二次函数的最大值和最小值
二次函数最大最小值
二次函数最大最小值二次函数是一种非常常见的函数类型，其方程的一般形式为 y =ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数且a ≠ 0。
二次函数的图像通常呈现出一个开口朝上或开口朝下的抛物线形状。
在这篇文章中，我们将讨论二次函数的最大值和最小值。
一、二次函数的开口方向二次函数的开口方向由a的正负确定。
如果a>0，抛物线开口朝上；如果a<0，抛物线开口朝下。
开口方向的决定对于确定函数的最大值和最小值非常重要。
二、二次函数的顶点二次函数的最大值或最小值出现在其抛物线的顶点处。
顶点的横坐标为 x = -b / (2a)，纵坐标为 f (-b / (2a)) = a((-b / (2a))^2) +b(-b / (2a)) + c。
顶点满足的条件是一阶导数等于零，即 f' (x) =2ax + b = 0。
由此可得 x = -b / (2a)。
三、最大值和最小值的判断条件1.如果a>0，函数的最小值为顶点的纵坐标。
2.如果a<0，函数的最大值为顶点的纵坐标。
四、求解最大值和最小值的步骤1.确定二次函数的开口方向，根据a的正负判断是求最大值还是最小值。
2.计算顶点的横坐标x=-b/(2a)。
3.将顶点的横坐标代入函数表达式中计算纵坐标f(-b/(2a))。
五、实例分析现假设有一个二次函数f(x)=2x^2+5x-3，我们来求解该函数的最大值或最小值。
步骤一：确定开口方向由于a=2>0，故抛物线的开口方向朝上。
步骤二：计算顶点的横坐标将a=2、b=5代入顶点公式x=-b/(2a)，得到x=-5/(2*2)=-5/4步骤三：计算顶点的纵坐标将计算得到的顶点横坐标x=-5/4代入函数表达式f(-5/4)=2((-5/4)^2)+5(-5/4)-3，计算得到f(-5/4)=17/8所以，函数f(x)=2x^2+5x-3的最小值为17/8六、总结通过求解二次函数的最大值和最小值，我们可以知道其图像的顶点位置。
二次函数的最大值与最小值(初中)
二次函数的最大值与最小值y 0ax2bx c aa x b2a 24a c4 ab2一、判断的基本方法a 当当a 0时，二次函数有最小值0时，二次函数有最大值二、求最值的类型与方法㈠在顶点处直接取得例：求y x22x 3最大值或最小值2y x1 4解：x R当x1时，y的最大值为4.㈡不能在顶点处取得例：求下列函数的最大值或最小值：1. 3231y x2x x解：y239 xx 22 4 2321743 3,1 23 17 当x y -2 4 时， 的最小值为 当x1时，y 的最大值为212y xxx2.21, 3,15解：y12x 5 65 53,1根据图像看，在-31y x区间上随的增大而减小当x3时，y的最大值为26 5当x1时，y的最小值为-6 512y x x x3. 21,1,22解：y 12x2 3 21,22根据图像看，y随x的增大而增大当x1时，y的最小值为-5 2当x2时，y的最小值为5㈢带有参数的二次函数求最值1 5例1：当t x t1时，求函数y x2x的最小值（其中t为实数）22125解：函数y x x x1，见下图的对称轴为2 2①当对称轴在所给范围的左侧时，即t>1时，当x t时，y的最小值为1t2t2 5 2②当对称轴在所给范围的之间时，即t 1t 10t1时，当x1时，y的最小值为1251-1-2 2-3③当对称轴在所给范围的右侧时，即t 1＜1t＜0时，当x t1时，y的最小值为1t 2t 51t 231 122 2例2.求函数y 2x2ax1，当0x1时的最小值。
解：函数y 2x2ax1，对称轴为a x2 2a4a a 0x1y x xy ①当0，即0 时，在范围内，随的增大而增大，当=0 时，最4小，y 的最小值= 202a 01 1a a②当0＜＜1，即0＜a＜4时，当x时，有最小值，4 4y的最小值= 22a a a2a1 1 448a③当1，即时，在范围内，随的增大而减小，当=1时，最a40x1y x x y 4小，y的最小值=212a113a7、我们各种习气中再没有一种象克服骄傲那麽难的了。
二次函数顶点式最大最小值
二次函数顶点式最大最小值二次函数是一种常见的二次多项式函数，其一般形式为f(x)=ax2+bx+c，其中a、b、c是常数且a eq0。
二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线，而顶点则是抛物线的最高点或最低点。
在二次函数的顶点式中，我们可以轻松地求得抛物线的最大值或最小值。
二次函数顶点式在二次函数f(x)=ax2+bx+c中，其顶点坐标可以通过顶点式来表示。
顶点式是 $x = -\\frac{b}{2a}$，$y = f\\left(-\\frac{b}{2a}\\right)$。
最大最小值的求解方法通过顶点式，我们可以轻松地求得二次函数的最大值或最小值。
当a>0时，二次函数开口向上，顶点为最小值；当a<0时，二次函数开口向下，顶点为最大值。
1.若a>0，则二次函数的最小值为 $f\\left(-\\frac{b}{2a}\\right)$。
2.若a<0，则二次函数的最大值为 $f\\left(-\\frac{b}{2a}\\right)$。
举例说明例如，对于二次函数f(x)=2x2−4x+3，其中a=2，b=−4，c=3。
根据顶点式 $x = -\\frac{b}{2a}$，可得 $x = -\\frac{-4}{2 \\times 2} = 1$。
代入函数得$f(1) = 2 \\times 1^2 - 4 \\times 1 + 3 = 1$。
因此，二次函数f(x)=2x2−4x+3的最小值为 1，在x=1处取到。
结论通过二次函数的顶点式，我们可以轻松求得二次函数的最大值或最小值。
顶点式提供了简洁而有效的方法，帮助我们更好地理解和分析二次函数的特性。
在解决实际问题或优化函数时，顶点式的应用也具有重要意义。
二次函数的最大值和最小值
二次函数: yax2 bxc ( a0 )
a(x
b 2a
)2
4ac 4a
b2
a>0
a<0
y x b
2a
y
b 2a
0
x
4ac b 2
4a
0
x
二次函数的最大值和最小值
函数的最大值和最小值的概念
设函数f(x)在x0处的函数值是f(x0)，如果不等式f(x) f(x0 )
对于定义域内任意x都成立，那么f(x0 )叫做函数y=f(x0 )的最小值。 记作ymin=f(x0 )
当x1时 ymax132 2
二次函数的最大值和最小值
(2 ) y1x22x1x [ 3,1 ]
5
x5
解：y1(x5)2 6
y
5
5 [ 3 ,1 ]
1
-3 0
x
函数 y = f(x) 在[-3，1]上为减函数
26 当x3时 ymax 5
当x1时
6
ymin
5
二次函数的最大值和最小值
(3) y1x22x1x [ 1,2]
ymin=t2-2t+3
当x=t+1 时 ymaxt2 2
y
1
x
0 t t+1
二次函数的最大值和最小值
小结
1、定义域为R的二次函数的最大值和最小值 2、定义域为某一闭区间上的最大值和最小值 3、关于带有字母参数的二次函数最值的讨论
二次函数的最大值和最小值
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解： y2(x1)22
xR
当 x=1时，ym i n2
二次函数的最大值和最小值
那么f(x0 )叫做函数y=f(x0 )的最大值。记作ymax=f(x0 )
例1、求下列二次函数的最大值或最小值
(1) y x 2 2x 3
解： y ( x 1)2 4
xR
当x=1时，ymax 4
y x=1 4
01
x
(2) y 2x 2 4x
y
01
t t+1 x
y x2 2x 3 在 [t , t 1] 上单调递减
当x t 时 ymax t 2 2t 3
当x=t+1时 ymin=t2+2
(2)当t 1 即0 t 1时 t 1 1
1[t , t 1]
当x 1时 ymin 2
当t 1 1即t 1 时
2
(2)当 1 a 2
1
即
2a2
当 x a 时 2
a2 ymin 3 4
0
a 2
1
即
2
a
0时
当 x 1时 ymax 4 a
1 a 0 即0 a 2时
2
当 x 1时 ymax 4 a
(3)当 a 1 即a 2时 2 y x2 ax 3在[1,1]上单调递减
例3：求函数y x2 ax 3 (a R) 在区间[1,1]
上的最大值与最小值
解： y x2 ax 3 ( x a )2 3 a2
2
4
对称轴为x a
2
xa 2
y
(1) 当 a 1即a 2时
2
1
y x2 ax 3在[1，1]上单调递增 -1 0
x
当x 1时 ymin 4 a 当x 1时 ymax 4 a
九年级数学二次函数的最值与极值
九年级数学二次函数的最值与极值二次函数是数学中的一个重要概念。
它的图像呈现出一个抛物线的形状，而最值与极值则是研究二次函数图像的关键内容。
1. 二次函数的最值二次函数的最值指的是函数图像所能达到的最大值或最小值。
对于一般的二次函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a \neq 0$，最值的求解方法如下：1.1 最大值如果二次函数的二次系数 $a$ 小于零（$a < 0$），则该二次函数的图像开口向下，并且函数的最大值出现在抛物线的顶点上。
顶点的 $x$ 坐标可以通过以下公式求得：$x = -\frac{b}{2a}$。
将$x$ 坐标代入二次函数中，即可求得最大值。
1.2 最小值如果二次函数的二次系数 $a$ 大于零（$a > 0$），则该二次函数的图像开口向上，并且函数的最小值出现在抛物线的顶点上。
顶点的 $x$ 坐标可以通过公式 $x = -\frac{b}{2a}$ 求得。
将 $x$ 坐标代入二次函数中，即可求得最小值。
2. 二次函数的极值二次函数的极值指的是函数图像在某个区间内的最大值或最小值。
对于一般的二次函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a \neq 0$，极值的求解方法如下：2.1 极大值如果二次函数的二次系数 $a$ 小于零（$a < 0$），则往负无穷大方向逐渐增大的区间内，函数图像有一个极大值。
可以通过求解二次函数的一阶导数为零的 $x$ 坐标来找到极大值的位置。
将这个$x$ 坐标代入二次函数中，即可求得极大值。
2.2 极小值如果二次函数的二次系数 $a$ 大于零（$a > 0$），则往负无穷大方向逐渐减小的区间内，函数图像有一个极小值。
可以通过求解二次函数的一阶导数为零的 $x$ 坐标来找到极小值的位置。
将这个$x$ 坐标代入二次函数中，即可求得极小值。
需要注意的是，在求解二次函数的极值时，应先对函数求导得到一阶导数，然后令一阶导数为零并求解 $x$ 坐标，最后将 $x$ 坐标代入二次函数中得到极值。
二次函数求最大值和最小值公式
二次函数求最大值和最小值公式二次函数可谓是数学中一道亮丽的风景线，它的形状就像一个微笑的弧线，真是让人忍不住想要靠近。
说到二次函数，大家肯定会想到它的标准形式：(y = ax^2 + bx + c)。
这里的(a)、(b)、(c)可不是随便哪个数字，它们各有各的职责。
(a)的正负直接决定了这个函数是朝上开口，还是朝下开口，嘿，要是开口向上，那就代表着有最小值，反之，则是最大值。
简直就像人生中的起伏，时而高歌猛进，时而低沉无奈，谁知道呢！如果你想要找出二次函数的最大值或最小值，咱们得先搞清楚一个关键点，那就是顶点的坐标。
听起来很高大上，但其实就是一个简单的公式。
顶点的横坐标(x)可以通过公式(frac{b{2a)来算出来。
是不是很神奇？就像魔法一样！而得到顶点的纵坐标(y)，只需要把这个(x)的值代入原方程，简单粗暴又有效率。
这时候，运气好的话，你可能就会发现，哇，原来我的最大值或最小值就在这儿等着我，简直是惊喜连连！大家可能会问，哎，那究竟怎么判断最大值和最小值呢？咱们可以通过看看(a)的符号来决定。
如果(a)大于零，那顶点就是最小值，听着是不是感觉有点像寻找人生的目标？而如果(a)小于零，嘿，那顶点就是最大的高峰了！这就像生活中的大起大落，让人又爱又恨。
记得有次我看到一位朋友，满脸愁苦地说他的成绩像过山车一样，时高时低。
说到这，我就想起了二次函数，真是应验了生活的哲理。
想象一下，咱们站在一个无边无际的草原上，远处有一座小山丘，山顶就是二次函数的顶点。
为了找到最高或最低的点，我们必须先了解这座山的“主人”——系数(a)的个性。
如果它温柔可人，那就是让我们安心的最低点；如果它桀骜不驯，那我们就得小心它的最高点可能在何方。
人生不也如此吗？我们总是在寻找那个“山顶”，只不过是经历了一番波折。
咱们在计算的时候，不要着急，慢慢来。
每一步都要走稳，记得保持耐心，尤其是在代入公式的时候。
计算时就像是在烹饪一道美食，调料得恰到好处，才能做出美味的佳肴。
二次函数的最大值与最小值
二次函数的最大值与最小值二次函数是数学中的重要类型之一，它的最大值和最小值对数学研究非常重要。
本文主要介绍二次函数的最大值与最小值，并且着重探讨了其最大和最小值计算原理及其应用。
什么是二次函数?二次函数是指可以用关于x的一次方程或二次多项式表示的函数。
二次函数的形式为：y=ax+bx+c，a不能等于零，其中a、b、c为常数。
这种函数的图形形状与其中的a、b、c有关，a可正可负，决定函数的开口方向。
二次函数的最大值与最小值二次函数的最大值与最小值是它的局部极值，即在某一段区间内，函数的值有最大值点或最小值点。
求取最大值和最小值，我们只需要求取二次函数的极值，极值点就是函数的最大值和最小值。
求取函数最大值和最小值的原理在求取函数最大值和最小值时，我们只要分析并计算函数上某点处的导数是否大于零或小于零，从而可以判断极值点到底在哪里，从而求出最大值和最小值。
计算最大值和最小值的步骤首先，要计算一个函数的最大值和最小值，需要先考虑该函数的图像是否是开口向上，或者开口向下。
如果函数的图像是开口向上，则说明函数有最大值，如果函数的图像是开口向下，则说明函数有最小值。
其次，计算极值点的时候，需要先计算函数的导数，并计算函数上某点处的导数是否大于零或小于零，从而可以判断极值点在哪里。
最后，我们要把函数带入极值点，然后求出最大值或最小值，即最大值和最小值的关系就可以得到了。
二次函数的最大值与最小值的应用二次函数的最大值与最小值在数学方面有着重要的应用。
比如说在最优化问题中，用二次函数可以求解凸优化问题，并可以求解出最大值和最小值。
另外，二次函数还可以用来描述物理运动规律，比如势能曲线、水力学力学问题中的压力曲线等，可以利用函数的最大值和最小值，研究物体的运动轨迹。
总结本文主要介绍了二次函数的最大值与最小值的内容，包括什么是二次函数、二次函数的最大值与最小值，求取函数最大值和最小值的原理，以及最大值与最小值的应用等。
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2
4
对称轴为x a
2
xa 2
y
(1) 当 a 1即a 2时
2
1
y x2 ax 3在[1，1]上单调递增 -1 0
x
当x 1时 ymin 4 a 当x 1时 ymax 4 a
(2)当 1 a 2
1
即
2a2
当 x a 时 2
a2 ymin 3 4
0
a 2
1
即
2
y - 01 x 1
例4: 求函数 y x2 2 x 3 在 [t , t 1] 上的最大值
和最小值
解: y x2 2x 3 ( x 1)2 2
对称轴 x 1
(1) 当 t 1 1 即 t 0 时
y
01
t t+1 x
y x2 2x 3 在 [t , t 1] 上单调递减
1 3a
-1
1
0
x
二
次
x=a x=a x=a
函
2. 1 a 1 ymin f ( a ) a a 2
数
3. a 1 ymin f ( 1 ) 1 a
的
y
y
y
最
-1
1
-1
1
-1
1
值
0
x
0
x
0
x
x=a
x=a
x=a
例4：已知函数 y x2 2x 2 x [t,t 1]
当x t 时 ymax t 2 2t 3
当x=t+1时 ymin=t2+2
(2)当t 1 即0 t 1时 t 1 1
1[t , t 1]
当x 1时 ymin 2
当t 1 1即t 1 时
2
2
当x t 1时 ymax t 2 2
当t 1 1即t 1 时
2
2
y x=1 4
01
x
(2) y 2x 2 4x
解： y 2( x1)2 2
xR
当 x=1时，ymin 2
y x=1
1
0
x
-2
例2、求下列函数的最大值与最小值
(1) y x2 3x 2 (3 x 1)
解： y ( x 3 )2 2 9
2
4
3 x
2
y
( x 3)2 4 1
当x 3时 当x 1时
26 ymax 5
6
ymin
5
二次函数的最值
例 3 ：已知函数 y x2 2ax a x 1, 1
a是常数，求函数的最小值
解 函数 y x 2 2ax a
y
配方得：y x a2 a a2
自变量x的取值范围为 1, 1
1. a 1 ymin f ( 1 )
t为常数，求：函数的最小值。
解 y x2 2x 2 (x 1)2 1 对称轴为x 1
1⑶当t 1 1, 即：t 0时，函数y在[t,t 1]上单调递减
ymin f (t 1) t 2 1
2⑴当1[t,t 1],即：t [0,1]时
ymin f (1) 1
X=1
3⑵当t 1时，函数y在[t,t 1]上单调递增
2
4
-3
1
3 3 ,1
0x
2
当 x 3 时 2
1
ymin
4 4
当 x 1时 ymax 1 3 2 2
(2) y 1 x 2 2x 1 x [3 ,1]
5
x 5
解：y 1 ( x 5)2 6
y
5
5[3,1]
1
-3 0
x
函数 y = f(x) 在[-3，1]上为减函数
a
0时
当 x 1时 ymax 4 a
1 a 0 即0 a 2时
2
当 x 1时 ymax 4 a
(3)当 a 1 即a 2时 2 y x2 ax 3在[1,1]上单调递减
当x 1时 当x 1时
ymax 4 a ymin 4 a
y -1 0ห้องสมุดไป่ตู้1 x
y -1 0 1 x
主讲人：杨sir
二次函数: y ax2 bx c ( a0 )
a( x
b 2a
)
2
4ac 4a
b2
a>0
a<0
y x b
2a
y
b 2a
0
x
4ac b 2
4a
0
x
例1、求下列二次函数的最大值或最小值
(1) y x 2 2x 3
解： y ( x 1)2 4
xR
当x=1时，ymax 4
ymin f (t) t 2 2t 2
t2 1,(t 0) 综上所得：y最小值 1,(0 t 1)
t2 2t 2,(t 1)
1
t t t+1t t+1
0
1
例3：求函数y x2 ax 3 (a R) 在区间[1,1]
上的最大值与最小值
解： y x2 ax 3 ( x a )2 3 a2
当x t 时
ymax t 2 2t 3
y
0
t t+1 x
y
0
t t+1 x
(4) 当 t 1时
y x2 2x 3 在 [t , t 1] 上单调递增
当x=t时
ymin=t2-2t+3
当x=t+1 时 ymax t 2 2
y
1
x
0 t t+1
小结
1、定义域为R的二次函数的最大值和最小值 2、定义域为某一闭区间上的最大值和最小值 3、关于带有字母参数的二次函数最值的讨论 4、作业：练习册第 页15题、一课一练第50页