对坐标的曲线积分

L a b
( 2) L : x = x ( y )
y起点为c，终点为d
则 ∫ Pdx + Qdy = ∫ {P[ x( y ), y ]x ′( y ) + Q[ x( y ), y ]}dy.
L c
d
⎧ x = ϕ (t ) ⎪ (3) 推广 Γ : ⎨ y = ψ (t ), t起点α , 终点β . ⎪ z = ω (t ) ⎩
W = ∑ ∆Wi
i =1 n n
≈ ∑ [ P(ξ i ,ηi ) ⋅ ∆xi + Q(ξ i ,η i ) ⋅ ∆yi ].
i =1
n
W = lim ∑ [ P(ξ i ,ηi ) ⋅ ∆xi + Q(ξ i ,ηi ) ⋅ ∆yi ].
λ →0
i =1
一、 对坐标的曲线积分的概念 1．定义
设L为xoy面内从点A到点B的一条有向光滑曲线弧,函数P( x, y ), Q( x, y )在L上 有界., 用L上的点M 1 ( x1 , y1 ) M 2 ( x2 , y2 ), L M n −1 ( xn −1 , yn −1 )把 L分成 n个有向小 弧段M i −1M i (i = 1,2,L, n;
i =1
n
L叫积分弧段.
2．存在条件：当P( x, y ), Q( x, y )在光滑曲线弧L上连续时, 第二类曲线积分存在. 3．组合形式： ∫L P( x, y )dx + ∫L Q( x, y )dy = ∫L P( x, y )dx + Q( x, y )dy 4．推广： ∫Γ Pdx + Qdy + Rdz.
x
r r r r M i −1M i = (∆xi )i + (∆yi ) j . 取 F (ξ i ,ηi ) = P(ξ i ,η i )i + Q(ξ i ,ηi ) j ,
近似 求和 取极限
∆Wi ≈ F (ξ i ,ηi ) ⋅ M i −1M i , 即 ∆Wi ≈ P(ξ i ,ηi )∆xi + Q(ξ i ,ηi )∆yi .
λ →0
i =1
5．性质
(1) 如果把 L分成 L1和 L2 , 则
∫ Pdx + Qdy = ∫
L
L1
Pdx + Qdy + ∫ Pdx + Qdy.
L2
(2)设L是有向曲线弧,− L是与L方向相反的有向曲线弧, 则
∫
−L
P( x, y )dx + Q( x, y )dy = − ∫ P( x, y )dx + Q( x, y )dy
i =1 i i i
的曲线积分(或称第二类曲线积分）记作∫ P ( x, y )dx = lim ∑ P(ξ i ,ηi )∆xi .
L
n
λ →0
i =1
类似定义 ∫L Q( x, y )dy = lim ∑ Q(ξi ,ηi )∆yi . 其中P( x, y), Q( x, y)叫做被积函数 , λ →0
其中 cos α =
ϕ ′(t ) ϕ ′ 2 (t ) + ψ ′ 2 (t )
, cos β =
ψ ′(t ) ϕ ′ 2 (t ) + ψ ′ 2 (t )
,
（可以推广到空间曲线上）
Γ上点( x, y, z )处的切线向量的方向角为α , β , γ ,
则∫ Pdx + Qdy + Rdz = ∫ ( P cos α + Q cos β + R cos γ )ds
n
M 0 = A, M n = B).设∆xi = xi − xi −1 , ∆yi = yi − yi −1 ,
点(ξ i ,ηi )为M i −1M i 上任意取定的点., 如果当各小弧段长度的最大值 λ → 0时 ,
∑ P(ξ ,η )∆x 的极限存在, 则称此极限为函数P( x, y)在有向曲线弧L上对坐标x
L
∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy = ∫α {P[ϕ (t ),ψ (t )]ϕ ′(t ) + Q[ϕ (t ),ψ (t )]ψ ′(t )}dt
L
β
特殊情形
(1) L : y = y ( x) x起点为a，终点为b. 则 ∫ Pdx + Qdy = ∫ {P[ x, y ( x)] + Q[ x, y ( x)] y ′( x)}dx.
∫ Pdx + Qdy + Rdz = ∫α {P[ϕ (t ),ψ (t ), ω (t )]ϕ ′(t ) + Q[ϕ (t ),ψ (t ), ω (t )]ψ ′(t )
Γ
β
+ R[ϕ (t ),ψ (t ), ω (t )]ω ′(t )}dt
(4) 两类曲线积分之间的联系：
⎧ x = ϕ (t ) 设有向平面曲线弧为 L： ⎨ , 则∫ Pdx + Qdy = ∫ ( P cos α + Q cos β )ds L L ⎩ y = ψ (t )
对坐标的曲线积分
问题的提出 实例: 变力沿曲线所作的功
r r L : A → B , F ( x , y ) = P ( x , y ) i + Q ( x, y ) j
y
L M Mi−1 2
A
M1
∆xi
B
Mn−1 ∆yiM i
& AB 常力所作的功 W = F •
→
分割
A = M 0 , M 1 ( x1 , y1 ),L, M n −1 ( xn −1 , yn −1 ), M on = B.
L
即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关. 三、对坐标的曲线积分的计算
⎧ x = ϕ (t ), 定理：设P( x, y ), Q( x, y )在曲线弧L上有定义且连续, L的参数方程为⎨ ⎩ y = ψ (t ), 当参数t单调地由α变到β时,点M ( x, y )从L的起点A沿L运动到终点B,ϕ (t ),ψ (t ) 在以α及β 为端点的闭区间上具有一阶连续导数, 且ϕ ′2 (t ) + ψ ′2 (t ) ≠ 0, 则曲线 积分∫ P( x, y )dx + Q( x, y )dy存在 = lim ∑ P (ξ i ,η i , ζ i )∆xi .
λ →0
i =1 n
n
Γ
Q( x, y, z )dy = lim ∑ Q(ξ i ,η i , ζ i )∆y i .
λ →0
i =1 n
Γ
R( x, y, z )dz = lim ∑ R(ξ i ,η i , ζ i )∆z i .