九上2相似三角形的判定
(完整版)相似三角形的判定方法
(一)相似三角形1、定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形．①当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可；②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等；③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例．2、相似三角形对应边的比叫做相似比．①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC的相似比，当它们全等时，才有k=k′=1．③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出．3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形．4、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言：∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE；（双A型）②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”；③有了预备定理后，在解题时不但要想到“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”．(二)相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。
例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．例2、如图，E 、F 分别是△ABC 的边BC 上的点，DE ∥AB,DF ∥AC , 求证：△ABC ∽△DEF.判定定理2：如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
九年级相似三角形知识点总结
九年级相似三角形知识点总结相似三角形作为九年级数学中的重要内容，涉及到比例、角度、边长等概念。
在本文中，我们将对九年级相似三角形的相关知识点进行总结。
以下是该知识点的详细内容：一、相似三角形的定义与性质相似三角形是指具有相同形状但大小可能不同的三角形。
在两个相似三角形中，对应角度相等，对应边长成比例。
1. 对应角相等性质：若两个三角形的内角分别对应相等，那么这两个三角形是相似的。
2. 对应边成比例性质：若两个三角形的三条边之间成比例，那么这两个三角形是相似的。
3. 相似三角形的比例关系：设两个相似三角形A和B，它们的对应边长分别为a、b和c、d。
则有以下比例关系成立：a/b = c/d = k （k为比例系数）二、相似三角形的判定方法判定两个三角形是否相似，常用以下方法：1. AA相似判定法：若两个三角形的两个角分别对应相等，那么这两个三角形一定相似。
2. AAA相似判定法：若两个三角形的三个角分别对应相等，那么这两个三角形一定相似。
3. SSS相似判定法：若两个三角形的三边分别成比例，那么这两个三角形一定相似。
三、相似三角形的性质应用相似三角形的性质在解决实际问题中有广泛的应用。
以下是相似三角形的性质在实际问题中的应用：1. 测量不可达长度：在实际测量中，有时由于某些原因，无法直接测量出几何图形中的某些边长。
利用相似三角形的比例关系，可以间接计算出这些不可达长度。
2. 高度与距离计算：利用相似三角形的性质，可以求解建筑物高度、山上塔楼高度等实际问题中需要计算的高度和距离。
3. 相似三角形的构造：利用相似三角形的特点，可以进行各种构造问题的求解，如分割线段、求解垂足等问题。
四、相似三角形与比例运算相似三角形的性质与比例运算密切相关。
以下是相似三角形与比例运算的相关内容：1. 比例关系的运用：相似三角形的性质中涉及到边长的比例关系，通过运用比例关系，可以计算出未知边长的具体值。
2. 比例运算的应用：在解决相似三角形实际问题中，我们可以借助比例运算的方法，确定未知量的数值。
完整版相似三角形的判定方法
（一）相似三角形1定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形.①当一个三角形的三个角与另一个（或几个）三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个（或几个）三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可；②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等；③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例.2、相似三角形对应边的比叫做相似比.①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1 •所以全等三角形是相似三角形的特例•其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例.②相似比具有顺序性.例如△ ABC A B，的对应边的比，即相似比为k，则△ A B' 0△ ABC的相似比「当它们全等时，才有k=k' =1③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出.3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形.4、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似.①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言：•/ DE // BC ,•••△ ABC ADE ;②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理. 它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为预备定理”；③有了预备定理后，在解题时不但要想到见平行，想比例”，还要想到见平行，想相似（二）相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。
例1、已知：如图，/ 仁/ 2=7 3,求证：△ AB（0A ADEA（双A型）例2、如图，E、F分别是△ ABC的边BC上的点，DE // AB,DF // AC , 求证：△ ABC DEF.判定定理2:如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
湘教版九年级数学上册《相似三角形判定 》知识全解
《相似三角形判定》知识全解
课标要求
理解相似三角形几种判定，并能简单地应用．
知识结构
内容解析
（1）相似三角形判定预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
（2）相似三角形判定1：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．
（3）相似三角形判定2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似．
（4）相似三角形判定3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．
重点难点
本节的重点是：三角形相似的判定方法及其应用．
难点：探究两个三角形相似判定方法的过程．
教法导引
（1）注重将新知识与旧知识进行联系与类比．
培养学生的观察﹑发现﹑比较﹑归纳能力，感受两个三角形相似的判定方法与全等三角形判定方法的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系．
复习全等三角形判定方法SSS与SAS，类比全等三角形判定方法SSS与SAS，提出两个三角形相似的两个判定．
（2）让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力．
教学活动的本质是一种合作，一种交流．学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者，本节课主要采用自主学习，合作探究，引领提升的方式展开教学．依据学生的年龄特点和已有的知识基础，本节课注重加强知识间的纵向联系，加强与全等三角形相关内容的联系，使学生的学习形成正迁移．
学法建议
新的教学理念要求在课堂中注重探究学习，在本课中，其实有许多内容可以进行这方面的尝试．如何进行判定三角形相似呢？可以让学生进行探究和归纳．若能在探究的基础上归纳出方法，学习的效果会提高很多，学习的能力也会不断提高．。
相似三角形的定义和判定方法
相似三角形的定义和判定方法相似三角形是指两个三角形的对应角度相等，且对应边的比值相等的情况下成为相似三角形。
相似三角形的判定方法包括角-角-角（AAA）相似定理、边-边-边（SSS）相似定理和边-角-边（SAS）相似定理。
下面将依次介绍相似三角形的定义和判定方法。
1. 相似三角形的定义相似三角形的定义是指两个三角形的对应角度相等，且对应的边长成比例。
具体而言，对于三角形ABC和DEF来说，如果∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，并且AB/DE=BC/EF=AC/DF，则称三角形ABC与三角形DEF相似。
2. 角-角-角（AAA）相似定理角-角-角（AAA）相似定理是指如果两个三角形的对应角度相等，则这两个三角形是相似的。
根据该定理，如果∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，则可以判定三角形ABC与三角形DEF是相似的。
3. 边-边-边（SSS）相似定理边-边-边（SSS）相似定理是指如果两个三角形的对应边长成比例，则这两个三角形是相似的。
根据该定理，如果AB/DE=BC/EF=AC/DF，则可以判定三角形ABC与三角形DEF是相似的。
4. 边-角-边（SAS）相似定理边-角-边（SAS）相似定理是指如果两个三角形的两条边分别成比例，且夹角相等，则这两个三角形是相似的。
根据该定理，如果AB/DE=AC/DF，且∠A=∠D，则可以判定三角形ABC与三角形DEF是相似的。
总结：相似三角形是指两个三角形的对应角度相等，且对应边的比值相等的情况下成为相似三角形。
相似三角形的判定方法包括角-角-角（AAA）相似定理、边-边-边（SSS）相似定理和边-角-边（SAS）相似定理。
通过这些判定方法，我们可以确定两个三角形是否相似，并且进一步分析它们的性质和关系。
相似三角形在几何学中具有重要的应用，可以用于解决各种问题，如比例求解、测距等。
以上是关于相似三角形的定义和判定方法的介绍。
相似三角形的几何性质和应用领域涉及广泛，深入理解和掌握相似三角形的定义和判定方法可以为几何学的研究和实际问题的解决提供有力的工具和方法。
23.相似三角形的判定第2课时相似三角形的判定PPT课件(华师大版)
=
20°，
求∠CAE 的大小.
A
解： AB BC AC ，
AD DE AE
E
∴ △ABC ∽ △ADE.
D
∴ ∠BAC =∠DAE.
B
C
又∠DAC 是公共角，
∴ ∠CAE = ∠BAD = 20°.
课堂小结
类似三角形的判定定理2 两边成比例且夹角相 等的两个三角形类似.
类似三角形的判定定理3 三边成比例的两个 三角形类似.
类似三角形的判定定理2、3的推导过程，掌握 类似三角形的判定定理2、3并能灵活应用.
• 学习难点：
类似三角形的判定定理的推导及应用.
新课导入
现在要判断两个三角形类似有哪几种方法？ 有两种方法：（1）根据定义；（2）两角分 别相等的两个三角形类似.
探索
视察教材图23.3.10，如果
C
有一点 E 在边 AC上移动，那么 B
∴ △ADE ≌ △A1B1C1.
∴ △ABC ∽ △A1B1C1.
类似三角形的判定定理2 两边成比例且 夹角相等的两个三角形类似.
例4 证明图中△AEB 和 △FEC 类似.
证明
AE = 54 = 1.5， B FE 36
BE = 45 = 1.5，
45
CE 30
AE = BE .
FE CE
谢谢欣赏
第2课时 类似三角形的判定（2）
华东师大版 九年级数学上册 上课课件
• 学习目标：
1. 掌握类似三角形的判定定理2：两边成比例且 夹角相等的两个三角形类似；
2. 掌握类似三角形的判定定理3：三边成比例的 两个三角形类似.
3. 能根据条件，灵活应用类似三角形的判定定 理，正确判断两个三角形类似.
九年级数学相似三角形知识点
九年级数学相似三角形知识点咱来唠唠九年级数学里的相似三角形知识点哈。
一、相似三角形是啥玩意儿呢？简单来说，相似三角形就像是三角形家族里的“克隆兄弟”，它们形状相同，但大小可能不一样。
就好比你用放大镜看一个小三角形，放大后的三角形和原来的小三角形就是相似的。
二、相似三角形的判定方法1. 两角对应相等- 如果两个三角形有两个角分别相等，那这两个三角形就相似。
这就像是两个人，只要他们在两个关键的地方（角度）长得一样，那他们就有相似之处。
比如说三角形ABC和三角形DEF，要是∠A = ∠D，∠B = ∠E，那这两个三角形就相似啦。
2. 两边对应成比例且夹角相等- 想象一下，两个三角形的两条边的长度比例是一样的，而且这两条边所夹的角也相等。
就像两根一样比例的小棍，它们夹着相同角度的话，那这两个三角形也是相似的。
比如在三角形ABC和三角形DEF中，AB/DE = AC/DF，并且∠A = ∠D，那这两个三角形就相似喽。
3. 三边对应成比例- 这个就更好理解啦，三个边的长度比例都一样的两个三角形肯定相似。
就好比三个小伙伴，他们的身高、臂长、腿长的比例都相同，那他们就是相似的三角形啦。
如果AB/DE = BC/EF = AC/DF，那么三角形ABC和三角形DEF就是相似三角形。
三、相似三角形的性质1. 对应边成比例- 相似三角形的对应边的比例是相等的。
就像前面说的那些判定方法里的边的比例一样。
如果三角形ABC相似于三角形DEF，那么AB/DE = BC/EF = AC/DF，这个比例是固定的哦。
2. 对应角相等- 因为相似三角形形状相同嘛，所以它们的对应角肯定是相等的。
∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
3. 相似三角形的周长比等于相似比- 相似比就是对应边的比例。
比如说相似三角形ABC和DEF的相似比是k （AB/DE = k），那么它们的周长比也是k。
就好比两个相似的图形，一个大一个小，大的图形的周长是小的图形周长的k倍。
九年级相似三角形知识点总结
九年级相似三角形知识点总结本文介绍了图形的相似知识点，包括相似图形、相似多边形的性质和比例线段等内容。
其中，比例线段的基本性质包括内外项积相等、交换内外项等，还介绍了合比性质和等比性质。
另外，文章还介绍了黄金分割和相似三角形的性质，包括相似比、对应角和对应边成比例等。
最后，文章提到了三角形相似的判定定理。
在应用等比性质时，需要注意分母是否为零。
1.如果一条直线平行于三角形的一边并与其它两边相交，那么所构成的三角形与原三角形相似。
2.如果两个三角形的对应角度相等，那么它们相似。
3.如果两个三角形的夹角相等且对应边成比例，那么它们相似。
4.如果两个三角形的三条边成比例，那么它们相似。
5.直角三角形相似判定定理：1.如果两个直角三角形的斜边与一条直角边成比例，那么它们相似。
2.如果直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。
3.射影定理：CD²=AD·BD，AC²=AD·AB，BC²=BD·BA6.中位线：1.三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段，共有三条。
2.三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。
3.重心是三角形三条中线的交点，到一个顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍。
4.梯形的中位线是连结梯形两腰中点的线段。
5.梯形的中位线平行于两底边，且等于两底和的一半。
6.梯形的面积等于中位线与高的乘积，也等于上底加下底的一半乘以高。
7.位似：1.如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。
2.位似图形的对应边平行或共线，任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比。
8.图形的变换与坐标：1.轴对称：图形关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变为相反数；关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标变为相反数。
2.中心对称：图形关于原点对称，横纵坐标均变为相反数。
初中数学 相似三角形的判定方法
相似三角形的判定•相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
互为相似形的三角形叫做相似三角形。
例如图中，若B'C'//BC，那么角B=角B'，角BAC=角B'A'C'，是对顶角，那么我们就说△ABC∽△AB'C'•相似三角形的判定：1.基本判定定理(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
(2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
(简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。
)(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
(简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似。
)(4)如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），那么这两个三角形相似。
2.直角三角形判定定理(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
3.一定相似：（1）.两个全等的三角形（全等三角形是特殊的相似三角形，相似比为1：1）（2）.两个等腰三角形（两个等腰三角形，如果其中的任意一个顶角或底角相等，那么这两个等腰三角形相似。
）（3）.两个等边三角形(两个等边三角形，三个内角都是60度，且边边相等，所以相似)（4）.直角三角形中由斜边的高形成的三个三角形。
•相似三角形判定方法：证两个相似三角形应该把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
如果是文字语言的“△ABC与△DEF相似”，那么就说明这两个三角形的对应顶点可能没有写在对应的位置上，而如果是符号语言的“△ABC∽△DEF”，那么就说明这两个三角形的对应顶点写在了对应的位置上。
一、（预备定理）平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。
九年级数学相似三角形的判定
目
CONTENCT
录
• 相似三角形的定义与性质 • 相似三角形的判定方法 • 相似三角形的应用 • 相似三角形的变式与拓展
01
相似三角形的定义与性质
相似三角形的定义
02
01
03
两个三角形如果对应角相等，则它们是相似的。
相似三角形对应边的比值相等，即它们的边长比例相 等。 相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
物理学
在物理学中，相似三角形经常被 用来解决与力、运动相关的问题 。
80%
工程设计
在工程设计中，相似三角形可以 帮助设计师确定建筑物的结构稳 定性。
在数学竞赛中的应用
奥林匹克数学竞赛
在奥林匹克数学竞赛中，相似 三角形是解决几何问题的重要 工具之一。
数学竞赛培训
在数学竞赛培训中，相似三角 形是培训内容的重要组成部分 ，用于提高学生的几何思维能 力。
具体来说，如果$angle A = angle A'$、且$frac{AB}{A'B'} = frac{AC}{A'C'} = k$ （$k$为常数），则$triangle ABC sim triangle A'B'C'$。
03
相似三角形的应用
在几何图形中的应用
确定未知量
通过相似关系，我们可以确定一些未知量，如角度 、长度等。
相似三角形的性质
相似三角形的对应角相等，对 应边成比例。
相似三角形的面积比等于相似 比的平方。
相似三角形对应高的比等于相 似比，对应中线的比也两组对应角分别相等，则这两个 三角形相似。
如果两个三角形的两组对应边的比值相等，则这两 个三角形相似。
沪教版 九年级(上)数学 秋季课程 第2讲 相似三角形
D ABCE相似三角形是九年级数学上学期第一章第三节的内容，本讲主要讲解相似三角形的判定和相似三角形的性质；重点是根据已知条件灵活运用不同的判定定理对三角形相似进行判定，并结合相似三角形的性质进行相关的证明，难点是相似三角形的性质与判定的互相结合，以及相似三角形与分类讨论及函数思想的互相结合．1、 相似三角形的定义如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形．如图，DE 是ABC ∆的中位线，那么在ADE ∆与ABC ∆中，A A ∠=∠， ADEB ∠=∠，AEDC ∠=∠；12AD DE AE AB BC AC ===． 由相似三角形的定义，可知这两个三角形相似．用符号来表示，记作ADE ∆∽ABC ∆，其中点A 与点A 、点D 与点B 、点E 与点C 分别是对应顶点；符号“∽”读作“相似于”．用符号表示两个相似三角形时，通常把对应顶点的字母分别写在三角形记号“∆”后相应的位置上．相似三角形内容分析知识结构模块一：相似三角形的判定知识精讲2 / 16ABC A 1B 1C 1根据相似三角形的定义，可以得出：（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比（或相似系数）．（2）如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似． 2、 相似三角形的预备定理平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似． 如图，已知直线l 与ABC ∆的两边AB 、AC 所在直线分别交于点D 和点E ，则ADE ∆∽ABC ∆．3、 相似三角形判定定理1如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似．可简述为：两角对应相等，两个三角形相似．如图，在ABC ∆与111A B C ∆中，如果1A A ∠=∠、1B B ∠=∠，那么ABC ∆∽111A B C ∆．常见模型如下：A BCDEABCDEABCDEABCA 1B 1C 1ABCA 1B 1C 14、 相似三角形判定定理2如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．如图，在ABC ∆与111A B C ∆中，1A A ∠=∠，1111AB ACA B AC =，那么ABC ∆∽111A B C ∆．5、 相似三角形判定定理3如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似． 如图，在ABC ∆与111A B C ∆中，如果111111AB BC CAA B B C C A ==，那么ABC ∆∽111A B C ∆．6、 直角三角形相似的判定定理如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．可简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似．如图，在Rt ABC ∆和111Rt A B C ∆中，如果190C C ∠=∠=︒，1111AB BCA B B C =，那么ABC ∆∽111A B C ∆．ABCA 1B 1C 14 / 16AB CABCDEABCP【例1】 如图，已知点P 是ABC ∆中边AC 上一点，联结BP ，要使ABP ∆∽ACB ∆，那么应添加的一个条件为____________，或____________，或____________．【例2】 下列命题正确的是（ ） A ．有一个角是40°的两个等腰三角形相似 B ．有一个角是106°的两个等腰三角形相似 C ．面积相等的两个直角三角形相似 D ．两边之比为3 : 5的两个直角三角形相似【例3】 下列4⨯4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与ABC ∆相似的三角形所在的网格图形是（ ）A ．B ．C ．D ．【例4】 如图，ABC ∆中，AE 交BC 于点D ，C E ∠=∠，:3:5AD DE =，AE = 8， BD = 4，则DC 的长等于（ ）A ．415B ．125C ．174D ．154例题解析ABCDPA BCDE FP【例5】 在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似；乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似．对于两人的观点，下列说法正确的是（ ） A ．两人多对B ．两人都不对C ．甲对乙不对D ．甲不对，乙对【例6】 如图，ABC ∆中，AB = AC = 5，BC = 6，点M 为BC 中点，MN ⊥AC 于点N ，则MN =______．【例7】 如图，在平行四边形ABCD 中，F 是BC 上的一点，直线DF 与AB的延长线相交于点E ，BP // DF ，且与AD 相交于点P ，则图中有______对相似的三角形．【例8】 如图，在直角梯形ABCD 中，AD // BC ，90ABC ∠=︒，AB = 8，AD = 3，BC = 4，点P 为AB 边上一动点，若PAD ∆与PBC ∆是相似三角形，则满足条件的点P 的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个图1图211 1 1111 AB CNM6 / 16A BCDEFAB CDE FGABCDEF 【例9】 如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，BC = 3，AC = 4，AB 的垂直平分线DE 交BC的延长线于点E ，则CE 的长为（ ）A ．32B ．76C ．256D ．2【例10】如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，连接DE ，F为线段DE 上一点，且AEF B ∠=∠．（1）求证：ADF ∆∽DEC ∆；（2）若AB = 8，AD =63，AF =43，求AE 的长．【例11】如图，梯形ABCD 中，AD // BC ，AB = DC ，对角线AC 、BD 相交于点F ，点E 是边BC 延长线上一点，且CDE ABD ∠=∠．（1）求证：四边形ACED 是平行四边形；（2）联结AE ，交BD 于点G ，求证：DG DFGB DB=．【例12】如图，在ABC ∆中，AB = AC ，点D 、E 分别是边AC 、AB 的中点，DF ⊥AC ，DF 与CE 相交于点F ，AF 的延长线与BD 相交于点G ．（1）求证：2AD DG BD =；（2）联结CG ，求证：ECB DCG ∠=∠．【例13】 在ABC ∆中，AB = 40，AC = 24，BC = 32，点D 是射线BC 上的一点（不与端点重合），联结AD ，如果ACD ∆与ABC ∆相似，求BD 的值．ABCDEAB C DE FG H QAB CDNM【例14】正方形ABCD 的边长为1，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，且始终保持AM ⊥MN ，求当BM 为多少时，四边形ABCN 的面积最大，最大面积为多少？【例15】 如图，将边长为6 cm 的正方形ABCD 折叠，使点D 落在AB 边的中点E 处，折痕为FH ，点C 落在Q 处，EQ 与BC 交于点G ，则EBG ∆的周长为______cm ．【例16】如图，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC = 4 cm ，BC = 2 cm ，D 为BC的中点，若动点E 以1 cm /s 的速度从A 点出发，沿着A B A →→的方向运动，设点E 的运动时间为t 秒，联结DE ，当t 为何值时，BDE ∆是直角三角形？【例17】如图，ABC ∆中，4AB = 5AC ，AD 为ABC ∆的角平分线，点E 在BC 的延长线上，EF ⊥AD 于点F ，点G 在AF 上，FG = FD ，联结EG 交AC 于点H ，若点H 是AC 的中点，求AGFD的值．A BCDE A BCDEF G H8 / 161、 相似三角形性质定理1相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． 2、 相似三角形性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比． 3、 相似三角形性质定理3相似三角形的面积的比等于相似比的平方．【例18】如果两个相似三角形的面积之比是9 : 25，其中小三角形一边上的中线长是12cm ，那么大三角形对应边上的中线长是______cm ．【例19】在ABC ∆中，DE // BC ，且D 在AB 边上，E 在AC 边上，若:1:4ADE BCED S S ∆=，则:ADE ABC C C ∆∆=______，:AD DB =______．【例20】如图，梯形ABCD 中，AD // BC ，90B ACD ∠=∠=︒，AB = 2，DC = 3，则ABC∆与DCA ∆的面积比为（ ）A ．2 : 3B ．2 : 5C ．4 : 9D ．2:3【例21】【例22】如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x ，那么x 的值为（ ）A ．只有1个B ．可以有2个C ．可以有3个D ．有无数个模块二：相似三角形的性质知识精讲例题解析ABCDABCD E ABCDE【例23】如图，D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上，23AD AE DE AB AC BC ===，且ABC ∆与ADE ∆的周长之差为15 cm ，求ABC ∆与ADE ∆的周长．【例24】如图，在ABC ∆中，D 、E 分别是AB 、BC 上的点，且DE // AC ，若:1:4BDE CDE S S ∆∆=，则:BDE ACD S S ∆∆=______．【例25】如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，将ABC ∆沿直线MN 翻折后，顶点C 恰好落在AB 边上的点D 处，已知MN // AB ，MC = 6，23NC =，那么四边形MABN 的面积是______．【例26】如图，在平行四边形ABCD 中，AB = 6，AD = 9，BAD ∠的平分线交BC 于E ，交DC 的延长线与F ，BG AE ⊥于G ，则EFC ∆的周长为______．【例27】如图，在ABC ∆中，BE 平分ABC ∠交AC 于点E ，过点E 作ED // BC 交AB于点D ．（1）求证：AE BC BD AC =；（2）如果3ADE S ∆=，2BDE S ∆=，DE = 6，求BC 的长．AB CDEABCDNMABC DEFG10 / 16ABCD PQ【例28】如图，直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，AB = 10，BC = 6，在线段AB 上取一点D ，作DF AB ⊥交AC 于点F ，现将ADF ∆沿DF 折叠，使点A 落在线段DB 上，对应点记为1A ，AD 的中点E 的对应点记为1E ，若11E FA ∆∽1E BF ∆， 则AD =______．【例29】如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AB = 5，BC = 3，点D 、E 分别在BC 、AC上，且BD = CE ，设点C 关于DE 的对称点为F ，若DF // AB ，则BD 的长为______．【例30】如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC = 8，BC = 6，CD AB ⊥于点D ．点P从点D 出发，沿线段CD 向点C 运动，点O 从点C 出发，沿线段CA 向点A 运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P 运动到点C 时，两点都停止．设运动时间为t 秒．（1）求线段CD 的长；（2）设CPQ ∆的面积为S ，求S 与t 之间的关系式，并确定运动过程中是否存在某一时刻t ，使得:9:100CPQ ABC S S ∆∆=？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（3）当t 为何值时，CPQ ∆为等腰三角形？ABCD E F A 1E 1 AB CDEA BCABCDE FGABCDE【习题1】 如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中ABC ∆相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．【难度】★ 【答案】 【解析】【习题2】 如图，D 是ABC ∆的边AC 上一点，CBD ∠的平分线交AC 于点E ，AE = AB ，则长度为线段AD 、AC 长度比例中项的线段是______．【习题3】 如图，在ABC ∆中，D 、F 是AB 的三等分点，DE // FG // BC ，分别交AC 于E 、G ．记ADE ∆、四边形DFGE 、四边形FBCG 的面积分别为1S 、2S 、3S ，则123::S S S =______．【习题4】 如图，D 是ABC ∆的边BC 上一点，已知AB = 4，AD = 2，DAC B ∠=∠，若ABD ∆的面积为a ，则ACD ∆的面积为______．随堂检测ABCD12 / 16AB CPN MQA BCDEG Hx y xy xy xy O O O O 3 45 3 45 3 45 3 45 AB C D E FMG H【习题5】 如图，矩形ABCD 中，AB = 3，BC = 4，动点P 从A 点出发，按A B C →→的方向在AB 和BC 上移动，记P A = x ，点D 到直线P A 的距离为y ，则y 关于x 的函数图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【习题6】 如图，已知点D 是等腰直角三角形ABC 斜边BC 上的一点，BC = 3BD ，CE ⊥AD ，则AE CE =______．【习题7】 在同一时刻，两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB = 2 m ，它的影子BC = 1.6 m ，木竿PQ 的影子有一部分落在了墙上，PM = 1.2 m ，MN = 0.8 m ，则木竿PQ 的长度为______m ．【习题8】 如图，点E 是矩形ABCD 的边BC 上一点，EF ⊥AE ，EF 分别交AC 、CD 于点M 、F ，BG ⊥AC ，垂足为点G ，BG 交AE 于点H ．（1）求证：ABE ∆∽ECF ∆；（2）找出与ABH ∆相似的三角形，并证明；（3）若E 是BC 的中点，BC = 2AB ，AB = 2，求EM 的长．【习题9】 如图，在矩形ABCD 中，AB = 2，BC = 3，点E 、F 、G 、H分别在矩形ABCD 的各边上，EF // AC // HG ，EH // BD // FG ，求四边形EFGH 的周长．A B CDPx yA BC DEABCDEFmH【习题10】 如图，在ABC ∆中，AB = AC ，AD ⊥AB 于点D ，BC = 10 cm ，AD = 8 cm ．点P 从点B 出发，在线段BC 上以每秒3 cm 的速度向点C 匀速运动，与此同时，垂直于AD 的直线m 从底边BC 出发，以每秒2 cm 的速度沿DA 方向匀速平移，分别交AB 、AC 、AD 于E 、F 、H ，当点P 到达点C 时，点P 与直线m 同时停止运动，设运动时间为t 秒（t > 0）．（1）当t = 2时，连接DE 、DF ，求证：四边形AEDF 为菱形；（2）在整个运动过程中，所形成的PEF ∆的面积存在最大值，当PEF ∆的面积最大时，求线段BP 的长；（3）是否存在某一时刻t ，使PEF ∆为直角三角形？若存在，请求出此时刻t 的值；若不存在，请说明理由．14 / 16AB C DE A BCDEABCDE AB C D O【作业1】 如图，在ABC ∆中，DE // BC ，12AD DB =，则下列结论正确的是（ ） A ．12AE AC =B ．12DE BC = C ．13ADE ABC ∆=∆的周长的周长D ．13ADE ABC ∆=∆的面积的面积【作业2】 如图，在ABC ∆中，点D 和点E 分别在边AB 、AC 上，下列条件不能判定ABC∆∽AED ∆的是（ ）A ．AEDB ∠=∠B ．ADEC ∠=∠ C ．AD AC AE AB=D ．AD AE AB AC=【作业3】 一副三角尺按如图所示的方式叠放，则AOB ∆与DOC ∆的面积之比为____________．【作业4】 如图，点D 、E 分别在ABC ∆两边AB 、AC 上，且AD = 31，DB = 29，AE = 30，EC = 32．若50A ∠=︒，则关系式“○1ADE B ∠>∠；○2AED C ∠=∠；○3ADE C ∠>∠；○4AED B ∠=∠”中正确的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【作业5】 在ABC ∆中，P 是AB 上的动点（P 异于A 、B ），过点P 的一条直线截ABC ∆，使截得的三角形与ABC ∆相似，我们不妨称这种直线为过点P 的相似线．如图，36A ∠=︒，AB = AC ，当点P 在AC 的垂直平分线上时，过点P 的ABC ∆的相 似线最多有______条．课后作业AB CPAB O xyAB CDE FGOAB CDEFA B CDE F NM【作业6】 如图，四边形ABCD 、CEFG 都是正方形，点G 在线段CD 上，连接BG 、DE ，DE 和FG 相交于点O ，设AB = a ，CG = b （a > b ），下列结论：○1BCG ∆≌DCE ∆；○2BG DE ⊥；○3DG GO GC CE=；○4()22EFO DGO a b S b S ∆∆-=，其中正确的个数是（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个【作业7】 已知，在菱形ABCD 中，CF ⊥AB ，垂直为E ；CE 与BD 相交于点F ．（1）求证：AB CFBE EF=；（2）求证：22DF DB BC =．【作业8】 如图，四边形ABCD 中，AC ⊥BD 交BD 与点E ，点F 、M 分别是AB ，BC 的中点，BN 平分ABE ∠交AM 于点N ，AB = AC = BD ，连接MF ，NF ． （1）判断BMN ∆的形状，并证明你的结论；（2）判断MFN ∆与BDC ∆之间的关系，并说明理由．【作业9】 如图，AOB ∆为等腰三角形，顶点A 的坐标为（2，5）底边OB 在x 轴上，将AOB ∆绕点B 按顺时针方向旋转一定角度后得''A O B ∆，点A 的对应点'A 在x 轴上，求点'O 的坐标．16 / 16ABCD EF GP Q【作业10】 已知：正方形ABCD 的边长为4，点E 为BC 边的中点，点P 为AB 边上一动点，沿PE 翻折得到BPE ∆，直线PF 交CD 边于点Q ，交直线AD 于点G ． （1）如图，当BP = 1.5时，求CQ 的长；（2）如图，当点G 在射线AD 上时，设BP = x ，DG = y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）延长EF 交直线AD 于点H ，若CQE ∆与FHG ∆相似，求BP 的长．。
九年级数学相似三角形相似的判定
∠ACP=∠B
或∠APC=∠ACB
AC AB 或 AP AC
A
P B C
练习: 1.要做两个形状相同的三角形框架， 其中一个三角形框架的三边的长分别 是４、５、６，另一个三角形框架的 一边长为２，怎样选料最少且使这两 个三角形相似？
2.如图,已知△ABC和△DEF均为等边 三角形,D、E分别在AB、BC上.请找出 一个与△DBE相似的三角形,并说明理 由. A
复 习
1.判定三角形相似的判定方法: 定义、预备定理、 定理1、定理2、定理3.
全等三角形 的判定方法
•定义 •边角边公理
相似三角形 的判定方法
•定义 •预备定理 •两角对应相等，两 个三角形相似 •两边对应成比例且 夹角相等，两三角 形相似. •三边对应成比例， 两三角形相似.
图 形
•角边角公理
•角角边定理
•边边边公理
•斜边、直角 边公理
2.基本图形： (1)平行线型: ①∵DE∥BC B
A
E
E C …… B 理由?
D
D A C
上 上 上 上 ∴ 下下 , 全 全
②∵DE∥BC ∴△ADE∽△ABC
AD AE DE ∴ AB AC BC
2.基本图形： (2)垂直线型:
A
C
ysh61zvb
主殿下恕罪……”慕容凌娢很麻溜的跪下了，毕竟膝盖什么的，能有命重要？宫斗大戏里的套路就是一言不合就掌嘴，一点不爽就一丈红，还 是小心为好。“奴婢并非有意冒犯公主殿下，还望公主殿下开恩。”“哼！”傲娇的小公主得意的哼了一声，把头扬地更高了，“说，你是哪 个宫的。”“……”还问我的工作单位？这是要告状告到顶头上司那儿的节奏啊。慕容凌娢很郁闷，她抬起头来想要继续用主角的嘴炮技能， 却发现那位公主根本就没有再正眼看她，她的嘴炮就是再厉害，对着别人的鼻孔也说不出什么好词好句，所以她又把头低了下去。“亦清这是 怎么了，居然因为一个下人这么生气？”皇宫之中能还能听到这种平和的语调实数难能可贵。韩哲轩！慕容凌娢激动的眼睛放光，感觉自己有 救了。“八哥～”韩亦清很不满的跺跺脚，指着慕容凌娢说道，“不知道这是哪个宫的奴婢，没规矩没教养，见到我居然装作没看见！还鬼鬼 祟祟的，指不定是偷了什么东西……”韩亦清喋喋不休的说着慕容凌娢犯下的滔天大罪，慕容凌娢却脑洞大开。八哥……是那种“少年老成” 满脸皱纹眼睛又大又圆还闪烁着天真光芒的狗狗，还是那种会学人说话的小黑鸟?韩哲轩虽然有的时候眼神很像呆萌的八哥狗，但实际上，他 绝对没有八哥狗那么老实。所以说，他还是更像八哥鸟。“晓白是我那儿的人。今天早上我的玉佩丢在这附近了，所以才让她来帮我找。”韩 哲轩冲着慕容凌娢使了个眼色。“玉佩找到了吗？”尼玛，居然给我乱起外号！而且怎么听都像是宠物的名字。慕容凌娢虽然心里不爽，但口 头上也回答的很好。“回殿下……还没有找到。”慕容凌娢装出一副十分紧张的样子。“那就继续去找。”“是。”慕容凌娢起身行了个礼， 拔腿就走。“八哥～”韩亦清拽着韩哲轩的衣袖，用她常用的方式高声埋怨道，“这奴婢实在是没大没小，你这样纵容她，指不定哪天她就不 把你放在眼里了！”“亦清。”韩哲轩摸摸韩亦清的头，笑道，“晓白不守规矩是我管教的不好，八哥在这里给你赔罪，回去之后我一定替你 好好惩罚她。我们亦清公主大人有大量，就别为一个奴婢的事而生气了。”“那好吧，八哥你一定要好好罚她。”……快步走了一会儿，到了 安全地带，慕容凌娢才敢放慢速度往宫外走。她不紧不慢，也可以说是闲散的晃悠着，突然听到背后有人在叫自己。“晓白——”“干嘛啊？ 搞事情啊！”慕容凌娢愤怒的回头，如果她手里有板砖的话，一定直接就扔上去了。“没人教过你表随便给人起外号吗？最主要的是如果外号 多到一定程度，我就记不住了！”“并没有。”韩哲轩扬唇一笑，说道“不过老师教过我要见义勇为。”“那好吧，非常非常感谢你救了我。” 慕容凌娢转
相似三角形的判定总结+题型分析(带答案)
相似三角形定义：如果两个三角形中，三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。
几种特殊三角形的相似关系：两个全等三角形一定相似。
两个等腰直角三角形一定相似。
两个等边三角形一定相似。
两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。
补充：对于多边形而言，所有圆相似；所有正多边形相似(如正四边形、正五边形等等)；性质：两个相似三角形中，对应角相等、对应边成比例。
相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比。
如△ABC与△DEF相似，记作△ABC∽△DEF。
相似比为k。
判定：①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。
②相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
三角形相似的判定定理：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．(此定理用的最多)判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．直角三角形相似判定定理:1)斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。
2)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。
补充一：直角三角形中的相似问题：斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似.射影定理：CD²=AD·BD，AC²=AD·AB，BC²=BD·BA(在直角三角形的计算和证明中有广泛的应用).补充二：三角形相似的判定定理推论推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。
ABCDDABCDABCEAB C D E推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。
相似三角形的判定方法
(一)相似三角形1、定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形．①当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可；②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等；③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例．2、相似三角形对应边的比叫做相似比．①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC的相似比，当它们全等时，才有k=k′=1．③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出．3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形．4、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言：∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE；（双A型）②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”；③有了预备定理后，在解题时不但要想到“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”．(二)相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。
例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．例2、如图，E 、F 分别是△ABC 的边BC 上的点，DE ∥AB,DF ∥AC , 求证：△ABC ∽△DEF.判定定理2：如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
沪科版九年级数学上册22.2相似三角形的判定优秀教学案例
2.问题驱动的学习：本节课以问题为导向，引导学生通过观察、操作、猜想、验证等数学活动，自主探索相似三角形的判定方法。这种问题驱动的学习方式，使学生在解决问题的过程中，培养了他们的逻辑思维能力和空间想象能力。
3.小组合作的学习方式：本节课注重学生的小组合作学习，通过组织学生进行小组讨论、交流，培养他们的合作意识和团队精神。学生在小组合作的过程中，相互启发、共同进步，提高了他们的沟通能力。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.让学生掌握相似三角形的判定方法，理解并能够运用AA相似定理、SSS相似定理、SAS相似定理和HL相似定理判断两个三角形的相似关系。
2.使学生了解相似三角形的性质，包括对应边的比例关系、对应角的相等关系，并能运用这些性质解决实际问题。
3.培养学生运用数学知识对现实生活中的事物进行观察、分析和解决问题的能力，提高他们的数学应用意识。
在案例背景中，我选择了与学生生活密切相关的事物作为教学素材，如建筑物、电路图等，让学生在探究中感受到数学与生活的紧密联系。同时，我注重引导学生运用已学的知识解决实际问题，从而提高他们的数学应用能力。此外，我还设计了一些富有挑战性的练习题，让学生在解答过程中加深对相似三角形判定方法的理解和运用。
在教学活动中，我充分尊重学生的的主体地位，鼓励他们积极参与、勇于尝试，培养他们的自主学习能力。同时，我注重发挥教师的主导作用，引导学生正确运用数学方法，克服困难，解决问题。在课堂氛围上，我努力营造轻松、愉快的学习氛围，使学生在愉悦的情感状态下学习，提高他们的学习效果。
相似三角形的性质与判定
相似三角形的性质与判定相似三角形是初中数学中的一个重要概念，它在几何学知识体系中有着重要的地位。
相似三角形是指两个或更多个三角形在形状上相似的特殊三角形。
它们的边长比例相等，对应的角度也相等。
通过研究相似三角形的性质和判定条件，我们可以在解决实际问题时更好地应用相似三角形的概念。
首先，我们来介绍一些相似三角形的性质。
相似三角形具有以下性质：1. 对应角相等性质。
如果两个三角形的对应角相等，那么它们是相似三角形。
具体而言，如果两个三角形的三个角分别相等，那么它们一定是相似三角形。
这是相似三角形的性质中最重要的一条。
2. 对应边比例相等性质。
如果两个三角形的对应边的长度比例相等，那么它们是相似三角形。
具体而言，如果两个三角形的三条边的对应长度比例相等，那么它们一定是相似三角形。
这个性质可以直接从三角形的定义和角相等性质推导出来。
其次，我们来介绍一些相似三角形的判定条件。
判定两个三角形是否相似主要有以下几种方法：1. AA 判定法。
如果两个三角形的两个角分别相等，那么它们一定是相似三角形。
2. SSS 判定法。
如果两个三角形的三个边的长度比例相等，那么它们一定是相似三角形。
3. SAS 判定法。
如果两个三角形的一个角相等，而且两个边的长度比例相等，那么它们一定是相似三角形。
4. 等腰三角形判定法。
如果两个三角形的两条边长比例相等且夹角相等，那么它们一定是相似三角形。
相似三角形的性质和判定条件在解决实际问题时非常有用。
例如，在测量高楼的高度时，我们可以利用相似三角形的性质，通过测量实际的距离和角度，计算出高楼的高度。
又如，在地图上测量两个城市之间的直线距离时，我们可以利用相似三角形的判定条件，通过测量两个城市之间的实际距离和角度，计算出直线距离。
这些都是利用相似三角形的性质和判定条件解决实际问题的典型例子。
总的来说，相似三角形是一个重要的几何概念，它涉及到对角、边长比例的研究。
相似三角形的性质和判定条件在解决实际问题时非常有用，能够帮助我们计算出实际的距离和角度，解决实际问题。
九年级数学相似三角形的判定及基本模型
微专题 相似三角形的判定及基本模型 A X AX K ⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩相似三角形的相关概念相似三角形的判定相似三角形基本模型（字型）相似三角形基本模型（字型）相似三角形基本模型(型)相似三角形基本模型(母子型)相似三角形基本模型（旋转型）相似三角形基本模型(字型（一线三等角）)相似三角形常用辅助线基础知识点相似三角形的判定重难点题型（作平行线） 重难点题型题型1 相似三角形的判定【方法点拨】相似三角形的判定方法汇总：1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似。
1．（2020·陕西西安·高新一中初三一模）如图，点E 是平行四边形ABCD 中BC 的延长线上的一点，连接AE 交CD 于F ，交BD 于M ，则图中共有相似三角形(不含全等的三角形)( )对．A ．4B ．5C ．6D ．7【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD//BC ，AB//CD ，∴△ADM ∽△EBM ，△ADF ∽△ECF ，△DFM ∽△BAM ，△EFC ∽△EAB ，∵∠AFD=∠BAE ，∠DAE=∠E ，∴△ADF ∽△EBA ，∴图中共有相似三角形5对，故选：B ．2．（2020·湖南茶陵·初三期末）如图，在大小为44⨯的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）A ．甲和乙B ．乙和丙C ．甲和丙D ．乙和丁，23；丙中的三角形的三边分别是：2，3只有甲与丙中的三角形的三边成比例：2==C ． 3．（2020·河南罗山·初三期末）如图，在矩形ABCD 中，E 在AD 上，EF BE ⊥，交CD 于F ，连结BF ，则图中与ABE △一定相似的三角形是A ．EFB △ B ．DEFC ．CFBD ．EFB △和DEF【解析】根据矩形的性质可得∠A=∠D=90°，再由EF BE ⊥根据同角的余角相等可得∠AEB=∠DFE ，即可得到结果.∵矩形ABCD ∴∠A=∠D=90°∴∠DEF+∠DFE=90°∵EF BE ⊥∴∠AEB+∠DEF=90°∴∠AEB=∠DFE∵∠A=∠D=90°，∠AEB=∠DFE ∴ABE ∽DEF 故选B.4．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校初三期中） 如图，D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，要使△AED △与ABC 相似，不能添加的条件是( )A ．DE ∥BCB ．AD•AC=AB•AEC ．AD ：AC=AE ：AB D ．AD ：AB=DE ：BC【解析】A 、当DE ∥BC ，则△AED ∽ACB ，所以A 选项错误；B 、当AD•AC=AB•AE ，即AD ：AB=AE ：AC ，而∠A 公共，则△AED ∽ACB ，所以B 选项错误； C 、当AD ：AC=AE ：AB ，而∠A 公共，则△AED ∽△ABC ，所以C 选项D 、AD ：AB=DE ：BC ，而它们的夹角∠ADE 和∠ABC 不确定相等，则不能判断△AED 与△ABC 相似，所以D 选项正确．故选D ．5．（2020·广西蒙山县二中初三月考）能判定ABC 与A B C '''相似的条件是（ ）A ．AB AC A B A C ='''' B ．AB A B AC A C''=''，且A C '∠=∠ C ．AB BC A B A C =''''且B A '∠=∠ D ．AB AC A B A C =''''，且B B '∠=∠ 【解析】解：Ａ．AB AC A B A C =''''，Ｂ．AB A B AC A C ''=''，且A C '∠=∠， Ｄ．AB AC A B A C =''''，且B B '∠=∠，均不能判断ABC 与A B C '''相似，故错误； Ｃ．AB BC A B A C =''''且B A '∠=∠，能判定ABC 与A B C '''相似，本选项正确故选：C ． 6．（2020·合肥市第四十六中学月考）如图，点D 、E 分别在ABC ∆的AB 、AC 边上，增加下列哪些条件：①AED B ∠=∠；②AE DE AB BC=；③AD AE AC AB =，使ADE ∆与ACB ∆一定相似（ ）A ．①③B ．②③C ．①②D ．①②③【解析】①∵A A ∠=∠ ,AED B ∠=∠ADE ACB ∴,故正确；②虽然有对应边成比例，但是夹角并不一定相等，所以ADE ∆与ACB ∆不一定相似，故错误； ③∵A A ∠=∠，AD AE AC AB =ADE ACB ∴,故正确；所以正确的是：①③故选：A ．7．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）下列各组图形中，不一定相似的是（ ）A ．各有一个角是100°的两个等腰三角形B ．各有一个角是90°的两个等腰三角形C ．各有一个角是60°的两个等腰三角形D ．各有一个角是50°的两个等腰三角形【解析】A 、各有一个角是100°的两个等腰三角形，100°的角只能是顶角，夹顶角的两边成比例，所以一定相似；B 、两个等腰直角三角形，对应边的比相等，锐角都是45°，相等，所以一定相似；C 、各有一个角是60°的两个等腰三角形，是等边三角形，有两对对应角相等，所以一定相似；D 、各有一个角是50°的两个等腰三角形，可能是顶角为50°，也可能底角为50°，所以对应角不一定相等，所以不一定不相似；故选：D ．8．（2020·安徽初三月考）如图，在ABC 中，D 、E 分别是边AC 、AB 上的点，则下列命题中，属于假命题的是（ ）A ．若ADE ABC =∠∠，则ADE ABC △△∽B ．若AD AB AE AC=，则ADE ABC △△∽ C ．若AD AE CD BE =，则ADE ACB ∽ D ．若AD AB DE BC =，则ADE ABC △△∽ 【解析】解：A 、若ADE ABC =∠∠，∠A 为公共角，则ADE ABC △△∽，是真命题；B 、若AD AB AE AC=，∠A 为公共角，则ADE ABC △△∽，是真命题； C 、若AD AE CD BE =，则AD AE AC AB=，∠A 为公共角，则ADE ABC △△∽，是真命题； D 、若AD AB DE BC =，由于条件不够，不能证明ADE ABC △△∽，故D 是假命题；故选：D. 9．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）点D 在ABC 的边AB 上，且2AC AD AB =⋅，则ABC ACD ，理由是_______．【解析】依题意，画图如下：2AC AD AB =⋅，即AB AC AC AD=， 又A A ∠=∠，ABC ACD ~∴（有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），故答案为：有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握判定方法是解题关键．。
初三数学 相似三角形的判定
【本讲教育信息】一. 教学内容： 相似三角形的判定二. 重点、难点 怎样选择适当的定理判定三角形的相似是学习中的重点和难点。
三. 知识回顾（一）定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫相似三角形。
相似三角形的对应边的比叫做相似比（也叫相似系数）。
（二）判定：①平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
③有两个角对应相等的两个三角形相似。
④三条边对应成比例的两个三角形相似。
⑤一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似。
⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似。
【典型例题】例1. 如图，△ABC 中，∠A=，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，求证：△ADE ∽△ABC 。
60例2. 如图，过△ABC 的顶点B 和C ，分别作AB 、AC 的垂线BD 、CD ，使交于点D ，过C 作CE ⊥AD 交AB 于E ，交AD 于F求证：△ACE ∽△ABC例3. 如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，求证：△AEF ∽△ACB例4. 如图，点E 是正方形ABCD 的边AB 上一点，且AE ：AB=1：4，F 为边AD 上一点，问：当F 在AD 上的什么位置时，△AEF ∽△CDF 。
【模拟试题】（答题时间：30分钟）1. 判断下列各命题的真假（真命题打“T ”，否则打“F ”）（1）若一条直线截三角形的两边所得的三角形与原三角形相似，则这条直线平行于三角形的第三边（）（2）有一个锐角相等的两个等腰三角形必定相似（ ）（3）三组边分别平行的两个三角形必定相似（）（4）有一个锐角相等的两个直角三角形必定相似（）（5）一个顶角为的等腰三角形和一个底角为的等腰三角形相似（）︒40︒70（6）四个角对应相等的两个梯形必定相似（ ）（7）所有的菱形均相似（ ）（8）所有的正方形均相似（）2. △ABC 中，∠ACB=，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥AC 于E ，则与△ABC 相似而不全等的三角形的个数是（ ︒90）A. 2B. 3C. 4D. 53.已知△ABC ∽△，相似比为4，△∽△，相似比为3，试问：△与△'''C B A '''C B A ''''''C B A ''''''C B A ABC 是否相似？若它们相似，则相似比为多少？4. 如图，若∠EBC=∠ABD ，∠ECB=∠DAB 求证：△ABC ∽△DBE 。
沪科版数学九年级上册2直角三角形相似的判定课件
(2) AB•AF＝AC•AE。
分析：要证明AE是∠CAB的平分线，
只要证明RtΔACE∽RtΔADF
即可
A
要证明 AB•AF＝AC•AE，
只要证明 ΔACF∽ΔABE
C
E
F
D
B
课堂小结：
1.如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个 直角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个 直角三角形类似。 2.直角三角形类似的判定除了本节定理外，前面判定 任意三角形类似的方法对直角三角形同样适用。
∴△ ABD ∽ △ ACE
∴ AD AB
AE AC
∵ ∠A= ∠A ∴ △ ADE ∽ △ ABC
A D C
例题2：
已知：如图，CE交△ABC的高线AD于点O，交AB于E
且 求证：
A E
O
B
D
C
例3：如图，已知∠ABC=∠CDB=90°，AC=b，
BC=a， 当BD与a，b之间满足怎样的关系时，
A′ A
B
C B′
C′
问题1复我习们学过的三角形类似的判定定理有
哪些？
判定定理1：两角对应相等，两三角形类似。 判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，
两三角形类似。 判定定理3：三边对应成比例，两三角形类似。
判定：判断题
1. 两条直角边对应成比例的两直角三
角形类似。
（）
2. 有一锐角相等的两直角三角形类
3.关于探索性题目的处理，要考虑各种可能的 情况。
作业：教材P84 练习 1，2，3.
教材P85 习题22.2 10，11.
课第 2后题：思考：
如图 1，已知点 A (-2，4) 和点 B (1，0)都在抛物线 y mx2 2mx n 上．
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D B
E C
基本图形之一：(请添加条件，使之相似)
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Shanghai Qiu Shi Continuation School 2、判定定理: (1)如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两三角形相似。 已知：∠A=∠A’ ;∠B=∠B’ 求证：△ABC∽△A’B’C’
2
）
② BC BD AB
2
③ CD BD AD
2
④ AC BC AB CD
A. ①②④
B. ②③④
C. ①③④
D. ①②③④
6． 如图，在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠A=∠B=Rt∠，AB=7，AD=2，BC=3，如果变 AB 上的点 P 使得以 P、 A、D 为顶点的三角形和以 P、B、C 为顶点的三角形相似，那么这样的点 P 有（ A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
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学生编号 辅导学科 课题名称 教学目标 重点难点 知识精要 数学
学生姓名 所属年级 新九年级 课时进度
授课教师 教材版本
宋老师 沪教版 授课时间 月 日
相似三角形的判定 相似三角形判定 相似三角形判定
2、下列命题正确的是（ ） A．有一个角是 40°的两个等腰三角形 B．有一个角是 100°的两个等腰三角形 C．面积相等的两个直角三角形 D．两边之比为 3:5 的两个直角三角形 3、如图：△ABC 中，∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为 D，且 AD 2.5cm, DB 0.9cm ，求： （1）CD 的长
A'
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A
B
C
C'
B'
基本图形之二：(请给图标上字母，并写出所有的相似三角形)
2 1 1
2 角1=角2 角1=角2
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Shanghai Qiu Shi Continuation School 英才乐园 （2）如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两三角形相似。 已知：∠A=∠A’ ;
A
D
O
B
C
7、已知梯形的两底边长分别为 4 和 6，高是 3，求梯形两腰的延长线的交点到较长底边的距离 【要求自己画图】
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精解名题
1、已知等腰三角形 ABC 中，AB=AC，D 为 CB 延长线上一点，E 为 BC 延长线上一点，且满足
A
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D E
B F
C
【析】 （1）垂直平分线的重要性质——等腰三角形 （2）常用的同角（等角）的余角（或补角）相等 的推广 （3）全等是特殊的相似，相似比为 1
巩固练习
1、如图，∠ACB=∠ABD=90° ，BC=a，AC=b，当 Rt△ABD 的斜边上的高 h=_______时，图中的两个直角三角形相 似.
C G F C
B
D
M
E
A
B
A
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A P D
）
B
C
二、简答 1、如图，已知△ABC 是等边三角形，点 D、E 分别在 CB、AC 的延长线上，∠ADE=60°。求证：△ABD∽△DCE
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2、如图，在正方形 ABCD 中，DE=3EC,BF=FC，求证： 1 2
一、相似三角形的概念 一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三条边对应成比例，那么这两个三角形 相似。对应边的比值叫做相似比。 即△ABC∽△DEF，我们可以得到： 【注意事项 1、2、 】 相似具有连贯性：即两个三角形分别与第三个三角形相似，那么这两个三角形也相似。 相似三角形的预备定理： 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。 （∥） 【请用所上节课所学习的知识+定义证明】
C F E A D B
5、如图：平行四边形 ABCD 中，E 是 BA 延长线上一点，EC 交 AD 于 F，已知 EA : AB 1: 2 , SAEF 2 ,求平行四 边形 ABCD 的面积
E A F D
B
C
6、梯形 ABCD 中，AD∥BC，对角线 AC、BD 相交于点 O，已知 SAOF 9, SCOB 25 ,求梯形 ABCD 的面积
AB AC A ' B ' A 'C '
A'
求证：△ABC∽△A’B’C’
A
B
C
B'
C'
基本图形之三：(请给图标上字母及条件，并写出所有的相似三角形)
（3）如果一个三角形的三边与另外一个三角形的三边对应成比例，那么这两三角形相似。 （4）直角三角形相似的判定定理： 如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个三角形的斜边及直角边对应成比例， 那么这两直角三角形相 似。 （HL） 【自己画图，写出已知、求证，并证明】 【对比】 判定条件 （1） （2） （3） （4） 直角三角形
2、性质二：相似三角形的面积的比等于相似比的平方 【自行证明】
பைடு நூலகம்
热身练习
1、下列条件中，不能判断 ABC 与 DEF 相似的是（ A．∠A=50°，∠B=70°，∠D=50°，∠F=70° ）
B． AB 2, BC 3 ,∠B=40°， DE 4, EF 9 ,∠E=40° C． AB 4, BC 5, AC 6, DE 6, EF 7.5, DF 9 D． AB AC , ∠A=50°， DE DF ,∠E=50°
15 . 4
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N
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A
D
B
M
C
5、有一块直角三角形硬纸板 ABC，∠C=90°，AC=4,BC=3, （1）如图（a） ：正方形 DEFG 的一边 DE 在 AB 上，另两个顶点分别在 AC 和 BC 上，求正方形 DEFG 的边长 （2）如图（b） ：三角形内并排有两个正方形，它们组成的矩形同样内接于△ABC，求每个正方形的边长 （3）如果要在这个直角三角形直板上接触一个面积最大的正方形，那么（a）中的正方形 DEFG 是否符合要求？ 为什么？
A 1 D
E B F 2 C
3、在梯形 ABCD 中，AB∥CD，且 AB=2CD，E,F 分别是 AB,BC 的中点，EF 与 BD 相交于点 M. (1) 求证：△EDM∽△FBM (2) 若 DB=6,求 BM 的长。
D C
M
F
A E
B
4、在△ABC 中，∠BAC=90°,AB=6,AC=8,M 是斜边 BC 的中点，在△AMN 中，∠MAN=90°，AN= 求证:(1)△AMN∽△ACB （2）AM 是 AD 和 AC 的比例中项
C
（2） SACD : SCBD
A
D
B
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4、如图：D 是△ABC 的 AB 边上一个动点，DE∥BC 交 AC 于 E，DF∥AC 交 BC 于 F，已知 AD:DB=1:2，求三角形 ADE、三角形 DBF、平行四边形 DFCE 的面积之比
A D
B
C
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Shanghai Qiu Shi Continuation School 3、已知等边三角形 ABC，D 是 AC 上一点，BD 的垂直平分线交 AB 于 E 点，交 BC 于 F 点 （1） 当点 D 在边 AC 上移动时，△DEF 中哪一个角的大小始终保持不变？并求出其度数 （2） 当点 D 在边 AC 上移动时，△ADE 与哪一个三角形始终相似？并写出证明过程 （3） 在（2）的基础上，当 D 移动到什么位置时，这两三角形相似比为 1 （4） 若等边三角形的边长为 6，AD=2，试求 BE:BF 的值
（备用图） 2、 操作：如图：正方形 ABCD 中，P 是 CD 上一个动点（与 C、D 不重合） ，使三角尺的直角顶点与 P 重合，一条 直角边经过点 B，另一条直角边与正方形的另一条边所在直线交于点 E 探究： （1）观察操作过程，哪一个三角形与△BCP 相似？证明你的结论 （2）当 P 位于 CD 中点时，你得到的三角形与△BCP 的周长之比是多少？
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全
等
相
似
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Shanghai Qiu Shi Continuation School 二、相似三角形的性质 1、性质一：相似三角形对应角相等，对应边成比例 相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比及周长比都等于相似比。 【要求自行证明】 、 【总结】 英才乐园
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Shanghai Qiu Shi Continuation School 一、选择 1.如图，AD∥BC，AB∥CE，则图中相似的三角形共有( A.3 B.4 C.5 D.6 英才乐园
)对。
2.如图，△ABC 中， C 90, CD BC 于点 D， DE BC 于 E，则与 Rt△CDE 相似的直角三角形共有( A.3 B.4 C.5 D.6