初三九年级数学冀教版 第30章 二次函数 专训1 二次函数图像信息题的四种常见类型
冀教版九年级下册数学第30章 二次函数含答案(名校卷)
冀教版九年级下册数学第30章二次函数含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、将抛物线先向上平移3个单位，再向左平移2个单位后得到的抛物线解析式为（）A. B. C. D.2、下列式子中表示y是x的二次函数的是（）A. B. C. D.3、如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；③3a+c＞0④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3⑤当x＜0时，y随x增大而增大其中结论正确的个数是（）A.4个B.3个C.2个D.1个4、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于（x1， 0）、（x2， 0）两点，且0＜x 1＜1，1＜x2＜5与y轴交于（0，﹣2），下列结论：①2a+b＞1；②a+b＜2；③3a+b＞0；④a＜﹣1，其中正确结论的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个5、将抛物线y＝（x﹣1）2+1向左平移1个单位，得到的抛物线解析式为（）A.y＝（x﹣2）2+1B.y＝x 2+1C.y＝（x+1）2+1D.y＝（x ﹣1）26、把抛物线y=2x2先向右平移2个单位，再向下平移4个单位，得到的抛物线解析式是（）A.y=2（x+2）2+4B.y=2（x+2）2﹣4C.y=2（x﹣2）2+4 D.y=2（x﹣2）2﹣47、已知二次函数y=2(x+1)(x－a)，其中a>0，若当x≤2时，y随x增大而减小，当x≥2时y随x增大而增大，则a的值是A.3B.5C.7D.不确定8、二次函数y=x2﹣x﹣2的图象如图所示，则函数值y＜0时x的取值范围是（）A.x＜﹣1B.x＞2C.﹣1＜x＜2D.x＜﹣1或x＞29、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则函数值y＜0时x的取值范围是（）A.x＜﹣1B.x＞3C.﹣1＜x＜3D.x＜﹣1或x＞310、二次函数的图象如图所示，下列结论① ，② ，③ ，④ .其中正确的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个11、已知点（﹣1，y1），（2，y2），（﹣3，y3）都在函数y=2（x﹣1）2+m的图象上，则（）A.y1＜y2＜y3B.y1＜y3＜y2C.y3＜y2＜y1D.y2＜y1＜y312、如果抛物线经过点A（2，0）和B（﹣1，0），且与y轴交于点C，若OC=2．则这条抛物线的解析式是（）A.y=x 2﹣x﹣2B.y=﹣x 2﹣x﹣2或y=x 2+x+2C.y=﹣x2+x+2 D.y=x 2﹣x﹣2或y=﹣x 2+x+213、如图，动点A在抛物线y=-x2+2x+3(0≤x≤3)上运动，直线l经过点(0，6)，且与y轴垂直，过点A作AC⊥l于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，则另一对角线BD的取值范围正确的是（）A.2≤BD≤3B.3≤BD≤6C.1≤BD≤6D.2≤BD≤614、二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的最大值为（）A.﹣3B.3C.-6D.915、在直角坐标系中，把抛物线y＝x2+4向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，可得到抛物线的解析式为（）A.y＝（x﹣3）2+2B.y＝（x﹣3）2+6C.y＝（x+3）2+2 D.y＝（x+3）2+6二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（，1），下列结论：①abc＞0；②a=b；③a=4c﹣4；④方程ax2+bx+c=1有两个相等的实数根，其中正确的结论是________．（只填序号即可）．17、若二次函数（、为常数）的图象如图，则的值为________18、关于x的一元二次方程ax2－3x－1＝0的两个不相等的实数根都在－1和0之间（不含－1和0），则a的取值范围是________.19、已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a＞0）经过A（﹣2，1），B （6，1）两点，下列四个结论：①一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根为x1＝﹣2，x2＝6；②若点C（﹣5，y1）、D（π，y2）在该抛物线上，则y1＞y2；③对于任意实数t，总有at2＋bt≥4a＋2b；④对于a的每一个确定值（a＞0），若一元二次方程ax2＋bx＋c＝p（p为常数）有根，则p≥1﹣16a，其中正确的结论是________.（填写序号）20、对于二次函数有下列说法：①如果，则有最小值；②如果当时的函数值与时的函数值相等，则当时的函数值为；③如果，当时随的增大而减小，则；④如果用该二次函数有最小值，则的最大值为．其中正确的说法是________．（把你认为正确的结论的序号都填上）21、如图是二次函数的图象的一部分且图象过点，对称轴为，给出四个结论：① ；②图像可能过；③ ；④ .其中正确的是________（填序号）22、已知二次函数y＝（k－3）x 2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是________．23、若二次函数y=2x2﹣4x﹣1的图象与x轴交于A（x1， 0）、B（x2， 0）两点，则的值为________．24、如果二次函数y=（m﹣1）x2+5x+m2﹣1的图象经过原点，那么m=________．25、如图，一段抛物线：y=﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3；…如此进行下去，直至得到C6，若点P（11，m）在第6段抛物线C6上，则m=________．三、解答题(共5题，共计25分)26、将抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位，所得新抛物线与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，顶点为D．求：（1）点B、C、D坐标；（2）△BCD的面积．27、抛物线y=2x2向上平移后经过点A（0，3），求平移后的抛物线的表达式．28、已知二次函数的图象与轴交于A、B两点，且经过C （1，－2），求点A、B的坐标和的值.29、已知点(2，0)在抛物线y＝﹣3x2+（k+3）x﹣k上，求此抛物线的对称轴．30、已知抛物线对称轴为直线x＝3，且抛物线经过点A(2，0)，B(1，6)，求抛物线解析式.参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、A2、B3、B4、B5、B6、D7、B8、C9、C10、B11、D12、D13、D14、B15、B二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、27、28、29、30、。
春冀教版九年级下册数学第30章习题专训课件：二次函数在学科内的综合运用 (共25张PPT)
(2)求▱ABOC和▱A′B′OC′重叠部分(△C′OD)的面积．
解：∵C(－1，0)，A(0 32 12 10.
∴△AOB的面积为 1 ×1×3＝ 3 .
2
2
又∵将▱ABOC绕点O顺时针旋转90°得▱A′B′OC′，
∴∠ACO＝∠OC′D.
又∵∠ACO＝∠ABO，
4．【中考·遵义】如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 与x轴交于A(－4，0)，B(2，0)，与y轴交于点C (0，2)．
(1)求抛物线的表达式；
解：∵抛物线过点A(－4，0)，B(2，0)，C(0，2)，
1 6 a－ 4 b＋ c＝ 0，
a＝ － 1 ， 4
∴ 4 a＋ 2 b＋ c＝ 0， c＝ 2，
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
本题用待定系数法求函数表达式时，根据已知 寻找待定系数所满足的条件，列方程或方程组 求解．解题时还必须根据题目条件对结果进行 检验，舍去不符合题意的解．
习题课 阶段方法技巧训练（三）
专训2
二次函数在学科内 的综合运用
本章是中考的必考内容之一，所占分值较高，对 于二次函数的概念、增减性、图像的顶点坐标、对称 轴及平移等性质多以选择题、填空题的形式出现，对 于二次函数的应用，主要考查函数的建模思想及分析 问题、解决问题的能力，多以解答题的形式出现，对 于二次函数和图形的变化、图形的面积等相结合的一 些探究性问题，则常以中考压轴题的形式出现．
33
同理，另一条切线的表达式为 y＝ 4 x－11 . 33
综上所述，所求直线的表达式为
2020春冀教版九年级数学下册 第30章 专训1 二次函数图像信息题的四种常见类型
专训1 二次函数图像信息题的四种常见类型名师点金：利用图像信息解决二次函数的问题主要是运用数形结合思想将图像信息转换为数学语言，掌握二次函数的图像和性质是解决此类问题的关键．根据抛物线的特征确定a ，b ，c 及与其有关的代数式的符号1．【中考·孝感】如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图像与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OA ＝OC.则下列结论：①abc ＜0；②b 2－4ac 4a ＞0；③ac －b ＋1＝0；④OA·OB ＝－ca .其中正确结论的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1(第1题)(第2题)利用二次函数的图像比较大小2．二次函数y＝－x2＋bx＋c的图像如图，若点A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数图像上，且x1<x2<1，则y1与y2的大小关系是()A．y1≤y2B．y1＜y2C．y1≥y2D．y1＞y2利用二次函数的图像求方程的解或不等式的解集3．【中考·黄石】二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像如图所示，则当函数值y＞0时，x的取值范围是()A．x＜－1 B．x＞3C．－1＜x＜3 D．x＜－1或x＞3(第3题)(第4题)4．【中考·阜新】如图，二次函数y＝ax2＋bx＋3的图像经过点A(－1，0)，B(3，0)，那么一元二次方程ax2＋bx＝0的根是____________．根据抛物线的特征确定其他函数的图像5．【中考·聊城】二次函数y＝ax2＋bx的图像如图所示，那么一次函数y＝ax＋b的图像大致是()(第5题)6．如图，A(－1，0)，B(2，－3)两点在一次函数y1＝－x＋m与二次函数y2＝ax2＋bx －3的图像上．(1)求m的值和二次函数的表达式；(2)设二次函数的图像交y轴于点C，求△ABC的面积．【导学号：89274029】(第6题)答案1．B 2.B 3.D 4.x 1＝0，x 2＝2 5.C6．解：(1)将点A(－1，0)的坐标代入y 1＝－x ＋m ，得m ＝－1；将点A(－1，0)，B(2，－3)的坐标分别代入y 2＝ax 2＋bx －3，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b －3＝0，4a ＋2b －3＝－3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2. ∴y 2＝x 2－2x －3.(2)易知C 点的坐标为(0，－3)，一次函数的图像与y 轴的交点坐标为(0，－1)． ∴S △ABC ＝12×[－1－(－3)]×1＋12×[－1－(－3)]×2＝12×2×1＋12×2×2＝3.。
冀教版九年级下册数学第30章 二次函数 提分专项(四) 二次函数的图像和性质
6．【2020·北京】在平面直角坐标系xOy中，M(x1，y1)，N(x2，y2)为抛物线y ＝ax2＋bx＋c(a＞0)上任意两点，其中x1＜x2.
(1)若抛物线的对称轴为直线x＝1，当x1，x2为何值时，y1＝y2＝c?
解：∵y1＝y2＝c， ∴x1和x2中一定有一个是0. ∵对称轴是直线x＝1，x1＜x2，∴x1＝0，x2＝2.
(2)点Q(m，n)在该二次函数图像上． ①当m＝2时，求n的值； ②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图像直接写出n的取值范围．
解：①当m＝2时，n＝22＋2×2＋3＝线的对称轴为直线x＝t，若对于x1＋x2＞3，都有y1＜y2，直接写出 t的取值范围．
解：t≤32.
7．【2020·河北石家庄新华区一模节选】如图，已知二次函数y＝x2＋ax＋3 的图像经过点P(－2，3)．
(1)求a的值和图像的顶点坐标．
解：把P(－2，3)的坐标代入y＝x2＋ax＋3，得a＝2， ∴y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2. ∴图像的顶点坐标为(－1，2)．
冀教版九年级下
第三十章 二次函数
提分专项（四） 二次函数的图像和性质
1B 2B 3A 4D 5C
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1．【2020·河北唐山路南区期中】下列图像中，有可能是函数y＝ax2＋a(a≠0) 的图像的是( ) B
2．【2020·山东菏泽】一次函数y＝acx＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同 一平面直角坐标系中的图像可能是( )
()
A．y1＜y2＜y3 C．y3＜y1＜y2
B．y3＜y2＜y1 D．y1＜y3＜y2 D
…
x … －2 0 1 3 …
冀教版九年级下册数学第30章 二次函数 全章热门考点整合专训
(2)当 x 取何值时，y 有最大值？最大值是多少？
解：∵y＝－34x2＋30x＝－34(x－20)2＋300(0＜x＜40)， 且二次项系数为－34＜0， ∴当 x＝20 时，y 有最大值，最大值为 300.
5．(2019·河北唐山路南区模拟)如图①，地面 BD 上的两根等长
立柱 AB，CD 之间悬挂一根可近似看成抛物线 y＝110x2－45x＋3的绳子． (1)求绳子最低点离地面的距离． 解：∵a＝110＞0，∴抛物线顶点为最低点． ∵y＝110x2－45x＋3＝110(x－4)2＋75， ∴绳子最低点离地面的距离为75 m.
当 4＜x≤10 时，y＝(x－2)q－2(p－q)＝
(x－2)(－x＋14)－2[12x＋8－(－x＋14)]＝－x2＋13x－16. ∴y＝12x2＋7x－16（2≤x≤4），
－x2＋13x－16（4＜x≤10）.
(3)在(2)的条件下，当 x 为______元/千克时，利润 y 有最大值； 若要使每天的利润不低于 24(百元)，并尽可能地减少半成品食 材的浪费，则 x 应定为________元/千克．
(2)当 m 为何值时，该函数图像的开口向上？ 解：3.
由(1)得 m＝－5 或 m＝1，∴m＝1.
∴当 m＝1 时，该函数图像的开口向上． (3)当 m 为何值时，该函数有最大值？ ∵函数有最大值，∴m＋3<0. ∴m<－3.
由(1)得 m＝－5 或 m＝1，∴m＝－5.
9．(2019·河北保定莲池区模拟)如图，已知抛物线 y＝x2＋bx＋c 与直线 y＝x 交于(1，1)和(3，3)两点，现有以下结论：①b2 －4c＞0；②3b＋c＋6＝0；③当 x2＋bx＋c＞2x时，x＞2；④ 当 1＜x＜3 时，x2＋(b－1)x＋c＜0， 其中正确的是( ) A．①②④ B．②③④ C．②④ D．③④
九年级数学冀教版河北专用下册习题word版：第三十章 二次函数
第三十章 二次函数 30．1 二次函数01 根底题知识点1 二次函数的概念1．自由落体公式h ＝12gt 2(g 为常数) ,h 与t 之间的关系是(C )A ．正比例函数B ．一次函数C ．二次函数D ．以上答案都不对 2．以下函数表达式中 ,一定为二次函数的是(C )A ．y ＝3x －1B ．y ＝ax 2＋bx ＋cC ．s ＝2t 2－2t ＋1D ．y ＝x 2＋1x3．对于y ＝ax 2＋bx ＋c ,有以下四种说法 ,其中正确的选项是(D ) A ．当b ＝0时 ,二次函数是y ＝ax 2＋c B ．当c ＝0时 ,二次函数是y ＝ax 2＋bx C ．当a ＝0时 ,一次函数是y ＝bx ＋c D ．以上说法都不对4．在二次函数y ＝－x 2＋1中 ,二次项系数、一次项系数、常数项的和为0__．5．假设函数y ＝(k 2－4)x 2＋(k ＋2)x ＋3是二次函数 ,那么k ≠±2.6．以下函数中 ,哪些是二次函数？哪些不是？假设是二次函数 ,请指出相应的a ,b ,c 的值．(1)y ＝2x 2－3x ；(2)y ＝2x －3； (3)y ＝－9x 2－52x －12.解：(1)是二次函数；a ＝2 ,b ＝－3 ,c ＝0. (2)不是二次函数．(3)是二次函数；a ＝－9 ,b ＝－52 ,c ＝－12.知识点2 二次函数建模7．棱长为x 的正方体的外表积S 与x 的函数表达式是S ＝6x 2.8．(教材P 28习题A 组T 3变式)某厂今年一月份新产品的研发资金为a 元 ,以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x ,那么该厂今年三月份新产品的研发资金y(元)关于x 的函数表达式为y ＝a(1＋x)2.9．如果两个数中 ,一个数比另一个数大5 ,那么这两个数的乘积p 与较大的数m 的函数表达式是p ＝m 2－5m ,这个函数是二次函数．10．(1) 如图1 ,正方形ABCD 的边长为5 ,点E 是AB 上一点 ,点F 是AD 延长线上一点 ,且BE ＝DF ,四边形AEGF 是矩形 ,写出矩形AEGF 的面积y 与BE 的长x 之间的函数表达式；(2) 如图2 ,一长方形打印纸长20 cm ,宽15 cm ,现在要在打印纸上打印文稿 ,上下左右各留出一定距离．设留出的距离均为x cm ,打印文稿面积为y cm 2,试写出y 与x 之间的关系式 ,并求出x 的取值范围． 图1 图2 解：(1)∵BE＝x ,∴AE＝5－x ,AF ＝5＋x.∴y＝AE·AF＝(5－x)(5＋x)＝25－x 2.(2) y ＝(20－2x)(15－2x)＝4x 2－70x ＋300(0＜x ＜7.5)． 易错点 无视二次函数表达式中二次项系数不为零11．两个变量x ,y 之间的关系式为y ＝(m －2)xm 2－2＋x －1 ,假设x ,y 之间是二次函数关系 ,求m 的值． 解：根据题意 ,得 m 2－2＝2且m －2≠0. ∴m＝－2.02中档题12．对于任意实数m ,以下函数一定是二次函数的是(C)A．y＝(m－1)2x2B．y＝(m＋1)2x2C．y＝(m2＋1)x2D．y＝(m2－1)x213．二次函数y＝x2－2x ,当y＝3时 ,x的值是(C)A．x1＝1 ,x2＝3 B．x1＝1 ,x2＝－3C．x1＝－1 ,x2＝3 D．x1＝－1 ,x2＝－314．(2019·石家庄模拟)某校九年级学生毕业时 ,每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念．如果全班有x名学生 ,共送了y张相片 ,那么y与x的函数表达式为y＝x2－x．15．(教材P28习题A组T2变式)有一矩形纸片 ,长、宽分别为8 cm和6 cm,现从长宽上分别剪去宽为x cm(x<6)的纸条(如图) ,那么剩余局部(图中阴影局部)的面积y＝x2－14x＋48(cm2) ,其中x是自变量 ,y是x的二次函数．16．(2019·邢台期中)假设二次函数y＝mx2－3x＋2m－m2的常数项为0 ,那么m的值是2．17．顺达旅行社为吸引游客到黄果树瀑布景区旅游 ,推出如下收费标准．假设某公司准备组织x(x＞25)名员工去黄果树瀑布景区旅游 ,那么公司需支付给顺达旅行社旅游费用y(元)与公司参与本次旅游的员工人数x(人)之间的函数表达式是 y＝－20x2＋1__500x．如果人数不超过25人人均旅游费用为1 000元.如果人数超过25人每超过1人人均旅游费用降低20元.18．一经销商按市场价收购某种海鲜1 000斤放养在池塘内(假设放养期内每个海鲜的重量根本保持不变) ,当天市场价为每斤30元 ,据市场行情推测 ,此后该海鲜的市场价每天每斤可上涨1元 ,但是平均每天有10斤海鲜死去．假设死去的海鲜均于当天以每斤20元的价格全部售出．(1)用含x的代数式填空：①x天后每斤海鲜的市场价为(30＋x)元；②x天后死去的海鲜共有10x斤；死去的海鲜的销售总额为200x元；③x天后活着的海鲜还有(1__000－10x)斤；(2)如果放养x天后将活着的海鲜一次性出售 ,加上已经售出的死去的海鲜 ,销售总额为y1 ,写出y1关于x的函数关系式；(3)假设每放养一天需支出各种费用400元 ,写出经销商此次经销活动获得的总利润y2关于放养天数x的函数关系式．解：(2)y1＝(1 000－10x)(30＋x)＋200x＝－10x2＋900x＋30 000.(3) y2＝y1－30 000－400x＝－10x2＋500x.03综合题19．如图,用长为12 m的篱笆,一边利用足够长的墙围出一块苗圃,围出的苗圃是五边形ABCDE ,AE⊥AB ,BC⊥AB ,∠C＝∠D＝∠E.设CD＝DE＝x m ,五边形ABCDE的面积为S m2.(1)用含x的代数式表示线段AE的长度；(2)请写出S关于x的函数表达式．解：(1)连接EC ,过点D作DF⊥EC ,垂足为F.∵∠DCB＝∠CDE＝∠DEA ,∠EAB＝∠CBA＝90° ,∴∠DCB＝∠CDE＝∠DEA＝120°.∵DE＝CD ,∴∠DEC＝∠DCE＝30°.∴∠CEA＝∠ECB＝90°.∴四边形EABC为矩形．∴AE＝BC＝6－x.(2)由(1)可得DF ＝12x ,EC ＝3x ,S ＝(6－x)·3x ＋12×12x·3x ＝－334x 2＋63x(0＜x ＜6)．30.2 二次函数的图像和性质 第1课时 二次函数y ＝ax 2的图像和性质01 根底题)知识点1 二次函数y ＝ax 2(a≠0)的图像和性质 1．以下抛物线中 ,开口向下的有(B )①y＝－3x 2；②y＝57x 2；③y＝10x 2；④y＝－211x 2.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．二次函数y ＝2x 2不具有的性质是(C ) A ．图像的对称轴是y 轴 B ．图像开口向上C ．当x ＜0时 ,y 随x 的增大而增大D ．有最小值3．抛物线y ＝－3x 2的开口向下 ,对称轴是y 轴 ,顶点坐标是(0 ,0) ,顶点是抛物线的最高点．4．(2019·广州)二次函数y ＝x 2,当x ＞0时 ,y 随x 的增大而增大(填“增大〞或“减小〞)． 5．指出以下抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． (1)y ＝4x 2；(2)y ＝－25x 2；(3)y ＝－22x 2.解：(1)开口向上 ,对称轴为y 轴 ,顶点坐标为(0 ,0)．(2)开口向下 ,对称轴为y 轴 ,顶点坐标为(0 ,0)． (3)开口向下 ,对称轴为y 轴 ,顶点坐标为(0 ,0)． 知识点2 求二次函数表达式及其图像的画法6．(教材P 31习题B 组T 2变式)假设二次函数y ＝ax 2(a≠0)的图像经过点M(－2 ,－2) ,那么a ＝－12．7．某同学在画二次函数y ＝ax 2根据表格可知这个二次函数的表达式是y ＝4x ．8．二次函数y ＝ax 2(a≠0)的图像经过点A(－3 ,－6)． (1)求这个二次函数的表达式；(2)在平面直角坐标系中画出这个函数的图像 ,并指出它的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)判断点B(－ 3 ,2)是否在此抛物线上．解：(1)将点A 的坐标代入二次函数表达式 ,求得a ＝－23 ,那么y ＝－23x 2.(2)如图 ,开口向下 ,对称轴是y 轴 ,顶点坐标是(0 ,0)．(3)点B 不在此抛物线上．易错点 求区间内最值时无视对称轴位置9．当－1≤x≤2时 ,二次函数y ＝x 2的最大值是4 ,最小值是0． 02 中档题10．假设二次函数y ＝ax 2的图像过点P(－2 ,4) ,那么该图像必经过点(A )A ．(2 ,4)B ．(－2 ,－4)C ．(2 ,－4)D ．(4 ,－2)11．函数y ＝kx 2和函数y ＝kx ＋k 的图像在同一坐标系中的图像大致如图中的(B) A B C D12．(2019·连云港)抛物线y ＝ax 2(a ＞0)过A(－2 ,y 1) ,B(1 ,y 2)两点 ,那么以下关系式一定正确的选项是(C )A ．y 1＞0＞y 2B ．y 2＞0＞y 1C ．y 1＞y 2＞0D ．y 2＞y 1＞013．(2019·邢台期中)如图 ,Rt △OAB 的顶点A(－2 ,4)在抛物线y ＝ax 2上 ,将Rt △OAB 绕点O 顺时针旋转90° ,得到△OCD ,边CD 与该抛物线交于点P ,那么点P 的坐标为(C )A ．( 2 ,2)B ．(2 ,2)C ．( 2 ,2)D ．(2 ,2)14．(转化思想)如图 ,⊙O 的半径为2 ,C 1是抛物线y ＝12x 2 ,C 2是抛物线y ＝－12x 2,那么图中阴影局部的面积是2π.15．当行驶中的汽车撞到物体时 ,汽车的损坏程度通常用“撞击影响〞来衡量．汽车的撞击影响I 可以用汽车行驶速度v(km /min )来表示 ,(1)请根据上表中的数据 ,在平面直角坐标系中描出坐标(v ,I)所对应的点 ,并用光滑的曲线将各点连接起来； (2)(3)当汽车的速度分别是1.5 / ,2.5 / ,4.5 /时 ,利用你得到的撞击影响公式 ,计算撞击影响分别是多少？ 解：(1)如下图．(2)I ＝2v 2.(3)4.5 ,12.5 ,40.5.16．如图 ,二次函数y ＝ax 2(a≠0)与一次函数y ＝kx －2的图像相交于A ,B 两点 ,其中点A(－1 ,－1) ,求△OAB 的面积．解：∵点A(－1 ,－1)既在抛物线y ＝ax 2(a≠0)上 ,也在直线y ＝kx －2上 ,∴－1＝a·(－1)2,－1＝k·(－1)－2. 解得a ＝－1 ,k ＝－1.∴两个函数的表达式分别为y ＝－x 2,y ＝－x －2.联立⎩⎨⎧y ＝－x 2y ＝－x －2.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1 y 1＝－1 ⎩⎨⎧x 2＝2 y 2＝－4. ∴点B 的坐标为(2 ,－4)．∵直线y ＝－x －2与y 轴交于点G ,那么G(0 ,－2) , ∴S △OAB ＝S △OAG ＋S △OBG ＝12×(1＋2)×2＝3.17．(数形结合思想)(2019·邯郸一模)如图 ,在平面直角坐标系中 ,点A(1 ,2) ,B(1 ,－1) ,C(2 ,2) ,抛物线y ＝ax 2(a≠0)经过△ABC 区域(包括边界) ,那么a 的取值范围是(B ) A ．a≤－1或a≥2B ．－1≤a＜0或0＜a≤2C ．－1≤a＜0或0＜a≤12D .12≤a≤2第2课时 二次函数y ＝a (x －h )2与y ＝a (x －h )2＋k 的图像和性质01 根底题知识点1 二次函数y ＝a (x －h )2、y ＝a (x －h )2＋k 与y ＝ax 2的关系1．如果将抛物线y ＝x 2向左平移1个单位长度 ,那么所得的抛物线的表达式是(D )A ．y ＝x 2－1B ．y ＝x 2＋1C ．y ＝(x －1)2D ．y ＝(x ＋1)22．将抛物线y ＝x 2平移得到抛物线y ＝(x ＋2)2,那么这个平移过程正确的选项是(A ) A ．向左平移2个单位长度 B ．向右平移2个单位长度 C ．向上平移2个单位长度 D ．向下平移2个单位长度3．(教材P 35习题B 组T 1变式)(2019·邢台三中模拟)将抛物线y ＝2x 2向右平移3个单位长度 ,再向下平移5个单位长度 ,得到的抛物线的表达式为(A )A ．y ＝2(x －3)2－5B ．y ＝2(x ＋3)2＋5C ．y ＝2(x －3)2＋5D ．y ＝2(x ＋3)2－54．将抛物线y ＝－52(x ＋3)2向右平移6个单位长度得到抛物线y ＝－52(x －3)2.知识点2 二次函数y ＝a (x －h )2的图像和性质5．在平面直角坐标系中 ,二次函数y ＝a(x －h)2(a≠0)的图像可能是(D )6．以下对抛物线y ＝(x －1)2的性质表述错误的选项是(D ) A ．开口向上B ．顶点坐标为(1 ,0)C ．它可以看作由抛物线y ＝x 2向右平移1个单位长度得到的D ．对称轴是直线x ＝－17．抛物线y ＝－5(x ＋72)2的开口向下 ,顶点坐标为(－72 ,0) ,对称轴为直线x ＝－72.当x>－72时 ,函数值y 随x的增大而减小；当x<－72时 ,函数值y 随x 的增大而增大；当x ＝－72时 ,函数有最大值 ,最大值为0.知识点3 二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图像和性质8．(2019·岳阳)抛物线y ＝3(x －2)2＋5的顶点坐标是(C )A ．(－2 ,5)B ．(－2 ,－5)C ．(2 ,5)D ．(2 ,－5)9．(2019·金华)对于二次函数y ＝－(x －1)2＋2的图像与性质 ,以下说法正确的选项是(B ) A ．对称轴是直线x ＝1 ,最小值是2 B ．对称轴是直线x ＝1 ,最大值是2 C ．对称轴是直线x ＝－1 ,最小值是2 D ．对称轴是直线x ＝－1 ,最大值是210．对于二次函数y ＝2(x ＋3)2－5 ,以下说法正确的选项是(C ) A ．图像开口向下B ．图像的对称轴是直线x ＝3C ．当x ＞－3时 ,y 随x 的增大而增大D ．当x ＝－3时 ,y 有最大值－5易错点1 二次函数增减性相关的易错11．在二次函数y ＝2(x －h)2的图像上 ,当x ＞3时 ,y 随x 的增大而增大 ,那么h 的值满足h≤3． 易错点2 将图像平移与坐标轴平移混淆12．在平面直角坐标系中 ,假设抛物线y ＝3x 2不动 ,而把x 轴、y 轴分别向上、向右平移1个单位长度 ,那么在新的平面直角坐标系中 ,抛物线的函数表达式为y ＝3(x ＋1)2－1． 02 中档题13．(2019·石家庄模拟)设点A(0 ,y 1) ,B(1 ,y 2) ,C(2 ,y 3)是抛物线y ＝－(x ＋1)2＋a 上的三点 ,那么y 1 ,y 2 ,y 3的大小关系为(A )A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 1＞y 3＞y 2C ．y 3＞y 2＞y 1D ．y 3＞y 1＞y 214．二次函数y ＝a(x ＋1)2－b(a≠0)有最小值1 ,那么a ,b 的大小关系为(A )A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ＝bD ．不能确定15．(分类讨论思想)(2019·潍坊)二次函数y ＝－(x －h)2(h 为常数) ,当自变量x 的值满足2≤x≤5时 ,与其对应的函数值y 的最大值为－1 ,那么h 的值为(B )A ．3或6B ．1或6C ．1或3D ．4或616．如图 ,在平面直角坐标系中 ,抛物线y ＝a(x －3)2＋2(a ＞0)的顶点为A ,过点A 作y 轴的平行线交抛物线y ＝－13x 2－2于点B ,那么A ,B 两点间的距离为7．17．分别通过怎样的平移 ,可以由抛物线y ＝13x 2得到抛物线y ＝13(x ＋2)2和y ＝13(x －2)2？抛物线y ＝13(x ＋2)2和y ＝13(x －2)2具有怎样的位置关系？解：抛物线y ＝13(x ＋2)2可由抛物线y ＝13x 2向左平移2个单位长度得到；抛物线y ＝13(x －2)2可由抛物线y ＝13x2向右平移2个单位长度得到；抛物线y ＝13(x ＋2)2和y ＝13(x －2)2关于y 轴对称．18．二次函数y ＝a(x －h)2的图像如图 ,a ＝12 ,OA ＝OC ,试求该抛物线的表达式．解：由题意 ,得C(h ,0) , y ＝12(x －h)2. ∵OA＝OC ,∴A(0 ,h)．将点A(0 ,h)代入抛物线的表达式 ,得12h 2＝h.∴h 1＝2 ,h 2＝0(不合题意 ,舍去)． ∴该抛物线的表达式为y ＝12(x －2)2.03 综合题19．将二次函数y ＝x 2的图像先向下平移1个单位长度 ,再向右平移3个单位长度 ,得到的图像与一次函数y ＝2x ＋b 的图像有公共点 ,求实数b 的取值范围．解：由题意 ,可知平移后得到的二次函数的表达式为y ＝(x －3)2－1 ,联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝〔x －3〕2－1 y ＝2x ＋b 得x 2－8x ＋8－b ＝0 ,∵y＝(x －3)2－1的图像与y ＝2x ＋b 的图像有公共点 ,∴(－8)2－4×1×(8－b)≥0 , 解得b≥－8.20．(2019·唐山乐亭一模)如图 ,平面直角坐标中二次函数y ＝x 2＋1的图像经过 A ,B 两点 ,且坐标分别为(a ,294) ,(b ,294) ,那么AB 的长度为(A )A ．5B .254 C .292 D .292第3课时 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像和性质01 根底题知识点1 用配方法将y ＝ax 2＋bx ＋c (a≠0)化为y ＝a (x －h )2＋k 的形式1．(2019·山西)用配方法将二次函数y ＝x 2－8x －9化为y ＝a(x －h)2＋k 的形式为(B ) A ．y ＝(x －4)2＋7 B ．y ＝(x －4)2－25 C ．y ＝(x ＋4)2＋7 D ．y ＝(x ＋4)2－252．通过配方 ,把以下函数化为y ＝a(x －h)2＋k 的形式 ,并指出函数的最大(小)值． (1)y ＝3x 2－6x ＋5； (2)y ＝2x 2－6x ； (3)y ＝－12x 2－x ＋2.解：(1)y ＝3(x －1)2＋2 ,最小值是2. (2)y ＝2(x －32)2－92 ,最小值是－92.(3)y ＝－12(x ＋1)2＋52 ,最大值是52.知识点2 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a≠0)的图像和性质3．(2019·邢台十二中期末)抛物线y ＝x 2＋2x －3的顶点的坐标是(C )A ．(－1 ,4)B ．(1 ,－4)C ．(－1 ,－4)D ．(1 ,4)4．二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的图像如下图 ,点A(x 1 ,y 1) ,B(x 2 ,y 2)在此函数图像上．假设x 1＜x 2＜1 ,那么y 1与y 2的大小关系是(B )A ．y 1≤y 2B ．y 1<y 2C ．y 1≥y 2D ．y 1>y 25．(2019·宁波)抛物线y ＝x 2－2x ＋m 2＋2(m 是常数)的顶点在(A )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．(2019·广州)当x ＝1 时 ,二次函数y ＝x 2－2x ＋6有最小值__5．7．某二次函数的图像开口向下 ,顶点坐标是P(1 ,3) ,那么当x<1时 ,函数y 的值随x 值的增大而增大；当x>1时 ,函数y 的值随x 值的增大而减小．8．二次函数y ＝x 2－4x ＋3.(1)求出该二次函数图像的顶点坐标和对称轴； (2)在所给坐标系中画出该二次函数的图像．解：(1)∵y＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1 ,∴顶点坐标是(2 ,－1) ,对称轴为直线x ＝2. (2)如下图．知识点3 确定二次函数的表达式9．(2019·石家庄月考)二次函数y ＝－12x 2＋bx ＋c 的图像经过A(2 ,0) ,B(0 ,－6)两点 ,那么这个二次函数的表达式为y ＝－12x 2＋4x －6．10．二次函数y ＝3x 2＋bx ＋c 的顶点坐标为(1 ,2) ,那么这个二次函数的表达式为y ＝3(x －1)2＋2(或y ＝3x 2－6x ＋5)．11．(2019·湖州)抛物线y ＝ax 2＋bx －3(a≠0)经过点(－1 ,0) ,(3 ,0) ,求a ,b 的值．解：∵抛物线y ＝ax 2＋bx －3(a≠0)经过点(－1 ,0) ,(3 ,0) ,∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b －3＝0 9a ＋3b －3＝0 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1 b ＝－2即a 的值是1 ,b 的值是－2.易错点 无视y 轴为坐标轴导致漏解12．(教材P 38习题B 组T 2变式)抛物线y ＝x 2－ax ＋9的顶点在坐标轴上 ,那么a 的值为0或±6． 02 中档题13．(2019·唐山期末)二次函数的图像(0≤x≤3)如下图．关于该函数在所给自变量取值范围内 ,以下说法正确的选项是(C )A ．有最小值0 ,有最大值3B ．有最小值－1 ,有最大值0C ．有最小值－1 ,有最大值3D ．有最小值－1 ,无最大值14．(2019·石家庄新华区二模)函数y ＝2mx 2＋(1－4m)x ＋2m －1 ,以下结论错误的选项是(C ) A ．当m ＝0时 ,y 随x 的增大而增大B ．当m ＝12时 ,函数图像的顶点坐标是(12 ,－14) C ．当m ＝－1时 ,假设x<54,那么y 随x 的增大而减小 D ．无论m 取何值 ,函数图像都经过同一个点15．二次函数y ＝ax 2－bx －2(a≠0)的图像的顶点在第四象限 ,且过点(－1 ,0) ,那么a －b 的取值范围为(A ) A ．－2＜a －b ＜2 B ．－2≤a－b≤2 C ．－2＜a －b ＜1 D ．0＜a －b ＜216．(2019·宁波)抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 经过点(1 ,0) ,(0 ,32)．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)将抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 平移 ,使其顶点恰好落在原点 ,请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式．解：(1)把点(1 ,0) ,(0 ,32)代入抛物线的表达式 ,得⎩⎪⎨⎪⎧－12＋b ＋c ＝0 c ＝32解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1 c ＝32. ∴抛物线的表达式为y ＝－12x 2－x ＋32.(2)抛物线表达式为y ＝－12x 2－x ＋32＝－12(x ＋1)2＋2 ,将抛物线向右平移1个单位长度 ,向下平移2个单位长度 ,表达式变为y ＝－12x 2.17．(2019·保定莲池区模拟)对于两个实数 ,规定max {a ,b}表示a ,b 中的较大值 ,当a≥b 时 ,max {a ,b}＝a ,当a<b 时 ,max {a ,b}＝b ,例如：max {1 ,3}＝3.那么函数y ＝max {x 2＋2x ＋2 ,－x 2－1}的最小值是(A ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．218．(2019·邢台十二中期末改编)如图 ,抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c(b ,c 为常数)经过A(4 ,0)和B(0 ,4)两点 ,其顶点为C.(1)求该抛物线的表达式及其顶点C 的坐标；(2)假设点M 是抛物线上的一个动点 ,且位于第一象限内． ①设△ABM 的面积为S ,试求S 的最大值；②假设S 为整数 ,那么这样的M 点有多少个．(直接写出答案) 解：(1)∵抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 经过点A(4 ,0) ,B(0 ,4)∴⎩⎪⎨⎪⎧－12×16＋4b ＋c ＝0 c ＝4.解得⎩⎨⎧b ＝1 c ＝4.∴抛物线的表达式为y ＝－12x 2＋x ＋4.其顶点式为y ＝－12(x －1)2＋92 ,∴顶点C 的坐标为(1 ,92)．(2)①过点M 作MN∥y 轴交AB 于点N ,设AB 的表达式为y ＝mx ＋n ,把点B(0 ,4) ,A(4 ,0)代入 ,得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝44m ＋n ＝0 解得⎩⎨⎧m ＝－1 n ＝4.∴直线AB 的表达式为y ＝－x ＋4.设点M(t ,－12t 2＋t ＋4) ,那么N(t ,－t ＋4) ,∴MN＝－12t 2＋t ＋4－(－t ＋4)＝－12t 2＋2t.∴S＝S △BMN ＋S △AMN ＝12·4·MN＝12·4·(－12t 2＋2t)＝－t 2＋4t ＝－(t －2)2＋4.∴当t ＝2时 ,S 有最大值 ,最大值为4.②这样的M 点有7个．30.3 由不共线三点的坐标确定二次函数*01 根底题知识点 用待定系数法求二次函数的表达式1．抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过A(－1 ,0) ,B(3 ,0)两点 ,那么这条抛物线的表达式为(A ) A ．y ＝x 2－2x －3 B ．y ＝x 2－2x ＋3 C ．y ＝x 2＋2x －3 D ．y ＝x 2＋2x ＋3 2．如下图 ,抛物线的函数表达式是(D ) A ．y ＝x 2－x ＋2 B ．y ＝－x 2－x ＋2 C ．y ＝x 2＋x ＋2 D ．y ＝－x 2＋x ＋23．二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的图象的最高点是(－1 ,－3) ,那么b ,c 的值分别是(D ) A ．b ＝2 ,c ＝4 B ．b ＝2 ,c ＝－4 C ．b ＝－2 ,c ＝4 D ．b ＝－2 ,c ＝－44．假设二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的x 与y 的局部对应值如下表：那么二次函数的表达式为y ＝－2x －12x －13．5．有一个运算装置 ,当输入值为x 时 ,其输出值为y ,且y 是x 的二次函数．输入值为－2 ,0 ,1时 ,相应的输出值分别为5 ,－3 ,－4 ,那么这个二次函数的表达式为y ＝x 2－2x －3.6．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)经过A(－1 ,0) ,B(4 ,0) ,C(0 ,2)三点．求这条抛物线的表达式．解：由题意 ,得⎩⎨⎧a －b ＋c ＝0 16a ＋4b ＋c ＝0 c ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12b ＝32c ＝2.∴这条抛物线的表达式为y ＝－12x 2＋32x ＋2.7．求过A(3 ,3) ,B(6 ,32) ,D(0 ,－92)三点的二次函数的表达式．解：设二次函数的表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c.由题意 ,得⎩⎪⎨⎪⎧9a ＋3b ＋c ＝336a ＋6b ＋c ＝32c ＝－92.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12b ＝4c ＝－92.故这个二次函数的表达式为y ＝－12x 2＋4x －92.8．(2019·石家庄期末)如图 ,在平面直角坐标系中 ,抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A(－2 ,－4) ,O(0 ,0) ,B(2 ,0)三点．求：(1)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的表达式； (2)此抛物线的对称轴和顶点坐标．解：(1)由题意 ,得⎩⎨⎧4a －2b ＋c ＝－4c ＝04a ＋2b ＋c ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12b ＝1c ＝0.∴抛物线的表达式为y ＝－12x 2＋x.(2)对称轴为直线x ＝1 ,顶点坐标为(1 ,12)．02 中档题9．如图 ,△OAB 的顶点A(－6 ,0) ,B(0 ,2) ,O 是坐标原点 ,将△OAB 绕点O 顺时针旋转90° ,得到△ODC. (1)写出C ,D 两点的坐标；(2)求过A ,D ,C 三点的抛物线的表达式 ,并求此抛物线顶点E 的坐标． 解：(1)C(2 ,0) ,D(0 ,6)．(2)由于抛物线过点D(0 ,6) ,可设抛物线的表达式为y ＝ax 2＋bx ＋6.由题意 ,得⎩⎨⎧36a －6b ＋6＝0 4a ＋2b ＋6＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12 b ＝－2.∴抛物线的表达式为y ＝－12x 2－2x ＋6.∵y＝－12x 2－2x ＋6＝－12(x ＋2)2＋8 ,∴顶点E 的坐标为(－2 ,8)．10．如图 ,抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A(1 ,0) ,B(4 ,0) ,C(0 ,3)三点． (1)求抛物线的表达式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P ,使得四边形PAOC 的周长最小？假设存在 ,求出四边形PAOC 周长的最小值；假设不存在 ,请说明理由．解：(1)由题意 ,得⎩⎨⎧a ＋b ＋c ＝0 16a ＋4b ＋c ＝0 c ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝34b ＝－154c ＝3.∴抛物线的表达式为y ＝34x 2－154x ＋3.(2)连接BC.∵点A ,B 关于对称轴对称 ,∴BC 与对称轴的交点即为所求的点P ,此时PA ＋PC ＝BC. ∴四边形PAOC 的周长最小值为OC ＋OA ＋BC. ∵A(1 ,0) ,B(4 ,0) ,C(0 ,3) ,∴OA＝1 ,OC ＝3 ,BC ＝OB 2＋OC 2＝5. ∴OC＋OA ＋BC ＝3＋1＋5＝9.∴在抛物线的对称轴上存在点P ,使得四边形PAOC 的周长最小 ,且最小值为9.11．(2019·河北)如图 ,2×2网格(每个小正方形的边长为1)中有A ,B ,C ,D ,E ,F ,G ,H ,O 九个格点 ,抛物线l 的表达式为y ＝(－1)n x 2＋bx ＋c(n 为整数)．(1)n 为奇数且l 经过点H(0 ,1)和C(2 ,1) ,求b ,c 的值 ,并直接写出哪个格点是该抛物线的顶点； (2)n 为偶数 ,且l 经过点A(1 ,0)和B(2 ,0) ,通过计算说明点F(0 ,2)和H(0 ,1)是否在该抛物线上； (3)假设l 经过九个格点中的三个 ,直接写出所有满足这样条件的抛物线条数．解：(1)n 为奇数 ,y ＝－x 2＋bx ＋c , ∵点H(0 ,1)和C(2 ,1)在抛物线上 ,∴⎩⎨⎧c ＝1 －22＋2b ＋c ＝1.解得⎩⎨⎧b ＝2 c ＝1. ∴y＝－x 2＋2x ＋1 ,即y ＝－(x －1)2＋2.格点E 是该抛物线的顶点．(2)n 为偶数 ,y ＝x 2＋bx ＋c.∵点A(1 ,0)和B(2 ,0)在抛物线上 ,∴⎩⎨⎧12＋b ＋c ＝0 22＋2b ＋c ＝0.解得⎩⎨⎧b ＝－3 c ＝2.∴y＝x 2－3x ＋2.当x ＝0时 ,y ＝2≠1.∴点F(0 ,2)在该抛物线上 ,而点H(0 ,1)不在这条抛物线上． (3)所有满足条件的抛物线共有8条．河北常考点专题(六) 求二次函数的表达式类型1 利用“一般式〞求二次函数的表达式 1．求以下二次函数的表达式：(1)抛物线y ＝12x 2＋2x ＋c 经过点(0 ,－5) ,那么该抛物线的表达式为y ＝12x 2＋2x －5；(2)抛物线y ＝－ax 2－4ax －34经过点A(－3 ,0) ,那么该抛物线的表达式为y ＝－14x 2－x －34；(3)抛物线y ＝ax 2＋bx －3经过点(2 ,1)和(－1 ,－8) ,那么该抛物线的表达式为y ＝－x 2＋4x －3；(4)抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A ,B 两点 ,B 点坐标为(3 ,0) ,与y 轴交于点C(0 ,－3) ,那么该抛物线的表达式为y ＝x 2－2x －3；(5)抛物线经过点(－1 ,－5) ,(0 ,－4)和(1 ,1) ,那么该抛物线的表达式为y ＝2x 2＋3x －4．2．如图 ,二次函数y ＝ax 2＋bx ＋3(a≠0)的图像经过点A(3 ,0) ,B(4 ,1) ,且与y 轴交于点C ,那么该二次函数的表达式为y ＝12x 2－52x ＋3 ,点C 的坐标为(0 ,3)．3．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点(－1 ,7) ,(1 ,1)和(2 ,－5) ,那么该抛物线的表达式为y ＝－x 2－3x ＋5．类型2 利用“顶点式〞求二次函数的表达式 4．求以下二次函数的表达式：(1)二次函数的图像经过点(1 ,10) ,顶点坐标为(－1 ,－2) ,那么此二次函数的表达式为y ＝3(x ＋1)2－2(或写成y ＝3x 2＋6x ＋1)；(2)抛物线的图像如下图 ,那么该抛物线的表达式是y ＝－(x －12)2＋94(或写成y ＝－x 2＋x ＋2)；(3)二次函数的图像经过点(－1 ,72)和(－3 ,72) ,且该二次函数有最小值为3 ,那么该二次函数的表达式为y ＝12(x ＋2)2＋3(或写成y ＝12x 2＋2x ＋5)；(4)二次函数图像的顶点坐标为(－1 ,3) ,且与y 轴的交点到x 轴的距离为1 ,那么该函数的表达式为y ＝－2(x ＋1)2＋3或y ＝－4(x ＋1)2＋3．类型3 利用“交点式〞求二次函数的表达式 5．求以下二次函数的表达式：(1)二次函数的图像如下图 ,那么这个二次函数的表达式为y ＝(x ＋1)(x －3)(或写成y ＝x 2－2x －3)；(2)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的两个交点为(－1 ,0) ,(3 ,0) ,其形状与抛物线y ＝－2x 2相同 ,那么该二次函数的表达式为y ＝－2(x ＋1)(x －3)(或写成y ＝－2x 2＋4x ＋6)；(3)二次函数的对称轴为直线x ＝2 ,且在x 轴上截得的线段长为6 ,与y 轴交点为(0 ,－2) ,那么此二次函数的表达式为y ＝25(x ＋1)(x －5)(或写成y ＝25x 2－85x －2)．类型4 利用“平移〞或“翻折〞求二次函数的表达式6．(转化思想)如图 ,将二次函数y ＝12(x －2)2＋1的图像沿y 轴向上平移得到一条新函数的图像 ,其中点A(1 ,m) ,B(4 ,n)平移后的对应点分别为点A′ ,B′.假设曲线段AB 扫过的面积为9(图中的阴影局部) ,那么新图像的函数表达式为y ＝12(x －2)2＋4．7．二次函数y ＝－3x 2＋1的图像如下图 ,将其沿x 轴翻折后得到的抛物线的表达式为y ＝3x 2－1．河北高频考点专题(七) 二次函数的图像与性质近几年河北中考在选择压轴题 ,解答题压轴题中考查二次函数图像及性质 ,难度较大．类型1 判断函数图像1．(2019·青岛)一次函数y ＝b a x ＋c 的图像如图 ,那么二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在平面直角坐标系中的图像可能是(A )2．(2019·保定一模)m≠0 ,函数y ＝－mx 2＋n 与y ＝mn x在同一平面直角坐标系中的大致图像可能(B )3．(2019·唐山乐亭二模)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与反比例函数y ＝b x 的图像在第三象限只有一个公共点 ,其横坐标为－1 ,那么一次函数y ＝bx ＋ac 的图像可能是(B )4．(2019·石家庄二模)定义运算“※〞为：a※b＝⎩⎪⎨⎪⎧ab 2〔b ＞0〕 －ab 2〔b≤0〕 如：1※(－2)＝－1×(－2)2＝－4 ,那么函数y ＝2※x 的图像大致是(C )5．(2019·河北)如图 ,假设抛物线y ＝－x 2＋3与x 轴围成封闭区域(边界除外)内整点(点的横、纵坐标都是整数)的个数为k ,那么反比例函数y ＝kx(x>0)的图像是(D )6．(2019·裕华区一模)如图是反比例函数y ＝4x (x ＞0)图像 ,阴影局部表示它与横纵坐标轴正半轴围成的区域 ,在该区域内(不包括边界)的整数点个数是k ,那么抛物线y ＝－(x －2)2－2向上平移k 个单位长度后形成的图像是(A )类型2 二次函数的性质7．(2019·邢台三中模拟)函数y ＝ax 2－2ax －1(a 是常数 ,a≠0) ,以下结论正确的选项是(D ) A ．当a ＝1时 ,函数图像经过点(－1 ,0) B ．当a ＝－2时 ,函数图像与x 轴没有交点C ．假设a<0 ,函数图像的顶点始终在x 轴的下方D ．假设a>0 ,那么当x≥1时 ,y 随x 的增大而增大8．(2019·绍兴)假设抛物线y ＝x 2＋ax ＋b 与x 轴两个交点间的距离为2 ,称此抛物线为定弦抛物线．某定弦抛物线的对称轴为直线x ＝1 ,将此抛物线向左平移2个单位长度 ,再向下平移3个单位长度 ,得到的抛物线过点(B )A ．(－3 ,6)B ．(－3 ,0)C ．(－3 ,－5)D ．(－3 ,－1)9．(2019·黄冈)当a≤x≤a＋1时 ,函数y ＝x 2－2x ＋1的最小值为1 ,那么a 的值为(D ) A ．－1 B ．2 C ．0或2 D ．－1或2周测(30.1～30.3)(时间：45分钟 总分值：100分)一、选择题(每题4分 ,共24分)1．以下函数中 ,不是二次函数的是(D )A ．y ＝x(x －1)B ．y ＝2x 2－1C ．y ＝－2x27 D ．y ＝(x ＋4)2－x 22．抛物线y ＝x 2＋2x －3(m 是常数)的顶点在(C ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．二次函数y ＝12x 2－5x ＋8 ,假设x 1＜x 2＜5 ,x 1 ,x 2对应的函数值为y 1 ,y 2 ,那么(B )A ．y 1＝y 2B ．y 1＞y 2C ．y 1＜y 2D ．无法确定4．(2019·石家庄模拟)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图像与反比例函数y ＝k x (k≠0)的图像相交(如图) ,那么不等式ax 2＋bx ＋c ＞k x的解集是(B )A ．1＜x ＜4或x ＜－2B ．1＜x ＜4或－2＜x ＜0C ．0＜x ＜1或x ＞4或－2＜x ＜0D ．－2＜x ＜1或x ＞－45．(2019·邢台宁晋县模拟)一条抛物线经过E(0 ,10) ,F(2 ,2) ,G(4 ,2) ,H(3 ,1)四点 ,选择其中两点用待定系数法能求出抛物线表达式的为(C )A ．E ,FB ．E ,GC ．E ,HD ．F ,G6．(2019·唐山路南区一模)如图 ,在平面直角坐标系xOy 中 ,抛物线m ：y ＝－2x 2－2x 的顶点为C ,与x 轴两个交点为点P ,O.现将抛物线m 先向下平移再向右平移 ,使点C 的对应点C′落在x 轴上 ,点P 的对应点P′落在y 轴上 ,那么以下各点的坐标不正确的选项是(C )A ．C(－12 ,12) B ．P(－1 ,0) C ．C′(1 ,0) D ．P′(0 ,－12)二、填空题(每题5分 ,共30分)7．函数y ＝(m －2)xm 2－2＋3x 是关于x 的二次函数 ,那么m 的值为－2．8．把二次函数y ＝x 2－12x 化为形如y ＝a(x －h)2＋k 的形式为y ＝(x －6)2－36．9．原点是抛物线y ＝(m ＋1)x 2的最高点 ,那么m 的取值范围是m ＜－1．10．如果将抛物线y ＝x 2＋2x －1向上平移 ,使它经过点A(0 ,3) ,那么所得新抛物线的表达式是y ＝x 2＋2x ＋3．11．二次函数y ＝－x 2＋mx 中 ,当x ＝3时 ,函数有最大值 ,这个最大值为9．12．双曲线y ＝k x 与抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 交于A(2 ,3) ,B(m ,2) ,C(－3 ,n)三点 ,那么抛物线的表达式为y＝－13x 2＋23x ＋3．三、解答题(共46分)13．(10分)二次函数y ＝－23x 2＋43x ＋2 ,求出该函数图像的顶点坐标、对称轴 ,并画出该函数图像．解：∵y＝－23x 2＋43x ＋2＝－23(x －1)2＋83,∴对称轴是直线x ＝1 ,顶点坐标是(1 ,83)．列表：在平面直角坐标系中描点、连线：14．(12分)二次函数y ＝2x 2－12x ＋10.(1)写出此函数图像的开口方向、对称轴及顶点坐标；(2)当x 取何值时 ,y 随x 的增大而增大？当x 取何值时 ,y 随x 的增大而减小？ (3)当x 取何值时 ,函数有最大值或最小值？并求出这个最大值或最小值；(4)函数图像可由函数y ＝2x 2的图像经过怎样的平移得到？解：(1)抛物线开口向上 ,对称轴是直线x ＝3 ,顶点坐标是(3 ,－8)． (2)当x ＞3时 ,y 随x 的增大而增大；当x ＜3时 ,y 随x 的增大而减小． (3)当x ＝3时 ,函数有最小值 ,最小值是－8.(4)该函数图像可由y ＝2x 2的图像先向右平移3个单位长度 ,再向下平移8个单位长度得到．15．(10分)如图 ,在平面直角坐标系xOy 中 ,抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2经过B(－2 ,6) ,C(2 ,2)两点． (1)试求抛物线的表达式；(2)记抛物线顶点为D ,求△BCD 的面积． 解：(1)由题意 ,得⎩⎪⎨⎪⎧4a －2b ＋2＝6 4a ＋2b ＋2＝2 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12 b ＝－1.∴抛物线的表达式为y ＝12x 2－x ＋2.(2)∵y＝12x 2－x ＋2＝12(x －1)2＋32 ,∴D(1 ,32)．设BC 与抛物线对称轴交于点H ,由B(－2 ,6) ,C(2 ,2)可得直线BC 的表达式为y ＝－x ＋4 , ∴对称轴与BC 的交点H(1 ,3)．∴S △BDC ＝S △BDH ＋S △DHC ＝12×32×3＋12×32×1＝3.16．(14分)：抛物线y ＝x 2＋(b －1)x ＋c 经过点P(－1 ,－2b)．(1)求b ＋c 的值；(2)假设b ＝3 ,求这条抛物线的顶点坐标；(3)如下图 ,过点P 作直线PA⊥y 轴 ,交y 轴于点A ,交抛物线于另一点B ,且BP ＝2PA ,求这条抛物线所对应的二次函数表达式．解：(1)依题意 ,得(－1)2＋(b －1)×(－1)＋c ＝－2b , ∴b＋c ＝－2.(2)当b ＝3时 ,c ＝－5 ,∴y＝x 2＋2x －5＝(x ＋1)2－6.∴抛物线的顶点坐标是(－1 ,－6)． (3)由P(－1 ,－2b)知PA ＝1. 又∵BP＝2PA ,∴BP＝2.∵B ,P 是抛物线上一对对称点 ,∴对称轴为直线x ＝－2 ,即－b －12×1＝－2.解得b ＝5.又∵b＋c ＝－2 ,∴c＝－7.∴抛物线所对应的二次函数表达式为y ＝x 2＋4x －7.30.4 二次函数的应用第1课时 建立二次函数模型解决实际问题01 根底题知识点 建立二次函数模型解决实际问题1．西宁中心广场有各种音乐喷泉 ,其中一个喷水管喷水的最大高度为3米 ,此时距喷水管的水平距离为12米 ,在如下图的坐标系中 ,这个喷泉的函数表达式是(C )A ．y ＝－(x －12)2＋3 B ．y ＝－3(x ＋12)2＋3 C ．y ＝－12(x －12)2＋3 D ．y ＝－12(x ＋12)2＋32．图2是图1中拱形大桥的示意图 ,桥拱与桥面的交点为O ,B ,以点O 为原点 ,水平直线OB 为x 轴 ,建立平面直角坐标系 ,桥的拱形可以近似看成抛物线y ＝－1400(x －80)2＋16 ,桥拱与桥墩AC 的交点C 恰好在水面 ,有AC⊥x 轴．假设OA ＝10米 ,那么桥面离水面的高度AC 为(B )A ．16940米 B .174米 C ．16740米 D .154米3．(2019·石家庄模拟)某工厂的大门是一抛物线形水泥建筑物 ,大门的地面宽度为8米 ,两侧距地面3米高处各有一盏壁灯 ,两壁灯之间的水平距离为6米 ,如下图 ,那么厂门的高(水泥建筑物厚度不计 ,精确到0.1米)为(A )A ．6.9米B ．7.0米C ．7.1米D ．6.8米4．如图1 ,某灌溉设备的喷头B 高出地面1.25 m ,喷出的抛物线形水流在与喷头底部A 的距离为1 m 处到达距地面最大高度2.25 m ,试在恰当的直角坐标系中求出与该抛物线水流对应的二次函数表达式． 学生小龙在解答图1所示的问题时 ,具体解答如下：①以水流的最高点为原点 ,过原点的水平线为横轴 ,过原点的铅垂线为纵轴 ,建立如图2所示的平面直角坐标系；②设抛物线水流对应的二次函数表达式为y ＝ax 2；③根据题意可得B 点与x 轴的距离为1 m ,故B 点的坐标为(－1 ,1)；④代入y ＝ax 2,得－1＝a×1 ,所以a ＝－1；⑤所以抛物线水流对应的二次函数表达式为y ＝－x 2.数学老师看了小龙的解题过程说：“小龙的解答是错误的〞．(1)请指出小龙的解答从第③步开始出现错误 ,错误的原因是什么？ (2)请你写出完整的正确解答过程．解：(1)原因：B 点的坐标写错了 ,应是(－1 ,－1)．(2)正确解答：设水流的函数表达式为y ＝ax 2.由题意可知B(－1 ,－1) ,代人y ＝ax 2 ,得－1＝a·(－1)2,a ＝－1 ,即抛物线水流对应的二次函数表达式为y ＝－x 2. 02 中档题5．如图 ,某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一局部 ,抛物线的顶点O 落在水平面上 ,对称轴是水平线OC.点A ,B 在抛物线造型上 ,且点A 到水平面的距离AC ＝4米 ,点B 到水平面距离为2米 ,OC ＝8米．请。
初中数学冀教版九年级下册第三十章 二次函数30.2 二次函数的图象和性质-章节测试习题
章节测试题1.【题文】已知是二次函数，且函数图象有最高点．（1）求k的值；（2）求顶点坐标和对称轴，并说明当x为何值时，y随x的增大而减少．【答案】（1）k=﹣3；（2）当k=﹣3时，y=﹣x2顶点坐标（0，0），对称轴为y 轴，当x＞0时，y随x的增大而减少．【分析】（1）根据二次函数的定义得出k2+k﹣4=2，再利用函数图象有最高点，得出k+2＜0，即可得出k的值；（2）利用（1）中k的值得出二次函数的解析式，利用形如y=ax2（a≠0）的二次函数顶点坐标为（0，0），对称轴是y轴即可得出答案．【解答】解：（1）∵是二次函数，∴k2+k﹣4=2且k+2≠0，解得k=﹣3或k=2．∵函数有最高点，∴抛物线的开口向下，∴k+2＜0，解得k＜﹣2，∴k=﹣3；（2）当k=﹣3时，二次函数为y=﹣x2，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴，当x＞0时，y随x的增大而减少．2.【题文】函数y=ax2（a≠0）与直线y=2x-3的图象交于点（1，b）．求：（1）a和b的值；（2）求抛物线y=ax2的开口方向、对称轴、顶点坐标；（3）作y=ax2的草图．【答案】（1）a=-1（2）y轴，（0，0）（3）图像见解析【分析】（1）把点（1，b）代入y=2x-3中解得b的值，再把（1，b）代入y=ax2，中可解得a的值；（2）由（1）中所求得的a的值，可得y=ax2的解析式，从而可确定抛物线y=ax2的开口方向，对称轴和顶点坐标；（3）根据（2）中求得的抛物线y=ax2的开口方向、对称轴和顶点坐标可画出其草图.【解答】解：（1）把（1，b）代入直线y=2x-3中，得b=2-3=-1，把点（1，-1）代入y=ax2中，得a=-1；（2）∵在y=-x2中，a=-1<0，∴抛物线开口向下；抛物线y=ax2的对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）；（3）作函数y=ax2的草图如下：3.【题文】在同一坐标系中画出函数和的图象，并说明y1，y2的图象与函数的图象的关系．【答案】图略，y1，y2的图象是的图象分别向上和向下平移3个单位得到的【分析】根据描点法，可得函数图象，根据图象间的关系，可得答案．【解答】解：如图，y1的图象由图象向上平移3个单位得到；y2的图象由的图象向下平移3个单位得到．4.【题文】已知抛物线y＝ax2经过点(1，3)．(1)求a的值；(2)当x＝3时，求y的值；(3)说出此二次函数的三条性质．【答案】(1) 3；(2) 27；(3)答案不唯一，【分析】抛物线y＝ax2经过点(1，3)，将点代入即可求得a=3,将x=3代入函数中求得y=27.二次函数的性质可以通过从开口方向，对称轴，顶点坐标，增减性等方面进行分析.【解答】解：(1)∵抛物线y＝ax2经过点(1，3)，∴a·1＝3.∴a＝3.(2)把x＝3代入抛物线y＝3x2，得y＝3×32＝27.(3)答案不唯一，如：抛物线的开口向上；坐标原点是抛物线的顶点；当x＞0时，y随着x的增大而增大；抛物线的图象有最低点，当x＝0时，y有最小值，是y＝0等．5.【题文】已知一条抛物线的开口方向和大小与抛物线y=3x2都相同，顶点与抛物线y=(x+2)2相同.(1)求这条抛物线的解析式；(2)将上面的抛物线向右平移4个单位会得到怎样的抛物线解析式？(3)若(2)中所求抛物线的顶点不动，将抛物线的开口反向，求符合此条件的抛物线解析式.【答案】(1)y=3(x+2)2 (2)y=3(x-2)2 (3)y=-3(x-2)2【分析】（1）直接利用a值及顶点坐标，即可得出答案；（2）利用二次函数平移的性质得出平移后解析式；（3）利用二次函数的性质得出符合题意的答案．【解答】解：(1)∵一条抛物线的开口方向和大小与抛物线y=3x2都相同,顶点与抛物线y=(x+2)2相同，∴这条抛物线的解析式为：y=3(x+2)2；(2)将抛物线向右平移4个单位会得到的抛物线解析式为：y=3(x−2)2；(3)若(2)中所求抛物线的顶点不动，将抛物线的开口反向，则符合此条件的抛物线解析式为：y=−3(x−2)2.6.【题文】在同一个直角坐标系中作出y＝x2，y＝x2－1的图象．(1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标；(2)抛物线y＝x2－1与抛物线y＝x2有什么关系？【答案】见解析【分析】观察图像结合函数表达式可以得到两个函数开口向上，对称轴也都是y 轴，顶点坐标分别是(0,0),（0，-1）；根据二次函数的性质及图像知道抛物线y ＝x2－1与抛物线y＝x2形状相同，对称轴相同，但是位置不同，开口方向也相同，所以可以得到抛物线y＝x2－1可由抛物线y＝x2向下平移1个单位长度得到的。
冀教版九年级下册数学 第30章二次函数 单元检测(含答案)
第30章二次函数一、选择题1.将y=x2向上平移2个单位后所得到的抛物线的解析式为（）A. y=x2﹣2B. y=x2+2C. y=（x﹣2）2D. y=（x+2）22.将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（）A. y=（x-1）2+2B. y=（x+1）2+2C. y=（x-1）2-2D. y=（x+1）2-23.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点（-1，0），对称轴为x=1，则下列结论中正确的是（）A. a＞0B. 当x＞1时，y随x的增大而增大C. c＜0D. x=3是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根4.将抛物线y=x2﹣4x﹣3向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的表达式为（）A. y=（x+1）2﹣2B. y=（x﹣5）2﹣2C. y=（x﹣5）2﹣12D. y=（x+1）2﹣125.二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c，它们在同一直角坐标系中的图象大致是（）A. B. C. D.6.若抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标是（﹣1，0）和（3，0），则抛物线的对称轴是（）A. x=﹣1B. x=﹣C. x=D. x=17.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc=0，②a+b+c＞0，③a＞b，④4ac﹣b2＜0；其中正确的结论有（）A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个8.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于(-1，0)、(3，0)两点，则下列判断中，错误的是（）A. 图象的对称轴是直线x＝1B. 当x＞1时，y随x的增大而减小C. 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是－1和3D. 当－1＜x＜3时，y＜09.如图，已知抛物线y=mx2﹣6mx+5m与x轴交于A、B两点，以AB为直径的⊙P经过该抛物线的顶点C，直线l∥x轴，交该抛物线于M、N两点，交⊙P与E、F两点，若EF=2，则MN的长为（）A. 2B. 4C. 5D. 610.抛物线y＝a（x＋1）（x－3）（a≠0）的对称轴是直线（）A. x＝1B. x＝－1C. x＝－3D. x＝311.已知二次函数y=a（x﹣1）2+b有最小值﹣1，则a，b的大小关系为（）A. a＜bB. a=bC. a＞bD. 大小不能确定12.某商店经营皮鞋，所获利润y(元)与销售单价x(元)之间的关系为y=－x2+24x+2956，则获利最多为( )．A. 3144B. 3100C. 144D. 295613.如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B （4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a+b=0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1，其中正确的是（）A. ①②③B. ①③④C. ①③⑤D. ②④⑤二、填空题14.抛物线y=（x﹣2）2+1的顶点坐标是________．15.二次函数y=x2+4x﹣3中，当x=﹣1时，y的值是________．16.将抛物线y=﹣x2先向下平移2个单位，再向右平移3个单位后所得抛物线的解析式为________．17.如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数y= x2与y=﹣x2的图象，则阴影部分的面积是________．18.某工厂计划为一批长方体形状的产品涂上油漆，长方体的长和宽相等，高比长多0.5m，若长方体的长和宽用x（m）表示，长方体需涂油漆的表面积S（m2）表示为________．19.若A（x1，y1）、B（x2，y2）是一次函数y=﹣（x+1）2﹣2图象上不同的两点，且x1＞x2＞﹣1，记m=（x1﹣x2）（y1﹣y2），则m________0．（填“＞”或“＜”）20.如图所示，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，有下列4个结论：①abc＞0；②b＞a+c；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0；其中正确的是________21.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为x=1，给出下列结论：①abc＞0；②b2=4ac；③4a+2b+c＞0；④3a+c＞0，其中正确的结论是________．（写出正确命题的序号）三、解答题22.已知二次函数y=x2+2x+m的图象过点A（3，0）．（1）求m的值；（2）当x取何值时，函数值y随x的增大而增大．23.如图，已知正方形OABC的边长为2，顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，E点是BC的中点，F是AB延长线上一点且FB=1．（1）求经过点O、A、E三点的抛物线解析式；（2）点P在抛物线上运动，当点P运动到什么位置时△OAP的面积为2，请求出点P的坐标；（3）在抛物线上是否存在一点Q，使△AFQ是等腰直角三角形？若存在直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．24. 如图，抛物线y= x2﹣x+a与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其顶点在直线y=﹣2x上．（1）求a的值；（2）求A，B的坐标；（3）以AC，CB为一组邻边作▱ACBD，则点D关于x轴的对称点D′是否在该抛物线上？请说明理由．25. 如图①，若二次函数y= x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（3，0）两点，点A关于正比例函数y= x的图象的对称点为C．（1）求b、c的值；（2）证明：点C在所求的二次函数的图象上；（3）如图②，过点B作DB⊥x轴交正比例函数y= x的图象于点D，连结AC，交正比例函数y= x 的图象于点E，连结AD、CD．如果动点P从点A沿线段AD方向以每秒2个单位的速度向点D运动，同时动点Q从点D沿线段DC方向以每秒1个单位的速度向点C运动．当其中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，连结PQ、QE、PE．设运动时间为t秒，是否存在某一时刻，使PE平分∠APQ，同时QE平分∠PQC？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题B A D A A DCD A A C B C二、填空题14.（2，1）15.﹣6 16.y=﹣x2+6x﹣11 17.818.S=6x2+2x 19.＜20.③④21.①④三、解答题22.解：（1）∵二次函数y=x2+2x+m的图象过点A（3，0）．∴9+6+m=0，∴m=﹣15；（2）∵y=x2+2x﹣15=（x+1）2﹣16，∴二次函数的图象的对称轴为x=﹣1，∵a=1＞0，∴当x＞﹣1时，函数值y随x的增大而增大．23.解：（1）A的坐标是（2，0），E的坐标是（1，2）．设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c，根据题意得：，解得：．则抛物线的解析式是y=﹣2x2+4x；（2）当△OAP的面积是2时，P的纵坐标是2或﹣2．当﹣2x2+4x=2时，解得：x=1，则P的坐标是（1，2）；当﹣2x2+4x=﹣2时，解得：x=1±，此时P的坐标是（1+，﹣2）或（1﹣，﹣2）；（3）AF=AB+BF=2+1=3．OA=2，则A是直角顶点时，Q不可能在抛物线上；当F是直角顶点时，Q不可能在抛物线上；当Q是直角顶点时，Q到AF的距离是AF=，若Q存在，则Q的坐标是（2﹣，），即（﹣，），不在抛物线上，总之Q不存在．24.（1）解：∵抛物线y= x2﹣x+a其顶点在直线y=﹣2x上．∴抛物线y= x2﹣x+a，= （x2﹣2x）+a，= （x﹣1）2﹣+a，∴顶点坐标为：（1，﹣+a），∴y=﹣2x，﹣+a=﹣2×1，∴a=﹣（2）解：二次函数解析式为：y= x2﹣x﹣，∵抛物线y= x2﹣x﹣与x轴交于点A，B，∴0= x2﹣x﹣，整理得：x2﹣2x﹣3=0，解得：x=﹣1或3，A（﹣1，0），B（3，0）（3）解：作出平行四边形ACBD，作DE⊥AB，在△AOC和△BDE中∵∴△AOC≌△BED（AAS），∵AO=1，∴BE=1，∵二次函数解析式为：y= x2﹣x﹣，∴图象与y轴交点坐标为：（0，﹣），∴CO= ，∴DE= ，D点的坐标为：（2，），∴点D关于x轴的对称点D′坐标为：（2，﹣），代入解析式y= x2﹣x﹣，∵左边=﹣，右边= ×4﹣2﹣=﹣，∴D′点在函数图象上．25.（1）解：∵点A（﹣2，0），B（3，0）在抛物线y= x2+bx+c上，∴，解得：b=﹣，c=﹣（2）解：设点F在直线y= x上，且F（2，）．如答图1所示，过点F作FH⊥x轴于点H，则FH= ，OH=2，∴tan∠FOB= = ，∴∠FOB=60°．∴∠AOE=∠FOB=60°．连接OC，过点C作CK⊥x轴于点K．∵点A、C关于y= x对称，∴OC=OA=2，∠COE=∠AOE=60°．∴∠COK=180°﹣∠AOE﹣∠COE=60°．在Rt△COK中，CK=OC•sin60°=2× = ，OK=OC•cos60°=2× =1．∴C（1，﹣）．抛物线的解析式为：y= x2﹣x﹣，当x=1时，y=﹣，∴点C在所求二次函数的图象上（3）解：假设存在．如答图1所示，在Rt△ACK中，由勾股定理得：AC= = = ．如答图2所示，∵OB=3，∴BD=3 ，AB=OA+OB=5．在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD= = =2 ．∵点A、C关于y= x对称，∴CD=AD=2 ，∠DAC=∠DCA，AE=CE= AC= ．连接PQ、PE，QE，则∠APE=∠QPE，∠PQE=∠CQE．在四边形APQC中，∠DAC+∠APQ+∠PQC+∠DCA=360°（四边形内角和等于360°），即2∠DAC+2∠APE+2∠CQE=360°，∴∠DAC+∠APE+∠CQE=180°．又∵∠DAC+∠APE+∠AEP=180°（三角形内角和定理），∴∠AEP=∠CQE．在△APE与△CEQ中，∵∠DAC=∠DCA，∠AEP=∠CQE，∴△APE∽△CEQ，∴，即：，整理得：2t2﹣t+3=0，解得：t= 或t= （t＜，所以舍去）∴存在某一时刻，使PE平分∠APQ，同时QE平分∠PQC，此时t=。
初中数学冀教版九年级下册第三十章 二次函数30.2 二次函数的图象和性质-章节测试习题(1)
章节测试题1.【答题】函数是二次函数，当______时，其图像开口向上；当时______，其图像开口向下.【答案】4 －2【分析】根据二次函数y=ax²的图象和性质解答即可.【解答】解：根据题意，得：a2-2a-6=2，即a2-2a-8=0，解得a=4或-2，∵当a＞0时，其图象开口向上，当a＜0时，其图象开口向下，分别填4，-22.【答题】已知二次函数y=(m-2)x2的图象开口向下，则m的取值范围是______【答案】m＜2【分析】根据二次函数y=ax²的图象和性质解答即可.【解答】∵二次函数y=(m−2)x2的图象开口向下，∴m−2<0，∴m<2，故答案为：m<2.3.【答题】若二次函数y=m的图象开口向下，则m=______【答案】m=－1【分析】根据二次函数y=ax²的图象和性质解答即可.【解答】本题考查二次函数性质和二次函数的概念,根据二次函数的概念可得: ,解得,再由二次函数开口向下可得:m<0,因此m=－1.4.【答题】已知抛物线开口向下，那么a的取值范围是______．【答案】a＜－3【分析】根据二次函数y=ax²的图象和性质解答即可.【解答】抛物线开口向下，可得a+3<0，解得a<-3.5.【答题】已知点P（-1，m）在二次函数的图象上，则m的值为______；【答案】0【分析】根据二次函数y=ax²的图象和性质解答即可.【解答】∵点P（-1，m）在二次函数y=x2-1的图象上，∴m=1-1=0故答案是：06.【答题】已知抛物线过，两点，则下列关系式一定正确的（）A.B.C.D.【答案】C【分析】根据二次函数y=ax²的图象和性质解答即可.【解答】解：∵抛物线y=ax2（a＞0），∴A（﹣2，y1）关于y轴对称点的坐标为（2，y1）．又∵a＞0，0＜1＜2，∴y2＜y1选C.7.【答题】如图，四个二次函数的图象中，分别对应的是：①；②；③；④，则的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】A【分析】根据二次函数y=ax²的图象和性质解答即可.【解答】由二次函数中，“当二次项系数为正时，图象开口向上，当二次项系数为负时，图象开口向下”结合“二次项系数的绝对值越大，图象的开口越大”分析可得：.选A.方法总结：（1）二次函数的图象的开口方向由“的符号”确定，当时，图象的开口向上，当时，图象的开口向下；（2）二次函数的图象的开口大小由的大小确定，当越大时，图象的开口越小.8.【答题】对于函数，下列结论正确的是（）A. 随的增大而增大B. 图象开口向下C. 图象关于轴对称D. 无论取何值，的值总是正的【答案】C【分析】根据二次函数y=ax²的图象和性质解答即可.【解答】∵在函数中，，∴该函数的开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，∴该函数在y轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，且该函数的最小值为0.综上所述，上述结论中只有C是正确的，其余三个结论都是错误的.选C.9.【答题】已知点（－1，2）在二次函数y=ax2的图象上，那么a的值是（）A. 1B. 2C.D. －【答案】B【分析】把（-1,2）代入解析式解答即可.【解答】∵点（-1，2）在二次函数的图象上，∴，解得：.选B.10.【答题】关于二次函数y＝(x＋2)2的图象，下列说法正确的是（）A. 开口向下B. 最低点是A(2，0)C. 对称轴是直线x＝2D. 对称轴的右侧部分y随x的增大而增大【答案】D【分析】根据二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质解答即可.【解答】A选项：∵a=1＞0，∴开口向上，故本选项错误；B选项：最低点，即顶点坐标为（-2，0），故本选项错误；C选项：对称轴是直线x=-2，故本选项错误；D选项：对称轴的右侧部分是上升的正确，故本选项正确．选D.11.【答题】在同一坐标系中，抛物线，，的共同特点是（）A. 关于y轴对称，开口向上B. 关于y轴对称，y随x增大而减小C. 关于y轴对称，y随x增大而增大D. 关于y轴对称，顶点在原点【答案】D【分析】根据二次函数y=ax²的图象和性质解答即可.【解答】解：∵函数y=2x2，y=x2，y=x2中，a取值范围分别为：a＞0，a＞0，a＜0，∴抛物线的开口方向分别为：向上、向上、向下，即开口方向不同；由函数y=2x2，y=x2，y=x2的解析式可知：顶点坐标都为（0，0）；∴他们共同的特点是都关于y轴对称，抛物线的顶点都是原点．选D.12.【答题】抛物线的顶点在（）A. x轴上B. y轴上C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【分析】根据二次函数y=ax²的图象和性质解答即可.【解答】根据抛物线的解析式=2(x+0)²-4得：对称轴为y轴，则顶点坐标为(0,-4),在y轴上，选B.13.【答题】下列各点在函数图象上的是（）A. （0，0）B. （1，1）C. （0，﹣1）D. （1，0）【答案】D【分析】根据二次函数y=ax²的图象和性质解答即可.【解答】 A. 把（0，0）代入得，左=0，右=1，故不符合题意； B. 把（1，1）代入得，左=1，右=-1+1=0，故不符合题意； C. 把（0，﹣1）代入得，左=-1，右=1，故不符合题意； D. 把（1，0）代入得，左=0，右=-1+0=0，故不符合题意；选D.14.【答题】适合解析式y=-x2+1的一对值是（）A. (1，0)B. (0，0)C. (0，-1)D. (1，1)【答案】A【分析】根据二次函数y=ax²的图象和性质解答即可.【解答】当x＝1时，y＝0，故A适合解析式，D不适合解析式；当x＝0时，y＝1，故B、C不适合解析式．选A.15.【答题】函数y=-x2-3的图象顶点是（）A. B. C. D.【答案】C【分析】根据二次函数y=ax²的图象和性质解答即可.【解答】函数y=-x2-3的图象顶点坐标是（0，-3）.选C.16.【答题】函数y=ax2(a≠0)的图象经过点(a，8)，则a的值为（）A. ±2B. －2C. 2D. 3【答案】C【分析】根据二次函数y=ax²的图象和性质解答即可.【解答】把点(a，8)代入：y=ax2得：a3=8，解得：a=2.选C.17.【答题】函数y=ax2(a≠0)的图象与a的符号有关的是（）A. 顶点坐标B. 开口方向C. 开口大小D. 对称轴【答案】B【分析】根据二次函数y=ax²的图象和性质解答即可.【解答】函数y=ax2(a≠0)的图象与a的符号有关的是“开口方向”.选B.18.【答题】直线y=x与抛物线y=－2x2的交点是（）A. (，0)B. (，)C. (，)，(0，0)D. (0，0)【答案】C【分析】求一次函数图象和二次函数图象的交点坐标就是把两个函数的解析式组合在一起构成一个方程组，再求方程组的解，方程组的解就是这两个函数图象的交点坐标（自变量的值作横坐标，对应的函数值作纵坐标）.【解答】由题意可得：，解得：，，∴直线y=x与抛物线y=－2x2的交点是和.选C.19.【答题】若对任意实数x，二次函数y=(a+1)x2的值总是非负数，则a的取值范围是（）A. a≥－1B. a≤－1C. a>－1D. a<－1【答案】C【分析】根据二次函数y=ax²的图象和性质解答即可.【解答】∵若对任意实数x，二次函数y=(a+1)x2的值总是非负数，∴其图象开口应该向上，∴a+1>0，解得a>-1.选C.20.【答题】在同一坐标系中，作y=x2，y=－x2，y=x2的图象，它们的共同特点是（）A. 抛物线的开口方向向上B. 都是关于x轴对称的抛物线，且y随x的增大而增大C. 都是关于y轴对称的抛物线，且y随x的增大而减小D. 都是关于y轴对称的抛物线，有公共的顶点【答案】D【分析】根据二次函数y=ax²的图象和性质解答即可.【解答】在同一坐标系中，作y=x2，y=－x2，y=x2的图象，它们的共同特点是：（1）顶点都在原点：（2）对称轴都是y轴；选D.。
第30章 二次函数数学九年级下册-单元测试卷-冀教版(含答案)
第30章二次函数数学九年级下册-单元测试卷-冀教版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点(-4，0)，对称轴为直线x=-1，下列结论：①abc>0；②2a-b=0；③一元二次方程ax2+bx+c=0的解是x1=-4，x2=1；④当y>0时，-4<x<2，其中正确的结论有（）A.4个B.3个C.2个D.1个2、已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）过（﹣2，0），（2，3）两点，那么抛物线的对称轴（）A.只能是x=﹣1B.可能是y轴C.可能在y轴右侧且在直线x=2的左侧 D.可能在y轴左侧且在直线x=﹣2的右侧3、对于抛物线，下列说法正确的是（）A.开口向下，顶点坐标（5，3）B.开口向上，顶点坐标（5，3）C.开口向下，顶点坐标（-5，3）D.开口向上，顶点坐标（-5，3）4、已知二次函数y＝﹣+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（5，0）两点，且关于x的方程﹣x2+bx+c+d＝0有两个根，其中一个根是6，则d的值为（）A.5B.7C.12D.﹣75、抛物线的顶点坐标为(0，1)，则抛物线的解析式为（）A. B. C. D.6、对于抛物线y=-2（x+5）2+3，下列说法正确的是（）A.开口向下，顶点坐标是（5，3）B.开口向上，顶点坐标是（5，3） C.开口向下，顶点坐标是（－5，3） D.开口向上，顶点坐标是（－5，3）7、如图，中，，，，D是线段AB 上一个动点，以BD为边在外作等边.若F是DE的中点，则CF的最小值为（）A.6B.8C.9D.108、知反比例函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象如图所示，它们的解析式可能分别为（）A. y=， y=kx2+2kxB. y=， y=kx2-2kxC. y=-， y=kx2 -2kxD. y=-， y=kx2+2kx9、将抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到的解析式是（）.A. B. C. D.10、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①a<0 ②b<0 ③c>0 ④4a+2b+c=0, ⑤b+2a=0 ⑥ b2-4ac>0其中正确的个数是( ）A.1个B.2个C.3个D.4个11、已知二次函数y＝﹣x2＋x＋c（c＜0），当自变量为x1时，其函数值y1大于零；当自变量为x1﹣1与x1＋1时，其函数值分别为y2， y3，则（）A.y2＞0，y3＞0 B.y2＞0，y3＜0 C.y2＜0，y3＜0 D.y2＜0，y3＞012、已知二次函数的解析式为，则该二次函数图象的顶点坐标是（）A.(－2，1)B.(2，1)C.(2，－1)D.(1，2)13、已知抛物线经过点，那么下列各点中，该抛物线必经过的点是（）A. B. C. D.14、抛物线y=2（x-5）2+3的顶点坐标是( )A.（5，3）B.（-5，3）C.（5，-3）D.（-5，-3）15、如图所示的二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的图象中,某同学观察得出了下面四条信息：（1）b2－4ac＞0;（2）c＞1;（3）2a－b＜0;（4）a＋b＋c＜0.你认为其中错误的信息有( )A.4个B.3个C.2个D.1个二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为﹣2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线, 则下列结论：① a﹣b+c>0；②b＞0；③阴影部分的面积为4；④若c=﹣1，则. 其中正确的是________（写出所有正确结论的序号）17、如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为(－1,0)，其部分图象如图所示，下列结论：①；②方程的两个根是；③；④当时，的取值范围是；⑤当时，随增大而增大；其中结论正确有________.18、若二次函数y=ax2﹣4x+a的图象与x轴有交点，其中a为非负整数，则a=________ ．19、如果点、是二次函数的图像上两点，那么________ .（填“>”、“=”或“<”）20、若函数y=（k﹣3）x2+2x+1与坐标轴至少有两个不同的交点，则k的取值范围为________.21、等边三角形的周长为C，面积为S，则面积S关于周长C的函数解析式为________．22、二次函数y=﹣（x﹣2）2+ 的图象与x轴围成的封闭区域内（包括边界），横、纵坐标都是整数的点有________个（提示：必要时可利用下面的备用图画出图象来分析）．23、将y＝2x2的图象沿y轴向下平移3个单位，则得到的新图象所对应的函数表达式为________．24、已知抛物线y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是________．25、如图是二次函数图象的一部分,其对称轴为,且过点．下列说法:①；②；③；④若是抛物线上两点,则．其中说法正确的是________三、解答题(共5题，共计25分)26、已知抛物线的顶点为(2，3)，且经过点(3，1)，求此抛物线对应的函数解析式。
冀教版九年级下册数学第30章 二次函数 阶段归类专训 二次函数的图像和性质应用的常见类型
(2)求抛物线的对称轴；
解：∵点 A 与点 B 都在抛物线上，且纵坐标相等， ∴抛物线的对称轴为直线 x＝0＋2 2＝1.
(3)已知点 P12，－1a，Q(2，2)，若抛物线与线段 PQ 恰有一个公 共点，结合函数图像，求 a 的取值范围．
(2)若 G 与△ABC 有交点． ①求 a 的取值范围； 解：由题意可知 A(1，2)，B(7，2)， 当抛物线经过点 A 时，有 2＝a·12，即 a＝2. 当抛物线经过点 B 时，有 2＝49a，即 a＝429. 若 G 与△ABC 有交点，则429≤a≤2.
②当 0＜y≤8 时，反比例函数 y＝kx的图像经过 G 上一点，求 k
∵抛物线 y＝ax2－4a－53(a＞0)对应的碟宽在 x 轴上，且 AB＝6， ∴抛物线必过点(3，0)，把(3，0)代入 y＝ax2－4a－53(a＞0)，得 9a－4a－53＝0，解得 a＝13，∴抛物线的表达式是 y＝13x2－3.
②在此抛物线的对称轴上是否存在这样的点 P(xp，yp)，使得
的最大值． 解：由题意知当
a＝429时，y＝429x2，当
y＝8
时，8＝429x2.
又∵x＞0，∴x＝，此时 k＝112，
∴k 的最大值为 112.
3．(2019·河北邯郸永年区模拟)如图，抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a＞ 0)的顶点为 M，直线 y＝m 与抛物线交于点 A，B，若△AMB 为等腰直角三角形，我们把抛物线上 A，B 两点之间的部分 与线段 AB 围成的图形称为该抛物线对应的准碟形，线段 AB 称为碟宽，顶点 M 称为碟顶．
【教育资料】冀教版九年级数学下册第三十章 二次函数 单元测试题学习专用
第三十章 二次函数一、选择题(本大题共8小题，每小题4分，共32分) 1．下列函数属于二次函数的是( ) A ．y ＝(x －3)2－x 2 B ．y ＝1x 2C ．y ＝2x 2＋x ＋1D ．y ＝x 2＋1 2．关于抛物线y ＝x 2＋2x －1，下列说法错误的是( ) A ．顶点坐标为(－1，－2) B ．对称轴是直线x ＝－1 C ．开口向上D. 当x >－1时，y 随x 的增大而减小3．已知点A (1，y 1)，B (－2，y 2)，C (－2，y 3)在函数y ＝2(x ＋1)2－12的图像上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( )A ．y 1>y 2>y 3B ．y 1>y 3>y 2C ．y 3>y 1>y 2D ．y 2>y 1>y 34．二次函数y ＝mx 2＋x －2m (m 是非0常数)的图像与x 轴的交点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．1或25．竖直向上发射的小球的高度h (米)关于运动时间t (秒)的函数表达式为h ＝at 2＋bt ，其图像如图30－Z －1所示，若小球在发射后第2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是( )图30－Z －1A ．第3秒B ．第3.9秒C ．第4.5秒D ．第6.5秒6．抛物线y ＝x 2＋bx ＋c (其中b ，c 是常数)过点A (2，6)，且抛物线的对称轴与线段y ＝0(1≤x ≤3)有交点，则c 的值不可能是( )A ．4B ．6C ．8D ．107．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，且a ≠0)中的x 与y 的部分对应值如下表：下列结论：①c ＝3；②当5； ④abc ＜0.其中正确的有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分) 8．抛物线y ＝－3(x －5)2＋2的顶点坐标是________． 9．用配方法将y ＝－2x 2＋4x ＋6化成y ＝a (x ＋h )2＋k 的形式，则a ＋h ＋k 的值为________．10．已知二次函数y2＋bx＋c的x，y的部分对应值如下表：则该二次函数图像的对称轴为直线________．11．把抛物线y＝2x2先向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式是____________．12. 已知二次函数y＝x2－2x－3的图像与x轴交于A，B两点，在x轴上方的抛物线上有一点C，且△ABC的面积等于10，则点C的坐标为____________________．13．如图30－Z－2，某涵洞的截面是抛物线形，现测得水面宽AB＝1.6 m，涵洞顶点O 到水面的距离CO为2.4 m，在图中的平面直角坐标系内，涵洞截面所在抛物线的函数表达式是__________．(不必写出自变量的取值范围)图30－Z－2 图30－Z－3.小明从二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像(如图30－Z－3)中得出了下面的六条信息：①a ＜0；②c＝0；③函数的最小值为－3；④二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴交于点(0，0)，(2.5，0)；⑤当0＜x1＜x2＜2时，y1＜y2；⑥对称轴是直线x＝2.你认为其中正确的是________(填序号)．三、解答题(共37分)15．(10分)二次函数y＝－x2＋bx＋c的图像如图30－Z－4所示，它与x轴的一个交点坐标为(－1，0)，与y轴的交点坐标为(0，3)．(1)求出b，c的值，并写出此二次函数的表达式；(2)求出图像与x轴的另一个交点的坐标；(3)根据图像，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围．图30－Z－416．(12分)一个批发商销售成本为20元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克的售价不得超过90元且不低于20元，在销售过程中发现该产品的销售量y(千克)与售价x(元/千克)(1)求y(2)该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为多少元？(3)该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润w(元)最大？此时的最大利润为多少元？17．(15分)某学校课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米(如图30－Z－5所示)，设这个苗圃垂直于墙的一边的长为x米．(1)若苗圃的面积为72平方米，求x的值．(2)若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由．(3)当这个苗圃的面积不小于100平方米时，直接写出x的取值范围．图30－Z－5教师详解详析【作者说卷】1．知识与技能(1)理解二次函数的概念，会把二次函数表达式的一般式化为顶点式，确定图像的顶点坐标、对称轴和开口方向，会用描点法画二次函数的图像．(2)利用二次函数的图像了解二次函数的性质，会求二次函数的图像与x 轴的交点坐标和函数的最大值、最小值，了解二次函数和一元二次方程及不等式之间的关系．(3)能顺利地解答不同形式的实际问题，有一定的分析能力． 2．思想与方法数形结合思想，转化思想，函数思想，配方法和图像法等． 3．亮点 注重考查二次函数的表达式、函数值的变化情况、最值及图像的顶点坐标和与坐标轴的交点情况等基本知识．如第3，7，8，15题．考查二次函数的图像特征和性质等，如第2，7，10，14题． 综合考查函数在实际问题中的应用，如第5，13，16，17题． 1．C [解析] A 项，y ＝(x －3)2－x 2可化简为y ＝－6x ＋9，不是二次函数，故不符合题意． B 项，分母中含有自变量，不是二次函数，故不符合题意． C 项，符合二次函数的一般式，是二次函数，故符合题意．D 项，被开方数中含自变量，不是二次函数，故不符合题意．故选C. 2．D [解析] 抛物线y ＝x 2＋2x －1＝(x ＋1)2－2， A 项，顶点坐标是(－1，－2)，故说法正确； B 项，对称轴是直线x ＝－1，故说法正确；C 项，因为a ＝1>0，所以开口向上，故说法正确；D 项，当x >－1时，y 随x 的增大而增大，故说法错误．故选D.3．B [解析] 本题一般可从两种角度考虑：可将三个点的横坐标代入函数表达式，分别求出y 1，y 2，y 3的值，然后比较大小；也可根据二次函数y 随x 的变化情况得出结论．故选B.4．C [解析] 二次函数y ＝mx 2＋x －2m (m 是非0常数)的图像与x 轴的交点个数即为y ＝0时方程mx 2＋x －2m ＝0的解的个数，判别式＝1＋8m 2＞0，故图像与x 轴的交点个数为2.故选C.5．B [解析] 由题意可得，h ＝at 2＋bt 的对称轴为直线t ＝2＋62＝4，∴当t ＝4，h 取得最大值，∴在选项中当t ＝3.9时，h 的值最大．故选B.6．A [解析] ∵抛物线y ＝x 2＋bx ＋c (其中b ，c 是常数)过点A (2，6)，且抛物线的对称轴与线段y ＝0(1≤x ≤3)有交点，∴⎩⎪⎨⎪⎧4＋2b ＋c ＝6，1≤－b2×1≤3，解得6≤c ≤14.故选A. 7．C [解析] ∵x ＝－1时y ＝－1，x ＝0时，y ＝3，x ＝1时，y ＝5，∴⎩⎨⎧a －b ＋c ＝－1，c ＝3，a ＋b ＋c ＝5，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝3，c ＝3，∴y ＝－x 2＋3x ＋3，∴①正确．∵对称轴为直线x ＝1.5，∴当x ＞1.5时，y 的值随x 值的增大而减小，故②不正确． ∵a ＜0，∴最大值为4ac －b 24a ＝214，故③不正确．∴abc ＝－1×3×3＝－9＜0，故④正确． 故选C.8．(5，2)9．5 [解析] y ＝－2x 2＋4x ＋6＝－2(x 2－2x ＋1)＋6＋2＝－2(x －1)2＋8， ∴a ＝－2，h ＝－1，k ＝8， ∴a ＋h ＋k ＝－2＋(－1)＋8＝5.10．x ＝1.5 [解析] ∵当x ＝1和x ＝2时的函数值都是－1，∴对称轴为直线x ＝1＋22＝1.5.11．y ＝2(x ＋2)2－1 [解析] 由“上加下减”的原则可知，二次函数y ＝2x 2的图像向下平移1个单位长度得到y ＝2x 2－1.由“左加右减”的原则可知，将二次函数y ＝2x 2－1的图像向左平移2个单位长度可得到函数y ＝2(x ＋2)2－1.故答案是y ＝2(x ＋2)2－1.12．(－2，5)或(4，5)13．y ＝－154x 2 [解析] 设抛物线的函数表达式为y ＝ax 2(a ≠0)，由CO 和AB 的长，可知点A 的坐标是(－0.8，－2.4)， 将其代入抛物线的函数表达式中得－2.4＝0.8×0.8×a ，解得a ＝－154.故抛物线的函数表达式是y ＝－154x 2.14．②③⑥15．解：(1)由二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的图像经过(－1，0)和(0，3)两点，得⎩⎨⎧－1－b ＋c ＝0，c ＝3，解这个方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝3.∴二次函数的表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3.(2)令y ＝0，得－x 2＋2x ＋3＝0. 解这个方程，得x 1＝3，x 2＝－1.∴此二次函数的图像与x 轴的另一个交点的坐标为(3，0)． (3)当－1＜x ＜3时，y 为正数．16．解：(1)设y 与x 的函数表达式为y ＝kx ＋b (k ≠0)．将(50，100)，(60，90)代入，得⎩⎨⎧50k ＋b ＝100，60k ＋b ＝90，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝150. 故y 与x 的函数表达式为y ＝－x ＋150(20≤x ≤90)．(2)根据题意，得(－x ＋150)(x －20)＝4000，解得x 1＝70，x 2＝100＞90(不合题意，舍去)．故该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为每千克70元．(3)w 与x 的函数表达式为 w ＝(－x ＋150)(x －20) ＝－x 2＋170x －3000 ＝－(x －85)2＋4225. ∵－1＜0，∴当x ＝85时，w 值最大，w 的最大值是4225. ∴该产品每千克的售价为85元时，批发商获得的利润w (元)最大，此时的最大利润为4225元．17．解：(1)根据题意，得x (30－2x )＝72， 整理，得2x 2－30x ＋72＝0. 解得x 1＝3，x 2＝12.由x ＝3，得30－2x ＝24＞18，所以舍去； 由x ＝12，得30－2x ＝6.所以垂直于墙的一边的长为12米． 即x 的值为12.(2)有最大值和最小值．若8≤30－2x ≤18，则6≤x ≤11.苗圃的面积S ＝x (30－2x )＝－2x 2＋30x ＝－2(x －152)2＋2252.∵6≤x ≤11，∴当x ＝11时，苗圃的面积取得最小值，最小值为11×(30－11×2)＝88(米2)．当x ＝152时，苗圃的面积取得最大值，最大值为2252平方米．(3)5≤x ≤10.根据题意，得x (30－2x )≥100， 整理，得x 2－15x ＋50≤0. 若y ＝0，则x 2－15x ＋50＝0， 解得x 1＝5，x 2＝10.若y ＜0，即x 2－15x ＋50＜0，则5＜x ＜10.∴当这个苗圃的面积不小于100平方米时，x 的取值范围是5≤x ≤10.。
冀教版九年级下册数学第30章 二次函数含答案(典型题)
冀教版九年级下册数学第30章二次函数含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、二次函数的一次项系数是（）A.1B.-1C.2D.-22、如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，对称轴为直线x=1，图象经过（3，0）．下列结论中，正确的一项是（）A. ＜0B. ＜0C. ＜0D. 4ac−b 203、如图，已知抛物线的对称轴为直线，与x轴的两个交点是A，B，其中点A的坐标为，则下列结论：① ；② ；③点B的坐标是；④点、是抛物线上的两点，若，则，其中正确结论的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个4、若A（﹣1，y1），B（﹣5，y2），C（0，y3）为二次函数y=x2+4x﹣5的图象上的三点，则y1， y2， y3的大小关系是（）A.y1＜y2＜y3B.y2＜y1＜y3C.y3＜y1＜y2D.y1＜y3＜y25、如图，已知抛物线y=x2+bx+c与坐标轴交于A，B两点，则一元二次方程x2+bx+c=0的根的情况是( )A.没有实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根 D.可能有实数根，也可能没有实数根6、二次函数的图像如图所示，则点Q(，)在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限7、已知关于的函数是二次函数，则此解析式的一次项系数是（）．A. B. C. D.8、二次函数与坐标轴的交点个数是（）A. 个B. 个C. 个D. 个9、如果抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（0，﹣2），B（﹣1，1）两点，那么此抛物线经过（）A.第一、二、三、四象限B.第一、二、三象限C.第一、二、四象限D.第二、三、四象限10、点A，B的坐标分别为（－2，3）和（1，3），抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）的顶点在线段AB上运动时，形状保持不变，且与x轴交于C，D两点（C 在D的左侧），给出下列结论：①c＜3；②当x＜－3时，y随x的增大而增大；③若点D的横坐标最大值为5，则点C的横坐标最小值为－5；④当四边形ACDB为平行四边形时，a＝．其中正确的是（）A.②④B.②③C.①③④D.①②④11、将二次函数y=x2﹣2x﹣3化成y=（x﹣h）2+k形式，则h+k结果为（）A.﹣5B.5C.3D.﹣312、如图所示，二次函数的图象经过点（－1，2），且与轴交点的横坐标分别为，，其中，，下列结论：① ；② ；③ ；④ .其中正确的有（）A. 个B. 个C. 个D. 个13、如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线．有以下结论：① ；② ；③若A（，m），（，m）是抛物线上的两点，当时，；④点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得⊥ ，则a的取值范围为；⑤若方程的两根为，，且＜，则﹣2≤ ＜＜4．其中正确结论的序号是（）A.①②④B.①③④C.①③⑤D.①②③⑤14、二次函数的图象如图所示，下列结论：① ；② ；③ 的两个根是；④ 其中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个15、要将抛物线y=x2+2x+3平移后得到抛物线y=x2，下列平移方法正确的是（）A.向左平移1个单位，再向上平移2个单位B.向左平移1个单位，再向下平移2个单位C.向右平移1个单位，再向上平移2个单位D.向右平移1个单位，再向下平移2个单位二、填空题(共10题，共计30分)16、已知函数y＝x m-1是关于x的二次函数，则m＝________.17、在－1，0，1这三个数中任取两个数，，则二次函数图象的顶点在坐标轴上的概率为________.18、一条抛物线的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），则该抛物线的函数表达式是________．19、如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc=0；②a+b+c＞0；③a＞b；④4ac﹣b2＜0．其中正确结论有________．20、已知某农机厂第一个月水泵的产量为100台，若平均每月的增长率为x，则第三个月的产量y（台）与月平均增长率x之间的函数关系式是________．21、与抛物线y=2x2﹣4x的形状相同，开口方向不同，且顶点坐标为（1，3）的抛物线解析式是________．22、二次函数y＝（x+2）2﹣7的最小值为________.23、在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：若y′= ，则称点Q为点P的“可控变点”．例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（﹣1，3）的“可控变点”为点（﹣1，﹣3）．若点P在函数y=﹣x2+16的图象上，其“可控变点”Q 的纵坐标y′是7，则“可控变点”Q的横坐标是________．24、已知二次函数，当x________时，随的增大而减小．25、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，下列4个结论中结论正确的有________．①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0．三、解答题(共5题，共计25分)26、求二次函数y=x2+4x﹣5的最小值．27、如图，顶点M（0，﹣1）在y轴上的抛物线与直线y=x+1相交于A，B两点，且点A在x轴上，连结AM，BM．（1）求点A的坐标和这个抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）求点B的坐标；（3）把抛物线与直线y=x的交点称为抛物线的不动点．若将（1）中抛物线平移，使其顶点为（m，2m），当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点？28、已知二次函数y= x2+bx+c的图象经过点A（﹣3，6），并与x轴交于点B（﹣1，0）和点C，与y轴交于点E，顶点为P，对称轴与x轴交于点D （Ⅰ）求这个二次函数的解析式；（Ⅱ）连接CP，△DCP是什么特殊形状的三角形？并加以说明；（Ⅲ）点Q是第一象限的抛物线上一点，且满足∠QEO=∠BEO，求出点Q的坐标．29、已知二次函数y=ax2+bx的图象过点（2，0），（﹣1，6）．（1）求二次函数的关系式；（2）写出它的对称轴和顶点坐标；（3）请说明x在什么范围内取值时，函数值y＜0？30、已知是x的二次函数，求m的值和二次函数的解析式．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、D2、D3、B4、D5、C6、C7、A8、D9、D10、A11、D12、D13、B14、D15、D二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、27、29、30、。
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专训1 二次函数图像信息题的四种常见类型
名师点金：
利用图像信息解决二次函数的问题主要是运用数形结合思想将图像信息转换为数学语言，掌握二次函数的图像和性质是解决此类问题的关键．
根据抛物线的特征确定a ，b ，c 及与其有关的代数式的符号
1．【中考·孝感】如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图像与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OA ＝OC.则下列结论：
①abc ＜0；②b 2－4ac 4a ＞0；③ac －b ＋1＝0；④OA·OB ＝－c a
.其中正确结论的个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1
(第1题)
(第2题)
利用二次函数的图像比较大小 2．二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的图像如图，若点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)在此函数图像上，且x 1<x 2<1，则y 1与y 2的大小关系是( )
A ．y 1≤y 2
B ．y 1＜y 2
C ．y 1≥y 2
D ．y 1＞y 2
利用二次函数的图像求方程的解或不等式的解集
3．【中考·黄石】二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图像如图所示，则当函数值y ＞0时，x 的取值范围是( )
A ．x ＜－1
B ．x ＞3
C ．－1＜x ＜3
D ．x ＜－1或x ＞3
(第3题)
(第4题)
4．【中考·阜新】如图，二次函数y＝ax2＋bx＋3的图像经过点A(－1，0)，B(3，0)，那么一元二次方程ax2＋bx＝0的根是____________．
根据抛物线的特征确定其他函数的图像
5．【中考·聊城】二次函数y＝ax2＋bx的图像如图所示，那么一次函数y＝ax＋b的图像大致是()
(第5题)
6．如图，A(－1，0)，B(2，－3)两点在一次函数y1＝－x＋m与二次函数y2＝ax2＋bx －3的图像上．
(1)求m的值和二次函数的表达式；
(2)设二次函数的图像交y轴于点C，求△ABC的面积．【导学号：89274029】
(第6题)
答案
1．B 2.B 3.D 4.x 1＝0，x 2＝2 5.C
6．解：(1)将点A(－1，0)的坐标代入y 1＝－x ＋m ，得m ＝－1；
将点A(－1，0)，B(2，－3)的坐标分别代入y 2＝ax 2＋bx －3，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b －3＝0，
4a ＋2b －3＝－3.解得
⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2.
∴y 2＝x 2－2x －3.
(2)易知C 点的坐标为(0，－3)，一次函数的图像与y 轴的交点坐标为(0，－1)．
∴S △ABC ＝12×[－1－(－3)]×1＋12×[－1－(－3)]×2＝12×2×1＋12
×2×2＝3.。