管理运筹学讲义：动态规划
合集下载
管理运筹学：第10章 动态规划
5－
r3(s3, x3)
1
2
3
4
5 f3(s3) x*3
－－ －－－ 0 0
4 － －－－ 4 1
－ 6－ －－ 6 2
－ － 11 － － 11 3
－ － － 12 － 12 4
－ － － － 12 12 5
管理运筹学
15
§3 动态规划的应用(1)
其中
x
* 3
表示取3子过程上最优指标值f3(s3)时的 x3
区别，也可知这时 x2的最优决策为1或2。
管理运筹学
18
§3 动态规划的应用(1)
第一阶段：
把 s1(s1 5) 台设备分配给第1，第2，第3厂时，最大
盈数利值为计算f1(见5) 表m1xa10x－[r1(85, x1) f1(5 x1)],其中 x1可取值0,1,2,3,4,5.
s1 x1 0
管理运筹学
5
§1 多阶段决策过程最优化问题举例
第二阶段：有4个始点B1,B2,B3,B4，终点有C1,C2,C3。对始点和终点进行分 析和讨论分别求B1,B2,B3,B4到C1,C2,C3 的最短路径问题：
表10-3
本阶段始点 （状态）
B1 B2 B3 B4
阶段2 本阶段各终点（决策）
C1 2+12=14 4+12=16 4+12=16 7+12=19
为最大，即
max x3
r3
(s3
,
x3
)
r3
(s3
,
s3
)
由于第3阶段是最后的阶段，故有
f3
(s3
)
max x3
r3
(s3
管理运筹学第5章动态规划
递推关系的建立
根据阶段划分、状态转移方程和最优解的性质，建立递推关系。
递推关系的求解
通过递推关系求解各阶段的最优解，最终得到整个问题的最优解。
03
动态规划的求解方法
逆推法
总结词
逆推法是从目标状态出发，逆向推算出达到目标状态的最优决策，逐步推算出初始状态的最优决策。
详细描述
逆推法的基本思想是将问题分解为若干个相互联系的阶段，从最后阶段开始，依次向前推算出每个阶 段的最优决策，直到达到初始状态。这种方法适用于具有重叠子问题和最优子结构的问题，可以避免 重复计算，提高求解效率。
详细描述
资源分配问题通常需要考虑资源的约束条件、 各部门或个体的需求和优先级，以及如何平 衡各方利益。动态规划通过将问题分解为一 系列子问题，逐一求解最优解，最终得到整 体最优解。
生产与存储问题
总结词
生产与存储问题主要研究在生产过程 中如何平衡生产与库存的关系，以最 小化生产成本和库存成本。
详细描述
特点
动态规划适用于具有重叠子问题和最优子结构特性的问题，通过将原问题分解 为子问题，逐个求解并存储子问题的解，避免了重复计算，提高了求解效率。
动态规划的重要性
解决复杂问题
动态规划能够解决一些复杂的问题，如资源分配、生产计 划、物流调度等，这些问题通常难以通过传统方法求解。
提高计算效率
通过避免重复计算，动态规划能够显著提高计算效率，尤 其在处理大规模问题时，能够大大减少计算时间和资源消 耗。
05
动态规划的优化策略
多阶段决策优化
01
02
03
阶段划分
将问题划分为若干个相互 关联的阶段，每个阶段都 有自己的决策变量和状态 转移方程。
状态转移
根据阶段划分、状态转移方程和最优解的性质，建立递推关系。
递推关系的求解
通过递推关系求解各阶段的最优解，最终得到整个问题的最优解。
03
动态规划的求解方法
逆推法
总结词
逆推法是从目标状态出发，逆向推算出达到目标状态的最优决策，逐步推算出初始状态的最优决策。
详细描述
逆推法的基本思想是将问题分解为若干个相互联系的阶段，从最后阶段开始，依次向前推算出每个阶 段的最优决策，直到达到初始状态。这种方法适用于具有重叠子问题和最优子结构的问题，可以避免 重复计算，提高求解效率。
详细描述
资源分配问题通常需要考虑资源的约束条件、 各部门或个体的需求和优先级，以及如何平 衡各方利益。动态规划通过将问题分解为一 系列子问题，逐一求解最优解，最终得到整 体最优解。
生产与存储问题
总结词
生产与存储问题主要研究在生产过程 中如何平衡生产与库存的关系，以最 小化生产成本和库存成本。
详细描述
特点
动态规划适用于具有重叠子问题和最优子结构特性的问题，通过将原问题分解 为子问题，逐个求解并存储子问题的解，避免了重复计算，提高了求解效率。
动态规划的重要性
解决复杂问题
动态规划能够解决一些复杂的问题，如资源分配、生产计 划、物流调度等，这些问题通常难以通过传统方法求解。
提高计算效率
通过避免重复计算，动态规划能够显著提高计算效率，尤 其在处理大规模问题时，能够大大减少计算时间和资源消 耗。
05
动态规划的优化策略
多阶段决策优化
01
02
03
阶段划分
将问题划分为若干个相互 关联的阶段，每个阶段都 有自己的决策变量和状态 转移方程。
状态转移
运筹学课件 第六章 动态规划
求解规划问题可从最终阶段逐步推至最初阶段或从 最初阶段逐步推至最终阶段，我们称前者为逆序解 法，称后者为顺序解法。
动态规划的基本方程（逆序法）：
fk (sk) = opt { wk(sk,uk )⊙ f k+1(sk+1) }
fn+1(sn+1) = φ(sn+1) f k ( sk) — 从第k阶段状态sk到终点的最优效益值
fk (sk+1)=max { vk(xk ) + f k-1(sk) }
f0(x1)=0
0
0
0
0
0
17 14
1
0
3
14
4
01
5
15
01
8
12
7
11
4
8
5
0 10 2 0
20
29
4
4
7
13
7
5
11
8
6
16 3 0
4
30
5
3
0 18
40
40
4
连续型动态规划问题的求解
例:某公司有资金10万元，若投资于项目i的投资额 为xi（i = 1 , 2 , 3)时，其收益分别为 g 1(x1)=2 x12, g 2 ( x 2 ) = 9 x2 , g 3 ( x 3 ) = 4 x3, 问应如何分配投资
第六章 动态规划
6.1 引言 6.2 最优化原理及基本概念 6.3 应用举例
例 6.1
多阶段决策过程最优化
多阶段决策过程，是指一类特殊的过程，它们可以按 时间顺序分解成若干个相互联系的阶段，称为“时段”， 在每个时段都要做决策，全部过程的决策是一个决策序列。 多阶段决策问题也称为序贯决策问题。
运筹学——动态规划
优子策略。该原理的具体解释是，若某一全过程
最优策略为：
p1
(s1 )
{u1
(s1 ),
u 2
(s2
),
,
u
k
(sk
),
u
n
(sn
)}
则对上述策略中所隐含的任一状态而言，
第k子过程上对应于该状态的最优策略必然包
含在上述全过程最优策略p1*中，即为
pk
(sk
)
{u
k
(sk
),
u
k 1
(sk
1
),
2．正确地定义状态变量sk，使它既能正确地描述过 程的状态，又能满足无后效性．动态规划中的状 态与一般控制系统中和通常所说的状态的概念是 有所不同的，动态规划中的状态变量必须具备以 下三个特征：
20
2021/7/26
(1)要能够正确地描述受控过程的变化特征。 (2)要满足无后效性。即如果在某个阶段状态已经给定，那么在
sk 1 Tk (sk ,uk (sk ))
上式称为多阶段决策过程的状态转移方程。有些问题的 状态转移方程不一定存在数学表达式，但是它们的状态 转移，还是有一定规律可循的。
12
2021/7/26
(六) 指标函数 用来衡量策略或子策略或决策的效果的某种数量
指标，就称为指标函数。它是定义在全过程或各 子过程或各阶段上的确定数量函数。对不同问题 ，指标函数可以是诸如费用、成本、产值、利润 、产量、耗量、距离、时间、效用，等等。
7
2021/7/26
（二）状态、状态变量和可能状态集 1.状态与状态变量。用以描述事物(或系统)在某特 定的时间与空间域中所处位置及运动特征的量，称 为状态。反映状态变化的量叫做状态变量。状态变 量必须包含在给定的阶段上确定全部允许决策所需 要的信息。按照过程进行的先后，每个阶段的状态 可分为初始状态和终止状态，或称输入状态和输出 状态，阶段k的初始状态记作sk，终止状态记为sk+1 。但为了清楚起见，通常定义阶段的状态即指其初 始状态。
运筹学教案动态规划
运筹学教案动态规划一、引言1.1 课程背景本课程旨在帮助学生掌握运筹学中的动态规划方法，培养学生解决实际问题的能力。
1.2 课程目标通过本课程的学习，学生将能够：（1）理解动态规划的基本概念和原理；（2）掌握动态规划解决问题的方法和步骤；（3）能够应用动态规划解决实际问题。
二、动态规划基本概念2.1 定义动态规划（Dynamic Programming，DP）是一种求解最优化问题的方法，它将复杂问题分解为简单子问题，并通过求解子问题的最优解来得到原问题的最优解。
2.2 特点（1）最优子结构：问题的最优解包含其子问题的最优解；（2）重叠子问题：问题中含有重复子问题；（3）无后效性：一旦某个给定子问题的解确定了，就不会再改变；（4）子问题划分：问题可以分解为若干个子问题，且子问题之间是相互独立的。
三、动态规划解决问题步骤3.1 定义状态状态是指某一阶段问题的一个描述，可以用一组变量来表示。
3.2 建立状态转移方程状态转移方程是描述从一个状态到另一个状态的转换关系。
3.3 确定边界条件边界条件是指初始状态和最终状态的取值。
3.4 求解最优解根据状态转移方程和边界条件，求解最优解。
四、动态规划应用实例4.1 0-1背包问题问题描述：给定n个物品，每个物品有一个重量和一个价值，背包的最大容量为W，如何选择装入背包的物品，使得背包内物品的总价值最大。
4.2 最长公共子序列问题描述：给定两个序列，求它们的最长公共子序列。
4.3 最短路径问题问题描述：给定一个加权无向图，求从源点到其他各顶点的最短路径。
5.1 动态规划的基本概念和原理5.2 动态规划解决问题的步骤5.3 动态规划在实际问题中的应用教学方法：本课程采用讲授、案例分析、上机实践相结合的教学方法，帮助学生深入理解和掌握动态规划方法。
教学评估：课程结束后，通过课堂讨论、上机考试等方式对学生的学习情况进行评估。
六、动态规划算法设计6.1 动态规划算法框架介绍动态规划算法的基本框架，包括状态定义、状态转移方程、边界条件、计算顺序等。
10运筹学-动态规划
动态规划
动态规划问题实例 动态规划的基本概念与原理 动态规划应用举例
引言
动态规划是解决多阶段决策过程最优化的一种方法。该方法 是由美国数学家贝尔曼（R. E. Bellman)等人在20世纪50年代 初提出的。并成功地解决了生产管理、工程技术等方面的许
多问题，从而建立了运筹学的一个新的分支，即动态规划。
式中opt 可根据题意取 max 或 min.
例如，例1的基本方程为：
f k ( sk ) min{d k ( sk , uk ) f k 1 ( sk 1 )} k 5,4,3,2,1 uk f 6 ( s6 ) 0
最优性原理：无论过去的状态和决策如何，从眼下直到最后 的诸决策必构成最优子策略。
（1）k=5 时，状态 S5 {E1 , E2} 最短路。
它们到F 点的距离即为
f 5 ( E1 ) 4,
f5 ( E2 ) 3;
* * u5 ( E1 ) F , u5 ( E2 ) F.
2
4
C1
8 3
5 4 5 3 4 8
* u5 ( E1 ) F ,
B1
D1 D2 D3
动态规划应用举例
例1 最短路线问题
2 4
C1
8 3
5 4
B1
D1 D2 D3
5 6
2 1
3
6
5 8 7 7
C2 C3
5
3 4 8
E1
3
4
A B2
F E2
3
C4
4
2
4
C1
8 3
5 4 5 3 4 8
B1
D1 D2 D3
5 6 2 1
动态规划问题实例 动态规划的基本概念与原理 动态规划应用举例
引言
动态规划是解决多阶段决策过程最优化的一种方法。该方法 是由美国数学家贝尔曼（R. E. Bellman)等人在20世纪50年代 初提出的。并成功地解决了生产管理、工程技术等方面的许
多问题，从而建立了运筹学的一个新的分支，即动态规划。
式中opt 可根据题意取 max 或 min.
例如，例1的基本方程为：
f k ( sk ) min{d k ( sk , uk ) f k 1 ( sk 1 )} k 5,4,3,2,1 uk f 6 ( s6 ) 0
最优性原理：无论过去的状态和决策如何，从眼下直到最后 的诸决策必构成最优子策略。
（1）k=5 时，状态 S5 {E1 , E2} 最短路。
它们到F 点的距离即为
f 5 ( E1 ) 4,
f5 ( E2 ) 3;
* * u5 ( E1 ) F , u5 ( E2 ) F.
2
4
C1
8 3
5 4 5 3 4 8
* u5 ( E1 ) F ,
B1
D1 D2 D3
动态规划应用举例
例1 最短路线问题
2 4
C1
8 3
5 4
B1
D1 D2 D3
5 6
2 1
3
6
5 8 7 7
C2 C3
5
3 4 8
E1
3
4
A B2
F E2
3
C4
4
2
4
C1
8 3
5 4 5 3 4 8
B1
D1 D2 D3
5 6 2 1
第8章 动态规划《管理运筹学》PPT课件
Vk,n (sk , uk , , sn1) fk [sk , uk ,Vk 1,n (sk 1, uk 1, , 1)] ③函数 fk (sk , uk ,Vk 1,n ) 对于变量 Vk1,n 要严格单调。
8.2 动态规划模型建立
下面以投资问题为例介绍动态规划的建模条件。
【例8-2】 某公司现有资金20万元，若投资于三个
8.1 动态规划基础知识
（5）状态转移方程：状态转移方程是确定过程由一
个状态转移到另一个状态的演变过程。动态规划中某一状
态以及该状态下的决策，与下一状态之间具有一定的函数
关系，称这种函数关系的表达式为状态转移方程。如果第
k段的状态为 sk ，该阶段的决策为
的状态就可以用下式来表示：
uk
sk
，则第k+1段
阶段的指标函数，是该阶段最优的指标函数。
8.2 动态规划模型建立
建立动态规划模型，就是在分析实际问题的基础上建 立该问题的动态规划基本方程。成功地应用动态规划方法 的关键，在于识别问题的多阶段特征，将问题分解成为可 用递推关系式联系起来的若干子问题，或者说正确地建立 具体问题的基本方程，这需要经验与技巧。而正确建立基 本递推关系方程的关键又在于正确选择状态变量，保证各 阶段的状态变量具有递推的状态转移关系。
第8章 动态规划
动态规划(DYnamic Programming，缩写为DP)方法 ，是本世纪50年代初期由美国数学家贝尔曼(Richard E ，Bellman)等人提出，后来逐渐发展起来的数学分支， 它是一种解决多阶段决策过程最优化问题的数学规划法 。动态规划的数学模型和求解方法比较灵活，对于连续 的或离散的，线性的或非线性的，确定性的或随机性的 模型，只要能构成多阶段决策过程，便可用动态规划方 法求其最优解。因而在自然科学、社会科学、工程技术 等许多领域具有广泛的用途，甚至一定程度上比线性规 划（LP）、非线性规划（NLP）有成效，特别是对于某 些离散型问题，解析数学无法适用，动态规划方法就成 为非常有用的求解工具。
8.2 动态规划模型建立
下面以投资问题为例介绍动态规划的建模条件。
【例8-2】 某公司现有资金20万元，若投资于三个
8.1 动态规划基础知识
（5）状态转移方程：状态转移方程是确定过程由一
个状态转移到另一个状态的演变过程。动态规划中某一状
态以及该状态下的决策，与下一状态之间具有一定的函数
关系，称这种函数关系的表达式为状态转移方程。如果第
k段的状态为 sk ，该阶段的决策为
的状态就可以用下式来表示：
uk
sk
，则第k+1段
阶段的指标函数，是该阶段最优的指标函数。
8.2 动态规划模型建立
建立动态规划模型，就是在分析实际问题的基础上建 立该问题的动态规划基本方程。成功地应用动态规划方法 的关键，在于识别问题的多阶段特征，将问题分解成为可 用递推关系式联系起来的若干子问题，或者说正确地建立 具体问题的基本方程，这需要经验与技巧。而正确建立基 本递推关系方程的关键又在于正确选择状态变量，保证各 阶段的状态变量具有递推的状态转移关系。
第8章 动态规划
动态规划(DYnamic Programming，缩写为DP)方法 ，是本世纪50年代初期由美国数学家贝尔曼(Richard E ，Bellman)等人提出，后来逐渐发展起来的数学分支， 它是一种解决多阶段决策过程最优化问题的数学规划法 。动态规划的数学模型和求解方法比较灵活，对于连续 的或离散的，线性的或非线性的，确定性的或随机性的 模型，只要能构成多阶段决策过程，便可用动态规划方 法求其最优解。因而在自然科学、社会科学、工程技术 等许多领域具有广泛的用途，甚至一定程度上比线性规 划（LP）、非线性规划（NLP）有成效，特别是对于某 些离散型问题，解析数学无法适用，动态规划方法就成 为非常有用的求解工具。
运筹学课件第七章_动态规划
略称为最优策略。
全过程策略：U1(S1), U2(S2),…, Un(Sn) P1n={Ui(Si)}, i=1,…,n
子过程策略：Uk(Sk), Uk+1(Sk+1),…, Un(Sn) Pkn={Ui(Si)}, i=k,…,n
6、阶段指标：Vk(Sk, Uk),k阶段，Sk状态下，作出Uk决 策带来的效果。在不同的问题中，指标的含义是不同的，它
运筹学
练习： 求从A到E的最短路径
2
12
B1
10
14
C1 3
9
D1 5
A
5
B2 6 10
1
4
13
6
C2
5
8
E
2
D2
B3
12 11
C3 10
路线为A→B2→C1 →D1 →E ，最短路径为19
2019/10/11
运筹学
二、资源分配问题 1、一维资源分配运筹学源自 二、动态规划的基本思想和基本方程
1、Bellman最优性定理
一个过程的最优策略具有这样的性质：即无论初始状 态及初始决策如何，对于先前决策所形成的状态而言， 其以后所有的决策应构成最优策略。
换句话说，最优策略只能由最优子策略构成。
2、思想方法：在求解过程中，各阶段的状态和决策， 对其后面的阶段来说，只影响其初始状态，而不影响 后面的最优策略。——无后效性
根据k 阶段状态变量和决策变量，写出k+1阶段状 态变量，状态转移方程应当具有递推关系。
5、确定阶段指标函数和最优指标函数，建立动态规 划基本方程
阶段指标函数是指第k 阶段的收益，最优指标函 数是指从第k 阶段状态出发到第n 阶段末所获得收益的
最优值，最后写出动态规划基本方程。
全过程策略：U1(S1), U2(S2),…, Un(Sn) P1n={Ui(Si)}, i=1,…,n
子过程策略：Uk(Sk), Uk+1(Sk+1),…, Un(Sn) Pkn={Ui(Si)}, i=k,…,n
6、阶段指标：Vk(Sk, Uk),k阶段，Sk状态下，作出Uk决 策带来的效果。在不同的问题中，指标的含义是不同的，它
运筹学
练习： 求从A到E的最短路径
2
12
B1
10
14
C1 3
9
D1 5
A
5
B2 6 10
1
4
13
6
C2
5
8
E
2
D2
B3
12 11
C3 10
路线为A→B2→C1 →D1 →E ，最短路径为19
2019/10/11
运筹学
二、资源分配问题 1、一维资源分配运筹学源自 二、动态规划的基本思想和基本方程
1、Bellman最优性定理
一个过程的最优策略具有这样的性质：即无论初始状 态及初始决策如何，对于先前决策所形成的状态而言， 其以后所有的决策应构成最优策略。
换句话说，最优策略只能由最优子策略构成。
2、思想方法：在求解过程中，各阶段的状态和决策， 对其后面的阶段来说，只影响其初始状态，而不影响 后面的最优策略。——无后效性
根据k 阶段状态变量和决策变量，写出k+1阶段状 态变量，状态转移方程应当具有递推关系。
5、确定阶段指标函数和最优指标函数，建立动态规 划基本方程
阶段指标函数是指第k 阶段的收益，最优指标函 数是指从第k 阶段状态出发到第n 阶段末所获得收益的
最优值，最后写出动态规划基本方程。
运筹学第六章 动态规划
f
3
(C
2
)
min
((CC22,,DD21
) )
f f
4 4
( (
D1 D2
) )
6 5
11
min
5
2
min
7
7
最优决策C2 D2
15
f3(C1)=8
2
A5
1
B1 12 14
10
6
B2 10
4 13
B3
12 11
C1
3
9
f3(C2)=7
6
C2
5 8
C3
10
f4(D1)=5
D1
5 f5(E)=0
B1 12 14
2 f2(B2)=110 4
6
5
B2 10
4
1
13
B3
12 11
f2(B3)=19
f3(C1)=8
C1
3
9
f3(C2)=7
6
C2
5 8
C3
10
f3(C3)=12
f4(D1)=5
D1
5 f5(E)=0
E
D2 2
f4(D2)=2
状态 最优决策 状态 最优决策 状态 最优决策 状态 最优决策 状态 A （ A，B2） B2 （B2，C1） C1
22
f1(A)=19
A
f2(B1)=21
B1 12 14
2 f2(B2)=110 4
6
5
B2 10
4
1
13
B3
12 11
f2(B3)=19
f3(C1)=8
C1
3
9
管理运筹学07动态规划
生产计划、库存管理、路径规划 等。
连续时间动态规划
定义
连续时间动态规划是指时间连续变化，状态 和决策也连续变化，状态转移和决策可以发 生在任意时刻。
解决思路
通过将时间连续化，将连续的时间动态问题转化为 离散的时间动态问题，然后应用动态规划的方法进 行求解。
应用场景
控制系统优化、金融衍生品定价、物流优化 等。
状态转移
指从一个状态转移到另一个状态的过程，是动态规划的基本要素 之一。
状态转移方程
描述了状态转移的数学表达式，是动态规划算法的核心。
最优化原理
最优化原理
在多阶段决策问题中，如果每个阶段 都按照最优策略进行选择，则整个问 题的最优解一定是最优的。
最优子结构
如果一个问题的最优解可以由其子问 题的最优解推导出来，则称该问题具 有最优子结构。
解决方案
采用启发式搜索策略， 如模拟退火、遗传算法 等，来引导算法跳出局 部最优解。
案例
在旅行商问题中，采用 模拟退火算法结合动态 规划，在局部搜索和全 局搜索之间取得平衡， 得到全局最优解。
06 动态规划案例研究
案例一：生产与存储问题的动态规划解决方案
总结词
该案例研究探讨了如何利用动态规划解决生 产与存储问题，通过合理安排生产和存储策 略，降低总成本。
管理运筹学07动态规划
contents
目录
• 动态规划概述 • 动态规划的基本概念 • 动态规划的应用 • 动态规划的扩展 • 动态规划的挑战与解决方案 • 动态规划案例研究
01 动态规划概述
定义与特点
定义
动态规划是一种通过将原问题分解为 相互重叠的子问题，并存储子问题的 解以避免重复计算的方法，从而有效 地解决最优化问题的方法。
连续时间动态规划
定义
连续时间动态规划是指时间连续变化，状态 和决策也连续变化，状态转移和决策可以发 生在任意时刻。
解决思路
通过将时间连续化，将连续的时间动态问题转化为 离散的时间动态问题，然后应用动态规划的方法进 行求解。
应用场景
控制系统优化、金融衍生品定价、物流优化 等。
状态转移
指从一个状态转移到另一个状态的过程，是动态规划的基本要素 之一。
状态转移方程
描述了状态转移的数学表达式，是动态规划算法的核心。
最优化原理
最优化原理
在多阶段决策问题中，如果每个阶段 都按照最优策略进行选择，则整个问 题的最优解一定是最优的。
最优子结构
如果一个问题的最优解可以由其子问 题的最优解推导出来，则称该问题具 有最优子结构。
解决方案
采用启发式搜索策略， 如模拟退火、遗传算法 等，来引导算法跳出局 部最优解。
案例
在旅行商问题中，采用 模拟退火算法结合动态 规划，在局部搜索和全 局搜索之间取得平衡， 得到全局最优解。
06 动态规划案例研究
案例一：生产与存储问题的动态规划解决方案
总结词
该案例研究探讨了如何利用动态规划解决生 产与存储问题，通过合理安排生产和存储策 略，降低总成本。
管理运筹学07动态规划
contents
目录
• 动态规划概述 • 动态规划的基本概念 • 动态规划的应用 • 动态规划的扩展 • 动态规划的挑战与解决方案 • 动态规划案例研究
01 动态规划概述
定义与特点
定义
动态规划是一种通过将原问题分解为 相互重叠的子问题，并存储子问题的 解以避免重复计算的方法，从而有效 地解决最优化问题的方法。
运筹学动态规划
许多问题用动态规划的方法去处理，常比 线性规划或非线性规划方法更有效。特别对于 离散性的问题。
特别注意：动态规划是求解某类问题的一种 方法，是考察问题的一种途径，而不是一种算法 （如线性规划是一种算法）。
因而，动态规划没有标准的数学表达式和明 确定义的一组规则，而必须对具体问题进行具体 分析处理．
动态规划
8.1 多阶段决策过程及实例 8.2 动态规划的基本概念和
基本方程 8.3 动态规划的最优性定理 8.4 动态规划与静态规划关系
综述
动态规划是运筹学的一个分支，是解决多 阶段决策过程最优化问题的一种数学方法。
该方法是由美国数学家贝尔曼(R.Bellman)等 人在本世纪50年代初提出的。
他们针对多阶段决策问题的特点，把多阶段 决策问题变换为一系列互相联系单阶段问题，然 后逐个加以解决。
1
2
3
始点
5
B1
6 3
A
4 B2 4 6
2
5
B3 6
C1
1 2
2
C2 2
3
C3
3
4 终点
D1 2
D2 3
E
4
D3
2、状态
5
B1
6 3
A 4 B246
25
B3 6
C1
1 2
2
C2 2
C3 3 3
D1 2
D2 3 E 4
D3
各个阶段开始时所处的自然状况和客观条件称为
状态,描述了研究问题过程的状况(称不可控因素).
一些与时间没有关系的静态规划（如线性 规划，非线性规划）问题，只要人为地引进 “时间”因素，也可把它视为多阶段决策问题， 用动态规划方法去处理。
特别注意：动态规划是求解某类问题的一种 方法，是考察问题的一种途径，而不是一种算法 （如线性规划是一种算法）。
因而，动态规划没有标准的数学表达式和明 确定义的一组规则，而必须对具体问题进行具体 分析处理．
动态规划
8.1 多阶段决策过程及实例 8.2 动态规划的基本概念和
基本方程 8.3 动态规划的最优性定理 8.4 动态规划与静态规划关系
综述
动态规划是运筹学的一个分支，是解决多 阶段决策过程最优化问题的一种数学方法。
该方法是由美国数学家贝尔曼(R.Bellman)等 人在本世纪50年代初提出的。
他们针对多阶段决策问题的特点，把多阶段 决策问题变换为一系列互相联系单阶段问题，然 后逐个加以解决。
1
2
3
始点
5
B1
6 3
A
4 B2 4 6
2
5
B3 6
C1
1 2
2
C2 2
3
C3
3
4 终点
D1 2
D2 3
E
4
D3
2、状态
5
B1
6 3
A 4 B246
25
B3 6
C1
1 2
2
C2 2
C3 3 3
D1 2
D2 3 E 4
D3
各个阶段开始时所处的自然状况和客观条件称为
状态,描述了研究问题过程的状况(称不可控因素).
一些与时间没有关系的静态规划（如线性 规划，非线性规划）问题，只要人为地引进 “时间”因素，也可把它视为多阶段决策问题， 用动态规划方法去处理。
运筹学：第4章 动态规划 动态规划第1节
?阶段指标k阶段状态下决定决策后所产生的效益记为?指标函数各阶段的总效益相应于由阶段k状态出发到终点的后部子策略pkn的指标函数记为?由阶段k状态sk出发到终点的所有可能的后部子策略产生的指标函数中最优者称最优指标函数记为??kkkxsts1????kkkkxsvv?knkknknpsvv?????knkknkkpsoptvsf?kksf?说明状态转移策略阶段指标指标函数?问题
opt {v k(sk
x k D k (sk )
1) 0，k
,x k ) n,n
fk 1(sk 1
1, ,2,1
)}
n
指标函数为阶段指标之 和，即 V kn v i(si ,xi )
或
i k
fk(sk )
fn 1(sn
opt {v k(sk
x k D k (sk )
1) 1，k
,x k ) n,n
P* 14
AB2C 1D1E
f1 19
最短路 最短距离
• 总结以上求解过程，可用如下递推方程表示
fk(s k
)
x
k
min
D k (sk
{v
)
k(s
k
,x
k
)
fk 1(sk 1 )}
f5(s5 ) 0，k 4,3,2,1
一般动态规划基本（逆序递推）方程表示为：
fk(sk )
fn 1(sn
表示两点间距离。现需选一条由A到E的旅行路线， 使总距离最短。
• 以上两个例子代表了这样一种特殊的决策 过程，该过程可分为互相联系的若干阶段， 每一阶段都需做出决策，从而形成全过程 的决策。这种把一个问题看作一个前后关 联具有链状结构的多阶段过程称为多阶段 决策过程，也称序贯决策过程，相应的问 题称为多阶段决策问题。
opt {v k(sk
x k D k (sk )
1) 0，k
,x k ) n,n
fk 1(sk 1
1, ,2,1
)}
n
指标函数为阶段指标之 和，即 V kn v i(si ,xi )
或
i k
fk(sk )
fn 1(sn
opt {v k(sk
x k D k (sk )
1) 1，k
,x k ) n,n
P* 14
AB2C 1D1E
f1 19
最短路 最短距离
• 总结以上求解过程，可用如下递推方程表示
fk(s k
)
x
k
min
D k (sk
{v
)
k(s
k
,x
k
)
fk 1(sk 1 )}
f5(s5 ) 0，k 4,3,2,1
一般动态规划基本（逆序递推）方程表示为：
fk(sk )
fn 1(sn
表示两点间距离。现需选一条由A到E的旅行路线， 使总距离最短。
• 以上两个例子代表了这样一种特殊的决策 过程，该过程可分为互相联系的若干阶段， 每一阶段都需做出决策，从而形成全过程 的决策。这种把一个问题看作一个前后关 联具有链状结构的多阶段过程称为多阶段 决策过程，也称序贯决策过程，相应的问 题称为多阶段决策问题。
第七章动态规划(管理运筹学,李军)
2018/11/15
确定性动态规划问题
给出Sk 和dk的取值后，状态Sk+1的取值唯一确定 的动态规划问题称为确定性动态规划问题。确定 性动态规划有广泛的应用领域，这些领域可概括 为： 1.最短路问题：见117页例7-1 2.资源分配问题 3.存贮控制问题 4.非线性规划问题
2018/11/15
资源分配问题
状态转移律
状态转移律是确定由一个状态到另一个状 态演变过程的关系式，这种演变的对应关 系记为Sk+1=Tk (Sk, dk)。
2018/11/15
策略与子策略
各阶段决策所组成的决策序列称为一 个策略，具有N个阶段的动态规划问 题的策略可表示为{d1(S1), d2(S2), …, dN(SN)}。 从某一阶段开始到过程终点为止的决 策序列，称为子过程策略或子策略。 从第k个阶段起的子策略可表示为 {dk(Sk), dk+1(Sk+1), …, dN(SN)}。
1000(台)， S2 = 900， S3 = 810， S4 = 567 S5 = 397， S6 = 278
上述讨论终端状态S6 是自由的，如果在终端也附加一个约束条 件，如在五年结束时完好的机器数不低于500台(上面只有278 台)，问应如何安排生产？
2018/11/15
存贮控制问题
[例7-4]:第124页
2018/11/15
例7-3的求解
依此类推可求得：
*u3=S3 f3 (S3 ) = 17.5S3 *u2= 0 f2 (S2 ) = 20.8S2 *u1= 0 f1 (S1 ) = 23.7S1 =23700(件)
计算结果表明，前两年应把全部完好设备均投入低负荷生产； 而后三年应把全部完好设备均投入高负荷生产。这样所得的产 量最高，其最高产量为23700件。各年年初的状态为： S1 =
确定性动态规划问题
给出Sk 和dk的取值后，状态Sk+1的取值唯一确定 的动态规划问题称为确定性动态规划问题。确定 性动态规划有广泛的应用领域，这些领域可概括 为： 1.最短路问题：见117页例7-1 2.资源分配问题 3.存贮控制问题 4.非线性规划问题
2018/11/15
资源分配问题
状态转移律
状态转移律是确定由一个状态到另一个状 态演变过程的关系式，这种演变的对应关 系记为Sk+1=Tk (Sk, dk)。
2018/11/15
策略与子策略
各阶段决策所组成的决策序列称为一 个策略，具有N个阶段的动态规划问 题的策略可表示为{d1(S1), d2(S2), …, dN(SN)}。 从某一阶段开始到过程终点为止的决 策序列，称为子过程策略或子策略。 从第k个阶段起的子策略可表示为 {dk(Sk), dk+1(Sk+1), …, dN(SN)}。
1000(台)， S2 = 900， S3 = 810， S4 = 567 S5 = 397， S6 = 278
上述讨论终端状态S6 是自由的，如果在终端也附加一个约束条 件，如在五年结束时完好的机器数不低于500台(上面只有278 台)，问应如何安排生产？
2018/11/15
存贮控制问题
[例7-4]:第124页
2018/11/15
例7-3的求解
依此类推可求得：
*u3=S3 f3 (S3 ) = 17.5S3 *u2= 0 f2 (S2 ) = 20.8S2 *u1= 0 f1 (S1 ) = 23.7S1 =23700(件)
计算结果表明，前两年应把全部完好设备均投入低负荷生产； 而后三年应把全部完好设备均投入高负荷生产。这样所得的产 量最高，其最高产量为23700件。各年年初的状态为： S1 =
运筹学第八章动态规划
2 动态规划的基本概念
学习目标：
1 准确、熟练地掌握动态规划的基本概念、特别是状态 变量、决策变量、状态转移律、指标函数、基本方程 等。
12
（1）阶段（stage）
□为了便于求解和表示决策及过程的发展顺序，而把所给问题恰 当地划分为若干个相互联系又有区别的子问题，称之为多段决策 问题的阶段。一个阶段，就是需要作出一个决策的子问题。 □通常，阶段是按决策进行的时间或空间上先后顺序划分的。 □描述阶段的变量称为阶段变量，常记为k，k=1,2, …,n。 □如本例可按空间分为4个
Vkn( xk, uk, xk+1, uk+1, ···, xn ) = vk(xk, uk) vk+1(xk+1, uk+1) ··· vn(xn, un)
式中，表示某种运算，可以是加、减、乘、除、开方等。
28
□多阶段决策问题中，常见的目标函数形式之一是取各阶段效应
之和的形式，即:
n
23
□子策略：从k阶段到第n阶段，依次进行的阶段决策构成的 决策序列称为k部子策略，表示为
pkn = { uk(xk), uk+1(xk+1), …, un(xn) }
□如从第3阶段的C2
状态开始的一个子策
C2
略可表示：
p34={u3(C2) = D1,
u4(D1) = E }
24
（6）指标函数
□从第2阶段的状态 B1出发，如我们决 定选择C2（也即确 定了下一阶段的状 态）。
B1 C2
20
□一般来说，下一阶段状态变量xk+1的取值是上阶段的某一状 态
变量xk和上阶段决策变量uk(xk)的函数，记为
大学运筹学经典课件第五章动态规划
生产计划问题的动态规划解法
根据生产阶段和生产量的不同组合，构建动 态规划模型进行求解。
经典案例
多阶段生产问题、批量生产计划问题等。
图像处理与计算机视觉中的应用
图像处理中的动态规划应用
通过动态规划算法对图像进行分割、边缘检测、特征提取等 操作。
计算机视觉中的动态规划应用
在目标跟踪、立体视觉、光流计算等领域，利用动态规划求 解最优路径或策略。
决策的无后效性
在动态规划中，每个阶段的决策只与 当前状态有关，而与过去的状态和决 策无关。
边界条件与状态转移方程
边界条件
动态规划问题的边界条件通常指的是问题的初始状态和终止 状态。
状态转移方程
描述问题状态之间转移关系的方程，通常根据问题的具体性 质建立。通过状态转移方程，可以逐步推导出问题的最优解 。
应用领域
03
适用于具有时序性和阶段性特点的问题，如资源分配、任务调
度、路径规划等。
动态规划与人工智能的融合应用
强化学习
结合动态规划和强化学习算法， 通过智能体与环境交互学习最 优决策策略，实现自适应的动
态规划求解。
深度学习
利用深度学习模型强大的特征 提取和表达能力，对动态规划 中的状态转移和决策规则进行
经典案例
图像分割中的最短路径算法、立体匹配中的动态规划算法等 。
06
动态规划的扩展与前沿研究
随机动态规划
随机动态规划模型
描述随机环境下多阶段决策 问题的数学模型，涉及期望 总收益最大化或期望总成本
最小化。
求解方法
通过引入状态转移概率和决 策规则，将随机动态规划问 题转化为确定性动态规划问 题求解，常用方法有值迭代
自顶向下的求解方法（记忆化搜索）
运筹学 第三章 动态规划
4
8 B2 7
5 6 C2 2
D1 4
E
5
6
3
D2
8 B3 9
13 C3
第一阶段
第二阶段 第三阶段 第四阶段
1、阶段(stage)k： 把所给问题的过程，恰当地
分成若干个相互联系的阶段。描述阶段的变量称
为阶段变量，常用k表示。k = 1、2、3、4。
2、状态(state)Sk：状态表示每个阶段开始所处 的自然状态，即是每一阶段的出发位置。阶段的
四、动态决策问题分类： 1、按数据给出的形式分为：
• 离散型动态决策问题。 • 连续型动态决策问题。 2、按决策过程演变的性质分为： • 确定型动态决策问题。 • 随机型动态决策问题。
名词解释
• 例3-1 某公司欲将一批货物从城市A运到城市E 去，如图所示，走哪条路线最好？
B1 6 C1 3
4 A9
U5 S5
E1 E2 n=4
U4 S4
D1 D2 D3 n=3
U3 S3
C1 C2 C3
n=2
U2 S2
B1 B2 B3
n=1
U1 S1
A
f5(s5)=d5(s5,U5)
f5*(s5)
U5
F
1
1
F
2
2
F
f4(s4)=d4(s4,U4)+ f5*(s5)
E1
E2
4+1=5 6+1=7 7+1=8
2+2=4 9 + 2 = 11 5+2=7
D1(S1)={u1(A)}={B1,B2,B3}= S2， D2(S2)={U2(B1),U2(B2),U2(B3)}={C1,C2;C1,C2,C3 ;C2,C3 }={C1,C2,C3}=S3， D3(S3)={U3(C1),U3(C2),U3(C3)}={D1,D2;D1,D2,D3; D1,D2,D3}={D1,D2,D3}=S4， D4(S4)={U4(D1),U4(D2),U4(D3)}={E1,E2;E1,E2;E1,E2} ={E1,E2}=S5，
动态规划(运筹学讲义).
)
min
d d
( (
E2 E2
, ,
F1) F2 )
f6 (F1) f6 (F2 )
min
5 2
4 3
5
u*5 (E2 )= F2
f5
(E3
)
min
d d
( (
E3 E3
, ,
F1) F2 )
f6 (F1) f6 (F2 )
min
fk
(sk
)
opt
uk Dk ( sk
)
vk (sk ,uk ) fk1(sk1)
fn1(sn1) 0
k=n, n 1, ,1
(8.4a) (8.4b)
Opt 可根据题意取 min 或 max
11
动态规划的基本思想如下：
（1）动态规划方法的关键在于正确写出基本递推关系式和恰当的边界条 件，因此必须将多阶段决策过程划分为n个相互联系的阶段，恰当地选取 状态变量、决策变量及定义最优指标函数，从而把问题化为一族同类型 的子问题，然后逐个求解 （2）求解时从边界条件开始，逆（或顺）过程逐段递推寻优。在每一个 子问题求解中，均利用了它前面子问题的最优结果，最后一个子问题的 最优解，就是这个问题的最优解。 （3）动态规划方法既把当前阶段与未来阶段分开，又把当前效益和未来 效率结合，因此每段的最优决策选取是从全局来考虑。 （4）在求这个问题的最优解时，由于初始状态是已知，而每阶段的决策 都是该段状态的函数，故最优策略所经过的各各阶段状态可逐次变换得 到，从而确定最优路线。
量最高。
决策
决策
决策
运筹学 第05章 动态规划
每个阶段有一个输入状态和一个输出状态 一般把输入状态称为该阶段的阶段状态
多阶段决策过程(2) 多阶段决策过程
uk 代表k 阶段对第k 子问题进行的决策,称uk为k 阶段的决策变量,uk的一组确定的取值称为一个 决策 rk 表示k 阶段从状态xk 出发做决策uk 之后产生的 后果,称为k 阶段的阶段效应
所有可能的fn ( xn )都已求出
根据 xn = Tn1( xn1, un1 ) ,就阶段n-1的所有可能状 态 xn1 ∈ Xn1 计算 u'n1 (xn1) 和 fn1( xn1 ) 余者类推,直到阶段1
un1
动态规划问题求解步骤(3) 动态规划问题求解步骤
通过状态转移方程顺序求出最优决策序列 和最优路线
则
fk ( xk ) = opt ⊕ ri ( xi , ui ')
n uk ,Lun i=k ,
执行条件最优策略时的阶段状态序列称为 条件最优路线,表示为{xk, xk+1',…, xn', xn+1'} 条件最优路线
贝尔曼函数(3) 贝尔曼函数
动态规划方法的原理就是建立起fk(xk )与 fk+1(xk+1 )之间的递推关系,然后逐步求出所 有的fk(xk )
fn+1(xn+1 ) ≡ 0
un
fn ( xn ) = rn ( xn , u'n (xn ))
必须就阶段n的所有可能状态 xn ∈ Xn计算 u'n (xn )和 fn ( xn )
动态规划问题求解步骤(2) 动态规划问题求解步骤
k=n-1时,
fn1( xn1 ) = opt{rn ( xn1, un1 ) ⊕ fn ( xn )}
多阶段决策过程(2) 多阶段决策过程
uk 代表k 阶段对第k 子问题进行的决策,称uk为k 阶段的决策变量,uk的一组确定的取值称为一个 决策 rk 表示k 阶段从状态xk 出发做决策uk 之后产生的 后果,称为k 阶段的阶段效应
所有可能的fn ( xn )都已求出
根据 xn = Tn1( xn1, un1 ) ,就阶段n-1的所有可能状 态 xn1 ∈ Xn1 计算 u'n1 (xn1) 和 fn1( xn1 ) 余者类推,直到阶段1
un1
动态规划问题求解步骤(3) 动态规划问题求解步骤
通过状态转移方程顺序求出最优决策序列 和最优路线
则
fk ( xk ) = opt ⊕ ri ( xi , ui ')
n uk ,Lun i=k ,
执行条件最优策略时的阶段状态序列称为 条件最优路线,表示为{xk, xk+1',…, xn', xn+1'} 条件最优路线
贝尔曼函数(3) 贝尔曼函数
动态规划方法的原理就是建立起fk(xk )与 fk+1(xk+1 )之间的递推关系,然后逐步求出所 有的fk(xk )
fn+1(xn+1 ) ≡ 0
un
fn ( xn ) = rn ( xn , u'n (xn ))
必须就阶段n的所有可能状态 xn ∈ Xn计算 u'n (xn )和 fn ( xn )
动态规划问题求解步骤(2) 动态规划问题求解步骤
k=n-1时,
fn1( xn1 ) = opt{rn ( xn1, un1 ) ⊕ fn ( xn )}
运筹学――动态规划课件
当k=1时F1(s1)就是从初始状态到全过程的整体最优函 数.
8
指标函数的常见形式：
（1）过程和它的任一子过程的指标是它所包n 含的各阶段
（2的）指过标程的和和它。的Vk任,n(一sk子, u过k程, s的k+指1,标… 是sn它+1所)＝包含jk 的v j (各s j阶,u段j) 的1
指标的乘积。Vk,n(sk,
23
1、动态规划模型的建立
建立动态模型的6个要素： 1）阶段k 2）状态SK 3)决策uk(sk) 4）状态转移方程 5）阶段指标函数 6）指标递推方程
24
2、动态规划模型的解法
动态规划的求解方法有两种： 逆序解法与顺序解法
1、在已知初始状态S1下，采用逆序解法：（反向递归） 2、在已知终止状态Sn下，采用顺序解法（正向递归）
fk (Sk )
dk Dk
OPt{vk (Sk , dk ) fk1( Sk1 )} fk (sk ) 0Pt Uk (sk , dk )
(k n, n 1,1)
dk Dk (k 1,2,n)
fk1(sk1 )
fn1( Sn1 ) 1
f0 (s0 ) 1
26
计 k 算 顺1如 序时下 解，： 法按解kuff（ （ （ 111例0BsB1， 2） 11） ） ：f的 （ 0 4A定 sA1）义45有f（ 0： uf（ （ A11BB） B1B2222） ） 538077，5A这C是 CCC1234边 845835界 44 条DDD件123156。 323
13
二、动态规划的基本思想和基本方程
最短路线有一个重要特性：如果由起点A经P点和H点 最终到达F点是一条最短路线，则由P点出发经过H点 最终到达F点的这条路线必定也是从P点到F点的最短路 。
8
指标函数的常见形式：
（1）过程和它的任一子过程的指标是它所包n 含的各阶段
（2的）指过标程的和和它。的Vk任,n(一sk子, u过k程, s的k+指1,标… 是sn它+1所)＝包含jk 的v j (各s j阶,u段j) 的1
指标的乘积。Vk,n(sk,
23
1、动态规划模型的建立
建立动态模型的6个要素： 1）阶段k 2）状态SK 3)决策uk(sk) 4）状态转移方程 5）阶段指标函数 6）指标递推方程
24
2、动态规划模型的解法
动态规划的求解方法有两种： 逆序解法与顺序解法
1、在已知初始状态S1下，采用逆序解法：（反向递归） 2、在已知终止状态Sn下，采用顺序解法（正向递归）
fk (Sk )
dk Dk
OPt{vk (Sk , dk ) fk1( Sk1 )} fk (sk ) 0Pt Uk (sk , dk )
(k n, n 1,1)
dk Dk (k 1,2,n)
fk1(sk1 )
fn1( Sn1 ) 1
f0 (s0 ) 1
26
计 k 算 顺1如 序时下 解，： 法按解kuff（ （ （ 111例0BsB1， 2） 11） ） ：f的 （ 0 4A定 sA1）义45有f（ 0： uf（ （ A11BB） B1B2222） ） 538077，5A这C是 CCC1234边 845835界 44 条DDD件123156。 323
13
二、动态规划的基本思想和基本方程
最短路线有一个重要特性：如果由起点A经P点和H点 最终到达F点是一条最短路线，则由P点出发经过H点 最终到达F点的这条路线必定也是从P点到F点的最短路 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
上海财经大学国际工商管理学院
SHUFE
第二节 动态规划原理
• 指标函数
用来衡量每一阶段决策效果的优劣的数量指标，称为阶段指标函数vk ， 阶段指标是状态变量和相应决策变量的函数，即vk = vk(sk , xk )。
• 最短问题是运费或路程。对阶段的不同状态，采取不同的决策，
运费不同。 • 指标函数也可以是利润、成本、产量等。 从第k阶段的状态sk出发到最后阶段结束，各阶段绩效综合起来反映这 个后部子过程的绩效，称为过程指标函数，记为Vk,n。 • Vk,n的大小取决于从第k阶段到最后阶段所采取的子策略。即 Vk,n = Vk,n (sk , xk , sk+1 , xk+1 ,…, sn)
SHUFE
第二节 动态规划原理
二、动态规划方法的基本思路
• 逆序算法：逆着阶段顺序的方向，由后向前推算。
把寻求最优策略看作连续递推过程，从最终阶段开始，逆着实 际过程的进展方向逐段求解； 在每一阶段求解过程中都是其后部子过程最优策略的基础上， 再考虑本阶段的指标函数，求出本阶段的最优策略； 直到第一阶段为止。
14
上海财经大学国际工商管理学院
SHUFE
第二节 动态规划原理
• 基本递推方程
据最优性原理，阶段k的阶段指标vk(sk ,xk )加上(或乘以)从下一阶段k+1 开始到过程结束采取最优策略取得的最优指标函数值fk+1(sk+1) ，再从 中选出最优，便是阶段k从状态sk出发到全过程结束的最优指标函数值。
• 例如：
企业生产物流：可分为物料供应、生产制造、分销零售等 阶段。 最短路问题：可以按空间顺序划分阶段。
3
上海财经大学国际工商管理学院
SHUFE
第一节
A1 2
多阶段决策问题
7 4 B1
• 最短路问题
1 4
B2 6 C1 3 T
Q
4 3
6 4 A2 2 4 4 2 A3 5
3
3
C1
4
B3
3
2
上海财经大学国际工商管理学院
SHUFE
第一节
多阶段决策问题
一、 问题的提出
• 多阶段决策：
经济管理决策中，有些管理决策问题可以按时序或空间演 变划分成多个阶段 ，呈现出明显的阶段性； 于是可把这类决策问题分解成几个相互联系的阶段，每个 阶段即为一个子问题； 原有问题的求解就化为逐个求解几个简单的阶段子问题； 每个阶段的决策一旦确定，整个决策过程也随之确定，此 类问题称为多阶段决策问题。
生 产 商
阶段1
出 口 港
阶段2
进 口 港
阶段3
城 市
阶段4
某 公 司
• 从生产厂Q到某公司T选择那条路线,使总运费最低(路程最短)？
4
上海财经大学国际工商管理学院
SHUFE
第一节
多阶段决策问题
• 这是一个多阶段决策问题，它可分为四个阶段：
第一阶段：从Q(制造厂)到A(出口港)； 第二阶段：从A(出口港)到B(进口港)； 第三阶段：从B(进口港)到C(城市)； 第四阶段：从C(城市)到T(某公司)。
SHUFE
第二节 动态规划原理
• 状态(state)
状态表示过程发展中某阶段的起始状况。 过程的发展可以通过各阶段状态的演变来描述。 状态可用一个变量来描述，称为状态变量，用Sk表示。 选取的状态变量必须满足无后效性。 • 某阶段的状态给定后，则过程未来发展不受该阶段以前 各阶段状态的影响。 第 k 阶段可能有若干状态，用Sk 表示阶段k的状态集合， sk(i)表示第k阶段的第 i 个状态。
过程 变量 离散 连续
17
• 动态规划模型分类
确定
离散确定型 连续确定型
随机
离散随机型 连续随机型
上海财经大学国际工商管理学院
SHUFE
第三节
应用举例
一、资源分配问题
• 资源分配问题：
把有限的资源(如资金、材料、设备、人力等)分配给若干 使用者，而使某一指标为最优的问题即为资源分配问题。 资源可以有一种或若干种， 只有一种资源可供分配的问题称之为一维资源分配问题。
管理运筹学
谢家平 博士 副教授
研究领域：系统建模与优化、生产与运作管理、物流与供应链管理
讲授课程：管理运筹学、管理系统工程、生产运作管理、
供应链管理、企业资源计划、国际物流管理、 企业物流管理、管理决策模型与方法
单
位：上海财经大学国际工商管理学院供应链管理研究中心
E-mail：jiaping_xie@ 电 话：65903541(O)
若Vk ,n vi ( si , xi )，过程指标等于各阶段 指标之和
i k
n
基本方程：f k ( sk ) opt vk ( sk , xk ) f k 1 ( sk 1 ) xk X k ( S k ) 边界条件：f n 1 ( sn 1 ) 0
15
上海财经大学国际工商管理学院
SHUFE
第二节 动态规划原理
决 策 x1 决 策 x2 状态S2 决 策 xk 状态S3 决 策 xk+1 状态Sk+1 决 策 xn
状态S1
阶段1
阶段2
… 阶段k
阶段k+1
… 阶段n
v1
v2
vk
寻求最优解的方向
vk+1
vn
边界条件： n1 (sn1 ) 0 f
• 根据实际问题的性质，指标函数Vk,n 可以是各个阶段指标的和或积。
从状态sk出发，选取最优策略所得的指标函数值称为最优指标函数值。
• fk(sk)=opt{Vk,n }=opt{vk(sk , xk ) + fk+1(sk+1) }
• opt表示最优化，取最大max或最小min。
13
上海财经大学国际工商管理学院
若Vk ,n vi ( si , xi )，过程指标等于各阶段 指标之积
i k n
基本方程：f k ( sk ) opt vk ( sk , xk ) f k 1 ( sk 1 ) xk X k ( S k ) 边界条件：f n 1 ( sn 1 ) 1
递推方程： f k ( sk )
opt v
xk X k ( S k )
k
( sk , xk ) f k 1 ( sk 1 )
上海财经大学国际工商管理学院
16
SHUFE
第二节 动态规划原理
三、动态规划模型
• 建模步骤（小结）
对问题进行阶段划分，确定阶段变量k 确定状态变量sk 确定决策变量xk 、允许决策集合Xk (sk ) 写出状态转移方程sk+1 =Tk (sk,xk) 写出指标函数的基本递推方程 明确边界条件
• 一维资源分配问题
设备台数
分厂
I II III
18
0
0 0 0
1
3 4 2
2
5 6 5
3
6 7 9
4
7 8 8
5
6 9 8
6
5 10 7
各分厂 在不同 设备台 数下所 获利润
如何分配设备，可使获利最大？
上海财经大学国际工商管理学院
SHUFE
第三节
应用举例
• 动态规划的数学模型
将三个分厂看作是三个阶段，即阶段变量 k=1,2,3; 状态变量sk 表示第k 阶段初可分配的设备台数,0≤ sk ≤6; 决策变量xk 表示第k 阶段分配给分厂k 的设备台数， 允许决策集合Xk (sk)={ xk ︱0≤ xk ≤sk}; 状态转移方程为 sk+1 = sk - xk ; 阶段指标vk(sk, xk) 表示第k 阶段从sk台设备中分配给k 分厂 xk 台设备的阶段效益; 最优指数函数fk(sk)表示第k阶段从sk 开始到最后阶段采用 最优分配策略取得的最大的效益值; 递推方程函数式
11
上海财经大学国际工商管理学院
SHUFE
第二节 动态规划原理
• 状态转移方程
下一阶段状态sk+1 是本阶段状态变量sk 和决策变量xk的函数，
即 sk+1 =T(sk, xk(sk)) =T(sk, xk) 从状态sk出发到下一阶段状态sk+1的转移规律称为状态转移 方程。
Байду номын сангаас12
A1 11,A3 Q 2 4 3
8,B1 6 4 A2 2 4 8,B1 4 2 A3 5
阶段1 阶段2
C1 3
0 T
6
3 4,T C2 4
6,C1 3 B3 3
阶段3
阶段4
• 最短路径：Q→ A3→ B1→ C1→T
6
上海财经大学国际工商管理学院
SHUFE
第一节
多阶段决策问题
三、 多阶段决策的基本特征
7
上海财经大学国际工商管理学院
SHUFE
第二节 动态规划原理
一、动态规划的基本概念
• 阶段(stage)
处理多阶段决策，需将全过程划为若干阶段，每个阶段进 行一次抉择。 各阶段按一定顺序联接在一起组成统一的整体。 用k表示阶段变量。 阶段编号
• 顺序编号
• 逆序编号
8
上海财经大学国际工商管理学院
• 最短路的基本特征
从始点Q到终点T 的最短路径：Q→ A3→ B1→ C1→T，则 从中点A3 到终点T 的最短路径必为： A3→ B1→ C1→T， 从中点B1 到终点T 的最短路径必为：B1→ C1→T，…。 推广：从始点Q到终点T 的最短路径： Q → S1→ S2→ … → Sk→ Sk+1→ … → Sn→T，则 从中点Sk 到终点T 的最短路径必为： Sk→ Sk+1→ … → Sn→T。