纠错码课件4
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《纠错码概述》课件
03
常见的纠错码技术
奇偶校验码
总结词
简单但可靠性较低
详细描述
奇偶校验码是一种简单的错误检测和纠正方法，通过在数据中添加校验位，使得整个数据（包括校验位）中1的 个数为偶数（偶校验）或奇数（奇校验）。这种方法简单易行，但只能检测到一位错误，且无法纠正错误。
海明码
总结词
具有中等可靠性和实现复杂度
详细描述
词
度。
优化解码算法，降低其
详 细
计算复杂度和实现难度
描
，提高解码速度。
述
在解码过程中，采用多 径传播抑制技术，减少 多径干扰对解码的影响
。
1. 降低 复杂
度
解码算法的优化主要包 括以下几个方面
2. 改进 迭代 算法
通过改进迭代算法的收 敛速度和稳定性，提高
解码准确率。
3. 多径 传播 抑制
硬件实现优化
常见的纠错码编码方式有奇偶校验、 海明码、循环冗余校验（CRC）等。
纠错码的解码原理
纠错码解码是在接收端收到编码数据后，根据预先设定的解码算法，对接收到的 数据进行解码，以检测和纠正传输过程中产生的错误。
解码算法通常基于一定的数学原理，如代数、概率统计等，通过特定的计算方法 实现错误检测和纠正。
纠错码的性能指标
软件实现方式
通用软件实现
使用通用的编程语言（如C、C、Python等 ）来实现纠错码的编码和解码过程。这种方 式具有较低的成本和较好的跨平台性，适用 于对成本和灵活性要求较高的场景。
专用软件实现
针对特定的纠错码算法，使用专用的软件库 或工具来实现编码和解码过程。这种方式具 有较高的性能和效率，适用于对性能要求较
纠错能力
编码效率
第九章_纠错编码
差错控制
●差错控制系统
■前向纠错方式( FEC)：发送端发送具有纠错功能的码 , 接 收端收到这些码后，通过译码器不仅能发现错误 , 而且能 自行纠正错误。
FEC 发送
可以纠正错误的码
接收
■重传反馈方式( ARQ)：发送端发送具有检错功能的码 , 接 收端收到这些码后，译码器对发送的码进行判决 ,接收端将 判决的结果通过反馈信道告诉发送端 , 发送端将接收端认 为有错的消息再次发送 , 直到接收端认为正确为止 .
近世代数学初步
● 群的概念 ■定义1：G是一个非空集合，*是G中的一个代数运算，若 ◆1、封闭性：a , b∈G , 有 a * b ∈G ； ◆2、结合律：a , b , c∈G , 有(a * b) * c = a * ( b * c )； ◆3、存在单位元素 e∈G , a∈ G , 有 e * a = a * e = a ； ◆4、a∈G , 存在逆元素 a-1∈G , 有a-1 * a = a-1 * a = e； ◆5、交换律：a , b∈G , 有 a * b = b * a。 ■如果这种运算 * 满足： ◆条件1, 2, 3, 4则 G 称对代数运算为一个群，或称G为一 个非交换群； ◆条件 1, 2, 3, 4 , 5则称G为一个交换群或Abel群。
基本概念
● 例：试构造 (5 , 2) 线性分组码 , 且dmin = 3 信息组 m： 00 01 10 11 00000 00001 00010 00011 00100 00101 00110 00111 01000 01001 01010 01011 01100 01101 01110 01111 10000 10001 10010 10011 10100 10101 10110 10111 11000 11001 11010 11011 11100 11101 11110 11111 1组 2组 3组 4组 5组 6组 7组 8组 9组 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 01011 01011 01011 01101 01101 01101 01110 01110 01110 10101 10110 10111 10011 10110 10111 10011 10101 10111 11110 11101 11100 11110 11011 11010 11101 11001 11001
用于单向信道的简单纠错码.ppt
元
编
例如 将信息序列 10110100 逐位重复 3 次，
码
即得编码序列：111 000 111 111 000 111 000 000 .
注 (1) 逐位重复码可以抗独立错误。 (2) 重复次数一般取奇数。
2
§4.3 用于单向信道的简单纠错码
第 一、简单重复码
四 章
最简单的纠正错误方法，就是将信息多次重复传输。
干
信息元
码字
扰
二
5
元 生成方法 (2) 奇一致监督 x5 j xi 1, j 1, 2, 3, 4, 5.
编
i 1 i j
码
例如 10100 10100 01011 ; (反重复)
10110 10110 10 110 . (正重复)
注 下面提到的正反码均采用偶一致监督。
6
§4.3 用于单向信道的简单纠错码
注 分段重复码可以抗突发错误。
简单重复码的纠错能力强，但编码效率低。 3
§4.3 用于单向信道的简单纠错码
第 二、正反码
四 章
正反码最初由马可尼电报公司提出，并应用于前向纠错
设备中，称为自动单路纠错系统。
抗
(马可尼)
干 1. 构成原理与生成方法
扰
二 构成原理 正反码是将每 5 位信息元按一定的监督关系扩充为
§4.3 用于单向信道的简单纠错码
第 四
§4.3
用于单向信道的简单纠错码
章
一、简单重复码
抗 干
二、正反码
扰
二
元
编
码
1
§4.3 用于单向信道的简单纠错码
第 一、简单重复码
四 章
纠错码课件-循 环 码 (IV)
w(Si (x)) ≤ t
其中w(Si (x))是伴随式 i (x)的重量 是伴随式S 其中 是伴随式 的重量 (R(x), S0(x), R(x)’) (Ri(x)=xiR(x), Si(x)=xiS0(x)) 满足w(Si (x)) ≤t 满足w ≤t Ri (x)’= Ri(x)- Si(x)=xi R(x)’) )’= xn-i Ri (x)’= xn R(x)’= R(x)’(mod xn-1) )’= )’= R( )’(mod
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循 环 码 （IV） ）
内容
一般译码原理 捕错译码 大数逻辑译码 仿真流程及Gaussian噪声的产生 噪声的产生 仿真流程及
一般译码原理
基本思想与线性分组码类似
1、根据接收序列R计算伴随式 、根据接收序列 计算伴随式 计算伴随式S=RHT (n-k维向量 维向量) 维向量 2、根据伴随式S寻找错误图样 、根据伴随式 寻找错误图样 寻找错误图样E 3、根据错误图样E估计码向量 、根据错误图样 估计码向量 估计码向量C’=R-E，进而估计信息 ， 序列（系统码、非系统码） 序列（系统码、非系统码）
基本原理
若错误集中在校验元的n-k位上，即EI(x)=0, 位上， 若错误集中在校验元的 位上 E(x)=EP(x)
S (x ) ≡ E (x ) = E P (x ) mod(g (x ))
此时，伴随式就是错误图样， 此时，伴随式就是错误图样，C’(x)=R(x)-S(x) 可用捕错译码循环码必须满足
c6 s3 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 c5 = s2 = HC T = 0 M s 1 0 0 0 1 0 1 1 c 0 s0
纠错码课件---第四章 多项式环及循环码
码字，若C1的左(右)循环移位得到的n维向量也是CH中
的一个码字，则称CH是循环码。 定义2：设 Vn,k Vn 是n维空间的一个k维子空间， 若对任一 恒有
v1 a n2 , a n1 , , a0 , a n1 Vn,k
v a n1 , a n2 , , a0 Vn,k
小于n-1的多项式。 因此，循环码的每个码字对应一个次数小于等于n-1的多项式。 并且，码字与多项式之间是一一对应的。
二、循环码的代数性质
假设有两个码多项式
vx v0 v1 x vn1 x n1
vi x vni vni 1 x vn1 xi 1 v0 xi vni 1 x n1 则有
a a 1 a 1 a e
则称G构成一个群。若加法，恒等元用0表示， 若为乘法，恒等元称为单位元
环(Ring)的定义(p30)
• 非空集合R中，若定义了两种代数运算加和 乘，且满足： 1) 集合R在加法运算下构成阿贝尔群 2) 乘法有封闭性 3) 乘法结合律成立，且加和乘之间有分配 律
即
g x g x
因此，g(x)是唯一的。
二、循环码的代数性质
定理4.2 令 gx g0 g1x xr 为循环码C中最低次数的非零
码多项式，则常数项g0一定等于1。 证明：假设 g 0 0
则
g x g1 x g 2 x 2 x r x g1 g 2 x x r 1
0,1, , m 1
a b a b, a b a b
群(Group)的定义(p26)
设G是一个非空集合，并在G内定义了一种 代数运算 “ 。”，若满足：
1) 封闭性。对任意 a , b G ，恒有 a b G 2) 结合律。对任意a, b, c G，恒有 a b c a b c 3) G中存在一恒等元e,对任意 a G ，使 a e e a a 4) 对任意 a G ，存在a的逆元 a 1 G ，使
《信道编码纠错码》PPT课件
19
传输冗余比特必然要动用冗余的资源。 时间：
比如一个比特重复发几次,或一段消息重复发几遍,或 根据收端的反馈重发受损信息组。
频带：
插入冗余比特后传输效率下降,若要保持有用信息的速 率不变,方法之一是增大符号传递速率(波特率),结果 就占用了更大的带宽。
功率：
采用多进制符号,用8进制ASK符号代替4进制ASK符号来 传送2比特信息,可腾出位置另传1冗余比特。
对二进制传输系统,符号差错等效于比特差错;对多 进制系统,一个符号差错对应多少比特差错却难以确 定
31
差错率
根据不同的应用场合对差错率有不同的要求:
在电报传送时,允许的比特差错率约为: 10－4～10－5；
计算机数据传输,一般要求比特差错率小于: 10－8～10－9；
在遥控指令和武器系统的指令系统中,要求有更小的误比特率或码组差 错率
01 禁用码组
10
11雨
11
• 插入1位监督码后具有检出1位错码的能 力,但不能予以纠正。
16
检错与纠错原理
000晴 111雨
000
001
晴
010
100
011
101
雨
110
111
• 在只有1位错码的情况下,可以判决哪位是错 码并予以纠正,可以检出2位或2位以下的错码。
17
检错与纠错原理
最大似然译码：
14
差错控制系统分类
混合纠错(HEC)：
是FEC与ARQ方式的结合。 发端发送同时具有自动纠错和检测能力的码组,收端收到码组后,检查差
错情况,如果差错在码的纠错能力以内,则自动进行纠正。 如果信道干扰很严重,错误很多,超过了码的纠错能力,但能检测出来,则
传输冗余比特必然要动用冗余的资源。 时间：
比如一个比特重复发几次,或一段消息重复发几遍,或 根据收端的反馈重发受损信息组。
频带：
插入冗余比特后传输效率下降,若要保持有用信息的速 率不变,方法之一是增大符号传递速率(波特率),结果 就占用了更大的带宽。
功率：
采用多进制符号,用8进制ASK符号代替4进制ASK符号来 传送2比特信息,可腾出位置另传1冗余比特。
对二进制传输系统,符号差错等效于比特差错;对多 进制系统,一个符号差错对应多少比特差错却难以确 定
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差错率
根据不同的应用场合对差错率有不同的要求:
在电报传送时,允许的比特差错率约为: 10－4～10－5；
计算机数据传输,一般要求比特差错率小于: 10－8～10－9；
在遥控指令和武器系统的指令系统中,要求有更小的误比特率或码组差 错率
01 禁用码组
10
11雨
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• 插入1位监督码后具有检出1位错码的能 力,但不能予以纠正。
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检错与纠错原理
000晴 111雨
000
001
晴
010
100
011
101
雨
110
111
• 在只有1位错码的情况下,可以判决哪位是错 码并予以纠正,可以检出2位或2位以下的错码。
17
检错与纠错原理
最大似然译码：
14
差错控制系统分类
混合纠错(HEC)：
是FEC与ARQ方式的结合。 发端发送同时具有自动纠错和检测能力的码组,收端收到码组后,检查差
错情况,如果差错在码的纠错能力以内,则自动进行纠正。 如果信道干扰很严重,错误很多,超过了码的纠错能力,但能检测出来,则
通信原理课件：纠错编码
11
这种方法只能检测错误，但不能纠正错误 比如：当接收端收到禁用码组100时，无法判决哪一位码 发生了错误 000（晴） 101（云） 110（雨） 错一位 100
要想纠正错误，需要增加多余度，比如，只准使用两 个码组
12
000（晴）
111（阴）
其他均为禁用码组，则它可检测两个错码或能纠正一 个错码。 如：接收端接收到禁用码组100，若认为只有一个错码， 可纠正，若错码数不超过2个，只能检测错误 4种信息完全可以由2位二进制数字来表示，即前两位。 可见，第三位完全是多余的，这第三位就作为附加的 监督码
k k n k r
18
编码效率是衡量码性能的一个重要参量，编码效率与
抗干扰能力这两个参数是相互矛盾的 编码的主要任务就是如何找到一种编码，在满足一定 误码率要求的前提下，尽量提高编码效率。
五、编码增益
描述编码系统对非编码系统性能的改善程度，定义为 在给定误码率要求下，非编码系统与编码系统之间所 需信噪比的差。 编码增益越大越好
理论依据：Shannon信道编码定理 定理指出：
对于一给定的有干扰信道，若其信道容量为C， 只要发送端以低于C的速率R发送信息，则一定存在 一种编码方法，使编码错误概率P随着码长n的增加， 按指数下降到任意小的值。
Pe
nE ( R )
E（R）称为误差指数，n编码长度，R信息发送速率
15
23
在接收端，按上式计算各码元，若结果为1认为有错； 否则，无错。如： 11010 1
注意：只能检测奇数个错误，当错码为奇数个时，由于 打乱了码字中”1”个数的奇偶性，故能发现差错。但当 错码为偶数个时，因码字中1个数奇偶性保持不变，则 无法发现错码。
特点：结构简单，易于实现，编码效率高，虽然不理想， 但干扰不严重时，且码长不长的情况下仍很有用。
这种方法只能检测错误，但不能纠正错误 比如：当接收端收到禁用码组100时，无法判决哪一位码 发生了错误 000（晴） 101（云） 110（雨） 错一位 100
要想纠正错误，需要增加多余度，比如，只准使用两 个码组
12
000（晴）
111（阴）
其他均为禁用码组，则它可检测两个错码或能纠正一 个错码。 如：接收端接收到禁用码组100，若认为只有一个错码， 可纠正，若错码数不超过2个，只能检测错误 4种信息完全可以由2位二进制数字来表示，即前两位。 可见，第三位完全是多余的，这第三位就作为附加的 监督码
k k n k r
18
编码效率是衡量码性能的一个重要参量，编码效率与
抗干扰能力这两个参数是相互矛盾的 编码的主要任务就是如何找到一种编码，在满足一定 误码率要求的前提下，尽量提高编码效率。
五、编码增益
描述编码系统对非编码系统性能的改善程度，定义为 在给定误码率要求下，非编码系统与编码系统之间所 需信噪比的差。 编码增益越大越好
理论依据：Shannon信道编码定理 定理指出：
对于一给定的有干扰信道，若其信道容量为C， 只要发送端以低于C的速率R发送信息，则一定存在 一种编码方法，使编码错误概率P随着码长n的增加， 按指数下降到任意小的值。
Pe
nE ( R )
E（R）称为误差指数，n编码长度，R信息发送速率
15
23
在接收端，按上式计算各码元，若结果为1认为有错； 否则，无错。如： 11010 1
注意：只能检测奇数个错误，当错码为奇数个时，由于 打乱了码字中”1”个数的奇偶性，故能发现差错。但当 错码为偶数个时，因码字中1个数奇偶性保持不变，则 无法发现错码。
特点：结构简单，易于实现，编码效率高，虽然不理想， 但干扰不严重时，且码长不长的情况下仍很有用。
纠错码课件4
二进制Hamming码的设计码长为 m-1(7, 15, 31,…) 码的设计码长为2 二进制 码的设计码长为
修正方法
线性分组码三个参数(n, 增大一个参数 一个参数， 线性分组码三个参数 k, n-k): 增大一个参数，降低 另一个参数，保持第三个参数不变 不变。 另一个参数，保持第三个参数不变。 共有6种方法 共有 种方法
基本原理
在原码基础上删去一个信息元，增加一个校验元。 在原码基础上删去一个信息元，增加一个校验元。和 增广码构造过程相反
基本实现方法
删掉原码生成矩阵G中的一行，得到新矩阵 删掉原码生成矩阵 中的一行，得到新矩阵Ge，该矩 中的一行 阵有n列 阵有 列，k-1行，即得到一个 行 即得到一个[n, k-1, de]码 码 码的最小汉明距离d为奇数 若[n, k, d]码的最小汉明距离 为奇数，则挑选所有偶 码的最小汉明距离 为奇数， 数重量的码字，即可构成[n, 数重量的码字，即可构成 k-1, d+1]增余删信码 增余删信码 [Recall: 任何 任何[n, k, d]线性分组码，码字的重量或全部 线性分组码， 线性分组码 为偶数， 为偶数，或者奇数重量的码字数等于偶数重量的码字 数]
修正的线性码
改变线性码参数n, 改变线性码参数 k, n-k的任意两个 的任意两个 Shorten: 删除信息符号 n − k fixed, k ↓ ⇒ n ↓
lengthen: 增加信息符号 n − k fixed, k ↑ ⇒ n ↑ Puncture: 删除校验符号 k fixed, n − k ↓ ⇒ n ↓ Expand :增加校验符号 增加校验符号
最小Hamming重量 重量 最小
d a = min ( d , d min (1 + Ci ), i = 1, 2,L , 2k ) = min ( d , d min (Ci ), i = 1, 2,L , 2k ) = min ( d , n-d max (C ) )
修正方法
线性分组码三个参数(n, 增大一个参数 一个参数， 线性分组码三个参数 k, n-k): 增大一个参数，降低 另一个参数，保持第三个参数不变 不变。 另一个参数，保持第三个参数不变。 共有6种方法 共有 种方法
基本原理
在原码基础上删去一个信息元，增加一个校验元。 在原码基础上删去一个信息元，增加一个校验元。和 增广码构造过程相反
基本实现方法
删掉原码生成矩阵G中的一行，得到新矩阵 删掉原码生成矩阵 中的一行，得到新矩阵Ge，该矩 中的一行 阵有n列 阵有 列，k-1行，即得到一个 行 即得到一个[n, k-1, de]码 码 码的最小汉明距离d为奇数 若[n, k, d]码的最小汉明距离 为奇数，则挑选所有偶 码的最小汉明距离 为奇数， 数重量的码字，即可构成[n, 数重量的码字，即可构成 k-1, d+1]增余删信码 增余删信码 [Recall: 任何 任何[n, k, d]线性分组码，码字的重量或全部 线性分组码， 线性分组码 为偶数， 为偶数，或者奇数重量的码字数等于偶数重量的码字 数]
修正的线性码
改变线性码参数n, 改变线性码参数 k, n-k的任意两个 的任意两个 Shorten: 删除信息符号 n − k fixed, k ↓ ⇒ n ↓
lengthen: 增加信息符号 n − k fixed, k ↑ ⇒ n ↑ Puncture: 删除校验符号 k fixed, n − k ↓ ⇒ n ↓ Expand :增加校验符号 增加校验符号
最小Hamming重量 重量 最小
d a = min ( d , d min (1 + Ci ), i = 1, 2,L , 2k ) = min ( d , d min (Ci ), i = 1, 2,L , 2k ) = min ( d , n-d max (C ) )
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Lecture 4 线性分组码(II) 线性分组码(II)
内容
修正的线性码
扩展码， 扩展码，删余码 增广码， 增广码，增余删信码 延长码， 延长码，Reed-Muller码 码
线性码的重量分布 线性码的纠错性能
T
扩展(Expanded)码 码 扩展
例子： 例子： [7,4,3]Hamming码的校验矩阵 码的校验矩阵
0 1 1 1 1 0 0 H = 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1
增加一个全校验位后得到的[8, 4 , 4]扩展 增加一个全校验位后得到的 扩展 Hamming码的校验矩阵 码的校验矩阵
扩展(Expanded)码 码 扩展
基本原理： 线性分组码中的每一个码字， 基本原理：对[n, k, d]线性分组码中的每一个码字， 线性分组码中的每一个码字 c′满足： 增加一个校验元 ，0满足： ′ cn -1 + cn -2 + L + c0 + c0 = 0
′ 称为全校验位 c0 称为全校验位 码变成了[n+1, k, d] 若d为偶数， [n, k, d]码变成了 为偶数， 码变成了 码变成了[n+1, k, d+1] 若d为奇数， [n, k, d]码变成了 为奇数， 码变成了
修正的线性码
改变线性码参数n, 改变线性码参数 k, n-k的任意两个 的任意两个 Shorten: 删除信息符号 n − k fixed, k ↓ ⇒ n ↓
lengthen: 增加信息符号 n − k fixed, k ↑ ⇒ n ↑ Puncture: 删除校验符号 k fixed, n − k ↓ ⇒ n ↓ Expand :增加校验符号 增加校验符号
二进制Hamming码的设计码长为 m-1(7, 15, 31,…) 码的设计码长为2 二进制 码的设计码长为
修正方法
线性分组码三个参数(n, 增大一个参数 一个参数， 线性分组码三个参数 k, n-k): 增大一个参数，降低 另一个参数，保持第三个参数不变 不变。 另一个参数，保持第三个参数不变。 共有6种方法 共有 种方法
码的重量分布(p73) 码的重量分布 普洛特金限(P限 普洛特金限 限) 汉明限 V-G限 限
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一、码重量分布
线性码的重量分布
码的性能不仅由码的最小汉明距离决定， 码的性能不仅由码的最小汉明距离决定，还可由 最小汉明距离决定 码的重量分布 重量分布有关 码的重量分布有关 定义
1 0 1 0 0 0 0 0
1 1 1 1 0 0 0 0
1 0 0 0 1 0 0 0
1 1 0 0 1 1 0 0
1 0 1 0 1 0 1 0
1 1 1 1 1 1 1 1
码长为2 最小距离为d=2m-r的RM(r, m)码的生 码长为 m ，最小距离为 码的生 中的那些重量大于等于d的行构成 成矩阵由 H 2 中的那些重量大于等于 的行构成
1 ) 0 H = 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0
删余(Punctured)码 码 删余
基本原理：在原码基础上删去一个校验元，得到 基本原理：在原码基础上删去一个校验元，得到[n-1, k] 码。是扩展码的逆过程 在软判决译码和纠错纠删码中，将删去的符号看作不可靠 在软判决译码和纠错纠删码中，将删去的符号看作不可靠 符号 最小汉明距离可能比原码小 ，也可能不变 最小汉明距离可能比原码小1， 可能比原码小 例如把上例中的[8, 码的最后一个校验位后， 例如把上例中的 4, 4]码的最后一个校验位后，便得到 码的最后一个校验位后 了[7, 4, 3]Hamming码。此时删余码的校验矩阵可直接从 码 原码的校验矩阵上删去第1行和最后 行和最后1列得到 原码的校验矩阵上删去第 行和最后 列得到 一般的，若删掉的校验位只参与了其中一个校验方程， 一般的，若删掉的校验位只参与了其中一个校验方程，则 只参与了其中一个校验方程 在原码校验矩阵中删掉上述校验位对应的行和列 删掉上述校验位对应的行和列， 在原码校验矩阵中删掉上述校验位对应的行和列，即可得 到新码的校验矩阵
n i =0 n
为码的重量估值算子 称A(x)为码的重量估值算子，或简称重量算子 为码的重量估值算子，或简称重量算子 如 [3, 1, 3]重复码的重量分布为 0, 0, 1}，重量算子 重复码的重量分布为{1, ， 重复码的重量分布为 为 3
A( x ) = 1 + x
马克威伦(MacWilliams)恒等式 恒等式 马克威伦
设二进制[n, k]线性分组码及其 线性分组码及其[n, n-k]对偶码的 设二进制 线性分组码及其 对偶码的 重量算子分别是
A( x) = ∑ Ai x
i= i Байду номын сангаас0
n
i
B( x) = ∑ Bi x i
i= i =0
n
则它们之间有如下关系： 则它们之间有如下关系：
A( x) = 2
−( n−k )
k fixed, n − k ↑ ⇒ n ↑
Expurgate: 删除码字，增加校验符号 n fixed, k ↓ ⇒ n − k ↑ 删除码字， Augment: 增加码字，删除校验符号 增加码字，
n fixed, k ↑ ⇒ n − k ↓
汉明码的各类修正码之间关系图
线性码的纠错能力(p79) 第四节 线性码的纠错能力
基本原理
在原码基础上删去一个信息元，增加一个校验元。 在原码基础上删去一个信息元，增加一个校验元。和 增广码构造过程相反
基本实现方法
删掉原码生成矩阵G中的一行，得到新矩阵 删掉原码生成矩阵 中的一行，得到新矩阵Ge，该矩 中的一行 阵有n列 阵有 列，k-1行，即得到一个 行 即得到一个[n, k-1, de]码 码 码的最小汉明距离d为奇数 若[n, k, d]码的最小汉明距离 为奇数，则挑选所有偶 码的最小汉明距离 为奇数， 数重量的码字，即可构成[n, 数重量的码字，即可构成 k-1, d+1]增余删信码 增余删信码 [Recall: 任何 任何[n, k, d]线性分组码，码字的重量或全部 线性分组码， 线性分组码 为偶数， 为偶数，或者奇数重量的码字数等于偶数重量的码字 数]
1 1 L 1 a C = C U ( 1 + Ci ) G = G
a
i = 1,2, K 2 k
且da=min{d, n-dmax(C)}
增广(Augmented)码 码 增广
生成矩阵
C a = ( ma M ) G a 1 1 L 1 1 1 L 1 = (0 M ) U (1 M ) G G = MG U ( 1 + ( MG )i ) , i = 1, 2,L , 2k = C U ( 1 + Ci ) , i = 1, 2,L , 2k
延长(Lengthened)码与 码与RM码 延长 码与 码
延长码
对增广码再填加一个全校验位得到[n+1, k+1]码，此时 对增广码再填加一个全校验位得到 码 码率R=(k+1)/(n+1)>k/n。和缩短 码率 。和缩短(Shortened) 码的构 造过程相反
RM码 码
如果把(2 码的对偶码， 如果把 m-1, 2m-1 -m, 3)Hamming码的对偶码，即单 码的对偶码 纯码(2 进行延长， 纯码 m-1, m, 2m-1)进行延长，就得到一个 m, m+1, 进行延长 就得到一个(2 一阶Reed-Muller码，用RM(1, m)表 2m-1)码，称之为一阶 码 表 码 称之为一阶 示。 一般， 阶 一般，r阶RM码RM(r, m)是[2m, k, 2m-r]，其中 码 是 ，
m
RM码 码
例子： 例子：m=3
V0 = (11111111) V3 = (00001111) V2 = (00110011) V1 = (01010101) V3V2 = (00000011) V3V1 = (00000101) V2V1 = (00010001) V3V2V1 = (00000001)
Singleton bound Hamming (sphere packing) bound Varshamov-Gilbert bound McEliece-Rodemich-Rumsey-Welch upper bound
修正的线性码
纠错码的设计码长通常由矩阵或多项式的代数和 纠错码的设计码长通常由矩阵或多项式的代数和 设计码长 组合特性决定 线性分组码的设计码长通常不等于理想码长 线性分组码的设计码长通常不等于理想码长 例如： 例如：
校验矩阵
1 1 L 1 ) 0 H = M H 0
扩展(Expanded)码 码 扩展
校验矩阵
1 1 L ) )T ' CH = ( C c0 ) H 1 1 HT ' = ( C c0 ) M 1 0 L 0 ' = ∑ ci +c0 , CH T i=n -1 =0 1 0 M 0 M 0
m m m m m m k = 1 + + + L + ; n − k = 1 + + + L + 1 2 r 1 2 m − r − 1
其对偶码为RM(m-r-1, m)码 其对偶码为 码
RM码 码
如果以V 行作为G矩阵的行 如果以 0到V3的4行作为 矩阵的行，则得到一个 行作为 矩阵的行，则得到一个RM(1, 3)码的生成矩阵 码的生成矩阵 若以V 个矢量作为G矩阵的行 若以 0到V2 V1的7个矢量作为 矩阵的行，则得到一个 个矢量作为 矩阵的行， RM(2, 3)码的生成矩阵 码的生成矩阵
Lecture 4 线性分组码(II) 线性分组码(II)
内容
修正的线性码
扩展码， 扩展码，删余码 增广码， 增广码，增余删信码 延长码， 延长码，Reed-Muller码 码
线性码的重量分布 线性码的纠错性能
T
扩展(Expanded)码 码 扩展
例子： 例子： [7,4,3]Hamming码的校验矩阵 码的校验矩阵
0 1 1 1 1 0 0 H = 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1
增加一个全校验位后得到的[8, 4 , 4]扩展 增加一个全校验位后得到的 扩展 Hamming码的校验矩阵 码的校验矩阵
扩展(Expanded)码 码 扩展
基本原理： 线性分组码中的每一个码字， 基本原理：对[n, k, d]线性分组码中的每一个码字， 线性分组码中的每一个码字 c′满足： 增加一个校验元 ，0满足： ′ cn -1 + cn -2 + L + c0 + c0 = 0
′ 称为全校验位 c0 称为全校验位 码变成了[n+1, k, d] 若d为偶数， [n, k, d]码变成了 为偶数， 码变成了 码变成了[n+1, k, d+1] 若d为奇数， [n, k, d]码变成了 为奇数， 码变成了
修正的线性码
改变线性码参数n, 改变线性码参数 k, n-k的任意两个 的任意两个 Shorten: 删除信息符号 n − k fixed, k ↓ ⇒ n ↓
lengthen: 增加信息符号 n − k fixed, k ↑ ⇒ n ↑ Puncture: 删除校验符号 k fixed, n − k ↓ ⇒ n ↓ Expand :增加校验符号 增加校验符号
二进制Hamming码的设计码长为 m-1(7, 15, 31,…) 码的设计码长为2 二进制 码的设计码长为
修正方法
线性分组码三个参数(n, 增大一个参数 一个参数， 线性分组码三个参数 k, n-k): 增大一个参数，降低 另一个参数，保持第三个参数不变 不变。 另一个参数，保持第三个参数不变。 共有6种方法 共有 种方法
码的重量分布(p73) 码的重量分布 普洛特金限(P限 普洛特金限 限) 汉明限 V-G限 限
State Key Laboratory of Integrated Services Networks
一、码重量分布
线性码的重量分布
码的性能不仅由码的最小汉明距离决定， 码的性能不仅由码的最小汉明距离决定，还可由 最小汉明距离决定 码的重量分布 重量分布有关 码的重量分布有关 定义
1 0 1 0 0 0 0 0
1 1 1 1 0 0 0 0
1 0 0 0 1 0 0 0
1 1 0 0 1 1 0 0
1 0 1 0 1 0 1 0
1 1 1 1 1 1 1 1
码长为2 最小距离为d=2m-r的RM(r, m)码的生 码长为 m ，最小距离为 码的生 中的那些重量大于等于d的行构成 成矩阵由 H 2 中的那些重量大于等于 的行构成
1 ) 0 H = 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0
删余(Punctured)码 码 删余
基本原理：在原码基础上删去一个校验元，得到 基本原理：在原码基础上删去一个校验元，得到[n-1, k] 码。是扩展码的逆过程 在软判决译码和纠错纠删码中，将删去的符号看作不可靠 在软判决译码和纠错纠删码中，将删去的符号看作不可靠 符号 最小汉明距离可能比原码小 ，也可能不变 最小汉明距离可能比原码小1， 可能比原码小 例如把上例中的[8, 码的最后一个校验位后， 例如把上例中的 4, 4]码的最后一个校验位后，便得到 码的最后一个校验位后 了[7, 4, 3]Hamming码。此时删余码的校验矩阵可直接从 码 原码的校验矩阵上删去第1行和最后 行和最后1列得到 原码的校验矩阵上删去第 行和最后 列得到 一般的，若删掉的校验位只参与了其中一个校验方程， 一般的，若删掉的校验位只参与了其中一个校验方程，则 只参与了其中一个校验方程 在原码校验矩阵中删掉上述校验位对应的行和列 删掉上述校验位对应的行和列， 在原码校验矩阵中删掉上述校验位对应的行和列，即可得 到新码的校验矩阵
n i =0 n
为码的重量估值算子 称A(x)为码的重量估值算子，或简称重量算子 为码的重量估值算子，或简称重量算子 如 [3, 1, 3]重复码的重量分布为 0, 0, 1}，重量算子 重复码的重量分布为{1, ， 重复码的重量分布为 为 3
A( x ) = 1 + x
马克威伦(MacWilliams)恒等式 恒等式 马克威伦
设二进制[n, k]线性分组码及其 线性分组码及其[n, n-k]对偶码的 设二进制 线性分组码及其 对偶码的 重量算子分别是
A( x) = ∑ Ai x
i= i Байду номын сангаас0
n
i
B( x) = ∑ Bi x i
i= i =0
n
则它们之间有如下关系： 则它们之间有如下关系：
A( x) = 2
−( n−k )
k fixed, n − k ↑ ⇒ n ↑
Expurgate: 删除码字，增加校验符号 n fixed, k ↓ ⇒ n − k ↑ 删除码字， Augment: 增加码字，删除校验符号 增加码字，
n fixed, k ↑ ⇒ n − k ↓
汉明码的各类修正码之间关系图
线性码的纠错能力(p79) 第四节 线性码的纠错能力
基本原理
在原码基础上删去一个信息元，增加一个校验元。 在原码基础上删去一个信息元，增加一个校验元。和 增广码构造过程相反
基本实现方法
删掉原码生成矩阵G中的一行，得到新矩阵 删掉原码生成矩阵 中的一行，得到新矩阵Ge，该矩 中的一行 阵有n列 阵有 列，k-1行，即得到一个 行 即得到一个[n, k-1, de]码 码 码的最小汉明距离d为奇数 若[n, k, d]码的最小汉明距离 为奇数，则挑选所有偶 码的最小汉明距离 为奇数， 数重量的码字，即可构成[n, 数重量的码字，即可构成 k-1, d+1]增余删信码 增余删信码 [Recall: 任何 任何[n, k, d]线性分组码，码字的重量或全部 线性分组码， 线性分组码 为偶数， 为偶数，或者奇数重量的码字数等于偶数重量的码字 数]
1 1 L 1 a C = C U ( 1 + Ci ) G = G
a
i = 1,2, K 2 k
且da=min{d, n-dmax(C)}
增广(Augmented)码 码 增广
生成矩阵
C a = ( ma M ) G a 1 1 L 1 1 1 L 1 = (0 M ) U (1 M ) G G = MG U ( 1 + ( MG )i ) , i = 1, 2,L , 2k = C U ( 1 + Ci ) , i = 1, 2,L , 2k
延长(Lengthened)码与 码与RM码 延长 码与 码
延长码
对增广码再填加一个全校验位得到[n+1, k+1]码，此时 对增广码再填加一个全校验位得到 码 码率R=(k+1)/(n+1)>k/n。和缩短 码率 。和缩短(Shortened) 码的构 造过程相反
RM码 码
如果把(2 码的对偶码， 如果把 m-1, 2m-1 -m, 3)Hamming码的对偶码，即单 码的对偶码 纯码(2 进行延长， 纯码 m-1, m, 2m-1)进行延长，就得到一个 m, m+1, 进行延长 就得到一个(2 一阶Reed-Muller码，用RM(1, m)表 2m-1)码，称之为一阶 码 表 码 称之为一阶 示。 一般， 阶 一般，r阶RM码RM(r, m)是[2m, k, 2m-r]，其中 码 是 ，
m
RM码 码
例子： 例子：m=3
V0 = (11111111) V3 = (00001111) V2 = (00110011) V1 = (01010101) V3V2 = (00000011) V3V1 = (00000101) V2V1 = (00010001) V3V2V1 = (00000001)
Singleton bound Hamming (sphere packing) bound Varshamov-Gilbert bound McEliece-Rodemich-Rumsey-Welch upper bound
修正的线性码
纠错码的设计码长通常由矩阵或多项式的代数和 纠错码的设计码长通常由矩阵或多项式的代数和 设计码长 组合特性决定 线性分组码的设计码长通常不等于理想码长 线性分组码的设计码长通常不等于理想码长 例如： 例如：
校验矩阵
1 1 L 1 ) 0 H = M H 0
扩展(Expanded)码 码 扩展
校验矩阵
1 1 L ) )T ' CH = ( C c0 ) H 1 1 HT ' = ( C c0 ) M 1 0 L 0 ' = ∑ ci +c0 , CH T i=n -1 =0 1 0 M 0 M 0
m m m m m m k = 1 + + + L + ; n − k = 1 + + + L + 1 2 r 1 2 m − r − 1
其对偶码为RM(m-r-1, m)码 其对偶码为 码
RM码 码
如果以V 行作为G矩阵的行 如果以 0到V3的4行作为 矩阵的行，则得到一个 行作为 矩阵的行，则得到一个RM(1, 3)码的生成矩阵 码的生成矩阵 若以V 个矢量作为G矩阵的行 若以 0到V2 V1的7个矢量作为 矩阵的行，则得到一个 个矢量作为 矩阵的行， RM(2, 3)码的生成矩阵 码的生成矩阵