最优化问题
小学奥数 最优化问题 知识点+例题+练习 (分类全面)
拓展.小强给客人沏茶，烧开水需要12分钟，洗茶杯要2分钟，买茶叶要8分钟，放茶叶泡茶要1分钟。为了让客人早点喝上茶，你认为最合理的安排，多少分钟就可以了？
拓展.在早晨起床后的1小时内，小欣要完成以下事情：叠被3分钟，洗脸刷牙8分钟，读外语30分钟，吃早餐10分钟，收碗擦桌5分钟，收听广播30分钟。最少需要多少分钟？
课后作业
1.用一只平底锅烙大饼，锅里只能同时放两个。烙熟大饼的一面需要3分钟，现在要烙3个大饼，最少要用几分钟？
2、小虎早晨要完成这样几件事：烧一壶开水需要10分钟，把开水灌进热水瓶需要2分钟，取奶需要5分钟，整理书包需要4分钟。他完成这几件事最少需要多少分钟？
3、甲、乙、丙三人分别拿着2个、3个、1个热水瓶同时到达开水供应点打热水。热水龙头只有一个，怎样安排他们打水的次序，可以使他们打热水所花的总时间最少？
例3、五（1）班赵明、孙勇、李佳三位同学同时到达学校卫生室，等候校医治病。赵明打针需要5分钟，孙勇包纱布需要3分钟，李佳点眼药水需要1分钟。卫生室只有一位校医，校医如何安排三位同学的治病次序，才能使三位同学留在卫生室的时间总和最短？
拓展．甲、乙、丙三人到商场批发部洽谈业务，甲、乙、丙三人需要的时间分别是10分钟、16分钟和8分钟。怎样安排，使3人所花的时间最少？最少时间是多少？
例1、 用一只平底锅煎饼，每次只能放两个，煎一个展.烤面包时，第一面需要2分钟，第二面只要烤1分钟，即烤一片面包需要3分钟。小丽用来烤面包的架子，一次只能放两片面包，她每天早上吃3片面包，至少要烤多少分钟？
拓展.小华用平底锅烙饼，这只锅同时能放4个大饼，烙一个要用4分钟（每面各需要2分钟）。可小华烙6个大饼只用了6分钟，他是怎样烙的？
数学中的优化问题
数学中的优化问题数学是一门研究数量、结构、变化以及空间等概念的学科，优化问题是数学中一个重要的研究领域。
优化问题涉及到如何在给定的约束条件下，找到使目标函数取得最大或最小值的最优解。
在本文中，我们将探讨数学中的优化问题及其应用。
一、最优化问题的定义最优化问题是指在有限资源和给定约束条件下，寻找某一目标函数的最优解。
最优化问题既可以是求最大值，也可以是求最小值。
目标函数即我们需要优化的量，而约束条件则规定了该问题的限制条件。
二、优化问题的分类优化问题可以分为数学规划问题和凸优化问题。
数学规划问题是指在给定约束条件下，寻找目标函数的最优解，其中约束条件可以是线性或非线性的。
凸优化问题是指在给定的凸约束条件下，寻找凸目标函数的最优解。
三、优化问题的应用优化问题在各个领域都有广泛的应用，例如：1. 经济学：优化问题在经济学中被广泛应用，用于求解最优的资源分配方案，最大化利润或最小化成本等。
2. 运筹学：运筹学是研究如何在给定约束条件下，进行最优决策的学科。
优化问题在运筹学中起到了重要的作用，例如在物流规划、生产调度、交通优化等方面的应用。
3. 机器学习：机器学习中的许多问题可以被看作是优化问题，例如参数的最优选择、模型的最优拟合等。
4. 工程学：在工程学中，优化问题可以用于设计最优的结构、最佳的控制策略等。
5. 生物学：在生物学研究中，优化问题被用于模拟和分析生物系统的行为，例如生态系统的最优稳定性等。
四、优化算法为了解决优化问题，人们开发了许多优化算法。
常用的优化算法包括：1. 梯度下降法：梯度下降法是一种迭代的优化算法，通过沿着目标函数的负梯度方向不断更新参数的值，逐步接近最优解。
2. 共轭梯度法：共轭梯度法是一种迭代的优化算法，常用于求解线性规划问题。
3. 遗传算法：遗传算法模拟自然界中的进化过程，通过遗传操作（交叉、变异等）来不断搜索最优解。
4. 粒子群算法：粒子群算法模拟鸟群中鸟的行为，通过模拟每个个体的位置和速度来搜索最优解。
《最优化问题举例》课件
目录
contents
最优化问题概述线性规划问题举例非线性规划问题举例整数规划问题举例多目标规划问题举例
01
最优化问题概述
总结词
最优化问题是指在一定条件下，选择一个最优方案，使得某个目标函数达到最优值的问题。
详细描述
最优化问题通常涉及到在多个可能的选择中找到最优解，使得目标函数达到最大或最小值。这个目标函数通常代表了问题的成本、效益或性能等方面。
02
线性规划问题举例
总结词
运输问题是最优化问题中的一种，旨在通过合理安排运输方式、路径和数量，使得运输成本最低，满足需求。
详细描述
运输问题通常涉及到多个供应点和需求点，需要考虑如何选择合适的运输方式、确定最佳的运输路径和运输量，以最小化总成本。这需要考虑各种因素，如运输距离、运输速度、运输费用、货物量、需求量等。
详细描述
数学模型
实例
资源分配问题主要涉及如何将有限的资源合理分配给不同的项目或部门，以实现整体效益最大化。
总结词
这类问题需要考虑不同项目或部门的优先级、资源需求、效益评估等多个因素，通过优化资源配置，提高整体效益。
详细描述
线性规划、整数规划等模型可以用来描述这类问题，通过设定目标函数和约束条件，求解最优解。
总结词
生产计划问题是指如何合理安排生产计划，使得生产成本最低且满足市场需求。
详细描述
生产计划问题需要考虑生产什么、生产多少、何时生产以及如何生产等问题。它需要考虑市场需求、产品特性、生产能力、资源限制等因素，以制定最优的生产计划，实现成本最小化、利润最大化。
资源分配问题是指如何将有限的资源分配给不同的任务或部门，以最大化整体效益。
背包问题有多种变种，如完全背包问题、多背包问题和分数背包问题等。这类问题在现实生活中应用广泛，如物流运输、资源分配和金融投资等领域。通过整数规划方法，可以找到最优的物品组合，以最大化总价值或最小化总成本。
最优化问题
最优化问题最优化问题(一)例1：一只平底锅上只能剪两只饼。
用它剪1只饼需要2分钟（正面、反面各1分钟）。
问剪3只饼需要几分钟？怎样剪？例2：6个人各拿一只水桶到水龙头接水。
水龙头注满6个人的水桶所需时间分别是5分钟、4分钟、3分钟、10分钟、7分钟、6分钟。
现在只有这一个水龙头可用，问怎样安排这6个人的打水次序，可使他们总的等候最短？这个最短时间是多少？例3：小红放学回家，想让爸爸、妈妈下班后就能吃上晚饭。
她准备做大米饭和炒鸡蛋。
小红家有两个炉灶。
估计一下，洗锅要用1分钟，淘米要用5分钟，做大米饭要用30分钟，打蛋要用1分钟，洗炒勺要用1分钟，烧油要1分钟，炒鸡蛋要3分钟。
你认为最合理的安排要几分钟能做好饭菜？例4：在公路上，每隔100千米有一个仓库，共有5个仓库。
1号仓库里有10吨货物，2号仓库里有20吨货物，5号仓库里有40吨货物，其余两个仓库都是空的。
现在想把所有的货物集中存放在一个仓库里，若每吨货物运输一千米要0.5元运输费，那么至少要花费多少元运费才行？例5：沿铁路有5个工厂，A，B，C，D，E（如图），各厂每天都有10吨货物要外运。
现在想建一座车站，使这5个工厂的货物运到车站的行程总和越小越好。
车站应建在何处？如果在E的右侧增加一个工厂，车站建在何处总行程最小呢？例6：在公路干线的附近，有5个工厂A，B，C，D，E（如图），各厂每天都有10吨货物要存库。
现在想在公路干线上建一座库房，使这5个工厂的货物运到库房的行程总和越小越好，库房应建在何处？例7：工地上有手推车20辆,其中10辆从A1到B1运垃圾,要60车次运完。
另外10辆从A2到B2运砖头，要40车次运完。
工地上的可行道路及路程如图（单位：米）所示。
有人说上面的安排不合理，因为跑空车的路程还可以更少些。
那么，怎样安排才算合理呢？【练习题】1、有7个满杯水、7个半杯水和7个空杯。
不许倒水，你能把这些东西平均分给3个人，使得每人有7只杯子和3杯半水吗？2、有8个人在交通事故中受伤，救援人员1人可以救护2人，而1辆救护车只可以坐4个人。
小学四年级奥数第7讲 最优化问题(含答案分析)
第7讲最优化问题一、知识要点在日常生活和生产中，我们经常会遇到下面的问题：完成一件事情，怎样合理安排才能做到用的时间最少，效果最佳。
这类问题在数学中称为统筹问题。
我们还会遇到“费用最省”、“面积最大”、“损耗最小”等等问题，这些问题往往可以从极端情况去探讨它的最大（小）值，这类问题在数学中称为极值问题。
以上的问题实际上都是“最优化问题”。
二、精讲精练【例题1】用一只平底锅煎饼，每次只能放两个，剪一个饼需要2分钟（规定正反面各需要1分钟）。
问煎3个饼至少需要多少分钟？练习1：1、烤面包时，第一面需要2分钟，第二面只要烤1分钟，即烤一片面包需要3分钟。
小丽用来烤面包的架子，一次只能放两片面包，她每天早上吃3片面包，至少要烤多少分钟？2、用一只平底锅烙大饼，锅里只能同时放两个。
烙熟大饼的一面需要3分钟，现在要烙3个大饼，最少要用几分钟？【例题2】妈妈让小明给客人烧水沏茶。
洗水壶需要1分钟，烧开水需要15分钟，洗茶壶需要1分钟，洗茶杯需要1分钟。
要让客人喝上茶，最少需要多少分钟？练习2：1、小虎早晨要完成这样几件事：烧一壶开水需要10分钟，把开水灌进热水瓶需要2分钟，取奶需要5分钟，整理书包需要4分钟。
他完成这几件事最少需要多少分钟？2、小强给客人沏茶，烧开水需要12分钟，洗茶杯要2分钟，买茶叶要8分钟，放茶叶泡茶要1分钟。
为了让客人早点喝上茶，你认为最合理的安排，多少分钟就可以了？【例题3】五（1）班赵明、孙勇、李佳三位同学同时到达学校卫生室，等候校医治病。
赵明打针需要5分钟，孙勇包纱布需要3分钟，李佳点眼药水需要1分钟。
卫生室只有一位校医，校医如何安排三位同学的治病次序，才能使三位同学留在卫生室的时间总和最短？练习3：1、甲、乙、丙三人分别拿着2个、3个、1个热水瓶同时到达开水供应点打热水。
热水龙头只有一个，怎样安排他们打水的次序，可以使他们打热水所花的总时间最少？2、甲、乙、丙三人到商场批发部洽谈业务，甲、乙、丙三人需要的时间分别是10分钟、16分钟和8分钟。
数学中的最优化理论
数学中的最优化理论最优化理论作为数学中一个重要的分支，其目的是寻找在给定条件下能够使某一函数取得最优值的变量取值。
最优化问题广泛应用于工程、经济、计算机科学等领域，对于提高效率、降低成本具有重要意义。
本文将对最优化理论的基本概念、常见方法和应用进行介绍。
一、最优化理论的基本概念最优化问题可以归结为如下形式：$$\min_{x \in D} f(x)$$其中，$D$是定义域，$f(x)$是目标函数。
最优化问题分为约束优化和无约束优化两类。
在约束优化问题中，目标函数的取值需要满足一定的条件。
无约束优化问题则没有这样的限制条件。
在求解最优化问题时，我们需要找到一个使目标函数值最小的变量取值。
这个变量取值被称为最优解，对应的目标函数值被称为最优值。
最优解的存在性和唯一性是最优化问题的重要性质，而最优化理论研究的就是如何找到最优解。
二、最优化问题的常见求解方法1. 数学分析方法数学分析方法主要通过对目标函数进行求导以及对约束条件进行分析，来得到最优解。
这种方法通常适用于目标函数和约束条件具有良好的可导性质的情况。
通过求解一阶导数为零的方程组，可以得到最优解的可能取值。
然后通过二阶导数的符号来判断这些取值是最大值还是最小值。
2. 梯度下降法梯度下降法是一种常用的优化方法，特别适用于目标函数为凸函数的情况。
其基本思想是通过不断朝着函数梯度的负方向迭代，直到找到最小值或达到预设的停止条件。
梯度下降法的优势在于可以处理大规模问题，并且不需要求解函数的导数。
然而，梯度下降法可能陷入局部最优解，因此在实际应用中需要谨慎选择初始点和调整学习率。
3. 线性规划法线性规划是一种特殊的最优化问题，其目标函数和约束条件均为线性函数。
线性规划问题具有良好的可解性，并且有高效的算法可以求解。
最著名的线性规划方法是单纯形法，它通过不断沿着可行解空间中的边界移动，寻找最优解。
此外，整数规划、二次规划等也是常见的最优化问题，各自有不同的求解方法。
最优化方法第一章最优化问题与凸分析基础
4.2 凸函数
定义: 设集合 S Rn 为凸集，函数 f :SR， 若 x(1), x(2) S, ( 0 , 1 ) ，均有
f( x(1)＋(1- ) x(2) ) ≤f(x(1))+(1- )f(x(2)) ， 则称 f(x) 为凸集 S 上的凸函数。
hi x 0 等式约束
称满足所有约束条件的向量 x为可行解，或可行点，全体
可行点的集合称为可行集，记为D 。
D {x | hi x 0, i 1, 2, m, g j x 0,
j 1, 2, p, x Rn } 若 hi ( x), g j ( x) 是连续函数，则D 是闭集。
2.3 Hesse矩阵
Hesse 矩阵：多元函数 f (x) 关于 x 的二阶偏导
数矩阵
2
f
X
x12
2
f
X
f
X
2 f X
x1 x2
2
f
X
x1xn
2 f X
x2x1
2 f X
x22
2 f X
x2 xn
2
f
X
xnx1
2
f
X
xnx2
2
f
X
xn2
例：求目标函数 f (x) x12 x22 x32 2x1x2 2x2x3 3x3 的梯度和Hesse矩阵。
若进一步有上面不等式以严格不等式成立，则称
f(x) 为凸集 S 上的严格凸函数。 当- f(x) 为凸函数（严格凸函数）时，则称 f(x) 为
凹函数（严格凹函数）。
严格凸函数
4.5(1)最优化问题极值与最值
解： C x 3x2 4x 12, 元 C10 272 元
每天多生产一件产品的成本为272元。
R x 3x2 6x 10 元 R10 250 元
每天多销售一件产品而获得的收入为250元。
例4 设某产品的需求函数为：x=1000 – 100P, 求需求量x=300时的总收入，平均收入和边际收入。 解：销售 x 件价格为 P 的产品收入为 R (x)= P x,
求最低平均成本和相应产量的边际成本。
解：平均成本 C(x) C(x) 1 x 8 4900
C(x) 4
x
令
C(x)
1 4
4900 x2
0
唯一驻点x=140
C(
x)
9800 x3
,
C(140)
9800 1403
0
C(x) 1 x2 8x 4900 4
C(x) C(x) 1 x 8 4900
所以当日产量为Q0 =200单位时可获最大利润. L(200) =3000(元)
例4 设某产品的总成本函数为 C(Q)=54+1Q82Q+6 ，
试求平均成本最小时的产量水平.
解 因C′(Q)=18+12Q
C (Q )
＝54
Q
+18+6Q，
令C′(Q)= C(Q)
得Q=3 (Q＝－３已舍)，所以当产量Q=3时可使平均 成本最小.
上的最大值与最小值.
解
f ( x ) 6( x 2 )( x 1)
解方程 f ( x) 0,得 x1 2, x2 1.
计算 f (3) 23;
f (2) 34;
f (1) 7;
f (4) 142;
数学中的最优化问题
数学中的最优化问题数学中的最优化问题是一类重要的数学问题，其目标是寻找某个函数的最优解，即使得函数取得最大值或最小值的输入变量的取值。
最优化问题在数学、经济学、物理学等领域有广泛的应用，对于解决实际问题具有重要意义。
一、最优化问题的基本概念在介绍最优化问题之前，需要先了解几个基本的概念。
1. 目标函数：最优化问题中，我们定义一个目标函数，该函数是一个关于变量的函数，表示我们要优化的目标。
2. 约束条件：最优化问题中，往往存在一些限制条件，这些条件限制了变量的取值范围。
这些限制条件可以是等式约束或者不等式约束。
3. 最优解：最优解是指满足约束条件下使得目标函数取得最优值的变量取值。
最优解可能是唯一的，也可能存在多个。
二、最优化问题的求解方法在数学中，有多种方法可以求解最优化问题。
以下是几种常见的方法：1. 解析法：对于一些特殊的最优化问题，我们可以通过解析的方法求解。
这种方法通常需要对目标函数进行求导，并解方程得到极值点。
2. 迭代法：对于一些复杂的最优化问题，解析法并不适用，这时可以采用迭代法求解。
迭代法通过不断地逼近最优解，逐步优化目标函数的值。
3. 线性规划：线性规划是一种常见的最优化问题，它的约束条件和目标函数都是线性的。
线性规划可以利用线性代数的方法进行求解，有着广泛的应用。
4. 非线性规划：非线性规划是一类更一般的最优化问题，约束条件和目标函数都可以是非线性的。
非线性规划的求解比线性规划更为困难，需要采用一些数值方法进行逼近求解。
三、最优化问题的应用最优化问题在各个领域都有广泛的应用，下面以几个具体的例子来说明：1. 经济学中的最优化问题：经济学中的生产优化、消费优化等问题都可以抽象为最优化问题。
通过求解最优化问题，可以找到最有效的生产组合或最佳的消费策略。
2. 物理学中的最优化问题：在物理学中，最优化问题常常涉及到动力学、优化控制等方面。
例如，在机械设计中，可以通过最优化问题确定各部件的尺寸和形状，使得机械系统具有最佳的性能。
五种最优化方法
五种最优化方法 Prepared on 22 November 2020五种最优化方法1. 最优化方法概述最优化问题的分类1）无约束和有约束条件；2）确定性和随机性最优问题（变量是否确定）；3）线性优化与非线性优化（目标函数和约束条件是否线性）；4）静态规划和动态规划（解是否随时间变化）。
最优化问题的一般形式（有约束条件）：式中f(X)称为目标函数(或求它的极小，或求它的极大)，si(X)称为不等式约束，hj(X)称为等式约束。
化过程就是优选X，使目标函数达到最优值。
2.牛顿法简介1）解决的是无约束非线性规划问题；2）是求解函数极值的一种方法；3）是一种函数逼近法。
原理和步骤3. 最速下降法（梯度法）最速下降法简介1）解决的是无约束非线性规划问题；2）是求解函数极值的一种方法；3）沿函数在该点处目标函数下降最快的方向作为搜索方向；最速下降法算法原理和步骤4. 模式搜索法(步长加速法)简介1）解决的是无约束非线性规划问题；2）不需要求目标函数的导数，所以在解决不可导的函数或者求导异常麻烦的函数的优化问题时非常有效。
3）模式搜索法每一次迭代都是交替进行轴向移动和模式移动。
轴向移动的目的是探测有利的下降方向，而模式移动的目的则是沿着有利方向加速移动。
模式搜索法步骤5.评价函数法简介评价函数法是求解多目标优化问题中的一种主要方法。
在许多实际问题中，衡量一个方案的好坏标准往往不止一个，多目标最优化的数学描述如下：min (f_1(x),f_2(x),...,f_k(x)). g(x)<=0传统的多目标优化方法本质是将多目标优化中的各分目标函数，经处理或数学变换，转变成一个单目标函数，然后采用单目标优化技术求解。
常用的方法有“线性加权和法”、“极大极小法”、“理想点法”。
选取其中一种线性加权求合法介绍。
线性加权求合法6. 遗传算法智能优化方法是通过计算机学习和存贮大量的输入-输出模式映射关系，进而达到优化的一种方法，主要有人工神经网络法，遗传算法和模拟退火法等。
数学的最优化问题
数学的最优化问题数学的最优化问题是数学领域中一个重要的研究方向，它旨在寻找某个函数的最大值或最小值，同时满足一定的约束条件。
最优化问题在现实生活中有着广泛的应用，涉及到经济学、工程学、物理学等众多领域。
本文将从最优化问题的定义、数学建模、优化算法和应用实例四个方面来探讨数学的最优化问题。
一、最优化问题的定义最优化问题的目标是寻找一个函数的最大值或最小值，以使得函数值达到最好的状态。
最优化问题的数学表示可以用如下形式表示：\[\begin{align*}\text{maximize } & f(x) \\\text{subject to } & g_i(x) \leq 0, i = 1,2,\ldots,m \\& h_j(x) = 0, j = 1,2,\ldots,p\end{align*}\]其中，$f(x)$是目标函数，$g_i(x) \leq 0$是不等式约束条件，$h_j(x) = 0$是等式约束条件，$x$是自变量。
最优化问题可以是单目标或多目标的，约束条件可以是线性或非线性的。
最优化问题的求解目标是找到满足约束条件下使目标函数取得最优结果的解$x^*$。
二、数学建模数学建模是最优化问题求解的关键环节。
在数学建模中，我们需要将实际问题转化为数学模型，以便能够用数学方法进行求解。
数学建模主要包括定义目标函数和约束条件，选择自变量和确定问题的求解方法等步骤。
首先，我们需要明确最优化问题的目标。
目标函数可以是任何能够量化实际问题的指标，例如最大化利润、最小化成本等。
其次，我们需要考虑问题的约束条件。
约束条件可以包括一些限制条件，例如资源的有限性、技术限制等。
约束条件的设计对最优解的求解有着重要的影响。
然后，我们需要选择适当的自变量。
自变量是我们在问题中可以灵活操作和调整的变量，通过调整自变量的取值，我们可以探索最优化问题的解空间。
最后，我们需要确定问题的求解方法。
常见的最优化求解方法包括线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划等。
第一讲最优化问题
第一讲：最优化问题例题：用一只平底锅煎鸡蛋，每次只能放两个，煎一个需要2分钟（规定正反面各需要1分钟）。
问煎三个至少需要多少分钟？【思路导航】先将两个鸡蛋同时放入锅中一起煎，1分钟后两个都熟了一面，这时可将一个取出，另一个翻过去。
再放入第三个，又煎了1分钟，将两面都煎好的那个取出，把第三个翻过去。
再将第一个放入，再煎1分钟就全部都好了。
所以，煎三个至少需要3分钟。
【练习题：】1、用一只平底锅做煎饼，每次能同时放两块饼，如果煎一块饼需要4分钟（正反两面各需2分钟），问煎2004块饼至少需要几分钟？2、家里来了客人，妈妈要给客人沏茶，洗水壶要一分钟，烧开水要10分钟，洗茶杯要2分钟，取茶叶要1分钟，泡茶要2分钟。
为了让客人早点喝到茶，你来设计，如何安排所需时间最少？3、老师分别要和甲、乙、丙三个人谈话，和甲谈要8分钟，和乙要谈5分钟，和丙要谈6分钟。
甲、乙、丙三位同学同时到办公室，老师应该如何安排和他们谈话的次序，使他们三人所花的总时间最少？总时间是多少分钟？4、用34厘米的钢丝围成一个长方形，长和宽的长度都是整厘米数，围成的长方形的面积最大是多,j hbtyy 6少？第二讲：巧妙求和【知识讲解】若干个数排成一列，称为数列。
数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。
数列中的个数称为项数。
从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。
我们需要记住三个公式：通项公式：第N项=首项+（项数—1）×公差项数公式：项数=（末项—首项）÷公差+1求和公式：总和=（首项+末项）×项数÷2【练习题】1、有一个数列4、10、16、……52，这个数列共有多少项呢？（提示：项数公式：项数=（末项—首项）÷公差+1）2、有一个等差数列3，7，11，15，……，这个等差数列的第100项是多少？提示：第N项=首项+（项数—1）×公差3、有这样的一个数列1，2，3，4，……，99，100，请你求出这数列各项相加的和。
运筹学最优化原理的例子
运筹学最优化原理的例子
运筹学中的最优化原理有很多应用，以下是其中一些例子：
1. 背包问题：这是一个经典的连续最优化问题。
给定一组物品，每个物品都有自己的重量和价值，目标是选择一些物品放入背包中，使得背包内物品的总价值最大，同时不超过背包的重量限制。
2. 生产计划问题：在生产计划中，需要确定生产哪些产品、生产多少以及如何分配资源。
最优化原理可以用来制定最优的生产计划，使得某种目标函数（如总利润）达到最大或最小。
3. 路径规划问题：在物流和交通运输领域，最优化原理可以用来找到最优的路径规划方案，例如在给定一系列节点和边的情况下，找到一条从起点到终点的最短路径或最低成本路径。
4. 投资组合优化问题：在金融领域，投资者需要决定如何分配他们的资金以最大化收益或最小化风险。
最优化原理可以用来确定最优的投资组合，即在一组可能的投资组合中选择一个最优的组合，使得某个目标函数（如预期收益或风险）达到最优。
5. 调度问题：在生产或服务行业中，需要确定任务的顺序和时间安排以最小化成本或最大化效率。
最优化原理可以用来找到最优的调度方案，使得某个目标函数（如总完成时间或总成本）达到最小或最大。
以上例子只是运筹学中最优化原理的一些应用，实际上还有很多其他的应用领域，如医疗、农业、能源等。
生活中最优化问题案例
生活中最优化问题案例在我们的日常生活中，最优化问题无处不在。
从如何规划购物以节省开支，到安排工作任务以提高效率，再到选择出行方式以节省时间和费用，这些都是最优化问题的体现。
下面，让我们通过一些具体的案例来深入了解生活中的最优化问题。
案例一：购物省钱策略假设你要为家庭购买一周的生活用品，附近有两家超市 A 和 B。
超市 A 正在进行满 100 减 20 的活动，而超市 B 则对部分商品进行打折销售。
为了实现购物最优化，即花费最少的钱买到所需的商品，你需要对两家超市的商品价格和优惠政策进行详细比较。
首先，列出家庭一周所需的生活用品清单，包括食品、清洁用品等。
然后，分别到两家超市查看这些商品的价格。
对于超市 A，计算在满足满减条件后的实际支付金额。
对于超市 B，计算打折商品的折后价格。
在比较价格时，还需要考虑商品的质量、保质期等因素。
如果某些商品在两家超市的价格差异不大，但超市 A 的商品质量更好或保质期更长，那么即使在价格上稍微高一些，也可能是更优的选择。
此外，还需要考虑购物的便利性，比如超市的距离、交通状况等。
如果为了去一家稍微便宜但距离较远的超市而花费过多的时间和交通费用，可能并不划算。
通过综合考虑价格、质量、便利性等因素，最终做出最优化的购物决策，以达到省钱的目的。
案例二：工作任务安排假设你是一个项目负责人，手头上有多个任务需要在规定的时间内完成，并且每个任务都有不同的优先级和所需时间。
为了确保项目按时完成并提高工作效率，需要对任务进行合理的安排。
首先，对所有任务进行优先级排序。
将那些紧急且重要的任务排在前面，优先处理。
然后，根据每个任务所需的时间和团队成员的能力，合理分配任务。
在分配任务时，要考虑团队成员的专长和工作负荷。
避免将过多的任务分配给某一个成员，导致其压力过大而影响工作质量和效率。
同时，也要给一些相对复杂的任务预留足够的时间，以保证能够高质量地完成。
此外，要合理安排任务的执行顺序。
生活中最优化问题案例
生活中最优化问题案例最优化问题是在生活中非常常见的一种问题类型。
它涉及了我们如何在给定的条件下，找到最佳的解决方案，以最大化或最小化某个目标函数。
在本文中，我将介绍一些生活中的最优化问题案例，并探讨它们的解决方法和应用。
1. 旅行路径规划：在我们的日常生活中，我们经常需要规划旅行路径，以使我们能够在最短的时间内到达目的地。
这是一个典型的最优化问题。
通过考虑交通状况、路况、距离和其他因素，我们可以使用最优化算法，如迪杰斯特拉算法或A*搜索算法来找到最佳路径。
这样，我们可以避免交通拥堵和浪费时间。
2. 资源分配问题：在许多组织和企业中，资源分配是一个重要的问题。
如何有效地分配有限的资源以达到最佳效果，是一个最优化问题。
一个公司可能需要决定如何分配有限的预算、人力和设备资源，以最大化利润或满足特定的目标要求。
通过使用线性规划等最优化方法，可以找到最佳的资源分配方案。
3. 股票组合优化：对于投资者来说，构建一个良好的股票组合是非常重要的。
在股票组合优化中，我们需要考虑投资目标、风险承受能力、预期收益率和相关性等因素，以找到一个最佳的投资组合。
通过使用现代投资组合理论和数学优化方法，如马科维茨均值-方差模型，可以帮助投资者构建一个高效的股票组合，以最大化收益并控制风险。
4. 生产计划优化：在制造业中，如何优化生产计划以最大化生产效率是一个关键问题。
通过考虑生产设备的利用率、库存管理、生产工序和交货期等因素，可以使用线性规划、模拟和其他最优化技术来制定最佳的生产计划。
这将帮助制造商提高生产效率，降低成本，并实现更好的交货能力。
5. 能源系统优化：在能源领域，如何优化能源系统以实现可持续发展是一个重要的问题。
通过综合考虑能源供应、需求、成本、环境影响和可再生能源利用等因素，可以使用最优化技术来设计和优化能源系统。
使用混合整数线性规划、动态规划和优化算法，可以找到最佳的电力系统规划，以最大限度地提高能源利用效率和减少碳排放。
数学中的最优化问题求解方法
数学中的最优化问题求解方法随着科技的迅速发展，人们对于各种事物的需求也越来越高。
而大多数时候，我们是希望达到“最优化”的状态，即在一定条件下，尽可能地取得最大收益或最小成本。
因此，在现实生活中，最优化问题思维逐渐成为人们解决问题的重要方法之一。
而在数学领域，最优化问题同样具有重要作用。
本文将从最优化问题基本概念、最优化建模和求解方法三方面，介绍最优化问题的相关知识。
一、最优化问题基本概念最优化问题，即指在满足一定约束条件下，求出某些目标（如最大值或最小值）最优的解。
最优化问题的基本形式为：$\max_{x\in S} f(x)\qquad$或$\qquad\min_{x\in S} f(x)$其中，$f(x)$为目标函数，$x$为变量，$S$为变量的约束条件。
在最优化问题中，“最大值”和“最小值”藏在目标函数里。
目标函数中哪个变量每增加1，函数数值改变的最大值或最小值就被称为局部最优解或全局最优解。
因此，最优化问题的关键在于如何确定最优解，这便需要我们对其建模和求解。
二、最优化建模最优化问题的关键在于合理建立问题模型。
根据问题特性，我们可以将其分为线性规划、非线性规划、整数规划、混合整数规划、多目标规划等不同类型。
2.1 线性规划线性规划问题是指目标函数和约束条件均为线性函数的最优化问题。
线性规划模型最为简单，但覆盖了许多实际应用的情况。
其基本形式为：$\max_{x\in\Re^n}c^Tx\qquad s.t.\qquad Ax\leq b,x\geq0$其中，向量$c$, $b$和矩阵$A$均为已知的常数，$x$为待求的向量。
在式子中，第一行为目标函数，第二行代表约束条件。
由于目标函数和约束条件均为线性函数，因此这是典型的线性规划问题。
2.2 非线性规划非线性规划问题是指其中一个或多个约束条件或目标函数为非线性函数的最优化问题。
非线性规划比线性规划更为广泛，因此变量取值空间、目标函数和约束条件也更灵活多样。
最优化问题
最优化问题最优化问题(一)例1：一只平底锅上只能剪两只饼。
用它剪1只饼需要2分钟（正面、反面各1分钟）。
问剪3只饼需要几分钟？怎样剪？例2：6个人各拿一只水桶到水龙头接水。
水龙头注满6个人的水桶所需时间分别是5分钟、4分钟、3分钟、10分钟、7分钟、6分钟。
现在只有这一个水龙头可用，问怎样安排这6个人的打水次序，可使他们总的等候最短？这个最短时间是多少？例3：小红放学回家，想让爸爸、妈妈下班后就能吃上晚饭。
她准备做大米饭和炒鸡蛋。
小红家有两个炉灶。
估计一下，洗锅要用1分钟，淘米要用5分钟，做大米饭要用30分钟，打蛋要用1分钟，洗炒勺要用1分钟，烧油要1分钟，炒鸡蛋要3分钟。
你认为最合理的安排要几分钟能做好饭菜？例4：在公路上，每隔100千米有一个仓库，共有5个仓库。
1号仓库里有10吨货物，2号仓库里有20吨货物，5号仓库里有40吨货物，其余两个仓库都是空的。
现在想把所有的货物集中存放在一个仓库里，若每吨货物运输一千米要0.5元运输费，那么至少要花费多少元运费才行？例5：沿铁路有5个工厂，A，B，C，D，E（如图），各厂每天都有10吨货物要外运。
现在想建一座车站，使这5个工厂的货物运到车站的行程总和越小越好。
车站应建在何处？如果在E的右侧增加一个工厂，车站建在何处总行程最小呢？例6：在公路干线的附近，有5个工厂A，B，C，D，E（如图），各厂每天都有10吨货物要存库。
现在想在公路干线上建一座库房，使这5个工厂的货物运到库房的行程总和越小越好，库房应建在何处？例7：工地上有手推车20辆,其中10辆从A1到B1运垃圾,要60车次运完。
另外10辆从A2到B2运砖头，要40车次运完。
工地上的可行道路及路程如图（单位：米）所示。
有人说上面的安排不合理，因为跑空车的路程还可以更少些。
那么，怎样安排才算合理呢？【练习题】1、有7个满杯水、7个半杯水和7个空杯。
不许倒水，你能把这些东西平均分给3个人，使得每人有7只杯子和3杯半水吗？2、有8个人在交通事故中受伤，救援人员1人可以救护2人，而1辆救护车只可以坐4个人。
从不同角度简述最优化问题的分类
最优化问题是数学、工程、经济等领域中常见的一个重要问题。
在实际问题中，我们常常需要寻找最优解来使得某个目标函数达到最小值或最大值。
最优化问题可分为线性规划、非线性规划、整数规划、多目标规划等不同类型。
接下来从不同角度简述最优化问题的分类。
一、按照目标函数的性质分类1. 线性规划线性规划是指目标函数和约束条件都是线性的最优化问题。
典型的线性规划问题包括资源分配、生产计划等。
2. 非线性规划非线性规划是指目标函数或约束条件中至少有一项是非线性的最优化问题。
非线性规划在实际中应用广泛，包括工程优化、信号处理、经济学等领域。
3. 整数规划整数规划是指最优化问题中的决策变量是整数的问题。
整数规划常用于制造业的生产调度、运输与物流优化等。
二、按照优化变量的性质分类1. 连续优化问题连续优化问题是指最优化问题中的决策变量可以取任意实数值的问题。
常见的连续优化问题包括线性规划、非线性规划等。
2. 离散优化问题离散优化问题是指最优化问题中的决策变量只能取离散的数值。
典型的离散优化问题包括整数规划、组合优化、图论优化等。
三、按照约束条件的性质分类1. 约束优化问题约束优化问题是指最优化问题中存在一定的约束条件限制的问题。
约束条件可以是线性约束、非线性约束、等式约束、不等式约束等。
2. 无约束优化问题无约束优化问题是指最优化问题中不存在任何约束条件的问题。
无约束优化问题通常比较简单，但在实际中也有着重要的应用，包括函数拟合、参数估计等。
四、按照目标函数的性质分类1. 单目标优化问题单目标优化问题是指最优化问题中只有一个目标函数的问题。
在实际问题中，单目标优化问题是最常见的。
2. 多目标优化问题多目标优化问题是指最优化问题中存在多个目标函数，且这些目标函数可能彼此矛盾的问题。
多目标优化问题的解称为帕累托最优解。
最优化问题的分类可以从不同的角度进行划分，包括目标函数的性质、优化变量的性质、约束条件的性质、目标函数的性质等。
第四篇最优化问题讲解
第四篇：最优化问题(五)第13章最优化问题的其它主题13.1 非线性规划和库恩—塔克( Kuhn-Tucker )条件1•仅存在非负约束的情况。
问题：假设f可微Max - - f(x1)S.t. X i _0分析: 最大值的位置可能有二种情况(1)若局部最大值出现在可行集内部，如下图(a)中的A点，则极大值的一阶条件为：d /dx厂f \Xi) = 0且x「0⑵ 若局部最大值出现在纵轴上，如下图(b)中的B点，且一阶条件依然有效，则有：d二/dxi= f \Xi)= 0且为二0⑶ 若局部最大值出现在纵轴上，如下图(c)中的C点或D点，且一阶条件无效，则有：d /dx i= f \x i) 0且X| = 0总而言之，f在x1上取极大值，必须满足以下三个条件之一(1) f'(小0 且x10⑵f'(为)=0 且= 0⑶ f 3 0 且X[ = 0这三种情况综合起来等价于：f '(x1p 0 , x1- 0 且X|f'(xj=o (13.5)(这个三个条件的共同特点是：X i和f '(X i)至少一个为零，这个特点称为X i和f'(X i)互补松弛)(13.5)就是f整体极大化问题的必要条件(一阶条件)。
推广：对有n个选择变量的可微目标函数最优值问题：MaX !U f(X i，X2，lH，X n)s.t. X j _0(j =1,2,3,..., n)一阶条件为：f j 7 ,为 - 0 且X j f j=0 j 1,2,3,111, n) ( 13.7)2.不等式约束效应考察以下含有不等式约束条件的求最大值问题:Max「二 f (X1,X?,X3)1S.t.g (为兀必)汀1g2(X1,X2,X3)-D且 X i ,x>,x 3 _0引入两个虚拟变量S i 和S 2,可以将问题转化为Max - - f(x 1,x ,,x 3) S.t.g 1(X i ,x 2,X 3) S i =「1g 2(为，X 2,X 3)S 2 =「2且 X i ,X 2,X 3 —0定义:由于X j 和S i 必须非负，故这些变量的一阶条件必须修改得与（13,.7）f 「0 , X j-0 且 X j f j =0 (「1,2,3,111, n) 一致,故极值存在的一阶条件为:Z' -0 , X j - 0 且 Z' c X =0j 1,2,3) X jX jZ'兰 0 , S K 0 且 Z' cS =0 (“ 1,2) 「S°SZ'=0 (H 1,2)(13.10)if (X i , X 2,X 3)1i[r i -g (X i ,X 2,X 3)- S J2[「2 - g (X i ，X 2，-Z' ：X2.z ' :Z ' :Z ' : Z' : Z' :Z'1 2若令Z 二f (X i,X2,X3) i[r i - g (X i,X2,X3)] 2上 - g(X1,X2,X3)] 则一阶条件等价于：(^ 1,2)为什么?下面我们举例说明如何使用库恩-塔克条件求最优解例1:求如下效用最大化问题的最优解。
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（1）用一只平底锅煎饼，每次只能放两只，煎一只需要2分钟（规定正反面各需要1分钟），问煎3只至少需要多少分钟？分析：先将两只饼同时放入锅中一起煎，一分钟后两只都熟了一面，这时可将一只取出，另一只翻过去，再放入第三只，又煎了一分钟，将两面都煎好的那只取出，把第三只翻过去，再将第一只放入煎，再煎一分钟，就会全部都好了。
所以，煎3只至少需要3分钟。
（2）烤面包时，第一面要烤2分钟，第二面只要烤1分钟，即烤一片面包需要3分钟。
小丽用烤面包架子，一次只能放两片面包，她每天早上吃3片面包，需要烤多少分钟？分析：先将两片面包同时放在烤面包架子上一起烤，两分钟后两片都熟了一面，这时可将一片取出，另一片翻过去，再放入第三片，又烤了一分钟，将两面都烤好的那片取出，把第三片翻过去，再将第一片放入烤，再烤一分钟，就会全部都好了。
所以，烤3片至少需要2+1+1+1=5分钟。
（3）用一只平底锅烙大饼，锅里只能同时放两只，烙熟大饼的一面需要3分钟，现在要烙3只大饼，最少需要几分钟？分析：先将两只饼同时放入锅中一起烙，三分钟后两只都熟了一面，这时可将一只取出，另一只翻过去，再放入第三只，又烙了三分钟，将两面都烙好的那只取出，把第三只翻过去，再将第一只放入烙，再烙三分钟，就会全部都好了。
所以，烙3只至少需要3+3+3=9分钟。
（4）小华用平底锅烙饼，这只锅同时能放4只大饼，烙一个要4分钟（每面各需要2分钟）可小华烙6个饼只用了6分钟，他是怎样做的？分析：先将四只饼同时放入锅中一起烙，两分钟后四只都熟了一面，这时可将两只取出，另两只翻过去，再放入第三只，第四只，又烙了两分钟分钟，将两面都烙好的那两只取出，把第三只，第四只翻过去，再将前面的两只放入烙，再烙两分钟，就会全部都好了。
所以，小华烙6只饼只用了6分钟。
（5）妈妈让小明给客人烧水沏茶。
洗水壶需要1分钟，烧开水需要15分钟，洗茶壶需要1分钟，洗茶杯需要1分钟，拿茶叶需要2分钟，为了使客人早点喝上茶，你认为最合理的安排，多少分钟后就能沏茶了？分析：经验表明，能同时做的事，尽量同时做，这样可以节省时间，水壶不洗，不能烧开水，因此，洗水壶和烧开水不能同时进行，而洗茶壶、洗茶杯和拿茶叶和烧开水可以同时进行。
从以上分析，可以这样安排：先洗水壶用一分钟，接着烧开水15分钟，在烧开水的同时洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶，水开了就可以沏茶，这样只要16分钟。
（6）小虎早晨要完成这样几件事：烧一壶开水需要10分钟，把开水灌进热水瓶需要2分钟，取奶需要5分钟，整理书包需要4分钟，为了尽快完成这件事，怎样安排能使所用的时间最少？最少需要几分钟？分析：烧开水和把开水灌进热水瓶不能同时进行，而取奶和整理书包可以和烧开水同时进行。
从以上分析，可以这样安排：先烧开水用10分钟，同时取奶和整理书本，等水开了把水灌进热水瓶。
这样最少需要10+2=12分钟，（7）小强给客人沏茶，烧开水要12分钟，洗茶杯要2分钟，买茶叶要8分钟，放茶叶要1分钟，为了使客人能早点喝上茶，按你认为最合理的安排，多少分钟就能沏茶了？分析：洗茶杯、买茶叶和放茶叶可以和烧开水同时进行。
从以上分析，可以这样安排：先烧开水用12分钟，同时洗茶杯、买茶叶和放茶叶，等水开。
这样最少需要12分钟，（8）在早晨起床后的1小时之内，小欣在完成以下事情：叠被子3分钟，洗脸刷牙8分钟，读外语30分钟，吃早餐10分钟，收拾碗筷擦桌5分钟，收听广播30分钟，为了尽快做完这些事，应怎样安排才能使所用的时间最少？最少需要多少分钟？分析：听广播和读外语不能同时进行，而叠被子，洗脸刷牙和吃早餐可以和听广播同时进行。
从以上分析，可以这样安排：先放广播，同时叠被子，洗脸刷牙和吃早餐，然后读外语。
这样最少需要30+30=60分钟。
（9）五（1）班赵明、孙勇、李佳三位同学同时到达学校卫生室，等候校医治病，赵明打针需要5分钟，孙勇包纱布需要3分钟，李佳点眼药水只需要1分钟，卫生室只有一位校医，问校医如何安排三位同学的治病次序，才能使三位同学留在卫生室的总和时间最短？请你算出这个时间？分析：校医应该给治疗时间短的先治病，治病时间长的最后治病，才能使一位同学在卫生室的时间的总和最短。
这样校医应该先给李佳点眼药水，再给孙勇包纱布，最后给赵明打针。
三位同学留在卫生室的时间分别是：李佳1分钟，孙勇1+3=4分钟，赵明1+3+5=9分钟，他们留在卫生室的时间总和是1+4+9=14分钟。
（10）甲、乙、丙三人分别拿着2个、3个、1个热水瓶同时到达开水供应点打热水，热水龙头只有一个，怎样安排他们打水的次序，可以使他们打热水所花的总时间（包括等候时间）最少？（假如打满1瓶需要1分钟）分析：先给热水瓶数量少的先打水，热水瓶数量多的后打水，才能使一位同学在打水时的等候时间的总和最短。
这样先让丙打水，再让甲打水，最后让乙打水，这样三位同学的时间分别是：丙1分钟，甲1+2=3分钟，乙1+2+3=6分钟，他们打热水所花的总时间最少是1+3+6=10分钟。
（11）甲、乙、丙三人到商场批发部洽谈业务，甲10分钟就能洽谈完，乙16分钟能洽谈完，丙8分钟能洽谈完。
怎样安排三人谈话的先后次序，使3人所花的总时间最少？最少时间是多少？分析：先让洽谈时间少的人先谈话，才能使每一位的所花的时间的总和最少。
这样先让丙谈话，再让甲谈话，最后让乙谈话，这样他们所花的时间分别是：丙8分钟，甲8+10=18分钟，乙8+10+16=34分钟，他们所花的总时间最少是8+18+34=60分钟。
（12）甲、乙、丙、丁四人同时到1水龙头处用水，甲洗拖把需要3分钟，乙洗抹布需要2分钟，丙洗衣服需要10分钟，丁用桶注水需要1分钟，怎样安排四人用水的次序，使他们所花的总时间最少？最少时间是多少？分析：先让用水时间最少的人用水，这样所花的总时间才最少。
这样先让丁注水，再让乙洗抹布，让甲洗拖把，最后让丙洗衣服。
这样他们所花的总时间分别是：丁1分钟，乙1+2=3分钟，甲1+2+3=6分钟，丙1+2+3+10=16分钟，他们打热水所花的总时间最少是1+3+6+16=26分钟。
（13）用长18厘米的铁丝围成各种长方形，要求长和宽的长度都是整厘米数，围成的长方形的面积最大是多少？分析：根据题意：围成的长方形的一条长与一条宽的和是18÷2=9厘米。
显然，当长与宽的差越小，围成的长方形的面积越大，又已知长和宽的长度都是整厘米数，因此，当长是5厘米，宽是4厘米，围成的长方形的面积最大是5×4=20平方厘米。
18÷2=9（厘米） 9=5+45×4=20（平方厘米）答：围成的长方形的面积最大是20平方厘米。
（14）用长26厘米的铁丝围成各种长方形，要求长和宽的长度都是整厘米数，围成的长方形的面积最大是多少？分析：根据题意：围成的长方形的一条长与一条宽的和是26÷2=13厘米。
显然，当长与宽的差越小，围成的长方形的面积越大，又已知长和宽的长度都是整厘米数，因此，当长是6厘米，宽是7厘米，围成的长方形的面积最大是6×7=42平方厘米。
26÷2=13（厘米） 13=6+76×7=42（平方厘米）答：围成的长方形的面积最大是42平方厘米。
（15）一个长方形的周长是20分米，它的面积最大是多少？分析：根据题意：长方形的一条长与一条宽的和是20÷2=10分米。
显然，当长与宽的差越小，围成的长方形的面积越大，因此，当长和宽相等10÷2=5分米（正方形是特殊的长方形）时，围成的长方形的面积最大是5×5=25平方分米。
20÷2=10（分米） 10÷2=5分米5×5=25（平方分米）答：围成的长方形的面积最大是25平方分米。
（16）一个长方形的面积是36平方厘米，并且长和宽的长度都是整厘米数，这个长方形的周长最长是多少厘米？分析：根据题意：长方形的一条长与一条宽的乘积是36平方厘米。
显然，当长与宽的差越大，围成的长方形的周长越大，又已知长和宽的长度都是整厘米数，因此，当长是36厘米，宽是1厘米，长方形的周长最大是（36+1）×2=74厘米。
36=1×36（36+1）×2=74厘米答：长方形的周长最大是74厘米。
（17）用3~6这四个数字分别组成两个两位数，使这两个两位数的乘积最大。
分析：解决这个问题应考虑两点：1、尽可能把大数放在高位，2、尽可能使两个数的差最小。
应把6和5这两个数字放在十位，把4和3放在个位。
根据“两个因数的差越小，积就越大”的规律，3应放在6的后面，4应放在5的后面，因此，63×54=3402，乘积最大，两个两位数的乘积最大是63×54=3402。
（18）用1~4这四个数字分别组成两个两位数，使这两个两位数的乘积最大。
分析：解决这个问题应考虑两点：1、尽可能把大数放在高位，2、尽可能使两个数的差最小。
应把4和3这两个数字放在十位，把2和1放在个位。
根据“两个因数的差越小，积就越大”的规律，1应放在4的后面，2应放在3的后面，因此，41×32=1312，乘积最大，两个两位数的乘积最大是41×32=1312。
（19）用5~8这四个数字分别组成两个两位数，使这两个两位数的乘积最小。
分析：解决这个问题应考虑两点：1、尽可能把小数放在高位，2、尽可能使两个数的差最大。
应把5和6这两个数字放在十位，把7和8放在个位。
根据“两个因数的差越大，积就越小”的规律，8应放在6的后面，7应放在5的后面，因此，68×57=3876，乘积最小，两个两位数的乘积最小是68×57=3876。
（20）用3~8这六个数字分别组成两个三位数，使这两个三位数的乘积最大。
分析：解决这个问题应考虑两点：1、尽可能把大数放在高位，2、尽可能使两个数的差最小。
应把8和7这两个数字放在百位，把5和6放在十位，把3和4放在个位。
根据“两个因数的差越小，积就越大”的规律，3应放在5的后面，5应放在8的后面，4应放在6的后面，6应放在7的后面，因此，853×764=651692，乘积最大，两个三位数的乘积最大是853×764=651692。