高数下之---3,对坐标的曲线积分

13
例
计算
L
xy d x , 其中 L 为抛物线
y x上
2
从 A ( 1 , 1 ) 到 B ( 1 ,1 )的一段弧 .
解 (1) 化为对x的定积分
y x
y
2
B(1,1)
y x
L xy d x ⌒ xy d x
AO

⌒ OB xy d x
O
x
A(1,1)
B
M i 1 M i ( x i )i ( y i ) j
2
取
M i 1 M i ( x i )i ( y i ) j ) F ( i , i ) P ( i , i ) i Q ( i , i j
y
取近似 W i F ( i , i ) M i 1 M i

(1) L : y y ( x ) x起点为a , 终点为b
L P ( x , y )dx Q( x , y )dy
b
dx dx,
dy y '( x)dx.
a { P[ x , y( x )] Q[ x , y( x )] y( x )}dx
L P ( x , y )dx Q( x , y )dy

1 x (
1 3 2 0
0
x )d x
4 5
0 x
1
xd x
2 x dx
14
计算
L
xy d x , 其中 L 为抛物线
y x上
2
从 A ( 1 , 1 ) 到 B ( 1 ,1 )的一段弧 .
(2) 化为对y的定积分
x y
2
y
2
B(1,1)
y x
d x 2 y d y , y从 1到1
A点对应 t 0, B点对应 t 1, 于是



1
1
x d x y d y ( x y 1 )d z
(1 t )dt (1 2t )2dt (1 3t )3dt 0
0 ( 6 14 t ) d t 13
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例 计算
L
x d x ( y x ) d y , 其中
M M1
2
L:A B O F ( x , y ) P ( x , y )i Q ( x , y ) j
A M0
x
常力沿直线所作的功
W F AB
n
分割 A
M 0 , M 1 ( x 1 , y 1 ), , M n 1 ( x n 1 , y n 1 ), M
2
(1) L是上半圆周 y
a x ,
2 2
反时针方向;
(2) L是x轴上由点 A ( a , 0 ) 到点B ( a , 0 ) 的线段.
解 (1)中L的参数方程为
x a cos t , y a sin t
y
A点对应 t 0, B点对应 t . 原式=

a
2 3
2 L
y x 上从 O ( 0 , 0 ) 到 B ( 1 ,1 )的一段弧 ;
2
x y 上从 O ( 0 , 0 ) 到 B ( 1 ,1 )的一段弧 ;
2
( 3 ) 有向折线 OAB ，这里 O , A , B 依次是点 ( 0 , 0 ) ( 1 , 0 ), ( 1 ,1 ).
解
(1 )
W
⌒ AB ⌒ AB
F ds
d s (d x , d y )


( Pi Qj ) (dxi dyj )
⌒ AB P d x Q d y
7
5. 推广 空间有向曲线弧Γ,
Pdx Qdy Rdz
n i 1 n
P ( x , y , z )dx lim P ( i ,i , i )xi 0
2 xydx x dy
2
OA

1
( 2 x 0 x 0 ) dx
2
B(1,1)
0
Q( x , y , z )dy lim Q( i ,i , i )yi 0
i 1
n
R( x , y , z )dz lim R( i ,i , i )zi 0
i 1
8
y
6. 性质 (1) 如果把 L 分成 L1 和 L 2 , 则
O
L L1
L P ( x , y )dx L Q( x , y )dy

其中 F ( P , Q ),
L P ( x , y )dx Q( x , y )dy L
F ds “点积”形
d s ( d x , d y ).
式
6
4. 物理意义
⌒ 变力 F P ( x , y ) i Q ( x , y ) j 沿 AB 所作的功 W
F ( i , i )
M

i

B Mn

n1
即 W i P ( i , i ) x i Q ( i , i ) y i
M i 1

2
yi
M
求和 W


n
L


M M1
xi
W i
A M0
i 1 n
O
x
近似值
[ P ( i , i ) x i Q ( i , i ) y i ]

L

实质: 曲线积分“换元”:
11
x (t ) L : , y (t )
L P ( x , y )dx Q( x , y )dy
特殊情形
则

{ P[ ( t ), ( t )] ( t ) Q[ ( t ), ( t )] ( t )}dt
i 1
M
i
上任意取定的点.
4Leabharlann 如果当各小段长度的最大值 0时 ,
P ( i , i ) x i 的极限总存在, 则称此极限为函数
i 1
n
P ( x , y ) 在有向曲线弧
L上 对坐标x的曲线积分,
或称 第二类曲线积分. 记作
n
L P ( x , y )dx , 即
n
L
P ( x , y )dx lim P ( i , i )xi 0
P ( x , y , z )dx Q( x , y , z )dy R( x , y , z )dz

{ P[ ( t ), ( t ), ( t )] ( t ) Q[ (t ), (t ), (t )] (t )
R[ ( t ), ( t ), ( t )] ( t )}dt
L
O
x
对坐标的曲线积分与 曲线的方向有关.
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2. 定积分是第二类曲线积分的特例.
三、对坐标的曲线积分的计算
思想是 化为定积分计算.
对坐标的曲线积分与曲线的方向有关. 因此下限应是起点的坐标, 上限是终点的
坐标.
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定理 设 P ( x , y ), Q ( x , y ) 在曲线弧 L 上有定义且
曲线积分
L P ( x , y ) d x Q ( x , y ) d y 存在 , 且
P , dx Q x dy P ((xx ,yy))dx Q((x ,,yy))dy L
{P[[ (tt), (tt ] (( t dt Q[[ (t), ( t )] ( t )ddt P ( ), ( ))] t ) ) Q ( t ), (t )] ( t )} t
x (t ) , 当参数 t 单调地 连续, L 的参数方程为 y (t ) 由 变到 时 , 点 M ( x , y )从 L 的起点 A 沿 L 运动到
终点 B , ( t ), ( t ) 在以 及 为端点的闭区间上具
有一阶连续导数
2 2 , 且 (t ) (t ) 0,则
M 1 ( x 1 , y 1 ),
M2 ( x2 , y2 ), M n 1 ( x n 1 , y n 1 )
( i 1,2 , , n;
把L分成n个有向小弧段 M i 1 M i
点 ( i , i )为 M
M 0 A , M n B ). 设 x i x i x i 1 , y i y i y i 1 ,
i 1
类似地定义 Q( x , y )dy lim Q( i ,i )yi
L
0
i 1
称 Q( x , y ) 在有向曲线弧 L上对坐标y的曲线积分. 被积函数 积分弧段
5
2. 存在条件
当 P ( x , y ), Q ( x , y ) 在光滑曲线弧L上
连续,
第二类曲线积分存在. 3.组合形式
cos t d(a cos t ) 0 (a sin t a cos t )d(a sin t )
a
3

2
2
B( a ,0) O
A(a ,0) x

a
2
2
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其中 (2) L是x轴上由点 A ( a , 0 ) 到点B ( a , 0 ) 的线段. (2) L的方程为 y 0, x从a到 a .
1 1
L
O
2 y y 2 yd y
x
A(1,1)
xy d x