第七章 非线性动力学与混沌 讲义
动力系统与混沌理论综述
动力系统与混沌理论综述动力系统与混沌理论是现代非线性科学中的两个重要研究领域。
本文将综述动力系统与混沌理论的基本概念、研究方法以及在不同领域的应用。
通过对动力系统与混沌理论的综述，我们可以更好地理解和应用这些理论，推动非线性科学的发展。
一、动力系统的基本概念及研究方法动力系统是描述物体运动变化的数学模型。
在动力系统研究中，常用的描述方法包括微分方程、差分方程和递推关系等。
动力系统的基本概念包括相空间、相轨道和吸引子等。
相空间是描述动力系统状态的集合，每个点代表系统的一个状态。
相轨道是系统在相空间中的轨迹，揭示了系统状态随时间变化的过程。
吸引子是相轨道的稳定部分，能够吸引其他轨道接近于它自身。
研究动力系统的方法主要有数值模拟、数学分析和实验观测等。
数值模拟通过计算机模拟动力系统的行为，可以得到系统的演化规律。
数学分析通过解析方法研究动力系统的特性，如稳定性、周期性和混沌性等。
实验观测通过实验手段获取动力系统的数据，验证和探索动力系统行为的规律。
二、混沌理论的基本概念及研究方法混沌理论是研究动力系统中混乱、不可预测行为的一门学科。
混沌理论的基本概念包括敏感依赖性、确定性和随机性等。
敏感依赖性是指动力系统初始条件的微小变化会导致系统演化的巨大不同。
确定性是指动力系统的演化规律是确定的，不存在随机因素。
随机性是指在混沌系统中存在无法预测的随机行为。
研究混沌的方法主要有分析、数值模拟和实验观测等。
通过分析混沌系统的特性，如李雅普诺夫指数、分岔现象和分形特性等，可以揭示混沌系统的行为规律。
数值模拟可以通过计算机模拟混沌系统的演化，揭示其动力学特性。
实验观测通过实验手段获取混沌系统的数据，验证和探索混沌系统的行为规律。
三、动力系统与混沌理论的应用动力系统与混沌理论在许多领域中都有广泛的应用。
在物理学领域，动力系统与混沌理论可以用于研究天体运动、分子动力学和流体力学等问题。
在生物学领域，动力系统与混沌理论可以用于研究生物进化、群体行为和神经系统等现象。
非线性动力学中的混沌与分岔现象
非线性动力学中的混沌与分岔现象混沌现象的介绍混沌现象是非线性动力学中一个重要的研究课题，它描述了一种似乎随机的、无规律可循的运动状态。
在混沌现象的研究中，人们发现了一些特征，如灵敏依赖于初始条件、无周期运动和封闭轨道等。
混沌现象的研究对于理解自然界中的复杂系统行为具有重要的意义。
混沌现象最早是由美国数学家Edward Lorenz于20世纪60年代发现的。
他在研究气象学中的大气运动方程时，意外地发现了不确定性的现象。
这个发现被称为“蝴蝶效应”，即当一个蝴蝶在巴西振动翅膀时，可能引发一系列的气流变化，最终导致美国得克萨斯州的一个龙卷风的形成。
这个例子说明了混沌现象中初始条件的微小变化可能引起系统运动的巨大变化。
混沌现象的数学表示混沌现象可以用一些非线性动力学方程描述。
这些方程通常包含了一些非线性项，使得系统的演化不再是简单的线性叠加。
一个经典的混沌系统方程是Lorenz方程：\\frac{{dx}}{{dt}} = \\sigma(y - x),\\frac{{dy}}{{dt}} = x(\\rho - z) - y,\\frac{{dz}}{{dt}} = xy - \\beta z其中，x、y和z是系统的状态变量，t是时间。
σ、ρ和β是一些常数，它们决定了系统的性质。
这个方程描述了一个三维空间中的运动，这种运动就是混沌现象。
分岔现象的介绍分岔现象是混沌现象的一个重要特征，它描述了系统参数发生微小变化时，系统行为的剧烈变化。
简单来说，分岔现象就是系统从一个稳定的演化状态变成多个稳定状态的过程。
分岔现象的经典例子是Logistic映射。
Logistic映射是一种常用的非线性映射，它用于描述生物种群的增长。
Logistic映射的公式为：x_{n+1} = r \\cdot x_n \\cdot (1 - x_n)其中，x_n是第n个时刻的种群密度，x_{n+1}是下一个时刻的种群密度，r是系统的参数，它决定了种群的增长速度。
详解非线性动力学的混沌和复杂性
详解非线性动力学的混沌和复杂性非线性动力学是一门研究非线性系统行为的学科，在这门学科中，混沌和复杂性是两个习惯性使用的术语。
混沌指的是非线性系统的表现极其高度不稳定和难以预测，而复杂性则指的是系统中的各个部分之间相互影响并产生的多种自组织现象。
这篇文章将更加详细地解释混沌和复杂性的概念以及它们在非线性动力学中的应用。
一、混沌的概念在非线性动力学研究中，混沌通常用于描述非线性系统的性质。
混沌行为的表现形式很多，其中最常见的现象是所谓的“无限迭代”。
在数学上，无限迭代意味着函数值的变化是在一个短时间内不断变化，并且难以预测。
某些非线性系统的动力学方程式就是无限迭代的。
一个经典的例子是“洛伦兹吸引子”（Lorenz attractor）。
该吸引子是由爱德华·洛伦兹在20世纪60年代概括出来的，他以一种简单的三维微分方程作为基础。
虽然该方程式在形式上非常简单，但它却表现出了高度不稳定、难以预测的行为表现形式。
也就是说，任何初始状态的微小变化都会导致最终结果完全不同的结论，因此在实际应用中非常难以精确预测。
二、复杂性的概念除了混沌之外，非线性动力学还以其复杂性而著名。
复杂性的概念可以追溯到20世纪40年代，但其实质在于多个元素之间的相互作用和组织。
例如，一个降雨系统可能会受到多个独立的天气系统的影响，它需要在这些不同的系统中寻找一条路径，以便让雨水流向正确的方向。
这个过程需要同时考虑外部环境、降雨规律、地形和土地使用等多方面因素。
在非线性动力学中，一个复杂系统的行为不仅受到其各个组成部分的属性所决定，还受到它们之间的相互作用和反馈机制所影响。
更进一步，这种相互作用可以导致系统一些非常有趣的自组织现象出现。
例如，人工神经网络可以通过逐层逼近降低误差来学习和识别各种类型的信息，而无需显式编程或指令。
三、非线性动力学和实际应用混沌和复杂性的理论虽然很有趣，但是它们在实际的应用中也具有非常广泛的应用价值。
非线性动力学中的混沌与分岔现象研究
非线性动力学中的混沌与分岔现象研究在物理学和自然科学领域里，非线性动力学是一个十分重要的研究领域。
非线性动力学理论的出现使得我们对自然界中不规则的复杂现象有了更深的认识。
混沌和分岔现象的出现是非线性动力学的一个重要研究方向。
在本文中，我们将讨论非线性动力学中混沌和分岔现象的基本概念和研究现状。
一、混沌现象混沌现象是一种表现为无规律、无周期、既不平凡又不完全随机的复杂动力学现象。
混沌出现的背景通常是一组非线性微分方程，因此它的发生与目标系统的非线性特性有关。
混沌作为物理学发现的一个新现象，引起了科学家们的广泛关注。
通常情况下，混沌现象是由一组微小的变化引起的，因此混沌现象也被称为蝴蝶效应。
经典的三体问题就是一个混沌的例子。
对于混沌现象，其最主要的特征是对初始条件的依赖，也就是所谓的敏感依赖性。
这意味着如果我们的实验或者计算开始时的初值稍有 variations，结果可能会相差很大。
在混沌理论中，不同的初始条件可以导致截然不同的运动的形态，这种敏感依赖性表现得深入人心，深刻地提示我们要了解物理世界中的微小变化是多么的重要。
此外，混沌现象还表现在期望不规律性上，也就是说，目标系统的演化不能用周期性或规则性过程去描述。
混沌经常被认为是对确定性的“不确定性”的表现。
混沌现象的研究可以将我们的认识推向新的领域，对于深入理解天文学、流体物理、生物学等领域都有重要的意义。
二、分岔现象分岔现象通常被认为是从一个稳定平衡状态到另一个稳定平衡状态过程中的一个突变性变化。
发生分岔的原因通常是由非线性动力学系统结构的变化所引起的。
分岔现象是非线性动力学系统中的一种普遍现象，在分岔研究领域有着极为重要的地位。
分岔的一个重要性质是其可以导致同样初始条件下发生系统演化的不同结果，与混沌现象类似。
分岔现象最早的研究源自于对恒星爆发的研究，目前这项研究产生的成果对于预测和防范太阳风暴等等事件都有很重要的意义。
此外，分岔现象在复杂系统和混沌理论中也有广泛的应用，是现代科学研究的一个重要组成部分。
[经济学]非线性动力学浑沌说课讲解
![[经济学]非线性动力学浑沌说课讲解](https://img.taocdn.com/s3/m/fc77ec380812a21614791711cc7931b765ce7b48.png)
朱照宣,1987年,牛顿《原理》三百年祭
• “《原理》发表以来的三百年，牛顿力学经历了两 个阶段。前280年是一阶段。那时认为由运动微 分方程所确定的动态总是确定性的。……后20年 则是另一个阶段。以卡姆定理(KAM)为代表的浑 沌理论提示了决定论和随机论之间、牛顿力学和 统计力学之间没有不可逾越的界线。 ……不仅大 量粒子的系统要用统计力学，两个自由度的保守 系统运动也得用统计力学，连掷骰子本身也既是 决定论的又是概率论的。它从根本上为牛顿力学 摘除了‘机械论’的帽子。”(朱照宣 1987, 第12页)
费格尔
（Herbert Feigl,1902-1988）说
“A causes B” or “A is the cause of B” means that wherever and whenever A occurs it is followed (or attended) by B. Since a precise repetition of A may not be feasible (or discoverable), a less stringent formulation would use something like a mathematical limit process: The more the actual condition A' approximates the conceived (ideal) condition A, the more actual effect B' will approximate the (ideal) effect B.
• There are systems whose trajectories do not monotonically approximate any ideal state. They are sensitive dependence to initial conditions.
非线性微分方程的分岔和混沌现象
非线性微分方程的分岔和混沌现象非线性微分方程是自然科学中经典的研究对象之一。
在广泛的自然现象和实验研究时，非线性微分方程都是用来描述这些现象的数学工具。
但是，非线性微分方程的动力学特性非常复杂，包括分岔、混沌等现象。
这些现象对于科学家而言是非常重要而且有很多有趣的数学理论成果与实际应用。
在本文中，我们将探讨非线性微分方程的分岔和混沌现象的一些基本概念与数学理论。
一、非线性微分方程的分岔现象分岔现象是指一个系统中的某些参数发生变化时，该系统的稳定性质发生变化。
特别是当这些参数逐渐变化到一定的“临界点”时，系统的稳定性质突然发生改变，这种现象叫做分岔。
通常，这个临界点称为临界参数值。
分岔现象是非线性微分方程的一个根本动力学现象，在自然科学中有着广泛的应用。
1. 常见的分岔类型非线性微分方程的分岔有许多类型，其中比较常见的有：鞍点分岔、极小极大分岔、超过阈值分岔、分支分岔等。
鞍点分岔是指由一个稳定的状态发生分裂从而出现两个不同状态的现象。
这种分岔是由一个简单稳定节点与一个鞍点相遇时产生的。
极小极大分岔是指当参数发生微小的变化时，极小值点和极大值点突然出现的现象。
超过阈值分岔是指当参数超过某些阈值时，系统从一个极限环突变到一个新的解的现象。
分支分岔是指在参数空间中出现分支条件，这通常在响应系统行为的外部变量出现周期性变化时会发生。
2. 分岔的重要性分岔现象对于非线性微分方程而言是非常重要的，因为它可以揭示系统的稳定性和动力学性质。
而且，正是由于分岔现象才使得非线性微分方程在自然科学领域中有着广泛的应用。
例如，在物理领域中，分岔现象可以帮助我们研究光学、空气动力学、气象学等领域中的不同系统。
在生物学领域中，分岔现象可以帮助我们研究細胞過程中的周期性行为、神经行为、化學反應等。
在经济学领域中，分岔现象可以帮助我们理解市場泡沫、动态平衡等问题。
二、非线性微分方程的混沌现象混沌现象是指某些动力学系统（如非线性微分方程）的随时间演化的状态具有无限的、不可预测的细节。
利用非线性动力学系统研究混沌现象
混沌是指发生在确定性系统中的看似随机的
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成为复杂性科学的一 要分支，混沌运动的动力
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中非常有用⑵。但是，E 输岀对状态初值的敏感性
的： 现
的复杂性和奇异性，使
部分，如图1所示。其中摆轮部 半
4.75cm
的 圆盘和安装
的一
块
，圆
盘安装
传感器上，并在圆盘后侧安装一个
磁阻，来改变圆盘转动的 。圆盘
的恢复
两根弹簧提供，弹簧通 线缠绕在圆盘后
侧的 杆上。两根弹簧下端，一
，另一根
的转臂上，这样圆盘的
到
驱
期外力的作用。同
臂的一
侧加装
，
的。
传感器、
驱
通过850通用接口连接计算
，实验时打开PASCO Capstone 采
软件，可控制驱
，并实时显示
传
感器的角度
度的 ，同 用
采集
到的驱
期信息在实时相图上绘制庞加莱点。
设 圆盘的半
R，
M，则 惯
（a）混沌摆实验装置；（b）铝质圆盘侧视图 图中（0）钱磁铁；（1）转动传感器；（2）三角支架；（3） 850通用数据 采集；（4）电机；（5）圆柱体质块；（6）铝盘；（7）弹簧；（8）光电门 ［注：实验装置图引自PASCO公司2016物理和工程目录一书中 第324页:
wilappearalternatelyintheperiodicandchaoticstates"andthischangeisalmostabrupt At
混沌理论与非线性动力学的应用
混沌理论与非线性动力学的应用引言混沌理论和非线性动力学作为现代科学中的重要分支，已经在许多领域展现出了广泛的应用价值。
本文将从理论和实际应用两个方面，对混沌理论和非线性动力学的应用进行探讨。
首先，我们将介绍混沌理论和非线性动力学的基本概念和原理，随后，我们将列举一些重要的应用案例，包括天气预测、金融市场分析、生物学研究等。
混沌理论的基本概念和原理混沌理论是20世纪60年代末期以来发展起来的一门交叉学科，它研究的是非线性动力学系统中的混沌现象。
混沌现象是指在非线性系统中出现的非周期、非随机但又有规律的运动。
混沌系统具有极为敏感的初始条件依赖性和指数级散射性，这使得混沌系统的运动态变得异常复杂。
非线性动力学是研究非线性系统行为和性质的一门学科，它利用微分方程和动力学理论来描述和预测系统的演化。
非线性系统是指系统的响应和输入之间存在非线性关系的系统。
与线性系统相比，非线性系统的行为更加丰富多样，可以出现混沌、周期、稳定等多种运动态。
混沌理论和非线性动力学的应用，主要基于以下几个原理：1.敏感依赖性：混沌系统对初始条件极其敏感，微小扰动可能引起系统演化的巨大变化。
2.嵌套结构：混沌系统的各种轨道在相空间中具有特征的嵌套结构，这种结构对于系统的运动态起到了重要作用。
3.混沌控制：通过适当的控制手段，可以实现对混沌系统的控制和稳定。
混沌理论和非线性动力学的应用案例天气预测天气预测是混沌理论和非线性动力学在气象学中的一个重要应用领域。
天气系统是一个具有复杂非线性动力学行为的系统，受到许多不确定性因素的影响，因此传统的天气预测方法往往难以准确预测。
通过引入混沌理论和非线性动力学的方法，可以更好地理解和模拟天气系统的演化过程，提高天气预测的准确性。
金融市场分析金融市场是混沌理论和非线性动力学的又一个重要应用领域。
金融市场的价格变动通常具有随机性和非线性性，传统的金融模型往往无法准确描述市场的行为。
通过引入混沌理论和非线性动力学的方法，可以对金融市场的价格变动进行建模和预测，为投资者提供更准确的决策依据。
非线性动力学中混沌系统的建模与控制
非线性动力学中混沌系统的建模与控制混沌系统是非线性动力学中一个重要的研究对象，具有极为复杂的动态行为。
混沌系统的建模与控制是现代科学研究及应用领域中的一个关键问题，它对于深入理解和利用混沌动力学现象具有重要意义。
本文将从混沌系统的概念入手，介绍混沌系统的建模方法以及常用的控制策略。
一、混沌系统的概念混沌系统是一类具有高度敏感依赖初值的非线性动力学系统，其特征是在确定性条件下表现出长期的不可预测性。
混沌系统的行为可用复杂的轨道、奇异吸引子、分形等数学概念来描述。
二、混沌系统的建模方法混沌系统的建模是研究混沌现象的基础，其主要目标是找到能够准确描述混沌系统行为的数学模型。
常用的混沌系统建模方法包括：映射法、微分方程法和神经网络法。
映射法是一种简单而直观的混沌系统建模方法，通过定义一个映射函数，将时间连续的系统转化为时间离散的系统。
典型的映射法建模方法有Logistic映射、Henon映射等。
微分方程法是一种常用的混沌系统建模方法，通过建立动力学微分方程来描述系统的运动规律。
其中，Van der Pol振荡器、Lorenz系统等是常用的混沌系统建模的微分方程模型。
神经网络法是一种基于神经网络理论的混沌系统建模方法，它利用神经网络的拟合能力和非线性特性来模拟混沌系统的行为。
神经网络法能够较准确地描述混沌现象，是建模混沌系统的有效方法之一。
三、混沌系统的控制策略由于混沌系统的高度敏感性和不可预测性，对混沌系统进行有效的控制成为研究的热点之一。
以下是常见的混沌系统控制策略：1.稳定子空间控制方法稳定子空间方法是一种常用的混沌系统控制方法，通过在混沌系统的相空间中选择一个适当的稳定子空间，将混沌系统引入该稳定子空间中，实现混沌系统的控制。
2.反馈控制方法反馈控制方法是一种有效的混沌系统控制方法，其基本思想是根据混沌系统的状态信息，通过构造合适的反馈控制器来调节系统的状态，实现对混沌系统的控制。
3.混沌同步控制方法混沌同步控制方法是一种特殊的控制方法，它通过构建合适的控制器和耦合方式，使得两个或多个混沌系统的状态同步，从而实现对混沌系统的控制。
非线性物理——混沌
非线性物理——混沌引言非线性是在自然界广泛存在的自然规律，相对于我们熟悉的线性要复杂得多。
随着物理学研究的不断深入，非线性问题逐渐被重视起来，现已出现了多个分支，混沌便是其中之一。
混沌现象在生活中广泛存在，如著名的蝴蝶效应、湍流、昆虫繁衍等[1]。
要直观地演示混沌现象，采用非线性电路是一个非常好的选择。
能产生混沌现象的自治电路至少满足以下三个条件[2]：1）有一个非线性元件，2）有一个用于耗散能量的电阻，3）有三个存储能量的元件。
如图1所示的蔡氏电路（Chua's circuit ）[3,4]是一个符合上述条件、非常简洁的非线性电路，由华裔物理学家蔡绍棠（Leon O. Chua ）教授于1983年提出并实现。
近年来，非线性电路的研究领域有了长足进展，新的混沌与超混沌电路[5]的理论设计与硬件实现等问题备受人们关注。
如Chen 氏电路[6]、Colpitts 振荡电路[7]、基于SETMOS 的细胞神经网络结构的蔡氏电路[8]，都能用于研究混沌现象，并有不同的应用领域。
实验原理在众多的非线性电路中，蔡氏电路因其结构简单、现象明晰，成为教学实验中让学生接触、了解混沌现象的最佳选择，大量基于蔡氏电路的实验仪器[9-11]被广泛应用于高校实验教学。
蔡氏电路（如图一所示）的主要元件有可调电阻R （电路方程中以电导G =1/R 做参数，以下方程求解过程都用G 来表示，而涉及实验的内容采用R 表示）、电容C 1和C 2、电感L 以及非线性负阻Nr 。
它的运行状态可以用以下方程组来描述： ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=+-=--=2212211211)()()(U dt dI L I U U G dt dU C U g U U G dt dU C L L (1)其中U 1为C 1（或负阻Nr ）两端的电压，U 2为C 2（或L ）两端的电压，I L 为通过L 的电流，错误!未指定书签。
g (U)为非线性负阻的I -V 特性函数，其表达式为： |)||(|2)(E U E U G G U G U g a b b +---+= (2) 式中各参数和变量的具体意义间图3。
混沌系统的非线性动力学分析
混沌系统的非线性动力学分析混沌系统作为一种非线性动态系统，具有极其复杂的行为模式和不可预测的演化过程，引起了许多科学家和研究者的广泛关注。
非线性动力学分析方法提供了一种研究混沌系统的有力工具，通过对系统的动力学特性进行详细分析，可以揭示混沌系统的内在结构和行为规律。
非线性动力学分析的核心概念是相空间、轨道和吸引子。
相空间是由系统状态的所有可能取值所构成的空间，通过绘制系统状态的轨迹可以了解系统的演化过程。
轨道表示系统在相空间中的运动路径，可以是有限的或无限的。
吸引子是描述系统稳定的不动点或者稳定周期轨道所形成的吸引性结构。
混沌系统中最有代表性的一个例子是洛伦兹系统。
洛伦兹系统是一个描述对流运动的非线性动态系统，由三个耦合的微分方程组成。
通过非线性动力学分析，我们可以揭示洛伦兹系统中的混沌现象。
例如，洛伦兹系统具有一个吸引子，其形状类似于蝴蝶，这被称为洛伦兹吸引子。
洛伦兹吸引子的特点是具有无法预测的演化过程和高度敏感的初值依赖性。
除了洛伦兹系统，还有一些其他的混沌系统也受到了广泛的研究。
例如，Henon映射是一个二维动力系统，通过映射函数来描述系统的演化。
Henon映射具有分岔现象和周期倍增等特征，可以通过非线性动力学分析来研究其复杂的行为。
另一个例子是Logistic映射，它是一个一维动力系统，广泛应用于生物学、经济学等科学领域。
Logistic映射具有混沌的演化行为，可以通过非线性动力学分析来揭示其内在的结构。
非线性动力学分析的方法主要包括Poincaré截面、Lyapunov指数、分岔图和动力学统计等。
Poincaré截面可以将高维相空间映射到低维空间中，从而便于观察系统的演化。
Lyapunov指数可以衡量系统的混沌程度和对初值的敏感性。
分岔图可以描述系统在参数变化过程中的演化行为和状态的突变。
动力学统计方法可以通过统计的方式研究系统的稳态性质和行为规律。
非线性动力学分析的研究对于理解混沌系统的本质和揭示复杂现象的规律具有重要的意义。
第七章 非线性动力学与混沌 讲义
二. 解的稳定性
Lyapunov稳定性定义：
x f (x)
x (x1, x2 ,, xn ) f ( f1, f2 ,, fn )
❖(1) 设t=t0时方程的解为x0 (t0 )，t时为 x0 (t) ，另一受扰动而偏离它的
解t0时为x(t0 ) ， t时为x(t)。如果对于任意小的数 0，总有一小数 0 存在，使得当 x(t0) x0(t0) 时，必有 x(t) x0(t) ,t0 t
例1. x 2 t
x0 (0) 1
解： x(t) 2t 1 t 2 c 2
x0 (0)Leabharlann c 1x0 (t)2t
1 2
t2
1
x(0) x0(0) c 1
x(t) x0 (t) c 1
x0 (t) 是Lyapunov稳定的
例2. x t x
1阶，2维 n+1维自治
Duffing方程
mx x kx x3 F cos t
x1 x, x2 x x3 cos t, x4 x3
x1 x2
x2
k m
x1
m
x13
m
x2
F m
x3
xx34
x4 2 x3
一阶常微分方程组 xi fi (x1, x2 ,, xn )
i 1,2,, n
❖ 刘式达，刘式适，《非线性动力学和复杂 现象》，气象出版社，1989
§7.1 引言
一. “非线性动力学”的表观含义
数学上：
f (x) ax b
f
(x)
ax2
bx
c
线性 非线性
定义：力或微分方程含有坐标或速度的非线性项的系 统，称为非线性动力学系统，反之称为线性动力学系统。
非线性电路中的混沌现象
非线性电路中的混沌现象实验指导及操作说明书北航实验物理中心2013-03-09教师提示：混沌实验简单，模块化操作，但内容较多，需要课前认真预习。
5.2 非线性电路中的混沌现象二十多年来混沌一直是举世瞩目的前沿课题和研究热点，它揭示了自然界及人类社会中普遍存在的复杂性，有序与无序的统一，确定性与随机性的统一，大大拓宽了人们的视野，加深了对客观世界的认识。
许多人认为混沌的发现是继上世纪相对论与量子力学以来的第三次物理学革命。
目前混沌控制与同步的研究成果已被用来解决秘密通讯、改善和提高激光器性能以及控制人类心律不齐等问题。
混沌（chaos）作为一个科学概念，是指一个确定性系统中出现的类似随机的过程。
理论和实验都证实，即使是最简单的非线性系统也能产生十分复杂的行为特性，可以概括一大类非线性系统的演化特性。
混沌现象出现在非线性电路中是极为普遍的现象，本实验设计一种简单的非线性电路，通过改变电路中的参数可以观察到倍周期分岔、阵发混沌和奇导吸引子等现象。
实验要求对非线性电路的电阻进行伏安特性的测量，以此研究混沌现象产生的原因，并通过对出现倍周期分岔时实验电路中参数的测定，实现对费根鲍姆常数的测量，认识倍周期分岔及该现象的普适常数费根鲍姆（Feigenbaum）常数、奇异吸引子、阵发混沌等非线性系统的共同形态和特征。
此外，通过电感的测量和混沌现象的观察，还可以巩固对串联谐振电路的认识和示波器的使用。
5.2.1 实验要求1．实验重点①了解和认识混沌现象及其产生的机理；初步了解倍周期分岔、阵发混沌和奇异吸引子等现象。
②掌握用串联谐振电路测量电感的方法。
③了解非线性电阻的特性，并掌握一种测量非线性电阻伏安特性的方法。
熟悉基本热学仪器的使用，认识热波、加强对波动理论的理解。
④通过粗测费根鲍姆常数，加深对非线性系统步入混沌的通有特性的认识。
了解用计算机实现实验系统控制和数据记录处理的特点。
2．预习要点（1）用振幅法和相位法测电感①按已知的数据信息（L～20mh，r～10Ω，C0见现场测试盒提供的数据）估算电路的共振频率f。
动力系统与混沌理论
动力系统与混沌理论动力系统与混沌理论是现代非线性科学中的重要分支，它涉及了许多领域，包括物理学、数学、工程学和生物学等。
动力系统研究的是随时间变化的系统的行为规律，而混沌理论则是研究复杂系统中呈现出的混沌现象及其规律。
本文将从动力系统和混沌理论的基本概念入手，介绍它们的研究对象、基本原理以及在各个领域中的应用。
动力系统基本概念动力系统是指随时间演化的系统。
它可以是连续的，也可以是离散的。
在数学上，一个动力系统可以用微分方程或差分方程来描述。
动力系统可以描述物体在空间中的运动，也可以描述人口在时间中的变化，还可以描述分子在化学反应中的转化等等。
需要注意的是，动力系统并不是简单地描绘系统随时间变化的数学模型，更重要的是寻找系统内部规律，揭示系统稳定性、周期性以及混沌行为。
混沌理论基本概念混沌理论源自于对非线性动力学系统特征的研究，最早出现在天体力学中。
所谓混沌现象是指在确定性非线性动力学系统内部表现出来的看似随机、不可预测的行为。
即使是最微小的初始条件变化也可能导致完全不同的演化结果。
而我们常见的线性动力学系统则具有稳定、可预测的特点。
动力系统与混沌理论在物理学中的应用在物理学中，动力系统与混沌理论被广泛应用于分析天体运动、流体力学、凝聚态物质等方面。
例如，广义相对论揭示了宇宙中引力场和时空结构之间有机而微妙的联系；混沌理论也为研究非线性振动和波动、研究天体运动问题提供了新方法。
动力系统与混沌理论在工程学中的应用在工程学领域，控制论为我们提供了设计、研究复杂工程系统行为规律的方法。
利用非线性动力学和混沌现象研究工程结构强度、系统振动和噪声控制等方面。
动力系统与混沌理论在生物学中的应用生物学中，许多生物现象可以被看作是一种复杂、非线性、动态过程。
比如生物钟、生态环境、群体行为等都可以通过动力系统与混沌理论进行建模和分析。
总结动力系统与混沌理论作为一门新兴交叉学科，在世界范围内正在迅速发展。
它们既是一门基础学科，又能服务于其他各个领域，在科研和实际应用中都有着巨大潜力。
非线性动力学与混沌理论
非线性动力学随着科学技术的发展，非线性问题出现在许多学科之中，传统的线性化方法已不能满足解决非线性问题的要求，非线性动力学也就由此产生。
非线性动力学联系到许多学科，如力学、数学、物理学、化学，甚至某些社会科学等。
非线性动力学的三个主要方面：分叉、混沌和孤立子。
事实上，这不是三个孤立的方面。
混沌是一种分叉过程，孤立子有时也可以和同宿轨或异宿轨相联系，同宿轨和异宿轨是分叉研究中的两种主要对象。
经过多年的发展，非线性动力学已发展出了许多分支。
如分叉、混沌、孤立子和符号动力学等。
然而，不同的分支之间又不是完全孤立的。
非线性动力学问题的解析解是很难求出的。
因此，直接分析非线性动力学问题解的行为（尤其是长时期行为）成为研究非线性动力学问题的一种必然手段。
* 混沌理论是谁提出的？混沌理论，是系统从有序突然变为无序状态的一种演化理论，是对确定性系统中出现的内在“随机过程”形成的途径、机制的研讨。
美国数学家约克与他的研究生李天岩在1975年的论文“周期3则乱七八糟（Chaos）”中首先引入了“混沌”这个名称。
美国气象学家洛伦茨在20世纪60年代初研究天气预报中大气流动问题时，揭示出混沌现象具有不可预言性和对初始条件的极端敏感依赖性这两个基本特点，同时他还发现表面上看起来杂乱无章的混沌，仍然有某种条理性。
1971年法国科学家罗尔和托根斯从数学观点提出纳维-斯托克司方程出现湍流解的机制，揭示了准周期进入湍流的道路，首次揭示了相空间中存在奇异吸引子，这是现代科学最有力的发现之一。
1976年美国生物学家梅在对季节性繁殖的昆虫的年虫口的模拟研究中首次揭示了通过倍周期分岔达到混沌这一途径。
1978年，美国物理学家费根鲍姆重新对梅的虫口模型进行计算机数值实验时，发现了称之为费根鲍姆常数的两个常数。
这就引起了数学物理界的广泛关注。
与此同时，曼德尔布罗特用分形几何来描述一大类复杂无规则的几何对象，使奇异吸引子具有分数维，推进了混沌理论的研究。
非线性振动与混沌简介PPT课件
dt2 dt
三种情况： a. f= = = 0；b. f = =0；c. =0，相
应得出简谐振动、阻尼和受迫振动方程。
★简谐振动的相轨线：闭合圈---周期环---。
★阻尼振动的相轨线：从外向内收缩的螺旋线，最终 停止于中点---不动点吸引子--- 。
★受迫振动：经过暂 态之后趋于一稳定的 闭合圈---周期吸引子 或极限环。
单摆方程
ml
d2x dt 2
l
dx dt
mg
sin
x
F
cos t
按泰勒级数 sin x x 1 x3 6
取前两项近似，
适当代换，得到非线性振动方程（杜芬方程）
d 2x dx x x3 f cost
dt2 dt
讨论 运动的演变
1. 线性近似下的单摆运动
21
第21页/共40页
1. 线性近似下的单摆运动 令 =0，退化为线性方程
§3.2 混 沌
一、混沌现象
混 沌 ➢ 湍流
现 象
雷诺实验
木星大红斑
障碍物后的流体
1
第1页/共40页
湍流
2
第2页/共40页
喷 气 混机 沌尾 现流
燃 烧 的 蜡 烛
象
➢洛仑兹水轮
3
第3页/共40页
➢滴水龙头
混 沌 现 象
➢计算机迭代
x
x2 1的迭代
0.5
5
10 15 20 25 30
o
0.5
对周期点之间的距离之比，以及第相邻两次周期分
岔中的各对周期点之间的距离之比又趋于另一个常
数 ，称为标度因子或普适常数:
= 2.5029078750958928
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2. 线性化方程组的解及其稳定性
12
111 21 1
122 222
试探解：1 Aet ,2 Bet
11
21
12
22
A B
0
ij
( fi x j
)0
11 12 0 21 22
2 T 0
T 11 22
系数矩阵的迹
11 22 12 21 系数行列式的值
特征根
❖ 刘式达，刘式适，《非线性动力学和复杂 现象》，气象出版社，1989
§7.1 引言
一. “非线性动力学”的表观含义
数学上：
f (x) ax b
f
(x)
ax2
bx
c
线性 非线性
定义：力或微分方程含有坐标或速度的非线性项的系 统，称为非线性动力学系统，反之称为线性动力学系统。
例：
mx kx 2x2
1. 定态解 xi 0 i 1,2, , n
x2
平衡点，奇点
x1
2. 发散解
xi 之一或几个随时间无限地偏离初值 x2
爆炸，散射
x1
3. 振荡解
既不趋于无穷大，也不终止于某一点，而是在一定区域内不断变化。
❖ 周期振荡
❖ 准周期振荡
x2 闭合曲线
x1
x2 非闭合曲线
x1
❖ 混沌
相轨迹没有确定的形状周 期、貌似随机的运动。
1,2 T
T 2 4 2
特征矩阵
A1 B1
A2 B2
1 c1 A1e1t c2 A2e2t
2
c1B1e1t
c2 B2e2t
渐进稳定
临界情况 不稳定
1,2 T
T 2 4 2
T
不稳定
不稳定
❖ (1) 两特征根实部都是负的
lim
t
i
0
原点 i 0 是渐进稳定的
❖ (2) 两特征根中至少有一个实部为正
mx
k x2
二. 决定性系统与不可预测性
1. 力学决定论及其伟大成就
mx F(x, x,t)
x x0, x x0
t t0
x(t ), x(t )
存在且唯一， 可预测性
❖ 1757年，哈雷慧星（Hally comet）按预测回归。 ❖ 1846年，海王星在预言的位置被发现。 ❖ 今天，日月蚀的准确预测，宇宙探测器的成功发射与回收。
2. 在奇点 ( ,0) 处线性化方程组为
1
f1 x1
1
f1 x2
2
0
2
2
f2 x1
1
f2 x2
2
0
021
-
22
a11 a21
a12 a22
0
02
1
2
T 2 , 02 0 奇点 ( ,0) 为鞍点
线性稳定性定理只适用于分析非线性方程奇点及其附近的解的性质，离奇点越远， 线性化误差越大。
设想一位智者在某一瞬间得知激励大自然所有力及组成它的物体 的相互位置，如果这位智者又能对众多的数据进行分析，把宇宙间最 庞大的物体和最轻微的原子的运动凝聚在一个公式中，没有什么事物 是不确定的，将来就像过去一样清晰地展现在眼前。
——拉普拉斯（Laplace，法国数学家，1749-1827）
2. 力学决定论不断受到挑战
§7.3 极限环——渐进稳定的周期振荡
一. 定义
相空间里孤立的闭曲线，称为极限环
x2
此轨道极小邻域内
x2
不出现其它闭轨道
与初始条件无关
x1
x1
守恒的（与初始条件有关的） 周期振荡不是极限环
极限环
例：Van der Pol 方程（电子管振荡）
x x2 1 x 2x
演示 Van Der Pol
——非线性方程组在参考态 xi0 (t)
附近的线性化方程组
xi (t) xi0 (t)
i 0
若线性化方程的原点i 0 是渐进稳定的，则原非线性方程的参考态xi0 (t)是渐进稳定的； 若线性化方程的原点i 0 是不稳定的， 则原非线性方程的参考态xi0 (t)是不稳定的。
——Lyapunov间接法
x0 (0) 1
c2
x0 (t) t 1 2et
x(0) x0(0) 1 c 1 2 c 2
x(t) x0 (t) t 1 cet 1 2et c 2 et
lim
t
x(t)
x0 (t)
lim
t
c 2 et
0
渐进稳定的
三. 线性稳定性分析
1. 线性稳定性定理
xi fi (x1, x2 , , xn ) i 1,2, , n 设 xi0 (t) 为方程的一个解(参考解)， 为研究该解的稳定性，
中心
鞍点
(4) 0 两根都是实数，一正一负，此时奇点称为鞍点。
稳 定 焦 稳定结点 点
不 T 2 4 0 中稳 心焦
点 不稳结点
T
鞍点
1,2 T
T 2 4 2
例： 分析阻尼单摆定态的稳定性
解：
2 02 sin 0
令 x1 , x2
x1 f1x1, x2 x2
x2 f2 (x1, x2 ) 02 sin x1 2x2
❖ 数值计算 优点： ❖ 系统的状态
❖ 相空间
四. 相空间（相图）的概念
相空间，也就是状态空间，是由广义坐标和广义动量（速度） 张成的空间，也称相宇。相空间中运动状态的变化轨迹称为相图。
弹簧振子 x 02 x 0
x1 x2
x2
02
x1
通解 x Acos(0t ) x1 x A0 sin(0t ) x2
二. 解的稳定性
Lyapunov稳定性定义：
x f (x)
x (x1, x2 , , xn ) f ( f1, f2 , , fn )
❖(1) 设t=t0时方程的解为x0 (t0 )，t时为 x0 (t) ，另一受扰动而偏离它的
解t0时为x(t0 ) ， t时为x(t)。如果对于任意小的数 0，总有一小数 0 存在，使得当 x(t0) x0(t0) 时，必有 x(t) x0(t) ,t0 t
第七章 非线性动力学与混沌 Chapter 7 Nonlinear Dynamics and Chaos
宋若龙 songrl@ 吉林大学物理学院
参考书
❖ 刘秉正， 《非线性动力学与混沌基础》， 东北师范大学出版社，1994
❖ 林振山，《非线性力学与大气科学》，南 京大学出版社，1993
2
的极限环性解及其稳定性，c为参数。
lim
t
i
原点 i 0 是不稳定的
参考态 xi0 也是渐进稳定的。 参考态 xi0 也是不稳定的。
❖ (3) 两特征根中至少有一个实部为零，另一个实部为负
原点 i 0 是Lyapunov稳定的
参考态 xi0 处于临界情况。
3. 奇点的分类 （取非线性方程的奇点为参考态）
1,2 T
T 2 4 2
n+1维自治
Duffing方程
mx x kx x3 F cos t
x1 x, x2 x x3 cos t, x4 x3
x1 x2
x2
k m
x1
m
x13
m
x2
F m
x3
x3 x4 x4 2 x3
一阶常微分方程组 xi fi (x1, x2 , , xn )
i 1,2, , n
1. 自治方程与非自治方程
mx F(x, x)
不显含时间，自治的
mx F(x, x,t) 显含时间，非自治的
2. 常微分方程一般形式
（1）自治的 x f (x, x)
2阶，1维
x1 x x2 x x1
x1 x2 x2 f (x1, x2 )
1阶，2维
（2）非自治的 n维非自治
xi t, xi 1
0
x 1
x2 1 0
阻尼力与速度同向，负阻尼，对系统供能， 振幅逐渐增大，振幅终将大于1。
x 1
x2 1 0
阻尼力与速度反向，正阻尼，消耗能量， 振幅逐渐减小。
二. 极限环存在的判据
庞伽莱-班狄克生判据 (Poincare-Bendixson theorem):
如果方程
x1 f1(x1, x2 ) x2 f2 (x1, x2 )
x12 A2
x22
( A0 )2
1
x
x2
t
时空轨迹
x1
相图
阻尼弹簧振子 x 2x 02 x 0 通解 x Aet
x1 x2
x2
02
x1
2x2
代入方程
2 2 02 0
2 02
当阻尼为正阻尼且很小时 0 0 i, 02 2 x1 x Aet cos(t ) x2 x Aet[ cos(t ) sin(t )]
❖ 1883年，英国流体力学家雷诺(Reynolds)的湍流实验。 （香烟）
❖ 1903年，法国数学家昂利•庞伽莱（Henri Poincare）从动力系统 和拓扑学的全局思想出发，指出动力学系统可能存在混沌特征。
❖ 1963，美国气象学家洛仑兹（Lorenz）在研究天气预报中大气流 动问题时发现了天气“对初始条件的极端敏感性”，将使长时间 的预测无法进行。后被形象地称为“蝴蝶效应” ：一只蝴蝶在巴 西扇一下翅膀，就可能在美国得克萨斯州引起龙卷风。
例1. x 2 t
x0 (0) 1
解： x(t) 2t 1 t 2 c 2
x0 (0) c 1
x0 (t)
2t
1 2
t2
1
x(0) x0(0) c 1