极坐标与参数方程经典练习题
典型极坐标参数方程练习题带标准答案
极坐标参数方程练习题１.在直角坐标系ｘＯy中,直线Ｃ1:x=－2，圆C2:(x－1)2＋(y－2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求Ｃ１,C２的极坐标方程;(2)若直线C３的极坐标方程为θ＝＼f(π,4）(ρ∈Ｒ),设C2与C３的交点为M,N,求△C2MN 的面积．解：（1)因为x=ρcｏｓθ，ｙ=ρsinθ,所以C1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C2的极坐标方程为ρ２-2ρｃos θ-4ρｓｉn θ＋4=0.(2）将θ＝＼f（π,4)代入ρ２-２ρcos θ-4ρsinθ+4＝0,得ρ2－3错误!ρ+４＝0,解得ρ1＝2＼r(2)，ρ2=2．故ρ１-ρ2=错误!,即｜ＭN|=错误!．由于C２的半径为1，所以△Ｃ２ＭN的面积为＼f(1,2)．4．(20１4·辽宁，２3，1０分,中)将圆x2＋y２=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.(1)写出C的参数方程;(2)设直线ｌ:2x＋y－２=0与C的交点为P１,Ｐ２，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1Ｐ2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.解：(１）设(x1，y1)为圆上的点,经变换为C上点(x，y），依题意,得错误!由x错误!＋y错误!＝1得x２＋错误!错误!=１．即曲线C的方程为x2+＼ｆ(ｙ2,4)＝1.故Ｃ的参数方程为错误!(t为参数)．(2)由错误!解得错误!或错误!不妨设P1(1,０）,P2（0，２），则线段P１P2的中点坐标为错误!,所求直线斜率为k＝错误!,于是所求直线方程为y-1＝＼f(1，2)错误!.化为极坐标方程，并整理得2ρcｏs θ－4ρsiｎθ＝－3,即ρ＝错误!．（２)(２015·吉林长春二模,23，１０分）在直角坐标系xＯy中，以Ｏ为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos错误!＝1,Ｍ,N分别为曲线C与x轴,y 轴的交点．①写出曲线Ｃ的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；②设Ｍ,N的中点为Ｐ,求直线OP的极坐标方程.【解析】(1)将2ρcｏs2θ=sin θ两边同乘以ρ，得2（ρcｏs θ)２=ρsinθ，化为直角坐标方程为2ｘ2=y,①C2：ρcｏsθ＝1化为直角坐标方程为x=1，②联立①②可解得错误!所以曲线C１与Ｃ２交点的直角坐标为(1,2）．（2)①∵ρcos错误!=1,∴ρcos θ·ｃｏs π3＋ρｓｉn θ·ｓｉｎ错误!=1.又错误!∴错误!ｘ+错误!y＝1，即曲线Ｃ的直角坐标方程为x+错误!ｙ-2＝０．令y=0，则ｘ＝2；令ｘ＝0，则ｙ=错误!.∴M(2,0),N错误!.∴Ｍ的极坐标为（2,０），N的极坐标为错误!.②M,N连线的中点Ｐ的直角坐标为错误!,P的极角为θ=π6.∴直线OＰ的极坐标方程为θ=π6（ρ∈R）.注：极坐标下点的坐标表示不唯一．【点拨】解答题（1)的关键是掌握直角坐标化为极坐标的方法;题(2)先转化为直角坐。
极坐标与参数方程经典题型(附含详细解答)
专题：极坐标与参数方程1、已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为14cos 24sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数），直线l 经过定点(3,5)P ，倾斜角为3π. （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求||||PA PB 的值.2、在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2:sin 2cos C ρθθ=，过点(2,1)P -的直线2cos 45:1sin 45x t l y t ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数）与曲线C 交于,M N 两点.（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）求22||||PM PN +的值.3、在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线：23cos 3sin x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l ：(cos sin )6ρθθ-=.（1）求曲线C 上点P 到直线l 距离的最大值；（2）与直线l 平行的直线1l 交C 于,A B 两点，若||2AB =，求1l 的方程．4、在平面直角坐标系xOy 中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（为参数），曲线 2C 的极坐标方程为cos 2sin 40ρθρθ--=．（1）求曲线1C 的普通方程和曲线 2C 的直角坐标方程；（2）设P 为曲线1C 上一点，Q 为曲线2C 上一点，求||PQ 的最小值．5.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），在以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立的极坐标系中，曲线2C 是圆心为3,2π⎛⎫⎪⎝⎭，半径为1的圆.（1）求曲线1C 的普通方程，2C 的直角坐标方程；（2）设M 为曲线1C 上的点，N 为曲线2C 上的点，求||MN 的取值范围.6. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos sin x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数），曲线2C ：2220x y y +-=，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，射线():0l θαρ=≥与曲线1C ，2C 分别交于,A B （均异于原点O ）.（1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程； （2）当02πα<<时，求22||||OA OB +的取值范围.7. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 过点(,1)P a ，其参数方程为212x a ty t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数，a R ∈），以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=.（1）求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）已知曲线1C 与2C 交于,A B 两点，且||2||PA PB =，求实数a 的值.8. 在平面直角坐标系xOy 中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为(sin 3cos )43ρθθ+=，若射线6πθ=，3πθ=，分别与l 交于,A B两点.（1）求||AB ；（2）设点P 是曲线2219y x +=上的动点，求ABP ∆面积的最大值.极坐标与参数方程——练习1.在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t ，(t 为参数),椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数).设直线l 与椭圆C 相交于A,B 两点，求线段AB 的长.2.在直角坐标系xOy 中,曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tcos α，y ＝tsin α(t 为参数,t≠0),其中0≤α＜π,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2：ρ＝2sin θ,C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A,C 1与C 3相交于点B ,求|AB |的最大值.3.在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数).以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.(1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点,当P 到圆心C 的距离最小时,求P 的直角坐标.4.在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的方程为x 2－2x ＋y 2＝0,以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R ).(1)写出C 的极坐标方程,并求l 与C 的交点M,N 的极坐标； (2)设P 是椭圆x 23＋y 2＝1上的动点,求△PMN 面积的最大值.5.直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数),曲线C 的极坐标方程为(1＋sin 2θ)ρ2＝2. (1)写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程.(2)设直线l 与曲线C 相交于A ,B 两点,若点P 为(1,0),求1|PA |2＋1|PB |2的值.6. 在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为325:45x t C y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为sin a ρθ=． （1）若2a =，求圆C 的直角坐标方程与直线 l 的普通方程； （2）设直线l 截圆C 的弦长等于圆Ca 的值．7. 在直角坐标系xOy 中，直线1C ：y =，曲线2C 的参数方程是cos 2sin x y ϕϕ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求1C 的极坐标方程和2C 的普通方程； （2）把1C 绕坐标原点沿顺时针方向旋转3π得到直线3C ，3C 与2C 交于A ，B 两点，求||AB ．8.将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍,得曲线C. (1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1,P 2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.极坐标与参数方程参考答案1.【解答】解：（1）∵曲线C的参数方程为（θ为参数），消去参数θ，得曲线C的普通方程：（x﹣1）2+（y﹣2）2=16；∵直线l经过定点P（3，5），倾斜角为，∴直线l的参数方程为：，t为参数．（2）将直线l的参数方程代入曲线C的方程，得t2+（2+3）t﹣3=0，设t1、t2是方程的两个根，则t1t2=﹣3，∴|PA|•|PB|=|t1|•|t2|=|t1t2|=3．2．【解答】解：（1）曲线C：ρsin2θ=2cosθ，即ρ2sin2θ=2ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为y2=2x；直线l：（t为参数），消去t，可得直线l的普通方程x﹣y﹣3=0；（2）将直线l：代入曲线C的标准方程：y2=2x得：t2﹣4t﹣6=0，∴|PM|2+|PN|2=|t1|2+|t2|2=（t1﹣t2）2+2t1t2=32．3、【解答】（1）直线l ：(cos sin )6ρθθ-=化成普通方程为60x y --=．曲线化成普通方程为22(2)3x y -+=∴圆心(2,0)C 到直线l 的距离为d ==∴曲线C 上点P 到直线l 距离的最大值为（2）设直线1l 的方程为0x y λ-+=， (2,0)C 到直线1l 的距离为d === ∴或∴直线1l 的方程为或4.【解答】（1）由曲线C 1的参数方程为（θ为参数），消去参数θ得，曲线C 1的普通方程得+=1．由ρcos θ﹣ρsin θ﹣4=0得，曲线C 2的直角坐标方程为x ﹣y ﹣4=0…（2）设P （2cos θ，2sin θ），则点P 到曲线C 2的距离为d==，当cos （θ+45°）=1时，d 有最小值0，所以|PQ|的最小值为0.5．【解答】解：（1）消去参数φ可得C1的直角坐标方程为+y2=1，∵曲线C2是圆心为（3，），半径为1的圆曲线C2的圆心的直角坐标为（0，3），∴C2的直角坐标方程为x2+（y﹣3）2=1；（2）设M（2cosφ，sinφ），则|MC2|====，∴﹣1≤sinφ≤1，∴由二次函数可知2≤|MC2|≤4，由题意结合图象可得|MN|的最小值为2﹣1=1，最大值为4+1=5，∴|MN|的取值范围为[1，5]6.【解答】解：（1）∵，∴，由得曲线C1的极坐标方程为，∵x2+y2﹣2y=0，∴曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ；（2）由（1）得，|OB|2=ρ2=4sin2α，∴∵，∴1＜1+sin2α＜2，∴，∴|OA|2+|OB|2的取值范围为（2，5）．7．【解答】解：（1）曲线C1参数方程为，∴其普通方程x﹣y﹣a+1=0，由曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ﹣ρ=0，∴ρ2cos2θ+4ρcosθ﹣ρ2=0∴x2+4x﹣x2﹣y2=0，即曲线C2的直角坐标方程y2=4x．（2）设A、B两点所对应参数分别为t1，t2，联解得要有两个不同的交点，则，即a＞0，由韦达定理有根据参数方程的几何意义可知|PA|=2|t1|，|PB|=2|t2|，又由|PA|=2|PB|可得2|t1|=2×2|t2|，即t1=2t2或t1=﹣2t2∴当t1=2t2时，有t1+t2=3t2=，t1t2=2t22=，∴a=＞0，符合题意．当t1=﹣2t2时，有t1+t2=﹣t2=，t1t2=﹣2t22=，∴a=＞0，符合题意．综上所述，实数a的值为或．8．【解答】解：（1）直线，令，解得，∴，令，解得ρ=4，∴又∵，∴，∴|AB|=2．（2）∵直线，曲线，∴=当且仅当，即时，取“=”，∴，∴△ABP面积的最大值为3．极坐标与参数方程——练习参考答案1．【解答】解：由，由②得，代入①并整理得，．由，得，两式平方相加得．联立，解得或．∴|AB|=．2．【解答】解：（1）曲线C2：ρ=2sinθ得ρ2=2ρsinθ，即x2+y2=2y，①C 3：ρ=2cosθ，则ρ2=2ρcosθ，即x2+y2=2x，②由①②得或，即C2与C3交点的直角坐标为（0，0），（，）；（2）曲线C1的直角坐标方程为y=tanαx，则极坐标方程为θ=α（ρ∈R，ρ≠0），其中0≤a＜π．因此A得到极坐标为（2sinα，α），B的极坐标为（2cosα，α）．所以|AB|=|2sinα﹣2cosα|=4|sin（α）|，当α=时，|AB|取得最大值，最大值为4．3．【解答】解：（1）由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．∴ρ2=2，化为x2+y2=，配方为=3．（2）设P，又C．∴|PC|==≥2，因此当t=0时，|PC|取得最小值2．此时P（3，0）．4．【解答】解：（1）因为x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l的直角坐标方程为y=x，联立方程组，解得或，所以点M，N的极坐标分别为（0，0），（，）．（2）由（1）易得|MN|=因为P是椭圆+y2=1上的点，设P点坐标为（cosθ，sinθ），则P到直线y=x的距离d=，所以S△PMN==≤1，当θ=kπ﹣，k∈Z时，S△PMN取得最大值1．5．【解答】解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t得直线l的普通方程为x﹣y﹣=0，曲线C的极坐标方程ρ2+ρ2sin2θ=2，化成直角坐标方程为x2+2y2=2，即+y2=1．（2）将直线l的参数方程代入曲线C：x2+2y2=2，得7t2+4t﹣4=0．设A，B两点在直线l的参数方程中对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=﹣，t1t2=﹣，∴+=+==．6．【解答】解：（1）当a=2时，ρ=asinθ转化为ρ=2sinθ整理成直角坐标方程为：x2+（y﹣1）2=1直线的参数方程（t为参数）．转化成直角坐标方程为：4x+3y﹣8=0 （2）圆C的极坐标方程转化成直角坐标方程为：直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍，所以：2|3a﹣16|=5|a|，利用平方法解得：a=32或．7．【解答】解：（1）∵直线，∴直线C1的极坐标方程为，∵曲线C2的参数方程是（θ为参数），∴消去参数θ，得曲线C2的普通方程为．（2）∵把C1绕坐标原点沿逆时针方向旋转得到直线C3，∴C3的极坐标方程为，化为直角坐标方程为．圆C2的圆心（，2）到直线C3：的距离：．∴．8．【解答】解：（1）在曲线C上任意取一点（x，y），由题意可得点（x，）在圆x2+y2=1上，∴x2+=1，即曲线C的方程为x2+=1，化为参数方程为（0≤θ＜2π，θ为参数）．（2）由，可得，，不妨设P1（1，0）、P2（0，2），则线段P1P2的中点坐标为（，1），再根据与l垂直的直线的斜率为，故所求的直线的方程为y﹣1=（x﹣），即x﹣2y+ =0．再根据x=ρcosα、y=ρsinα可得所求的直线的极坐标方程为ρcosα﹣2ρsinα+=0，即ρ=．。
极坐标参数方程高考练习含答案非常好的练习题
极坐标参数方程高考练习含答案非常好的练习题公司标准化编码 [QQX96QT-XQQB89Q8-NQQJ6Q8-MQM9N]极坐标与参数方程高考精练（经典39题）1．在极坐标系中，以点(2,)2C π为圆心，半径为3的圆C 与直线:()3l R πθρ=∈交于,A B两点.（1）求圆C 及直线l 的普通方程.（2）求弦长AB .2．在极坐标系中，曲线2:sin 2cos L ρθθ=，过点A （5，α）（α为锐角且3tan 4α=）作平行于()4R πθρ=∈的直线l ，且l 与曲线L 分别交于B ，C 两点.(Ⅰ)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直角坐标系，写出曲线L 和直线l 的普通方程；(Ⅱ)求|BC|的长.3．在极坐标系中，点M 坐标是)2,3(π，曲线C 的方程为)4sin(22πθρ+=；以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l 经过点M ．（1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，并求||||MB MA ⋅的值．4．已知直线l 的参数方程是)(242222是参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==，圆C 的极坐标方程为)4cos(2πθρ+=．（1）求圆心C 的直角坐标；（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．5．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()为参数t ty ta x ,3⎩⎨⎧=+=.在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为θρcos 4=.（Ⅰ）求圆C 在直角坐标系中的方程；（Ⅱ）若圆C 与直线l 相切，求实数a 的值.6．在极坐标系中，O 为极点，已知圆C 的圆心为(2,)3π，半径r=1，P 在圆C 上运动。
（I ）求圆C 的极坐标方程；（II ）在直角坐标系（与极坐标系取相同的长度单位，且以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴）中，若Q 为线段OP 的中点，求点Q 轨迹的直角坐标方程。
极坐标与参数方程经典练习题 带详细解答
1．极坐标系与直角坐标系xoy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴.已知直线l的参数方程为122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 8cos ρθθ=.（Ⅰ）求C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求弦长||AB .2．已知直线l 经过点1(,1)2P ，倾斜角α＝6π，圆C的极坐标方程为)4πρθ=-.(1)写出直线l 的参数方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程；(2)设l 与圆C 相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积． 3．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程是)(242222是参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==，圆C 的极坐标方程为)4cos(2πθρ+=．（I ）求圆心C 的直角坐标；(Ⅱ)由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值． 4．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中x 轴的正半轴重合，且两坐标系有相同的长度单位，圆C 的参数方程为12cos 12sin x y αα=+⎧⎨=-+⎩（α为参数），点Q的极坐标为7)4π。
（1）化圆C 的参数方程为极坐标方程；（2）直线l 过点Q 且与圆C 交于M ，N 两点，求当弦MN 的长度为最小时，直线l 的直角坐标方程。
5．在极坐标系中，点M 坐标是)2,3(π，曲线C 的方程为)4sin(22πθρ+=；以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l 经过点M ． （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，并求||||MB MA ⋅的值．6．（本小题满分10分） 选修4-4坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+==ααsin 22cos 2y x ，(α为参数) M 是曲线1C 上的动点，点P 满足2=，（1）求点P 的轨迹方程2C ；（2）在以D 为极点，X 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与曲线1C ，2C 交于不同于原点的点A,B 求AB7．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐V 标方程为πcos =13ρθ⎛⎫-⎪⎝⎭，M ，N 分别为曲线C 与x 轴、y 轴的交点． （1）写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标；（2）求直线OM 的极坐标方程． 8．在直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为：2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并取与直角坐标系相同的长度单位，建立极坐标系，曲线C 2是极坐标方程为：cos ρθ=， (1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)若P ，Q 分别是曲线C 1和C 2上的任意一点，求PQ 的最小值.9．已知圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，直线l的参数方程为1221122x x t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ （t 为参数），点A的极坐标为4π⎫⎪⎪⎝⎭，设直线l 与圆C 交于点P 、Q .（1）写出圆C 的直角坐标方程；（2）求AP AQ ⋅的值.10．已知动点P ，Q 都在曲线C ：2cos 2sin x ty t =⎧⎨=⎩（β为参数）上，对应参数分别为t α=与2t α=（0＜α＜2π），M 为PQ 的中点。
高考极坐标与参数方程习题大全
一、选择题（每小题5分，共25分）1、已知点M 的极坐标为⎪⎭⎫⎝⎛35π，，下列所给出的四个坐标中能表示点M 的坐标是（ ）。
A. 53，-⎛⎝ ⎫πB. 543，π⎛⎝ ⎫⎭⎪C. 523，-⎛⎝ ⎫⎭⎪πD. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-355π， 2、直线：3x-4y-9=0与圆：⎩⎨⎧==θθsin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是( )A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心3、在参数方程⎩⎨⎧+=+=θθsin cos t b y t a x （t 为参数）所表示的曲线上有B 、C 两点，它们对应的参数值分别为t 1、t 2，则线段BC 的中点M 对应的参数值是（ ）4、曲线的参数方程为⎩⎨⎧-=+=12322t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ） A 、线段 B 、双曲线的一支 C 、圆 D 、射线 5、实数x 、y 满足3x 2＋2y 2=6x ，则x 2＋y 2的最大值为（ ）A 、27 B 、4 C 、29D 、5二、填空题（每小题5分，共30分）1、点()22-，的极坐标为 。
2、若A 33，π⎛⎝ ⎫⎭⎪，B ⎪⎭⎫ ⎝⎛-64π，，则|AB|=___________，S AOB ∆=___________。
（其中O 是极点）3、极点到直线()cos sin ρθθ+=________ _____。
4、极坐标方程2sin 2cos 0ρθθ-⋅=表示的曲线是_______ _____。
5、圆锥曲线()为参数θθθ⎩⎨⎧==sec 3tan 2y x 的准线方程是 。
6、直线l 过点()5,10M ，倾斜角是3π，且与直线032=--y x 交于M ，则0MM 的长为 。
三、解答题（第1题14分，第2题16分，第3题15分；共45分）1、求圆心为C 36，π⎛⎝ ⎫⎭⎪，半径为3的圆的极坐标方程。
2、已知直线l 经过点P(1,1),倾斜角6πα=，（1）写出直线l 的参数方程。
高考复习极坐标与参数方程41道习题及答案
极坐标与参数方程单元练习一、选择题1、已知点M 的极坐标为⎪⎭⎫⎝⎛35π，，下列所给出的四个坐标中能表示点M 的坐标是（ D ）。
A. 53，-⎛⎝ ⎫⎭⎪πB. 543，π⎛⎝ ⎫⎭⎪C. 523，-⎛⎝ ⎫⎭⎪πD. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-355π，2、直线：3x-4y-9=0与圆：⎩⎨⎧==θθsin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是( D )A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心3、在参数方程⎩⎨⎧+=+=θθsin cos t b y t a x （t 为参数）所表示的曲线上有B 、C 两点，它们对应的参数值分别为t 1、t 2，则线段BC 的中点M 对应的参数值是（t1+t2/2)4、曲线的参数方程为⎩⎨⎧-=+=12322t y t x (t 是参数)，则曲线是（ D ） A 、线段 B 、双曲线的一支 C 、圆 D 、射线5、实数x 、y 满足3x 2＋2y 2=6x ，则x 2＋y 2的最大值为（ B ）A 、27 B 、4 C 、29D 、5 二、填空题1、点()22-，的极坐标为 ( 2 √ 2、若A 33，π⎛⎝ ⎫⎭⎪，B ⎪⎭⎫ ⎝⎛-64π，，则|AB|=______5_____，S AOB ∆=____6_______。
（其中O 是极点）3、极点到直线()cos sin ρθθ+=________ _____。
4、极坐标方程2sin 2cos 0ρθθ-⋅=表示的曲线是_______ _____。
5、直线l 过点()5,10M ，倾斜角是3π，且与直线032=--y x 交于M ，则0MM 的长为 。
6.已知点P 的极坐标是（1，π），则过点P 且垂直极轴的直线极坐标方程是 . 7.在极坐标系中，曲线)3sin(4πθρ-=一条对称轴的极坐标方程 .8.在极坐标中，若过点(3，0)且与极轴垂直的直线交曲线θρcos 4=于A 、B 两点.则|AB|= . 9.已知三点A(5，2π)，B(-8，π611)，C(3，π67)，则ΔABC 形状为 . 10.已知某圆的极坐标方程为：ρ2–42ρcon(θ-π/4)+6=0则：①圆的普通方程 ；②参数方程 ；③圆上所有点（x,y ）中xy 的最大值和最小值分别为 、 .11.直线：3x-4y-9=0与圆：⎩⎨⎧==θθsin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是 .12.经过点M 0(1，5)且倾斜角为3π的直线，以定点M 0到动 点P 的位移t 为参数的参数方程是 . 且与直线032=--y x 交于M ,则0MM 的长为 .13.参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-=+=21y t t x (t 为参数)所表示的图形是 .14.方程⎩⎨⎧-=+=12322t y t x (t 是参数)的普通方程是 .与x 轴交点的直角坐标是 15.画出参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-==1112t t y t x （t 为参数）所表示的曲线. 16.已知动园：),,(0sin 2cos 222是参数是正常数θθb b a by ax y x ≠=--+，则圆心的轨迹是 . 17.已知过曲线()⎩⎨⎧≤≤==πθθθθ0sin 4cos 3，y x 为参数上一点P ，原点为O ，直线PO 的倾斜角为4π，则P 点坐标是 . 18.直线221x ty t=+⎧⎨=-+⎩ (t 为参数)上对应t=0, t=1两点间的距离是 .19.直线03sin 201cos 20x t y t ⎧=+⎨=-+⎩(t 为参数)的倾斜角是 . 20.设0>r ,那么直线()是常数θθθr y x =+sin cos 与圆()是参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==sin cos r y r x 的位置关系是 . 21.直线()为参数t ty tx ⎩⎨⎧+=--=2322上与点()32，P -距离等于2的点的坐标是 .22.过抛物线y 2=4x 的焦点作倾斜角为的弦，若弦长不超过8，则的取值范围是____.23.若动点(x ,y )在曲线14222=+by x (b >0)上变化，则x 2 + 2y 的最大值为 .三、解答题1、求圆心为C 36，π⎛⎝ ⎫⎭⎪，半径为3的圆的极坐标方程。
极坐标与参数方程经典30题
专题14坐标系与参数方程一、解答题1．（2019·安徽高考模拟（文））在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（其中为参数）.以坐标原点为原点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（I）写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（II）设点，分别在曲线，上运动，若，两点间距离的最小值为，求实数的值.【答案】（I），；（II）或.【解析】（I）曲线；曲线的极坐标方程为，即，将，代入，得（II）因为曲线的半径，若点，分别在曲线，上运动，，两点间距离的最小值为，即圆的圆心到直线的距离，，解得或.2．（2019·江西高考模拟（文））已知平面直角坐标系，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线过点，且倾斜角为，圆C的极坐标方程为.（1）求圆C的普通方程和直线的参数方程；（2）设直线与圆C交于M、N两点，求的值.【答案】（1）圆的方程：，直线的参数方程为（为参数）（2）【解析】（1）圆的方程：，直线的参数方程为（为参数）（2）将直线的参数方程代入圆的方程，得：3．（2019·辽宁高考模拟（文））选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求圆的极坐标方程；（2）已知射线，若与圆交于点（异于点），与直线交于点，求的最大值.【答案】（1）；（2）3【解析】（1）由圆的参数方程为消去参数，得到圆的普通方程为，即，所以其极坐标方程为，即；（2）由题意，将代入圆的极坐标方程得；将代入线的极坐标方程，得，所以，因为，所以，因此，当，即时，取得最大值3.4．（2019·湖北高考模拟（理））选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的普通方程是，曲线的参数方程是（为参数）。
在以为极点，轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线的极坐标方程是。
（1）求直线及曲线的极坐标方程；（2）已知直线与曲线交于两点，直线与曲线交于两点，求的最大值。
极坐标与参数方程练习(含答案)
极坐标与参数方程练习1.把点P 的直角坐标(—6，2)化为极坐标为________．5)6π 2．已知点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，2π3，则它的直角坐标是________．(－1，3) 3．极坐标为⎝⎛⎭⎫32，π的点M 的直角坐标是________．⎝⎛⎭⎫－32，0 4．曲线的极坐标方程ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为________．x 2＋(y －2)2＝45．极坐标方程ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝4化为直角坐标系方程是________80y +-= 6．极坐标系中，曲线ρ＝－4sin θ和ρcos θ＝1相交于点A ，B ，则||AB ＝_____________.2 37．在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的圆心的极坐标是______，(1,0)8．已知圆的极坐标方程为ρ＝2cos θ，则圆心的直角坐标是_____；半径长为________．(1,0) 19．若直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22，与直线3x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝____________.－3 10．在极坐标系中，点()1，0到直线ρ()cos θ＋sin θ＝2的距离为________．2211．极坐标系中，圆ρ2＋2ρcos θ－3＝0上的动点到直线ρcos θ＋ρsin θ－7＝0的距离的最大值是________．42＋212．已知圆的极坐标方程ρ＝2cos θ，直线的极坐标方程为ρcos θ－2ρsin θ＋7＝0，则圆心到直线距离为__________．85513．在极坐标系中，点A ⎝⎛⎭⎫1，π4到直线ρsin θ＝－2的距离是________．．2＋2214．在极坐标系中，过点A ⎝⎛⎭⎫4，－π2引圆ρ＝4sin θ的一条切线，则切线长为______． 15．参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3cos φy ＝2sin φ (φ为参数)化为 普通方程为________ 22194x y +=16．在直角坐标系中圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2cos θy ＝2＋2sin θ(θ为参数)，则圆C 的普通方程为________，x 2＋(y －2)2＝417．已知圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝cos θ＋1y ＝sin θ，(θ为参数)，则点P ()4，4与圆C 上的点的最远距离是_________．618．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t y ＝1－t (t 为参数)被圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝25所截得的弦长为________．.82 19．若直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1－2t ，y ＝2＋kt (t 为参数)与直线l 2：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝s ，y ＝1－2s (s 为参数)垂直，则k ＝________.-1 20．若直线3x ＋4y ＋m ＝0与圆⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋cos θy ＝－2＋sin θ (θ为参数)没有公共点，则实数m 的取值范围是________________ (－∞，0)∪(10，＋∞)。
极坐标参数方程15道典型题(有答案)
联立方程解得交点坐标为 ………5分
（2）由（1）知： ， 所以直线 ： ，
化参数方程为普通方程： ，
对比系数得： ， ………10分
2.极坐标系与直角坐标系 有相同的长度单位，以原点 为极点，以 轴正半轴为极轴，曲线 的极坐标方程为 ，曲线 的参数方程为 ，（ 是参数， 是常数）
（1）求 的直角坐标方程和 的普通方程；
【解答】解：（I）设P（x，y），则由条件知M（ ， ）．由于M点在C1上，
所以 即
从而C2的参数方程为
（α为参数）
（Ⅱ）曲线C1的极坐标方程为ρ=4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ=8sinθ．
射线θ= 与C1的交点A的极径为ρ1=4sin ，
射线θ= 与C2的交点B的极径为ρ2=8sin ．
所以|AB|=|ρ2﹣ρ1|= ．
（Ⅱ）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．
解：(1)将极坐标方程ρcos ＝1化为：
ρcosθ＋ ρsinθ＝1.
则其直角坐标方程为： x＋ y＝1，M(2,0)，N(0， )，其极坐标为M(2,0)，N .
(2)由(1)知MN的中点P .
直线OP的直角坐标方程为y＝ x，化为极方程为：ρsinθ＝ ·ρcosθ.
（Ⅱ）设P(2cosθ， sinθ),则|AP|＝ ＝2－cosθ，
P到直线l的距离d＝ ＝ ．
由|AP|＝d得3sinθ－4cosθ＝5，又sin2θ＋cos2θ＝1，得sinθ＝ ， cosθ＝－ ．
故P(－ ， )．…10分
4..在极坐标系Ox中，直线C1的极坐标方程为ρsinθ＝2，M是C1上任意一点，点P在射线OM上，且满足|OP|·|OM|＝4，记点P的轨迹为C2．
极坐标与参数方程测试题(有详解答案)
极坐标与参数方程测试题(有详解答案) 极坐标与参数方程测试题1.直线y=2x+1的参数方程是（）A、x=2t-1，y=4t+1（t为参数）B、x=t^2，y=2t+1（t为参数）C、x=sinθ，y=2t-1D、x=t-1，y=2sinθ+1（θ为参数）2.已知实数x,y满足x^3+cosx-2=π，8y^3-cos2y+2=π，则x+2y=（）A。
π/2B。
πC。
-π/2D。
-π3.已知M(-5,3)，下列所给出的不能表示点的坐标的是()A、(5,-3)B、(5,4π/3)C、(5,-2π/3)D、(-5,-5π/4)4.极坐标系中，下列各点与点P(ρ,θ)（θ≠kπ，k∈Z）关于极轴所在直线对称的是（）A。
(-ρ,θ)B。
(-ρ,-θ)C。
(ρ,2π-θ)D。
(ρ,2π+θ)5.点P1,-3，则它的极坐标是A、(2,π/3)B、(2,4π/3)C、(2,-π/3)D、(2,-4π/3)6.直角坐标系xoy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建极坐标系，设点A,B分别在曲线C1：(x=3+cosθ。
y=sinθ)（θ为参数）和曲线C2：ρ=1上，则AB的最小值为( ) A。
1B。
2C。
3D。
47.参数方程为x=t+1.y=2(t为参数)表示的曲线是（）A．一条直线B．两条直线C．一条射线D．两条射线8.若直线{t为参数}与直线4x+ky=1垂直，则常数k=（）A。
-6B。
-1/11C。
6D。
119.极坐标方程ρ=4cosθ化为直角坐标方程是()A。
(x-2)+y=4B。
x+y=4C。
x+(y-2)=4D。
(x-1)+(y-1)=410.柱坐标（2，2π/3，1）对应的点的直角坐标是（）A。
(-1,3,1)B。
(1,-3,1)C。
(3,-1,1)D。
(-3,1,1)11.已知二面角$\alpha-\ell-\beta$的平面角为$\theta$，点$P$为空间一点，作$PA\perp\alpha$，$PB\perp\beta$，$A$，$B$为垂足，且$PA=4$，$PB=5$，设点$A$、$B$到二面角$\alpha-\ell-\beta$的棱$\ell$的距离分别为$x$、$y$。
极坐标与参数方程综合练习(三套带答案)
极坐标与参数方程综合练习（一）1、圆5cos ρθθ=-的圆心是( )A.45,3π⎛⎫--⎪⎝⎭ B.5,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭ C.5,3π⎛⎫⎪⎝⎭D.55,3π⎛⎫-⎪⎝⎭答案：A解析：5 cos ρθθ=-两边同乘以,ρ得25 5 ,cos sin ρρθρθ=-即2250x y x +-+=,故圆心的直角坐标为5(,2,半径为5,结合该点的位置知该点的一个极坐标是4(5,)3π-. 2、已知曲线C 的极坐标方程为6sin ρθ=,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为轴正半轴,直线l的参数方程为1{2x y t=-= (t 为参数),则直线l 与曲线C x 相交所得弦长为( )A.1 B.2 C.3 D.4 答案：D解析：曲线C 的直角坐标方程为2260x y y +-=,即()2239,x y +-=直线1{2x y t=-=的直角坐标方程为210,x y -+=∵圆心C 到直线l的距离d ==∴直线l 与圆C相交所得弦长为 4.== 3、极坐标方程) 2cos R θρ=∈表示的曲线是( ) A.两条相交直线 B.两条射线 C.一条直线 D.一条射线答案：A解析：由 2cos θ=6πθ=或116θπ=,又R ρ∈,故为两条过极点的直线.4过点且斜率为的直线的参数方程为( )A.(为参数)B.(为参数)C.(为参数)D.(为参数)答案： A解析： 因为倾斜角满足所以所以所求参数方程为(为参数).5、在极坐标系中,点关于直线1cos ρθ=(2,)2π的对称点的极坐标为________.答案：)4π解析：结合图形不难知道点(2,)2π关于直线1cos ρθ=的对称点的极坐标为)4π.6、直线2{1x t y t =+=-- (t 为参数)与曲线3cos {3sin x y αα== (α为参数)的交点个数为__________. 答案：2解析：直线方程可化为10x y +-=, 曲线方程可化为229x y +=,故圆心(0,0),半径3r =,∵圆心到直线10x y +-=的距离3d ==<, ∴直线与圆有2个交点.7、在直角坐标xOy 中,圆221:4C x y +=,圆()222:24C x y -+=.1.在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆12,C C 的极坐标方程,并求出圆12,C C 的交点坐标(用极坐标表示);2.求圆1C 与2C 的公共弦的参数方程.答案：1.由222cos ,{sin ,x y x y ρθρθρ==+=圆1C 的极坐标方程为2ρ=, 圆2C 的极坐标方程为4cos ρθ=.解2,{4cos ρρθ==得2ρ=,3πθ=±,故圆1C 与圆2C 交点的坐标为2,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭,2,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭.注:极坐标系下点的表示不唯一. 2.方法一:由cos ,{sin x y ρθρθ==得圆1C 与圆2C交点的直角坐标分别为(,(1,.故圆1C 与圆2C的公共弦的参数方程为(1,{x t y t=≤≤= . (或参数方程写成1,{,x y y y =≤≤=方法二:将1x =代入cos ,{sin ,x y ρθρθ==得cos 1ρθ=,从而1cos ρθ=. 于是圆1C 与圆2C 的公共弦的参数方程为1,{tan 33x y ππθθ=⎛⎫-≤≤ ⎪=⎝⎭. 解析：8、在平面直角坐标系xOy 中,求过椭圆5cos {3sin x y ϕϕ== (ϕ为参数)的右焦点,且与直线42{3x ty t=-=- (t 为参数)平行的直线的普通方程.答案：由题设知,椭圆的长半轴长5a =,短半轴长3b =,从而4c ==, 所以右焦点为()4,0?.将已知直线的参数方程化为普通方程220x y -+=. 故所求直线的斜率为12, 因此其方程为()14?2y x =-, 即240x y --=.极坐标与参数方程综合练习（二）1、在极坐标系中,过点()1,0并且与极轴垂直的直线方程是( ) A.cos ρθ= B.sin ρθ= C.cos 1ρθ= D.sin 1ρθ= 答案：C解析：在直角坐标系中,过点()1,0并且与极轴垂直的直线方程是1x =, 其极坐标方程为cos 1ρθ= , 故选 C.点评:本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化,求出直角坐标系中直线的方程是解题的关键.2、参数方程()()cossin,22{0211sin 2x y θθθπθ=+<<=+表示()A.双曲线的一支,这支过点11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.过点11,2⎛⎫⎪⎝⎭的抛物线C.双曲线的一支,这支过点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D.过点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的抛物线答案：B解析：因为cossin 22x θθ=+,所以21sin x θ=+,因为()11sin 2y θ=+,所以212y x =,即22x y =,是抛物线.当1x =时,12y =,故抛物线过点11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.3、已知圆A :221x y +=在伸缩变换'2,{'3x x y y==的作用下变成曲线C ,则曲线C 的方程为( )A.22149x y += B.22194x y += C.22123x y += D.22132x y += 答案：A解析：由题意得1',2{1',3x x y y ==代入圆的方程得22''149x y +=,即双曲线C 的方程为22149x y +=. 4、在平面直线坐标系xOy 中,点P的直角坐标为(1,,若以原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则点P 的极坐标可以是( )A.1,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭ B.42,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.2,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭ D.42,3π⎛⎫-⎪⎝⎭答案：C解析：∵在直角坐标系xOy 中,点P 位于第四项限,2ρ==,tan θ=P 的极坐标可以是2,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭.5、圆2cos ,{2sin 2x y θθ==+的圆心坐标是( )A.(0,2)B.(2,0)C.(0,-2)D.(-2,0) 答案：A解析：本题考查参数方程与普通方程的互化.消去参数θ,得圆的方程为()2224x y +-=,所以圆心坐标为()0,2.6、极坐标方程) cos R θρ=∈表示的曲线是( ) A.两条相交直线 B.两条射线 C.一条直线 D.一条射线 答案：A解析：由 cos θ=6πθ=或116θπ=,又R ρ∈,故为两条过极点的直线.7、已知直线l 的参数方程为2{4x a ty t=-=- (t 为参数),圆C 的参数方程为4cos ,{4sin x y θθ== (θ为参数).若直线l 与圆C 有公共点,则实数a 的取值范围是__________.答案：⎡-⎣解析：易知直线l 的普通方程为220x y a --=,圆C 的普通方程为2224x y +=,由题意知圆C 的圆心到直线l 的距离4d =≤,解得a -≤≤.8、在极坐标系中,直线cos sin 10ρθθ-=与圆2cos ρθ=交于,?A B 两点,则AB =__________。
极坐标与参数方程(经典39题)(整理版)
( Ⅱ ) 设圆 C 与直线 l 交于点 A ， B ．若点 P 的坐标为 (3 ， 5 ) ，求 PA PB 与
PA PB ．
32．已知 A,B 两点是椭圆 x 2 y 2 1 与坐标轴正半轴的两个交点 . 94
(1) 设 y 2sin , 为参数，求椭圆的参数方程；
(2) 在第一象限的椭圆弧上求一点 P，使四边形 OAPB的面积最大，并求此最大值 .
标；
（Ⅱ） 点 M （ x0 ，y0 ）在 e O1 上运动， 点 P (x, y) 是线段 AM 的中点， 求点 P 运
动轨迹的直角坐标方程．
x 3cos
15．已知曲线 C :
，直线 l : (cos
y 2sin
2sin ) 12 ．
（ 1）将直线 l 的极坐标方程化为直角坐标方程； （ 2）设点 P 在曲线 C 上，求 P 点到直线 l 距离的最小值．
2．在极坐标系中，曲线 L : sin 2 2cos ，过点 A（ 5 ， ）（ 为锐角且
3
tan
）作平行于
4
( Ⅰ ) 以极点为原点，极轴为
( R) 的直线 l ，且 l 与曲线 L 分别交于 B， C两点 . 4
x 轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直
角坐标系，写出曲线 L 和直线 l 的普通方程；
（ 2）若把 C1，C2 上各点的纵坐标都拉伸为原来的两倍， 分别得到曲线 C1， C2 ．写
出 C1， C2 的参数方程． C1 与 C2 公共点的个数和
同？说明你的理由．
C1 与 C2 公共点的个数是否相
28．已知圆的方程为 y2 6 y sin x2 8x cos 7cos 2 8 0 求圆心轨迹 C 的参数方程 ; 点 P(x, y) 是（ 1）中曲线 C上的动点，求 2x y 的取值
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第八讲 极坐标系与参数方程◆ 知识梳理 一、极坐标1、极坐标定义：M 是平面上一点，ρ表示OM 的长度，θ是M Ox ∠，则有序实数实数对(,)ρθ,ρ叫极径，θ叫极角；一般地，[0,2)θπ∈，0ρ≥。
2、极坐标和直角坐标互化公式：cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩ 或222tan (0)x y y x x ρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪⎩，θ的象限由点(x,y)所在象限确定.二、常见曲线的极坐标方程 1、圆的极坐标方程（1）圆心在极点，半径为R 的圆的极坐标方程是 ；（2）圆心在极轴上的点)0,(a 处，且过极点O 的圆的极坐标方程是 ； （3）圆心在点)2,(πa 处且过极点的圆O 的极坐标方程是 。
2、直线的极坐标方程（1）过极点且极角为k 的直线的极坐标方程是 ；（2）过点)0,(a ，且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 ； （3）过点)0)(0,(>aa ，且与极轴所成的角为α的直线的极坐标方程是 ；（4）过点),(11θρ，且与极轴所成的角为α的直线的极坐标方程是 。
三、常见曲线的参数方程直线圆椭圆双曲线抛物线过点),(00y x ，倾斜角为α 圆心在点),(00y x ，半径为R 中心在原点，长、短轴分别为b a 22、中心在原点，长、短轴分别为b a 22、)0(22>=p px y◆ 随堂练习第一部分：极坐标系 1、点M 的直角坐标是(1,3)-，则点M 的极坐标为（ ）A ．(2,)3πB ．(2,)3π-C ．2(2,)3πD ．(2,2),()3k k Z ππ+∈ 2、极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（ ）A ．一条射线和一个圆 B ．两条直线 C ．一条直线和一个圆 D ．一个3、在极坐标系中，直线24sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πθρ被圆4=ρ截得的弦长为__ . 4、设A （2，32π），B （3，3π）是极坐标系上两点，则|AB|= _.5、 已知某圆锥曲线C 的极坐标方程是22225916cos ρθ=+，则曲线C 的离心率为（ ） A ．45B ．53C ．35D ．456、 在极坐标系中，已知曲线)3,1(.cos 4:)3cos(:21-∈==+m C m C 若和θρπθρ，则曲线C 1与C 2的位置关系是A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定7、以坐标原点为极点，横轴的正半轴为极轴的极坐标系下，有曲线C ：4cos ρθ=，过极点的直线θϕ=（R ϕ∈且ϕ是参数）交曲线C 于两点0，A ，令OA 的中点为M.（1）求点M 在此极坐标下的轨迹方程（极坐标形式）.（2）当53πϕ=时，求M 点的直角坐标.8、已知直线l k k C l若直线和圆),0)(4cos(2:4)4sin(:≠+⋅==-πθρπθρ上的点到圆C 上的点的最小距离等于2。
（I ）求圆心C 的直角坐标；（II ）求实数k 的值。
◆ 高考链接1、（2011安徽）在极坐标系中，点θρπcos 2)3,2(=到圆的圆心的距离为（ ）（A ）2 （B ）942π+（C ）912π+（D ）32、（2011北京）在极坐标系中，圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标是（ ）A ．(1,)2π B ．(1,)2π- C ． (1,0)D ．(1，π)3、（2011江西）（坐标系与参数方程选做题）若曲线的极坐标方程为=2sin 4cos ,ρθθ+以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为 。
4、（2010北京）极坐标方程)0(0))(1(≥=--ρπθρ表示的图形是（ ）A 、两个圆B 、两条直线C 、一个圆和一条射线D 、一条直线和一条射线5、（2010广东）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系)20)(,(πθθρ<≤中，曲线1cos sin 2-==θρθρ与的交点的极坐标为 。
6、（2010江苏）在极坐标系中，已知圆0sin 4cos 3cos 2=++=a θρθρθρ与直线相切，且实数a 的值。
第二部分：参数方程1、设直线1l 的参数方程为113x ty t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），直线2l 的方程为y=3x+4则1l 与2l 的距离为_______。
2、若直线112,:()2.x t l t y kt =-⎧⎨=+⎩为参数与直线2,:12.x s l y s =⎧⎨=-⎩（s 为参数）垂直，则k = ． 3、以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的极坐标方程为)(4R ∈=ρπθ，它与曲线⎩⎨⎧+=+=ααsin 22cos 21y x ，（α为参数）相交于两点A 和B ，则|AB|=________4、直线,t y t x ⎩⎨⎧--=+-=3142（t 为参数），被圆⎩⎨⎧+=+=θθsin y cos x 5152，（θ为参数）所截得的弦长为 。
5、设曲线C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），若以原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为__________________．6、已知曲线C 的极坐标方程是θρsin 2=，设直线l 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=t y t x 54253（t 为参数）。
（1）将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程； （2）设直线l 与x 轴的交点是M ，N 为曲线C 上一动点，求|MN|的最大值。
7、设P （ x ，y ）是曲线C ：⎩⎨⎧=+-=θθsin ,cos 2y x （θ为参数，0≤θ<2π）上任意一点，（1）将曲线化为普通方程;（2）求xy 的取值范围.8、 已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos 2y x ，曲线C 2的极坐标方程为.2)4cos(=-πθρ（1）将曲线C 1和C 2化为普通方程；（2）设C 1和C 2的交点分别为A ，B ，求线段AB 的中垂线的参数方程。
◆ 高考链接1、（2010湖南）极坐标方程θρcos =和参数方程)(321为参数t ty tx ⎩⎨⎧+=--=所表示的图形分别是（ ）A 、圆、直线B 、直线、圆C 、圆、圆D 、直线、直线 2、（2011陕西）（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系xoy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线13cos :4sin x C y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）和曲线2:1C ρ=上， 则AB的最小值为 。
3、（2011广东）（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为)0(sin cos 5πθθθ<≤⎩⎨⎧==y x 和)(452R t ty t x ∈⎪⎩⎪⎨⎧==，它们的交点坐标为___________．4、（2009广东卷理）（坐标系与参数方程选做题）若直线)(221:1为参数t kt y t x l ⎩⎨⎧+=-=与直线)(21:2为参数s s y sx l ⎩⎨⎧-==垂直，则=k ．5、5、（2009江苏）已知曲线C 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=)1(31t t y tt x （为参数，），求曲线C 的普通方程。
6、（2011全国新课标）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为)(sin 2cos 2为参数ααα⎩⎨⎧+==y y x ，M 为1C 上的动点，P 点满足2OP OM = ，点P 的轨迹为曲线2C ．（I ）求2C 的方程；（II ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，求|AB|.7、（2011福建）在直接坐标系xOy 中，直线l 的方程为x-y+4=0，曲线C 的参数方程为)(sin cos 3为参数ααα⎩⎨⎧==y x 。
（I ）已知在极坐标（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，点P 的极坐标为（4，2π），判断点P 与直线l 的位置关系；（II ）设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．8、（2010辽宁）已知P 为半圆C ：⎩⎨⎧==θθsin cos y x （θ为参数，πθ≤≤0）上的点，点A 的坐标为（1,0），O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧的长度均为3π。
（I ）以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标；（II ）求直线AM 的参数方程。