【高三】天津市2018届高三《数学》上学期第一次月考试题理(含答案)
2018年天津市高三第一次校模拟考试数学(理)试题word版含答案

2018年天津市高三第一次校模拟考试数学(理)试题第Ⅰ卷(共40分)一、选择题:本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若复数312a ii++(a R ∈,i 为虚数单位)是纯虚数,则实数a 的值为( ) A .-6 B .13 C .32D2.设变量x ,y 满足约束条件4,4,2,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤-⎩则目标函数2z x y =-的最小值为( )A .4B .-5C .-6D .-83.命题p :||1x <,命题q :260x x +-<,则p ⌝是q ⌝成立的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D . 既不充分也不必要条件4.在100展开式所得的x 的多项式中,系数为有理数的项有( ) A .16项 B .17项 C.24项 D .50项5.若1ln 2a =,0.813b ⎛⎫= ⎪⎝⎭,132c =,则( )A .a b c <<B .a c b << C.c a b << D .b a c <<6.将标号为1、2,…,10的10个球放入标号为1,2,…,10的10个盒子内,每一个盒内放一个球,恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法种数为( ) A .120 B .240 C.360 D .7207.过双曲线22221x y a b-=(0a >,0b >)的右顶点A 作斜率为-1的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B ,C ,若12AB BC =,则双曲线的离心率是( ) ABD8.如图,梯形ABCD 中,AB CD ,2AB =,4CD =,BC AD ==,E 和F 分别为AD 与BC 的中点,对于常数λ,在梯形ABCD 的四条边上恰好有8个不同的点P ,使得PE PF λ⋅=成立,则实数λ的取值范围是( )A .59(,)420-- B .511(,)44-- C.111(,)44- D .91(,)204--第Ⅱ卷(共110分)二、填空题(本大题共6小题,每题5分,满分30分,将答案填在答题纸上)9.已知集合U R =,集合{||3||3|3}A x R x x =∈+-->241{|,(0,)}t t B x R x t t-+=∈=∈+∞,则集合()U BC A = .10.执行如图所示的程序框图,则输出b 的结果是 .11.由曲线y =,直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为 .12.已知某几何体的三视图如下图所示,根据图中标出的尺寸(单位:cm ),可得这个几何体的体积是3cm .13.设a 与b 均为正数,且33122x y +=++,则2x y +的最小值为 . 14.设函数()f x 的定义域为D ,如果存在正实数k ,使得对任意x D ∈,都有x k D +∈,且()()f x k f x +>恒成立,则称函数()f x 为D 上的“k 的型增函数”,已知()f x 是定义在R 上的奇函数,且在0x >时,()||2f x x a a =--,若()f x 为R 上的“2017的型增函数”,则实数a 的取值范围是 .三、解答题 (本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)15. 已知函数()sin cos()6f x x x π=+-,x R ∈.(Ⅰ)求()f x 的最大值;(Ⅱ)设ABC ∆中,角A 、B 的对边分别为a 、b ,若2B A =且2()6b af A π=-,求角C 的大小.16.一个口袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球.(Ⅰ)采取放回抽样方式,从中摸出两个球,求两球恰好颜色不同的概率; (Ⅱ)采取不放回抽样方式,从中摸出两个球,求摸得白球的个数分分布列与期望.17. 如图,四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD ,AD BC ,22PA AB AD BC ====,BAD θ∠=,E 是棱PD 的中点.(Ⅰ)若60θ=︒,求证:AE ⊥平面PCD ; (Ⅱ)求θ的值,使二面角P CD A --的平面角最小.18. 已知单调递增的等比数列{}n a 满足23428a a a ++=,且32a +是2a ,4a 的等差中项. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)若数列{}n b 满足1312231(1)21212121n nn n b b b b a +=-----++++,求数列{}n b 的通项公式; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,设2n n n c b λ=+,问是否存在实数λ使得数列{}n c (*n N ∈)是单调递增数列?若存在,求出λ的取值范围;若不存在,请说明理由.19. 已知抛物线1C :24x y =的焦点F 也是椭圆2C :22221y x a b+=(0a b >>)的一个焦点,1C 与2C 的公共弦长为. (Ⅰ)求2C 的方程(Ⅱ)过点F 的直线l 与1C 相交于A ,B 两点,与2C 相交于C ,D 两点,且AC ,BD 同向. (1)若||||AC BD =求直线l 的斜率;(2)设1C 在点A 处的切线与x 轴的交点为M ,证明:直线l 绕点F 旋转时,MFD ∆总是钝角三角形.20. 已知函数2()2xx f x e x -=+,()2ln g x x ax =-(a R ∈) (Ⅰ)讨论()f x 的单调性;(Ⅱ)证明:当[0,1)b ∈时,函数2()x e bx bh x x--=(0x >)有最小值.记()h x 的最小值为()b ϕ,求()b ϕ的值域;(Ⅲ)若()g x 存在两个不同的零点1x ,2x (12x x <),求a 的取值范围,并比较122'()3x x g +与0的大小.2018年天津市高三第一次校模拟考试数学(理)试题答案一、选择题1-5:ADBBA 6-8:BCD二、填空题9.3[2,]2-10.2 11.16312.1213.3+14.2017 (,6-∞)三、解答题15.解:1 ()sin cos sin sin62f x x x x x xπ⎛⎫=+-=+⎪⎝⎭1cos26x x xπ⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭.3xπ⎛⎫-⎪⎝⎭)所以()f x(Ⅱ)解:因为26b af Aπ⎛⎫=-⎪⎝⎭,由(Ⅰ)和正弦定理,得2sin B A=.又2B A=,所以2sin2A A=,即22sin cosA A A=,而A是三角形的内角,所以sin0A≠,故cos A A=,tan A=,所以6Aπ=,23B Aπ==,2C A Bππ=--=16.(Ⅰ)解:采取放回抽样方式,从中摸出两个球,两球恰好颜色不同,也就是说从5个球中摸出一球,若第一次摸到白球,则第二次摸到黑球;若第一次摸到黑球,则第二次摸到白球.因此它的概率P是:11113322111155551225C CC CPC C C C=⋅+⋅=.(Ⅱ)解:设摸得白球的个数为ξ,则ξ=0,1,2.23253(0)10C P C ξ===;1123253(1)5C C P C ξ⋅===;22251(2)10C P C ξ===. ξ的分布列为:012105105E ξ=⨯+⨯+⨯=17.解:当60θ=︒时,∵AD BC ,22ABAD BC ===. ∴CD AD ⊥.又PA ⊥平面ABCD ,∴PA CD ⊥. ∴CD ⊥平面PAD . 又AE ⊂平面PAD , ∴CD AE ⊥.又PA AD =,E 是棱PD 的中点, ∴PD AE ⊥. ∴AE ⊥平面PCD .(Ⅱ)如图,建立空间直角坐标系A xyz -,则(0,0,2)P ,(2sin ,2cos ,0)B θθ,(2sin ,2cos 1,0)C θθ+,(0,2,0)D .∴(0,2,2)DP =-、(2sin ,2cos 1,0)DC θθ=-.设平面PCD 的法向量为(,,)n x y z =,则220(2sin )(2cos 1)0n DPy z x y n DC θθ⎧⊥-+=⎧⎪⇒⎨⎨+-=⊥⎩⎪⎩ 取1y =,得2cos 1(,1,1)2sin n θθ-=.又易知平面ABCD 的法向量为(0,0,1)m =. 设二面角P CD A --的平面角为α, 则cos 2cos m n m nα⋅==⋅要使α最小,则cos α最大,即2cos 102sin θθ-=,∴1cos 2θ=,得3πθ=18.解:(Ⅰ)设此等比数列为1a ,1a q ,21a q ,31a q ,…,其中10a ≠,0q ≠. 由题意知:2311128a q a q a q ++=,①321112(2)a q a q a q +=+.②②7⨯-①得3211161560a q a q a q -+=, 即22520q q -+=,解得2q =或12q =. ∵等比数列{}n a 单调递增,∴12a =,2q =,∴2n n a =; (Ⅱ)由(Ⅰ)可知112n n a =(*n N ∈), 由1312231(1)221212121n n n nb b b b +=-+-+-++++(*n N ∈), 得311212311(1)221212121n n n n b b b b ---=-+-+-++++(2n ≥), 故1111(1)2221n n n n n b +--=-+,即1(1)(1)2n n n b =-+(2n ≥), 当1n =时,1121b a =+,132b =,∴3,21(1)(1).2n n nb ⎧⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩*1,2,.n n n N =≥∈;(Ⅲ)∵2n n n c b λ=+,∴当3n ≥时,12(1)(1)2n n n n c λ=+-+,111112(1)(1)2n n n n c λ----=+-+, 依据题意,有1132(1)(2)02n n n n n c c λ---=+-+>,即12(1)322n nn λ-->-+,①当n 为大于或等于4的偶数时,有12322n n λ->-+恒成立,又1212213312222n n n n ---=-++随n 增大而增大, 则当且仅当4n =时,1min212833522n n -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭,故λ的取值范围为12835λ>-; ②当n 为大于或等于3的奇数时,有12322n nλ-<+恒成立,且仅当3n =时,1min 23231922n n -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭,故λ的取值范围为3219λ<;又当2n =时,由212153(2)(2)042n n c c c c λλ--=-=+-+>,得8λ<,综上可得,所求λ的取值范围是12832|3519λλ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭. 19.解:(1)由抛物线1C :24x y =的焦点(0,1)F ,所以221a b -=,又由1C 与2C的公共弦长为,得公共点坐标3()2,所以229614a b+=,解得29a =,28b =得2C :22198x y +=(2)设11(,)A x y ,22(,)B x y ,33(,)C x y ,44(,)D x y由AC BD =,得1234x x x x -=-,所以2212123434()4()4x x x x x x x x +-=+-① 设直线l 的斜率为k ,则直线l 的方程为1y kx =+由21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩得2440x kx --=,124x x k +=,124x x =-②由221,1,98y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2(98)16640k x kx ++-=,3421698k x x k -+=+,3426498x x k -=+③将②③代入①,解得k =由24x y =,'2xy =,所以1C 在点A 处的切线方程为21124x x y x =-所以1(,0)2x M ,1(,1)2xFM =-,11(,1)FA x y =- 2211111024x x FM FA y ⋅=-+=+>,显然FM ,FA 不会同向共线,因此AFM ∠是锐角,从而FMD ∠是钝角,所以直线l 绕点F 旋转时,MFD ∆总是钝角三角线 20.解:(Ⅰ)()f x 的定义域为(,2)(2,)-∞-⋃-+∞.222(1)(2)(2)'()0(2)(2)x x xx x e x e x e f x x x -+--==≥++, 当且仅当0x =时,'()0f x =,所以()f x 在(,2)-∞-,(2,)-+∞单调递增,(Ⅱ)2243(2)(2)(2)(2)'()x x x x e x x b x e x bh x x x -++-++==32(2)()2xx x e b x x-+++=由(Ⅰ)知,2()2xx f x b e b x -+=++单调递增, 对任意[0,1)b ∈,(0)10f b b +=-+<,(2)0f b b +=≥ 因此,存在唯一(0,2]t ∈,使得'()()0h t f t b =+=.当(0,)x t ∈时,'()0h x <,()h x 递减,当(,)x t ∈+∞时,'()0h x >,()h x 递增.所以()h x 有最小值2()()2t te bt b e b h t t t ϕ--===+. 而2(1)()'02(2)t t e e t t t +=>++,所以()2te h t t =+在(0,2]上递增.所以(0)()(2)h h t h <≤,即()h a 的值域为21(]24e ,(Ⅲ)定义域为(0,)+∞,22'()ax g x a x x-=-= 当0a ≤时,()g x 在(0,)+∞上递增,舍.当0a >时,()g x 在2(0,)a 上递增,在2(,)a+∞上递减, 0x +→,()g x →-∞,x →+∞,()g x →-∞, 所以min 2()()0g x g a =>,20a e<<. 设4()()()F x g x g x a =--,822'()22044()a F x a a x x x x a a=+-=-≥-- 所以()F x 在(0,)4a 上递增,2()()0F x F a <=,即4()()g x g x a<- 所以2114()()()g x g x g x a=<-, 又122x x a <<,所以2x ,142x a a ->且在2(,)a+∞上递减 所以214x x a <-,即124x x a +>,12223x x a+>. 所以122'()03x x g +<。
2023-2024学年天津市南开中学高三上学期第一次月考数学试题及答案

南开中学2024届高三第一次月检测数学学科试卷考试时间:120分钟本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷两部分,共150分.考试结束后,请交回答题卡.第I卷一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1. 已知集合{}2|230A x x x =-->,{}1,2,3,4B =,则()A B ⋂=Rð()A. {}1,2 B. {}1,2,3 C. {}3,4 D. {}42. “sin 0x =”是“cos 1x =”的( )A 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件3. 函数()||sin 2f x x x =的部分图象可能是( )AB. C. D.4. 下列函数中,是奇函数且在()0,∞+上单调递减的是( )A. 2y = B. sin xy x=C. )lg2y x=- D. e e 2x xy --=5. 计算:0ln 228241.1e log 1lg10ln e log +-+++的值( )A. 0B.152C. 2D. 36. 已知1sin 3a =,0.913b ⎛⎫= ⎪⎝⎭,271log 92c =,则( )A. a c b<< B. a b c << C. b a c << D. c a b<<7.π2cos 63αα⎛⎫--= ⎪⎝⎭,则πsin 26α⎛⎫-= ⎪⎝⎭( )..A. 19-B.19C.13D.898. 将函数()π3sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度后,所得图象对应的函数为()y g x =,有下列命题:①函数()g x 的图象关于直线πx =对称 ②函数()g x 图象关于点π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称③函数()g x 在π5π,2424⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 ④函数()g x 在[]0,2π上恰有5个极值点其中正确命题个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 49. 设函数ln 2,0()π1sin ,π042x x x f x x x ω⎧+->⎪=⎨⎛⎫+--≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩有7个不同的零点,则正实数ω的取值范围为( )A. 131744⎡⎫⎪⎢⎣⎭,B. 174⎡⎢⎣C. 49121652⎡⎫⎪⎢⎣⎭, D. 65121732⎡⎫⎪⎢⎣⎭,第II 卷二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分.)10. 已知i 是虚数单位,化简32i12i-+的结果为____________.11.在代数式521x ⎫-⎪⎭的展开式中,常数项为_____________.12. 函数()()ππ2sin 0,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示,则π=3f ⎛⎫⎪⎝⎭__________.的的13. 在亚运会女子十米跳台决赛颁奖礼上,五星红旗冉冉升起,在坡度15 的看台上,同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60 和30 ,第一排A 点和最后一排E 点的距离为(如图所示),则旗杆的高度为____________米.14. 已知定义在[)0+∞,上的函数()f x ,当[0,2)x ∈时,()()1611f x x =--,且对任意的实数1[2222)n n x +∈--,(*2N n n ∈,≥),都有()1122x f x f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,若函数()()log a g x f x x =-有且仅有五个零点,则a 的取值范围__________.15. 记()ln f x x ax b =++(0a >)在区间[],2t t +(t 为正数)上的最大值为(),t M a b ,若{|(,)ln 3}R t b M a b a ≥+=,则实数t 的最大值为__________.三、解答题(本大题共5小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)16. 已知函数()()2π2sin πcos 2f x x x x ⎛⎫=+-+-⎪⎝⎭(1)求()f x 的最小正周期及对称轴方程;(2)当ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,求()f x 的最大值和最小值.17. 在ABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,其中2C π≠,已知cos 2cos cos b c A a B C -=.(1)求角B 的大小;(2)若223125b c ac +=-,求ABC 面积的最大值.18. 如图,在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥底面ABCD ,AD AB ⊥,//AB DC ,2AD DC AP ===,1AB =,E 为棱PC 的中点.(1)证明://BE 平面PAD ;(2)求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值;(3)求点D 到平面PBC 的距离.19. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>,短轴长为.(1)求C 的方程;(2)如图,经过椭圆左顶点A 且斜率为()0k k ≠的直线l 与C 交于A ,B 两点,交y 轴于点E ,点P 为线段AB 的中点,若点E 关于x 轴的对称点为H ,过点E 作OP (O 为坐标原点)垂直的直线交直线AH 于点M ,且APM △,求k 的值.20. 已知函数()11lnx aF x x x =--+.(Ⅰ)设函数()()()1h x x F x =-,当2a =时,证明:当1x >时,()0h x >;(Ⅱ)若()0F x >恒成立,求实数a 取值范围;(Ⅲ)若a 使()F x 有两个不同的零点12,x x,证明:21a a x x e e -<-<-.的南开中学2024届高三第一次月检测数学学科试卷考试时间:120分钟本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷两部分,共150分.考试结束后,请交回答题卡.第I卷一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1. 已知集合{}2|230A x x x =-->,{}1,2,3,4B =,则()A B ⋂=Rð()A. {}1,2 B. {}1,2,3 C. {}3,4 D. {}4【答案】B 【解析】【分析】首先解一元二次不等式求出集合A ,再根据补集、交集的定义计算可得.【详解】由2230x x -->,即()()130x x +->,解得3x >或1x <-,所以{}2|230{|1A x x x x x =-->=<-或3}x >,所以{}|13A x x =-≤≤R ð,又{}1,2,3,4B =,所以(){}1,2,3A B ⋂=R ð.故选:B2. “sin 0x =”是“cos 1x =”的( )A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据充分性和必要性的定义结合同角三角函数的关系即可得出结论.【详解】解:因为sin 0x =,根据三角函数的基本关系式,可得cos 1x ==±,反之:若cos 1x =,根据三角函数的基本关系式,可得sin 0x ==,所以“sin 0x =”是“cos 1x =”的必要不充分条件.故选:C.3. 函数()||sin 2f x x x =的部分图象可能是( )A. B. C. D.【答案】C 【解析】【分析】根据()f x 是奇函数,排除B ,再取特殊值验证.【详解】因为()()||sin 2||sin 2()f x x x x x f x -=--=-=-所以()f x 是奇函数,排除B ,由02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π,排除A ,由44f ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭,排除D .故选:C .【点睛】本题主要考查函数的图象和性质,还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力,属于基础题.4. 下列函数中,是奇函数且在()0,∞+上单调递减的是( )A. 2y = B. sin x y x=C. )lg2y x=- D. e e 2x xy --=【答案】C 【解析】【分析】根据奇偶性定义、对数函数、指数函数单调性,结合复合函数的单调性依次判断各个选项即可.【详解】A 选项:()()2f x f x -==,不是奇函数,故A 选项错误;B 选项:()()()sin sin sin x x xf x f x x x x---====--,不是奇函数,故B 选项错误;C 选项:因为()f x 的定义域为R ,且()()))()22lg 2lg2lg 414lg10f x f x x x x x -+=++=+-==,∴()f x 是奇函数.设2t x ==因为t =()0,∞+上单调递减,lg y t =在()0,∞+上单调递增,由复合函数单调性知,()f x 在()0,∞+上单调递减,故C 选项正确;D 选项:()11e 2e x xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,因为1e e ,xxy y ==-在()0,∞+上都单调递增,所以()f x 在()0,∞+上单调递增,故D 选项错误,故选:C .5. 计算:0ln 228241.1e log 1lg10ln e log +-+++的值( )A. 0B.152C. 2D. 3【答案】B 【解析】【分析】根据指数及对数的运算法则计算可得;【详解】0ln 222423151.1e log 1lg10ln e log 812012log 222+-+++=+-+++=.故选:B6. 已知1sin 3a =,0.913b ⎛⎫= ⎪⎝⎭,271log 92c =,则( )A. a c b <<B. a b c <<C. b a c <<D. c a b<<【答案】A 【解析】【分析】化简得13c =,构造函数()sin ,0,2πf x x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭,通过导数可证得sin ,0,2πx x x ⎛⎫<∈ ⎪⎝⎭,可得a c <,而0.91133b c ⎛⎫=>= ⎪⎝⎭,从而可得答案.【详解】2711lg 912lg 31log 922lg 2723lg 33c ==⨯=⨯=.设()sin ,0,2πf x x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭,则有()cos 10f x x '=-<,()f x 单调递减,从而()(0)0f x f <=,所以sin ,0,2πx x x ⎛⎫<∈ ⎪⎝⎭,故11sin 33<,即a c <,而0.91133b c ⎛⎫=>= ⎪⎝⎭,故有a c b <<.故选:A .7.π2cos63αα⎛⎫--=⎪⎝⎭,则πsin26α⎛⎫-=⎪⎝⎭()A.19- B.19C.13D.89【答案】A【解析】【分析】利用三角恒等变换化简已知条件,结合诱导公式、二倍角公式求得正确答案.π2cos63αα⎛⎫--=⎪⎝⎭,12sin cos23ααα⎫+-=⎪⎪⎭,1π2cos sin263ααα⎛⎫+=+=⎪⎝⎭.πππsin2cos2626αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2ππcos2cosπ233αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2ππcos22sin136αα⎛⎫⎛⎫=-+=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2212139⎛⎫=⨯-=-⎪⎝⎭.故选:A8. 将函数()π3sin26f x x⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度后,所得图象对应的函数为()y g x=,有下列命题:①函数()g x的图象关于直线πx=对称②函数()g x的图象关于点π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称③函数()g x在π5π,2424⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增④函数()g x 在[]0,2π上恰有5个极值点其中正确的命题个数为( )A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】【分析】根据函数图象平移变换的特点,利用正弦弦函数的对称性、单调性、最值,结合函数的极值点定义逐项判断即可求解.【详解】函数()π3sin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度后,所得图象对应的函数为()πππ3sin 23sin 2666y g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,对于①,当πx =时,()π3π3sin 2π62g ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,不是函数()y g x =的最值,故①错误;对于②,当π12x =时,πππ3sin 2012126g ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故②正确;对于③,当π5π,2424x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,πππ2,644x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦,故函数在该区间上单调递增,故③正确;对于④,令(ππ2πZ 62x k k -=+∈,解得()ππZ 23k x k =+∈,当0,1,2,3k =时,π5π4π11π,,,3636x =,在[]0,2π上有4个极值点,故④错误.故选:B.9. 设函数ln 2,0()π1sin ,π042x x x f x x x ω⎧+->⎪=⎨⎛⎫+--≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩有7个不同的零点,则正实数ω的取值范围为( )A. 131744⎡⎫⎪⎢⎣⎭, B. 172144⎡⎫⎪⎢⎣⎭, C. 49121652⎡⎫⎪⎢⎣⎭, D. 65121732⎡⎫⎪⎢⎣⎭,【答案】C 【解析】【分析】分段函数分段处理,在1x >,01x <<各有1个零点,所以π0x -≤≤有5个零点,利用三角函数求出所有的零点,保证π0x -≤≤之间有5个零点即可.【详解】由题,当1x ≥时,()ln 2f x x x =+-,显然()f x 在()1,+∞上单调递增,且()110f =-<,()22ln 220f =+->,此时()f x 在()1,+∞在有一个零点;当01x <<时,()ln 2f x x x =--,1()10f x x'=-<,所以()f x 在()0,1上单调递减,2211()220e ef =+->,此时()f x 在()0,1上只有一个零点;所有当π0x -≤≤时,()π1sin 42f x x ω⎛⎫+- ⎪⎝⎭=有5个零点,令()0f x =,则π1sin 42x ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭,即ππ2π46x k ω+=+,或π5π2π46x k ω+=+,k ∈Z ,解得π2π12k x ω-+=,或7π2π12k x ω-+=,k ∈Z ,当0k =时,12π7π1212,x x ωω--==;当1k =时,34π7π2π2π1212,x x ωω----==;当2k =时,56π7π4π4π1212,x x ωω----==;由题可得π0x -≤≤区间内的5个零点,即π4π12π7π4π12πωω⎧--⎪≥-⎪⎪⎨⎪--⎪<-⎪⎩,解得54912126ω≤<,即49651212ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭,.故选:C.【点睛】分段函数的零点问题点睛:根据函数的特点分别考虑函数在每段区间上的单调性,结合零点存在性定理,得到每一段区间上的零点的个数,从而得出函数在定义域内的零点个数.第II 卷二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分.)10. 已知i 是虚数单位,化简32i12i-+的结果为____________.【答案】18i 55--【解析】分析】运用复数运算法则计算即可.【【详解】2232i (32i)(12i)36i 2i 4i 38i 418i 12i (12i)(12i)14i 1455-----+--====--++--+.故答案为:18i 55--.11.在代数式521x ⎫-⎪⎭的展开式中,常数项为_____________.【答案】-5【解析】【分析】写出二项式定理的通项,化简后,使得x 的指数幂为0,即可求得k 的值.【详解】521x ⎫-⎪⎭的展开式的通项为:()51552215521C C 1rrrr r r r T x x x --+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令5502r -=,解得1r =,所以()11215C 15T +=-=-,521x ⎫⎪⎭的展开式中的常数项为5-.故答案为:-512. 函数()()ππ2sin 0,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示,则π=3f ⎛⎫⎪⎝⎭__________.【解析】【分析】根据函数()f x 的图象结合正弦函数的图象及性质,求得函数的解析式,再代入求值即可.【详解】由函数()f x 的图象可知,35ππ3π41234T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭,则2π=πT ω=,2ω=.把5π12x =代入()f x ,则5ππ22π122k ϕ⨯+=+,而ππ22ϕ-<<,所以π3ϕ=-,所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,所以ππππ=2sin 22sin 3333f ⎛⎫⎛⎫⨯-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.13. 在亚运会女子十米跳台决赛颁奖礼上,五星红旗冉冉升起,在坡度15 的看台上,同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60 和30 ,第一排A 点和最后一排E 点的距离为(如图所示),则旗杆的高度为____________米.【答案】27【解析】【分析】根据已知可得30ECA ∠= ,在EAC 中由正弦定理可得AC ,再利用t ABC R 中计算可得答案.【详解】由图可得3609012012030∠=---= ECA ,在EAC sin 30= EA,即sin 452sin 30===EA AC ,在t ABC R 中,60CAB ∠= ,可得sin 6027=⨯== BC AC 米.故答案为:27.14. 已知定义在[)0+∞,上的函数()f x ,当[0,2)x ∈时,()()1611f x x =--,且对任意的实数1[2222)n n x +∈--,(*2N n n ∈,≥),都有()1122x f x f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,若函数()()log a g x f x x =-有且仅有五个零点,则a 的取值范围__________.【答案】1410⎛ ⎝【解析】【分析】写出()f x 的解析式并画出()f x 的图象,结合已知条件将问题转化为()y f x =图象与log a y x =图象在(0,)+∞上有且仅有5个交点,结合图象分析即可求得结果.【详解】当[0,2)x ∈,()16(1|1|)f x x =--,当2n =时,[2,6)x ∈,此时1[0,2)2x -∈,则11()(1)16(1|2|)8(1|2|)22222x x xf x f =-=⨯--=--,当3n =时,[6,14)x ∈,此时1[2,6)2x -∈,则1155()(1)8(1||)4(1||)2224242x x x f x f =-=⨯--=--,当4n =时,[14,30)x ∈,此时1[6,14)2x-∈,则111111()(1)4(1||)2(1||)2228484x x x f x f =-=⨯--=--,……因为()()log a g x f x x =-有且仅有5个零点,所以()y f x =图象与log a y x =图象在(0,)+∞上有且仅有5个交点,如图所示,由图可知,当log a y x =经过点(10,4)A 时,两函数图象有4个交点,经过点(22,2)B 时,两函数图象有6个交点,所以当()y f x =图象与log a y x =图象在(0,)+∞上有且仅有5个交点时,则1log 104log 222a aa >⎧⎪<⎨⎪>⎩,解得1410a <<.故答案为:1410(.15. 记()ln f x x ax b =++(0a >)在区间[],2t t +(t 为正数)上的最大值为(),t M a b ,若{|(,)ln 3}R t b M a b a ≥+=,则实数t 的最大值为__________.【答案】14##0.25【解析】【分析】由函数单调性性质及图象变换可画出()f x 的图象,进而可得(,)()t M a b f t ≥,结合已知条件可知只需()ln 3f t a ≥+,即(ln )ln 3t at b a -++≥+,由()(2)f t f t =+可得ln(2)ln 2(1)2t t a t b ++++=-,联立两者进而可求得结果.【详解】设()ln g x x ax b =++,(0a >),定义域为(0,)+∞,由单调性性质可知,()g x 在(0,)+∞上单调递增,当x 趋近于0时,()g x 趋近于-∞;当x 趋近于+∞时,()g x 趋近于+∞,设0()0g x =,则()g x 的图象如图所示,所以()f x 的图象如图所示,则由图象可知,{}max (),()(2)()(,)max (),(2)(2),()(2)t f t f t f t f x M a b f t f t f t f t f t ≥+⎧==+=⎨+<+⎩,所以(,)()t M a b f t ≥,如图所示,当()(2)f t f t =+时,有(ln )ln(2)(2)t at b t a t b -++=++++,则ln(2)ln 2(1)2t t a t b ++++=-,①又因为{|(,)ln 3}R t b M a b a ≥+=,所以()ln 3f t a ≥+,即(ln )ln 3t at b a -++≥+,所以ln ln 3b t at a ≤----,②由①②得ln(2)ln 2(1)ln ln 32t t a t t at a ++++≤-----,整理得ln(2)ln 2ln 3ln 9t t t +≥+=,即29t t +≥,所以14t ≤.故t 的最大值为14.故答案为:14【点睛】恒成立问题解题方法指导:方法1:分离参数法求最值.(1)分离变量.构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题.(2)()a f x ≥恒成立⇔max ()a f x ≥;()a f x ≤恒成立⇔min ()a f x ≤;()a f x ≥能成立⇔min ()a f x ≥;()a f x ≤能成立⇔max ()a f x ≤.方法2:根据不等式恒成立构造函数转化成求函数的最值问题,一般需讨论参数范围,借助函数单调性求解.三、解答题(本大题共5小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)16. 已知函数()()2π2sin πcos 2f x x x x ⎛⎫=+-+-⎪⎝⎭(1)求()f x 的最小正周期及对称轴方程;(2)当ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,求()f x 的最大值和最小值.【答案】(1)πT =,()5ππ122k x k =+∈Z (2)min 1y =,max 2y =.【解析】【分析】(1)根据诱导公式以及二倍角公式化简,再根据周期公式、对称轴公式进行求解;(2)由x 的取值范围求出整体角的取值范围,再结合正弦型函数图像及性质得出结果.【小问1详解】()()2πcos 2sin πcos 2f x x x x ⎤⎛⎫=+-+⋅ ⎪⎥⎝⎭⎦)22sin cos 1cos2sin2x x x x x =+⋅=-+sin22sin 23x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,故周期为2ππ2T ==,令2π,32x k k ππ-=+∈Z ,解得()5ππ122k x k =+∈Z ,对称轴方程()5ππ122k x k =+∈Z ,【小问2详解】()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭∵ππ42x ≤≤,∴ππ2π2,363t x ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦,当π6t =时,即π4x =时,()min π1sin sin 62t ==,此时min 1y =,当π2t =时,即5π12x =时,()max πsin sin 12t ==,此时max 2y =.17. 在ABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,其中2C π≠,已知cos 2cos cos b c A a B C -=.(1)求角B 的大小;(2)若223125b c ac +=-,求ABC 面积的最大值.【答案】(1)3π(2【解析】【分析】(1)根据正弦定理边化角或余弦定理化简原式,根据2C π≠,所以cos 0C ≠或2222a b c b+-≠,化简即可得出1cos 2B =,即可得出答案;(1)根据余弦定理结合第一问得出的角B 的大小得出222a c b ac +-=,结合已知223125b c ac +=-,得出224412a ac c ++=,根据基本不等式得出22412422a c ac a c +=-≥⋅⋅即32ac ≤,即可由三角形面积公式得出答案;或将224412a ac c ++=化简为2(2)12a c +=,由三角形面积公式结合基本不等式得出ABC 的面积212sin 222a c S ac B c +⎫===⋅≤=⎪⎭,即可得出答案.【小问1详解】方法一:由cos 2cos cos b c A a B C -=根据正弦定理边化角得:sin sin cos 2sin cos cos B C A A B C -=,即()sin sin cos 2sin cos cos A C C A A B C +-=,所以sin cos 2sin cos cos A C A B C =,因为2C π≠,所以cos 0C ≠,又sin 0A >,所以1cos 2B =,又0πB <<,所以3B π=.方法二:由cos 2cos cos b c A a B C -=根据余弦定理:得2222222cos 22b c a a b c b c a B bc ab+-+--=⋅,即2222222cos 22b c a a b c B b b -++-=⋅,因为2C π≠,所以22202a b c b+-≠,所以1cos 2B =,又0πB <<,得3B π=.小问2详解】方法一:由(1)及余弦定理知2221cos 22a cb B ac +-==,所以222a c b ac +-=,因为223125b c ac +=-,所以()2221235a c c ac ac +---=,化简得224412a ac c ++=,因为0,0a c >>,所以22412422a c ac a c +=-≥⋅⋅,所以32ac ≤,当且仅当2a c ==a c ==时取等号,所以ABC的面积1sin 2S ac B ==≤,所以ABC方法二:由(1)及余弦定理知2221cos 22a cb B ac +-==,所以222a c b ac +-=.因为223125b c ac +=-,所以()2221235a c c ac ac +---=,化简得224412a ac c ++=,即2(2)12a c +=,所以ABC的面积212sin 222a c S ac B c +⎫===⋅≤=⎪⎭,【当且仅当2a c ==a c ==时取等号,所以ABC 18. 如图,在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥底面ABCD ,AD AB ⊥,//AB DC ,2AD DC AP ===,1AB =,E 为棱PC 的中点.(1)证明://BE 平面PAD ;(2)求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值;(3)求点D 到平面PBC 的距离.【答案】(1)证明见解析(2(3【解析】【分析】(1)以A 为原点建立空间直角坐标系,利用向量法证明线面平行;(2)求出平面PBD 的一个法向量,再由向量法求解;(3)求出平面PBC 的法向量()2111,,n x y z =,再由向量法求解.【小问1详解】解:以点A 为原点,AB ,AD ,AP 分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系.可得()1,0,0B ,()2,2,0C ,()0,2,0D ,()002P ,,,由E 为棱PC 的中点,得()1,1,1E ,向量()0,1,1BE = ,()1,0,0AB =,故0BE AB ⋅= ,又AB为平面PAD 的一个法向量,又BE ⊄面PAD ,所以//BE 平面PAD .【小问2详解】向量()1,2,0BD =-,()1,0,2PB =- ,()0,1,1BE = 设(),,n x y z = 为平面PBD 的法向量,则0n BD n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即2020x y x z -+=⎧⎨-=⎩,令1y =,得()2,1,1n =为平面PBD 的一个法向量,所以cos ,n BE n BE n BE⋅===⋅所以直线BE 与平面PBD【小问3详解】向量()1,2,0BC = ,设平面PBC 的法向量()2111,,n x y z =,220n BC n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即11112020x y x z +=⎧⎨-=⎩,令11y =-,得()22,1,1n =- 为平面PBC 的一个法向量,则22BD n d n ⋅===.19. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>,短轴长为..(1)求C 的方程;(2)如图,经过椭圆左顶点A 且斜率为()0k k ≠的直线l 与C 交于A ,B 两点,交y 轴于点E ,点P 为线段AB 的中点,若点E 关于x 轴的对称点为H ,过点E 作OP (O 为坐标原点)垂直的直线交直线AH 于点M ,且APM △,求k 的值.【答案】(1)22142x y += (2)【解析】【分析】(1)根据题意得出,a b 的值,进而可得结果;(2)设直线l 的方程为()2y k x =+,将其与椭圆方程联立,得出EM 斜率,联立方程组得出M 点的坐标,利用点到直线距离公式式,结合韦达定理以及三角形面积公式将面积表示为关于k 的方程,解出即可得结果.小问1详解】由题意可得2222c e a b a b c ⎧==⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩,解得2a =,b =,c =∴椭圆C 的方程为22142x y +=.【小问2详解】易知椭圆左顶点()2,0A -,设直线l 的方程为()2y k x =+,则()0,2E k ,()0,2H k -,由()222142y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩,消y 可得()2222128840k x k x k +++-=,设()11,A x y ,()22,B x y ,()00,P x y ,∴()()422644841216k k k ∆=--+=,【则有2122812k x x k +=-+,21228412k x x k-=+,∴()2012214212k x x x k =+=-+,()0022212=+=+k y k x k ,∴0012OP y k x k ==-,∴直线EM 的斜率2EM k k =,∴直线EM 的方程为22y kx k =+,直线AH 的方程为()2y k x =-+,∴点42,33M k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,∴点M 到直线:20l kx y k -+=的距离d =,∴AB ==∴1||2AP AB ==∴241132212APM k S AP d k =⋅=⨯==+△,解得k =.20. 已知函数()11lnx a F x x x =--+.(Ⅰ)设函数()()()1h x x F x =-,当2a =时,证明:当1x >时,()0h x >;(Ⅱ)若()0F x >恒成立,求实数a 的取值范围;(Ⅲ)若a 使()F x 有两个不同的零点12,x x ,证明:21a a x x e e -<-<-.【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ)2a ≤;(Ⅲ)证明见解析.【解析】分析】(Ⅰ)当2a =时对()h x 求导,证明1x >时,()0h x '>即可.(Ⅱ)设函数()()1ln 1a x f x x x -=-+,根据函数的单调性判断ln x 与()11a x x -+的关系,根据()0F x >恒成立,确定a 的取值范围;(Ⅲ)根据函数的单调性求出2121a a t t x x e e --<-<-,得到【21t t -==,证明结论成立即可.【详解】(Ⅰ)()()ln 111x a h x x x x ⎛⎫=--⎪-+⎝⎭当2a =时,()()()21ln 21ln 111x x h x x x x x x -⎛⎫=--=- ⎪-++⎝⎭()()()()()()()()2222221211111114x x x x h x x x x x x x x +---+-'=-==+++,当1x >时,()0h x '>,所以()h x 在()1,+∞上为单调递增函数,因为()10h =,所以()()10h x h >=,(Ⅱ)设函数()()1ln 1a x f x x x -=-+,则()()()222111x a x f x x x +-+'=+,令()()2211g x x a x =+-+,当1a ≤时,当0x >时,()0g x >,当12a <≤时,2480a a ∆=-≤,得()0g x ≥,所以当2a ≤时,()f x 在()0,∞+上为单调递增函数,且()10f =,所以有()101f x x >-,可得()0F x >.当2a >时,有2480a a ∆=->,此时()g x 有两个零点,设为12,t t ,且12t t <.又因为()12210t t a +=->,121t t =,所以1201t t <<<,在()21,t 上,()f x 为单调递减函数,所以此时有()0f x <,即()1ln 1a x x x -<+,得ln 011x a x x -<-+,此时()0F x >不恒成立,综上2a ≤.(Ⅲ)若()F x 有两个不同的零点12, x x ,不妨设12x x <,则12, x x 为()()1ln 1a x f x x x -=-+的两个零点,且11x ≠,21x ≠,由(Ⅱ)知此时2a >,并且()f x 在()10,t ,()2,t +∞为单调递增函数,在()12,t t 上为单调递减函数,且()10f =,所以()10f t >,()20f t <,因为()201a a a f e e -=-<+,()201aa a f e e =>+,1a a e e -<<,且()f x 图象连续不断,所以()11,a x e t -∈,()22,a x t e∈,所以2121a a t t x x e e--<-<-,因为21t t -==综上得:21||a a x x e e -<-<-.【点睛】方法点睛:求不等式恒成立问题的方法(1)分离参数法若不等式(),0f x λ≥()x D ∈(λ是实参数)恒成立,将(),0f x λ≥转化为()g x λ≥或()()g x x D λ≤∈恒成立,进而转化为()max g x λ≥或()()min g x x D λ≤∈,求()g x 的最值即可.(2)数形结合法结合函数图象将问题转化为函数图象的对称轴、区间端点的函数值或函数图象的位置关系(相对于x 轴)求解.此外,若涉及的不等式转化为一元二次不等式,可结合相应一元二次方程根的分布解决问题.(3)主参换位法把变元与参数变换位置,构造以参数为变量的函数,根据原变量的取值范围列式求解,一般情况下条件给出谁的范围,就看成关于谁的函数,利用函数的单调性求解.。
天津市南开中学2018届高三上第一次月考数学(理)试卷(含答案)

天津市南开中学2018届高三第一次月考数学试卷(理科)一、选择题(每小题5分,共60分)1. 已知全集}5,4,3,2,1,0{=U ,集合}5,3,2,1{=A ,}4,2{=B 则B A C U ⋃)(为( ).A.}4,2,1{B.}4{C.}4,2,0{D.}4,32,0{, 2. 设R x ∈,则”“12<-x 是”“022>-+x x 的( )条件. A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要3. 设π2log =a ,π21log =b ,2-=πc ,则( ).A.c a b >>B.c b a >>C.b c a >>D.a b c >> 4. 在下列区间中34)(-+=x e x f x的零点所在区间为( ).A.⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,41 B.⎪⎭⎫ ⎝⎛410, C.⎪⎭⎫ ⎝⎛2141, D.⎪⎭⎫⎝⎛4321, 5. 设函数)1ln()1ln()(x x x f --+=,则)(x f 是( ).A.奇函数,且在()10,上是增函数 B.奇函数,且在()10,上是减函数 C.偶函数,且在()10,上是增函数 D.偶函数,且在()10,上是减函数 6. 已知函数xx x f 2ln )(+=,若2)4(2<-x f ,则实数x 的取值范围是( ).A.)2,2(-B.)5,2(C.)2,5(--D.)2,5(--)52(,⋃ 7. 若)53(log 231+-=ax x y 在[)+∞-,1上单调递减,则a 的取值范围是( ).A.)6,(--∞B.)0,6(-C.]6,8(--D.[]6,8--8.已知)(x f 为偶函数,当0≥x 时,)0)(12()(>--=m x m x f ,若函数))((x f f 恰有4个零点,则m 的取值范围是( ).A.)3,1(B.)1,0(C.],1(+∞D.[]∞+,3二、填空题(每小题5分,共30分)9.13. 函数3()12f x x x =-在区间[]3,3-)1,3-上不是单调函数,则实数a 的取值范围三、解答题(共80分)(1)确定角C 的大小;(216. 某项选拔共有三轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考核,否则被淘汰.影响.(1)求该选手被淘汰的概率;(2)该选手在选拔中回答问题的个数记为X ,求随机变量X 的分布列与数学期望.17. 某小组共10人,利用假期参加义工活动,已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.(1)设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”求事件A 发生的概率. (2)设X 为事件“选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值”求事件X 发生的概率.18. 如图,在三棱柱111C B A ABC -中,⊥1AA 底面ABC ,(1)证明C A AB 1⊥;(2)求异面直线1AB 和1BC 所成角的余弦值; (3)求二面角B C A A --1的平面角的余弦值.19. 已知3=x 是函数x x x a x f 10)1ln()(2-++=的一个极值点. (1)求a ;(2)求函数)(x f 的单调区间;(3)若直线b y =与函数)(x f y =的图象有3个交点,求b的取值范围.20. (1)当2,3==b a 时,求函数)(x f 的单调区间; (2恒成立,求实数a 的取值范围;AC1C 1A 1B B(3),(11y x A ,),(22y x B ,求证:.2221e x x >参考答案1-4 CACC 5-8 ADCB 9.15.解:(12sin c A =2sin sin A C A =,于是sin C =,由于是锐角三角形,故3C p=(2)()22222cos 3c a b ab C a bab =+-=+-,()262sin 737373725sin sin s ab C a b ab C C +=+=+=+==V ,故5a b +=。
天津市耀华中学2018届高三上学期第一次月考数学文试题

天津市耀华中学2018届高三年级暑假验收考试数学试卷(文科)一、选择题1. 已知全集R U =,集合{}4)1(2≤-=x x A ,则A UC等于 ( )A.{}31≥-≤x x x 或B.{}31>-<x x x 或 C.{}31<<-x x D.{}31≤≤-x x2. 已知i 是虚数单位,则复数=--ii 131 ( )A. i -2B. i +2C. i 21+-D. i 21-- 3. 阅读下面的程序框图,则输出的=S ( )A. 14B. 30C. 20D. 55 4. 在6盒酸奶中,有2盒已经过了保质期,从中任取2盒,取到的酸奶中有已过保质期的概率为 ( ) A. 31 B. 32 C. 53 D. 1515. 已知{}41<+=x x M ,⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-=03x x xN ,那么’‘M a ∈是’‘N a ∈的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.即不充分又不必要条件6. 已知双曲线)0(14222>=-a y a x 的右焦点与抛物线x y 122=的焦点重合,则该双曲线的离线率为 ( )A. 59 B.35 C. 23 D. 553 7. 已知定义在R 上的函数12)(-=-mx x f (m 为实数)为偶函数,记)(log 35.0f a =,)(log 52f b =,)2(m f c =,则c b a 、、的大小关系为 ( )A. b a c <<B. a b c <<C. b c a <<D. c b a <<8. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=0,l o g 0,)1()(22x x x x f x,若方程a x f =)(恰有四个不同的解)(43214321x x x x x x x x <<<、、、,则4232131)(x x x x x ⋅++的取值范围 ( )A. ),1(+∞-B. (]11,- C. )1,(-∞ D. [)11,- 二、填空题 9. 已知函数862++-=m mx mx y 的定义域为实数集R ,则实数m 取值范围10. 设数列{}n a 是首项1a ,公差为1-的等差数列,n S 为其前n 项和,若321S S S 、、成等比数列,则2a 的值为 .11. 已知双曲线12222=-by a x )0,0(>>b a 的一条渐近线方程是x y 3=,它的一个焦点在抛物线x y242=的准线上,则双曲线的方程 .12. 函数43cos 3)3sin(cos )(2+-+=x x x x f π在闭区间]4,4[ππ-上的最小值是 .13. 已知棱长为2的正四面体的各顶点均在同一球面上,则该球体积为 .14. 梯形ABCD 中,2,1,4//===AD DC AB CD AB ,,60=∠DAB ,点E 在线段BD 上,点F 在线段AC 上,且4,,=⋅==DF AE CA CF BD BE μλ,则μλ+的最小值为 .三、解答题15. 设ABC ∆的内角C B A 、、所对的边分别是c b a 、、,且6=+c a ,2=b ,97cos =B . (I )求c a ,的值. (II )求)sin(B A -的值.16. 某公司租赁甲、乙两种设备生产A ,B 两类产品,甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件,乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件。
天津市高三数学上学期第一次月考试题 理

天津市2018届高三数学上学期第一次月考试题 理一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分 1.已知i 是虚数单位,则复数=--ii131 i D iC iB i A 212122--+-+-2.设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≤≥+≤+24222y y x y x ,则目标函数y x z -=的最小值是8524D C B A -3.阅读右面的程序框图,则输出的=S55203014D C B A4.在1021⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的二项展开式中,4x 的系数为1515120120D C B A --5.已知{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-=<+=03|,41|x x x N x x M ,那么”“M a ∈是”“N a ∈的 必要而不充分条件充分而不必要条件B A既不充分也不必要条件充分必要条件D C6.已知双曲线()014222>=-a y a x 的右焦点与抛物线x y 122=的焦点重合,则该双曲线的离心率为553233559DCBA7.已知定义在R 上的函数()12-=-mx x f (m 为实数)为偶函数,记()3log 5.0f a =,()5log 2f b =,()m f c 2=,则c b a ,,的大小关系为c b a D b c a C a b c B b a c A <<<<<<<<8.已知函数()()⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=0log 0122x x x x x f ,若方程()a x f =恰有四个不同的解()43214321,,,x x x x x x x x <<<,则()423213·1x x x x x ++的取值范围是 ()(]()[)1,11,1,1,1-∞--+∞-D C B A二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分9.设集合{}1,3+-=a A ,{}1,3,122+--=a a a B ,若{}3-=B A I ,则实数=a10.设数列{}n a 是首相为1a ,公差为1-的等差数列,n S 为其前n 项和.若421,,S S S 成等比数列,则2a 的值为11.直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点B A ,分别在曲线⎩⎨⎧+=+=θθsin 4cos 3:1y x C (θ为参数)和曲线1:2=ρC 上,则AB 的最小值为12.函数()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈+-⎪⎭⎫⎝⎛+=4,443cos 33sin ·cos 2πππx x x x x f 的最小值为 13.已知棱长为2的正四面体的各顶点均在同一球面上,则该球的体积为14.梯形ABCD 中,︒=∠===60,2,1,4,//DAB AD DC AB CD AB ,点E 在线段BD 上,点F 在线段AC 上,且4·,,===DF AE CA CF BD BE μλ,则μλ+的最小值为三、解答题:本大题共6个小题,共计80分 15.(本小题满分13分)设ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,,且97cos ,2,6===+B b c a (1)求c a ,的值 (2)求()B A -sin 的值 16.(本小题满分13分)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片,其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片.(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率(2)X 表示所取3张卡片上的数字的中位数,求X 的分布列与数学期望. (注:若三个数c b a ,,满足c b a ≤≤,则称b 为这三个数的中位数) 17.(本小题满分13分)如图,︒=∠⊥90,//,ACB PC DA ABC PC 平面,E 为PB 的中点,1===BC AD AC ,2=PC .(1)求证:ABC DE 平面// (2)求证:BCD PD 平面⊥(3)设Q 为线段PB 上一点,PB PQ λ=,试确定实数λ的值,使得二面角B CD Q --为︒45 18.(本小题满分13分)正项等比数列{}n a 的前n 项和记为n S ,11=a ,133=S . (1)求数列{}n a 的通项公式(2)等差数列{}n b 的各项为正,且52=b ,又332211,,b a b a b a +++成等比数列,设n n n b a A =,求数列{}n A 的前n 项和n T . 19.(本小题满分14分)已知椭圆()012222>>=+b a b y a x 经过点()3,0,离心率为21,左右焦点分别为()()0,,0,21c F c F -.(1)求椭圆的方程 (2)若直线m x y l +-=21:与椭圆交于B A ,两点,与以21,F F 为直径的圆交于D C ,两点,且满足435=CDAB ,求直线l 的方程. 20.(本小题满分14分)已知函数()()a x x x f +-=ln 的最小值为0,其中0>a . (1)求a 的值(2)若对任意的[)+∞∈,0x ,有()2kx x f ≤成立,求实数k 的最小值(3)证明:()()*212ln 1221N n n i ni ∈<+--∑= 天津市耀华中学2018届高三年级暑假验收考试数学参考答案(理科)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分1.A ;2.C ;3.B ;4.C ;5.B ;6.D ;7.A ;8.B 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分9.1-; 10.23-; 11.3; 12.21-; 13.π23; 14.36411+ 三、解答题:本大题共6个小题,共计80分 15.(本小题满分13分) 解:(1)由97cos =B 与余弦定理得,ac c a 914422=-+,又6=+c a ,解得3==c a (2) 又c a =,2=b ,924sin =B 与正弦定理得,322sin =A ,31cos =A . 所以()27210sin cos cos sin sin =-=-B A B A B A 16.(本小题满分13分)解:(1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为845393334=+=C C C P (2) X 的所有可能值为1,2,3,且()4217139341524=+==C C C C X P ,()8443239331623121413=++==C C C C C C C X P , ()1213391722===C C C X P ,故X 的分布列为:X 1 2 3P4217 8443121 从而()284712138443242171=⨯+⨯+⨯=X E 17.(本小题满分13分)(1)证明:以C 为原点建立空间直角坐标系xyz C -,()0,1,0B ,()1,0,1D ,()200,,P 则⎪⎭⎫ ⎝⎛1210,,E ,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0211,,, 易知()2,0,0=为平面ABC 的一个法向量,PC DE ⊥∴=⋅,0ΘABC DE 平面⊄Θ,ABC DE 平面//∴;(2)证明:()1,0,1-=PD Θ,()0,1,0=BC ,()1,0,1=DC ,0=⋅∴,0=⋅,DC PD BC PD ⊥⊥∴,,BCD PD C DC BC 平面⊥∴=⋂,Θ;(3)解:由(2)知平面BCD 的法向量为()1,0,1-=()2,1,0-=PB Θ,()λλλ2,,0-==PB PQ ,()10,∈λ,()22,,0+-=∴λλQ 而()()22,,0,1,0,1+-==λλ,设平面QCD 的法向量为()000,,z y x =n ,由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00CD n n 得,()⎩⎨⎧=+-+=+02200000z y z x λλ, 令10=z ,则10-=x ,220-=λy ,即⎪⎭⎫⎝⎛--=1221,,λn , 故224862245cos 2=+-⋅-=⋅⋅=︒λλλPDPD n n , 解得22±=λ,由()10,∈λ得,22-=λ. 18.(本小题满分13分)解:(1)设公比为q ,则13123=++=q q S ,得43-==q q 或0>n a Θ,3=∴q ,1113--=⋅=∴n n n q a a ;(2)设{}n b 的公差为d ,由52=b ,可设d b d b +=-=5,531,又11=a ,32=a ,93=a ,由题意可得()()()2359515+=+++-d d ,解得10,221-==d d ,Θ等差数列{}n b 的各项为正,2,0=∴>∴d d ,351=-=∴d b ,()()1221311+=⨯-+=-+=∴n n d n b b n ; ()1312-⋅+==n n n n n b a A Θ,则()1323123937353-⋅+++⨯+⨯+⨯+=n n n T Λ,① ()n n n T 312393735333432⋅+++⨯+⨯+⨯+⨯=∴Λ,②由①-②得,()()n n n n T 3123333232132⋅+-++++⨯+=--Λ ()()n n n n n 3231231313231⋅-=⋅+---⨯+=-,n n n T 3⋅=∴.19.(本小题满分14分) 解:(1)由题设3=b ,21=a c ,222c a b -=,解得1,3,2===c b a ∴椭圆的方程为13422=+y x ;(2)由题设,以1F ,2F 为直径的圆的方程为122=+y x ,圆心到直线l 的距离为52m d =由1<d 得,25<m ①,2224552541212m m d CD -=-=-=∴, 设()11,y x A ,()22,y x B ,由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-==+m x y y x 2113422得,0322=-+-m mx x , m x x =+21,3221-=m x x ,()[]2222421534211m m m AB -=--⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∴,由435=CD AB得,145422=--m m ,解得33±=m ,满足①, ∴直线l 的方程为33213321--=+-=x y x y 或. 20.(本小题满分14分)解:(1))(x f 的定义域为()+∞-,a()ax a x a x x f +-+=+-='111,由()0='x f ,得a a x ->-=1 当a x a -<<-1时,()0<'x f ,函数)(x f 单调递减; 当a x ->1时,()0>'x f ,函数)(x f 单调递增,()a f -1为唯一的极小值,也是最小值,故由题意()011=-=-a a f ,所以1=a .(2)当0≤k 时,取1=x ,有()02ln 11>-=f ,故0≤k 不符合题意 当0>k 时,令()()2kx x f x g -=,即()()21ln kx x x x g -+-=()()1212212+-+-=-+='x xk kx kx x x x g令()0='x g ,得01=x ,12212->-=kkx ①当21≥k 时,0221≤-kk ,()0<'x g 在()+∞,0上恒成立,因此()x g 在),0[+∞上单调递减,从而对于任意的),0[+∞∈x ,总有()()00=≤g x g ,即()2kx x f ≤在),0[+∞上恒成立,故21≥k 符合题意. ②当210<<k 时,0221>-k k ,对于⎪⎭⎫⎝⎛-∈k k x 221,0,()0>'x g故()x g 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-k k 221,0内单调递增,因此,当取⎪⎭⎫⎝⎛-∈k k x 221,00时,()()000=>g x g , 即()200kx x f ≤不成立.故210<<k 不符合题意.(3)证明:当1=n 时,不等式左边=<-=23ln 2右边,所以不等式成立, 当2≥n 时,()()[]()12ln 12212ln 12ln 1221221111+--=--+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑∑∑∑====n i i i i i f ni n i n i ni 在(2)中取21=k 得,())0(22≥≤x x x f ,从而 ()()()()2,123221221222≥∈--<-≤⎪⎭⎫⎝⎛-*i N i i i i i f 所以()()()∑∑∑===--+-<⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+--ni n i ni i i i f n i 211123223ln 212212ln 122 212113ln 21213213ln 22<--+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛---+-=∑=i i i ni 综上()∑=*∈<+--ni N n n i 1,212ln 122.。
届高三数学(理)第一次月考模拟试卷及答案

届高三数学(理)第一次月考模拟试卷及答案2018届高三数学(理)第一次月考模拟试卷及答案高考数学知识覆盖面广,我们可以通过多做数学模拟试卷来扩展知识面!以下是店铺为你整理的2018届高三数学(理)第一次月考模拟试卷,希望能帮到你。
2018届高三数学(理)第一次月考模拟试卷题目一、选择题(本题共12道小题,每小题5分,共60分)1.已知全集U=R,A={x|x2﹣2x<0},B={x|x≥1},则A∪(∁UB)=( )A.(0,+∞)B.(﹣∞,1)C.(﹣∞,2)D.(0,1)2.已知集合A={1,2,3,4},B={y|y=3x﹣2,x∈A},则A∩B=()A.{1}B.{4}C.{1,3}D.{1,4}3.在△ABC中,“ >0”是“△ABC为锐角三角形”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.下列说法错误的是( )A.命题“若x2﹣4x+3=0,则x=3”的逆否命题是:“若x≠3,则x2﹣4x+3≠0”B.“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件C.若p且q为假命题,则p、q均为假命题D.命题p:“∃x∈R使得x2+x+1<0”,则¬p:“∀x∈R,均有x2+x+1≥0”5.已知0A.a2>2a>log2aB.2a>a2>log2aC.log2a>a2>2aD.2a>log2a>a26.函数y=loga(x+2)﹣1(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上,其中m>0,n>0,则 + 的最小值为( )A.3+2B.3+2C.7D.117.已知f(x)是定义在R上的偶函数,在[0,+∞)上是增函数,若a=f(sin ),b=f(cos ),c=f(tan ),则( )A.a>b>cB.c>a>bC.b>a>cD.c>b>a8.若函数y=f(x)对x∈R满足f(x+2)=f(x),且x∈[-1 ,1]时,f(x)=1﹣x2,g(x)= ,则函数h(x)=f(x)﹣g(x)在区间x∈[-5 ,11]内零点的个数为( ) A.8 B.10 C.12 D.149设f(x)是定义在R上的恒不为零的函数,对任意实数x,y∈R,都有f(x)•f(y)=f(x+y),若a1= ,an=f(n)(n∈N*),则数列{an}的前n 项和Sn的取值范围是( )A.[ ,2)B.[ ,2]C.[ ,1)D.[ ,1]10.如图所示,点P从点A处出发,按逆时针方向沿边长为a的正三角形ABC运动一周,O为ABC的中心,设点P走过的路程为x,△OAP的面积为f(x)(当A、O、P三点共线时,记面积为0),则函数f(x)的图象大致为( )A . B.C. D.11.设函数f(x)=(x﹣a)|x﹣a|+b,a,b∈R,则下列叙述中,正确的序号是( )①对任意实数a,b,函数y=f(x)在R上是单调函数;②对任意实数a,b,函数y=f(x)在R上都不是单调函数;③对任意实数a,b,函数y=f(x)的图象都是中心对称图象;④存在实数a,b,使得函数y=f(x)的图象不是中心对称图象.A.①③B.②③C.①④D.③④12.已知函数,如在区间(1,+∞)上存在n(n≥2)个不同的数x1,x2,x3,…,xn,使得比值= =…= 成立,则n的取值集合是( )A.{2,3,4,5}B.{2,3}C.{2,3,5}D.{2,3,4}第II卷(非选择题)二、填空题(本题共4道小题,每小题5分,共20分)13.命题:“∃x∈R,x2﹣x﹣1<0”的否定是 .14.定义在R上的奇函数f(x)以2为周期,则f(1)= .15.设有两个命题,p:x的不等式ax>1(a>0,且a≠1)的解集是{x|x<0};q:函数y=lg(ax2﹣x+a)的定义域为R.如果p∨q为真命题,p∧q为假命题,则实数a的取值范围是 .16.在下列命题中①函数f(x)= 在定义域内为单调递减函数;②已知定义在R上周期为4的函数f(x)满足f(2﹣x)=f(2+x),则f(x)一定为偶函数;③若f(x)为奇函数,则 f(x)dx=2 f(x)dx(a>0);④已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),则a+b+c=0是f(x)有极值的充分不必要条件;⑤已知函数f(x)=x﹣sinx,若a+b>0,则f(a)+f(b)>0.其中正确命题的序号为 (写出所有正确命题的序号).三、解答题(本题共7道小题,第1题12分,第2题12分,第3题12分,第4题12分,第5题12分,第6题10分,第7题10分,共70分)17.已知集合A={x|x2﹣4x﹣5≤0},函数y=ln(x2﹣4)的定义域为B.(Ⅰ)求A∩B;(Ⅱ)若C={x|x≤a﹣1},且A∪(∁RB)⊆C,求实数a的取值范围.18.已知关于x的不等式ax2﹣3x+2≤0的解集为{x|1≤x≤b}.(1)求实数a,b的值;(2)解关于x的不等式: >0(c为常数).19.已知函数f(x)= 是定义在(﹣1,1)上的奇函数,且f( )= .(1)确定函数f(x)的解析式;(2)证明f(x)在(﹣1,1)上是增函数;(3)解不等式f(t﹣1)+f(t)<0.20.已知关于x的不等式x2﹣(a2+3a+2)x+3a(a2+2)<0(a∈R).(Ⅰ)解该不等式;(Ⅱ)定义区间(m,n)的长度为d=n﹣m,若a∈R,求该不等式解集表示的区间长度的最大值.21.设关于x的方程2x2﹣ax﹣2=0的两根分别为α、β(α<β),函数(1)证明f(x)在区间(α,β)上是增函数;(2)当a为何值时,f(x)在区间[α,β]上的最大值与最小值之差最小.选做第22或23题,若两题均选做,只计第22题的分。
2024-2025学年高三上学期第一次联考(9月月考) 数学试题[含答案]
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2024~2025学年高三第一次联考(月考)试卷数学考生注意:1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分,考试时间120分钟.2.答题前,考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时,请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围:集合、常用逻辑用语、不等式、函数、导数及其应用.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,,则集合的真子集的个数为(){}4,3,2,0,2,3,4A =---{}2290B x x =-≤A B ⋂A.7B.8C.31D.322.已知,,则“,”是“”的( )0x >0y >4x ≥6y ≥24xy ≥A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.国家速滑馆又称“冰丝带”,是北京冬奥会的标志性场馆,拥有亚洲最大的全冰面设计,但整个系统的碳排放接近于零,做到了真正的智慧场馆、绿色场馆,并且为了倡导绿色可循环的理念,场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统,已知过滤过程中废水的污染物数量与时间(小时)的关系为()mg /L N t (为最初污染物数量,且).如果前4个小时消除了的污染物,那么污染物消0e kt N N -=0N 00N >20%除至最初的还需要( )64%A.3.8小时 B.4小时C.4.4小时D.5小时4.若函数的值域为,则的取值范围是()()()2ln 22f x x mx m =-++R m A.B.()1,2-[]1,2-C.D.()(),12,-∞-⋃+∞(][),12,-∞-⋃+∞5.已知点在幂函数的图象上,设,(),27m ()()2n f x m x =-(4log a f =,,则,,的大小关系为( )()ln 3b f =123c f -⎛⎫= ⎪⎝⎭a b c A.B.c a b <<b a c<<C. D.a c b <<a b c<<6.已知函数若关于的不等式的解集为,则的()()2e ,0,44,0,x ax xf x x a x a x ⎧->⎪=⎨-+-+≤⎪⎩x ()0f x ≥[)4,-+∞a 取值范围为( )A.B. C. D.(2,e ⎤-∞⎦(],e -∞20,e ⎡⎤⎣⎦[]0,e 7.已知函数,的零点分别为,,则( )()41log 4xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()141log 4xg x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭a b A. B.01ab <<1ab =C.D.12ab <<2ab ≥8.已知,,,且,则的最小值为( )0a >0b >0c >30a b c +-≥6b a a b c ++A. B. C. D.29495989二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.下列说法正确的是( )A.函数是相同的函数()f x =()g x =B.函数6()f x =C.若函数在定义域上为奇函数,则()313xx k f x k -=+⋅1k =D.已知函数的定义域为,则函数的定义域为()21f x +[]1,1-()f x []1,3-10.若,且,则下列说法正确的是()0a b <<0a b +>A. B.1a b >-110a b+>C. D.22a b <()()110a b --<11.已知函数,则下列说法正确的是( )()()3233f x x x a x b=-+--A.若在上单调递增,则的取值范围是()f x ()0,+∞a (),0-∞B.点为曲线的对称中心()()1,1f ()y f x =C.若过点可作出曲线的三条切线,则的取值范围是()2,m ()()3y f x a x b =+-+m ()5,4--D.若存在极值点,且,其中,则()f x 0x ()()01f x f x =01x x ≠1023x x +=三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.__________.22lg 2lg3381527log 5log 210--+⋅+=13.已知函数称为高斯函数,表示不超过的最大整数,如,,则不等式[]y x =x []3.43=[]1.62-=-的解集为__________;当时,的最大值为__________.[][]06x x <-0x >[][]29x x +14.设函数,若,则的最小值为__________.()()()ln ln f x x a x b =++()0f x ≥ab 四、解答题:本题共5小题、共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)已知全集,集合,.U =R {}231030A x x x =-+≤{}220B x xa =+<(1)若,求和;8a =-A B ⋂A B ⋃(2)若,求的取值范围.()UA B B ⋂= a 16.(本小题满分15分)已知关于的不等式的解集为.x 2280ax x --<{}2x x b-<<(1)求,的值;a b (2)若,,且,求的最小值.0x >2y >-42a bx y +=+2x y +17.(本小题满分15分)已知函数.()()()211e 2x f x x ax a =--∈R (1)讨论的单调性;()f x (2)若对任意的恒成立,求的取值范围.()e x f x x ≥-[)0,x ∈+∞a 18.(本小题满分17分)已知函数是定义在上的奇函数.()22x xf x a -=⋅-R(1)求的值,并证明:在上单调递增;a ()f x R (2)求不等式的解集;()()23540f x x f x -+->(3)若在区间上的最小值为,求的值.()()442x x g x mf x -=+-[)1,-+∞2-m 19.(本小题满分17分)已知函数.()()214ln 32f x x a x x a =---∈R (1)若,求的图像在处的切线方程;1a =()f x 1x =(2)若恰有两个极值点,.()f x 1x ()212x x x <(i )求的取值范围;a (ii )证明:.()()124ln f x f x a+<-数学一参考答案、提示及评分细则1.A 由题意知,又,所以{}2290B x x ⎡=-=⎢⎣∣ {}4,3,2,0,2,3,4A =---,所以的元素个数为3,真子集的个数为.故选.{}2,0,2A B ⋂=-A B ⋂3217-=A 2.A 若,则,所以“”是“”的充分条件;若,满足4,6x y 24xy 4,6x y 24xy 1,25x y ==,但是,所以“”不是“”的必要条件,所以“”是24xy 4x <4,6x y 24xy 4,6x y “”的充分不必要条件.故选A.24xy 3.B 由题意可得,解得,令,可得4004e 5N N -=44e 5k -=20004e 0.645t N N N -⎛⎫== ⎪⎝⎭,解得,所以污染物消除至最初的还需要4小时.故选B.()248e e ek kk---==8t =64%4.D 依题意,函数的值域为,所以,解得()()2ln 22f x x mx m =-++R ()2Δ(2)420m m =--+ 或,即的取值范围是.故选D.2m 1m - m ][(),12,∞∞--⋃+5.C 因为是軍函数,所以,解得,又点在函数的图()()2nf x m x =-21m -=3m =()3,27()n f x x =象上,所以,解得,所以,易得函数在上单调递增,又273n=3n =()3f x x =()f x (),∞∞-+,所以.故选C.1241ln3lne 133log 2log 2->==>=>=>a c b <<6.D 由题意知,当时,;当时,;当时,(),4x ∞∈--()0f x <[]4,0x ∈-()0f x ()0,x ∞∈+.当时,,结合图象知;当时,,当()0f x 0x ()()()4f x x x a =-+-0a 0x >()e 0x f x ax =- 时,显然成立;当时,,令,所以,令,解0a =0a >1e x x a (),0e x x g x x =>()1e xxg x -='()0g x '>得,令0,解得,所以在上单调递增,在上单调递减,所以01x <<()g x '<1x >()g x ()0,1()1,∞+,所以,解得综上,的取值范围为.故选D.()max 1()1e g x g ==11e a0e a < a []0,e 7.A 依题意得,即两式相减得4141log ,41log ,4a b a b ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩441log ,41log ,4a ba b ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-= ⎪⎪⎝⎭⎩.在同一直角坐标系中作出的图()44411log log log 44a ba b ab ⎛⎫⎛⎫+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4141log ,log ,4xy x y x y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭象,如图所示:由图象可知,所以,即,所以.故选A.a b >1144ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()4log 0ab <01ab <<8.C 因为,所以,所以30a b c +- 30a b c +> 11911121519966399939911b a b a b b b b a b c a b a b a a a a ⎛⎫++=+=++--=-= ⎪+++⎝⎭++ ,当且仅当,即时等号成立,所以的最小值为.故选C.1911991b b a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭+29b a =6b aa b c ++599.AD 由解得,所以,由,解得10,10x x +⎧⎨-⎩ 11x - ()f x =[]1,1-210x -,所以的定义域为,又,故函数11x - ()g x =[]1,1-()()f x g x ===与是相同的函数,故A 正确;,()f x ()g x ()6f x ==当且仅当方程无解,等号不成立,故B 错误;函数=2169x +=在定义域上为奇函数,则,即,即()313x x k f x k -=+⋅()()f x f x -=-331313x xx x k k k k ----=-+⋅+⋅,即,整理得,即,()()33313313x x xxxxk k k k ----=-+⋅+⋅313313x x x x k kk k ⋅--=++⋅22919x x k k ⋅-=-()()21910x k -+=所以,解得.当时,,该函数定义域为,满足,210k -=1k =±1k =()1313xx f x -=+R ()()f x f x -=-符合题意;当时,,由可得,此时函数定义域为1k =-()13311331x x xxf x --+==--310x -≠0x ≠,满足,符合题意.综上,,故C 错误;由,得{}0x x ≠∣()()f x f x -=-1k =±[]1,1x ∈-,所以的定义域为,故D 正确.故选AD.[]211,3x +∈-()f x []1,3-10.AC 因为,且,所以,所以,即,故A 正确;0a b <<0a b +>0b a >->01a b <-<10ab -<<因为,所以,故В错误;因为,所以,0,0b a a b >->+>110a ba b ab ++=<0a b <<,a a b b =-=由可得,所以,故C 正确;因为当,此时,故0a b +>b a >22a b <11,32a b =-=()()110a b -->D 错误.故选AC.11.BCD 若在上单调递增,则在上佰成立,所以()f x ()0,∞+()23630f x x x a '=-+- ()0,x ∞∈+,解得,即的取值范围是,故A 错误;因为()min ()13630f x f a '==--'+ 0a a (],0∞-,所以,又()()32333(1)1f x x x a x b x ax b =-+--=---+()11f a b =--+,所以点()()()332(21)21(1)1222f x f x x a x b x ax b a b -+=-----++---+=--+为曲线的对称中心,故B 正确;由题意知,所以()()1,1f ()y f x =()()3233y f x a x b xx =+-+=-,设切点为,所以切线的斜率,所以切线的方程为236y x x =-'()32000,3x x x -20036k x x =-,所以,整理得()()()3220000336y x x x x x x --=--()()()322000003362m xx x x x --=--.记,所以3200029120x x x m -++=()322912h x x x x m =-++()26h x x '=-,令,解得或,当时,取得极大值,当时,1812x +()0h x '=1x =2x =1x =()h x ()15h m =+2x =取得极小值,因为过点可作出曲线的三条切线,所以()h x ()24h m=+()2,m ()()3y f x a x b =+-+解得,即的取值范围是,故C 正确;由题意知()()150,240,h m h m ⎧=+>⎪⎨=+<⎪⎩54m -<<-m ()5,4--,当在上单调递增,不符合题意;当,()223633(1)f x x x a x a =-+-=--'()0,a f x (),∞∞-+0a >令,解得,令,解得在()0f x '>1x <-1x >+()0f x '<11x -<<+()f x 上单调递增,在上单调递堿,在上单调递增,因为,1∞⎛- ⎝1⎛+ ⎝1∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭存在极值点,所以.由,得,令,所以,()f x 0x 0a >()00f x '=()2031x a-=102x x t+=102x t x =-又,所以,又,()()01f x f x =()()002f x f t x =-()()32333(1)1f x x x a x b x ax b =-+--=---+所以,又,所以()()()330000112121x ax b t x a t x b ---+=-----+()2031x a-=,化简得()()()()()()()322320000000013112121312x x x b x x b t x x t x b----=----=------,又,所以,故D 正确.故选BCD.()()20330t x t --=010,30x x x t ≠-≠103,23t x x =+=12. 由题意知10932232862log 184163381255127log 5log 210log 5log 121027---⎛⎫+⋅+=+⋅-+ ⎪⎝⎭62511411410log 5log 2109339339=-⋅+=-+=13.(2分)(3分) 因为,所以,解得,又函数[)1,616[][]06x x <-[][]()60x x -<[]06x <<称为高斯函数,表示不超过的最大整数,所以,即不等式的解集为.当[]y x =x 16x < [][]06x x <-[)1,6时,,此时;当时,,此时01x <<[]0x =[]2[]9x x =+1x []1x ,当且仅当3时等号成立.综上可得,当时,的[][][]2119[]96x x x x ==++[]x =0x >[]2[]9x x +最大值为.1614. 由题意可知:的定义域为,令,解得令,解21e -()f x (),b ∞-+ln 0x a +=ln ;x a =-()ln 0x b +=得.若,当时,可知,此时,不合题1x b =-ln a b -- (),1x b b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +>+<()0f x <意;若,当时,可知,此时,不合ln 1b a b -<-<-()ln ,1x a b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +>+<()0f x <题意;若,当时,可知,此时;当ln 1a b -=-(),1x b b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +<+<()0f x >时,可知,此时,可知若,符合题意;若[)1,x b ∞∈-+()ln 0,ln 0x a x b ++ ()0f x ln 1a b -=-,当时,可知,此时,不合题意.综上所ln 1a b ->-()1,ln x b a ∈--()ln 0,ln 0x a x b +<+>()0f x <述:,即.所以,令,所以ln 1a b -=-ln 1b a =+()ln 1ab a a =+()()ln 1h x x x =+,令,然得,令,解得,所以在()ln 11ln 2h x x x '=++=+()0h x '<210e x <<()0h x '>21e x >()h x 上单调递堿,在上单调递增,所以,所以的最小值为.210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭21,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭min 2211()e e h x h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ab 21e -15.解:(1)由题意知,{}2131030,33A x x x ⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦∣ 若,则,8a =-{}()22802,2B x x =-<=-∣所以.(]1,2,2,33A B A B ⎡⎫⋂=⋃=-⎪⎢⎣⎭(2)因为,所以,()UA B B ⋂= ()UB A ⊆ 当时,此时,符合题意;B =∅0a 当时,此时,所以,B ≠∅0a <{}220Bx x a ⎛=+<= ⎝∣又,U A ()1,3,3∞∞⎛⎫=-⋃+ ⎪⎝⎭13解得.209a -< 综上,的取值范围是.a 2,9∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭16.解:(1)因为关于的不等式的解集为,x 2280ax x --<{2}xx b -<<∣所以和是关于的方程的两个实数根,且,所以2-b x 2280ax x --=0a >22,82,b a b a⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩解得.1,4a b ==(2)由(1)知,所以1442x y +=+()()()221141422242241844242y xx y x y x y x y y x ⎡⎤+⎛⎫⎡⎤+=++-=+++-=+++-⎢⎥ ⎪⎣⎦++⎝⎭⎣⎦,179444⎡⎢+-=⎢⎣ 当且仅当,即时等号成立,所以.()2242y x y x +=+x y ==2x y +74-17.解:(1)由题意知,()()e e x x f x x ax x a=-=-'若,令.解得,令,解得,所以在上单调递琙,在0a ()0f x '<0x <()0f x '>0x >()f x (),0∞-上单调递增.()0,∞+若,当,即时,,所以在上单调递增;0a >ln 0a =1a =()0f x ' ()f x (),∞∞-+当,即时,令,解得或,令,解得,ln 0a >1a >()0f x '>0x <ln x a >()0f x '<0ln x a <<所以在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增;()f x (),0∞-()0,ln a ()ln ,a ∞+当,即时,令,解得或,令,解得,ln 0a <01a <<()0f x '>ln x a <0x >()0f x '<ln 0a x <<所以在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增.()f x (),ln a ∞-()ln ,0a ()0,∞+综上,当时,在上单调递减,在上单调递增;当时,在0a ()f x (),0∞-()0,∞+01a <<()f x 上单调递增,在上单调递减,在上单调递增当时,在上(,ln )a ∞-()ln ,0a ()0,∞+1a =()f x (),∞∞-+单调递增;当时,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增.1a >()f x (),0∞-()0,ln a ()ln ,a ∞+(2)若对任意的恒成立,即对任意的恒成立,()e xf x x - [)0,x ∞∈+21e 02xx ax x -- [)0,x ∞∈+即对任意的恒成立.1e 102x ax -- [)0,x ∞∈+令,所以,所以在上单调递增,当()1e 12x g x ax =--()1e 2x g x a=-'()g x '[)0,∞+,即时,,所以在上单调递增,所以()10102g a =-' 2a ()()00g x g '' ()g x [)0,∞+,符合题意;()()00g x g = 当,即时,令,解得,令,解得,所()10102g a =-<'2a >()0g x '>ln 2a x >()0g x '<0ln 2a x < 以在上单调递减,()g x 0,ln 2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭所以当时,,不符合题意.0,ln 2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()00g x g <=综上,的取值范围是.a (],2∞-18.(1)证明:因为是定义在上的奇函数,所以,()f x R ()010f a =-=解得,所以,1a =()22x xf x -=-此时,满足题意,所以.()()22x x f x f x --=-=-1a =任取,所以12x x <,()()()()211122121211122222122222222122x x x x x x x x x x x x f x f x x x --⎛⎫--=---=--=-+ ⎪++⎝⎭又,所以,即,又,12x x <1222x x <12220x x -<121102x x ++>所以,即,所以在上单调递增.()()120f x f x -<()()12f x f x <()f x R (2)解:因为,所以,()()23540f x x f x -+->()()2354f x x f x ->--又是定义在上的奇函数,所以,()f x R ()()2354f x x f x ->-+又在上单调递增,所以,()f x R 2354x x x ->-+解得或,即不等式的解集为.2x >23x <-()()23540f x x f x -+->()2,2,3∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭(3)解:由题意知,令,()()()44244222xxxxxxg x mf x m ---=+-=+--322,,2x x t t ∞-⎡⎫=-∈-+⎪⎢⎣⎭所以,所以.()2222442x xxxt --=-=+-()2322,,2y g x t mt t ∞⎡⎫==-+∈-+⎪⎢⎣⎭当时,在上单调递增,所以32m -222y t mt =-+3,2∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭,解得,符合题意;2min317()323224g x m m ⎛⎫=-++=+=- ⎪⎝⎭2512m =-当时,在上单调递减,在上单调递增,32m >-222y t mt =-+3,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭(),m ∞+所以,解得或(舍).222min ()2222g x m m m =-+=-=-2m =2m =-综上,的值为或2.m 2512-19.(1)解:若,则,所以,1a =()214ln 32f x x x x =---()14f x x x =--'所以,又,()14112f =--='()1114322f =--=所以的图象在处的切线方程为,即.()f x 1x =()1212y x -=-4230x y --=(2)(i )解:由题意知,()22444a x a x x x af x x x x x '---+=--==-又函数恰有两个极值点,所以在上有两个不等实根,()f x ()1212,x x x x <240x x a -+=()0,∞+令,所以()24h x x x a =-+()()00,240,h a h a ⎧=>⎪⎨=-<⎪⎩解得,即的取值范围是.04a <<a ()0,4(ii )证明:由(i )知,,且,12124,x x x x a +==04a <<所以()()2212111222114ln 34ln 322f x f x x a x x x a x x ⎛⎫⎛⎫+=---+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()2212121214ln ln 62x x a x x x x =+-+-+-,()()()21212121214ln 262x x a x x x x x x ⎡⎤=+--+--⎣⎦()116ln 1626ln 22a a a a a a =----=-+要证,即证,只需证.()()124ln f x f x a+<-ln 24ln a a a a -+<-()1ln 20a a a -+-<令,所以,()()()1ln 2,0,4m a a a a a =-+-∈()11ln 1ln a m a a a a a -=-++=-'令,所以,所以即在上单调递减,()()h a m a ='()2110h a a a =--<'()h a ()m a '()0,4又,所以,使得,即,()()1110,2ln202m m '-'=>=<()01,2a ∃∈()00m a '=001ln a a =所以当时,,当时,,所以在上单调递增,在()00,a a ∈()0m a '>()0,4a a ∈()0m a '<()m a ()00,a 上单调递减,所以.()0,4a ()()()max 00000000011()1ln 2123m a m a a a a a a a a a ==-+-=-+-=+-令,所以,所以在上单调递增,所以()()13,1,2u x x x x =+-∈()2110u x x =->'()u x ()1,2,所以,即,得证.()000111323022u a a a =+-<+-=-<()0m a <()()124ln f x f x a +<-。
天津市第一中学2018届高三上学期第二次月考数学(理)试题(含答案)

天津一中2017-2018高三年级二月考数学试卷(理)本试卷分为第I 卷(选择题)、第II 卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟 考生务必将答案涂写在规定的位置上,答在试卷上的无效。
祝各位考生顺利!第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合}|{},,|{0122<-=∈==x x B R x y y A x ,则=⋂B A ( )A .(-1,1)B .(0,1)C .)(∞+-,1D .)(∞+,02.如果实数y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤++≥+≥+-010101y x y y x ,那么y x -2的最大值为( )A .2B .1C .-2D .-33.已知等比数列}{n a 的前n 项和为n S ,则”“01>a 是”“02017>S 的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件4.已知函数()x f 在)(+∞-,1上单调,且函数)(2-=x f y 的图象关于1=x 对称,若数列}{n a 是公差不为0的等差数列,且())(5150a f a f =,则1001a a +等于( ) A .2 B .-2 C.0 D .-15.函数()),(002>>+=b a bx ax x f 在点))(,(11f 处的切线斜率为2,则abba +8的最小值是( ) A .10 B .9 C.8 D .236.已知t AC tAB AC AB ==⊥,,1,若P 点是ABC ∆所在平面内一点,且ACAC ABAB AP 4+=,则PC PB ⋅的最大值等于( )A .13B .15 C.19 D .21 7.已知函数()),(,sin cosR x x xx f ∈>-+=0212322ωωω,若x 在区间),(ππ2内没有零点,则ω的取值范围是( )A .⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1250,B .⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛1211651250,, C.⎥⎦⎤ ⎝⎛650, D .⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛1211651250,, 8.已知函数()⎩⎨⎧>-≤<=e x x e x x x f ,ln |,ln 20,若m x f =)(有三个互不相等的实根c b a ,,,则c b a ++的取值范围为( )A .),(22e e e + B .),(2221e e e e++ C.),(221e e e++ D .),(2221e e e e++第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)9.i 是虚数单位,若复数))((i a i +-21是纯虚数,则实数a 的值为__________.10.有一个半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示,则该几何体的体积为_________11. 在极坐标系中,直线0164=+-)cos(πθρ与圆θρsin 2=的公共点的个数为_________.12. 函数()),(cos sin ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-+=204332πx x x x f 的最大值是___________.13.数列}{n a 满足n a n a n n +⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=+1221πsin ,则数列}{n a 的前100项和为 .14.如图直角梯形ABCD 中,AD AB CD AB ⊥,//,222===AD CD AB ,在等腰直角三角形CDE 中,90=∠C ,点N M ,分别为线段CE BC ,上的动点,若25=⋅AN AM ,则DN MD ⋅的取值范围是 .三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)15.已知ABC ∆,角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,,且24=a ,点D 在线段AC 上,4π=∠DBC .(1)若BCD ∆的面积为24,求CD 的长; (2)若⎪⎪⎭⎫⎝⎛∈20π,C ,且31212==A c tan ,,求CD 的长. 16.甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个,其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2,3,4,乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3,某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球。
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天津市2018届高三数学上学期第一次月考试题 理一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分 1.已知i 是虚数单位,则复数=--ii131 i D i C i B i A 212122--+-+-2.设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≤≥+≤+24222y y x y x ,则目标函数y x z -=的最小值是8524D C B A -3.阅读右面的程序框图,则输出的=S55203014D C B A4.在1021⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的二项展开式中,4x 的系数为1515120120D C B A --5.已知{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-=<+=03|,41|x x x N x x M ,那么”“M a ∈是”“N a ∈的 必要而不充分条件充分而不必要条件B A既不充分也不必要条件充分必要条件D C 6.已知双曲线()014222>=-a y a x 的右焦点与抛物线x y 122=的焦点重合,则该双曲线的离心率为553233559DCBA7.已知定义在R 上的函数()12-=-mx x f (m 为实数)为偶函数,记()3log 5.0f a =,()5log 2f b =,()m f c 2=,则c b a ,,的大小关系为c b a D bc a C ab c B ba c A <<<<<<<<8.已知函数()()⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=0log 0122x x x x x f ,若方程()a x f =恰有四个不同的解()43214321,,,x x x x x x x x <<<,则()423213·1x x x x x ++的取值范围是 ()(]()[)1,11,1,1,1-∞--+∞-D C B A二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分9.设集合{}1,3+-=a A ,{}1,3,122+--=a a a B ,若{}3-=B A ,则实数=a 10.设数列{}n a 是首相为1a ,公差为1-的等差数列,n S 为其前n 项和.若421,,S S S 成等比数列,则2a 的值为11.直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点B A ,分别在曲线⎩⎨⎧+=+=θθsin 4cos 3:1y x C (θ为参数)和曲线1:2=ρC 上,则AB 的最小值为12.函数()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈+-⎪⎭⎫⎝⎛+=4,443cos 33sin ·cos 2πππx x x x x f 的最小值为 13.已知棱长为2的正四面体的各顶点均在同一球面上,则该球的体积为14.梯形ABCD 中,︒=∠===60,2,1,4,//DAB AD DC AB CD AB ,点E 在线段BD 上,点F 在线段AC 上,且4·,,===DF AE CA CF BD BE μλ,则μλ+的最小值为三、解答题:本大题共6个小题,共计80分 15.(本小题满分13分)设ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,,且97cos ,2,6===+B b c a (1)求c a ,的值 (2)求()B A -sin 的值 16.(本小题满分13分)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片,其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片.(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率(2)X 表示所取3张卡片上的数字的中位数,求X 的分布列与数学期望. (注:若三个数c b a ,,满足c b a ≤≤,则称b 为这三个数的中位数) 17.(本小题满分13分)如图,︒=∠⊥90,//,ACB PC DA ABC PC 平面,E 为PB 的中点,1===BC AD AC ,2=PC .(1)求证:ABC DE 平面// (2)求证:BCD PD 平面⊥(3)设Q 为线段PB 上一点,λ=,试确定实数λ的值,使得二面角B CD Q --为︒45 18.(本小题满分13分)正项等比数列{}n a 的前n 项和记为n S ,11=a ,133=S . (1)求数列{}n a 的通项公式(2)等差数列{}n b 的各项为正,且52=b ,又332211,,b a b a b a +++成等比数列,设n n n b a A =,求数列{}n A 的前n 项和n T . 19.(本小题满分14分)已知椭圆()012222>>=+b a by a x 经过点()3,0,离心率为21,左右焦点分别为()()0,,0,21c F c F -.(1)求椭圆的方程 (2)若直线m x y l +-=21:与椭圆交于B A ,两点,与以21,F F 为直径的圆交于D C ,两点,且满足435=CDAB ,求直线l 的方程. 20.(本小题满分14分)已知函数()()a x x x f +-=ln 的最小值为0,其中0>a . (1)求a 的值(2)若对任意的[)+∞∈,0x ,有()2kx x f ≤成立,求实数k 的最小值 (3)证明:()()*212ln 1221N n n i ni ∈<+--∑= 天津市耀华中学2018届高三年级暑假验收考试数学参考答案(理科)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分1.A ;2.C ;3.B ;4.C ;5.B ;6.D ;7.A ;8.B 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分9.1-; 10.23-; 11.3; 12.21-; 13.π23; 14.36411+ 三、解答题:本大题共6个小题,共计80分 15.(本小题满分13分) 解:(1)由97cos =B 与余弦定理得,ac c a 914422=-+,又6=+c a ,解得3==c a (2) 又c a =,2=b ,924sin =B 与正弦定理得,322sin =A ,31cos =A .所以()27210sin cos cos sin sin =-=-B A B A B A 16.(本小题满分13分)解:(1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为845393334=+=C C C P (2) X 的所有可能值为1,2,3,且()4217139341524=+==C C C C X P ,()8443239331623121413=++==C C C C C C C X P , ()1213391722===C C C X P ,故X 的分布列为:从而()28123842421=⨯+⨯+⨯=X E 17.(本小题满分13分)(1)证明:以C 为原点建立空间直角坐标系xyz C -,()0,1,0B ,()1,0,1D ,()200,,P 则⎪⎭⎫ ⎝⎛1210,,E ,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0211,,,易知()2,0,0=为平面ABC 的一个法向量,PC DE PC DE ⊥∴=⋅,0ABC DE 平面⊄ ,ABC DE 平面//∴;(2)证明:()1,0,1-= ,()0,1,0=,()1,0,1=,0=⋅∴,0=⋅,DC PD BC PD ⊥⊥∴,, BCD PD C DC BC 平面⊥∴=⋂, ;(3)解:由(2)知平面BCD 的法向量为()1,0,1-=PD()2,1,0-=PB ,()λλλ2,,0-==PB PQ ,()10,∈λ,()22,,0+-=∴λλQ 而()()22,,0,1,0,1+-==λλCQ CD ,设平面QCD 的法向量为()000,,z y x =n ,由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00CD n n 得,()⎩⎨⎧=+-+=+02200000z y z x λλ, 令10=z ,则10-=x ,220-=λy ,即⎪⎭⎫⎝⎛--=1221,,λn , 故224862245cos 2=+-⋅-==︒λλλ, 解得22±=λ,由()10,∈λ得,22-=λ. 18.(本小题满分13分)解:(1)设公比为q ,则13123=++=q q S ,得43-==q q 或0>n a ,3=∴q ,1113--=⋅=∴n n n q a a ;(2)设{}n b 的公差为d ,由52=b ,可设d b d b +=-=5,531,又11=a ,32=a ,93=a ,由题意可得()()()2359515+=+++-d d ,解得10,221-==d d , 等差数列{}n b 的各项为正,2,0=∴>∴d d ,351=-=∴d b ,()()1221311+=⨯-+=-+=∴n n d n b b n ;()1312-⋅+==n n n n n b a A ,则()1323123937353-⋅+++⨯+⨯+⨯+=n n n T ,① ()n n n T 312393735333432⋅+++⨯+⨯+⨯+⨯=∴ ,②由①-②得,()()n n n n T 3123333232132⋅+-++++⨯+=--()()n n n n n 3231231313231⋅-=⋅+---⨯+=-,n n n T 3⋅=∴.19.(本小题满分14分) 解:(1)由题设3=b ,21=a c ,222c a b -=,解得1,3,2===c b a ∴椭圆的方程为13422=+y x ; (2)由题设,以1F ,2F 为直径的圆的方程为122=+y x ,圆心到直线l 的距离为52m d =由1<d 得,25<m ①,2224552541212m m d CD -=-=-=∴, 设()11,y x A ,()22,y x B ,由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-==+m x y y x 2113422得,0322=-+-m mx x , m x x =+21,3221-=m x x ,()[]2222421534211m m m AB -=--⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∴,由435=CD AB得,145422=--m m ,解得33±=m ,满足①, ∴直线l 的方程为33213321--=+-=x y x y 或. 20.(本小题满分14分)解:(1))(x f 的定义域为()+∞-,a()ax a x a x x f +-+=+-='111,由()0='x f ,得a a x ->-=1 当a x a -<<-1时,()0<'x f ,函数)(x f 单调递减; 当a x ->1时,()0>'x f ,函数)(x f 单调递增,()a f -1为唯一的极小值,也是最小值,故由题意()011=-=-a a f ,所以1=a .(2)当0≤k 时,取1=x ,有()02ln 11>-=f ,故0≤k 不符合题意 当0>k 时,令()()2kx x f x g -=,即()()21ln kx x x x g -+-=()()1212212+-+-=-+='x xk kx kx x x x g令()0='x g ,得01=x ,12212->-=kkx ①当21≥k 时,0221≤-kk,()0<'x g 在()+∞,0上恒成立,因此()x g 在),0[+∞上单调递减,从而对于任意的),0[+∞∈x ,总有()()00=≤g x g ,即()2kx x f ≤在),0[+∞上恒成立,故21≥k 符合题意. ②当210<<k 时,0221>-k k ,对于⎪⎭⎫⎝⎛-∈k k x 221,0,()0>'x g故()x g 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-k k 221,0内单调递增,因此,当取⎪⎭⎫⎝⎛-∈k k x 221,00时,()()000=>g x g , 即()200kx x f ≤不成立. 故210<<k 不符合题意.(3)证明:当1=n 时,不等式左边=<-=23ln 2右边,所以不等式成立, 当2≥n 时,()()[]()12ln 12212ln 12ln 1221221111+--=--+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑∑∑∑====n i i i i i f ni n i n i ni 在(2)中取21=k 得,())0(22≥≤x x x f ,从而()()()()2,123221221222≥∈--<-≤⎪⎭⎫⎝⎛-*i N i i i i i f 所以()()()∑∑∑===--+-<⎪⎭⎫⎝⎛-=+--ni n i ni i i i f n i 211123223ln 212212ln 122 212113ln 21213213ln 22<--+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛---+-=∑=i i i ni 综上()∑=*∈<+--ni N n n i 1,212ln 122.。