2013-2014学年高中数学 第二章 2.1(一)数列的概念与简单表示法(一)基础过关训练
2.1.1 数列的概念与简单表示法(一)
②一些数列的通项公式不是唯一的； 如：数列1，-1，1，-1，…
③不是每一个数列都能写出它的通项公式。 如：1，24，8，3，19
例1、试写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别 是下列各数：
（1）2，4，6，8； 变题：4，6，8，10
an=2n
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆 规律
第四个记忆周期是 1天 第五个记忆周期是 2天 第六个记忆周期是 4 天 第七个记忆周期是 7天 第八个记忆周期是15天 这五个记忆周期属于长期记忆的范畴。 所以我们可以选择这样的时间进行记忆的巩固，可以记得更扎实。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法--场 景法
练习：试写出数列1，3，6，10，…的一个递推公式。
例5、已知a1
1, an
1
1 an1
(n
2), 写出这个
数列的前5项.
解：∵a1=1
1
1
a2
1
a1
1 1
2
1
13
a3 1 a 2 1 2 2
a4
1
1 a3
1
2 3
5 3
a5
1
1 a4
1
3 5
8 5
练习：写出下列数列{an}的前5项 （1）a1=5，an=an-1+3 (n≥2)； （2）a1=2，an=2an-1 (n≥2)；
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆 规律
记忆中
选择恰当的记忆数量
魔力之七：美国心理学家约翰·米勒曾对短时记忆的广 度进行过比较精准的测定：通常情况下一个人的记忆 广度为7±2项内容。
2.1数列的概念与简单表示法(2)
4.已知数列 满足 ， （n≥2），则 .
5.已知数列 满足 ， （n≥2），
则 .
课堂反思
3.递推公式法：
递推公式：如果已知数列 的第1项（或前几项），且任一项 与它的前一项 （或前n项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.
试试：上图中相邻两层的钢管数 与 之间关系的一个递推公式是.
4.列表法：
试试：上图中每层的钢管数 与层数n之间关系的用列表法如何表示？
递推公式与通项公式的异同；
2.会由递推公式写出数列的前几项，并掌握求简单数列的通项公式的方法.
2学习指导
阅读教材,回答下面问题：
1.通项公式法：
试试：上图中每层的钢管数 与层数n之间关系的一个通项公式是.
2.图象法：
数列的图形是，因为横坐标为数，所以这些点都在y轴的侧，而点的个数取决于数列的．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．
反思：所有数列都能有四种表示方法吗？
3自学检测
（1）已知 ， ，写出前5项，并猜想通项公式 .
二.合作交流
1已知数列 满足 ， ，那么 （）.
A. 2003×2004 B. 2004×2005
C. 2007×2006 D.
2.（2005年湖南）已知数列 满足 ，
（ ），则 （）.
A．0 B.－ C. D.
年级：高二学科：数学
安阳县实验中学“四步教学法”导学案
Anyangxian shiyan zhongxue sibujiaoxuefa daoxuean
课题：2.1数列的概念与简单表示法(2)
制单人：田志龙审核人：高二数学组
班级：________组名：________姓名：________时间：__
高中数学必修五2.1.1 数列的概念与简单表示法(一)
2.1 数列的概念与简单表示法2.1.1 数列的概念与简单表示法(一)从容说课本节课先由教师提供日常生活实例，引导学生通过对实例的分析体会数列的有关概念，再通过对数列的项数与项之间的对应关系的探究，认识数列是一种特殊的函数，最后师生共同通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式.通过本节课的学习使学生能理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式. 教学重点 数列及其有关概念，通项公式及其应用.教学难点 根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式.教具准备 课件三维目标 一、知识与技能1.理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；2.了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式. 二、过程与方法1.采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析、得出结论的方法进行启发式教学；2.发挥学生的主体作用，作好探究性学习；3.理论联系实际，激发学生的学习积极性. 三、情感态度与价值观1.通过日常生活中的大量实例，鼓励学生动手试验.理论联系实际，激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的辩证唯物主义观点；2.通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣.教学过程 导入新课师 课本图211中的正方形数分别是多少？生 1，3，6，10，….师 图212中正方形数呢？生 1，4，9，16，25，….师 像这样按一定次序排列的一列数你能否再举一些？生 -1的正整数次幂：-1，1，-1，1，…;无穷多个数排成一列数：1，1，1，1，….生 一些分数排成的一列数：32，154，356，638，9910，….推进新课［合作探究］ 折纸问题师 请同学们想一想，一张纸可以重复对折多少次？请同学们随便取一张纸试试(学生们兴趣一定很浓).生 一般折5、6次就不能折下去了，厚度太高了.师 你知道这是为什么吗？我们设纸原来的厚度为1长度单位，面积为1面积单位，随依次折的次数，它的厚度和每层纸的面积依次怎样？生 随着对折数厚度依次为:2，4，8，16，…，256，…；① 随着对折数面积依次为21,41 ,81 ,161 ,…,2561 ,…. 生 对折8次以后，纸的厚度为原来的256倍，其面积为原来的分 1[]256式，再折下去太困难了.师 说得很好，随数学水平的提高，我们的思维会更加理性化.请同学们观察上面我们列出的这一列一列的数，看它们有何共同特点？生 均是一列数.生 还有一定次序.师 它们的共同特点：都是有一定次序的一列数. ［教师精讲］1.数列的定义：按一定顺序排列着的一列数叫做数列.注意：（1）数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；（2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.2.数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项(或首项)，第2项，…，第n 项，….同学们能举例说明吗？ 生 例如，上述例子均是数列，其中①中，“2”是这个数列的第1项(或首项)，“16”是这个数列中的第4项.3.数列的分类：1)根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列.无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数列.2)根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列.递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列.常数数列：各项相等的数列.摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列. 请同学们观察：课本P 33的六组数列，哪些是递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列？ 生 这六组数列分别是(1)递增数列，(2)递增数列，(3)常数数列，(4)递减数列，(5)摆动数列，(6)1.递增数列，2.递减数列.［知识拓展］ 师 你能说出上述数列①中的256是这数列的第多少项？能否写出它的第n 项？生 256是这数列的第8项，我能写出它的第n 项，应为a n =2n .［合作探究］同学们看数列2，4，8，16，…，256，…①中项与项之间的对应关系，项 2 4 8 16 32↓ ↓ ↓ ↓ ↓序号 1 2 3 4 5你能从中得到什么启示？生 数列可以看作是一个定义域为正整数集N *(或它的有限子集{1，2，3，…，n })的函数a n =f(n )，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.反过来，对于函数y=f(x)，如果f(i)(i=1、2、3、4…)有意义，那么我们可以得到一个数列f(1),f(2),f(3),…,f(n ),…. 师 说的很好.如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式. ［例题剖析］1.根据下面数列{a n }的通项公式，写出前5项：(1)a n =1+n n ;(2)a n =(-1)n ·n . 师 由通项公式定义可知，只要将通项公式中n 依次取1，2，3，4，5，即可得到数列的前5项.生 解：(1)n =1,2,3,4,5.a 1=21;a 2=32;a 3=43;a 4=54;a 5=65. (2)n =1,2,3,4,5.a 1=-1;a 2=2;a 3=-3;a 4=4;a 5=-5.师 好！就这样解.2.根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)3，5，7，9，11，…；(2)32，154，356，638，9910，…； (3)0，1，0，1，0，1，…；(4)1，3，3，5，5，7，7，9，9，…；(5)2，-6，12，-20，30，-42，….师 这里只给出数列的前几项的值，哪位同学能写出这些数列的一个通项公式？(给学生一定的思考时间)生老师，我写好了！解：(1)a n ＝2n ＋1；(2)a n ＝)12)(12(2+-n n n ；(3)a n ＝2)1(1n -+； (4)将数列变形为1＋0，2＋1，3＋0，4＋1，5＋0，6＋1，7＋0，8＋1，…，∴a n ＝n ＋2)1(1n-+； (5)将数列变形为1×2，-2×3，3×4，-4×5，5×6，…，∴a n ＝(-1)n +1n (n ＋1).师 完全正确！这是由“数”给出数列的“式”的例子，解决的关键是要找出这列数呈现出的规律性的东西，然后再通过归纳写出这个数列的通项公式.［合作探究］师 函数与数列的比较(由学生完成此表)：函数 数列(特殊的函数) 定义域R 或R 的子集 N *或它的有限子集{1，2，…，n } 解析式y=f(x) a n =f(n ) 图象 点的集合 一些离散的点的集合师 对于函数，我们可以根据其函数解析式画出其对应图象，看来，数列也可根据其通项公式来画出其对应图象，下面同学们练习画数列:4，5，6，7，8，9，10…;② 1,21 ,31 ,41 ,…③的图象. 生 根据这数列的通项公式画出数列②、③的图象为师 数列4，5，6，7，8，9，10,…②的图象与我们学过的什么函数的图象有关？ 生 与我们学过的一次函数y=x+3的图象有关.师 数列1,21 ,31 ,41 ,…③的图象与我们学过的什么函数的图象有关？ 生 与我们学过的反比例函数x y 1=的图象有关. 师 这两数列的图象有什么特点？生 其特点为：它们都是一群孤立的点.生 它们都位于y 轴的右侧，即特点为：它们都是一群孤立的，都位于y 轴的右侧的点. 本课时的整个教学过程以学生自主探究为主，教师起引导作用，充分体现学生的主体作用，体现新课程的理念.课堂小结对于本节内容应着重掌握数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前n 项求一些简单数列的通项公式.布置作业课本第38页习题2.1 A 组第1题.板书设计数列的概念与简单表示法(一)定义1.数列 例12.项3.一般形式 例2 函数定义4.通项公式5.有穷数列6.无穷数列备课资料一、备用例题1.写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(1)1，3，5，7；(2)515;414,313;2122222----; (3)211⨯-,321⨯- ,431⨯- ,541⨯-. 分析：(1)项：1=2×1-1 3=2×2-1 5=2×3-1 7=2×4-1↓ ↓ ↓ ↓序号： 1 2 3 4所以我们得到了a n =2n -1；(2)序号： 1 2 3 4↓ ↓ ↓ ↓项分母： 2=1+1 3=2+1 4=3+1 5=4+1 ↓ ↓ ↓ ↓项分子： 22-1=(1+1)2-1 32-1=(2+1)2-1 42-1=(3+1)2-1 52-1=(4+1)2-1所以我们得到了a n =1)1(2++n n 或1)2(+•+n n n ； (3)序号: 1 2 3 4↓ ↓ ↓ ↓211⨯- 321⨯- 431⨯- 541⨯- ↓ ↓ ↓ ↓)11(11+⨯- )12(21+⨯- )13(31+⨯- )14(41+⨯- 所以我们得到了a n =-)1(1+⨯n n . 2.写出下面数列的一个通项公式，使它的前n 项分别是下列各数：(1)1,0,1,0; 〔a n =2)1(11+-+n ,n ∈N *〕 (2)-32,83 ,154- ,245,356-; 〔a n =(-1)n ·1)1(12-++n n 〕 (3)7,77,777,7 777; 〔a n =97×(10n -1)〕 (4)-1,7,-13,19,-25,31; 〔a n =(-1)n (6n -5)〕(5)23,45 ,169 ,25617. 〔a n =12212-+n n 〕 点评：上述两题都是根据数列的前几项来写出这数列的通项公式，根据数列的前几项来写出这数列的通项公式时，常可联想奇数、偶数、平方数、指数等等.遇到分数的时候，常可根据需要把分子和分母同时扩大再来看看分子和分母中数的规律性，有时可直截了当地研究分子和分母之间的关系.3.已知数列{a n }的通项公式是a n =2n 2-n ，那么( )A .30是数列{a n }的一项B .44是数列{a n }的一项C.66是数列{a n }的一项 D .90是数列{a n }的一项分析：注意到30，44，66，90均比较小，可以写出这个数列的前几项，如果这前几项中出现了这四个数中的某一个，则问题就可以解决了.若出现的数比较大，还可以用解方程求正整数解的方法加以解决.答案：C点评：看一个数A 是不是数列{a n }中的某一项，实质上就是看能不能找出一个非零自然数n ，使得a n =A .4.(链接探究题)假定有一张极薄的纸，厚度为2001cm 就是每200张叠起来刚好为1 cm ，现在把这张纸裁一为二，叠起来，它的厚度记为a 1；再裁一为二，叠起来，它的厚度记为a 2，又裁一为二，叠起来，它的厚度记为a 3，这样一裁一叠，每次叠起来所得的厚度依次排列，就得到一个数列：a 1,a 2,a 3,…,a k ,….你能求出这个数列的通项公式吗？你知道a 50，即裁了50次、叠了50次后的厚度是多少厘米吗？是否有10层楼高呢？答案：这个数列的通项公式为a n =2002n， 裁了50次、叠了50次后的厚度是5 629 499 534 213.12 cm ＞56 294 995 km ，大于地球到月球距离的146倍. 二、阅读材料无法实现的奖赏相传古印度舍罕王朝有一位宰相叫达依尔，据说是他发明了国际象棋，古印度的舍罕王学会了下国际象棋以后，非常激动，他要重赏他的宰相达依尔. 达依尔对他的国王说：陛下，我不要您的重赏，只要您按我下面的办法赏我一些麦粒就可以了：在我的棋盘上(它有64个格)第一格赏1粒，第二格赏2粒，第三格赏4粒，第四格赏8粒……依此类推每后一格的麦粒数都是前面一格的两倍.国王答应了达依尔的要求，但是几天以后他就发现事实上这是一个无法兑现的奖赏.请问国王为什么不能兑现他的奖赏呢？ 2.1.2 数列的概念与简单表示法(二)从容说课这节课通过对数列通项公式的正确理解，让学生进一步了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项；通过经历数列知识的感受及理解运用的过程，作好探究性教学.发挥学生的主体作用，提高学生的分析问题以及解决问题的能力.教学重点 根据数列的递推公式写出数列的前几项.教学难点 理解递推公式与通项公式的关系.教具准备 多媒体三维目标一、知识与技能1.了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；2.会根据数列的递推公式写出数列的前几项.二、过程与方法1.经历数列知识的感受及理解运用的过程;2.发挥学生的主体作用，作好探究性实验;3.理论联系实际，激发学生的学习积极性.三、情感态度与价值观通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣.教学过程导入新课师 同学们，昨天我们学习了数列的定义，数列的通项公式的意义等内容，哪位同学能谈一谈什么叫数列的通项公式？生 如果数列{a n }的第n 项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.师 你能举例说明吗？生 如数列0，1，2，3，…的通项公式为a n =n -1(n ∈N *);1,1,1的通项公式为a n =1(n ∈N *,1≤n ≤3); 1,21 ,31 ,41 ,…的通项公式为a n =n1 (n ∈N *). ［合作探究］数列的表示方法 师 通项公式是表示数列的很好的方法，同学们想一想还有哪些方法可以表示数列？ 生 图象法，我们可仿照函数图象的画法画数列的图形.具体方法是以项数n 为横坐标，相应的项a n 为纵坐标，即以(n ,a n )为坐标在平面直角坐标系中作出点(以前面提到的数列1, 21,31,41,…为例，作出一个数列的图象)，所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在y 轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数.从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势.师 说得很好，还有其他的方法吗？生 ……师 下面我们来介绍数列的另一种表示方法：递推公式法 知识都来源于实践，同时还要应用于生活，用其来解决一些实际问题.下面同学们来看右下图：钢管堆放示意图(投影片).观察钢管堆放示意图，寻其规律，看看能否建立它的一些数学模型.生 模型一：自上而下第1层钢管数为4,即14＝1+3;第2层钢管数为5,即25＝2+3;第3层钢管数为6,即36＝3+3;第4层钢管数为7,即47＝4+3;第5层钢管数为8,即58＝5+3;第6层钢管数为9,即69＝6+3;第7层钢管数为10,即710＝7+3.若用a n 表示钢管数，n 表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且a n =n +3(1≤n ≤7). 师 同学们运用每一层的钢管数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，这完全正确，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数.这会给我们的统计与计算带来很多方便.让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？(启发学生寻找规律)生 模型二：上下层之间的关系自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1,即a 1=4；a 2=5=4+1=a 1+1；a 3=6=5+1=a 2+1.依此类推：a n =a n -1+1(2≤n ≤7).师对于上述所求关系，同学们有什么样的理解?生 若知其第1项，就可以求出第二项，以此类推，即可求出其他项.师 看来，这一关系也较为重要，我们把数列中具有这种递推关系的式子叫做递推公式. 推进新课1.递推公式定义：如果已知数列{a n }的第1项(或前几项)，且任一项a n 与它的前一项a n -1(或前n 项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.注意：递推公式也是给出数列的一种方法.如下列数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89.递推公式为：a 1=3,a 2=5,a n =a n -1+a n -2(3≤n ≤8).2.数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，函数的表示法有：列表法、图象法、解析式法.相对于数列来说也有相应的这几种表示方法：即列表法、图象法、解析式法. ［例题剖析］【例1】 设数列{a n }满足1,11111＞n a a a n n ⎪⎩⎪⎨⎧+==-.写出这个数列的前五项. 师 分析：题中已给出{a n }的第1项即a 1=1，题目要求写出这个数列的前五项，因而只要再求出二到五项即可.这个递推公式：a n =1+11-n a 我们将如何应用呢? 生 这要将n 的值2和a 1=1代入这个递推公式计算就可求出第二项，然后依次这样进行就可以了.师 请大家计算一下!生 解：据题意可知：a 1=1,a 2=1+11a =2,a 3=1+21a =32,a 4=1+31a =35,a 5=58师 掌握递推公式很关键的一点就是其中的递推关系，同学们要注意探究和发现递推公式中的前项与后项，或前后几项之间的关系.【例2】 已知a 1=2，a n +1=2a n ，写出前5项，并猜想a n .师 由例1的经验我们先求前5项.生 前5项分别为2，4，8，16，32.师 对，下面来猜想第n 项.生 由a 1=2，a 2=2×2=22，a 3=2×22=23观察可得，我猜想a n =2n .师 很好!生 老师，本题若改为求a n 是否还可这样去解呢?师 不能.必须有求解的过程.生 老师，我由a n +1=2a n 变形可得a n =2a n -1，即21=-n n a a ，依次向下写，一直到第一项，然后将它们乘起来，就有⨯⨯⨯-----32211n n n n n n a a a a a a …×1122-=n aa ，所以a n =a 1·2n -1=2n .师 太妙了，真是求解的好方法.你所用的这种方法通常叫迭乘法，这种方法在已知递推公式求数列通项的问题中是比较常用的方法，对应的还有迭加法. ［知识拓展］已知a 1=2，a n +1=a n -4,求a n .师 此题与前例2比较，递推式中的运算改为了减法，同学们想一想如何去求解呢? 生1 写出：a 1=2，a 2=-2，a 3=-6，a 4=-10，…观察可得：a n =2+(n -1)(n -4)=2-4(n -1).生2 他这种解法不行，因为不是猜出a n ，而是要求出a n .我这样解：由a n +1-a n =-4依次向下写，一直到第一项，然后将它们加起来,a n -a n -1=-4a n -1-a n -2=-4a n -2-a n -3=-4 …… )1(44a )112--=--=-+n a a a n ∴a n =2-4(n -1).师 好极了，真是触类旁通啊，这种方法也请同学们课后多体会.［教师精讲］(1)数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的.例如，由数列{a n }中的递推公式a n +1=2a n +1无法写出数列{a n }中的任何一项，若又知a 1=1，则可以依次地写出a 2=3,a 3=7,a 4=15,….(2)递推公式是给出数列的一种方法，由递推公式可能求出数列的通项公式，也可能求不出通项公式.［学生活动］根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式.(投影片)(1)a 1＝0，a n +1＝a n ＋(2n -1)(n ∈N )；(2)a 1＝1，a n +1＝2+n n a a (n ∈N )； (3)a 1＝3，a n +1＝3a n -2(n ∈N ).(让学生思考一定时间后，请三位学生分别作答)解：(1)a 1＝0，a 2＝1，a 3＝4，a 4＝9，a 5＝16，∴a n ＝(n -1)2.(2)a 1＝1，a 2＝32，a 3＝21=42，a 4＝52，a 5＝31 =62，∴a n ＝12+n . (3)a 1＝3＝1+2×30，a 2＝7＝1+2×31，a 3＝19＝1+2×32，a 4＝55＝1+2×33，a 5＝163＝1+2×34，∴a n ＝1＋2·3 n -1.注：不要求学生进行证明归纳出通项公式.［合作探究］一只猴子爬一个8级的梯子，每次可爬一级或上跃二级，最多能上跃起三级，从地面上到最上一级，你知道这只猴子一共可以有多少种不同的爬跃方式吗？析：这题是一道应用题，这里难在爬梯子有多种形式，到底是爬一级还是上跃二级等情况要分类考虑周到.爬一级梯子的方法只有一种.爬一个二级梯子有两种,即一级一级爬是一种，还有一次爬二级，所以共有两种.若设爬一个n级梯子的不同爬法有a n种,则a n=a n-1+a n-2+a n-3(n≥4),则得到a1=1,a2=2,a3=4及a n=a n-1+a n-2+a n-3(n≥4)，就可以求得a8=81.课堂小结师这节课我们主要学习了数列的另一种给出方法，即递推公式及其用法，要注意理解它与通项公式的区别，谁能说说？生通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系.生对于通项公式，只要将公式中的n依次取1，2，3…,即可得到相应的项.而递推公式则要已知首项(或前n项)，才可求得其他的项.(让学生自己来总结，将所学的知识，结合获取知识的过程与方法，进行回顾与反思，从而达到三维目标的整合.培养学生的概括能力和语言表达能力)布置作业课本第38页习题2.1A组第4、6题.预习内容：课本P41～P 44.数列的概念与简单表示法(二)一、定义二、例题讲解小结：7.递推公式：例1通项公式与例2 递推公式区别。
高中数学第2章数列2.1数列的概念与简单表示法(第1课时)数列的概念及简单表示法课件新人教A版必修5
1．并非所有的数列都能写出它的通项公式．例如，π 的不同近 似值，依据精确的程度可形成一个数列 3，3.1，3.14，3.141，…，它 没有通项公式．根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察 分析，抓住其几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项 的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征．并 对此进行联想、转化、归纳．
有些项小于它的前一项的数列
3.数列的通项公式
如果数列{an}的第 n 项与_序_号__n__之间的关系可以用一个式子来
表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
4．数列与函数的关系 从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表：
定义域 _正__整__数__集__N_*__(或它的有限子集{1，2，3，…，n})
2．(变条件，变结论)若将例题中的“an＝3n2－28n”变为“an＝ n2＋2n－5”，试判断数列{an}的单调性．
[解] ∵an＝n2＋2n－5， ∴an＋1－an＝(n＋1)2＋2(n＋1)－5－(n2＋2n－5) ＝n2＋2n＋1＋2n＋2－5－n2－2n＋5＝2n＋3. ∵n∈N*，∴2n＋3>0，∴an＋1>an. ∴数列{an}是递增数列．
解析式 数列的通项公式
值域 自变量_从__小__到_大__依__次__取__值__时对应的一列函数值构成 表示方法 (1)通项公式(解析法)；(2)_列_表__法；(3)_图_象__法
思考：数列的通项公式 an＝f(n)与函数解析式 y＝f(x)有什么异 同？
[提示] 如图，数列可以看成以正整数集 N*(或它 的有限子集{1，2，…，n})为定义域的函数，an＝f(n) 当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的 一列函数值．不同之处是定义域，数列中的 n 必须 是从 1 开始且连续的正整数，函数的定义域可以是 任意非空数集．
高中数学 第二章 数列 2.1 数列的概念与简单表示法 求数列通项公式的十种方法素材 新人教A版必修
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2.1数列的概念与简单表示法求数列通项公式的方法总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐差法）、迭代法、对数变换法、倒数变换法、换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、数学归纳法、不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式)、特征根法二。
四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。
等差数列、等比数列的求通项公式的方法是:累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。
三．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形,代换转化为等差数列或等比数列。
四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。
五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
一、累加法1．适用于：1()n n a a f n +=+ --———————-这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。
2．若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则 21321(1)(2)()n n a a f a a f a a f n +-=-=-=两边分别相加得 111()nn k a a f n +=-=∑二、累乘法1.适用于： 1()n n a f n a += -—-———-——-这是广义的等比数列累乘法是最基本的二个方法之二。
高中数学第二章数列2.1数列的概念与简单表示法(1)课件新人教A版必修5
1 ������
探究一
探究二
探究三
探究四
典型例题 2
写出下列数列的一个通项公式: (1) ,2, ,8, ,…; (2)1,-3,5,- 7,9,…; (3)9,99,999,9 999,… ;
22 -1 32 -2 42 -3 52 -4 (4) , , , ,…; 1 3 5 7 1 1 1 1 (5), ,, ,…. 1×2 2×3 3×4 4×5
探究一
1, ,
1 1 1 , ,…则表示无穷数列. 2 22 23
1
2
3
3.数列的通项公式 如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公
式叫做这个数列的通项公式.
练一练2
已知数列{an}的通项公式为an=n(n-1),则a3= ,30是该数列的第
项.
解析:∵an=n(n-1),∴a3=3×(3-1)=6. 令an=n(n-1)=30,解得n=6或n=-5(舍去).
名师点拨
数列的特征:(1)每一项都是数;(2)数列中的数有顺序,同一组数可组成多个不同 的数列.
1
2
3
2.数列的分类 (1)按数列的项数是否有限,分为有穷数列和无穷数列. 项数有限的数列叫做有穷数列;项数无限的数列叫做无穷数列.
(2)按项的变化趋势分类
类别 递增数列 递减数列 常数列 摆动数列
含义 从第 2 项起 ,每一项都大于它的前一项的数 列 从第 2 项起 ,每一项都小于它的前一项的数 列 各项相等的数列 从第 2 项起 ,有些项大于它的前一项 ,有些项 小于它的前一项的数列
探究一
探究二
探究三
探究四
(3)0, , ,…,
1 2 2 3
1_数列的概念与简单表示法(一)
数列的概念与简单表示法(一)
认识课标（2分钟）
• 1.了解数列的概念、表示、分类； • 2.理解数列的通项公式及其简单应用； • 3.能根据数列的前几项写出一个通项公式。
• 一．学习内容（6分钟）
• 阅读教材P28-29（含例1），梳理教材内容； 然后阅读并填写《学与导》P8知识导读； 1．什么叫数列？以及数列的项和首项的含义？ 2．数列的一般形式是怎样的？ 3．数列的分类 (1)根据数列的项数可以将数列分为哪两类数列？ (2)按照数列的每一项随序号变化的情况可以怎样分类？ 4．什么叫数列的通项公式？
2 3 4 • 4.写出数列 1, , , ,... 3 5 7 断它的增减性。
六．小结和作业（2分钟） 本节课你有哪些收获？ • • • • • • • 1.作业本上的作业： P31练习2 2.《学与导》上的作业： 必做题： 课中例2（1）；课后1、2； 选做题： 课中例2（2）；课后3.
• 二．导读单
• • • • • •
• 三．生成问题（6分钟）
• 每个同学把生成的问题写在《学与导》P8， 小组负责人组织交流、讨论问题；最后各小组 负责人组织填写问生成反馈单。
• 四．师生互动解决问题（6分钟）
五．目标达成检测（15分钟）
• • • • • 1.完成教材P31练习4和P33习题A组3； 2.完成《学与导》P8导读题2、5； 3.已知数列 {an }的通项公式为 an 5n 3 （1）写出数列的第4项和第6项； （2）18是否是该数列的一项？如果是，是哪 一项？27是否是该数列的一项呢？ 的通项公式，并判
201X年高中数学第二章数列2.1数列的概念与简单表示法(第2课时)数列的递推公式与性质新人教A版必
an－an－1＝ln n－ln(n－1)(n≥2)， 以上各式相加得 an＝2＋ln 2＋(ln 3－ln 2)＋…＋[ln n－ln(n－1)]． 所以 an＝2＋ln n(n≥2)． 因为 a1＝2 也适合上式， 所以 an＝2＋ln n. 【答案】 A
若将本例中“a1＝2，an＋1＝an＋ln1＋n1”改为“a1＝1，an ＝n(an＋1－an)”，如何求 an.
由递推公式写出数列的项的方法 (1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各 部分的关系，依次代入计算即可． (2)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示 前面的项的形式． (3)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示 后面的项的形式． [注意] 由递推公式写出数列的项时，易忽视数列的周期的 判断，导致陷入思维误区．
2．数列与函数的关系 数列可以看成以__正__整__数__集___N_*____ (或它的有限子集{1，2，…， n})为定义域的函数 an＝f(n)当自变量按照_从__小__到__大_____的顺 序依次取值时所对应的一列__函__数__值______．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)递推公式也是表示数列的一种方法．( ) (2)所有数列都有递推公式．( ) (3)仅由数列{an}的关系式 an＝an－1＋2(n≥2，n∈N*)就能确定 这个数列．( ) (4)有些数列可能不存在最大项．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√
解：法一(累乘法)：因为 an＝n(an＋1－an)， 即aan＋n 1＝n＋n 1， 所以aa21＝21，aa32＝32，aa43＝43，…，aan－n 1＝n－n 1(n≥2)． 以上各式两边分别相乘，得aan1＝21×32×43×…×n－n 1＝n. 所以 an＝n(n≥2)． 又因为 a1＝1 也适合上式，所以 an＝n.
高二数学第二章2.1数列的概念与简单表示法课件人教版A必修5
(3)an (1) n
n1
1,4,9,16,25
探究· 拓展
已知无穷数列7，4，3，
n6 …， n
，…
8 (1) 5
(2)100
（1）求这个数列的第10项；
53 （2） 是这个数列的第几项？ 50
（3）这个数列有多少个整数项？
1 （4）有没有等于序号的 3
(3)4
(4)无
的项？如果有，求 出这些项；如果没有，试说明理由。
递推公式也是数列的一种表示方法。
例1 ：图2.1-5中的三角形称为希尔宾斯基 （Sierpinski）三角形。在下图4个三角形中， 着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项， 请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐 标系中画出它的图象。
·
an 3
n 1
21 18 15 12 9 6 3 O
an n 1 n
2
（五）数列的递推公式：
如果一个数列{an }的首项a1 1，从第2项起每一项等
那么 a 2 2a1 1， a 3 2a 2 1，
于它的前一项的2倍再加上1，即an 2an 1 （ 1 n 1 ）
像这样给出数列的方法叫做递推法， 其中 an 2an 1 （ 1 n 1 ） 称为递推公式。
摆动数列
常数列
（三）数列与函数的关系：
对于数列中的每个序号n,都有唯一的一个 数（项）an与之对应. 项数n 1 2 3 4 ……64 （自变量） 2 2 23
…… 263
项 an 1
2
（函数值）
可以认为：
an f (n)
数列是一种特殊的函数
5 4 3 2
做出常数数列： 4,4,4,4,图象
2.1 数列概念与简单表示法(一)(A3)
通项公式
－1,1，－1,1，…
an＝
1,2,3,4，…
an＝
1,3,5,7，…
an＝
2,4,6,8，…
16，…
an＝
1，，，，…
an＝
例1根据数列的通项公式，分别写出数列的前5项与第2 012项．
(1)an＝cos；(2)bn＝＋＋＋…＋.
小结由数列的通项公式可以求出数列的指定项，要注意n＝1,2,3，….如果数列的通项公式较为复杂，应考虑运算化简后再求值．
和函数不一定有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式．一个数列的通项公式不唯一，可以有不同的表现形式，an＝(－1)n－1可以写成an＝(－1)n＋1，还可以写成an＝
探究根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察数列的特征，并进行联想、转化、归纳，同时要熟悉一些常见数列的通项公式．下表中的一些基本数列，你能准确快速地写出它们的通项公式吗？
(1)数列：1,3,5,7,9，…
①用公式法表示：an＝；
②用列表法表示：
n
1
2
3
4
5
…
an
…
③用图象法表示为(在下面坐标系中绘出)：
(2)数列：1，，，，，…
①用公式法表示：an＝.
②用列表法表示：
n
1
2
3
4
5
…
an
1
…
③用图象法表示为(在下面坐标系中绘出)：
【数列的通项公式】
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的公式．
训练1根据下面数列的通项公式，写出它的前4项．
(1)an＝2n＋1；(2)bn＝.
例2根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：
高中二年级数学 第二章 数 列§2.1 数列的概念与简单表示法(一)
第二章 数 列§2.1 数列的概念与简单表示法(一) 课时目标1．理解数列及其有关概念；2．理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；3．对于比较简单的数列，会根据其前n 项写出它的通项公式．1．按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项，…，排在第n 位的数称为这个数列的第n 项．2．数列的一般形式可以写成a 1，a 2，…，a n ，…，简记为{a n }．3．项数有限的数列称有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．4．如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．一、选择题1．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为( )A ．a n ＝nB ．a n ＝n ＋1C ．a n ＝n ＋2D ．a n ＝2n答案 B2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋(－1)n ＋12，则该数列的前4项依次为( ) A ．1,0,1,0 B ．0,1,0,1C.12，0，12，0 D ．2,0,2,0 答案 A3．若数列的前4项为1,0,1,0，则这个数列的通项公式不可能是( )A ．a n ＝12[1＋(－1)n －1] B ．a n ＝12[1－cos(n ·180°)] C ．a n ＝sin 2(n ·90°)D ．a n ＝(n －1)(n －2)＋12[1＋(－1)n －1] 答案 D解析 令n ＝1,2,3,4代入验证即可．4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－n －50，则－8是该数列的( )A ．第5项B ．第6项C ．第7项D ．非任何一项答案 C解析 n 2－n －50＝－8，得n ＝7或n ＝－6(舍去)．5．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是( )A ．a n ＝n 2－n ＋1B ．a n ＝n (n －1)2C ．a n ＝n (n ＋1)2D ．a n ＝n 2＋1 答案 C解析 令n ＝1,2,3,4，代入A 、B 、C 、D 检验即可．排除A 、B 、D ，从而选C.6．设a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n (n ∈N *)，那么a n ＋1－a n 等于( ) A.12n ＋1 B.12n ＋2C.12n ＋1＋12n ＋2D.12n ＋1－12n ＋2答案 D解析 ∵a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ∴a n ＋1＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2， ∴a n ＋1－a n ＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2. 二、填空题7．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1(n 为正奇数)4n －1(n 为正偶数) .则它的前4项依次为____________．答案 4,7,10,158．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n (n ＋2)(n ∈N *)，那么1120是这个数列的第______项． 答案 10解析 ∵1n (n ＋2)＝1120， ∴n (n ＋2)＝10×12，∴n ＝10.9．用火柴棒按下图的方法搭三角形： 按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数a n 与所搭三角形的个数n 之间的关系式可以是______________．答案 a n ＝2n ＋1解析 a 1＝3，a 2＝3＋2＝5，a 3＝3＋2＋2＝7，a 4＝3＋2＋2＋2＝9，…，∴a n ＝2n ＋1.10．传说古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras ，约公元前570年—公元前500年)学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．比如，他们将石子摆成如图所示的三角形状，就将其所对应石子个数称为三角形数，则第10个三角形数是______．答案 55解析 三角形数依次为：1,3,6,10,15，…，第10个三角形数为：1＋2＋3＋4＋…＋10＝55.三、解答题11．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)－1,7，－13,19，…(2)0.8,0.88,0.888，…(3)12，14，－58，1316，－2932，6164，…(4)32，1，710，917，… (5)0,1,0,1，…解 (1)符号问题可通过(－1)n 或(－1)n ＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n (6n －5)(n ∈N *)．(2)数列变形为89(1－0.1)，89(1－0.01)， 89(1－0.001)，…，∴a n ＝89⎝⎛⎭⎫1－110n (n ∈N *)． (3)各项的分母分别为21,22,23,24，…易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－2－32，因此原数列可化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…， ∴a n ＝(－1)n ·2n －32n (n ∈N *)． (4)将数列统一为32，55，710，917，…对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为b n ＝2n ＋1，对于分母2,5,10,17，…联想到数列1,4,9,16…即数列{n 2}，可得分母的通项公式为c n ＝n 2＋1，∴可得它的一个通项公式为a n ＝2n ＋1n 2＋1(n ∈N *)． (5)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0 (n 为奇数)1 (n 为偶数)或a n ＝1＋(－1)n 2(n ∈N *) 或a n ＝1＋cos n π2(n ∈N *)． 12．已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9n 2－9n ＋29n 2－1； (1)求这个数列的第10项；(2)98101是不是该数列中的项，为什么？ (3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；(4)在区间⎝⎛⎭⎫13，23内有、无数列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由．(1)解 设f (n )＝9n 2－9n ＋29n 2－1＝(3n －1)(3n －2)(3n －1)(3n ＋1)＝3n －23n ＋1. 令n ＝10，得第10项a 10＝f (10)＝2831. (2)解 令3n －23n ＋1＝98101，得9n ＝300. 此方程无正整数解，所以98101不是该数列中的项． (3)证明 ∵a n ＝3n －23n ＋1＝3n ＋1－33n ＋1＝1－33n ＋1， 又n ∈N *，∴0<33n ＋1<1，∴0<a n <1. ∴数列中的各项都在区间(0,1)内．(4)解 令13<a n ＝3n －23n ＋1<23，则⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1<9n －69n －6<6n ＋2，即⎩⎨⎧ n >76n <83.∴76<n <83. 又∵n ∈N *，∴当且仅当n ＝2时，上式成立，故区间⎝⎛⎭⎫13，23上有数列中的项，且只有一项为a 2＝47. 能力提升13．数列a ，b ，a ，b ，…的一个通项公式是______________________．答案 a n ＝a ＋b 2＋(－1)n ＋1⎝⎛⎭⎫a －b 2解析 a ＝a ＋b 2＋a －b 2，b ＝a ＋b 2－a －b 2， 故a n ＝a ＋b 2＋(－1)n ＋1⎝⎛⎭⎫a －b 2.14．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有多少个点．解 图(1)只有1个点，无分支；图(2)除中间1个点外，有两个分支，每个分支有1个点；图(3)除中间1个点外，有三个分支，每个分支有2个点；图(4)除中间1个点外，有四个分支，每个分支有3个点；…；猜测第n 个图中除中间一个点外，有n 个分支，每个分支有(n －1)个点，故第n 个图中点的个数为1＋n (n －1)＝n 2－n ＋1.1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质：(1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的．(2)可重复性：数列中的数可以重复．(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序也有关．2．并非所有的数列都能写出它的通项公式．例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3,3.1,3.14,3.141，…，它没有通项公式．3．如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式．例如：数列－1,1，－1,1，－1,1，…的通项公式可写成a n ＝(－1)n ，也可以写成a n ＝(－1)n ＋2，还可以写成a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1 (n ＝2k －1)，1 (n ＝2k )，其中k ∈N *.。
数列的概念及简单表示法-高中数学知识点讲解
数列的概念及简单表示法
1．数列的概念及简单表示法
【知识点的认识】
1．数列及其有关概念，（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数称为这个数
列的项，排在第一位的数称为这个数列的第 1 项，又称为首项．
2．数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，a n，..简记作{a n}，此处的n 是序号．
3．数列的分类：按项的个数分为两类，有穷数列与无穷数列；
按项的变化趋势分类，可分为递增数列、递减数列、常数列、摆动数列；
4．数列的通项公式：如果数列{a n}的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，则称这个公式叫做这个
数列的
通项公式．
几个认识：
（1）由数列的通项公式可以求同数列的项，这与已知函数的解析式，求某一自变量的函数值是一致的．
（2）有些数列没有通项公式，如2的近似值，精确到 1，0.1，0.01，0.001，…时，所构成的数列，1，1.4，1.41，1.414，…，此数列就没有通项公式．
5．数列的递推公式：如果已知数列{a n}的第一项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前
一项（前几项）（n≥2，n∈N*）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
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§2.1.1数列的概念与简单表示法(一)
§2.1.1数列的概念与简单表示法(一)
辨析数列的概念: (1) “1, 2, 3, 4, 5”与“5, 4, 3, 2, 1”是同 一 个数列吗？与“1, 3, 2, 4, 5”呢？
——数列的有序性 (2) 数列中的数可以重复吗？ (3) 数列与集合有什么区别？ 集合讲究：无序性、互异性、确定性， 数列讲究：有序性、可重复性、确定性.
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
15
§2.1.1数列的概念与简单表示法(一)
如何用数学式子表示递增数列、递减数列 和常数列？
递增数列： an > an - 1(n = 2, 3, 4, L ) 递减数列： an < an - 1(n = 2, 3, 4, L ) 常数列： an = c (n = 1, 2, 3, L )
22 1 32 1 42 1 52 1 （2） , , , ; 2 3 4 5 解：此数列的前四项的分母都是序号加1，分 子都是分母的平方减去1，所以通项公式是：
an
n 1
1 nn 2 n 1 n 1
2
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 20
每个格子里的麦粒数都是 前 一个格子里麦粒数的 2倍 且共有 64 格子
2 1
0
2 2 18,446,744,073,709,551,615
2
1
2
3
2 63 ?
2013-8-14
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
3
§2.1.1数列的概念与简单表示法(一)
一斤小麦约1万粒。
项
2
1
高中数学第二章数列数列的概念与简单表示法时数列的概念与简单表示新人教A必修讲课文档
个通项公式为 an＝(－1)n＋13n4－1. 第二十五页，共39页。
(3)注意到奇数项为 1,2,3,4,5，…，偶数项为 2,4,8,16，….因而得这个数列的
一个通项公式为 an＝n2n2＋2，1，n为n偶为数奇.数，
(4)原数列的各项可变为19×9，19×99，19×999，19×9 999，…，易知数列 9,99,999,9 999，…的一个通项公式为 10n－1. 所以这个数列的一个通项公式为 an＝19(10n－1)．
第二十六页，共39页。
探究三 数列通项公式的应用 [典例 3] 已知数列 2， 5，2 2， 11，…. (1)写出数列的一个通项公式，并求出它的第 20 项； (2)问 4 2是否是该数列的项？10 呢？
第二十七页，共39页。
[解析] (1)原数列可写为 2， 5， 8， 11，…，不难发现，“ ” 下 面 的 数 值 后 一 项 比 前 一 项 大 3 ， 故 通 项 公 式 可 写 为 an ＝
第九页，共39页。
解析：n＝1 时，a1＝12[1＋(－1)1＋1]＝1， n＝2 时，a2＝12[1＋(－1)2＋1]＝0， n＝3 时，a3＝12[1＋(－1)3＋1]＝1， n＝4 时，a4＝12[1＋(－1)4＋1]＝0. 答案：A
第十页，共39页。
3．下列说法正确的是( ) A．数列 1,2,3,5,7 可表示为{1,2,3,5,7} B．数列 1,0，－1，－2 与数列－2，－1,0,1 是相同的数列 C．数列n＋n 1的第 k 项是 1＋1k D．数列 0,2,4,6,8，…可记为{2n}
第十七页，共39页。
1．下列说法哪些是正确的？哪些是错误的？并说明理由． (1){0,1,2,3,4}是有穷数列； (2)所有自然数能构成数列； (3)－3，－1,1，x,5,7，y,11 是一个项数为 8 的数列； (4)数列 1,3,5,7，…，2n＋1，…的通项公式是 an＝2n＋1.
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第二章 数 列
§2.1 数列的概念与简单表示法(一)
一、基础过关
1．数列23，45，67，8
9，…的第10项是
( )
A.16
17
B.18
19
C.20
21 D.2223 2．数列{n 2
＋n }中的项不能是
( )
A ．380
B ．342
C ．321
D ．306 3．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是
( )
A ．a n ＝n 2
－n ＋1 B ．a n ＝n n －12
C ．a n ＝
n n ＋12
D ．a n ＝n 2
＋1
4．已知数列12，23，34，4
5，…，那么0.94,0.96,0.98,0.99中属于该数列中某一项值的应当
有( ) A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
5．在数列2，2，x,22，10，23，…中，x ＝______. 6．用火柴棒按下图的方法搭三角形：
按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数a n 与所搭三角形的个数n 之间的关系式可以是 ____________．
7．写出下列数列的一个通项公式：(可以不写过程) (1)3,5,9,17,33，…； (2)23，415，635，8
63
，…； (3)1,0，－13，0，15，0，－1
7，0，….
8．已知数列{n (n ＋2)}：
(1)写出这个数列的第8项和第20项；
(2)323是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？
二、能力提升
9．数列0.3,0.33,0.333,0.333 3，…的一个通项公式a n 等于
( ) A.19
(10n
－1) B.13(10n
－1) C.13(1－1
10n )
D.
310
(10n
－1) 10．设a n ＝
1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋ (12)
(n ∈N *
)，那么a n ＋1－a n 等于
( )
A.12n ＋1
B.1
2n ＋2
C.12n ＋1＋12n ＋2
D.
12n ＋1－12n ＋2
11．由花盆摆成以下图案，根据摆放规律，可得第5个图形中的花盆数为________．
12．在数列{a n }中，a 1＝2，a 17＝66，通项公式a n 是n 的一次函数．
(1)求{a n }的通项公式； (2)88是否是数列{a n }中的项？ 三、探究与拓展
13．已知数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
9n 2
－9n ＋29n 2
－1： (1)求这个数列的第10项；
(2)98
101是不是该数列中的项，为什么？ (3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；
(4)在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫13，23内有无数列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由．
答案
1．C 2.C 3.C 4.C 5. 6 6．a n ＝2n ＋1 7．解 (1)a n ＝2n
＋1. (2)a n ＝
2n
2n －12n ＋1.
(3)a n ＝sin
n π2
n
.
8．解 (1)a n ＝n (n ＋2)＝n 2
＋2n ， ∴a 8＝80，a 20＝440.
(2)由a n ＝n 2
＋2n ＝323，解得n ＝17. ∴323是数列{n (n ＋2)}中的项，是第17项． 9．C 10.D 11.61
12．解 (1)设a n ＝kn ＋b ，则⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 1＝k ＋
b ＝2a 17＝17k ＋b ＝66解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
k ＝4
b ＝－2.
∴a n ＝4n －2.
(2)令a n ＝88，即4n －2＝88，解得n ＝22.5∉N *
. ∴88不是数列{a n }中的项．
13．(1)解 设f (n )＝9n 2
－9n ＋29n 2
－1＝3n －13n －23n －13n ＋1＝3n －2
3n ＋1. 令n ＝10，得第10项a 10＝f (10)＝28
31.
(2)解 令3n －23n ＋1＝98
101
，得9n ＝300.
此方程无正整数解，所以98
101不是该数列中的项．
(3)证明 ∵a n ＝3n －23n ＋1＝1－3
3n ＋1，
又n ∈N *
，∴0<
3
3n ＋1
<1，∴0<a n <1. ∴数列中的各项都在区间(0,1)内．
(4)解 令13<a n ＝3n －23n ＋1<2
3，∴⎩⎪⎨
⎪⎧
3n ＋1<9n －69n －6<6n ＋2
，∴⎩⎪⎨⎪⎧
n >7
6n <8
3
.
∴当且仅当n ＝2时，上式成立，故区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫13，23上有数列中的项，且只有一项为a 2＝47.。