1F.12分[规律方法] 1.三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化．2．垂直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用．☞角度2平行垂直中探索开放问题(2017·秦皇岛调研)如图7-5-7(1)所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图7-5-7(2)所示．(1)(2)图7-5-7(1)求证：A1F⊥BE；(2)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？并说明理由.【导学号：01772259】[证明](1)由已知，得AC⊥BC，且DE∥BC.所以DE⊥AC，则DE⊥DC，DE⊥DA1，因为DC∩DA1＝D，所以DE⊥平面A1DC.2分由于A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，CD∩DE＝D，所以A1F⊥平面BCDE，又BE⊂平面BCDE，所以A1F⊥BE.5分(2)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.6分理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，连接PQ，则PQ∥BC.又因为DE∥BC，则DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEQP.9分由(1)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP.又DP∩DE＝D，所以A1C⊥平面DEQP.从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.12分[规律方法] 1.对命题条件探索性的主要途径：(1)先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性．2．平行(垂直)中点的位置探索性问题：一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点.线面角的求法与应用BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，AC＝3.图7-5-8(1)求证：BF⊥平面ACFD；(2)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值．[解](1)证明：延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示.1分因为平面BCFE⊥平面ABC，且AC⊥BC，所以AC⊥平面BCK，3分因此，BF⊥AC.又因为EF∥BC，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，所以△BCK为等边三角形，且F 为CK的中点，则BF⊥CK.所以BF⊥平面ACFD.5分(2)因为BF⊥平面ACK，所以∠BDF是直线BD与平面ACFD所成的角.8分在Rt△BFD中，BF＝3，DF＝32，得cos∠BDF＝217，所以直线BD与平面ACFD所成角的余弦值为217.12分[规律方法] 1.利用综合法求空间角的步骤：(1)找：根据图形找出相关的线面角或二面角．(2)证：证明找出的角即为所求的角．(3)算：根据题目中的数据，通过解三角形求出所求角．2．线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解．[变式训练3]如图7-5-9，在四棱锥P-ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．图7-5-9(1)求PB和平面P AD所成的角的大小；(2)证明：AE⊥平面PCD.[解](1)在四棱锥P-ABCD中，∵P A⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，故P A⊥AB.又AB⊥AD，P A∩AD＝A，从而AB⊥平面P AD，2分故PB在平面P AD内的射影为P A，从而∠APB为PB和平面P AD所成的角．在Rt△P AB中，AB＝P A，故∠APB＝45°.∴PB和平面P AD所成的角的大小为45°.5分(2)证明：在四棱锥P-ABCD中，∵P A⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，故CD⊥P A.由条件CD⊥AC，P A∩AC＝A，∴CD ⊥平面P AC .7分又AE ⊂平面P AC ，∴AE ⊥CD .由P A ＝AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，可得AC ＝P A .∵E 是PC 的中点，∴AE ⊥PC .10分又PC ∩CD ＝C ，故AE ⊥平面PCD .12分[思想与方法]1．证明线面垂直的方法：(1)线面垂直的定义：a 与α内任一直线都垂直⇒a ⊥α；(2)判定定理1：⎭⎪⎬⎪⎫m ，n ⊂α，m ∩n ＝A l ⊥m ，l ⊥n ⇒l ⊥α； (3)判定定理2：a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α；(4)面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β.2．证明面面垂直的方法．(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；(2)判定定理：a ⊂α，a ⊥β⇒α⊥β.3．转化思想：垂直关系的转化[易错与防范]1．在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化．2．面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可．。
2018届高考数学 第八章 立体几何单元质检卷A 文 新人教A版
单元质检卷八立体几何(A)(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.若l,m是两条不同的直线,m垂直于平面α,则“l⊥m”是“l∥α”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.(2017浙江,3)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是()A.+1B.+3C.+1D.+33.(2017河北武邑中学一模,文8)已知四棱锥,它的底面是边长为2的正方形,其俯视图如图所示,侧视图为直角三角形,则该四棱锥的侧面中直角三角形的个数为()A.1B.2C.3D.44.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上.若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球O 的半径为()A. B.2 C. D.35.(2017辽宁沈阳三模,文10)将长、宽分别为2和1的长方形ABCD沿对角线AC折起,得到四面体A-BCD,则四面体A-BCD外接球的表面积为()A.3πB.5πC.10πD.20π6.(2017河南洛阳一模,文6)某几何体的三视图如图所示,则该几何体中,面积最大的侧面的面积为()A. B. C. D.3〚导学号24190985〛二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.(2017福建厦门一模,文15)直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC=2,CC1=1,直线BC1与平面A1ABB1所成角等于60°,则三棱柱ABC-A1B1C1的侧面积为.8.(2017山西太原二模,文16)已知三棱锥A-BCD中,AB=AC=BC=2,BD=CD=,点E是BC的中点,点A在平面BCD上的射影恰好为DE的中点,则该三棱锥外接球的表面积为.三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)在Rt△ABF中,AB=2BF=4,C,E分别是AB,AF的中点(如图1).将此三角形沿CE对折,使平面AEC⊥平面BCEF(如图2),已知D是AB的中点.求证:(1)CD∥平面AEF;(2)平面AEF⊥平面ABF.图1图210.(15分)(2017宁夏银川一中二模,文19)在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=CA=AA1=2,侧棱AA1⊥平面ABC,且D,E分别是棱A1B1,AA1的中点,点F在棱AB上,且AF=AB.(1)求证:EF∥平面BDC1;(2)求三棱锥D-BEC1的体积.11.(15分)(2017河南新乡二模,文19)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形,∠ACC1=∠CC1B1=60°,AC=2.(1)求证:AB1⊥CC1;(2)若AB1=3,D1为线段A1C1上的点,且三棱锥C-B1C1D1的体积为,求.〚导学号24190986〛单元质检卷八立体几何(A)1.B由“m⊥α且l⊥m”推出“l⊂α或l∥α”,但由“m⊥α且l∥α”可推出“l⊥m”,所以“l⊥m”是“l∥α”的必要不充分条件,故选B.2.A V=×3×+1,故选A.3.C如下图所示,由俯视图可得PO⊥平面ABCD,∴PO⊥AB,∵AB⊥BC,且PO∩BC=O,∴AB⊥平面PBC,∴AB⊥PB,同理可证,CD⊥PC,则△PAB,△PDC是直角三角形,∵侧视图为直角三角形,∴△PBC是直角三角形,且PC⊥PB,∴四棱锥的侧面中直角三角形的个数是3.4.C解法一:由题意可得球心O为B1C与BC1的交点.设BC的中点为M,连接OM,AM,则可知OM⊥平面ABC,连接AO,则AO的长为球半径,可知OM=6,AM=,在Rt△AOM中,由勾股定理得R=.解法二:将直三棱柱补形为长方体,则长方体外接球的直径为长方体的体对角线,所以2R==13,所以R=.5.B因为直角三角形斜边的中线是斜边的一半,所以长宽分别为2和1的长方形ABCD沿对角线AC折起,得到四面体A-BCD,所以四面体A-BCD的外接球的球心O为AC中点,半径R=,所求四面体A-BCD的外接球的表面积为4π×=5π.故选B.6.B由三视图可知,几何体的直观图如图所示,平面AED⊥平面BCDE,四棱锥A-BCDE的高为1,四边形BCDE是边长为1的正方形,则S△AED=×1×1=,S△ABC=S△ABE=×1×,S△ACD=×1×,故选B.7. 由题意,可得BC1=,∠A1BC1=60°,∴A1C1=BC1sin 60°=,A1B=BC1cos 60°=,∴AB=,∴三棱柱ABC-A1B1C1的侧面积为×1=.8.π由题意知,△BCD为等腰直角三角形,点E是△BCD外接圆的圆心,点A在平面BCD上的射影恰好为DE的中点F,则BF=,∴AF=,设球心到平面BCD的距离为h,则1+h2=,∴h=,r=,∴该三棱锥外接球的表面积为4π×π.9.证明 (1)取AF中点M,连接DM,EM.∵D,M分别是AB,AF的中点,∴DM是△ABF的中位线,∴DM BF.又CE BF,∴四边形CDME是平行四边形,∴CD∥EM.又EM⊂平面AEF,CD⊄平面AEF,∴CD∥平面AEF.(2)由题意知CE⊥AC,CE⊥BC,且AC∩BC=C,故CE⊥平面ABC.又CD⊂平面ABC,∴CE⊥CD.∴四边形CDME是矩形.∴EM⊥MD.在△AEF中,EA=EF,M为AF的中点,∴EM⊥AF,且AF∩MD=M, ∴EM⊥平面ABF.又EM⊂平面AEF,∴平面AEF⊥平面ABF.10.(1)证明取AB的中点O,连接A1O,∵AF=AB,∴F为AO的中点,又E为AA1的中点,∴EF∥A1O,∵A1D=A1B1,BO=AB,AB A1B1,∴A1D BO,∴四边形A1DBO为平行四边形,∴A1O∥BD,∴EF∥BD,又EF⊄平面BDC1,BD⊂平面BDC1,∴EF∥平面BDC1.(2)解∵AA1⊥平面A1B1C1,C1D⊂平面A1B1C1,∴AA1⊥C1D,∵A1C1=B1C1=A1B1=2,D为A1B1的中点,∴C1D⊥A1B1,C1D=,又AA1⊂平面AA1B1B,A1B1⊂平面AA1B1B,AA1∩A1B1=A1,∴C1D⊥平面AA1B1B,∵AB=AA1=2,D,E分别为A1B1,AA1的中点,∴S△BDE=22-×1×2-×1×2-×1×1=.∴S△BDE·C1D=.11.(1)证明连接AC1,∵在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形,∠ACC1=∠CC1B1=60°,∴△ACC1和△B1CC1均为正三角形.取CC1中点O,连接OA,OB1,则CC1⊥OA,CC1⊥OB1,∵OA∩OB1=O,∴CC1⊥平面OAB1,∵AB1⊂平面OAB1,∴AB1⊥CC1.(2)解∵AC=2,AB1=3,∴由(1)知,OA=OB1=3,∴OA2+O=A,∴OA⊥OB1,∴OA⊥平面B1C1C,CC1·OB1=×2×3=3,∴×40=×3×3=3,∴D1为线段A1C1上的点,且三棱锥C-B1C1D1的体积为,∴,∴=2.。
初中数学垂直、垂线段概念及性质部审人教版中考2018年真题
垂直、垂线段概念及性质部审人教版中考真题1、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（; 答案D解析2、1米长的标杆直立在水平的地面上，它在阳光下的影长为0.8米；在同一时刻，若某电视塔的影长为100米，则此电视塔的答案D 解析3、下图中几何体的主视图是（;）答案C 解析4、如图，点P（3a，a）是反比例函y＝（k＞0）与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的解析式答案D 解析5、单项式的系数是答案C 解析6、如图是一个圆柱体和一长方体组成的几何体，圆柱的下底面紧贴在长方体的上底面上，那么这个几何体的俯视图为（）答案C 解析7、某物体三视图如图16，则该物体形状可能是（;）A．长方答案D 解析8、2010年5月27日，上海世博会参观人数达到37.7万人，37.7万用科学记数法表示应为A．0.377×l06B 答案B 解析9、下列图形是轴对称图形的有答案C 解析10、的绝对值是(▲)A．4B．C．D．答案A 解析11、下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）答案D 解析12、如图一把打开的雨伞可近似的看成一个圆锥，伞骨（面料下方能够把面料撑起来的支架）末端各点所在圆的直径AC长为12分答案B 解析13、不等式组的解在数轴上表示为（▲) 答案C 解析14、一名同学想用正方形和圆设计一个图案，要求整个图案关于正方形的某条对角线对称，那么下列图案中不符合要求的是答案D 解析考点：轴对称图形．分析：轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合．解：A、图象关于对角线所在的直线对称，两条对角线都是其对称轴；故符合要求；B、图象关于对角线所在的直线对称，两条对角线都是其对称轴；故符合要求；C、图象关于对角线所在的直线对称，有一条对称轴；故符合要求；D、图象关于对角线所在的直线不对称；故不符合要求；故选D．15、如图表示了某个不等式的解集, 该解集所含的整数解的个数是( )A 4 答案B 解析16、小明在操场上练习双杠时，在练习的过程中他发现在地上双杠的两横杠的影子（答案B 解析17、等于（;）A 答案C 解析18、图中所示几何体的俯视图是（;）答案D 解析19、下列说法：①垂线段最短；②两条直线不平行必相交；③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④过一点有且只有一条直线答案B 解析20、已知一组数据：6,11,10,9,12,7,6,13,9,8,7,10,9,7,9,8,11,9,12,10.在答案C 解析21、下列图象能正确反映其对应操作中各量变化关系的是(; ) 答案D 解析22、2的平方根是A．4B．2C．±2D．±答案D 解析23、方程的解是，则a的值是（答案C 解析24、下列运算正确的是（;）答案C 解析25、如图，在64方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（; 答案B 解析26、若把函数y=x的图象用E（x，x）记，函数y=2x+1的图象用E（x，2x+1）记，……则E （x，）可以由E（x 答案D 解析27、下列图形中，中心对称图形有（;）．; 答案C 解析第一个图形是中心对称图形；第二个图形是中心对称图形；第三个图形是中心对称图形；第四个图形不是中心对称图形．故共3个中心对称图形．故选C．28、如图，求四边形ABCD的面积答案解：答案9，解答略解析29、地球上水的总储量为1.39×1018m3，但目前能被人们生产、生活利用的水只占总储量的0.77％，即约为0.01 答案A 解析30、如果a的相反数是2，那么a等于（）A．﹣2B．2C．D．答案A．解析31、不论x为何值,函数y=ax2+bx+c(a≠0)的值恒大于0的条件是( 答案B 解析32、根据国家统计局的公布数据，2010年我国GDP的总量约为398 000亿元人民币将398 000 答案C 解析33、下列说法中，正确的是（）A．零是最小的整数B．零是最小的正数C．零没有倒数D．零没有绝对值答案C 解析如果a＞b ，下列各式中不正确的是(; 答案D 解析。
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1.如图所示，已知P A 垂直于圆O 所在的平面，AB 是圆O 的直径，点C 是
圆O 上任意一点，过A 作AE ⊥PC 于E ，AF ⊥PB 于F ，求证：
(1)AE ⊥平面PBC ；
(2)平面P AC ⊥平面PBC ；
(3)PB ⊥EF .
2．(2016·福州质检)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是AA 1的中点，
O 为底面正方形对角线B 1D 1与A 1C 1的交点．
(1)求证：AC 1⊥平面B 1D 1C ；
(2)过E 构造一条线段与平面B 1D 1C 垂直，并证明你的结论．
3.(2016·浙江镇海中学5月模拟)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已
知AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 是AB 的中点．
(1)求证：D 1E ⊥A 1D ；
(2)求直线B 1C 与平面DED 1所成角的大小．
4．(2016·山东省实验中学质检)如图所示，ABC －A 1B 1C 1是底面边长为2，
高为32
的正三棱柱，经过AB 的截面与上底面相交于PQ ，设C 1P ＝λC 1A 1(0＜λ＜1)．
(1)证明：PQ ∥A 1B 1；
(2)是否存在λ，使得平面CPQ ⊥截面APQB ？如果存在，求出λ的值；如果不存在，请说明理由．
答案解析
1．证明(1)因为AB是圆O的直径，
所以∠ACB＝90°，
即AC⊥BC.
因为P A垂直于圆O所在平面，
即P A⊥平面ABC，而BC⊂平面ABC，
所以BC⊥P A.
又因为AC∩P A＝A，AC⊂平面P AC，P A⊂平面P AC，所以BC⊥平面P AC.
因为AE⊂平面P AC，所以BC⊥AE.
又已知AE⊥PC，PC∩BC＝C，
PC⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，
所以AE⊥平面PBC.
(2)由(1)知AE⊥平面PBC，且AE⊂平面P AC，
所以平面P AC⊥平面PBC.
(3)因为AE⊥平面PBC，且PB⊂平面PBC，
所以AE⊥PB.
又AF⊥PB于F，
且AF∩AE＝A，AF⊂平面AEF，AE⊂平面AEF，
所以PB⊥平面AEF.
又因为EF⊂平面AEF，所以PB⊥EF.
2．(1)证明∵AA1⊥平面A1B1C1D1，
B1D1⊂平面A1B1C1D1，
∴AA1⊥B1D1，
∵A1C1⊥B1D1，且AA1∩A1C1＝A1，
AA1⊂平面AA1C1，A1C1⊂平面AA1C1，
∴B1D1⊥平面AA1C1，
∵AC1⊂平面AA1C1，
∴B1D1⊥AC1.
同理AC 1⊥B 1C ，∵B 1D 1∩B 1C ＝B 1，B 1D 1⊂平面B 1D 1C ，B 1C ⊂平面B 1D 1C ，
∴AC 1⊥平面B 1D 1C .
(2)解 连接EO ，则线段EO 与平面B 1D 1C 垂直．证明如下：
∵E 是AA 1的中点，O 是A 1C 1的中点，∴EO ∥AC 1.
∵AC 1⊥平面B 1D 1C ，
∴EO ⊥平面B 1D 1C .
3．(1)证明 连接AD 1，因为四边形A 1ADD 1是正方形，
所以AD 1⊥A 1D ，
又AE ⊥平面ADD 1A 1，A 1D ⊂平面ADD 1A ，
所以AE ⊥A 1D ，
又AD 1∩AE ＝A ，AD 1，AE ⊂平面AD 1E ，
所以A 1 D ⊥平面AD 1E ，
而D 1E ⊂平面AD 1E ，
所以D 1E ⊥A 1D .
(2)解 易证，四边形A 1DCB 1是平行四边形，所以A 1D ∥B 1C ，
则直线B 1C 与平面DED 1所成角就是直线A 1D 与平面DED 1所成角，
平面DED 1交A 1B 1于点F ，过A 1作A 1H ⊥D 1F ，
易证A 1H ⊥平面D 1DEF ，
∠A 1DH 就是直线A 1D 与平面DED 1所成角，
sin ∠A 1DH ＝A 1H A 1D ＝222＝12
， 所以直线B
1
C 与平面DE
D 1所成角的大小为30°.
4．(1)证明 由正三棱柱的性质可知，平面A 1B 1C 1∥平面ABC ，又因为平面APQB ∩平面A 1B 1C 1＝PQ ，平面APQB ∩平面ABC ＝AB ，所以PQ ∥AB .
又因为AB ∥A 1B 1，所以PQ ∥A 1B 1.
(2)解 假设存在这样的λ满足题意，分别取AB 的中点D ，PQ 的中点E ，连接CE ，DE ，DF ，CD .由(1)及正三棱柱的性质可知△CPQ 为等腰三角形，APQB 为等腰梯形，
所以CE ⊥PQ ，DE ⊥PQ ，
所以∠CED 为二面角A －PQ －C 的平面角．
连接C 1E 并延长交A 1B 1于点F .
因为C 1P C 1A 1＝C 1E C 1F
＝λ，C 1A 1＝2，C 1F ＝3， 所以设C 1E ＝3λ，则EF ＝3(1－λ)．
在Rt △CC 1E 中可求得CE 2＝34
＋3λ2， 在Rt △DFE 中可求得DE 2＝34
＋3(1－λ)2. 若平面CPQ ⊥截面APQB ，则∠CED ＝90°，
所以CE 2＋DE 2＝CD 2，代入数据整理得3λ2－3λ＋34＝0，解得λ＝12
，即存在满足题意的λ，λ＝12
.。