【高三】天津市2018届高三《数学》上学期第一次月考试题理(含答案)

天津市2018届高三数学上学期第一次月考试题 理一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分 1.已知i 是虚数单位，则复数=--ii131 i D i C i B i A 212122--+-+-2.设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≤≥+≤+24222y y x y x ，则目标函数y x z -=的最小值是8524D C B A -3.阅读右面的程序框图，则输出的=S55203014D C B A4.在1021⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的二项展开式中，4x 的系数为1515120120D C B A --5.已知{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-=<+=03|,41|x x x N x x M ，那么”“M a ∈是”“N a ∈的 必要而不充分条件充分而不必要条件B A既不充分也不必要条件充分必要条件D C 6.已知双曲线()014222>=-a y a x 的右焦点与抛物线x y 122=的焦点重合，则该双曲线的离心率为553233559DCBA7.已知定义在R 上的函数()12-=-mx x f （m 为实数）为偶函数，记()3log 5.0f a =，()5log 2f b =，()m f c 2=，则c b a ,,的大小关系为c b a D bc a C ab c B ba c A <<<<<<<<8.已知函数()()⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=0log 0122x x x x x f ，若方程()a x f =恰有四个不同的解()43214321,,,x x x x x x x x <<<，则()423213·1x x x x x ++的取值范围是 ()(]()[)1,11,1,1,1-∞--+∞-D C B A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9.设集合{}1,3+-=a A ，{}1,3,122+--=a a a B ，若{}3-=B A ，则实数=a 10.设数列{}n a 是首相为1a ，公差为1-的等差数列，n S 为其前n 项和.若421,,S S S 成等比数列，则2a 的值为11.直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点B A ,分别在曲线⎩⎨⎧+=+=θθsin 4cos 3:1y x C （θ为参数）和曲线1:2=ρC 上，则AB 的最小值为12.函数()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈+-⎪⎭⎫⎝⎛+=4,443cos 33sin ·cos 2πππx x x x x f 的最小值为 13.已知棱长为2的正四面体的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为14.梯形ABCD 中，︒=∠===60,2,1,4,//DAB AD DC AB CD AB ，点E 在线段BD 上，点F 在线段AC 上，且4·,,===DF AE CA CF BD BE μλ，则μλ+的最小值为三、解答题：本大题共6个小题，共计80分 15.（本小题满分13分）设ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且97cos ,2,6===+B b c a (1)求c a ,的值 (2)求()B A -sin 的值 16.（本小题满分13分）一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片.(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率(2)X 表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X 的分布列与数学期望. （注：若三个数c b a ,,满足c b a ≤≤，则称b 为这三个数的中位数） 17.（本小题满分13分）如图，︒=∠⊥90,//,ACB PC DA ABC PC 平面，E 为PB 的中点，1===BC AD AC ，2=PC .(1)求证：ABC DE 平面// (2)求证：BCD PD 平面⊥(3)设Q 为线段PB 上一点，λ=，试确定实数λ的值，使得二面角B CD Q --为︒45 18.（本小题满分13分）正项等比数列{}n a 的前n 项和记为n S ，11=a ，133=S . (1)求数列{}n a 的通项公式(2)等差数列{}n b 的各项为正，且52=b ，又332211,,b a b a b a +++成等比数列，设n n n b a A =，求数列{}n A 的前n 项和n T . 19.（本小题满分14分）已知椭圆()012222>>=+b a by a x 经过点()3,0，离心率为21，左右焦点分别为()()0,,0,21c F c F -.(1)求椭圆的方程 (2)若直线m x y l +-=21:与椭圆交于B A ,两点，与以21,F F 为直径的圆交于D C ,两点，且满足435=CDAB ，求直线l 的方程. 20.（本小题满分14分）已知函数()()a x x x f +-=ln 的最小值为0，其中0>a . (1)求a 的值(2)若对任意的[)+∞∈,0x ，有()2kx x f ≤成立，求实数k 的最小值 (3)证明：()()*212ln 1221N n n i ni ∈<+--∑= 天津市耀华中学2018届高三年级暑假验收考试数学参考答案（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分1.A ；2.C ；3.B ；4.C ；5.B ；6.D ；7.A ；8.B 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9.1-； 10.23-； 11.3； 12.21-； 13.π23； 14.36411+ 三、解答题：本大题共6个小题，共计80分 15.（本小题满分13分） 解：(1)由97cos =B 与余弦定理得，ac c a 914422=-+，又6=+c a ，解得3==c a (2) 又c a =，2=b ，924sin =B 与正弦定理得，322sin =A ，31cos =A .所以()27210sin cos cos sin sin =-=-B A B A B A 16.（本小题满分13分）解：(1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为845393334=+=C C C P (2) X 的所有可能值为1，2，3，且()4217139341524=+==C C C C X P ，()8443239331623121413=++==C C C C C C C X P ， ()1213391722===C C C X P ，故X 的分布列为：从而()28123842421=⨯+⨯+⨯=X E 17.（本小题满分13分）(1)证明：以C 为原点建立空间直角坐标系xyz C -，()0,1,0B ，()1,0,1D ，()200，，P 则⎪⎭⎫ ⎝⎛1210，，E ，⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0211，，，易知()2,0,0=为平面ABC 的一个法向量，PC DE PC DE ⊥∴=⋅，0ABC DE 平面⊄ ，ABC DE 平面//∴；(2)证明：()1,0,1-= ，()0,1,0=，()1,0,1=，0=⋅∴，0=⋅，DC PD BC PD ⊥⊥∴，， BCD PD C DC BC 平面⊥∴=⋂, ；(3)解：由(2)知平面BCD 的法向量为()1,0,1-=PD()2,1,0-=PB ，()λλλ2,,0-==PB PQ ，()10，∈λ，()22,,0+-=∴λλQ 而()()22,,0,1,0,1+-==λλCQ CD ，设平面QCD 的法向量为()000,,z y x =n ，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00CD n n 得，()⎩⎨⎧=+-+=+02200000z y z x λλ， 令10=z ，则10-=x ，220-=λy ，即⎪⎭⎫⎝⎛--=1221，，λn ， 故224862245cos 2=+-⋅-==︒λλλ， 解得22±=λ，由()10，∈λ得，22-=λ. 18.（本小题满分13分）解：(1)设公比为q ，则13123=++=q q S ，得43-==q q 或0>n a ，3=∴q ，1113--=⋅=∴n n n q a a ；(2)设{}n b 的公差为d ，由52=b ，可设d b d b +=-=5,531，又11=a ，32=a ，93=a ，由题意可得()()()2359515+=+++-d d ，解得10,221-==d d ， 等差数列{}n b 的各项为正，2,0=∴>∴d d ，351=-=∴d b ，()()1221311+=⨯-+=-+=∴n n d n b b n ；()1312-⋅+==n n n n n b a A ，则()1323123937353-⋅+++⨯+⨯+⨯+=n n n T ，① ()n n n T 312393735333432⋅+++⨯+⨯+⨯+⨯=∴ ，②由①-②得，()()n n n n T 3123333232132⋅+-++++⨯+=--()()n n n n n 3231231313231⋅-=⋅+---⨯+=-，n n n T 3⋅=∴.19.（本小题满分14分） 解：(1)由题设3=b ，21=a c ，222c a b -=，解得1,3,2===c b a ∴椭圆的方程为13422=+y x ； (2)由题设，以1F ，2F 为直径的圆的方程为122=+y x ，圆心到直线l 的距离为52m d =由1<d 得，25<m ①，2224552541212m m d CD -=-=-=∴， 设()11,y x A ，()22,y x B ，由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-==+m x y y x 2113422得，0322=-+-m mx x ， m x x =+21，3221-=m x x ，()[]2222421534211m m m AB -=--⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∴，由435=CD AB得，145422=--m m ，解得33±=m ，满足①， ∴直线l 的方程为33213321--=+-=x y x y 或. 20.（本小题满分14分）解：(1))(x f 的定义域为()+∞-,a()ax a x a x x f +-+=+-='111，由()0='x f ，得a a x ->-=1 当a x a -<<-1时，()0<'x f ，函数)(x f 单调递减； 当a x ->1时，()0>'x f ，函数)(x f 单调递增，()a f -1为唯一的极小值，也是最小值，故由题意()011=-=-a a f ，所以1=a .(2)当0≤k 时，取1=x ，有()02ln 11>-=f ，故0≤k 不符合题意 当0>k 时，令()()2kx x f x g -=，即()()21ln kx x x x g -+-=()()1212212+-+-=-+='x xk kx kx x x x g令()0='x g ，得01=x ，12212->-=kkx ①当21≥k 时，0221≤-kk，()0<'x g 在()+∞,0上恒成立，因此()x g 在),0[+∞上单调递减，从而对于任意的),0[+∞∈x ，总有()()00=≤g x g ，即()2kx x f ≤在),0[+∞上恒成立，故21≥k 符合题意. ②当210<<k 时，0221>-k k ，对于⎪⎭⎫⎝⎛-∈k k x 221,0，()0>'x g故()x g 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-k k 221,0内单调递增，因此，当取⎪⎭⎫⎝⎛-∈k k x 221,00时，()()000=>g x g ， 即()200kx x f ≤不成立. 故210<<k 不符合题意.(3)证明：当1=n 时，不等式左边=<-=23ln 2右边，所以不等式成立， 当2≥n 时，()()[]()12ln 12212ln 12ln 1221221111+--=--+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑∑∑∑====n i i i i i f ni n i n i ni 在(2)中取21=k 得，())0(22≥≤x x x f ，从而()()()()2,123221221222≥∈--<-≤⎪⎭⎫⎝⎛-*i N i i i i i f 所以()()()∑∑∑===--+-<⎪⎭⎫⎝⎛-=+--ni n i ni i i i f n i 211123223ln 212212ln 122 212113ln 21213213ln 22<--+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛---+-=∑=i i i ni 综上()∑=*∈<+--ni N n n i 1,212ln 122.。