枣庄市薛城区舜耕中学高一数学选修1—1导学案(教师版)3.1.3导数的几何意义

舜耕中学高一数学选修1—1导学案(教师版) 编号：17 等级：
一。

【复习回顾】
二。

【创设情境】
（一）.平均变化率、割线的斜率
（二）。

瞬时速度、导数
我们知道,导数表示函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率,反映了函数)(x f y =在0x x =附近的变化情况,导数0()f x '的几何意义是什么呢？ 三、【新课讲授】
1.曲线的切线及切线的斜率
如图 3.1-2,当(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时,割线n PP 的变化趋势是什么？
图3.1-2
我们发现,当点n P 沿着曲线无限接近点P 即0→∆x 时,割线n PP 趋近于确定的位置, 这个确定位置的直线PT 称为曲线在点P 处的切线.
问题: (1)割线n PP 的斜率n k 与切线PT 的斜率k 有什么关系？ (2)切线PT 的斜率k 为多少？
容易知道,割线n PP 的斜率是00
()()
n n n f x f x k x x -=
-,当点n P 沿着曲线无限接近点P 时,
n k 无限趋近于切线PT 的斜率k ,即0000()()
lim ()x f x x f x k f x x
∆→+∆-'==∆
说明: (1)设切线的倾斜角为α,
那么当0→∆x 时,割线PQ 的斜率,称为曲线在点P 处的切线的斜率.
这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质—函数在0x x =处的导数. (2)曲线在某点处的切线: 1)与该点的位置有关;
2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的; 如不存在,则在此点处无切线;
3)曲线切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多. 2.导数的几何意义
函数)(x f y =在0x x =处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率, 即0000
()()
()lim
x f x x f x f x k x
∆→+∆-'==∆
说明: 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出P 点的坐标;
②求出函数在点0x 处的变化率0000
()()
()lim
x f x x f x f x k x
∆→+∆-'==∆得到曲线在点
00(,())x f x 的切线的斜率;
③利用点斜式求切线方程.
3.导函数
由函数)(x f y =在0x x =处求导数的过程可以看到,当0x x =时,0()f x '是一个 确定的数,那么,当x 变化时,便是x 的一个函数,我们叫它为)(x f 的导函数. 记作:()f x '或y ',即0
()()
()lim
x f x x f x f x y x
∆→+∆-''==∆.
注: 在不致发生混淆时,导函数也简称导数.
4.函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '、导函数()f x '、导数之间的区别与联系
(1)函数在一点处的导数0()f x ',就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的 极限,它是一个常数,不是变数.
(2)函数的导数,是指某一区间内任意点x 而言的,就是函数)(x f 的导函数.
(3)函数()f x 在点0x 处的导数'
0()f x 就是导函数()f x '在0x x =处的函数值,这也是
求函数在点0x 处的导数的方法之一.
四。

【例题精析】
例1 (1)求曲线1)(2
+==x x f y 在点)2,1(P 处的切线方程.
(2)求函数2
3x y =在点(1,3)处的导数.
解: (1)222
100[(1)1](11)2|lim
lim 2x x x x x x y x x
=∆→∆→+∆+-+∆+∆'===∆∆ 所以,所求切线的斜率为2
因此,所求的切线方程为22(1)y x -=-即20x y -=
(2)因为222211113313(1)
|lim
lim lim3(1)611
x x x x x x y x x x =→→→-⋅-'===+=-- 所以,所求切线的斜率为6,
因此,所求的切线方程为36(1)y x -=-即630x y --=
例2 如图3.1-3,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数2
() 4.9 6.510h x x x =-++, 根据图像,请描述、比较曲线()h t 在0t 、1t 、2t 附近的变化情况. 解: 我们用曲线()h t 在0t 、1t 、2t 处的切线,
刻画曲线()h t 在上述三个时刻附近的变化情况. (1) 当0t t =时,曲线()h t 在0t 处的切线0l 平行于x 轴, 所以,在0t t =附近曲线比较平坦,几乎没有升降. (2)当1t t =时,曲线()h t 在1t 处的切线1l 的斜率1()0h t '<, 所以,在1t t =附近曲线下降,
即函数2
() 4.9 6.510h x x x =-++在1t t =附近单调递减. (3)当2t t =时,曲线()h t 在2t 处的切线2l 的斜率2()0h t '<, 所以,在2t t =附近曲线下降,
即函数2() 4.9 6.510h x x x =-++在2t t =附近单调递减． 从图3.1-3可以看出,直线1l 的倾斜程度小于直线2l 的倾斜程度, 这说明曲线在1t 附近比在2t 附近下降的缓慢.
例3 如图3.1-4,它表示人体血管中药物浓度()c f t =(单位:/mg mL )随时间t (单位:min ) 变化的图象.根据图像,估计0.2,0.4,0.6,0.8t =时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1).
解: 血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率,就是药物浓度()f t 在此时刻的导数,
从图像上看,它表示曲线()f t 在此点处的切线的斜率.
如图3.1-4,画出曲线上某点处的切线,利用网格估计这条切线的斜率,
可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值.
作0.8t =处的切线,并在切线上去两点,如(0.7,0.91),(1.0,0.48), 则它的斜率为0.480.91
1.41.00.7
k -=
≈--,所以(0.8) 1.4f '≈-
五。

课堂练习
1.求曲线3
)(x x f y ==在点(1,1)处的切线. 2.求曲线y =
(4,2)处的切线.
六。

【课堂小结】
1.曲线的切线及切线的斜率.
2.导数的几何意义. 七。

【书面作业】 八。

【板书设计】
九。

【教后记】 1. 2.。