二次函数的最大值和最小值
二次函数最大最小值
二次函数最大最小值二次函数是一种非常常见的函数类型，其方程的一般形式为 y =ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数且a ≠ 0。
二次函数的图像通常呈现出一个开口朝上或开口朝下的抛物线形状。
在这篇文章中，我们将讨论二次函数的最大值和最小值。
一、二次函数的开口方向二次函数的开口方向由a的正负确定。
如果a>0，抛物线开口朝上；如果a<0，抛物线开口朝下。
开口方向的决定对于确定函数的最大值和最小值非常重要。
二、二次函数的顶点二次函数的最大值或最小值出现在其抛物线的顶点处。
顶点的横坐标为 x = -b / (2a)，纵坐标为 f (-b / (2a)) = a((-b / (2a))^2) +b(-b / (2a)) + c。
顶点满足的条件是一阶导数等于零，即 f' (x) =2ax + b = 0。
由此可得 x = -b / (2a)。
三、最大值和最小值的判断条件1.如果a>0，函数的最小值为顶点的纵坐标。
2.如果a<0，函数的最大值为顶点的纵坐标。
四、求解最大值和最小值的步骤1.确定二次函数的开口方向，根据a的正负判断是求最大值还是最小值。
2.计算顶点的横坐标x=-b/(2a)。
3.将顶点的横坐标代入函数表达式中计算纵坐标f(-b/(2a))。
五、实例分析现假设有一个二次函数f(x)=2x^2+5x-3，我们来求解该函数的最大值或最小值。
步骤一：确定开口方向由于a=2>0，故抛物线的开口方向朝上。
步骤二：计算顶点的横坐标将a=2、b=5代入顶点公式x=-b/(2a)，得到x=-5/(2*2)=-5/4步骤三：计算顶点的纵坐标将计算得到的顶点横坐标x=-5/4代入函数表达式f(-5/4)=2((-5/4)^2)+5(-5/4)-3，计算得到f(-5/4)=17/8所以，函数f(x)=2x^2+5x-3的最小值为17/8六、总结通过求解二次函数的最大值和最小值，我们可以知道其图像的顶点位置。
二次函数的最大值与最小值(初中)
二次函数的最大值与最小值y 0ax2bx c aa x b2a 24a c4 ab2一、判断的基本方法a 当当a 0时，二次函数有最小值0时，二次函数有最大值二、求最值的类型与方法㈠在顶点处直接取得例：求y x22x 3最大值或最小值2y x1 4解：x R当x1时，y的最大值为4.㈡不能在顶点处取得例：求下列函数的最大值或最小值：1. 3231y x2x x解：y239 xx 22 4 2321743 3,1 23 17 当x y -2 4 时， 的最小值为 当x1时，y 的最大值为212y xxx2.21, 3,15解：y12x 5 65 53,1根据图像看，在-31y x区间上随的增大而减小当x3时，y的最大值为26 5当x1时，y的最小值为-6 512y x x x3. 21,1,22解：y 12x2 3 21,22根据图像看，y随x的增大而增大当x1时，y的最小值为-5 2当x2时，y的最小值为5㈢带有参数的二次函数求最值1 5例1：当t x t1时，求函数y x2x的最小值（其中t为实数）22125解：函数y x x x1，见下图的对称轴为2 2①当对称轴在所给范围的左侧时，即t>1时，当x t时，y的最小值为1t2t2 5 2②当对称轴在所给范围的之间时，即t 1t 10t1时，当x1时，y的最小值为1251-1-2 2-3③当对称轴在所给范围的右侧时，即t 1＜1t＜0时，当x t1时，y的最小值为1t 2t 51t 231 122 2例2.求函数y 2x2ax1，当0x1时的最小值。
解：函数y 2x2ax1，对称轴为a x2 2a4a a 0x1y x xy ①当0，即0 时，在范围内，随的增大而增大，当=0 时，最4小，y 的最小值= 202a 01 1a a②当0＜＜1，即0＜a＜4时，当x时，有最小值，4 4y的最小值= 22a a a2a1 1 448a③当1，即时，在范围内，随的增大而减小，当=1时，最a40x1y x x y 4小，y的最小值=212a113a7、我们各种习气中再没有一种象克服骄傲那麽难的了。
二次函数顶点式最大最小值
二次函数顶点式最大最小值二次函数是一种常见的二次多项式函数，其一般形式为f(x)=ax2+bx+c，其中a、b、c是常数且a eq0。
二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线，而顶点则是抛物线的最高点或最低点。
在二次函数的顶点式中，我们可以轻松地求得抛物线的最大值或最小值。
二次函数顶点式在二次函数f(x)=ax2+bx+c中，其顶点坐标可以通过顶点式来表示。
顶点式是 $x = -\\frac{b}{2a}$，$y = f\\left(-\\frac{b}{2a}\\right)$。
最大最小值的求解方法通过顶点式，我们可以轻松地求得二次函数的最大值或最小值。
当a>0时，二次函数开口向上，顶点为最小值；当a<0时，二次函数开口向下，顶点为最大值。
1.若a>0，则二次函数的最小值为 $f\\left(-\\frac{b}{2a}\\right)$。
2.若a<0，则二次函数的最大值为 $f\\left(-\\frac{b}{2a}\\right)$。
举例说明例如，对于二次函数f(x)=2x2−4x+3，其中a=2，b=−4，c=3。
根据顶点式 $x = -\\frac{b}{2a}$，可得 $x = -\\frac{-4}{2 \\times 2} = 1$。
代入函数得$f(1) = 2 \\times 1^2 - 4 \\times 1 + 3 = 1$。
因此，二次函数f(x)=2x2−4x+3的最小值为 1，在x=1处取到。
结论通过二次函数的顶点式，我们可以轻松求得二次函数的最大值或最小值。
顶点式提供了简洁而有效的方法，帮助我们更好地理解和分析二次函数的特性。
在解决实际问题或优化函数时，顶点式的应用也具有重要意义。
二次函数的最大值和最小值
二次函数: yax2 bxc ( a0 )
a(x
b 2a
)2
4ac 4a
b2
a>0
a<0
y x b
2a
y
b 2a
0
x
4ac b 2
4a
0
x
二次函数的最大值和最小值
函数的最大值和最小值的概念
设函数f(x)在x0处的函数值是f(x0)，如果不等式f(x) f(x0 )
对于定义域内任意x都成立，那么f(x0 )叫做函数y=f(x0 )的最小值。 记作ymin=f(x0 )
当x1时 ymax132 2
二次函数的最大值和最小值
(2 ) y1x22x1x [ 3,1 ]
5
x5
解：y1(x5)2 6
y
5
5 [ 3 ,1 ]
1
-3 0
x
函数 y = f(x) 在[-3，1]上为减函数
26 当x3时 ymax 5
当x1时
6
ymin
5
二次函数的最大值和最小值
(3) y1x22x1x [ 1,2]
ymin=t2-2t+3
当x=t+1 时 ymaxt2 2
y
1
x
0 t t+1
二次函数的最大值和最小值
小结
1、定义域为R的二次函数的最大值和最小值 2、定义域为某一闭区间上的最大值和最小值 3、关于带有字母参数的二次函数最值的讨论
二次函数的最大值和最小值
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解： y2(x1)22
xR
当 x=1时，ym i n2
二次函数的最大值和最小值
那么f(x0 )叫做函数y=f(x0 )的最大值。记作ymax=f(x0 )
例1、求下列二次函数的最大值或最小值
(1) y x 2 2x 3
解： y ( x 1)2 4
xR
当x=1时，ymax 4
y x=1 4
01
x
(2) y 2x 2 4x
y
01
t t+1 x
y x2 2x 3 在 [t , t 1] 上单调递减
当x t 时 ymax t 2 2t 3
当x=t+1时 ymin=t2+2
(2)当t 1 即0 t 1时 t 1 1
1[t , t 1]
当x 1时 ymin 2
当t 1 1即t 1 时
2
(2)当 1 a 2
1
即
2a2
当 x a 时 2
a2 ymin 3 4
0
a 2
1
即
2
a
0时
当 x 1时 ymax 4 a
1 a 0 即0 a 2时
2
当 x 1时 ymax 4 a
(3)当 a 1 即a 2时 2 y x2 ax 3在[1,1]上单调递减
例3：求函数y x2 ax 3 (a R) 在区间[1,1]
上的最大值与最小值
解： y x2 ax 3 ( x a )2 3 a2
2
4
对称轴为x a
2
xa 2
y
(1) 当 a 1即a 2时
2
1
y x2 ax 3在[1，1]上单调递增 -1 0
x
当x 1时 ymin 4 a 当x 1时 ymax 4 a
九年级数学二次函数的最值与极值
九年级数学二次函数的最值与极值二次函数是数学中的一个重要概念。
它的图像呈现出一个抛物线的形状，而最值与极值则是研究二次函数图像的关键内容。
1. 二次函数的最值二次函数的最值指的是函数图像所能达到的最大值或最小值。
对于一般的二次函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a \neq 0$，最值的求解方法如下：1.1 最大值如果二次函数的二次系数 $a$ 小于零（$a < 0$），则该二次函数的图像开口向下，并且函数的最大值出现在抛物线的顶点上。
顶点的 $x$ 坐标可以通过以下公式求得：$x = -\frac{b}{2a}$。
将$x$ 坐标代入二次函数中，即可求得最大值。
1.2 最小值如果二次函数的二次系数 $a$ 大于零（$a > 0$），则该二次函数的图像开口向上，并且函数的最小值出现在抛物线的顶点上。
顶点的 $x$ 坐标可以通过公式 $x = -\frac{b}{2a}$ 求得。
将 $x$ 坐标代入二次函数中，即可求得最小值。
2. 二次函数的极值二次函数的极值指的是函数图像在某个区间内的最大值或最小值。
对于一般的二次函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a \neq 0$，极值的求解方法如下：2.1 极大值如果二次函数的二次系数 $a$ 小于零（$a < 0$），则往负无穷大方向逐渐增大的区间内，函数图像有一个极大值。
可以通过求解二次函数的一阶导数为零的 $x$ 坐标来找到极大值的位置。
将这个$x$ 坐标代入二次函数中，即可求得极大值。
2.2 极小值如果二次函数的二次系数 $a$ 大于零（$a > 0$），则往负无穷大方向逐渐减小的区间内，函数图像有一个极小值。
可以通过求解二次函数的一阶导数为零的 $x$ 坐标来找到极小值的位置。
将这个$x$ 坐标代入二次函数中，即可求得极小值。
需要注意的是，在求解二次函数的极值时，应先对函数求导得到一阶导数，然后令一阶导数为零并求解 $x$ 坐标，最后将 $x$ 坐标代入二次函数中得到极值。
二次函数求最大值和最小值公式
二次函数求最大值和最小值公式二次函数可谓是数学中一道亮丽的风景线，它的形状就像一个微笑的弧线，真是让人忍不住想要靠近。
说到二次函数，大家肯定会想到它的标准形式：(y = ax^2 + bx + c)。
这里的(a)、(b)、(c)可不是随便哪个数字，它们各有各的职责。
(a)的正负直接决定了这个函数是朝上开口，还是朝下开口，嘿，要是开口向上，那就代表着有最小值，反之，则是最大值。
简直就像人生中的起伏，时而高歌猛进，时而低沉无奈，谁知道呢！如果你想要找出二次函数的最大值或最小值，咱们得先搞清楚一个关键点，那就是顶点的坐标。
听起来很高大上，但其实就是一个简单的公式。
顶点的横坐标(x)可以通过公式(frac{b{2a)来算出来。
是不是很神奇？就像魔法一样！而得到顶点的纵坐标(y)，只需要把这个(x)的值代入原方程，简单粗暴又有效率。
这时候，运气好的话，你可能就会发现，哇，原来我的最大值或最小值就在这儿等着我，简直是惊喜连连！大家可能会问，哎，那究竟怎么判断最大值和最小值呢？咱们可以通过看看(a)的符号来决定。
如果(a)大于零，那顶点就是最小值，听着是不是感觉有点像寻找人生的目标？而如果(a)小于零，嘿，那顶点就是最大的高峰了！这就像生活中的大起大落，让人又爱又恨。
记得有次我看到一位朋友，满脸愁苦地说他的成绩像过山车一样，时高时低。
说到这，我就想起了二次函数，真是应验了生活的哲理。
想象一下，咱们站在一个无边无际的草原上，远处有一座小山丘，山顶就是二次函数的顶点。
为了找到最高或最低的点，我们必须先了解这座山的“主人”——系数(a)的个性。
如果它温柔可人，那就是让我们安心的最低点；如果它桀骜不驯，那我们就得小心它的最高点可能在何方。
人生不也如此吗？我们总是在寻找那个“山顶”，只不过是经历了一番波折。
咱们在计算的时候，不要着急，慢慢来。
每一步都要走稳，记得保持耐心，尤其是在代入公式的时候。
计算时就像是在烹饪一道美食，调料得恰到好处，才能做出美味的佳肴。
二次函数的最大值与最小值
二次函数的最大值与最小值二次函数是数学中的重要类型之一，它的最大值和最小值对数学研究非常重要。
本文主要介绍二次函数的最大值与最小值，并且着重探讨了其最大和最小值计算原理及其应用。
什么是二次函数?二次函数是指可以用关于x的一次方程或二次多项式表示的函数。
二次函数的形式为：y=ax+bx+c，a不能等于零，其中a、b、c为常数。
这种函数的图形形状与其中的a、b、c有关，a可正可负，决定函数的开口方向。
二次函数的最大值与最小值二次函数的最大值与最小值是它的局部极值，即在某一段区间内，函数的值有最大值点或最小值点。
求取最大值和最小值，我们只需要求取二次函数的极值，极值点就是函数的最大值和最小值。
求取函数最大值和最小值的原理在求取函数最大值和最小值时，我们只要分析并计算函数上某点处的导数是否大于零或小于零，从而可以判断极值点到底在哪里，从而求出最大值和最小值。
计算最大值和最小值的步骤首先，要计算一个函数的最大值和最小值，需要先考虑该函数的图像是否是开口向上，或者开口向下。
如果函数的图像是开口向上，则说明函数有最大值，如果函数的图像是开口向下，则说明函数有最小值。
其次，计算极值点的时候，需要先计算函数的导数，并计算函数上某点处的导数是否大于零或小于零，从而可以判断极值点在哪里。
最后，我们要把函数带入极值点，然后求出最大值或最小值，即最大值和最小值的关系就可以得到了。
二次函数的最大值与最小值的应用二次函数的最大值与最小值在数学方面有着重要的应用。
比如说在最优化问题中，用二次函数可以求解凸优化问题，并可以求解出最大值和最小值。
另外，二次函数还可以用来描述物理运动规律，比如势能曲线、水力学力学问题中的压力曲线等，可以利用函数的最大值和最小值，研究物体的运动轨迹。
总结本文主要介绍了二次函数的最大值与最小值的内容，包括什么是二次函数、二次函数的最大值与最小值，求取函数最大值和最小值的原理，以及最大值与最小值的应用等。
九年级数学 二次函数的最大值与最小值
二次函数的最大值与最小值许多人都知道当把一个苹果抛向空中时，苹果会飞向空中，但它的速度会逐渐减小，并最终不向上运动（瞬间静止在空中），之后再加速落下。
这是因为物体受重力的缘故。
但其实，将苹果运行的时间与高度在坐标系中画出来，就是一个弧线，而且不是一般的弧线，是二次函数。
对于一个二次函数来说，它有正向的弧，也有倒的弧。
正弧的最高点是函数的最大值，而倒向的最低点则是最小值。
今天，我们就围绕着二次函数的最大与最小值来到论一下。
摘要：通过对二次函数的一些研究，来了解并掌握求二次函数的最大与最小值的方法。
一、出现的原因二次函数之所以会出现最大至于最小值，我们就要从它的根源说起。
二次函数的表达式可写为y=ax2+bx+c（abc均为常数，a≠0），其中的ax2+bx+c与我们所学一元二次方程有几分相像。
其实，二次函数与一元二次方程的就如同一次函数与二元一次方程的关系基本一致。
我们可以把原式写为ax2+bx+c+y=0，为了方便讨论且自变量与因变量的影响是互相的，所以我们就先假设y是改变x的自变量。
那么每一次在求值时我们都会先取一个y的值。
这时，y就可以看做一个常数那么我们就把它与常数项c写在一起，即ax2+bx+（c+y）=0，这下子整个式子中只有x是一个变量，这个式子也就是一个地地道道的一员二次方程了。
而这个方程中abc 是固定不变的，因而y的改变会改变式子的常数项，这样一来，在解方程的时候, (c+y)的值与前面的ab相配合组成的方程可能有两个不相等的实根或两个相等的实根或没有实根。
这也就说明了当y值固定时，可能有两个x满足，或只有一个，或没有。
再从x的角度来说，有两个x可以造成同一个y值，但这两个点关于一个点对称，这个点就是特殊点，即最大（小）值，而不论x如何变化，y总有一道不可逾越的鸿沟，到达固定点后就会折返。
因此二次函数的这一特性造就了它的最大（小）值。
二、判定最大还是最小既然二次函数有最大或最小值，那么那种会有最大值，那种会有最小值呢？我们就来讨论一下。
初中数学 二次函数的图像的最小值和最大值有什么关系
初中数学二次函数的图像的最小值和最大值有什么关系
二次函数的图像的最小值和最大值之间有着密切的关系。
以下是对二次函数图像的最小值和最大值之间关系的详细解释：
1. 开口向上的二次函数图像：对于开口向上的二次函数图像，顶点是图像的最小值。
也就是说，在顶点处，二次函数图像达到了最低点。
顶点的纵坐标值就是二次函数图像的最小值。
与最小值相对应的横坐标值是顶点的横坐标。
2. 开口向下的二次函数图像：对于开口向下的二次函数图像，顶点是图像的最大值。
也就是说，在顶点处，二次函数图像达到了最高点。
顶点的纵坐标值就是二次函数图像的最大值。
与最大值相对应的横坐标值是顶点的横坐标。
因此，二次函数图像的最小值和最大值是由顶点的纵坐标值决定的。
开口向上的二次函数图像的最小值是顶点的纵坐标值，开口向下的二次函数图像的最大值是顶点的纵坐标值。
此外，我们还可以通过顶点的横坐标值来确定最小值和最大值所对应的自变量的取值。
也就是说，在顶点处，最小值和最大值所对应的x 值是相同的。
综上所述，二次函数图像的最小值和最大值是由顶点的纵坐标值决定的，而顶点的横坐标值表示最小值和最大值所对应的自变量的取值。
理解和利用顶点的位置和开口方向，有助于我们分析和解释二次函数图像的特征和行为。
需要注意的是，二次函数图像可能不存在最小值或最大值，这取决于二次函数的系数和定义域的限制。
当二次函数的系数 a 大于0 且定义域为全体实数时，图像是开口向上的，没有最大值；当二次函数的系数 a 小于0 且定义域为全体实数时，图像是开口向下的，没有最小值。
二次函数区间最值问题
二次函数区间最值问题二次函数在数学中是非常重要的一种函数类型。
它具有许多特殊的性质，例如顶点，对称轴和开口方向等。
在求解二次函数最值问题时，我们需要注意一些特殊情况，并运用二次函数的性质进行判断和求解。
一、二次函数的基本形式二次函数是指含有二次项的一元二次方程。
一般表示为y=ax^2+bx+c（a≠0）。
其中，a代表开口方向和轴对称的大小，正数表示开口向上，负数表示开口向下；b代表对称轴与y轴的交点，c代表二次函数与y轴的交点。
二、求解二次函数的最大值和最小值对于给定二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0），我们需要求出它的最大值和最小值。
为了求解这个问题，我们需要掌握以下两种方法：方法一：利用二次函数的对称性求解二次函数的对称轴公式为x=-b/2a，对称轴将二次函数分成两个对称部分。
在对称轴的左侧和右侧二次函数的值是相等的。
因此我们只需要计算对称轴左侧（或右侧）的值即可。
当二次函数开口向上时，它的最小值就在对称轴上。
当二次函数开口向下时，它的最大值就在对称轴上。
因此我们可以根据开口方向来判断出最大值和最小值的位置。
同时我们还可以使用完全平方公式来求出二次函数的最大值和最小值：对于开口向上的二次函数y=ax^2+bx+c，最小值为：y=[4ac-b^2]/4a对于开口向下的二次函数y=ax^2+bx+c，最大值为：y=[4ac-b^2]/4a这个公式可以提高计算的速度，同时也可以通过它的形式来理解二次函数的最大值和最小值。
方法二：利用导数求解导数是求解最值问题中非常实用的工具。
对于二次函数y=ax^2+bx+c，它的导数为y'=2ax+b。
因此当y'=0时，二次函数y取得极值，将y'=0代入原函数，我们可以得到极值为：y=-b^2/4a+c因为这个式子中，b^2/4a代表着对称轴的位置，因此这个公式也是方法一的变形。
在这个公式中，我们直接可以求出函数的最大值或最小值。
三、计算例题实例一：求解二次函数y=2x^2+4x+1的最小值和最大值。
二次函数的最大值与最小值
当a>0时,二次函数有最小值 当a<0时,二次函数有最大值
例1、如图，一边靠学校院墙，其他三边用12 m长 的篱笆围成一个矩形花圃，设矩形ABCD的边 AB=x m，面积为S㎡。 （1）写出S与x之间的函数关系式； （2）当x取何值时，面积S最大，最大值是多少？
(1) S=x(12-2x)即S=-2x² +12x (2) S=-2x² +12x A D
BP=12-2t，BQ=4t P △PBQ的面积: S=1/2(12-2t) •4t 即S=- 4t² +24t=- 4(t-3)² +36 B
Q丝围成一个矩形，一边长为xcm.,面 积为ycm2,问何时矩形的面积最大？ 解： ∵周长为12cm, 一边长为xcm , ∴ 另一边为（6－x）cm ∴ y＝x（6－x）＝－x2＋6x （0< x<6） ＝－(x－3) 2＋9 ∵ a＝－1<0, ∴ y有最大值 当x＝3cm时，y最大值＝9 cm2，此时矩形的另一边也为3cm 答：矩形的两边都是3cm，即为正方形时，矩形的面积最大。
（2）一个商品所获利润可以表示为 （50+x-40）元 （3）销售量可以表示为 (500-10x) 个
（4）共获利润可以表示为 (50+x-40)(500-10x)元
解： 设每个商品涨价x元， 那么 y=(50+x-40)(500-10x) =-10 x2 +400x+5000
=-10[ （x-20）2 -900]
2
y
x=1
x R
1
ymin 当 x=1时，
2
0 -2
x
例2、求下列函数的最大值与最小值
( 1 ) y x 3 x 2 (3 x 1)
初三二次函数最小值最大值基础题
初三二次函数最小值最大值基础题说到二次函数，很多同学的脑袋里都得冒出个“这又是什么鬼？”的表情，别急，先别慌，咱们一块儿聊聊这玩意儿。
二次函数就像是你生活中的那座大山，表面看起来挺吓人，但一旦你走近了，发现其实也就那么回事。
所以，今天咱们就要搞懂一个非常实用的知识点——二次函数的最大值和最小值，学会了这招，考试里就能轻松拿分，谁还不是个小天才呢！二次函数的标准形式是啥？对了，是 ( y = ax^2 + bx + c )。
看上去有点复杂，对吧？但是别急，我可不会让你在这堆字母里迷失的。
咱们先来看一个简单的例子，比如( y = 2x^2 4x + 1 )。
看到这儿，可能有同学就要问了，呃，这跟我有啥关系呢？哈哈，别急，接着往下看，咱们从最基础的地方讲起。
二次函数的图像，大家应该都知道长什么样吧？那是个漂亮的抛物线，像个碗一样，开口朝上或者朝下。
如果开口朝上，那它就有最小值；如果开口朝下，那它就有最大值。
这么说你就明白了吧？那么问题来了，怎么才能找到这个最大值或者最小值呢？其实非常简单！你只需要知道一个秘密武器——顶点公式。
是的，这就是大家常说的“方法”。
说白了，二次函数的最大值或者最小值，就出现在它的顶点上。
是不是很简单？大家听好了，顶点的横坐标可以通过公式 ( x = frac{b{2a ) 来求得，记住了没有？不管你是数学小白，还是数学大神，这个公式就像你的万能钥匙，帮你打开所有的谜题。
咱们来举个具体的例子，看看怎么用这个公式来算最小值。
回到刚才的那个函数( y = 2x^2 4x + 1 )，我们可以找到这个函数的顶点横坐标。
按照公式，( x = frac{4{2 times 2 = 1 )，这就告诉我们，顶点的横坐标是1。
把 ( x = 1 ) 代入原来的二次函数公式，得到 ( y = 2(1)^2 4(1) + 1 = 1 )。
太棒了！所以，这个函数的最小值就是1，而且发生在 ( x = 1 ) 这个地方。
初二数学重要知识点整理：二次函数的最大值和最小值、概率的意义
初二数学重要知识点整理：二次函数的最大值和最小值、概率的意义初二数学重要知识点整理：二次函数的最大值和最小值、概率的意义二次函数的最值：1.如果自变量的取值范围是全体实数，则当a0时，抛物线开口向上，有最低点，那么函数在处取得最小值y最小值=；当a0时，抛物线开口向下，有最高点，即当时，函数取得最大值，y最大值=。
也即是：如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，。
2.如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x=x2 时，，当x=x1 时；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x=x1时，，当x=x2时概率的基本性质（互斥事件、对立事件）互斥事件：事件A和事件B不可能同时发生，这种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件。
如果A1，A2，…，An中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件A1，A2，…An彼此互斥。
对立事件：两个事件中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件。
注：两个对立事件必是互斥事件，但两个互斥事件不一定是对立事件。
事件A+B的意义及其计算公式：（1）事件A+B：如果事件A，B中有一个发生发生。
（2）如果事件A，B互斥时，P（A+B）=P（A）+P（B），如果事件A1，A2，…An彼此互斥时，那么P（A1+A2+…+An）=P（A1）+P（A2）+…+P（An）。
概率的几个基本性质：（1）概率的取值范围：[0，1].（2）必然事件的概率为1.（3）不可能事件的概率为0.（4）互斥事件的概率的加法公式：如果事件A，B互斥时，P（A+B）=P（A）+P（B），如果事件A1，A2，…An彼此互斥时，那么P（A1+A2+…+An）=P（A1）+P（A2）+…+P（An）。
如果事件A，B对立事件，则P（A+B）=P（A）+P（B）=1。
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2
4
对称轴为x a
2
xa 2
y
(1) 当 a 1即a 2时
2
1
y x2 ax 3在[1，1]上单调递增 -1 0
x
当x 1时 ymin 4 a 当x 1时 ymax 4 a
(2)当 1 a 2
1
即
2a2
当 x a 时 2
a2 ymin 3 4
0
a 2
1
即
2
y - 01 x 1
例4: 求函数 y x2 2 x 3 在 [t , t 1] 上的最大值
和最小值
解: y x2 2x 3 ( x 1)2 2
对称轴 x 1
(1) 当 t 1 1 即 t 0 时
y
01
t t+1 x
y x2 2x 3 在 [t , t 1] 上单调递减
1 3a
-1
1
0
x
二
次
x=a x=a x=a
函
2. 1 a 1 ymin f ( a ) a a 2
数
3. a 1 ymin f ( 1 ) 1 a
的
y
y
y
最
-1
1
-1
1
-1
1
值
0
x
0
x
0
x
x=a
x=a
x=a
例4：已知函数 y x2 2x 2 x [t,t 1]
当x t 时 ymax t 2 2t 3
当x=t+1时 ymin=t2+2
(2)当t 1 即0 t 1时 t 1 1
1[t , t 1]
当x 1时 ymin 2
当t 1 1即t 1 时
2
2
当x t 1时 ymax t 2 2
当t 1 1即t 1 时
2
2
y x=1 4
01
x
(2) y 2x 2 4x
解： y 2( x1)2 2
xR
当 x=1时，ymin 2
y x=1
1
0
x
-2
例2、求下列函数的最大值与最小值
(1) y x2 3x 2 (3 x 1)
解： y ( x 3 )2 2 9
2
4
3 x
2
y
( x 3)2 4 1
当x 3时 当x 1时
26 ymax 5
6
ymin
5
二次函数的最值
例 3 ：已知函数 y x2 2ax a x 1, 1
a是常数，求函数的最小值
解 函数 y x 2 2ax a
y
配方得：y x a2 a a2
自变量x的取值范围为 1, 1
1. a 1 ymin f ( 1 )
t为常数，求：函数的最小值。
解 y x2 2x 2 (x 1)2 1 对称轴为x 1
1⑶当t 1 1, 即：t 0时，函数y在[t,t 1]上单调递减
ymin f (t 1) t 2 1
2⑴当1[t,t 1],即：t [0,1]时
ymin f (1) 1
X=1
3⑵当t 1时，函数y在[t,t 1]上单调递增
2
4
-3
1
3 3 ,1
0x
2
当 x 3 时 2
1
ymin
4 4
当 x 1时 ymax 1 3 2 2
(2) y 1 x 2 2x 1 x [3 ,1]
5
x 5
解：y 1 ( x 5)2 6
y
5
5[3,1]
1
-3 0
x
函数 y = f(x) 在[-3，1]上为减函数
a
0时
当 x 1时 ymax 4 a
1 a 0 即0 a 2时
2
当 x 1时 ymax 4 a
(3)当 a 1 即a 2时 2 y x2 ax 3在[1,1]上单调递减
当x 1时 当x 1时
ymax 4 a ymin 4 a
y -1 0ห้องสมุดไป่ตู้1 x
y -1 0 1 x
主讲人：杨sir
二次函数: y ax2 bx c ( a0 )
a( x
b 2a
)
2
4ac 4a
b2
a>0
a<0
y x b
2a
y
b 2a
0
x
4ac b 2
4a
0
x
例1、求下列二次函数的最大值或最小值
(1) y x 2 2x 3
解： y ( x 1)2 4
xR
当x=1时，ymax 4
ymin f (t) t 2 2t 2
t2 1,(t 0) 综上所得：y最小值 1,(0 t 1)
t2 2t 2,(t 1)
1
t t t+1t t+1
0
1
例3：求函数y x2 ax 3 (a R) 在区间[1,1]
上的最大值与最小值
解： y x2 ax 3 ( x a )2 3 a2
当x t 时
ymax t 2 2t 3
y
0
t t+1 x
y
0
t t+1 x
(4) 当 t 1时
y x2 2x 3 在 [t , t 1] 上单调递增
当x=t时
ymin=t2-2t+3
当x=t+1 时 ymax t 2 2
y
1
x
0 t t+1
小结
1、定义域为R的二次函数的最大值和最小值 2、定义域为某一闭区间上的最大值和最小值 3、关于带有字母参数的二次函数最值的讨论 4、作业：练习册第 页15题、一课一练第50页